Sinyal dan Sistem
Transformasi Transformasi Fourier Fourier Sinyal Sinyal Waktu Kontinyu oleh oleh:: Tri Tri Budi Budi Santoso Santoso DSP -ITS DSP Group, Group, EEPIS EEPIS-ITS
- Siswa mampu mampu menyele menyelesaik saikan an bentuk bentuk representas representasii alternatif alternatif pada sinyal sinyal dan sistem waktu waktu kontinyu. kontinyu. - Siswa menjela menjelaskan skan kembal kembalii penyusuna penyusunan n sinyal sinyal dalam berbagai berbagai aplikasi aplikasi..
Su b Ba b : 4.1. Representasi Sinyal-Sinyal dalam Terminology Komponen Frekuensi 4.2. Representasi Deret Fourier pada Sinyal Periodik 4.3. Trigonometri Deret Fourier 4.3. Fenomena Gibbs 4.5. Transformasi Fourier 4.6. Spektrum amplitudo dan fase sinyal persegi secara umum 4.7. Bentuk Rectangular Transformasi Fourier 4.8. Sinyal-sinyal dengan Simetri Genap dan Simetri Ganjil 4.9. Sifat-Sifat Transformasi Fourier 4.10. Studi Kasus Sistem Modulasi Amplitudo DSB FC 4.11. Studi Kasus Sistem Modulasi Amplitudo DSB SC
4.1. 4. 1. Re Re p re se nta si Siny Siny a l-S l- Siny a l d a lam la m Te rm inolog y Ko Ko m p o ne nen n Fr Fre k ue uens nsii N Sebu Sebuah ah siny sinyal al wakt waktu u kont kontin inyu yu x(t ) = An cos(ω n t + θ n ) dimana: n =1 N = bilangan integer positif positif An = ampl amplit itudo udo sinya sinyall sinu sinuso soid idaa frekuensi si sudu sudutt (dala (dalam m radia radiant/ nt/det detik ik)) ωn = frekuen fase siny sinyal al sinus sinusoi oida da θn = fase
∑
−∞ < t < ∞
Contoh 1: Berikan erikang gambara baran n sebu sebua ah sinya sinyall sinu sinusoida soida yan yang tersus tersusun und dari persam ersamaan aan berikut erikut ini: x(t) = A1 cos t + A2 cos cos (4t (4t + π /3) + A3 cos cos (8t (8t + π /2) 0 < t < 20 Dari kasu kasus s ini gam gambarka barkan n frekue frekuens nsii peny penyus usu un dari dari sinya sinyall terseb tersebut. ut. Penyelesaian: Dari persa ersamaanters an terse ebut but di atas atas kita dapa dapatt meliha elihat bahw ahwa tiga param parameter eter sinya sinyall yan yang utam utama adala adalah h: - Amplitudo plitudo adalah adalahA A1, A2 dan A3. - Frekue rekuens nsii adala adalah h 1, 4, 4, dan dan 8 radian radiant. t. - Fase Fase adalah adalah 0, π /3 dan π /2. Dengan nganm menco encob ba nilai-nilai nilai-nilai amplitudo plitudose sepe perti rti beriku berikutt ini aka akan kita dapa apatkan tkan bentu bentuk k sinya sinyall yan yang berfaria berfariasi. si. a) A1 = 0,5 A2 = 1 A3 = 0 b) A1 = 1 A2 = 0,5 A3 = 0 c) A1 = 1 A2 = 1 A3 = 0
Gambarnya
Gamb Gambar. ar.4.1 4.1 Gamba Gambaran ran nila nilaii x(t) x(t) untu untuk k berba berbagai gai nilai nilai ampl amplit itud udo o berbe berbeda da
Sp ektrum nya
Gambar 4.2. Spektral amplitudo sinyal penyusun x(t)
Bentuk Eksp one nsia l Kom p lek An cos(ω n t + θ n )
Definisi:
cn =
An
2
e jθ
=
An
=
An
( [ e 2
2
j ω n +θ n )
e
jθ n
e
jω nt
x (t ) =
∑ [cn e
jω nt
n =1
x (t ) =
N
∑ cn e
n =1
jω nt
+ c −n e N
An
2
e
]
− jθ n j ( −ω n ) t
e
An
2
e
− jθ
n = 1, 2, ...
= cn e jω nt + c−n e j ( −ω n )t j ( −ω n ) t
+ ∑ c −n e n =1
+
c−n =
n = 1, 2, ...
An cos(ω n t + θ n ) N
+ e − j (ω n +θ n )
]
j ( −ω n ) t
x (t ) =
N
∑ cn e
jω nt
+
n =1
x (t ) =
N
∑ cn e
n = − N
−1
∑ cn e
n = − N jω nt
j (ω n ) t
4.2. Rep resenta si Deret Fourier p a d a Sinya l Period ik Sinyal waktu kontinyu x(t) dengan periode T x(t + T) = x(t)
untuk semua nilai t x(t) 1 ...
...
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
-2,5
Gambar 4.3 Sinyal persegi periodik dengan T = 2
Bentuk jumlahan eksponensial komplek:
x (t ) =
∞
∑ cn e
n = −∞
jnω ot
cn =
1
T / 2
∫ x(t )e −
T −T / 2
jnω ot
dt
n = 0, ± 1, ± 2
Contoh 2: Dari sinyal persegi periodik pada Gambar 4.3, coba anda cari nilai cn.
Penyelesaian: Sinyal ini merupakan periodik denganperiodeT =2, dan frekuensi fundamentalnya adalah ωo = 2π /2 = π radian/detik. Sinyal ini memenuhi kondisi Derichlet, sehingga dapat diberikan representasi Fourier. Konstanta dapat dicari:
co =
1
1
1
1
1
∫ x(t )dt = 2 ∫ (1)dt = 2 2 −1
−1
Untuk nilai n secaraumum:
cn
=
1
1
∫ x(t )e 2
− jnπ t
dt
−1
=
∫ e
− jnπ t
dt
2 − 0,5
=− =− =
0 ,5
1
t =0, 5
1 j 2nπ
e
− jnπ t t = −0,5
nπ nπ ⎞ ⎛ − j sin ⎜ − j sin ⎟ 2 2 ⎠ j 2nπ ⎝
1 nπ
1
sin
⎧0 ⎪ =⎨ 1 ⎪⎩ nπ
nπ
2
,
n = ±1, ± 2, ... n = ±2, ± 4,.... n = ± 1, ± 3,...
Deret Fourier dalam bentuk trigonometri x(t ) =
1 2
+
∞
∑ 2 cn cos(nω o t + ∠cn )
−∞ < t < ∞
n =1 n ganjil
dimana: |cn| = magnitudo dari cn ∠c n = sudut dari cn
Contoh 3: Cobaanda cari bantuk trigonometri deret Fourier pada Contoh.2. Penyelesaian:
⎧0 ⎪ cn = ⎨ 1 ⎪⎩ nπ
⎧0 ⎪ ∠c n = ⎨ π (n −1) / 2 1 1 − − ( ) ⎪⎩ 2
untuk n = 2, 4, ...
[
untuk n = 1, 3, ...
]
untuk n = 2, 4, ... untuk n = 1, 3, ...
Representasi trigonometri dari Deret Fourier
x(t ) =
1 2
+
∞
2
n =1 n ganjil
nπ
∑
⎛ ⎝
[
(n −1) / 2
cos⎜ nπ t + (− 1)
]π 2 ⎞⎟
−1
⎠
−∞ < t < ∞
4.3. Feno m ena Gib b s x N (t ) =
1 2
+
N
2
n =1 n ganjil
nπ
∑
⎛ ⎝
[
(n −1) / 2
cos⎜ nπ t + (− 1)
Gambar 4.4. Sinyal x(t) pada N=9
]π 2 ⎞⎟
−1
⎠
−∞ < t < ∞
Gambar 4.5. Sinyal x(t) pada N=21
4.4. Sp ektra l Ga ris Komponen-komponen frekuensi disajikan dalam terminologi amplitudo dan fase gambar |c0| dan 2|cn| sebagai fungsi ω = nω0 untuk n = 0, +1, +2,… Dalam spectral garis hanya frekuensi non negatif.
Contoh 4: Pertimbangkansuatupulsa persegi seperti pada Gambar 4.5, dalamhal ini c0=0,5. Berikan koefisienkoefisien cn padaderet Fourier-nya. Penyelesaian: Koefisien-koefisien cn deret Fourier diberikan sebagai:
⎧0 cn = ⎨ ⎩1 nπ
n = 2, 4,... n = 1, 2,..
⎧0 ⎪ ∠c n = ⎨ π ( n −1) / 2 − − [( 1 ) 1 ] ⎪⎩ 2
n = 2, 4,... n = 1, 3,..
Bentuk spektrum amplitudo dan fase
Gambar 4.6 Spektral garis deretan pulsa persegi
4.5.Transformasi Fourier Deret fourier untuk sinyal periodik saja, Transformasi Fourier sinyal periodik dan non periodik x(t) 1
t -2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Gambar 4.7 Pulsa persegi satu detik
Evaluasi untuk n = 0
c0 =
1
T / 2
∫ x(t )dt =
T −T / 2
1
0,5
∫ dt =
T −0,5
1 T
Untuk n yang lain:
cn =
1
0 ,5
∫ e
− jn ω 0 t
dt
T − 0 , 5
=−
[ jn ω T
]
− jn ω 0 t t = 0 , 5 e t = − 0 , 5
1
0
=−
[ e jn ω T 1
− jn ω 0 / 2
− e jn ω 0 / 2
]
0
n ω 0 ⎞ ⎛ =− ⎜ − j 2 sin ⎟ 2 ⎠ jn ω 0 T ⎝
1
=
2 n ω 0 T
sin
n ω 0 2
2
; n = ± 1, ± 2 ,..
Gambar 4.8. Spektrum terskala pada x T(t) untuk atas T=2, tengah T=5, bawah T=10
4.6 Sp ektrum Am p litud o d a n Fa se Sinya l Perseg i
Gambar 4.9. Spektrum Amplitudo Sinyal Persegi
Fase X(ω)
180o
−10π −8π −6π −4π −2π
0
2π 4π o
-180
Gambar 4.10. Spektrum Fase Sinyal Persegi
6π 8π
10π
ω
Contoh 5 Berikan gambaran spektrumamplitudodan spektrumfase dari suatufungsi x(t) = e-jbt u(t). Dimanab merupakan konstanta real, u(t) merupakan fungsi step. Penyelesaian: Untukb=0, akan didapakan x(t) = u(t). Untuk nilai b yang lain, transformasi Fourier X(ω) pada x(t) diberikan sebagai: ∞
∞
disini X (ω ) = ∫ e −bt u (t )e − jω t dt u(t) = 0 untuk t < 0. −∞ u(t) = 1untuk t > 0
X (ω ) = ∫ e −bt e − jω t dt 0
∞
= ∫ e −(b + jω )t dt 0
Evaluasi integral ini memberikan: X (ω ) =
−
Untuk b > 0, x(t) memiliki transformasi Fourier: X (ω ) = −
1 b + jω
(0 − 1) =
1
[ e− b + jω
( b + jω ) t t =∞ t =0
]
Spektrum amplitudo: X (ω ) =
1
1 2 2 b + ω
b + jω
Spektrum fase:
⎛ ω ⎞ ∠ X (ω ) = − tan −1 ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠
Hasilnya
Gambar 4.11. Gambaran spektrum amplitudo dan fase pada fungsi x(t) = exp(-10t)u(t)
Transformasi Fourier sinyal x(t)
•Bentuk Rectangular adalah:
∞
j t X (ω ) = ∫ x (t )e − ω dt
X(ω) = R(ω) + j I(ω)
−∞
Persamaan dasar Euler ∞
X (ω ) =
∞
∫ x(t ) cos(ω t )dt − j ∫ x(t ) sin(ω t )dt −∞
−∞
Dimana: R(ω) = bagian real I(ω) = bagian imajiner
Tandai
•Bentuk polar:
∞
R (ω ) = ∫ x (t ) cos(ω t )dt −∞ ∞
I (ω ) = − ∫ x (t ) sin(ω t ) dt −∞
Polar Rectangular
X (ω ) = R 2 (ω ) + I 2 (ω )
⎛ I (ω ) ⎞ ⎟⎟ ∠ X (ω ) = tan −1 ⎜⎜ ( ) ⎝ R ω ⎠
X (ω ) = X (ω ) exp[ j∠X (ω )]
dimana |X(ω)| = magnitudo pada X(ω) ∠ X (ω ) = magnitudo pada X(ω)
4.8Sinyal-sinyal dengan Simetri Genap dan Simetri Ganjil
•Fungsi genap jika x(t) = x(-t)
∞
X (ω ) = R (ω ) = 2 ∫ x (t ) cos ω tdt 0 •Fungsi ganjil jika x(t) = - x(-t)
∞
X (ω ) = I (ω ) = − j 2 ∫ x (t ) sin ω tdt 0
Contoh 7: Suatu nilai positif τ, digunakanuntuk pulsa persegi pτ(t) yang memiliki durasi τ detik dandidefinisikan sebagai:
⎧ ⎪1 pτ (t ) = ⎨ ⎪⎩0
− τ
≤ t ≤
τ
2 2 t yang lain
Berikan penyelesaianbentuk transformasi Fouriernya. pτ(t) 1
t
-τ /2
0
τ /2
Gambar 4.12 Pulsa persegi dengan durasi τ detik
Penyelesaian Pulsa rectangular (persegi) pτ(t) dapat diberikanseperti pada Gambar 4.12. Dari gambar tersebut jelas bahwa sinyal ini merupakan fungsi genap Transformasi Fouriernya:
τ
2
X (ω ) = 2 ∫ (1) cos ω tdt 0
=
2 ω
X(ω) = τ sinc(τω/2)
τ
⎛ ωτ ⎞ = sin ⎜ ⎟ ω ⎝ 2 ⎠ 2
Dalamterminology sinc:
[sin ω t ]t t ==0 / 2
Gambar 4.13. Transformasi Fourier sinyal persegi τ detik
•.Linearitas
Penyelesaian: Menggunakansifat linearitas kita dapatkan bahwa tansformasi Fourier masing-masing adalahseperti berikut: P4(ω) = 4 sinc 2ω/π P2(ω) = 2 sinc 2ω/π
Jika x(t) X(ω) dan v(t) V(ω) maka: ax(t) + bx(t) aX(ω) + bV(ω)
Makakita dapatkanuntuk Contoh 9: X(ω) = P4(ω) + P2(ω) Perhatikan sebuahsinyal padaGambar 4.14, tampak = 4 sinc 2ω/π + 2 sinc 2ω/π bahwa sinyal tersebut merupakanjumlahandari dua pulsapersegi seperti berikut ini: x(t) = p4(t) + p2(t) Dengan memanfaatkan sifat linearitas cobaanda berikan bentuk transformasi Fouriernya. p4(t)
x(t) 2
=
1 -2
-1
2 p2(t)
2
0
1
2
t
+
1 -2
-1
0
1
2
t
Gambar 4. 14 Sinyal dalam contoh 9
1 -2
-1
0
1
2
t
• Pergeseran Waktu Jika x(t) X(ω), makauntuk suatu nilai real c positif atau negatif: x(t-c) X(ω)e-jωc Contoh 10: Sinyal x(t) yang ditunjukkan padaGambar 4.15 memiliki ekuivalensi dengan pulsa persegi p2(t) yang mengalami pergeseran1 detik. Dalamhal ini : x(t) = p2(t-1). Berikan bentuk transformasi Fouriernya Penyelesaian: Transformasi Fourier X(ω) untuk sinyal x(t) hasilnya adalah: X(ω) = 2(sinc ω/π)e-jω. x(t) Sementara kita tahu bahwa: |e-jω| =1 untuk semuanilai ω
spektrumaplitudo |X(ω)| pada x(t) = p2(t-1) adalah sesuai dengan spektrumamplitudopadap2(t).
1
0
1
2
Gambar 4.15 Sinyal pada contoh 10
3
t
• Penskalaan Waktu Jika x(t) X(ω), untuk suatu nilai real positif a, x(at) (1/a)X(ω /a)
p2(t)
-1,0 -0,5
0 0,5 1,0
t
p2(2t)
-1,0 -0,5
0
0,5 1,0
t
Gambar 4.16 Contoh bentuk kompresi waktu pada suatu sinyal Gambar 4.17 Transformasi Fourier pada p 2(t) dan p2(2t)
• Pembalikan Waktu Jika x(t) X(ω), maka akan kita miliki: x(-t)X(-ω)
Contoh 11: Suatu bilangan real b>0 diberikan untuk suatu sinyal sedemikian hingga x(-t) = e-btu(t). Berikan bentuk transformasi Fouriernya
Penyelesaian: Transformasi Fourier pada x(-t) adalah 1/(b + j ω). Sehinggatransformasi Fourier padax(t) adalah:
X (ω ) =
1 b + jω
=
1 b − jω
Jika sinyal x(t) bernilai real
X (− ω ) = X (ω )
⎧0 x (t ) = ⎨ bt ⎩e
t > 0 t ≤ 0
• Perkalian dengan Suatu Bentuk Pangkat Jika x(t)X(ω), untuk suatu nilai positif integer n: n
t x(t ) ↔ ( j ) n
n
d
d ω
n
X (ω )
Contoh 12: Tetapkan x(t) = t p2(t) yang diberikan padaGambar 4.18 Berikan bentuk transformasi Fourier dan spektrumamplitudonya.
Gambar 4.18 Sinyal x(t) = tp2(t)
Penyelesaian: Dengan menggunakansifat persamaan (4-52) dan pasangan transformasi Fourier (4-44) memberikan bentuk seperti berikut:
X (ω ) = j
Gambar 4.19. Spektrum amplitudo sinyal
d ⎛ d ⎛ sincω ⎞ ω ⎞ ω cosω −sinω ⎜2sinc ⎟ = j2 ⎜ ⎟ = j2 2 d ω ⎝ d ω ⎝ ω ⎠ π ⎠ ω
• Perkalian dengan Sinusoida Jika x(t) X(ω), maka untuk suatu bilangan ω0, x(t) cos ω0t (j/2) [X(ω + ω0) - X(ω − ω0)] x(t) sin ω0t (1/2) [X(ω + ω0) - X(ω − ω0)]
Contoh 13: Pertimbangkansuatu sinyal x(t) = pτ(t)cosω0t yang diinterpretasikan sebagai sinyal sinusoida. Untuk nilai τ = 0.5 dan ω0 = 60 radiant/dt bentuknyabisa dilihat padaGambar 4.20. Berikan gambaran transformasi Fouriernya.
Gambar 4.20. Deretan sinusoida
Penyelesaian: Dengan pasangan transformasi Fourier diatas: 1⎡
⎛ τ (ω + ω 0 ) ⎞ ⎛ τ (ω − ω 0 ) ⎞⎤ τ sin c⎜ ⎟ + τ sin c⎜ ⎟⎥ ⎢ π π 2⎣ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
Untuk nilai t = 0,5 dan ω0 = 60 rad/dt, hasilnya
Gambar 4.21. Transformasi Fourier sinyal sinusoida
• Konvolusi dalam DomainWaktu Jika sinyal x(t) dan v(t) memiliki transformasi Fourier X(ω) dan V(ω). x(t)*v(t) X(ω)V(ω)
• Perkalian dalam DomainWaktu Jika x(t)X(ω) dan v(t)V(ω) maka
x(t )v(t ) ↔
1 2π
[ X (ω ) * V (ω )] =
1
∞
∫ X (λ )V (ω − λ )d λ 2π −∞
4.10 Studi Kasus Sistem Modulasi Amplitudo DSB-FC Informasi Si(t)
Modulasi
Sinyal AM DSB-FC
Carrier Sc(t) Gambar 4.22 Diagram blok sistem DSB-FC
Ga m b a ra n Ra ng ka ia n AM DSB-FC
Info AM Signal
Carrier
Gambar 4.23 Rangkaian sistem DSB-FC
Ga m b a ra n Bentuk Ma tem a tika si (t ) = Ai sin (2π f i t )
Sinya l Info rma si:
Sinya l C a rrier:
sc (t ) = Ac sin (2π f c t )
Sinya l AM DSBSC:
S AM = ( Ac + Ai sin (2π f i t )) sin (2π f c t )
Pend eka ta n Pro g ra m M a tla b Disini kita akan membuat simulasi dimana frekuensi carier sebesar 10 kali frekuensi informasi. Contoh Programnya seperti berikut….
%File Name: AM_DSBFC_01.m clear all; T=1000; fi=1; A=0.5; fc=10; t=1/T:1/T:3; si=0.5*sin(2*pi*fi*t); AM_DSBFC=(1 + si).*sin(2*pi*fc*t);
Ga m b a ra n d a la m Dom a in Wa ktu
Gambar 4.24 Perbandingan Bentuk sinyal informasi dan sinyal DSB-FC
Ga m b a ra n d a la m Dom a in Frekuensi
Gambar 4.25 Gambaran bentuk spektrum frekuensi sistem DSB-FC
Sistem Modulasi Amplitudo DSB-SC Product Modulation Informasi Si(t)
Sinyal AM DSB-FC
Carrier Sc(t) Gambar 4.26 Diagram blok sistem DSB-SC
Ga m b a ra n Ra ng ka ia n AM DSB-SC
Info DSBSC Output
Carrier Gambar 4.27 Rangkaian sistem DSB-SC
Ga m b a ra n Be ntuk Ma tem a tika Sinya l Info rm a si:
si (t ) = Ai cos(2π f i t )
Sinya l C a rrier:
sc (t ) = Ac cos(2π f c t )
Sinya l AM DSBSC:
S AM = Si (t ) × S c (t ) Dimana: Ai: amplitudo sinyal informasi f i: frekuensi sinyal informasi Ac: amplitudo sinyal carrier f c: frekuensi sinyal carrier
Pe nd eka ta n Pro g ra m M a tla b Disini kita akan membuat simulasimirip dengan kasus DSB-FC dimana frekuensi carier sebesar 10 kali frekuensi informasi. Contoh Programnya seperti berikut…. %File Name: AM_DSBSC_01.m clear all; T=1000; f1=1; f2=10; t=1/T:1/T:1; s1=sin(2*pi*f1*t); s2=sin(2*pi*f2*t); AM_DSBSC=s1.*s2;
Ga m b a ra n d a la m Dom a in Wa ktu
Gambar 4.28 Perbandingan Bentuk sinyal informasi dan sinyal carrier
Gambar 4.29 Gambaran bentuk sinyal DSB-FC
Ga m b a ra n d a la m Dom a in Frekuensi
Gambar 4.30 Gambaran bentuk spektrum frekuensi sistem DSB-FC
