REPRESENTACIÓN FOURIER
DE
SEÑALES
PERIODICAS
EN
SERIE
DE
El análisis de fourier se encuentra en campos de aplicación, como los son la matemáticas y la ciencia de la ingeniería, además en los estudios de vibración y difusión de calor y numerosos problemas de la ciencia y la ingeniería en las cuales se pueden aplicar las integrales de fourier. Un ejemplo seria: las señales senoidales surgen de manera natural al describir el movimiento de los planetas o el comportamiento periódico del clima de la tierra. En los años sesenta se dio a conocer un algoritmo llamado la transformada rápida de fourier lo que le dio tanta importancia la FFT (transformada de fourier en sus siglas en inglés) fue el hecho de poder adaptarse perfectamente a la ejecución digital eficiente, lo cual redujo el tiempo para calcular las transformadas por órdenes de magnitud Respuestas de sistemas LTI (sistema lineal e invariable) a exponenciales complejas Es importante para estos sistemas representar las señales como combinaciones lineales de señales básicas que posean las siguientes propiedades: 1. El conjunto de señales básicas se puede usar para construir una amplia y útil clase de señales. 2. La respuesta de un sistema LTI a cada una de las señales debe ser lo bastante sencilla en cuanto a estructura para poder proporcionar una representación conveniente de la respuesta del sistema a cualquier señal construida como una combinación lineal de las señales básicas. El conjunto de señales exponenciales complejas continuas y discretas produce estas propiedades. La importancia de las exponenciales complejas en el estudio de los sistemas LTI radica en el hecho de que la respuesta de un sistema LTI a una entrada exponencial compleja es la misma exponencial compleja con solo un cambio de amplitud. Continua:
e
Discreta:
z
Donde el factor complejo de amplitud
st
n
H (s)e st H (z) z n
H (s ) y
H ( z ) será, en general,
una función de la variable compleja S o Z. A una señal para la cual la salida es una constante posiblemente compleja multiplicada por la
entrada se le conoce como una función propia del sistema y el factor de amplitud se conoce como valor propio. Para demostrar tenemos un sistema LTI con respuestas al impulso para una entrada
H (t )
x ( t ) podemos determinar la salida mediante el uso de
la integración del convolución es decir
x (t )
=
e
st
+∞
y (t ) =
∫ h ( τ ) x ( t−τ ) dτ −∞
+∞
= Podemos
expresar
que
∫ h(τ)e s (t −τ ) dτ −∞
e s (t −τ ) como
e st e−sτ ,
entonces
podemos
expresar la función así: +∞
y (t ) =
e
st
∫ h ( τ ) e−sτ dτ −∞
Si se supone que el miembro de derecho de la ecuación converge la respuesta es y (t ) = H(s) e st Donde H(s) es un constante compleja que su valor es dependiente de s y que está relacionada con la respuesta al impulso del sistema. +∞
H(s) =
∫ h ( τ ) e−sτ dτ −∞
Por lo que se demuestra que las exponenciales complejas son funciones propias de los sistemas LTI. También podemos demostrar que las secuencias exponenciales complejas son funciones propias de los sistemas LTI discretos. Si se tiene un sistema LTI con respuestas al impulso h[n] tiene como entrada la secuencia. X[n] =
zn
donde z es un número complejo
Tenemos que la salida se puede determinar a partir de la suma de convolución
+∞
Y[n] =
∑
+∞
=
∑
h [ k ] x [n−k ]
k=−∞
h[k ] z
n−k
=z
n
k=−∞
+∞
∑
h [ k ] z −k
k=−∞
Suponiendo que si la entrada X[n] es la exponencial compleja tenemos que la sumatoria del miembro derecho de la de la ecuación resultante converge, es la misma exponencial compleja multiplicada por una constante que depende de Z H (z ) z
Y[n] =
n
+∞
∑
H (z ) =
h [ k ] z−k
k=−∞
En conclusión las exponenciales complejas son funciones propias de los sistemas LTI discretos. Podemos decir que para todo caso continuo y discreto, si la entrada a un sistema LTI se representa como una combinación lineal de exponenciales complejas, entonces la salida también se puede representar como una combinación lineal de las mismas señales exponenciales complejas. Para un ejemplo más claro tenemos un sistema LTI para una entrada x ( t ) y salida y (t ) que están relacionada con un desplazamiento en el tiempo de 3. y (t ) = Si
x (t )
=
e j2t
entonces
REPRESENTACION EN PERIODICAS CONTINUAS
x ( t −3 )
y (t ) =
SERIES
Combinaciones lineales de relacionadas armónicamente
e
j 2(t −3 )
DE
e− j 6 e j 2 t
=
FOURIER
DE
exponenciales
Una señal es periódica si para algún valor de T toda t. donde el periodo fundamental de
x (t ) =
SEÑALES complejas x ( t +T ) para
x ( t ) es el valor mínimo
positivo de T diferente de cero, y el valor ω0 = 2π/T se conoce como frecuencia fundamental.
Para representar una señal periódica en la representación de la serie de fourier se determina así: +∞
x (t ) =
∑
K =−∞
ak e
jkω 0 t
+∞
=
∑
K =−∞
+∞
∑
K =−3
ak e
jk (2 π /T )t
x ( t ) con frecuencia 2π
Ejemplo: consideremos una señal periódica x (t ) =
ak e
jk 2 πt
a0 =1 a1=a−1=
1 4
a2=a−2=
1 2
a3 =a−3=
1 3
Remplazando tenemos que x (t ) = 1 +
1 e j 2 πt 4 (
e− j 2 πt ) +
+ e
j 6 πt
+
1 e j 4 πt 2 (
− j 6 πt
e
+
e− j 4 πt ) +
)
Usando la relacion de Euler podemos escribir: x (t ) = 1 +
1 2 cos 2πt + cos 4πt +
2 3
cos 6πt
1 3 (
Para funciones periodicas reales, la seri de fourier en terminos de exponenciales complejas, es una equivalente matematico que utiliza funciones trigonometricas. Estas propiedades son confrecuencias muy utiles para obtener conocimiento y con fines de calculo. Determinacion de la representacion en series de fourier de una señal peridica continua. Si tenemos la siguente ecuacion
X ( t ) e− jnω 0t =
+∞
∑
k=−∞
ak e jkω 0 t e− jω0 t
Si integramos ambos miembros desde 0 hasta T = 2π/ ω 0 T
T
∫ X ( t ) e− jnω0 t dt=∫ 0
+∞
∑
0 k=−∞
ak e jkω 0t e− jω0 t
T
+∞
T
k=−∞
0
∫ X ( t ) e− jnω0 t dt= ∑ ak [∫ e j (k−n ) ω0 t dt] 0
Utilizamos Euler T
∫e 0
≠
Para k
T j ( k−n) ω 0 t
T
dt=∫ cos ( k −n ) ω 0 t dt+ j ∫ sen ( k −n ) ω 0 t dt 0
0
n, cos (k-n) ω 0t y sen (k-n) ω 0t son senoides periodicas con
periodos fundamental (T/|k-n|). Por tanto en la ecuacion estamos integrando sobre un intervalo (de longitud T) que corresponde a un número entero de periodos de esta señela. Puesto que la integral puede ser vista como la cuantificacin del area total bajo laa funciones sobre el intervalo, vemos que
≠
para k
n, ambas integrales del miembro derecho de la ecuacion es 0. Para
k = n, el integrado del miembro izquierdo de la ecuacion es igual a 1 y por la tanto la integral es igual T T
∫ e j ( k−n) ω 0 t dt={T0,,kk=n ≠n 0
Para saber si X(t) tiene una representacion en serie de fourier es decir si se puede expresear como una combinacion lineal de exponenciales complejas armonicas, entonces los coeficientes estan dada por la siguiente ecuacion. ❑
an =
1 ∫ x (t)e− jnω0 t T T
Este par de ecuaciones define la serie de fourier de una señal periódica continua ak e jk ω t=¿ 0
+∞
∑
ak e jk (2 π / T )t
k =−∞ +∞
x (t )= ∑ ¿ k=−∞
❑
❑
1 1 ak = ∫ x (t) e− jkω 0 t dt= ∫ x (t)e− jk (2 π / T)t dt T T T T Estas expresiones equivalentes se han escrito para la serie de fourier en términos de la frecuencia ω0 y el periodo fundamental T. la primera ecuación se llama síntesis y la segunda ecuación de análisis. En donde ak es el coeficiente de la serie de fourier o coeficiente de x ( t ) estos coeficientes miden la porción de la señal
x (t )
que está en cada
armónica da la componente fundamental. El coeficiente
a0
es el
x ( t ) y está dado por la siguiente
componente constante o de cd de ecuación. ❑
1 a0 = ∫ x ( t ) dt T T Lo cual es simplemente el valor promedio de
x (t )
sobre un periodo.
Ejemplo: considere la señal x ( t )=sen ω0 t ω0
Frecuencia fundamental = Determinar los coeficientes de fourier sen ω0 t=
a0 =
1 2j
1 jω t 1 −jω t e − e 2j 2j 0
0
a−1=
,
ak =0,
−1 2j
k ≠ + 1 o -1
CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER Fourier sostuvo que cualquier señal periódica podría representarse por medio de una serie de fourier. Aunque no es totalmente cierto, si lo es que la series de fourier se pueden utilizar para representar una clase extremadamente amplia de señales periódicas. Examinemos el problema de la aproximación a una señal periódica x ( t ) dada mediante la combinación lineal de un número finito de exponenciales complejas relacionada armónicamente es decir de la siguiente forma. N
x N ( t )=
∑
k=− N
ak e
jk ω0 t
Consideremos
e N (t)
denota el error de aproximación. N
e N ( t )=x (t )−x N ( t ) =x ( t )−
∑
k=− N
a k e jk ω t 0
Energía del error para determinar el error de aproximación ¿ e N ( t )∨¿2 dt ❑
E N =∫ ¿ T
Los coeficientes que minimizan la energía en el error es ❑
1 ak = ∫ x (t)e− jk ω t dt T T 0
La mejor aproximación usando solo un número finito de exponenciales complejas relacionadas armónicamente se obtiene truncando la serie de fourier al número de términos deseado. Conforme N se incrementa, se EN x(t ) suma nuevos términos y disminuye. Si tiene una representación en serie de fourier, entonces el límite de =
∞
EN
cuando N
es 0.
Afortunadme, no hay dificultades de convergencia para una amplia clase de señales periódicas. Por ejemplo, cualquier señal periódica continua tiene una representación en serie de fourier para la cual la energía E N en el error de aproximación se acerca a 0 conforme N tiende a
∞ . Hay
dos condiciones un tanto diferentes que una señal periódica puede satisfacer para garantizar que se pueda representar mediante una serie de fourier. Una clase de señales periódicas que se puede representar mediante las series de fourier es la de señales que tienen energía finita sobre un solo periodo. 2
¿ x ( t )∨¿ dt< ∞ ❑
∫¿ t
Cuando se satisface esta condición, tenemos la garantía de que los coeficientes ak obtenidos son finitos. Suponiendo que x N ( t ) sea la aproximación a
x(t )
obtenida al usar estos coeficientes para N
x N ( t )= La garantía de que la
EN
∑
k=− N
|k|≤ N
a k e jk ω t 0
en la aproximación del error, converge a 0
conforma aumentamos más y más términos, esto quiere decir N = ∞ , esto si se definimos. +∞
e ( t )=x ( t ) − ∑ a k e jk ω t 0
k=−∞
¿ e ( t )∨¿2 dt=0 ❑
∫¿ t
Es bastante útil el tipo de convergencia garantizada cuando
x (t )
tiene
energía finita en un solo periodo. En este caso se establece que la diferencia entre x ( t ) y su representación es serie de Fourier tiene energía cero. Ya que los sistemas físicos responden a la energía de la x ( t ) su representación en serie de señal, desde esta perspectiva Fourier son indistinguibles. Debido a que la mayoría de las señales periódicas que consideremos tiene energía finita sobre un solo periodo, consecuentemente tienen representaciones en serie de Fourier. Además un conjunto de opcional de condiciones que deberán satisfacer se por prácticamente todas la señales. Condiciones de Dirichelt Condición 1. Sobre cualquier periodo
x ( t ) debe ser absolutamente
integrable, esto es como sucede con la integrabilidad al cuadrado esto garantiza que cada coeficiente ak será finito, ya que ❑
ak ≤
❑
1 ∫|x (t ) e− jk ω t| dt= T1 ∫ ¿ x ( t )∨dt T T T 0
❑
1 ∫ ¿ x ( t )∨dt< ∞ T T ak <¿
∞
Una señal que viola la primera condición de Dirichelt es 1 x ( t )= , 0
x (t )
es periódica con periodo 1
Condición 2. La variación de
x ( t ) en cualquier intervalo finito de
tiempo está acotada: es decir no hay más de un número finito de máximos y mínimos durante cualquier periodo de la señal. Ejemplo, tenemos una función que cumple la condición 1, pero no la condición 2 x ( t )=sen
( 2tπ ) ,0< t ≤1,
Para esta función es periódica con T = 1 1
∫ ¿ x ( t )∨dt<1 0
Condición 3. En cualquier intervalo finito de tiempo hay solo un número finito de discontinuidades. Además cada una de estas discontinuidades debe ser finita.
La señal (a) está violando la primera condición, la (b) está violando la segunda condición y la señal (c) está violando la tercera condición. La diferencia en entre la serie de Fourier un la señal original es que no contiene energía y, en consecuencia, puede pensarse que la dos señales son la misma para cualquier propósito practico, puesta que la señal difiere solo en puntos aislados. Por tanto las dos señales se comportan de manera idéntica bajo la convolución y son idénticas desde el punto de vista de análisis de sistemas LTI.
RESUMEN PRESENTACION DE SEÑALES EN SERIE DE FOURIER
PROCESAMIENTO DE SEÑALES DIGITALES
ING. JUAN CARLOS GOMEZ
JOSE DAVID VERGARA DIAZ VII semestre de ing. Electrónica
CORPORACION UNIVERSITARIA ANTONIO JOSE DE SUCRE “CORPOSUCRE“
SINCELEJO – SUCRE 05/04/2016
