21. SOAL-SOAL TRANSFORMASI GOMETRI
⎛ cos180 0 Maka rotasi terhadap R[0, 180 ] = ⎜⎜ 0 ⎝ sin 180 0
⎛ − 1
UAN2002 1. Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y= x adalah: x x 1 -1 E. y = A. y = x + 1 C. y = 2 2 2 x B. y = x – 1 D. y = +1 2 Jawab: rumus dasarnya : P(x,y) → P ' (x ' , y ' )
= ⎜⎜
⎝ 0
2. pencerminan terhadap garis y = -x
⎛ 0 − 1 ⎞ ⎟⎟ 1 0 − ⎝ ⎠
…(1)
Bayangan oleh oleh rotasi [0, 180 0 ], kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah :
⎛ x ' ⎞ ⎛ − 1 0 ⎞ ⎜ ' ⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ y ⎟ 0 1 − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
…(3)
'
x =2y +2
⎛ 0 1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ y ⎠
= (y,x)
⇔ 2y = x -2 '
'
'
y =
x
x' = y
'
2
-1
'
x =y
D. x = y 2 - 2y – 3 E. x = y 2 + 2y + 3
jawab: θ ]
' 2
'
-2y -3
⇒ x = y2 - 2 y – 3
UAN2005 2 2. Persamaan bayangan kurva y = x - 2x – 3 oleh rotasi 0 [0, 180 ], kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah ….
1. Rotasi terhadap R [0,
; y'= x
substitusikan pada kurva y = x 2 - 2x – 3
Hasil pencerminannya adalah : x y= -1 2 jawabannya adalah C
A. y = x 2 - 2x – 3 B. y = x 2 - 2x + 3 C. y = x 2 + 2x + 3
⎛ 0 − 1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 1 0 − ⎝ ⎠ ⎝ y ⎠
= ⎜⎜
substitusikan (3) ke garis y = 2x + 2 '
⎟ − 1 ⎠⎟
Rotasi sudut-sudut yang lain dapat dihitung sendiri menggunakan kaidah trigonometri atau bisa dilihat di tabel (Rangkuman teori).
Dari (1) dan (2) maka : dan y ' = x
0 ⎞
' P(x,y) → P (-y, -x), matriksnya ⎜⎜
pencerminan terhadap garis y = x : P(x,y) → P ' (y, x) ….(2)
x' = y
− sin 180 0 ⎞ ⎟ cos180 0 ⎠⎟
⎛ cosθ − sin θ ⎞ ⎟⎟ sin cos θ θ ⎝ ⎠
= ⎜⎜
jawabannya adalah D EBTANAS1993 2 2 3. Persamaan bayangan dari lingkaran x +y +4x-6y-3=0 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks ⎛ 0 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ adalah…. 1 0 − ⎝ ⎠ A. x 2 + y 2 - 6x - 4y- 3 = 0 B. x 2 + y 2 - 6x + 4y- 3 = 0 C. x 2 + y 2 + 6x - 4y- 3 = 0 D. x 2 + y 2 - 4x + 6y- 3 = 0 E. x 2 + y 2 + 4x - 6y+ 3 = 0
www.matematika-sma.com
-
1
Jawab:
EBTANAS1992
⎛ 1 − 1 ⎞ ⎟⎟ dan 5. Ditentukan matriks transformasi T 1 = ⎜⎜ 1 2 − ⎝ ⎠ ⎛ 0 − 1 ⎞ ⎟⎟ . Hasil transformasi titik (2,-1) terhadap T 2 = ⎜⎜ 1 0 ⎝ ⎠
⎛ x ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ' ⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ y ⎟ 1 0 − ⎝ ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ y ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ − x ⎠ '
x = y dan y = - x ⇔ - y = x '
'
'
T 1 dilanjutkan T 2 adalah….
substitusikan pada persamaan lingkaran x 2 +y 2 +4x-6y-3=0 menjadi :
A. (-4,3)
T2
Jawabannya adalah A EBTANAS1995 4. T 1 dan T 2 adalah transformasi yang masing-masing
⎛ 2
⎟⎟ dan ⎜⎜ bersesuaian dengan ⎜⎜ 1 3 − ⎝ ⎠ ⎝ 1 Ditentukan T = T 1 dengan matriks…
⎛ 1
7 ⎞
⎛ 4
5 ⎞
A. ⎜⎜
⎟⎟ ⎝ 3 − 4 ⎠
B. ⎜⎜
⎟⎟ 1 7 − ⎝ ⎠
o
1 ⎞
⎟. − 2 ⎠⎟
⎛ 3 3 ⎞ ⎟⎟ ⎝ 0 1 ⎠
⎛ 4 − 3 ⎞ ⎟⎟ ⎝ 1 − 7 ⎠
⎛ − 1 1 ⎞ ⎟⎟ 0 5 ⎝ ⎠
Jawabannya adalah A
A. x + 2y + 3 = 0 B. x + 2y – 3 = 0 C. 8x – 19y + 3 = 0
1 ⎞
2 ⎞
⎟ adalah… − 2 ⎠⎟ D. 13x + 11y + 9 = 0 E. 13x + 11y – 9 = 0
Jawab:
⎟ − 2 ⎠⎟
(1.1 + 2.(−2) ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ (1.2 + 2.1) ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ 1 3 1 2 ( 1 . 2 3 . 1 ) ( 1 . 1 3 .( 2 ) − − − + − + − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 4 − 3 ⎞ ⎟⎟ 1 7 − ⎝ ⎠
⎛ 1 − 1 ⎞ ⎛ − 1 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ 1 2 1 1 − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ − 4 ⎞ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇔ ( -4, 3 ) − 1 ⎠ ⎝ − 1 ⎠ ⎝ 3 ⎠
⎝ 1
T 2 = M1 x M 2
= ⎜⎜
⎛ − 1
adalah ⎜⎜
⎛ 0
⎛ 1 2 ⎞ ⎟⎟ M 1 = matriks transformasi T 1 = ⎜⎜ 1 3 − ⎝ ⎠
o
− 1 ⎞ ⎟. 0 ⎠⎟
T1
Hasil transformasi titik (2,-1) terhadap T 1 dilanjutkan T 2
dengan matriks ⎜⎜
D. ⎜⎜
Jawab:
T = T1
⎛ 0 T 1 = M 2 x M 1 = ⎜⎜ ⎝ 1
o
UN2005 6. Persamaan bayangan garis y = -6x + 3 karena 1 ⎞ ⎛ 2 ⎟⎟ kemudian dilanjutkan transformasi oleh matriks ⎜⎜ ⎝ − 1 − 2 ⎠
E. ⎜⎜
⎛ 2 M 2 = matriks transformasi T 2 = ⎜⎜ ⎝ 1
o
⎝ 1
T 2 , maka transformasi T bersesuaian
C. ⎜⎜
E. (3,-4)
Transformasi T 1 dilanjutkan oleh T 2 = T 2
⇒ x 2 + y 2 – 6x - 4y– 3 = 0
2 ⎞
C. (3,4) D. (4,3)
jawab:
(- y ' ) 2 + (x ' ) 2 - 4 y ' - 6 x ' - 3 = 0 ⇔ y' 2 + x' 2 - 4 y' - 6 x' - 3 = 0
⎛ 1
B. (-3,4)
1 ⎞ ⎛ 2 ⎟⎟ Matriks T 1 = M 1 = ⎜⎜ 1 2 − − ⎝ ⎠ ⎛ 0 2 ⎞ ⎟⎟ . MatriksT 2 = M 2 = ⎜⎜ 1 2 − ⎝ ⎠ Transformasi T 1 dilanjutkan T 2 adalah = T 2
⎛ 0 M 2 x M 1 = ⎜⎜ ⎝ 1
2 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ − 2 ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟ = ⎜⎜ 4 − 2 ⎠ ⎝ − 1 − 2 ⎠⎟ ⎝
Jawabannya adalah E www.matematika-sma.com
-
2
o
T 1 =M 2 x M 1
− 4 ⎞ ⎟ 5 ⎠⎟
⇔ 13 x ' + 11 y ' - 9 = 0
⎛ x ' ⎞ ⎛ − 2 − 4 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ' ⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ y ⎟ 4 5 ⎝ ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ ⎠
⇒ 13 x + 11y – 9 = 0
Ingat bab matriks :
Jawabannya adalah E
Jika A.B = C maka −1
1. A = C . B 2. B = A −1 . C
UAN2004 7. Bayangan titik A (4,1) oleh pencerminan terhadap garis x =2 dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = 5 adalah titik….
A.B = C ⇔ C = A.B
⎛ − 2 − 4 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ; B = 4 5 ⎝ ⎠
⎛ x ' ⎞ C = ⎜⎜ ' ⎟⎟ ; A = ⎝ y ⎠
⎛ x ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y ⎠
A. A '' (8,5) B. A '' (10,1)
A
1. Cara 1 (dengan rumus)
4 ⎞ ⎛ 5 ⎜⎜ ⎟ = | −10 − (−4.4) | ⎝ − 4 − 2 ⎠⎟ 1
Pencerminan terhadap garis x = h P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (2h – x , y)
4 ⎞ ⎛ 5 ⎜⎜ ⎟ | −10 − (−4.4) | ⎝ − 4 − 2 ⎠⎟ 4 ⎞ ⎛ 5 ⎜ ⎟ 4 ⎞ 1 ⎛ 5 6 6 ⎟ ⎜⎜ ⎟= ⎜ = − 4 − 2 ⎠⎟ ⎜ − 4 − 2 ⎟ 6 ⎝ ⎜ ⎟ 6 ⎠ ⎝ 6 4 ⎞ ⎛ 5 ⎜ ⎟ ⎛ x ' ⎞ ⎛ x ⎞ 6 6 ⎟ ⎜ '⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ 4 2 y ⎜ ⎝ ⎠ ⎜ − − ⎟⎟ ⎝ y ⎠ 6 ⎠ ⎝ 6 1
=
x=
5 6
y=-
4
x'+ 4
E. A '' (20,2)
Jawab:
B = A −1 . C −1
C. A '' (8,1) D. A '' (4,5)
6
'
x -
'
A(4,1) x =2
A (2(2)-4 ,1 )
A ' (0 ,1 ) x = 5
A '' (2.5 – 0 , 1 )
⇔ A '' (10,1 ) 2. Cara 2 ( dengan gambar)
y' 2
y
'
6 6 substitusikan pada persamaan garis y = -6x + 3
-
4 6
x'-
⇔ ⇔ ⇔
4
2
y' = - 5 x' - 4 y' + 3
6 '
'
x +5x -
6 − 4 x ' + 30 x ' 6
26 x '
+
22 y '
+
2 6
'
'
y +4y -3=0
− 2 y ' + 24 y ' 6
- 3 = 0 |x 6|
6 6 ' ⇔ 26 x + 22 y ' - 18 = 0
-3=0
titik A (4,1) dicerminkan terhadap garis x=2 didapat A ' (0,1) kemudian dicerminkan lagi terhadap garis x=5 '' didapat A (10,1 ) Jawabannya adalah B
|:2| www.matematika-sma.com
-
3
UAN2004 8. T 1 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks
⎛ 5 3 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ dan T 2 adalah transformasi yang bersesuaian 1 2 − ⎝ ⎠ ⎛ 1 − 3 ⎞ ⎟⎟ . dengan matriks ⎜⎜ 2 4 − ⎝ ⎠ Bayangan A(m,n) oleh transformasi T 1 Nilai m+n sama dengan… A. 4
B.5
C.6
o
T 2 adalah (-9,7).
D.7
E.8
Jawab:
⎛ − 9 ⎞ ⎛ m ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = M 1 x M 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 7 ⎠ ⎝ n ⎠ ⎛ − 9 ⎞ ⎛ 5 3 ⎞ ⎛ 1 − 3 ⎞ ⎛ m ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 7 1 2 2 4 − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ n ⎠ ⎛ − 9 ⎞ ⎛ − 1 − 3 ⎞ ⎛ m ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 7 5 11 − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ n ⎠
jawab: 1 Pencerminan/refleksi terhadap sumbu Y ' P(x,y) → P (-x, y) 2. Rotasi (0, 90 0 ) : ⎛ cos θ − sin θ ⎞
⎛ cos 90 0 − sin 90 0 ⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ 0 0 ⎟ θ θ sin cos sin 90 cos 90 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 − 1 ⎞ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ 1 0 ⎝ ⎠ ⎛ x ' ⎞ ⎛ 0 − 1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ' ⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ x ' = -y ; y ' = x ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ y ⎠ Rumus langsung: ' P(x,y) → P (-y, x) 0
sb: y rotasi (0,90 ): ' P(x,y) → P (-x, y) → P '' (-y, -x) catatan: ' 0 '' dari P (-x, y) dirotasi (0,90 ) menjadi P (-y, -x)
- m - 3n = -9 -5m + 11n = 7
didapat dari rumus rotasi (0,90 0 ) P(x,y) → P ' (-y, x)
- m - 3n = -9 | x5 | ⇒ -5m – 15n = -45 -5m + 11n 11n = 7 | x1 x1 | ⇒ -5m +11n = 7 -26n = -52 n=2 - m – 3n = - 9 -m = 3n – 9 m = 9 – 3n = 9 – 3.2 = 9 – 6 = 3
sehingga : (-x, y) (-y, x) ' A(2,1) → A (-2,1) → A " (-1,-2) ' " B(6,1) → B (-6,1) → B (-1,-6) ' " C(5,3) → C (-5,3) → C (-3,-5) 2. Cara 2 (langsung )
Sehingga m+ n = 3 + 2 = 5 refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan rotasi (0,90 0 ):
Jawabannya adalah B UAN2001 9. Bayangan ∆ ABC dengan A(2,1), B(6,1), C(5,3) karena refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan rotasi (0,90 0 ) adalah… A. B. C. D. E.
''
A '' A '' A '' A '' A
''
''
(-1,-2), B (1,6) dan C (-3,-5) '' '' (-1,-2), B (1,-6) dan C (-3,-5) '' '' (1,-2), B (-1,6) dan C (-3,5) '' '' (-1,-2), B (-1,-6) dan C (-3,-5) '' '' (-1,2), B (-1,-6) dan C (-3,-5)
sb: y rotasi (0,90 0 ): (-x,y) (-y,x) ' P(x,y) → P (-x, y) → P '' (-y, -x) catatan: dari P ' (-x, y) dirotasi (0,90 0 ) menjadi P '' (-y, -x) didapat dari rumus rotasi (0,90 0 ) P(x,y) → P ' (-y, x) '' P(x,y) → P (-y, -x)
www.matematika-sma.com
-
4
" A(2,1) → A (-1,-2) " B(6,1) → B (-1,-6) C(5,3) → C " (-3,-5)
EBTANAS2001 11. Luas bayangan persegipanjang PQRS dengan P(-1,2), Q(3,2), R (3,-1), S(-1,-1) karena dilatasi [0,3] π
dilanjutkan rotasi pusat O bersudut
2
Jawabannya adalah D A. 36 B. 48 C.72 D. 96 UAN2003 10. Persamaan peta kurva y = x 2 - 3x + 2 karena pencerminan jawab: terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasai dengan pusat O dan factor skala 3 adalah… dilatasi [0,3] : [O,3k] : P(x,y) → P ' (3x, 3y) A. 3y + x 2 - 9x + 18 = 0 B. 3y - x 2 + 9x - 18 = 0 C. 3y - x 2 + 9x + 18 = 0 D. 3y + x 2 + 9x + 18 = 0 2 E. y + x + 9x - 18 = 0
Rotasi pusat O bersudut
' [O,3k] : P(x,y) → P (3x, 3y)
P(x,y) → P ' (x, -y) → P '' (3x, -3y)
y " = - 3y ⇒ y = -
x" 1 3
3
y" = (
⇔ -
1
1 3
y" =
x " ) 2 - 3.
P(-1,2) → P " (-6,-3) Q(3,2) → Q " (-6,9) R (3,-1) → R " (3,9) " S(-1,-1) → S (3,-3) Buat sketsa gambarnya:
y"
y "
"
Q (-6,9)
1
x"
2
1 3
] }:
P(x,y) → P " (-3y, 3x)
Q (-6,9) 9
2
1
2
Sehingga :
Substitusi pada persamaan y = x - 3x + 2 menjadi: -
π
P(-1,2), Q(3,2), R (3,-1), S(-1,-1)
pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasai dengan pusat O dan factor skala 3 :
3
{ R [0,
[0,3] (-y, x) ' " P(x,y) → P (3x, 3y) → P (-3y, 3x)
Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan factor skala 3 : [O, k] : P(x,y) → P ' (kx, ky)
1
2
E. 108
' P(x,y) → P (-y, x)
Jawab: pencerminan terhadap sumbu x: ' P(x,y) → P (x, -y)
x " = 3x ⇒ x =
π
adalah…
(9+3) satuan luas
x" + 2
- x" + 2
|x9| 3 9 ⇔ - 3 y " = x " 2 - 9 x " + 18 ⇔ 3 y " + x " 2 - 9 x " + 18 = 0 ⇒ 3 y + x 2 - 9x + 18 = 0
-6
0
P " (-6,-3)
3 -3
jawabannya adalah A (6+3) satuan www.matematika-sma.com
-
5
x S " (3,-3)
Sehingga luas transformasinya adalah : Panjang (p) x lebar (l) = 12 x 9 = 108 satuan luas jawabannya adalah E EBTANAS2001 12. Segitiga ABC dengan A(2,1), B(6,1), C(6,4)
⎛ 3 1 ⎞ ⎟⎟ . ditransformasikan dengan matriks transformasi ⎜⎜ 0 1 ⎝ ⎠ Luas bangun hasil transformasi segitiga ABC adalah…. A. 56 satuan luas B. 36 satuan luas
C. 28 satuan luas E. 18 satuan luas D. 24 satuan luas
Jawab:
⎛ 3 1 ⎞ ⎟⎟ maka 0 1 ⎝ ⎠
misalkan T = ⎜⎜
Luas bayangan/transformasi ∆ ABC =|det T| x luas ∆ ABC |det T| = |ad –bc| = |3-0| = 3 luas ∆ ABC : buat sketsa gambar:
4
1
C(6,4)
A(2,1) 2
Luas ∆ ABC = = =
1 2 1 2 1 2
B(6,1) 6 7
alas x tinggi ; x AB x BC .x 4 x 3 = 6
Luas bayangan/transformasi ∆ ABC =|det T| x luas ∆ ABC = 3 x 6 = 18 satuan luas Jawabannya adalah E
www.matematika-sma.com
-
6
