Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Examenul de bacalaureat naţional 2017 Proba E. c) Matematică M_mate-info Clasa a XI-a BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I 1. 2.
(30 de puncte)
z ⋅ z − z − z = ( 4 − i )( 4 + i ) − ( 4 − i ) − ( 4 + i ) =
2p
= 42 − i 2 − 8 = 9
3p
(
)
∆ = ( 2m + 1) − 4 m2 − m + 2 = 8m − 7 2
2p
Axa Ox este tangentă graficului funcției f ⇔ ∆ = 0 ⇔ 8m − 7 = 0 ⇔ m =
3.
7 8
3p
3 + log5 5 + log 5 x = 5 ⇒ ( log 5 x − 1)( log 5 x − 3) = 0 log 5 x x = 5 sau x = 125 , care verifică ecuația 4. Sunt 900 de numere naturale de trei cifre, deci numărul cazurilor posibile este egal cu 900 Numerele naturale de trei cifre, care sunt multipli de 11, sunt 10 ⋅ 11, 11 ⋅ 11, …, 90 ⋅ 11 , deci numărul cazurilor favorabile este egal cu 81 nr. cazuri favorabile 81 9 p= = = nr. cazuri posibile 900 100 5. 1 1 1 BN = BA + BM = BA + BC = 2 2 4 1 1 3 1 = BA + BA + AC = − AB + AC 2 4 4 4 6. sin 2 x + 6sin x cos y + 9cos 2 y + cos 2 x − 6cos x sin y + 9sin 2 y = 10 ⇔ 6sin ( x − y ) = 0 3log x 5 + log5 ( 5 x ) = 5 ⇒
(
)
(
)
π π π x, y ∈ 0, ⇒ x − y ∈ − , , deci obținem x − y = 0 , adică x = y 2 2 2
2p 2p 2p 1p 2p 3p 3p 2p
SUBIECTUL al II-lea 1.a)
3p
(30 de puncte)
1 1 1 ∆ ( 0, 2 ) = 1 3 2 =
2p
0 6 2 = 6 + 6 + 0 − 0 − 2 − 12 = −2
b)
0 ∆ ( x, y ) =
0
x −1 x + x−2 2
= ( x − 1)( y − 1)
1 x+2
y −1
3p 1 2=
y + y−2 2 2
0 x −1 ( x − 1)( x + 2 )
0
1
y −1 2= ( y − 1)( y + 2 ) 2
3p
1 = ( x − 1)( y − 1)( y − x ) , pentru orice numere reale x și y y+2
Probă scrisă la matematică M_mate-info Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 3
2p
Simulare pentru clasa a XI-a
Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
c)
1
1
∆ ( m, n ) = m + 1
1
n +1
1
2=
m2 + m n2 + n 2
1
1
m +1 n +1 2 m ( m + 1) n ( n + 1) 2
1p
Cum numerele m și n sunt întregi, numerele m ( m + 1) și n ( n + 1) sunt divizibile cu 2, deci
există numerele întregi k și l astfel încât m ( m + 1) = 2k și n ( n + 1) = 2l
1 1 1 1 1 1 ∆ ( m, n ) = m + 1 n + 1 2 = 2 m + 1 n + 1 2 , deci numărul ∆ ( m, n ) este divizibil cu 2 2k
2.a)
b)
2l
2
0 0 −1 A(0) = 0 1 0 , −1 0 0 2 0 A ( 0) + A ( 2) = 0 2 0 0
l
2p
3p
0 a − 1 b 0 b − 1 2ab − a − b + 1 0 2ab − a − b a A( a ) A(b) = 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 = a −1 0 a b − 1 0 b 2ab − a − b 0 2ab − a − b + 1
1 A A( a ) = 2
2p
1
2 0 1 A ( 2) = 0 1 0 1 0 2 0 0 2
0 2ab − a − b + 1 = 0 1 ( 2ab − a − b + 1) − 1 0 reale a și b
c)
k
2p
3p
( 2ab − a − b + 1) − 1 0 2ab − a − b + 1
1 1 A 2 ⋅ ⋅ a − − a + 1 = 2 2
= A ( 2ab − a − b + 1) , pentru orice numere
1 A , pentru a număr real 2
2p
2p
1 3 5 2017 1 3 5 2017 A A A ⋅… ⋅ A = A A A ⋅… ⋅ A = 2 2 2 2 2 2 2 2
3p
1 5 2017 1 2017 1 = A A ⋅… ⋅ A = … = A A = A 2 2 2 2 2 2
SUBIECTUL al III-lea 1.a)
f ( x) =
(30 de puncte)
x3 + 3 x 2 + 3 x + 1 − x3 x3 ( x + 1)
3
( x + 1)3 − x3 = = 3 x3 ( x + 1)
( x + 1)3 x3 1 1 , = − = 3− 3 3 3 3 x x ( x + 1) x ( x + 1) ( x + 1)3 b)
3p
x ∈ ( 0, +∞ )
2p
1 1 =0 lim f ( x ) = lim 3 − 3 x → +∞ x → +∞ x x + 1 ( ) Dreapta de ecuație y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcției f
Probă scrisă la matematică M_mate-info Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 3
3p 2p
Simulare pentru clasa a XI-a
Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
c)
( f (1) + f ( 2 ) + … + f ( n ) ) = n→lim+ ∞ 13 − n→ + ∞ lim
1
1 23
+
1 23
−
1 33
+… +
( n+1) −1 −1 = lim 1 + 3 n→ + ∞ n + 1) (
3
2n f (1) + f ( 2 ) + … + f ( n ) ) ( n→ + ∞
lim
lim
=e
2.a)
n→ + ∞
n3
−
=1 ( n + 1)3 1
1p
−2 n 3
( n +1)3 =
2p
−2 n3
( n+1)3 = 1 e2
2p
a 3 1 x3 1 + − 2 + 3 f ( x) x + 3x − x + a x x x = lim = lim = lim 3 3 x → −∞ x x → −∞ x → −∞ x x3 a 3 1 = lim 1 + − 2 + 3 = 1 x → −∞ x x x f este continuă în x = 0 ⇔ lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( 0 ) 3
b)
3
1
2
x →0 x <0
(
x →0 x >0
)
lim f ( x ) = lim x + 3 x − x + a = a , lim f ( x ) = lim
x→ 0 x <0
x→ 0 x <0
3
2
x→ 0 x >0
e4 x − 1
x → 0 e3 x x >0
−1
3p
2p 1p
( e + 1)( e = lim x
x→ 0 x >0
e
2x
2x
)=4 ,
+1
+ e +1 x
3
3p
f (0) = a
4 3 c) Pentru a ∈ ( −6, −3) , avem f ( −3) = 3 + a < 0 , f ( −1) = 3 + a < 0 și f ( −2 ) = 6 + a > 0 a=
Funcția f este continuă pe ( −∞,0 ) , deci ecuația f ( x ) = 0 are cel puțin o soluție reală în intervalul ( −3, −2 ) și cel puțin o soluție reală în intervalul ( −2, −1)
Probă scrisă la matematică M_mate-info Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 3 din 3
1p 3p 2p
Simulare pentru clasa a XI-a