Kelompok 3
TUGAS STATISTIKA MATEMATIKA I Tentang
PEUBAH ACAK, DISTRIBUSI PELUANG DISKRET DAN KONTINIU
“
Oleh:
KELOMPOK III Arwinda Febri Joni Eka Putra Yandre Anggasi
409295 410357 410494
Dosen Pembimbing : Roza Zaimil, S.Pd. I, M. Pd
JURUSAN TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI IMAM BONJOL PADANG 1433 H / 2012 M
”
Kelompok 3
A. Pengertian Peubah Acak Definisi 2.1
Peubah acak ialah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsure dalam ruang sampel. Peubah acak akan dinyatakan dengan huruf
besar, misalnya x, sedangkan nilainya
dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x Contoh:
Dua bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantong berisi 4 bola meah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang diambil maka nilai y yang mungkin dari peubah acak y adalah Jawab 4 merah
2 bola satu demi satu
3 hitam Ruang Sampel MM MH HM HH
y 2 1 1 0
Contoh:
Tiga orang petani Pak Ali, Badu, dan Cokro menitipkan pecinya di pagi hari pada seorang anak. Sore harinya si anak mengembalikan peci tersebut secara acak pada ketiga petani. Bila Pak Ali, Badu, dan Cokro dalam urutan seperti itu menerima peci dari si anak maka tuliskanlah titik sampel untuk semua urutan yang mungkin mendapatkan peci tersebut dan kemudian cari nilai c dari peubah acak C yang menyatakan jumlah urutan yang cocok. Diket: Pak Ali, Badu dan Cokro menitipkan pecinya terhadap seorang anak Ditanya: tulis titik sampel untuk semua urutan yang cocok? Jawab: Ruang Sampel ABC ACB BAC BCA CAB CBA
C 3 1 1 0 0 1
Kelompok 3
Dalam kedua contoh di atas ruang sampel mengandung jumlah anggota yang berhingga. Akan tetapi, bila satu dadu dilantunkan sampai angka 5 muncul, maka diperoleh ruang sampel dengan deretan anggota yang tak berhingga. Contoh no 2 hal 62
Dari 5 mobil yang dikirim dari pabrik 2 tiba terkena goresan. Bila suatu took menerima 3 mobil ini secara acak, tuliskan unsure ruang sampel T menggunakan huruf G dan B untuk masing-masing masing-masing yang kena “goresan” dan yang “baik”, kemudian pada setiap titik sampel beri nilai x dari peubah acak X yang menyatakan banyaknya mobil yang dibeli took tadi yang kena goresan. Jawab: T GGG GGB GBG GBB BGG BGB BBG BBB
x 0 1 1 2 1 2 2 3
Definisi 2.2
Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskret
Definisi 2.3
Bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu.
B. Distribusi Peluang Diskret
Suatu peubah acak disebut peubah acak diskret bila himpunan kemungkinan hasilnya terhitung. Suatu peubah acak diskret mendapat setiap nilainya dengan peluang tertentu.
Kelompok 3
Definisi 2.4 Himpunan pasangan terurut (X, f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang atau distribusi peluang peubah acak diskret X bila, untuk setiap kemungkinan hasil x
0 ∑ = 1 = f(x)
1. f(x) 2. 3.
Contoh 2.3 Suatu pengiriman 8 komputer pc yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer ini secara acak, cari distribusi peluang banyaknya yang cacat. Diket
: 8 komputer PC => 3 yang cacat 2 komputer dibeli secara acak
Ditanya
: Distribusi peluang yang cacat
Jawab
:
X peubah acak x computer yang cacat, x dapat memperoleh nilai 0, 1, dan 2
= = f(0) = P(X=0) = = = = f(1) = P(X=1) = =
f(2) = P(X=2) =
=
Jadi distribusi peluang x X f(x)
0
1
2
Contoh no 6 hal 63
=
=
Kelompok 3
Dari suatu kotak yang berisi 4 uang logam ratusan dan 2 lima puluhan, 3 uang diambil secara acak tanpa pengembalian. Cari distribusi peluang jumlah dari ke 3 uang Jawab: *) 1 logam ratusan dan 2 lima puluhan
= =
= = =
*) 2 logam ratusan, 1 lima puluhan
= =
= = =
*) 3 logam ratusan
= =
= = =
Jadi distribusi peluang X
200
250
300
f(x)
⁄
⁄
⁄
Definisi 2.5 Distribusi komulatif f(x) suatu peubah acak diskret x dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh:
F(x) = P(X x) =
∑
untuk -
x
Contoh: Hitunglah distribusi komulatif peubah acak x dengan f(x) = menggunakan f(x). Perlihatkan bahwa f(2) =
() untuk x = 0, 1, 2, 3, 4 dengan
Kelompok 3
Jawab:
F(0) = = F(1) = = F(2) = = F(3) = = F(4) = =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= =
Jadi, F(0) = f(0) =
+= F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = + + = F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = + + + = + + + + = = 1 F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4)=
F(1) = f(0) + f(1) =
Sehingga
0 bila 0 x 1
0
f(x) =
1
bila x
bila 1
x2
x3 bila 3 x 4 bila x 4 bila 2
sekarang f(2) = F(2) – F(2) – F(1) F(1) =
- = =
Kelompok 3
Diagram balok
F(x)
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
x 0
2
1
3
4
Histogram Peluang
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ 0
1
2
3
4
x
Distribusi komulatif diskret 1
⁄ ⁄ ⁄ 0
1
2
3
4
x
C. Distribusi Peluang Kontiniu
Suatu peubah acak kontiniu mempunyai peluang nol dan pada setiap titik x. karena itu, distribusi peluangnya tak mungkin disajikan dalam bentuk tabel. Tetapi disajikan dalam bentuk rumus. Distribusi peluang X dinyatakan dengan fungsi f(x) yang disebut fungsi
Kelompok 3
padat.dari X. karena X didefinisikan pada ruang sampel yang kontiniu, mungkin saja f(x) tidak kontiniu pada beberapa titik yang terhingga banyaknya.\ Bentuk khas fungsi padat
x
x
(a)
(b)
x
x
(c) (d) Fungsi padat peluang dituliskan sedemikian rupa sehingga luas daerah, diantara kurva dan sumbu x yang dihitung atas semua rentangan harga X pada daerah f(x) terdefinisi adalah 1. Definisi 2.6
Fungsi f((x) adalah fungsi padat peubah acak kontinu X, yang didefnisikan di atas himpunan semua bilangan real R, bila
∈
1) f(x) ≥0 untuk semua x R.
= 1 ∫ 3) P(a< X
f(x)
a b Gambar P(a< X
x
Kelompok 3 Contoh
Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam
, pada percobaan laboratorium yang dikontrol
merupakan peubah acak X yang mempunyai fungsi padat peluang. -1 < x < 2 F(x) = 0, untuk x lainnya (a) Tunjukkan bahwa syarat 2 definisi 2.6 dipenuhi. (b) Hitung P( 0 < x
1)
Jawab: 2
a.
= ∫ dx = 1 ∫
b. P( 0 < x 1 ) =∫ dx =
= - = + = 1 1 0 =
Contoh soal No 22 hal 65 Jumlah jam, diukur dalam satuan 100 jam, suatu keluarga akan menggunakan mesin pengisap debu setahun berbentuk peubah acak kontiniu X dengan fungsi padat.
2-x
1 x 2
0
untuk x lainnya
x F(x) =
0
Cari peluangnya bahwa dalam setahun keluarga itu akan menggunakan mesin pengisap debu a. Kurang dari 120 jam b. Antara 50 dan 100 jam Jawab:
a. Kurang dari 120 jam
∫ + ∫
x 120 =
2
= [ ⁄ ] 1
1
+ ⁄ 0 2
2
2
= [(2 (1, 2) – 2) – ½ ( 1,2 ) – (2 – (2 . 1 – 1 – ½ ½.1 )+½.1 ] – (2-0,5) = (2,4 – (2,4 – 0,72) 0,72) – (2-0,5) + 0,5 = 1,68 - 1,5 + 0,5 = 0,68
Kelompok 3
b. Antara 50 dan 100 jam 50 x 100 = ∫⁄ dx 1
2
= [½ x ]
½
2
=½.1 -½(½)
2
= ⁄ = 0,375
= ½ - ⁄
Distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat f(x) diberikan oleh : F(x) = P( X ≤x ) =
untuk - x ∫
Akibat definisi 2.7 dapat ditulis kedua hasil berikut:
) = F(b) – F(b) – F(a) F(a) dan f(x) =
P(a
Bila fungsi turunan ini ada. Contoh
Carilah F(x) dari fungsi pada pada contoh sebelumnya dan kemudian hitunglah P(0 < x ≤1). Jawab
2 = ∫ = F(x) = ∫
Untuk -1 < x
x -1
=
Jadi
0
x -1
F(x) =
-1 < x
x
2
2
Distribusi tumpukan F(x) dalam bentuk grafik P(0 < x ≤1) = F(1) – F(0) – F(0) = f(x) 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 -1
0
2
-=
