Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Examenul de bacalaureat naţional 2017 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Clasa a XI-a BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I 1. ( x + 2 ) + 2 x = 2 ⋅ 7 x=4 2. x + x = 2 ( m − 1) , x x = 2m 2 − 2m ⇒ x 2 + x 2 = −4m + 4 1 2 1 2 1 2
3.
(30 de puncte) 2p 3p
3p
x1 x2 1 2 + = 4 ⇔ − = 4 , deci m = − 2 x2 x1 m
2p
52 x = 53− x ⇔ 2 x = 3 − x x =1
3p 2p
4. Numărul submulțimilor cu 2 elemente ale mulțimii M este egal cu C 2 , deci sunt 45 de 10 cazuri posibile Numărul submulțimilor cu 2 elemente ale mulțimii M , care conțin elementul 10, este egal cu 9, deci sunt 9 cazuri favorabile nr. cazuri favorabile 9 1 p= = = nr. cazuri posibile 45 5 5. m AB = 2 , mBC = a − 3 m AB = mBC ⇔ a = 5
6.
1p 2p 3p 3p 2p
(30 de puncte) 3p
= 4 −1 = 3
x +1 det ( A ( x ) ) = 2 x −1 2
2p x −1 2 2 2 = x +1 − x −1 = x x + 1 2 2 2
2p
det ( A ( y ) ) = y și det ( A ( xy ) ) = xy , deci det ( A ( x ) ) ⋅ det ( A ( y ) ) = det ( A ( xy ) ) , pentru orice
numere reale x și y
c)
2p
2
2 2 1 π 2 + cos x = 1 și, cum x ∈ , π , obținem cos x = − 3 3 2 1 tg x = − , deci 2 2 tg x + 1 = 0 2 2 SUBIECTUL al II-lea 1.a) 2 1 2 1 A ( 3) = = ⇒ det ( A ( 3) ) = 1 2 1 2
b)
2p
n (n + 3) n (n − 1) 2 4 ⇒ det ( A(1) + A (2) + … + A(n)) = n (n + 1) = A (1) + A( 2) + … + A (n) = 4 2 n ( n − 1) n (n + 3) 4 4 n ( n + 1) = n⋅ = n (1 + 2 + … + n ) = n det ( A (1) ) + det ( A ( 2 ) ) + … + det ( A ( n ) ) , pentru orice 2 număr natural nenul n
(
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 2
)
3p
3p
2p
Simulare pentru clasa a XI-a
Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
2.a)
1 −1 3 − 0 A− B = = 0 − 2 8 −1 0 3 = −2 7
3p 2p
2 3 0 0 ⋅ = 0 9 2 0 6 0 1 0 = = 6 18 0 3 0 c) a b Pentru X = , cu a , b , c și d numere reale, X ⋅ A = A ⋅ X ⇒ c = 0 și 3a + 7b = 3d c d
b)
( A + I2 ) ⋅ ( B − I2 ) =
a 0 X ⋅ B = B ⋅ X ⇒ b = 0 și a = d , deci X = = aI 2 și obținem X ⋅ Y = aY = Y ⋅ X , pentru 0 a orice Y ∈ M2 ( ℝ )
2p 3p 2p
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 2 1.a) x + 7x + 6 3p lim f ( x ) = lim = lim ( x + 6 ) = x → −1 x → −1 x → −1 x +1 =5 2p b) f ( x) y = x + 2 este asimptotă oblică spre +∞ la graficul funcției f ⇔ lim = 1 și x → +∞ x 2p lim
( f ( x) − x) = 2
lim
( a − 1) x + 6 = 2 ⇔ a = 3
x → +∞
x → +∞
c)
3p
x +1
a 6 x 1 + + 2 x + ax + 6 x x lim f ( x ) = lim = lim = 1 x → +∞ x → +∞ x → +∞ x +1 1+ x = +∞ , deci, oricare ar fi numărul real a , funcția f nu admite asimptotă orizontală spre +∞ 2
2.a)
2mx lim f ( x ) = lim = −m , x →−2 x →−2 2 − x x <−2
x <−2
lim f ( x ) = lim ( 2 x + 4 − m ) = −m și
x →−2 x >−2
x →−2 x >−2
2p
3p
f ( −2 ) = −m , deci
3p
funcția f este continuă în x = −2 , pentru orice număr real m Cum, pentru orice număr real m , funcția f este continuă pe ( −∞, − 2 ) și pe ( −2, +∞ ) , obținem că f este continuă pe ℝ , pentru orice număr real m
b)
2x = 0 ⇔ x = 0 ∉ ( −∞, −2 ) 2− x 3 Pentru x ∈ [ −2, +∞ ) , f ( x ) = 0 ⇔ 2 x + 3 = 0 ⇔ x = − ∈ [ −2, +∞ ) 2 c) 2mx lim f ( x ) = lim = −2m x → −∞ x → −∞ 2 − x Pentru x ∈ ( −∞, −2 ) , f ( x ) = 0 ⇔
Cum lim
x → +∞
( f ( x ) − 2 x ) = x→lim+∞ ( 2 x + 4 − m − 2 x ) = 4 − m , obținem m = −4
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 2 din 2
2p 3p 2p 2p 3p
Simulare pentru clasa a XI-a
