TEOREMA DEL FACTOR Y SU RECÍPROCO
Por lo que hemos hemos visto hasta aquí, un polinomio se puede escribir como sigue: Q ( x)( x − r ) + R( x ) Q ( x )( x − r ) + R ( x )
=
=
a n x
n
+
a
n −1
x
n −1
a n 2 x
n −2
−
+
... ... + a n x + a 0
=
P ( x) o simplemente
P ( x ) De donde se puede deducir que cuándo la división de
P(x) entre el divisor x – r es exacta, entonces el residuo es cero y la ecuación anterior se reduce Q ( x )( x − r )
P ( x ) , Se pede ver que P(x) esta compuesto de
=
dos factores, Q( x)( x −r ). Recípro Recíprocam camente ente si (x-r) (x-r) y Q(x) Q(x) son factore factores s de P(x) P(x) entonces el residuo es cero y r es una raíz de f(x).
Es decir el teorema del factor se puede enunciar de la siguiente manera:
Un polinomio P(x) tiene a r como una raíz si y sólo si tiene a x –r y Q(x) como factores. O bien bien x – r y Q(x) son factores factores del del polinomio polinomio P(x) si y sólo si r es una raíz de éste.
Ejemplo
Haga la división y pruebe que el dividendo se puede expresar como el producto del del coci cocien ente te por por el divi diviso sor, r, si el resi residu duo o es cero cero y que que adem además ás el térm térmic ico o independiente del divisor es raíz del dividendo o polinomio dividido.
Divida
x
4
− 2 x
3
− 11 x
2
+ 12 x + 36
entre x + 2
Se observa que el residuo obtenido es cero y entonces el dividendo se puede expresar como x
4
−
2 x 3
−
11 x 2
+
12 x + 36
=
( x 3
−
4 x 2
−
3 x +18 )( x + 2).
Ahora haciendo P ( x ) = x 4 − 2 x 3 −11 x 2 +12 x + 36 si se evalúa – 2, que es el término independiente del divisor con signo cambiado, se tiene: P ( −2) = ( −2) 4 − 2( −2) 3 −11 ( −2) 2 +12 ( −2) + 36 P ( −2) =16 − 2 ( −8) −11 ( 4 ) +12 ( −2 ) + 36 P ( −2) = 16 +16 − 44 − 24 + 36 P (−2) = 32 − 68 + 36 = −68 + 68 = 0
Como P(-2) da cero, entonces cuando x
2 , es una raíz de P(x)
=−
Otro teorema importante es el álgebra es el teorema fundamental del álgebra y que dice así. Todo polinomio no constante, tiene al menos una raíz.
Es decir, si se tuviera un polinomio P(x) de grado n > 0 esté tendría una raíz es decir el polinomio P(x) se puede expresar como P(x) = el polinomio P 1 ( x )
1
1
,
, donde
1
(polinomio degradado) es de un grado menor, es decir n-1,
como el polinomio P 1 ( X ) r 2
( x − r ) P ( x )
r
tiene grado n-1 > o, este a su vez puede tener una raíz
, entonces P 1 ( x ) se puede expresar como
( ) ( x
P x 1
=
−
) ( ) ( x
r 2 P 2 x
=
−
) ( )
r 2 P 2 x
, donde el grado del polinomio P 2 ( x )
es n-2, se pueden ir buscando todos los
polinomios que sean factores del polinomio inicial y se podrá llegar a plantear el polinomio P(x) en términos de los factores lineales como:
( )
(
P x = x − r 1
)( x − r )...( x − r ) P donde 2
0
n
P 0
es el polinomio que tiene exponente
cero, es decir es una constante. Llegando a establecer otro teorema, conocido como el de factorización completa, que afirma que:
Si P ( x )
=
a n x
n
+
a n 1 x
n −1
−
por lo tanto tendrá
+
r r r
1
2
... + a1 x + a 0 , que es un polinomio de grado n > 0 y que
3...
r
n
−1,
raíces, entonces el polinomio P(x) se podrá
r
n
expresar como:
( ) = ( x − r )( x − r )...( x − r )( x − r )
P x
1
2
n −1
n
