GEOMETRI TRANSFORMASI
MODUL 11 SETENGAH PUTARAN DAN PENCERMINAN (REFLEKSI)
Disusun Oleh:
NAMA : SITI JAUHAIRYAH
NIM : E1R 013 052
KELAS : B (REGULER PAGI)
KELOMPOK : V (GANJIL)
SEMESTER : IV
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MATARAM
2015
LATIHAN 1
Cobalah bukti contoh 12.1.1. di atas Anda lakukan dengan aljabar (tanpa gambar)
Jawaban :
(contoh 12.1.1: diketahui titik A, B,P dengan σQ=τA, B(P). Buktikan bahwa τA, BσpτA, B-1=σQ)
Penyelesaian:
Misalkan Misalkan Aa,b, Bc, d, dan P(p,q)
τA, B=c=a+m m=c-ad'=b++n n=d-b
Sehingga persamaan translasi τA, B=x'=x+(c-a)y'=y+(d-b)
σp=x'=-x+2py'=-y+2q
σQ=τA, BP=x'=p+c-a p=x-(c-a)y'=q+d-b q=y-d-b
τA, BσpτA, B-1=τA, Bσp(x-c-a, y-d-b
=τA, B(-x-c-a+2p, -y-d-b+2q)
=τA, B-x+c-a+2p, -y+d-b+2q
=-x+2c-a+2p, -y+2d-b+2q
=(-p+c-a+2p, -q+d-b+2q)
=p+c-a, q+d-b
=σQ (terbukti)
Diketahui titik A, B, C yang tak segaris. Selidikilah apakah ada titik D sehingga τA, B=σDσC
Jawaban :
Andaikan τA,BX=Y. Akan diselidiki bahwa ada titik D sehingga σDσCX=Y.Dari gambar di bawah ini kita dapat mengilustrasikannya:
CDBACDBA
C
D
B
A
C
D
B
A
Jika kita garis AD yang ekuivalen dengan AB maka diperboleh gambar seperti di atas. A adalah titik tengah dari ruas garis BD menurut definisi definisi karena A B maka ada ruas garis AB. Kemudian ada perpanjangan ruas garis AB kea rah titik A sehingga ruas garis AB ekuivalen dengan ruas garis AD dimana A merupakan titik tengah ruas garis BD artinya D = SAB. Sehingga akibat adanya titik D diperboleh σDσC=Y. Jadi dari keduanya diperoleh τA, B=σDσC
Buktikan baik dengan menggunakan gambar maupun dengan aljabar bahwa σQσP=τP,Q2 apabila diketahui titik P dan Q
Jawaban :
Misalkan P=(q, r) (x, y)
Q=(s, t) (x', y')
x'=x+a
y'=y+b
τp, q s=q+a a=s-q
t=r+b b=t-r
τp,q2=τp, qτp, q
=τp, q(x+a, y+b)
=x+a+a,y+b
=(x+2a , y+2b)
σp=x'=-x+2q
y'=-y+2r
σp=x'=-x+2s
y'=-y+2t
σQσp=σQ-x+2q-y+2r
=--x+2q+2s
--y+2s+2t
=x-2q+2s x+2s-q x+2a
y-2s+2t y+2t-s x+2b
Selidikilah apakah benar bahwa σPτA, BσP=τC, D dengan C=σP(A) dan D=σP(B)
Jawaban :
Misalkan Aa,b, Bc, d, dan P(p,q)
C= σPA=x'=-a+2py'=-b+2q
D=σP(B)=x'=-c+2py'=-d+2q
τC, D=-c+2p=-a+2p+m m=-c+a-d+2q=-b+2q+n n=-d+b
Sehingga persamaan translasi τC, D=x'=x+(-c+a)y'=y+(-d+b)
τA, B=c=a+m m=c-ad'=b++n n=d-b
Sehingga persamaan translasi τA, B=x'=x+(c-a)y'=y+(d-b)
σP τA, B σP=σP τA, B-x+2p, -y+2q
=σP(-x+2p+c-a, -y+2qd-b)
=(--x+2p+c-a+2p, --y+2q+d-b+2q
=(x-c-a,y-d-b)
=x+-c+a, y+-d+b=τC, D (terbukti)
Jika r suatu translasi, buktikan bahwa τσP adalah setengah putaran mengelilingi titik tengah ruas garis P ke σPτ . Transformasi apakah dilukiskan oleh σPτ.
Jawaban :
TES FORMATIF 1
Diketahui titik P(-2,3). Kalau A(4,-5), maka A'=σP(A) adalah …
(8,11)
(8,-11)
(-8,11)
4,112
Jawaban :
P(-2,3)
A(4,-5)
x'=-x+2a
=-4+2-2
=-8
y'=-y+2b
=5+23
=11
Jadi, titik A'=σP(A) adalah C. (-8,11).
Diketahui P=2,1, Q(1,-2) dan R(0,3) yang tidak segaris. Tentukan titik S sehingga PQRS sebuah jajaran genjang (paralelogram). Maka …
(-1, 6) = S
(6, 1) = S
(-6, 1) = S
1, 6= S
Jawaban :
P=2,1, Q(1,-2) dan R(0,3)
σR σR σRx,y=-x+2a-c+e,-y+2b-d+f=σSx,y.
=-x+22-1+0,-y+21+2+3=-x+2p,-y+2
=-x+2,-y+12=(-x+2p,-y+2q)
=-x+2=-x+2p , -y+12=-y+2q
=p=1, q=6
Jadi, titik S adalah D (1, 6).
Diketahui A=1,1, B=3,5, dan C=(-4,3). Apabila τA,B=τC,D maka titik D adalah …
(1,2)
(-2,4)
(-4,3)
(-2,6)
Jawaban :
τA,B=x'=x+a 3=1+a a=2y'=y+b 5=1+b b= 4
Sehingga diperoleh :
x'=x+2
y'=y+4
Misal = (p,q) , maka :
τC,D=x'=x+a p=-4+a a=p+4y'=y+b q=3+b b= q-3
Sehingga diperoleh :
x'=x+(p+4)
y'=y+(q-3)
τA,B=τC,D
x+2=x+p+4
p=-2
y+4=y+(q-3)
q=7
Jadi titik D adalah (-2,7)
Diketahui titik-titik X=a,b, Pi=xi,yi, i=1, 2, 3, 4, 5. Kalau O=(0,0) adalah pusat sistem koordinat, maka persamaan transformasi τP4,P3 τP3,P4 τP2,P3 τP1,P2 τQ,P1(X) adalah …
(a-x3, b-y3)
a+x3, b-y3
(a-x3, b+y3)
(a+x3, b+y3)
Jawaban :
τP4P3=(x+x3-x4, y+(y3. -y.4)
τP3P4=(x+x4-x3, y+(y4. -y3.)
τP2P3=(x+x3-x2, y+(y3. -y2.)
τP1P2=(x+x2-x1, y+(y2. -y1.)
τP0P1=(x+x1, y+y1.)
I (x+x2, y+y2)
II (x+x3, y+y3)
III (x+x4, y+y4)
IV (x+x3, y+y3)
(b+x3, y+y3)
Jadi, persamaan transformasinya adalah D. (b+x3, y+y3)
LATIHAN 2
isilah tempat-tempat yang kosong atau titik-titik dalam daftar berikut ini dengan cara menggunakan gambar maupun dengan rumus yang tersedia dalam Teorema 11.2 diatas.
Persamaan sumbu
Refleksi g
Titik P
Titik P'=σgP
X=0
(x,y)
………….
Y=0
…………
(x,y)
X=2
(-2,3)
………….
Y=-3
(x,y)
…………
Y=2X
…………
(4,3)
…………
(5,3)
(-8,3)
…………
(0,3)
(-3,0)
Jawaban :
x =0
x'=x-2axa2+b2
=x-21x1
=x-2x
=-x
y'=y-2bxa2+b2
=y-20x1
=y
-x,y
y=0
x'=x-2aya2+b2
=x-20y1
=x-0
=x
y'=y-2bxa2+b2
=y-21y1
=y-2y
=-y
x,-y
x=2 maka x-2=0, P(-2,3)
x'=x-2aax+by+ca2+b2
=x-21x-21
=x-(2x-4)
=x-2x+4
=-x+4
=-(-2)+4
=6
y'=y-2bax+by+ca2+b2
=y-20x-21
=y
=3
6,3
y=-3 maka y+3=0, P(x,y)
x'=x-2aax+by+ca2+b2
=x-(20(y+3))1
=x
y'=y-2bax+by+ca2+b2
=y-21y+31
=y-2y+6
=y-2y-6
=-y-6
x,-y-6
y=2x maka y-2x=0, x',y'=(4,3)
x'=x-2aax+by+ca2+b2
4=x-2-2y-2x22+12
4=x--4y-2x5
4=x--4y+8x5
20=5x+4y-8x
20=-3x+4y
y'=y-2bax+by+c)a2+b2
3=y-21y-2x22+12
3=y-2y-2x5
3=y-(2y-4x)5
15=5y-2y+4x
15=3y+4x
Dengan menggunakan substitusi diperoleh:
-12x+16y=80
12x+9y=45
7y=35
y=5
20=-3x+4y
20=-3x+45
x=0
(0,5)
Persamaan sumbu refleksi g terhadap garis yang melalui titik P dan P'. Persamaan garis yang melalui titik P dan P' dengan P(5, 3) dan P'(-8,3) yakni Y=3 sehingga diperoleh persamaan garis g yang terhadap garis Y=3 dan membagi ruas garis PP' menjadi dua bagian sama panjang yakni
X=32
2X=3
Persamaan ruas garis PP':
(x1,y1) = (0,3) ; (x2,y2) = (-3,0)
Sehingga:
x -x1x2-x1 = y -y1y2-y1
x -0-3-0 = y -30-3
x -3 = y -3-3
-3x = -3y +9
3x -3y +9 = 0
Dari persamaan di atas maka mPP' = -3-3 = 1
Karena g PP' maka mg=-1mPP' =-11 = -1
Sehingga persamaan g yaitu:
y = mx
y = -x
Persamaan sumbu
Refleksi g
Titik P
Titik P'=σgP
X=0
(x,y)
-x,y
Y=0
(x,-y)
(x,y)
X=2
(-2,3)
6,3
Y=-3
(x,y)
x,-y-6
Y=2X
(0,5)
(4,3)
2X=3
(5,3)
(-8,3)
Y=-X
(0,3)
(-3,0)
Diketahui garis g dengan persamaan Y=2X-5. Oleh refleksi σg, tentukan peta-peta dari titik-titik 0,0,1,-3,-2,1,2,4.
Jawaban :
2x-5-y=0
(0,0)
x'=x-2aax+by+ca2+b2
=0-222x-5-y22+(-12)
=0-420-5-05
=0-4-55
=205
=4
y'=y-2bax+by+ca2+b2
=0-2-12x-5-y22+(-12)
=0--220-5-05
=0--2-55
=-105
=-2
4,-2
(1,-3)
x'=x-2aax+by+ca2+b2
=1-222x-5-y(-12)+32
=1-421-5-(-3)10
=1-4010
=1-0
=1
y'=y-2bax+by+ca2+b2
=(-3)-2-12x-5-y(-12)+(32)
=(-3)--221-5-(-3)10
=(-3)--205
=-3+05
=-3
1,-3
(-2,1)
x'=x-2aax+by+ca2+b2
=(-2)-222x-5-y22+12
=(-2)-42-2-5-15
=(-2)-4-105
=-2+405
=6
y'=1-2bax+by+ca2+b2
=1-2-12x-5-y22+(-12)
=1--22-2-5-15
=1--2-105
=1-205
=-3
6,-3
(2,4)
x'=x-2aax+by+ca2+b2
=2-222x-5-y22+12
=2-422-5-45
=2-4-55
=2+205
=6
y'=y-2bax+by+ca2+b2
=4-2-12x-5-y22+(-12)
=4--222-5-45
=4--2-55
=4-105
=2
6,2
Diketahui garis m dengan persamaan Y=X. Jika diketahui titik Aa1,a2 tentukan titik B, sehingga σmB=A.
Jawaban :
Y=X
A=(a1,a2)
Misal B=(b1,b2)
σm(B)=A
σm(b1,b2)=(a1,a2)
x'=x-2aax+by+ca2+b2
a1=b1-21b1-b22
2a1=2b1-2b1+2b2
2a1=2b1-2b1-2b2
2a1=2b2 a1=b2
a2 =b2+21b1-b22
2a2=2b2+2b1-2b2
2a2=2b1 a2=b1
Jadi terbukti B=(a1,a2)
TES FORMATIF 2
Diketauhi garis g dengan persamaan Y=3X dan sebuah titik A. Jika diketahui bahwa σg(A)=A'=(3,0), maka A (dengan menggunakan Teorema 11.8) adalah titik . . . .
115, 95
-115, 95
-125, 95
-45, 35
Jawabanan:
A' = (x',y') = (3,0) sehingga x' = 3 dan y' = 0
Y= 3X 3X – Y = 0
Dari persamaan di atas diperoleh a = 3, b = -1
x' = x – 2aax+by+ca2+b2
3 = x – 2.33x-1y(32+(-1)2)
3 = x – 63x-1y9+1
3 = x - (18x-6y)10
3 = 10x- 18x+6y10
3 = -8x+6y10
30 = -8x + 6y
15 = -4x + 3y
-15 = 4x -3y…i)
y' = y - (2bax+by+c)(a2+b2)
0 = y - (2(-1)3x-1y)(32+12)
0 = y - -6x+2y10
0 = y - -6x+2y10
0 = 10y +6x -2y
0 = 6x +8y …ii)
Eliminasi i) dan 2)
4x - 3y = -15 3 12x - 9y = -456x +8y = 0 2 12x +16y = 0 - -25y = -45 y = 954x - 3y = -15 3 12x - 9y = -456x +8y = 0 2 12x +16y = 0 - -25y = -45 y = 95
4x - 3y = -15 3 12x - 9y = -45
6x +8y = 0 2 12x +16y = 0 -
-25y = -45
y = 95
4x - 3y = -15 3 12x - 9y = -45
6x +8y = 0 2 12x +16y = 0 -
-25y = -45
y = 95
Substitusi y = 95 persamaan …i)
-15 = 4x -395
-15 = 4x - 275
-15 = 20x-275
-75 = 20x -27
20x = -48
x = -125
Jadi, A adalah titik -125, 95
Diketahui titik T(3, -2). Ada garis dengan persamaan g : 2X – 3Y -4 = 0. Tentukan T'=σg(T) tanpa menggunakan Teorema 11.8. Maka, T' adalah titik . . . .
-713, 2213
-2213, 713
-2213,- 713
713, 2213
Jawabanan:
g: 2X – 3Y -4 = 0
Dari persamaan g di atas diperoleh bahwa a = 2, b = -3, c = -4
T(3,-2) = T(x,y) sehingga x = 3 dan y = -2
x' = x - (2aax+by+c)(a2+b2)
x' = 3 - (2.22.3+(-3)(-2)-4(22+(-3)2)
x' = 3 - (46+6-4(4+9)
x' = 3 - (32)13
x' = (39-32)13
x' = 713
y' = y - (2bax+by+c)(a2+b2)
y' = -2 - (2(-3)2.3+-2-3-4)(22+(-3)2)
y' = -2 - (-66+6-4))(4+9)
y' = -2 - (-66+6-413
y' = -2 - (-48)13
y' = (-26+48)13
y' = 2213
Jadi T' adalah titik 713, 2213
Diketahui titik-titik T(-a,-b) dan T'(b,a) = σg(T). Tentukan persamaan g tanpa menggunakan. Teorema 11.8. Maka persamaan g adalah . . . .
Y = -X
Y = X
Y = -2X
X = -2Y
Jawabanan:
T(-a, b) = T(x1, y1) sehingga x1= -a dan y1 = -b
T'(b, a) = T'(x2, y2) sehingga x2 = b dan y2 = a
Berdasarkan yang diketahui di atas diperoleh persamaan garis TT'
x -x1x2-x1 = y -y1y-y1
x + ab+a = y+ba+b
(x+a)(a+b)=(y+b)(b+a)
ax + bx + a2 + ab = by + ay + b2 +ba
ax + bx – by –ay + a2 - b2 = 0
(a +b)x + (-b –a)y + a2 – b2 = 0
Dari persamaan di atas dapat ditentukan gradien garis TT' (mTT'):
m TT' = - ab = -(a+b)(-b-a) = (a+b)(a+b) = 1
karena g tegak lurus dengan garis TT' maka gradien garis g (mg)
mg = - 1m TT' = - 11 = -1
sehingga persamaan dari garis g yaitu
Y = m X
Karena mg= -1 maka Y = - X
Jadi, persamaan g adalah A. Y = -X
