Valor Esperado de Una v. a.

Introducción a la Probabilidad, los Procesos Estocásticos y la Estadística en Ingeniería

CAPÍTULO 4 Valor Esperado de una Variable Aleatoria

Contenido del Capítulo 4.1)

INTRODUCCIÓN.

4.2)

VALOR ESPERADO. 4.2.1) Definición. 4.2.2) Propiedades. 4.2.3) Ejemplos.

4.3)

VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR. 4.2.1) Definiciones. 4.2.2) Propiedades. 4.2.3) Ejemplos.

4.4)

VALOR ESPERADO CONDICIONAL.

4.5)

MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA.

4.6)

FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS.

4.7)

FUNCIÓN CARACTERÍSTICA.

4.8)

FUNCIÓN GENERADORA DE PROBABILIDADES.

4.9)

INECUACIÓN DE CHEVYSHEV.

4.10) PROBLEMAS PROPUESTOS.

Rafael Díaz

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4.1)

INTRODUCCIÓN. Las funciones de distribución y de densidad de una variable aleatoria permiten el cálculo de probabilidades asociadas a eventos descritos en términos de intervalos de números reales. Estas funciones encierran otras informaciones de mucho interés para entender aún más el significado de la relación establecida entre el espacio muestral del experimento y la correspondiente variable aleatoria y, en definitiva, explicar el carácter estocástico de los experimentos aleatorios. La base de estas nuevas informaciones es el concepto de valor esperado.

4.2)

VALOR ESPERADO. Cuando se realiza un experimento determinista el resultado del experimento es único en contraposición con un experimento aleatorio en el cual existen un intervalo de valores, según la variable aleatoria definida, donde es posible que ocurra cualquier resultado. En ocasiones, por simplicidad, se aproxima la forma de explicar un experimento aleatorio en términos de un experimento determinista pero con la dificultad de no tener argumentos suficientes para escoger el resultado único que se asociaría al experimento determinista. El conocimiento del concepto de valor esperado ayuda a eliminar la dificultad planteada. 4.2.1) Definición. Definición. Definición 4.1: 4.1: El valor esperado de una variable aleatoria es su valor medio.

♦♦ Notas: Notas: - El valor valor espe esperad radoo de una una variab variable le aleat aleatori oriaa se denot denotará ará por por E(X). E(X). Se colocará entre paréntesis el nombre de la variable aleatoria al que se le está calculando el valor esperado. - El valor valor esper esperado ado es un un número número.. Ese númer númeroo pertenec pertenecee al conjunto cuyos extremos son el mínimo valor y el máximo valor que toma la variable aleatoria. - El valor valor esperado esperado de una variable variable aleatori aleatoriaa se calcula calcula utilizando utilizando la Ecuación 4.1. - En el caso caso particu particular lar de una una variabl variablee aleatori aleatoriaa discre discreta ta la Ecuación 4.1 se simplifica como lo indica la Ecuación 4.2. - La Ecuaci Ecuación ón 4.2 indi indica ca que el valo valorr espera esperado do de una vari variable able discreta es el promedio ponderado de sus valores. ∞

∫

E ( X ) = xf X ( x )dx

(ec. 4.1)

−∞ ∞

∫

E ( X ) = xf X ( x)dx −∞

Rafael Díaz

∞

=

n  n  { } ( ) P X x x x dx xi P { X = xi } = δ − =  ∑ ∑ i i ∫ i =1  −∞  i =1

x

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(ec. 4.2)

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La estructura de la Ecuación 4.1 se presenta en otros contextos, como por ejemplo en Mecánica, donde la función de densidad de probabilidades tiene el sentido de la distribución de la masa a lo largo de un eje y el valor esperado se corresponde con el centro de esa masa. En el contexto de la teoría de probabilidades una variable aleatoria estará definida en un cierto intervalo cuyo “centro” es su valor esperado. En este sentido, se podría decir que el experimento aleatorio está definido alrededor del valor esperado y la ponderación de cada uno de los posibles resultados viene dada en términos del valor de la función de densidad correspondiente en cada punto. El concepto del valor esperado permite aglutinar en un número los aportes ponderados de cada uno de los posibles resultados del experimento. Ejemplo 4.1: 4.1: Sea el experimen experimento to de lanzar una moneda moneda para el cual se se define la la variable aleatoria Y dada por {Y : S → R / Y ( sello) = 0, Y (cara) = 1} . La asignación de probabilidades, en general, será P{Y = 1} = p, P{Y = 0} = 1 – p. Hallar el valor esperado de Y. Según la Ecuación 4.2 se tiene que E(Y) = 0xP{Y = 0}+1xP{Y = 1} = p. Note que el resultado no coincide con ninguno de los valores que puede tomar la variable Y, pero es un valor en el intervalo (0,1). ♦♦ Ejemplo 4.2: 4.2: Sea una variable variable aleatori aleatoriaa T cuya función función de densidad densidad de probabilidades viene dada por el resultado del Ejemplo 3.15. Hallar el valor esperado de T. Del Ejemplo 3.15 se concluyó que

 0, si t < 0  d  1 f T (t ) = F T (t ) =  , si 0 ≤ t ≤ T max dt T  max  0, si t > T max Según la Ecuación 4.1 se tiene que ∞

E (T ) =

∫

T max

tf T (t )dt =

−∞

t

∫ T 0

max

dt =

t 2

2T max

T max

= 0

T max

2

.

Note que el resultado es un valor en el intervalo (0, Tmax).

♦♦

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Definición 4.2: El valor esperado de una función g(x) de la variable aleatoria X es el valor medio de g(x). ♦♦ Notas: - El valor esperado de una función g(x) de la variable aleatoria X se denotará por E(g(X)). Se colocará entre paréntesis el nombre de la función a la que se le está calculando el valor esperado. - El valor esperado de una función es un número. Ese número pertenece al conjunto cuyos extremos son el mínimo valor y el máximo valor que toma esa función de la variable aleatoria. - El valor esperado de una función g(x) de la variable aleatoria X se calcula utilizando la Ecuación 4.3. ∞

∫

E ( g ( X )) = g ( x) f X ( x)dx

(ec. 4.3)

−∞

4.2.2) Propiedades. Las propiedades del valor esperado se desprenden de su definición como una integral y de las características particulares que tenga la función de densidad de probabilidades. Propiedad 4.2.2.1: El valor esperado de una variable aleatoria cuya función de densidad sea una función par vale cero. Si la función de densidad es una función par se debe cumplir que f X (x) = f X (-x), luego, a partir de la Ecuación 4.1 se puede escribir ∞

∞

0

∫

E ( X ) = xf X ( x)dx −∞

=

∫ xf ( x)dx + ∫ xf ( x)dx X

X

−∞

0

si se realiza el cambio de variable x = - x en la primera integral queda ∞

0

E ( X ) =

∫ (− x ) f (− x)(− dx ) + ∫ xf ( x)dx X

X

∞

0

utilizando ahora la propiedad de función par de f X (x) ∞

∫

∞

∫

E ( X ) = − xf X ( x)dx + xf X ( x )dx 0

=0

0

♦♦

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Propiedad 4.2.2.2: El valor esperado de una variable aleatoria cuya función de densidad es simétrica respecto a un valor m es igual a ese valor. Si la función de densidad es simétrica respecto a un valor m se debe cumplir que f X (m+x) = f X (m-x), luego, a partir de la Ecuación 4.1 se puede escribir ∞

∞

m

∫

E ( X ) = xf X ( x)dx

=

−∞

∫ xf ( x)dx + ∫ xf ( x)dx X

X

−∞

m

si se realiza el cambio de variable x = m - x en la primera integral y x = m + x en la segunda integral queda ∞

0

E ( X ) =

∫ (m − x ) f (m − x)(− dx ) + ∫ (m + x ) f (m + x)dx X

X

∞

0

utilizando ahora la propiedad de simetría de f X (x) y separando en varias integrales ∞

E ( X ) =

∞

∞

∫ mf ( x)dx − ∫ xf (m + x)dx + ∫ xf (m + x)dx = m X

X

−∞

X

0

0

♦♦ Propiedad 4.2.2.3: El valor esperado de una constante a es igual a esa constante. Sea la función g(x) = a, luego, a partir de la Ecuación 4.3 se puede escribir ∞

E (a) =

∞

∫ af ( x)dx = a ∫ f ( x)dx = a X

X

−∞

−∞

♦♦ Propiedad 4.2.2.4: El valor esperado de la función g(x) = bx donde b es una constante es igual a esa constante por el valor esperado de X. Sea la función g(x) = bx, luego, a partir de la Ecuación 4.3 se puede escribir ∞

E (bX ) =

∞

∫ bxf ( x)dx = b ∫ xf ( x)dx = bE ( X ) X

−∞

X

−∞

♦♦

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Propiedad 4.2.2.5: El valor esperado de la función g(x) = a + bx, donde a y b son constantes, es igual a (a + bE(X)). Sea la función g(x) = a + bx, luego, a partir de la Ecuación 4.3 y de las Propiedades 4.2.2.3 y 4.2.2.4, se puede escribir ∞

E (a + bX ) =

∞

∞

∫ (a + bx ) f ( x)dx = a ∫ f ( x)dx + b ∫ xf ( x)dx = a + bE ( X ) X

X

−∞

−∞

X

−∞

♦♦ Propiedad 4.2.2.6: El valor esperado de una variable aleatoria definida en un intervalo (a,b) puede expresarse en términos de la función de distribución  b  acumulativa de probabilidades como  b − ∫ F X ( x)dx  .  a  A partir de la Ecuación 4.1 e integrando por partes, se puede escribir b

∫

E ( X ) = xf X ( x )dx a

b

b

a

a

= xF X ( x) a − ∫ F X ( x)dx = bF X (b) − aF X (a) − ∫ F X ( x)dx b

si X está definida en (a,b) entonces F X (b) = 1 y F X (a) = 0, luego b

∫

E ( X ) = b − F X ( x )dx a

♦♦ 4.2.3) Ejemplos. Ejemplo 4.3: Considere la variable aleatoria Z cuya función de densidad de probabilidades se calculó en el Ejemplo 3.14. Hallar el valor esperado de Z. 1 Del resultado obtenido en el Ejemplo 3.14 se tiene que f Z ( z ) = ∑ δ ( z − i) , luego i =1 6 6

1 1 6 1  n(n + 1)   = 3.5 E ( Z ) = ∑ i = ∑ i =  6 i =1 6  2 n =6  i =1 6 6

Note que el resultado no coincide con ninguno de los valores que puede tomar la variable Z, pero es un valor en el intervalo (1,6). ♦♦

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Ejemplo 4.4: Considere la variable aleatoria Y cuya función de densidad de probabilidades se calculó en el Ejemplo 3.16. Hallar el valor esperado de Y. Del resultado obtenido en el Ejemplo 3.16 se tiene que

 0, si y < 0 −λ y λe , si y ≥ 0 entonces, el valor esperado será f Y ( y ) = 

∞

∞

∫

E (Y ) = yλe

−λ y

dy

0

= λ ∫ ye −λ y dy = 0

1 λ

♦♦ Ejemplo 4.5: Considere la variable aleatoria Y cuya función de densidad de probabilidades se calculó en el Ejemplo 3.17. Hallar el valor esperado de Y. Del resultado obtenido en el Ejemplo 3.17 se tiene que 0,   λe −λ y ,  f Y ( y ) =  −λT  pe δ (t − T ), µ (1 − p)e −λT −µ ( y −T ) , 

si y < 0 si 0 ≤ y < T si y = T si y > T

lo cual hace ver que Y es una variable aleatoria mixta y el cálculo de su valor esperado combina las características que se han destacado por separado en las Ecuaciones 4.1 y 4.2. El valor esperado será T −

∞

E (Y ) =

∫ yf ( y)dy = ∫ yλe Y

−∞

−λ y

∞

∫

dy + TP {Y = T } + yµ (1 − p )e −λT − µ ( y −T ) dy

0

T +

 1   1 −λT  1   − e  + T   + pTe −λT + (1 − p)e −λT  + T   λ    λ  µ   1 1 − p  1  E (Y ) = − e −λT  − λ µ   λ

E (Y ) = 

♦♦

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Ejemplo 4.6: Considere la variable aleatoria X cuya función de densidad de probabilidades se muestra en el Ejemplo 3.18. Hallar el valor esperado de X. En el Ejemplo 3.18 se tiene que

 x , si 0 ≤ x ≤ 4  f X ( x ) =  8 0, en otros casos El valor esperado será 4

x3

4

43 8 E ( X ) = ∫ x dx = = = 8 24 24 3 0 0 x

De forma alterna, se puede utilizar la Propiedad 4.2.2.6 ya que la variable aleatoria cumple con los postulados de esa propiedad y la función de distribución se calculó en el Ejemplo 3.18 consiguiendo

 0, si x ≤ 0  2  x F X ( x ) =  , si 0 ≤ x ≤ 4  16  1, si x > 4 Entonces, el valor esperado será 4

4 2  b  x x3 43 8   E ( X ) =  b − ∫ F X ( x)dx  = 4 − ∫ dx = 4 − = 4− = 16 48 48 3 0  a  0

♦♦

Rafael Díaz

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4.3)

VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR. En la sección anterior se analizó la definición de valor esperado tanto desde el punto de vista matemático como desde el punto de vista del fenómeno aleatorio involucrado. Este valor permite ubicar rápidamente la región donde está definida la variable como aquella región que se encuentra alrededor del valor esperado. Pero no proporciona información acerca del tamaño de esa región. Una medida de la dispersión o de la concentración de la variable alrededor de su valor esperado lo proporciona la varianza. 4.3.1) Definiciones. Definición 4.3: La varianza de una variable aleatoria es el valor esperado de las distancias de la variable a su valor esperado, medidas en forma cuadrática. ♦♦ Notas: - La varianza de la variable aleatoria X se denotará por V(X). Se colocará entre paréntesis el nombre de la variable a la que se le está calculando la varianza. - La varianza es un número. Ese número pertenece al conjunto de los reales positivos. - La unidad de medida de la varianza es igual a la unidad de medida de la variable elevada al cuadrado. Como ejemplo, si la variable se mide en metros su varianza se mide en metros al cuadrado. - Mientras menor sea el valor de la varianza, más cerca estarán los valores de la variable de su valor esperado. - Mientras mayor sea el valor de la varianza, más alejados estarán los valores de la variable de su valor esperado.. - La varianza de la variable aleatoria X se calcula utilizando la Ecuación 4.4. 2

V ( X ) = E ( X − E ( X ) )

(ec. 4.4)

Definición 4.4: La desviación estándar de una variable aleatoria es la raíz cuadrada positiva de su varianza. ♦♦ Notas: - La desviación estándar de la variable aleatoria X se denotará por σX. Se colocará como subíndice el nombre de la variable aleatoria a la que se le está calculando la desviación estándar. - La desviación estándar es un número real positivo. - La unidad de medida de la desviación estándar es igual a la unidad de medida de la variable. Como ejemplo, si la variable se mide en metros su desviación estándar se mide en metros. Este hecho garantiza la posibilidad de poder realizar operaciones de Rafael Díaz

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suma y resta entre el valor esperado y la desviación estándar que tendrán un significado importante en la teoría de probabilidades. - La propiedad de medir la dispersión (o la concentración) de la variable alrededor del valor esperado que tiene la varianza, se traslada a la desviación estándar. - La desviación estándar de la variable aleatoria X se calcula utilizando la Ecuación 4.5.

σ X = +

V ( X )

(ec. 4.5)

4.3.2) Propiedades. Las propiedades de la varianza y de la desviación estándar se desprenden de sus definiciones en términos del concepto de valor esperado y de las características particulares que tenga la función de densidad de probabilidades. Propiedad 4.3.2.1: La varianza de una variable X se puede calcular como la diferencia entre el valor esperado de X2 y el valor esperado de X elevado al cuadrado. A partir de la Ecuación 4.4 se puede escribir 2

= E X 2 − 2 XE ( X ) + ( E ( X ) )2 2 V ( X ) = E ( X 2 ) − E [2 XE ( X )] + E [( E ( X ) ) ] aplicando las propiedades 4.2.2.3, 4.2.2 .4 y 4.2.2.5 se tiene 2 2 V ( X ) = E ( X 2 ) − 2 E ( X ) E ( X ) + ( E ( X ) ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) V ( X ) = E ( X − E ( X ) )

♦♦ Propiedad 4.3.2.2: La varianza de una constante a es cero. A partir de la Ecuación 4.4 se puede escribir V (a ) = E (a − E (a ) )

2

= E (a − a )2 = E (0) = 0 ♦♦

Propiedad 4.3.2.3: La varianza de la función g(x) = bx donde b es una constante es igual a b2 por la varianza de X. A partir de la Ecuación 4.4 se puede escribir

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Introducción a la Probabilidad, los Procesos Estocásticos y la Estadística en Ingeniería 2

= E (bX − bE ( X ) )2 = 2 2 E [b 2 ( X − E ( X ) ) ] = b 2 E [( X − E ( X ) ) ] luego V (bX ) = b 2V ( X )

V (bX ) = E (bX − E (bX ) )

♦♦ Propiedad 4.3.2.4: La varianza de la función g(x) = a + bx donde a y b son constantes es igual a b2 por la varianza de X. A partir de la Ecuación 4.4 y de las Propiedades 4.3.2.2 y 4.3.2.3 se puede escribir 2

= E (a + bX )2 − ( E (a + bX ))2 2 E [a 2 + 2abX + b 2 X 2 ] − (a + bE ( X )) = 2 2 a 2 + 2abE ( X ) + b 2 E ( X 2 ) − (a 2 + 2abE ( X ) + b 2 ( E ( X ) ) ) = b 2 E ( X 2 ) − b 2 ( E ( X ) ) luego V (a + bX ) = b 2V ( X ) ♦♦ V (a + bX ) = E ((a + bX ) − E (a + bX ) )

4.3.3) Ejemplos. Ejemplo 4.7: Considere la variable aleatoria Z cuya función de densidad de 6 1 probabilidades está dada por f Z ( z ) = ∑ δ ( z − i) . Hallar la varianza y la i =1 6 desviación estándar de Z. Del resultado obtenido en el Ejemplo 4.3 se tiene que E ( Z ) =

7 , luego 2 2

 7  V ( Z ) = E [( Z − E ( Z ) ) ] = E [( Z − 3.5) ] = E ( Z ) −   =  2  6 49 1 6 2 49 35 2 { } i P Z i = − = ∑i − = ∑ 4 6 i =1 4 12 i =1 la desviación estándar será 35 σZ = ≅ 1.708 12 2

2

2

♦♦

Rafael Díaz

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Ejemplo 4.8: Sea una variable aleatoria T cuya función de densidad de probabilidades viene dada por el resultado del Ejemplo 3.15. Hallar la varianza y la desviación estándar de T. Del Ejemplo 3.15 se concluyó que

 0, si t < 0  d  1 f T (t ) = F T (t ) =  , si 0 ≤ t ≤ T max dt T  max  0, si t > T max y del Ejemplo 4.2 se concluyó que E (T ) =

T max

2 4.4 y de la Propiedad 4.3.2.1 se puede escribir V (T ) = E (T 2 ) − ( E (T ) )

2

2 T max

∫ T 2 T max

2 T max

t 2

0

V (T ) =

T max

2 T max 1  t 3    dt − = − 4 4 T max  3  0

T max

=

, entonces a partir de la Ecuación

max

2 T max

− = 3 4 12 y la desviación estándar será σT =

2 T max

=

12

T max

2 3

♦♦ Ejemplo 4.9: Sea una variable aleatoria X cuya función de densidad de 2 1 − x2 e , para todo valor de x real. Hallar probabilidades viene dada por f X ( x) = 2π el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de X. A partir de la Propiedad 4.2.2.1 se tiene que E(X) = 0, ya que la función de densidad es par. Luego, de la Ecuación 4.4 y de la Propiedad 4.3.2.1 se puede escribir ∞

x 2

2

1 ∞ 2 − x2 2 2 V ( X ) = E ( X ) = ∫ e dx = x e dx ∫ 2 2 π π −∞ −∞ integrando por partes   − x 2  ∞ ∞ − x 2  ∞ x 2 − 1  1  2  2 dx = 2 dx = 1 xe e e − +   ∫ ∫  2π   2π −∞   −∞ −∞   y la desviación estándar también será igual a uno x 2

−

♦♦ Rafael Díaz

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Ejemplo 4.10:Sea una variable aleatoria Y cuya función de densidad de 2 1  y − µ  −   2  σ 

1 e , para todo valor de y real; µ σ 2π es una constante real y σ es una constante real positiva. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de Y.

probabilidades viene dada por f Y ( y ) =

A partir de la Propiedad 4.2.2.2 se tiene que E(Y) = µ, ya que la función de densidad es simétrica respecto al valor µ. Luego, de la Ecuación 4.4 se puede escribir 1 y − µ

2

( y − µ )2 − 2   σ   2 V (Y ) = E ((Y − E (Y ) ) ) = ∫ e dy σ π 2 −∞ y − µ haciendo un cambio de variable x = , la integral anterior queda σ σ 2 ∞ − x2 V (Y ) = e dx = σ 2 ∫ 2π −∞ ∞

2

y la desviación estándar será σ Y = σ

♦♦ Ejemplo 4.11:Considere la variable aleatoria Y del Ejemplo 4.10 cuya función de 1  y − µ 

2

−   1 densidad de probabilidades viene dada por f Y ( y ) = e 2  σ  , para todo valor σ 2π 2 de y real; donde µ es su valor esperado y σ es su varianza. Realizar la gráfica de esta función de densidad para un valor fijo de σ y distintos valores de µ. Repita la gráfica pero considerando un valor fijo de µ y distintos valores de σ.

Las Figuras 4.1 y 4.2 muestran las gráficas solicitadas. La Figura 4.1 hace ver que el conocimiento del valor esperado permite ubicar la función de densidad alrededor de ese valor; el sentido de la flecha indica el sentido en que aumenta el valor de µ. Por otro lado, la Figura 4.2 permite observar el significado de la varianza: a mayor valor de la varianza, mayor dispersión de la variable alrededor de su valor esperado, o también a menor valor de la varianza mayor es la concentración de la variable alrededor de su valor esperado; el sentido de la flecha indica el sentido en que aumenta el valor de σ.

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♦♦

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 4.1: f Y(y) del Ejemplo 4.11 para distintos valores de µ.

-6

-4

-2

0

2

4

6

Figura 4.2: f Y(y) del Ejemplo 4.11 para distintos valores de σ.

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4.4)

VALOR ESPERADO CONDICIONAL. Definición 4.5: El valor esperado condicional de una variable aleatoria es el valor esperado considerando que la función de densidad de probabilidades es la condicional. ♦♦ Notas: - El valor esperado condicional de una variable aleatoria se denotará por E(X/A). Se colocará entre paréntesis el nombre de la variable aleatoria a la que se le está calculando el valor esperado y el evento A que condiciona su ocurrencia. - El valor esperado condicional es un número. Ese número pertenece al conjunto cuyos extremos son el mínimo valor y el máximo valor que toma la variable aleatoria una vez que su dominio ha sido restringido por el evento A. - El valor esperado condicional de una variable aleatoria se calcula utilizando la Ecuación 4.6. ∞

∫

E ( X / A) = xf X ( x / A)dx

(ec. 4.6)

−∞

Definición 4.6: La varianza condicional de una variable aleatoria es la varianza considerando que la función de densidad de probabilidades es la condicional. ♦♦ Notas: - La varianza condicional de la variable aleatoria X se denotará por V(X/A). Se colocará entre paréntesis el nombre de la variable a la que se le está calculando la varianza y el evento A que condiciona su ocurrencia. - La varianza condicional de la variable aleatoria X se calcula utilizando la Ecuación 4.7.

(

V ( X / A) = E X 2 / A

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) − [ E ( X / A)]2

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(ec. 4.7)

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Definición 4.7: El valor esperado de una variable aleatoria se puede calcular como una combinación lineal de los valores esperados condicionales siempre que los eventos condicionantes conformen una partición del espacio muestral. ♦♦ Notas: - Esta definición se basa en el concepto de una partición del espacio muestral (Definición 2.1.13 del Apéndice 2.1), en la Definición 2.23 y en la Definición 3.12. - El valor esperado de una variable aleatoria, a partir de los valores esperados condicionales, se calcula utilizando la Ecuación 4.8. E ( X ) =

n

∑ E ( X / A ) P {A } i

(ec. 4.8)

i

i =1

Ejemplo 4.12:Considere la variable aleatoria T del Ejemplo 3.15 cuya función de densidad de probabilidades viene dada por

 0, si t < 0   1 f T (t ) =  , si 0 ≤ t ≤ T max T  max  0, si t > T max Hallar el valor esperado condicionado por el evento A = {Tmax/4 < T < Tmax/2} Del resultado del Ejemplo 3.25 se puede escribir

  0,   1 , f T (t / A) =   pT max   0, 

si t ≤ si

T max

4

T max

4

si t >

≤ t ≤

T max

2

T max

2

T max

Donde p =

2

1

∫ T

T max

dt = 0.25 , entonces, a partir de la Ecuación 4.6 se tiene que

max

4 T max

E (T / A) =

2

4t

T max

max

∫ T

dt =

4

2

2t

T max

T max

2 T max

=

3 T 8 max

4

♦♦ Rafael Díaz

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Ejemplo 4.13:Sea una variable aleatoria X cuya función de densidad de 2 1 − x2 e , para todo valor de x real. Hallar probabilidades viene dada por f X ( x) = 2π el valor esperado condicional y la varianza condicional cuando el evento condicionante es B = {X > 0}. Del resultado del Ejemplo 3.23 se puede escribir 0, si x ≤ 0   x2 f X ( x / B) =  1 2  p 2π e , si x > 0  ∞

Donde p = ∫ 0

2

1 − x2 e dx = 0.5 , entonces, a partir de la Ecuación 4.6 se tiene que 2π ∞

E ( X / B ) =

∫ 0

2

2 x − x2 2 e dx = π 2π

Para el cálculo de la varianza condicional se recurre a la Ecuación 4.7 V ( X / B ) = E ( X

2

∞

/ B ) − [ E ( X / B )] = ∫ 2

0

2

2 2 − x2 2 2 x e dx − = 1 − π π π

♦♦

Rafael Díaz

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4.5)

MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA. Existen varias definiciones asociadas al concepto de momento que tienen algún sentido para ciertas aplicaciones de probabilidades. Estas definiciones se presentan a continuación. Definición 4.8: El momento n-ésimo de una variable aleatoria es el valor esperado de la función g(x) = xn, con n ∈ N . ♦♦ Notas: - El momento n-ésimo de la variable aleatoria X se denotará por mn . - El momento cero de una variable aleatoria es igual a uno. - El primer momento de una variable aleatoria es su valor esperado. - Si la función de densidad de una variable aleatoria es una función par entonces el segundo momento coincide con la varianza. - El momento n-ésimo de una variable aleatoria se calcula utilizando la Ecuación 4.9. - En general, a partir de la Propiedad 4.3.2.1, la varianza de una variable aleatoria, en términos de los momentos, se calcula utilizando la Ecuación 4.10. mn

= E ( X ) = n

∞

∫ x f ( x)dx

(ec. 4.9)

n

X

−∞

V ( X ) = m2

− m12

(ec. 4.10)

Definición 4.9: El momento central n-ésimo con respecto al valor esperado de una variable aleatoria es el valor esperado de la función g(x) = (X-E(X))n, para valores de n en los números naturales. ♦♦ Notas: - El momento central n-ésimo con respecto al valor esperado de la variable aleatoria X se denotará por µn. - µ0 es igual a uno. - µ1 es igual a cero. - µ2 es igual a la varianza. - El momento central n-ésimo con respecto al valor esperado de una variable aleatoria se calcula utilizando la Ecuación 4.11. ∞

µ n = E (( X − E ( X ) ) ) = ∫ ( x − E ( X ) )n f X ( x)dx n

(ec. 4.11)

−∞

Rafael Díaz

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Definición 4.10: El momento factorial n-ésimo de una variable aleatoria es el valor esperado de la función g(x) =

n

∏ ( x − i + 1) , para valores de n en los números i =1

naturales.

♦♦ Notas: - El momento factorial n-ésimo de la variable aleatoria X se denotará por cn. - c1 es igual al primer momento. - c2 es igual al segundo momento menos el primer momento. - El momento factorial n-ésimo de una variable aleatoria se calcula utilizando la Ecuación 4.12. cn

 n  ∞ n = E  ∏ ( X − i + 1) = ∫ ∏ ( X − i + 1) f X ( x)dx  i =1  −∞ i =1

(ec. 4.12)

Ejemplo 4.14:Establezca una relación entre los momentos y los momentos centrales. A partir de la Ecuación 4.9 se puede escribir mn

 n  n   = E ( X ) = E (( X − E ( X ) + E ( X ) ) ) = E ∑  ( X − E ( X ) )k ( E ( X ) )n−k   k =0  k   n n  n   n  n − k k n − k m n = ∑  ( E ( X ) ) E (( X − E ( X ) ) ) = ∑  ( E ( X ) ) µ k k = 0  k  k =0  k  n  n  mn = ∑  m1n − k µ k k =0  k  n

n

A partir de la Ecuación 4.11 se puede escribir

 n  n   n  n  µ n = E (( X − E ( X ) )n ) = E ∑  ( X )k (− E ( X ) )n −k  = ∑   E ( X k )( E ( X ) )n−k (− 1)n−k  k =0  k   k =0  k  n  n  µ n = ∑  (− 1)n−k m k m1 n− k k = 0  k  ♦♦

Rafael Díaz

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4.6)

FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS. En esta sección y en las dos siguientes se van a presentar unos valores esperados de la variable aleatoria que tienen la propiedad de no ser números sino que quedan expresados como funciones de una variable determinista. Definición 4.11: La función generadora de momentos de una variable aleatoria es el valor esperado de la función g(x) = etx, donde t es un parámetro real. ♦♦ Notas: - La función generadora de momentos de la variable aleatoria X se denotará por mX(t). Se colocará como subíndice el nombre de la variable aleatoria y entre paréntesis la variable determinista real t. - La función generadora de momentos de una variable aleatoria se calcula utilizando la Ecuación 4.13. - La Ecuación 4.13 es la Transformada Bilateral de Laplace de la función de densidad de probabilidades, evaluada en s = -t. m X (t ) = E (e

∞

tX

) = ∫ e

tx

f X ( x )dx

(ec. 4.13)

−∞

Definición 4.12: La función generadora de momentos de una variable aleatoria, como su nombre lo indica, permite conocer los momentos de esa variable. ♦♦ Notas: - Los momentos de una variable aleatoria, en términos de su función generadora de momentos se calculan utilizando la Ecuación 4.14. mn

=

d n dt n

m X (t )

(ec. 4.14) t = 0

Ejemplo 4.14:Deducir la Ecuación 4.14. A partir de la Ecuación 4.13 se puede escribir m X (t ) = E (e

∞ k  ∞ (tx )k  ∞ E (t k x k ) ∞ t k t k   = = ) = E  ∑ E ( x ) = ∑ mk ∑ ∑  k =0 k ! k = 0 k !  k =0 k !  k =0 k ! desarrollando algunos términos de la serie

tX

m X (t ) = m0

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+ tm1 +

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t 2

2!

m2

+

t 3

3!

m3

+ ....

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al evaluar en t = 0 queda m X ( 0 ) = m0 = 1, al tomar la primera derivada respecto a t d 3t 2 m X (t ) = m1 + tm 2 + m + .... dt 3! 3 evaluando esta derivada en t = 0 queda

d dt

= m1

m X (t ) t =0

generalizando el resultado se obtiene d n dt n

= mn

m X (t ) t = 0

♦♦ Ejemplo 4.15:La variable aleatoria Y tiene una función de densidad de si y < 0  0, probabilidades dada por f Y ( y ) =  −λ y . Hallar su función generadora , si 0 e y λ ≥  de momentos y, a partir de ella, el valor esperado y la varianza de Y. A partir de la Ecuación 4.13 se puede escribir

 e − y (λ −t ) ∞   = λ para valores de t < λ mY (t ) = E (e ) = ∫ e λe dy = λ   − (λ − t ) 0  λ − t 0   para conocer el valor esperado y la varianza de Y se recurre a la Ecuación 4.14 ∞

tY

ty

 λ  1 λ   =   =  dt  λ − t  t =0  (λ − t )2  λ t =0  2λ  2 d  λ     = E (Y 2 ) =  = = 2  (λ − t )3  dt  (λ − t )2    t =0 λ t =0 2 1 1 V (Y ) = m 2 − m12 = 2 − 2 = 2 λ λ λ

m1

m2

−λ y

= E (Y ) =

d 

♦♦ Ejemplo 4.16:La variable aleatoria X tiene una función de densidad de n  n  probabilidades dada por f X ( x) = ∑   p k (1 − p) n−k δ ( x − k ) . Hallar su función k = 0  k  generadora de momentos y, a partir de ella, el valor esperado y la varianza de X. A partir de la Ecuación 4.13 se puede escribir

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Introducción a la Probabilidad, los Procesos Estocásticos y la Estadística en Ingeniería n  n  k  n  k n n − k tk m X (t ) = E (e ) = ∑   p (1 − p ) e = ∑  ( pe t ) (1 − p ) n −k = ( pe t + 1 − p ) k = 0  k  k =0  k  para conocer el valor esperado y la varianza de X se recurre a la Ecuación 4.14 n

tX

m1

[

]

( [

])

n  n −1 d = E(X) =  = np  ( pe t + 1 − p )  = npe t ( pe t + 1 − p ) t = 0 dt   t =0  d npe t ( pe t + 1 − p )n−1  = np + n(n − 1) p 2 m2 = E ( X 2 ) =    dt  t =0 V ( X ) = m2 − m12 = np + n(n − 1) p 2 − n 2 p 2 = np (1 − p)

[ [

]

♦♦ Ejemplo 4.17:La variable aleatoria Z tiene una función de densidad de  1 , si a < z < b  probabilidades dada por f Z ( z ) =  b − a . Hallar su función  0, en otros casos generadora de momentos y, a partir de ella, el valor esperado y la varianza de Z. A partir de la Ecuación 4.13 se puede escribir e tz 1 1   m Z (t ) = E (e ) = ∫ e dz = b a b − a  t − a 

 e tb − e ta =  (b − a )t a  para conocer el valor esperado y la varianza de Z se recurre a la Ecuación 4.14 b

tZ

b

tz

 e bt (bt − 1) − e at (at − 1)  − e ta    =   2 dt  (b − a )t  b a t − ( )   t =0 t = 0 al evaluar en t = 0 se consigue una indeterminación por lo que se debe considerar el límite cuando t tiende a cero, tal que e bt (bt − 1) − e at (at − 1) a + b m1 = E ( Z ) = lim = t →0 2 (b − a )t 2 d  e bt (bt − 1) − e at (at − 1)  b3 − a3 2  = m 2 = E ( Z ) =  dt  (b − a )t 2  t =0 3(b − a) m1

= E ( Z ) =

d  e tb

V ( Z ) = m2

−

m12

b3

2

− a 3  a + b  (b − a) 2 = −  = 3(b − a)  2  12 ♦♦

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4.7)

FUNCIÓN CARACTERÍSTICA. Definición 4.13: La función característica de una variable aleatoria es el valor esperado de la función compleja g(x) = e jwx, donde w es un parámetro real. ♦♦ Notas: - La función característica de la variable aleatoria X se denotará por ΦX(w). Se colocará como subíndice el nombre de la variable aleatoria y entre paréntesis la variable determinista real w. - La función característica es una función compleja. - La función característica de una variable aleatoria se calcula utilizando la Ecuación 4.15. - La Ecuación 4.15 es la Transformada de Fourier de la función de densidad de probabilidades, evaluada en -w.

Φ X ( w) = E (e

∞

jwX

) = ∫ e −∞

jwx

f X ( x)dx

(ec. 4.15)

Definición 4.14: La función característica de una variable aleatoria permite conocer los momentos de esa variable. ♦♦ Notas: - Los momentos de una variable aleatoria, en términos de su función característica se calculan utilizando la Ecuación 4.16.

 d n 1    mn = n w Φ ( ) X n   j  dw w =0 

(ec. 4.16)

Ejemplo 4.18:La variable aleatoria X tiene una función de densidad de 1  x − µ  −   2  σ 

2

1 , para todo valor de x real. Hallar e σ 2π su función característica y, a partir de ella, el valor esperado y la varianza de X.

probabilidades dada por f X ( x) =

A partir de la Ecuación 4.15 se puede escribir

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Introducción a la Probabilidad, los Procesos Estocásticos y la Estadística en Ingeniería 1  x − µ   

∞

−  1 e 2  σ Φ X ( w) = E (e jwX ) = ∫ e jwx σ 2π −∞

2

dx

para resolver esta integral se recurre al cambio de variable y =

x − µ

σ

∞ 1 − 12 y 2 1 − 12 ( y 2 −2 jwσ y ) jwµ e dy = e e dy Φ X ( w) = ∫ e ∫ π π 2 2 −∞ −∞ completando cuadrados en el exponente del integrando queda ∞

jw ( µ +σ y )

2

2

wσ jwµ − 1 − 12 ( y 2 −2 jwσ y +( jwσ ) 2 −( jwσ )2 ) 2 Φ X ( w) = e ∫ e dy = e − ∞ 2π para conocer el valor esperado y la varianza de X se recurre a la Ecuación 4.16 w 2σ 2  w2σ 2   1  jwµ − jwµ − 1  d    2 2  2  e =  ( jµ − wσ )e =µ m1 = E ( X ) =       j  dw  j   w=0    w=0 

∞

jwµ

w2σ 2   jwµ − d  1    =σ 2 + µ2 2 2   ( m2 = E ( X ) = 2 jµ − wσ )e   j  dw   w=0  

2

V ( X ) = m2

− m12 = σ 2 + µ 2 − µ 2 = σ 2 ♦♦

Ejemplo 4.19:La variable aleatoria R tiene una función de densidad de ∞

probabilidades dada por f R (r ) = ∑

m k k !

k = 0

e −mδ (r − k ) . Hallar su función característica

y, a partir de ella, el valor esperado y la varianza de R. A partir de la Ecuación 4.15 se puede escribir

Φ R ( w) = E (e

∞

jwR

∞

) = ∫ e ∑ =0 −∞ jwr

k

Φ R ( w) = e

−m

∞

∑

m k k !

(me )

k = 0

e

jw k

k !

−m

∞

δ (r − k )dr = ∑ k =0

= e − m e me = e m (e jw

jw

m k k !

e −m e jwk

−1)

para conocer el valor esperado y la varianza de R se recurre a la Ecuación 4.16 1  d m ( e −1)  1  = (mje jw )e m ( e −1) m1 = E ( R ) =  e =m w= 0 j  dw j w= 0  1  d m2 = E ( R 2 ) = 2  (mje jw (e jw − 1))  = m(1 + m) j  dw w=0  V ( R ) = m2 − m12 = m(1 + m) − m 2 = m ♦♦

(

Rafael Díaz

jw

)

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(

jw

)

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4.8)

FUNCIÓN GENERADORA DE PROBABILIDADES. Definición 4.15: La función generadora de probabilidades de una variable aleatoria es el valor esperado de la función g(x) = zx, donde z es complejo. ♦♦ Notas: - La función generadora de probabilidades de la variable aleatoria X se denotará por ΗX(z). Se colocará como subíndice el nombre de la variable aleatoria y entre paréntesis la variable determinista compleja z. - La función generadora de probabilidades se define exclusivamente para variables aleatorias discretas. - La función generadora de probabilidades de una variable aleatoria se calcula utilizando la Ecuación 4.17. - La Ecuación 4.17 es la Transformada Z de la función de densidad de probabilidades, evaluada en z en lugar de z-1.

Η X ( z ) = E ( z ) = X

∞

∞

∞

∫ z ∑ P { X = k }δ ( x − k )dx = ∑ z P { X = k } x

−∞

k

k =0

(ec. 4.17)

k =0

Definición 4.16: La función generadora de probabilidades de una variable aleatoria, como su nombre lo indica, permite conocer las probabilidades de eventos del tipo {X = k} de esa variable. ♦♦ Notas: - Las probabilidades de eventos del tipo {X = k} de una variable aleatoria, en términos de su función generadora de probabilidades se calculan utilizando la Ecuación 4.18. k  d 1   P { X = k } =  k Η X ( z )  k !  dz z =0 

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(ec. 4.18)

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Ejemplo 4.20:Deducir la Ecuación 4.18. A partir de la Ecuación 4.17 se puede escribir ∞

Η X ( z ) = ∑ z k P { X = k } = P { X = 0} + zP { X = 1} + z 2 P { X = 2} + ... + z k P { X = k } + ... k = 0

evaluando esta expresión en z = 0 se obtiene Η X (0) = P { X = 0} al tomar la primera derivada de Η X ( z ) d dz

Η X ( z ) = P { X = 1} + 2 zP { X = 2} + ... + kz k −1 P { X = k } + ... evaluando esta expresión en z = 0 se obtiene d dz

Η X ( z )

= P { X = 1} z = 0

al tomar la segunda derivada de Η X ( z ) d 2 2

dz

Η X ( z ) = 2 P { X = 2} + ... + k (k − 1) z k − 2 P { X = k } + ... evaluando esta expresión en z = 0 se obtiene

d 2

1 d 2 Η X ( z ) = 2 P { X = 2} ⇒ P { X = 2} = Η X ( z ) 2 2 dz 2 dz z = 0 z = 0 generalizando el proceso, al tomar la k - ésima derivada de Η X ( z ) d k dz k

Η X ( z ) = k (k − 1)(k − 2)...2 x1 P { X = k } + ...

evaluando esta expresión en z = 0 se obtiene d k dz k

Η X ( z ) z =0

1 d k = k ! P { X = k } ⇒ P { X = k } = Η X ( z ) k ! dz k z =0

♦♦ Definición 4.17: La función generadora de probabilidades de una variable aleatoria, como su nombre lo indica, permite conocer los momentos factoriales de esa variable. ♦♦ Notas: - Los momentos factoriales de una variable aleatoria, en términos de su función generadora de probabilidades se calculan utilizando la Ecuación 4.19. cn

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=

d n dz n

Η X ( z )

(ec. 4.19) z =1

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Ejemplo 4.21:Deducir la Ecuación 4.19. A partir de la Ecuación 4.17 se puede escribir ∞

Η X ( z ) = ∑ z k P { X = k } k =0

evaluando esta expresión en z = 1 se obtiene Η X (1) = 1 al tomar la primera derivada de Η X ( z ) d d  ∞ k  ∞ k −1 Η X ( z ) =  ∑ z P { X = k } = ∑ kz P { X = k } dz dz  k =0  k =0 evaluando esta expresión en z = 1 se obtiene d dz

∞

Η X ( z ) z =1

= ∑ kP { X = k } = c1 = m1 = E ( X ) k =0

al tomar la segunda derivada de Η X ( z ) d 2 d  ∞  ∞ k −1 Η X ( z ) =  ∑ kz P { X = k } = ∑ k (k − 1) z k −2 P { X = k } 2 dz  k =0 dz  k =0 evaluando esta expresión en z = 1 se obtiene d 2 dz 2

∞

∞

k = 0

k = 0

∞

= ∑ k (k − 1) P { X = k } = ∑ k P { X = k } − ∑ kP { X = k } = c 2 = m2 − m1

Η X ( z ) z =1

2

k = 0

generalizando el proceso, al tomar la n - ésima derivada de Η X ( z ) d n dz n

∞

Η X ( z ) = ∑ k (k − 1)(k − 2)...(k − n + 1) z k − n P { X = k } k =0

evaluando esta expresión en z = 1 se obtiene d n dz n

∞

= ∑ k (k − 1)(k − 2)...(k − n + 1) P { X = k } = cn

Η X ( z ) z =1

k =0

♦♦ Ejemplo 4.22:La variable aleatoria X tiene una función de densidad de n  n  probabilidades dada por f X ( x) = ∑   p k (1 − p) n−k δ ( x − k ) . Hallar su función k = 0  k  generadora de probabilidades y, a partir de ella, el valor esperado y la varianza de X. A partir de la Ecuación 4.17 se puede escribir

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 n  Η X ( z ) = ∑ z P { X = k } = ∑ z k   p k (1 − p) n −k k =0 k =0  k  n  n  Η X ( z ) = ∑  ( pz )k (1 − p) n −k = ( pz + 1 − p )n k = 0  k  para conocer el valor esperado de X hay que tomar la primera derivada de Η X ( z ) n

n

k

d dz

Η X ( z ) =

d

( ( pz + 1 − p ) ) = np( pz + 1 − p ) −1 dz n

n

evaluando esta expresión en z = 1 se obtiene c1 = m1 = E ( X ) = np tomando la segunda derivada de Η X ( z ) d 2

Η X ( z ) = 2

dz

d

−1 −2 ( np ( pz + 1 − p ) ) = n(n − 1) p 2 ( pz + 1 − p ) dz n

n

evaluando esta expresión en z = 1 se obtiene c 2 = n(n − 1) p 2 = m2 − m1 m2 = c 2 + m1 = n(n − 1) p 2 + np la varianza de X será V ( X ) = m2 − m12 = n(n − 1) p 2 + np − n 2 p 2 = np (1 − p)

♦♦

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4.9)

INECUACIÓN DE CHEVYSHEV. La definición de variable aleatoria y de las funciones de distribución y de densidad refleja el comportamiento del experimento aleatorio que se está analizando. Se ha verificado en diversas oportunidades que la forma de las funciones de distribución y de densidad debe seguir un cierto patrón que obliga a que no todo tipo de función puede ser considerada para este tipo de representación. En este orden de ideas, el conocimiento del valor esperado y la varianza proporciona información adicional acerca de la forma de estas funciones y, en consecuencia, de las probabilidades asignadas a diversos tipos de eventos. Este tipo de información llega hasta el extremo de indicar topes en el valor de la probabilidad de ocurrencia de ciertos eventos para cualquier tipo de variable aleatoria. La inecuación de Chevyschev permite conocer un límite al valor que puede tener la probabilidad de un cierto tipo de evento independientemente de la forma de su función de densidad de probabilidades. Definición 4.18: Sea una variable aleatoria X de la cual sólo conocemos su valor esperado E(X) y su varianza V(X). Sea un evento del tipo {|X-E(X)| ≤ k σX}, entonces la probabilidad de ocurrencia de este evento tiene un valor mínimo que es una función del valor real positivo k y no depende de la forma de la función de densidad de probabilidades de X. ♦♦ Notas: - El valor mínimo de la probabilidad del evento mencionado se calcula utilizando el lado derecho de la Ecuación 4.20. - La expresión 4.20 se conoce como la inecuación de Chevyschev.

P {| X − E ( X ) |≤ k σ X } ≥ 1 −

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1

(ec. 4.20)

k 2

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Ejemplo 4.24:Demostrar la inecuación de Chevyschev. A partir de la Definición 4.3 se puede escribir ∞

[

V ( X ) = E ( X − E ( X ))

2

] = ∫ ( x − E ( X )) 2 f ( x)dx X

−∞

a partir de la Figura 4.3 la integral anterior se puede escribir como E ( X ) − k σ X

V ( X ) =

∫ ( x − E ( X ))

2

E ( X ) + k σ X

∫ ( x − E ( X ))

f X ( x )dx +

−∞

∞ 2

E ( X ) − k σ X E ( X ) + k σ X

en vista de que

∫ ( x − E ( X ))

2

∫ ( x − E ( X ))

f X ( x)dx +

2

f X ( x)dx

E ( X ) + k σ X

f X ( x)dx ≥ 0

se puede escribir

E ( X ) − k σ X E ( X ) − k σ X

V(X) ≥

∫ ( x − E ( X ))

∞ 2

f X ( x)dx +

−∞

∫ ( x − E ( X ))

2

f X ( x)dx ≥

E ( X ) + k σ X

∞  E ( X )−k σ  2  E ( X ) + k σ     k V ( X ) f X ( x )dx + f X ( x )dx = k V ( X ) 1 − f X ( x )dx  ∫ ∫  −∫    E ( X ) + k σ  ∞   E ( X )−k σ  la integral en el paréntesis es la probabilidad deseada, luego V ( X ) ≥ k 2V ( X )(1 − P {|X-E(X)| ≤ k σ X }) de aqui se despeja la probabilidad deseada, obteniendo 1 P {|X-E(X)| ≤ k σ X } ≥ 1 - 2 2

X

X

X

X

k

♦♦ f X(x)

E(X)-k σX

E(X)

E(X)+kσ X

Figura 4.3: Intervalos para evaluar la varianza del Ejemplo 4.24

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Valor Esperado de Una v. a.

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