Unidad v - Ecuaciones Constitutivas

UNIDAD V – ECUACIONES CONSTITUTIVAS INTRODUCCION Una ecuación constitutiva es una relación entre las variables termodinámicas o mecánicas de un sistema físico: presión, volumen, tensión, deformación, temperatura, densidad, entropía, etc. Cada material o substancia tiene una ecuación constitutiva específica, dicha relación sólo depende de la organización molecular interna. En mecánica de sólidos y en ingeniería estructural, las ecuaciones constitutivas son igualdades que relacionan el campo de tensiones con la deformación, usualmente dichas ecuaciones relacionan componentes de los tensores tensión, deformación y velocidad de deformación. Para un material elástico lineal la ecuación constitutiva se llaman ecuaciones de Lamé-Hooke o más simplemente ley de Hooke. También más generalmente en física se usa el término ecuación constitutiva para cualquier relación entre magnitudes tensoriales, que no es derivable de leyes de conservación u otro tipo de leyes universales y que son específicas del tipo de problema estudiado.

Medios continuos. 

Sólido Elástico lineal (Ley de Hooke) (Caso unidimensional) (Caso general)



Sólido Elástico isótropo no-lineal (Teorema de Rivlin-Ericksen) Rivlin-Ericksen)



Fluido newtoniano

BRAVO MORENO JOSE MANUEL

Página 1

5.1 ELASTICIDAD CLÁSICA Cuando un objeto de somete a fuerzas externas, sufre cambios de tamaño o de forma, o de ambos. Esos cambios dependen del arreglo de los átomos y su enlace en el material. Cuando un peso jala y estira a otro y cuando sele quita este peso y regresa a su tamaño normal decimos que es un cuerpo elástico. Elasticidad: Propiedad de cambiar de forma cuando actúa una fuerza de deformación sobre un objeto, y el objeto regresa a su forma original cuando cesa la deformación. Los materiales no deformables se les llaman inelásticos (arcilla, plastilina y masa de repostería). El plomo también es inelástico, porque se deforma con facilidad de manera permanente. Si se estira o se comprime más allá de cierta cantidad, ya no regresa a su estado original, y permanece deformado, a esto se le llama límite elástico. *Cuando se tira o se estira de lago se dice que está en tensión (largas y delgadas). *Cuando se aprieta o se comprime algo se dice que está en compresión (cortas y gruesas).

5.1.1 LEY DE HOOKE GENERALIZADA En la teoría clásica de la elasticidad lineal, se supone que los desplazamientos y los gradientes de desplazamiento son suficientemente pequeños, de tal manera que no es necesaria ninguna distinción entre las descripciones lagrangiana y euleriana. Según esto, en función del vector desplazamiento ui, el tensor de deformación lineal está dado por las expresiones equivalentes.

En lo que sigue se supone que los procesos de deformación son adiabáticos (sin pérdida o ganancia de calor) e isotérmicos (a temperatura constante) a menos que específicamente se establezca lo contrario. Las ecuaciones constitutivas para un sólido elástico lineal relacionan los tensores de tensión y deformación a través de la expresión.

Esta es conocida como la ley de Hooke generalizada. En el tensor de las constantes elásticas Cijkm tiene 81 componentes. No obstante, debido a la simetría de los tensores de tensión y deformación, hay a lo sumo 36 constantes BRAVO MORENO JOSE MANUEL

Página 2

elásticas distintas. Con objeto de escribir la ley de Hooke mediante estas 36 constantes, el sistema de doble asignación de índices a las componentes de tensión y deformación se constituye con frecuencia por un sistema de notación sencilla con un índice de rango 6. Así, con la notación.

La ley de Hooke se puede escribir:

En la que Ckm representa a las 36 constantes elásticas, y donde los subíndices en mayúsculas latinas se usan para resaltar que el rango de estos índices es 6.

5.1.1.1 ISOTROPÍA Si las propiedades elásticas son independientes del sistema de referencia usado para describirlas, se dice que tal material es elásticamente isótropo. En un punto existe un plano de simetría elástica cuando las constantes elásticas tienen los mismos valores para cada par de sistemas coordenados que son el uno del otro como las imágenes reflejadas respecto al plano. Se alude a los ejes de tales sistemas coordenados como “direcciones elásticas equivalentes”. Si el plano x1x2 es uno de simetría elástica, las constantes Ckm son invariantes bajo la transformación de coordenadas.


Página 3

La matriz de transformación esta dada por:

Introduciendo los valores en las leyes de transformación de los tensores lineales de tensión y deformación, la matriz elástica de un material que tiene x1x2 como plano de simetría es:

5.1.2 ENERGÍA ELÁSTICA DE DEFORMACIÓN Cuando se desprecian los efectos térmicos, la ecuación de balance de energía se puede escribir:

En este caso, la energía interna es puramente mecánica y se denomina energía de deformación (por unidad de masa) y si u se 9 considera como una función de las nueve componentes de deformación, u= u (eij), su diferencial será:

La energía de deformación u se define como y puesto que p se puede considerar constate en la teoría de las pequeñas deformaciones, u tiene la propiedad:

Además, se puede elegir arbitrariamente un estado de energía de deformación nulo; y puesto que la tensión tiene que anularse con las deformaciones, la forma mas sencilla de la función de la energía de deformación que conduce a una relación tensión-deformación lineal es la forma cuadrática.

En el sistema de asignación de índices sencillos. Debido a esta simétrica de Ckm, el número de constantes elásticas independientes es a lo sumo 21 existe una función para la energía de deformación. BRAVO MORENO JOSE MANUEL

Página 4

5.1.3 TENSOR DE PIOLA – KIRCHHOFF Los tensores de tensión de Piola-Kirchhoff son tensores usados en la teoría de la elasticidad con deformaciones finitas para representar la tensión con respecto a la configuración inicial no deformada. Esto contrasta con el tensor de tensiones de Cauchy usualmente usado para representar las tensiones para la configuración deformada. En la teoría lineal de la elasticidad debido a que la configuración deformada y la configuración no deformada son prácticamente iguales, se puede usar el tensor de tensiones de Cauchy para representar las tensiones en la configuración inicial no deformada con muy buena aproximación. Sin embargo, con grandes deformaciones esto no resulta adecuado, y en general se requiere el uso de los tensores de Piola-Kirchhoff. Existen dos tipos de tensores de Piola-Kirchoff: 



Primer tensor de Piola-Kirchoff , que es un tensor mixto que relaciona la configuración inicial no deformada con las tensiones en la configuración deformada. Segundo tensor de Piola-Kirchoff , es un tensor simétrico que permite plantear el problema elástico sobre la configuración inicial.

PRIMER TENSOR DE PIOLA-KIRCHOFF Mientras que el tensor de tensiones de Cauchy T C = (σij ) relaciona las fuerzas en la configuración final deformada con las áreas de la configuración final deformada, el primer tensor de Piola-Kirchhoff T R = (K Ij ) relaciona las fuerzas en la configuración final deformada con las áreas en la configuración inicial no deformada (configuración material). Las componentes de este tensor se relacionan con las del tensor de Cauchy mediante:

Donde es el gradiente de deformación, que relaciona la configuración inicial no deformada y la configuración final deformada. Más sencillamente en componentes y usando en convenio de sumatoria de Einstein, la relación anterior puede escribirse como:

Puesto que este tensor relaciona magnitudes de diferentes sistemas coordenados es un tensor de "dos puntos" o tensor mixto. En general, este tensor no será simétrico. En una rotación rígida las componentes de este tensor en general no se mantendrán constantes. Este tensor es el "momento conjugado" del gradiente de deformación. BRAVO MORENO JOSE MANUEL

Página 5

SEGUNDO TENSOR DE PIOLA-KIRCHOFF Mientras que el primer tensor de Piola-Kirchhoff T R relaciona fuerzas en la configuración final deformada con áreas en la configuración inicial no deformada, el segundo tensor de Piola- Kirchhoff ΣR = (S IJ ) relaciona fuerzas y áreas sobre la configuración inicial no deformada, y por tanto constituye un tensor ordinario (no mixto). Las fuerzas sobre la configuración inicial de referencia se obtienen proyectando las fuerzas sobre la configuración deformada, a través de isomorfismo que relaciona ambas geometrías. La relación entre el segundo tensor de Piola-Kirchhoff y el tensor tensión de Cauchy viene dado por:

Por definición además este tensor, al igual que el tensor tensión de Cauchy, es simétrico. La relación anterior expresada en componentes es simplemente:

Si el material rota mediante una "rotación rígida" sin cambio de forma y por tanto sin cambio en las tensiones, entonces las componentes del segundo tensor de Piola-Kirchhoff permanecen constantes durante dicha rotación. Este segundo tensor de Piola-Kirchhoff es el "momento conjugado" respecto a la energía total del tensor deformación de Green-Lagrange.

5.1.4 PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA En matemáticas, en el campo de las ecuaciones diferenciales, un problema de valor de frontera o contorno se lo denomina al conjunto de una ecuación diferencial y a las condiciones de frontera o contorno. Una solución de un problema de condiciones de frontera es una solución de una ecuación diferencial que también satisface condiciones de frontera. Un problema de condiciones de frontera aparece en muchos aspectos de la física, como en las ecuaciones diferenciales que explican ciertos problemas físicos. Problemas que involucran la ecuación de onda son comúnmente problemas de condiciones de frontera. Muchas clases de problemas de valores de frontera importantes son los problemas de Sturm-Liouville. El análisis de estos problemas involucra funciones propias y operadores diferenciales.


Página 6

Muchos de los primeros problemas de valor de frontera han sido estudiados mediante los problemas de Dirichlet, o buscando una función armónica (solución de una ecuación de Laplace) cuya solución esta dada por el principio de Dirichlet.

EJEMPLO Teniendo las funciones y donde y son constantes o parámetros arbitrarios las cuales son soluciones de la ecuación diferencial lineal

para

las primeras derivadas respecto a t son al sustituir se obtiene lo siguiente:

y de igual manera para obtenemos lo siguiente:

y

y

y cuando sustituimos

y se comprueba de forma directa que la combinación lineal de las soluciones o la familia paramétrica diferencial.

también son solución de la ecuación

(a) supongamos que ahora se desea determinar la solución de la ecuación que satisface mas las condiciones limite condición

observemos que la implica que

. Pero cuanto elección de puesto que ,

por consiguiente

, se satisface que para cualquier por consiguiente que el problema es:

,

tiene un numero infinito de soluciones como se muestra en la grafica. (b) si el problema de valores en la frontera se cambia a , entonces a

, , aun requiere que requiere que


en la solución (2). Pero aplicar por consiguiente Página 7

es una solución de este nuevo problema de valores en la frontera de hecho se puede demostrar que es la única solución (c) por ultimo si el problema de valores en la frontera se cambia a ,

,

se encuentra de nuevo que

, y que

pero al aplicar

a

conduce a la contradicción por consiguiente el problema de valores en la frontera no tiene solución.

5.1.5 TENSOR DE ELASTICIDAD La tensión en un punto se define como el límite de la fuerza aplicada sobre una pequeña región sobre un plano π que contenga al punto dividida del área de la región, es decir, la tensión es la fuerza aplicada por unidad de superficie y depende del punto elegido, del estado tensional de sólido y de la orientación del plano escogido para calcular el límite. Puede probarse que la normal al plano escogido n π y la tensión t π en un punto están relacionadas por:

Donde T es el llamado tensor tensión, también llamado tensor de tensiones, que fijada una base vectorial ortogonal viene representado por una matriz simétrica 3x3:

Donde la primera matriz es la forma común de escribir el tensor tensión en física y la segunda forma usa las convenciones comunes en ingeniería. Dada una BRAVO MORENO JOSE MANUEL

Página 8

región en forma de ortoedro con caras paralelas a los ejes coordenados situado en el interior un sólido elástico tensionado las componentes σ xx , σ yy y σ zz dan cuenta de cambios de longitud en las tres direcciones, pero que no distorsinan los ángulos del ortoedro, mientras que las componentes σ xy , σyz y σzx están relacionadas con la distorsión angular que convertiría el ortoedro en un paralelepípedo.

