Pr ogr amaci ón l i n eal eal : aná an ál i si s paramé par amé tr i co
1.4
Análisis de sensibilidad y paramétrico
Análisis de sensibilidad
Determinación de qué tan sensible es la solución óptima y el valor de la función objetivo con respecto a cambios en los datos del problema. En el análisis de sensibilidad definiremos definiremos dos do s casos: variacio nes en los coeficientes coefic ientes de la la A. Cuando existen variaciones función objetivo. B. Cuando existen variaciones variaciones en los valores valores del término término independiente independiente de las restricciones. restricciones. A. Análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo
Aquí determinaremos que ocurre con la solución óptima y el valor de la solución objetivo cuando se modifica un coeficiente de la función objetivo. Como ejemplo empezaremos con el análisis de sensibilidad del coeficiente de la función objetivo para 1 .
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I nvesti nvesti gaci gaci ón de oper oper aciones acion es I – gu gu ía p prr ácti ca
Dado el modelo matemático:
= 3
1
+5
Sujeto a: 2 1+ 2 1 +2 2 120 2 0
≤ 230 ≤ 250 ≤ ≥
2
: : :
1 2 3
Resolvemos el problema como ya lo vimos en ejercicios anteriores y graficamos el modelo como se aprecia en el gráfico número cuatro.
(4) (1)
D
E
(3) C
(2) A
B (5) (Gráfico Nº 4)
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Pr ogr amaci ón lineal: análisis paramé tr ico
Como los puntos A, B, C, D y E son los extremos del área convexa factible, y son los puntos que nos dará la solución al problema, entonces resumimos dichos resultados en la siguiente tabla: Puntos extremos A B C D E
0 115 70 10 0
0 0 90 120 120
1
Función objetivo
2
0 345 660 630 600
De la cual podemos apreciar que el punto C(70,90) permite maximizar la función objetivo a 660, por lo cual es la solución al modelo; sin embargo, debido a una competencia reciente en el mercado, la gerencia ha decidido disminuir el precio de venta de la variable 1 .
La pregunta es: ¿Qué sucede con la solución óptima anterior cuando el valor de 3 disminuye a 2,75? Una forma de contestar esta pregunta es resolver el problema después de cambiar el coeficiente de 1 en la función objetivo a 2,75; sin embargo, el análisis de sensibilidad nos permite responder esta y otras preguntas relacionadas, sin tener que resolver el problema cada vez que se hace una variación de este tipo en los coeficientes de la función económica.
Por lo tanto representamos nuestra función objetivo de la siguiente manera:
=
1
+5
2
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I nvesti gación de operaciones I – guía práctica
Analizando el gráfico de nuestra región factible, podemos determinar que la solución óptima está determinado por la intersección de la restricción uno ( 1 )y la restricción dos( 2 ), por tanto cuando la variable disminuye la pendiente de la función económica varía en sentido anti horario, por lo cual no podrá pasar la pendiente de ( 2 ) para mantener como solución óptima el punto C. “
”
Matemáticamente tenemos que hallar el valor mínimo que puede adoptar la variable“ ” para que no cambie el punto factible C. Esto lo hacemos a partir de sus pendientes.
Pendiente de la restricción dos = Pendiente de la función objetivo =
5
1 2
Igualando las dos pendientes obtenemos:
= , de donde deducimos que = 5
1
5
2
2
= 2,5
Esto significa que mientras el coeficiente de 1 no disminuya su valor original de 3 a menos de 2,5; la solución óptima actual sigue siendo óptima; pero, el valor de la función objetiva cambia. De la misma forma podemos calcular el máximo valor que puede adquirir nuestra variable“ ” igualando las pendientes, esta vez con 1 , dado que es el límite máximo de rotación para mantener nuestra solución óptima en el punto C.
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Pr ogr amaci ón lineal: análisis paramé tr ico
Igualando las dos pendientes obtenemos:
= , despejando se obtiene que = 10 2
5
1
Ahora sí podemos responder a la pregunta formulada anteriormente, que si cambiamos el valor del coeficiente de 1 de 3 a 2,75, la solución óptima seguirá siendo el punto C(70,90), dado que la variación a 2,75 está dentro del intervalo de 2,5 a 10.
Ahora calculamos el nuevo valor de la función económica:
= 2,75 + 5 = 642,50 1
2
= 2,75 70 + 5 90
Por lo cual el margen de ganancia disminuye de = 642,50.
= 660 a
En resumen, mientras un coeficiente de la función objetivo varía dentro del intervalo de sensibilidad (y los demás coeficientes no cambien), la solución óptima actual sigue siendo la misma; sin embargo, el valor óptimo de la función objetivo cambia. Como extensión verifique que el rango de variación del coeficiente de la variable 2 es de 1,5 a 6para que la solución óptima (punto C) no varíe.
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I nvesti gación de operaciones I – guía práctica
B. Análisis de sensibilidad de los valores del lado derecho
¿Qué le sucede al valor óptimo de la función objetivo de un programa lineal cuando uno de los valores del lado derecho de una restricción se modifica y los otros datos del problema permanecen inalterados? Análisis de sensibilidad (Lado derecho): restricción uno
Dada la restricción uno: 2
+ ≤ 230 1
2
Observamos que cuando el valor del lado derecho varía la gráfica de dicha restricción se acerca o aleja en forma paralela a su estado original, esto es que la pendiente de la restricción no cambia como se aprecia en el gráfico Nº 5.
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Pr ogr amaci ón lineal: análisis paramé tr ico
1
D
2
(Gráfico Nº 5)
Por lo cual debemos percatarnos que dicha recta en intersección con la restricción dos, forman parte de la solución óptima del problema. Mientras esa línea no se mueva demasiado, por ejemplo, cuando el valor se incrementa de 230 a 300, la solución óptima permanece en la intersección de esas dos líneas correspondientes a las restricciones uno y dos; sin embargo, cuando ese valor se excede de 500 (por ejemplo, 600) la solución óptima se ve determinada por la intersección de las dos líneas correspondientes a 2 y el eje de coordenadas 1 (condición de no negatividad) en vez de 1 y 2 .
Para ver hasta cuánto puede incrementarse el valor del lado derecho de 1 , antes de que otras restricciones determinen la
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I nvesti gación de operaciones I – guía práctica
solución óptima, reemplazamos el valor del término independiente de 1 por una variable “ ”:
2
+ 1
2
=
En el gráfico Nº 5 vemos que “ ” puede incrementarse hasta llegar al punto M(250,0), por lo que se convierte en un límite en su trayectoria.
2 250 + (0) = = 500
Esto significa que mientras “ ” no se incrementa por encima de 500, la solución queda determinada por la intersección de esta restricción con la restricción dos.
Ahora, considere lo que ocurre cuando el lado derecho de 1 disminuye de su valor actual de 230. La línea correspondiente a 1 ahora se mueve paralelamente en si misma pero en la dirección opuesta hasta llegar como mínimo al punto D(10,120), la cual constituye el límite de desplazamiento de la restricción uno.
Al igual que el extremo superior calculamos el extremo inferior en función del punto D(10,120) por lo tanto:
2 1+ 2= 2 10 + 120 = = 140
De los cálculos anteriores puede concluirse que, si no cambian otros datos del problema, entonces, mientras el valor del lado derecho de 1 permanece dentro del intervalo de 140 a 500, la solución óptima cae en la intersección de las dos líneas
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Pr ogr amaci ón lineal: análisis paramé tr ico
correspondientes a las restricciones 1 y 2 ; sin embargo, incluso dentro de este intervalo, los valores específicos de las variables en la solución óptima cambian. Ahora: ¿Qué sucede con el valor de la función objetivo al cambiar el valor del lado derecho de 1 ?
Si sabemos que la solución óptima está dada por 1 y 2 en el punto C(70,90) y =660 con un valor de 230 en el lado derecho.
= 3
1
Sujeto a: 2 1+ 2 1 +2 2 120 2 0
+5
2
≤ 230 ∶ ≤ 250 ∶ ≤ ∶ ≥
1 2
3
Ahora si el valor del lado derecho varía en 140 tendríamos que resolver el sistema de ecuaciones de 1 y 2 con el nuevo valor donde el nuevo punto óptimo sería (10,120), por lo cual si reemplazamos estos valores a la función objetivo obtenemos =630.
De la misma forma calculamos otras variaciones del lado derecho de 1 , las cuales los resumimos en el siguiente cuadro:
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I nvesti gación de operaciones I – guía práctica
Valor del lado derecho (LD) 140
200 230 300 500
Solución óptima
1 1 1 1 1
=10 = 50 = 70 = 350/3 = 250
2 2 2 2 2
= 120 = 100 = 90 = 200/3 =0
Valor de la función objetivo
630 650 660 683 750
Si graficamos el valor del lado derecho en relación al valor de la función objetivo obtenemos:
(Gráfico Nº 6)
Verificaremos que al incrementarse de 140 hasta 500, el valor de la función objetivo en la solución óptima se incrementa de manera lineal. La pendiente de esa línea se calcula usando cualesquiera dos puntos del cuadro anterior. 44
Pr ogr amaci ón lineal: análisis paramé tr ico
Por geometría sabemos que la pendiente de dos puntos 1 ( 1 , 1 ) y 2 ( 2 , 2 )está dada por la siguiente ecuación:
= − − 2
1
2
1
En nuestro caso escogemos dos puntos cualesquiera del cuadro anterior. Por ejemplo: Punto A(140,630) y punto B(200,650).
− 630 = 1 = 650 200 − 140 3 Esto significa que por el incremento de una unidad del valor actual del lado derecho de 1 , el margen de ganancia se incrementa en 1 3. En otras palabras, la pendiente de 1 3 refleja el valor de este recurso y se denomina: precio sombra, o precio Dual, del recurso.
Precio Sombra (Dual): cantidad de cambio sumada o restada al valor de la función objetivo por unidad de incremento o decremento, en el valor del lado derecho dentro del intervalo de factibilidad.
A través del precio sombra podemos calcular directamente la variación de cambio de la función objetivo, siempre en cuando dicha variación este dentro del intervalo de sensibilidad de dicha restricción.
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I nvesti gación de operaciones I – guía práctica
Ejemplo: ¿Qué sucede con la función objetivo si el valor del lado derecho de 1 cambia a 250?
Como sabemos que el precio sombra vale 1 3 y la variación del lado derecho es de 230 a 250, es decir una variación de 20 (incremento).
Por lo tanto = 660 + obtenemos: = 666,6666.
∗ (20) del
cual
Observe también que si la variación es por debajo de 230, por ejemplo a 200, entonces = 660 x (30); es decir, = 650 como se puede verificar en nuestra tabla anterior.
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−
Pr ogr amaci ón lineal: análisis paramé tr ico
Análisis de sensibilidad (lado derecho): restricción dos
Como vemos en la gráfica R 2 puede desplazarse de manera paralela mínimamente hasta el punto B(115,0) y máximo hasta el punto G(55,120) como se aprecia en el gráfico Nº7.
1
2
(Gráfico Nº 7)
Por lo cual calculamos el intervalo de considerando la restricción R 2 : 1 + 2 2 250.
≤ ecuación + 2
sensibilidad
Reemplazando en la 1 2 = 2 el punto (115,0) obtenemos que el mínimo valor que puede adoptar b2 es 115; y el máximo desplazamiento de R 2 esta limitado por el punto (55,120) reemplazando en la ecuación 1 + 2 2 = 2 obtenemos el máximo valor de 2 = 295.
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I nvesti gación de operaciones I – guía práctica
En resumen el intervalo de sensibilidad de R 2 es de 115 a 295. Usando la misma lógica de variación del lado derecho verificamos que: Valor del lado derecho (LD)
115 295
Solución óptima
1 1
= 115 = 55
2 2
Valor de la función objetivo
=0 =120
345 765
Del cual calculamos el precio sombra:
− 345 420 7 = 295 − 115 = 180 = 3 765
Por lo que la pendiente o precio sombra o precio dual es 7 3 Lo que significa que por cada hora adicional por encima del valor actual se incrementa en 7/3=2,33 unidades monetarias. De manera similar por cada recorte se pierde 2,33 unidades monetarias en el margen de ganancia.
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Pr ogr amaci ón lineal: análisis paramé tr ico
Análisis de sensibilidad (lado derecho): restricción tres
R 1
R 3
C R 2
(Gráfico Nº 8)
Como podrá observar en el gráfico Nº 8 la restricción tres no es parte de la solución, por lo cual se puede aproximarse sin alterar la solución inicial hasta el punto C(70,90) y podrá alejarse hasta el infinito, dado que no importa cuánto aumente no altera la solución inicial óptima. Si sabemos que
esta dado por: ≤ 120. 3
2
De donde transformamos dicha inecuación en ecuación: 2 = 3 y reemplazando el valor del punto C obtenemos que 3 = 90.
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I nvesti gación de operaciones I – guía práctica
Por tanto el intervalo de sensibilidad de infinito.
es de 90 hasta el 3
Precio sombra: Se podrán verificar que 3 al no ser parte de la solución, no influye en la solución; por lo cual, si variamos 3 dentro de su intervalo de sensibilidad, su precio sombra vale cero.
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Pr ogr amaci ón lineal: análisis paramé tr ico
Análisis paramétrico de los valores del lado derecho
Con el análisis de sensibilidad, estábamos equipados para responder ciertas preguntas del tipo: ¿Qué sucede si …?, siempre en cuando los cambios en los coeficientes estén dentro del intervalo de sensibilidad; sin embargo, ¿qué sucede si esos cambios están fuera del intervalo? Pregunta 1: ¿Qué sucede al margen de ganancia óptimo si el valor del lado derecho de la restricción uno disminuye en su valor actual de 230 a 110? Pregunta 2: ¿Qué sucede al margen de ganancia óptimo si el valor del lado derecho de la restricción dos se incrementan en su valor actual de 250 a 360?
Observe que el nuevo valor de 120 en la pregunta unoestá fuera del intervalo de sensibilidad de 140 a 500, calculado para la restricción uno. De manera similar, el nuevo valor de 360 para la pregunta dos está fuera del intervalo de sensibilidad de 115 a 295 para la restricción dos. Para responder preguntas relativas a las preguntas a los valores fuera del intervalo de sensibilidad, se utiliza la técnica del análisis paramétrico a fin de calcular como cambia el valor óptimo de la función objetivo con cualquier cambio correspondiente a cualquier valor de una restricción en particular. Análisis paramétrico: Determinación de cómo cambia el valor óptimo de la función objetiva en cualquier cambio correspondiente a los valores de una restricción en particular.
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I nvesti gación de operaciones I – guía práctica
Decremento por debajo del intervalo de sensibilidad
Para responder a la primera pregunta, recuerde que al disminuir el valor del lado derecho de la restricción uno, la línea de esa restricción se mueve paralelamente en si misma (en este caso hacia el origen). La solución óptima de esta restricción está determinada por la intersección de las restricciones uno y dos, por lo cual el valor de la restricción no puede bajar más de 140, y el precio sombra correspondiente a 1/3 refleja cómo cambia el valor óptimo de la función objetivo dentro de ese intervalo. Para un valor por debajo de 140, puede verse que en el gráfico Nº 8 que la solución óptima queda determinado por la intersección de las líneas correspondientes a las restricciones uno y tres en vez de las restricciones uno y dos. Por tanto el precio sombra cambia en el puntoD(10,120) . Su nuevo valor se obtiene usando técnicas discutidas en la parte inicial de este capítulo, sin embargo, explicaremos de manera resumida el proceso:
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Pr ogr amaci ón lineal: análisis paramé tr ico
R 4
R 1
E
R 3
G
D
C R 2
M
B
A
R 5
(Gráfico Nº 9)
Lo primero que tenemos que hacer es visualizar el punto mínimo y máximo del nuevo intervalo, que queda determinado por los puntos E(0,120) y D(10,120). Calculamos el mínimo valor en el punto E(0,120), el cual reemplazamos a nuestra restricción:
:2 + ≤ 230 2 + = 1
1
1
2
2
1
De la cual obtenemos que
1
= 120.
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I nvesti gación de operaciones I – guía práctica
Si sabemos que el intervalo de sensibilidad anterior en los puntos M(250,0) y D(10,120) es de 140 a 500, por lo cual el máximo valor del intervalo es 140. Por lo tanto el nuevo intervalo es de 120 a 140. Precio sombra: Considerando el modelo matemático planteado, vemos que la nueva solución está entre 1 y 3 por lo cual al resolver el sistema de ecuaciones:
+ ≤ 120 ∶ ≤ 120 ∶ Se obtiene: = 0, = 120 de donde = 600. 2
1
2
1
2
3
1
2
De la misma forma para una variación del lado derecho de = 630. 1 a 140se obtiene: 1 = 10, 2 = 120 de donde
Valor del lado derecho 120 140
Solución óptima
1 1
=0 = 10
2 2
= 120 = 120
Valor de la función objetivo 600 630
Del cual calculamos el precio sombra:
− 600 = 30 = 3 = 1,5 = 630 140 − 120 20 2 De la cual podemos deducir que el nuevo precio sombra de 1,5es aplicable para todos los valores dentro del intervalo de sensibilidad de 1 en el intervalo de 120 a 140.
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Pr ogr amaci ón lineal: análisis paramé tr ico
Ejemplo: ¿Qué sucede con el valor de la función económica si el valor del lado derecho cambia a 125? Respuesta: Como el valor esta, dentro del intervalo de sensibilidad de 120 a 140, y cuyo precio sombra es 1,5; además, se verifica que, el valor de la restricción uno disminuye en 15 por debajo de 140 (Punto donde existe el cambio de pendiente), por lo cual el nuevo valor de la función objetivo es:
=(ganancia en 140) – (precio sombra) x (número de horas por debajo de 140) = 630-1,5 x 15 =607,50 Ahora continuamos con el análisis paramétrico para valores del lado derecho de 1 que estén por debajo del intervalo de 120 a 140.
El cálculo es de manera similar al anterior, si el valor del lado derecho de la restricción uno se reduce por debajo de 120, pero se mantiene por encima de 0, la solución óptima se ve determinada por las restricciones uno y cuatro en reemplazo de las restricciones uno y tres como se ve en el gráfico Nº 10. El precio sombra para el intervalo de 0 a 10 es 5.
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I nvesti gación de operaciones I – guía práctica
Incremento por encima del intervalo de sensibilidad
R 1
R 3
R 2 R 5
(Gráfico Nº 10)
Ahora mientras el valor de la restricción uno no se incremente por encima de 500, la solución óptima se ve determinada por las restricciones uno y dos; y el precio sombra de este intervalo era de 1/3; pero para cualquier valor superior a 500, la solución óptima, queda determinada por las restricciones dos y cinco, donde 1 deja de ser parte de la solución al modelo como podemos ver en el gráfico Nº 10.
El nuevo precio sombra para este intervalo es 0, porque la pendiente de una línea horizontal es 0. Esto significa que no tiene sentido incrementar más de 500 en dicha restricción, puesto que no se genera ninguna ganancia adicional. 56
Pr ogr amaci ón lineal: análisis paramé tr ico
Para responder a nuestra pregunta inicial: ¿qué sucede con el valor de la función objetivo si el valor de la restricción uno disminuye de 230 a 110? Verificamos que el valor de 110 se encuentra dentro del intervalo de sensibilidad paramétrico de 0 a 120, de donde su precio sombra es 5. Por lo que hacemos el siguiente cálculo:
=(Ganancia en 120)- (precio sombra) x (número por debajo de 120) =600-5 x (120-110) =550 Por lo tanto el margen de ganancia "" disminuye a 550. Para responder a la pregunta Nº 2: ¿Qué sucede al margen de ganancia óptimo si el valor del lado derecho de la restricción dos se incrementa en su valor actual de 250 a 360? Hacemos un análisis similar de la restricción dos.
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I nvesti gación de operaciones I – guía práctica
Solución:
Sabemos que en el intervalo de sensibilidad para 2 donde calza 360es de 295 al infinito, desde el punto G(55,120) a más, como se aprecia en el gráfico Nº 9y el precio sombra asociado es cero. Por lo que procedemos a calcular el nuevo valor de la función objetivo
=(ganancia en 295) – (precio sombra) x (número de horas por encima de 295)
=765 + 0 x (360 – 295) =765.
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Trabajo de extensión
Pachachaca Citrus, Inc., tiene una máquina que opera 150 horas a la semana destilando jugo de naranja y de toronja en concentrados. La máquina puede destilar jugo de naranja a una tasa de 25 galones por hora en 17,5 galones de concentrado o 20 galones de jugo de toronja en 10 galones de concentrado. Hasta 1000 galones de cada concentrado pueden almacenarse en tanques separados después de su procesamiento. La ganancia neta por cada galón de jugo de naranja procesado es S/. 0,55 y del jugo de toronja es S/. 0,40. Resuelva el siguiente programa lineal para determinar el número de galones de jugo de naranja ( ) y de jugo de toronja ( ) por destilar para maximizar la ganancia neta.
= 0,55 + 0,4
Dependiendo de: 0,04 + 0,05 0,70 1000 0,50 1000 , 0
≤ ≤ ≥
≤ 150 ( á) ( )
1) Resuelva el problema gráficamente. ¿Cuál es el plan de producción semanal óptima y la ganancia total? 2) Determine gráficamente el intervalo de sensibilidad de cada coeficiente de la función objetivo 3) Determine gráficamente el intervalo de sensibilidad del valor del lado derecho. 59
I nvesti gación de operaciones I – guía práctica
4) Calcule el precio sobra asociado con cada intervalo de sensibilidad encontrado. Explique el significado del precio sombra en el contexto del problema. 5) ¿Qué sucede con la solución óptima y a la ganancia neta si el costo de procesamiento para cada galón de jugo de toronja baja en S/. 0,05?
60