(Valor final a interés compuesto) Se depositan $ 8.000 en un banco que reconoce una tasa de interés del 36% anual, capitalizable mensualmente. mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado acumulado en cuatro años?
Solución Problema 1
Solución:
Datos:
C = 8.000 n = 4 años = 48 meses i = 0,36 anual = 0.36/12 mensual i = 0,03 mensual S=?
2. Se deposita $ 50.000 en un banco durante 3 meses.
a) Hallar el valor final a la tasa de interés simple del 30% anual. b) Hallar el valor final a la tasa de interés del 30% anual capitalizable mensualmente. c) ¿Cuál es mayor?
Solución Problema 2
Solución:
a)
C = 50.000 n = 3 años i = 0,30 anual S=?
b)
C = 50.000 n = 3 años = 36 meses i = 0,30 anual = 0,30/12 anual i = 0,025 mensual S=?
c) El mayor es el cálculo con la forma de interés compuesto. Inc. (c).
3. (Monto con periodo fraccionario) Calcular el valor final de un capital de $ 20.000 a interés compuesto durante 15 meses y 15 días a la tasa de interés del 24% capitalizable mensualmente.
Solución Problema 3
Solución:
Primera forma:
C = 50.000 n = 3 años i = 0,30 anual S=?
b)
C = 50.000 n = 3 años = 36 meses i = 0,30 anual = 0,30/12 anual i = 0,025 mensual S=?
c) El mayor es el cálculo con la forma de interés compuesto. Inc. (c).
3. (Monto con periodo fraccionario) Calcular el valor final de un capital de $ 20.000 a interés compuesto durante 15 meses y 15 días a la tasa de interés del 24% capitalizable mensualmente.
Solución Problema 3
Solución:
Primera forma:
C = 20.000 n = 15 meses, 15 días = 15,5 meses i = 0,24 anual = 0,24/12 mensual S=?
Segunda forma:
Calcular el monto de interés compuesto por los 15 meses.
Calcular el monto a interés simple por los 15 días.
C = 26.917,36 i = 0,24/360 diario
4. (Monto cuando la tasa de interés se cambia) Se invierte $ 8.000 por un año a la tasa del 12% capitalizable mensualmente. mensualmente. Determinar el monto al final del año, si transcurridos 3 meses la tasa se incrementó al 18% capitalizable mensualmente. mensualmente.
Solución Problema 4
Solución:
a)
C = 8.000 n = 3 meses i = 12% = 0,12/12 i = 0,01 mensual So = ?
b)
C = 8.242,408 n = 9 meses i = 0,18 anual = 0,18/12 i = 0,015 S1 = ?
5. (Depósito adicional o retiro realizado) Se deposita $ 10.000 en un banco que paga el 18% de interés con capitalización mensual, transcurridos 4 meses se retira $ 4.000. Hallar el importe que tendrá en el banco dentro de un año de haber realizado el depósito.
Solución Problema 5
Solución:
Primera parte:
Se capitaliza por los 4 primeros años:
C = 10.000 n = 4 meses i = 0,18/12 = 0,015 mensual S=?
Al importe capitalizado de $ 10.613,63 se resta el retiro de $ 4.000. El nuevo importe obtenido se capitaliza por los siguientes 8 meses.
Segunda parte:
C = 6.613.63 n = 8 meses i = 0,18/12 = 0,015 mensual S=?
Interés Compuesto 1. - Ejercicios y Problemas de Matemáticas Financieras. Miscelanea de ejemplos de prácticas y ejercicios solucionados de Interés Compuesto. Primer grupo de cinco ejercicios modelo, que te guiarán en el aprendizaje de la materia de matemáticas financieras. Los ejemplos solucionados se ilustran con formulas, indicaciones y gráficos paso a paso. Ejemplos para encontrar: Valor final a interés compuesto; Monto con periodo fraccionario; Monto cuando la tasa de interés se cambia; Depósito adicional o retiro realizado.
Definición. Interés compuesto es un efecto que se frecuenta en económicas y finanzas cuando el porcentaje de ingreso al final de cada período se suma al suma básica y la cantidad obtenida a continuación se hace inicial para el cómputo de intereses nuevos.
Fórmula para el cálculo de interés compuesto B = A(1 +
P )n 100%
donde B – el coste futuro; A – el coste actual; P - tasa de interés por el período de cálculo (día, mes, año, ...); n - cantidad de períodos de cálculo.
