Razonamiento Matemático Proyecto Ingenio

RAZONAMIENTO MATEMATICO /

Estrategias en la resolución de problemas «W i I *******

E IS E D IT O R IA L IN G E N IO S. A.

Hernán Hernández

EDITORIAL INGENIO Si. A.

DERECHOS RESERVADOS Prohibida la reproducción parcial o total de esta obra, por cualquier sistema o método electrónico o mecánico (incluyendo fotocopiado, la grabación o cualquier sistema de recu peración o almacenamiento de información), sin consentimiento por escrito del autor.

D erechos de A utor reservados HERNÁN HERNÁNDEZ BAUTISTA E-mail:hhern [email protected] E dición 2004

D erechos de E dición reservados EDITORIAL INGENIO S. A. Jr. Moquegua 294 Of. 413 - Lima 01 Teléf.: 426-4853

Presentación E l desarrollo científicoy tecnológico que ha alcanzado la huma nidad en estos tiempos, no hubiera sido posible sin el auxilio de la matemática. La soluáón de los problemas de la actividad productiva, así como el interés por comprender las lyes que rigen la naturaleza, para su óptimo aprovechamiento, siempre han ido de la mano, y desde tiempos muy remotos, con el desarrollo delpensamiento lógico matemá tico en el hombre. La necesidad de aprender esta ciencia, en relación con los demás campos del sabery las actividades cotidianas, se hace cada vez m^s imperiosa en los diferentes niveles de la educación, para que los conoci mientosy las capacidades lógico matemáticos desarrollados en el edu cando, sean parte de su culturay tengafrutos en su participación econó mico socialfuturas. E l libro R A Z O N A M IE N T O M A T E M Á T IC O , Estrategias en la resolución de problem as, es una versiónprác tica y simplificada de la matemática, que el profesor H ernán H ernández Bautista , ha plasmado con lafilosofía de que la mejor manera de aprender la matemática es utilizándola, es decir, aplicán dola en la resolución de problemas. E l autor propone una serie de estrategas, basadas en los conocimientos más elementales con que cuen ta cualquierpersona en esta área, para resolver problemas de los dife rentes temas que componen la asignatura de Razpmamiento Matemá tico en ¿os prospectos de exámenes de admisión de las universidades del país. De esta manera, la EDITORIAL INGENIO S. A ., pone en manos de los(as) lectores(as), otro de losfrutos de su proyecto educa tivo PROYECTO INGENIO, que esperamos sea acogida con senti do crítico por toda la comunidad interesada en esta maravillosa cien cia, la matemática.

Los Editores

NOTA DEL AUTOR La implementación de la asignatura de Razonamiento Matemático, primero en los centros pre-universitariosy luego en los colegios, inclusive en el nivelprimario, ha planteado una pregunta tácita: ¿Cuál es la diferencia entre Matemáticay Razo namiento matemático? Que, como no puede ser de otra manera, nadie ha podido dar una respuesta satisfactoria, porque no se ha visto que alguien haga matemática sin razonamiento, ni razonamiento matemático sin uso de la matemática. Sin embargo, hay quienes han “inventado” reglas prácticas, trucos, artificios, fórmulas, atajos, etc., que sólo son aplicables en “razonamiento matemático ”y no en matemática; no contento con ello, han diversificado en numerosos capítulos, dedicados a una variedad de elementos como estacas, pastillas, problemas familiares, etc., do tándolos a cada uno de su propia recetay paradójicamente el lectorya no tiene que razonar mucho, sino, memorizar las recetasy con ellas sentirse preparado para resol ver cualquier pregunta de esta asignatura. Lógicamente, para algunos puede ser más sencillo usar lasfórmulasy resolver mecánicamente los problemas, con el pequeño inconveniente de que tienen que memorizar de 3 a 4 fórmulas por capitulo, que en unos 30 de ellos alcanzan nada menos que el “reducido” número de 90 a 120fórmulasy luego tener mucha suerte para que en el examen de admisión le toquen las preguntas cuya receta la tiene memorizada. Por otro lado, se tiene por costumbre que resolver un problema matemático es llevarlo a una ecuacióny luego resolviendo la ecuación llegar a la solución sin mayores esfuerzos de raciocinio. Este camino, exige que el estudiante sea capaz de traducir el texto del problema a una ecuación y dominar las reglas del álgebra para hallar la solución, requisitos que la mayoría de los aspirantes a las carreras universitarias, sobre todo a las de letrasy humanidades, no cumplen; cosa que de ninguna manera es un pecado. Los problemas solubles mediante ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales, se pueden resolver sin uso de los mismos. Este hecho abre grandes posibilidades de éxito en la resolución de problemas a todos aquellos que tienen dificultades en el dominio de las reglas del álgebra, porque con sólo saber las cuati'o operaáonesfunda mentalesy contar con las estrategias necesarias pueden contestar con acierto cerca del 80% de las preguntas de razonamiento matemático de los exámenes de admisión.

Amigo(a) lectora), lo que tienes que aceptar es, que la matemática es una herramienta en la resolución deproblemas, como tal, no es imprescindible conocer, las características: peso, medida, dimensiones, partes, etc. déla herramienta, sino, necesitas saber utilizarla óptimamente, aprovechando al máximo sus alcances. Para estudiareste libro necesitas teñera la mano lápizypapel. Cada tema se aborda mediante uno a variosproblemas, que son resueltos a manera de muestra y se proponen un conjunto de problemas similares a la muestra que tú tienes que resolver. Debes tenerpresente que unproblema sepuede resolver de muchas maneras, de modo que la estrategia que teplanteo es sólo una de las manerasy debes tomarla como una sugerencia, mas no como el mejor método ni mucho menos, como el único. En consecuencia, después de resolver un problema debes buscar otros méto dos de solución, así incrementarás tus recursos en estrategas, lo óptimo es, con el menor número de recursos obtener el máximo provecho. Los alcances teóricos que se exponen son lo suficiente para comprender los fundamentos en los que están basadas las estrategias. El texto cuenta, en la mayoría de las veces, con unafranja al lado derecho dondese encuentran las definicionesfí¡l las aclaracioneslos e je m p lo s , las observaciones^}. y las conclusiones^}. Además, en la mismafranja, hay, a manera deproblemas recreativos, los "Divertíjos” y los Retos alIngenio, asícomo los comentarios, informacionessobre temas relacio nados a la matemática y algunas Curiosidades. A lfinal de cada capítulo, encon trarás las claves de respuestas de los problemas propuestos y las soluciones de los “Divertijos” y Retos al Ingenio, así como la biografía de algunos matemáticos de renombre. No olvides que la mejor manera de aprender la matemática es resolviendo problemas. Cualquiersugerencia u observación relacionado con el texto te agradece ré me escribas alE-mail de la Editorial que aparece en lapágina de derechos reserva dos. En la elaboración de este libro ha participado el Ing. Javier Hernández, en las correcciones, el Ing.JorgeFlores y elprofesorJoséPariasca, a quienes debo,por su esfuerzo y dedicación, miprofundo agradecimiento. HERNÁN HERNÁNDEZ

SIGNOS Y SIMBOLOS E / C n u > > < £ * => «=> • •»

A V 3 0 a =

Pertenece a Tal que Está incluido en Conjunto vacío Intersección Unión Es mayor que Es mayor o igual que, o no es menor que Es menor que Es menor o igual que, o no es mayor que Es diferente de S i.. entonces; implica Si, y sólo si Así sucesivamente y (conjunción) o (disyunción) Existe

i ZA mZA &ABC DABCD

Múltiplo de a Es aproximadamente igual a Valor absoluto de a Conjunto de números naturales Conjunto de números enteros Conjunto de números racionales Por lo tanto Conjunto de números reales Conjunto de números reales positivos es paralelo a es perpendicular a Angulo A Medida del ángulo A Triángulo ABC Cuadrilátero ABCD

PQ PQ n\

Segmento PQ Medida del segmento PQ Factorial de n

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CONTENIDO 1. Razonamiento lógico 1.1. Razonamiento inductivo 1.2. Razonamiento deductivo 1.3. Razonamiento transductivo 1.4. Razonamiento por analogía 1.5. Lógica proposicional 1.6. Lógica de clases

2 2 12 19 26 28 39

2. Problemas de opraciones binarías 2.1. Operación binaria 2.1.2. Propiedades de las operaciones binarias 2.1.3. Operadores matemáticos 2.1.4. Operaciones de adición y multiplicación 2.1.5. ¿En qué cifra termina? 2.1.6. Criptoaritmética 2.2. Problemas de operaciones combinadas 2.2.1. Hallar dos números conociendo la suma y la diferencia 2.2.2. Aplicaciones comerciales 2.2.3. Problemas de falsa suposición 2.2.4. La regla del cangrejo 2.2.5. Diferencia unitaria y diferencia total

69 70

3. Números racionales 3.1. Fracciones y decimales 3.2. Clasificación y operaciones con fracciones 3.3. Mezclas y regla del cangrejo 3.4. Reducción a la unidad 3.5. Tanto por ciento

'

4. Proporcionalidad 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Proporción geométrica Problemas con edades Reparto proporcional Escalas Regla de tres

71 72 75 79 83 87 87 90 96 101 107 135 136 140 160 166 170 205 206 212 216 218 221

5. Ecuaciones 5.1. Ecuaciones 5.2. Ecuaciones cuadráticas 5.3. Sistemas de ecuaciones 5.4. Planteo de ecuaciones 5.5. Problemas sobre edades

245 246 254 257 264 272

6. Inecuaciones 6.1. La recta numérica 6.1.1. Distancia de un punto al origen.

293 294

Valor absoluto , 6.2. Intervalos ¿ 3 . Desigualdades

294 296 297

7. A n á lis is com bin atorio 7.1} Factorial de un número 7.2. Principios de conteo 7.3. Combinaciones y permutaciones 7.4. Permutaciones con repetición y permutaciones circulares 7.5. Nociones de probabilidad

321 322 323 325

%

328 332

8. Sucesiones y seríes 347 8.1. Criterios para determinar el término que sigue en una sucesión 3491 8.2. Sucesiones polinomiales 351 8.3. Sucesiones o progresiones geométricas 367: 8.4. Sucesiones de Fibonacci 370 8.5. Sumatorias 373 9. Conteo de figuras 9.1. El problema de contar 9.2. Conteo por enumeración 9.3. Por diagrama del árbol 9.4. Por inducción 9.5. Principio del palomar 9.6. Principio de inclusión y exclusión 9.7. Aplicaciones de las series en conteo de figuras

393 394 394 396 396 398 400

10. Razonam iento geom étrico 10.1. Ilusiones ópticas 10.2. Visualización en«el espacio 10.2.1. Isometría 10.2.2. Desarrollo de figuras tridimensionales 10.3. Simetría 10.4. Topología 10.5. Rectas, ángulos y triángulos 10.6. Perímetros 10.7. Areas

411 412 415 415

11.Razonam iento fís ic o geom étrico 11.1. Movimiento rectilíneo uniforme 11.2. Poleas y ruedas

479 480 489

12. Elementos de estadística 12.1. Conceptos previos 12.2. Organización de datos y gráficos estadísticos 12.3. Parámetros estadísticos y estadígrafos

503 504

401

417 420 427 431 439 440

505 510

RAZONAMIENTO LOGICO

INTRODUCCION La lógica estudia el razonamiento. El razonamiento es unproceso que consiste en obtener una conclusión apartir de ciertas afirmaciones llama daspremisas. En este capitulo abordaremos, algunos tipos de razona miento, de los tantos que boy, y las técnicas que nos permitan obtener conclusiones apartir de laspremisas que se tienen alfrentey evaluar si es correcta (válida) la conclusión obtenidapara laspremisas.

CONOCIMIENTOSPREVIOS Para comprender este tema no necesitas másquesaber leery quitarte de la cabeza esas malasideasdeque“la lógica es dfidl" o que “la lógica te bacepensar mucho bastaprovocarte dolores de cabeza".

Razonamiento Matemático

2

1. Razonamiento Lógico Tres profesionales, un abogado, un físico y un matemático, viajaban por las pampas de Junín. Ya cerca a Carhuamayo vieron a lo lejos una oveja negra pastando de medio lado. - En Junín todas las ovejas son negras —dijo entusiasmado el abogado levantando la cortina de la ventana del ómnibus. -En Junín —intervino el físico —al menos existe una oveja negra. El matemático, que escuchó a los otros con media sonrisa en los labios, decidió intervenir. -En Junín al menos existe una oveja que tiene un lado negro. Al escuchar la afirmación del matemático, los otros dos sólo optaron a mirarse y encogerse de hombros sin pronunciar palabra alguna. Mi querido lector, según tu opinión, ¿cuál de ellos está en lo correcto? A partir de la observación de algo o del conocimiento de ciertos hechos llamados premisas, podemos elabo rar o inferir, mediante un proceso mental llamado razonamiento, un nuevo conocimiento llamado conclu sión. Este proceso tiene sus propias re glas, de manera que las conclusio nes obtenidas no sean antojadizas o trastocadas intencionalmente, sino, una consecuencia natural y lógica de sus premisas. ¿Cómo llegar acertadamente de las premisas a la conclusión? ¿Cómo saber si la conclusión obtenida es una consecuencia lógica de sus premisas? Son las preocupaciones fundamenta les de la lógica. Mediante las reglas de la lógica y a partir de un mínimo número suficiente de premisas, se puede construir un nuevo sistema de conocimientos coherentes y sin contradicciones entre sí. Este es el caso de la matemática, o más bien, de los sistemas matemáticos, que a partir de ciertas premisas llamadas axiomas, se construyen todo un sistema complejo de conocimien tos que luego tienen aplicabilidad en los diversos campos del conocimiento humano.

7. 7. Razonamiento inductivo Una multiplicación como (9 + 2) (9 - 2) se efectúa empezando por las operaciones entre paréntesis:

Razonamiento Lógico

3

(9+ 2 X 9 -2 ) = (11X7) = 77 Sin embargo, tugo ciertas condiciones, el proceso se puede seguir de otro modo.

/

t

P or ejem plo: (9 + 2X9 - 2) = 2* - 2* =« 81 - 4 * 77 *

¿Cómo saber que esto funciona con todas las operaciones que tengan una estructura seme jante?. Probemos con otros números, pero manteniendo la forma. (15 + 2X 15-2) « 25a- 2* = 2 2 5 -4

»

222

r35 + l) f 3 5 - 2 ;- 3 5 * - 2 * = 2 2 2 5 - 2

=

2224

(202209; * (100 + 2X200 - 22 = 10000 - 2 =

9999

Puedes comprobar, por el método común, que los resultados son correctos en todos los casos. ¿Podemoe, entonces, asegurar que cualquiera sean dos números a y b, la relación: (a + b X a -b )*a *-b * es correcta? Sí. Cualesquiera sean los números a j 6, siempre se cumple la igualdad anunciada. Es posible, además, demostrar mediante las reglas del álgebra, que esta relación es genérica. No as para preocuparte. Lo veremos más adelante. El proceso que hemos seguido para llegar de los ejemplos particulares a la generalización, se llama inducción. Lm cuestiones de la teoría de la inducción son bastante am plias^© . No es el objetivo del presente trabajo abordarlos. Más bien plantearemos un conjunto de problemas cuya solución se puede hallar por la vía de la in-

Inducción

®

, ... (» el ' f * m*acttvo : conducaón a o hacia). Comoforma de nwnamuuuo, lainducción hace P ™ *? el ^ * los hechos « W * ™ * a principiasgenerales.

¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?

*$3x(2* +1)(24+1)(28+ 1)(218+1)+1 Bsaotudón Método (1) Se observa que el exponente de 2 se va duplicando. El índice del radical (32) es el doble del último exponen te de 2. Además, el factor 3 del radicando se puede expresar como (2* + 1).

<©

Algo más sobre inducción. Se distinguen tres tiposfundamentales de razonamiento inductivo: Inducción completa; inducción por simple enumeración (inducción en el sentido ordinario); e inducción cientí fica (los dos últimos tipos constituyen la inducción incompleta).


4 • Particularicemos para dos factores del radicando. t/(2 '+ i)(2 2 + Í) + J = t]3-5 + l = i¡16 = 2 • Ahora probemos para tres factores del radicando... ^/(2 + 1X22 +1)(24 +1) + 1 =

-5 17 +1

$[256 =2 • Por consiguiente podemos inducir que: 3y¡3 (22 +1X24 +1X2S + fX 2 i6 +J) + f = ©

-

M étodo (2)

Podemos aprovechar la relación (a + b)(a - b) ~ a2- b2 que hemos establecido al inicio del tema. El factor 3 es igual a 1x3. Además 1x3 se puede expresar como (2 - 1)(2 + 1), cuyo resultado serta (2 - 1)(2 + 1) = 22-1 .

Expresando el radicando apropiadamente: n K2 - 1X2 + 1)(22 + 1)(24 +1Y.28 +1){216 +1) + 1

\ = J ( 2 2 - f ) ( 2 2 +1)(24 +1X28 +1X2J6 + D + 1 *r--------- •-------- ' V (24~2) = 3$}(24 -1Y.24 +I)(2S + iX 2iS +1)+1

La inducción completa consiste en in ferir unprincipio general acerca de la clase en su conjuntopartiendo del exa men de todos sus elementos; propor ciona una conclusión fidedigna,pero su esfera de aplicación es limitada, pues sólo es aplicable a clases cuyos miembros, por su número, seanfácil mente observables. Cuando las cla ses son prácticamente ilimitadas, se aplica la inducción incompleta. En el caso de la inducción en el sentido co rriente, la presencia de un carácter cualquiera en parte de los elementos de la clase, sirve defundamento para llegara la conclusión de que todos los elementos de la clase dada poseen el carácter de referencia. La inducción en sentido ordinario tiene una esfera de aplicación ilimitada, pero sus con clusiones forman sólo proposiciones probables, necesitadas de una subsi guiente demostración. La inducción científica también repre senta una conclusión inferida de ima parte de los elementos de la clase dada y aplicada a toda la clase, pero en este caso lo que sirve de fundamento a la conclusión es el descubrimiento -en los elementos de la clase investigadosde conexiones esenciales, que condi cionan de manera necesaria la perte nencia del rasgo dado a toda la clase. t

Así sucesivamente:

= 3iJ(216 -M 2 16 +1)+1 = 3$](232 -1 ) + 1 = 3!Í23* = 2 [Rpta.: 2 )


5

Problemas i. Hallar el resultado de la siguiente operación. \¡8(32 +1X34 + 1X38 +1)(316 +1X332 + !) + ! A) 3

B) 332

C

)

3

16

D) 332 + 1

E) 232

2. ¿Cuál el resultado de reducir la siguiente expresión? tfjía -iX a + JXa2 +iXa* + iX a 8 + JXaJS + J) + 2 A) a

B) a

C) a

D )a 8

E) a16

3. Hallar el resultado de efectuar las operaciones en la siguiente expresión:

<¡¡(x - lKx +lKx2 +lXx4 +l)...(x2a +D +1 A) x*'

B )x

D )* 2a

C) x

E) x

4. Reducir la siguiente expresión:

(a+lXa2 +lXa4 +lXa8 + !) + ...+(a2* + 1) A) au

B) a4* - 1

a4kl C) a+1

D)

a4 i- l a -1

a2* - i E) a -1

[Problema 2 J Calcular el resultado de la siguiente operación. ^999998000001 R esolución Se puede notar que hay cinco nueves a ¿a izquierda de 8 y cinco ceros a ¿a derecha de 8. Podríamos probar con un nueve a la izquierda de 8y un cero a la derecha de 8. De obtener un resultado “sospechoso**probaríamospara dos nueves y dos ceros a los costados de 8.

Inducción e Investigación Científica Martin Gardner, en un comentario algo jocoso se refiere a la inducción como “el curioso procedimiento por el cual los científicos, tras observar que algunas avestruces lucen largos cuellos, concluyen que todas las aves truces tendrán asimismo cuellos lar gos ( C ontinúa en la sig u ie n te pág in a )


6 Particularizando:

O

[ Porque 992 = 9801 )

Un científico observa algúnfenómeno en busca de indicios y pistas que le Para 4998001 sospechamos que debería resultar 999. pennita fomiarse conjeturas o hipó Pero en lugar de probar sacando la raíz cuadrada de tesis probables acerca de las leyes que rigen su comportamiento. Las conje 998001 que es más laborioso, probemos si 9992 es turas son comprobadas mediante ex igual a 998001. Efectivamente, lo es. Por consiguiente: perimentos. Se van desechando las erróneas y afinando las correctas, 4998001 = 999 O ( Porque 9992 = 998001j hasta descubrir la ley, que luego es aplicada en beneficio del hombre. Una De estos dos casos particulares ya podemos generali forma de procedimiento como éste es zar, aunque sería recomendable cerciorarse con 99992t inductivo. cuyo resultado de la operación es: 49801 = 99

y

■J999998000001 = -19999992 = ( 999999 )

Problemas 1 .-Hallar el resultado de:

1111... 1555 ...5 6 r

■J12345678987654321

n c f»

Dar como respuesta la suma de cifras del resultado: A) 7

B) 8

C )9

D) 10

A )3 n + l

V

(n -D c f*

B)3n+4

D)3n+5

O 3n E) 3n-2

E) 11 5. Efectuar la siguiente operación y dar como respuesta la suma de cifras del resultado:

2. Hallar es la raíz cuadrada de 444444443555555556 ¿Cuál de las alternativas representa la suma de cifras del resultado?

(666 ... 666f 201 cifra »

A) 42

B) 48

0 54

D) 60

E) 36 A) 1654

3. Efectuar y calcular la suma de cifras del resultado de:

A) 725 D) 650

i

121 cf»

B) 600

D) 1803

O 1500 E) 1809

6. Hallar la suma de cifras del resulta do de efectuar la siguiente operación:

...44 2 22...22 2 5 120 c f

B) 2120

(333... 3337)2

C) 625 E) 840

4. Hallar el resultado de la siguiente operación e indicar la suma de cifras del resultado.

300

A) 1608 D) 1870

ci/ra«

B) 1807

C) 1780 E) 1087


'

7

[Problema 3 j Hallar el resultado de efectuar la siguiente operación:

1 + 1 +1---•■"+1 1+ 1 ■+ ... + — 1x2 2x3 3x4 4x5 5x6 n(n+l) (Los puntos suspensivos indican "así sucesivamente^. Se utiliza para no escribir todos ios núme ros que deben ir en ese tramo). Resolución METODO (1) Haciendo uso del método inductivo, hallaremos el resultado para dos sumandos, luego para tres, etc., buscando en cada caso una regularidad en el resultado, que nospermita hacer unagenerali zación. Ah!. Para comprender este problema debes darle una re pasada a la suma y resta de fracciones heterogéneas, en caso de que no recuerdes.

Para dos sumandos:

1 1x2

_1____ ¿ 2x3 = 2

i =2 6 ~3

Sospechamos que el resultado es una fracción cuyos términos son los factores del denomina dor del último sumando. Veamos si el vaticinio se cumple para tres sumandos: 1 1 1 + + Para tres sumandos: 1x2 2x 3 3x4 ~ 2 + 6 + Í2 = 4 Se comprueba que se cumple. Por consiguiente podemos generalizar: 1 — 1x2

1 1 + + 2 x 3 3x4

+-

4x5

n(n + l)

METODO (2) Otro método de resolución es descomponiendo las fracciones. La 1 1 fracción ~—~ se puede expresar como: - —— l 2x2 como ——2x3 2x3

Descomponiendo las fracciones

2

3

Así sucesivamente

—. La fracción


8 Reordenando apropiadamente:

2+ '- J+ V

/

+ (- 1 + ^ + ’ - i + 2 + 2 J v1 3 + 3 yj V r

+ r- J + r + ) i\ 5 + 5 /

i > l

...

1 1 \ ' + + n -1 n -1 v *

+ \

n +2

El resultado de cada paréntesis es igual a cero. Sólo quedan: 2

n+2-2

71+2

-

71 + 2

Problemas 2.- ¿Cuál es el resultado de efectuar la siguiente adición? 2 2 2 + + + ...+ 101 x 103 1x 3 3 x 5 5 x 7 A)

R ) 202

203

C)

203

n)

E)

101

206

B) 5(n + l) n

D) 71 + 2

C) E)

5 ti

-

+

A)

222 210

D) 209 210

+

3 4x7

+

B) 210 223

+

A ) ' 57 335

R ) 555

P)

E) 257 7035

335

3 3 1

335

1 1 1 1 1 1 + —+ —+ —+ — + ... + ------2 4 8 16 8192

71 + 2

210 E) 211

C)

-

D)

O 191 211

333x335

5.- Reducir la siguiente expresión e in dicar el resultado

n

20 191x211

25x27

+ ... +

El resultado es:

A) 2

3.- iCuál es el resultado de efectuar 1 2 1x 2 2 x 4

23x25

670

5 5 5 5 + + + ... + 1x2 2 x 3 3 x 4 n(n + l)

71 + 2

21x23

203

2. Calcular el resultado de efectuar:

5n A)

4.-Luego de efectuar la adición.

B) 16383 8192

8192 8193

C) 8193 8192 E)

16383 8193

3.- Luego de efectuar la siguiente adi ción se obtiene: 2

*

2

2

2

2

2 + —+ —+ — + — + ... + — 3 9 27 81 3n A)

n+1 - i

3"

B) 3n+1 -1 3n -1

C) 3n

n+J

-1 D) 3 2 3n

E) 3n -1


9

La inducción en las sucesiones num éricas y el conteo de figuras Una secuencia ordenada de números se llama s u c e s i ó n n u m é r i c a . Cada número de la secuen cia se obtiene de acuerdo a una regla. La regla se puede expresar mediante una fórmula, aunque no siempre. Descubriendo la regla se puede calcular el número correspondiente a un lugar cualquiera de la secuencia. Hay muchas técnicas para descubrir la regla. Una de estas técnicas es la inducción. Veamos sin más preámbulos en qué consiste esto.

[Problema 4 j Ert la siguiente secuencia de números, debemos calcular el número correspondien te al vigésimo quinto lugar de la secuencia. 1° i 7;

2° i 10;

3o i 13;

4° i 16;

....

•

25° i i•

R esolución Se trata de descubrir la regla que rige para obtener cada número (término) de la secuencia. En general, para un número cualquiera n que indica la posición del término. • Para obtener 10 se le agrega 3 al 7: • Para obtener 13 se le agrega 2 veces 3 al 7:

7 + 3 = 10 7 + 2 •3 = 13

• Para obtener 16 se le agrega 3 veces 3 al 7:

7 + 3 ■3 = 16

A partir de estas observaciones particulares debemos buscar generalizar diciendo: ¿cómo obtendría el quinto término?. Luego, el séptimo, el décimo, así sucesivamente hasta el enésimo.

Lugar del Térm ino

Térm ino C orrespondiente

Io

7+0 3

2o

7+ 1 3

3o 4o

7+2 3

n

7 + (n - 1) •3

Si se quiere obtener el quinto término, hay que agregar al primero cuatro veces tres. Esto es, si el término que se quiere obtener es del lugar n°, entonces hay que sumarle al primer término (n - 1) veces tres.

7+3 3

En consecuencia, la fórmula que representa la regla bajo la cual se obtiene cada término es:

7 + (/i - 1 ) 3 - 7 + 3 n - 3 = 3 n + 4 ( Fórm ula g e n e ra l: 3n + 4 ^


10 w

Una vez obtenida la fórmula general, para obtener el término del quinto lugar, basta susti tuir n por 5: ( 3{5) + 4 = 19

)

Puedes comprobar que para n = 1 se obtiene al primer término. Para n - 2 el segundo término; para n = 3, el tercero, etc. Para obtener el vigésimo quinto término, será suficiente sustituir n por 25 en la fórmula general: ( 3(25) + 4 = 7 9 ) 1

Problemas

\

I.- Para cada una de las siguientes su cesiones determina la fórmula gene raL a) 5;

9;

13; 17; .....

b) 8;

13;

18; 23; .....

c)

7;

13; 19; .....

1;

d) 15; 12; e)

6;

9;

1; 2; 4; 8; 16

• )

..... ...............

(

)

(

)

(

)

(

)

(

sucesión. Por ejemplo, ts representa el quinto término de la sucesión. En cada una de las siguientes suce sionesy determina el término del lu gar indicado: a) 10; 12; 14; 16; 18 b) 1; 7; 13; 19;

t5 0

c) 1; -5 ; 9; -13; 17; -21; d) 1; 3; 9; 27;

t36

t70

1 2 3 4 e) 2 ’ 3 ’ 4' 5 ’

t48

60

)

2.- Representemos con tnel término co rrespondiente al lugar enésimo de la

[ Problema 5 ] ¿Cuántos triangulitos negros habrá en la posición 100 de la siguiente figura?

( 1)

A (2 )

R esolución El problema es similar a calcular la fór mula general de una sucesión numéri ca. Los números que indican el número de triangulitos negros en cada posición, forman una sucesión numérica cuya fór mula general debemos hallar.

P osición : N° Triangulitos negros:

(1)

(2)

(3)

1

3

6

(4) 10

.....

En este caso, los números 1; 3; 6; 10; no se obtienen agregando la misma cantidad al anterior como ha sido en el caso del problema 4. Tenemos que buscar alguna particularidad que nos permita descubrir la regla general.


11

Se observa que el número 3 de la segunda posición es igual a 1 + 2 que son los números que indican las dos primeras posiciones. El número de la tercera posición es la suma de los números que indican las tres primeras posiciones: 1 + 2 + 3 = 6 Esquem áticam ente: P osición Después de muchos días de ir de mi casa a la oficina, llegué a percatarme que normalmen te tardo 80 minutos; pero si voy con corbata me tardo 1 hora 20 minutos

1=1 3=1 + 2 6= 1+2+3

100

¿Hay alguna razón para ello?

+ 98 + 99 + 100

¿ioo- 1 + 2 + 3 + 4 + 101 101 101

Para sumar hemos emparejado los términos equidistantes del centro. Cada pareja suma 101. Como son 100 números hacen 50 parejas. Por consiguiente la suma es igual a: t100 = 50x101

Problemas

r

A’

•

__

w | | ( T

•»

{

tío, = 5050)

i

1. ¿Cuál es el máximo número de seg mentos que se puede contar en la si guiente figura?

1 2 3 ... I--------- 1--------- 1--------- ¥ A) 20 000 D) 2050

B) 2 100

t 200

C) 20 100 E) 20 200

2. ¿Cuántos triángulos se pueden con tar como máximo en la siguiente fi gura?

A) 3 825 D) 2 850

B) 3 280

C) 3 425 E) 3 600

12


3. ¿Cuántos puntos hay en la posición 500 de la siguiente secuencia? *

•• • •••

••

•• • ••• •••••• •

(1)

(2)

(3)

A) 25 450 D) 250 600

B) 40 050

•

•

globos, También es aficionada a los números y se le ha ocurrido hacer arreglos bajo la secuencia mostrada. Ella se pregunta cuántos globos ne cesitaría para el arreglo de la posi ción 50 ¿Podrías ayudarle?

(4)

C) 200 500 E) 250 500

4, Carmen ha estudiado el oficio de de coradora con globos, Ella hace una serie de hermosos arreglos con los

(1) A) 2 500

(2)

(3) B) 2 601

D) 2 540

C) 3 600 E) 2 820

1.2. Razonamiento deductivo El término d ed u cción proviene del latín “deductivo”, que significa acción de conducir [“ducere”] a partir de. Consiste en demostrar u obtener una aseveración partiendo de una o varias aseveraciones (premisas) y aplicando las leyes de la lógica.

[Problema

1j

Tres cartas en sobre cerrado, para las compañías AVISA, BICUSA y CANUSA están a punto de ser enviadas, La se cretaria, muy descuidada ella, se per cata que ha metido las cartas en sobres que no corresponden al destinatario, El jefe, al verla preocupada, le dijo que no importaba, sólo quería saber qué carta contenía cada sobre, La secreta ria por cierto muy inteligente resolvió abriendo el menor número de sobres, ¿Cuántos abrió?. R esolución El sobre con el nombre de una empresa no contiene la carta de esa empresa, sino, la de una de las otras dos.

13

Razonamiento Lógico Tenemos las siguientes posibilidades.

Sobres:

AVISA o CANUSA

BICUSA Contiene: • o CANUSA

AVISA o BICUSA

Supongamos que abre el sobre (1) y halla la carta para BICUSA. ¿Qué carta contiene el sobre 3? La carta para AVISA, porque la de BICUSA la tiene el sobre (1). El sobre (2) contiene la carta para CANUSA porque la de AVISA la tiene el sobre (3).

Así hemos obtenido el contenido de cada sobre abriendo uno solo.

( Rpta.: i )

Problemas 1.- Tres cajas contienen: una dos bolas blancas, otra dos bolas negras y la tercera una bola blanca y una bola negra» Los contenidos están indica dos en etiquetas BB, NN, BN que han sido equivocadamente pegadas, de suerte que ninguna de las cedas lleva la etiqueta que le conviene. Para restituir a cada caja la etique ta que le corresponde se le permite a uno entreabrir una ceda, sólo el tiem po necesario para ver una bola. i Cómo procede?

2. Los señores Pardo9Verde y Rejo esta ban almorzandojuntos. Uno de ellos llevaba una corbata parda, otro una verde y otro, una corbata reja "Se han dado cuenta" dijo el señor de la corbata verde, "de que aunque nues tras corbatas son de colores iguales a nuestros nombres, ninguno de no sotros lleva la corbata que corres pondería a su nombre" "¡Por dios que tienes razón!", excla mó el señor Pardo. ¿De qué color era la corbata de cada uno?

M. Gardner

[Problema 2 ] Estaban reunidas, Ana, Betty y Carla rw

Ana le decía a la profesora que la otra amiga es obstetriz. Betty le decía a la obstetriz, que estaba de vacaciones. Si entre ellas, una es profesora, la otra obstetriz y la última abogada, aunque no necesariamente en este orden; ¿Cuál es la profesión de cada una? R esolución • “Ana le decía a la p rofesora que la otra am iga es obstetriz” De esta frase se deduce que Ana no es profesora ni obstetriz.

14

Razonamiento Matemático P rofesora Abogada Obstetriz

X

Ana

X

Betty

Profesora Abogada Obstetriz

0

Carla

X

Ana Betty Carla

V X X

X

* “Betty le d ecía a la obstetriz...” De esta frase se deduce que Betty no es obstetriz. P rofesora Abogada Obstetriz Ana

X

X X

V

X X

Betty Carla

P rofesora Abogada Obstetriz

ó

Ana

X

V

Betty

V

Carla

X

X X"

X X V

^Rpta^^^n£êí^bogada^3e^

[Problema 3 ] Cuando asistía a una reunión, me presentaron los señores Barbón, Lampio, Cono y Rubio. Entre ellos hay un fotógrafo, un médico, un t€ixista y un contador. De ellos recuerdo los siguientes datos: 1. El señor Barbón y el taxista son viejos amigos. 2. El médico y el contador conocieron en esta reunión al señor Rubio. 3. El señor Lampio ni el señor Cano saben conducir. 4. El médico y el señor Cano son compadres.

''

¿Quién es médico? Resolución Según 1,2,3 y 4 obtenemos Fotóg.

Méd.

Barbón Lampio Cano Rubio

X X

Tax.

Cont.

X X X

Fotóg. Barbón Lam pio Cano

X

R ubio

De (1): Barbón y taxista (Rubio) son viejos amigos De (2): El médico y el contador recién conocen a Rubio

X

V

X

15


¿Puede Barbón ser médico o contador? No. Porque como amigos, ya se conocían con Rubio Luego: Fotóg. Barbón

M éd.

Tax.

Cont.

•

X X X

•

Lam pio Cano R ubio

[R pta.:

X

X X

V

Fotóg.

Méd.

Tax.

Cont.

Barbón

V

X

Lam pio

X X X

V

X X X

X X V

V

X

Cano

X

R ubio

X X

El señor Lampio. j

Problemas 1. Valentín y otros cuatro clientes de un banco se enteraron consternados de que, por no haber leído la letra pe queña de los folletos en que se descri bían sus cuentas respectivas, habían dejado que su saldo descendiese de masiado, dando así motivos para que les cargasen mensualmente una cantidad, distinta para cada uno de ellos, pero expresadas todos en nú meros enteros. A partir de las pistas siguientes^ intente averiguar el nom bre completo de esas cinco personas (una de ellas se apellida Carreras), su tipo de cuenta y los cargos men suales. 1. El apellido de Rosa no es Belmonte. 2. A Enrique le cargan doscientos soles me nos que al que tiene la supercuenta y cuatrocientos soles más que al de la cuen ta corriente. 3. La señora Codina no es la que tiene la libreta de ahorros. 4. Torrente no tiene la supercuenta. 5. A Humberto le cargan mil seiscientos soles, a Marín ochocientos. De los otros tres, a Engracia le cargan menos que al de la cuenta de crédito y más que a

Belmonte. 6. El cargo del que tiene la cuenta de crédi to no es el más alto, y el de Belmonte no es el más bajo. ¿Cuál es la cuenta y el apellido de la señora Rosa ? A) Belmonte, libreta de ahorros B) Codina, cuenta corriente C) Marín, libreta de ahorros D) Marín, cuenta de crédito E) Marín, cuenta corriente 2. Cuatro hermanas pasaron una tarde preparando conservas para el invier no. Cada una enlató cuatro alimen tos distintos, y ninguno de éstos fue puesto en conserva por más de dos mujeres. Basándose en lat informa ción siguiente, ¿podrías determinar lo que enlató cada una de las herma nas? 1. Andrea enlató peras. 2. Tere enlatójudías, pero no guisantes. 3. Martha preparó compota de fresas, su dulce preferido para el desayuno. 4. Ninguna de las que enlataron maíz en-


16 ♦

lataron también zanahorias. 5. Leonor no fue una de ¿as hermanas que preparó pepinillos en vinagre. 6. Sólo una de las hermanas que enlató maíz enlató también guisantes. Andrea no hizo ni lo uno ni lo otro. 7. Tanto Martha como Leonor prepararon melocotones. 8 Ningu na se decidió a la vez por los pepi nillos en vinagre y la compota de fresas. 9. Martha no enlató zanahorias. ¿Señalar a la hermana que enlató maíz y peras. Además las otras dos conservas? A) Andrea: maíz, judías B) Tere: judías pepinillos ( '? Leonor: judías y apellidos D) Tere: judías y fresas E) Tere: fresas y pepinillos 3. Muchos sellos de Correos rinden ho menajes a nuestros hombres y muje res célebres. Por ejemplo, los pinto res han visto sus obras reproducidas en los sellos. Apoyándose en las pis tas siguientes, ¿podrías determinar •l valor de los sellos que menciona mos y los nombres de las personas a los que están dedicados? (Nota: Los sellos que describimos no correspon den a los emitidos realmente por el servicio de Correos. Han sido inven tados exclusivamente para este pro blema.)

dos soles más que 5/ de Manuel de Falla y siete soles más que el de Concha Espi na. 4. El sello de Agustina de Aragón cuesta siete soles más que el de Pablo Picasso. 5. Tres de los sellos son de quince soles y hay por lo menos dos de cada uno de los otros valores. ¿Quienes tienen sellos de 8 soles? A ) Concha Espina y Pablo Picasso

B) Concha Espina, Pablo Picasso y Sal vador Dalí C) Agustina de Aragón y Pablo Picasso D) Miguel Fleta y Pablo Picasso E) Miguel Fleta y Salvador Dalí 4. Un sábado, Chema y cuatro de sus amigos fueron a las atracciones ins taladas en la plaza de su pueblo. Cada uno disponía de una cantidad distinta de dinero, mil soles como mí nimo, pero no más de dos mil. Basán dose en las pistas siguientes, trate de descubrir la cantidad que tenía cada chico y la cantidad que gastó. (To das las cantidades son múltiplos de cien.) 1. El chico que gastó mil cien soles gastó doscientos más de las que le quedaron. 2. Dani gastó dos veces más de lo que le quedó. 3. Tito, Paco y Santi gastaron exactamen te la mitad de lo que tenían.

I. El sello de Salvador Dalí cuesta dos so les menos que el de Concha Espina y siete soles menos que el de Rosalía de Castro.

4. Uno de los chicos empezó con un núme ro impar de cientos de soles.

2 El sello de Pablo Picasso cuesta dos so les más que el de Miguel Fleta y siete soles menos que el de Emilio Castelar.

6. Tito gastó cien soles más que Santi.

3. El •. /o de Jacinto Benanavente cuesta

5. Dani gastó la misma cantidad que te nía al principio Santi.

7. Paco empezó con ochocientos soles más de lo que le quedó a otro de los chicos.

Razonamiento Lógico ■■■■■■T111■" ".rs*1

1

¿Señala cuánto tenía Tito y cuánto gas tó? A) 1 000 y 500 B) 2 000 y 1100 0 1 2 0 0 y 700 D) 1 400 y 700 E) 1 200

y 600

5. La princesa de Groenlandia y otras tres princesas han sido raptadas por cuatro feroces dragones. Afortunadamente, cuatro príncipes valientes, incluido el príncipe Natanael, acu den a rescatarlas. Uno de ellos es el principe de Eslavonia. Partiendo de las pistas siguientes, ¿podrías empa rejar cada princesa (y su reino) con el dragón escupidor de fuego que la capturó y el príncipe y su reino que la rescato?. 1. La princesa Eleonora, que fue rescata da por el príncipe de Laponia, no fue capturada por el dragón llamado Bru jo . 2. El príncipe de Estonia luchó contra el dragón llamado Shrayik. 3. El Príncipe Godofredo rescató a la princesa de Curlandia. 4. La princesa Floramunda fue la cauti va del dragón llamado TrollkarL 5. Winifreda es la princesa de Islandia. 6. El príncipe Leonardo rescató a la prin cesa Rosalinda. 7. El príncipe Adalberto vive en Polonia. 8. El dragón llamado Gespent capturó a la princesa de Brucelandia. ¿Q uien rescató a la p rin cesa Floramunda y qué dragón la captu ró? A) Leonardo, Brujo B) Natanael, Gespend

_____________________________________17 C) Godofredo, Trollkarl D) Godofredo, brujo E) Godofredo, Shrayik 6. La semana pasada, la compañía Elko ofreció una cena-homenaje a Máximo, Cecilia y a otros tres de sus empleados que abandonaban sus puestos por diversos motivos. Basán dose en las pistas siguientes, averi güe el nombre completo de los home najeados (uno se apellida Posada), el número de años que llevan traba jando para la compañía (esos núme ros son todos diferentes) y el motivo por el que abandonan su puesto ac tual. 1. El empleado que lleva menos tiempo en Elko, diez años, ha recibido una pro puesta de otra empresa. 2. Fernando lleva en Elko cinco años más que Carol, que ha trabajado para la compañía el doble de tiempo que el se ñor Nieto. 3. Ramona y Manuela han ascendido dentro de la misma empresa. 4. Verdaguer lleva en la compañía el do ble de años que Ursula} la cual ha pa sado en Elko cinco años más que uno de los otros empleados. 5. Los que llevan más tiempo en Elko, nin guno más de cincuenta años se ju bila . ¿Señale el tiempo que trabajó Ceci lia y la razón de abandono de Elko? A) 30 años, Ascenso B) 30 años, Traslado C) 20 años, Jubilación D) 15 años, Traslado E) 30 años, Jubilación


18

[ Problema 4 ) Los habitantes de la ciudad VM están divididos en dos barrios: los “arribeños"y los “abajinos Ellos hablan un extraño dialecto, sin embargo, algunos hablan el español. Los arribeños contestan siempre con una mentira cualquier pregunta que se las formu le, en cambio, los abajiños siempre dicen la verdad. Pero todos ellos son muy ama bles. Cuando llegó un turista a VM, fueron a recibirlo tres ciudadanos: Aldo, Beto y Casto. El turista preguntó a Aldo “¿De qué barrio eres?" a lo que Aldo respondió en su dialecto. Entonces el turista preguntó a Beto “¿qué dijo tú amigo?" “dijo que es abcyiño. Pero no le crea porque es un mentiroso “contestó Beto. “No, el mentiroso es Beto. Aldo dijo la verdad" intervino Casto. El turista sonrió, dando a entender que había deducido el barrio al que pertenecía cada uno. ¿Tú también puedes hacerlo? Resolución Preguntado sobre el barrio de procedencia, ¿qué contesta un arribeño y qué un abajiño? Arribeño: como siempre miente, dice: “yo soy abajiño” Abajiño: como es veraz, dice: “yo soy abajiño” Por tanto la respuesta de Aldo ha tenido que ser “soy abajiño”. Beto la confirma, entonces él es abajiño, además, Beto dice que Aldo es mentiroso, lo cual debe ser cierto, o sea Aldo es arribeño. Casto tilda de mentiroso a Beto cuando él es veraz, por tanto Casto es arribeño. (R p ta .: Aldo y Casto, arribeños. Beto, abajiño. J

Problemas 1. El divertido Carlillo siempre está bus cando cómo sorprender a su insepara ble amigo Perico. Carlillo preparó tres bolsas, una de ellas conteniendo mone das - Adivina en cuál de las bolsas está el dinero - le dijo a Perico. Cuando Perico le solicita una pista, Carlillo le presenta los letreros diciendo: - Al menos una de las etiquetas dice la ver dad, y al menos una de ellas dice mentira. ¿Cuál de las bolsas contiene el dinero? A) 1

B) 2

C )3

D) Ninguna

E) Falta más datos

19


1.3. Razonamiento Transductivo Este razonamiento está basado en la ley de la transitividad. Por ejemplo, s iA = B y B = C entonces A = C. La relación planteada es transferida a través de las premisas y se concluye relacionando los conceptos extremos de las premisas. Las transfrencias pueden ser de diversos tipos:

1.3.1. Transferencias p o r Com paración (Términos relacionadores: Mayor (>), menor (<), igual (=), no mayor (<) y no menor (>)).

Problema 1 Si A y C tienen el mismo sueldo y B gana menos que A, pero más que D, entonces: A) A gana igual que D B) D gana igual que A C) C gana más que D D) D gana más que A E) B gana igual que C METODO (1) A=C

( 1)

B
(2)

B>D

(3)

Las relaciones de igualdad y de orden se pue den representar mediante los signos =, > (ma yor que), < (menor que), >y <, luego aplican do las propiedades aritméticas, deducir la conclusión. Otro modo de resolver es, ordenando los ele mentos en el espacio, los mayores hacia arri ba, los menores hacia abajo y los iguales a la misma altura. METODO (2) Ubicando los elementos según los datos: +mayor B

De (2) y (3): D < B < A D e(l)y (4 ):

R esolución

(4)

D ;< B < A = C

C gana más que D

D

menor C gana más que D

) ( Rpta.: (C))

[Problema 2\ En una casa distribuidora de carros nos informan que: Un NISSAN es más cara que la DATSUN. Una FORD es más cara que la TOYOTA. La NISSAN es más barata que la TOYOTA. ¿Qué marca es la más cara?


20 R esolución * * Nissan más cara que Datsun N

* Ford más cara queToyota F

* Nissan más barata que Toyota

F

T

( Rpta.; Ford )

Problemas 1. Las familias Alvín, Bando, Carpió y Duran viven en un edifido de 4 pi sos, ocupando cada familia un piso. La familia Alvín habita más arriba que la familia Carpió. La familia Bando no son vednos con Carpió. El señor Durán no utiliza ascensor ni escalera para ingresar a su casa*

Menciónalos en el orden de mayor a menor A) Paco, Kike, Arnold, José B) Paco, Kike, José, Arnold C) Paco, Arnold, Kike, José D) Arnold, Paco, Kike, José E) Paco, José, Kike, Arnold

¿Quién vive en el cuarto piso? 3. Cinco soldados son llamados por el capitán y se presentan formando una columna de mayor a m enor, obvia mente, en estatura.

A) La familia Carpió B) La familia Bancio C) La familia Alvin D) La familia Durán E) Falta información 2. Cuatro amigos tienen edades dife rentes. Amold es mayor que José y éste menor que Kike, Paco nadó antes que nacieran Kike y Amold, Kike no es menor que Amold,

El soldado A es más bajo que B. C es más alto que D. El soldado C se ubica delante de A Si E está detrás de A ¿cuál es el orden en que están ubica dos? A) BCADE D)BACDE

B) BCDEA

C) BACED E) BEACD

f Problema 3 ] Supongamos que x, y, son números reales, tales que: x > 0 > y ¿Cuál de las siguientes relaciones no es correcta? (SM '80) A) (y - x ) ( x - y ) B) (y - x)/y > 0 C) x2- xy < 0

<0

D )yx < 0 E) y2 + x2 > 0

21

Razonamiento Lógico Resolución * • Representando los números reales en la recta numérica tenemos Números positivos ( mayores que cero)

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 •^

1

2

3

cero

Números negativos ( menores que cero)

De aquí, si: x > O, se lee : x es positivo

y < O, se lee : y es negativo z £ O, se lee : z no es negativo

U7 £ O, se le e : 147 no es positivo • Si y es negativo, -y es positivo. Por ejemplo si y - -8 , entonces - y = -(-8 ) ==>—y = 8. Lógicamente, si x es positivo, -x es negativo. • El cuadrado de un número real, sea positivo o negativo, nunca es negativo, es positivo o cero. • La suma de dos positivos es positivo y la suma de dos negativos es negativo. Con las pautas previas, vamos a analizar cada una de las alternativas, teniendo en cuenta que x es positivo e y es negativo. A) (y-x) (x - y) < 0 : El producto de un negativo por un positivo es negativo (verdadero) negativo positivo

B) (y- x) I -y

> 0 : El cociente de un negativo entre otro negativo, es positivo (verdadero)

negativo negativo

C)

negativo 2 ^ - xy < 0 : La suma de dos números positivos es positivo (falso)

negativo

D)

x

y

—» El producto de dos números, uno positivo y otro negativo siempre es

positivo

negativo (verdadero) m

E) x1 2 + y 2-* £ 0 —» La suma de dos números no negativos es otro no negativo (verdadero) -

■

no negativo

(Rptcu; C ]

22


Problemas 1. Sean x e y dos números reales tales quex>y>0.

c) (x2 + z2)> O d) xzí (z - x) < O

Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

A) O

a) (x —y ) (y —x) < O

3. Dados los números reales x> y, z, se sabe que:

b) ( x - y ) y > O c ) ( y - x ) /( x - y ) < 0 B) V W F

D) V F W

E) F V W

C) W F V

2. Dados los números reales x, y, z, tales que: Lx
II. z < 0

III. x > 0

¿Cuántas de las siguientes proposi ciones son falsas? a) (z - x) (z - y) > O b) (x - z ) {y - z ) < O

C )2

x > O,

d) (x2- y 2) (x +y) > O A) W V V

B) 1

D) 3

y < zy

E) 4

z<0

¿Cuál de las siguientes relaciones es falsa? 1 1 v x A) - + - < 0 B ) —+ — < 0 y z x z C) (y - z)/(z - x ) < O D) zx —yz < OE )y x + z x < 0 4. SiO l II.x2> x III. x2
B) I y III

O Sólo III E) Sólo II

1.3.2. Transferencia de relación espacial (Términos relacionadores: Arriba, abajo, derecha, izquierda, delante, atrás, encima, debajo, afuera, adentro, superior, inferior, Norte (N), Sur (S). Este (E), Oeste (W), Noreste, etc).

[Problema 1 ] Praga está al Este de París y al Sur de Berlín. Bruselas está al Noreste de París y al Suroeste de Berlín; entonces Praga está: A) Al Este de Bruselas

D) Al Noreste de Bruselas

B) Al Sur de Bruselas

E) Al Sureste de Bruselas

C) Al Suroeste de Bruselas

23

Razonamiento Lógico Resolución ' “Praga está al Este de París y al Sur de Berlín*

“Bruselas está al Noreste de París y al Sures te de Berlín

BERLIN

k. 29

ce

w w

PARIS

Este

-------------O e s te

PRAGA

I

La única alternativa que indica la posible ubicación es la E. Rpta»: E

Problemas 1. Andrés, Beto y Carlín se encuentran charlando sentados al rededor de una mesa circular. Beto no está a la derecha de Carlín. I Quién está a la derecha de Andrésí A) Beto D) A y B

B) Carlín

C) No se sabe E) N.A..

2. En la escuela los chicos se sientan en los pupitres numerados del 1 til 5 y las chicas se sientan frente a ellos en los numerados del 6 al 10. 1. La chica sentada junto a la chica frente al n° 1 es Fiorela.

8. Si Fiorela no está en el centro, Indira sí. 9. Hilary está tres pupitres más allá de Jane. 10. David se sienta frente a Grace. 11. La chica que se sienta junto a la que está frente a Alan es Jane. 12. Colin no se sienta en el pupitre n° 5. 13. Jane no se sienta en el pupitre n° 10. ¿ Quién está sentado a la derecha y con tiguo a Indira?

1

2

3

4 1 5

CHICOS

10

9

8

7

CHICAS

2. Fiorela se sienta tres pupitres más allá que Grace. 3. Hilary está frente a Colin. 4. Eddy se sienta frente a la chica sentada junto a Hilary, 5. Si Colin no está en el centro, Alan sí. 6. David está junto a Billy. 7. Billy se sienta tres pupitres más allá de Colin.

A) Colin D) Fiorela

B) Jane

6

C) Billy E) Eddie

24


Reto al Ingenio El abuelo Tacañón ha comprado a muy buen precio una partida dejerez añejo que consta de 32 barriles. Temiendo que le roben alguno, manda bajarlos a su bodega y colocarlos alrededor de un pilar cuadra do, de tal manera que desde cualquier lado se vean doce barriles. Con lo que no tendrá más que darse una vuelta por la bodega para hacer fácilmente el recuento. Por una indiscreción, los hermanos Garrucha se enteran de esta sabia disposición del avaro y deci den llevarse su parte del sabroso líquido. De mane ra que entran de noche en el sótano y cambian el orden de lo barriles de modo que se llevan cuatro, y el viejo no podrá darse cuenta de que le han robado, porque seguirá contando doce barriles de cada lado. ¿Cómo funciona la treta de los Garrucha?

1.3.3. Transferencia de Relación Temporal (Términos relacionadores: Antes, después, anterior, posterior, precede, antecede)

[Problema 1 ) ¿Cuál es el número que antecede al que precede a 5? A) 4

B) 3

C )6

D) 7

E) 2

Resolución * El término anteceder es lo mismo que preceder, que significa “ anterior a” * Número que antecede al que precede a 5^ 4 -

V

1

-

-

-

-

.

-d

3 <— Número buscado

1

\

Son tantas las estrategias para resolver un mismo problema. No pretendemos de ninguna manera que el lector considere la estrate gia propuesta como la mejor, ni mucho menos la única. ■

Gráficamente:

3

^

[N ú m e r o que | [an teced e a 4 es 3 J

( Rpta.: 3 )

*

4

o. [N ú m e r o que I procede a 5 es 4

25


Problemas 1. Observa las figuras.

3. Ordenar los desplazamientos del más antiguo al más reciente. A) f, f2f3 B) f2f3f2 f>

C) w

E ÍW

Del gráfico 3, deduce la secuencia en el tiem po del más antiguo al más reciente. A) f. faf, D )f3f,f2

B) f2f, £

C )f2f3f, E )f3f2f,

2. Ordenar los desplazamientos del más antiguo al más reciente.

4. En momentos en que la banda de PiHuelo ya había reducido al personal del banco y Pilluelo se disponía abrir la ceda, los asaltantes fueron sorpren• didos por la policía, generán-dose una balacera de Padre y señor mío. El cuadro que adornaba la oficina del administrador quedó como mues tra la figura. ¿En qué orden cayeron los impactos de bala?

A) f, f2f3 B )f,f3f2 « W D )f2f,f3

A

E )« f,

A) ABCD D)BCDA

B) ABDC

C)BDAC f .'í RAnr.

1.3.4. Transferencia p o r relación de afinidad [Problema 1 ) Los hijos de Andrés son Rosa y Toño. Rosa se casó con Tino y tuvieron un hijo de nombre Celso. Toño es padre de Sara quien es madre de Leonor. Por lo tanto: 1. Leonor es nieta de Toño y Bisnieta de Andrés 2. Celso es primo de Sara y tío de Leonor 3. Toño es tío de Celso e hijo de Andrés 4. Sara es sobrina de Tino y bisnieta de Andrés. Son ciertas:

26


A) 1; 2 y 3 B ) l y 3

C )l;3y4

D )l;2y4

E)Todas

R esolución

¿Cuál de los segmentos es más largo, el vertical o el ho rizontal?

1ra generación: Bisabuelo Toño I

[Tino [Rosa

Desafío a tu sentido

2dageneración : abuelo

J Celso

Sara i

3rageneración : padres

[Leonor]

4Ugeneración : nietos

Rpta.: A

Problemas 1. Carmen es hermana de Riño y Joa quín es hermano de Carmen, pero Riño y Joaquín no tienen ninguna afi nidad familiar Luego:

D ) La mamá de Joaquín es esposa del Papá de Riño.

A) El papá de Riño es hermano con la mamá de Joaquín

2. ¿ Cuál es el menor número de p erso nas que se requiere para que en una familia haya: un abuelo, una abuela, tres hijos, 3 hijas, 2 madres, 2padres, una suegra, un sue groy una nuera?

B) La mamá de Joaquín es tía de Car men C) El papá de Carmen es tío de Joaquín

E) La mamá de Riño es esposa del tío de Rosa.

A) 10

1.4.

B) 9

C )8

D) 13

E) 15

Razonamiento por Analogía

Es un razonamiento que va de lo particular a lo particular mediante la comparación. Su conclusión és débil y no siempre es deñnitiva.

[ Problema 1 ] ¿Cuál de las siguientes igualdades es siempre ver dadera? A) xm*n= xm+ xn B) xm+n= (xm)“ C) xm*D= xm-x° D) xm*a= (x“ ) + n E) N A

Reto al ingenio r

¿Qué número va en lugar del signo de interrogación? 621

482 654

9

321

972

2

725

27

Razonamiento Lógico R esolución

Torre de cubos

El razonamiento por analogía, es un recurso muy útil para resolver este tipo de dudas. Cuando hayamos olvi dado las leyes del álgebra, podemos optar por dilucidar la duda mediante un ejemplo numérico. Tomemos por ejemplo 32+1. Es evidente que debemos sumar el exponente de 3, 2 + 1 = 3, entonces resulta 32+1 = 33= 3-3-3 = 27 por tanto el resultado de 32+1es 27.

Para esta torre de 3 pisos se ha utilizado 36 cubos. ¿Cuántos cu bos serán necesarios para cons truir una torre similar pero de 20 pisos?

Enseguida analizamos las alternativas: A) xm*D= xm+ xn=> 3 2+1 = 32 + 31 -1 2 ~ (es falso) *** v* 9

3

B )xm+° = (xm)D=$ 3 2+1 = (3 2)2+ 9 2 =9 (es falso) C) xm+D= xm- xn => 3 2*2 = 32 31 =9 3 =27 (correcto) 9

3

Sugerencia: utilizar la relación: D) xm*a = Ge”1) + n => 3 2+1 = ^32) + Í = 9 + 1 =10 (falso) Por lo tanto la igualdad siempre verdadera es:

= (*m ) . (*n)

[ Rpta.: c )

(1 + 2 + 3 +

V + 2* + 3a + ... + n

3

A ) 4 400 B) 6 400 C) 8 100 D ) 44 100 E) 25 600

[ Problema 2 ] Si x* = 22entonces x =2. Según esto podemos concluir que si x* = aaentonces x = a. ¿Es siempre verdadera esta conclusión? Es decir ¿Podría darse el caso que siendo x+ y a “ iguales, y sin embargo x sea diferente de a? R esolución 'V * Sí. Es posible que se dé ese caso. Por ejemplo la igualdad \2 / \

/

'I ) ^4 )

t

es correcta, pero

— es diferente de —. Por tanto si x31= a°, n o siem pre x = a. 2 4 Si bien el razonamiento por analogía es de suma utilidad para salir de situaciones dudosas, sin embargo por su carácter particular nos puede conducir a conclusiones aparentemente o particularmente correctas, pero que no sea del todo verdadero o que no sea cierto en forma general.

28


Problemas 1. ¿C uál de las fig u ra s signadas con letras correspon d e a l signo de in te rrogación?

2. Se d efin e una op era ción en la form a m ostrada y sim bolizada p o r *. a * b = a 2- b 2 Los resultados de: a) O * 1

b) 1 * 1 c) (-1) * 1 d) 3 * (-2)

son A) —1; 0; —1; 5 B) -1 ; 0; 1; 5 C) -1 ; 0; 0; 5 A)

D) -1 ; 0; 1; 9

A

B)

E)

D)

E) -1 ; 0; 0; 9

1.5. Lógica Proposicionai El interés de la lógica es la in feren cia (razonamiento, argumento). ¿Donde se ha visto? visto. La inferencia consta de una o varias añrmaciones (proposiciones) llamadas prem isas, a partir de las cuales se deriva una añrmación llamada con clu sión . He aquí un ejemplo: .

\El tigre es un animal carnívoro [Todos los animales carnívoros s&on cazadores Inferencia Conclusión {Por lo tanto, el tigre es un animal cazador p

m

9

C

f J h V

v O

w

|

|

I

1

/

La lógica proposicionai estudia las inferencias utilizando las proposiciones.

1.5.1. Proposición El lenguaje tiene una función expresiva (para comunicar sentimientos, emociones: ¡ay! ¡Qué hermosa mujer!), una función directiva o apelativa (una orden, un pedido, una pregunta: no saques la mano, dame un beso) y una función inform ativa (Comunica mensajes, informa: la Tierra es redonda, descubrieron el remedio para el SIDA). La función informativa se efectúa mediante una oración ase ver ativa. La lógica estudia las leyes d el razonam iento. El razonamiento es un proceso que ocurre a nivel cerebral pero se expresa mediante el lenguaje, de modo que la lógica, para estudiar el razonamiento, requiere un lenguaje. Precisamente, el lenguaje que utiliza la lógica proposicionai tiene como elemento principal la p roposición .

Razonamiento Lógico La proposición es el significado de una ora ción aseverativa, la cual puede ser calificada como verdadera o falsa. <3> Hay oraciones aseverativas que no son propo siciones. La oración “Juan es estudioso”, ¿es verdadera o falsa? No es posible calificarla de verdadera o falsa mientras no se sabe quién es ese Juan a quien se refiere.

29 <3> Esproposición

No esproposición

El número 2 es par 3 es mayor que 8 El Perú no es libre

Los números impares ¿ Cuál es tu nombre ? Tus hermosos ojos verdes.

© Enunciados abiertos

Las oraciones de esta naturaleza se denomi nan enunciados a b ie rto s.^ )

x > 10

2jc + 5 = 10

La proposición tiene la propiedad esencial y exclusiva de ser falsa (F) o verdadera (V), esta calificación se llama valor de verdad o va lor veritativo.

El es un médico peruano,

1.5.2. Variable proposicional Las proposiciones, “si el plástico se quema despide © humo” y “ si el papel se moja se destruye” tienen la El iqueño es peruano:p misma estructura a pesar de tener significados distin tos. Cuando se trata de analizar estructuras idénticas El peruano es americano: q es conveniente representarlos por sím bolos o letras, Si es peruano entonces es ameri las cuales se llaman variables p rep osicion a les.^ ^ ) cano: p -* q Para representar las proposiciones se utilizan las le tras: p }q9r, s, f , ...

1.5.3. Proposición sim ple y com puesta Una proposición es sim ple o atómica cuando expresa una sola idea y se representa por una sola variable. Uniendo dos o más proposiciones se puede formar otras proposiciones, enton ces se llama p rop osición com puesta. 0 © Para unir las proposiciones se utilizan ciertos términos P roposición P roposición llamados térm inos de enlace, los cuales también se sim ple com puesta representan por símbolos llamados con ectiv os ló g i • 12 es p a r: p • 12 es p a r y cos. Según los términos de enlace con los que están • 12 es múltiplo m últiplo de 3 unidas dos proposiciones tienen significados distintos y de 3: q (p a q) reciben nombres diferentes. A. PROPOSICION CONJUNTIVA Es la proposición compuesta unida por el término de enlace “y ” cuyo símbolo es Charito es casada hijo' q Charito tiene un %

es casada y tiene un hijo: p Proposición conjuntiva

a

q

a

.


