EJERCICIOS DE FACTORIZACIÓN
1 -Factoriza realizando los procedimientos
1.
9a2 – 25b2 =
2.
16x2 – 100 =
3.
3x2 – 5x2 + 2 =
4.
9p2 – 40q2 =
5.
9m12 + 23 n6 + 144 =
6.
49x2 – 64t2 =
7.
5x3 – 55x2 + 140x =
8.
9.
x3 – 15x2 + 140x =
10.
8y3 + z3
11.
4m8 – 53 m4 + 49=
12.
16- 9c4 + c8 =
13.
8y2 – 18 =
14.
x2 + 40 – 13 x =
15.
(m-3)
16.
2a5 – 162 a3 =
17.
25m4 – 70 m2n + 49n2 =
18.
49x4 – 18 x2 + 1 =
19.
21n2 + 11n – 2 =
20.
3x7 − 27x =
21.
x2 − 11x + 30 =
22.
3x2 + 10x +3 =
23.
12x2 + 17x – 5 =
24.
x3 − 4x2 + 4x =
3
+ (j – K)
3
225 + 5y2 + y4 =
25.
ax + ay – bx – by =
26.
2r2 – 2s2 + hr2 – hs2 =
27.
aex – bex + cex + aex+1 – bex+1 + cex+1 =
28.
a3 + a2 – 9a - 9 =
29.
y4 – 8 1=
30.
31.
m3 + m2 – 2 =
32.
a5 – 25 a3 + a2-25
33.
16x6y8 – 8 x3y4z7 + z14 =
34.
4x2 + 7mnx – 15m2 n2 =
35.
x2 – 7xy – 18y2
36.
x4 – 8 x2 + 20x2 =
36x2 – 84xy + 49y2 =
2. Factorización por Factor Común Resp. - 35m 2 n 3 2m
1. 35m 2 n 3 70m 3
Resp. - x 3 1 x 2 x 4
2. - x 3 x 5 x 7
Resp. - 3a 3a 4ab 5a 2 b 2 8b 3
3. - 9a 2 12ab 15a 3 b 2 24ab 3
Resp. - 8 x 2 y 2 xy 1 3 x 2 y 5 y 2
4. 16 x 3 y 2 8 x 2 y 24 x 4 y 4 40 x 2 y 3
Resp. - 31a 2 x 3axy 2 x 2 y 2 4 Resp. - ( x 2 3 x 2 y Resp. - 1 x 1 2a
5. - 93a 3 x 2 y 62a 2 x 3 y 2 - 124a 2 x 6. 3 x x 2 2 y 2 x 7. 1 x 2a 1 x
Resp. - ab 3a 6 5a 2 b 8ax 4bm
8. 3a 2 b 6ab 5a 3 b 2 8a 2 bx 4ab 2 m
3. Factorización por diferencia de cuadrados
Resp. - 5 xy 11 5 xy 11 Resp. - 7 xy z a 7 xy z a
1. a 2 b 8 c 2
Resp. - ab 4 c ab 4 c
2. 25 x y 121 2
4
2
3. 49 x 2 y 6 z 10 a 12 4. 4 x 2 n
3
2
12 x
7. 49a 10 n
b 81
8. a 2 n b 4 n
1 25
6
3
5
6
Resp. - 3 x y x y
2
6. a x x 2 2
5
1 1 Resp. - 2 x n 2 x n 3 3
1 9
5. 4 x 2 x y
2
4. Factorización por cuadrado perfecto
Resp. - a 2 x 2 a 2
b6x Resp. - 7 a 5 n 9 1 Resp. - a n b 2 n 5
7 a 5 n
b6x 9
a n b 2n
1 5
1) 49m 6 70am 3 n 2 25a 2 n 4
5) 121 198 x 6 81x 12
2) a 2 24am 2 x 2 144m 4 x 4
6) 1 14 x 2 y 49 x 4 y 2
3)
1 25 x 4 x 2 25 36 3
4) 4 m n m 4 m 2 n m
7) a 2 2a a b a b 2
8) a 4 a 2 b 2
2
b2 4
5. Factorización de Trinomios de la forma x 2 bx c 1) a 2 13a 40
5) a 2 7 a 60
2) n 2 28n 29
6) a 2 14a 33
3) n 2 6n 40
7) x 2 5 x 36
4) m 2 13m 30
8) a 2 2a 35
6. Factorización por Completación de Cuadrados 1) x 2 54 x 648 15 7 2) x 2 x 4 8 3) x 2 6 x 216 4) a 2 66a 1080
5) m 2 8m 1008 6) n 2 43m 432 7) m 2 41m 400 8) x 2 50 x 336
7. Factorización de cocientes de Potencia Iguales 1) m 8 n 8
4) x 6 y 6
2) 66a 6 729 6
5) x 7 128
3) 16 4 814
6) a 5 b 5 c 5
Caso I - a)-Factor común monomio Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
b)- Factor Común común polinomio Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos. Veamos un ejemplo: 5x2(x -y) + 3x(x -y) +7(x -y)
Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x -y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: (5x2 + 3x +7) Finalmente la respuesta será: (x -y)(5x2 + 3x +7) En algunos casos debemos utilizar el número 1, por ejemplo en: 5a2(3a +b) +3a +b Que se puede utilizar como: 5a2(3a +b) +1(3a +b) Entonces la respuesta seria: (3a +b) (5a2 +1) Caso II - Factor común por agrupación de términos Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:
Un ejemplo numérico puede ser: 2y + 2j +3xy + 3xj = Entonces puedes agruparlos de la siguiente manera: (2y+2j)+(3xy+3xj) Aplicamos el primer caso (Factor común) 2(y+j)+3x(y+j) =(2+3x)(y+j) Caso III - Trinomio cuadrado perfecto Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. Ejemplo 1:
Ejemplo 2: Ejemplo 3: Ejemplo 4: Organizando los términos tenemos
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en unos paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
Caso IV - Diferencia de cuadrados [ Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b) (a+b)), uno negativo y otro positivo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. Ejemplo:
La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener la raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados. Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV. Caso VI - Trinomio de la forma X2 + bX + c Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio. Ejemplo: Ejemplo 2: x2+5x+6=0 la factorización queda como: (x+3)(x+2)=0 ya que 3x2=6 y 3+2=5 Caso VII Suma o diferencia de potencias a la n La suma de dos números a la potencia n, a n +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar): Quedando de la siguiente manera: xn + yn =(x+y)(xn-1-xn-2y+xn-3y2-...+xyn-2+yn-1) Ejemplo: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1) La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Que dando de la siguiente manera: xn - yn =(x-y)(xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+xyn-2+yn-1) Ejemplo: x3 - 1=(x-1)(x2+x+1) a2 - b2 = (a-b)(a+b) Como podrán notar las famosas diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización. Caso VIII Trinomio de la forma ax²+bx+c
En este caso se tienen 3 términos: El primer término es un cuadrado perfecto, ósea que tiene raíz cuadrada exacta, el segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, ósea sin una parte literal, así´:
Para factorizar una expresión de esta forma; primero se extraen los factores de los dos términos de los extremos, después de extraídos se multiplican cruzándolos entre sí, ósea el primer factor del término de la derecha y el segundo factor del término de la izquierda y lo mismo con los otros dos, así: Los factores de 4x² son:4x y x, y los de 9 son:3 y 3. Por lo tanto se multiplica 4x por 3 y x por 3, luego se suman los productos y el total debe ser el término de en medio, en este caso 15x, veamos:
Luego encerramos en dos paréntesis los dos primeros factores y los dos últimos (en línea recta), y ese será el resultado de la descomposición factorial, así:
