CAPÍTULO II TRABAJO DE LA DEFORMACIÓN ELÁSTICA
MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS
MÉTODOS ENERGÉTICOS TRABAJO DE LA DEFORMACIÓN ELÁSTICA ó ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Se considera que los cuerpos sólidos en la mecánica de materiales están formados por materia que consiste de partículas denominadas puntos materiales y cuyo conjunto constituye la configuración del cuerpo – elemento. Se dice que el cuer cuerpo po – elem elemen ento to exper xperim imen enta ta una una defo deform rmac ació ión n cuan cuando do camb cambia ia su configu configuració ración, n, o sea cuando se desplaz desplazan an sus puntos materiale materialess (sufren (sufren un reacomodo).
Si se supo supone ne un sist sistem ema a de fuer fuerza zass apli aplica cado do a un cuer cuerpo po,, este este se deforma hasta que el sistema de fuerzas internas equilibra al sistema de fuerzas externas. Las fuerzas externas realizan un trabajo que se transforma y acumula en el cuerpo como energía interna, interna, esta energía (o trabajo interno) es el utilizado por el cuerpo para recuperar su forma cuando cesa la acción del sistema de fuerzas externas. Si el cuerpo recupera exactamente su forma inicial se dice que es un cuerpo perfectamente elástico, e indica que el trabajo de las fuerzas exter externas nas duran durante te la defor deformac mación ión del del cuerp cuerpo o se trans transfor forma mará rá total totalme mente nte en energía de deformación. (Se desprecia la pérdida de energía por cambio de temperatura del cuerpo, por ser cantidad pequeña). Considerándose una barra elástica de sección transversal A y longitud L, sujeta a una carga axial P, aplicada gradualmente, como se muestra en la figura 3.
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MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS
MÉTODOS ENERGÉTICOS TRABAJO DE LA DEFORMACIÓN ELÁSTICA ó ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Se considera que los cuerpos sólidos en la mecánica de materiales están formados por materia que consiste de partículas denominadas puntos materiales y cuyo conjunto constituye la configuración del cuerpo – elemento. Se dice que el cuer cuerpo po – elem elemen ento to exper xperim imen enta ta una una defo deform rmac ació ión n cuan cuando do camb cambia ia su configu configuració ración, n, o sea cuando se desplaz desplazan an sus puntos materiale materialess (sufren (sufren un reacomodo).
Si se supo supone ne un sist sistem ema a de fuer fuerza zass apli aplica cado do a un cuer cuerpo po,, este este se deforma hasta que el sistema de fuerzas internas equilibra al sistema de fuerzas externas. Las fuerzas externas realizan un trabajo que se transforma y acumula en el cuerpo como energía interna, interna, esta energía (o trabajo interno) es el utilizado por el cuerpo para recuperar su forma cuando cesa la acción del sistema de fuerzas externas. Si el cuerpo recupera exactamente su forma inicial se dice que es un cuerpo perfectamente elástico, e indica que el trabajo de las fuerzas exter externas nas duran durante te la defor deformac mación ión del del cuerp cuerpo o se trans transfor forma mará rá total totalme mente nte en energía de deformación. (Se desprecia la pérdida de energía por cambio de temperatura del cuerpo, por ser cantidad pequeña). Considerándose una barra elástica de sección transversal A y longitud L, sujeta a una carga axial P, aplicada gradualmente, como se muestra en la figura 3.
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Sabemos:
El trabajo externo desarrollado en contra de las fuerzas internas del sistema es:
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ENERGÍA DE DEFORMACIÓN El trabajo de la deformación elástica corresponde al área sombreada del triángulo mostrado, es decir, está representado por el área bajo la recta. En el caso de la elasticidad no lineal, la energía de deformación es el área bajo la curva.
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN EN BARRAS
CASO I: Debido al esfuerzo normal
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Como:
(2) en (1):
(A.L) = Representa un volumen que se puede considerar unitario, obteniéndose el llamado TRABAJO ESPECÍFICO DE DEFORMACIÓN , es decir, la energía de deformación almacenada en la unidad de volumen.
Como:
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De la energía especifica de deformación:
(3) en (4):
A. EFECTO DE FUERZA NORMAL
en (5):
Como N, E, A son constantes en una sección transversal. Además:
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En (6):
B. EFECTO DE MOMENTO FLEXIONANTE
En (5)
Como M, E, I son constantes en una sección y Además:
En (7)
CASO II: Debido al esfuerzo cortante
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Sabemos:
Considerando: dx.dy.dz = 1, volumen unitario, se obtiene el TRABAJO ESPECÍFICO DE DEFORMACIÓN debido a esfuerzo de corte.
ENERGÍA ESPECÍFICA DE DEFORMACION DEBIDA A ESFUERZO DE CORTE
Como:
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De la energía específica de deformación:
(4) en (5):
A. EFECTO DE FUERZA CORTANTE
En (6)
Como: V, G, A son constantes y además:
(*) Factor o coeficiente de forma (solo depende de la forma de la sección transversal)
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En (7)
K = 1.2, Para secciones rectangulares y triangulares K = 10/9, Para secciones circulares.
(*) TRABAJO DE DEFORMACIÓN POR FUERZA CORTANTE
B. EFECTO DE MOMENTO TORSIONANTE
Considerando sección circular:
En (6)
Como:
son constantes y además:
En (8)
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(*)TRABAJO DE DEFORMACIÓN POR MOMENTO TORSIONANTE
Aplicando el Principio de Superposición de Causas y Efectos a fin de considerarse los 4 efectos simultáneamente en a barra; además como un sistema estructural esta compuesto de varios elementos Aplicando la sumatoria, se obtiene la energía interna a trabajo interno debido a la deformación elástica.
En donde: El trabajo de la deformación elástica debido a: -
FUERZA AXIAL (Tracción o Compresión):
-
MOMENTO FLEXIONANTE:
-
MOMENTO TORSOR:
FACTOR DE FORMA “K”
El coeficiente de forma o factor de forma “K” de la sección transversal de un elementos, esta dado por la siguiente expresión:
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En donde: Q = A.d ; Momento elástico I = Momento de Inercia t = Ancho de la sección A = Área de la sección K = 6/5 = 1.2
: Para secciones rectangulares
K = 10/9 : Para secciones circulares
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K=1
: Para secciones I
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PROBLEMAS DE APLICACIÓN
PROBLEMA Nº 01 Determinar el trabajo de la deformación elástica de la viga en cantiléver
SOLUCIÓN:
En esta estructura se presentan los efectos de flexión y corte, por lo tanto:
1. Cálculo de las fuerzas internas TRAMO AB:
2. Cálculo de la “
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PROBLEMA Nº 02 Calcular el trabajo de la deformación elástica para la viga de sección constante.
SOLUCIÓN:
1. Cálculo de las fuerzas internas
TRAMO AB:
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TRAMO CB:
2. Cálculo de la “
:
En (1):
PROBLEMA Nº 03 Encontrar el trabajo de la deformación elástica por todo concepto de la estructura en arco de circunferencia. La sección es única y tiene radio (r = 0.05R), usar G=0.4E
SOLUCIÓN
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TRAMO BA:
Además:
En (1):
A.
OJO:
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B.
OJO:
C.
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OJO:
Reemplazando las expresiones encontradas:
PORCENTAJE DE PARTICIPACIÓN:
La influencia del cortante y del normal son insignificantes en relación a la flexión, por consiguiente se pueden despreciar.
PROBLEMA Nº 04 Para la estructura que se muestra, hecha de una varilla maciza de diámetro (d =0.1a), siendo G = 2 E/S, determinar el trabajo de la deformación elástica considerando todos los efectos.
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SOLUCIÓN:
1. Cálculo de las fuerzas internas:
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TRAMO AB:
Plano: XZ TRAMO BC:
TRAMO CD:
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2. Cálculo de la energía interna
POR FLEXIÓN:
POR CORTE:
POR CARGA AXIAL:
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POR TORSIÓN:
PORCENTAJE DE PARTICIPACIÓN:
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PROBLEMA Nº 05 Hallar:
SOLUCIÓN:
TRAMO AB:
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PROBLEMA Nº 06 Considerando solo el efecto de flexión (EI=cte), calcular la energía de deformación elástica acumulada en la estructura.
SOLUCIÓN:
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1. Reacciones:
2. Acciones Internas
TRAMO AB:
TRAMO CB:
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3. Energía de deformación
PROBLEMA Nº 07 La barra ABC de sección circular esta doblada según la recta AB y el cuadrante de circunferencia BC, si esta fija en A y libre en C, hallar la Energía de Deformación Elástica al actuar una carga “P” en C, perpendicular al plano de la barra. Considerar los efectos de deformación por flexión y torsión (J = 2 I, G = 0.40 E).
SOLUCIÓN:
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TRAMO CB:
TRAMO BA:
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PROBLEMA Nº 08 Solo efectos de flexión EI = cte.
TRAMO DC:
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TRAMO CB:
TRAMO BA:
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