Contoh 3.1
Fungsi gelombang suatu partikel yang bergerak sepanjang sumbu X diberikan diberikan oleh ψ ( x ) = Ce -│ x│sin αx a. Tentuka Tentukann konstanta konstanta C jika fungsi fungsi gelom gelombang bang ternorm ternormalisa alisasi si b. Jika α = π , hitung kemungkinan untuk mendapatkan partikel berada di sebelah kanan titik x = !enyelesaian !enyelesaian " a. #ua #uatu tu gelomb gelombang ang terno ternomal malisa isasi si jika memen memenuhi uhi ∞
∫ |ψ ( x )| dx =1 2
−∞
ψ ( x )
#e$ara eksplisit
diberikan oleh
Tampak bah%a fungsi terakhir adalah fungsi genap, dan rekaan grafiknya diberikan oleh gambar berikut
&arena itu ∞
∞
0
∫ |ψ ( x )| dx = ∫ C e 2
−∞
2
2 x
−∞
sin
2
∫
2
−2 x
αxdx + C e
sin
2
αxdx
0
∞
¿ 2 C ∫ e−2 x sin2 αxdx 2
0
'ntuk menghitung integral terakhir ini, fungsi sinus ditulis dalam bentuk eksponensial (ngat
sin x
=
1 2i
)aka sin
2
( eix −e−ix )
αx =
−1
( eiax −e−iax )
2
4
1
¿− ( e
2 iax
4 1
¿− ( e
2 iax
4
sehingga −1 = 1
2
−2 eiax−iax + e−
2 iax
+ e− iax−2 ) 2
∞
2
C
)
∫ e− ( e 2 x
2 iax
+ e−2iax −2 ) dx
0
∞
¿− 1 C ∫ ( e( 2
2
−2 ) x
2 ai
+ e−(
2 ai
+ 2) x
−2 e− x ) dx 2
0
1
| [ ( e
2
¿− C
(2 ai − 2) x
2 ai
2
¿− 1 C
2
−2
2 ai
1
+2
− 2 x
+e
0
)]
1
+1 −2 2 ai + 2 2 ai + 2 −( 2 ai − 2 ) +( 2 ai −2 )( 2 ai + 2) 1 ¿ C ( 2 a i−2 )( 2 ai + 2) 2 4 +(−4 a − 4 ) ¿ 1 C 2 −4 a −4 −4 a ¿ 1 C 2 −4 a − 4 2
2
2
(
−
−
|
∞
− ( 2 ai + 2) x
e
0
−
2 ai
(
)
)
2
2
( ) ( +) 2
2
2
2
1
2
¿ C 2
√ Jadi C =
a
a 2
2( a
a
2
1
+ 1)
2
√ b. *esar kemungkinan kemungkinan partikel berada di ψ ( x )=
2
(a +1 )
2
2
a
∞
−| x|
e
sin αx
x ≥ 1
∫|ψ ( x x )| d x 2
P ( x x ≥ 1 ) =
1
¿
2
2
( a + 1) a
2
∞
∫ e−
2 x
2
sin
αxdx
1
+ari hasil perhitungan di bagian a
∫e
− 2 x
)aka
sin
2
αxdx =
(
−1 e( 4
−2 ) x
− ( 2 ai + 2 ) x
2 ai
2 ai
−2
−
e
2 ai
+ e− x 2
+2
)
|
−2 ( a + 1 ) 1 e ( 2
P ( x ≥ 1 ) =
a
2
4 2 ai
[
¿− + 1 0 − a
2
2
2a
( + (
2 ai
(
e
−2) x
−2
( 2ai − 2 )
2 ai
−2
−
−
2 ai
+2
−( 2ai + 2)
e
+
2 ai 2
+ 1 e( 2 ai−2 ) e−( 2 ai+ 2) −2 ¿ 2 − +e 2 ai −2 2 ai + 2 2a 'ntuk α = π a
2
2
P ( x ≥ 1 ) =
π
1
2
2 π
( 2 π i− 2 )
−(2 π i+ 2 )
−2 x
+e
1
+ e−
2
)
e −e + e− 2 2 π i−2 2 π i+2
|
∞
−( 2ai + 2) x
e
)]
)
(ngat " e iθ =cos θ +i sin θ − − π + 1 e ( cos2 π + i sin 2 π ) e ( cos2 π −i sin 2 π ) − − +e P ( x ≥ 1 ) = 2 π i− 2 2 π i +2 2 π − e ( π + 1) 1 1 ¿ − +1 2 π i −2 2 π i+2 2 π − e ( π + 1) 2 π i + 2−( 2 π i −2 ) −4 π − 4 ¿ −4 π −4 2 π − e ( π + 1) −4 π ¿ −4 π − 4 2 π − e ( π + 1) 1 ¿ 2 π + 1 2
2
2
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
2
)
)
(
2
2
)
( ) ( ) 2
2
2
¿ ¿
e
−2
2 1 2e
2
¿ 0,068 Contoh 3.2 :
&eadaan pertikel setiap saat di dalam kotak satu dimensi L diberikan oleh
+engan ψ 1 ( x ,t ) danψ 2 ( x ,t ) adalah keadaan dasar dan keadaan tereksitasi tingkat pertama setiap saat partikel di dalam kotak. a. tuliskan se$ara eksplisit bentuk dari ψ ( x , t ) b. perlihatkan bah%a energi rata rata partikel
dengan ! dan ! masing masing adalah rapat probabilitas keadaan dasar dan keadaan eksitasi pertama. &emudian hitung ⟨ E ⟩ tersebut. $. Tentukan posisi rata rata ⟨ x ⟩ partikel Penyelesaian
a. +ari ungkapan /./01 didapatkan
b. +ari definisi nilai harap
$. !osisi rata rata partikel, menggunakan notasi /.1
+ari ungkapan partikel di dalam kotak satu dimensi didapatkan
⟨ x ⟩ berosilasi di sekitar titik tengah kotak dengan amplitudo
Jadi
sebesar 2 L34
2
π
dan frekuensi v =
ω =3 E1 / h . 2 π
Contoh 3.3
#uatu ele$tron terperangkap di dalam kotak satu dimensi dengan panjang 5. 6itung " a. 7nergy tingkat dasar ele$tron tersebut. b. *esar peluang untuk menemukan ele$tron di daerah. 1 2
0
A < x <
3 4
0
A
Penyelesaian
a. 7nergy partikel di dalam kotak 8 diberikan oleh
b. +ari 9ambar /.:, daerah ; 5 < x < 5 identik dengan daerah 83 < x < /83: 5 &arena itu,
Contoh 3.4
)isalkan, ada seribu ele$tron yang masing-masing berenergi 0 e> ditembakkan kea rah daerah bertangga potensial dengan ketinggian : e>. 6itung jumlah ele$tron yang berbalik ketika ele$tron-elektron tersebut sampai pada tangga potensial. Penyelesaian :
7nergy ele$tron, 7 = 0 e> Tangga potensial > ? = : e> &oefisien refleksi untuk 7 @ > ? diberikan oleh pers. /.A:1 R=
(
)
k − k ' k + k '
2
+engan k dan kB seperti ungkapan /.:Ab1 dan /.Ab1. dalam ungkapan 7 dan > ?,
#ubstitusi harga-harga 7 dan > ?, didapatkan = ?,A &arena itu, ada sejumlah D
D = ??? x = A? elektron Eang dipantulkan. #ekali lagi, inilah yang membedakan dari perumusan klasik. )enurut mekanika klasik semua ele$tron ??? elektron1 tersebut akan lolos mele%ati tangga potensial karena 7 @ >?, tanpa ada satupun ele$tron yang dipantulkan. Contoh 3.5
#uatu elektron bergerak di dalam sumur potensial yang mempunyai kedalaman ? e>. 7nergi tingkat dasar ele$tron ternyata adalah -Ae>. Tentukan3 hitung " a. 8ebar sumur dalam 51 b. Jumlah tingkat energi diskrit yang mungkin $. *esar peluang mendapatkan ele$tron keadaan dasar berada di luar sumur Penyelesaian :
a. &arena energi tingkat dasar merupakan jenis solusi dengan paritas genap, maka lebar sumur a dapat ditentukan menggunakan pers. /.22b1, /.2A1 dan /.2?1,
#ubtitusi harga-harga >? = ? e> dan 7 = A e>, didapatkan lebar sumur" a = ,/5 b. +ari harga a di atas, di dapat harga parameter G
sehingga
hal ini berarti, menggunakan pers. /.A:1-harga D = . &arena itu tingkat energi diskrit yang mungkin adalah D H = $. )emperhatikan kesimetrisan fungsi gelombang keadaan dasar gambar /.A1, maka besar peluang untuk mendapatkan elektron di luar sumur $ukup dihitung untuk daerah positif.
)enggunakan ungkapan /.AA1 untuk fungsi
φ
, didapatkan,
+an
&arena itu,
#ubtitusi harga-harga k, I, a, e dan >o, didapatkan "
Contoh 3.6
)enurut teori 9amo%, 9urney dan Condon, partikel α di dalam sumur potensial yang dibentuk oleh inti dan gaya Coulomb mempunyai peluang untuk menerobos potensial penghalang. &eluarnya partikel α . (lustrasinya diberikan oleh gambar berikut.
7nergi partikel α probabilitas partikel tersebut.
di dalam inti berjejari adalah Εα . 6itung α meluruh atau keluar sumur potensial berjejari
Penyelesaian :
!otensial berbentuk
+an energy partikel !robabilitas partikel meluruh T, dengan
(ntegral dapat diperoleh menggunakan table integral. Tetapi di sini akan dihitung langsung dengan penggantian Kariabel. r = b cos θ 2
dengan penggantian Kariabel ini diperoleh dr = -b sin θ cos θ d θ untuk batas integrasi
maka
Jika Εα sangat ke$il, maka seperti tampak pada gambar di depan, untuk x ke$il sekali ar$$os x ≈ ar$$os ? x = π / 2 x maka didapatkan
+engan demikian
#ebagai ilustrasi kongret, ambil peluruh 6arga T diperoleh, dengan harga-harga
b
¿
R.
#ubtitusi nilai nilai di atas, didapatkan koefisien transmisi T partikel − 90
Τ =e
α
−39 ≈ 10
#uatu harga yang tidak nol %alaupun sangat ke$il. Contoh 3.7 :
#uatu ele$tron berenergi E ditembakkan dari kiri mele%ati penghalang potensial seperti 9ambar /./, dengan penghalang >? = ? eV dan lebar 5. hitung " a. &oefisien transmisi jika energi partikel E =>?. b. 7nergi resonasi pertama dan kedua dari ele$tron. !enyelesaian " a. &arena penghalang potensial konstan dan q → 0 maka penghitungan koefisien transmisi dapat diperoleh menggunakan ungkapan /.4A1, dengan 2
ε=
ℏ
2 ma
2
= /, e>
+engan demikian, koefisien transmisinya " Τ =
1
(
2
1 + 0 / ε Ε
) = ?.2
Jadi, ada sekitar 2 elektron dari ?? elektron datang, yang diteruskan mele%ati penghalang. b. &eadaan resonansi merupakan keadaan yang mana semua partikel yang ditembakkan1 dari kiri tidak ada yang dipantulkan atau dengan kata lain semua partikel diteruskan, T =. 6al ini hanya mungkin terjadi jika E ¿ , tepatnya menggunakan koefisien transmisi T /.?:1 dengan 0
energi partikel memenuhi pers. /.?21
Jadi energi keadaan resonansi pertama dan kedua
Contoh 4.1
'ntuk bilangan kuantum n = :, tuliskan fungsi eigen dengan semua nilai dan m yang mungkin. Penyelesaian :
+ari uraian di depan didapatkan bah%a untuk n tertentu terdapat n harga . 'ntuk n = : maka = ?,,-,/ #edangkan untuk tertentu ada ( - + ) harga m. 8engkapnya, diberikan dalam fungsi gelombang ψ nm seperti tabel berikut " n = : m. ? ? - ? - - ? / -/ - - ?
ψ nm ( r ,θ , ϕ ) ψ :?? ( r , θ , ϕ ) ψ :− ( r ,θ , ϕ ) ψ :? ( r , θ , ϕ )
ψ : ( r ,θ , ϕ ) ψ :-−- ( r , θ , ϕ ) ψ :-− ( r ,θ , ϕ ) ψ :-? ( r , θ , ϕ ) ψ :- ( r ,θ , ϕ ) ψ :-- ( r , θ , ϕ ) ψ :/−/ ( r , θ , ϕ ) ψ :/− ( r ,θ , ϕ ) ψ :/− ( r , θ , ϕ ) ψ :/? ( r , θ , ϕ ) ψ :/ ( r ,θ , ϕ )
/
ψ :/- ( r , θ , ϕ ) ψ :// ( r , θ , ϕ )
Contoh 4.2. :
6itung kemungkinan mendapatkan ele$tron berada pada jarak kurang dari jari-jari *ohr untuk atom hydrogen dalam keadaan dasar. Penyelesaian :
Fungsi radial keadaan dasar atom hidrogen R? r 1 = - a? 1 −/ 3 - e −
r 3 a ?
)aka probabilitas per satuan panjang untuk mendapatkan elektron pada jarak P r 1 =
:r a?
dari inti,
/
e
− - r L 3 a ?
&aren itu, probabilitas elektron berada pada jarak kurang dari a?
:
a?
∫ P r 1dr = a ∫ e
− - r 3 a?
/
?
?
a?
,
r - dr
?
a? − -r 3 a - a a? a − -r 3 a r + e = / − e - ∫ ? a? ? = A3e2 = ?,// :
?
?
?
?
-rdr
Contoh 4.3 :
6itung " a. 7nergi kinetik rata-rata b. 7nergi potensial rata-rata, elektron dalam keadaan dasar dari atom hidrogen. Penyelesaian :
a. Fungsi gelombang keadaan dasar ψ ?? hanya bergantung pada jari-jari r, ψ ?? ( r ,θ , ϕ )
=
π a?
/3 -
e
−r 3 a?
r
&arena itu, energi kinetik rata-ratanya " E k
p - = ∫ ψ ?? ψ ?? dv m e
=
-me
∫
ψ ?? ( − i∇ ) ψ ?? dv -
− -
-m ∫ π a
=
e /
−r 3 a?
?
− =
− = − =
-
∞
-
ma?
∫ e
/
?
∞
- me a?
A
∫e
-
+
r - d e −r 3 a dr dr d
?
?
−- r 3 a?
r dr +
∞
: -
-
me a?
:
∫ e
- -
me a?
-
me a?
-
= = /,2 e> b. 7nergi total elektron keadaan dasar E k + E p = E )aka E k + E p
= E k +
:π r - dr
d - - d −r 3 a dr - + r dr e ( r dr )
?
me a?
−r 3 a?
r
E p
= E = E Contoh 4.5
a. Tunjukkan bah%a fungsi ψ = cre − r 3 -δ $osθ , dengan
δ =
mke-
adalah solusi dari atom hidrogen.
?
−- r 3 a?
r dr
b. Tentukan energi keadaan tersebut. $. 6itung nilai momentum sudut i1 L dan ii1 LM d. 6itung komponen momentum sudut L z dari L+ψ Penyelesaian :
a. Nperasikan operator energi kinetik pada ψ ,
−
-m
∇ ψ = -
-mr -
∂ - ∂ψ ∂ ψ ∂ -ψ ∂ + sin θ + r r - ∂r ∂r sin θ ∂θ ∂θ sin - θ ∂ϕ -
Jelas suku ketiga ruas kanan sama dengan nol, karena se$ara eksplisit. #ementara dua suku lainnya,
ψ tidak
bergantung ϕ
∂ sin θ ∂ψ cre − r 3 -δ ∂ sin θ ∂ $osθ = θ θ θ θ θ θ sin sin ∂ ∂ ∂ ∂ i1
= =
−
cre − r 3 sin θ
−
cre − r 3 -δ ( - sin θ $osθ ) sin θ
δ
∂ ( sin - θ ) ∂θ
− r 3 -δ $osθ = − -cre = − -ψ
∂ - ∂ψ $osθ ∂ - ∂ { − r 3 -δ } re r = c r r r r r ∂ ∂ ∂ ∂ ii1 c $osθ
=
∂ - − r 3 -δ − r − r 3 -δ e r e ∂r -δ
− r 3 -δ r - − r 3 -δ /r - − r 3 -δ r / − r 3 -δ − e − c $osθ -re e − -δ e δ ( ) δ = -cre
− r 3 -δ
= -ψ −
r − r 3 -δ $osθ − rcre $osθ + cre − r 3 -δ $osθ δ ( -δ ) s
-r r ψ + ψ δ ( -δ ) -
= #ubstitusi kembali ke dalam persamaan kinetis di atas, kita dapatkan
r - -r − ∇ ψ = − - − δ ψ -m -m r - ( -δ ) -
-
-
-
ψ − ψ mδ r ( δ ) -m = ker
=
ψ −
m( ke- )
-
F -
ψ
5tau
−
-m
∇ -ψ −
ke r
ψ =
m( ke- ) F -
-
ψ
!ersamaan ini tidak lain adalah persamaan #$hrodinger untuk atom hidrogen
dengan energi potensial ,
V ( r )
=−
ke
-
r
sehingga dalam ungkapan 6amiltonian
- m ( ke - ) − ∇ − V ( r ) ψ = ψ = − F - ψ ! b. +ari persamaan eigen ψ = E ψ
+idapatkan bah%a energi keadaan tersebut adalah E = −
m( ke - )
-
F -
$. Dilai momentum sudut ∠ dapat diperoleh dengan menerapkan i1
Nperasikan L- seperti :.//1 pada ψ , ∂ ψ ∂ ∂ L ψ = − sin θ + ∂θ sin θ ∂ϕ - sin θ ∂θ -
-
− - ∂ sin θ ∂ψ ? + θ θ θ sin ∂ ∂ = − ( − -ψ ) = Tampak bah%a nilai eigen dari operator L2 adalah - .
ii1
&arena itu, nilai momentum sudut ∠ adalah - . Terapkan operator L z :./$1 untuk mendapatkan nilai komponenkomponen dari momentum sudut ∂ ( cre − r 3 -δ $osθ ) = ? L z ψ = −i ∂ϕ
&arena ψ tidak bergantung pada ϕ se$ara eksplisit. d. )enggunakan uangkapan :.01 dan :.A41 didapatkan L+ψ = L x + iL y ψ =
i ( sin ϕ − i $os ϕ )
∂ψ ∂ψ + i ( $osϕ + i sin ϕ ) $ot θ ∂θ ∂ϕ
= i ( sin ϕ − i $osϕ ) cre
− r 3 -δ
( − sin θ ) i
− r 3 -δ sin θ ( sin ϕ − i $os ϕ ) = − i cre
#elanjutnya operasikan L z pada L+ψ ∂ L z ( L+ψ ) = −i {− icre − r 3 -δ sin θ ( sin ϕ − i $osϕ ) } ∂ϕ
− i ( − icre − r 3 -δ sin θ ) ∂ ( sin ϕ − i $osϕ ) ∂ϕ = − r 3 -δ sin θ ) ( $os ϕ + i sin ϕ ) = − i ( − i"cre − r 3 -δ sin θ )( − i $os ϕ + sin ϕ ) = ( − icre − r 3 -δ { − cre sin θ ( sin ϕ − i $os ϕ )} =
= L+ψ Jadi 8HΨ adalah fungsi eigen dari 8 dengan nilai eigen . 5tau dengan kata lain, komponen-M momentum sudut keadaan elektron 8 HΨ adalah .
E p
= E −
E k
−
me e : /-π -e?
-
#ehingga = = /,2 /,2 e> = -0, e>
-
− E k
Contoh 4.4
#atu elektron di dalam medan Coulomb dari suatu pohon mempunyai keadaan yang dinyatakan oleh fungsi gelombang.
( ) = 2 { :ψ (r ) + /ψ (r ) −ψ (r ) +
ψ r
??
-
-?
()}
?ψ -− r
6itung harga ekspektasi dari a. 7nergi b. 8 c. 8M, dari elektron Penyelesaian
a. 6amilton :./1 dan persamaan eigen :.:1 memberikan
(
ψ nlm r
= E ψ nlm (r n
+engan energi eigen hanya bergantung pada bilangan kuantum utama E n
=−
me e :
/-πε n ?
-
&emudian menginat ortonormalitas fungsi eigen ψ nlm (r (ψ n Ll Lm L,ψ nlm ) = δ n Lnδ l Ll δ m Lm &ita dapatkan E
= ∫ ψ O ψ dv
∫ =
ψ O
2
{:ψ
??
ψ {: E ψ ∫ 2 = O
∫ {2ψ = /2
∗
??
( r ) + /ψ -( r ) − ψ -? ( r ) +
( r ) + / E -ψ -( r ) − E -ψ -? ( r ) +
=
/2
=
/2
}
}
? E -ψ -−( r ) dv
∗ ∗ ∗ E ψ ?? + 4ψ E -ψ - + ψ -? E -ψ -? + ?ψ - − E -ψ -−} dv
??
?ψ -−( r ) dv
{2 E + 4 E - + {2 E + -? E - }
E -
+ ? E - }
n
2 E + -? : = /2
0
= -
E
E
b. )enggunakan pers.:.2:1 $ .- # lm
= ( + ) -# lm
Eang hanya bergantung pada bilangan kuantum orbital, maka i1
L-ψ ?? ( r )
=?
ii1
L ψ - ( r )
= - -ψ -( r )
iii1
L-ψ -? ( r )
= - -ψ -? ( r )
-
iK1 L ψ -− ( r ) = - ψ -− ( r ) sehingga -
L-
-
= ∫ ψ ∗ L-ψ dv ) − ψ ( ) + { ψ ψ + ( ) ( r ? / . r - -? r - ∫ ∗
=
2
-
{? + 4.ψ ∫ /2 =
∗
-
∗ -ψ - + ψ -? -ψ -?
}
? -ψ -− ( r ) dv
+ ?ψ -∗ − -ψ -− ( r )}dv
? -
= 4 $. )enggunakan pers.:.21 L z # lm (θ ,ϕ ) = m # lm ( θ , ϕ ) Eang hanya bergantung bilangan kuantum magnetik, diperoleh i1 L z ψ ?? ( r ) = ? ii1
L z ψ - ( r )
= ψ - ( r )
iii1
L z ψ ? ( r )
=
?
iK1 L z ψ -− ( r ) = −ψ -− ( r ) bersama ortonormalitas :.A1 memberikan
L z
= ∫ ψ O L z dv =
=
∫
2
{4.ψ /2 ∫
=−
ψ O {? + /.ψ - ( r ) − ? − ?ψ -− ( r ) }dv O ψ - − ?ψ - −ψ -− }dv
O -
/2