Deducción de fa fórmula del cálculo de interés compuesto
Para calcular el interés por un período utilicemos fa fórmula para calcular el número que es al porcentaje dado más grande que el número inicial B1 = A(1 +
para el segundo período B2 = B1(1 +
P P ) = A(1 + )2 100% 100%
P ) 100%
...
para n- del período
P P ) = A(1 + )n 100% 100% Véase también: Online calculadora. Calculadora de interés compuesto. Calculadora de depósitos Bn = Bn-1(1 +
Ejemplos del cálculo de problemas con interés compuesto Ejemplo 1. Calcular el ingreso de 30000 $ depositado para el término de 3 años bajo el 10% de interés anual, si al final de cada año el porcentaje se sumaban al dinero depositado. Solución. Utilicemos la fórmula del cálculo de interés compuesto:
B = 30000(1 +
10% 3 ) = 30000 · 1.13 = 39930 100%
El ingreso equivale a 39930 - 30000 = 9930 Resultado: el ingreso es 9930 $.
Ejemplo 2. Sabiendo que la tasa de interés anual del depósito es el 12%, calcular la tasa de interés mensual que le equivale. Solución. Si depositar en el banco A $ entonces dentro de un año obtendremos:
B = A(1 +
12% ) 100%
Si el interés se concedía cada mes con la tasa de interés х, entonces por la fórmula de interés compuesto dentro de un año (12 meses) x B = A(1 + )12 100% Al equiparar estas cantidades obtendremos una ecuación cuya solución nos dejará definir la tasa de interés mensual. 12% x A(1 + ) = A(1 + )12 100% 100% x 1.12 = (1 + )12 100% 12 x=( √ 1.12 - 1)·100% ≈ 0.9488792934583046% Resultado: la tasa de interés mensual equivale a 0.9488792934583046%. N.B. De la soluci ón de este problema se ve que la tasa de interés mensual no equivale
a la tasa de interés anual dividida por 12. Ejemplo 3. En un banco para el término de 3 años han depositado 30000 $ bajo el 10% de interés anual. a) Calcular ¿cuánto más beneficioso sería la variante cuándo el ingreso anual se suma a la cuenta para la cual concederá el interés que la variante cuando el interés se recoge por el cliente cada año? b) ¿Cuál será la diferencia dentro de 10 años? Solución. а) Para el primer caso utilicemos la fórmula de cálculo de interés compuesto:
30000(1 + 10% )3 = 30000 · 1.13 = 39930
100% en este caso el ingreso equivale 39930 - 30000 = 9930 En el segundo caso el ingreso anual equivaldrá a 10% 30000 · = 3000 100% respectivamente el ingreso por tres años equivaldrá 3000 · 3 = 9000 El primer método será más beneficioso que el segundo en 9930 - 9000 = 930 $
б) Para el primer caso utilicemos la fórmula de cálculo de interés compuesto:
10% 10 ) = 30000 · 1.110 ≈ 77812.27 100% en este caso el ingreso equivale a 77812.27 - 30000 = 47812.27 30000(1 +
En el segundo caso el ingreso anual equivaldrá 10% 30000 · = 3000 100% respectivamente el ingreso por diez años equivaldrá 3000 · 10 = 30000 El primer método será más beneficioso que el segundo en 47812.27 - 30000 = 17812.27 $ Resultado: a) 900 $; b) 17812.27 $.
Fórmula para calcular interés y monto compuesto A continuación se brindan algunas explicaciones, ejemplos de aplicación y alternativas de resolución de problemas que se le pueden presentar. Del ejemplo visto es posible deducir una fórmula, ya que en términos generales, el monto compuesto se puede escribir como:
Donde: M es la suma de capital más intereses al final del período
C es el capital inicial i% es la tasa de interés compuesto n es el número de períodos durante los cuales se capitaliza el interés compuesto ¿Cómo calcular una incógnita?
La fórmula vista contiene cuatro cantidades y permite el cálculo del monto a interés compuesto. Si se conocen los valores de tres de esas cantidades, puede hallarse el valor de la cuarta, simplemente despejando y haciendo cuentas. Para el cálculo de la fórmula de interés compuesto, también es posible aplicar tablas o calculadoras con función potencia o calculadoras financieras o planillas de cálculo del tipo Excel con función potencia, etc. Las tablas, que se pueden encontrar en librerías, exponen resueltos diferentes montos compuestos para distintas tasas de interés compuesto a las que se colocaría $1 durante determinados períodos. Ejemplos y aplicaciones:
I ) Una persona está obligada a saldar una deuda de $ 50.000 exactamente dentro de tres años. ¿Cuánto tendría que invertir hoy a interés compuesto al 6% anual, para llegar a disponer de esa cantidad dentro de tres años y cumplir con el pago de su deuda? Solución: Aplicando la fórmula M=C(1+i)n, despejaremos la incógnita que, en este caso es la C, es decir, el capital que hoy debería invertir a interés compuesto para obtener $ 50.000, dentro de tres años.
M= $50.000 n=3 C= incógnita. i= 0.06 Invirtiendo la ecuación y dividiendo ambos miembros de la igualdad por (1+i)n, obtenemos que: C= M / (1+i)n Sustituyendo en la fórmula las cifras que se conocen: C = 50.000 / (1+0.06)3 = 50.000 / 1.191016 = 41.981 Es decir que alguien que disponga hoy de $ 41.981 y lo invierta con un rendimiento del 6% a interés compuesto, durante tres años, al cabo de esos tres años, tendrá: $ 50.000. II) Del mismo modo, otro problema que es posible plantearse es ¿cuál es el interés compuesto sobre $ 15.000 al 4% anual durante 5 años? Solución: De aplicar la fórmula M = C(1+i)n surgirá que el interés compuesto es la diferencia entre el capital C, que se invierte al 4% anual durante cinco años y el monto M, que se desconoce. Se deberá hallar en primer término el monto M, es decir, la cifra a la que se llegará, invirtiendo $ 15.000 durante 5 años al 4%.
M= 15.000 (1.04)5=18250
El monto de interés compuesto surge como diferencia entre el monto compuesto y el capital inicial y en este caso asciende a $ 3.250, es decir: 18.250-15.000=3.250 III) En ocasiones es posible plantearse cuál sería el monto compuesto, es decir por ejemplo, cuánto tendré al cabo de seis meses en el caso de invertir hoy $ 10.000 al 5% anual. Solución: Aplicando la fórmula M = C(1+i)n ,despejaremos la incógnita que, en este caso es la M.
M= incógnita n=1/2 porque se trata de seis meses y la tasa es anual i%= 0.05 C = 10.000 Aplicando la fórmula entonces: M = 10.000*(1+0.05)0.5 = 10.000 (1.05) ½ = lo que es lo mismo que 10000 = 10.000 * 1,02469508 = 10.247 con lo cual si se dispone hoy de $ 10.000 y se coloca durante seis meses al 5% anual, se obtiene dentro de seis meses, la suma de $ 10.247. IV) Si se dispone de dos opciones para invertir un capital de $ 10.000. Una de ellas implica colocar un dinero durante 2 años al 3% de interés compuesto y la otra, colocar ese mismo dinero a 1 año al 5% anual de interés compuesto. ¿cuál es la opción de mayor monto? Solución:
Aplicando la fórmula M = C(1+i)n, la primer opción me genera, para un capital de 10.000 que invierto hoy, un monto de $ 10.609 al cabo de 2 años. La segunda opción, implica que, al cabo de 1 año obtendré un monto de $ 10.500 Primera opción: M=10.000 (1.03)2= 10.609 Segunda opción: M=10.000 (1.05)1= 10.500 V) Si alguien deposita $ 5.000 en un banco que paga el 6% de interés anual, ¿cuántos años tienen que pasar para obtener un monto superior a $ 8.500. Solución: Aplicando la fórmula M = C(1+i)n, 8500= 5.000 (1.06)n es lo mismo que: 8.500/5.000= (1.06)n A los efectos de resolver este problema, se aplicará la siguiente tabla con el objetivo de ilustrar sobre el uso y aplicaciones de la misma:
TABLA: Monto compuesto de 1 a interés compuesto Basado en la fórmula M=C*(1+i)n
Es decir 1.06n = 8.500/5.000, con lo cual, 1.70 = (1.06)n entonces para obtener un monto superior a 8500, me debo fijar en la tabla, en la columna del 6%, cuántos años debo colocar $1 al 6% anual para obtener un monto superior a $1.70. El resultado son 10 años. En efecto, colocando 5000 al 6% durante 10 años me dará un monto compuesto de: 5.000*(1.06)10 = 8.954. Este ejercicio pudo haber sido resuelto con una calculadora que tenga la función potencia, o con una calculadora financiera o a través de una planilla electrónica de cálculo. VI) Determinar a qué tasa es preciso colocar durante nueve años un capital de 5.000 para obtener una cifra mayor a $ 6.500. Solución: Utilizando la tabla, y aplicando la fórmula M=C*(1+i)n,
6.500= 5.000 (1+i)9, lo que equivale a decir que 1.30= (1+i)9, por lo que i es al menos de 3%, según surge de la tabla. En resumen: Se llama tasa de interés compuesto al proceso de ir acumulando al capital los intereses que éste produce, de forma que los intereses produzcan intereses a su vez.
¿Qué es el interés del dinero? El interés es el beneficio que genera una determinada cantidad de dinero, como por ejemplo en un préstamo o en un depósito a plazo fijo. Es proporcional a la cantidad de dinero prestada y al tiempo que dura el préstamo o el plazo fijo.
Es decir, si una entidad financiera presta dinero a alguien, esa persona, deberá devolver la cantidad prestada más el interés, que es el beneficio de la entidad financiera por prestar ese dinero. De la misma forma, si depositas un plazo fijo en un banco, el banco te ofrece un beneficio al final de un periodo de tiempo, por lo que recibirás el dinero depositado más el interés, que será el beneficio obtenido por realizar un plazo fijo. Existen dos tipos de intereses: interés simple e interés compuesto No hay que confundir los intereses, que es una cantidad de dinero determinada, con el tipo o la tasa de interés, que es un porcentaje y que te explico en el siguiente apartado.
Conceptos relacionados con el interés Vamos a explicar los conceptos que necesitas conocer para entender bien el interés, ya que necesitas tenerlo muy claros para identificarlos y saber trabajar con ellos en los ejercicios sobre interés, que veremos más adelante:
Capital Tenemos dos tipos de capitales:
El capital inicial, que es la cantidad de dinero inicial que se presta o se deposita. El capital final, que es la cantidad de dinero obtenida después de sumarle los intereses
Tasa o tipo de interés Es el porcentaje en el que se van generando los intereses en cada periodo que dura el préstamo o el depósito. Está muy relacionado con el periodo de tiempo que dura el
préstamo, ya que el tipo de interés puede ser anual, semestral, trimestral, mensual… Se puede expresar en tanto por uno o en tanto por ciento, teniendo en cuenta que al expresarlo en tanto por uno, hay que dividirlo entre 100:
Y si lo expresamos en tanto por ciento, ya está dividido entre 100 directamente:
Al final, el valor es el mismo:
En los ejercicios sobre interés simple e interés compuesto se suele trabajar siempre en tanto por uno, ya que es la forma de expresarlo más comúnmente. La tasa de interés aparece en los documentos contables, tal y como se explica en caymans.com/documentos
Periodo de tiempo Es el tiempo durante el cual el capital prestado o depositado está generando intereses.
Puede medirse en años, semestres, trimestres, meses… <="" ins="" data-adsbygoogle-status="done">
Interés simple ¿Cómo se calcula el interés simple? El interés simple se calcula siempre sobre el capital inicial. Los intereses generados en cada periodo de tiempo es siempre el mismo.
Por ejemplo, en el caso de prestar o depositar 1000 € al 5% anual. ¿Cuántos intereses se generarían en un año?
Sólo hay que calcular el 5% de 1000 € y tendríamos los intereses generados, multiplicando el capital inicial por el porcentaje en tanto por ciento o en tanto por uno y dividiéndolo entre 100. Lo calcularemos con el tipo de interés en tanto por uno:
Por tanto, en un año se generarían 50 €. ¿Cuántos intereses se generarían en 8 años? Pues sólo tenemos que multiplicar la cantidad anterior por el número de años que dura el préstamo o el depósito, ya que cada año se generan los mismos intereses:
Para calcular el capital final, sumamos los intereses a al capital inicial:
Por tanto, para calcular el interés simple, podemos utilizar la siguiente fórmula:
Donde, “Ci” es el capital inicial prestado o depositado, “i” es el tipo de interés (en tanto por uno, porque lo dividimos entre 100) y “t” es el tiempo que dura el préstamo o el depósito. El tipo o tasa de interés y el periodo de tiempo, deben expresarse en la misma unidad de tiempo. Es decir, si el tipo de interés es anual, el periodo de tiempo debe estar en años, si el tipo de interés es mensual, el tiempo debe estar en meses y así sucesivamente.
Lo más fácil es pasar siempre el periodo de tiempo a la unidad en la que esté expresada el tipo de interés. <="" ins="" data-adsbygoogle-status="done"> Vamos a ver un ejemplo:
Calcular el interés simple generado por 5000 € al 4% mensual durante 3 años. En este caso, tenemos el tipo de interés expresado en meses y el periodo de tiempo en años. Por tanto, hay que pasar los años del periodo de tiempo a meses, para tener las dos cosas en la misma unidad. Un año tiene 12 meses, por tanto, sólo hay que multiplicar 3 por 12, para obtener los 3 años en meses (también puedes hacerlo con un regla de tres):
Tiene sentido hacerlo así, porque el 4% mensual quiere decir, que el capital está generando intereses cada mes y por tanto hay que multiplicarlo por el número de meses que dura el préstamo par obtener el interés total.
