6.2 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES REPASO DE MATERIAL ●
Sección 4.2 (especialmente (5) de esa sección)
INTRODUCCIÓN Las dos ecuaciones diferenciales
0 0 son similares sólo en que son ejemplos de ED lineales simples de segundo orden con coeficientes variables. Eso es todo lo que tienen en común. Debido a que es un punto ordinario de , vimos en la sección anterior que no hubo problema en encontrar dos soluciones en serie de potencias distintas centradas en ese punto. En contraste, debido a que es un punto un punto singular de de , encontrar dos soluciones en series infinitas —observe que no se dijo series de potencias—,de la ecuación diferencial respecto a ese punto se vuelve una tarea más difícil. El método de solución analizado en esta sección, no siempre produce dos soluciones en series infinitas. Cuando sólo se encuentra una solución, se puede usar la fórmula dada en (5) de la sección 4.2 para encontrar una segunda solución.
0
0
0
0
0
UNA DEFINICIÓN Un punto singular
de una ecuación diferencial lineal
1
se clasifica más bien como regular o irregular. La clasificación de nuevo depende de las funciones P y Q en la forma estándar
0
2
DEFINICIÓN 6.2.1 Puntos singulares regulares e irregulares
–
1
Se dice que un punto singular es un punto singular regular de la ecuación diferencial si las funciones y son analíticas en . Un punto singular que no es regular es un punto singular irregular singular irregular de la ecuación.
El segundo enunciado en la definición 6.2.1 indica que si una o ambas funciones y no son analíticas en , entonces es un punto singular irregular.
–
COEFICIENTES POLINOMIALES Como en la sección 6.1, estamos principalmente interesados
, 0 / / / / –
en ecuaciones lineales (1) donde los coeficientes y son polinomios sin factores comunes. Ya se ha visto que si , entonces es un punto singular de (1), ya que al menos una de las funciones racionales y en la forma estándar (2) no es analítica en ese punto. Pero como es un polinomio y es una de sus raíces, se deduce del teorema del factor del álgebra que es un factor de . Esto signifi ca que después de que y se reducen a términos mínimos, el factor debe permanecer, para alguna potencia entera positiva, en uno o en ambos denominadores. Ahora suponga que es un punto singular de (1) pero ambas funciones definidas por los productos y son analíticas en . Llegamos a la conclusión de que multiplicar por y por tiene el efecto (por eliminación) de que ya no aparezca en ninguno de los l os denominadores. Ahora se puede determinar si es regular con una comprobación visual rápida de los denominadores:
Si aparece a lo más a la primera potencia en el denominador de y a lo más a la segunda potencia en el denominador de entonces entonces es un punto singular regular.. regular..
,
0
Además, observe que si es un punto singular regular y se multiplica la ecuación (2) por , entonces la ED original se puede escribir en la forma
donde
y
son analíticas en
3
.
EJEMPLO 1 Clasificación de puntos singulares
2 2 4 3 2 50. 4 22 23 2 25 2 2 2 2 2 32 2 5 2 2 2 2 2 , 2
Se debe aclarar que
y
son puntos singulares de
Después de dividir la ecuación entre los términos mínimos, se encuentra que
y de reducir los coeficientes a
Ahora se prueba y en cada punto singular. Para que sea un punto singular regular, el factor puede aparecer elevado a la primera potencia en el denominador de y a lo más a la segunda potencia en el denominador de Una comprobación de los denominadores de y muestra que ambas condiciones se satisfacen, por lo que es un punto singular regular. En forma alternativa, llegamos a la misma conclusión al notar que ambas funciones racionales
son analíticas en . Ahora, puesto que el factor de se concluye de inmediato que se también se deduce del hecho de que
es no analítica en
2
.
aparece a la segunda potencia en el denominador es un punto singular irregular de la ecuación. Esto
2 23 2 .
En el ejemplo 1, observe que como puede escribir como
2
es un punto singular regular, la ecuación original se
4 2 3 2 5 2 0. 0 2/ 8/. 2 80 0 2 80 0 0 2 8/
Como otro ejemplo, se puede ver que por inspección de los denominadores de punto singular regular de en los denominadores respectivos de
es punto singular irregular de y Por Por otro lado, es un , puesto que y incluso no aparecen y . Para un punto singular ,
Si aparece a lo más a la primera potencia en el denominador de y a lo más a la segunda potencia en el denominador de entonces entonces es un punto singular regular.. regular..
,
0
Además, observe que si es un punto singular regular y se multiplica la ecuación (2) por , entonces la ED original se puede escribir en la forma
donde
y
son analíticas en
3
.
EJEMPLO 1 Clasificación de puntos singulares
2 2 4 3 2 50. 4 22 23 2 25 2 2 2 2 2 32 2 5 2 2 2 2 2 , 2
Se debe aclarar que
y
son puntos singulares de
Después de dividir la ecuación entre los términos mínimos, se encuentra que
y de reducir los coeficientes a
Ahora se prueba y en cada punto singular. Para que sea un punto singular regular, el factor puede aparecer elevado a la primera potencia en el denominador de y a lo más a la segunda potencia en el denominador de Una comprobación de los denominadores de y muestra que ambas condiciones se satisfacen, por lo que es un punto singular regular. En forma alternativa, llegamos a la misma conclusión al notar que ambas funciones racionales
son analíticas en . Ahora, puesto que el factor de se concluye de inmediato que se también se deduce del hecho de que
es no analítica en
2
.
aparece a la segunda potencia en el denominador es un punto singular irregular de la ecuación. Esto
2 23 2 .
En el ejemplo 1, observe que como puede escribir como
2
es un punto singular regular, la ecuación original se
4 2 3 2 5 2 0. 0 2/ 8/. 2 80 0 2 80 0 0 2 8/
Como otro ejemplo, se puede ver que por inspección de los denominadores de punto singular regular de en los denominadores respectivos de
es punto singular irregular de y Por Por otro lado, es un , puesto que y incluso no aparecen y . Para un punto singular ,
cualquier potencia no negativa de menor que uno (en particular, cero) y cualquier potencia no negativa menor que dos (en particular, cero y uno) en los denominadores de y respectivamente, indican que es un punto singular irregular. Un punto singular puede ser un número complejo. Se debe comprobar que y que son dos puntos singulares regulares de . Cualquier ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden donde donde y son constantes reales, tiene un punto singular regular en . Se debe comprobar que dos soluciones de la ecuación de Cauchy-Euler en el intervalo son y Si se intenta encontrar una solución en serie de potencias respecto al punto singular regular (en particular, ), se tendría éxito en obtener sólo la solución polinomial . El hecho de que no se obtuviera la segunda solución no es sorprendente porque (y en consecuencia y ) no es analítica en , es decir, no tiene un desarrollo en serie de Taylor centrado en .
,
3 3 9 3 1 0 0, , , 0 3 40 0,∞ ln ∑ 0 = ln0 0
MÉTODO DE FROBENIUS Para resolver una ecuación diferencial (1) respecto a un punto singular regular, se emplea el siguiente teorema debido a Frobenius.
TEOREMA 6.2.1 Teorema de Frobenius
Si es un punto singular regular de la ecuación diferencial (1), entonces existe al menos una solución de la forma
= = +,
4
0< <
donde el número intervalo
es una constante por determinar. La serie converge por lo menos en algún .
Observe las palabras al menos en el primer enunciado del teorema 6.2.1. Esto significa que en contraste con el teorema 6.1.1 el teorema 6.2.1 no garantiza que sea posible encontrar dos soluciones en serie del tipo indicado en (4). El método de Frobenius , para encontrar soluciones en serie respecto a un punto singular regular , es similar al método de coeficientes indeterminados de series de la sección anterior en la que se sustituye en la ecuación diferencial dada y se determinan los coeficientes desconocidos con una relación de recurrencia. Sin embargo, se tiene una tarea más en este procedimiento: antes de determinar los coeficientes, se debe encontrar el exponente desconocido Si Si se encuentra que es un número que no es un entero negativo, entonces la solución correspondiente no es una serie de potencias. Como se hizo en el análisis de soluciones respecto a puntos ordinarios siempre supondremos, por razones de simplicidad al resolver ecuaciones diferenciales, que el punto singular regular es .
.
∑= + ∑= +
0
EJEMPLO 2 Dos soluciones en series Debido a que
0
es un punto singular regular de la ecuación diferencial
3 0, 5 ∑= + = +− ′ = 1 +−
tratamos de encontrar una solución de la forma
. Ahora
Por lo que
3 3=1 +− = +− + = =332 +− + = 32− =332 − = 32− =1331+ 0, lo que implica que 32 0 0,1,2,… y 1331+ , Ya que no se ha ganado nada al hacer 0, entonces debemos tener
320 + 1331 , 2/3 0 23, + 35 1 , , 0, + 131 y
6 0,1,2,… 7
Cuando se sustituye en (7), los dos valores de que satisfacen la ecuación cuadrática (6), y , se obtienen dos relaciones de recurrencia diferentes:
De (8) encontramos
5∙1 8∙2 2!5∙8 3!5∙8∙11 11∙3 4!5∙8∙11∙14 14∙4 ⋮ !5∙8∙11∙∙∙32
0,1,2,… 8 0,1,2,… 9
De (9) encontramos
1∙1 2∙4 2!1∙4 3∙7 3!1∙4∙7 4!1∙4∙7∙10 4∙10 ⋮ !1∙4∙7∙∙∙32
Aquí se encuentra algo que no ocurrió cuando se obtuvieron soluciones respecto a un punto ordinario; se tiene lo que parecen ser dos conjuntos de coeficientes diferentes, pero cada conjunto contiene el mismo múltiplo . Si se omite este término, las soluciones en serie son
1 / 1= !5∙8∙11∙∙∙32 1= !1∙4∙7∙∙∙1 32
10 11
Con el criterio de la razón se puede demostrar que (10) y (11) convergen para todos los valores de es decir . También debe ser evidente de la forma de estas soluciones que ninguna serie es un múltiplo constante de la otra y, por tanto y son linealmente independientes en todo el eje . Así, por el principio de superposición, es otra solución de (5). En cualquier intervalo que no contenga al origen, tal como , esta combinación lineal representa la solución general de la ecuación diferencial.
|| <∞
;
0,∞
ECUACIÓN INDICIAL La ecuación (6) se llama ecuación indicial del problema y los valores y se llaman raíces indiciales, o exponentes, de la singularidad . En general,
2/3 0
0 + después de sustituir ∑= en la ecuación diferencial dada y simplificando, la ecuación indicial es una ecuación cuadrática en que resulta de igualar a cero el coeficiente total de la .
potencia mínima de Se encuentran los dos valores de y se sustituyen en una relación de recurrencia como (7). El teorema 6.2.1 garantiza que al menos se puede encontrar una solución de la supuesta forma en serie. Es posible obtener la ecuación indicial antes de sustituir en la ecuación diferencial. Si es un punto singular regular de (1), entonces por la definición 6.2.1 ambas funciones y donde y se definen por la forma estándar (2), son analíticas en ; es decir, los desarrollos en serie de potencias
∑= +
0 , 0 ⋯ ⋯ 12 0. 13 ∑= + 1 0. 14
son válidas en intervalos que tienen un radio de convergencia positivo. Multiplicando (2) por se obtiene la forma dada en (3):
,
Después de sustituir y las dos series en las ecuaciones (12) y (13) y realizando la multiplicación de la serie, se encuentra que la ecuación indicial general es
donde
y
son como se define en (12). Véanse los problemas 13 y 14 de los ejercicios 6.2.
EJEMPLO 3 Dos soluciones en series Resuelva
2 1 0. ∑= +
SOLUCIÓN Sustituyendo
se obtiene
2 1 21 +− +− + = = = + = 221 +− 1 + = = 221− 1221 + 1 , = 2210 1221+ 10, 16 0,1,2,... 1/2 0. 1/2 , 0,1,2,… 17 + 21 0 , 0,1,2,… 18 + 21 lo que implica que
(15)
De (15) vemos que las raíces indiciales son
Para
se puede dividir entre
mientras que para
y
en (16) para obtener
, (16) se convierte en
De (17) encontramos
De (18) encontramos
1 3 1∙3 5 1∙3∙5 7 1∙3∙5∙7 ⋮ 1 1∙3∙5∙7∙∙∙21
2∙1 2∙2! 2∙2 2 ∙3! 2∙3 2∙4! 2∙4 ⋮ 1 2! Por lo que para la raíz indicial
se obtiene la solución
1 1 / 1= 2! = 2! +/, donde de nuevo se omitió . Esta serie converge para ≥0; como se ha dado, la serie no está definida para valores negativos de debido a la presencia de / . Para 0, una segunda solución es
1 1= 1∙3∙5∙7∙∙∙21 , En el intervalo 0, ∞ la solución general es .
|| <∞.
EJEMPLO 4 Sólo una solución en serie Resuelva
0. 0, 0 0, 0 0 1 0 1 0
SOLUCIÓN De
y el hecho de que y son sus propias series de potencias centradas en se concluye que y , por tanto, de la ecuación (14) la ecuación indicial es . Se debe comprobar que las dos relaciones de recurrencia correspondientes a las raíces indiciales y producen exactamente el mismo conjunto de coeficientes. En otras palabras, en este caso el método de Frobenius produce sólo una solución en serie
1 = ! 1! + 12 121 1441 ⋯ TRES CASOS Por razones de análisis, de nuevo se supone que
0
es un punto singular regular de la ecuación (1) y que las raíces indiciales y de la singularidad son reales. Cuando usamos el método de Frobenius, se distinguen tres casos que corresponden a la naturaleza de las raíces indiciales y 2. En los dos primeros casos el símbolo denota la más grande de dos raíces distintas, es decir, . En el último caso .
> =+ , ≠0, =+ , ≠0.
CASO I: Si y son distintas y la diferencia
no es un entero positivo, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (1) de la forma
Este es el caso que se ilustra en los ejemplos 2 y 3. A continuación suponemos que la diferencia de las raíces es este caso la segunda solución podría contener un logaritmo.
CASO II: Si y
,
donde
es un entero positivo. En
son distintas y la diferencia es un entero positivo, entonces existen dos soluciones de la ecuación (1) linealmente independientes de la forma
=+ , ≠0
19
donde
ln + , ≠0, =
20
es una constante que podría ser cero.
Finalmente, en el último caso, el caso cuando , una segunda solución siempre tiene un logaritmo. La situación es similar a la solución de la ecuación de Cauchy-Euler cuando las raíces de la ecuación auxiliar son iguales.
CASO III: Si
y son iguales, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (1) de la forma
=+ , ≠0 21 ln + , ≠0, =
22 ∑= +
DETERMINACIÓN DE UNA SEGUNDA SOLUCIÓN Cuando la diferencia
es un entero positivo (caso II), se podría o no encontrar dos soluciones de la forma . Esto es algo que no se sabe con anticipación, pero se determina después de haber encontrado las raíces indiciales y haber examinado con cuidado la relación de recurrencia que definen los coeficientes Se podría tener la fortuna de encontrar dos soluciones que impliquen sólo potencias de , es decir, (ecuación (19)) y (ecuación (20) con ). Véase el problema 31 de los ejercicios 6.2. Por otro lado, en el ejemplo 4 se ve que la diferencia de las raíces indiciales es un entero positivo ( ) y el método de Frobenius falla en obtener una segunda solución en serie. En esta situación, la ecuación (20), con , indica que la segunda solución se parece. Por último, cuando la diferencia es un cero (caso III), el método de Frobenius no da una solución en serie; la segunda solución (22) siempre contiene un logaritmo y se puede demostrar que es equivalente a (20) con . Una forma de obtener la segunda solución con el término logarítmico es usar el hecho de que
. ∑= +
0
∑= + 1
−∫ 0
1 23
también es una solución de , siempre y cuando conocida. En el ejemplo siguiente, se ilustra cómo usar la ecuación (23).
≠0
sea una solución
EJEMPLO 5 Volver a analizar el ejemplo 4 usando un SAC Encuentre la solución general de
0
.
SOLUCIÓN De la conocida solución dada del ejemplo 4,
12 121 1441 ⋯,
se puede construir una segunda solución usando la fórmula (23). Quienes tengan tiempo, energía y paciencia pueden realizar el aburrido trabajo de elevar al cuadrado una serie, la división larga y la integración del cociente a mano. Pero todas estas operaciones se realizan con relativa facilidad con la ayuda un SAC. Se obtienen los resultados:
−∫ 1 1 1 ⋯ 2 12 144 5 7 ⋯ ← 12 72 [1 1 127 1972 ⋯] ← [ 1 ln 127 14419 ⋯] ← ln [ 1 127 14419 ⋯]. ln[1 12 12 ⋯.] ← 0,∞ , 1 0
En el intervalo
la solución general es
Observe que la forma final de en el ejemplo 5 corresponde a (20) con paréntesis corresponde a la suma en (20) con .
; la serie entre
COMENTARIOS i ) Las tres formas distintas de una ecuación diferencial lineal de segundo orden en (1), (2) y (3) se usaron para analizar varios conceptos teóricos. Pero a nivel práctico, cuando se tiene que resolver una ecuación diferencial con el método de Frobenius, se recomienda trabajar con la forma de la ED dada en (1).
–
>
ii ) Cuando la diferencia de las raíces indiciales es un entero positivo ( ), a veces da resultado iterar la relación de recurrencia usando primero la raíz más pequeña. Véanse los problemas 31 y 32 en los ejercicios 6.2.
iii ) Debido a que una raíz indicial es una solución de una ecuación cuadrática, ésta podría ser compleja. Sin embargo, este caso no se analiza.
0
iv ) Si es punto singular irregular, entonces es posible que no se encuentre ninguna solución de la ED de la forma .
∑= +
EJERCICIOS 6.2 En los problemas 1 a 10, determine los puntos singulares de la ecuación diferencial dada. Clasifique cada punto singular como regular o irregular.
. 4 30 Solución:
. 3 0 Solución:
. 9 3 20 Solución:
. 1 11 0 Solución:
. 4 2 60 Solución:
. 5 4 250 Solución:
. 6 3 20 Solución:
. 1 0 Solución:
. 252 32 750 Solución:
. 2 3 43 10 Solución:
En los problemas 11 y 12 escriba la ecuación diferencial dada en la forma (3) para cada punto singular regular de la ecuación. Identifique las funciones y
. 1 51 0 Solución:
.
. 3 7 0 Solución:
0
En los problemas 13 y 14, es un punto singular regular de la ecuación diferencial dada. Use la forma general de la ecuación indicial en (14) para encontrar las raíces indiciales de la singularidad. Sin resolver, indique el número de soluciones en serie que se esperaría encontrar usando el método de Frobenius.
. (53 ) 13 0 Solución:
. 100 Solución:
0
En los problemas 15 a 24, es un punto singular regular de la ecuación diferencial. Muestre que las raíces indiciales de la singularidad no difieren por un entero. Use el método de Frobenius para obtener dos soluciones en serie linealmente independientes respecto a . Forme la solución general en .
0,∞ . 2 20 Solución:
. 2 5 0 Solución:
0
. 4 12 0 Solución:
. 2 10 Solución:
. 3 2 0 Solución:
. 290 Solución:
. 2 32 0 Solución:
. 490 Solución:
. 9 9 20 Solución:
. 2 3 210 Solución:
0
En los problemas 25 a 30, es un punto singular regular de la ecuación diferencial dada. Demuestre que las raíces indiciales de la singularidad difieren por un entero. Use el método de Frobenius para obtener al menos una solución en serie respecto a . Use la ecuación (23) donde sea necesario y un SAC, como se indica, para encontrar una segunda solución. Forme la solución general en
0,∞. . 2 0 Solución:
0
. 140 Solución:
. 0 Solución:
. 3 20 Solución:
. 1 0 Solución:
. 0 Solución:
0
En los problemas 31 y 32, es un punto singular regular de la ecuación diferencial dada. Demuestre que las raíces indiciales de la singularidad difieren por un entero. Use la relación de recurrencia encontrada por el método de Frobenius primero con la raíz más grande . ¿Cuántas soluciones encontró? A continuación use la relación de recurrencia con la raíz más pequeña . ¿Cuántas soluciones encontró?
. 6 30 Solución:
. 1 3 20 Solución:
0 1/ 2 0, 0 0
33. a) La ecuación diferencial que la sustitución
produce la ED
tiene un punto singular irregular en
0
. Demuestre
que ahora tiene un punto singular regular en . b) Use el método de esta sección para encontrar dos soluciones en serie de la segunda ecuación del inciso a) respecto a un punto singular regular . c) Exprese cada solución en serie de la ecuación original en términos de funciones elementales. Solución:
Modelo matemático
34. Pandeo de una columna cónica En el ejemplo 3 de la sección 5.2, vimos que cuando una
0, 00, 0. 24 . , , / 0, 0, 0, / 11 1
fuerza compresiva vertical constante o carga se aplica a una columna delgada de sección transversal uniforme, la deflexión fue una solución del problema con valores en la frontera
La suposición aquí es que la columna está abisagrada en ambos extremos. La columna se pandea sólo cuando la fuerza compresiva es una carga crítica a) En este problema se supone que la columna es de longitud está abisagrada en ambos extremos, tiene secciones transversales circulares y es cónica como se muestra en la figura 6.2.1a. Si la columna, un cono truncado, tiene un afilamiento lineal , como se muestra en la sección transversal de la figura 6.2.1b, el momento de inercia de una sección transversal respecto a un eje perpendicular al plano es donde y . Por tanto, escribimos , donde
Sustituyendo
en la ecuación diferencial en (24), vemos
que la deflexión en este caso se determina del PVF
donde . Use los resultados del problema 33 para encontrar las cargas críticas para la columna cónica. Use una identidad apropiada para expresar los modos de pandeo como una sola función. b) Use un SAC para trazar la gráfica del primer modo de pandeo correspondiente a la carga de Euler cuando y .
FIGURA 6.2.1 Columna cónica del problema 34. Solución:
Problemas para analizar 35. Analice cómo definiría un punto singular regular para la ecuación diferencial lineal de primer orden
Solución:
0.
