2.5 SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN REPASO DE MATERIAL Técnicas de integración. ● Separación de variables. ● Solución de ED. ●
INTRODUCCIÓN Normalmente resolvemos una ecuación diferencial reconociéndola dentro de una cierta clase de ecuaciones (digamos separables, lineales o exactas) y después aplicamos un procedimiento, que consiste en pasos matemáticos específicos para el tipo ti po de ecuación que nos conducen a la solución de la misma. Pero no es inusual que nos sorprenda el tener una ecuación diferencial que no pertenece a alguna de las clases de ecuaciones que sabemos cómo resolver. Los procedimientos que se analizan en esta sección pueden ser útiles en este caso.
SUSTITUCIONES Con frecuencia el primer paso para resolver una ecuación diferencial es transformarla en otra ecuación diferencial mediante una sustitución. Por ejemplo, suponga que se quiere transformar la ecuación diferencial de primer orden
,,
=, sustituyendo
. = = , , , , . , , ,, =,/ , , =, , , , , = , = , . =,. donde se considera una función de la variable parciales, entonces, usando la regla de la cadena
Al sustituir
por la derivada anterior y sustituyendo
en
Si
tienemprimeras derivadas
por
que se convierten en
tiene la forma
=
obtenemos obtenemos la ED
, la cual, resuelta para
Si podemos determinar una solución
,
de esta última
ecuación, entonces una solución de la ecuación diferencial original es
En el análisis siguiente examinaremos tres clases diferentes de ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver mediante una sustitución.
ECUACIONES HOMÓGENEAS Si una función
función homogénea , = , , tiene la propiedad
algún número real , entonces se dice que es una es una función homogénea de grado 3, ya que
, , =
para de grado . Por ejemplo
, = = = ,, , , , = 1 ,, ,,=0 1 homogénea , = , , , , = ,. , , = 1, 1, , , = 1, 1, = /, /, 2 2 , , = ,1 , 1 , , = ,1 , 1 = /, /, 3 3
mientras que diferencial
es no homogénea. Una ED de primer orden en forma
se dice que es * si ambas funciones coeficientes y son ecuaciones homogéneas del mismo grado. En otras palabras, la ecuación (1) es homogénea si
Además, si
Y
y
son funciones homogéneas de grado , podemos escribir
Vea el problema 31 de los ejercicios 2.5. Las propiedades (2) y (3) sugieren las sustituciones que se pueden usar para resolver una ecuación diferencial homogénea. En concreto, cualquiera de las sustituciones o , donde y son las nuevas variables dependientes, reducirán una ecuación homogénea a una ecuación diferencial de primer orden separable. Para mostrar esto, observe que como consecuencia de (2) una ecuación homogénea se puede reescribir como
= =
0
,, = 1,1, = 0 1,1,=0 =/ = = 1,1, = 0 1, 1,1,=0 1, = 0 1, 1,
donde o . Sustituyendo la diferencial en la última ecuación y agrupando términos, obtenemos una ED separable en las variables u y x :
o
En este momento le damos el mismo consejo que en las secciones anteriores. No memorice nada de aquí (en particular la última fórmula); más bien, cada vez siga el procedimiento. Pruebe a partir de la ecuación (3) que las sustituciones y también conducen a una ecuación separable siguiendo un procedimiento similar.
= =
EJEMPLO 1 Solución de una ED homogénea
=0 , = , = = SOLUCIÓN , = 0 11=0 1 = 0 1 2 ] =0. ←ó [1 1 Resuelva
.
Examinando a y a se muestra que estas funciones coeficientes son homogéneas de grado 2. Si hacemos , entonces de modo que después de sustituir, la ecuación dada se convierte en
=
Después de integrar la última ecuación se obtiene
2ln|1|ln|| = ln|| 2ln1 ln|| = ln|| ←sustituyendo de nuevo =/ Utilizando las propiedades de los logaritmos, podemos escribir la solución anterior como
ln = =/ .
Aunque cualquiera de las soluciones indicadas se puede usar en toda ecuación diferencial homogénea, en la práctica se intenta con cuando la función sea más fácil que . También podría ocurrir que después de utilizar una sustitución, podemos encontrar integrales que son difíciles o imposibles de evaluar en forma cerrada; y el cambiar las sustituciones puede facilitar el problema.
=
,
,
*Aquí la palabra homogénea no significa lo mismo que en la sección 2.3. Recuerde que una ecuación lineal de primer orden es homogénea cuando .
′ =
= 0
ECUACIÓN DE BERNOULLI La ecuación diferencial
= , 4 ecuación de Bernoulli. ≠0 ≠1 = −
=1
donde es cualquier número real, se llama , la ecuación (4) es lineal. Para y ecuación de la forma (4) a una ecuación lineal.
=0
Observe que para y la sustitución reduce cualquier
EJEMPLO 2 Solución de una ED de Bernoulli Resuelva
= .
SOLUCIÓN Primero reescribimos la ecuación como
dividir entre
= . = 2 = − = − = = − ← Regla de la cadena Con
tenemos
o
. Entonces sustituimos
en la ecuación dada y simplificando. El resultado es
1 =
0, ∞ −∫/ = − = = −. − = 1 − −= = = =1/ .
El factor integrante para esta ecuación lineal en, digamos,
Integrando
se obtiene o solución de la ecuación dada es
. Puesto que
es
, tenemos que
=1/,
así una
Observe que no hemos obtenido una solución general de la ecuación diferencial no lineal original del ejemplo 2 ya que es una solución singular de la ecuación.
=0
REDUCCIÓN A SEPARACIÓN DE VARIABLES Una ecuación diferencial de la forma
=
5
Se puede siempre reducir a una ecuación con variables separables por medio de la sustitución , El ejemplo 9 muestra la técnica.
= ≠0.
EJEMPLO 3 Un problema con valores iniciales Resuelva
SOLUCIÓN Si hacemos
= 2 7, 0 = 0. =2/ =2, 2 = 7 = 9. entonces
, por lo que la ecuación
diferencial se expresa como
La última ecuación es separable. Utilizando fracciones parciales
= 1 [ 1 1 ]= 33 6 3 3 y después de integrar se obtiene
1 ln 3 = 3 = + = ← sustituyendo 6 por 6 3 3 , 31 31 = 1 =2 1 . 6 0 = 0 =1 ) =2 (− + 1
Despejando
de la última ecuación y restituyendo a
en términos de
y
se obtiene la solución
Por último, aplicando la condición inicial a la última ecuación en (6) se obtiene . La figura 2.5.1, obtenida con la ayuda de un programa de graficación, muestra en azul oscuro la gráfica de la solución particular
junto con las gráficas de algunos otros
miembros de la familia de soluciones (6).
FIGURA 2.5.1 Algunas soluciones de x
′ = 2 7.
EJERCICIOS 2.5 Cada una de las ED de los problemas 1-14 es homogénea. En los problemas 1 a 10 resuelva la ecuación diferencial dada usando las sustituciones adecuadas.
1.=0 Solución:
2. =0 Solución:
3. 2=0 Solución:
4.=2
5. =0 Solución:
6. =0 Solución:
7. = Solución:
8. = 3 3 Solución:
9.( √ )=0 Solución:
10. = √ , >0 Solución:
En los problemas 11 a 14 resuelva el problema con valores iniciales dado.
11. = , 1 = 2 Solución:
12. 2 =, 1 = 1 Solución:
13. (/ ) / =0, 1 = 0 Solución:
14. ln ln1 = 0, 1 = Solución:
Cada una de las ED de los problemas 15 a 22 es una ecuación de Bernoulli. En los problemas 15 a 20 resuelva la ecuación diferencial dada usando una sustitución adecuada.
15. = 1 Solución:
16. = Solución:
17. = 1 Solución:
18. 1= Solución:
19. = Solución:
20. 31 =2 1 Solución:
En los problemas 21 y 22 resuelva el problema con valores iniciales dado.
21. 2=3, 1 =1/2 Solución:
22. / / =1, 0 = 4 Solución:
Cada una de las ED de los problemas 23 a 30 es de la forma dada en la ecuación (5). En los problemas 23 a 28 resuelva la ecuación diferencial dada usando una sustitución adecuada.
23. = 1 Solución:
24. = 1 Solución:
25. = Solución:
26. = Solución:
27. = 2√ 23 Solución:
28. =1−+ Solución:
En los problemas 29 y 30 resuelva el problema con valores iniciales dado.
29. = , 0 =/4 Solución:
32 , 1 = 1 30. = 322 Solución:
Problemas para analizar 31. Explique por qué es posible expresar cualquier ecuación diferencial homogénea
,=0
en la forma
= .
,
Podría comenzar por demostrar que
, = 1,/
Solución:
, = 1,/.
32. Ponga la ecuación diferencial homogénea
5 2=0 en la forma dada en el problema 31. Solución:
33. a) Determine dos soluciones singulares de la ED en el problema 10. b) Si la condición inicial
5 = 0
es como se indicó para el problema 10, entonces ¿cuál es el intervalo de definición más grande en el cual está definida la solución? Utilice un programa de graficación para obtener la gráfica de la curva solución para el PVI. Solución:
→∞
34. En el ejemplo 3 la solución asintótica a una curva conforme ecuaciones de estas curvas? Solución:
→±∞ →∞,
es no acotada conforme . Sin embargo, es . a una diferente curva conforme ¿Cuáles son las
=
se conoce como la ecuación de Riccati. 35. La ecuación diferencial a) Una ecuación de Riccati se puede resolver por dos sustituciones consecutivas, siempre y
,
=
cuando conozcamos una solución particular, de la ecuación. Muestre que la sustitución reduce la ecuación de Riccati a una ecuación de Bernoulli (4) con . La ecuación de Bernoulli se puede entonces reducir a una ecuación lineal sustituyendo .
= 2 − =
b) Determine una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial
=2/
donde Solución:
= 4 1 es una solución conocida de la ecuación.
36. Determine una sustitución adecuada para resolver
′ =
Solución:
Modelos matemáticos 37. Cadena cayendo En el problema 45 de los ejercicios 2.4 vimos que un modelo matemático
para la velocidad de una cadena que se desliza por el borde de una plataforma horizontal es
=32.
En ese problema se le pidió que resolviera la ED convirtiéndola en una ecuación exacta usando un factor integrante. Esta vez resuelva la ED usando el hecho de que es una ecuación de Bernoulli. Solución:
38. Crecimiento de la población En el estudio de la población dinámica uno de los más famosos modelos para un crecimiento poblacional limitado es la ecuación logística
=
donde y son constantes positivas. Aunque retomaremos esta ecuación y la resolveremos utilizando un método alternativo en la sección 3.2, resuelva la ED por esta primera vez usando el hecho de que es una ecuación de Bernoulli. Solución:
