I.
Deret Fourier
Sejarah Deret Fourier
Fourier mengarang buku Theorie analytique de la chaleur (teori matematika tentang panas), karya puncak tentang fisika matematikal.
Fourier menyinggung tentang Sin dan Cos dalam bukunya Periodicity, dimana didalamnya juga termaktub deret Fourier yang terkenal itu. Buatlah lingkaran dengan jara-jari = 1. Gambar lingkaran tersebut dengan pusat di titik 0 pada geometri Kartesian. Juga, gambar lengkungan AB yang panjangnya 2p (keliling lingkaran = 2p, karena jari-jari = 1). Titik P ± dengan dengan besar OQ ± mengawali putarannya dari titik A memutar sepanjang lingkaran berlawanan dengan jarum jam, bergerak sehingga Sin segi-tiga POB atau juring POA. Pada posisi manapun, titik P, sudut POA adalah bagian dari empat-kuadran atau lingkaran (360°) sehingga titik P melintas penuh semua titik (kedudukan) lingkaran. Jadi dapat diketahui bahwa sudut POA yang makin besar digambar dari lengkungan AB dengan besar 2p yang sama panjangnya dengan lengkungan AP. Saat titik P mencapai titik C, ¼ dari keseluruhan lingkaran sama dengan sudut COA dapat digambar pada titik R, besar ¼ lengkungan AB dari titik A. Apabila diterukan akan tercipta lengkungan (kurva sinusoid) berikutnya. Tidak tertutup kemungkinan, kurva dimulai dengan mengikuti arah jarum jam, sehingga kurva dimulai dari bawah garis horisontal.
Jika x adalah besar sudut, maka persamaan:
Sin (x + 2p) = Sin x
Mengekspresikan
kenyataan bahwa sin x adalah fungsi dari x yang mempunyai periode 2p,
begitu pula:
Cos (x + 2p) = Cos x
Mengamati
kurva Sin 2x akan melintasi periode ³dua kali lebih cepat´ dibanding Sin x, dan
kurva adalah setengah periode Sin x. Begitu pula untuk Sin 3x yang membutuhkan hanya 2p/3. Hal yang sama juga berlaku untuk Cos x, Cos 2x, Cos 3x, «« Deret Fourier yang penuh kontroversi pada saat itu adalah:
y = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + a3 cos 3x + « + b1 sin x + b2 sin 2x + b3sin 3x + «
Notasi tiga titik menunjuk bahwa persamaan itu sampai tidak terhingga; dan koefisien a0, a1, a2, «, b1, b2, b3 « dapat ditentukan apabila nilai y ditentukan dan x diketahui. Konsep periodik (sederhana) seperti yang dijabarkan di atas sangat penting dalam mengamati fenomena alam; gelombang, orbit bulan, musim dan berbagai fenomena lain dengan periode sebagai ciri-cirinya.
Dalam matematika, Deret
Fourier merupakan
penguraian fungsi
periodik menjadi
penjumlahan fungsi-fungsi berosilasi, yaitu fungsi sinus dan kosinus, ataupun eksponensial kompleks. Studi deret Fourier merupakan cabang analisis Fourier. Deret Fourier diperkenalkan oleh Joseph Fourier (1768-1830) untuk memecahkan masalah persamaan panas di lempeng logam. Persamaan panas merupakan persamaan diferensial parsial. Sebelum Fourier, pemecahan persamaan panas ini tidak diketahui secara umum, meskipun solusi khusus diketahui bila sumber panas
berperilaku
dalam
cara
sederhana,
terutama
bila
sumber
panas
merupakan
gelombang sinus atau kosinus. Solusi sederhana ini saat ini kadang-kadang disebut sebagai solusi eigen. Gagasan Fourier adalah memodelkan sumber panas ini sebagai superposisi (atau kombinasi linear) gelombang sinus dan kosinus sederhana, dan menuliskan pemecahannya sebagai superposisi solusi eigen terkait. Superposisi kombinasi linear ini disebut sebagai deret Fourier. Meskipun
motivasi awal adalah untuk memecahkan persamaan panas, kemudian terlihat
jelas bahwa teknik serupa dapat diterapkan untuk sejumlah besar permasalahan fisika dan matematika. Deret Fourier saat ini memiliki banyak penerapan di bidang teknik elektro, analisis vibrasi, akustika, optika,pengolahan citra, mekanika kuantu m, dan lain-lain.
Deret fourier trigonometri
Suatu fungsi f(t) dikatakan periodik apabila f (t) = f (t+ nT) dimana n adalah bilangan bulat / integer dan T adalah periode dari f(t). setiap fungsi periodik dengan frekuensi sinus ataupun kosinus atau :
Menurut
teori Fourier
dapat di ekspresikan sebagai perjumlahan dari fungsi
= 2/T disebut sebagai frekuensi dasar dan
merupakan harmonisa yang ke-n dari f (t) dan bila n merupakan bilangan
ganjil disebut harmonisa ganjil dan bila genap disebut harmonisa genap.
Suatu fungsi f(t) dapat dinyatakan dengan sebuah deret Fourier apabila :
1. f(t) memiliki nilai tunggal untuk setiap t. 2. Jika f(t) tidak kontinyu maka hanya terdapat jumlah diskontinuitas terbatas pada periode T. 3. Memiliki jumlah maksimum dan minimum yang terbatas da lam periode.
4.
Untuk
setiap
.
syarat-syarat ini disebut sebagai syarat Dirichlet.
Adapun proses untuk menentukan koefisien ao ; an dan bn disebut sebagai analisa. Fourier, dimana dalam analisa Fourier ini ada beberapa bentuk integral trigonometri yang sangat membantu diantaranya :
semua n «««««««««««. (a)
semua n
0 «««««««««.. (b)
semua n,m ««««« (c)
n
m «««««««« (d)
n
m «««««««...(e)
semua n «««««««««... (f)
semua m ««««««««« (g)
Dari analisa fourier, didapat :
Maka
:
Sehingga :
Dalam bentuk kompleks :
K esimetrisan
-
Simetris Genap
Gambar 1: fungsi genap
Adapun sifat yang utama dari fungsi genap ini adalah :
Dimana notasi e pada
untuk melambangkan fungsi genap (even).
Didapat koefisen-koefisen fourier-nya :
-
Simetris Ganjil
Gambar 2 : fungsi ganjil
Adapun bentuk umum fungsi ini adalah :
Dimana
Untuk
hanya berupa simbol dari fungsi ganjil(Odd).
fungsi ganjil ini, harga-harga nya :
Setiap fungsi periodic f(t) dapat merupakan gabungan fungsi-fungsi genap atau ganjil saja ataupun gabungan fungsi genap atau ganjil.
Harmonic
Untuk
Analisis
mendapatkan konstante dari deret fourier dari data-data yang diberikan digunakan suatu
formula yaitu :
Identitas
Parsevel
Bila deret Fourier dari f(x) konvergen uniform ke f(x) dalam interval (-L,L) maka :
II. Transformasi
Transformasi Fourier Fourier
Transformasi Fourier adalah sebuah transformasi integral yang menyatakan-kembali sebuah fungsi dalam fungsi basis sinusioidal, yaitu sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien ("amplitudo"). Ada banyak variasi yang berhubungandekat dari transformasi ini tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan. Asal kata transformasi berarti mengubah sesuatu, begitu juga dengan transformasi fourier. Secara sederhananya transformasi fourier dipergunakan untuk mengubah dari kawasan waktu menjadi kawasan frekuensi. Pengubahan itu dimaksudkan untuk mempermudah analisis yang dilakukan. Dalam bidang pengolahan sinyal maka pengubahan tersebut dapat dilakukan terhadap sinyal maupun terhadap sistemnya. Transformasi fourier sinyal akan menghasilkan spektrum sinyal. Sedangkan transformasi fourier terhadap sistem akan menghasilkan tanggapan frekuensi sistem.
Pemakaian Pada Rangkaian Listrik
Adapun langkah-langkah yang diperlukan diantaranya : Untuk
mendapatkan respons steady state rangkaian terhadap eksitasi non-sinusoidal periodik ini
diperlukan pemakaian deret Fourier, analisis fasor ac dan prinsip superposisi. 1. Nyatakan eksitasi dalam deret Fourier. 2. Transformasikan rangkaian dari bentuk wawasan waktu menjadi wawasan frekuensi. 3. Cari resonse komponen dc dan ac dalam deret Fourier. 4. Jumlahkan masing-masing response secara superposisi.
Gambar 3 :
a) Rangkaian linier dengan sumber tegangan periodik b) Merepresentasekan deret Fourier (wawasaan waktu)
adapun pernyataan deret Fourier-nya :
Gambar 9.7
a) Respons steady state komponen dc b) Respons steady state komponen ac (wawa san frekuensi)
Daya Rata-rata dan RMS
Untuk
mendapatkan harga daya rata-rata yang diserap oleh suatu rangkaian dengan sumber suatu
fungsi periodik , yaitu :
sedangkan sebagaimana diketahui bahwa daya rata-rata adalah :
harga efektif (rms) dari suatu f(t) adalah :
Aplikasi
y
Transformasi
Aplikasi
Fourier
Transformasi
Fourier di Bidang Medis
Tahun 1910, seorang matematikawan Hungaria, Alfred Haar mengembangkan sebuah basis fungsi. Basis fungsi ini yang sekarang dikenal sebagai wavelet Haar. Transformasi wavelet dikenal sejak tahun 1980-an, lahir sebagai solusi yang dapat menangani kekurangan transformasi fourier dalam menganalisis berbagai sinyal yang terdapat pada dunia nyata. Seringkali, informasi yang tidak dapat dilihat pada domain waktu, dapat dilihat pada domain frekuensi. Sebagai contoh dalam bidang medis dikenal sinyal ECG (ElectroCardioGraphy), yaitu catatan grafik aktivitas elektrik jantung. Bentuk khusus ECG orang yang sehat, dikenal betul oleh seorang ahli jantung. Sebuah penyimpangan yang berarti dari bentuk tersebut biasanya dianggap sebagai gejala adanya penyakit. Namun gejala adanya penyakit tidak selalu terlihat jelas pada sinyal ECG dalam domain waktu, terkadang penyakit dapat didiagnosa lebih mudah jika sinyal dianalisis dalam domain frekuensi. Hal tersebut merupakan contoh sederhana dari kegunaan domain frekuensi. Transformasi fourier bersifat reversibel; yaitu suatu fungsi dapat ditransformasi ke dalam domain frekuensi (yang memuat informasi frekuensi- amplitudo), dan di inversikan lagi ke domain waktu (yang memuat informasi waktu-amplitudo). Namun, kedua informasi tersebut tidak bisa didapatkan secara bersamaan. Representasi fungsi dalam domain frekuensi tidak memuat informasi waktu, demikian pula sebaliknya. Untuk fungsi-fungsi yang stasioner, yaitu fungsi yang nilai frekuensinya tidak berubah-ubah secara kontinu, informasi waktu dan frekuensi secara bersamaan tidak diperlukan, karena di seluruh interval waktu, nilai komponen frekuensinya konstan.
Namun jika fungsi yang akan dianalisis merupakan fungsi yang non- stasioner, yaitu fungsi yang nilai frekuensinya berubah-ubah secara kontinu, maka informasi waktu dan frekuensi secara bersamaan diperlukan, untuk mengetahui kapan perubahan itu terjadi. Ketidakmampuan transformasi fourier dalam merepresentasikan informasi waktu dan frekuensi secara bersamaan, menyebabkan transformasi fourier tidak dapat digunakan untuk menganalisis fungsi-fungsi yang non-stasioner. Sebagai contoh, hampir seluruh sinyal di bidang biologi adalah non- stasioner. Beberapa yang terkenal adalah ECG(ElectroCardioGraphy, catatan grafik dari aktivitas elektrik jantung), EEG(ElectroEncephaloGraph, akt ivitas elektrik otak) dan EMG(ElectroMyoGraph, aktivitas elektrik otot).
y
Aplikasi
Transformasi
Fourier dalam Bidang
Teknik
Transformasi fourier menjadi alat analisis yang banyak dipergunakan di berbagai bidang. Pada pembahasan kali ini transformasi fourier dikaitkan dengan bidang pengolahan sinyal. Dalam bidang pengolahan sinyal maka pengubahan tersebut dapat dilakukan terhadap sinyal maupun terhadap sistemnya. Transformasi fourier sinyal akan menghasilkan spektrum sinyal. Sedangkan transformasi fourier terhadap sistem akan menghasilkan tanggapa n frekuensi sistem. Alat yang dasarnya transformasi fourier contohnya adalah spektrum analyzer. Spektrum analyzer adalah implementasi dari transformasi fourier cepat (fast fourier transform). Sedangkan alat ukur untuk menampilkan sinyal dalam kawasan waktu contohnya adalah osiloskop. Dengan osisloskop kita dengan mudah menganalisis frekuensi dari sinyal tersebut dengan meliat waktu yang dibutuhkan untuk mencapai satu gelombang penuh maka akan didapati periode sinyal. Frekuensi didapatkan dengan rumusan f=1/T. Untuk amplitudenya juga dengan mudah dapat kita liat pada sumbu vertikal osisloskop tersebut.
Aplikasi transformasi fourier lainya dalam bidang teknik dapat dilihat pada sistem CT Scanner. Peralatan CT Scanner terdiri atas tiga bagian yaitu sistem pemroses citra, sistem komputer dan sistem kontrol. Sistem pemroses citra merupakan bagian yang secara langsung berhadapan dengan obyek yang diamati (pasien). Bagian keluaran dari sistem pemroses citra, adalah sekumpulan detektor yang dilengkapi sistem akusisi data. Detektor adalah alat untuk mengubah besaran fisik-dalam hal ini radiasi-menjadi besaran listrik. Dengan menggunakan sistem akusisi data maka data-data dari detektor dapat dimasukkan dalam komputer. Sistem akusisi data terdiri atas sistem pengkondisi sinyal dan interfacae (antarmuka ) analog ke komputer. Bagian komputer bertanggung jawab atas keseluruhan sistem CT Scanner, yaitu mengontrol sumber sinar-x, menyimpan data, dan mengkonstruksi gambar tomografi.. Bagian terakhir dari CT Scanner adalah rekonstruksi.
U ntuk
mendapatkan gambar rekonstruksi
yang lebih baik, maka digunakan metode konvolusi. Proses rekonstruksi dari konvolusi dapat dinyatakan dalam bentuk matematik yaitu transformasi Fourier. Dengan menggunakan konvolusi dan transformasi Fourier, maka bayangan radiologi dapat dimanipulasi dan dikoreksi sehingga dihasilkan gambar yang lebih baik.