5.2 FLUIDOS Se denomina fluido a un conjunto de sustancias donde existe entre sus moléculas poca fuerza de atracción, cambiando su forma, lo que ocasiona que la posición que toman sus moléculas varía, ante una fuerza aplicada sobre ellos, pues justamente fluyen. Los líquidos toman la forma del recipiente que los aloja, manteniendo su propio volumen, mientras que los gases carecen tanto de volumen como de forma propios. Las moléculas no cohesionadas se deslizan en los líquidos, y se mueven con libertad en los gases. Los fluidos están conformados por los líquidos y los gases, siendo los segundos mucho menos viscosos (casi fluidos ideales). Aunque en verdad los fluidos no se mueven. De esta forma, las variables de estado del material, tales como la presión, la densidad y la velocidad podrán ser consideradas como funciones continuas del espacio y del tiempo, conduciendo naturalmente a la descripción del material como un medio continuo. Las ecuaciones que rigen toda la mecánica de fluidos se obtienen por la aplicación de los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Para generalizarlas usaremos el teorema del transporte de Reynolds y el teorema de la divergencia (o teorema de Gauss) para obtener las ecuaciones en una forma más útil para la formulación euleriana. Las tres ecuaciones fundamentales son: la ecuación de continuidad, la ecuación de la cantidad de movimiento, y la ecuación de la conservación de la energía. Estas ecuaciones pueden darse en su formulación integral o en su forma diferencial, dependiendo del problema. A este conjunto de ecuaciones dadas en su forma diferencial también se le denomina ecuaciones de Navier-Stokes (las ecuaciones de Euler son un caso particular de la ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos sin viscosidad). No existe una solución general a dicho conjunto de ecuaciones debido a su complejidad, por lo que para cada problema concreto de la mecánica de fluidos se estudian estas ecuaciones buscando simplificaciones que faciliten la resolución del problema. En algunos casos no es posible obtener una solución analítica, por lo que hemos de recurrir a soluciones numéricas generadas por ordenador. A esta rama de la mecánica de fluidos se la denomina mecánica de fluidos computacional. Las ecuaciones son las siguientes:


Página 9

Ecuación de continuidad:

-Forma integral:

-Forma diferencial:

Ecuación de cantidad de movimiento: -Forma integral:

-Forma diferencial:

Ecuación de la energía -Forma integral:

-Forma diferencial:

5.2.1 FLUIDOS IDEALES Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior. Por ejemplo, si se tapa la salida de una bomba de bicicleta y se empuja la bomba, vemos que podemos comprimir el aire que contiene. Sin embargo, si hacemos la misma experiencia con agua dentro, vemos que apenas podemos mover la bomba porque la compresibilidad del agua (y de cualquier líquido) es muy baja. Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante BRAVO MORENO JOSE MANUEL

Página 10

ρ = ρ0 = constante

La ecuación de la conservación de la masa toma entonces una forma particularmente sencilla bajo forma integral en una superficie cerrada :

lo que indica la igualdad del volumen de fluido que entra y sale. o bien bajo forma local La densidad se utiliza para determinar si un fluido es incompresible o compresible. Si la densidad del fluido es fija (constante), el fluido es incompresible; esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible. O sea que la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. Un fluido con muchas moléculas muy juntas unas de otras tiene una densidad alta; uno que tiene pocas moléculas y muy separadas, tendría una densidad más baja. El agua, por ejemplo, tiene una densidad mucho más alta que el aire. Una pecera de 10 galones que se encuentra llena de agua contiene mucha más masa que un tanque de 10 galones que tiene aire en lugar de agua. Como tiene más masa, pesa más. Los gases (como el aire), son compresibles. Pueden expandirse para llenar un nuevo volumen. Cuando esto ocurre, la masa no cambia, pero el volumen aumenta; de esta manera, la densidad del gas disminuye en el nuevo volumen. Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible). La densidad del aire en un día caluroso es más baja que en un día frío. A grandes alturas, donde la presión es más baja, la densidad del aire es también más baja.

5.2.2 FLUIDOS NEWTONIANOS Un fluido newtoniano es un fluido cuya viscosidad puede considerarse constante en el tiempo. La curva que muestra la relación entre el esfuerzo o cizalla contra su tasa de deformación es lineal y pasa por el origen, es decir, el punto [0,0]. El mejor ejemplo de este tipo de fluidos es el agua en contraposición al pegamento, la miel o los geles que son ejemplos de fluido no newtoniano. Un buen número de fluidos comunes se comportan como fluidos newtonianos bajo condiciones normales de presión y temperatura: el aire, el agua, la gasolina, el vino y algunos aceites minerales. BRAVO MORENO JOSE MANUEL

Página 11

Matemáticamente, el rozamiento en un flujo unidimensional de un fluido newtoniano se puede representar por la relación:

Donde: 



es la tensión tangencial ejercida en un punto del fluido o sobre una superficie sólida en contacto con el mismo, tiene unidades de tensión o presión ([Pa]). es la viscosidad del fluido, y para un fluido newtoniano depende sólo de la temperatura, puede medirse en [Pa·s] o [kp·s/cm 2].

es el gradiente de velocidad perpendicular a la dirección al plano en el que estamos calculando la tensión tangencial, [s −1]. La ecuación constitutiva que relaciona el tensor tensión y el gradiente de velocidad y la presión en un fluido newtoniano es simplemente: 

5.2.3 FLUJOS LAMINARES Y TURBULENTOS Es uno de los dos tipos principales de flujo en fluido. Se llama flujo laminar o corriente laminar, al movimiento de un fluido cuando éste es ordenado, estratificado, suave. En un flujo laminar el fluido se mueve en láminas paralelas sin entremezclarse y cada partícula de fluido sigue una trayectoria suave, llamada línea de corriente. En flujos laminares el mecanismo de transporte lateral es exclusivamente molecular.´ El flujo laminar es típico de fluidos a velocidades bajas o viscosidades altas, mientras fluidos de viscosidad baja, velocidad alta o grandes caudales suelen ser turbulentos. El número de Reynolds es un parámetro adimensional importante en las ecuaciones que describen en que condiciones el flujo será laminar o turbulento. En el caso de fluido que se mueve en un tubo de sección circular, el flujo persistente será laminar por debajo de un número de Reynolds crítico de aproximadamente 2040.1 Para números de Reynolds más altos el flujo turbulento puede sostenerse de forma indefinida. Sin embargo, el número de Reynolds que delimita flujo turbulento y laminar depende de la geometría del sistema y además la transición de flujo laminar a turbulento es en general sensible a ruido e imperfecciones en el sistema El perfil laminar de velocidades en una tubería tiene forma de una parábola, donde la velocidad máxima se encuentra en el eje del tubo y la velocidad es igual


Página 12

a cero en la pared del tubo. En este caso, la pérdida de energía es proporcional a la velocidad media, mucho menor que en el caso de flujo turbulento.

El punto de partida es el modelo de Navier-Stokes para un fluido Newtoniano incomprensible con una viscosidad dinámica μ, en la ausencia de fuerzas corpóreas.

Donde: u: Campo de velocidad. ρ: Densidad. P: Campo de presiones. Nótese que se deben aplicar condiciones iniciales y de frontera para tener un problema bien planteado. El término no lineal que aparece en la parte izquierda de la ecuación, lleva al fenómeno más complejo y rico de la dinámica de fluidos. En particular, este término cuadrático es la razón del porque los fluidos se vuelven turbulentos. Cuando este término aumenta mucho más que el término de difusión al cuadrado, el flujo se vuelve inestable y largas estructuras del flujo se deshacen en torbellinos cada vez más pequeños, hasta que estos son difundidos en calor por los efectos de viscosidad. Este importante proceso es llamado “Cascada de Energía”.

5.2.4 EJEMPLOS DE FLUJOS LAMINARES NEWTONIANOS INCOMPRESIBLES PRESION EN AGUA A 1 ATM Una presión de 210 atm hace que la densidad del agua liquida a 1 atm cambie en sólo 1 por ciento. Cuando se analizan flujos de gas a velocidades altas, la velocidad del flujo a menudo se expresa en términos del número adimensional de Mach que se define como En donde c es la velocidad del sonido cuyo valor es de 346 m/s en el aire a temperatura ambiente al nivel del mar. Se dice que un flujo es sónico cuando Ma=1, subsónico cuando Ma<1, supersónico cuando Ma>1, e hipersónico cuando Ma>>1. Los flujos de líquidos son incompresibles hasta un nivel alto de exactitud, pero el nivel de variación de la densidad en los flujos de gases y el nivel BRAVO MORENO JOSE MANUEL

Página 13

consecuente de aproximación que se hace cuando se modelan estos flujos como incompresibles depende del número de Mach. Con frecuencia, los flujos de gases se pueden aproximar como incompresibles si los cambios en al densidad se encuentran por debajo de alrededor de 100 m/s. Así el flujo de un gas no es necesariamente compresible.

TUBO DE VENTURI Un venturi es un dispositivo que clásicamente incorpora una simple convergencia y divergencia a través de una sección y usa los principios de Bernoulli para relacionar la velocidad con la presión del fluido. Este principio se basa en que cuando el gas o liquido en movimiento, baja su presión y aumenta su velocidad. Un tubo de venturi es usado para medir la velocidad del flujo de un fluido. En la garganta, el área es reducida de A1 a A2 y su velocidad se incrementa de V1 a V2. En el punto 2, donde la velocidad es máxima, la presión es mínima. Esto lo sabemos de la ecuación de Bernoulli. Este dispositivo se utiliza para medir el gasto de una tubería. Al escurrir el fluido de la tubería a la garganta, la velocidad aumenta notablemente, y en consecuencia, la presión disminuye; el gasto transportado por la tubería en el caso de un flujo incompresible esta en función de la lectura del manómetro. Las presiones en la sección 1 y en la garganta (sección 2) son presiones reales, en tanto que las velocidades correspondientes obtenidas en la ecuación de Bernoulli sin un término de pérdidas son velocidades teóricas. Si se consideran las pérdidas en la ecuación de la energía entonces se trata de velocidades reales. En lo que sigue se obtendrá primero la velocidad teórica en la garganta al aplicar la ecuación de Bernoulli sin el término de pérdidas. Multiplicando este valor por el coeficiente Cv, se determinará la velocidad real. Esta última, multiplicada por el área real de la garganta, permite obtener el gasto que circula por la tubería. Nota: Para obtener resultados precisos, el tubo de Venturi debe estar precedido por una longitud de al menos diez veces en diámetro de la tubería. Donde V1, V2, p1 y p2 son las velocidades y presiones en las secciones 1 y 2 respectivamente. Esta ecuación incorpora la conservación de la energía para fluidos. Usaremos la ecuación de continuidad para flujo de fluidos. Esta se basa en que con ausencia de pérdida de masa, el flujo de fluido que entra en una región dada debe ser igual al que sale. Para flujo incompresible:


Página 14

Juntando la ecuación de Bernoulli con la de continuidad, se tendrá: Por otro lado la diferencia manométrica h se puede relacionar con la diferencia de presiones al escribir la ecuación del manómetro. De este modo se obtiene una expresión para el gasto. Donde S0 es la gravedad específica del liquido en el manómetro y S1 es la gravedad específica del líquido a través de la tubería. Esta expresión que constituye la ecuación del tubo de venturi para flujo incompresible. El gasto depende de la diferencia manométrica h. 

Aplicando la ecuación de Bernoulli y continuidad en los puntos 1 y 2, los cuales están a una misma altura:

(1) (2) Remplazando (2) en (1), encontramos:

Despejando, por ejemplo v1, se tiene:

(3) Por otro lado, usando el manómetro para determinar la diferencia de presiones encontramos que como los niveles A y B están a una misma altura:

, Por lo tanto, que al reemplazar en ecuación (3) resulta:


Página 15

CONCLUSIÓN Gracias a esta unidad, se pudieron conocer lo que son las ecuaciones constitutivas en la mecánica de los medios continuos, las cuales son base para estudios posteriores referente a temas estructurales o temas donde intervenga la mecánica de fluidos o la hidráulica. Estas ecuaciones surgen a base de todo lo visto en las unidades anteriores de la materia “Introducción a la Mecánica del Medio Continuo”, siendo la conclusión de la materia donde se miran temas referentes a tensores, principios de conservación, deformación, etc.

BIBLIOGRAFIA  



Mecánica del Medio Continuo - Serie Schaum - George E.Mase Lai, Michael, Rubin, David, Krempl, Erhard . Introduction to Continuum Mechanics . Pergamon Press Apuntes de Mecánica de Medios Continuos - Ignacio Romero Olleros


Página 16

Unidad v - Ecuaciones Constitutivas

Recommend Documents