También podemos conocer el interés generado, el capital inicial y el tipo de interés y querer calcular el tiempo que dura el préstamo para generara esos intereses o querer calcular el tipo de interés, conocido el resto de variables. Sólo tenemos que sustituir los datos en la fórmula y despejar la incógnita que nos falte. Por ejemplo: ¿Durante cuántos años se ha colocado un capital de 2800 euros a un interés simple del
5% anual para tener al final de ese periodo un capital final de 3920 €?
En este caso nos dan como datos el capital inicial y el capital final, por lo que primero debemos calcular el capital generado, restando ambos capitales:
Ahora, aplicamos la fórmula del interés simple y sustituimos todos los valores que conocemos:
Y por último despejamos el tiempo:
La unidad del periodo de tiempo son años, ya que el tipo de interés es anual.
Ejercicios resueltos sobre interés simple Vamos a resolver algunos ejercicios sobre interés simple para que te quede más claro todo lo que acabo de explicar:
Ejercicio 1 ¿Cuál es el interés simple generado en un plazo fijo, por un capital de 10000 €, al 4% trimestral durante 2 años?
Aplicamos la fórmula del interés simple:
Pero tenemos en cuenta que el tipo de interés está en trimestres y el periodo de tiempo en años. Por tanto, debemos pasar los años a trimestres, multiplicando por 4, ya que un año tiene 4 trimestres:
Ejercicio 2
Hace 4 años de pidió un préstamo de 7000 € y la cantidad pagada al terminar el periodo del préstamo han sido 9500 €. ¿Qué tipo de interés se le aplicó? En este caso el capital inicial
son 7000 €, pero cuidado, porque los intereses generados no son 9500 €. Los 9500 € corresponden al capital final. Por tanto, calculamos los intereses generados en primer lugar:
Ahora sustituimos todos los datos en la fórmula del interés simple:
Y despejamos el tipo de interés:
Es un tipo de interés anual, ya que el periodo de tiempo estaba en años. <="" ins="" data-adsbygoogle-status="done">
Ejercicio 3
Después de 3 años, un banco ha pagado en concepto de interés la cantidad de 840 € a una persona por depositar un plazo fijo. La tasa de interés ha sido del 2% anual. ¿Cuál fue el capital inicial con el que se hizo el depósito?
En este caso, conocemos todo menos el capital inicial. Sustituimos en la fórmula:
Y despejamos el capital inicial:
Interés compuesto En el interés compuesto, los intereses que se van generando al final de cada periodo, se van añadiendo al capital, que sirve base para calcular los nuevos intereses generados con ese nuevo capital. Al finalizar cada periodo, el capital final será igual al capital inicial más los intereses:
Los intereses para cada periodo se calcular multiplicando el capital en ese periodo por el tipo de interés en tanto por uno, dividido entre 100:
Por tanto, el capital para el final de cada periodo se puede expresar como:
Que si sacamos factor común al capital inicial queda:
Ahora imaginemos que queremos prestar o depositar 1000 compuesto. ¿Cuántos intereses se generarían en 2 años?
€ al 5% anual de interés
Aplicamos la fórmula anterior para calcular el capital final, al término del primer año:
Para el siguiente año, el capital inicial ya no son los 1000 € del principio, sino que hay que añadirle los intereses que se han generado durante el primer año. Por tanto, el capital inicial ahora son 1050 €. El capital final es igual a:
Para calcular los intereses generados al final de los dos años, restamos el capital final al término del segundo año el capital que teníamos al principio del todo:
<="" ins="" data-adsbygoogle-status="done"> Si tuviéramos que calcular el capital final generado al cabo de 10 años, no es necesario repetir este proceso 10 veces. Esta vez lo he hecho así para que veas cómo funciona. Para obtener el capital final de cada año, lo que hacemos es multiplicar por (1+i/100) las mismas veces que el número de unidades de la cantidad de tiempo. Por tanto, para calcular el capital final con un interés compuesto, podemos utilizar la siguiente fórmula:
Donde “Cf” es el capital final, “Ci” es el capital inicial, “i” son los intereses en tanto por uno y “t” es el tiempo que dura el préstamo o el depósito. En este caso no estamos calculando los intereses generados directamente, como en el cálculo del interés simple, sino que estamos calculando el capital final. Para calcular los intereses generados hay que restar el capital inicial al capital final:
Al igual que con el interés simple, en el interés compuesto el tipo o tasa de interés y el periodo de tiempo, deben expresarse en la misma unidad de tiempo . Por ejemplo: Calcular los intereses generados en un plazo fijo de 15000 € al 3% anual de interés compuesto al cabo de 5 años.
Aplicamos la fórmula que acabamos de ver para el interés compuesto y sustituimos todas los datos que conocemos:
Y finalmente operamos:
Hemos calculado el capital final al cabo de 5 años, los intereses generados son:
También podemos calcular cualquiera de las variables si conocemos las demás, con solo sustituir en la fórmula de interés compuesto y despejar la variable que falte. La más compleja de sustituir en este caso es el tiempo, ya que es el exponente de una potencia y para despejarla, hay que aplicar las propiedades de los logaritmos. Te recomiendo echar un vistazo al Curso de Logaritmos si no los dominas. Por ejemplo: ¿Cuántos años debe estar un depósito
para que se convierta en 10000 €?
de 8000 €, a un interés compuesto del 5% anual,
En este caso el capital inicial son 8000 € y el capital final son 10000 €. Sustituimos todos los datos en la fórmula de interés compuesto, y nos queda por despejar el tiempo:
Ahora dejamos la potencia sola en el segundo miembro, pasando el 8000 dividiendo al primer miembro:
Operamos en ambos miembros para simplificar cálculos:
La “t” queda en el exponente. Para despejarla, utilizaremos las propiedades de los logaritmos. Aplicamos logaritmos en ambos miembros:
La “t” pasa multiplicando al logaritmo:
Y ahora despejamos la “t”, ya que ambos logaritmos son números que pueden obtenerse con la calculadora:
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Ejercicios resueltos sobre interés compuesto Ejercicio 1 Se ha pedido un préstamo a devolver durante 6 años a una tasa de interés compuesto trimestral del 3% y la cantidad que se ha pagado al final de los 6 años ha sido de 13500 euros. ¿De cuánto se ha pedido el préstamo? Sustituimos los datos que conocemos en la fórmula del interés compuesto:
En este caso, hay que pasar los años a trimestres multiplicando por 4, ya que el tipo de interés es trimestral. Operamos para simplificar la expresión:
Despejamos el capital y lo calculamos:
Ejercicio 2
Calcula la tasa de interés compuesto que se aplica a un capital inicial de 13000 € para que después de 3 años se tengan 14500 €. Sustituimos los datos conocidos en la fórmula:
Vamos a despejar el tipo de interés, que está dentro de la potencia. Para ello, en primer lugar pasamos el 13000 dividiendo el primer miembro:
Ahora pasamos el cubo como raíz cúbica:
Pasamos el 1 restando:
Por último pasamos el 100 multiplicando a todo el primer miembro y operamos:
Ejercicio 3
Se realiza un plazo fijo de 15000 € al tipo de interés compuesto anual del 3% y se pretende retirarlos al llegar a 18000 € ¿Cuántos años debe estar el plazo fijo como mínimo? Sustituimos los datos conocidos en la fórmula del capital final con interés compuesto:
Tenemos que despejar la t mediante logaritmos igual que en el ejemplo de más arriba. Pasamos el 15000 dividiendo al primer miembro:
Operamos para simplificar la expresión:
Aplicamos logaritmos:
Pasamos la t multiplicando al logaritmo en el segundo miembro:
Despejamos la t y operamos:
Ejercicios resueltos 1- Un capital de 20000 € ha estado invertido un cierto tiempo a un tipo de interés del 1% anual y ha generado unos intereses de 4000 €. ¿Cuánto tiempo estuvo invertido? 2- Juan duda entre pedir un préstamo de 10000 € a devolver en 8 años en el banco, a un tipo de interés del 8% anual, a una entidad financiera, que le ofrece un 1,9% trimestral o a un usurero que presta dinero al 1% mensual. Analiza cuánto dinero pagaría de intereses en cada caso y qué opción le conviene más. 3- ¿A qué tipo de interés conpuesto duplique al final de 12 años?
se debe colocar un capital de 10000 € para que se
4- Halla durante cuántos años se ha colocado un capital de 2800 € a un interés simple del
5% para obtener al final del periodo un capital de 3920 €. ¿Y si se deposita a un interés compuesto del 5%?
Interés compuesto A lo mejor quieres leer primero la Introducción al interés
Para el interés compuesto, calculamos el interés del primer periodo, lo sumamos al total, y después calculamos el interés del siguiente periodo, y sigue... así:
Aquí tienes los cálculos para un préstamo de 5 años al 10%: Año
Préstamo inicial
Interés
Préstamo final
0 (Ahora)
$1,000.00
($1,000.00 × 10% = ) $100.00
$1,100.00
1 2 3 4
$1,100.00 $1,210.00 $1,331.00 $1,464.10
($1,100.00 × 10% = ) $110.00 ($1,210.00 × 10% = ) $121.00 ($1,331.00 × 10% = ) $133.10 ($1,464.10 × 10% = ) $146.41
$1,210.00 $1,331.00 $1,464.10 $1,610.51
5
$1,610.51
Como ves, es fácil calcular si vas paso a paso. 1. Calcula el interés (= "préstamo inicial" × tasa de interés)
2. Suma el interés al "préstamo inicial" para calcular el "préstamo final" del año 3. El "préstamo final" del año es el "préstamo inicial" del año siguiente Una tarea simple, con muchos cálculos. Pero hay maneras más rápidas, siendo listos con las matemáticas.
Hagamos una fórmula Vamos a hacer una fórmula para lo de arriba... empezamos mirando el primer año: $1,000.00 + ($1,000.00 × 10%) = $1,100.00
Lo podemos reescribir así:
Así que sumar el 10% de interés es como multiplicar por 1.10 Nota: la tasa de interés la hemos escrito en decimal dividiendo entre 100: 10% = 10/100 = 0.10 , lee Porcentajes para saber más. Así que ahora es todo en un paso:
1. Multiplica el "préstamo inicial" por (1 + tasa de interés) para calcular el "préstamo final" (¡Pero recuerda que primero hay que poner la tasa de interés en decimal! 0.10, no 10%)
Con un simple cálculo vemos que el resultado es el mismo: $1,000 + ($1,000 x 10%) = $1,000 + $100 = $1,100
es lo mismo que:
$1,000 × 1.10 = $1,100
Ahora viene la magia...
... ¡la misma fórmula vale todos los años! · Podemos calcular el año siguiente así: $1,100 × 1.10 = $1,210 · Y seguimos otro año más: $1,210 × 1.10 = $1,331 · etc...
Así es como funciona:
De hecho podemos ir directamente desde el principio hasta el año 5, multiplicando 5 veces: $1,000 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 = $1,610.51 Pero es más fácil escribir las multiplicaciones usando exponentes (o potencias) así:
La fórmula Hemos usado un ejemplo real, pero podemos hacerlo en general con letras en vez de números, así:
(¿Ves que es lo mismo? Antes teníamos PV = $1,000, r = 0.10, n = 5, y FV = $1,610.51) Esta es la fórmula básica para el interés compuesto. Apréndetela, es muy útil.
Ejemplos ¿Qué tal unos ejemplos...? ¿Y si el préstamo fuera de 15 años? ... sólo tienes que cambiar el valor de "n":
... ¿y si el préstamo fuera de 5 años, pero la tasa de interés fuera sólo del 6%? Queda así:
¿Has visto cómo hemos puesto el 6% en su sitio?
... ¿ y si fuera de 20 años al 8%? ... ¡esa la calculas tú!
Calcular "al revés" para encontrar el valor presente Digamos que tu objetivo es tener $2,000 dentro de 5 años. Te dan un 10% en el banco, así que ¿cuánto tienes que poner al principio? Es decir, conoces el valor futuro, y quieres conocer el valor presente. Sabemos que si multiplicamos un valor presente (PV) por (1+r)n nos da el valor futuro (FV), así que podemos volver atrás dividiendo:
Así que la fórmula es: PV = FV / (1+r) n Y podemos calcular la respuesta del problema: PV = $2,000 / (1+0.10)5 = $2,000 / 1.61051 = $1,241.84 O sea, $1,241.84 crecerán hasta $2,000 si los invertimos al 10% durante 5 años. Otro ejemplo: ¿Cuánto tienes que invertir ahora para tener $10,000 dentro de 10 años al 8% de interés?
PV = $10,000 / (1+0.08)10 = $10,000 / 2.1589 = $4,631.93 Así que $4,631.93 invertidos al 8% durante 10 años dan $10,000
Periodos de interés compuesto El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser al mes, al día, etc. ¡Pero si no es anual deberían decirlo!
Ejemplo: tomas prestados $1,000 durante 12 meses y dicen "1% al mes", ¿cuánto tienes que devolver? Sólo tienes que usar la fórmula del valor futuro con "n" el número de meses: FV = PV × (1+r) n = $1,000 × (1.01)12 = $1,000 × 1.12683 = $1,126.83 a devolver También se puede tener interés anual pero varias veces en el mismo año, lo que se llama Composición periódica. Por ejemplo, 6% de interés "compuesto mensualmente" no quiere decir 6% cada mes, sino 0.5% al mes (6% entre 12 meses), y se calcularía así: FV = PV × (1+r/n)n = $1,000 × (1 + 6%/12)12 = $1,000 × (1.005)12 = $1,000 × 1.06168... = $1,061.68 a devolver Esto es lo mismo que un 6.168% durante un año ($1,000 se han convertido en $1,061.68). ¡Así que ten cuidado con los significados!
TAE Como es fácil confundirse cuando lees un anuncio (¡a veces lo hacen a propósito!), se suele usar el "TAE". TAE quiere decir "Tasa Anual E quivalente" ... te dice lo que vas a sacar en realidad cada año (incluyendo el compuesto, costes, etc.)
En este anuncio parece que es 6.25%, pero en realidad es 6.335% Aquí hay más ejemplos: Ejemplo 1: "1% al mes" en realidad es TAE 12.683% (si no hay costes). Y: Ejemplo 2: "6% de interés compuesto mensualmente" en realidad es TAE 6.168% (si no hay costes). Si estás buscando hacer negocios, pregunta por el TAE.
¡Un respiro! Hasta ahora hemos usado (1+r)n para ir de un valor presente (PV) a un valor futuro (FV) y al revés, además hemos visto algunos de los trucos que te puedes encontrar en un préstamo.
Ahora tómate un descanso antes de seguir con los dos temas siguientes:
Cómo calcular la tasa de interés si conoces el PV, el FV y el número de periodos Cómo calcular el número de periodos si conocemos el PV, el FV y la tasa de interés
Calcular la tasa de interés Puedes calcular la tasa de interés si sabes el valor presente, el valor futuro y cuántos periodos son. Ejemplo: tienes $1,000, y quieres tener $2,000 en 5 años, ¿qué tasa de interés te hace falta? La fórmula es: r = ( FV / PV ) 1/n - 1 Nota: el pequeño "1/n" es un exponente fraccionario , primero calcula 1/n y luego úsalo como exponente en la calculadora. Por ejemplo 20.2 lo calcularíamos así: 2, " x^y" , 0, ., 2, =
Ahora "metemos" los valores para tener el resultado: r = ( $2,000 / $1,000 )1/5 - 1 = ( 2 ) 0.2 - 1 = 1.1487 - 1 = 0.1487 Y 0.1487 en porcentaje es 14.87%, Así que te haría falta una tasa de interés del 14.87% para que $1,000 se convirtieran en $2,000 en 5 años. Otro ejemplo: ¿Qué tasa de interés te hace falta para que tus $1,000 se conviertan en $5,000 en 20 años?
r = ( $5,000 / $1,000 )1/20 - 1 = ( 5 )0.05 - 1 = 1.0838 - 1 = 0.0838 Y 0.0838 en porcentaje es 8.38%. Así que un 8.38% convertirá tus $1,000 en $5,000 en 20 años.
Calcular el número de periodos Puedes calcular cuántos periodos son si sabes el valor presente, el valor futuro y la tasa de interés.
Ejemplo: quieres saber cuántos periodos necesitas para que tus $1,000 se conviertan en $2,000 al 10% de interés. Esta es la fórmula (nota: usa el logaritmo natural ln): n = ln(FV / PV) / ln(1 + r) La función " ln" debería de estar en tu calculadora si es de las buenas. También hay log , no las confundas.
En fin, vamos a "meter" los valores: n = ln( $2,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.10 ) = ln(2)/ln(1.10) = 0.69315/0.09531 = 7.27 ¡Magia! Dentro de 7.27 años tus $1,000 serán $2,000 al 10% de interés.
Otro ejemplo: ¿Cuántos años hacen falta para que $1,000 se hagan $10,000 al 5% de interés?
n = ln( $10,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.05 ) = ln(10)/ln(1.05) = 2.3026/0.04879 = 47.19 ¡47 años! Pero es que estamos hablando de multiplicar el dinero por 10, sólo al 5% de interés.
Calculadora He hecho una Calculadora de interés compuesto que usa estas fórmulas, por si te interesa.
Resumen La fórmula básica para el interés compuesto es: FV = PV (1+r)n
Para calcular el valor futuro, donde:
FV = valor futuro, PV = valor presente, r = tasa de interés (en decimal), y n = número de periodos
Y manipulando la fórmula (lee Derivación de la fórmula del interés compuesto ) podemos calcular cualquier valor si sabemos los otros tres:
