1. Isya Isyara ratt kotak otak yang yang peri period odis is terl terlih ihat at sepe sepert rtii pada pada Gamb Gambar ar berikut. Tentukan koefsien Fourier-nya. Jawab:
Isyarat Isyarat iniperiodisd iniperiodisdengan enganperiod periode e undament undamental al T! sehingga sehingga rekuensidasarnya adalah " # $% f dan
f 0 #
1&T 0. 'ersamaan
(1) dipakai untukmenghitungkoefsienderet Fourier dari ungsi * (t). Inter+al yang dipakai adalah (- T & $, t). engan batasbatas integrasi tersebut dan menerapkan pada () maka untuk k # didapatkan! a0 =
1
1 + T 1
2 T 1
∫ dt = T
T 0 − T 1
0
a
epertidisebutkansebelumnya! /ntuk k0 didapatkan! ak =
ak =
ak =
1
+ T 1
∫ e−
jkω 0 t
T 0 −T 1
2
kω0 T 0
[
e
dt =
jkω0 T 1
2sin k ω 0 T 1
k ω0 T 0
k ≠ 0, ω0 T 0= π
−1 jkω0 T 0
−e− jkω T 0
2 j
=
1
]
sin k ω 0 T 1
k π
|−+
− jkω 0 t
e
T 1 T 1
adalah nilai rata-rata *(t).
(a)
(b)
() Gambar 2. 3oefsien deret Fourier untuk isyarat kotak periodis dengan (a) T#4T1! (b) T#5T1! () T#16T1 $. Isyarat kotak diskret periodis terlihat seperti pada Gambar berikut. Tentukan koefsien Fourier-nya.
Gambar Isyarat kotak diskret periodis Jawab: a
3omponen d # 1
+ N 1
∑
a0 = x [ n ] = N n=− N 1
adalah:
2 N 1 + 1
N
3oefsien Fourier seara umum adalah! 1
N 1
∑
− jkn
ak = e N n=− N 1
( ) 2 π
N
'ersamaan di atas dapat diuraikan men7adi
ak =a0 +
ak =a0 +
1
[
N 1
∑e N = 1
N
N 1
− jkn ( 2 π ) N
ak =a0 =
2
+2
N 1
∑=
N
n 1
+∑ e
N
− N
− jkn( 2 π )
+∑ e
N
n =−1
n 1
+ jα − jα e +e ( ) cos α =
− jkn( 2 π )
n=−1
n 1
∑e N =
[
− N
− jkn( 2 π )
]
[
e
+ jkn (
2 π
N
)
− jkn(
+e
2 π
N
2
)
]
N 1
+2 ak =a0 = ∑ cos ( kn 2 π / N ) N n=1
N 1
Nak = ( 2 N 1+ 1 ) + 2.
∑= cos ( kn 2 π / N ) n 1
(a)
(b)
]
() Gambar. 3oefsien eret Fourier untuk isyarat kotak diskret dengan ($8191)#! dan (a) 8#1! (b) 8#$! dan () 8#4.
2. Terdapat isyarat kotak dengan persamaan sebagai berikut! x ( t )=
{
1, |t |< T 1 0, |t |< T 1
Tentukan Trnasormasi Fourier dari isyarat tersebut. Jawab: Transormasi Fourier dapat ditentukan dengan persamaan (2$)! sehingga ditemukan T 1
X ( ω )=
∫
− T 1
−dωt
e
dt =2
sin ω T 1
ω
;asilnya dapat dilihat seperti pada Gambar dibawah:
(a)
(b) Gambar <. Isyarat 3otak dan Transormasi Fourier-nya. 4. 3etika sebuah isyarat *(t) mempunyai Transormasi Fourier sebagai berikut! X ( ω )=
{
1, |ω|< W 0, |ω|< W
=arilah persamaan isyarat tersebut! Jawab: engan persamaan (2$) isyarat *(t) dapat ditemukan x ( t )=
1
W
Wt
sin jωt e dω= ∫ πt 2 π −W
Isyarat *(t) dan 3awasan Frekuensinya terlihat seperti pada Gambar dibawah.
(a)
(b) Gambar 'asangan Transormasi Fourier . ebuah isyarat diskret kotak mempunyai persamaan sebagai berikut!
{
|n|≤ N 1 x [ n ]= 1, 0,|n|> N 1 engan 81 # $. Tentukan Transormasi Fourier isyarat tersebut. Jawab: engan 81 # $! >(") dapat diari yaitu! +2
X ( ω )= ∑ e
− jnω
=e
j 2 ω
jω
− jω
+e +e
+e
− j 2 ω
N =−2
(a)
(b)
6. 'erhatikan
sebuah
tampakbahwa
sinyal
sinyal
pada
Gambar
dibawah!
tersebut merupakan 7umlahan dari
duapulsa persegi seperti berikut ini: *(t) # p4(t) 9 p$(t) engan memanaatkan siat linearitas oba andaberikan bentuk transormasi Fouriernya.
Jawab: ?enggunakan
siat
linearitas
kita
dapatkan
bahwa
tansormasiFourier masing-masing adalah seperti berikut: '4(") # 4 sin $"&% '$(") # $ sin $"&% ?aka kita dapatkan untuk >(") # '4(") 9 '$(") # 4 sin $"&% 9 $ sin $"&%
<. inyal *(t) yang ditun7ukkan pada Gambar dibawah memiliki ekui+alensi dengan pulsa persegi p$(t) yang mengalami pergeseran 1 detik. alam hal ini: *(t)# p$(t-1). @erikan bentuk transormasi FouriernyaA
Gambar inyal soal < Jawab: - Transormasi Fourier >(") untuk sinyal *(t) hasilnya adalah: >(") # $(sin "&%)e-7". - ementara kita tahu bahwa: Be-7"B #1 untuk semua nilai " - spektrum amplitudo B>(")B pada *(t) # ' $(t-1) adalah sesuai dengan spektrum amplitudo pada ' $(t). 5. =arilah transormasi Fourier dari bentuk gelombang pulsa di bawah ini.
Jawab: @entuk
gelombang
ini
adalah
aperiodik
yang
hanya
mempunyai nilai antara CT&$ dan 9T&$! sedangkan untuk t yang lain nilainya nol. Dleh karena itu integrasi yang diminta oleh (16) ukup dilakukan antara CT&$ dan 9T&$ sa7a. T 2
F ( w )=
∫
− jωt
Ae
dt =
− A
−T 2
¿ AT
jω
|
− jωt
e
[
T
A e −T ω 2 2
=
− jωT
jωT 2
−e j 2
2
]
2
sin ( ωT / 2 )
ωT / 2
3ita bandingkan transormasi Fourier (16) ∞
F ( ω )=
∫ f ( t ) e−
jωt
dt
−∞
engan 3oefsien Fourier E. Gambarkan spektrum amplitudo dari sinyal pada oal 5
Jawab: pektrum amplitudo sinyal aperiodik ini merupakan spektrum kontinyu BF(7")B.
| | sin
| F ( ω )|= AT
( ) ωT 2
ωT 2
1.
=arilah transormasi Fourier dari f ( t) # eCHt u(t) dan
gambarkan spektrum amplitudo dan asanya. Jawab: ∞