30

¿Cuál es el válor de verdad de una proposición compuesta? El valor de verdad de una propo sición compuesta depende de los valores veritativos de las proposiciones simples de las que se compone y el tipo de conectivo involucrado. Imagínate que llegas a conocer a “Charito”. Ella te dice que es casada y tiene un hijo. Pero tú no estás convencido de lo que dice, enton ces decides averiguar sobre ella para saber si es falso o verdadero lo dicho por ella. ¿Cuáles son las posibles respuestas que pue des obtener? Que efectivamente sea casada con un hijo, en cuyo caso dirás que lo que ha dicho es verdadero. Tal vez no sea casada ni tiene hijoyentonces dirás que mintió y lo que ha afirmado es falso. ¿Pero si es casada sin hijo, o es una madre soltera?,. ¿Cómo calificas su afirmación? ¿como verdadera o como falsa? No hay verdad a medias ni falso a medias. El conectivo “y” indica que se deben cumplir las dos proposiciones. Por lo tanto, es suficiente que una de las proposiciones sea falsa para que la proposición compuesta sea falsa. Es verdadera sólo en el caso en que ambas proposiciones son verdaderas. Este análisis que acabamos de realizar para determi nar el valor de verdad de la proposición conjuntiva se representa esquemáticamente como se muestra a la de recha. Este esquema se llama tabla de verdad de la proposi ción conjuntiva. DISYUNTIVA

p

q

V V V F F V F F

p Aq V F F F

Tabla de verdad de la proposición conjuntiva. B. P R O P O S IC IO N

Es la proposición compuesta unida por el término de enlace “ o ” . B l. Inclusiva o débil.- Esta vinculada con el término de enlace “o” cuyo símbolo es v Cha rito es casada Charito tiene un h

t e

Proposición disyuntiva débil

La “o” inclusiva asevera la ocurrencia de al menos una de las proposiciones vinculadas. Para que sea verdade ra la proposición disyuntiva, es suficiente que una de ellas sea verdadera. Obviamente sera verdadera cuan do ambas son verdaderas. A la derecha se muestra la tabla de verdad de la proposición disyuntiva:

P

q

p vq

V V V V F V F V V F F F Tabla de verdad de la pro posición disyuntiva débil.

31


B2. Exclusiva o fuerte.- Está vinculada con el término de enlace “ o ... o ... ” cuyo símbolo es

«i*. Carlos es Peruano * P lo Carlos es peruano o chileno : p H) q Carlos es Chileno : q j>-------------------- „---------------------' Proposición disyuntiva fuerte

La disyunción fuerte excluye la ocurrencia de las dos proposiciones vinculadas En el ejemplo, Carlos, de nacimiento no puede ser pe ruano y Chileno a la vez, o bien es uno o lo otro, pero no ambos. Observa en tabla de verdad.

p

q

p tf» q

V V F V F V F V V F F F Tabla de verdad de la pro posición disyuntiva fuerte.

C. PROPOSICION CONDICIONAL Es la proposición compuesta vinculada por el término de enlace “ s i,... e n to n ce s ...,” afirma que la ocurrencia de la primera proposición, llamada antecedente, da lugar a la ocurrencia de la segunda proposición llamada consecuente. El símbolo de este conectivo es Carmín es limeña : p j g ¿ Carmín es limeña, estonces es peruana : p Carmín es peruana : q Proposición condicional

¿Es posible que siendo limeña no sea peruana? Sólo en el caso en que el antecedente es falso y el consecuente ver dadero , la proposición condicional es falsa, en todo los demás casos es verdadera. Una proposición verdadera jamás implica una proposición falsa. Una proposición falsa si puede implicar una proposición verdadera. Carmín sin ser limeña puede ser peruana. BICONDICIONAL

P q V V F F

V F V F

p

q V F V V

Tabla de verdad de la proposición condicional. D. P R O P O S IC IO N

Es aquella vinculada por el término de enlace “ si, sólo si ...” cuyo símbolo es <-> la proposi ción “p si, y sólo si q” significa que para que se cumpla q tiene que cumplirse p y para que se cumpla p, tiene que cumplirse q. Irma es madre de Julio Julio es fajo de frma *q

cs

y sólo si Julio es hijo de Irma :p
p q La proposición bicondicional es verdadera cuando la dos proposiciones vinculadas tienen el mismo valor de ver dad. La proposición bicondicional, es una condicional en un sentido y en el sentido contrario

P^q

V V V V F F F V F F F V Tabla de verdad de la pro posición bicondicional.


32 E. PROPOSICION NEGATIVA Es una proposición que lleva el adverbio “n o” o sus equi valentes, lo cual hace cambiar el valor de la proposición. El símbolo de la negación es - . Una proposición simple con una negación se hace compuesta.

p

~P

V F

F V

Tabla de verdad de la proposición negativa.

f Problema 1 ) Se dan las proposiciones p y q . Tam bién se da el valor d e verdad de p y q . D eterm ina el valor de verdad de las p rop osicion es com puestas. -q

p

q

~P

V

F

© ©

p -»q

q-»p

pvq

©

©

©

pAq

p

«
© ©

Resolución © C om o p es (V) entonces ~p es (F).

© E s suficiente que p ó q sea verdadero para que p v q sea verdadero. Es (V)

(2) Como q es (F) entonces -q es (V). © Un antecedente verdadero no puede im plicar un consecuente falso, p —>q es (F) © E l antecedente q es (F) y el consecuente p es (F). Luego: q p es (V)

p

q

~P

V

F

®

© ~q

p-»q

© Es verdadero sólo si p y q son verdade ros. Es (F) (7) Es verdadero cuando p y q tienen distin tos valores de verdad. Es (V)

pvq

© ©

q-»p

®

PAq ©

p**q

©

Problemas 1. Si p es (V), q es (F), r es (V) y s e s (F); determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

de verdad de las p rop osicion es sim p ies. a) p a q

(V)

a) ~q(...)

d) q —» r (...) g ) r v p ( . . . )

b) p v q

(F)

p (...) q (...) p(...) q(...)

b) ~s(...)

e)r< /»p (...) h) - p a s (...)

c) r -» s

(F)

r(...)

s(...)

t (V) p (F) q (F) => r (V) A S ) (V) => p (.J

t(...)

c) p a s (...) f)s< r»q (...) i) *~p —>—r (...) 2. Dado el valor de verdad de la p ro p o sición compuesta, determina el valor

d) p e) r f)

(~ p

q (...) s (...)

33


1.5.4. Esquemas M oleculares La representación simbólica (formalizacíón) de las proposiciones compuestas mediante va riables preposicionales y conectivos lógicos se llama esquema molecular. El proceso de repre sentar una proposición compuesta mediante un esquema molecular se llama form alizacíón. Dado un esquema molecular representa una proposi ción compuesta, y como tal ésta tiene un valor de ver dad. Este valor de verdad depende de los valores de ver dad de las proposiciones atómicas vinculadas y los conectivos lógicos involucrados. O

Si p es (V) y q, es (F). ¿ Cuál es el valor de verdad de (~p-r*q)A'(q ->p)?

Lógicamente, si no se supiera el valor de verdad de las proposidoines atómicas involucradas, no siempre será posible determinar el valor veritativo del esquema molecular.

I o (~p V

q) F

2a (~ p PV

q)

Sin embargo, es posible analizar los posibles valores de verdad del esquema molecular para todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las variables involucradas. Esto es posible mediante una tabla de verdad. Cuando no hay presencia de signos colectores la jerar quía de los conectivos para hallar el valor de verdad es ___ el siguiente: A, V,

R esolu ción (q -» p) F V

a

(q

F

p) V

F 3o (~ p q) a (q -» p ) FV V F FV V 4o (~ p q) a (q p) FV V F V F V V El esquema, es (V)

@

Hallar la tabla de verdad del es quema: (p vq ) —t(q A p ) (p V q) -> (q a p ) V V . V F V F

Cuando hay signos colectores se determina primero el valor de verdad de los esquemas ubicados dentro de los signos colectores.

p V

q V

V

F

Hecha la tabla de verdad de un esquema molecular, ca ben tres posibilidades respecto a los valores de verdad obtenidos para el esquema, como se puede ver en las siguientes tablas:

F

V

V

F

F

F

F

F

V

F

Hallar la tabla de verdad de los siguientes esquemas moleculares. a )p -4 q ^ -p v q P q

p —> q

~P V

V V

V

F

V F F V

F V

F F

V

b) (p

c )p -> q < -> p v q

q) a p o q

(p -> q) a p

q

p q V V

V

V V

F F

F V V F F F V V V

V F F V

F

F V

V V V F

F

V V

F F

V V

F F F F

V V y F

F

q

p

q

p vq

p -> q

V V

V

V

V F F V F F

F V V

F V F

V V V F

34


T A U T O L O G IC O .- Un esquem a m olecular es tautológico si en el resultado final deja tabla de verdad, todos los valores son v e r d a d e r o s (^ ^ CONTRADICTORIO.- Un esquema molecular es con tradictorio, incontingente o inconsistente, si en el re sultado final de la tabla de verdad todos los valores son falsos. CONSISTENTE.- Un esquema molecular es con sis tente o contingente, si en el resultado final de la tabla de verdad hay valores falsos y verdaderos,

Esquemas equivalentes Dos esquemas son equivalentes si tienen el mismo resultado en su tabla de verdad. Por ejem plo, los esquem as ~(p a q) y ~p v ~q son equiva lentes. Compruébelo haciendo las tablas de verdad para cada uno.

[ Problema 2 ] Determina el valor veritativo de los siguientes esquemas molecular, sip = V ,q = F y r = V. a) (p v q) a r

~p a ~r

b)p->qArH -pvr

Resolución a) (p

~p a ~r

q)

b)

p

~P

® — (r>

Problemas 1. Dadas los variables proposicionales con sus respectivos valores de verdad determinar el valor de verdad de los subsiguientes esquemas moleculares: Sip - V, q = Vf r = F y s = F

a) (p —> r) a (q —>s) —>t

a)pA rnqvs

b) ((p

q) - » r

a

b) (p

p) v q - » s

c) ( p ^ s ) n ( q v r ) A ( s v r) d) (p v q —>r) <-> s v (p

a

r —>s)

B) FFVFF

a

~q —>q v ~t) a s <-» q v r

c) [(r v q) —» (q —>t) a s]

rv q

d) (p —» q)

t) —>r v t

a

(q —>s) a (s

e) ( r A S - > q v t ) A p 0 p v q

e) p v (q a r) -> (q a s) v r A) FFWF D) FFVFV

2. Sabiendo que el esquema p a q —>r es falso y el esquema ~(r v s —» t) es ver dadero, determina el valor de verdad de los sigu ien tes esquem as moleculares.

C) F F V W E) FFFFF

A ) VVVVV D) VVFFF

B) W F F V

C) V V W F E) VVFVF

Razonamiento Lógico — mwmmwm

i

i

i

ém m i ■ i ■

—

—

—

35

—

—

—

— — —

■ i n mi

■■

11

3. H allar la tabla de verdad de los si guientes esquem as m oleculares y cla sifica rlos. a) (p v q)

a

~p O q a ~p

b) ~[(p a q) v —p c) (p —> q) a p

q v —p) (q —> p) a q

A) Tautológico, contradictorio, contin gente, consistente, tautológico, contra dictorio B) Tautológico, contradictorio, contradic torio, tautológico, consistente C) Tautológico, consistente, contradicto rio, contingente, consistente. D) Todos son contingentes. E) Hay un solo esquema contradictorio

d) ( p v - p - ) q ) B q e) (p v q —> p) a —p —>p v q

1.5.5 Inferencias Habíamos dicho que el interés de la lógica es el estudio de las inferencias y que la lógica proposicional estudia las inferencias mediante las proposiciones, en consecuencia termina remos esta parte analizando las inferencias. Recordemos que una inferencia (razonamiento, argumento) consta de proposiciones llamadas premisas a partir de las cuales se deduce una proposición llamada conclusión que se deriva de las premisas siguiendo las reglas de la lógica.^) In feren cia o razonam iento. Si Milton estudia> triunfará Milton ha estudiado {.*. Milton ha triunfado Premisas Conclusión\inferencia

{

p- * q p

Validez y valor de verdad Lo primero que nos preguntamos es, ¿cómo podemos saber que la conclusión de una inferen cia está correctamente derivada de las premisas? Por ejemplo, de las premisas, “todos los huaneaínos son peruanos” y “Mario Vargas Llosa es peruano”, alguien podría concluir di ciendo, por lo tanto uMario Vargas Llosa es huancaíno”. A pesar de que las dos premisas son verdaderas, la conclusión es falsa, no se ha derivado correctamente de las premisas. En este caso se dice que la inferencia n o es válida. Los términos verd ad ero y falso se utilizan para calificar una proposición, mientras que un razonamiento es o bien válido, o bien no válido. No se debe decir Utu razonamiento es falso”, sino, “tu razonamiento no es v á lid o Tampoco se debe decir “tu afirmación es válida”, sino, “tu afirmación es verdadera”. M,ucho se escucha decir “tu argumento es falso”. El argu mento es un razonamiento, por lo tanto no puede ser falso, sino, no válido. Se acepta, “tu conclusión es falsa”, porque la conclusión es una proposición.

36


En fin, ¿cómo saber que un razonamiento es válido? Hay varias técnicas para determinar la validez de un razonamiento. Veremos tres de ellas: M ediante tablas de verdad, p o r re ducción al absurdo y m ediante esquem as tautológicos.

<3>

A. M ediante la tabla de verdad Se formaliza el razonamiento. Enseguida se halla la tabla de verdad del esquema. Si el esquema es tautológico, el razonamiento es válido, en caso contrario no es válido. <3>

Juan es abogado o ingeniero Juan no es abogado______ Por ¿o tanto es ingeniero Formalizando: p vq ~P •♦

B. P or redu cción al absurdo El esquema molecular de un razonamiento válido no admite en su tabla de verdad un resultado falso. Para determinar la validez basta comprobar si admite o no un resultado falso en la tabla de verdad. Por ejemplo: ¿Es válida la inferencia p a q —» q? Veamos si puede admitir un resultado falso: L° p

a

q

p

o

O O

2° p

a

q —» q

O O

©

o

3o p

a

q —> q

(p v q )

•©—

a

~p ->q

Hallando la tabla de verdad p q V V F F

® © ©>-

Para hallar la tabla de verdad escribimos en forma horizontal.

V F V F

(p v q)

a

~p

V V V F

F F V F

F V V F V F V V V V V F

q

El esquema es tautológico por lo tanto la inferencia es válida.

Para que el esquema sea falso, la variable q tendría que tener dos valores de verdad opues tos, esto es imposible. Por lo tanto, el esquema no admite un valor falso y en consecuencia la inferencia es válida. Veamos otro ejemplo: ¿Es válida la inferencia p v q —» q? Veamos si puede admitir un resultado falso: Io p v q

p

o

O o

o

2o p v q

O O

q

©

3o p v q

q

O ®

®

4o p v q -> q

© ® ®

i

©—

©-

©-

Se observa que para p = V y q = F el esquema admite un valor falso, por consiguiente jamás será tautológico. La inferencia n o es válida.

37

Razonamiento Lógico C. M ediante esquem as tautológico^

Hay inferencias cuyos esquemas moleculares han sido estudiados desde los tiempos de Aristóteles, inclusive llevan nombres específicos, de modo que si uno las reconoce, o demues tra que el esquema de una inferencia es equivalente a una de ellas, entonces se podrá determinar su validez. Estudiemos algunas de estas inferencias. Para ello vamos a valernos de la siguiente premisa: “ Si tom o veneno en ton ces m uero” : p —» q Consideremos que esto es cierto. Cualquiera sea el veneno la muerte es segura y no hay opción a salvar. La premisa propuesta se compone de dos proposiciones: “tomo veneno“ y “muero". Vamos a suponer que se cumple una de las proposiciones o no se cumple alguna de ellas. Según esto tenemos cuatro juegos de premisas: © S i tomo veneno entonces muero : p —>q Tomé veneno : p

©*Si tomo veneno entonces muero : p —» q He muerto :q

© S i tomo veneno entonces muero : p —>q No tomé veneno : ~p

© S i tomo veneno entonces muero : p —» q No he muerto : ~q

¿Qué pareja de premisas permite deducir una conclusión de modo que la inferencia sea válida? Veamos las conclusiones que mejor se adecúan a las premisas planteadas, lo cual no asegura que la inferencia sea válida: © S i tomo veneno entonces muero : p —» q Tomé veneno : p Muero

••q

(3)S i tomo veneno entonces muero : p —>q No tomé veneno : ~p No muero

-q

(2)Si tomo veneno entonces muero : p —» q He muerto : q Tomé veneno © S i tomo veneno entonces muero : p No he muerto : ~q No tomé veneno

Las inferencias (1) y (4) son indiscutiblemente válidas. La inferencia (2) no es válida, porque si bien he muerto, no necesariamente por efecto del veneno. La inferencia (3) tampoco es válida porque el hecho de no tomar veneno no garantiza que no muera, se puede morir por otra causa. La primera inferencia se denomina m odus pon en do ponens (afirmando afirmo) y la infe rencia (4) se llama m odus tollen do tollens (negando niego). La afirmación del antecedente afirma el consecuente y la negación del consecuente niega el antecedente. Las inferencias (2) y (3) se llaman falacias, que veremos más adelante.

38


Inferencias Notables A. Modus Ponendo Ponens

B. Modus Tollendo Tollens ((p —>q) a ~q > -p ]

((p —» q) a p —» q )

C. Silogismo Disyuntivo

D, Silogismo Hipotético

pv q ((p -» q) a (q -> r) - » (p -> r ))

( ( p v q ) A - p - > q )

,\p Comprueba mediante la tabla de verdad y mediante la reducción al absurdo que estas inferencias son válidas.

FALACIAS El razonamiento: uLunes es un día de la semana. Los días de la semana son 7. Por lo tanto, lunes es 7”, es una falacia. Las falacias o sofism as, son razonamientos aparentemente válidos, sin embargo, al ser sometidos a las reglas de la lógica no lo son: Mencionaremos algunas falacias. A. FALACIA DE ATINGENCIA Las premisas carecen de conección lógica con la conclusión. "Dios existe porque nadie ha demostrado lo contrario*

Con palitos de fósforo ¿Cuántospalitos de fósforo son necesarios para formar la fi gura de la posición 10 siguien do la secuencia mostrada?

“Según la teoría de la relatividad, todo es relativo” B. FALACIA DE AFIRMACION DEL CONSECUENTE La inferencia (2) de la página 37: [ (p —» q) a q —> p~] C. FALACIA DE NEGACION DEL ANTECEDENTE La inferencia (3) de la página 37 : [ (p - » q) a ~p —» - q ) D. FALACIA DEL ESQUEMA DE CADENA FALSA “Si estoy apurado paso por debajo de la escalera” “Si estoy apurado puedo sufrir accidentes” “Si sufro accidentes entonces tengo mala suerte” “Por lo tanto, pasar por debajo de la escalera trae mala suerte\

A) 200 D) 300

B) 220

C) 240 E) 320

39


1.6. Lógica de Ciases La lógica proposicional no se interesa por el significado de las proposiciones, solamente exige que tenga un valor de verdad. La lógica de clases o lógica predicativa, intenta hacer un análisis interno de las proposicio nes para determinar la validez de los razonamientos. Para ello vamos a dar el concepto de clase.

1.6.1. Clase y proposición categórica La clase es una agrupación de elementos con alguna característica común. Por ejemplo: La clase de los mamíferos, la clase de los estudiantes, etc. Dado dos clases, los elementos de una de ellas pueden estar o no, parcial o totalmente en la otra clase. Para expresar tales situaciones se utilizan proposiciones llamadas categóricas.

1.6.2. C lasificación de las proposiciones categóricas y representación gráfica A. Según su cantidad 1. Universales: Todos los elementos de la clase sujeto son elemento de la clase predicado.

Todo poeta es escritor

2. Particulares: Algunos elementos de la clase sujeto son elementos de la clase predicado. B. Según su cantidad 1. Afirm ativos: Son aquellos en las que se afirma una relación

Algún político es honesto

2. Negativas: Son aquellas en las que se niega una rela ción. Combinando la clasificación hecha arriba resultan los siguientes tipos de proposiciones categóricas. A. Universal afirmativa:

B. Universal negativa

Todo mamífero es vertebrado

Ningún humano es ovíparo

•\^tebra^Qa míf

Humano

Ovíparo

40


C. Particular afirm ativa

D. Particular Negativa

Algún matemático es profesor

Algún científico no es religioso

1.6.3. Negación de las proposiciones categóricas ¿Cuál es la negación de la proposición “Todas las aves vuelan? Recuerda que negar una proposición es cambiar su valor de verdad, si es verdadera su negación es falsa, y si es falsa su negación es verdadera. Si la proposición uTodas las aves vuelan” fuera verdadera, ¿Cuándo se convertiría en falsa? ¿Sería necesario que ningún ave vuele? ¿No sería suficiente hallar un ave que no vuele? En efecto, bastaría encontrar un ave que no vuele para que aquella proposición sea falsa. Por lo tanto su negación es “algún ave no vuela”. Proposición categórica

Negación de la proposición categórica

Todo humano es racional

Algún humano no es racional

Ningún humano es racional Algún humano es racional Algún humano es racional

Todo humano no es racional

Algún humano no es racional Todo humano es racional

La negación de una proposi ción universal afirmativa es una proposición particular negativa. La negación de una proposición universal negati va es una proposición parti cular afirmativa y viceversa

[Problema 1 ] La formalización correcta de la proposi ción: “Los niños son inocentes e inteli gentes. No es cierto que, ellos no tengan padres o vayan a la escuela" es: A)

(p A q )

a

(~ r v s )

B) (p vq)

a

~(r vs)

C) (p a q) a ~(r vs) D) (p a q) v ~(~r v s) E) (p a q)

a

~ (-r v s)

R esolución Para formalizar el enunciado verbal de una proposición, podríamos seguir los siguientes pasos. I o D etectar con ectores e :a

Punto : a

no: -

:v

No es cierto que : -


41

2* Sustituir p or una variable cada proposición sim ple p : los niños son inocentes q : los niños son intelegentes r : los niños tienen padres s : los niños van a la escuela 3* Enlazar ordenadam ente las p rop osi ciones m ediante los con ectores, según la estructura d el en u n cia d o (p a q) a ~(~r v s) ( Rpta,: E )

Una vez llegado aquí no hay forma de determinar el valor de verdad de p, ni de q, entonces en (p <-> q) vamos a suponer que p es (V), entonces q es (F). Trasladamos el valor de p = V a p —> q, entonces q = V para que (p —>q) sea V. Entonces, el esquema resultaría:

[ Problema 2 ]

q) a (q

p )-+ (p «-► q)

Determinar la validez de la siguiente in ferencia: “Si llueve la carga llegará majada y ai la carga llega majada es que ha llovido. Por lo tanto la carga llegará mojada ai, y aolo ai ha llovido.

Evaluando la validez:

En el mismo esquema, q no puede tener valo res de verdad opuestos. Por lo tanto el esque ma jamás tendrá un valor falso en su tabla de verdad. Todos los valores serán verdade ros, en consecuencia, es un esquem a tau tológico y la inferen cia es válida.

A- P or tabla de verdad

C. P or in feren cia notables

Resolución Formalizando la inferencia. (p -> q) A (q

V F V F

(p ir> q)

q) a (q -V p)

P q (p V V F F

p)

V F V V

V F F V

V V F V

( p «-» q) V V V V

V F F V

(p q) es una bicondicional que equivale a (p —>q) a (q —>p), por lo tanto es una inferencia válida.

[ Problema 3 j

El esquema de la inferencia es tautólogico, por consiguiente, es válida.

Evaluar cada una de loa siguientes inferencias e indicar cuáles son váli das,

B. P or redu cción al absurdo

1) Si un alumno es estudioso, llega a ser pro fesional. Por lo tanto todos los profesiona les han sido alumnos estudiosos.

Suponiendo que el esquema es falso:

2) Si solea en la mañana, en la tarde hace

42


viento. Hoy día en la tarde no ha hecho vien to, por lo tanto no ha soleado en la mañana. 3) Si una persona es amable entonces es ca ritativa y las que son caritativas, tienen muchos amigos. Carmen tiene muchos ami gos, entonces ella es amable. _

_

§

4) Si Susana no contesta la llamada, enton ces ha salido de casa o se quedó dormida. Pero ella no sale de casa a esta hora, enton ces se ha quedado dormida.

[Problema 4 ] Evaluar la siguiente inferencia: Ningún pájaroy excepto los pavos realesy se pavonea de su cola. Algunos pájaros que se pavonean de sus colas no saben cantar. Por lo tanto, algunos pavos reales no saben cantar. #

R esolución “Ningún pájaro, excepto los pavos reales” indica que los pavos reales son pájaros.

Resolución 1) (p —» q) —» (q —» p) 2) (p

q)

a

-q

~p

(No válido) Válido (MTT)

3) (p —>q) a (q —» r) a r —» p

(No válido)

4) [~p —>(q v r)]

(No válido)

a

—q —>r

“Los pavos reales se pavonean de sus colas” “Algunos pájaros que se pavonean de sus colas” se refieren a los pa vos reales. /

/

A

l

4

•

4

Por lo tanto, algunos pavos reales no saben cantar. La inferencia es válida

Problemas 1. ¿Cuáles de las siguientes inferencias son válidas

B) Los pájaros nó son chanchos, enton ces vuelan.

1 )p A q -»q v p 2) (p

q)

a

A) Porky tiene cola entonces es un chan cho.

(q - » p) -> p v q

3) (p —> q) a (r —4 s) a (q —>r) —>(p —>r)

C) Los animales que no tienen cola vue lan

4) (p v -q)

D) Ningún chancho tiene cola.

A) (1) y (2) D) Todas

a

q -4 p B) Sólo (4)

C) (1) y (4) E) Ninguna

2. Los chanchos son animales que vue lan. Ningún animal que vuela tiene cola. La conclusión es:

E) Es posible que los chanchos vuelen. 3, Algunos arequipeños son profesores. Todos los profesores son inteligentes. ¿ Cuál es la conclusión? A) Todos los arequipeños son inteligen tes.

43

Razonamiento Lógico B) Algunos arequipeños son inteligentes.

A ) Si voy a la playa, salió Sol.

C) Algunos arequipeños no son inteligen tes.

B) Si no sale el Sol, no voy a la playa.

D) Mariano es arequipeño, entonces es inteligente. E) Ramiro es profesor entonces es arequi peño. 4. La conclusión de las premisas; Nin> guno de los que van a la playa estu dia Todos los que estudian ingresan Algunos de los que ingresan corren tabla; es:

C) Si no voy a la playa, no salió el Sol. D) Si sale el Sol, no voy a la playa. E) Más de una es correcta. 7. Hallar la negación de las siguientes afirmaciones: “Todos los patos vuelan” A) Algunos patos vuelan. B) Ningún pato vuela.

A) Todos los que ingresan estudian.

C) Algunos patos no vuelan.

B) Algunos de los que ingresan van a la playa.

D) Ningún pato no vuelan.

C) Algunos de los que estudian corren tabla. D) Algunos de los que ingresan no estu dian. E) Los que corren tabla van a la playa. 5. Ningún mortal vive mil años. Todos los hombres son mortales.

E) Por lo menos un pato vuela. 8. La negación de la proposición cate górica “Ningún economista es conta dornes: A ) Algún economista es contador.

B) Algún economista no es contador. C) Todos los economistas son contado res.

La conclusión de estas premisas es:

D) Ningún contador es economista.

A) Si Sócrates es mortal, Sócrates es hombre.

E) Todos los economistas no son conta dores.

B) Si Sócrates vivió mil años, no fue hom bre. C) Si Sócrates no fue hombre, vivió mil años.

9. “Ningún perro no odia a los gatos99 A ) Todos los perros odian a los gatos.

B) Algunos perros odian a los gatos. C) Ningún gato odia a los perros.

D) Si Sócrates es inmortal, vivirá mil años.

D) Todos los perros no odian a los gatos.

E) Todas son correctas.

E) Algunos perros no odian a los gatos

6. Si sale el Sol, voy a la playa Esta pre misa se hace una afirmación válida con:

44


PARADOJAS En la lógica proposicional, una oración es considerada una proposición, si es posible calificarla de falsa o ver dadera. Además, si una proposición es verdadera, su negación es falsa y viceversa. Sin embargo hay ciertas proposiciones que no obedecen la última regla; por ejem plo, “esta proposición tiene seis palabrasnf la cual es falsa. Su negación sería, “esta proposición no tie ne seis palabras” la cual también es falsa. De manera que hemos descubierto una proposición falsa cuya nega ción también es falsa. Esto es una con tra d icción a las reglas estudiadas. En el transcurso del desarrollo de la ciencia, en particu lar de la matemática, el hombre siempre ha sido de la tendencia de construir “reglas” o “leyes” perfectas, que pudieran ser aplicables infaliblemente a todo cuanto sea de su alcance, pero toda regla o sistemas de reglas han llegado a un punto en el cual aparecen “contradic ciones” como la citada. Estas contradicciones se llaman paradojas. Las paradojas han marcado etapas importantes en la historia de la matemática. Al presentarse como situa ciones “inesperadas” en la aplicación de ciertos siste mas matemáticos, han permitido que éstas se “esfuer cen” por resolver las contradicciones, ya sea mejorando el sistema en cuestión o dando lugar a nuevos sistemas matemáticos. Otro ejemplo de una paradoja es la proposición “tod o lo que digo es m entira” . Total, ¿es verdad o m enti ra?. Aceptemos que es verdad “todo lo que digo es men tira”, en consecuencia lo que acabo de decir, también debe ser mentira, es decir, “Todo lo que digo es mentira” debe ser mentira, o sea falso. Esta conclusión contradice a la premisa de la cual partimos. Podemos continuar analizando esta paradoja en la forma como lo estamos haciendo, pero entraremos a un círculo en el que en una vuelta la misma proposición resulta verdadera y en la otra, falsa. * Otras paradojas dignas de mencionar, son: la paradoja del puente, que trata de un diablo adueñado de un puen te que deja pasar sólo todo aquel que sea capaz de res ponderle correctamente a la pregunta que él hiciera y era ahorcado si la respuesta fuera equivocada. Un día se presentó un hombre queriendo pasar por el puente, el diablo le preguntó - ¿Adónde vas? - el hombre respon-

Torre de cajas Con el fin de figurar en el libro de Gines, los jóvenes del colegio “Tío Tom* han formado una torre de cajas, como la de la ilustración. En el momento de la inscripción, el representante del colegio no re cuerda cuántas cajas habían uti lizado; sólo recuerda que en la base habían 200 cajas. Por favor ayú dale, sinot no podrán inscribirse en el libro de Gines

»

1 m

• •

4

• t •

1 2 3

I J ü 197 198 199

Carrera de caballo Dos jinetes deben competir, pero con la condición de que el ganador será el dueño del caballo que lle gue en segundo lugar. ¿Qué deben hacer para que exista un ganador?

45

Razonamiento Lógico dió- voy a ser ahorcado. ¿Qué debe hacer el diablo?. La Paradoja de Russell: “el conjunto de los conjuntos que no están incluidos en sí mismos, ¿está incluido en sí mismo?”. Aquí hay algunas otras “Toda regla tiene su excepción”. “Un político afirma que todos los políticos son mentiro sos”, ¿se le puede creer lo que dice? “Nunca digo la verdad”. Una paradoja matemática bastante conocida es: x = 2-2 +2-2

+2

¿Qué valor tiene x? - Si la cantidad de sumandos 2 fuera par: x = ( 2 - 2 ) + ( 2 - 2 ) + ( 2 - 2 ) + ... = 0 + 0 + 0 + ... x=0 x

El valor de x resulta cero. Luego x - 0 - Si la cantidad de sumandos fuera impar, tras elimi narse las parejas tal como en el caso anterior, quedaría un 2, el cual sería el valor de x. Luego : x = 2 - Puesto que son infinitos términos, no podemos hablar de un número par o impar de sumandos, en consecuen cia busquemos una solución general: x = 2 - 2 + 2 - 2 +...°°

x = 2 - ( 2 - 2 + 2 - 2 + . . . oo) >

-

X

x = 2 2x = 2

- x

x = 1 ¿Cuál de las soluciones es la correcta? Tal vez la solu ción matemáticamente coherente sea la última, pero cómo es que al operar 2 —2 + 2 —2 + 2 —... indefinidamente obtenga 1? Muchas de las paradojas, aún no se han resuelto satis factoriamente. La búsqueda de la solución o explicación a las paradojas, ha dado lugar al descubrimiento de nuevos sistemas matemáticos.

El rescate de la princesa En el extremo de un gran labe rinto, en una habitación signada con la letra B, se encuentra la princesa K-Tita. Si el laberinto fuera como 1 estando el príncipe en la habitación A, bastaría atra vesar 3 puertas para llegar has ta la princesa. Si fuera como 2, tendría que cruzar 8 puertas; etc. Dibujando los laberintos, si guiendo la secuencia mostrada, el que alberga a la prisionera es taría en la posición 50. Estando en la habitación A ¿cuántas puertas tendrá que\ atravesar el príncipe para lle gar a la princesa K-Tita y res catarla antes de que las ratas den cuenta de ella?

46


Problemas Resueltos R esolución

[Problema 1 ¿Quién pesa más? Hugo Tito C oco Nole

: Yo peso más que Note : Yo peso menos que Chito : Yo peso 1 kg más que Chito : Tito pesa más que Hugo

Resolución ® H> N;

© CH > T;

© C>CH;

® T>H

Ordenando: C > CH > T > H > N

© ® ®

(R p t a C oco)

[Problema 2 J Aparte de los tres segmentos que se mues tran^ ¿cuántos segmentos adicionales de bemos trazar mínimamente para obtener 19 segmentos en total? Resolución Figura 1

# de segm entos 1

.1+2

3

1 +1 4^

6

1+2,3,4

10

o

—

<-10 segmentos

3+3+3 = 9 segmentos

Posición

# Puntos

1

2

2

6

3 4

12 20

•

•

•

»

«

•

¿Qué relación hay en tre los números de la primera columna y los de la segunda? ¿Qué relación hay entre 2 y 1; 6 y 2; 12 y 3, etc.? Vemos que 2 es doble de 1, pero 6 no lo es de 2. Seis es triple de 2.

Entonces, sospechamos que la secuencia, po dría ser: 2 es d ob le de 1; 6 es triple de 2; por consiguiente 12 debe ser cu ádruplo de 3. Y lo es. Descubierta la regla Posición # P untos que vincula los núme 1 2 = 1x2 ros de ambas colum 2 6 = 2x3 nas, estamos en la ca pacidad de enunciar 3 12 = 3x4 una “ley”: uConociendo el número que indica la 500x501 posición, el número de 500 puntos que hay en ella, = 250500 se obtiene multiplican do el número por su consecutivo. [Rpta.: 250 5Ó0 ) •

•

»

■

•

•

Problema 4 En la figura (T)hay 210 triángulos ¿Cuán tos cuadriláteros hay en la figura ® ?

Trazando un solo segmento adicional hemos conseguido un total de 19 segmentos.

0

( Rpta,: 1 ) R esolución

[ Problema 3 ] ¿Cuántos puntos hay en la posición 500 de la siguiente secuencia?

(1)

n

••••

••••••

•• •••• •••••• ••••••••

(2)

(3)

(4)

•

«

Figura 1

#Triángulos

A

i

47

Razonamiento Logico Figura 1

# R ectángulos 200 números =100 parejas

+ 20Q 201

T

201

.

201

La obtención del número de cuadriláteros, es equivalente al de los triángulos. Por tanto, en la figura (2) hay también 210 cuadriláte ros. [ Rpta: 210 ) Saludo de 2 amigos

( Problema 5 j

A B Dos amigos se salu dan con un apretón de Saludo de 3 amigos manos. Tres amigos A se saludan con 3 apre tones de mano, 4 ami gos con 6 apretones Saludo de 4 amigos de mano ¿Con cuán tos apretones de mano se saludan 201 amigos?

.

S = 100x201 = 20100 Í R p t a 20 100

[ Problema 6 ) ¿Qué parentesco tiene conmigo, la her mana del hijo de la hermana del hijo de mi abuela? R esolución Hermana del hijo de la hermana del h y o de mi abuela

mi tío o mi padre

mi tía Z D

mi pnma

(fipífl.: Mi prima J

Las figuras describen cualitativamente algunos eventos, pero tienen sus limitaciones. Para trascender estas limitaciones, entran a tallar los números. De las observaciones cualitativas, debemos ser capaces de sacar conclusiones cuantitativas. # de saludos

1

0

2

1= 1

3 4 5 •

3= 1+2 6= 1+2+3 10 = 1+ 2 + 3 + 4 •

w •

201

------------

i pnmo

Resolución

# Personas

100 veces

•

S = l + 2 + 3 + ... + 200

f Problema 71 V, T En una reunión familiar, están presen tes: 1 abuelo, 1 abuela, 3 padres, 3 ma dres, una nuera, 1 yerno, 4 hermanos, 2 hermanas, 3 nietos, 1 nieta, 3 primos y 1 prima. Mínimamente, ¿cuántas personas están reunidas? R esolución Para resolver este tipo de problemas, es pre ciso tener en cuenta, que un mismo miembro de la familia tiene distintos tipos de paren tesco con los miembros restantes.

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Razonamiento Matemático ABUELO

ABUELA

NUERA PADRE

MADRE YERNO

(madre)

(hya.H n a.) (padre)

NIETO

(hyo, H no.)

NIETO

(hnos., primos)

NIETO

NIETA

(hno., primoXhna., prima)

(.Rptcu: 10 personas )

[Problema 8 ] En cierta asociación cada miembro era aliancista o de la U. Un día uno d e l a U se hizo aliancista, y después de que esto hubiera sucedido, había el mismo núme ro de miembros aliancistas que los de la U. Sem anas más tarde el nuevo aliancista decidió volverse hincha de la U otra vez, y así las cosas volvieron a la normalidad. Entonces otro aliancista decidió hacerse de la U, punto en el cual había el doble d ela U que de aliancistas. ¿Cuántos miembros tenía la asociticiónf Resolución • De dos grupos, uno con más miembros que el otro, cuando un miembro se pasa del grupo mayor al menor, la diferencia entre el núme ro de miembros disminuye en 2, cuando el pase es inverso, la diferencia aumenta en 2. • Tras el primer cambio, la diferencia se re duce a cero. Se deduce entonces que los de la U tienen 2 m iem bros más que los aliancistas. Tras el pase del aliancista al grupo de la U, la diferencia debió incrementarse a 4. Ahora los miembros de la U para satisfacer la últi ma condición son dos veces esta diferencia, o sea ocho y los aliancistas que quedan, cua tro.

[Problema 9 j Una de las chicas: Ana, Karen o Ivón tie ne ojos negros, las otras dos tienen ojos verdes. Las chicas de ojos verdes siempre mienten, en cambio la de los ojos negros siempre dicen la verdad. Estando las chicas con los ojos venda dos; Marcos debe determinar el color de ojos de cada una, haciendo tres pregun tas. Marcos: ¿De qué color son tus ojos Ana?-Ana le contesta en Alemán, idioma que no conoce Marcos. M arcos: Karen ¿qué dijo Ana ? Karen: dijo que tiene los ojos verdes M arcos: Ivón, ¿es cierto lo que dijo Karen? Ivón: Karen ha dicho la verdad ¿Puedes ayudar a Marcos? R esolución pregunta: ojos Si tiene ojos negros (dice la verdad ) Respuesta Si tiene ojos verdes (siempre miente)

Negros Negros

• Se deduce que Ana dijo “negros”, entonces Karen miente (tiene ojos verdes). Ivón res palda la mentira de Karen, en consecuencia tiene ojos verdes. La única de ojos negros, entonces es Ana.

^Problema 10l Un periodista, no con buenas intencio nes ha publicado los siguientes datos, intercambiando los datos fidedignos

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Razonamiento Lógico MARZO A B R IL MAYO

Inflación (%)

2,5

1,1

1,0

Dólar (SA) Pasaje Urbano

6,2

5,2 2,6

1,0 3,0

2,5

dice la verdad. Tienes la opción de hacer una sola pregunta a uno de ellos” Tras unos minutos de titubeo, el reo preguntó al guardia N:

Menos mal que hemos podido obtener algu nas informaciones reales, con los cuales te pedimos “arreglar” el cuadro anterior: 1. La inflación nunca bajó a menos del 3% y fue siempre ascendente 2. El pasaje en Abril fue mayor que en Mar zo 3. El dólar descendió en Mayo respecto a Abril. 4. El dólar siempre se mantuvo por encima de 2 soles. Resolución - Según (1), inflación: 3,0; 5,2 y 6,2 (en este orden) - Según (4) y (3), dólar: 2,5; 2,6 y 2,5 en este orden) - Por consiguiente y (2), pasaje urbano: 1,0; 1,1 y 1,0 (en este orden) Resumen: MARZO A B R IL MAYO

Inflación (%)

3,0

5,2

6,2

Dólar (S/.)

2,5 1,0

2,6

2,5

1,1

1,0

Pasaje Urb. (S/.)

( Problema 11 ] M uerte o libertad Un preso condenado a la pena de muerte, tiene una oportunidad de salvar su vida, si es capaz de resolver el siguiente pro blema. El Juez, mostrándole dos puertas, cada una cuidada por un guardia, le dijo: tíUna de estas puertas conduce a la liber tad y la otra a la silla eléctrica; los guar dias las conocen, solo que uno de ellos siempre miente y el otro guardia siempre

- Si le preguntó al guardia Mt cuál de las puer tas conduce a la libertad, ¿qué me responderá? - Te dirá que la puerta B —respondió el custo dio. Luego de oír la respuesta, el preso se enca minó con toda seguridad hacia la “puerta de la vida”y salió libre. ¿Por cuál de las puertas salió? R esolu ción Sea veraz o mentiroso, la puerta señalada como de la libertad es la que conduce a la silla eléctrica. Por lo tanto salió por la puer ta A. La respuesta opuesta a la realidad, se debe a que el mentiroso modifica el sentido de la respuesta sea al dar la respuesta o al modificar la respuesta del veraz.

[ Problema 12] La m uestra de artes y oficio s En la muestra anual de artes y oficios, seis expositores, cin co mujeres y un hom bre, entre los cuales se incluye un sopla dor de vidrio, exhiben sus obras en sus puestos respectivos. Al terminar la expo sición, intentan entre ellos una serie de intercambios amistosos. Basándose en las pistas siguientes, ¿serías capaz de averiguar cuál es el arte que practica cada uno, quién hizo algún intercambio y con quién lo hizo? 1. Julia intentó hacer trato con Laura y un trato con la persona que teje y acabó por ponerse de acuerdo con una de ellas.


50 2. Pedro no es ceramista. 3. Marta no hace patchwork. 4. Isa no es escultora en madera ni tejedora. 5. Según los acuerdos finales, la ceramista intercambió dos de sus piezas, cada una con una persona diferente; cuatro de los seis expositores —Julia, Isa, la persona que hace joyas y la mejor que hace patchwork —intervinieron en un inter cambio, y Olivia no intervino en ningu no. (Nota: Esta pista menciona a los seis expositores) (Virginia C. Me Carthy) Resolución Sabemos por la pista 5 que las seis personas son: la que se dedica a la cerámica, Julia, Isa, la persona que hace joyas, la mujer que hace patchwork y Olivia. Pedro no es cera mista (pista 2), ni puede ser la mujer que hace patchwork, por lo tanto, es el que hace joyas. Marta no hace patchwork (pista 3), luego es la ceramista y, por eliminación, es Laura la que hace patchwork. Ni Julia (pista 1), ni Isa (pista 4) son tejedoras; por consi guiente, la tejedora es Olivia. Isa no talla madera (pista 4); la talla Julia, e Isa trabaja el cristal. El intercambio de tejidos de Julia no tuvo lugar con Olivia, que no hizo ningún intercambio (pista 5). Tuvo lugar con Laura (pista 1). Según la pista 5, Marta hizo dos intercambios, uno con Isa y otro con Pedro. En resumen: J u lia (madera) intercambió con L au ra (patchwork). Marta (cerámica) intercambió con P edro (joyas) y con Isa (vidrio). Olivia (telar) no intercambió con nadie.

[Problema 13] Cinco niños, todos de edades distintas, comprendidas entre los tres y los siete años, viven en la misma casa de la calle del Olmo. Partiendo de las pistas siguientes, ¿podría encontrar los nombres

completos y las edades de los cincos ni ños? 1. Todos los sábados por la tarde, la señora Parga se va a trabajar y deja a sus hijos con la señora Ribas, cuya hija es más joven que los niños de la señora Parga. 2. Tina es mayor que Luis y más joven que el niño (o la niña) cuyo apellido es Pía. 3. La niña apellidada Torres es de dos años mayor que Lisa. 4. La madre de Rita, que a veces se queda en casa los sábados por la tarde, se encarga de vez en cuando de Toni mientras que la madre de éste sale de compras. Nota: Fíjese en que, según la pista 1, hay dos niños apellidados Parga. Por lo tan to, la columna de Parga ha de llevar dos puntos para indicar los nombres de pila de los hermanos. (Virginia C. Me Carthy) R esolución De acuerdo con la pista 1, la señora Parga, que tiene más de un hijo, trabaja todos los sábados por la tarde, mientras que la señora Ribas, que tiene una hija, siempre se queda en casa ese día por la tarde. La pista 4 des cribe a las otras dos mujeres, la madre de Rita, que a veces se queda en casa los sába dos por la tarde (y que, por lo tanto no puede ser ni la señora Parga ni la señora Ribas), y la madre de Toni, que a veces sale de com pras los sábados por la tarde (y que, por el mismo motivo que el anterior, tampoco pue de ser ni la señora Parga ni la señora Ribas). Puesto que hay cinco niños en la casa, la se ñora Parga ha de tener dos hijos, y las otras tres madres uno cada una, esto es, los cinco niños son: Los dos que se apellidan Parga, la niña que se apellida Ribas, Rita y Toni. El apellido de Toni no es Torres, puesto que la señora Torres tiene una hija (pista 3) de modo que Toni se apellida Pía, y Rita se apellida Torres. Se nos ha dicho que todos los niños tienen edades distintas, comprendidas en tre los tres y siete años. El que tiene tres

51

Razonamiento Lógico años no es ni uno de los hijos de la señora Parga (pista 1), ni Toni Pía (pista 2), ni Rita Torres (pista 3). Así que tiene que ser la niña apellidada Ribas, que no se llama Tina (pis ta 2) y que, por consiguiente se llama Lisa. Rita Torres es, pues, la que tiene cinco años (pista 3). Y según la pista 2, Toni Pía, Tina y Luis, han de tener respectivamente siete, seis y cuatro años. Tina y Luis, por eliminación, son los hermanos Gray. Resum iendo: Toni Pía, siete años. Tina Parga, seis años. Rita Torres, cinco años. Luis Parga, cuatro años. Lisa Ribas, tres años.

(Problema 14^ La carrera de caballos En la primera carrera de la temporada intervinieron diez jin etes, incluidos Amelia Coll y Armando. Basándose en las pistas siguientes, ¿podría determinar el nombre completo de todos los jinetes, el caballo que montó cada uno (uno se lla ma Estrellita) y el puesto que consiguie ron en la carrera? 1. Los que acabaron del primero al quinto puesto fueron, respectivamente: Roura, que montaba a Afortunado, Saenz, Elisa, Prol y Cortés. 2. El caballo de Lamas (que no era Flecha Roja) acabó en último lugar, un morro detrás que Esperanza Mía. 3. Gonzáles acabó cinco puestos por delante que Soledad. 4. Aldebarán llegó dos puestos detrás del caballo de Salvador y dos puestos delan te del caballo montando por el señor Nue vo. 5. Pablo y Jacinto montaron a Flecha Roja y Sibarita, aunque no forzosamente en este orden; Pablo acabo la carrera delan

te de Jacinto. 6. Príncipe Negro, el caballo de Eloy, Zapaquilda y el caballo de Larra acaba ron consecutivamente, en el orden dado. 7. El caballo de Joaquín acabó directamente delante de Buen Chico, que acabó dos puestos delante del caballo montado por Ramiro. 8. El caballo del señor Conde acabó delante de Soberbia. (Cheryl Me Laughlin) R esolución Según las pistas 1 y 2, Roura montó a Afor tunado y llegó primero, Saenz fue el segundo, Elisa la tercera, Prol el cuarto, Cortés el quin to, Esperanza Mía el noveno y Lamas el déci mo. Según la clave 3, Gonzáles tuvo que es tar entre los cinco primeros y ha de ser, por lo tanto, Elisa, mientras que soledad se clasifi có octava. Los tres caballos a que se refiere la pista 4 no puede haberse clasificado pri mero, tercero y quinto, puesto que Cortés se clasificó quinto. Tam poco pudieron clasificarse tercero, quinto y séptimo, puesto que Elisa se clasificó la tercera; ni cuarto, sexto y octavo, puesto que Soledad se clasifi có octava; ni sexto, octavo y décimo, puesto que Lamas se clasificó décimo. Si se hubiera clasificado quinto, séptimo y noveno, eso sig nificaría que el señor Conde (mencionado en la pista 8) y Amelia Coll (mencionada en el planteamiento) fueron el sexto y el séptimo (sin ningún orden determinado). El apellido de Soledad sería entonces Larra (por elimi nación) y se habría clasificado inmediata mente detrás de Aldebarán. Pero esto con tradice la pista 6, de forma que los caballos de la pista 4 tuvieron que llegar el segundo, el cuarto y sexto. Por consiguiente, Salvador es Saenz, Prol montó a Aldebarán, y Nuevo terminó el sexto. Amelia Coll acabó la sépti ma o la novena, lo mismo que el señor Conde, luego el apellido de Soledad es Larra. Enton ces, según la pista 6, Nuevo montó a Príncipe Negro y Zapaquilda, montada por Eloy, llegó en séptimo lugar. Eloy tiene que ser el señor

52


Conde, mientras que Amelia Coll montó a Esperanza Mía. Según la pista 7, la única posibilidad es que Joaquín fuese el primero, Buen Chico fuese el segundo y Ramiro termi nase en cuarto lugar. Según la pista 5, Pablo tuvo que terminar el quinto y Jacinto el déci mo. Jacinto Lamas montó a Sibarita, mien tras que Pablo montó a Flecha Roja (pista 2). Por eliminación, el jinete de Príncipe Ne gro fue Armando. Soberbia acabó en octavo lugar (pista 8) y Elisa Gonzáles, por elimina ción, montó a Estrellita.

2. La sección de economía aparece tres veces por semana, la de tráfico únicamente el miércoles, y cada uno de los otros temas, dos veces por semana.

En resumen:

5. Las noticias de sociedad y de teatro no aparecen en el mismo periódico. (Evelyn B. Rosenthal)

I o Joaquín Roura, Afortunado. 2o Salvador Saenz, Buen Chico. 3o Elisa Conzáles, Estrellita. 4o Ramiro Prol, Aldebarán. 5o Pablo Cortés, Flecha Roja. 6o Armando Nuevo, Príncipe Negro. 7o Eloy Conde, Zapaquilda. 8o Soledad Larra, Soberbia. 9° Amelia Coll, Esperanza Mía. 10° Jacinto Lamas, Sibarita.

f Problema 15^ Las tres publicaciones diarias de la ciu dad, que aparecen de lunes a sábado, tie nen dos secciones especiales que se in cluyen sólo en ciertos días. Ninguno de los periódicos tienen las mismas seccio nes especiales. Cada uno de ellos presen ta uno o ambas de su secciones en tres días determinados, mientras que los otros tres se limitan a publicar las sec ciones corrientes. A partir de las pistas siguientes, ¿podría encontrar los temas especiales publicados por cada periódi co (uno es El Imparcial) y los días en que aparece cada tema? 1. El martes, sólo El Nacional, que incluye una sección sobre alimentación, publica algo más que las secciones habituales.

3. Todos los días se publica un par de temas distinto; por ejemplo, el teatro y la músi ca se publican el sábado, aunque en pe riódicos distintos. 4. El Liberal publica secciones especiales, además de las habituales, el lunes, eljue ves y el sábado, y es el único periódico en que ocurre así el jueves.

R esolución Hay precisamente dos secciones especiales que aparecen cada día (pista 3). El martes, El Nacional publica noticias sobre alimen tación y su segundo tema especial, puesto que ningún otro periódico publica una sec ción especial en ese día (pista 1). Los días en que El Liberal publica secciones especiales son el lunes, jueves y el sábado y, teniendo en cuenta que ninguno de los otros dos periódi cos tiene una sección especial el jueves (pis ta 4), las dos secciones especiales de El Libe ral aparecen ese día. Dado que las noticias de economía se publican tres veces por se mana (pista 2), pero no el sábado (pista 3), la economía no es uno de los temas de El Liberal. Tampoco lo es del tráfico (pista 2). Por lo tanto, El Liberal tiene que publicar una sección sobre música o teatro el sábado, publicando la otra un periódico distinto (pis ta 3), y su segundo tema especial tiene que ser las noticias de sociedad. Su sección del sábado es, por consiguiente, la música (pista 5), publica ambas secciones el jueves y, te niendo en cuenta que ambos temas se publi can dos veces por semana (pista 2), publica también las noticias de sociedad el lunes. Si el segundo tema especial de El Nacional fue ra la economía -es decir, si publicase las no ticias sobre alimentación y sobre economía el martes- y teniendo en cuenta que la sec-


53

ción de alimentación se publica dos veces a la semana y la de economía tres veces (pista 2), habría un segundo día en que se publicasen a la vez las secciones de alimentación y econo mía, contradiciendo la pista 3. En consecuencia El Imparcial publica noticias sobre economía el lunes, el miércoles y el viernes, y es El Nacional el que publica la sección de teatro el sábado (y también el martes). La única sección sobre tráfico que se publica el miércoles {pista 2) tiene que aparecer en El Imparcial. La segunda sección especial que se publica el viernes ha de ser las noticias sobre alimentación, publicadas en El Nacional. En resum en:

Lunes

El Im parcial

El Liberal

Economía

Sociedad

El N acional Alimentación, teatro

Martes M iércoles Jueves Viernes

Economía, Viajes Música, sociedad Economía

* »

Teatro

Música

Sábado

Alimentación

[Problema 16 j Lucho tiene 18 años. Vidal n a ció 2 años después de Isabel y 4 años antes que P epe. Si Lucho es m ayor que C arlos en 2 años y m enor que Vidal en 1 año. H allar la edad de cada uno. Resolución Para ordenar la información, es suficiente disponer los datos con la ayuda de un es quema, que inicialmente pueden ser esque mas separados para cada premisa y luego ir acoplando según se va deduciendo las con I clusiones. 7 • Lucho tiene 18 años • Lucho es mayor que Carlos en 2 años y me nor que Vidal en una año: Carlos Lucho V idal 1(6

Í8

2^

ti

años

• Vidal nació 2años después de Isabel y 4 años antes quePepe: Pepe Carlos Lucho V idal Isabel H 1------ 1--------1— I---- 1-------1-----15 16 17 18 19 20 21 años

fylpta.: Pepe (15), Lucho (18), Vidal (19) e Isabel (21)

^Problema 17] En una gra n zona co m ercial, 9 bancos A, B, C, D, Ef F , G , H e I ocu p a n cada una de las 9 cu a d ra s c o n tig u a s, cu ya d isp o sició n se m uestra en el g rá fico adjunto.

©

©

©

© ©

©

©

©

1. El banco C está al NE del banco G 2. El banco H está al Sur de B y al Oeste de I 3. El banco D está al Sur de A y al Noroeste deH 4. F está al Este de E ¿qué cu ad ra ocu pa el banco G? A) 3

B) 6

C )7

D) 2

E) 5

54

Razonamiento Matemático cifra impar, b. Comienzan en cifra par y terminan en cifra impar.

Resolución B

4

1

R esolución

\ Según 2 A D

• Comienzan en cifre J 451 J 653 J par, los marcados poi 378397 397^ V A la izquierda.

Según 3 A B C D E F G H I

BH I

De (a) y (b)

n/6 8 4

n/ 206

586

, 743 v

• Terminan en cifra impar los marcados poi la derecha.

a. Las que tiene marca (1 ó 2 marcas)

Según 1 y 4

451; 684; 653; 397; 206 y 743

[Problema 18]

b. Las que tienen 2 marcas: 451 y 653

Ocho person as se sientan equ idistantem ente alrededor de una m esa circu la r. A está sentado a l fren te de E, y F a l fren te de C. El su jeto B está ju n to y a la derecha de C, m ientras que G ,junto y a la izquier da de F. La p erson a B no está ju n to a A, ni H ju n to a C. ¿Entre quienes está senta do D?

f Problema 201

A) Entre A y B C) Entre B y C D) Entre E y F

B) Entre A y C E) Entre C y G.

Resolución - A frente a E, y F frente a C: - B junto y a la derecha de C y G junto y a la izquierda de F. - B no está junto a A ni H junto a C, entonces a D sólo le queda el lugar entre A y C.

1........ ^ Todo estu d ian te es in teligen te. Todo in telig en te es sob resa lien te. ¿C uál es la con clu sión de estas dos p rem isa s? R esolución

Sobresaliente

El diagrama adjunto re presenta las premisas mencionadas. Del dia grama se concluye que: “todo estudiante es so bresaliente”

E

C

F

Problema 21 D e los g rá ficos d el (¡)a l (g) escoge la que n iega el g rá fico. @

D

rx ? r*-------)F S

f

1

•

•

•

•

•

•

•••

® ooo ooo ooo

.^ G

[Problema 19] El num eral 348, com ienza en 3 y term ina en & De los num erales: 451; 378; €84; 586; 653; 397; 206y 743 indique cuáles de ellos: a. Comienzan en cifra par o terminan en

•

negras

4bolas son blancas"

•

• •• « ( f V I

bolas son

•

f

•

bolas son grises

una bola que no es negra.

R esolución Dada una proposición verdadera, su negación hace que la proposiciómcambie su valor de


55

verdad, o sea, deja de ser verdadera.

José tomó las siguientes notas:

Es suficiente que en la figura A aparezca una bola de color diferente al negro, para que la proposición ‘Todas las bolas son negras” deje de ser verdadera y se convierta en falsa”

Luisa: Yo tengo 42 años y Ana tiene 50 años

R p ta © J

Ana:

Luisa tiene 48 años o Silvia tiene 45 años, pero yo tengo 50 años.

Silvia: Yo tengo 41 años y Ana tiene 60 años. José:

Las dos señoras tienen razón, pero

mi tía siempre miente.

f Problema 22 J Tres amigas conversaban amenamente preguntándose mutuamente sobre la te nencia de ciertos bienes. Te ofrecemos un resumen de las preguntas y las corres pondientes respuestas: Ana ¿Tienes computadora? ¿Tienes automóvil? ¿Tienes VH?

Betty

Susan

Sí

Sí

No

No

Sí

Sí

Sí

Sí

No

Pero no te confíes en estas respuestas, por que sólo una de ellas siempre dice la ver dad, la otra siempre miente y la otra mien te una vez cada tres respuestas. Además si todas dijeran la verdad, las respuestas de las tres serían las mismas. ¿Puedes de ducir las verdaderas respuestas? R esolución Las respuestas de la que siempre miente y de la que siempre dice la verdad son opues tas, estas son Ana y Susan; por consiguiente Betty es la que miente una de cada tres res puestas. Las respuestas de Betty debe dis crepar en una sola, con las respuestas de la que siempre dice la verdad, y esto sucede con las de Ana. Por lo tanto, las respuestas de Ana son las verdaderas. (Sí, No, Sí)

[Problema 23) Tres vecinas discutían respecto a sus edades, mientras cerca de ellas José estudiante de lógica - repasaba sus apuntes para su examen del día siguien te. De la conversación de las señoras,

¿Qué nombre tiene la tía de José? ¿Pue des determinar la edad correcta de cada una? R esolu ción Sean

P : Luisa tiene 42 años ~P : Luisa tiene 48 años q : Ana tiene 50 años ~q : Ana tiene 60 años r : Silvia tiene 41 años ~r : Silvia tiene 45 años

• A firm aciones: Luisa: p a q Ana: (-p v ~r) a q Silvia: r

a

~q

• Análisis: I o Si q (F), 1(3 2 êân falsas (ambos con tienen q). Como debe haber una sola menti ra q (V) 2o Si q(V) =>(J) es falso (contiene ~q), puesto que ya hallamos la afirmación falsa, 2 e^v^rdadera. Luego: Si 1 (V) => p(V) a q(V) Si 2 (V) => (~p v ~r) (V) a q(V) Para que (~p v -r ) sea (V), ~p es (F) => ~r es (V). • Respuestas: La afirmación es falsa => Silvia es tía de José p(V) : Luisa tiene 42 años q(V) : Ana tiene 50 años -r(V) : Silvia tiene 45 años

56

Razonamiento Matemático Por lo tanto: A1(V) y A2(F)

[Problema 24^ Tresjóvenes de la vecindad comentan de la bella Isabel, unajoven recién llegada al barrio. Los jóvenes, por presumir que cada uno sabe más de ella, dicen una ver dad y una mentira. A lfonso:- Es Huanuqueña y modelo profe sional —Domina el inglés, estudia enfer mería y conozco su novio Víctor: -Trabaja de modelo y no es Huanu queña —No tiene novio y domina el inglés Néstor: —No estudia enfermería, es naci da en Huánuco y no tiene novio. —No domina el inglés pero sí es modelo Quisiéramos conocer los datos verdade ros de Isabel. ¿Puedes ayudamos? Resolución

p : es huanuqueña r : domina el inglés t : tiene novio (£1)

ra sa t

Néstor: -s

a

p a ~t

-r

a

q

• Sea (Áí) falso (F) =>

(por contener ~r(F)) => N1(V) • Si N1(V) => s(F) /. p(V), q(V)t r(V), s(F), t(F) Luego, Isabel es huanuqueña, modelo, domi na el ingles, no estudia enfermería y no tiene novio.

f Problema 25 j El capitán a cargo, de las investigacio nes del robo a la residencia de la acau dalada Melisa Müler, recibe los informes de sus tres agentes; cuyas conclusiones están en los términos siguientes: Agente A: -Pérez es inocente y Quiñones también

- Quiñones es inocente y Roldan es el autor o el autor es Pérez.

s : estudia enfermería

~t a r

• Si V2(V) =* t(F) y r(V); N2(F)

Agente B: - Pérez es inocente o Torres es inocente

q : es modelo

V íc to r : q a —p

(por contener ~p(F)) => V2(V)

- Han tenido que serRoldány Torres, pero Quiñones no pudo ser.

Sean las proposiciones:

A lfonso : p a q

• Si A1(V) => p(V) y q(V); V1(F)

(Q ) @ (fti)

Agente C: - Pérez es inocente o Quiñones es inocente, pero Roldan es inocente. -S i Torres es inocente entonces Roldán también lo es. El capitán es consciente de que cada agen te, necesariamente hace una conclusión correcta y otra errada. Sólo uno de los sospechosos ha perpetra do el robo. ¿Puedes ayudar al capitán?

verdadero (V)

Si A2 (V) => ríV), s(V) y t(V). Esto implicaría que tanto NI como N2 fueran falsos: NI por contener ~t (F) y N2 por contener ~r(F).

57

Razonamiento Lógico R esolución '

Si p es falso Pérez sería culpable, r y t serían verdaderos (hay un solo culpable). Pero si r(V) => ~r(F). Para p(F), q(V) y ~r(F); A l y A2 serían falsos (=> p(V))

• Sean p : Pérez es inocente q : Quiñones es inocente r : Roldán es inocente t : Torres es inocente A l:p a q A2 : -r a - t

B 1: p v t q

B2 : (q a ~r) v ~P C1 (p a q) a r C 2 :p

a

Análisis 1° q no puede ser falso: A l y A2 serían falsos

Si r es falso: C1 sería falso (contiene r). Si C1 es falso la otra conclusión C2 (t —> r) sería verdadero (sólo una conclusión es falsa). Para que t -» r sea (V) siendo r(F), sólo si t(F); habrían dos culpables. => r(V) 4o Sólo cabe: p(V), q(V), r(V) y t(F). Estos valores de verdad hacen que: A 1(V ) y A2(F)B1(V) y B2(F)y C1(V) y C2(F). [ R p t a F u e Torres/]

F W )

Problemas Propuestos 1. ¿Cuál es el número de triángulo en Fn ?

¿D e cu án tas Uneae con sta rá este ú lti m o p ed esta l? A) 360 D ) 400

B) 399

C) 422 E) 401

3. “H a lla r la sum a de cifra s d el resul4*

t . > Av ri{n+l)

B) h

tod o d e efectu a r (333 - 333f / ' t

D) n* +1 2. A cep tem os qu e el p e r fil de este “p e d esta l” con sta de 3 líneas; entonces es ta rá s d e a cu erd o que el p erfil del p e destal 2 con sta de 7 líneas. Siguiendo esta secuencia, con tinuem os dibujan do los p erfiles has ta el p ed esta l 100.

200 cf s

C) hín +1) i

E) n

A) 1800 D) 1809

B) 2700

C) 1891 E) 2709

4. L a figu ra m uestra “p a sa jes” de nú m eros en form a de una L invertida. Io ->

5

7

9

2o

7

10

13

9

13

17

3o

1

4o

1

6

11

16

21

5o —>

1

7

13

19

25

100

1


58

A) 103 D) 106

B) 104

C) 105 E) 107

5, Observa la siguiente distribución:

4 7

8

2

1 3

5

6

9

10

Para una fila basta el 1. Para dos filas hacen fcdta 3 números. Para tres filas son necesarios 6 núm eros. ¿Cuántos números hcícen falta para formar una distribución de 100 filas? B) 2030

A) 560 D) 650

B) 420

9, Las losetas

B) 144

C) 10 E) 15

7. Hallar la suma de la serie: 1 1 1 + + + •••+ 1x2 2 x 3 3 x 4 200 x 201 1 A> 2

201 B) 200

200 C) 201

□

i

c

P r ,i p

. p.

Cada “cuadradito” es una loseta, ¿Cuántas losetas serán necesarias para formar la figura de la posición 100, siguiendo la secuencia mostra da? A) 19801 D) 1901

A) 100 D) 12

C) 210 E) 630

$

C) 2050 E) 5600

6, Se sigue la siguiente secuencias* has ta que la suma de los números de las esquinas superior derecha e inferior izquierda, sea 1 4 5 ¿Cuántos casille ros por lado tendrá la última figu ra?

E)

8. La figura muestra un piso de “4x4”, en el que m ediante piezas de parquet se ha formado una figura, ¿Cuántas piezas de parquet serían necesarias para formar una fi gura con el mismo motivo, en un piso de “20x20”?

□

A) 5050 D) 5000

199 D) 200

n

Hallar la suma de los números del último pasaje:

B) 16803

C) 1601 E) 18901

10, Calcular la suma de cifras del re sultado de la siguiente radicación: ^20x21x22x23 + 1 A) 264 D) 621

B) 461

C) 521 E) 360

11, ¿En qué cifra termina la suma de la serie 8 + 82 + 83 + S4+ .... 8600? A) 8 B) 4 C )2 D) 6 E) O

59

Razonamiento Lógico 12. Playa de 'Estacionamiento Una playa de esta cionamiento muy peculiar está dis tribuida en unida des de estaciona miento ubicadas alternadam ente en ambos lados de un muro longitu dinal. Cada uni

A) 19 900 D) 10 100

dad ha sido enumerada tal como se muestra en la ilustración* La playa cuenta con 40 unidades de estaciona miento diseñadas siguiendo la se cuencia mostrada. ¿Cuántos automó viles cómodamente estacionados pue de albergar? A) 400 D) 1640

B) 800

C) 1600 E) 2000

13. Es eviden te que dos rectas coplanares (contenidos en el mismo plano) y no paralelas se cortan en un punto.

C) 9 000 E) 2 100

A) 60 D) 320

B) 180

O 220 E) 203

16. ¿Cuántos números pares de tres ci fras, son tales que la suma de sus ci fras es 15? B) 28

O 29 E) 32

17. ¿Cuál es el número de triángulos de Fn?

gún sea el caso, el número de puntos de intersección es 1; 2 ó 3; siendo 3 el máximo. ¿Cuál es el máximo número de puntos de intersección entre 100 rectas coplanares? B) 4 500

B) 1 000

15. Dobla una cinta en dos y dale un corte. E nseguida ju n ta los tres pedazos do blados y dale otro corte, como se mues tra en la ilustra ción contigua. De continuar con esta operación,ju n tar los pedazos doblarlos y cortar, ¿cuántospedazos se obtendría al tér mino del veintiavo corte?

A) 24 D) 30

Al trazar una ter cera recta: esta puede pasar por el punto de intersec ción de las dos pri meras, puede ser paralela a una de ellas, o por último, cortar a las dos primeras en pun tos diferentes. Se

A) 3 600 D) 4 950

14. Según las pautas del problema an terior, ¿Cuál es el máximo número de puntos de intersección entre 200 cir cunferencias?

C )4 500 E) 10 100

Fl

F2

^ A) n(n + 1) D) n2 + 1

F3

F4

n(n+l) B) — ------ -

F5 ^ n (n -l) C) — ------ E) n

18. En la siguiente distribución, calcu lar la suma de los números de la fila

60

Razonamiento Matemático 20. Fila 1 1 Fila 2 -> 1 1 1 2 1 Fila 3 Fila 4 13 3 1 Fila 5 —» 1 4 6 4 1 •••

A) 221 B) 220 C) 219 D) 400 E ) 20 19. En una convención de 50 abogados, cada abogado era o bien honesto o bien deshonesto. Dadas las premisas: 1. Al menos uno de los abogados era ho nesto. 2. Dado cualquier par de abogados uno de los dos era deshonesto. ¿Puedes determinar partiendo de es tos dos datos, cuántos abogados eran honestos y cuántos deshonestos? A) 50; 0 D) 0; 50

B) 49; 1

C) 1; 49 E) 25; 25

20. ¿Por cuántae personas está confor mada una familia que consta de 1 abuelo, 1 abuela, 2 padres, 2 madres, 4 hermanos, 2 hermanas, 1 sobrina, 2 sobrinos, 1 tío, 1 tía, 1 nieta, 2 nietos 1 nuera, 1 suegra y 1 suegro? A) 15 B) 14

C) 13 D) 11

E) 9

21. ¿Qué parentesco tiene conmigo, la h\ja de la nuera de la mamá de mi madre? A) Es mi hermana C) Es mi mamá E) Soy yo misma

B) Es mi prima D) Es mi hija ■■m

22. Tres clases de caramelos; de limón, fresa y naranja, han sido embazados en tres latas distintas. Por equivoca ción, las etiquetas han sido coloca das en latas que no corresponden al tij>o de caramelo que contiene. ¿Cuán

tas latas se deben abrir para saber el tipo de caramelo cada una? A) 0 B) 1 C )2 D) 3 E) N A 23. Karen es la sobrina del cuñado de la nuera de mi abuela. El papá de Karen es hijo de la madre de mi madre. ¿Qué parentesco tengo con Karen? A) Es mi hermana C) Es mí tía E) Es mi hija.

B) Yo soy Karen D) Es mi prima

24. Una junta de 6 personas se celebra en un ambiente muy agradable. Ellas están sentadas ocupando cada lado de una mesa hexagonal. - El ingeniero está frente a Marcos quien conversa amenamente con el médico que estájunto y a su derecha. - El periodista no ve a Iván porque está volteado a su derecha conversando con Sandro. - Manuel está sentado entre Sandro y el dentista, mientras que Pedro está frente a Elvis. - El arquitecto estájunto y ala izquier da de Pedro. ¿Cuál es el nombre del administrador? A) Marcos D) Manuel

B) Iván

C) Sandro E) Pedro

25. Se ha cometido un hecho delictivo, y los sospechosos so n A ,B ,C yD . En la defensa, la persona A dice que en el momento del hecho estuvo con C y D en otro lugar. La persona B dice que estuvo con C y A C dice que estuvo ■con D y D dice que estuvo con A Si dos afirmaciones coinciden se dan por ciertas. ¿Quién o quiénes fueron los culpables; si se sabe que intervi nieron una o dos personas?

61

Razonamiento Lógico A) D D )B y C

B) A y C

C) B E) C

26. La isla de Pusilán, como todos sabe mos, está habitada solamente por dos tribus de aspecto idéntico pero de temperamentos muy distintos: los ha bitantes de Verdusia que dicen siem pre la verdad, y los de Falsonia que saben únicamente mentir. El explo rador Dr. Monser desembarca en Pusilán y tres aborígenes se le aproxi man. El ignora el origen preciso de cada uno. P or fa v o r señor, ¿cu á n tos verdusianos hay entre ustedes?

Perdone, p e ro l f Ha dicho que no comprendo\ \ s o la m e n te su lengua. ) I hay uno.

Venga mejor a mi casa porque yo no soy caníbal.

( Mongo hunda abulá)

f No crea lo que | dice dos pluf / mas: miente; pero venga a mi casa, por que yo no soy caníbal. \¿Qué invitación i acepto: la del inI dio con dos pluU\ mas o la del indio con tres plumas? ¡Ayúdame!

A) Al de dos plumas B) A ninguno C) Al de tres plumas D) A los dos E) A cualquiera de los dos 27. Carinen tiene tres libros: el libro de 550 páginas pesa 450 gramos. El li bro de Aritmética no tiene 580 pági nas. El libro de geometría pesa me nos que el de 560páginas. El libro de álgebra tiene más páginas que el que pesa 500 g. Uno de los libros pesa 400 g. Determinar el número de páginas y el peso de cada uno de los libros. Indicar los datos correspondientes al

libro de Algebra. A) 560 Pág.. 450 g C) 580 Pág. 450 g E) 560 Pág. 400g.

B) 580 Pág. 400 g D) 550 Pág. 400 g

28. Dos hermanos que tienen dos hijos cada uno, comentan respecto a las edades de sus hijos. L

: Tus hijos nacieron siempre un año después que los míos.

ucho

: En efecto, nacieron con tres años de diferencia,. u c h o : Isaac cumple 15 al próximo año.

C arlos

L

: Tu hijo Luchito con mi Carlitos son muy am igos a pesar de que Luchito es menor. ¿Qué edad tiene Denis, el otro hijo de Carlos?

C arlos

A) 8 años D) 11 años

B) 9 años

C) 10 años E) 12 años

29. María es mamá de Iván. Carmela es hermana de Jesús. Carola es suegra de Néstor. María es hija de Carola y Jesús hijo de Néstor. ¿ Qué parentes co existe entre Carmela e Iván? A) Hermanos B) Primos C) Tía —sobrino D) Tío —sobrina E) Primos o hermanos 30. Un expositor de una conferencia so bre “realidad educativa” dijo: El ín dice de alfabetismo en EE. UU. es de 4,5%; el de México, 8,2%; el de Argen tina 11,4%,... “ ¡Un momento! - Inte rrumpió un oyen te-“Argentina tiene menos índice de Analfabetismo que EE. UU. y México tiene por encima del 10%. - Probablemente se me confundieron los datos, pero las tasas mencionadas son las que corresponda.a los tres países según datos de 1993 - recono ció el expositor. Revisando los datos, hemos averi guado que aquel oyente tenía razón:


62 ¿Cuál es el índice de Analfabetismo de EE. UU. ? A) 4,5% B) 11,4% D) 4,5% ó 8,2% E) No es posible saber

C) 8,2%

3L Las novelas “La babosa” “El arte de matar99y “El coloquio de los pe rros39fue escrito por Daniel Sueiro, Cervantes y Gabriel Casaccia, aun que no necesariamente en ese orden. Casaccia no escribió. “El arte de ma ta r S u e ir o ni Casaccia escribieron “El coloquio de los perros” ¿Quién escribió “El arte de matar"? A) Casaccia B) Cervantes C) Sueiro D) Faltan datos E) Ninguno. 32. Tres por tres Los Falcón y otras dos familias de Fuenteabierta tuvieron trillizos. Siendojóvenes y de edad aproxima da, los chicos se hicieron natural mente amigos. Además de su espe cial condición familiar, tenían algo en común, su ardiente entusiasmo por la aviación. De hecho, tan pron to como fueron lo suficientemente mayores, Arturo y otros dos se lan zaron al aire. Cada uno de ellos ocu pa ahora una de los tres puestos en unas líneas aéreas que se mencio nan en las pistas que vamos a expo ner. ¿Podrás descubrir sus nombres completos y el trabajo que realiza cada uno de ellos? 1. Gabriel es piloto, lo mismo que la her mana de Fidel. 2. La hermana de Isaura es ayudante de vuelo, lo mismo que el hermano de Mer cedes. 3. Davides copiloto, lo mismo que la her mana de Estrella. 4. Sólo uno de los hermanos de Carlota es piloto.

5. El hermano de Emma es copiloto; su hermana no ¿o es. 6. Ninguno de los trillizos Melón es copiloto. 7. Uno, y uno solo, de cada familia es ayu dante de vuelo. 8. En una de las familias, dos mellizos del mismo sexo hacen el mismo traba jo, no son los Turón. ¿Quiénes son los ayudantes de vuelo de cada familia A) Carlota, Fidel, Arturo B) Carlota, Gabriel, Emma C) David, Fidel, Emma D) Arturo, Fidel, Emma E) David, Carlota, Fidel 33. Las cinco canciones Durante cinco semanas consecuti vas, las mismas cinco canciones ocu paron los cinco primeros puestos en la emisora de la radio local, aun que cada canción ocupó un puesto distinto en cada una de las sema nas. Intenta determinar los puestos que ocuparon a lo largo de las cin co semanas, partiendo de la infor mación que damos a continuación 1. En la primera semana, La canción de M arbella se situó después de Aquella triste tarde, pero no quedó en ultimo lugar. 2. De puntillas entre las violetas su bió de puesto en la tercera semana con respecto a la segunda. 3. Aquella triste tarde ocupó en la se gunda semana un puesto superior a la de la primera y la cuarta semanas. 4. Era de Santiago ocupó el primer lu gar dos semanas más tarde de aquella en que estuvo en segundo lugar. 5. Era de Santiago, que nunca se situó inmediatamente después de De punti llas entre violetas, perdió una posi ción de la cuarta a la quinta semana.

63

Razonamiento Lógico 6. Carros de fuego, que estuvo más baja que Aquella triste tarde en la cuarta semana, quedó más arriba que ella en la última. ¿Que canción fue la número 1 enlaquinta semana? A) Carros de fuego B) Era de Santiago C) De puntillas sobre la violetas D) Aquella triste tarde E) La canción de Marbella

coles. 6. Tres de las mujeres dedican el viernes a las tareas varias; ninguna de las cinco mujeres sale de compra los martes. 7. Amalia e Irene cocinan, respectivamen te, los lunes y los martes. Indicar el apellido y el programa del viernes de Amelia. A) Lozano, varios C) Palomo, varios D) Lozano, cocina

B) Lozano, lavado E) Palomo, cocina

34. La organización del trábelo casero La señora Matas y otras cuatro amas de casa decidieron recientemente pro gramar sus tareas caseras, a fin de disponer de unos fines de semana re lativamente libres. Estudiando jun tas la cuestión, dividieron su traba jo en cinco categorías: cocina, limpie za, lavado, compras y tareas varias (coser, planchar, etc.). A continua ción, cada una de las mujeres trazó un horario semanal, asignándose una tarea para cada día de la sema na, desde el lunes al viernes. Partien do de las pistas siguientes, ¿podrías encontrar los nombres completos de las cinco mujeres y reconstruir sus programas respectivos? 1. En cada día de la semana, una de las mujeres hace la limpieza general y otra lava. 2. Teresa lava en un día de la semana an terior a aquel en que la señora Palomo sale de compras y posterior a aquel en que Amalia hace la limpieza. 3. La señora Soto programó, su lavado, sus tareas variasy su cocina en el orden dado, pero no en días consecutivos. 4. Felisa y la señora Solana van de com pras el mismo día de la semana. 5. Tanto Carmen como la señora Lozano * hacen limpieza general antes del miér

35. En una mesa hay 4 botellas iguales con agua gaseosa La botella A con tiene la mitad de lo que contiene B, la botella C contiene 3 veces lo que contiene D. . Manolo llegó con sed del colegio y se tomó un sorbo de D y resulta ahora q u e B y D contienen la misma canti dad. ¿Cuál de las Botellas está con más contenido que las otras? A )B y D D) A

B) A y D

C) C E )B

36. Corongo está al Sur de Cabana Nor te, Sihuas está al Este de Corongo. Si Caraz está al Suroeste de Sihuas, en tonces Cabana Norte está. A) Al Sur de Caraz B) Al Norte de Caraz C) Al Este de Caraz D) Al Oeste de Caraz E) Al Sureste de Caraz 37. Convengamos que para dos perso nas A y B, A - * B significa que A na ció antes que B. Basado en lo ante rior y las siguientes premisas: Car los -> Joaquín; Noelia —> Carolina, Teresa Iris, Iris —>Joaquín; Car los tiene 20 años, Noelia tiene 18 años e Iris 21 años. Señala la afirmación correcta

64

Razonamiento Matemático A) Joaquín —» Teresa B) Joaquín -* Carolina C) Carolina —> Iris D) Teresa —* Carolina E) Carlos -»Teresa. t

38. Un cuaderno y un libro pesan más que un libroy un relqj. Un cuaderno y un reloj pesan más que un libro y un cuaderna. ¿Cuál de los objetos pesan más que los demás? A) El reloj B) El libro C) El cuaderno 39. Un conjunto A se dice que está in cluido en B, si todos los elementos de A son también elementos de B. Resulta que el conjunto M está inclui do en P ,P está incluido en Q; N está incluidoPy Q está incluido en M . Lue go: A) No es posible que Q esté incluido enM B) M es un conjunto vacío C) P no puede estar incluido en Q D) N está incluido en M E) M está incluido en N 40. Cuatro ciudades A, B, C y D están ubicados a lo largo de una autopista que se prolonga de Sur a Norte. 1. Para i r d e A a B se pasa por C 2. Para i r d e D a B hay que recorrer 600 km.

C) ABCD, 200 km D ) ABCD, 100 km E) BCDA, 100 km 41. Tres países A, B y C tienen sus econo mías basadas en la producción de cobre, carne y cañ o, aunque no nece sariamente en este orden; además co rresponden a tres continentes distin tos. 1. El país que produce caña no es asiático 2. El país europeo produce Cu 3. A no es asiático 4. C produce caña Es cierta la relación: A) A, Europeo, carne B) B, Asiático, Cobre C) C, Americano, carne D) B, Asiático, carne E) A, americano, caña 42. En un edificio de tres pisos hay dos departamentos por piso, en él viven 6 amigos ocupando cada uno un depar tamento. Mauricio, Marcos y Néstor utilizan siempre el ascensor para subir a sus departamentos. Raúl utiliza el ascen sor o la escalera sólo cuando visita uno de sus amigos. José vive en el mismo piso que M arcos. N éstor y Juan no viven en pisos adyacentes. ¿Quiénes viven en el segundo piso? A) Raúl y Juan B) Marcos y José C) Juan y Marcos D) Juan y José E) Marcos y Mauricio

3. C está a 200 km de A 4. A está al Sur de B y al Norte de D 5. La distancia entre B y C es mayor en 200 km que la que hay entre A y D. De terminan la ubicación de las 4 ciuda des en el orden de Norte a Sur y la dis tancia entre A y D A) DACB, 100 km B) BCAD, 100 km

43. Un edificio de 6 pisos está ocupado por 6 familias. Cada familia ocupa un piso, Los Aburto viven 2 pisos más arriba que los Calderón y 2pisos más abqjo que los Barrera. LosDurán vi ven en el segundopisoylos Gómez no viven adyacente con los Aburto. ¿En qué piso viven los Muñoz f

Razonamiento Lógico A) Io B) 3o

C) 4o

D) 5o

E) 6o

44. Carmen, Lizet, Rocía, Ivón y Katy son secretarias que trabajan en 5 pisos diferentes de un edificio. - Lizet baja dos pisos para hablar con Carmen - Katy y Rocío siempre llegan juntas al trabajo y utilizan el ascensor para sus oficinas, solo que Rocío se queda dos pisos antes. - Carmen trabaja un piso más arriba que Rocío. ¿Quién trabaja en el pri mer piso? A) Ivón D) Katy

B) Lizet

C) Carmen E) Rocío

45. Si vas al hipódromo, pierdes tu di nero si no vas al hipódromo, vas al cine.No fuiste al cine. La conclusión es: A) No fuiste al hipódromo B) No perdiste tu dinero C) Perdiste tu dinero D) Fuiste al hipódromo y ganaste dinero E) Ninguna de las anteriores 46. Si no me baño en la mañana, me siento sucio todo el día. Cuando me siento sucio, no puedo trabajar. Luego: A) Si me baño en la mañana, puedo trabajar bien. B) Si me baño en la mañana, no puede trabajar bien. C) Si no puedo trabajar bien, me bañé en la mañana. D) Sí puedo trabajar bien, me bañé en la mañana. E) Sí me siento sudo, no me bañé en la mañana.

47. Ningún aviador es em presario teatral. Juan y Pedro son empresarios tea trales. Todo empresario teatral es financie ro Por lo tanto: A) Ningún aviador es financista B) Juan y Pedro son financistas y aviadores. C) Juan es aviador y Pedro es financista D) Ninguno es aviador ni financista E) Ninguna de las anteriores 48. De las siguientes premisas: -S im e prestas $10, iré al cine con Inés. - Me prestas $10 o no eres mi amigo - Sino eres mi amigo, no te ayudaré en tu trabqjo - Por supuesto, te ayudaré en tu traba jo. Podemos concluir: I. Te debo $. 10 II. Iré al cine con Inés III. Eres mi amigo A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) Todas E) Ninguna de las anteriores 49. Si no estudias el sábado, estudias el domingo. Si no te levantas temprano el domin go no estudias ese día. En consecuencia, si el domingo te le vantas a la una de la tarde, entonces: A) Estudias el domingo B) Estudias el sábado C) No estudias el domingo ni el sábado D) Depende de tu horario de estudio E) No estudias el sábado

66


50. Si una persona hace deporte, vive muchos años. Ningún fumador vive muchos años Por lo tanto: A) Ningún fumador hace deporte B) Algunas deportistas f uman C) Si Javier hace deporte, puede ser fumador D) Si Gustavo fuma, es deportista E) Ninguna de las anteriores 51. Si todos los arequipeños son perua nos y algunos peruanos son econo mistas resulta que: A) Algunos arequipeños son economis tas B) Todos los arequipeños son economis tas C) Algunos economistas son arequipeños D) Algunos arequipeños no son perua nos E) Algunos economistas son peruanos 52. La negación de la proposición: “Los estudiantes brillantes no acu den al cine” es: At Todo estudiante brillante acude al cine B) Todo estudiante brillante no acude al cine C) “Un estudiante brillante acude al cine D) Ningún estudiante brillante acude al cine 53. Cinco sospechosos del crimen de un adolescente, fueron detenidos por la policía local. Ante el interrogatorio las respuestas fueron: El Chino : “Fue Vico o Pelao” L oco V ico s “Ni Calín ni yo lo hicimos* Pelao

: “Ustedes dos están mintiendo”

A ldo : “No, uno de ellos está mintien do; el otro está diciendo la verdad” C a lín : “No, Aldo, eso no es cierto” Era sabido para la policía que tres de los sospechosos siempre decían la verdad, pero que dos siempre men tían. ¿Puede deducir la policía quién come tió el asesinato, a sabiendas que sólo uno de ellos pudo ser? 54. El psicólogo A afirma: “Los niños que ven películas de agre sión, se vuelven agresivos”. El Psicólogo B sostiene: “Los niños agresivos tienen tenden cia de ver películas de agresión ” Se nombran los siguientes hechos po sibles: 1. Muchos niños que no venprogramas de agresión son agresivos. 2. Muchos niños que venprogramas agre sivos, son pacíficos 3. A muchos niños agresivos no les agrada las películas de agresión. Contradicen la tesis de A A) sólo (1) D) ( l ) y (2)

B) sólo (2) C) sólo (3) E) (1), (2) y (3)


67

CLAVES CE CESCCESTAS 1 2 B B

3 E

4 D

1

2 ,3

4

5

6

6

C

C

A

A

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PÁGINA

1

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6 B

PÁGINA

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PÁGINA

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2 1D esafío a tu sentido

1 1 -1 2

C

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B

26

D

B j

13: P r o b le m a s 1. Abre la caja BN, si ves una bola N, contiene NN. La NN contiene BB y la BB contiene BN. Si ves una bola B, contiene BB. La BB contiene NN y la NN contienen BN. 2. El señor Pardo no tiene corbata ver de, entonces, roja. Queda verde para el señor Rojo y parda para el señor V erd e.

p á g in a

9

PÁGINA

1

2

1 5 -1 7

C

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1

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22

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5

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C

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27: T o r r e d e c u b o s

P + 23 + 33 + ... + 203 = 44100 PÁGINA

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PÁGINA

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2 C

38: C o n p a lit o s d e fó s fo r o

p á g in a

4 2 -4 3

PÁGINA

PÁGINA

3

p á g in a

Son iguales

=10000

J

44: C a r r e r a d e c a b a llo s Intercam biar los caballos


68

PROBLEMAS PROPUESTOS 1 E

2

3 4 5 6 7 8 9 B A D A D C C A 19 20 21 22 23 24 25 26 27 B E B B D A B c B *

•

10 11 12 13 14 B E D D A 28 29 30 31 32 C E C D c

15 16 17 18 D D B C 33 34 35 36 ñ E A C B

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 D C D B D B C A C A E D B A E A D B

estudió matemáticas y física. Fue durante este período que las características fundamentales del cálculo fueron desarrolladas. $

Fue un verdadero precursor de la ló g ic a m atem ática. Persiguiendo una idea que le acosa desde la juventud es pos de un *alfabeto de los pensamientos humanos” y de un *idioma uni versal” se propone el proyecto de construir “una característica universal”, especie de lenguaje simbólico capaz de expresar, sin ambigüedad, todos los pensamientos humanos, de manera que al surgir una controversia entre dos Filósofos, éstos la zanjasen a la manera de los calculistas; bastaría en efecto, sentarse ante los ábacos, pluma en mano, y como buenos amigos decirse, en mutuo acuerdo: calculemos.

Gottfried Wilhelm von Leibnitz (1 6 4 6 -1 7 1 6 )

Gottfried Wilhelm von Leibnitz Nació el 1 de Julio de 1646 en Leipzig, Saxony ..(Ahora Alemania) Leibnitz era hijo de un profesor de filosofía moral en Leipzig. Aprendió él mismo Latín y algo de Griego a la edad de 12 años, para así poder leer los libros de su padre. Desde 1661 al 1666 estudió leyes en la Universidad de Leipzig. En 1666 le fue rechazado el ingreso para continuar con un curso de doctorado, y fue a la Universidad de Altdorf, recibiendo su doctorado en leyes en el 1667. Continuó su carrera de leyes trabajando en la corte de Mainz hasta 1672. En ese año visitó París para tratar de disuadir a Luis XIV del ataque al territorio Alemán. Permaneció en París hasta 1676, donde continuó practicando leyes. Sin embargo en París

Las ideas de Leibniz, que contiene muchos conceptos de la lógica simbólica de hoy, no tuvieron entonces mayor influencia, pues quedaron inéditas hasta este siglo. Igual destino tuvieron ideas semejantes esbozadas durante el siglo XVIII y comienzos del XIX. Agreguemos que las ideas de Kant, de gran influencia en su tiempo y para quien no era necesaria “ninguna nueva invención en la lógica”, han contribuido sin duda al estancamiento de esta disciplina. Las cosas cambiaron cuando llegó , el cual se convirtió en el verdadero fundador de la lógica simbólica. El resto de su vida desde 1676 hasta su muerte, permaneció en Hanover. El 21 de Noviembre de 1675 escribió un manuscrito usando por primera vez la notación de la integral ó flx)*d(x). En el mismo manuscrito estaba dada la regla para la diferenciación. Esta regla fue dada a conocer dos años después, en Julio de 1677. Falleció el 14 Noviem bre de 1716 en Hannover, (Ahora Alemania).

PROBLEMAS DE OPERA CLONES BINARIAS

A

INTRODUCCION

CONOCIMIENTOS PREVIOS

las operaciones matemáticas constituyen la esencia de la matemática en cuanto a su utilizaciónpráctica. Estamossegurosque unainmensacantidaddeproblemas que requieren d auxilio de la matemática sepuede resol lar sin mayores conocimientos matemáticosque las cua tro operaciones fundamentales: Adición, Sustracción, Multiplicación y División.

Lo que necesitaspara comprender y resolver los proble mas de este capítulo es saber sumar, restar, multiplicary dividirlos números enterosy decimales. Siya losabes, no estarádemás realizar unas cuantasoperacionesde multi plicacióny división. Si no estás estudiandoparapostular a la universidad, puedes utilizar una calculadora.

En este capitulo proponemos estrategias para la resolu ción de cierto tipo de problemas que no requieren más que saber realizar las 4 operacionesfundamentales. Al inicio dd capítulo damos losfundamentos en los cua les están basadas las operaoones binarias en general.

Adelante y Suerte.


70

2 . 1. OPERACION BINARIA ¿Puedes creer que 3 + 9 = 5 es correcta? ¡De ninguna manera! ¡Imposible! Suelen ser las respuestas. Pero permíteme demostrarte que es posible la igualdad. Vamos a asignar los números del 1 al 7 a los días de la semana: Dom ingo 1

Lunes 2

M artes

M iércoles

3

Jueves

Viernes

Sábado

5

6

7

4

Si hoy es lunes, dentro de cuatro días, ¿qué día será? Es suficiente sumar al día 2 los 4 días siguientes

Reto al ingenio 1

2+4=6 Así tenemos que será el día 6, o sea, viernes. Si pasan 9 días desde el día 3, ¿qué día será? Al aumen tar 9 días al día 3 resulta 3 + 9 = 12. Pero no hay día 12. En estos 12 días hay una semana entera y 5 días más. Cuando pasa una semana exacta se vuelve al mismo día, por lo tanto el resultado será el día 5. Así tenemos:

En esta multiplicación las cifras han sido sustituidas por tetras. Cada letra diferente sustituye a una cifra diferente. La O sustituye al cero-

3+9=5

TOC x TÓC * ENTRE

En un sistema como el descrito, jamás habrá un resul tado mayor de 7.

Calcular. E Ñ * T R **■

***.-

Esta aritmética se llama aritm ética m odular y en este caso el módulo es 7.

2.1.1 Leyes de com posición interna En la matemática se puede crear una variedad de op eracion es binarias, sólo es preciso establecer las reglas bien precisas. Veamos el siguiente ejemplo. En una hoja de papel recortamos las letras E, I y F, tal como se muestra a la derecha. La operación consiste en superponer las letras y el resultado es la letra resul tante. Además utilizamos el símbolo * para represen tar la operación. Así, E*F = E significa que superponien do las letrasE y F se obtiene E. Veamos otros más: •E * I

= E

.1 * 1

= I

•I* E

= E

•F * F = F

•F * I

= F

•F * E = E

He aquí una tabla de la operación representada por *

*

I

F

E

I

I

F

E

F

F

F

E

E

E

E

E

Problemas de Operaciones Binarias

71

Los únicos elementos que intervienen en la operación son las letras E, I y F. Se puede ver que la operación consiste en dados dos elementos hacer corresponder un tercer elemento según una regla establecida. <3> 0 Una Ley de composición interna en Una op eración binaria denotada por *, y definida en un conjunto dado, establece una co un conjunto S, asigna a cada pareja ordenada (a; b)t rrespondencia entre los elementos elementos de S, un elemento único que denotaremos por del conjunto bajo una regla estable a* b. cida. El símbolo utilizado para representar la operación Una operación binaria definida en un conjunto es una ley de composi binaria, se llama op era d or m atem ático. ción interna en dicho conjunto. La adición y la multiplicación son 2.1.2 Propiedades de las operaciones leyes de composición interna en el conjunto de los números naturales. binarias. A. La propiedad de cerradu ra o de clausura Si para todo elemento (m; n) del conjunto S , m * n es un elemento de S, entonces la operación binaria tiene pro piedad de cerradura. B. La propiedad conm utativa Se dice que la operación binaria * es conmutativa si: (a * 6 = 6

Se dice que la operación binaria * es asociativa si, da das a, b ye en S. í (o * 6) * c = a * (b * c) D. Existencia de un elem ento idén tico Decimos que el conjunto tiene un elemento idéntico o identidad con respecto a la operación binaria * si existe un elemento del conjunto S, que denotamos por i, tal que para todo elemento a de S, se cumplen las dos condicio nes siguientes: y

i* a

La adición es cerrada en el conjun to de los números naturales: la suma de dos números naturales es siempre otro natural. La adición no tiene la propiedad de cerradura en el conjunto de los nú meros impares.

(J )

C. La propiedad asociativa

*= o

0

©

25 x1 2 = 300 12x25 = 300 25x12^12x25 La multiplicación es conmutativa, en cambio la división no lo es: 12 + 4 * 4 + 12

© El elemento idéntico de la adición en R es el cero: a+0=0+a=a El elemento idéntico de la multipli cación en R es el uno: a x 1=1xa=a

© El reciproco de a en la adición se Se dice que un elemento a de S tiene recíproco con res denota p or-a y se llama opuesto pecto a la operación *, si existe un elemento en S r que d ea : _________________ donotamos por a-1, tal que: (a + (-a) = (-a) + a = 0) El recíproco de a en la multiplicaCa * arl * i y a-1 * a ción se denota por a 1y se llama in\ Donde i es el elemento idéntico de S. E. R ecíp roco


72

2.1.3 Operadores m atem áticos [Problema 1 ] En el conjunto de los núm eros en teros se d efin e la opera ción sim bolizada p o r A bajo la siguiente regla: a A b ~ (a + 2)(b - 2). D eterm in ar el valor de: 2A [-3A (5 A 4 )] Resolución Para cada operación aplicamos la regla establecida. Para realizar las operaciones respetamos el orden de prioridad señalado por los signos de agrupación a Ab i i 5 A4 -3 A 14

(a + 2X6 - 2) i i (5 + 2X4 - 2)

14

(-3 + 2X14 - 2)

-12

2 A -12 = (2 + 2X-12 - 2) = -56

Problemas 1. Se d efin e la op era ción * según la re gla: a * b = 2b - 3a C alculan [(4 * 6) * (2 * 5)] * 3

3. H em os d efin id o en N la o p era ción cu yo sím bolo es A, m ed ia n te la si gu ien te regla:

A) 18 B) -1 8

Hallar M donde:

€ ) 15

D ) 16

E) 14

(o; b) A (c; d) = (a + c) - (6 + d )

M = (5; 8) A (10; 9) + (8; 12) A (11; 8) 2. Según la opera ción A d efin id a com o sigue:

A ) -5

B) -3

0 -1

D) 4

E) 6

m +n m An = m -n

si m * n

4. En N d efin im os la op era ción S(n) com o la sum a de cifra s de n.

mAn =0

si m * n

Si S(abc) = 15 H a lla r (abe+bca+cab)

Determinar cuáles de las siguientes igualda des son correctas. L 7 A5 = 6 II. m A /i = m + n » m - n = J III. m A (n A p ) = (m A n )A p TV. 5 A (3 A 2 ) - 0 A) Todas D) I y lV

B) I, II y IV

C) Sólo I E) Ninguna

A) 15

B) 30

C) 1665 D) 165 E) 555

5. Según la operación definida en el p ro blem a anterior, in d icar cuáles de las sigu ien tes igualdades es siem pre co rrecta i) S(444) + S(555) = S(444 + 555) ii) S(A) + S(B) = S(A + B); VA,B e N iü )S (A )-S (B ) = S (A -B ); VA,Be N

73

Problemas de Operaciones Binarias 7. Se d efin e en el con ju n to JR: A) Sólo i D) Sólo ii

B) i y ¿i

C) Todas E) Ninguna

6. Sea E(n) = R esiduo de d ivid ir “n n en tre 5; V n. C alcular:

|x] - él m ayor en tero m enor que x. P or ejem plo [6 ,5 ] = 6,

[-6 ,4 ] - - 9

Según esto ca lcu la r:

E(44442) + E(777T) A) 15 D) 7

B) 5

C )6 E) O

A) O

B) 1

C )2

D) 3

E) 4

[Problema 2 ] Se d efin e la opera ción sim bolizada p o r * en el con ju n to {1; 2; 3; 4; 5) de acuerdo a la tabla adjunta: a) C alcular: (2 * 3) * (5 * 2) R esolución Para hallar en la tabla el resultado de 2*3 ubicamos 2 en la primera columna y 3 en la primera fila. El resulta do de 2*3 se encuentra en la intersección de la fila de 2 y la columna de 3. Entonces 2*3 = 5. Análogamente ha llamos 5*2 = 2. Luego: 5*2 = 2

[ Rptcu: 2 )

b) La operación * ¿Tiene la p rop ied a d de clausu ra en el con ju n to d ad o? R esolución Para cualquier par de números del conjunto dado, el resultado es un elemento del mismo conjunto. Sí, tiene la propiedad de clausura. c ¿Es conm utativa? Cuando la operación es conmutativa la tabla es simétrica respecto a la diagonal que pasa por el operador. En este caso, lo es. cL ¿T iene elem ento n eutro? Sí. Es el 5. Porque para cualquier número a del conjunto dado, a * 5 = 5 * a = a


74

Problemas 1, En el conjunto A = (0; 1; 2; 3; 4} definí mos una operación mediante la si guiente tabla: 1 e 0 3 2 4 0

4

3

2

1

0

i 2

3 2

4 3

3 4

2

1 2

3 4

1

2 1

3 2

0

3 4 3

3. En el conjunto M ~{ayb, c) definimos la operación interna de M x M —» M simbolizada por X. La tabla de la operación X se muestra a continua ción: ¿Cuál es el resultado de la expresión? a l[6 1 (c X a )J M = [(c la )l6 ]ic

3 4

X

a

b

c

¿Cuántas de las siguientes afirma ciones son verdaderas?

a

a

b

c

b

b

c

a

A. La operación tiene la propiedad de clau sura.

c

c

a

b

A) a/c

B. La operación es conmutativa C. Tiene elemento neutro

B) 2

C) 3

D) 4

1

2

3

74 í

1

3

4

2

1

2

3

4

1

3

3

2

4

1

2

4

4

3

1

2

E = 2 * 3 + 1 * 13 * (4 * 1)] + 4 * (3 * 2) B) 6

C )7

D) 8

3

4

3

4

1

3

4

2

1

3

1

2

3

4

4

4

1

2

3

♦

1

3

1

2

2

-

Según esta tabla calcular:

Según esta tabla determina el valor de E, donde:

A) 5

E) a/b

E) 1

2. Aquí se presenta la tabla de la opera ción simbolizada por (*): *

C) b/a D) c/b

4, En el conjunto M - {1; 2; 3; 4} defini mos una operación mediante la si guiente tabla:

D. Tiene elemento simétrico A) O

B) c/a

E) 9

A) 404 D) 3

B) 1

C )2 E) 4

75


2.1.4 Operaciones de adición y m u ltip licació n [Problema 1 j

Reto al Ingenio 2

En la siguiente adición, hallar el valor de A + B + C + D.

Aquí tienes un triángulo formado por esferas numeradas del 1 al 9:

134 cifras

8888 888 88

?.

8888 +

o

8888 8888

o o

8888 888 88 8 ..............DCBA Resolución

o o

O 90 0 Debes distribuir las esferas de tal manera que los números de los lados sumen lo mismo y lo mayor posible

Los puntos suspensivos significan “así sucesivamente”. Se utilizan, en este caso, para no escribir todas las ci fras. Dado que el primer sumando tiene 134 cifras, y cada sumando tiene una cifra menos que el anterior, en total hay 134 sumandos. La suma se efectúa por columnas de derecha a izquierda. De la suma de cada columna, si es mayor que 9, se pone la cifra de las unidades y se lleva las otras. 1ra C olu m n a: Son 134 “ochos” => 134 x 8 = 1Q7Í

L se “pone”

A=2

2™ Colum na : Son 133 “ochos” ==> 133 x 8 = 1064 + 107 = 1171

L»se wpone

B=1

1 3n Colum na : Son 132 “ochos” => 132 x 8 = 1056 + 117 = 117; 4rmColum na : Son 131 “ochos” => 131 x 8 = 1048 + ÍT7 = 1165

se “pone”

C=3

L>se “pone” => D = 5

Luego: A + B + C + D = 2 + l + 3 + 5 = l l ¿Has entendido?...Si tienes dudas, en luâr de considerar 134 cifras, considera sólo 4 “ochos” y efectúa la operación, luego vas extendiendo para más cantidad de cifras. Puedes tú mismo inventar tus propios problemas para que practiques.


76

Problema 2 Si ( a + b + c)* = 169. Calcular abe + bea + cab. % Resolución La notación abe representa un numeral de 3 cifras. Se coloca una barra superior para diferenciar de la multi plicación. Por ejemplo, s i a = 3 y b - 2 , a b representa 6, porque ab = 3x2 = 6. En cambio ab representa 32, porque ab =32.

Reto al ingenio 3 Provisto de los signos +, x, -f ; Juanito se dispone a reponer las igualdades del tablero. ¿Puedes ayudarlo?

• ¿Qué número elevado al cuadrado nos da 169 ? ... El número e s ..., entonces (a + fe + c » 1 3 ) • Para hallar la suma pedida ubicamos los números en columna. abe bea cab

2

2 2 2 = 6

3

3

5

Unidades : c + a + b = 13,se lleva 1 Decenas : b + c + a = 13 + l -1 4 , se lleva 1

$

3

3 = 10

4

4 =

'5 ^ 5 = 24

Centenas :a + b + c = 13 + l = 14, se pone

1443

Luego abe + bea + cab = ( 1443}

[Problema 3 ] Hallar un numeral de la forma abedef, tal que que sus productos sucesivos por 5; 4; 6; 2 y 3 sean respectivamente iguales a los numerales formados permutando circu larmente sus cifras. Resolución

Se deduce que a = 1, para que los productos no tengan más de 6 cifras.

abedef x5 =fabcde

(1)

abedef x4 = efabed

(2)

abedef x 6 - defabe

(3)

abedef x 2 = edefab

(4)

abedef x3 =bcdefa

(5)

y

En (5) abedef x3 termina en 1 =>

f« 7

En (4) abedel x2 termina en 4

b =4

En (3) abcde7x6 termina en 2 => c=*2 En (2) abcde7 x4 termina en 8 En (1) abcde7 x5 termina en 5 ••

e =5

77


[Problema 4 ] Sabiendo que ax mnp = 696»* mnpx 6 = 2436 y ex mnp = 2088 >hallar mnpx a&c ■ R esolución_______________________________________ Recordemos cómo se efectúa una multiplicación de este tipo. Por ejemplo 256x324: 256x 324 1024 512 768 82 944

donde t * <

256x 324 256x4 256x2 256x3

Multiplicando Multiplicador Productos parciales

Cada producto parcial es el resultado de multiplicar el multiplicando p or cada una de las cifras del multiplicador.

mnp x abe c xmnp bxmnp a xmnp

o

Reto al ingenio 4 Las atracciones de la feria Noelito y su novia Blanquita, se pasean observando la diversidad de objetos que se exhiben en los es tantes de una feria del barrio. De pronto advierten un juego de *tiro al blancoTras la sugerencia de Blanquita, Noelito no pudo rehu sar demostrar su gran puntería, haciendo exactamente 50 puntos. ¿Qué juguetes se ganó? Indicar uno de ellos.

mnp x abe 2088 2436 696 96 048

Luego: mnp x abe = 96048

[Problema 5 ] Se multiplica 47 por un número de 3 cifras. Si la diferencia de los productos parciales es 726. Ha llar el producto de la multiplicación R esolución METODO (1) La diferencia de los productos parciales es 7 - 4 « 3 veces el número de 3 cifras. Por lo tanto el número de tres cifras es 726 + 3 - 242. Rptcu: 242

Entonces:

abe x 47 7 x a6c

<—1erPdto. parcial

4x abe

«—2doPdto. parcial

METODO (2)

7{abc)-4(abc) = 726

Sea abe el número de 3 cifras.

3(a6c) = 726 =» abe = 242

Rota.: 242

78


Problemas 1. Hallar A + B + C + D en la siguiente adición: 6666 666 66

¿Cuál es el producto si la suma de los productos parciales es 5478?

6666 + 6666 6666

A) 23406 D) 23460 148 sumandos

6666

666 66

B) 16

B) 23046

C) 23640 E) 23466

5. Un número de cuatro cifras se divide entre 48y se obtiene 24 como cociente y un residuo máximo. ¿Cuál es el dividendof

6 DCBA A) 15

4. Se multiplica un número de tres cifras por 47.

A) 1204 D) 1202

C) 17

D) 18

E) 19

2. Esta adición ha quedado propuesta esperando que alguien se atreva a re solverla, Sólo te pido que me digas, cuál es la cifra de las unidades de millar de la suma.

B) 1199

C) 1224 E) 1203

6. i Cuál es el menor número por el que debo multiplicar a 33 para obtener un número formando solamente por cifras 7? B) 23567

A) 23568 D) 23565

C) 23566 E) 23569

7. Hallar C + D + U si:

128 cifra »

4747............. 4747 + 474.............. 4747 4 7 .............. 4747

A) 19 B) 18

7 7 ....... 777 + 7 ........ 777 77 sumandos

C) 15

777 77 7 CDU

D) 16

4747 474 47 4

E) 17

8. Hallar C + D - U en: A) 5 A) 3

B) 4

C )5

D) 2

E) 6

3. Si a + b + c + d - 23, calcular:

B) 6 0 7 D) 8

abcd + dabc + cdab + bcda A) 25533 D) 5553

B) 23553

E) 9 O 25553 E) 2553

686 68

........6868 + ........ 8686 6868 686 68 6 CDU

68 sumandos


2.1.5 ¿En qué cifra term ina?

79

Origen de los Signos

[Problema 1 j

(Z E D

H allar en qué cifra term ina el resu lta d o de la si gu íen te operación:

El origen de las abreviaturas co m erciales se los encuentra en COMPENDWM ARITHMETICA MERCA-

4 9 7 2450 + 3 4 9 6754 Resolución No pensarás efectuar la operación. ¡Ni lo sueñes! Entortees, ¿cómo puedo saber la cifra en que termina el resultado de la operación sin efectuarla ? La pregunta es, “en qué cifra termina el resultado” y no *hallar el resultado. Para determinar en qué cifra termina el resultado de la operación no es necesario efectuarla. Solamente hay que trabajar con las cifra s term inales. -

-

-

-

-

.

_

_

_

Antes, vamos a convenir en dos cosas: primero.- El símbolo 42 representa al número cuarentidós,

en realidad no es el número, sino, la representación del número. Lo correcto es llamarlo numeral. Pero por cues tiones prácticas, al numeral lo llamamos número y así vamos a considerar en este texto de aquí en adelante. segundo.-

Para designar que un número termina, por ejemplo en 7, vamos a escribir (...7) que leeremos “un número que termina en 7. Así; 426=...6 significa que el número 426 termina en 6. Por ejemplo, “(...7)2 = ... 9”, se leerá Uun número que termina en 7 elevado al cuadrado, termina en 9”, esto es cierto cualquiera sea el número que termina en 7. La expresión “... 8 + ...9 =...7” se leería: “un número que termina en 8 sumado con otro que termina en 9, termina en T .

de Eger, impreso en 1489 en Leipzig por J. Widmann. An tes, y aun después, los matemáti cos empleaban o emplearon las palabras et o addi tus, dem ptus o m inus (Fibonacci, 1202), P y m (Nicolás Chuquet, 1484) P y m (Cardan, siglo XVI). torum ,

CE) Signo de multplicación; aparece en la obra del inglés William Oughtred C l a v i s M a t h e m a t i c a (Oxford, 1631). Antes Michel Stiffel había empleado el signo M (1545); Francois Viéte, el fun dador del álgebra moderna escri bía irt. C

D

Nuevo signo de multiplicación in troducido por el filósofo y mate mático Leibniz en 1698. C

D

Este signo de la división se debe igualmente a Leibniz. Antes de él, en 1659 el inglés Rahn había usa do el signo -f, que aún se emplea a veces en los países anglosajones.

Ahora volvamos a la resolución del problema. Primero averigüemos en qué cifra termina 4972450 y lue go procederemos con 3496754.

• (497 f 450 = (...7)2450 Tenemos que averiguar en qué cifra termina un número

C E Se encuentra en T h e W e h s t o n e o f W it t e de Robert Recordé publica do en Londres en 1557. En el con tinente, hasta Leibniz, se continúa escribiendo el signo cartesiano cu 9

C o n tin ú a e n l a S o t e , pá g in a

-»


80 que termina en 7 elevado a 2450. Veamos por inducción: (... 7)1 = ... 7

(... 7)s = ... 7

(... 7)9 » ... 7

(... 7)2 = ... 9

(... 7)6 * .... 9

(... 7)10 » ... 9

(... 7)3 a ... 3

(... 7Y = ... 3

(... 7 )u a ... 3

(... 7)4 a ... 1

(... 7)8 = ... 1

(... 7)12 = ... 1

C.. 7P — ... 9 x 7 =... 3

Cada vez que el exponente sea múltiplo de 4, la potencia termina en 1. Si el exponente es mayor en 1 al múltiplo de 4, termina en7. Si el exponente es mayor en dos uni dades al múltiplo de 4, la potencia termina en 9. Así sucesivamente. ¿Has comprendido?... Si es así, es sufi ciente analizar el exponente. En (...7)2*60 el exponente es 2450. Averigüemos si es 0 múltiplo de 4: (Múltiplo de 4 se denota por 4 ) 2450I4 2 612

V ie n e

d e l a p á g in a a n t e r io r

2450 = 2 448 + 2 => [ 2 4 5 0 = 4 + 2 }

O

El exponente es mayor en 2 unidades al múltiplo de 4, entonces: 4972*60 = ( _ 7)M50 = ( 7)4- .2 = (...7)2

...9 )

Mayor que y menor que, fueron signos imaginados por Thomas Harriott ( A r t e A n a l y t ic a P r a x is , Londres, 1631). d

Ahora veam os 349*7M {349 f 54= (...» )

El paréntesis se debe al matemá tico francés Girará (principios del siglo XVII).

6754

P or inducción: (... 9 )*= ... 9 (... 9)2= ... 1 (... 9)3= ... 9

Cuando el exponente es par la potencia termina en 1, y cuando es impar, en 9. Luego: (349)6754= (...9)67M= (....9)par = Q j

L rJ Símbolo del infinito se encuentra en A r it h m e t ic a in f in it o r u m , 1655, de Wallis. ( a = b (rnod c j) a = b módulo c, que significa que a es múltiplo de c más b, fue imagi nado por Gauss, en 1801.

(... 9)4= ... 1 Finalmente: 4972460 + 3406754 = (...7)2450 + (...0)6754 =

D

0 + A _ £70) G

El resultado termina en cero. (R p t a o )

D

El signo de la factorial (3!=1 *2x3) creadopor Krqmp,en1808. C o n t in ú a

e n la

S ote,

p a g in a - >

81


[Problema 2 ] V ie n e

¿En qu é c ifr a term in a el resu lta d o d e operar, ( l i l i l í + 222222 + 33333S)444444 Resolución La operación pedida se reduce a: 444444

(...1 + ...2 +--...3 ) '

= (...6 )

444444 =

M

J

...6

Un número que termina en 6, elevado a cualquier expo nente termina en 6. {R pta: 6

[ Problema 3 ] “Com pré casets im portados a 9 soles y un núm ero im par de casets nacionales a 5 soles. P agué con 150 soles y me dieron 23 soles de vuelto99Com entó N éstor a su hijo. “Sé cu án tos cassets has com prado p a p á n contestó el hijo9tras h acer algunos cálculos. ¿Cómo lo supo? ¿C uántos com pró? Resolución • El importe de la compra es 150 - 23 = 127 • Si x son los casets importados e y los nacionales, resul ta: 9x + 5y = 127

• Impar x 5 = ..5 ..7

Exponentes y radicales: a La notación de las potencias por medio de exponentes se atribuye a Descartes quien escribía aa, a3, a4, a5, etc. El empleo de aa por a2con tinuó durante mucho tiempo (el mismo número de signos tipográ ficos). Pero si Descartes generalizó el empleo de los exponentes, no fue él quien los inventó. Se los descu bre en el T r ip a r t y e n l a S c ie n c e d e s n o m b r e s , escrito en 1424 —y redescubierto en 1841^—por el mé dico y matemático Nicolás Chaquet.

La primera utilización de estos signos para designar la raíz cua drada, la raíz cúbica, la raíz cuar ta, se encuentra en el matemático alemán Rudolph (die Coss, Leipzig 1525); su compatriota Michel Stiffel los vulgarizó en A r it h m e t ic a U n iv e r s a u s (1544)

(1)

Para buscar los valores de x e y que satisfagan esta igualdad, vamos aplicar lo que hemos aprendido del ca pítulo hasta el momento:

9 x + 5 y = 127

d e l a p á g in a a n t e r io r

• .. 2 + .. 5 = .. 7

PRÁCTICA ¿En qué cifra termina cada una de las siguientes potencias ? 5 I24= ..

¿En qué cifra debe termina 9x?... Muy bien en 2. Para que 9x termine en 2, x debe ser 8 ó 18. No puede ser 18 porque 9 x 18 = 162 resulta mayor que 127. Luego: 9x+5y 72

55

6S00 = S900 = 149149=

= 127 = > x+ y = 8 + 11 = 19

[ R p ta : 19 )

472m =


82

Problemas 1. iEn qué cifra termina el resultado de cada una de las siguientes operacionesí d) 242651

a) 24i00 b) 38460

3 10 + 4 u + 5 I2 + 6I3+ 714* ... +200207 A) 4

e) 393™ f) 241950

c) 2751000

6, ¿En qué cifra termina el resultado de?

B) 3

C )4

D) 1

0 6

D) 8

E) 7

7. ¿En qué cifra termina:

¿Cuántos no terminan en 5 ni 1? A) 2

B) 5

100 + 3101 + 3 102 + ... +3 400 E) 5 A) 2

2. Hallar la última cifra del resultado de operar:

B) 0

C )1

D) 4

E) 3

8, ¿En qué cifra termina el resultado de: 8 120 + 8 121 + 8 122 + 8 123 +

^ + g 300

(373200 + 432300'jtO° A) 6 A) 4

B) 1

0 2

D) 3

j2ioo+3aio + 4« o + 5« o +6« o + 7« » j ? B) 2

C )3

D) 5

E) 7

4. ¿En qué cifra termina el resultado de.

B) 1

C )3

D) 4

E) 5

A) 6

B) 8

+ 3824 O O

D) 2

E) O

¿En qué cifra termina k? A) 2

E) 4

B) 4

0 8

D) 6

E) 9

10, ¿Si a403 termina en 3, siendo a un número entero positivo. ¿En qué ci fra termina a? B) 3

C )5

D) 7

E) 9

11. ¿Si m354 termina en 9, ¿en qué cifra termina m652? A) 2

5. El resultado de la operación: 24

D) 4

9. ¿Si k307 termina en 2, siendo k un nú mero positivo,

A) 1

2 3 °° ^ 4 0 + ? 5 0 y 8 200 J g 4 0 + g 50 J

A) 0

0 8

E) 5

3. ¿En qué cifra termina el resultado de operar

A) 1

B) 2

B) 1

C )9

D) 4

E) 3

12. Si al multiplicar ABC por un nú mero que termina en 347, el produc to termina en 933, ¿cuál es el valor de A + B + C? A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16


83

LA CRIPTOGRAFIA

2.1.6 C riptoarítm ética La criptoarítmética no es más que un juego. Consiste en reemplazar las cifras de las operaciones matemáticas por letras u otros signos. El problema radica en hallar las cifras que se “esconden” bajo las letras. No se sabe en qué época se inventó, pero los aficionados a este atrac tivo juego comenzaron a interesarse por ella en el Pri mer Congreso Internacional de Recreación Matemática celebrado en Brúcelas en el año 1935. La elaboración de un problema de criptoaritmética es un procedim iento de cifra p or sustitución, bajo una regla aritmética. Los problemas criptoaritméticos son bastante seducto res, sus soluciones no requieren conocimientos mate máticos avanzados, pero exigen numerosas hipótesis y, en consecuencia, cálculos largos y trabajosos que impli can grandes riesgos de confusión. Por eso amigo(a), lector(a), te recomiendo paciencia y minuciosidad para este género de problemas, pues los resultados serán muy gratificantes.

[Problema 1 j Lupita ha d escu bierto que p a ra m u ltip lica r p o r 3 el núm ero 1ABCDE basta tra sla d a r la cifra 1 al fin a l del núm ero. ¿P uedes h a lla r A +B + C + D + E ? R esolución Disponemos la multiplicación en la forma habitual: 1° 3 x E termina en 1 Io 1ABCDE 3 ABCDE1 1ABCD7 x 3 ABCD71 4 2 8

i i i 1ABC5 7 x 3 A B C 571 t t t 4

2

8

E =7

3 x 7 = 21, pongo 1 y llevo 2 2° Sustituyendo E por 7: 3 x D + 2 termina en 7

D =5

3 x 5 + 2 = 17, pongo 7 y llevo 1 3° Sustituyendo D por 5: 3 x C + 1 termina en 5

Ca8 3 x 8 - 1 = 25, pongo 5 y llevo 2 4* Sustituyendo C por 8: 3 x B + 2 termina en 8 ^ B * 2 3 x 2 + 2 = 8 pongo 8 y no llevo 5* Sustituyendo B por 2 3 x A termina en 2 => A = 4

La Criptografía (cripto - oculto, grafía = escritura) es el arte de las escrituras secretas. Desde tiempos muy remotos han sido utilizados los mensajes secretos por muchas per sonas desde los amantes secretos has ta los espías de países rivales. La Criptografía consiste en transfor mar un mensaje en un mensaje secre to, mediante transposición, mezclan do según una regla las letras, las ci fras, frases o palabras, o mediante la sustitución, que consiste en reempla zar esos elementos por otras letras , cifras o signos. El emisor transforma el mensaje (me diante el cifrado) en uno secreto que sólo el destinatario lo puede entender (mediante el descifrado). Si dejamos de lado los textos bíblicos en cifra, dis cutidos y discutibles, el procedimiento criptográfico más antiguo que se co noce es la escitala de los lacedemonios, de la que Plutarco nos dice que fue empleada en la época de Licurgo (si glo IX antes de nuestra era). La escitala era unpalo en el cual se enro llaba en espiral una tira de cuero. Sobre esa tira se escribía el mensaje en columnasparalelas al eje delpalo. La tira desenrollada mostraba un texto sin relación aparente con el texto ini cial, pero que podía leerse volviendo a enrollar la tira sobre un palo del mismo diámetro que el primero. Hoy los procedimientos de cifrado uti lizan las técnicas de la electrónica y son tan complejas en comparación con los procedimientos antiguos.

84


Luego: A + B + C + D + E = 7 + 5 + 8 + 2 + 4 = 26 yRpta.:26)

En cada una de estas multiplica ciones, las cifras del multiplican do, multiplicador y producto son las 9 cifras significativas (1 al 9).

[Problema 2 ] En la siguiente multiplicación se han borrado las cifras que fueron escritos con lápiz. ¿Puedes comple tarlas. Cada asterisco indica la cifra que falta.

Descubre las cifras y reemplaza los asteriscos. ■-,i-• * * *x * * ** * *

Resolución Completamos las cifras obvias y sustituimos algunos asteriscos por letras En 1

Significa “termina en 3“

* n x9 = ..3 <=> n =7 * m x9 = ..5 <=>m =5

Reto al ingenio 5

.

^

Hay 2 soluciones para la primera multiplicación y 7 soluciones para la segunda. Encuentra una de ellas para cada multiplicación.

*7 3

**5

En 2

**2 3

7x9=63

se pone

ARITMETICA DE LOS PARES E IMPARES

£_x6 +á" = .^7 1 . . J

^

5

--------------------------------------------------------------

7 x3 +6 =27 |a =1 C om pletando se obtiene:

1 3 9x 57 97 3 695 7923

Problema 3 Hay un numeral de 4 cifras que tiene una curiosa propiedad: si quieres multiplicarlo por 4y es sufi ciente que inviertas el orden de sus cifras. ¿Te atre ves a hallarlo? Resolución Sea ABCD el numeral, entonces debe cumplirse que En 1 © ABCDx á________ v 4 * 4 x D = ..A => (A es par J DCBA * 4 x A = debe ser de una cifra => A - 1 6 2, como es par (A - 2 )

El conjunto de los números ente ros positivos 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;.... se divide en dos subconjuntos: los pares y los impares pares: 2; 4; 6; 8; 10; ... Impares: 1; 3; 5; 7; 9;... Mediante operaciones de adición y multiplicación con números pa res ¿puedes obtener un número par? 4 + 8 = 12 (par) 246 + 572 = 818 (par) 2 4 x 8 = 192 (par) Ahora intentemos con los impares: *

7 + 9 = 16 (par) 7 x 9 = 63 (impar) 1 3 x 5 = 195 (impar)

Problemas de Operaciones Binarias #

2BCDx 4 DCB2

En 2 * 4 x D = .2 * pero D > 4 x 2

85

y

D -3 ó 8

CD=

8

)

En 3

¿Qué conclusiones puedes deducir de estas observaciones? ¿Puedes enunciar alguna ley de la aritmé tica de los pares e impares? A d ic ió n

3 2BC8x 4 8CB2

*

4x8=32

* 4 x C + 3 = ..£

se pone (B es impar)

* Del producto 4 x B no se lleva => B = 1 ó2 , como es impar [B = l ) í ) 21C8 x 4 8C12

+ PAR = ......... IMPAR + IMPAR = ........ PAR + IMPAR = ........ PAR

M u l t ip l ic a c ió n

= ....... IMPAR X IMPAR = ........ PAR X IMPAR = ........ PAR

En 4 * 4 x C + 3 = ..!= > C = 2 ó 7 .3 * Pero C > 4 x 1 = ( C = 7 ¡ ABCD = 2 17 8 )

[ Problema 4 ] Un club moderno está reglamentado del modo siguiente: Sólo es posible entrat en parejas de hom bre y mujer. Los socios tienen un carnet con un có digo par para las mujeres y un código impar para los hombres. En la puerta de ingreso hay un apara to de códigos que tiene una ranura en la que los miembros introducen su carnet para ingresar. El aparato transmite la lectura a un computador, el cual opera con los códigos de la pareja y según el resultado activa un interruptor para abrir la puer ta, Si la pareja es del mismo sexo, no ordena abrir la puerta, ¿En cuál de las leyes, adición o multipli cación, de la aritmética de pares e impares, está basada el programa de la computadora f

Terminando de completar el cua dro de arriba, has enunciado las leyes que rigen la aritmética de los pares e impares. ¿La importancia de estas leyes se podría comparar con las de Newton ? Tal vez no. Pero las leyes de Newton han sido cues tionadas porque han sido puestas en evidencia sus limitaciones, por tanto, su validez es restringida. Compara estas leyes, con la ley de los signos de la adición y multi plicación de enteros. ¿Tienen aplicación estas leyes? ... ¡Si! y muchas.

Ejercita

Resolución C ódl par

C ód 2 par

par im paf ' impar par impar impar

C ód 1 + C ód 2

C ód 1 x C ód 2

par

par

impar

par

impar par

par impar

Sólo en la adición dos códigos de distinta paridad dan impar y dos códigos de la misma paridad dan par. En tonces, la computadora suma los códigos: si resulta im par abre la puerta; si resulta par, no abre la puerta.

X PAR

S i x - >par e y = impar Deduce: a)

x* + y* =

b)

x^ + y3 =

c)

3x+2y =

d)

ry + x + y

e) 3x? + 2y + 1


86

Problemas ¿Puedes determinar qué cifras ht reemplazado cada una de las letr en la siguiente adición f Te doy u¡ pista: C es impar,

L En la multiplicación 2 M N Px ________ 3 M N P 1 Las cifras han sido sustituidas por letras. Luego de descifrar calcular MN x NP B) 4585

A) 4845 D) 4835

C) 4854 E) 4848

2, En la adición siguiente: A B C D+ C B A D 13 1 2 8

5 3 C D+ E D C 3 K 3 K 5 G Hallar: (C + D + E + E +G J A) 22 B) 21 C)20

D) 19

E) 18

6, Reconstruir la multiplicación y dar como respuesta la suma de cifras del multiplicando,

* * *x * 9 * * 7 * * * 9 *

Cada letra sustituye una cifra,

* 9 * 9 6

¿Cuánto vale A + B + C + D ? A) 18 B) 20

C) 21 D) 22

E) 23

AT+ M 2 8

C)7

A) 11 B) 10 C)9 D) 12

D) 8

E) 7

E) 9 8. En la siguiente división hallar ( A + B + C)

4. Restituir la adición A B 7 D + B 7 D A 14 2 3 4

2 A A 7 B |A A B C C C B BB C CC B C C C B

/

Hallar (A + B + D) A) 12 B) 13 C)14

E) 19

4 * * 6 \*2 3 * * 5* * * * * *

y calcular J í + N + P A) 10 B) 6

D) 18

7. Completar la división y dar la suma de cifras del divisor,

3, Completar la adición: M 7 4 P 7 5 N M NM M 6

A) 15 B) 16 C)17

D) 18

E) 16

A) 10 B) 11 C)12

D) 13

E) 14


87

2.2 Problemas de Operaciones Combinadas 2.2.1 H allar dos núm eros conociendo la sum a y la diferencia Un problema clásico y de conocimiento obligatorio, consiste en calcular dos números cono ciendo la suma y la diferencia. Por ejemplo, ¿Cuáles son los dos números que sumados, dan 49 y restados dan 13? Lógicamente podemos acudir al álgebra, plantear un sistema de dos ecuaciones cuya solución nos dá" la respuesta. Podemos inclusive, generalizar. Seanx ey los números, que se desean conocer y sean S y D, respectivamente, la suma y diferencia de x ey. En consecuencia: x +y = S x -y =D

x + y = 49 x - y = 13

Sum ando (1) + (2) x + y + x - y = 49 + 13 2x = 62

T-'“ “ * may&r: x -

a)

x = 31 En (1) :31 + y = 49

(1) (2)

La solución del sistema es:

(1) (2)

y = 18

► S% D

>S-D Número menor: y - —~—:

Por ejemplo, S = 49 y D = 13; entonces: „

Pero, ¿cómo encontrar los números sin ayuda del álgebra? Sobre todo, cuando ciertas univer sidades, como la Universidad del Pacífico, no permite acudir a estas fórmulas. Veamos: Sean a y b los números buscados cuya suma es S y su diferencia D. Representemos las relaciones gráficamente:

Aquí se muestra que a y b suman S

En a tomamos b. Se pone de manifiesto que la diferencia d e a y b e s D .


88

En el gráfico (2), si a S le quitamos D, nos queda el doble de b. Por consiguiente la mitad de esta diferencia nos da el valor de b. Para hallar a, le sumamos D al número 6. Así, si la suma es 49 y la diferencia 13: Número menor: 49 - 13 = 36 => 36 -r 2 = [18 Número mayor: 18 + 13 = (3l) A la derecha mostramos más ejemplos.

[Problema 1 ] En la fiesta organizada por Panfis y sus amigos, las chicas bailaron a rabiar. Parecía que se ha bían puesto de acuerdo respecto con cuántos hom bres debían bailar. Carola bailó con Panfis y 7 más. Dora bailó con Panfis y 8 más. Rocío bailó con 10 muchachos. Así sucesivamente, la última bailó con todos los chi cos. Si a la fiesta asistieron 53 en total, ¿cuántos son los amigos y las amigas de Panfis que partici paron en la fiesta?.

1. Sum a-3781 Diferencia = 2183 Número menor: 37812183 1598 -r 2 =(799) Número mayor: 799 + 2183 = (2982) 2. Suma -2 8 5 7 Diferencia -1 2 4 0 Número menor:

Resolución

28571240

• Entre hombres y mujeres hacen 53 (suma = 53)

1617 t 2 = (808,5)

• Si unn representa el total de mujeres y v el total de varones, se tiene:

Número mayor: 808,5 + 1240 =(2048,5)

Io Carola bailó con 8 => 8 - 1 = 7 2o Dora bailó con 9 => 9 - 2 = 7 3o Rocío bailó con 10 =* 10 - 3 = 7 n° Ultima bailó con v => [v - n = 7 ) Se observa que la diferencia entre varones y mujeres es 7. Luego, hay que hallar v y n, conociendo la suma, = 53 y la diferencia = 7. Número de mujeres: 53 - 7 = 46 => 46 -r 2 = [23 am igas de Panfis. Número de varones: 23 + 7 = 30 => Í29 am igos de Panfis.)

f Problema 2^) Dos automovilistas separados 342 kilómetros, parten al encuentro al mismo tiempo y se encuentran luego de 2 horas. Hasta el encuentro el más veloz ha recorrido 36 kilómetros más que el otro. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido cada uno hasta el punto de encuentro? ¿Con qué rapidez en kmlh, suponiendo unifórme para ambos9se han desplazado cada uno?.

89

Problemas de Operaciones Binarias R esolución • Los recorridos de ambos tienen que sumar 342 km

• “El más veloz ha recorrido 36 km más que el otro”, significa que la diferencia entre los recorridos es 36 km. Luego: El menos veloz recorrió: 342 - 36 = 306 => 306 *r 2 = (l53 k m ) El más veloz recorrió: 153 + 36 = [l89 km.] El tiempo recorrido para ambos es 2 horas. El menos veloz recorrió 153 km en 2 horas, o sea 153 t 2 = (76,5 km /h) El más veloz: 189 -r 2 = (94,5 km/h)

[Problema 3 ] Chito y su amigo Aliso se disponen a jugar a las cartas. - Jugaré contigo, pero me tendrás que prestar 37 soles para tener ambos la misma suma —le dice Aliso mientras cuenta su dinero. - Acepto. Además, como pienso ganarte todo el dinero que tienes, tendré 346 soles luego de dejarte “m ido”. ¿Puedes calcular cuánto de dinero tiene cada uno? R esolución Dinero de Chito

• Entre ambos tienen SA 346. (Suma = 346) • Si para tener ambos la misma suma, Chito da S/. 37, entonces la diferencia entre las sumas que poseen es 2 x 37 = 74 (Ver fíg.)

J SI. 37 Dinero de Aliso

Aliso tiene: 346 - 74 = 272 => 272 -r 2 = (136 s o le s ) y Chito tiene : 136 + 74 =( 210)

Problemas 1. En una fiesta donde participaron 88 personas, la primera dama bailó con 5 caballeros, la segunda con 6, la ter cera con 7, así sucesivamente, la úl tima bailó con todos los caballeros. ¿Cuántos caballeros asistieron a la fiesta? A) 42 B) 43 C) 44 D) 46 E) 48 2. En una pista circular de 480 m de lon gitud, parten simultáneamente dos atletas, del mismo punto de la pista y en sentidos contrarios. Cuando se encuentran, uno ha recorrido 14 m más que el otro, ¿Cuántos metros ha

recorrido el más veloz hasta el punto de encuentro? A) 240 m D) 237 m

B) 247 m

C) 233 m E) 245 m

3. Carmen le dice a Piero. - Entre ambos tenemos 134 soles. Si tú me dieras 23 soles, ambos tendríamos la misma suma. ¿Cuánto tiene carmen? A) 36 soles B) 40 soles D) 67 soles

C) 44 soles E) 48 soles


90 4. D os artícu los se venden en 348 soles9 cobrando p o r uno de ellos, 24 soles más que p o r el otro. ¿En cuánto se vendió e l m ás b a ra to? A) S/. 180 D) SA 146

B) S/. 188

C) S/. 162 E) SI. 160

6. Se vendieron 40 ju eg os de buzos (casa ca y p a n ta lón ) en 1280 soles. L a ca sa ca cu esta 6 soles más qu e el pan talón . ¿C uál es el p r ec io de un p a n ta ló n ? A) 19 soles D) 14 soles

B) 16 soles


5. Una varilla de m adera d e 134 cm de longitud se rom pe en dos pedazos uno 20 cm más largo que el otro.

7. Un recip ien te llen o de agua p esa 13 kg. Si el con ten id o p esa 11 k g más que el recipien te.

¿Cuál es la longitud d el p ed a zo más largo?

¿C uántos litros d e agua con tien e el re cip ien te?

A) 77 cm D) 80 cm

B) 76 cm

C) 57 cm E) 65 cm

A) 121 D) 9 Z

B) 11Z

OlOZ E) 8Z

2.2.2. A plicaciones com erciales

[ Problema 2]

^Problema 1 j

Se com praron varios a rtefa ctos en 297 soles y se vendieron en 427 soles. Los ga s tos de venta ascienden a 68 soles. ¿C uál es la u tilidad neta de la venta?

Se com pra un a rtícu lo en 248 soles y se vende en 398 ¿Cuál es la g a n a n cia en la venta? Resolución r ^ Para vender un producto se invierte en la compra o en producirlo. El importe de la venta puede ser igual a la suma invertida, entonces no hay gan an cia ni pérdida. Puede ser menor que la suma invertida, entonces hay pérdida. Por último, puede ser mayor que la suma invertida, entonces hay ganancia. Por consiguienteyla diferencia entre el pre cio de venta y la inversión hecha en la com pra o su producción, nos da la ganancia o la pérdida. Comprando en 248 soles se vende en 398 so les, entonces se gana 398 - 248 =

150 soles \Rpta.: 150 soles )

R esolución *■ ■ 1 —■——— -.... Generalmente el proceso de la venta ocasio na gastos, como el pago de vendedores, gas tos de movilidad, embalaje, etc. Entonces la diferencia entre el p recio de venta y el p recio de costo da la ga n a n cia bruta. De esta ganancia se descuentan los gastos de venta y nos queda la ga n a n cia neta. ^ - — .... Ganancia bruta : 427 - 297 = 130 soles Ganancia neta : 130 - 68 = 62 soles ( Rptcu: 62 soles J

( Problema Un a rtícu lo se com pra con un descuento d e 18 soles sobre el p recio d e lista y se vende en 348 soles, obtenien do una g a n an cia neta de 48 soles. L a venta oca sio-


91

nóun gasto de 37 soles. ¿Cuál es el precio de lista del artículo?

( Problema 5 j

Resolución

Un comerciante ha comprado 80m de tela a 18 soles el metro. Esta tela tiene la pro piedad de encogerse 2 cm por cada metro cuando se lava.

Muchas empresas elaboran una lista depre cios para ofrecer al público. Pero, general mente en el momento de la venta se hace un descuento sobre este precio. La ganancia bruta incluye los gastos de venta y la ganancia neta, o sea, es: 48 + 37 = 85 soles. • Para que al vender en 348 soles la ganancia bruta sea 85 soles, quiere decir que costó 348 - 85 = 263 soles. • Se compró en 263 luego de un descuento de 18 soles, entonces el precio de li6ta es 263 + 18 = 281 soles. (Rpta.: 281 soles]

¿A qué precio debe venderla el metro des pués de lavarla, si quiere ganar 520 so les en este negocio? R esolución El comerciante ha invertido 80x18 = 1440 soles. Al lavarla, de cada metro sólo queda 0,98 m, entonces, de los 80 m etros queda 0,98x80 = 78,4 m. Para ganar 520 soles debe vender toda la tela en 1440 + 520 = 1960 soles, esto es, a 1960-r78,4 = 25 soles el metro. ( R p t a 25 soles

[Problema 4 ]

( Problema 6^

Se ha comprado 13 docenas de vasos por 345 soles. Los vasos fueron vendidos por decenas a 24 soles, la decena. ¿Cuál es la ganancia de la venta? R esolución Cuando no se especifica respecto del tipo de ganancia, se sobreentiende que se refiere a la ganancia bruta. ¿Cuál es tu plan para resolver el problema?... Te sugiero la siguiente idea: Tenemos el pre cio de costo, ¿no es cierto que averiguando el importe de la venta el problema estaría re suelto? Veamos: Las 15 docenas son 15 x 12 = 180 vasos, que hacen 180 ^ 10 = 18 decenas. Cada decena se vendió en 24 soles, entonces el importe de la venta es 18 x 24 = 432 soles. Luego la ganan cia es 432 —345 = 87 soles. ( Rpta.: 87 soles]

Un ómnibus que cubre la ruta entre dos puntos de una ciudad, ha recaudado 58,2 soles en pasajes. El precio del pasaje es único e igual a 0,6 soles, sin importar el lugar donde suba o baje el usuario. Cada vez que bajó un pasajero subieron tres, y el ómnibus llegó con 68 pasajeros al pa radero finaL ¿Con cuántos partió del pa radero inicial? R esolución El total de pasajeros que hicieron uso del ómnibus es 58,2-r0,6 = 97, de éstos, sólo lle garon 68 pasajeros al paradero final; enton ces se bajaron 97 - 68 = 29 en el trayecto. Si se tagaron 29, entonces subieron 29x3 = 87 en trayecto; luego, el ómnibus salió con 97 87 = 10 pasteros. [R p ta .: 10 pasajeros)


92

[ Problema 7 ) Un com erciante ha com prado espejos de la misma ca lid a d a 15 soles la d ocen a p o r un monto de 360 soles. Los vende a 2 soles cada esp ejo. D urante las ventas se le rom pieron 5 espejos y los gastos de venta ascienden a 34 soles, ¿Cuál es su ga n a n cia n eta?

Comentario

Resolución Para conocer la ganancia neta debemos conocer el im porte de la venta. ¿Cuántas docenas son?... 360 - 15 = 24 docenas que ha cen 24x12 = 288 espejos. Se rompieron 5, entonces se vendieron sólo 283 a 2 soles cada uno, o sea a 283x2 = 566 soles. Descontando el costo y los gastos de venta resulta 566 - 360 —34 = 172 soles, de ganancia neta. ( R pta.: 172 soles )

cProblema 8 Perico ha com prado en la ch acra lim ones a 3 soles la docena, p o r un m onto de 144 soles. P or cada do cena le han regalado 5 lim ones. El los vende a 6 p or 4 soles y regala 2 p o r la com pra de cada 6 limo nes. Perico no es de ga sta r mucho, p ero ha gastado 45 soles en los tres días que le dem andó la venta. ¿Cuál fue su utilidad n eta ?

Muchos estudiantes opinan que los métodos razonados de resolu ción de problemas son largos; sos tienen esta versión porque en la resolución ven una explicación “extensaPero te propongo algo muy interesante: “borra” todas las palabras de la explicación y quédate solamente con las opera ciones, ¿cuál es más extenso: el método algebraico o el razonado ? Pues cuando resuelves un proble ma por el método razonado, no es preciso que escribas todo tu razo namiento, sino sólo las operacio nes y el proceso de razonamiento lo realizas mentalmente.

Reto al ingenio 6

Resolución Comprar a 3 soles la docena con 5 limones de regalo por cada docena, equivale a pagar 3 soles por cada 17 limones. Igualmente, la venta de 6 limones a 4 soles con 2 de regalo equivale a vender 8 por 4 soles. Compró 144 -r 3 = 48 docenas más 48 x 5 = 240 limones de regalo, o sea, 48 x 12 = 576 + 240 = 816 limones. Los vende en grupos de ocho a 4 soles cada grupo: son 816 ~ 8 = 102 grupos a 4 soles dan 408 soles. La ganancia bruta es 408 - 144 = 264 soles, menos los 45 soles de gastos, resulta 264 - 45 = 219 soles de ganancia neta. [R p ta .: 219 soles)

En cada casillero de la tabla co locar un dígito del 1 al 8, de modo que no haya 2 digitos consecuti vos en dos casillas que tengan un lado o un vértice común


93

[Problema 9 j Milton compró 72 docenas de huevos. Le regalaron 3 huevos por la compra de cada docena. El ha planificado vender a 5 por 3 soles. Luego de vender 60 huevos según lo planificado se percata que ha ganado sólo 12 soles y que sus gastos de venta van a llegar a 68 soles. ¿A qué precio debe vender cada huevo de los restantes, si quiere obtener una utilidad neta de 148 soles?. R esolución -

Primero hallaremos el importe del costo, luego averiguaremos cuánto debe ser el monto de la venta para satisfacer sus metas. —

-

-

-

-----------------

• Por cada 5 huevos recibe 3 soles. En 60 huevos hay 12 grupos de 5, entonces recibió 12 x 3 = 36 soles, de los cuales 12 soles son su ganancia, entonces el costo de los 60 huevos es 36 - 12 = 24 soles, o sea, cada huevo le ha costado 24 60 = 0,40 soles. • Compró 72 docenas, o sea, 72 x l5 = 1080 huevos por 1080 x 0,4 = 432 soles, que es su precio de costo. • Para cumplir con sus metas, el importe de su venta debe cubrir su costo, sus gastos y su beneficio neto, o sea, debe ser: 432 + 68 + 148 = 648 soles. • Ya obtuvo 36 soles en la venta de los 60 huevos, le quedan 1080 - 60 = 1020 huevos en los que debe obtener 648 - 36 = 612 . Por consiguiente, cada huevo debe vender a 612 -r 1020 = 0,6 soles \ R p t a 0,6 soles

Problemas 1. Un ganadero ha comprado 12 carneros a 80 soles cada uno. ¿A qué precio debe vender si quiere ganar 192 soles en la venta de los 12 cameros?. A) 94 soles D) 97 soles

B) 96 soles


2. Se compraron 36 tocacintas y 21 cal culadoras p or 2232 soles. Los tocacintas se vendieron por 3024 so les y las calculadoras por 756 soles. La utilidad en un tocacintas es 3 ve ces la de una calculadora. ¿Cuánto costó cada tocacinta? A) 24 soles D) 8 soles

B) 25 soles


3. Compré cierto número de agendas por 768 soles. Al vender una parte de ellas a 20 soles cada una obtuve 240 soles, pero perdí 4 soles en cada una. IEn cuánto debo vender cada una de las restantes para ganar272 soles en todas las agendas? A) 48 soles D) 30 soles

B) 24 soles


4. Gabino ha comprado 1092 plumones a 6 soles cada uno. Por cada docen a le regalaron uno. ¿A qué precio debe vender el ejem plar, si desea ganar 1440 soles, re galando 2 plumones por cada doce na?.

94

Razonamiento Matemático A) 4 soles D) 8 soles

B)5 soles


5. Ricardo compró cierto número de ob jetos por 14 000 soles, vendió parte de ellos por 5400 soles a 45 soles cada uno, ganando en esta venta 600 soles. ¿Cuántos objetos compró Ricardo? A) 300 D) 360

B) 320

C) 350 E) 480

6. De una pieza de tela de 36 m se ha vendido una parte a 90 soles y otra parte a 72 soles, quedando 9 m. ¿Cuál es el precio por metro, si en la primera vez se vendió 3 metros más de tela que en la segunda vez? A) 4 soles D) 7 soles

B) 5 soles

7. Un comerciante ha vendido 5 televi sores. De las utilidcules ha tenido que pagar ciertos gastos como impuestos, entre otros, por un monto equivalen te al precio de costo de un televisor y le ha quedado como utilidad neta 960 soles. Si no tuviera que pagar los gas tos, dos operaciones de esta natura leza le producirían una utilidad su ficiente para comprar 5 televisores nuevos. ¿Cuál es el precio de costo de un tele visor?. A) 480 soles C) 960 soles E) 560 soles

B) 540 soles D) 640 soles


[Problema 8 ] Un granjero vendió 15 cerdos y 12 patos por 1824 soles. ¿Cuánto vale cada si el precio de un cerdo es 3 veces el de un pato? Resolución Vender 15 cerdos equivale a vender 15 x 3 = 45 patos. Vender 15 cerdos y 12 patos equivale a vender 45 + 12 = 57 patos a 1824 soles. Cada pato se vendió en 1824 -r 57 = 32 soles, de donde se deduce que cada cerdo se vendió en 32 x 3 = 96 soles. [Rpta.: 96 soles]

[problema 9 l Entre 6 personas tomaron un taxi por 30 soles. Algunas de ellas no podían pagar, entonces cada una de las restantes tuvo que pagar 2,5 soles más de lo que le corres pondía ¿Cuántas personas no pagaron? Resolución Lo que han de pagar son 30 soles, a cada una le corresponde pagar 30 ~ 6 = 5 soles. Sin embargo, cada una de las que pagaron aportó 5 + 2,5 = 7,5; entonces las que pagaron son 30 *r 7,5 = 4. Por lo tanto, las que no pagaron son 6 - 4 = 2 personas. (Rpta.: 2 personéis]

95


[ Problema 1Ó] Una empleada ha sido contratada por 15 meses, tiempo por el cual se le ha ofrecido pagar 3 240 soles y un televisor. Cumplido los 8 meses la empleada renunció al trabajo, recibiendo como pago 1560 soles y el televisor. ¿En cuánto estaba valorizado el televisor? Resolución Por dejar de trabajar 15 - 8 = 7 meses, dejó de percibir 3240 -156 0 = 1680, entonces por cada mes se le paga 1680 t 7 = 240 soles. Por los 8 meses se le debería pagar 240 x 8 = 1920 soles, sin embargo se le ofrece 1560 soles y el televisor, se deduce entonces que el televisor vale 1920 - 1560 = 360 soles. ÍRpta.: 360 soles\

[ Problema 11) Un-padre dejó al morir 1360 soles a cada uno de sus hijos; pero el mayor renunció a su parte y la parte de éste se repartió por igual entre los menores, recibiendo entonces'cada uno de ellos 1530 soles. ¿Cuántos hermanos son en total? Resolución Cada uno de los menores ha recibido 1530 - 1360 = 170 soles demás debido a la renuncia del mayor, esto implica que, habiendo dividido los 1360 soles del mayor entre los menores, a cada uno le tocó 170 soles demás. => # hermanos menores es 1360 -r 170 = 8. Son 8 + 1 =

9 hermanos.

___________________ [Rpta.: 9 hermanos]

Problemas 1. Para comprar un computador, un grupo de personas ha reunido 2700 soles aportando por igual, sin embar go, el computador cuesta 3060, razón por la cual, cada una tendrá que aportar 8 soles más. ¿Cuánto habían aportado cada una inicialmente? A) 56 soles D) 60 soles

B) 55 soles C) 58 soles E) 62 soles

2. Dos confeccionistas deben coser el mismo número de pantalones. El pri mero de ellos cose 3 pantalones por día y el segundo, 5 pantalones por día. El primero ha empezado 12 días

antes que el segundo ¿Cuántos días trabajó cada uno? A) 18 d y 36 d C) 22 d y 34 d E) 22 d y 34 d

B) 20 d y 32 d D) 18 d y 30 d

3. Una máquina fabrica 48 botellas en 12 minutos y otra máquina fabrica 75 botellas en 15 minutos. ¿Cuánto tiempo se necesita para fa bricar 243 botellas con ambas má quinas? A) 25 min D) 30 min

B) 27 min

C) 29 min E) 42 min


96 4. Un estante de libros tiene capacidad para 42 libros de aritmética y 35 li bros de álgebra o en su defecto 36 li bros de aritmética y 45 de álgebra. ¿Cuántos libros de álgebra entran en el estante?

7. Una empleada ha sido contratada por un año, ofreciéndole pagar 5080 en efectivo y una refrigeradora. Lue go de trabajar 8 meses, la empleada se retiró recibiendo 3160 soles y la refrigeradora.

E) 105

¿En cuánto está valorizada la refrigeradora ?

5. Había ahorrado lo suficiente como para comprar cierto número de espe jos; pero cuando fui a comprarlos, el precio del ejemplar había subido en tres soles, razón por la cual el dinero me alcanzó para 115 menos del núme ro previsto.

A) 680 soles B) 720 soles C) 630 soles D) 640 soles E) 860 soles

A) 95 B) 62

C) 85

D) 90

¿Cuál es el precio actual de cada es pejo? A) 12 soles D) 16 soles

B) 14 soles C) 15 soles E) 18 soles

6. Un comerciante vendió 8 televisores y 12 radios p o r3060 soles. Si cada tele visor cuesta tanto como tres radios, ¿cuál es el precio de cada televisor? A) 240 soles B) 120 soles C) 85 soles D) 250 soles E) 255 soles

8. Entre 8 amigos acordaron comprar un regalo para Carlín con ocasión de su cumpleaños. El regalo, nada ba rato, un hermoso velador, del que cuelga una tarjeta que anuncia 160 soles de precio. No hay opción a des cuento. A la hora de comprar algu nos de los amigos decidieron no par ticiparporque se pelearon con Carlín. Los otros piensan que ha sido a pro pósito por no aportar para el regalo. Pero eso no interesa, queremos saber, ¿cuántos son estos amigos tacaños, que han ocasionado en cada uno de los restantes un gasto adicional de 12 soles? A) 5

2.2.3 Problem as de falsa suposición Un tipo de problemas se conocen como problem as de falsa suposición, porque para su resolución se puede utilizar una estrategia que consiste en hacer una falsa suposición que provoca un error cuya corrección conduce a la solución. Sin embargo, no es la única estrategia, como para cual quier otro tipo de problemas, ni es la más eficiente. Hay muchas estrategias, algunos de los cuales expondremos mediante los siguientes problemas.

B) 3

C )4

D) 6

E) 2

Curiosidad Respetando la posición de las ci fras suma las dos adiciones si guientes. ¿Son iguales los dos re sultados? 123456789 + 1+ 21 12345678 1234567 321 123456 4321 12345 54321 1234 654321 7654321 123 12 87654321 1 987654321


97

Reto al Ingenio 7

[Problema 1~] Se han de repartir 180galletas entre 48 niños de un salón, dándole 5 a cada varón y 3 a cada niña ¿Cuántos de los niños son varones? R esolución Se puede distinguir que hay dos incógnitas: Cuántos son varones y cuántos son niñas. Este tipo de problemas se caracteriza porque se conoce la suma de las incógni tas. Además se conoce lo que corresponde a cada incóg nita y el monto de lo que corresponde a ambos.

Carlitas necesita hacer exactamen te 92 puntos. ¿Puedes ayudarlo, indicándole los números a los que debe apuntar? Ah!,., me olvidaba, debe hacer uso sólo de sus tres flechas

Vamos a resolver por varios métodos. METODO (1) Por ecuaciones Varones Niñas ; y } x + y = 48

... (i)

Los niños reciben 5x galletas y las niñas 3y galletas de modo que: 5x + 3y = 180

...(2)

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones Hallamos: No te presento la resolución del sistema de ecuaciones porque eso lo veremos más adelante. METODO (2) Método del reparto. Si repartimos 3 galletas a cada niño, sea hombre o mujer, utilizaríamos 3 x 4 8 = 144galletas y quedarían 180 - 1 4 4 = 36 galletas. Las niñas ya no reclaman más galletas. Las 36 galle tas sobrantes se distribuye entre los varones dándole 2 a cada uno, para completar a 5, que alcanza para 3 6 -t 2 = 18 varones. Luego hay 18 varones y 48 - 18 = 30 niñas

Reto al Ingenio 8 Edward Lucas, conocido particu larmente por su célebre colección de recreaciones matemáticas, planteó el siguiente problema en una de las sesiones de un muy gra ve congreso de matemáticos: Cada día a la misma hora sale un buque de El Havre con destino a Nueva York y otro sale de Nueva York para El Havre. La travesía se lleva acabo, en ambos sentidos, en siete días. ¿Cuántos transat lánticos con ruta opuesta encon trarán uno de esos buques en el mar? (La expresión aen el mar” excluye al barco que llega cuando él mismo sale y al que sale cuando él llega).


98 METODO (3) Falsa suposición

Supongamos que todos son varones, entonces serían necesarias 48 x 5 = 240 galletas. Pero sólo hay 180, hay un error de 240 - 180 = 60 galletas. Vamos a corregir sustituyendo un varón por una niña. Por cada sustitución el error disminuye en 2 galletas. Para que el error desaparezca completamente son necesarias 60 -r 2 - 3 0 sustituciones. Esto implica que hay 30 niñas y 4 8 30 = 18 niños.

METODO (4) M étodo del rom bo Ciertos problemas, por ser muy frecuentes en las preguntas de exámenes de admi sión, han sido tipificados y desarrollado para ellos modelos de resolución que pue den ser aplicados mecánicamente si el interesado logra identificar que el problema corresponde al tipo conocido. Estos modelos de resolución son peligrosos cuando no se tiene un dominio de la identificación de los datos y del resultado que arroja el modelo. Aún más, muchos estudiantes acostumbrados a estos modelos, no son capaces de resolver los proble mas mientras no logran encuadrar dentro de los problemas tipo, dado que requiere una receta para cada tipo de problemas. Bajo esta aclaración, mostramos este modelo de resolución: 5 y / \ x 48 ^ y 180

48x5-180 => Número de n iñ a s 5 ------Número de varones - 4 8 - 3 0 - 1 8

3 Como verás, el mismo problema se puede resolver de diversas maneras. ¿Has entendido los cuatro métodos expuestos? ¿Cuál de ellos te pareció más práctico? Busca otros métodos de resolución e inventa problemas similares que puedan ser resueltos por los métodos expues tos.

[ Problema 2 ] Es una gran ja se pu ed e con ta r 240 p a ta s y 80 cabezas en tre con ejos y ga llin a s ¿Cuántos son con ejos y cu antas son g a llin a s? R esolución Hemos expuesto diversos métodos para resolver este tipo de problemas. La reso lución mediante ecuaciones lo estudiaremos en el capítulo correspondiente. En la resolución de los problemas siguientes utilizaremos el método del reparto.

99


De antemano, no está demás aclarar que 80 cabezas implica 80 animales. Imaginemos que tenemos a la mano las 240 patas, sólo es imaginación, y empecemos repar tiendo 2 patas a cada animal, serán necesarias 80x2 = 160 patas y nos quedan 240 - 160 = 80 patas que alcanzan para 80-r2 = 40 conejos que necesitan completar sus 4 patas. Luego: son 40 conejos y 40 gallinas. [ Rptcu: 40 conejos y 40 gallinas]

[Problema 3 ] Manolento, como siempre aborrecido del trabajo, llegó nuevamente tarde a la fábrica. Su je fe Pancricio ya no quiere tolerar más la frescura de Manolento. - Te doy sólo 20 días para que enmiendes tu acti tud— le recrimina Pancricio —pero esta vez por cada día que trabajes se te pagará sólo 18 soles y el día que llegues tarde no sólo dejarás de percibir tu remuneración, sino, te descontaré de tus haberes 15 soles. Manolento salió meditando de la oficina de Pancricio y hizo las siguientes preguntas. cu ¿Cuántos días debo llegar temprano en los 20 día# para recibir 96 soles?

Reto al ingenio 9 Compré un libro en 20 soles, como no era de interés para mí, ¿o vendí en 30 soles. Más tarde, un amigo se interesó mucho por el libro. Fui a buscarlo y lo encontré que lo es taban vendiendo en 40 soles. No tuve otro remedio que comprarlo en ese precio y vendérselo a mi amigo en 50. No sé cuánto perdí o gané en este negocio. ¿Me puedes ayudar con mis cuentas?

6. ¿Cuántas tardanzas harán que no reciba un solo céntimo ni quede endeudado? c. ¿Cuántas tardanzas harán que me endeude 102 soles? El ya tiene las repuestas. Tú también obtenías. Resolución a. De llegar temprano los 20 días tendría 20x18 = 360 soles. Para recibir sólo 96 tendrá que perder 360 —96 = 264 soles. Cada vez que llega tarde, no sólo deja de percibir 18 soles, sino, tiene que dar 15 soles, o sea, pierde 33 soles. ¿Cuántas tardanzas le hacen perder 264 soles? 264 ? 33 = 8 días. /. Debe llegar 20 - 8 = 12 días temprano. b. Para no recibir pago alguno, debe perder los 360 so les. En cada tardanza pierde 33 soles, los 360 soles los pierde en 360 -r 33 = 10,9 días. Prácticamente con 11 tardanzas estaría casi a la par con Pancricio. c. Para endeudar 102 soles debe perder los 360 soles y los 102, es decir, 462 soles. Dado que cada tardanza le hace perder 33 soles, los 462 soles los perderá con 462 -r 33 = 14 tardanzas.


100

Problemas 1. Se han de repartir 300 caramelos en tre 60 niños, dando 6 caramelos a cada niña y 4 caramelos a cada va rón. ¿Cuántos son varones? A) 30

B) 45 C) 20

D) 18

E) 12

2. El curioso Benjamín, contó 50 cabe zas y 120 patas entre cerdos y galli nas en la granja del abuelo Toribio; ésto se lo comunicó a su hermana Pi lar, quien inmediatamente dedujo los cerdos y gallinas que tenía el abuelo. ¿Cuántos eran los cerdos? A) 10

B) 15 C) 25

D) 30

E) 40

3. Se han de repartir 180 galletas entre 50 animales. Cada animal es un gato o un perro. A cada gato le ha de co rresponder 3 galletas y a cada perro, 5 galletas. ¿Cuántos son gatos y cuán tos son perros? A) 32 y 17 D) 36 y 14

B) 20 y 30

C) 25 y 25 E) 35 y 15

4. Se ha contratado un obrero por 27 días ofreciéndole pagar 24 soles por cada día que trabaje y cobrarle 12 soles por cada día que no trabaje. Calcular los días trabajados, si pa sado los 27 días, el obrero: b) No recibe ni debe c) Queda debiendo 108 soles. B) 20; 9; 25

A) 9

C) 17; 8; 6 E) 20; 9; 6

5. En una prueba de 40 preguntas, un estudiante ha obtenido 83 puntos. Cada respuesta acertada vale 4 pun tos y cada equivocación -1. Las res p u esta en blanco no favorecen ni le

B) 22

C) 21 D) 23

E) 24

6. Un camión lleva 900 maletines de dos tipos con un peso total de 2 300 kg. Si los del primer tipo pesan 2 kg cada uno, y los de segundo tipo 3 kg cada uno; determinar, ¿cuántos maletines hay de cada clase? A) 350; 550 D) 400; 500

B) 360; 540 C) 380; 520 E) 450; 450

7. Carlos y Roberto ahorraron en total SL 7 000. Carlos ahorra SI'. 500 men suales y Roberto SL 600 mensuales. El número de meses que ha ahorrado cada uno suman 13. ¿Cuántos meses ha ahorrado Carlos? A) 8 meses D) 6 meses

B) 9 meses

C) 7 meses E) 5 meses

8. Una persona economiza SL 50 cuando va a trabajar y gasta SL 40 cuando se queda en casa. Si durante 18 días no ha ganado ni ha perdido. ¿Cuántos días, se quedó en casa, durante los 18 días? A) 10

a) Recibe 396 soles

A) 18; 9; 6 D) 18; 10; 6

quitan puntos al estudiante. ¿Cuán tas preguntas contestó acertadamen te, si dejó sin responder 8 preguntas?

B) 9

C )8

D) 7

E) 6

9. Un recipiente contiene 70 litros de una mezcla de dos líquidos A y B. El peso de la mezcla es 81 kg. Un litro del líquido A pesa 1,2 kg y un litro del líquido B pesa 1,1 kg. ¿Cuántos litros del líquido A hay en la mezcla? A) 30

B) 34

C) 36 D) 38

E) 40


101

2.2.4 La Regla de Cangrejo Una estrategia muy interesante en la resolución de pro blemas es aquella basada en descubrir un número con el que se han realizado una serie de operaciones y se conoce el resultado de tales operaciones. Por ejemplo, consideremos el número 20. Sumémosle 35: 20 + 35 = 55. Dividam os el resultado entre 5: 55 + 5 = 11. Ahora elaboremos el siguiente problema: UA un número se le suma 35. El resultado se divide entre 5 y se obtiene 11. ¿Cuál es el número?” Para descubrir el número, basta realizar con el resulta do, operaciones inversas a las realizadas con el número y de la última a la primera: Observa el siguiente esque ma: OPERACIONES REALIZADAS + 35 + 5 = 11

Veamos esta estrategia blemas.

OPERACIONES INVERSAS 11x5 =

Reto al ingenio 10 En la operación de la suma si guiente los dígitos han sido reem plazados por letras. La misma le tra está en el lugar del mismo dígito todas las veces que aparece y letras diferentes representan a dígitos diferentes.

HHD + XD XDH Descubre qué dígitos está reempla zando cada letra.

f

t -----55 - 35 = 20 i N úm ero buscado, ediante los siguientes pro-

[ Problema 1 ] La edad de Perico se multiplica por 4, el resultado se disminuye en 50, la diferencia obtenida se eleva al cuadrado, este resultado se divide entre 5 para luego sumarle 40 y se obtiene 60. ¿Cuál es la edad de Perico? Resolución OPERACIONES REALIZADAS X4 -5 0

-> 60 - 40 = 2Q i 20 x 5 = 100

+5

i Vioo i 10 + 50 = 6Q

+ 40 = fiQ —

l 60 + 4 = 15

o2

Curiosidad

OPERACIONES INVERSAS

<-

Edad de P erico

1x8 + 1 12x8 + 2 123x8 + 3 1234x8 + 4 12345x8 + 5 123456x8 + 6 1234567x8 + 7 12345678x8 + 8 123456789x8 + 9

9 98 987 9876 98765 987654 9876543 98765432 987654321


102

Problemas I. Con un número se realizan las siguientes operaciones:

raciones con su edad: que le reste 10, a la diferencia lo eleve al cuadrado, al resultado le sume 6 para que lue go lo divida entre 7. Si después de rea lizar estas operaciones Norma ha obtenido 10, entonces Ricardo le dirá que tiene:

Se divide entre 6, al resultado se le resta 18para luego multiplicarlo por 6. Finalmente se le saca la raíz cua drada y se obtiene 12, 1

¿Cuál es el referido número? A) 7 D) 242

B) 252


C) 156 E) 240

B) 60


4, Lupita le dice a su padre Parcimonio que ella quiere practicar matemáti ca. —¿Sabes cuánto p e s o ? Responde Parcimonio, —SL Papi —Pues, hijita, divídelo entre 15, al re sultado le sacas la raíz cuadrada, en seguida lo multiplicas por 60 y final mente lo divides entre 20. ¿Cuánto sale? La hija le responde: sale 6

2, Con un número se hacen las siguien tes operaciones: primero se multipli ca por 5, al producto se le suma 60 para luego dividirlo entre 10, al co ciente se le extrae la raíz cuadrada para finalmente restarle 4, Si luego de realizar las operaciones indica das, se obtiene 2, ¿cuál es el númeto? A) 6 D) 300

B) 18 años

0 80 E) 150

3, Ricardo desea adivinar la edad de Norma, para esto, Ricardo le dice a Norma que haga las siguientes ope

¿Cuántopesa Parcimonio? A) 45 kg D) 70 kg

B) 60 kg

C) 65 kg E) 75 kg

[Problema 2 ] De un recipiente lleno de agua, se saca 2 litros, más tarde se derrama la mitad del liquido, enseguida se le adiciona 4 litros, finalmente se gasta la mitad del agua, quedando 8 litros en el recipiente. Calcule la capacidad del recipiente. Resolución OPERACIONESDIRECTAS

OPERACIONESINVERSAS

-2

8x2 =

*2

l --------1 6 -4 =

+4

x----12x2 =

t

2

$ i?

l -------24 + 2 = 26

(Rpta.: 26 Litros]

103


[Problema 3 ] Raúl se enteró que San Judas hacía un milagro que consistía en duplicar el dinero que uno tenga, cobrando únicamente SL 60 por cada milagro. Una mañana Raúl acudió a San Judas con todos los ahorros. Pero cual sería su sorpresa que luego de 3 milagros se quedó sin un soL ¿A cuánto ascendían los ahorros de Raúl? R esolución

OPERACIONESDIRECTAS

OPERACIONES INVERSAS ->

{* 60

Divertijo 1

0+60=60 60+2 =30 30+60=90

oj x 2 - 60

o.~ -

2

60

t ------45+60=105 =

0

105+2=52,5 (Rpta.: A h orro 52^5J

[ p r0blem a 4 ] Un tanque lleno de agua se ha secado totalmente en 4 días. En cada día se ha secado la mitad de su contenido al iniciar el día y 60 litros más. ¿Cuál es la capacidad del tanque? R esolución OPERACIONES DIRECTAS

OPERACIONES INVERSAS 0+60=60

l°día

60

60x2 =120

lío +60= 180 2°día « ■ {: 60

i 180 x2 = 360

La balanza está en desequilibrio porque le falta poner uno de los juguetes. No sabemos cuál, porque se olvidaron poner el peso del ca rrito, sólo nos dijeron que pesa más que el osito, ¿Quéjuguete equi libra la balanza y cuánto pesa el carrito?

104


El truco del cálculo ultra rápido

360+60=420 3°d(a

2 60

ía| * 2 4°día 60 = O

t ^ 420 x2 = 840

Pide que te den un número de tres dígitos. Supon que te dan el 567. Escríbelo dos veces en la pizarra o en una hoja de papel:

840 •Jó +60 = 900 900x2 Íl800)

La capacidad del tanque es ( i800 litros.

[Problema 5 ] Los tres amigos inseparables, Antón, Bico y Camuso están jugando a las cartas. Ellos tienen un estilo de apuestas. El que pierde duplica el dinero de los otros dos. Luego de tres partidas, en las que han perdido una partida cada uno en el orden en que han sido nom brados tienen 60 soles cada uno. ¿Con cuánto ini ciaron eljuego cada uno?

567 382

Resolución Ellos tienen 60 soles cada uno, al finalizar la tercera partida. LUEGO DE LUEGODE LUEGO DE INICIAL 1** PARTIDA 2™ PARTIDA 3ra PARTIDA Antón

60

Bico

60

Camuso

60

Total

180

El total de dinero enjuego es 180 y no varía durante las partidas. Descubramos cuánto tenían antes de la tercera partida. Camuso, que perdió la tercera partida, ha tenido que duplicar el dinero de los otros dos, entonces, Antón tenía 60 ■=■2 = 30 y también Bico. Dado que la suma total es 180, Camuso tenía 180 - 30 —30 = 120. LUEGODE LUEGO DE LUEGO DE INICIAL 1ra PARTIDA 2*“ PARTIDA 3raPARTIDA Antón

30

60

Bico

30 120

60 60

180

180

Camuso Total

Pide otro número de tres dígitos. Escríbelo debajo del 567 de la iz quierda. Ahora necesitas colocar a la derecha un número diferente de tres dígitos para emplearlo como multiplicador. Debe ser (aunque tu público no debe saberlo) el "com plemento a 9o del multiplicador si tuado a la izquierda; es decir, los dígitos correspondientes de los dos multiplicadores deben sumar 9. Supongamos que el multiplicador de la izquierda es 382. El de la de recha debe ser 617: 567 617

Si haces el juego ante un grupo, lo mejor es que uno de los asistentes, elegido de antemano entre tus ami gos, haga el papel de compinche y te indique el segundo multiplicador que interesa. Si no es así, puedes escribirlo tú mismo fingiendo que lo has elegido al azar. Anuncia que vas a efectuar ahora, mentalmente, las dos multiplicaciones, sumar los dos resultados y luego, como toque final, duplicar la solución. Obtén la suma de los dos productos ins tantáneamente restando uno del multiplicando y adjuntando luego el complemento a 9. En nuestro ejemplo 567 menos 1 es 566, el com plemento a nueve de 566 es 433, de manera que la suma de los dos pro ductos es 566 433. Sin embargo, si escribieses este número podría pa recer sospechoso que el resultado comenzase con los mismos dos pri meros dígitos que el multiplican do. Para ocultarlo duplica el nú mero. No es difícil hacerlo mental mente, escribiendo los dígitos de

105

Problemas de Operaciones Binarias Ahora averigüemos lo que tenían antes de la segunda partida. En esta partida perdió Bico, que tuvo que du plicar el dinero de los otros dos: Antón tenía 30 -i- 2 = 15, Camuso 120 -r 2 = 60 y Bico: 180 - 15 - 60 = 105 En la primera partida perdió Antón, quien tuvo que du plicar el dinero de los otros dos, entonces Bico tenía 105 t 2 = 52,50, Camuso tenía 60 -r 2 = 30 y Antón, 180 - 30 - 52,50 = 97,50. LUEGODE LUEGO DE LUEGODE INICIAL 1“ PARTIDA 2WPARTIDA 3ra partida Antón

97,50

15

30

60

Bico

52,50

105

30

60

Camuso 30,00

60 180

120

60

180

180

Total

180

derecha a izquierda a medida que lo multiplicas mentalmente. Tal vez te sea más fácil añadir mentalmen te un cero a 566 433 y dividir por cinco (ya que multiplicar por 10 y dividir por 5 es lo mismo que mul tiplicar por 2). Este caso escribe la respuesta final de izquierda a dere cha. ¿Cuál es el truco? La suma de los dos productos es igual al producto de 567por 999, que a su vez equiva le al de 567 por 1000 menos 567. Hazlo sobre un papel y verás inme diatamente por qué el resultado ha de ser 566 seguido por su comple mento a 9. (T o u A if O

o s

C

a jw

á v á l

M

a t e m

á t ic o

d

s

M

a jk t m

G

a m

ó n

* * )

Antón empezó con 97,50, Bico con 52,50 y Camuso con 30.

[Problema 6 ] Imagínate que tienes 180 monedas en tres montones. Del primer montón pasas al segundo tantas monedas como hay en éste. Del segundo pasas al tercero tantos como hay en este último. Luego de estos dos pasos te percatas que en cada montón hay la misma cantidad de monedas. ¿Puedes descubrir, cuántas monedas habían inicial mente en cada montón? Resolución Pasar de un montón tanto como hay en el otro, significa que, por ejemplo, si hay 20 en el segundo montón, se pasarán 20 del pri mero al segundo, así en el segundo habría el doble, o sea, 40. Cuando se devuelve al primero lo transferido, en el segundo que da la mitad de lo que había. Dado que al ñnal hay la misma cantidad en cada montón, esta cantidad es 180 -r 3 = 60 monedas. Resolveremos el problema devolviendo las monedas transferidas, desde la última transfe rencia hasta la primera:

¿Has entendido? Si hay dudas, comprobemos: del primero, ¿Cuántos pasamos al 2^°? ..., Entonces en el 1ro queda 60 y en el 2**° habría 45 + 45 » 90. En seguida pasamos del 2° al 3°, tanto como hay en el 3°, o sea, 30. Así, en el 2° queda 60 y en el 3° también..

106


Problemas 1. Un recipiente lleno de agua, se vocea en la siguiente forma. Primero 8 li tros, luego la mitad de lo que quedó y 10 litros más. Finalmente la mitad del último resto, quedando con 15 li tros, ¿Cuántos litros de agua conte nía el recipiente? A) 8 0 / D) 86 /

B) 88 /

0 89/ E) 85 /

2. Carmen va de compras con cierta suma. Compra una camisa con 48 so les, con la mitad de lo que le queda una cocina, con 30 soles un thermo, con la mitad del resto y 35 soles más una olla. Si finalmente le quedó 18 soles, ¿cuánto le costó la cocina? A) 320 soles B) 136 soles C) 140 soles D) 146 soles E) 138 soles 3. Tres jugadores, A, B y C, se ponen a jugar a las cartas, con la condición de quien pierda duplicará el dinero de los otros dos. Si luego de tres partidas, en las que perdieron una partida cada uno en el orden en que han sido menciona dos, cada uno de ellos tiene 72 soles. ¿Cuánto tenía A al iniciar el juego? A) 72 soles B) 63 soles C) 36 soles D) 117 soles E) 126 soles 4. Ancelmo, Beto y Caruso acordaronju gar tres partidas de cartas, con la condición de quien pierda primero duplicará el dinero de los otros, el que pierda segundo, triplicará y el que pierda tercero cuadruplicará el dinero de los otros dos. Perdieron en el orden en que han sido nombrados y cada uno resultó con 144 soles. ¿Cuánto ganó o perdió Caruso?

A) Perdió S/. 84 C) ganó Sf. 134 E) ganó SA 84

B) ganó SI. 120 D) Perdió S/. 68

5. Parcimonio le muestra cuatro mon tones de granos a su hija Lupita. —Si cuentas cuántos granos hay en cada montón, hallarás 64 en cada uno —le dice Parcimonio.-Pero inicial mente habían diferente cantidad de granos en cada montón. Pasé del pri mero al segundo tantos granos como habían en el segundo, igualmente pasé del segundo al tercero tanto como había en éste y, por último, del tercero al cuarto, tanto como había en el cuarto montón y quedó tal como vez. —Descubre cuántos granos contenía inicialmente cada montón. Lupita tardó 5 minutos en hallar la solución. Te pido que demores menos tiempo y me digas cuánto había ini cialmente en el primer montón. A) 120 B) 112 C) 96 D) 56

E) 48

6. Se tienen 3 recipientes conteniendo cierto número de litros de agua. Del primero se hecha a los otros 2, tantos litros como había de agua en cada uno, en seguida se hace la misma ope ración con el contenido del segundo y finalmente se hace igual con el con tenido del tercero. De esta manera los tres recipientes quedaron contenien do 16 litros de agua cada uno. ¿Cuál era el contenido inicial del pri mer recipiente? A) 8 litros B) 14 litros D) 12 litros

C) 26 litros E) 16 litros

107


2.2.5 D iferencia Unitaria y D iferencia Total [Problema i ] Los socios de un club, decidieron comprar un trofeo para el club. Uno de los socios propuso poner una cuota de 8 soles cada socio, pero se percataron que sobraría 54 soles, por lo que decidieron poner 5 soles cada uno, pero en este caso faltaría 72 soles para comprar el trofeo. ¿Cuántos socios son? ¿Cuánto cuesta el trofeo? R esolución Cuando sobra 54, la recaudación sobrepa sa en 54 al precio del trofeo. Cuando falta 72 para el precio del trofeo, significa que la recaudación está 72 soles por debajo del precio del trofeo. Entre ambas recaudacio nes hay una diferencia de 54 + 72 = 126 soles.

aquí?... Si no es así revisa nuevamente el pro cedimiento seguido. ¿Cómo hallamos el precio del trofeo? Dando 5 soles cada socio, la recaudación as ciende a 42 x 5 = 210. A esta suma le faltaría 72 soles para comprar el trofeo, esto implica que el trofeo cuesta 210 + 72 = (282 soles.) De otro modo: dando 8 soles cada socio re caudaría 42 x 8 = 336 soles. Pero, según los datos, de esta suma sobraría 54 soles tras comprar el trofeo, entonces éste cuesta 336 - 54 = (282 soles.)

[Problema 2 ]

Parcimonio ha aprovechado el feriado por fiestas patrias para llevar al circo a su hija Lupita y sus sobrinos. Cuando se ¿Qué es lo que origina esta diferencia? La dispone comprar entradas de 24 soles, se diferencia de cuotas entre 8 soles y 5 soles. percata que le va faltar 30 soles, enton Los 126 soles de diferencia, se llama dife ces decide comprar entradas de 15 soles, rencia totaly la diferencia entre 8 soles y 5 así aún le sobra 33 soles para hacer otras soles, se llama diferencia unitaria. compras. ¿Cuánto dinero tenía En la figura se observa que entre las dos for Parcimonio al momento de comprar las mas de recaudación hay una diferencia de entradas y a cuántos sobrinos ha invita 72 + 54 = 126 soles. Esta diferencia se produ do al circo? ce porque cada socio da 3 soles menos. Por R esolución consiguiente, si cada socio produce una dife rencia de 3 soles, ¿cuántos socios tiene que Para comprar las entradas más caras falta haber para producir una diferencia de 126 so 30 soles y al comprar las más baratas so les? bran 33 soles, lo que implica, que entre am bos importes hay una d iferen cia total de 33 + 30 = 63 soles. P r e c i o trofeo Dando 5 el u

72

sobra 54

5

E n t r a d a s de 24

•vDando 8 el u

E n t r a d a s de 15

^ sobra 33 —

La respuesta la obtendremos dividiendo 126 -t 3 =(42 so cio s) ¿Has entendido hasta

Dinero que tiene

falta 30

™

108


Al comprar entradas de 15 soles en lugar de entradas de 24 soles, gasta 24 —15 = 9 soles menos por cada entrada. Si por cada entrada el gasto se reduce en 9 soles, ¿cuántas entradas originan una diferencia de 63 soles? ¿Puedes hallar la respuesta? En efecto: 63 - 9 = 7 entradas, una para Parcimonio, otra para Lupita y se deduce que los 5 restantes son para los sobrinos. ¿Cómo hallamos el dinero que tenía ? 15 x 7 + 33 = 138 soles ¿Entiendes porqué? Verifica esta respuesta.

Problemas 1, Hemos decido comprar un escritorio con mis socios aportando 45 soles cada uno, pero nos dimos cuenta que nos faltaban 20 soles para dicha compra. Entonces decidimos dar 10 soles más cada uno, asi, sobró 40 so les, ¿Cuántos socios tengo? A) 4 D) 7

B) 5

C )6 E) 8

2, Festijio y sus amigos se han reunido para organizar una fiesta Con zsta actividad piensan recaudar fondos para comprar un equipo de sonido, Ellos ya estimaron el número de asis tentes, Festino propone cobrar 10 so les cada entrada —Festino, tú no hagas los cálculos, cobrando 10 soles nos va faltar 200 soles —le reclama Clarineto —yo pro pongo cobrar 15 soles la entrada, así todavía nos sobrará 460 soles, ¿Cuántos asistentes han estimado? A) 132 D) 124

B) 123

C) 213 E) 125

3, Si reparto 5 caramelos a cada niño me va faltar para 4 niños, en cambio sí doy 3 a cada uno, me sobraría 28 caramelos, ¿Cuántos caramelos ten go? A) 98 D) 105

B) 100

C) 102 E) 88

4. Pancricio, el jefe de Manolento, está indeciso entre pagar 240 soles o pa gar 220 soles a sus trabajadores, — Si doy 240 a cada uno me va faltar 120 soles y si doy 220 a cada uno me va sobrar360 soles— piensa ensimis mado Pancricio, Manolento ha averiguado que ese di nero es para que pague a todos por igual y no sobre dinero, ¿Cuántoplanea recibir Manolento? A) 230 soles C) 236 soles D) 235 soles

B) 238 soles E) 230 soles

5. Si reparto 8 caramelos a cada niño me faltaría para 6 niñas. En cambio si doy 5 caramelo a cada niño me so braría como para 9 niños más, ¿Cuántos niños son? A) 28 . D) 32

B) 30

C )3 1 E) 34

6. Si en una reunión, laspersonas se sien tan en cada banca, quedarían de pie 9 personas, Pero si se sientan 5 per sonas en cada banca, quedarían 7 bancas libres, ¿Cuántas personas hay en la reunión? A) 95 D) 80

B) 85

0 65 E) 75


109

Problemas Resueltos [ Problema 1 ]

[ Problema 3]

En Rse define la operación simbolizada por (V, como sigue:

Definamos en R : n

a+2 a

2 a+1

o+2 a r o -l

si a * 1

o° = 1

si a = 1

Si a es p a r ó cero Si a es im par Según esto, hallar E = ^2°- ( 3 ° T j°

Calcular: (3* + 1 T + 4

Resolución

Resolución

Se opera primero con los números afectados por el mayor número de signo colectores.

3 * = i± i =2 2

2*=i±^ = í 2

(3* + l)* + 4 = (2 + i r + 4

2 ° = ^ - = 3 3a = ^ - = 2 2-1 3-1 Reemplazando en E:

= (3)* + 4 = 2+4= 6

[3-3? = 0°= I ( Rptcu: 6 j

_ r (R p t a 4 )

Problema 2 Se define en el conjunto de los números naturales la operación CIN, según la si guiente regla: CIN (x) da el mayor número menor o igual que x que termina en 5. Por gjemplo: CIN(27) =25; C IN (35) =35, CIN(74) = 65 ¿En qué cifra termina el valor de:

[Problema 4 ] Si x + 2 = x - 2 , hallarM = Resolución [4~|=|2 + 2 =3+2

=2-2 =0 =3-2=1

IN Í200)

E = [CIN(37) + 2C IN (48)f

M = 0+1

M= 0 + [ 2 ]

Resolución E = [35 + 2(45)flN2°° = (.125)CIN 200 = ..5

M= Un numeral que termina en 5 elevado a cualquier exponente, siempre termina en 5.

-1 + 2

M = ( - 1 - 2 ) + ( 0 - 2 ) = -5 (Rpto.: -5 )

í)


110 Problema 5

[ Problema 7]

En el conjunto A = 11; 2; 3; 4), se define la operación simbolizada por * mediante la siguiente tabla Según, esta tabla, ha llar

Sea M(A) el operador que borra la pri mera cifra del numeral A si A empieza en par y borra la última cifra, si A empieza en impar. Por ejem plo: M(€78) * 78; M(59€) = 59 Según lo anterior:

(4*I)+U *4)+(3*2) P= (2*2)+(3*4)+{2+4)

M (aaa) + Jlf(566)+Af(ccc) Hallar. sabiendo que aóe+c6a =1069 y Midbc)+Micha) = 143

Resolución

Resolución

El primer número de la operación se lee en la primera columna y el segundo número en la primera ñla. El resultado de la operación se encuentra en la ñla del primero y la columna del segundo. Luego: P =

4+4+3 1 +2 + 1

abe

*c+ a= 9

cba

* b + b = 16

(i)

(ÜD

1069

2° Si a y c fueran de la m ism a p ari

U 4 [Rptcu: 11/4 ]

[Problema 6 j Si a Ab = 4 (b*a)+a

dad, M {abc) + M {cba) sería par, como no lo es, a es par y c impar ó a es impar y c par. Para cualquiera de los casos el análisis es la misma. Consideremos que a es par y c es impar, entonces: * c + 6 = 13

a * b = 3(b Aa)+b

M {¿bc)+ -+bc +

Hallan (5 * 3) + (4 A 2) *

1° 5 * 3 = 3[3 A 5] + 3

143

5 * 3 = 3(4(5 *3) +3] + 3

-» c ó 143

c + 8 = 13 c = 5 len (1 ): |q = 4

M(444) + M(888) +M(555) «44 + 88+55-187

5 * 3 = 12 (3 *5) + 9 + 3

V ,-.

c

-11 (5 * 3 ) = 12 =>(5 * 3 = -12/11) 2 o 4 A 2 = 4(2 *4] + 4

[problema 8 ]

4 A 2 = 3(3 (4 A 2) + 4] + 4 4 A 2 = 12(4A 2) + 16 + 4 -11 (4 A 2) = 20 =>Í4Á2 = -: (5 * 3) + (4 A 2) = -12/11 -20/11 = -32/11

[Rpta.: -32/11)

Un número de 3 cifras se multiplica por 52, si la suma de los productos parciales es 2135, ¿cuál es la suma de las cifras del producto?

111

Problemas .de Operaciones Binarias

[Problema 10]

abcx 52

Hallar la raíz cuadrada de

2 xabc Pdtos. parciales 5xabc

9 x 1014 + 12 x 1010 + 4 x 106 e indicar la suma de cifras del resultado R esolu ción

2 xabc +5 xabc = 2135 7 xa.bc =2135 abe = 305

■J9X.1014

#

+ 12xlOw +4x10

=

> ¡l(f(9 x l(f + 12xl04 +4)

=

JlO6 \(3xl04f +2(3xl04 X2) + 22]

=

^106 [3 xlO4 + 2J

=

103(3 x 104 + 2)

a+fc+c=3+0+5=8 [Rpta.: 8 )

Problema 9 c

Efectuar: 315-285 + 225 f 614 586 + 125 J

= 3 x l0 7 + 2 x l0 3

R esolución

= 30002000

Sea:

Suma de cifras = 3 + 2 = 5

315x285+225 E= 614x586 + 196

[Rpta,: 5 J

[ Problema 11 ]

(300 +15X300 -1 5 ) + 225 E= (600+14X600-14)+ 196

E=

Calcular: 31]255 x 257 x 65537 +1

3002 -1 5 2 +225 6002 -1 4 2 +196 R esolución

E=

300 600

T-Í-T-—

300 600 J

\2)

256

E = 3$i225 x 2 5 7

x

65537

+1

E = % 2 5 6 - 1 X256 +1 )(65537) +1 Rpta,:

256

E = 3y](2562 -1)(65537) + 1


112

56000 + ABC = 7( A B C ) + 53042

E = 3yj(2562 -1Y.2562 +1) + E = 3y](2564 -1 ) + 1 = 3$¡2564 = 3%j(2ií)4

56000 - 53042 = 7(A B C ) - ABC de donde ABC =493 => A + B + C = 16

E = 3^¡23^ = 2

(R p t a 16) Rpta.: 2 J

[Problema 14) [ Problema 12 ] En la siguiente multiplicación, las cifras han sido sustituidas por letras:

Si cada asterisco representa una cifra, ¿cuál es la suma de cifras del segundo producto parcial de la siguiente multi* plicación? (1)

MNx N P99

**5x 1** 2**5 13*0 *** 5*4 7 *

Calcular (M + N + P)

R esolución El cuadrado de N termina en 9, entonces N es 3 ó 7. Si fuera 3, del producto de NxN no se lleva nada. Entonces 3xM termina en 9, pero este es posible sólo si M = 3, y no es posible porque 3 x 33 = 99. Entonces E s a .

• Completando las cifras evidentes resulta lo que se muestra.

^

3A5x 1CB 2*75 13*0 3A5 4*77 5

De 7 x 7 = 49, se lleva 4. Luego 7 x M + 4 termina en 9, entonces IM = 5 1. El producto es 57 x 7 = 399 => M +N + P = 15 fyptcu: 15

• Bx5 = ...5 => B es impar

[Problema 13] Si 56ABC =7(AB C )+53042

• B x3>20=^ B = 7 ó 9, probando con 9 no cumple, entonces B = 7 => B x 5 = 35, se lleva 3. Luego: 7 x A + 3 = .. 7 => A = 2

Hallar ( A + B + C)

C x 5 = ... 0 => C es par y C x 3 + lo que se llevó es igual a 13 C=4

R esolución

El segundo producto parcial es 1300

El número 56ABC se puede expresar como

=> 1 + 3 = 4

56000 + ABC •Sustituyendo en la igualdad:

(■Rpta.:

A

^

113


[Problema 15] Restablecer las cifras que faltan en la siguiente división y dar como respuesta el producto de cifras del cociente.

tras. La misma letra está en lugar del mismo dígito todas las veces que apare ce y letras diferentes representan a dígitos diferentes. Y Y K X + Y K E

* 2 * 5 * |325 *** 2 ** * 0 ♦* *9 ** *5 * *5 *

K X E E E P D K Resolución Y Y K X

(¿)

Y K E

di)

K X E

(;Ui) (¿u) (v)

Resolución El último cociente es 2, porque al multiplicar por 325 debe tener 3 cifras y tener 5 como cifra central. Con esto la división resulta como se mues tra. Al multiplicar el se gundo cociente por 325 debe terminar en cero, entonces esta ci fra es par.

_ 2 _50\325 3 25 1 2 0 5 9 0 6 50 650

La primera cifra del dividendo debe ser ma yor que 3 pero menor que 7, porque de ser 7 el primer cociente sería 2. Esto implica que el segundo dividendo es de mil y tantos a tres mil y tantos, entonces el segundo cociente, como es par sólo puede ser 6 u 8. El producto de 8 por 325 no tiene cifra 9. En tonces el cociente es 162.

E E P D K

La primera cifra de (v) debe ser 1, porque la suma de Y más lo que se ha llevado no llega a 20, entonces lE = 1 (u) comienza en 11, entonces IY = 9 I y debe mos habernos llevado 2 de la suma de dece nas, entonces [P = 01. De habernos llevado 3, P seria 1 y no es posible porque E es 1. Como llevamos 2 de las decenas, K es 6 u 8 (K es par de la suma de unidades X+l+X+1). Si K fuera 6, D Sería 0 ó 1 y no es posible porque E es 1 y P es 0, entoncesIK = 8J La suma de unidades es 8; 18; ó 28. Pero no 28 porque como E = 1 entonces X sería 13. Tampoco 18, porque X sería 8, igual que K, entonces la suma de unidades es 8, de donde X = 3lv lD = 4 ( R pta4 ]

Luego 1 x 6 x 2 = 12 ¡Rpta.: 12 )

[Problema 16] En la siguiente operación de adición los dígitos han sido reemplazados por le-

[Problema 17] **Yo almuerzo cuando las horas transcu rrido del día exceden en 2 a las horas por transcurrir”. ¿Cuál es mi hora de almuer zo?

114


Resolución "" N Desde que empezó el día, hasta este mo mento que te encuentras leyendo este pá rrafo, han transcurrido del día cierto nú mero de horas y faltan por transcurrir otras, para que acabe el día. En cada mo mento del día hay horas transcurridas y horas por transcurrir, ambas horas se com pletan entre sí para dar las 24 horas del día.

[ Problema 19 j Dosjugadores inician eljuego a las car tas con 300 y 200 soles respectivamente, a 10 soles la partida. Al final del juego, el segundo, quien ganó todas las parti das, resultó con una suma igual al cuá druple de lo le quedó al otro. ¿Cuántas partidas jugaron?

En el problema las horas transcurridas son mayores que las que faltan por transcurrir, en 2 hora, o sea la diferencia es 2. Hallamos dos números cuya suma es 24 y la diferencia, 2 Horas por transcurrir = # menor: 2 4 -2 = 22 = > 2 2 * 2 = 11 Horas transcurridas = # mayor: 11+ 2 = 13 (R p t a 13 /t]

[Problema 18] Una botella de vino cuesta 22 soles. El vino cuesta 20 soles más que la botella, iCuánto cuesta la botella? Resolución La respuesta errónea más frecuente es 2. Si la respuesta fuera 2 soles, el vino costaría 20 soles, o sea 20 - 2 = 18 soles más que la botella y no 20 soles más que la botella. Veamos la resolución: Los 22 soles es la suma de los precios y 20, es la diferencia. Cono ciendo la suma y diferencia de dos números se pide hallar el menor:

2 2 -2 0

=

2

=>

2+ 2= 1 ( R pta.: 1 s o l)

Resolución • La suma que se pone en ju ego es 300 + 200 = 500 soles. La suma enjuego siempre es 500 soles, sólo varia, luego de cada partida, el dinero que tiene cada jugador. • Al final del juego, de los 500 el segundo tiene el cuádruplo de lo que le queda al pri mero, esto es, los 500 lo dividimos en 5 par tes, de las cuales 4 partes (400 soles) son del segundo y 1 parte (100 soles) del primero. • Se deduce que el segundo ganó 400 - 200 = 200 soles. Debieron haber juga do 200 + 10 = 20 partidas (Rpta.: 20)

[Probiema 20 J La edad de Marcos es triple de la de Toto, pero dentro de 12 años sólo será el doble. ¿Qué edad tiene Toto? Resolución •Imagínate que eres mayor que tu herma no en 2 años. Todo el tiempo de tu vida, la diferencia entre tu edad y la de tu hermano será de 2 años. La diferencia de edades en tre dos personas siempre es la misma du rante todo el tiempo.

Problemas de Operaciones Binarias • Basado en esta “propiedad” te propongo una solución gráfica del problema (Hay otros métodos) Dentro de 12 años

Actual

115 correspondería 3 partes: 3x150 = 450. Y a Nina una parte: 150 soles, esto es, luego de haber entregado 50 soles. Entonces Nina tie ne 150 + 50 = 200 jabones e Isa los restantes 400.

’ $

Aumento = 12

—

Marcos: (triple)

[R pta,: 400 y 200 j

(doble) —

Diferencia:] [

( Problema 23)

se mantie-A__ I ne igual I 1

¿En cu á n to aum enta o dism inuye el p ro d u cto de 30 p o r 40, si 30 aum enta en 8 y 40 dism inuye en 8?

roto: □ Edad de Tolo: I

I = 12

( R pta.: 12 J

R esolu ción • Al aumentar 30 en 8 unidades, el producto aumenta en 40 x 8 = 320.

[Problema 21 j Un em pleado tien e ahorrados 200 soles y otro 50 soles, Cada uno ah orra m en sualm ente 20 soles, ¿D entro de cuántos m eses el ah orro del p rim ero, d u plicará al del segundo?

• Al disminuir 40 en 8 unidades, el producto disminuye en 8 (30+8) = 304. En consecuen cia, el producto aumenta en 320 - 304 = 16.

R esolución

( Problema 24]

• La diferencia de ahorros siempre va ser la misma e igual a 200 - 50 = 150 soles. • Cuando una cantidad es doble que la otra, es además doble de la diferencia. Entonces el primero tiene 2x150 = 300. Su ahorro au mentó en 300 - 200 = 100, este incremento le habrá tomado 100+20 = 5 meses. [R pta,: 5 m eses

[Problema 22] Isa le dice a N ina: “en tre am bas tenem os 600jabon es p a ra vender, Si m e dieras 50 jabon es yo tendría el triple de lo que te quedaría después de haberm e dado los 50” ¿Cuántos ja b on es tiene cada una? R esolución En el supuesto caso que Nina entregara a Isa 50 jabones, entre ambas seguirían, te niendo 600 jabones. Pero Isa tendría tres veces (triple) y Nina una vez. Si dividimos los 600 en 4 partes (150 cada parte), a Isa le

[R pta,: 16)

Se dan p a ra m u ltip lica r 24 y 30, Si el m u ltiplican d o se h a ce 5 veces, ¿C uántas u n id a d e s es p r e c is o r e s ta r a l m u ltip lica d or p a ra qu e el p rod u cto no varíe? R esolu ción Al ser quintuplicado el multiplicando el pro ducto se haría 5 veces, para que se manten ga igual, es necesario dividir al multiplicador entre 5, esto es 30 + 5 = 6, que equivale res tarle 30 - 6 = 24 al multiplicador. [R pta,; 24 J

Problema 25 ] A l m u ltip lica r p o r 65 un cierto núm ero, éste aum enta en 3840, ¿C uál es el núm e ro? R esolu ción Cuando un número se multiplica por 65,


116 aumenta en 64 veces el número. Esto es, 3840 es 64 veces el número, en consecuencia el número es 3840 + 64 = 60 [jRpta.: 60

Problema 26 El prod ucto de dos enteros es 3120, Cuan do uno de los fa ctores aum enta en 7, el prod u cto resu lta 3575, H a lla r los en te ros. Resolución El aumento del producto de los enteros es 3575 - 3120 - 455. Al aumentar en 7 unida des un factor, el producto aumenta en 7 veces el otro, éste es 455 t 7 = 65; en consecuencia el otro factor es 3120 + 65 = 48

R esolución • Utilidad total = (1500 + 720) - 1308 = 912 soles • Las 30 gallinas producen una utilidad tan to como 3x30 = 90 pollos. Luego, 30 gallinas y 24 pollos producen tanta utilidad como 90 + 24 = 114 polios. • Si 912 soles es la utilidad de 114 pollos, entonces en cada pollo se gana 912 + 114 = 8 soles y en cada gallina 8 x 3 = 24 soles. • Puesto que cada gallina se vende en 1500 + 30 = 50 soles, ganando 24 soles, en tonces, cada una costó 50 - 24 = 26. (R pta,: 26 soles 1

Problema 29

[.R pta: 65 y 48 j

^Problema 27] El producto de dos fa ctores es 600, Cuan do cada uno de ellos aum enta en 6, el p ro ducto aum enta en 330, Los fa ctores son: Resolución El aumento total consta de: 6 veces el au mento del multiplicando, 6 veces el aumento del multiplicador y el producto de los dos in crementos, que sería 6 x 6 = 36. Luego 330 - 36 = 294 representa 6 veces la suma de los factores, la cual es 294 t 6 = 49. Si el producto de dos factores es 600 y la suma igual a 49, los factores son 24 y 25. (I n te n te la r e s o lu c ió n m e d ia n te e c u a c io n e s )

( R pta,: 24 y 25^]

[ problema 28 Se com praron 30 ga llin a s y 24 p o llo s p o r 1308 soles, Las ga llin a s se vendieron p o r 1500 soles y los p ollos p o r 720 soles. La utilidad en una ga llin a es 3 veces la de un p ollo. iC uánto costó cada g a llin a ?

Com pré cierto núm ero de cuadernos p o r 960 soles, A l vender una p a rte de ellos a 6 soles cad a uno obtuve 486 soles, p ero p erd í 2 soles en cada una, ¿En cu án to debo vender cad a uno de los restan tes p a ra g a n a r 345 soles en todos los cu a dernos? R esolución Si vendiendo en 6 soles se pierde 2 soles por cuaderno, entonces la unidad costó 6 + 2 = 8 soles. Número de cuadernos comprados es entonces, 960+8 = 120, de los cuales se ven dió en 6 soles 486+6 = 81 cuadernos perdien do 81x2 = 162 soles. En la venta de los 120 - 81 = 39 restantes se debe recuperar los 162 soles perdidos y ga nar 345 soles, que hacen 162 + 345 = 507 soles. Entonces en cada uno se debe ganar 507+39 = 13 soles, es decir se debe vender en 8 + 13 = 21 soles cada cuaderno. ( R pta,: 21 soles


117

f Problema 3o)

ob ten er 9 ga lleta s y, cada gato, 8. ¿Cuán tos p erro s y cu án tos ga tos hay?

Un gra n jero vendió 15 cerd os y 12 p a tos p o r 1824 soles. ¿C uánto vale cad a cerd o, si el p recio de un cerd o es 3 veces el de un p a to ?

R esolu ción

R esolución Vender 15 cerdos equivale a vender 15 x 3 = 45 patos. Vender 15 cerdos y 12 patos equivale a ven der 45 + 12 = 57 patos a 1824 soles, entonces cada pato se vendió en 1824 - 57 = 32 soles, de donde se deduce que cada cerdo se vendió en 32 x 3 = 96 soles. R pta.: 96 soles )

[Problema 31 ) Una tienda vende m iel en botella s g ra n des y botellas ch ica s; cad a b otella g ra n de cu esta dos veces el p recio d e una ch i ca. Una señora com pró 8 botellas de m iel grandes y 5 chicas. Si en vez de eso hu biese com prado 5 botella s gra n d es y 8 chicas, habría ga sta d o 15 soles menos. ¿ Cuál es el p recio de cad a b otella ?

M étodo I (algebraico) # Perros: x

# animales: x + y = 10

# Gatos : y

Cant. Galletas: 9x + 8y = 86(2)

( 1 ) x 8:

(2 )-(3 ):

(1)

8x + 8y = 80 (3) x=6

y - 4

M étodo (II) (Falsa su posición) Suponiendo que los 10 animales fueran ga tos, entonces bastarán 8x10 = 80 galletas. Hay un error de 86 - 80 = 6 galletas. “Cam biamos” un perro por un gato; por cada in tercambio el error se reduce en 1. Para redu cir en 6, hacen falta 6 perros. Luego; hay 6 perros y 4 gatos M étodo (II) (M étodo del reparto) Demos 8 galletas a cada uno de los 10 ani males; entonces sobran 6. Bien, cada gato ya recibió su parte. Por lo tanto, las 6 galletas restantes son para los perros y como cada perro debe recibir una galleta más, debe ha ber 6 perros y 4 gatos.

R esolución

[R pta.: 6 y 4 ]

Ocho botellas grandes valen lo que 16 chicas. Por lo tanto, 8 grandes más 5 chicas valen lo que 21 chicas. Por otro lado, 5 grandes más 8 chicas valen lo que 18 chicas, que son 21 - 18 = 3 botellas chicas menos que la an terior. Esta diferencia en soles es 15 soles. En consecuencia cada botella chica cuesta 15 4* 3 = 5 soles y cada grande 10 soles. \Rpta.: 10 y 5 soles

[ Problema 32] O chentiséis ga lleta s han de servir de co mida p a ra diez anim ales; cad a anim al es un p erro o un gato. Cada p erro ha de

Problema 33) Un ga n a d ero com pró 20 reses, en tre va cas y toros, p o r 5400 soles. P or cada vaca p a g ó 250 y p o r cad a toro, 300. ¿C uántas vacas y cu án tos toros com pró? R esolu ción Para resolver este problema, vamos a utili zar el mismo modelo de razonamiento que para la resolución del problema anterior. Imagínate que vas ha cancelar la compra con los 5400. Primero pagas 250 por cada ani mal, (van 250 x 20 = 5000) te sobran 400.

m


Por cada toro vas a aumentar 50 soles, en tonces hay 400 50 = 8 toros y 20 - 8 = 12 vacas.

R esolución

OPERACIONES DIRECTAS

4 1 -5 =

[R p tcu : 8 J

[Problema 34]

x3

+ 5

41

[R p ta : 20 d e 10p esos y 30 d e 5 p esos ]

i

- 4 = 2

=

[R p ta .: 2 m etro s]

R esolución Este problema es equivalente a repartir 350 pesos entre 50 personas, dando 5 pesos a unas y 10, a otras. Primero repartimos 5 pesos a cada una de las 50 (van 5x50 = 250) Nos quedan 100, los cuales nos alcanza para au mentar 5 pesos a 100 5 = 20 personas.

¥

l -----36-5-2 1 3 l 18-3-3

x 2 Tengo 350 p esos en 50 b illetes de 5 y 10 pesos. ¿C uántos b illetes ten go de cada clase?


[Problema 37 j A licia fu e de com pras a l m ercado, ga stó en verduras SL 60 con la m itad d el resto com pró menestras, con el nuevo resto com p ró a rroz y a zú ca r gastan d o SL 40; qu e dándose únicam ente con SL 10. ¿C uánto ga stó en tota l? R esolución

[Problema 35] En el corra l de los cerd os se han m etido las ga llin a s. Se pu ed en con ta r en tota l 30 cabezas y 84 p a ta s. ¿C uántos son los cerdos y cuántas, las g a llin a s en el co rral? Resolución Si a cada uno de los 30 animales “le pone mos” 2 patas, nos sobran 24. De las 24 patas restantes le “completamos” con 2 a cada cer do. Nos alcanza para 12 cerdos. ( R pta: H ay 12 cerd os y 18 g a llin a s )

Sea SA “N”, lo que tenía al iniciar las com pras. OPERACIONES

INVERSAS

D IR E C T A S

N -> - 60

10 + 40 =

f2 -4 0

50 x 2 10

5“

= lj)0

100 + 60= 160 = N

Al iniciar las compras tenía S/. 160, después de las compras sólo le quedó S/. 10, entonces gastó en total SA 150 (flp ífl.: 150 s o le s ]

[Problema 36j Un árbol crece x m etros el p rim er año94 m etros e l segu n d o añ o, e l te r c e r año triplicó la a ltu ra que a lca n zó el segun do año el cu a rto año crece hasta d upli ca r la altura que ten ía al fin a l del tercer año y 5 m etros más, alcan zan d o 41 m e tros de alturcu C alcu lar M x ”.

OPERACIONES

[Problema 38 j ¿C uántos litros de vino de SL10 el litro se debe m ezclar con vino de SL 15 el litro, p a ra ten er 35 litros de m ezcla que se p u e da vender a S L ll 3/7 el litro, sin ga n a r ni p erd er?

119



Resolución El total de litros de vino es 35, como cada litro de mezcla va a costar S/. 11— entonces, el valor total sería: S/. 35 lly\=S /.4Q 0

N -> - 8

OPERACIONES INVERSAS 8 + 100 = 1(^8

-r 2

1¿8 -r 2 = 5,1

-8 0

40 = 24 ______ I da X 2 = 1^8

«5-2

2j>8

-4 0

1¿8 + 80 =

x 2

2¿8 x 2 = 5^6 8

-1 0 0

5^6 + 8 = 544 =N ( Rptcu: 544 sotes]

[Problema 40J

3 5x 15 -4 00 # litros de S¡.10 - --------------------------- = 1 5 -1 0

¿b

[Rpta.: 25 litros]

[Problema 39} Un día domingo Jaimito salió de com pras con sus 4 amigas, gastó en páseles de ida SL 8 con la mitad del resto compró 2 regalos para Nancy y Vilma; para Ma ría le compró un regalo de SL 80, con la mitad del nuevo resto y SL 40 más com pró una cartera para Rocío; cuando él quiso comprarse una billetera observó que le faltaba dinero, por lo que Nancy le prestó duplicándole el dinero que le había quedado, con lo cual se compró una billetera de SL 100, y se quedó sola mente con SL 8 para el pasaje de vuelta, ¿Cuánto dinero tenía Jaimito?

De un recipiente lleno de agua, se saca 2 litros, más tarde se derrama la mitad del líquido, enseguida se le adiciona 4 litros, finalmente se gasta la mitad del agua, quedando 8 litros en el recipiente. Cal cular la capacidad del recipiente. A) 18 litros D) 30 litros

B) 26 litros C) 24 litros E) 16 litros

Resolución Sea “L” litros la capacidad del recipiente:


8x2

= -J f 4 = -j? l -----12x2

-2 * 2 «f 4 *5- 2


%

8

¿4 + 2 = 26 = L ( Rpta.: B )

Resolución Sea: S/. “N” lo que tenía:

Un frutero está a punto de vender todas las manzanas que tiene. Mientras hace los tratos con el comprador, piensa para sí: “ si vendo a 3 soles el kilo ganaré 40


120 soles en la venta. En cambio, si vendo a 5 soles el kilo ganaré 120 soles" ¿De cuán tos kilogramos dispone y cuánto le costó a él el kg de manzanas? R esolución

alumnos? Pues deben ser 2000 -r 40 = 50. El gasto del viaje es: 50 120 + 500 = 6500 ( Rpta.: SL 6500 )

( Problema 43 ]

¡Atención! Este problema puede aparentar dificultad, sin embargo su solución es bas tante sencilla. • Cuando incrementa el precio de un kg de 3 a 5 soles, o sea 2 soles; su utilidad se incrementa de 40 a 120, o sea en 80 soles. • Por cada kg la utilidad incrementa en 2 soles, ¿cuántos kg provocarán un incre mento de 80 soles?, pues 80 -r 2 = 40 kg. • De vender a 3 soles ganará 40 soles en 40 kg, esto es, 1 sol por kg por lo tanto, si vendiendo a 3 soles gana 1 sol, a él le cos tó 2 soles cada kg.

Entre 20 personas tomaron un autobús por 300 soles. Algunas de ellas no podían pagar, entonces cada una de las restan tes tuvo que pagar 10 soles más de lo que le correspondía. ¿Cuántas personas no pagaron? R esolución Lo que se ha de pagar es 300 soles, a cada una le corresponde pagar 300 -r 20 = 15 so les. Sin embargo cada una de las que paga ron aportó 15 + 10 = 25; entonces las que pagaron son 300 -r 25 = 12. Por lo tanto las que no pagaron son 20 - 12 = 8.

( Rpta: 40 kg y SI. 2,0 )

( Rpta.:

8

)

[Problema 42 j

[ Problema 44 j

En la reunión de padres de familia del aula de quinto año, han acordado rea lizar un viaje de promoción al Cuzco. Para solventar los gastos, uno de los padres propuso dar 80 soles por alum no; pero el profesor de Matemática le hizo notar que faltarían 500 soles. Otro padre propuso una cuota de 120 por alumno, entonces una madre de familia se opuso aduciendo que sobraría 1500 soles. ¿Cuántos son los alumnos y qué gasto implica el viaje?

Un ómnibus que cubre la ruta Trujillo Chiclayo, ha recaudado 300 soles, en un viaje. El pasaje es de 5 soles por pasaje ro, sin importar el lugar donde suba o baje. ¿Con cuántos pasajeros salió del terminal de Trujillo, si al de Chiclayo llegó con 36?. Se ha sabido además, que en el trayecto9por cada pasajero que ba jaba subían 2.

R esolución • Al aumentar la cuota de 80 a 120, esto es en 40 soles por alumno, permite que la re caudación total alcance no sólo para cu brir la falta de los 500, sino todavía so brar 1500 soles. • Si el incremento de 40 soles por alumno, oca siona un incremento de 500 + 1500 = 2000 en la recaudación total, ¿cuántos son los

R esolu ción • Siendo S/. 300 la recaudación y S/. 5 el pa saje único, los usuarios fueron 300*5 = 60. De los 60, sólo 36 llegaron al terminal de Chiclayo, entonces en el trayecto se bajaron 60 - 36 = 24. • Si por cada pasajero que bajaba en el tra yecto, subían 2, por los 24 que bajaron, habrán subido en el trayecto 2x24 = 48 pasajeros.

121

Problemas de Operaciones Binarias 0

• Si 48 subieron en el trayecto, los restantes 60 - 48 = 12 han tenido que subir en el ter minal de Trujillo. ( Rpta: 12 )

[ Problema 45 ] Dos nadadores se lanzan simultánea mente al encuentro desde los bordes opuestos de una piscina cuadrada,; se en cuentran a 4 m del borde más cercano, continúan nadando y al llegar a los bor des, vuelven inmediatamente, encontrán dose esta vez a 2 m del otro borde. ¿Estoy seguro que puedes calcular los metros que mide, cada lado de la piscina? R esolución Muchos problemas, tal es este caso, aparen tan dificultad en su resolución. Frente a un problema de esta naturaleza debemos bus car diferentes caminos que nos conduzcan a la resolución, puesto que hay muchos. No hay reglas únicas para resolver un proble ma, las reglas sólo caben en los algoritmos. ^ Veamos la resolución de este problema • De la partida hasta el primer encuentro, en tre ambos cubren un ancho de la piscina.

[Problema 46] En el aula de quinto año hay 54 estudian tes, entre hombres y mujeres. A 114 de los varones les gusta Historia. También se ha sabido que a los 4/7 de los varones les en canta Razonamiento Matemático. ¿ Cuán tas mujeres estudian en el aula? R esolu ción Muchos estudiantes tienen la equivocada idea de que las ecuaciones “resuelven” todos los problemas. Este problema por ejemplo no re quiere de ella. Veamos. Para calcular los va rones que gustan Historia debemos “sacar” la cuarta parte al número de varones. Para calcular, los que gustan Razonamiento debe mos “sacar” la sétima parte al número de va rones. De ambas precisiones se deduce que el número de varones tiene cuarta y sétima par tes. ¿Qué números tienen cuarta y sétima par tes? Pues, 28; 56; 84;... etc. Pero el número de varones no puede sobrepasar 54, por lo tanto son 28 varones y 54 - 28 * 26 mujeres. ¿Qué te pareció? [Rpta: 26 )

[ Problema 47] Dos confeccionistas deben coser el mismo número de pantalones. El primero de ellos cose 8 pantalones por día y el segundo, 10 pantalones por día. El primero ha empe zado 4 días antes que el segundo, ¿Cuán tos días trabajó cada uno?

• De la partida hasta el segundo encuentro, en tre ambos cubren 3 anchos de la piscina. •De lo anterior se deduce, que desde la parti da hasta el segundo encuentro, cada uno re corre 3 veces lo que recorrieron hasta el pri mer encuentro. Esto es, el nadador A reco rrió 3x4 = 12 m. Quitándole 2 m de su reco rrido nos quedamos con el ancho de la pisci na, que sería 12 - 2 = 10 m (Intenta resolverpor otros métodos)

( Rpta: 10 m)

R esolu ción En 4 días el primero ha sacado una ventaja de 4x8 = 32 pantalones. Cuando el segundo com ienza a trabajar por cada día hace 10 - 8 = 2 pantalones más que el primero, que en 32-5-2 « 1 6 días habrá descontado la venta ja que llevaba el primero. Por lo tanto, el se-


122 #

gundo trabajó 16 días y el prim ero 16 + 4 = 20 días. ( Rpta,: 20 días )

[Problema 48] Un artesano pensó elaborar 120 adornos en 15 días, pero tardó 5 días más por tra bajar 2 horas menos por día. ¿Cuántas horas trabajó por día?

R esolu ción

,

Pensó elaborar 120 -r 15 = 8 adornos por día, pero tardó 15 + 5 = 20 días para elaborar los 120 adornos, entonces elaboró 120 t 2 0 s 6 adornos por día. Si por trabajar dos horas menos por día elabora dos adornos menos por día, entonces para hacer 6 adornos por día trabajó 6 horas diarias. [Rpta.: 6 horas ]

Problemas Propuestos 1. En el conjunto de los números enteros se define la operación simbolizada por *, en los siguientes términos: o * b - (a + 1) (b + 1) Hallar: 1 * [2 * (3 * 4)J A) 128 B) 24

C) 48

D) 96

E) 40

5. En el gráfico adjunto, definimos dos operaciones siguientes: [a* = Girar de cero a unidades en sen tido horario. Ejemplo: [F = 2; [7^7

2. Si M* = m+ — para m *0, hallar (2*) m 5 A) 2

2 B) 5

25 C) 4

14 29 D) 19 E) 10

~b1= Girar de cero b unidades en sentido antihorario. Ejemplo: 1T|= 4 Hallar el valor de E, en: £ = ( J + T|+[20 + 3Ó|

3. Si x3ay 2 = x2 + y3 hallar zem

A) 57 B) 52

C) 36

D) 6

E) 7

zu25 = 134 (zeR ) A) 3

B) 9

C) 27

D) 1/3 E) 1/9

4. Para todo neZ definimos S(n) como la cantidad de cifras que se necesita para escribir desde 1 hasta tu Ha llar S(300) A) 900 D) 741

B) 720

C) 600 E) 792

6. Según las operaciones definidas er el problema anterior, indicar>¿cuá les de las siguientes igualdades e¡ siempre verdadera (V) y cuáles» fal sa(F) a) [60 = l20l

123

Problemas de Operaciones Binarias b) |A + B = Í A + |B, V A ,B e N

10. V #,a,& ,ce R, definimos: y

c)[Á%"A|, V Ae N

X = ax2 + bx + c a,b,c

d) fB~< 5,V B e N

Hallar (m + n + p ) si

e) |A”> "Al, V Ae N A) W F V F D) V W V F

B) VFFVF

C) 24

D ) 180 E) 100

8. Se define en Q+una operación simbo lizada por . Se muestra algunas de las operaciones: *5

18

12 = 6

15

40

32

20 = 4

21

56 »

13

7

44

132 =

«I

í X - lt >1 SS í * + 1 1 P myUyPj [ w j

C) FVFVF E) W F Fm F

7. En Z* definimos @ como el número de múltiplos de 5 menores que n. Hallar + A) 40 B) 46

\

Señalar la suma de los números que completa la tabla:

A) 15 B) 16

C) 17

D ) 18

E) 19

11. Sea F(x) = 2F(x -1) W e Z iCuál de las siguientes afirmaciones es falsas, si F(0) = I A) F(3) B) F (l) C) F(3) D ) F(2) E ) F(4)

F (l) •F(2) F(3) 4- F(2) F(4) -r F (l) F(4) + F (l) [FU)]*

12. Sea la operación definida en Ny sim bolizada por 0, que consiste en: 3Q 5 —3 + 4 + 5 1Q2-1+2

A) 15 B) 16

C) 17

D) 18

E) 19

9. En E definimos la operación simboli zada por 0, mediante la siguiente re gla:

♦

En general: a

0

í>afl + fa + lj+ « .

(parab>a)

+6

Hallar: 2010 + 5915

m + ti mn0nma m+n

A) 25 B ) 32

C )6 4

D) 146 E ) 164 i

Calcular : 3 2^

Q22'* ^

13. Para tod on e Z, definimos la opera ción: J/Ta l - 2 + 3 - 4 +... - n si n es par

A) 5 ( j 3 + y / 2 )

B) 5 ( j 3 - j 2 )

C) 2 -J5 + S D) 2 { S + l )

|7T=g 1 - 2 + 3 - 4 + .... + n s i n es impar Hallar: | 0 0 + |Í00

E ) 5 ( l + -j2)

A) 100 D) 0

B) 50

O -5 0 E) 199

124


14. Para todo entero A y B y para todo entero positivo M, se define: A - M +r a B » M +r

A sB(mócLM)

De las siguientes afirmaciones indi que la que es falsa. A) B) C) D) E)

A) 22 B) 21

8

B) 4

C) m

E) 56

D) J

E) S

C )5

D)

8

E) 11

19. El dividendo de una división es 1081; el cociente y el resto son iguales y el divisor es doble del cociente. Hallar la suma de las cifras del divisor: A) 9

B) 10

C) 11

D)

8

E) 7

20. Calcular el valor de: 15627 x 15623 + 4 622x628 + 9

[(L *24)*39^* 100 B) M

D) 13

18. Efectúan J u * +123 x 10* +42» 10*

A) 3

15. Sea A = {D, L ,M ,m ,J , V, S) el conjun to de días de la semana, donde cada día está representado por su inicial. D efinim os una operación de A x iV ->A mediante la siguiente re gla: a * n « 6 , donde b es el día de la semana n días posteriores a a. Ha llar el resultado de la siguiente ope•0 ración.

A) L

C) 14

e indicar la suma de cifras del resul tado

(mód. 6 ) 1000 (mód. 9) 125 (mód. 5) 1 (mód. 7) 8 (mód. 5)

20 100 35 15 16

17. Si un cierto número dividido entre € da un residuo 3 y dividido entre 8 da residuo 5. Este número es: (SM - *78)

A) y¡2 B) V5

O 1

D) 5

E) 25

21. Hallan 16.

9 i

= x*

y

- í t i También 9

lf¡2(3 + 1)<3* + 1)(3* + 1)(3b + 1)(316 + 1) + 1 A) 1

t / « \*T » mm y

~ *m

sabiendo

B) 2

C )3

D)

8

E) 9

22. Efectúan [12x1010101 ...01]+ [12x101010 ...01 ]

que xom = — 6 Calculan

2n+l cifras

e indicar la suma de cifras del resul tado.

0,1 q0 ,2 d 0,3 0,4a0,5o0,6

1 2 A) — B) —

O 0,9 D) -

2 n + l cifras

A) 3(2/i+l) D) n2 3

4 E) j

B) 6 n+ 6

23. Calcular “x * y *z n

O n+2 E)n + 10

Problemas de Operaciones Binarias Si se cum ple: x74y + z7y + 5yx2 = vvx68 A) 24

B) 32 C )45

D) 30

E) 60

24. C u á l, es eZ v a lo r d e A + B si 73AB +1162 = AB47 A) 10

B) 11 C) 12

D) 13

E) 14

25. Si & a 5 + 127b + c52 + 353 = 6408 C alcular: (a2 + b2 + c2) A) 80

B) 82 0 84

D) 86

E) 88

C alcular: a6 + 6 a + a a + 66 B) 300

C) 320 E) 340

Cuál es el p rod u cto de las cifra s d el núm ero? B) 8

O 10

D) 12

E) 18

28. A un núm ero de tres cifra s se le res ta el m ismo núm ero p ero con las ci fra s invertidas y se obtien e A B 4 .

B) 12

O 14

D) 15

E) 18

0 27

D) 28

E) 29

31. ¿C uál es el m enor núm ero qu e m ul tip lica d o p o r 7 nos da un p rod u cto form ado solam ente p o r cifra s 3? A) 4349 D) 4229

B) 4339

O 4379 E) 47619

32. Si a b x b a = 5 d a . H a lla r d - (a + b ) A) 2

B) 4

C )6

D) 8

E) 5

33. En qu é cifra term ina 34400 A) 4

¿Cuál es el valor de A + B ? A) 9

ABCDE7 x 5. Fortunio se p a só todo el exam en m irando el tech o, lo único qu e a tin ó fu e co p ia r m ás abajo el m ultiplicando, p ero tan distraído es taba que p u so el 7 d elan te en lu ga r de p o n er a l fin a l

A) 25 B) 20

27. Un núm ero tien e tres cifra s. Si sumamos las cifra s y elevam os a l cubo, resu lta el m ism o núm ero.

A) 6

30. F ortu n io no h abía p ra ctica d o la m u ltip lica ción p a ra el exam en b i m estral. T antos era n los d esa p ro bados d el au la qu e el p ro feso r les d io la op ortu n id a d d e o b ten er la m áxim a n ota 20, si es qu e rea liza ban correctam en te la m ultiplicación

A l recib ir su exam en ya ca lifica d o, F ortu n io ten ía 20 de nota. ¿P uedes d ecir cu á n to vale A + B + C + D + JS?

26. Si a + b ~ 15;

A) 200 D ) 330

125

B) 6

0 2

D) 8

E) 0

34. ¿C uál es el resto de d ividir 14x24x34x44x ... x324 en tre 5?

29. Si ABC A = 1912; ABC B = 3346

A) 4

B) 3

OO

D) 1

E) 2

y C ABC = 3824; d eterm in ar el va 35. ¿C uál es el resto de dividir.

lor de ACB x ABC A) 232786 D) 234626

B) 234876

C) 248752 E ) 376286

N = 14x24x34x44x54x ... x!6 4 en tre 10? A) 6

B) 8

0 2

D) 3

E) 4


126 36. Sea E(n)= residuo de d ivid ir un n en tre 5; ca lcu la n E(44442) + E(777T) A) 15

B) 5

C )6

D) 7

sum a de cifra s de abc9. A) 14 B) 18

C )6

D) 7

* 3 5 x * 3

E) 0 *

38. H allar el resu ltad o de la sigu ien te m ultiplicación: ( 7 9 - l ) < 7 8 - 2 ) ( 7 7 - 3 ) ... ( 3 - 7 7 ) ( 2 - 7 8 )(1

A) 8010 D) 1

39. Si

B) -8 0 10

... 129 x

-

79)

C) -7 3 50 E )0

= ...454

A) 20 B) 21

O 22

D) 29

E) 32

D) 23

E) 24

44. Cada a sterisco sustituye una cifra. ¿C uál es la suma de cifra s d el p r o d ucto? 4* * *

C alculan (p +n) + a *b B) 20 0 21

* * 05 * 4 *

* 1 * 5 *

... 457 x np = ...36c

A) 31

E) 22

43. En la siguiente m ultiplicación, cada a sterisco representa un dígito. ¿Cuál es la sum a de cifra s del p rod u cto?

[ 1 x 2 x 3 * 4 x 5 .... x 97 x 98 f B) 5

D) 24

E) 0

37. H allar la sum a d e las 4 últim as ci fras del resultad o de efectú a n

A) 15

C) 16

x

* * * * * 3 3**7

40. Si Nx375 = ... 625; N x427 = ... 021

A) 20 B) 21

0 22

D) 23

E) 24

H allar las tres últim as cifra s de N xl56 A) 235 D ) 188

B) 366

0 234 E ) 422

41. Si cada asterisco represen ta una ci fra y

45. En esta m u ltiplicación 9 las cifra s han sido sustituidas p o r asteriscos. R e co n stru y e la m u ltip lic a c ió n y m arca en tre las a ltern ativas la qu e correspon d a a la sum a d e cifra s d el prod u cto.

a b e -c b a = * *3

* 1 * X

abe + cba - **31 iC uánto le fa lta a a b e p a ra 1000? A) 32

B) 38 0 39

D) 42

E) 35

3*2 * 3 * 3* 2* * 2* 5 1*8*30

42. Al m u ltiplicar abc9 p o r n n , el p ro ducto term ina en 17495. H a lla r la

A) 20 B) 21

0 22

D) 23

E) 24

Problemas de Operaciones Binarias 46. Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta la suma de las cifras del dividendo

127 las. Pero yo sé que lo harás. Lo de mostrarás marcando la suma de las cifras el cociente. * % * * *7 | * * * * 2* *

$ * $ * $ :$ : I * * * * * *8 0 *

4* * * * *

* * * *

* * * *

* * * * * * * * 1

A) 12 B) 13

A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26 . En la siguiente multiplicación, cada asterisco representa una cifra. Ha llar la suma de cifras que faltan en el producto total. ab cax ac

D) 16

E) 19

48. Reconstruir la multiplicación. 2 3 5 x * *

**56* Dar la suma de cifras del multiplicador C) 18

* * * * x Xy a b hm v y axy C) 17

D) 18

E) 19

51. En la siguiente operación de divi sión los dígitos han sido reemplaza dos por letras. La misma letra está en el lugar del mismo dígito todas las veces que aparece: * * * * |* A * B A* * * * * D* *

* * * * * * * *

A) 14 B) 16

E) 16

50. Descifra la siguiente multiplicación y alternativa que indica la suma de cifras del segundo producto parciaL

A) 15 B) 16

1 * * 5 * 6 C) 17

D) 15

xdx ddv

* * * 6 * * * *

A) 15 B) 18

C) 14

D) 19

D* * E* * DE

E) 12

Dar la suma de cifras del cociente. 49. Esta división es exacta, pero el que la efectuó, a propósito reemplazo las cifras por asteriscos con la vana in tención de que no puedas descubrir-

A) 20 B) 18

C) 17

D) 19

E) 21


128 *

52. Esta, es una división exacta. Todas las cifras se han borrado, sólo han quedado asteriscos en su lugar. ¿Po drás descubrir la suma de cifras del cocienteí I ^

m

m

m

m

^

£ $ »je $

I

^

4c * 4c

7

*

* 4¡ * *

* * * * * * * * *

C) 35

D) 32

E) 31

53. En una prueba de 10 preguntas, cada respuesta acertada vale 4 puntos a favor y cada respuesta equivocada vale 3 puntos en contra. Las pregun tas no contestadas no tienen puntaje. Si habiendo contestado las 10 pre guntas, Pedro ha obtenido 12puntos, ¿cuántas preguntas contestó equivo cadamente? A) 3

B) 8

C )6

D) 5

E) 4

54. Un comerciante gastó 171 en igual número de cuadernos y borradores. Si cada borrador costó SI. 1 y Si. 2 cada cuaderno. Entonces el total de artí culos comprados es: A) 100 D) 168

B)114

C) 57 E) 120

55. ¿En cuánto aumentaría el producto de 36 por 28, si el multiplicador au menta en 5 unidades? A) 120 D) 150

B) 130

A) 248 D) 399

C) 140 E) 180

56. ¿En cuánto aumenta el producto de 20 por 30 si cada uno de los factores

B) 356

C) 360 E) 380

57. Dosjugadores acuerdan que después de cada partida, el perdedor pague al otro SI. 600. Después de 30 juegos uno de ellos ha ganado Si. 72.00. ¿Cuántos juegos lleva perdiendo el otro? A) 4

* * * * * * * * A) 33 B) 34

aumenta en 7 unidades

B) 20

C) 18

D) 21

E) 12

58. Una señora vendió 120 naranjas por SÍ. 67. Si algunas las vendió a 0,60 soles la unidad y las restantes a 0,50 soles la unidad. ¿Cuántas vendió a 0,50 soles? A) 40 B) 50

C) 60

D) 70

E) 80

59. Un microbusero recaudó 200 soles, en uno de sus recorridos, gastado 120 boletos de pasaje entero y medio pa saje; los primeros cuestan SÍ. 2 y los últimos Si. 1. Se desea averiguar cuán tos de los pasajeros eran universita rios, sabiendo que superan en 8 al número de niños y éstos también pa gan medio pasaje al igual que los universitarios. A) 16 B) 20

C) 22

D) 24

E) 28

60. Una cantista contiene 60 frutas en tre manzanas y peras. Cada manza na pesa 350 gramos y cada pera 300 gramos. Si la canasta pesa en total 22 kg y además, las frutas pesan 18 kg más que la canasta; ¿cuántas de las frutas son peras f A) 10 B) 15 C) 20 D) 24 E) 30 61. Un automovilista recorrió 140 km en 20 horas, viajando a 10 kmJh los primeros kilómetros y a 5 kmJh los

Problemas de Operaciones Binarias últimos. ¿Cuántas horas viajó a 5 Km! h? A) 10 horas D) 15 horas

B) 12 horas C) 14 horas E) 16 horas

62. Una madera de 7,4 m de longitud, sé desea dividir en pedazos de 50 cm y 40 cm, de modo que haya un total de 18 pedazos. ¿Cuántos saldrán de 50 cm? A) 1

B) 2

C )3

D) 14 E) 16

63. En una granja se observa 424patas y 180 cabezas, entre gallinas y cerdos. ¿Cuántos de estos animales son cer dos? A) 32

B) 34 0 44

D) 36

E) 38

64. En una prueba de examen un alum no gana 4 puntos porcada respuesta correcta y pierde 1 punto por cada equivocación. Después de contestar 60 preguntas obtienen 60 puntos. ¿Cuántas contestó correctamente? A) 36

B) 30 C) 28

D) 22 E) 24

65. A un peón se le contrató 2 meses de 30 días, con la condición que se le abonaría SI. 60por cada día que tra baje, y que él entregaría Sf. 30 por cada día que no trábele. Se desea averiguar los días que tra bajó en los casos siguientes: a) Si recibió SL 1800 b) Si no recibió nada c) Si él tuvo que entregar SL 180 Dar como respuesta la suma de los resultados A) 60 B) 56

0

68

D) 72

E) 78

66. Dos personas han recorrido en total 64 metros, dando entre los dos 100

129 pasos. Si cada paso del primero mide 70 cm y cada paso del segundo, 50 cm, ¿cuántos pasos más que el segundo ha dado el primero? A) 10 pasos D) 24 pasos

B) 40 pasos C) 20 pasos E) 25 pasos

67. Una prueba consta de 70preguntas. Cada respuesta correcta vale 4 pun tos, cada respuesta equivocada es un punto en contra y cada respuesta en blanco vale cero puntos. Un estudian te que ha rendido dicha prueba, ha obtenido 95puntos, habiéndose com probado que las respuestas buenas fueron el doble de las que dejó en blanco. ¿Cuántas equivocaciones co metió? A) 30 B) 28

C) 27

D) 25

E) 24

68. Un poste de 40 metros ha sido pinta do de dos colores, los primeros me tros de verde y los restantes, de azul, gastando SI. 2 240 en la pintura. La pintura verde necesaria para un me tro de poste cuesta Sf. 60 y la pintura azul SI. 50. ¿Cuántos metros están pintados de verde? A) 20 m D) 25 m

B) 22 m

O 24 m E) 26 m

69. Se ha mezclado arroz de SI. 1,2 el ki logramo con arroz de SL 1,00 el kilo gramo, obteniéndose 50kgde mezcla. Cada kilogramo de mezcla se ha ven dido en SL 1,35 ganando el 25% del costo. ¿Cuántos kilos han entrado de la primera clase? A) 18 kg D) 24 kg

B) 20 kg

C) 22 kg E) 25 kg

70. Un tren con 325pasajeros tiene que recorrer 150 km. Los pasajeros de pri mera clase pagan 4 céntimos por ki lómetro y los de segunda, 2 céntimos.

130


¿Cuántos pasajeros iban de primera clase, si después del viaje se ha re caudado 12960 soles f A) 125 B) 220 C) 100 D) 145 E) 107 71. En una fábrica trabajan 90 obreros, hombres y mujeres, y los jornales de un mes han importado 4 758 soles. El jornal del hombre es de SL 21 y el de lamujerdeSt. 15. Durante el mes han trabajado 26 días. ¿Cuántos obreros son hombres? A) 70 B) 68

0 72

D) 73

E) 80

72. Un negociante compró 120 calcula doras. Una parte de ellas las vendió ganando 30 soles en cada una y las restantes, ganando 36 soles también por cada una Si la venta de todas las calculadoras le han producido una utilidad de 3930 soles; ¿Cuántas vendió ganando 30 soles? A) 60 B) 65

0 68

D) 76

E) 75

73. En una granja se puede contar 80 cabezas y 300 patas entre conejos y pavos. ¿Cuántos son conejos? A) 10 B) 20

O 50

D) 70

E) 60

74. Hemos enviado 360 útiles escolares entre cuadernos y libros con un peso de 163 kg. Cada libro pesa 600 gra mos y cada cuaderno, 350 gramos. ¿Cuántos cuadernos y cuántos libros hemos enviado? A) 216 y 144 O 121 y 239 E) 212 y 148

B) 200 y 160 D) 150 y 210

75. Un obrero ha trabajado durante 36 días. Los primeros días le pagaron 30 soles de jornal, mientras que los días restantes, 35 soles eljornal. Por los 3 6 días recibió 1185 soles. ¿Cuán

tos días trabajó con 30 soles de jo r nal? A) l i d D) 15 d

B) 12 d

C) 13 d E) 16 d

76. En una granja se tiene una cierta cantidad de gallinas y conejos. En total suman 48 cabezas y 120 patas. ¿Cuántos son los conejos? A) 20 B) 15

0

12

D) 28

E) 6

77. En un almacén de arroz hay inicial mente cierto número de sacos de di cho producto. La primera semana se vendió la mitad de los sacos, la se gunda semana se vendió 90 sacos, la tercera semana se vendió tanto como no se vendió, quedando en el alma cén 500 sacos de arroz. ¿Cuántos sa cos había inicialmente? A) 2 180 D) 2 800

B) 2 810

C) 2 100 E) 1 200

78. Cecilia, cada día gasta la mitad de lo que tiene más Sí. 20. Si gastó todo en 4 días. Su promedio de gasto por día es; A )S /. 200 D )S /. 20

B) S/. 300

Q S /.-150 E) S/. 60

79. En un camión hay 6143 manzanas. A cada cliente se vende la mitad de lo que hay de manzanas en ese momen to y media manzana más; si después de atender al último cliente sólo que dan 2 manzanas. ¿Cuántos clientes compraron? A) 9 D) 12

B) 10 O H E) Más de 12

80. Un pozo lleno de agua, se agota en 4 horas. Si en cada hora se agota 112

Problemas de Operaciones Binarias metro por debajo de su mitad, ¿ Cuál es la capacidad del pozo, sabiendo que es cilindrico y que el área del fondo es 4 m2? A) 16 m3 D) 72 m3

B) 28 m3

C) 60 m3 E) N.A.

81. A un número se le extrae la raíz cua drada después de agregarle 1, al re sultado se multiplica por 3 y se obtie ne 12. ¿Cuál es el número? A) 10 B) 15

C) 17

D) 24

E) 7

82. Un pozo de agua se vacía en 3 horas. Si en cada hora se va la mitad de lo que había en esa hora más un litro. ¿Cuánto litros tenía inicialmente? A) 10 B) 12

C) 14

D) 16

E) 18

83. Cada vez que Jorge visita a su tía ésta le duplica el dinero que él lleva. El sobrino siempre agradece con S/. 40 la bondad de su tía. Un día Jor ge queriendo ganar más dinero, rea lizó 4 visitas sucesivas a la bonda dosa tía; pero tal fue la sorpresa de Jorge que al cabo de la cuarta visita se quedó sin un sol. ¿Cuánto llevó Jorge al empezar las visitas? A) 30 D) 39

B) 35

C) 37,5 E) 41

84. Se tiene 48 fósforos divididos en tres grupos diferentes. Si del primer gru po paso al segundo tantos fósforos como hay en éste, luego del segundo paso al tercero tantos como hay en el tercero y de éste paso al primero tan tos fósforos como hay ahora en el pri mero, resulta que habrá el mismo nú mero de fósforos en cada grupo. ¿Cuántos fósforos había al principio en cada grupo?

131 A) 20, 16, 12 C) 20, 15, 13 D) 22, 14, 12

B) 20,14, 14 E) 18, 16, 14

85. Una vendedora lleva paltas al mer cado y vende la mitad de las que te nía más media palta; deja encarga da la mitad de las que le quedaba más media palta, obsequia la mitad del nuevo resto más media palta y todavía le sobran 3. ¿Cuántas paltas llevó al mercado sabiendo que no partió ninguna palta? A) 35 B) 19

C) 31

D) 27

E) 17

86. Se debe llenar de agua un reservorio soltando agua durante un determi nado tiempo. Si abro el grifo que vier te 42 litros por minuto durante el tiempo indicado, faltaría 312 litros para llenar. Si abro el grifo de 54 li tros por minuto durante el mismo tiempo, se rebalsarían 456 litros. ¿Cuál es la capacidad! del reservorio9 A) 2 000 l D) 3 000 l

B) 2 400 l E) 3 600 l

C) 2 800 l

87. R icoto le com enta a su fie l Vladimico: — Si pagamos 24 soles por día al nuevo cocinero, estaríamos 180 soles por de bajo del presupuesto asignado. Vladimico, mostrando aires de bona chón le sugiere. — Te sugiero 36 soles diarios y sólo nos excederemos en 180 soles al presu puesto asignado. ¿Cuál es el presu puesto que tiene Ricoto para el coci nero? A) 800 soles B) 840 soles C) 900 soles D) 950 soles E) 1000 soles


132 88. Los socios de un club se reunieron en su local principal. Las bancas que disponen son todas de la misma ca pacidad. Si los asistentes se sientan de 5 en 5, faitearían 6 bancas para que todos estén sentados. Por lo que deci dieron sentarse 7 en cada banca y así había espacio para 18 socios más. ¿Cuántos asistieron a la reunión? A) 120 D) 136

B) 1274

C) 130 E) 150

89. Un recipiente contiene 46>21 de agua pura. En éste, se desea preparar una mezcla salina de una determinada concentración. Si se vierte la solución que contiene 7 gramos por litro, ha bría que agregar 12 gramos de sal demás para conseguir la concentra ción deseada, en cambio, si se agrega la misma cantidad de la solución de 9 gramos por litro, la mezcla tendría 34 gramos de más de sal. ¿Con qué concentración se desea preparar la mezcla? A) 2 gil B )2 ,3 gfl C )2,4 gil D )2,5 gil E) 2,8 gil 90. Gábino ha comprado 1092 cuader nos a 4 soles cada uno. Por cada do cena le regalaron uno. ¿A qué precio debe vender el ejemplar, si desea ga nar 1584 soles regalando 2 cuader nos por cada docena? A) Si. 8,00 B) Si. 9,00 D) Si. 10.00

C )S /.6 E) Si. 12,00

91. Para comprar un computador, un grupo de personas han reunido 2700 soles aportando por igual, sin embar go, el computador cuesta 3060 razón por la cual, cada uno tendrá que aportar 8 soles más. ¿Cuánto habían aportado inicialmente? A) 50 soles B) 55 soles C) 60 soles D) 65 soles E) 70 soles

92. En uno de sus recorridos, un ómni bus recaudó 144 soles en pasajes. El pasaje es único e igual a 4 soles, sin importar el lugar donde suba o baje el pasajero. Llegó al paradero final con 8 pasajeros. ¿Con cuántos salió del paradero inicial si durante el trayecto por cada dos pasajeros que bejaban subía uno? A) 14 B) 15

C) 16

D) 28

E) 22

93. El profesor Geómetras siempre está jalando agua para su molino, o me jo r dicho, para su geometría. Duran te el ensayo para el desfile escolar, él estuvo encargado de entrenar un ba tallón. Hizo formarlos con tantas fi las como columnas, sin faltar ni so brar un escolar. Enseguida separó la formación en dos rectángulos, sin mover un solo escolar, de modo que el rectángulo mayor tenía 36 escolares más que el otro. ¿De cuántos escola res está formado el batallón del pro fesor Geómetras? A) 324 D) 361

B) 225

C) 144 E) 289

94. Encontrar un número de 3 cifras di ferentes, de suerte que si se le resta el número invertido, la diferencia esté conformada por las mismas cifras del número. Indicar el producto de las tres cifras del número. A) 120 D) 150

B) 130

O 140 E) 180


133

CLAVES DE RESPU ESTA S PÁGINA

1

2

3

4

74

D

C

A

E

P Á G IN A

1 D

2 D

3

4 A

1

2

PROBLEMAS PROPUESTOS 1

5 B

6 E

7 E

8 B

6

7

8

E

C

A

c

3 4 5 B D A D 10 11 12 D B C

P Á G IN A

1

2

86

A

C

78

P Á G IN A

82

C 9

C

3 D

4 D

5 A

6

7

C

C

8 9 -9 0

1 D

2 B

3 C

4 C

5 A

6 E

7 A

P Á G IN A

1

2

4

B

C

5 C

6 C

7

9 3 -9 4

3 E

P Á G IN A

D

8 B

D

P Á G IN A

1

2

3

4

5

6

7

8

9 5 -9 6

D

D

B

E

C

E

A

B

1

2

A 9 E

A

3 E

4 E

5 D

6 D

7 A

8 A

P Á G IN A

1

2

102

B

P Á G IN A

P Á G IN A 100

B

E 31 32 33 E A B 41 42 43 B E B 51 52 53 A A E 61 62 63 B B A

D

D

C C A 36 37 38 39 B E E D 46 47 48 49 D C B A 56 57 58 59

C 34 35 D A 44 45 C C 54 55 C E 64 65 E E 71 72 73 74 75 E B D E D 81 82 83 84 85 B C C D C

D

E

B

D

4

B

B

1

2

3

4

5

6

106

B

A

D

E

A

C

P Á G IN A

1 B

2

3 B

4

5 C

6 E

E

A

D

3.

o o

40 D 50 B 60 €

C

C

o o o

30 B

D

D

1. 208x208 = 43264, .\ 43x26 = 1118 2. e

o

20 D

C 90

91 92 93 94 C E A E

o

10 D

66 67 68 69 B D C B 76 77 78 79 C A C C 86 87 88 89

Retos al ingenio 3 B

108

3 4 5 6 7 8 9 A E C E E B B D A 11 12 13 14 15 16 17 18 19 D E D E C B B B D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 E

2

o

2x2x2 -2 = 6 3x3 + 3-r3 = 10 4x4x4-r4 = 16

OXO = 24 5x5 -— D-rO 5-r5 = 4. 19 + 6 +■25 = 50: yoyó, lentes:

70 E 80


134 5. 12x483 = 5796; 39x186 = 7254 4x1738 = 6952; 4x1963 = 7852 3 5 7. 25 + 35 + 32 = 92 7 1 8 2 8. 13 4 6 9. Gané 20 soles 10. 663 + 73 = 736

Divertijo 1: Carrito y 110

Cari Friedrich Gauss Nació el 30 de Abril 1777 en Brunswick, (Ahora Alemania). Cuando Gauss tenía diez años de edad, su maestro solicitó a la clase que encontrara la suma de todos los números comprendidos entre uno y cien. £1 maestro, pensando que con ello la clase estaría ocupada algún tiempo, quedó asombrado cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. Gauss reveló que encontró la solución usan do el álgebra, el maestro se dio cuenta de que el niño era una promesa en las matemáticas. Hijo de un humilde albañil, Gauss dio señales de ser un genio ante9 de que cumpliera los tres años. A esa edad aprendió a leer y hacer cálculos aritméticos mentales con tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que hizo su padre para pagar unos sueldos. Ingresó a la escuela primaria antes de que cumpliera los siete años. * A los 12 años, criticó los fundamentos de la geome tría euclidiana; a los trece le interesaba las posibili dades de la geometría no euclidiana. A los quince, entendía la convergencia y probó el binomio de Newton. El genio y la precocidad de Gauss llamaron la aten

ción del duque de Brunswick, quien dispuso, cuando el muchacho tenía catorce años, costear tanto su educación secundaria como universitaria. Gauss, a quien también le interesaban los clásicos y los idiomas, pensaba que haría de la filología la obra de su vida, pero las matemá ticas resultaron ser una atracción irresistible. Cuando estudiaba ên Gotinga, descubrió que podría construirse un polígono regular de diecisiete lados usan do sólo la regla y el compás. Enseñó la prueba a su profesor, quién se demostró un tanto escéptico y le dijo que lo que sugería era imposible; pero Gauss demostró que tenía la razón. El profesor, no pudiendo negar lo evidente, afirmó que también él procedió de la misma manera. Sin embargo, se reconoció el mérito de Gauss, y la fecha de su descubrimiento, 30 de Marzo de 1796, fue importante en la historia de las matemáticas. Posterior mente, Gauss encontró la fórmula para construir los demás polígonos regulares con la regla y el compás. Gauss 9e graduó en Gotinga en 1798, y al año si guiente recibió su doctorado en la Universidad de Helmstedt. Las matemáticas no fueron el único tema que le interesó a este hombre; fue también astrónomo, físico, geodesta e inventor. Hablaba con facilidad varios idiomas, e inclusive dominó el ruso a la edad de sesenta años. En 1807 fue nombrado director del observatorio y profesor de astronomía en la Universidad de Gotinga. A principios del siglo XIX, Gauss publicó sus Disquisiciones aritméticas, que ofrecían un análisis lúcido de su teoría de números, comprendiendo las complicadas ecuaciones que confirmaban su teoría y una exposición de una con vergencia de una serie infinita. Estudió la teoría de los errores y dedujo la curva normal de la probabilidad, llamada también curva de Gauss, que todavía se usa en los cálculos estadísticos. En 1833 inventó un telégrafo eléctrico que usó entre su casa y el observatorio, a una distancia de unos dos kilómetros. Inventó también un magnetómetro bifiliar para medir el magnetismo y, con Weber. proyectó y cons truyó un observatorio no magnético. Tanto Gauss como Riemann. que fue discípulo suyo, pensaban en una teo ría electromagnética que sería muy semejante a la ley universal de la gravitación, de Newton. Empero, la teo ría del electromagnetismo fue ideada más tarde, en 1873, por Maxwell, aunque Gauss ya poseía los cimientos ma temáticos para la teoría. En 1840, las investigaciones de Gauss sobre la óptica tuvieron especial importancia de bido a sus deducciones por lo que toca a los sistemas de lentes. A los 77 años, Gauss falleció. Se ha dicho que la lápida que señala su tumba fue escrita con un diagra ma, que construyó el mismo Gauss, de un polígono de diecisiete lados. Durante su vida, se reconoció que era el matemático más grande de los siglos XVIII y XIX. Su obra en las matemáticas contribuyó a formar una base para encontrar la solución de problemas complicadísimos de las ciencias físicas y naturales. Falleció el 23 de Febrero 1855 en Gottingen, Hanover (Ahora Alemania)

NÚMEROS RACIONALES

INTRODUCCIÓN Los cálculos que se realizan en cualquier actividad: co m e r c io , in g e n ie r ía , e c o n o m ía , e s ta d ís tic a , e t c ., infaltablemente involucran los núm eros decimales.

A q u í abordarem os una b reve teoría de los núm eros ra cionales y diversas estrategias para la resolución de pro blemas de fraccion es y decimales.

Inclusive los núm eros irracionales com o - J l , n y otros, para efectos prácticos que toma com o 7,41; 3,14, esto es, sus valores aproximados. Por consiguiente, cualquier m ortal inevitablem ente debe saber operar con los núm eros decim ales si no quiere que le engañen en las cuentas. El cálculo del IG V pone en apuros a mucha g en te que ha descuidado las operacio nes con decimales. Los núm eros racionales son enteros o bien fraccionarios. Los núm eros decimales son la expresiófi horizontal de una fracción.

SABERES PREVIOS D ebes saber calcular el

MCM de varios núm eros.

T ienes que dom inar las operaciones fundam entales . Te recom iendo repasar operaciones con fraccion es y deci males. Simplificación de fracciones y conversión d efrac ción o decimal y de decimal a fracción .

136

H*


3 . NUMEROS RACIONALES 3.1. Fracciones y Decimales Al dividir un entero entre otro diferente de cero, el cociente resulta o bien entero o bien fraccionario. Por ejemplo, al dividir — = 4 es entero, mientras que — es fraccionario. 3 2 Tanto 4 como — , pueden ser expresados como la división de dos enteros. Todos los números que pueden ser expresados como la división de dos enteros se llaman núm eros racionales. Por lo tanto, el conjunto de los números racionales, denotado por Q, está formado por los enteros y los fraccion arios. 15 El número — es un racional pero no es fraccionario, ya 3 que representa al entero 5. Por consiguiente no son igua les los términos núm ero racion al y núm ero fra ccio nario. El número >/2 no puede ser racional, porque no hay dos enteros que divididos den el valor de 42 , por eso se llama irracional.<5> Una fracción es un número de la forma — , donde a se b llama num erador y 6, denom inador, con la condición de que b es distinto de cero, porque no es posible dividir entre cero, y a n o es múltiplo de 6, porque si lo fuera — b seria entero y no fraccionario <5> Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción, el cociente es un número decimal, de tal suerte que una fracción se puede convertir en decimal y un deci mal en fracción. Ejemplos:

Para convertir de fracción a decimal es suficiente dividir el numerador entre el denominador. La conversión de decimal a fracción lo veremos más adelante.

© Una propiedad interesante de las fracciones es que si se multiplican o se dividen el numerador y deno minador de una fracción por un mismo número entero diferente de cero, el valor de la fracción no se altera, se obtiene otra fracción e q u iv a le n te al anterior. Por ejemplo: 6 6 x 8 48 4 ~ 4 x 8 ~ 32 18 = 18+6 24 24 *6

3 4

6_ 4 32 18 24

3 4

® El 42 no es racional Vamos a demostrar que no hay dos enteros a y b que dividos den el valor de 42 . Usaremos el método de demostra ción por red u cción al absurdo. Esto es, vamos a suponer que sí existen dos números a y b tal que: (1) (continúa)

Números Racionales

137

Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción, el cociente puede tener un número limitado de cifras decimales o un número ilimitado de cifras deci males. <2>

Adetnás a y b no se pueden simplicar porque no tienen divi sores comunes aparte de 1. Elevan do al cuadrado (1).

¿Se puede determ inar a p rio ri el tip o de decim al que origina una fracción ? Sí. Es posible. No sólo el tipo de decimal que origina, sino, la cantidad de cifras decimales y la cantidad de cifras del péríodo. Depende del denominador de la frac ción generatriz. Diremos que una fracción es generatriz, cuando no se puede simplificar sus término, o sea, cuan do es irreductible. Las fracciones que tienen por denominador una poten cia de 10, como 10; 100; 1000; etc, siempre originan un número decimal exacto, La cantidad de cifras, deci males es igual al número de ceros que tiene el denomi nador. Las fracciones con denominador formado sólo por ci fras 9, como 9; 99; 999; etc, originan un número deci mal periódico puro. El número de cifras del período es igual a la cantidad de cifras nueve del denominador. De estas dos observaciones se deduce que, si el denomi nador de una fracción se puede transformar en una po tencia de 10, entonces originará un decimal exacto y si se puede transformar en un número de cifras 9, origina rá un periódico puro. 7 Por ejemplo: el denominador de la fracción — se puede

a

De donde.

=2

a2 = 2b2

(2)

Se observa que a es par, entonces, a - 2 k (k e 2$.Sustituyendo en (2). (2k)2 = 2b2=> 4k* = 2b2 =>2k2 = b2 Se nota que b es par. Pero si a y b a son pares se puede simplificar ^ , lo que contradice a la condición inicial. De aquí se deduce que no hay tales enteros supuestos. Si no hay 2 enteros que dividi dos den ->¡2, entonces este número no es racional, sino, irracional.

5 8

5]8 50 0,625 20 40

=> - = 8

0,625

Número decimal exacto o limitado

transformar en una potencia de 10, multiplicando am 7x5 bos términos por 5: 2 0 x5 decimal exacto.

35 = 0,35 y origina un 100

13 El denominador de la fracción — se puede transformar

9 = 0,81 11 u * 90 0J8181.... 20 Númerodecimal 90 inexactoperiódicopuro 20

,

en un número de tres cifras 9, multiplicando ambos tér 13x37 481 minos por 37: - 0,481 y origina un núme2 7 x 3 7 999 ro decimal periódico puro. ¿Cuándo un denominador se puede transformar en una potencia de 10 ó en un número formando por cifras 9 ? ^ )

=> - = 0,83 ~=*5\6 6 6 50 0,833. 20 Númerodeánxd 20 inexactoperiódico rixto 20


138 A. Si el denominador de una fracción generatriz está formado solamente por factores 2 y/o 5, entonces origi na un número decimal exacto, cuya cantidad de cifras decimales es igual al mayor exponente de uno de los factores, 2 ó 5, de la descomposición canónica del deno minador. B. Si el denominador de una fracción generatriz no con tienen factores 2 ni 5, origina un decimal inexacto pe riódico puro, cuya cantidad de cifras del período es igual a la cantidad de cifras del menor número formado por cifras 9 en el que está contenido exactamente el deno minador.

1000 ~ ° ’375, 4372 100 ~ 43’72 42 = 0,42 99 345 = 3,48 99

C. Si el denominador de una fracción generatriz contie ne factores 2 y/o 5 y factores primos distintos a éstos, origina un número decimal periódico mixto cuya canti ° dad de cifras decimales no periódicas se determina con El denominador de una fracción el criterio A_y la cantidad de cifras del período con el que contiene solamente factores 2 y ! o 5 , siempre será posible trans criterio B. formarlo en una potencia de 10, multiplicando apropiadamente a [p rob lem a 1 ] ambos términos de la fracción por el mismo número. Tú amigo(a) lector(a), con todo lo que hemos ex Si el denominador no tiene facto puesto hasta aquí, me puedes decir, sin necesidad res 2 ni 5, entonces siempre será de dividir, ¿qué tipo de decimal .origina la frdc- posible transform arlo, análo gamente al anterior, en un núme 296 ción 26 x 5 4 x 11x41' Además, ¿cuántas cifras ten ro formado por cifras 9. drá la parte decimal non periódica y el período? R esolución Antes de analizar el denominador tenemos que verifi car que la fracción sea generatriz, o sea, irreductible: 296 26 -54 11 41

8x37 8 x .2 3 -5 4 11-41

37 2 3 -54 11-41

La fracción origina un número decimal periódico mixto, con 4 cifras en la parte decimal no periódica, porque el exponente de 5 es 4. Para determinar la cantidad de cifras del período, ve mos que el 11 está contenido en 2 «nueves» y el 41 en 5 «nueves». ¿En cuántos «nueves» están contenidos los dos? El MCM de 2 y 5 es 10. Entonces 11 y 41 están conteni dos en 10 «nueves» Por lo tanto, tendrá 10 cifras en el período. ¿Estás de acuerdo? Si tienes dudas, comprueba con otros

La fracción ^0 origina un nume ro decimal exacto con tres cifras decimales, porque en 40 = 23 x 5 el mayor exponente de uno de los factores es 3. La fracción 2 2 ongina un nume ro decimal periódico puro con 2 cifras en el período porque 11 está contenido en 99.

Números Racionales

139

ejemplos. Te recomiendo una calculadora para efectuar © las operaciones. 343 La fracción origina un deci-

[Ejercicios]

mal periódico mixto:108 = 22x 27. En el siguiente cuadro, debes señalar el tipo de decimal que Entonces tiene 2 cifras decimales origina la fracción dada, además, la cantidad de cifras no periódicas y 3 cifras en el perio decimales no periódicas y la cantidad de cifras del período. do, porque 27 está contenido en 999. Fracción Tipo de N° cifras decimales N° de cifrai Fracción no periódicas del período ¿Cómo saber, en cuántos “nue 15 ves” está contenido un núme 48 rof 12 Por ejemplo, ¿En cuántos unue 275 ves” está contenido 41? 147 594 100 189

El menor número de cifras 9 ma yor que 41 es 99, entonces vamos a dividir 99 entre 41, si hay resi duo vamos agregando más cifras 9, hasta que el residuo sea cero.

[

13

i

125 287

j

3.1.1 Conversión de decim al a fracción Para convertir de decimal a fracción, la idea es “desapa recer” la coma decimal. No vayas a pensar desaparecerlo borrándola. Cuando un decimal se multiplica por 10, la coma deci mal se corre una cifra hacia la derecha, por 100, dos cifras; por 1000, tres, etc. Por ejemplo, si multiplicamos por 100 el decimal 3,43 resulta 3,48x100 = 348. Pero el valor de 3,48 ha sido alterado, para que no se altere, dividimos entre 100: 3,48x100 100

348 100

348 3,48 = 100

Así hemos transformado en fracción. Lógicamente pue des enunciar una regla general para convertir cualquier decimal exacto a fracción. <&

99 [41__ 82 2439 179 164 99999 = 41x2439 159 123 369 41 está contenido 369 en 5 anueves" Otro modo de averiguar lo mis mo es teniendo la descomposición canónica de los *nueves” 9 =32 99 = 3 2x l l 999 = 33x37 9999 = 32x l l x l 0 1 99999 = 32x41x271* 999999 = 33x 7 x l l x l 3 x 3 7 Aquí vemos que 41 está conteni do en 5 *nueves*


140 Para el caso de decimal periódico puro, consideremos el

©

número 0,48 >que en realidad es:

0,342 x 10 = 3,42 0,253x100 = 25,3

0,48=0,484848 ... Multiplicando por 100: 200(0,45) = 48,484848 ...

(1) (2)

0,452 x 1000 = 425 ®

427 0,427 = 1000

Restando miembro a miembro (2) —(1): 99(0,48) = 48 37,2 = 48_ 0,48 = 99

Dividiendo entre 99:

Enuncia una regla general para convertir en fracción cual quier decimal periódico puro. © Deduce una regla para convertir números decimales pe riódicos mixtos en fracción

372 10

52 0,052 = 1000 0,42 =

99

345 0,345 = 999

[ Ejercicios )

0,005 =

Convierte en fracción cada uno de los siguientes deci males. Una vez obtenida la fracción, comprueba que al dividir el numerador entre el denominador ae la fracción se obtiene el decimal original.

©

999

325 - 3 0,325 = 990

a) 0,45

d) 0,4

g) 0,427

j) 6,20

0,475 = m z í L 900

b) 3,2

e) 0,27

h) 0,528

k) 32,5

3,225 = 3? 25-~ 322 900

c) 2,50

f) 0,05

i) 4,25

1) 2,9

48,7 = 4§ = 4 9 -4 = 4 l^ 5 9 9

3.2 Clasificación y operaciones con fracciones 3.2.1. Clasificación de fracciones Las fracciones se clasifican de acuerdo a varios criterios: A. De acuerdo a los divisores com unes de sus térm inos a) F racción irreductible.- Si los términos tienen como único divisor común a la unidad. No

Números Racionales

141

\

*

es posible simplificar. 7 ■7 es irreductible. 4

'

b) F racción redu ctible.- Si los términos tienen divi sores comunes aparte de la unidad. Las fracciones reductibles se pueden simplificar dividiendo los térmi nos entre los divisores comunes. Ptír ejemplo: 48 La fracción “ es reductible. El mayor divisor común entre ellos es el MCD (48; 36) = 12. Dividiendo ambos términos entre 1 2 , obtenemos: 48 48*12 4 48 4 36 " 36^12 ~ 3 ^ 3 6 eS equÍValente a 3

Expresión general de la fracción equivalente Si dada una fracción, se preten de hallar otra equivalente a la primera, pero que satisfaga de terminadas condiciones, enton ces, lo conveniente es hallar la expresión general de todas las fracciones equivalentes a la frac ción Supongamos que queremos ha llar una fracción equivalente a 32849 42221 cuyo numerad°r sea el

4 48 4 Las fracción ~ es irreductible. Las fracciones ~ y 3 36 3 son equivalentes.

menor número entero positivo que termine en cifra 3.

B. De acu erdo a la com p aración de sus térm inos

Lo primero que debemos hacer es simplificar la fracción, conver tirla en irreductible.

a) F racción propia.- Si el numerador es menor que el denominador.

7

La fracción — es propia, porque 7 < 10. b) F racción im propia.- Si el numerador es mayor que el denominador. 12

La fracción — es impropia, porque 12 > 7. La fracción impropia es mayor que la unidad. Dividiendo el nume rador entre el denominador origina una fracción mixta (entero + fracción propia)

12 5

f

12 7

5 7

Fracción mixta

C. De acuerdo al denom inador a) F racción decim aL- Si el denominador es una poten 7 47 da de 1 0 ; por ejemplo Jq 'Jqq

Cuando intentamos simplificar la fracción, notamos que los tér32849 minos de 42121 710êne êrcâ> ni séptim a, ni onceava, etc. ¿Cómo podemos averiguar si es irreductible o no? Recordemos que para volverla irreductible, hay que dividir ambos términos entre su MCD. E ntonces debem os hallar el MCD de 32849 y 43121. Pero igualmente, al no conocer los di visores comunes, no podemos hallar el MCD. En estos casos, hay un algoritmo llamado algoritm o d e E uclides, que nos permite hallar el MCD de cualquier par de núme-


142 b) F racción ordinaria.- Si el denominador es diferen13 48 36 te de una potencia de 10; por ejemplo: — D. De acuerdo a la com p aración de varias fra ccio nes a) F racciones heterogéneas.- Varias fracciones son heterogéneas si tienen denominadores diferentes. 7 15 13 Las fracciones: ^ iYo J~8~ son heterogéneas c) F racciones hom ogéneas.- Varias fracciones son homogéneas si tienen denominadores iguales. 13 7 5 Las fracciones ’J2 >T2 >T2 son ^10m0®^neas

ros. Se va dividiendo el mayor entre el menor, luego el menor entre el residuo, asi sucesivamen te, hasta obtener un residuo cero y el MCD es el último divisor. Veamos: 1

3

5

19

43121 32849 10272 2033 1Q7 f 10272 2033 107 0 M CD

Dividiendo los términos de la fracción dada entre el MCD-107: 32849 43121

32849+107 43121+107

407 403

Todas las fracciones equivalen-

Homogenización Varias fracciones heterogéneas se pueden convertir en homogéneas transformando a fracciones equivalentes.

32849 tes a son de la forma 43121 307k , donde: 403k

[Problema 1] 7 8 13 3 Homogenizar las fracciones ~ >~ ~ >"7 yorde 12 lo 2U 4 nar de mayor a menor. Resolución M étodo (1) Hallamos el MCM de los denominadores:

k = 1,2; 3; 4;.... Debemos hallar, aquélla cuyo numerador, 307k, sea el menor entero positivo que termine en ci fra 3.

12

15

20

4

2

Para que 307k termine en 3, k debe terminaren 9; entonces:

6

15

10

2

2

k = 9; 19; 29;....

3

15

5

1

3

1

5

5

1

5

1

1

1

1

%

MCM = 22•3 •5 = 60

Cada fracción debe tener por denominador a 60. Para ello tenemos que multiplicar apropiadamente por el mismo número a ambos términos de cada fracción, de modo que el denominador sea 60.

De aquí escogemos el menor: k - 9 . En consecuencia, la frac ción buscada es: 307k 307(9) 403k ~ 403(9)

2763 3629

Números Racionales 7 -5

35

8 -4

12 -5

60 15 -4

143

32

13- 3

39 3 15

45

60 20 -3

60 4 ■15

60

D ivertijo 1 Viaje al Pasado

Las fracciones equivalentes son: 35 •32 » 39 » 45 6 0 ’ 6 0 ’ 6 0 ’ 60 Ordenando de mayor a menor. De varias fracciones homo géneas es mayor el de mayor numerador. Luego: 45

39

35

32

3 13 7 8 —> — > — > — 4 20 12 15

60 > 60 > 60 > 60

A las 8 déla mañana, en la ciu dad de Valencia (España) se va a celebrar una junta de empre sarios. Uno de ellos, sale del ae ropuerto de Bagdad (Irak) a las 9 déla mañana y llega a tiempo a la junta tras un viaje de 2 ho ras ¿Es posible esto?

M étodo (2) A cada fracción le ponemos 60 (MCM de denominadores) de denominador. Para obtener el numerador de cada fracción equivalente dividimos 60 entre el denominador de la fracción y multiplicamos este resultado por el numerador. ( 60 +12 = 5 ’l r^-35 5 x 7 = 35 J-l 60

60 +20 = 3 ] r^_39 3 x 13 = 39j— 60*

60 +15 = 4 4 x 8 = 32

I

60+4 = 15x3 I

r

45 60

3.2.2 A dición y S ustracción de Fracciones El procedimiento seguido para sumar fracciones, depende de que si las fracciones sean ho mogéneas o heterogéneas. Veamos a continuación. a)

¿C óm o sum ar fra ccion es hom ogéneas?

D ivertijo 2

2 8

8

8

8

Para sumar y restar fracciones homogéneas basta sumar los numeradores y mantener el mismo deno minador. b) ¿Cóm o sum ar fra ccion es heterogéneas? 1 2 Consideremos las fracciones — y — cuya suma quere4 y 3

¿C uánto p esa la señora? Cuando se lepregunte a Camilapor el peso de su madre, responde: "Mi madre pesa 90 kg más un dé cimo de su peso" lCuánto pesa la mamá de Camila?


144

Divertijo 3 Los libros de Juanito

mos hallar. Representemos gráficamente las dos frac ciones:

= ??

+

2 3

1 4

Como se puede apreciar las partes a sumar no son del mismo tamaño y no hay forma de sumarlos tal como están.

Al ver a Juanito llegando a la academia con varios libros bajo el brazo, su amiga Nancy se le acercó _ ¿Tantos libros tiene Juanito? JSólo traje la séptima parte de los que tengo. La tercera parte son de matemáticas. Dos libros de filosofía son mis favoritos. Pero en total no llegan a 30. ¿Cuántos libros tiene Juanito?

Una estrategia gráfica es, dividir los dos cuadrados en partes del mismo tamaño. Observa la siguiente figura.

+ ©

Sumemos:

12

8 12

2_ + 13l + 7____ 7. 5 20 15 4

11 12

Se observa que dividir gráficam ente en partes del mis mo tamaño, equivale, analíticamente a homogenizar las fracciones. ✓B1

-%

Para sumar fracciones heterogéneas, es necesario homogenizarlas previamentet luego efectuar la suma de las fracciones homogenizadas. o

Hallando el MCM de los deno minadores; MCM (5; 20; 15; 4) = 60 24 + 39 + 28 -1 0 5 60 -14 60

30

3.2.3. M ultiplicación y d ivisión de fracciones 3 5 Consideremos las fracciones J y ~g cuyo producto queremos hallar. Podemos saber la regla de cómo se multiplica las fracciones y no saber, el porqué de esa regla y no otra. Por ejemplo, a Manolete sólo le interesa la regla, porque le es suficiente en caso que un problema requiera de la multiplicación de fracciones.

Números Racionales

145

En cambio* a Lupita, le interesa más bien el porqué de la regla, porque de esa manera, aunque se haya olvida do de la regla será capaz de deducirla en cuanto lo re quiera. Veamos, pues, cómo podemos deducir la regla. Consideremos un cuadrado de lado igual a una unidad de longitud. Por un lado dividimos en 9 partes y por el otro en 7 partes, como muestra la figura. Así, quedan representa3 4 das las fracciones — y —; el cuadrado queda dividido en 7 9 7x9 = 63 partes, de modo el área de cada cuadradito 63 En la figura podemos observar queel área de la parte sombreado, representa el producto de 3 4 12 _ y —, que abarca 12 cuadraditos.En consecuencia, el área de esta parte sombreado es — . 7 9 63 Es decir: 3 4 3 4 12 7 * 9 = 63 de donde se deduce 9ue: y * ^

3x4

Ahora, ¿puedes anunciar la regla general para la multiplicación de fracciones? ¿Cóm o m ultiplicar un en tero p o r una fra cción o una fra cció n p o r un entero? Por ejemplo: 4 x —. 9 Sabemos que 4 es un número racional, y como tal, se puede expresar como y , entonces, la multiplicación en Multiplicar

cuestión resulta: 4 x —= —x —= ^ - 9 1 9 1x9

O

de

donde

se

deduce

que:

, 7 4x7 28 4 x —= ------= — 9 9 9 Como la multiplicación es conmutativa, se puede dedu cir la regla para el caso de una fracción por un entero:

4 13 4x13 • —x — = 5 21 5 x 2 1 7 _ 8 x7 8x 15 15 9 4 Xlr

9x11

52 105 56 15 .. 99 -i?» .


146

El inverso y la d ivisión 4 5 Ahora nos proponemos dividir — entre — . ¿Cómo efec tuar la división? Imagínate que no sabes la regla y tie nes la necesidad de dividir, porque el cociente te conduce a la solución de.un problema. Tal vez recuerdas algo de la regla, que semultiplica en aspa,pero estás en duda sobre dónde seubican los productos,que a fin de cuen tas da igual que no saber la regla. Para deducir la regla de la división de fracciones, vamos a recordar la propie dad del inverso: todo número racional distinto de cero

Curiosidades El número nen la Biblia

tiene su inverso. Por ejemplo, el inverso de 7 es ^ , el de

¿Qué valor seftsignaba a nenia época bíblica? Es curioso conocer dos referencias que aparecen en la Biblia.

1 4 9 “ es 5 y el inverso de — es —. Así, cualquier número

Dice el libro de los Reyes (1 Reyes 7 2 1 ), al hablar de la construc ción del templo de Jerusalén:

racional diferente de cero tiene su inverso. Por otro lado, la división 9-r5 se puede expresar como 9 1 — yque a su ves- se puede expresar como 9 x —. Así lie5 5 gamos a que 9*f5 es lo mismo que 9 x —. De donde pode5 mos enunciar: dividir 9 entre 5 es lo mismo que multipli car 9 por el inverso de 5. El problema de la división se resuelve por la vía de la multiplicación. 4 5 Volviendo a la división de — entre — , podemos con9 7 4 5 4 cluir, que dividir —entre — equivale a multiplicar — 9 7 9 por el inverso de — , o sea: 7 4 5 4 7 4 x7 28 9 * 7 ~ 9 * 5 ~ 9 x 5 ~ 45 Esta regla es tan poderosa que se puede aplicar a cual quier caso. Por ejemplo la división de un entero entre

7

una fracción o viceversa. Dividir 12 entre — equivale a

“Hizo también de fundición una gran concha, toda redonda, de diez codos de diámetro, de un borde al otro; tenía cinco codos de profun didad, y un cordón o moldura de unos 30 codos ceñía toda su cir cunferencia Si la circunferencia era de unos 30 codos y el diámetro de diez codos n~3 Y el libro de las Crónicas, sobre el mismo tema (2 Crónicas 4, 4): “Y una gran concha o pila de bron ce fundido, que tenía diez codos de de diámetro, redonda perfecta mente: cinco codos tenía de profun didad y un cordoncillo de 30 co dos abrazaba toda su circunferen• s cía .

147

Números Racionales multiplicar 12 por-el inverso de — :

12 + -7= 1 2 x 5 - =^ 5 7 7

7 7 7 1 7 Así, la división, por ejemplo, de — entre 8 resulta: —+8 = —x —= — 9 9 9 8 72 9

Un caso particular de la división de fracciones es la división: a b c_ d

a +c _ a b d b

_axd c bxc

I

a b c d

axd bxc

Veamos los casos en que uno de los términos de la división es un entero

Fracción de un núm ero Calcular los — de 200, equivale a dividir 200 en 4 partes y considerar 3 de esas partes 4 9

200*4 = 50, luego 3x50 = 150. Así llegamos a la conclusión de que — de 200 es 150. 4 En términos prácticos, lo que hemos hecho es multiplicar — por 200: 4 3 1 3 3 x200 7 de 200 = ~ x 200 = — -— = 150 4 4 4 Vemos que la preposición de, en términos prácticos, puede ser sustituido por el signo de la multiplicación. 3 3 Por ejemplo, ¿cuánto es ^ de ~ ?

1 3^3

3 ¡ 3 —de — = —x 7 7 7 7

=

3x3 7x7

-----------------=

9 49

—

9•


148

[ Problema 1

Problema3 ]

Hallar el resultado de la siguiente operación:

Reducir: 4-

1 3 2 4 —+ — +— 7 5 9 3 4 2 2 5 7~ 4 J

3 - -1 4

—X

R esolución 6

Resolución i 1x3 2 3 j? + $ 7x5 9 * 4 _ 55 4 1 "8 -7 ^ —x — 5 28 V

4-

53x$x

12-1

______ 18+35 _ 35x5

rfxll ¡1 11

53 8

11

6 44-28 11

3

5x28

X

4-

6 28 411

8

Problema 4 Reducir:

[ Problema 2 ] 1 i ''i 2 N —+ — —+ — 2 3 3 5 \ 2 ' Reducir: 0,5 + ~ + 0 ,4 5 \ y Resolución 3+2

'5 +6 \ i 15

<1 ^ \ *” 4 )J , 5 V , u

1 2

25 25 2 25x/ 22 = ¿2_ = 2 + _2 — n 2 4 2 4

5 yí —tX -— 7 íí 1 i 1 *?] — rX — 4 2 / \7

0,45 + 0,3 2 ,4 -2 ,2 0

0,8 +

J ,3 -

0,054

R esolución 45 3 200 + 9 24-2 228-22 90

8 9 + Í 3 -2 9 5 4 -9 990

_9_ 2 20+3 23 205 9 90

8 2 0 + 22 990 9 945

Números Racionales

149

[Problema 5 ]

27+20 60 13 7 9 6

1 8 9

47 60 26-21 18

E fectuar:

1 4 22 3 21

_L X

1 l--0 ,3 6

/ q 2 --2 -

0,54+ 0,35

0 ,5 -1 ,6

R esolu ción 1 8 9

4 36 9 13 3 99 4 5 54 3 5 - 3 ’ 5 1 6 - 1 99 90 10

1 28-22 21

Xi

3

4 7 x jté $ 6 x5

1 8 21 —+ — 9 6

10

141 50

18 79

141 50

3 11 6 90 — x— 11 32

16+63 18

45-52 44-12 -7 . 2 0 ___ 33 +M 6x90 -7 T 1 15 2 9 11x32 -

11139-900 3950

16

3 2 x jíx 3 2 ¡XÍx6x90

1

/ x 0 _ 2¿x32 J é 2 Ó xf ~3x0x90" 3

512 243

Problemas 1. E fectuar:

3.

1 1 .3

4 3' 1- +\=r-l 5 3

2 4 • _x T 1 1 J - 5 j ,5 10 _ 1

L *2~5 A) 88 D) -123

A) D)

B)

20

O

30

E)

15

B) -100

50 4.

11-

18

1+ 1-

2. E fectuar:

10 A) 2 11

Ii_ i 3

2

i+ i 4

D) 2 A)

10

4 B) 3

3 12 Q j .i» 5 a

C) -132 E) -121

13

11

1+ 10 B) 1 11 E) 2

11


150 / 5.

0,972 x l , 12

7. R educir: 1,3 +

1,63

2 ,5 \

B)

A> 3

0,6

0 ,3 x 0 ,4 x 0 ,4 3 /

l í +2— 3 4

5 C) - 3 A)

2 E )S

D) 6

21

B)

1 C )7

45

E)

105

15

.

1+^r

8. H allar el resultado de

4,830,72 +

0,972 7-

1 A )2

B)

1 D )3

C) 2 E )J

A)

4

D)

3 B )5

1 5

C

)

l

5 E) 4

[Problema 6 ) M elquíades es tan m etódico qu e de los 850 soles de su rem uneración, siem pre asigna 450 soles p a ra su mamá, ¿Q ué p a rte de su rem uneración asigna p a ra su m adre? Resolución El problema es equivalente a preguntar\ ¿qué parte de 850 es 450? Aquí, 850 es el todo, que en términos frac cionarios equivale a la unidad y, 450 es la parte. 850 450 450 x= 850

x

La fracción que da respuesta a la pregunta es: Parte Todo

Números Racionales

151

[Problema 7J A belardo ha vendido un televisor a p la zos. A l m om ento de en treg a r h a recibid o 5 235 soles qu e equivalen a los ~ d el p r e cio pa cta d o. ¿A qué p recio ha vendido el telev isor? Resolución

tros de za n ja ¿de qu é longitud será la zanja? R esolución Si ya cavó

3

4 de la zanja, le falta cavar los —

que son Iqs 16 metros faltantes. Queremos sa ber la longitud total de las zanja. Luego: 16_ 4 7

16

7 1

El problema equivale a preguntar, ¿los ~ de qué número es 235? Aquí se conoce la partey se pide hallar el todo que equivale a la uni dad. 235

5 9 1

235x1 x= 5 9

[ x = 423 soles )

[x -2 8 m )

^Problema 10) A Benjam ín le confiaron una suma de di nero p a ra qu e lo guardara, Pero, p o r un apuro, g a stó — d el d in ero con fiad o. El 5 está p reocu p a d o d e cóm o rep on er lo g a s tad o y se pregu n ta , qu é p a rte de lo que queda debe con segu ir p a ra rep on er lo gastado. R esolución

('Problema 8 j Se ha com prado un a rtefa cto en 480 so les y se ha p a ga d o 360 soles. ¿Q ué p a rte del p recio fa lta cu brir? Resolución

Si estás pensando que si perdió —debe repo5 1 1 ner con ~ , no estás en lo cierto. Este ^ está

Oá!fí o La parte cubierta es - _ = _ , entonces falta 480 4

referido al dinero que le fue confiado. Lo que se pregunta es qué parte del dinero que qu e da, es igual al dinero gastado.

cubrir — del precio. 4 O tro enfoque:

METODO (1)

Falta cubrir 480 - 360 = 120, que resulta 120

,

1 4 4 Si gastó — quedan —. De estos —¿qué parte 5 5 5

1 ^ 0 - ~ del precio del artefacto.

esl?:L+± =

( Problema 9 j

METODO (2)

Un trabajad or ha avanzado los — d é l a zanja qu e debe ca ca r. Si le fa lta n 16 m e

5

5

5

1 4

Como no se conoce el monto del dinero, signifi ca que la solución no depende de dicho monto, entonces vamos a suponer que se trata de 50 soles.


152 Entonces ha gastado 2- de 50 = 1 (50) = 10 y le quedan 40. 5 5 ¿Qué parte de 40 son los 10 soles que debe reponer?

=

Problemas 1. Un co n tra tista d eb e e je c u ta r 480 m etros de ca rretera y ha avanzado sólo 390 m etros. ¿Q u é p a r te d e la obra tiene avan zad a? JL A) 12

B)

16

D) 11 24

í3 O 16 E)

2. Un com erciante ha p erd id o en un ne g ocio 3500 soles que equ ivalen a los siete décim os de su ca p ita l.

tan 48 dias p a ra cu lm in ar la obra. ¿En cu án tos días en total, se con s tru irá la casa?. A) 80 días B) 81 días C) 70 días D) 75 días

5. Un recip ien te qu e esta b a llen o d e g agua ha p erd id o los g de su con te nido, en ton ces se le vuelve a llen a r con m ás agua. ¿Q ué p a rte de lo qu e había qu ed ad o represen ta el agua rep u esta ?

¿A cuánto ascien d e su ca p ita l? A) S/. 5000 B) S/. 4800 C) S/. 5500 D) S/. 4500 E) SA 4700 3. Un autom ovilista que va de Lim a a Huancayo ha recorrido250kilómetros, de los 300 kilóm etros que tiene que re correr para llegar a su destino. ¿Qué p a rte del tra yecto le fa lta cu brir p a ra lleg a r a su m eta ? Al |

°)

1 4

B) g

CI g 4 E> ?

4. En la construcción de una casa se ha g avanzado los j de la obra. El inge niero residente ha ca lcu la d o que fa l-

E) 84 días

B)

8

C)

8

4 E) 5

D)

6. D os ca ja s d e g a lleta s con tien en en to ta l 260 g a lleta s. P ara qu e am bas caja s queden con la m ism a can tidad de g a lleta s, se p a sa de la p rim era 3 los g d e su con ten id o a la segu nda caja. ¿C uántas g a lleta s habían en cad a ca ja ? A) 140 y 120 B) 160 y 100 C) 180 y 80 D) 150 y 110 E) 208 y 52 3 7. Los

de una sum a equ ivalen a las

Números Racionales

___________________________________________________________________________________________________

4 Y d el p rec io d e un a rtícu lo. Si la sum a aum entara en 12 soles, equivaldría a l p rec io d el a rtícu lo. ¿Cuál es la sum a? A) S/. 252 D) S/. 242

B) S/. 248

C) S/. 240 E) S/. 230

153

8. En la feria , C arm elo ha vendido los g — d e su m ercadería. 8 ¿Q ué p a rte de la m ercad ería qu e le queda debe vender p a ra d u plicar sus ventas? 3

2

A )J

B )«

2

1

C )J

D )7

1

E )F

[Problema 11 j —), vamos a suponer que dicho monto es 35 M arco tien e los — de lo qu e tien e Julián soles. Entonces Julián tiene —i.35)-20 y éste, los — d é lo qu e tiene Andrés. Entre 7

los tres tienen 536 soles, ¿cu á l es la d ife rencia en tre lo qu e tienen M arcos y A n drés?.

Marcos —(20) = Í2 . 5

Entre los 3 tienen: 35+20 + 12 = 67soles. Pero entre los tres tienen 536y no 67, luego:

Resolución

Total: 536 —» 67

Total: 536 —> 67

METODO (1)

Andrés: x

Marcos: y

Tomamos lo que tiene Andrés como la unidad. 4 3 Entonces Julián tiene — y Marcos —de 7 5 4

12

12

*4

— Entre los tres tienen + 7 35 3o 7

i

67 035

que equivale a los 536 soles; luego: T o ta l:

A n d rés :

—

536

536

35

1

35

35 536 x = 67

y

12

12-536 = 67

( x =280) ( jc - y = 184 s o le s )

[Problema 12 j ( x = 280)

x= «r 35

12 /. Andrés tiene 280y Marcos: — C2S0) = 96

La d iferen cia es: 280 - 9 6 = (184 soles ) METODO (2) Dado que el monto que tiene Andrés tiene séti4 ma parte (por los —) y quinta parte (por los 7

Una p elo ta ca e d e 15 m etros d e altu ra. 2 En el p rim er rebote p ierd e los —d é l a al5 tura de donde cayó. ¿C uál es la altu ra que a lcan za en d ich o rebote? R esolución Perder los dos quintos es como si dividiese la altura en 5 partes de las cuales ha perdido 2 partes y sólo le quedan 3 partes, es decir los — 5


154 Si pierde los — de la altura entonces recupera los — déla altura, o sea los ~ de 15:

segundo m es ga n ó los — d é l a nueva in5 versión. Anim ado, R icoto, volvió a inver tir el ca p ita l y la gan cia, y volvió a p e r 3 d er esta vez los ~ de su últim a inversión.

—(15)= [9 metros J 5

[Problema 16j D el dinero que ten ía en la m añana, ga s4 3 té los —y más tard e los — de lo que me 9 7 quedó luego del p rim er ga sto. Sí aún me quedan 24 soles. ¿Cuántos tenía en la m a ñana? Resolución 4 5 Al gastar los —me quedan los — . Al gastar 9 9 los —del resto, queda los — de dicho resto, o 7 7

Con tantos altibajos, R icoto d ecid ió re tira r todo su ca p ita l qu e a scien d e a 680 m il soles. ¿C uál fu e la inversión orig i nal de R icoto?, R esolución Ganar los — de una inversión es equivalente a dividirla inversión en 5partesyganar una suma igual a 2 de estas partes, con lo que la suma ascendería a 7 de estas partes. Esto es, o si se gana — de la inversión, se obtiene los 5 ~ déla inversión, o R esolución

sea, — de £. = £ £ . Luego: 7 9 63 24

20 63 1

En el primer mes perdió los —, entonces le 24 20 63

( x = 75,ÓJ

[Problema 17^ Si bien R icoto ga n a en la m ayoría de los negocios en los qu e invierte, tam bién ha experim entado fraca sos muy am argos, aunque con tanto d in ero que tien e no le preocupa m ucho. En uno de estos negocios, el p rim er m es perdió los — de su inversión, p ero volvió 7 a invertir el ca p ita l qu e quedó y en el

quedó

7

el cual volvió a invertir y ganó los

—, entonces ahora tiene los Z-de — —. Vol5 5 7 5 =

vió a invertir perdiendo esta vez los ~ de la O última inversión, le quedó entonces los 5 4 4 1 — de — » —as — déla inversión original, que 8 5 8 2 SQn lo$ 68Q mü so¿g^ La inversión original fue [l '360 m il soles\

155

Números Racionales R esolución

f Problema 18] Si gasté las tres quintas p a rtes de lo que no gasté, qué fra cción de lo qu e ten ía me queda?

3 4 El primero pierde los — =$le queda los ^ 2

El segundo gana los — => tiene

11

Resolución 4 11 113 Entre los dos tienen “ + — , de donde,

METODO (1) Observa el siguiente esquema:

113 63 1

565 x= (x-315) 113 63 Cada uno tenía 315 soles. Luego:

Tenía —

V

N o gasté (1)

No gasté (1)

Gasté ( — )

5

Gasté

315 = 450

\5 y

2 7 Si el segundo perdiera los ~ tendría ~ de 315

3 8 8 3 Tenía: i + —= —. ¿Quéparte de ~ es j ? R espuesta: —+ —= 5 5

3 10 Si el primero ganara los ~ tendría “ de

/ o\

Del esquema:

5 5

565

o o

que es: \2451.Luego, entre ambos tendrían: 450 + 245 = 695 soles. {Rpta.: 695 soles]

3 8

[Problema 20 METODO (2) Consideremos que no gasté 5 soles entonces O gasté —(5) = 3 . Si no gasté 5 y gasté 3 enton5 ces tenía 5 + 3 = 8. ¿ Qué parte de 8 es 3? R espuesta:

3 8

[ Problema 19 j Dos person as tienen la m ism a sum a de dinero. El prim ero pierd e los 317 de lo que tiene y el otro gan a los 2/9 de lo suyo; entonces tienen en tre am bos 565 soles. Si ahora, el prim ero ga n a ra 317 de lo que tiene y el segundo p erd iera los 2/9 de lo suyo, ¿cuánto tendrían en tre am bos?

D os apostadores en ca rrera s de ca b a llos acu d ieron al hipódrom o, dispues tos a a p osta r todo e l dinero que llevaban. A natolio, cuya espectativa era g a n a r los 3/5 de su inversión, llevó los 5/6 de lo que llevó su am igo B artolo, qu ien fu e con la espectativa de ga n a r los 9/10 de lo qu e disponía. Am bos, sólo lograron cu b rir los 2/3 de sus espectativas, aun a sí retom a ron con ten tos p orq u e habían logrado g a n a r 476 soles en tre los dos. ¿Cuánto llevaron en tre los dos?


156 Resolución

[Problema 21 ]

Consideremos que Bartolo llevó 30 soles, enQ tonces su espectativa era ganar — (30) = 27 10

2 y sólo ganó —(27) = 18 soles. 3 Anatolio llevó —(30) =25 , cuya espectativa 6

Un obrero debe h a cer una zan ja en tres días*El p rim er día hizo los 3/8 de la obra; el segundo día los 4/5 de lo que h izo el día a n terior y le quedaron 26 m de zanja p a ra el tercer día* ¿ Qué longitud debe te n er la za n ja? R esolución Io Día: -

era

ganar

—(25) = 15 5

y

sólo

ganó

En los 2 días

8 /

3 —

\

2 o Día: 5 v8

3_ 3 3_ 10 8 + 10

_

”

27 40

El 3o día 13 40

—(15) = 10 soles. Entre los dos ganaron 18 + 10 = 28 soles, habiendo llevado entre los dos 30 + 25 = 55 soles. Luego: 28

476

26

55x476 =* x = ------------ = 935 28

13 40 1

26 x = 13 40

[x =80)

[Rpta*: 80 nt]

[Rpta*: 935 soles ]

Problemas 1. Se tiene 315 caram elos distribuidos en 4 bolsas. La prim era bolsa con tie ne los — d é l o que con tien e la segun da, ésta los —d é l a tercera y ésta los o — d é l a cuarta* ¿C uántos caram elos con tien e la segunda b olsa ? A) 48 B) 72

C) 90

D) 105

E) 85

volvió a b a ja r — d é l a nueva altura* Si e l n ivel d el agua aún alcan za 10 m etros de altura, ¿a qué altu ra esta ba el n ivel orig in a l? A) 42,5 m D) 35 m

B) 31,5 m

C) 63 m E) 32 m

3* F estin o aprovech a los sábados p a ra ju g a r en los tragam onedas.

2. Un reservorio ha p erd id o los — d é l a

—Yo voy siem pre con una misma suma* Si p ierd o todo, m e retiro y si voy g a nando m e quedo hasta m edia nocheL e com enta a un am igo.

altura hasta donde llegaba el nivel del agua en la mañana* M ás tarde

A yer gané, a l em pezar, los —de mi di-

157

Números Racionales ñero, luego perdí ” déla nueva suma,

de los — de su nueva inversión y el

en seguida volví a ganar los ~ déla

segundo gana

última suma y me quedé con 33 soles. ¿Con cuánto va Festino a los tragamonedas ?

uniendo ambos capitales resultantes de la última reinversión obtienen 18 702 soles. ¿Cuánto dinero invirtie ron cada uno al principio?

A) 24 soles D) 33 soles

B) 30 soles


A ) SA 8 900 D) Sí. 8 100

suya. Re

B) SA 9 800 C) Sí. 7 800 E) SA 6 700

4. De un recipiente lleno de agua se ex trae los ~ de lo que no se extrae. ¿Qué parte de su capacidad queda con agua?. A)

12

B)

2 C )5 E)

D)

12

5. Clarisa le comenta a su esposo:

7. Dos artefactos se vendieron en el mis mo precio. El primero se rebajó los 15

de su precio de lista y el segundo

sevendióen ~

por encima de su pre

cio de lista La suma de los dos pre cios de lista es 480 soles. ¿A qué precio se ha vendido cada uno? A) SA 240 D) Sí. 222

B) SA 250

C) SA 220 E) SA 255

—Gasté en el mercado, exactamente los 5 ~ de lo que no gasté y me quedó 21 soles.— ¿Con cuánto dinero fue Clarisa al mercado? A) 40 soles D) 15 soles

B) 35 soles


6. Dos comerciantes han invertido la misma suma de dinero en dos negó• 2 cios distintos. El primero ganó los ~ de su inversión y el segundo perdió de su inversión. Ambos reinvier-

10 ten el capital resultante de la prime ra inversión. Esta vez el primero pier-

8. De un reservorio de agua se seca cada 2 díalos — de su contenido al iniciar o el día. Un lunes amanece lleno. ¿Qué parte se habrá vaciado al finalizar el día miércoles? 27 A) 125 D)

25

B)

125

98 O 125 27_ E) 50

158


[Problema'22] P arcim onio y P elan ch o, dos am igos d e siem pre, el prim ero con su h ija L u pita y P ela n ch o con su h ijo ; P iero, se en con traron saliendo de la feria. — Con los dos quintos d el dinero que tra je com pré un ju g u ete p a ra L upita y con la cu a rta p a rte com p ré un regalo p a ra mi m ujer y me quedé sólo con 63 * soles. D ijo P arcim onio. ? —¡Qué casualidad! —respondió P elancho— Yo tam- j bien com pré u n ju gu ete p a ra P iero con los dos quin-, tos d el dinero que tra je y, con la cu a rta p a rte del resto, com pré un reg a lo p a ra mi m ujer y tam bién me quedé con 63 soles. ¿Con cu án to dinero fu eron a la feria P arcim onio y su am igo?

’

< *f'

R esolución ¿Ambos han ido con la misma suma de dinero o con sumas diferentes? Representemos gráficamente el dinero con que fueron cada uno y los gastos hechos.

Parcimonio 2 5

Pelancho 2

Queda

1 4

5

63

En el caso de Parcimonio, los dos quintos están referidos al total y también la cuarta parte. Entonces gastó:

13 7 Si gastó — entonces le quedó los — que 20 20 equivalen a los 63 soles. Luego:

20 1

-r

63

-

En el caso de Pelancho, los dos quintos están referidos al total de dinero, ryiientras que la cuarta parte, a lo que quedó luego del primer gasto. Entonces gastó primero los —y le so- , 5

2 2 = 23 5 + 4 20

63

Queda

x =

1 63

63*20

Z_

7

20

( x = 180) Parcimonio fue con 180 soles

brólos — del dinero. 5 Luego gastó — de — = —x — = — . En total 4 5 4 5 20 *¿2 3 11 gastó: —h =— 5 20 20 11 9 Si gastó — le quedó — , que equivalen a

20

20

159

Números Racionales los 63 soles. Luego:

20 1

63

=>

7 7 quedaron, entonces quedan los — de — o 11 9 x =

1-63

63 20

7 7 49 7 sea t t x ~ - ~ . Por último gasta los — del 11 9 99 10

20

nuevo resto, quedándole los ~

í * = 14° ) Pelancha fue con 140 soles •••

, . 3 , 49 3x49 147 resto, es decir, — de — = --------- = -----10 99 10x99 990 que equivalen a los 441 soles.

[Problema 23] Al millonario Ricoto, se le ha dado por disponer cada día una suma para gas tarlo ese díq. Al finalizar el día, su asis tente le rinde las cuentas: 9 — Los dos novenos fue entregado a tu so brino Fantoni, del resto, los cuatro onceavos le prestamos a tu amigo Gar fio, con los siete décimos del nuevo resto pagamos el sueldo del cocinero y sólo quedó 441 soles. ♦ * — ¿Cuánto dispusiste p a ra este d ía ? *— Preguntó ricota ¿ P u e d e s r e s p o n d e r l a p r e g u n t a de R icotof

Luego: 147 990 1

->

441

1x441 x= 147 990 ( Rptcu: x = 297o]

Veamos ahona uña resolución práctica Se observ^que, si x es la suma inicial: 2 G asta: — 9 11 10 i i i 7 3 Queda: 11 10

Resolución La resolución de este problema puede ser tan simple si consideramos lo siguiente: si gasta dos novenos, quiere decir que el dine ro ha sido dividido en 9 partes y se ha gas tado 2 de estas partes, quedando las 7par tes restantes. Es decir, si se gasta los — que dan los g .

Primero gasta los — , entonces queda —. 9 9 Enseguida gasta los

de dicho

pero de los

que

r\ j 3 x— 7 x 7x Queda :— — =441 10 11 9 147x = 441 990 441x990 x = = (x=2970) 147


160

3.3 Mezclas y regla del can-

f Problema 1 ] Un recipiente contiene 35 litros de una mezcla de alcohol y agua. Las tres quintas partes es alcohol y el resto, agua. ¿Qué cantidad de agua contiene esta mezcla? Resolución De los 35 litros los — son de alcohol, entonces el agua es 5 los — de 35 = —(35) = (l4 litros.} 5 5

[Problema 2 ] A una mezcla alcoholiceb, con las - partes de alco hol, se agrega 8 litros de agua hasta que la mezcla contenga tanta agua como alcohoL ¿Cuánto de al cohol contiene esta mezcla? Resolución 3 1 Si los ~ es alcohol, entonces “ es de agua. Para igualar hay que agregar

3

1 2

~

1 j o sea tanto como la mi

tad de la mezcla. Esta cantidad son 8 litros. Entonces la mezcla inicial contenía 8 x 2 =16 litros, de los cuales —(16) = 12 litros son de alcohol. (igpta.: 12 litros j

Divertijo 4 Un jardinero perplejo A m ediados de siglo Cecilio Rodríguez, eljardinero mayor del parque del Retiro de Madrid, era famoso por sus conocimientos y por su buen gusto. Un día un bro mista o un atrabiliario, no se sabe bien, le lanzó un reto desde las columnas del ABC, el principal diario de la capital. Le pidió que en honor de Madrid, la villa del oso y del madroño, plantara diez madroños en cinco filas rectas de cuatro árboles cada una. Esta petición fue la comidilla en las tertulias de los cafés y en las so bremesas de las familias. La ma yoría pensaba que era imposible lo que se solicitaba. Sin embar go, al cabo de dos meses el alcal de inauguraba la Glorieta del Madroño. Cecilio Rodríguez ha bía triunfando. ¿Cómoplantó los árboles?

Divertijo 5 La barra de oro Un joyero llegó a un pueblo bus cando posada para quedarse du rante 7 días. Una vez encontrado y como no disponía de efectivo ofreció pagarle con una barra de 7 cm de oro. El posadero aceptó la oferta, pero con la condición de que el pago se efectuara diaria mente y por adelantado. ¿Cuán tos cortes como mínimo tuvo que realizar el joyero sobre la barra de oro, para efectuar el pago dia rio?

161

Números Racionales

Problema 3 Un reservorio contiene 48 litros de una mezcla al cohólica cuyos tres octavos es alcohoL Si se extrae 2 los —de esta mezcla, ¿qué cantidad de alcohol que3 da en el reservorio? R esolución 2

2

Al extraer los —déla mezcla, se extrae los — de aleo3 3 2 1 holylos —de agua En el recipiente queda —del agua 3 3 que había y ^ del alcohol que había.

g La mezcla contiene —(48) = 18 litros de alcohol y 8 5 2 —(48) = 30 litros de agua. Al extraer — de la mezcla, se 8 3 2, ha extraído —(18) = 12 litros de alcohol y ha quedado a .

^(18)= 6 litros de alcohol en el reservorio. [ R pta: 6 litros}

[Problema 4] Un depósito contiene 30 litros de vino del cual se extrae 1/5 de su contenido y se reemplaza totalmen te por agua. Enseguida se extrae 114 de la mezcla y también se reemplaza por agua; por último se ex trae 1/3 de la nueva mezcla y también se reemplaza totalmente por agua ¿Cuántos litros de vino que da ahora en el depósito? R esolución Antes de proceder con la resolución, vamos a hacer una anotación:

Divertijos 6 Las tres boinas En una cárcel se hallaban tres presos: uno tenía vista normal, el otro era tuerto y el tercero, ciego. Habiendo decretado el gobierno indultar a uno de cada tres pre sos, el alcaide decidió conceder esa gracia al que averiguara un enig ma. Dijo a los presos que de un conjunto de tres boinas blancas y dos negras, les iba a poner acoda uno de ellos en la cabeza, sin que ellos la vieran, una boina. El que adivinara el color de su boina saldría libre. Apagaron las luces y el alcaide colocó a los tres una boina blanca y escondió las dos negras. Encendió luego la luz y preguntó al preso con vista nor mal si podía decir cuál era el co lor de su boina. Confesó que no podía. Hizo la misma pregunta al tuerto y éste confesó también su ignorancia. Como mera forma lidad, pero seguro de que el ciego no podría averiguar lo que los vi dentes no habían podido, repitió la misma pegunta al ciego. Este dejó asombrado al alcaide al res ponder que,aunque no podía ver las boinas que llevaban los otros presos, sin embargo deducía de lo que ellos habían contestado que él llevaba una boina blanca. ¿Cuál fue su razonamiento?


162

COMENTARIO

Sale:

I o E x tra er 215 d e la m ezcla: Cuando se extrae V 2 f5 de la mezcla, se extrae los215 de cada uno de los A componentes y queda en el recipiente los 315 de cada uno de los componentes.

Consideramos que el reservorio mos trado tiene capacidad para 20 litros de agua.

201 101

2 oR eem plazar p o r agua: Al reemplazar por agua la mezcla extraída, el vino que quedó permanece igual, sólo la cantidad de agua queda incrementada. Para el caso, basta controlar la cantidad de vino que sale y queda:

II

4 (1)

5 M

' Supongamos que en un reripíente hay 5 litros de vino y 10 de agua. Hagamos dos experimentos:

(2)

1

En elfondo del reservorio hay un gri fo de desagüe. Estando el reservorio lleno hasta la 1 4 • Hay 3 0 1, se extrae —(30) queda —(30) =24 l mitad, abrimos el grifo y tomamos el 5 t> tiempo hasta que termine de salir todo (Cuando se reemplaza por agua, el vino que quedó no el agua; supongamos que tardó 5 mi varía) nutos. Enseguida llenamos completa mente el reservorio y acto seguido 1 3 abrimos el grifo de desagüe y espera • Luego se extrae queda ~(24) = 18 l mos que salga todo el agua. ¿Cuánto tiempo crees que se demore esta vez? ¿ Tardará 10minutos? ¿Más 1 2 • Luego se extrae queda j ( ^ ) = 12 l , de 10 minutos o menos de 10 minu tos ? [R pta,: 121 ) Pues, puedes hacer el experimento y comprobarás que no demora 10 mi nutos. ¡Demora menos de 10 minu [Problema 5] tos! ¿Porqué? Porque la velocidad con Un depósito con tien e 36 litros de vino9 de él se ex que el agua sale por el grifo no es la trae 6 litros de vino y se reem plaza p o r aguOy luego misma en todo momento. Es mayor se extrae 12 litros de m ezcla y tam bién se reem pla cuánto más agua haya por encima de za p o r agua, p o r últim o se extra e 9 litros de la nue la ubicación del grifo. va m ezcla y en segu id a se reem p la za p o r agu a. ¿De qué otro modo podemos compro ¿Cuántos litros de vino queda en el d ep ósito? bar este fenómeno? Es muyfácil. En un balde viejo o en una lata, haz dos Resolución orificios con clavo, uno cerca de la 6 1 1 (0£!\ • Se extrae 6 lo — - x de mezcla => sale “ P )y base y otro cerca al borde superior y oo o o o luego llénalo de agua; observarás que ocurre lo que muestra la siguiente queda, —(36) = 30 l figura. o

Números Racionales

163

12 i i íon, • Se extrae 12 / o — - j de mezcla ^ sale ^ y queda ~ (30) - 201. 9 1 • Se extrae 9/ ° ~ “ 7 de mezcla 36 4 queda —{2 0 )-1 5 1

sale ^"(30) y

[ R pta.: 15 l i t r o s ) De esta observación saca tus propias conclusiones.

[ Problema 6 j

APROXIMADO

Un panadero tiene cierto núm ero de p a n es a la ven ta. Prim ero vende 113 de los p a n es y 100 p a n es más, luego vende 314 de los que quedaron y 10 pan es más. P or últim o vende la m itad del últim o resto y aún le quedan 20panes ¿C uántos p a n es ven d ió?

¿Porqué entonces, en los problemas sobre grifos, consideramos como si el agua saliera del recipiente con la mis ma velocidad en cada momento?. Pues en realidad, si queremos ser pre cisos, los resultados que obtenemos son aproximados. Pero no es el único caso. Vayamospor ejemplo, a la caída libre o al movi mientoparabólico. En los cálculos que se hacen para fines de la enseñanza de lafísica, no se considera lafricción del aire. ¿ Y, porqué no consideramos estos detalles? Porque la matemática que utilizamos es muy limitada, se requiere de mate máticas más avanzadas para descri bir con precisión estosfenómenos.

Resolución Un modo de abordar la resolución de este problema, es el siguiente: antes de empezar la venta había un núme ro de panes, al término de las ventas este número queda reducido a 20. El proceso mediante el cual se ha llegado obtener 20, es mediante operaciones hechas con el nú mero original. En tal virtud, podemos retornar de 20 hasta el número original, realizando las mismas opera ciones pero en forma invertida. Las operaciones realizadas con el número original para llegar a 20, las llamaremos operaciones directas. Las operaciones que haremos con 20 para descubrir el nú mero original, las llamaremos, operaciones inversas. Operaciones OPERACIONES E n u n c ia d o Directas INVERSAS Io vende j y 100 más

2o vende 77 4

y 10 más 1 3o vende “ Queda

2 X — 3

*20 x 2

=40

-100

40+10

= 50

1 x— 4 -10

50 x 4

= 200

1 x— 2 20

Sin fricción

= [450]

B

t

200 + 100 = 300 300 x -

í fricción

Con fricción Sin fricción


164 *

Al empezar tenía 450, como le quedaron 20, entonces vendió 450 - 20 = 430 [Rpta,: 430)

[Problema 7] Una pelota que cae de cierta altura, pierde 115 de la altura de donde cayó, y 6 m más en el primer rebote. En el segundo rebote pierde 115 de la altura de donde cae ahora y 4 m más. En el tercer rebote pierde 115 de la altura de donde cae esta vez y 6 m más. En el cuarto rebote pierde 115 de la altura de donde cae y 5 m más. Determinar la altura inicial de donde cayó la pelota sabiendo que en el cuarto rebote alcanzó 3 mde altura. Resolución ENUCIADOS


1er rebote

4 X— 5 -6

2a®rebote

4 x— 5 -4

Divertijo 7 Ecuación sencilla

Moviendo las 4 cifras que apare cen en esta falsa igualdad, consi gue una igualda verdadera.


3 +5 =8

10

+

6

=

20 + 4 =

3er rebote

10 4to rebote

4 x— 5 -5

Queda: 3 m

T 3

30 + 6 = 33

1 36 x —= 45 m 4

4*

[Rpta.: 4 5 m )

[Problema 8] Un empresario invierte su capital, del siguiente modo: 1/6 de su capital, en terrenos; 2/7 del resto en maquinarias; 3/5 del nuevo resto en un negocio de computadores, los 5/9 del último resto en acciones de una empresa y los restantes 400 soles, los depositó en el banco. ¿Puedes calcular el capital del empresario?

Números Racionales

165

R esolución Siguiendo el mismo criterio utilizado en la resolución de los problemas anteriores, se llega a la siguiente solu ción: Si C es el capital: y

5 5 2 4C —x —x —x — - -4 0 0 6 7 5 9

=> C = 3780

[R pta.: S/. 3 73tT)

Problemas

tcr

. 1. A u n recip ien te qu e con tien e 8 litros de a lcoh ol p u ro se le a grega 12 litros de agua. ¿Qué p a rte de la m ezcla es a lcoh ol p u ro? 3 A )2

3 B )í

1 D) 5

2 E )5

1 C )J

A) 1 0 / B) 15 / 0 1 8 /

2. Se m ezclan 12 litros de vino con 16 litros de a lcoh ol puro. Si de la m ez cla se extra e la cu a rta parte. iC uántos litros de vino quedan? A) 91

B) 6 /

0 8 1

D )5 l

E) 3 l

3. Un depósito con tien e 30 litros de vino, del cu a l se extra e 1/5 de su con ten id o y se reem plaza totalm en te p o r agua. E nseguida se extra e 1/4 de la m ezcla y tam bién se reem plaza p o r agua; p o r últim o se extra e 1/3 de la nueva m ez cla y tam bién se reem plaza totalm en te p o r agua. ¿C uántos litros d e vino queda ah ora en el depósito? A) 10 litros D) 16 litros

4. Un depósito contiene 48 litros de vino, de él se extra e 16 litros de vino y se reem plaza p o r agua, lu ego se extra e 30 litros de m ezcla y tam bién se reem p la za p o r agua; p o r últim o se extra e 8 litros de la nueva m ezcla y ensegui da se reem plaza p o r a g u a ¿Cuántos litros de vino quedan en el d ep ósito?.

B) 12 litros


D) 20 / E) 24 /

5. En un recip ien te se tien e una m ezcla de 30 litros de a lcoh ol con 10 litros de a g u a Se extraen 1/5 de su conteni do y se reem plaza p o r agua, ensegui da se extra e 1/3 de la nueva m ezcla y se reem plaza p o r agua, p o r últim o se extra e 1/4 de la últim a m ezcla y tam bién se reem plaza p o r a g u a ¿Cuán tos litros de a lcoh ol quedan en el re cip ien te? A) 6 litros D) 12 litros

B ) 8 litros


6. G arlitos com pró cierta can tid ad de caram elos; 1/3 de ellos regaló a su herm anito m enor, los 2/5 d el resto a su prim o Juan y 1/4 d el últim o resto a su prim a M arilú, quedándose única m ente con 3 caram elos. ¿C uántos ca ram elos com pró G arlitos?


166 A) 10 caramelos B) 12 caramelos C) 15 caramelos D) 16 caramelos E) 18 caramelos 7. Néstor fue de compras a una feria, primero gastó 1/4 de su dinero en ropa, luego con los 2/3 del resto com pró un relqj, más tarde compró un he lado de Sí, 10, finalmente con los 3/7 del último resto compró un regalo para su mamá. Quedándose únicamenteconS!, 16para el cine, ¿De cuán to disponía Néstor? A) Sí. 150

B) S/. 152

C) S/. 160

D) S/. 162

E) S/. 170

8, De un tanque lleno de agua, empieza a disminuir su contenido del siguien te modo: en la primera hora en su cuarta parte y 40 litros más, en la se gunda hora se reduce en 3/5 de lo que quedó y se le aumenta 100 litros, y en la tercera hora disminuye en 1/3 de lo que hay ahora, quedando en el tan que 100 litros. ¿ Cuál es la capacidad del tanque? A) 200 D) 300

B) 220

C) 280 E) 400

3.4 Reducción a ia Unidad [Problema 1 j En una lancha pueden caber 15 mujeres o bien 10 hombres ¿Cuántas parejas pueden caber en la men cionada lancha? Resolución M étodo (1) R educción a la Unidad y

Al abordar las 15 mujeres, cada una ocupa 1/5 déla capacidad de la lancha. Cuando abordan los 10 hom bres cada uno ocupa 1 /10. Cuando aborda una pare ja, la mujer ocupa 1/15 y el hombre 1 /10. 1 1 2 + 3 Entre los dos ocupan — + — = • —r = —. Si cada 15 10 30 30 6 pareja ocupa l/ 6 dela capacidad de la lancha, signifi ca que en ella caben 6 parejas. Rpta,: 6 parejas M étodo (2) Donde caben 15 mujeres caben 10 hombres. Se deduce que, donde caben 3 mujeres caben 2 hombres. Imagine mos que la lancha está ocupada por los 10 hombres. Retiramos 2 hombres para poner 3 mujeres. Realiza mos este proceso hasta que queden en parejas. Con la segunda sustitución se consigue 6 hombres y 6 mujeres, o sea, 6parejas.

.

^

- -

V

* , **'•

*$5*5 •

167

Números Racionales Método (3)

Divertí jo 8 La herencia

*

Busquemos el menor número que contenga exactamen te a 15 y a 10 (MCM). Este número es 30. Para transportar 30 hombres necesitaremos 3 lanchas y para transportar 30 mujeres, 2 lanchas. Entonces para transportar 30 hombres y 30 mujeres, o sea 30 parejas, se requiere3 + 2 = 5 lanchas, lo cual implica que en cada lancha caben 30 + 5 = 6 p a reja s. ¿Has entendido los tres métodos? Espero que sí. Los pro blemas siguientes, intenta resolver por los tres métodos. Nosotros exponemos el método de reducción a la uni dad. ( Problema 2 ] Martín puede hacer un obra en 56 días, mientras que Isaac, puede hacer la misma obra en 42 días. Trabajan do juntos, ¿qué tiempo les tomara la obra?

En circunstancias en que regre saba a su pueblo, un campesino fue enterradopor una a valancha de tierra, donde muriójunto con su caballo en el que iba monta do. Días después, sus tres hijos hallaron un testamento que el precavido padre había dejado. En él dejaba 24 caballospara sus 3 hijos; la mitad para el mayor, un tercio al segundo y un octa vo para el menor. Habiendo m uerto uno de los caballos ¿cómo lograron repartirse los ca ballos restantes?

Resolución En 1 día:

Juntos, en un día ha-

Martín hace: Isaac hace:

cen

56

de la obra,

24 toda la obra les toma rá 24 días.

42

Entre los 2: — + * 42 56

1

1# 24

Rpta.: 24

f Problema 3 ] Antonio y Raúl se comprometieron construir un muro en 12 días. Pero, luego de trabajarjuntos durante 4 días, Raúl se retiró del trabajo, razón por la cual Antonio entregó la obra con 12 días de retraso. De haberse retirado Antonio, icon cuántos días de retraso habría entregado la obra Raúl? Resolución

«

Normalmente cada uno haría su parte en 12 días. En 4 días, cada uno ha hecho 1/3 de lo suyo y le resta 2/3

Hagamos un esquema: 4d

8d N/

R

1/3

2/3

1/3

2/3

t R


168 Si Antonio entregó con 12 días de tardanza, es porque éste es el tiempo que le tomó hacer la parte inconclusa que dejó Raúl. Luego: Antonio hace en 12 días lo que Raúl haría en 8 días. Lo que Antonio haría en 8 días, Raúl haría en en x días. x

8 x8 r l -------=5 — 12 3

R pta.: 5 — días 3

[ Problema 4 ] Un cilindro tiene un cañ o de llenado, el cu a l puede llenar en 20 m inutos y otro cañ o de vaciado, que puede vaciar totalm ente en 36 m inutos. Estando vacío el cilindro, se abre e l ca ñ o de llenad o y 4 m inutos más tarde el cañ o de vaciado. ¿En cuántos m inutos se llenará totalm ente el cilin d ro? Resolución 4 1 • En los primeros 4 minutos se llena — - — del cilin dro, entonces falta llenar r* del cilindro. ¿>

• En cada minuto siguiente, el primero llena 1/20 y el segundo vacea 1/36 del cilindro, entre los dos llenan: 20

36

45

•Luego: en 1 minuto llenan 1145 del reservorio en x minutos los 4/5 que falta 4 x = —x45 = 36 min 5 Todo el cilindro se ha llenado en 36 + 4 = 40 min [Rp/cu: 40 min J

[Problema 5^

La muerte de Árquímedes —Cuando la ciudad de Siracusa fue tomada al asalto por las fuer zas de Marcelo, general romano, se hallaba el geómetra absorto en el estudio de un problema, para cuya solución había trazado una figura geométrica en la arena. Allí se hallaba el geómetra ente ramente olvidado de las luchast de las guerras y de la muerte. Sólo le interesaba la investigación de la verdad. Un legionario ro mano lo encontró y le ordenó que se presentara ante Marcelo. El sabio le pidió que esperara un momento hasta que acabara la demostración que estaba hacien do. El soldado insistió y le cogió del brazo: —cuidado. ¡Mira don de pisas! —le dijo el geómetra—. ¡No me borres la figura! Irritado al ver que no le obedecía inme diatamente, el sanguinario roma no, de una puñalada, postró sin vida al mayor sabio de aquel tiempo. Marcelo que había dado órdenes de que se respetara la vida de Arquímedes, no ocultó el pesar que le causaba la muerte del genial adversario. Sobre la lápida de la tumba que mandó erigirle, hizo grabar una circunferencia inscri ta en un triángulo, figura que re cordaba uno de los teoremas del célebre geómetra (Tomado de Lo» más grandes del ingenio matemático)

Tres grifos A, B y C pueden llen a r un reservorio en 60, 48 y 80 horas respectivam ente. Estando vacío el reservorio, se abren los grifos A , B y C con intervalos d e 4 horas. ¿En cuántas horas pod rán llen a r todo el reservorio?

Números Racionales

169

R esolución • A funciona

horas, entonces llena: — del reservorio. 60

• B funciona (í - 4) horas, entonces llena: tzÉ. del reservorio. 48 t —8 • C funciona (í - 8) horas, entonces llena: ----- del reservorio. 80 t t-4 • Donde: — +

t -8

* ^ 71 =1 => * = y

( " " a l R pta.: 23 h 40 m in J

Problemas 1. Un albañil p u ed e h a cer una obra en 21 días, m ientras que su ayudante puede hacer la misma obra en 28 días. Trabajando ju n tos, ¿en qu é tiem po harían dicha obra? A) 49 días D) 12 días

B) 20 días

C) 15 días E) 10 días

2. D os albañ iles p u ed en con stru ir un muro en 20 días; p ero trabajando p o r separado, uno tard aría 9 días más qu e el otro, ¿Q ué tiem po ta rd a ría este o tro ? A) 36 días D) 48 días

B) 40 días


3. A lejandro y su h ijo pu ed en h a cer una obra en 10 días. Si después de 8 días de tra ba ja r ju n tos, se retira el p a d re y el h ijo term ina lo qu e fa lta d e obra en 7 dias, ¿en cuántos días p u ed e h a cer toda la obra, el p a d re solo? A) 14 días D) 24 días

B) 21días


4. Un obrero A se dem ora en h a cer la m itad de una obra, tan to com o otro

obrero B se dem ora en h acer los 5/6 de la misma obra, ¿Cuánto se dem orará A en h a cer la obra solo, si en tre los dos tard arían 15 d ía s? A) 20 días D) 40 días

B) 24 días


5, D an iel p u ed e h a cer una obra en 15 días y H um berto p u ed e h a cer la m is ma obra en 10 días, D aniel em pieza a tra b a ja r en la obra y después d e 5 días se in corpora Hum berto, ¿A los cuántos días de la in corp ora ción de éste con clu irá n la ob ra ? A) A los 2 días C) A los 4 días D) A los 5 días

B) A los 3 días E) A los 6 días

6, Un señ or había alquilado un a lfa lfa r p a ra un m ulo y un caballo. Cuando los anim ales habían consum ido 1/8 d el p a sto, retiró el caballo, quedan do el m ulo p o r 14 días, hasta term i n a r el pasto. Si en lu gar del ca ba llo hubiera retira d o el m ulo, el ca ba llo habría term inado el resto d el p a sto en 21 días, ¿P or cuántos días había alqu ilad o el a lfa lfa r?


170 A) 10,5 días B) 8,4 días D) 8,2 días

C) 9,6 días E) 8,6 días

7. D os obreros A y B s e com prom etieron en tregar una obra a l cabo de un cier to tiem po; p ero A d ecid ió no in terve n ir en la obra, entonces B tuvo que ejecu tar solo, entregando 36 días des pu és de la fech a fijada. Si B hubiera decidido no in terven ir en la obra, A habría entregando 25 días tarde. ¿A é

los cu án tos días debían en treg a r la obra? A) 28 días B) 30 días C) 35 días D) 40 días E) 42 días 8, A y B pu ed en h a cer una obra en 15 días, B y C ,en 12 días y A y C en 10 días, Trábajcm do los tres ju n tos, ¿en cu án tos días harían d ich a obra? A) 4 días D) 10 días

3.5.1. Tanto p o r cuanto [ Problema 1 ] De un cajón de 50 m anzanas se han m alogrado dos de cada cinco. ¿C uántas m anzanas se han d esper diciado? Resolución M étodo (1) De agrupar en grupos de 5 las 50 manzanas, habrían 5 0 -5 = 10 grupos y en cada uno de ellos encontraremos 2 malogradas. Entonces habrán malogradas 2 x 10 =20. M étodo (2) El término 2 de cada 5, que también se suele llamar 2 por / \ 5, es igual a decir los dos quintos . En consecuencia, \5 J los dos quintos de las 50 manzanas están malogradas: — de 50=

2

e


Truco para adivinar la edad y el dinero que tiene

3.5 Tanto por ciento

2

B) 6 días

\

= [20 m anzanas m alogradas j

Cuando se precisa separar en dos clases, un conjunto muy numeroso de objetos, por ejemplo, las botellas mal llenadas de un lote de 20 000 botellas de vino, resulta muy laborioso revisarlas una por una todas las bote llas. Entonces, es conveniente coger una muestra de todo el lote y contar las defectuosas que hay en ella. Digamos que escogemos al azar 40 botellas del lote y encontra-

Un truco basado en el valor relativo de las cifras permite al adivinador del pensamiento decirle a una perso na su edad y el dinero que lleva en el bolsillo. A: Multiplique su edad por 2, sume 5, multiplique el resultado por 50, sume la cantidad de dinero que lleva en el bolsillo (inferior a cien soles), reste en número de días que tiene un año, y dígame el resultado. (B, que tiene 35 años y lleva 76 soles en el bolsillo va pensando mental mente. 70, 75,3 750,3 826,3 461.) En voz alta, B: 3 461. (A le suma 115 a este número y obtie ne 3 576). A: Su edad es 35 años, y tiene usted 76 soles en el bolsillo. B: Efectivamente. Supongamos que la edad de B, es a, y que el dinero suelto que lleva en el bolsillo es b. Entonces las operacio nes indicadas por A dan sucesiva mente, 2a, 2a + 5, 100a + 250, 100a + b +250, y 100a + b+250- 365= 100a + b - 115. Si se añade 115 a éste último número el resultado es 100a + 6. Ahora bien, si la edad de A está expresada por un número de dos ci fras, entonces 100a + b tiene 4 cifras. Las 2 primeras dan el número a, y las 2 últimas el número b. (Tomado de Paradoja$ Matemáticas Northrop)

Números Racionales

171

mos tres defectuosas, entonces es probable que de cada 40 hayan 3 defectuosas.

EJERCICIOS

Esto es lo que se conoce como “3 de cada 40” ó “3 por 40”, que equivale a decir los 3/40 del lote.

1. ¿Cuánto es:

3.5.2 Tanto p o r ciento

a) el 4 de cada 25 de 200?

En cálculos similares a los anteriores se suele tomar como referencia el 100 , entonces se denomina “tanto de cada 100” ó “tanto por ciento”, que equivale a las cen tésimas partes de una cantidad y se simboliza con %.

30 30x500 los — de 500 = ------------ = 150 100 100 Como podem os ver, el térm ino 30% es igual a 30 = 0,30 ; lo que muestra que el 30% se puede 100 10 expresar como una fracción o como un número decimal. Así para calcular el 30% de 500, bastará multiplicar 0,30 por 500. Observa: 0,30 x 500 = 150. Dado que el 100 % es ^qq “ ^ » 0 sea dad, el 25% es la cuarta parte: 25% =

c) el 2 de cada 15 de 600? d) el 15 de cada 77 de 1771?

Por ejemplo el 30% de 500, significa:

100

b) el 3 de cada 40 de 120?

total de la canti25

1 - —=0,25 .

Por consiguiente, el 25% de 360, se puede obtener de cualquiera de las tres maneras siguientes:

2. Calcular el: a) 30% de 500 = b) 60% de 80 = c) 75 %

24

=

d) 25% de 150 = e) 45% de 60

=

S. ¿Qué % de 2520 es a) 180? b) 240? c) 21? d) 45? e) 90?

[Problema 2 ]

4. ¿El 40% de qué número es. a) 360?

De un lote de 450 chompas, 180 son amarillas y las restantes son blancas. ¿Qué porcentaje de las chompas son amarillas y qué porcentaje son blan cas? Resolución El total de una cantidad, en términos porcentuales, es el 100%. De modo que en este caso las 450 chompas son el 100%.

b) 94? c) 44? d) 480? e) 72?


172 M étodo (1) Total:

450 -> 100%

Amarillas: 180 —» x 180x100% x = 450

Total:

450

100%

Blancas: 270 —> x 270x100% x= 450

= 40% ]

( x = 60 % J

Se observa que habiendo calculado el porcentaje de las amarillas, el porcentaje de las blancas es, 100%-40%=60% M étodo (2) Dado que el porcentaje es una fracción, se calcula la 180 =0,40 que es el 450 decimal equivalente a 0,40 x 100% = 40%, que son las amarillas y 100% - 40% = 60%, blancas.

fracción ‘‘parte entre el tod o” :

La multiplicación por 100% no altera el resultado ya

Principales Equivalencias * 100% = 1 (Todo) 50% = -

(Mitad)

25% = ~ (Cuarta parte) 20% = — (Quinta parte) 5 200% = 2 (Doble) 300% = 3 (Triple)

Las dos partes de un todo suman 100% 0

P a rte 1

P a rte 2

20%

80%

23%

77%

lente a multiplicar por 1 .

60%

40%

f Problema 3 ]

25%

75%

T que 100% = jQjj - 1 . Multiplicar por 100% es equiva W0

.

Una fábrica ha prod ucid o un lote de 300 000 latas de sardinas. P ara p a sa r el con trol de calid ad no debe haber más de 30 latas d efectu osas p o r cada 3 600 latas. El departam ento de con trol de calidad, ha m uestreado 400 latas y ha en con trad o 2 d efec tuosas. El lote de sardinas, ¿pasará el con trol de calid ad ?

E¡jemplo

Resolución Porcentaje perm isible

El incremento se suma al

P orcentaje encontrado.

30 = 0,008 = 0,8% 3600

400

= 0,005 = 0,5%

El porcentaje hallado no sobrepasa el límite prohibido. [ R pta.: Sí p a sa el con trol de ca lid a d )

Si ga sto

M e queda

30% 60%

70% 40%

80%

20%

35%

65%

100% Si gan o

Tendría

20%

120%

40%

140%

100%

200%

Números Racionales

173

[Problema 3 ]

Defracción a %

Nos hemos propuesto, en este año, cumplir con el 100% de nuestra meta. Esto es, vender 400 000 panetones. Ya hemos alcanzado el 88% de nuestra meta, ¿cuántos panetones nos falta vender para al canzar nuestra meta?

n

o

o

o

12 falta vender 12%(400 000) = j^ (4 0 0 0 Q Ó )= 48 000

5

Resolución Si el camión quedó con el 60% de su peso, quiere decir que se ha descargado el 40%. Pero esta descarga es la mitad de toda la carga, esto implica que la carga es 2x40% = 80% del peso total o sea: 0,80 x 25 = 20 toneladas.

[Problema 5 ) Por término medio, un artefacto se deprecia anual mente el 10% del precio que tenía al iniciar el año. Tras 2 años de uso, una máquina tejedora ha sido valorizada en 162 soles. ¿Qué precio tenía al ini ciar su uso? Resolución Consideremos que el precio inicial es de 100 soles (estos cien soles se escogen por la comodidad de que los porcen tajes calculados resultan enteros). Al final del primer año su valor es 90% del precio inicial, o sea, 90% de 100 = 90 soles. Al final del segundo año, los 90 soles se deprecian en 10% y queda en 90% de 90 = 0,9 x 90 = 81 soles.

5

^ 25

= ^7 x J Q Q . % = 6 2 , 5 %

S

^ 2

De decimal a %

[ Problema 4 j Un camión cargado de mineral pesa 25 toneladas. Cuándo ha descargado la mitad de su carga, su peso quedó reducido al 60% ¿Cuánto pesa el ca mión sin carga?

25

- = —x'T0Q^% = 75% 4 4 1 -

( 48000 panetones)

20

- = - x l = ^ x 'T 6d.% = 60% 5 5 0 i

Resolución • Se llegó al 88% => falta: 100% - 88% = 12%

o

0,20

0,20 x 100%

20%

0,81

0,81 x 100%

0,45 1,20

0,45 x 100% 1,20 x 100%

81% 45% 120

%

Tanto por ciento de tanto por ciento • 30% del 40% de 200 30 x — x2 0 0 = 2 4 100 100 • 20% del 20% de 80 — x — x 8 0 = 3 ,2 100 100 Tengo 800 soles. Si gasto el 30% de lo que tengo me queda el 70% de 800. Si gasto el 40% de lo que me queda, tendría: 60% del 70% de 800 60 x — x800=336 100 100

174


Pero la máquina tejedora ha sido valorizada en 162 so les y no en 81 soles como nos ha resultado. Luego: Si suponiendo 100 soles de precio inicial, el precio final resulta 81 soles, ¿Cuánto se debe considerar para que el precio final sea 162 soles? 100-*81 x —»162

162 100 => x = 81

[ x =200 sotes]

EJERCICIOS a) Tengo 900soles, si gasto el 40% de lo que tengoygano el 20% de lo que me queda tendría: 120% del 60% de 900: 1E1 x — x 900 = 648 100 100

[Problema 6 ] Un empleado gana 30% más de lo que gana su ayu dante. El empleado recibió un aumento del 40% de su sueldo y el ayudante, el 20%, Luego de estos au mentos el sueldo de ambos suman SL 906. ¿Cuánto ganaba el ayudante antes de recibir el aumento de sueldo?

b) Tengo 720 soles. Si gasto el 30% de lo que tengo y gano el 40% de lo que me queda tendría: 140% del 70% de 720: — x — x720 =70516 100 100

Resolución Antes del aumento

Sean: Ayudante: Bmpleado:

100 130

Luego del aumento

120%(100) = 120 182 140%(130) =____ Total = 302

Luego: 100 -*302 x —»906

c) Si gano el 20% de lo que tengo y pierdo el 25% de lo que ahora ten go, ¿qué % de lo tenía tendría al final? Tendría: El 75% del 120% :

906 100 302

75 120 = 0,9= 90% 100 100

fx = 300 soles

[Problema 7^ De los estudiantes de un salón de cla&es el número de varones es el 80% de las mujeres. Si el 75% de los varones de este salón se van de paseo con el 40% de las mujeres, ¿ Qué porcentaje de los hombres que se quedaron equivale al 10% de las mujeres que no fueron de paseo? Resolución • Sean: Al paseo; 40% (.100) = 40 # Mujeres =100 quedan: 60%(100) =60 Al paseo: 75% (80) =60 # Hombres = 80 * quedan: 25%(80) =20

De otra forma: ™ 120% J 1 ^ 20% =90% 100 100

•El 10% de las mujeres que no fueron de paseo es 10% (60) = 6. Los hombres que quedaron son 20. ¿ Qué porcentaje de 20 es 6?: 20 6

100%

x

6 x 100% ona => x = -----------= 30% 20_________ {Rptcu: 30%)

Números Racionales

175

Problemas 1. De 480 bolsas de azúcar se han perdi do 36 bolsas. ¿Quéporcentaje de las bolsas se han perdido? A) 75% B) 7,5% C )20% D) 15% E) 8 % i 2. El 40% de buzos de un lote son azules y los restantes, rojos. Si son 120 rqjos, ¿Cuántos buzos hacen el lote? A) 180 B) 140 C) 300 D) 180 E) 200 3. Una tienda comercial permite que sus clientes puedan llevarse cualquiera de los artefactos de la tienda habien do pagado el 60% del precio.

La entradafue 12 soles para los hom bres y 10 soles para las mujeres. Si la recaudación fue de 7776 soles, ¿cuán tos hombres asistieron a dicha fies ta? A) 288 B) 144 C) 272 D) 172 E) 240 *

7, Se ha ejecutado el 45% de una obra. Se estima que para ejecutar el 60% de lo que falta se va requerir 66 días. Cal cula, cuántos días de trabajo requie re la ejecución de toda la obra. A) 180 días D) 200 días

B)150 días C) 190 días E) 240 días

Un cliente quiere llevarse un televi - 8. El 80% del 60% de los asistentes a una sor que cuesta 480 soles y dispone de conferencia se han inscrito para la 200 soles ¿Cuánto le falta para lle siguiente conferencia. Si hay 144 ins varse el televisor? critos para la próxima conferenciaf A) SA 80 B) S/. 88 C) S/. 78 ¿Cuántos asistieron al evento referi D) S/. 90 E) SA 120 do? * A) 300 B) 250 C) 320 4. Narda ha comprado un auto cero ki D) 240 E) 350 lómetros. Luego de dos años de uso quiere venderlo en 30 mil soles. Para 9. Se ha determinado que de las visitas la valorización ha considerando una de un museo el'80% son extranjeros, devaluación del 20% en el primer año de ellos el 45% son mujeres y de las y 25% en el segundo. ¿A qué precio lo cuales 60% son mayores de 40 años. compró? Se ha estimado para el próximo mes A) 50 mil B) 40 mü C) 40 mü 5 000 visitantes, ¿cuántas mujeres ex D) 35 mil E) 45 mil tranjeras mayores de 40 años espera 5. Una tela al ser lavada se encoge en 10%. Si compró 90 metros de esta tela a 20 soles el metrof ¿a cómo debo ven der el metro, después de lavarla, para ganar 468 soles, en la operación? A) SA 24 B) S/. 28 C) SA 30 D) Sf. 26 E) SA 32 6. Festino ha calculado que el 60% de los asistentes a la última fiesta que él organizó fueron mujeres.

recibir elpróxim o mes dicho museo? A) 4 032 B) 1 080 C) 648 D) 864 E) 960 10. Se ha producido 12 000 toneladas de mineral con 7% de cobre. La planta metalúrgica ha recuperado de este mineral 1 140 toneladas de concen trado con una recuperación del 95%. ¿Cuáles la pureza del concentrado? A) 68% B) 70% C) 72% D) 75% E) 78


176

Los35 camellos

A plicaciones com erciales [Problema 8 ] Se vendió un a rtícu lo en 600 soles gan an d o el 20% del costo. ¿ Cuánto se g a n ó ? R esolución Precio de venta: 600 soles —> 120% Ganancia: x —> 20% 20% *600 => x = ------------- = 100 120

%

[R p ta .: S/. IQo)

[Problema 9 ] Se vende una lavadora en $/. 90 p o r debajo de su p recio de costo. Sabiendo que en esta venta la p é r dida es el 30% del p recio de venta, ¿cu ál fu e el cos to? R esolución Pérdida: Precio de C :

S/. 90 -> x

-»

30% 100%

x = w m * 9 0 =300 30% /. Precio de costo: 300

( R pta,: SI. 390 ]

[ Problema 1p] Dos artícu los se vendieron a i m ismo p recio. El p r i m ero gan an d o el 20% d el costo y el segundo p e r diendo el 20% fam óién d el costo ¿Se ga n ó o se p er dió? R esolución • Lo que tienen de igual son los precios de venta, mas no los costos. Puesto que el 20% de ganancia y el 20% de pérdida están aplicados a costos distintos también son distintos. ¿Cuál de ellos es mayor?. Veamos. •Sea 100 los precios de venta:

Hacia pocas horas que viajábamos sin detenernos cuando nos ocurrió una aventura digna de ser relatada, en la que mi compañero Beremiz, con gran talento puso en práctica sus habilidades de eximio cultivador' del Algebra. Cerca de un viejo albergue de cara vanas medio abandonado, vimos tres hombres que discutían aca loradamente junto a un hato de ca mellos. Entre gritos e improperios, en ple na discusión, braceando como posesos, se oían exclamaciones: —¡Que no puede ser! —¡Es un robo! —/Pues yo no estoy de acuerdo! El inteligente Beremiz procuró in formarse de lo que discutían. —Somos hermanos, explicó el más viejo, y recibimos como herencia esos 35 camellos. Según la voluntad expresa de mi padre, me corresponde la mitad, a mi hermano Hamed Namir una ter cera parte y Harim, el másjoven, sólo la novena parte. No sabemos, sin embargo, cómo efectuar la partición y a cada reparto propuesto por uno de nosotros sigue la negativa de los otros dos. Ninguna de las partido nes ensayadas hasta el momento, nos ha ofrecido un resultado acep table. Si la mitad de 35 es 17 y me dio, si la tercera parte y también la novena de dicha cantidad tampoco son exactas ¿cómo proceder a tal partición? —Muy secillo, dijo el hombre que calculaba. Yo me comprometo hacer con justicia ese reparto, más antes permítanme que una a esos 35 came llos de la herencia este espléndido animal que nos trajo aquí en buena hora. En este punto intervine en la cues tión.

177

Números Racionales Para el primero Pv: 100 Ganancia (G):

120% Costo 20% Costo

Para el segundo Pv : 100 Pérdida (P):

20%xl00 G= 120%

20% xl00 P = 80%

=>

(G = 16,66 )

80% Costo 20% Costo

( P = 25 )

La pérdida es mayor que la ganancia.

[ Problema 11 ] El precio de un articulo se aumenta en 25%, Para volverlo al precio original, ¿en qué porcentaje se debe disminuir? R esolución Sean:

Precio inicial: 100 aumentando 25% : 125 Debe disminuir en: 25

100% x

25x100% nrxnt x —-------------- = 20 % 125

Rpta,: 20%

[Problema 12] Para fijar el precio de un artículo, se aumenta el precio de costo en SI. 600, pero en el momento de realizar la venta se rebcya 20% y aún así se vende ganando el 30% del costo. ¿ Cuál es el precio de cos to del artículo? R esolución Esquematizado: costo (Pe)

10 0% Pe

(Pe = precio de costo) S/600

G a n a n c ia R e b a ja 30% Pe 2 0 % (P e + 6 0 0)

Del gráfico: 30%Pc + 20%(Pc + 600) = 600 30 %Pc + 20%Pc + 20% 600 = 600 50% Pe = 80%600 Pe = 960 [Rpta.: SI. 960)

—¿Cómo voy a permitir semejante locura? ¿Cómo vamos a seguir el viaje si nos quedamos sin el came llo? —No te preocupes Bagdalí, me dijo en voz baja Beremiz. Sé muy bien lo que estoy haciendo. Cédeme tu ca mello y verás a qué conclusión lle gamos. Y tal fue el tono de seguridad con que lo dijo, que le entregué sin el menor titubeo mi bello jamal, que, inmediatamente, pasó a incremen tar la cáfila que debía ser repartida entre los tres herederos. —Amigos míos, dijo, voy a hacer la división justa y exacta de los came llos que como a/tora ven son 36. Y volviéndose hacia el más viejo de los hermanos, habló así: —Tendrías que recibir, amigo mío, la mitad de 35, esto es: 17 y medio. Pues bien, recibirás la mitad de 36 y, por tanto, 18. Nada tienes que reclamar puesto que sales ganando con esta división. Y dirigiéndose al segundo herede ro, continuó: — Y tú, Hamed, tendrías que reci bir un tercio de 35 es decir 11 y un poco más. Recibirás un tercio de 36, esto es, 12. No podrás protestar, pues también tú sales ganando en la división. Y por fin dijo al más joven: — Y tú, joven Harim Namir, según la última voluntad de tu padre, ten drías que recibir una novena parte de 35, o sea 3 camellos y parte del otro. Sin embargo, te daré la nove na parte de 36 o sea, 4. Tu ganancia será también notable y bien podrás agradecerme el resultado. Y concluyó con la mayor seguridad: —Por esta ventajosa división que a todos ha favorecido, corresponde 18 camellos al primero, 12 al segundo yt 4 al tercero, lo que da un resulta do de 18 + 12 + 4 de 34 camellos. De

178


Descuentos y A um entos sucesivos [Problema 13] El descuento único equivalente a 2 descuentos su cesivos del 20% más el 30% es: Resolución Consideremos 100 soles el precio inicial Primer Dcto : 20% 100 = queda : 80% 100 = 80 Segundo Dcto : 30% (80) = queda : 70% 80 = 56 Descuento total: 100 - 56 =44 o 44% © [Rptcu: 44%)

[Problema 14] El precio de un artículo ha sufrido 3 aumentos su cesivos del 10%, 20% y 30% y luego 3 descuentos sucesivos también del 10%, 20% y 30%, ¿Cómo ha variado el precio de este artículo? Resolución Sea S/. 100 el precio inicial. El precio final resulta:

100

100 100

100

100

100

Dismunuye en: 100 - 86,49 = 13,51 o

13,51%

[Rpta.: 13,51%)

Variaciones Porcentuales

O Descuento Unico Luego de dos descuentos del 20% más el 30%, queda: 70 >80% = 56% 70%80% = 100

100% - 56% = 44%

Si el lodo de un cuadrado aumenta en 20%, ¿en qué tanto por ciento aumenta el área? Resolución Sean: Inicial Final Area :

Tomado de El hombre que calculaba de Maiba Tahan

Entonces el descuento único equi valente es

[Problema 15]

Lado :

los 36 camellos sobran por lo tanto dos. Uno, como saben pertenece al Bagdalí mi amigo y compañero; otro es Justo que me corresponda, por haber resuelto a satisfacción de to dos el complicado problema de la herencia. — Eres inteligente, extranjero, ex clamó el más viejo de los tres her manos, y aceptamos tu división con la seguridad de que fue hecha con justicia y equidad. Y el astuto Beremiz —el hombre que calculaba — tomó posesión de uno de los más bellos jamóles del hato, y me dijo entregándome por la rien da el animal que me pertenecía: — ahora podrás, querido amigo continuar el viaje en tu camello, manso y seguro. Tengo otro para mi especial servicio. Y seguimos camino hacia Bagdad.

10 100

12 122 = 144

/. Aumenta en 144 —100 = 44 o 44%.

«

© La variación porcentual del área sólo depende de la variación por centual del lado y no de la longi tud del lado.

Se puede tomar cualquier medida para el lado, si él aumento por centual es de 20%, el aumento por [Rpta,: 44%] centual del área, es del 44%.

Números Racionales

179

A plicaciones en Problem as de Mezclas

[Problema 16] En la expresión a2b, a aum enta en 10% y b dism inuye en 20%. E ntonces el valor de la expresión varía en:

Una m ezcla a lcoh ólica de 10 litros, con tien e a lcoh ol a l 60%. A veriguar, cu án tos litros d e agua con tien e esta m ezcla.

Resolución Sean: a b ab2

Inicial

Final

10 10

11 8

1000

\

R esolución Si el alcohol constituye el 60% de la mezcla, el agua resulta el 40% de la mezcla.

l l x 82 = 704

Disminuye en 1000 —704 = 296; donde

1 000 296 ->

Problema 18

100% x = 29,6%

O sea, 40% de 10 = 0,4(10) = agua.

4 litros de

[Problem a19]

fepfq.: D ism inuye en 29,6%

[Problema 17j Si la base de un trián gu lo aum enta en 25%, ¿en qué % debe dism inuir la altu ra relativa a d icha base, p a ra qu e no varíe el á rea ? Resolución Sean:

Inicial Final

Base A ltu ra : Area :

20 10 100

100 =

25 xx

100 <£Ü J

• La altura disminuyó en 10 —8 = 2 Luego: 10 —> 100% 2

La concentración porcentual de una mezcla alcohólica está dada por el porcentaje de al cohol puro que contiene la mezcla. La mezcla contiene 18 + 42 = 60 litros. El alcohol puro es 18 -r 60 = 0,30, o sea el 30% de la mezcla. [R pta.: 30%)

25 X

Una m ezcla con tien e 18 litros d e a lcoh ol y 42 litros de agua. ¿C uál es la con cen tra ción de esta m ezcla? R esolución

2 x 100% x = -------------= 20 % 10

[Rpta.: 20%)

Problemaô) ¿C u án tos litros d e agua se d ebe a g reg a r a 300 litros de a lcoh ol a l 40%, p a ra d is m inuir su con cen tra ción a l 30%? R esolu ción /•" ' 11 * N Al agregar agua a la mezcla, los litropUe alcohol puro no varían. La concentración sí varía, porque aumenta el volumen de la mezcla. La mezcla contiene 40%(300) = 120 litros de alcohol puro. Estos 120 litros de alcohol puro debe ser el 30% de la nueva mezcla.


180 120 l X

30% 100%

=> X =

120x 100 30

= 400 litros Es necesario agregar 400 - 300 = 100 ( R p t a 100 litros d e agu a ]

[ Problema 21 ] Se desea aum entar la con cen tra ción de 35 litros de una m ezcla a lco h ó lica de 20% al 30%, m ediante la ad ición d e alco hol p u ro. ¿Cuántos litros de a lcoh ol se debe a d icion a r? Resolución Al agregar alcohol puro, el contenido de agua de la mezcla no varía. En la nueva mezcla, el alcohol puro es el 30%, entonces, el agua será el 70% de la mezcla.

El recipiente B contiene 10%(40) = 4 litros de alcohol puro y 40 - 4 = 36 litros de agua. La nueva mezcla contendrá 2 + 4 = 6 litros de alcohol puro y 8 +*36 = 44 litros de agua. Esto es 6 + 44 = 50, litros de mezcla con 6 litros de alcohol puro, ¿qué % de los 50 litros son los 6 litros de alcohol puro? La respuesta a esta pregunta nos da la concentración. Es decir: 6 + 50 = 0,12 que es el 12% [R pta,.: 12%)

Problema 23 Se d esea aum entar la con cen trtición del 20% a l 28%, de 30 litros de una m ezcla a lcoh ólica , agregán d ole otra m ezcla a l co h ó lica a l 40% ¿C uántos litros d e la m ezcla más con cen trada hay que adicio n a r p a ra a lca n za r lo deseado. Resolución

La mezcla contiene 20%(35) = 7 litros de al cohol puro y 80%(35) = 28 litros de agua. Esta agua será el 70% en la nueva mezcla. Luego:

Los 30 litros de alcohol al 20% contiene 20%(30) = 6 litros de alcohol y 30 - 6 = 24 litros de agua.

28x100 => x = 70 - 40 litros de mezcla

Si agregamos x litros de mezcla al 40% de alcohol, se agrega 40% x de alcohol puro. Con lo que habría (30 + x) litros de mezcla conte niendo (6 + 40% x) de alcohol puro. De donde la nueva concentración es:

28 l x

70% 100%

Hay que agregar 4 0 -3 5 = 5 litros de alco hol puro. [R p ia .; 5 litros d e a lcoh ol p u ro ]

[ Problema 22] Un recip ien te A con tien e 10 litros de a l cohol al 20%. O tro recip ien te B con tien e 40 litros de alcoh ol al 10%. Si todo el con tenido de B se vierte en A, ¿cuál es la con centración de la m ezcla? Resolución El recipiente A contiene 20%(10) = 2 litros de alcohol puro y 10 - 2 = 8 litros de agua.

6 +40%x = 28% 30 +x 6 + 0,4x = 0,28 x 30 + 0,28 x 0,4x - 0,28x = 8 ,4 - 6 0,12x = 2,4

r * = 2o j

Hay que agregar 20 litros de alcohol al 40%.

Números Racionales

181

Problemas 1. Un artículo que costó 450 soles se vendió en 558. ¿Qué porcentaje del pre cio de costo se ha ganado? A) 20% D) 25%

B) 23%

C) 24% E) 28%

2. Un televisor se ofrece en 640 soles. Pero se vende con un descuento del 20%. Si, a pesar de la rebajase gana el 28% del precio de costo; hallar el precio de costo. A) S/. 400 D) S/. 420

B) S/. 380

C) S/. 500 E) S/. 380

3. Se ha vendido una mercadería per diendo el 36% del precio de costo. Si esta pérdida asciende a 450 soles, ¿a qué precio se ha vendido? A )S /.9 5 0 D) S/. 980

B) S/. 960

C) S/. 890 E) S/. 940

4. Una camioneta se ha cotizado en 18 mil soles. Sin embargo se vende con un descuento del 15%. El comprador desea venderla ganando el 40% de su inversión. ¿Quéprecio debe fijar para la venta? A) S/. 21 400 - C) S/. 20 420 E) S/. 21 420

B) S/. 20 500 D) S/. 21 500

5. El precio de un artículo se rebuja en 20%. Para volverlo al precio original, el nuevo precio se debe incrementar en: A) 20% D) 24%

B) 25%

C) 15% E) 30%

6. Para fijar el precio de venta de un articulo, se incrementa el precio de costo en 120%. En el momento de la

venta se rebaja el 25% del precio ofre cido, así se vende con una ganancia de 260 soles. ¿Cuál es el precio de cos to? A) S/. 400 D) S/. 450

B) S/. 350

C) SA 360 E) S/. 500

7. Un número se aumenta en su 20%, el resultado se reduce en su 20%, luego el número original queda; A) Aumentado en su 4% B) Disminuido en su 4% C) Aumentado en su 1% D) Igual E) Disminuido en su 1% 8. El precio de un artículo sube en 20%, luego en 30% sobre el nuevo precio. ¿Cuál es el porcentaje de aumento real sobre el precio inicial? A) 44% D) 52%

B) 50%

C) 49% E)56%

9. Si el precio de un artículo sufre tres aumentos sucesivos del 20%, 25% y 24%. ¿Cuál es el incremento porcen tual del precio original con los tres aumentos? A) 40% D) 86%

B) 69%

C) 72% E)68%

10. Dos descuentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a uno solo del: A) 50% D ) 56%

B) 44%

C) 54% E)60%

11. El precio de un artículo sufre tres aumentos sucesivos del 10%, 20% y 25% y luego tres descuentos sucesivos del 28%, 25% y 20%. ¿En qué porcen taje ha aumentado o disminuido el precio original? f


182 A) Aumentado en su 30% B) Aumentado en su 28,72% C) Disminuido en su 28,72% D) Aumentado en su 32,42% E) Aumentado en su 28,5% 12, Si el lado de un cuadrado se aumen ta en 25%, ¿en qué porcentaje aumen ta el área de dicho cuadrado? A) 50% D) 56,30%

B) 56,25%

C) 54,52% E) 55,24%

13, Si el radio de un círculo aumenta en 30%, ¿en qué porcentaje aumenta el área del circulo? A) 60% D) 69%

B) 56%

C) 60% E) 70%

14, Mediante una disposición munici pal se ha ordenado que los lados de un parque cuadrado debía incre mentarse en 20% de su longitud Con ello se pretende que el área aumente en: A) 44% D) 38%

B) 42%

C )40% E) 41%

15, Si el ancho de un rectángulo se au menta en 20% y el largo se reduce en 20%, entonces el área del rectángulo, A) No varía B) Aumenta en 10% C) Disminuye en 10% D) Aumenta en 4% E) Disminuye en 4% * 16, En la expresión AE3, A disminuye en 20% y E aumenta en 20%, El valor de la expresión AE2: A) Aumenta en 20% B) Aumenta en 15,2% C) Disminuye en 12,5% D) Aumenta en 4% E) No varía

17, La base de un triángulo se ha au mentado en 25%, ¿En qué porcentaje hay que reducir la altura relativa a dicha base para que el área del trián gulo no varíe? A) 20% B) 25% C) 24% D) 15% E) 23% 18, ¿Cuántos mi de agua debe agregarse a 15 mi de una mezcla que contiepe 75% de NaCI para reducirla a una mezcla que contenga el 50% deNaCI? A) 25 mí D) 7,5 mi

B) 12,5 mi

C) 10 mi E) 2,5 mi

19, Se tiene 5 litros de alcohol €Ü 80%, ¿Cuántos litros de agua se necesitan aumentar para rebajarlo al 25%? A) 8 litros D) 12 litros

B) 10 litros C) 11 litros E) 13 litros

20, A 80 litros de alcohol al 60% se le adiciona 40 litros de agua, ¿Cuántos litros de alcohol puro debo agregar a esta nueva mezcla para obtener la concentración inicial? A) 30 litros D). 50 litros

B) 40 litros C) 60 litros E). 80 litros

21, Dos recipientes contienen alcohol al 40% y 60% respectivamente y cuyos volúmenes están en la relación de 8 a 5, Se agrega a cada recipiente igual número de litros de agua y resulta que tienen la misma concentración de alcohol, ¿Cuál es esta concentra ción?, A) 33,3% 2 D )6 j%

B) 20%

C) 5,8% E) 8,5%

183

Números Racionales

Problemas Resueltos %[Problema 4j

[Problema 1 j ¿Qué fra cción de 35 es 14?

¿C u á l es la fr a c c ió n q u e le fa lta a 3,45555 ... p a ra ser igu a l a la fra cción 3,555... ?

R esolución 35 14 35

2 x =— 5 R pta.: ~ o

R esolución 3,4555... = 3,45 = 345 34 = — 90 90 3,5555... =3,5 =

[Problema 2J 2 4 7 Los ~ de los — de 18 equivalen a los ~

9

=— 9

3U 32 A le falta para — la diferencia: 90 q 32

8 de los — de:

311 90

90

10 ( R pta.: 0,1 )

Resolución -2. ± . 1 8 = -7 S - . X 3 5 9 11

594 35 34 R pta.: 13 35

[ Problema 3 ]

A)~

1 B )j

1 C lj

1 6 D )~ E) 7

Resolución Si tuviera 8 soles perdería 1 sol y le queda rían 7 soles. ¿Qué parte de 7 es 1?. La res/ 1 puesta es —

s]

Si han tran scu rrid o d el día los — d é lo que fa lta tran scu rrir, ¿qué hora es?

R esolución

A l tesorero de un clu b le fa lta 1/8 d el di nero que se le en tregó. ¿Q ué fra cción de lo que aún le queda, restitu irá lo p erd i do? 7

[ Problema

Si faltasen 7 horas por transcurrir, las trans curridas serían 5 y el día sería de 7 + 5 = 12 horas. Pero el día es de 24 horas (2 veces 12), entonces las horas transcurridas son 5x2 = 10 h. í Jipío; 10 A.]

[Problema 6 ] Una p erson a debía h a cer una obra en 3 días, el p rim er día hizo los — d é la obra, 8 el segundo día los — d e lo qu e h izo el día 5


184 anterior y le quedaron 26 metros de obra para el tercer día, ¿De cuántos metros consistía toda la obra? R esolución

27 40 13

40

40

R esolución

Entonces queda 1----- — de la obra. Luego: H

23 40 1

[ Problema 8 ] Una persona es triple de eficiente que la otra; si entre las dos pueden hacer la obra en 6 días, ¿en cuántos días podrán hacer la misma obra cada uno por separado?

En los dos días ha hecho

07

[Rpta.: 9 días]

6

Si dividiéramos la obra en 4 partes, uno ha ría 1 parte y el otro, tres partes por ser triple de eficiente. Luego, para el menos eficiente:

26 m

Si para hacer — demora 6 días

26_ x= 23 40

4

f jc = 8 0 )

para hacer 1 demora x = y = 24 d [ Rpta.: 80 m J

4

El triple de eficiente hará en 24--3 = 8 días

[Problema 7 ]

( Rpta: 2 4 d y 8cT)

Mariano y Carlos se comprometieron a construir un muro en 15 días;pero luego de trabajar 3 días juntos, Mariano se re tiró del trabajo, por lo que Carlos entre gó la obra con 15 días de retraso. ¿Con cuántos días de retraso habría entrega do Mariano de haberse retirado Carlos? R esolución

Si Carlos se retrasó 16 días es porque hizo lo que debió haber hecho Mariano en los 12 días. De haberse retirado Carlos, Mariano se ha bría retrasado haciendo lo que debió haber hecho Carlos en 12 días. Luego:

16d 12 d

Si a los dos términos de la fracción - le sumamos dos números que se diferencian en 48, se obtiene otra fracción equivalen te. Hallar el mayor de los números. R esolución

Luego de trabajar tres días les faltaba 12 días para terminar el muro.

Carlos

[Problema 9 ]

Para obtener otra fracción equivalente, los números que se agregan deben guardar la misma relación que guardan el numerador con el denominador. El numerador es como 5, el denominador como 9 y la diferencia como 4. Si 48 es como 4, (12 veces 4) entonces 9 es como 9 x 12 = 108. [Rpta.: 108)

M ariano

[Problema 10 j

12 d

x

=

12 12 . ----------------= 3 16

Un grupo de obreros pueden hacer una obra en 56 días, mientras que un grupo

185

Números Racionales de jóvenes pueden hacer la misma obra en 42 días. Se desea saber, el tiempo que tardarían en hacer dicha obra, trabajan dojuntos, ambos grupos.

Entonces el gasto de C es: - ( 5 k) = -( 5 x600) =600 5 5

R esolución

( Rpta.: S/. 600 )

En un día ambos grupos juntos hacen 1 1 + 56 42

(problema 12^ 24

de la obra.

•\ Toda la obra hacen en 24 días. [ Rpta: 24 días ]

Dos grifos A yB pu ed en llenar un estan que en 6 horas. El grifo A, funcionando solo, puede llenar en 15 horas. Estando vacío el estanque, se abre el grifo B. ¿En cuántas horas lo llenará?

[Problema 11]

R esolución UA ” ha gastado 1 de su dinero; B, — de 3 4 f.

1 V lo suyo y C, — también de lo suyo. Entre 5 los tres gastaron SL 5200. Si el dinero de 2 4 Aéralos — de lo de B y el de éste los — de lo de UC". ¿Cuánto gastó C? R esolución Asumamos que el dinero de C es 15k. (15 = MCM (3;5)), donde 3 y 5 son los deno2 minadores de o

• En 1 hora ambos grifos llenarán ~ o estanque.

del

• En 1 hora, “A* llenaría ~ del reservorio. lo 1 1 1 Luego: en 1 hora, B llenaría: “ “ — = — del o lo 1U estanque, entonces para llenar todo el estan que, demorará 1 0 horas. f Rpta: 10 A/)

4 o

[Problema 13]

Luego: Dinero de C: 15k

Gasta:

o

Dinero de B: —(15k) - 12k Gasta: o 2 Dinero de A: ~(l2k) = 8k

Gasta:

1

Tres grifos A, B y C pueden llenar un reservorio en 60; 48 y 80 horas respecti vamente. Estando vacío el reservorio, se abren los grifos A, B y C con intervalos de 4 horas. ¿En cuántas horas llenarán todo el reservorio f • A funciona utnhoras => llena

Donde: j{ 8 k ) ^ { 1 2 k ) ^ { 1 5 k ) = 5200 k =600

60

t-4 • B funciona (t - 4) horas ^ llena 48


186 t -8 • C funciona (t —8 ) horas => llena 80 í t -4 t -8 , Donde* — + ----- + ----------1 0 Qe 60 48 80

t -2 3 —h 3

[ Rptcu: 23 h 40 m¿n)

[Problema 14]

[Problema 16] La producción de un tubérculo es de 20 toneladas por hectárea,. En un terreno de 40 hectáreas, se ha incrementado el área de cultivo en 25% y la producción por hec tárea se ha incrementado en 10%, ¿Cuán tas toneladas de este tubérculo se espera cosechar? R esolu ción

Un director gana 40% más de lo que gana un profesor. El sueldo del director ha sido aumentado en 20% y el del profesor en 10%. Luego de estos aumentos, el suel do de ambos suman 1251. ¿Cuál era el sueldo del profesor, antes del aumento? Sin aumento con aumento Director:

140

120% (40) = 168

Profesor:

100

110 % ( 100)= 110 Total =278

Luego: 100

SL 278 1251x100 278 [Rpta.: Sf. 450 ]

[Problema 17^ Las ventas de una empresa aunientan en 20% y como consecuencia su utilidad se ha incrementado es 700 soles. ¿A cuánto ascienden las ventas de la empresa, si las utilidades representan el 35% de las ventas. R esolu ción Al incrementarse las ventas en 20%, las uti lidades también se incrementan en 20%. Luego: 20% 100%

[ Problema 15] En una reunión se encuentran 20 hom bres adultos, 30 mujeres adultas y 75 ni ños. ¿Qué porcentaje de los reunidos no son niños?

S í.700 7000x100 x= 20

35%

S /.3500 3500x100% y= 35%

100 %

(Rptcu: 40%)

(y =10000)

(Rpta.: S/. 10 000 )

x x=40%

(x =3500)

Las utilidades representan el 35% de las ventas:

100% -»

R esolución

50x100% x= 125

[ Rptcu: 1100 f )

? 9

SI. 1251

•Total reunidos: 125 • No son niños: 50

112.x— x40x 20 = 1100 100 100

Problema 18] En una reunión de 150 personas, las mu jeres constituyen el 60% de los presentes. ¿Cuántasparejas deben llegar a esta re unión, para que el número de hombres constituya el 45% de todos los asisten-

187

Números Racionales

30% del precio de venta, ¿cuál fue su eos to?

tes? R esolución Mujeres: 60% (150) = 90 =* hombres: 60 La diferencia es 30 y esta diferencia se man tiene cuando llegan las parejas. Cuando lie gan las parejas la diferencia porcentual en tre hombres y mujeres es 55%-45%=10% Luego: 30 X

10% —> 1U 100% LT7Ó => [ x =300 j

Como habían 150, entonces llegaron 150 per sonas en 150-2 = 75 parejas. ( Rpta; 75 ]

[Problema 19] De los estudiantes de un salón de clases, el número de varones es el 80% del de las mujeres. Si el 75% de los varones de este salón se van de paseo con el 40% de las mujeres, ¿qué porcentaje de los hombres que se quedaron constituyen el 10% de las mujeres que no fueron de paseo? Resolución Al paseo: 40% (100) = 40 N° mujeres -1 0 0 No fueron ; 60% (100) = 60 Al paseo : 75% (80) = 60 N° hombres = 80% (100) No fueron: 25% (80) = 20

R esolución Perdida 60 soles

30% del Pv

Pv

100% de Pv x _100% -60 _ 200 30%

Costo = 200 + 60 = 260 (Rpta.: SL 26Ó\

[Problema 21 ] Mary compró una radio de segunda y des pués de hacerlo reparar, vendió ganan do el 40% del costo. Más tarde, después de revisar sus gastos en la reparación, se dio cuenta de que realmente había gana do sólo el 30% de su costo. Sabiendo que vendió la radio en SL 588. ¿Cuánto gastó en su reparación? R esolución La ganancia bruta es 40% del costo. Dado que la ganancia neta es 30%, entonces la reparación equivale al 10% del costo. Pv : 140% Rep: 10%

588 x

588 10% ------------- = 42 140% {Rpta.: SI. 42)

10% (60) = 6 ; luego: 20

100% 6x100% x= = 30% 20 [Rpta.: 30%]

[Problema 20] Se vende una lavadora en 60 soles por debajo de su precio de costo. Sabiendo que esta venta ocasionó una pérdida del

[Problema 22 I Dos artículos se vendieron al mismo pre cio. En el primero se ganó el 20% del cos to y en el segundo el 10% del precio de venta. Si uno de estos artículos costó SL 40 más que el otro. ¿A qué precio se vendió cada artículo? R esolución Consideremos que se vendieron en 100 soles cada uno:


188 1 ° artículo

2

° a rtícu lo

Pv : 100 -> 120%

Pv : 100

100%

PCj: x -» 100%

Pc2 : x

—> 90%

100x100 x= 120

100x90% x= 100%

250 x = — =Pc

x = 90 = Pe.

R esolu ción Grañcando de acuerdo a los datos S I . 600

Pe

20% (Pe + 600)

30%Pc,

s

V

La diferencia de costo es: 90

20

3 40

40x100 x= 20

[Problema 25j =

000

[ Problema 23j Ganar el 20% del precio costo, equivale a ganar, ¿qué porcentaje del precio de venta?

Compré una grabadora en SI. 630. ¿En cuánto debo aumentar este precio, para que durante la venta haga una rebaja de 10% y aún así gane el 40% del costo? R esolución Grafiquemos de acuerdo al enunciado: Aumento

Pe = 630 • •

R esolución

:J

100% 20x100% x = -------------- = 16,66% 120

|

... 4 0% (6 3 0)

Si el costo fuera 100, el precio de venta sería S/. 120 ¿Qué % de 120 es 20?

20

Pe = 960 ( Rpta: Sf.

(Rpta.: S/. OOP)

120

= 600

30% Pe + 20% Pe + 20%600 = 100% 600

Dif. costos

100

"

De la fig u ra :'

Luego:

20

1

Rebaja

50% Pe = 80%600

Pv

V

Ganancia

30% Pe + 20% (Pe + 600) 250

Aumento

s

V

1 10% (630 * X)

9

-

-

Rebaja

Ganancia

D el gráfico: 40%(630) + 10%(630 + x) = x 40%630 + 10%630 + 10%r= 100%x

[Rpta.: 16,66%)

50%630 = 90%*

[Problema 24j Para fijar el precio de venta de un artí culo, se aumenta el precio de costo en St. 600, pero al momento de realizar la venta se rebaja en un 20% y aún así se vende ganando el 30% del costo. ¿Cuál es el precio de costo del artículo?

x

= 350 f Rpta: SI. 350]

[Problema 26] Para fijar el precio de venta de un artí culo se aumentó su costo en 30%. Pero al venderse, se hizo una rebaja del 10% de este precio fijado. ¿Qué tanto por ciento del costo se ganó?

Números Racionales

189'

R esolución' • Supongamos que el costo es S/.100 • Graficando: Pe * ¡ 0 0

30% (100)*30

^

■

rrrr

—v— S I . 13

«B ” es su perior en SI, 100 a l p recio de cos to d e “A ” ? R esolución PvA = 120 Ka=100

PcB= 120

20% p f

Pf

0=20

Para el objeto B: 80% P f = 120 => (P f= 15tj

Del gráfico:

Diferencia entre p f —PcA = 150 - 100 = 50

G + 13 = 30 G = S/. 17

Luego:

100% x = 17%

Pe = S/. 100 G = S/. 17

( R pta: 1 7 % )

Diferencia: 50 -tS f.1 0 0 PcA A

: 100 —> X = —

['Problema 27]

( R pta.: S/. 200 )

Un televisor se vende ga n ad o el 40% del costo, si se hubiese h ech o un d escu en to del 10% del p recio de venta, se habría ganado sólo SI, 520, H a lla r el p recio de costo del televisor. Resolución G a n a n c i a • 40

Cowto * 100

I Ganancia

1 0 % ( Í 0 0 ♦ 4 0 ) » 14

<620)

Problema 29] En la com pra de una corbata obtuve una reba ja del 20%, cuando m e disponía a p a gar, el ca jero d e la tiend a resu ltó ser un viejo am igo, quien m e hizo una rebaja ad icion al del 10% sobre el p recio descon tado, ¿Q ué tanto p o r cien to de descuento obtuve en to ta l? R esolución

De la figura: Ganancia: 40 —14 = 26, luego: Ganancia: 26

50

— = 200

S/.520

Costo: 100 -> jc = 520x100 = 2000 26

Sea 100 el precio de la corbata. Tras los dos descuentos el precio queda en 90%x80% 100 = 72. Entonces el descuento fue de 100 - 72 = 28 que equivale al 28% del precio original. [ R pta: 28% ]

( R pta: S/. 2 000]

[Problema 30] [Problema 28] (7/t com erciante vende un ob jeto “A ” en igual núm ero de soles al qu e com pró otro objeto “B ”. Si “A ” se vende ganando el 20% de su coste y UB 99se com pró con un des cu en to d el 20% sobre el p r e c io fija d o . ¿Cuánto costó “A ”, si el p recio fija d o de

Si a un núm ero se le hacen tres aum entos sucesivos d el 15%, 20% y 32% lu ego tres descu en tos sucesivos tam bién d el 10%, 25% y 36%, en ton ces el núm ero: R esolución El número original, es 100%. Luego de los


190 aumentos y descuentos resulta: 64

75

B) Luego de la variación

90 132 120

115 ^ x x!00% =78,69%

— x ---- x x x 10 100 100 100 100

100

Disminuye en 100% - 78,69% = 21,31%

Base final

= 110%(20) = 22 m

Altura final = 90%(10) = 9 m Area final

22 x9 2 = —~— = 99m

[Rpta: Disminuye en 21,31% )

c

Disminuye en: 100 —99 = lm 2 o área inicial

Problema 31

Si el largo de un rectángulo se aumenta en 20% y su ancho se reduce también en 20%, entonces el área del rectángulo:

[Rpta: Disminuye en 1 %]

Problema 33] Un mineral tiene una concentración de 25%. ¿Qué cantidad de este mineral se deberá tomar para obtener una tonela da (1000 kg) de mineral de 95% de pure za?

R esolución M étodo I A) Antes de la variación Largo inicial = 20 m Ancho inicial = 5 m Area inicial = 20 x 5 = 100 m2

R esolución Una tonelada de mineral al 95% de pureza, contiene 0,95 toneladas de mineral puro.

B) Luego de la variación

En el mineral con 25% de concentración:

Largo final = 120%(20) = 24 m

En 100 t

Ancho final = 80%(5) = 4m Area final = 24 x 4 = 96 m2 Disminuyó en: 100 - 96 = 4 m2 o área inicial.

—» 2 5 1 puro

x —> 0,951 4% del

0,95x100 0 x = --------------- =3,8t 25

[Rpta: Disminuye en 4%)

[ Problema 32 j

[Rpta.: 3 ,8 1)

[ Problema

Si la base de un triángulo aumenta en 10% y la altura relativa a dicha base, se disminuye en un 10%; entonces el área del triángulo: Resolución

La base de un rectángulo disminuye en un 10%, en qué porcentaje debe aumen tarse la altura para que el área aumente en un 8%? R esolución

A) Antes de la variación Base inicial =20 m Altura inicial = 1 0 m Area inicial

1% del

= ^0x10 _ loOrn2

Antes

D espués

BASE

20

18

ALTURA

10

ÁREA

200

216

Números Racionales

191

De 10 a 12 aumentó en 20% [ Rpta.: 20%)

[Problema 35J Un día de sol, se dejó una botella desta pada, que contenía 850 cc de alcohol al 80% de concentración; más tarde se en contró solamente 300 cc de alcohol al 60%. ¿Cuánto del alcohol se había vapo rizadot

Sub total IGV 18% Total

V

>

Donde el 18% de IGV se aplica sobre el ”Sub Total”, Sin embargo un contribu yente descuidado aplicaba sobre el “To tal”. ¿Ganaba o perdía f R esolución Total

R esolución Inicialmente teníamos 80% (850) = 680 cc de alcohol, al final tenemos 60% 300 = 180 cc, entonces se vaporizar: 680 -1 8 0 = 500 cc.

18% Total

18% Subtotal

IGV sobre el “Total”

IGV sobre el “SubTotaT

[ Rpta.: 500 cc]

[Problema 36] Cada uno de los lados de un cubo se au menta en un 50%, el porcentqje de aumen to del área del cubo es:

Subtotal

>

11

11

Paga más impuesto =* Pierde

Paga menos impuesto =* Pierde menos

Al cometer el error, pierde. [Rpta.: Pierde]

R esolución La variación porcentual no depende de la medida de la arista del cubo, por ende, va mos a asumir que la arista mide 10 .

Problema 38

• Incremento: 1350 - 600 = 750

El gerente de una empresa ahorra 30% más de lo que ahorra el subgerente, pero éste ahorra el 40% de su sueldo, mien tras que aquél, el 35% de lo suyo. Si el gerente gana 1 040 soles por mes. ¿Cuál es el sueldo del subgerente f.

Luego:

R esolución

• Superficie original: 6(10)2= 600 • Nueva superficie: 6(15)* = 1350

600

100%

750

750x100% x= = 125% 600

( Rpta.: 25 % ]

(Aumento porcentual del área)

[Problema 37] Las facturas de ventas llevan:

El gerente ahorra

35

100

xl0 4 0 =364 por mes

• Para el subgerente, 364 soles representa 130% dé su ahorro, luego: 130% -> 364 soles 100%

x = 364 xl00% = 280 soles 130%

• Los 280 soles representan el 40% del suel do del subgerente, luego:


192 40% —> 280 soles 100%

v J

c

100%x280 ---------------- = 700 40% ( R pta,: 700 sofeaj

^Problema 39J De mi sueldo, el 60% ga sto en alim enta ción . Si el p r e c io d e los víveres se ha increm entado en 5% y mi sueldo n o ha variado, ¿qué % de mi sueldo represen ta ahora mis ga stos de a lim en ta ción ?

Problema 40

Un ca ñ o q u e v ierte a gu a a ra zó n d e (80 l/min) ha llen ad o en m edia hora la octa va p a rte de la ca p a cid a d d e un tan qu e. ¿C uánto tard ará en llen a r lo que fa lta vertien d o a l m ism o ca u d a l?

En —A llena — 2 8 En “x" llena8

Resolución Sea mi sueldo 100 =$ Gastos de alim. 60 Con el increm ento:

x = - = 3,5/i 2 = 3h30 min

Gastos de Alim.: 105%(60) = 63 Sueldo: 100 —> 100% Gatos Alim: 63

[ Rpta*: 3 h 30 m in ]

x =63% f R pta: 63%

Problemas Propuestos L ¿Q ué fra cción d e a e s b * A) b

B) a

C) a

4. ¿D e qu é núm ero 240 rep resen ta sus

D)

~ E )a - b b

2. C alcu lar los — de los — d e los — de 3 5 41 82 A) 6

B) 12

C )— 128

D) 2

E) 8

3 2 3. ¿Qué p a rte d e 21 es los ~ d é lo s — de

B) 150

C) 50 E) 1200

5•¿D e qué núm ero, 350 rep resen ta sus - m enos? 9 A) 360 D) 450

B) 70

C) 630 E) 360

4 9 6*¿Q u ép a rte d e las — d e — es e l in ver

28? A) 7

3 , 9 — m as? 5 A) 120 D ) 30

B) 7

C) 7

D)

- E) 8 3

so de los — d e 3,5? 3

193

Números Racionales A) i - B) — C) — D) — E) — 21 43 15 10 15

12. De un grupo de postulantes ingre san a la universidad 3/4 de los que no ingresan. ¿Qué fracción de los postulantes ingresan ?

7. Luego de simplificar: «

A)

.

í

H

M

*

?

5 —+3 —+ 2 — 4 3 5

»

+

41

A) 1

B) -

C) 2,5 D) 2,55 E) 1,5 A)

C) — 3 7

D) -

9

E) 9

2 ,2 + 4 ,4 + 6 ,6 + 8,8 2,2 + 4,4 +6,6 + 8,8 Resulta A) 0,9 B) 1,01 C )1

D) 0,99

E )9

10. En una asamblea participaron 50 hombres y 40 mujeres; más tarde, lle garon cierto número de hombres de modo que los 517 del número de hom bres resultó igual a los 5/12 de los re unidos. ¿Cuántos hombres llegaron a la asamblea ? B) 6

0 8

D) 10

E) 12

11. Gasté los 3/5 de lo que no gasté y aún me quedan S/. 60 más de lo que gasté. ¿Cuánto tenía ? A) 150 D) 250

B ) 190

B)

O 200

E) 240

C)

D)

8

E)

14. Se ha vendido 2/5 de una mercancía a SZ. 480, ganando 20% del costo. El resto ele la mercadería se ha vendido con un beneficio del 30%. ¿A qué pre cio se vendió esta parte? A) SA 60 D) SA 780

9. Luego de simplificar:

A) 5

E)í

D)

13. De un recipiente que está la mitad de lo que no está lleno, se extrae un tercio de su contenido. ¿Qué fracción del depósito queda con contenido?

2

8. ¿Cuál es la fracción que debo sumar a 0,878787 ... para que sea igual a 1, 212121... A) L 2

C) l

¿

Resulta 8 B) — 43

B)

B) SA 640

C) SA 720 E) SA 800

15. Tres socios se reparten un beneficio, al primero le toca las 2/5 partes, al segundo a 3/7 y al tercero el resto. Dígase, ¿cuál es la cantidad mayor que le tocó a uno de los socios, si se sabe que el segundo recibió 120 más que el primero? A) SA 2700 D) SA 1750

B) SA 1600

C) SA 9000 E) SA 1800

16. A l tesorero de una empresa, le falta 1/9 del dinero que se le entregó. ¿Qué fracción de lo que aún le queda, res tituirá lo perdido? A)

10

B) — C) D) 9 8 7

E

)

f

17. En los tres quintos de un mes é'e con sumen los 4/25 del contenido de agua de un tanque. Cuando en el tanque


194 queden sólo los 9125 d el agu á qu e había, ¿cuántos m eses habrán trans cu rrid o? A) 2

B) 2,4 0 2,5 D) 3

E)3,5

18. Una p erson a a lqu ila una m áquina en los 3114 del p recio que le costó, con los 7112 del im porte d el a lq u iler com p ra un cu a d ro y e l resto q u e son SL 300 lo coloca al banco. ¿Con cu á n to com pró la m áquina? A) SA 300 D) SA 3360

B) SA 320

C) SA 3260 E) SA 3490

19. Una p erson a p ierd e y g a n a a lter nadam ente en un ju eg o : 113, 2/5, 3/4, 217y 3/8 de lo que le va quedando ¿Qué p a rte del tota l aún le qu ed a ? A) — B) — 16 16

C) -

4

D) — E) 17 9

20. Juan y Pedro están ju ga n d o a apues tas en tre sL En la p rim era partid a , Juan p ierd e 1/5 de lo qu e tien e y P e dro ga n a 1/5 de lo qu e tien e; en la se gunda p a rtid a Juan gan a 3/10 de lo que le quedaba y P ed ro p ierd e 1/5 de lo que ten ía después d e la p rim era partida. Si a l in icio, cad a uno ten ía 250 soles, ¿con cu án to term inó Juan? A) SA 260 D) SA 130

B) SA24

C) SA 250 E) SA 390

21. Un tonel A tien e 81 d e vino p u ro y 41 de agua; un segundo ton el B, tien e 9 1 de vino p u ro y 61 de a g u a Se sacan 3 l de las m ezclas de cad a ton el y se h a c e e l in te r c a m b io r e s p e c tiv o . ¿Cuánto más de vino hay en uno que en el otro ton el? A) 2,4 / D) 3,61

B) 1,41

C) 1,8 l E) 1 1

22. Un ob rero g a sta en alim entos y p a sajes los 2/5 de lo que ga n a; los 5/8 de lo qu e le resta lo destina a otra s n e cesidades. Si en 8 sem anas tien e aho rrados S/. 1089, ¿cu án to ga n a sem a nalm ente? A) 600 D) 650

B) 605

C) 610 E) 660

23. Se vende un televisor a l contado, con los 2/3 d el im porte se com pra una p la n ch a y con los 3/7 d el resto, un j u gu ete; lo qu e queda se d eposita en el banco. ¿C uánto se deposita en el ban co, si la p la n ch a y el ju g u ete ju n to s costa ron 765? A) 150 D) 185

B) 160

C) 180 E) 196

24. Con los dos quintos de la recau d a ción de la rifa de un cuadro se ca n ce la el valor de éste, con los 3/4 del res to se com pra ju g u etes p a ra los niños p obres; con lo qu e queda d el resto y S/. 350 m ás se com pra otro cu ad ro si m ilar a l a n terior y a l m ismo p recio. ¿C uánto se g a stó en la com pra de los ju gu etes? A) SA 560 D) S/. 630

B) SA568

O SA 624 E) SA 648

25. Un tanqu e está llen o hasta sus dos tercera s partes. L uego se a grega la tercera p a rte de lo que hay en el tan que p a ra lu ego extra er los 5/8 de lo qu e hay h a sta ese m om ento. Si a l fi n al quedan 21 litros de agua, ¿cu á l es la capacid ad del tanque en litros? A ) 1261 D) 8 4 1

B ) 63 l

C) 3 6 1 E) 26 l

26. Un cilin d ro tien e un cañ o de llen a do el cu al p u ed e llen a r en 20 m inutos y otro ca ñ o de vaciado, el cu a l pu ed e va cia r totalm en te en 36 m inutos.

Números Racionales

195

Estando vacio el cilindro se abre el caño de llenado y 4 minutos más tar de, el caño de vaciado. ¿En cuántos minutos, se habrá llenttdo totalmen te el cilindro? A) 36 minutos C) 45 minutos D) 44 minutos

B) 40 minutos E) 46 minutos

27. Dos grifos A y B pueden llenar un tanque en 15 horas, en cambio A sólo lo puede llenar en 40 horas. ¿Cuán tas horas menos que A, se demoraría en llenar B solo? A) 8 horas D) 24 horas

31. Una persona es triple de eficiente que la otra; si entre lo$ dos pueden hacer una obra en 3 días. ¿En cuán tos días podrán hacer la misma obra cada uno por separado? A) 4d y 12 d

B) Id y 3d

D) 3 d y 9 d

1 3 E) j d y j d

32. A hace un trabajo en 6 días, B hace el mismo trabajo en 4 días y C en 3 días; si trabajan juntos, ¿en qué tiempo harán solamente los 3/8 del mismo trabajo?

B) 16 horas C) 20 horas E) 21 horas A )| d

28. Si a los términos de 215 le aumenta mos 2 números que suman 700, resul ta una fracción equivalente a la originaL ¿Cuáles son los números? A) 100 y 600 C) 200 y 500 E) 300 y 400

B) 150 y 550 D) 250 y 450

29. Una persona vende panes de la si guiente manera: en cada venta, la mitad de lo que tiene y medio pan más. Si luego de las 4 ventas sucesi vas le queda un pan, ¿cuánto tenía al principio? A) 30 B) 31

C )2 d y 6 d

C )6 3

D) 33

E) 35

30. Una electrobomba demora 2 horas, 30 minutos para llenar un reservorio, cuando el tanque está lleno hasta 115 se malogra y su rendimiento dismi nuye en 1/3. ¿Cuánto tiempo tardará la bomba para terminar de llenar el reservorio. A) 4h B )3 h D) 4 h 30 min

C ) 3 h 3 0 min E )6 h

B) 1 d

D) 2 d

C) í | d E)

d

33. A y Bpueden hacer un trabajo en dos días, B y C en 4 días, y A y C en 2 2/5 días. Entonces el número de días que A necesita para hacer el doble de di cho trabctfo es; A) 2d B )3 d

C )4 d

D) 6d

E) 8d

34. Un depósito contiene 30 litros de vino, del cual se extrae 1/5 de su con tenido y se reemplaza por agua, ense guida se extrae 1/4 de la mezcla y tam bién se reemplaza por agua; por últi mo se extrae 1/3 de la nueva mezcla y también se reem plaza p or agua. ¿Cuántos litros de vino queda en el depósito? A) 1 0 1 D ) 13 l

B) Í 1 1

O 12 l E ) 15 l

35. Una pelota es lanzada hacia arri ba, alcanzando una altura máxima de 20, si al caer, en cada rebote al canza 1/3 de la altura desde donde


196 va cayendo. ¿Cuál es la sum a de los espacios que recorre hasta d eten erse teóricam en te? A) 60 m D ) 120 m

B) 80 m

fra cción del alm acén quedará vacío? A)

C ) 100 m E ) 160 m D)

36. Un g rifo pu ed e llen a r un reservorio en 20 m inutos, m ientras que otro g ri fo pu ed e vaciar el m ism o reservorio en 25 m inutos. Se abre el p rim er g r i fo y luego de 5 m inutos, el segundo g rifo. ¿A los cuántos m inutos de ha ber abierto el segundo g rifo; habrán llenado, los dos, el reservorio? A) B) C) D) E)

1 hora 40 minutos 1 hora 30 minutos 1 hora 15 minutos 1 hora 20 minutos 1 hora 10 minutos

37. Un tanque p u ed e ser llen ad o en 20 horas p o r un g rifo A E ste tanque tie ne un g rifo de vaciado B coloca d o a media altura del tanque, el cu al p u e de va cia r su p a rte en 15 horas. Es tando abierto el grifo B y vacío el tan que, se abre el g rifo A. ¿Al cabo de cuánto tiem po se llen a rá el tanque? A) 30 horas B) 35 horas C) 40 horas D) 45 horas E) 50 horas

25

B)

40

E)

15

A) 54 B) 72

C )63

D) 57

E) 78

39. Si de un alm acén qu e está llen o los 3/5 de lo que no está llen o se retira los 213 de lo que no se retira. ¿Q ué

22 25

40. Sabiendo que p erd í 2Í3 de lo que no perdí, luego recu peré 2/3 d e lo que no recu p eré y tengo en ton ces 42 soles. ¿Cuánto me quedaría luego de p er d er 116 de lo que no logré recuperar? A) SI. 41 D) SI. 40

B) SI. 39

C) SI. 36 E) SI. 32

41. A l vender un a rtícu lo p en sé ga n a r la m itad de lo qu e m e costó, p ero al m om ento de vender tuve que reb a ja r la m itad de lo qu e p en sé ganar, p o r lo que ga n é SI. 600 m enos de lo que m e costó. ¿C uánto m e costó? A) SI. 600 D) SI. 1000

B) SI. 900

C) SI. 800 E) SI. 1200

42. H e gastad o los 516 de mi dinero, si en lu gar de g a sta r los 5/6 hubiera g a sta d o 114 de mi d in ero, ten d ría ahora 7a soles más de lo que tengo. ¿Cuánto no g a sté? A) 16 a B ) 8 a C )4 a

38. Se abre un g rifo A y se observa que en 3 m in u tos h a llen a d o 117 d el reservorio, en ese m om ento se abre un g rifo B de vaciado, p o r lo qu e el reservorio se ha llen ad o en 9 m inu tos antes del tiem po qu e h abría tar dado en llen arse si se hubiese a b ier to el g rifo B ju n to con A. ¿C uántos m inutos ha dem orado en llen arse?

37 C) 40

D) 2 a

E) a

43. N ueve lap iceros cu estan tanto com o 2 cuadernos, 3 cuadernos tanto com o 5 borra d ores y 2 borra d ores tan to com o 3 tajad ores; entonces, 9 la p ice ros cu estan tan to com o: A) 2 tajadores C) 4 tajadores E) 6 tajadores

B) 3 tajadores D) 5 tajadores

44. Un caño llen a un tanque en “t” ho ras y un desagüe lo vacía en la m itad del tiempo. Si el depósito estuviera

Números Racionales

197

lleno en sus dos terceras partes y se abrieran simultáneamente caño y desagüe. ¿En cuánto tiempo queda ría vacío el tanque? It A )y h

2t B ) y h

2t O y h

It D )y h

lt E )y h

45. Si a los términos de una fracción or dinaria irreductible se le suma el de nominador y al resultado se le resta la fracción, resulta la misma frac ción. ¿Cuál es la suma de los térmi nos de dicha fracción? A) 5

B) 4

C)3

D) 2

E) 7

46. Si se cumple; ^ £ = 1 ,7 2 0,ba Calcular: (a+b), si a d em á s;a -b A) 3

B) 4

0 5

D)

6

=2

E) 7

47. Un recipiente lleno de agua puede vaciarse mediante dos grifos A y B; uno de ellos está situado en el fondo del recipiente y el otro a una cierta altura. El grifó A vaciará el recipien te en 8 horas, y el grifó B vaciará lo que le corresponde en 4 horas. Si se abren simultáneamente. ¿Cuánto tiempo tardará en vcusiarse el reci piente? A) 3 h B) 4 h 0 5 h

D )6 h E )7h

48. Una liebre perseguida por un perro llevaya adelantados 90 saltos y da 5 saltos mientras que el perro da 4 y como 7 saltos de la liebre equivale a 5 del perro, se desea saber ¿cuántos

saltos tendrá que dar este para al canzarla? A) 500 D) 300

B) 600

O 400 E) 450

49. Se abre una llave a razón de 20 li tros por minuto, hasta que éste llene 2/5 de un tanque, luego se cierra. En seguida se abre otra llave durante el mismo tiempo que el primero y se ob serva que lo ha llenado completa mente el tanque. ¿Cuántos litros por minuto vierte la segunda llave? A) 20 Zí/min B) 25 ZZ/min O 24 ZZ/min D) 30 Z/min E) 3 6 1/min 50. Dos personas A y B debían extraer de un pozo 3 556,8 litros de agua, en 24 horas. Luego de trabajar juntos durante 9 horas, A se retira, entonces B completa la extracción demorán dose 13 horas y media más de lo que se habría demorado A Quedándose solo, ¿cuántos litros por hora extrae A? A) 60Z/h D) 120 Z/h

B ) 8 0 Z/h

O 9 0 Z/h E ) 135Z/h

51. Un camión sale de A a las 6 p.m. y llega a B, a las 9 a.m. del otro día. Un ómnibus sale de A a las 8 p.nu, Uega a B a las 8 cum. del siguiente día. ¿A qué horas, el ómnibus Habrá alcan zado al camión? A) 2 a.m. D) 5 a.m.

B) 4 a.

C) 3 a.m. E) 6 a.m

52. Antonio y Raúl se comprometieron a construir un muro en 12 días; pero luego de trabajar juntos durante 4 días, Raúl se retiró del trabajo, por lo que Antonio entregó la obra con 12 días de retraso. Si se hubiera retira do Antonio, ¿con cuántos días de re traso habría entregada la obra Raúl?


198 A) 6 días

D)

B) 7 días

2 C) 5 — días rp\ 7 í - A '

, 1

3

}

3

33

53. Una lancha va en 6 horas d e A a B río abajo y dem ora 30 horas en regre sar de B h acia A río arriba. Una ba l sa que se deja lleva r p o r el rio de A a B, ¿en cu án to tiem po llega rá ? A) 15 horas D) 12 horas

B) 20 horas C) 10 horas E) 21 horas

54. Una p elota que se deja ca er de cierta altura, p ierd e en cad a rebote 1/4 de la altura de donde cae. Si recorrió 70 m etros de espacio, hasta el m om ento de detenerse. ¿De qué a ltu ra se dejó caer? A) 8 metros C) 10 metros D) 11 metros

B) 9 metros E) 15 metros

57. ¿Q ué p orcen ta je del doble del 60% de un núm ero es el 30% del 20% de los 215 d el mismo núm ero? A )1 %

D) 40%

B )2 %

C )1 0 %

E) N.A.

58. C ésa r es 25% m ás e fic ie n te q u e Guillerm o. Si Guillerm o pu ed e h a cer una obra en 18 días. ¿En cuántos días pod rá n h a cer ju n to s la obra? A) 8 días D) 20 días

B) 10 días

C) 12 días E) 13,5 días

59. Dos p rofesores agasajaron al D irec tor, con un alm uerzo, cu briendo uno el 40% y el otro el 60% d el ga sto total. El D irector en agradecim iento, otro d ía lo s p r e m ió co n un p la to d e salch ipapas a los dos. ¿Q ué p o rcen ta je de las salchipapas le corresp on de al prim ero? A) 10% D) 40%

B) 20%

C) 30% E) 50%

»»

55. Una p erson a ah orra 1/5 de su sa la rio. Ahora que ha recibido un aum en to de “ausoles, ahorra 1/6 de su nuevo salario; si en 5 m eses, después d el aum ento, ha ahorrado 6 soles más de lo que habría ahorrado en este tiem p o sin recib ir el aum ento. C alcu lar el salario original. A) 5 a - 36 soles C) 3 a - 60 soles D) 3 a - 46 soles

B) 5 a - 30 soles E) 5 a + 30 soles

56. Una person a que es dueña de los 2/3 de una fábrica^ ha recibid o “n ” soles de 1/4 de las utilidades que le corres ponden. ¿C uál fu e la u tilidad de la com pañía? A) 5 n soles D) 6 n soles

B) 4 n soles C) 8 n soles E) 12 soles

60. P och ita tien e m il soles, va a l m ercado y gasta 400 soles. ¿ Qué p orcen ta je de lo que ga stó no gastó? A) 120% B) 100% C) 80% D) 140% E) 150% 61. El p orcen ta je de ga n a n cia sobre el p recio de costo y el p orcen ta je de g a nancia sobre el p recio de venta están en la rela ción de 5 a 4. E ntonces el p orcen ta je de ga n a n cia sobre el p r e cio de venta es? A) 10% D) 30%

B) 20%

C) 15% E) 25%

62. Un vendedor recarga el p recio de sus artículos en el 25% de su valor. ¿ Cuál es el m áxim o descu en to qu e se p u ed e h a cer sin g a n a r ni p erd er? A) 20% D) 28%

B) 25%

C) 24% E) 30% l

Números Racionales

199

63. A un recipiente que contiene cierta cantidad de vino, se le adiciona 240 cc de agua, luego se extrae el 20% de esta mezcla y se reemplaza total mente por agua y resulta que la can tidad de vino de la nueva mezcla constituye el 48% de la mezcla. ¿Cuán tos litros de vino contenía el recipien te? A) 140 cc D) 300 cc

B) 200 cc

C) 150 cc E) 360 cc

64. Un barril contiene 4 litros de vino por cada 5 litros de agua. Se empieza adicionar al barril simultáneamen te vino razón de 6 litros por minuto y agua a razón de 4 litros por minuto, hasta que la mezcla contenga 50% de vino y se observa que en este tiempo, la cantidad de líquido que ha entra do al barril es inferior en 24 litros a lo que había inicialmente. ¿Cuál es el contenido final de mezcla del ba rril? A) 80 litros D) 24 litros

B)54 litros


65. Un recipiente A contiene 250 cc de alcohol al 64% y otro recipiente B con tiene 200 cc de alcohol al 80%, ¿ Cuán tos cc de agua tendríamos que agre gar a cada recipiente, de modo que al final haya igual cantidad de mezcla en cada recipiente y de la misma con centración de 40%? A) 10 cc, 150 cc C) 200 cc, 250 c E) 150 cc, 210 cc

B) 150 cc, 200 cc D) 250 cc, 300 cc

66. Al comprar 38 camisas pagué 1 425 soles, pero esta suma no cubría el importe, por lo que tuve que devolver una camisa y el vendedor me devol vió tanto como me faltaba para cu brir el valor de las 38 camisas. Ha

llar el precio de cada cam isa. A) 32 soles B) 34 soles D) 38 soles ^

C) 36 soles E). 30 soles

67. Un recipiente A contiene una mezcla de 3 litros de guinda con 5 de coca cola y otro B contiene una mezcla de las mismas bebidas pero en igual cantidad. Cuando se vierte todo el contenido de B en A, resulta que por cada 3 litros de guinda hay 4 de coca cola, lCuántos litros de mezcla con tenía B? *

A) 2 litros D) 5 litros

B) 3 litros


68. Se sabe que una tela de cierta cali dad se encoge después de lavada en un 20% en el largo y 10% en el ancho. Se vende dicha tela después de lavar la, en Sf. 50 el metro cuadrado, ga nando el 20% del costo. ¿Cuánto cos tó cada m* de tela? %

A )S /. 16 D) Sf. 30

B )S /.2 0

C )S /. 24 E) S/. 36

69. El largo de un rectángulo aumenta en 20% y el ancho disminuye en 20%, entonces el área del rectángulo va ría en 160 m2. ¿Cuál era el área ini cial? A) 200 m2 B) 400 m2 D) 4000 m2

C) 2000 m2 E) 1600 m2

70. Cuando el lado de un cuadrado se incrementa en 20%, resulta que el área aumenta en 176 m2. Calcular el lado inicial del cuadrado. A) 10 m D) 16 m

B) 12 m E) 15 m

O 20 m

71. El ancho de un rectángulo se aumen ta en 25%; si deseamos mantener igual el área del rectángulo, ¿en qué

200


porcentaje debe disminuir el largo de dicho rectángulo? A) 10% D) 30%

B) 20%

C) 25% E) 505

72. Un comerciante compra una merca dería por Sí. 400 y vende el 20% de esta mercadería con una pérdida del 10%. ¿Qué tanto por ciento debe ga naren el resto de la mercadería, para recuperar lo perdido y aún ganar el 30% de toda la mercadería f A) 20% D) 35%

B) 15%

C) 30% E) 40%

73. Arturo compró una calculadora, para venderla recargó al precio que le costó en 30%. Al momentó de ven derla a su amigaCarmen, le hizo una rebaja del 30%, pensando que con esta rebaja iba a vender al precio que ha bía comprado, pero sin embargo que dó perjudicado en SL 54. ¿A qué pre cio lo vendió ? A) SA 465 D) SA 546

B) SA 654

C) S/. 645 E) SA 564

74. Gasté el 60% de lo que no gasté. ¿Cuánto tenía sabiendo que no gasté SI. 120 más de lo que gasté? A) 180 D) 480

B) 240

0 360 E) 560

75. Un automóvil demora normalmente un cierto tiempopara llegar de A a B; pero llegaría en 2 horas menos si va riase su velocidad en un 40%. ¿Cuán to tarda este automóvil en llegar nor malmente de A a B? A) 4 horas D) 7 horas

B) 5 horas

C) E)

6 8

horas horas

76. Un balde lleno de agua pesa 5 kg; cuando se extrae la mitad del agua.

el peso inicial queda reducido en un ' 40%. ¿Cuál es la capacidad del bal de? A) 2 litros D ) 1 litro

B) 4 litros


77. Un comerciante compró un objeto y lo vendió ganando el 30%, con la ga nancia de la venta más SL 500 pagó su deuda y con el resto del importe de la venta compró otro objeto, la que vende con una utilidad del 80% ga nando en esta venta igual que su deu da. ¿Cuánto le costó el primer objeto? A) SA 600 D ) S/. 800

J$) SA 700

O S / . 750 E) SA 1000

78. Un comerciante vendió un articulo y parte del importe lo invirtió en la compra de otro artículo, la que ven dió con una utilidad del 40%. Esta utilidad equivale al resto del impor te de la venta Si el importe de la ven ta del primer articulo y el costo del segundo articulo suman SL 2 400, ¿cuánto ganó en la segunda venta? A) S/. 400 D ) SL 500

B) SA 600

O S / . 450 E) S/. 350

79. A l vender un articulo pensé ganar la mitad de lo que me costó, pero al momento de vender tuve que rebajar la mitad de lo que pensé ganar, por lo que gané SL 600 menos de lo que me costá ¿Cuánto me costó? A) SA 400 D ) SA 1200

B) SA 600

O & 800 E) SA 900

80. Un negociante vende un artefacto ga nando SL 600, conel importe compra 2 artefactos similares, en la misma tienda donde había comprado el ar tefacto anterior, pero en esta oportu nidad con un descuento del 20%. Si estos 2 artefactos los vende ganando

201

Números Racionales el mismo porcentaje que en la venta anterior, ¿cuál es su ganancia en esta última venta? A) 600 D) 690

B) 120

C) 960 E) 480

81. Un comerciante compró un artículo y vendió con un beneficio del 15% del costo. Si hubiera ganado el 15% so bre el precio de venta, habría ganado SI. 36 más. ¿A qué precio vendió di cho artículo? A) S/. 1564 D) Sí. 1458

B) SA 1456

C) SA 1364 E)SA 16541

82. Ganar 60% del costo, equivale a ga nar qué porcentaje del precio de ven ta. A) 28.5% D) 37.5 %

B) 30.5 %

C) 40.0% E) 32.5%

83. Una persona retira SI. 1649 luego de haberperdido el 15%. ¿Cuánto invir tió? A), SA 1940 D) S/. 1920

B) SA 1490

C) S!. 1860 E) S/. 1880

84. Una camisa cuesta 5 veces lo que una corbata. Si compro ambos artí culos, me rebeban la camisa en 30% y la corbata en 20%, así quedaría be neficiado con una rebufa de SI. 357. i Cuál es el precio de la corbata? A) SA 200 D) SA 240

B) SA 210

C)>SA 220 E) SA 230

85. Un fertilizante contiene 20% de ni trato y el 20% de nitrato es nitrógeno. Si el contenido que no es nitrato ex cede en 1,52 kg al contenido de nitró geno, ¿cuántos gramos de nitrato no es nitrógeno? A) 0.320 D) 320

B) 32

C) 400 E) 3.2

86. Alberto compró un televisor en una tienda, y se lo vendió a Susy ganando 20% y Susy a Carlos también ganan do el 20%. Por último Carlos se lo ven dió a Alberto perdiendo el 40%. Asu miendo que uno gana, al comprar un objeto por debajo de su precio en la tienda, Alberto ganó en total SI. 110,88 en esta operación. ¿Cuál es el costo del televisor en la tienda? A) SA 300 D) SA 400

B) SA 330

C) SA 500 E) SA 450

87. Se vende un edificio en “a” soles; con el 10% del importe se compra una casa con un descuento del 20%. ¿Cuál es el costo de un departamento sabien do que se puede comprar con el pre cio de la casa sin descuento? a A) 8

3a B) 10

a C) 10 3a E) 40

4a D) 20

88. He vendido un objeto ganando el 25% y con este dinero compro otro y lo ven do en SA 166,50 perdiendo el 10%. ¿Cuánto me costó el primer objeto? A) SA 186 D) SA 148

B) SA 184

€ ) SA 186 E) SI. 166

89. Una casa y un auto se vendieron en la misma cantidad, la casa se vendió ganando el 13% y el auto perdiendo el 13%. En esta operación: A) Se ganó B) Se perdió C) Depende de los precios de la casa y el auto D) No se gana ni se pierde E) N.A. 90. Al vender un objeto ganando el 32% del costo se ganó 240 soles más que si

202

—■ i se hubiera vendido ganando sólo el 12% del costo. ¿C uánto costó el ob je to? A) 10 000 D) 240

B) 12 000

C) 1 200 E) N.A.

91. El cajero de una com pañía ha p erd i do el 20% d el dinero a su cargo. ¿Qué % de lo que le queda restitu iría lo p erd id o? A) 20% D) 10%

B) 25%

C) 30% E) 12,5%

92. ¿A cóm o vendo lo qu e m e costó 140 soles p a ra ga n a r el 30% d el p recio de venta? A) 182 soles C) 195 soles D) 200 soles


93. Un fabrican te encuentra que el 0,4% de su prod u cción es d efectu osa y no puede enviarse a l mercado. ¿Cuántos artícu los de cad a diez m il p rod u ci dos serán rechazados? A) 4

B) 14

C) 40

D) 140 E) 400

94. El 15% de alum nos de un colegio han sido desaprobados en m atem ática, de ellos el 40% son m ujeres. ¿C uántos alum nos tien e e l colegio, sabiendo qu e son 108 los va ron es d esa p ro bados en m atem ática?

Razonamiento Matemático — — i— A) 900 B) 600 C) 840 D) 1080 E) 1200 95. Un vendedor de au tos ga n a 10% de com isión so 6re las ventas. En el m o m ento de vender un autom óvil ha re bajado el 4% d el p recio de venta, im p o rte que le será descontado de su co m isión. Sí recib ió 720 soles d e com i sión, ¿en cu án to vendió el auto? A) 15 000 soles C) 12 000 soles D) 10 000 soles

B) 14 000 soles E) 8 400 soles

96. Tenía 640 soles, con el 20% com pré un regalo, con el 30% unju eg o de ollas y con el 10% una mesa. ¿Cuánto dine ro m e queda? A) 240 soles C) 360 soles D) 250 soles


97. A l com prar un a rtefa cto m e rebaja ron 18%; con lo que ahorré de la reba j a m e alcanzó p a ra una cam isa, don de tam bién m e rebajaron, esta vez el „ 10%. De este m odo aún m e quedaron 18 soles. ¿C uánto p a gu é p o r el a rte fa cto? A) 720 soles C) 820 soles D) 840 soles


Números Racionales ■

■

■

■ ■ ■ 1 ■■ 11 1 "

■ ■■

■■ ■—

>■- ■■■ ■

203 ■■

CLAVES DE RESPUESTAS 149-150 C

B

1

2

3

4

5

6

7

8

B

152-153 C

A

B

E

D

E

C

A

1

2

4

7

8

B

E

5 E

6

156-157 B

3 A

I I 12 13 14 15 16 E D E D E C

B

E

C

PÁG INA

PÁG INA

1

2

1

2

165-166 E

A

1

2

169-170 D

A

1

2

B 9 B

E

PÁG INA

PÁG INA

PÁGINA

175

PÁGINA 181-182

1 C 9 D

4 A

5 C

PROBLEMAS PROPUESTOS

3 A

PÁG INA

A

7 E

D

I

2

3

4

56

7

8 9 ~ ÍÓ

B

A

B

DA

D

BD

6

8

3 B

4

5

6

7

8

A

D

A

B

B

3 A

4 D

5 C

6

8

C

7 B

C

3 B

4 A

5 B

6

7

8

A

D

A

10 B

2

•

5 6 7 8 A B A B E 10 11 12 13 14 15 16 B c B D A E B 3 C

4 E

A

D

C

C

D

B B C D B 31 32 33 34 35 A A D C A 41 42 43 44 45 €

D

51 52

D

C

A B C B E 36 37 38 39 40 C C A C B 46 47 48 49 50

BD

53 54 55 56

D 57

BD

C

58 59 60

B C A C A D B A B E 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 fc A E E BD E DD C 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 B E D D DB E A E C 81 82“ 83 84 85 86 87 88 89 90 A D A B D B A D B C 91 92 93 94 95 96 9 7 __________ D

C

E

CE

C

Retos al ingenio

1 . Sí. Entre Valencia y Bagdad hay tres ho ras de diferencia horaria. Cuando en Bagdad son las 11 h, en Valencia son las 8 h. 2. Pesa 100 kg 3.Tiene 21 libros. Número menor que 30 que tiene tercera y séptima partes. 4.

17 18 19 20 B D B Á

21 22~ 23 24 25 26 27 28~ 29 30

B

17 18 19 20 21

B

5. Dos cortes, en tres partes de 1 cm, 2 cm y 4 cm. 6 . De haber visto el primero, dos boinas ne gras en los otros dos habría dicho que él tenía blanca, entonces vio dos blancas o una blanca y otra negra. De haber visto el segundo, una boina ne gra en la cabeza del ciego, habría dicho que él tiene blanca, entonces vio blanca. 7. 72 = 49

8 . Se prestaron un caballo. El primero reci bió 12, el segundo 8 y el tercero 3; que ha cen 12 + 8 + 3 = 23 caballos. Luego devol vieron el caballo prestado.


204

w

'V -

Évariste Galois Nació el 25 de Octubre de 1811 en Bourg La Reine, París, Francia Su actividad científica, de un lustro escaso de vida, se entremezcló con una actividad política de ardiente revolucionario en los turbulentos días del París de 1830. A los 16 años, buen conocedor de la matemática de entonces, sufre su primera decepción al fracasar en su intento de ingreso en la Escuela Politécnica. Siguen las decepcio nes cuando una memoria, presentada a la Aca demia y puesta en manos de Cauchv. se extra vía, y cuando un segundo fracaso le cierra las puertas de la Politécnica. En 1829 y 1830 hace conocer sus primeros tra bajos sobre fracciones continuas, cuestiones de análisis, teoría de las ecuaciones y teoría de nú meros, así como un resumen de una segunda memoria presentada a la Academia para optar al gran premio de matemática, el que también se pierde. En 1831, envuelto en los acontecimien tos políticos, se le expulsa de la escuela normal, donde entonces estudiaba, y con el propósito de dedicarse a la enseñanza privada, anuncia un curso de álgebra superior que abarcaría “Una nueva teoría de los números imaginarios, la teo ría de las ecuaciones resolubles por radicales, la teoría de números y la teoría de las funciones

elípticas, tratadas por álgebra pura”. El curso no tuvo oyentes y Galois ingresa en el ejército, a la vez que redacta una memoria, la última, hoy llamada “Teoría de Galois”, que remite a la Aca demia y que Poisson califica de “incomprensible“. Más tarde es detenido y pasa casi un año en la cárcel. Al recobrar la libertad se ve envuelto en una cuestión de honor por una “infame coqueta” y muere en el duelo consiguiente. En vísperas del duelo, al legar a un amigo en notas apresuradas su testamento científico, le pide que, si su adversario vence, haga conocer sus descubrimientos a Gapss o Jacobi para que den una opinión “no respecto de la verdad, sino de la importancia de los teoremas*. Espero que más tarde alguien encuentre provechoso desci frar todo este lío. Este lío es hoy la “Teoría de Grupo”. Sólo en 1846 se conoció gran parte de los escri tos de Galois por obra de Joseph Liouville , y completó la publicación de sus escritos Jules Tannery a comienzos de este siglo (1908). En ellos asoma ya la idea de “cuerpo", y que luego Galois introduce con motivo de los hoy llamados “imaginarios de Galois", concebidos con el objeto de otorgar carácter general al teorema del nú mero de raíces de las congruencias de grado n de módulo primo. Es en estos escritos donde apare cen por primera vez las propiedades más impor tantes de la teoría de grupos (nombre que él acuño) que convierten a Galois en su cabal fun dador. Sin duda que la noción de grupo, en especial de grupo de substituciones que constituye el tema central de Galois, estaba ya esbozada en los tra bajos de Lagrange y de Alexandre Théophile Vendermonde del siglo XVIII, y en los de Gauss, Abel, Ruffini y Cauchy del XIX, implícita en pro blemas de teoría de las ecuaciones, teoría de números y de transformaciones geométricas, pero es Galois quién muestra una idea clara de la teoría general con las nociones de subgrupo y de isomorfismo. Falleció el 31 de Mayo de 1832 en París, Francia.

PROPORCIONALIDAD

Introducción

Conocimientos previos

Laproporcionalidades una herramienta muy útil en las diversasaplicacionesdela matemática. Eldiseñoa escala, las razones trigonométricas, tos planos topográficos, la interpolación, etc., están basados en laproporcionalidad.

Es necesario saber las operaciones confracciones. No es imprescindiblepero es conveniente repasar. Para la reso lución de algunosproblemas se hará uso de ecuaciones elementales, que te sugiero que le des una revisión breve sobre cómo resolverlas.

t

Elprincipio de laproporcionalidad es la analogía. Enestecapítulo expondremosalgunas estrategiasde resolución deproblemas mediantela aplicación de laspropie dades de los númerosproporcionales. Dentro de este tema, aprovecharemos para abordar los problemas de repartoproporcional, exalasy la regla de

~


206

4 . PROPORCIONALIDAD 4.1 Proporción Geométrica ¿Qué significa la frase “dos números están en la relación de 5 a 3”? ¿Será que uno de los números es 5 y el otro es 3? No necesariamente. Quiere decir que si el primero es 50 (diez veces 5), el segundo es 30 (diez veces 3). Si el pri mero es 20 (cuatro veces 5), el segundo es 12 (cuatro veces 3), etc. Los números 50 y 30 están en la relación de 5 a 3. Igual mente los números 20 y 12 , también están en la relación de 5 a 3. Si a y ó son dos números que están en la relación de 5 a 3, entonces: También: Obviamente hay infinitos números que están en la rela ción de 5 a 3. También se dice que a es proporcional a 5 y b proporcio nal a 3. 50 5 Si a = 50 y b = 30, entonces: — = j , se observa que a es

Reto al ingenio 1 Escándalo de Macao Cuando un individuo turbio se intro duce en una comunidad, por honesta que sea, no tarda en corromperla. El señor Ming, que en Macao estaba entregado al mismo negocio que el señor Yang, no tardó que su desho nesto competidor había amañado su balanza. Primero se indignó, Luego

le quitaba sus clientes, se resignó a »

•

A continuación se dan tres pesadas realizadas por el señor Ming. ¿ Pueera más ladrón, sabiendo que la rela ción de tos brazos de la balanza del señor tanges de 10 al 1?

ffi l

* ^

. y Pimienta

10 veces 5 y b es 10 veces 3. Lógicamente, si a es 8 veces 5, se concluye que 6 es 8 veces 3.

Canela

V rrrm

Veamos algunos problemas. l

Problema 1 Dos números están en la relación de 5 a 3. Si el mayor de ellos es 35, ¿Cuál es el menor?

V

O C u e r n o de r in oc e r o n te

TENPRESENTE

R esolución

Son equivalentes las frases:

Dado que 35 es el mayor entonces es proporcional a 5 y el menor es proporcional a 3. Además, 35 es 7 veces 5, entonces el menor es 7 veces 3, o sea, 7 x 3 » 21

'Están en relación d e 5 a 3 n Están en

a3

Son entre sí como 5 y 3” Uno es como 5 y el otro como 3

Proporcionalidad

207

Problemas 1. Dos números están en la relación de 9 a 7. Si el mayor de ellos es 36, ¿ Cuál es el menor? A) 28

B) 21

C )4 2

D) 27

E) 35

2. Dos números están en la relación de 13 a 9. Si el menor de ellos 459, ¿ Cuál es el mayor? A) 650 D) 624

B) 663

C) 702 E) 611

3. Los lados de un rectángulo están en la proporción de 12 a 17. Hallar el largo del rectángulo si el ancho mide 60cnu A) 102 cm D ) 80 cm

B ) 75 cm

C ) 68 cm E ) 85 cm

4. En un salón de clase, por cada 5 n i ña® hay 4 varones. Si hay 20 niñas.

¿Cuántos varones hay en dicho sa lón? A) 16 D) 18

B) 20

O 12 E) 8

5. Los ahorros mensuales de Joaquín y Nacho, están en la relación de 13 a 16. Joaquín ahorra mensualmente 117 soles, ¿Cuál es el ahorro mensual de Nacho? A) Sí. 716 D) Sí. 164

B) S/. 160

C) Sí. 184 E) Sí. 144

6. Mauricio cada vez que va al mercado con su esposa Marucha, ella tiene la curiosa manía de gastar 5 soles por cada 4 soles que gasta Mauricio. ¿Cuánto gasta Marucha si Mauricio gasta 64 soles? A) S/. 72 D )S /.8 5

Los números 50 y 30 están en la relación de 5 a 3. Am bos son 10 veces sus respectivos números proporciona les. La suma de 5 + 3 = 8 y la suma de 50 + 30 = 80, que también es 10 veces 8 . La diferencia 5 - 3 = 2 y la dife rencia de 50 - 30 = 20, que también es 10 veces la dife rencia de 5 y 3. Podemos concluir entonces, que si dos números guardan una relación con 5 y 3, entonces tanto la suma como la diferencia de los números guardan la misma relación con la suma y diferencia de 5 y 3.

[Problema 2 ] Dos números están en la relación de 5 a 3. Hallar la suma de dichos números, si el menor de ellos es 156. Resolución El menor es proporcional a 3. Este es 156 + 3 =■52 veces 3. Entonces, la suma de los números es 52 veces 5 + 3. Esto es, 52x8 = 416 ( Rpta.: 416 ]

B) S/. 80

C) Sí. 75 E) Sí. 90

Rao al ingentoio 2 ¡Ay! el señor Tong, comerciante de especias en Macao, no tardó en repa rar en las maniobrasfraudulentas de sus competidores Yang y Ming. Tam bién él se ve obligado a renegar de su tradicional probidad Solo que se le va la mano. Juzgue el lector por sí mismo observando las dos pesadas siguientes. dulentamente cada uno de los tres co merciantes en la venta de una onza de cuerno de rinoceronte cuyo precio de venta es de 180 dólares de Macao la que no enon za ( a (Fig. Sgte. pág.)


208

[ Problema 3 ] Dos números están en la relación de 5 a 3. Hallar el menor de ellos, si la suma de los números es 488. Resolución

Esta figura correspondeal RETOOEINQEMQANmOR

La suma 488 es 488 * 8 « 61 veces la suma de 5 y 3. Entonces el menor de los números es 61 veces 3. Es decir: 61 x 3 = 183 [Rpta.: i& Q

[Problema 4 ] Dos números que están en la relación d e 5 a 3 difie ren en 124. Hallar la suma de dichos números: Resolución La diferencia de 5 y 3 es 2. La diferencia (dato) de los números es 124 que es 62 veces 2. Entonces, la suma de los números es 62 veces 5 + 3 » 8 . Esto es 62 x 8 * 496. (.R p t a 496 )

Problemas 1. Dos números están en la relación de 9 a 5. Si la suma de los números es 350, el menor de ellos es: A) 215 D) 225

B) 250

C) 150 E) 125

2. Dos números están en la relación de l i a 15. Hallar el mayor de ellos si la diferencia es 144. A) 540 D) 140

B) 450

0 640 E) 240

3. Hay 48 monedas en dos montones. Si las monedas del primer montón es como 7 y las del segundo montón es como 5, icuántas monedas hay en el segundo montón? A) 15

B) 16

C) 18

D ) 20

E) 24

4. Un número de estudiantes se divide en 3 grupos cuyos números son pro porcionales a 5; 7 y 10. En los dos pri meros grupos hay 36 alumnos, ¿Cuántos hay en el tercer grupo? A) 20

B) 30

0 40

D) 50

E) 60

5. Si 5 lapiceros cuestan tanto como 8 lápices y se ha comprado 864 útiles entre lápices y lapiceros, pagando por ambos la misma suma ¿Cuántos de los útiles son lápices? A) 140 D) 220

B) 224

C) 150 E) 280

6. La suma y diferencia de dos números están en la relación de 13 a 5. Hallar el mayor de los números, si el menor de ellos es 36. A) 54 B) 63 C )7 2 D ) 81 E) 90

Proporcionalidad

209

[Problema 5 ] Las alturas de dos ed ificios están en la rela ción de 5 a 3, El más a lto m ide 40 m etros. ¿C uánto m ide el más b a jo?

EJERCICIOS

R esolución M étodo (1) •Altura del edificio: 40 x

más alto: 40 más bajo: x

5 3

(* = 24)

Si el edificio más alto mide 120 m hallar las altura del más bajo, sa biendo que están en la relación de: a) 5 a 4 d) 12 a 5 b) 5 a 3

{R pta,: 24 m )

c) 10 a 7

e) 15 a 7

f) 24 a 13

M étodo (2) •Altura del edificio: Edif. alto: Edif. bajo:

5 k - 40 m => 3 k =>3 k = 3(8) - 2 4 m {R pta,: 24 m )

TEN PRESENTE La frase “Anita tiene 8 llaveros más que Berta" significa que la diferencia entre el número de llaveros que tienen es 8.

M étodo (3) •Altura del edificio: 8 veces

1

r Edif. alto:

5 <—40 m

Edif. bajo:

3 —> 3x8 = 24 m xS

?

{R pta,: 24 m )

Problema 6 Anita y B erta coleccionan llaveros. Los llaveros que tiene A n ita y los que tien e B erta, están en la p ro porción de 7 a 6; p ero A nita tien e 8 llaveros más que B erta ¿C uántos tien e cad a u n a? R esolución

EJERCICIOS Si los llaveros que tienen están en la relación de 8 es a 5, hallar los que tiene cada una, sabiendo que: a) Anita tiene 12 llaveros más que Berta b) Entre ambas tienen 39 llaveros c) Berta tiene 15 menos que Anita.

M étodo (1) # L laveros Anita: Berta:

7k 6k

dato:

Ik - 6k = 8 =* (k = 8)

7k = 7(8) = 56 y Gk = 6( 8) = 48

R p ta : 1Henen resp ectiv a m ente 56 y 48 llaveros


210 M étodo (2) # Llaveros Anita: Berta:

7

Anita tiene: 7x8 = 56 llaveros Berta tiene: 6 x8 = 48 llaveros

DATO

6

J,

TEN PRESENTE Para saber cuántas veces 20 es 24 000:

Diferencia: 1 o 8 t

8 veces

24 000 = 1 200 veces 20

( Problema 7 De cada 20 p ostu lan tes a una universidad, sólo ingresan 3. ¿Cuán tos se quedarán sin a lca n za r va cantes, si se presen tan 24 000 al exam en de adm i sión. Resolución 1200 veces

X Postulantes: 20 Ingresan:

i 24 000 T

No ingresan: 17

dato

/P or el dato, los postulantes son 24 000, que es 1200 ue\ r | ces el correspondiente nú mero proporcional. Enton ces los que no ingresan son 1200 veces 17.

\

_

.\ No alcanzan vacantes: 17 x 1200 = 20 400 [Rpta : 20 400 )

La proporcionalidad ¡Lo hace fá cil! Si has entendido la resolución de los problemas ante riores, ya estás en la capacidad de aplicar este concepto a otros problemas. Verás que la proporcionalidad sim plifica muchos problemas engorrosos.

[Problema 8 j Gasté 4 veces lo que no g a sté y me quedan 60 soles. ¿Cuánto ten ía antes de g a sta r?

Reto al ingenio 3 Una decisión objetada del goberna dor de Macao Como consecuencia del escándo que había estallado en la corporación de los mercaderes de especias a causa de las maniobras de los señores Yang, Ming y Tang, y no disponiendo de un servicio de verificación de pesas y medidas, el gobernador de Macao decretó que las especias vendidasfue ran pesadas dos veces, una vez en el platillo de la derecha de la balanza y la otra vez en el platillo de la izquier da y que el peso facturado al cliente sería el promedio de los dos pesos obtenidos. Persuadido de haber tomado una sa bia medida, el gobernador se sorpendió mucho al recibir la protes ta del presidente de la corporación que le reprochó favorecer a los comer ciantes deshonestos con sus balanzas preparadas. ¿Tenía fundamento esa protesta?

Resolución ( Lo que me queda es lo que no gasNo gasté : 1 ¿£\téqu e es 60. Que es 60 veces 1. Gasté Tenía

:4 :5

Por lo tanto Lo que tenía es 60 veces 5: 5 x 60 = 300

TEN PRESENTE Lo que g a sté y lo que no ga sté deben sumar lo que tenía antes de gastar.

211

Proporcionalidad NOTA; ¿Entiendes por qué hepuesto los números 1; 4 y 5?. Pues si gasté 4 veces lo que no gasté, entonces asumo que lo que no gasté es como 1, en consecuencia lo que gasté es como 4 y lo que tenía es la suma, o sea como 1 + 4 = 5 .

[Problema 9 ] Dos números son entre sí como 5 a 9, si al menor de ellos se le suma 200 y a i mayor se le resta 120, am bos resultan iguales. Los números son: R esolución • Se deduce que la dife rencia entre los números es: 200 + 120 = 320 Los números son: Mayor: 9x80 = 720 Menor: 5x80 = 400

Mayor: 9 Menor: 5 Diferencia: 4 320 l _J 80 veces

[Rpta.: 720y 400 )

[Problema 10^ Dos números son entre si como 13 es a 8, si al menor se le suma 240, ¿Cuánto se le debe sumar al mayor para mantener la reltición de 13 a 8? R esolución • Para no alterar la relación de 13 a 8 ; los aumentos deben guardar la misma relación que los números origi nales. Luego:

Aumento del Aumento del mayor:

i

30 veces 240

T

DATO

Aumento del mayor. 13x30 = 390

[Rpta.: 390

]

Reto al ingenio 4 Un tanque lleno de aguapesa seis veces el tanque vacío. El mismo tanque lleno de otro líquido pesa 89 veces el tanque vacío. ¿Cuál es ese otro líquido? A) Kerosene B) Boro C) Bromo D) Mercurio E) Acido sulfúrico

212


Problema 11 Tres fábricas A ,B y C fueron intervenidas por la SUNAT *. Los impuestos d e A y B eran entre sí como 7 es a 4, y las de B y C como 5 es a 3. La fábrica C canceló el importe total de sus impuestos con 300 soles9 mientras que A pagó 700 soles a cuenta. ¿Cuánto le falta pagar? Resolución • Planteamiento: Según laprimera condición B es como 4 y según la se gunda condición B es como 5. ¿Qué hacer? • Para que a B le corresponda el m ism o núm ero p ro porcional, multiplicamos por 5 los números de la pri mera columna y por 4, los de la segunda. La multiplica ción no altera la relación que guardan los números. Este proceso se llama homogenización. A : 7 x 5 = 35

B : 5 x 4 = 20

B : 4 x 5 = 20

i C :3 x 4 = l^ < -3 0 0 J 25 veces

dato

Se deduce que A debe pagar 25 veces 35, o sea 25x35 * 875. Como A pagó sólo 700, falta pagar 875 -700 = 175 soles. [Rptcu: 175 soles ^

4.2 Problemas con edades Muchos problemas de edades se pueden resolver apli cando el concepto de proporcionalidad. Para ello es con veniente tener en cuenta un concepto adicional: la d ife rencia de edades de dos personas siem pre es la misma p or más que pasan los años; por ejemplo, si Mario nació en 1980 y Pepe en 1985, la diferencia entre sus edades siempre va ser 5. Observa: ♦ Superintendencia Nacional de Administración Tributaría.

Reto al ingenio 5 ¿Cuál es más barata? Dos naranjas casi perfectamente esfé ricas están a la venta. La primera de 4 cm de radio, cuesta 40 céntimos y la segunda de 3 cm de radio cuesta 30 céntimos. ¿ Cuál de ellas es más barata que la otra ?

Reto al ingenio 6 El comerciofraudulento del señor Yang El señor Yang, comerciante de asta de rinoceronte, vende suproducto con un margen del 50% en relación con el precio que paga a su proveedor, lo cual es mucho, y además el hombre no es muy honesto: uno de los brazos del astil de su balanza es más corto que el otro de manera que el provee dor, cuando le lleva su mercancía, debe colocar 1 100 gramos en un platillo para equilibrar el kilo que coloca el señor Yang en el otro platillo. En cam bio, cuando se presenta un compra dor, no tiene en su platillo los 1 000 gramos que deberían equilibrar el kilo que el señor Yang coloca en el otro platillo. En la última entrega que reci bió, el señor Yang obtuvo así un súper beneficio fraudulento de 63 dólares. ¿ Cuánto había pagado el señor Yang por esa partida ?

Proporcionalidad A ño

213

1980

1985

1997

2001

5

10

17

21

R eto al ingenio 7

0

5

12

16

La edad del Tío (1)

Edad de Mario: Edad de Pepe: Diferencia:

Problema 12^

*

La edad de Ada es el cu ád ru ple de la de N ina, sin em bargo, dentro de 6 años estarán en la razón de 5 a 2. La edad de A da es: R esolu ción A hora

En

anos (-> 3 Diferencia: Nina:

(1) Tomado de Matemática Recreativas de Michaei Hoti

Las diferencias entre las' u edades son iguales y es (-> )3 ( como 3. El tiempo trans*| currido en términos pro porcionales es como [i

Ada:

Luego: Si el tiempo transcurrido como [T] es 6 años (6 veces 1), entonces la edad de Ada, que es como [ í ] , es 6 veces 4, o sea 6 x 4 = 24 años. [R pta.: 24 años J

[Problema 13] D os niños com entan de sus respectiva s edades. P e rico tien e el triple de la edad qu e tien e GiseL D en tro de 4 años sólo será el doble de la edad de ella . ¿Qué edad tendrá ella d en tro de 11 años? R esolución

Perico: 3

En 4 años 2

*( Visto que las diferencias / \de las edades no han reV| sultado iguales como debería ser; los números de la segunda columna ylos multiplicamos por 2 ^

u )2 1

Gisel: 1

V 3 x <-)) 2 1 ' 0

4

<-j)2 2

R eto al ingenio 8 Si a usted le gustan los espárragos...

0

A hora

En cierta película, el actor Charles Coburn representaba el personaje de un utío ” ya mayor al que se le repro chaba el casarse con una chica a la que triplica la edad. A lo que él res pondía con agudeza: - Sí, pero dentro de veinte años, sólo se la doblaré. ¿ Qué edad tenía el utío ” hace 10 años ?

Una vendedora de legumbres tenía la costumbre de atar sus espárragos con un bramante de 30 centímetros de lon gitud y formaba así manojos que ven día a 8 soles cada uno. Como esos manojos le parecían de masiado pequeños, dio en utilizar bramantes de doble longitudy, en con secuencia, vendía sus manojos de es párragos a 16 soles cada uno. ¿Calculaba bien esa verdulera? ¿Qué precio debería pedir por cada mano jo ?


214 I

Por lo tanto: El tiempo transcurrido como [I] es 4 años (4 veces 1), en consecuencia, la edad actual de Gisel que también es como Q ], será igualmente 4 años. Dentro de 11 años, ella tendrá 11 + 4 = 15 años. [Jgpla.: 15 años j

[Problema 14 j Julián le d ice a su h ijo W álter: “nuestras edades actuales son com o 7 a 2, p ero d en tro de 22 años serán com o 5 a 3” H allar la sum a de las edades actuales. R esolución Actual

En 22 años

Julián:

(-02 Wálter

(-010

En vista que las diferen cias de edades no son iguales, como debería ser, multiplicamos los números de las 2 colum nas por 2 y 5 respectivamente. V

Reto al ingenio 9 La esfera pintada Un vendedor de billares tiene como insignia de su negocio dos esferas des iguales, sólidas y hechas de la misma madera. La mayor pesa 27 kg y la pe queña 8 kg. El comerciante se propone volver a pintar las insignias. Si te hacen falta 900 gramos de pintura para pintar la esfera mayor ¿ cuántos gramos de pin tura necesita para pintar la pequeña ? (La cantidad de pintura necesaria es proporcional a la superficie que hay que pintar.)

Suma: Luego: El tiempo transcurrido es como 11 es 22 anos (2 veces 11 ), entonces la suma de edades como |18 jes 2 veces 18, o sea 2 x 18 s 36 años. \Rpta.; 36 años j

Problemas L En una m ezcla de con creto, p o r cad a 3 bolsas de cem ento entran 5 ca rre tillas de horm igón. E l a lbañ il dispo ne de 147 bolsas de cem ento que los va ga sta r en la m ezcla. ¿C uántas to n ela d a s de h orm ig ón d eb e p e d ir p a ra p rep a ra r el con creto, s¿ cada ca rretilla p esa 60 kilogram os? A) 16,5 t D) 14,7 t

B) 18,0 t

C) 15,4 t E) 15,7 t

2. Dos países han decidido in vertir en el Perú. El p a ís A, ha prom etido que

p o r cad a 5 d ólares qu e in vierta el p a ís B en el Perú, A in vertirá 8 dó lares. El p a ís B9 estim a qu e in verti rá unos 3485 m illones d e dólares. De cu m plir su prom esa, ¿cu án to inver tirá el p a ís A en el P erú ? (En m illo nes de dólares) A) 5567 C) 5487 B) 5576 D) 5580 E) 5570 3. G asté 5 veces lo qu e no g a sté y me quedan 35 soles. ¿C uánto ten ía ? A) SA 210 B) SA 217 C) SA 235

Proporcionalidad D) S/. 147

215 E) SA 240

4. Cuando Ricoto va al hipódromo no permite que sus empleados apuesten más que éL Su asistente Vladimico se atrevió apostar una fuerte suma, entonces Ricoto apostó 10 veces lo de Vladimico. La apuesta de los dos al canzó los 891 soles. ¿Cuánto apostó Vladimico? A) S/. 81 B) Sf. 72 C )S /. 54 D) S/. 63 E) S/. 90 5. Dos números son entre sí como 13 es a 7. Si el mayor se disminuye en 220y el menor se incrementa en 722, ambos resultan iguales. Hallar el menor de los números. A) 2041 B) 1099 C) 1054 D) 2040 E) 1082

D) 1648

E) 1986

9. Se ha visto que de los postulantes a una ca rrera de ingeniería, por cada 7 hombres sólo 2 son mujeres. Se ha hecho una campaña para que postu len más mujeres y se ha logrado que la relación sea de 8 a 5, con un incre mento de 1121 mujeres y hombres. ¿Cuántos postulantes son mujeres luego de la campaña? A) 1850 B) 1475 C) 1129 D) 1825 E) 1484 10. Las edades actuales de dos perso nas están en la relación de 7 a 5. Den tro de 10 años, la suma de sus edades será 80 años. ¿Cuál es la diferencia de edades? A) 5

B) 10

O 15

D) 12

E) 13

. 6. Los sueldos de Benjamín y Armando están en la relación de 13 a 8. Arman do ha recibido un aumento de 196 so les, con lo que la nueva relación es de 15 a 13. ¿Cuál es el sueldo de Benja mín? A) SI. 750 B) SI. 754 C) Si. 772 D) SI. 778 E) S/. 780

11. Hace ocho años las edades de dos hermanos estaban en la relación de 5 a 4. Actualmente sus edades están en la relación de 7 a 6. ¿Cuál es la edad actual del mayor? A) 21 años B) 28 años C) 27 años D) 35 años E) 30 años

7. Dos números están en la relación de 15 a 8. Si al mayor se le resta 240 so les, ¿Cuánto hay que restarle al me nor para que conserven la relación? A) 256 B) 224 C) 136 D) 128 E) 240

12. Las edades actuales de dos perso nas son 24 y 16 años. ¿Dentro de cuán tos años sus edades estarán en la re lación de 9 a 7? A) 12 años B) 8 años C) 10 años D) 15 años E) 14 años

8. Tres gerentes de una empresa tienen sueldos distintos, el sueldo del geren te general al del gerente técnico es como 15 a 12. El del gerente técnico es al del gerente de ventas como 8 a 9. Si en el sueldo de los tres gerentes la em presa desembolsa la suma de 6642 soles. ¿Cuál es el sueldo del gerente técnico? A) 1946 B) 1968 C) 1948

13. Para Marieta la diferencia de eda des es muy importante en las relacio nes conyugales. — No te puedo aceptar Mario. Tu edad triplica la mía. — Pero dentro de 15 años, sólo será el doble —contesta Mario. ¿Qué edad tiene Marieta? A) 15 años B) 16 años C) 17 años D) 18 años E) 20 años


216

4.3 Reparto proporcional

Reto de ingenio 10

[ Problema 1 ] Repartir 540 en partes directamente proporciona les a 7,12 y 17. Determinar cada una de las partes. R esolución ,BP"

r

1-

-

1

Una división es aquella en que todas las partes obteni das son iguales. Sin embargo, se puede dividir una can tidad en partes que no sean iguales, en tal caso se tiene que indicar de algún modo el tamaño de cada parte. Un modo de indicar el tamaño de las partes es hacien do que sean directa o inversamente proporcionales a ciertos números. Las partes son como 7; 12 y 17; entonces el total es como 7 + 12 + 17 « 36. La cantidad a repartir es 540 * 36 = 15 veces 36. Entonces cada parte es 15 veces los números proporcionales. Partes: 7 x 15 = 105

12 x 15 = 180

El paseo Adela, Carmen y Néstor fueron de paseo al campo. Adela y Carmen lle varon 5 y 4 panes respectivamente. Ellas compartieron con Néstor en partes iguales. Él, en agradecimiento las retribuyó con 9 soles. ¿ Cuánto le correspondió a cada uno ? A) 5 soles y 4 soles B) 4,5 soles y 4,5 soles C) Tsoles y 2 soles D) 6 soles y 3 soles E) 8 soles y 1 sol

17x 15 = 255

Problema 2 Cuatro hermanos se han repartido una suma de dinero en partes proporcionales a sus edades que son 18; 20,24 y 29 años. Si el mayor recibió 88 soles más que el menor, ¿Cuánto recibieron los dos inter medios juntos? Resolución El mayor le lleva por 19 - 18 = 11 años al menor. Los 88 soles son 88 -f 11 ■ 8 veces 11, entonces lo que reciben los dos intermedios es 8 veces 20 + 24 = 44: 8 x 44 =(352 soles)

[Problema 3 ] Tres empresarios han invertido en un negocio: 3 600; 4 800y 5 600 soles respectivamente. Luego de un período comercial, los socios han obtenido una utilidad de 1295 soles y han decidido repartirse en partes proporcionales a sus respectivas inversio nes. ¿Cuánto le corresponde al que invirtió más que los otros dos?

Reto de ingenio 11 El abuelo machista Don Joaquín era un hombre muy ma chista. Carito, su única hija, nunca tuvo la oportunidad de tener novio debido a la actitudcelosa del padre ya maduro, Carito salió embarazada. Don Joaquín al ver que su hija sería una madre soltera, le dejó sufortuna de 350mil soles en las siguientes con diciones: si nace varón, las dos terce ras partes para él y el resto para la madre. En cambio, si nace mujer, las dos terceraspartes para la madre y el resto para la niña. Tras la muerte del padre, Carito dio a luz mellizos, un hombre y una mujer. ¿Cómo se re partieron lafortuna?

2Í7

Proporcionalidad .

■

III

|

■

R esolución Los capitales invertidos son; 9x400; 12x400y 14x400, es decir, son como los números 9; 12 y 14. En consecuen cia basta repartir los 1295 soles, en partes proporcio nales a estos números. Los capitales invertidos son como 9; 12 y 14, por consi guiente las. utilidades serán proporcionales a estos nú meros. Los 1 295 soles es proporcional a 9 + 12 + 14= 35 y es 1295 4- 35 = 37 veces 35, entonces la utilidad pedida es 37 veces 14 = 518 soles. ( R pta.: 518 s o le s j

Problemas

1. R ep a rtir 516 en p a rtes p rop orcion a les a 12; 13 y 18, In d ica r la p a rte in term edia, A) 164 D) 148

B) 146

C) 118 E) 156

2. R ep a rtir288proporcionalm ente a los núm eros 300,400y 900. In d icar el ma yor de las p a rtes. A) 171 D) 189

B) 162

C) 180 E) 163

3. A l rep a rtir una sum a en p a rtes p ro porcion ales a 7; 10; 12 y 17, se encuen tra que la m ayor p a rte es 578. ¿C uál es la m enor p a rte ? A) 238 D) 230

B) 248

C) 246 E) 280

4. Tres p erson a s se han rep a rtid o una suma de dinero proporcion alm en te a los núm eros 13; 17y 18. A l qu e recibió la m ayor p a rte le correspon d ió 55 so les más que a l qu e recib ió la m en or parte. ¿Cuánto le correspondió a l que recib ió la p a rte interm edia? A) 170 D) 190

B) 180

C) 187 E) 220

5. Tres herm anos qu e se habían rep a r tid o 477 soles p rop orcion a lm en te a sus edades qu e son 15; 18 y 20, d eci d ieron repartirse en p a rtes iguales. ¿Cuánto devolvió el m ayor y con cuán to m ás se b en efició el m enor? A) S/. 21 y S/. 24 B) S/. 21 y S/. 26 C) SA 22 y SA 24 D) SA 20 y SA 24 E) SA 20 y SA 21 6. C uatro p erson a s se han repartid o la utilidad obtenida en un negocio, p ro p orcion alm en te a los núm eros 13; 15; 18 y 26. D e h aberse repartid o en fo r m a equitativa, uno de ellos se habría p erju d ica d o con 284 soles. ¿Cuál fu e la sum a repa rtid a? A) S/. 2665 D) SA 2650

B) SA 2655 C) SA 2556 E) SA 2560

7. A tres trabajad ores se les asign ó un p rem io p a ra qu e se repa rtan p rop or cionalm ente a 7; 10 y 15. P ero p o r equi vocación fu e repartido p rop orcion a l m ente a 15; 10 y 7, de m odo qu e uno q u ed ó b e n e fic ia d o co n 168 s o le s . ¿C uánto recib ió el qu e no fu e b en efi cia d o n i p erju d ica d o con la equ ivo ca ción ? A) SA 420 B) SA 80 * C) SA 210 D) SA 240 E) SA 260


218 Tres com erciantes A, B y C han in ver tido 2 520 soles, 3 240 soles y 4 680 soles respectivam ente, en la com pra de un lote de artícu los. L uego d e ven der el lote han obtenido una utilidad de 696 soles. ¿C uánto le correspon d e a cada uno, si deciden repartirse p ro p orcion a lm en te a sus in version es? D ar com o respu esta la p a rte corres pon d ien te a B.

9. R icota h a decid id o p rem ia r'a 4 de sus em pleados p o r su fid elid a d y las a ten cion es prestadas. H a designado 4 925 soles p a ra los p rem ios. E t co ci n ero recib ió el trip le d e lo que le tocó a l ch ofer, los 315 d e lo qu e recibfió éste equ ivalen a los 2/7 de lo qu e recibió el ca jero. El p rem io d el ca jero y del ja rd in ero están en la rela ción d e 9 a 2 . ¿C uánto recib ió e l co cin ero t

A) 216 soles B) 218 soles C) 207 soles D) 243 soles E) 236 soles

A) S/. 2 255 D) Si. 750

B) SL 2 200 C) Si. 1 575 E) Si. 2 250

4.4 Escalas Al diseñar la arquitectura de una casa es necesario di bujar los detalles en un papel. Este dibujo se llama plano de arquitectura. Lógicamente, el tamaño del dibujo no puede ser del mismo tamaño de la casa. En tonces es necesario fijar qué longitud del plano repre senta una longitud dada de la casa. Más precisamente qué relación debe haber entre la lon gitud representada en el dibujo con la verdadera longi tud, esto es lo que se conoce como escala. Por ejemplo, si el ancho de la casa mide 8 metros, y este ancho se representa en el plano con 8 cm, entonces, la escala del dibujo es: s 8 cm 8m

8 pífí 800 prfi

100

ó 1 :1 0 0 (Se lee: escala 1 en 100)

Lo cual quiere decir que 1 cm del dibujo representa 100 cm en el terreno.

Reto al ingenio 12 El tarro de pinturafue suficiente para pintar dos de los cubitos►¿ Cuántos de estos tarritos serán suficientes parü pintar el cubó grande? Si dibujára mos la cara del cubo grande a la es cala de 1:10, tendría el mismo " tama ño ” que el dibujo de la cara de uno de los cubitos, a la escala de 1:1. A

[Problema 1 ] En un p la n o a esca la de 1 en 1000, se ha dibujado un terren o rectan gu lar. En el p la n o sus dim ensio nes son 12 cm y 15 cm. ¿Cuál es el á rea d el terren o? Resolución Se deduce que si la escala es 1 en 1000 (1:1000), dada una longitud en el plano, la longitud en el terreno se obtiene multiplicando por 1000. Dada una longitud en el campo, para representarla en el plano hay que divi dir entre 1000.

Proporcionalidad

219

Ancho : 12x1000 cm = 12000 cm = 120 m Largo : 15xl000cm = 15000cm = 150m J Area =120 x 150m ( Area - 18000 rñ ?)

[Problema 2 ] D eterm inar la esca la a la cu a l se ha diseñado un parque rectan gu lar de 120 m de ancho p o r 150 m de largo, si en el p la n o está representado p o r 24 cm de ancho p o r 30 cm de largo. R esolución Ancho: 24 cm representa 120 m, o sea 12 000 cm, enton ces la escala es: 24 cm 120000 cm

1 500

Reto al ingenio 13 Es suficiente unpapel tamaño A4 para dibujar el plano de una región aurífera a la escala de 1:1000. ¿Cuántospa peles de tamaño A4 serían necesarios para dibujar la misma región a la es cala de 1:25000?

La escala es 1 en 500. Igual resultado nos da si hacemos el cálculo con la longitud del largó. [Rptcu: 1:500

[ Problema 3 j Se ha diseñado un reservorio de agua a esca la 1 en 50 y se ha elaborad o una m aqueta del reservorio a la misma escala. Si en la m aqueta en tra 1 litro de a g u a . ¿C u á n to s litr o s d e a g u a c a b e n en e l reservorio? R esolución La escala 1 en 50 indica la razón entre longitudes del dibujo y las longitudes reales, mas no de áreas ni de volúmenes. La razón entre las áreas, es igual a la razón entre los cuadrados de las longitudes y la razón entre los volúmenes es igual a la razón de los cubos de las longitudes.

El volumen de la maqueta es 1 litro, o sea 1000 cm3. Si el volumen es 1000 cm3 entonces la arista interior de la maqueta mide fylOOO ~ 10 cm . Dado que la escala es 1 en 50, entonces la arista interior del reservorio mide 50x10 « 500 cm = 5 metros. Si la arista mide 5 m, entonces el volumen del reservorio es 53 = 125 m*

Reto al ingenio 14 La Torre EIFFEL (*) - No cabe duda> es una maravilla comentaba Miguel mientras contem plaba asombrado en París, la Torre Eiffel con sus 300 m de altura. - Mandaré hacer una réplica a escala del mismo material que el original, pero que pese sólo 1 Kg. En lugar de las 8000 toneladas de la auténtica, la llevaré cómodamente en mi equipaje de regreso al Perú. Miguel tendría un inconveniente para llevar la réplica en su equipaje. ¿ Por que * La Torre Eiffel construida en 1889 con motivo

de la Exposición Universal de Parts, mide 321m de altura y pesa 7175 toneladas. Su cons trucción duró más de 2 años.


220

Problemas 1, ¿Cuál es la longitud de una ca rrete ra si en el p la n o a la esca la de 1 en 5000, tien e una longitud de 30 cm. A) 1 km D) 15 km

B) 1,5 km

C) 3 km E) 15 m

2. ¿A qué esca la está dibujado un p la no, si un cuadrado de 100 m de lado en el terren o se represen ta en el p la no con un cuadrado de 100 cm 2 de área? A) 1 : 10 B) 1 : 100 D) 1 : 10000

A) 12,5 kg D) 25 t

B) 125 kg

C) 12,5 t E) 1,25 t

7. En la figu ra adjunta, se p id e ca lcu la r la longitud d e la ru ta de A a D, pasan d o p o r B y C, sabiendo que el dibujo está a la esca la de 1 :2 5 0 0 .

O 1 1000 E) 1 500

3. En un plan o a escala d e l en 100, hay un terreno rectan gu lar de 3 cm p o r 5 cm, ¿Cuál es el área de este terreno? A) 15 m2 D) 1,5 km2

B) 1500 m2 C) 150 m2 E) 15 km2

4. Una esfera de 10 cm d e radio p esa 3 kg. O tra esfera hecha d el m ism o m a terial que la p rim era p ero de 20 cm de radio, ¿cu án to p esa rá ? A) 6 kg D) 48 kg

B) 12 kg

C) 24 kg E) 18 kg

5. Se ha elaborado la m aqueta de un avión a la esca la de 1 en 100, con el mismo m aterial con que será con s truido el avión. Si la m aqueta p esa 0,48 kg, ¿cuánto p esa ría el avión una vez construido? A) 40 kg D) 4 0 1

B) 480 t

C) 8 1 E) 800 t

6. Una m oqueta de un barco hecha a la escala de 1 en 500 y con el mismo ma terial con que será construido el bar co, req u iere 50 gram os de p in tu ra para su superficie. ¿Cuántos kilogra mos de pin tu ra requerirá el barco?

A) 20 m D) 200 cm

B) 200 m

C ) 2 km E) 20 km

8. Un terren o de cu ltivo tien e una área d e 575 m2. Si se dibu ja a una esca la d e 1 en 500, ¿ qu é á rea tendrá en el p la n o? A) 23 cm2 D) 2,3 m2

B) 23 m2

C) 2,3 m2 E) 230 cm2

9. ¿A qu é escala está dibujado un p la n o, si 2 400 m2de terren o está rep resen ta do p o r 6 cm 2? A) 1:200 D) 1:40 000

B) 1:2 000

C) 1:20 000 E) 1:400

10. ¿Q ué a ltu ra tendrá un ed ificio cuya m aqueta tien e 20 cm de altu ra, si una h a bita ción d el ed ificio de 6 m x 5 m di bujada a la m ism a esca la qu e la m a queta, en el p la n o tien e 7,5 cm 2de área A) 20 m D ) 100 cm

B) 40 m

C) 400 m E) 80 m

Proporcionalidad

221

4.5 Regla de Tres La regla de tres es una estrategia que se aplica para resolver problemas de proporcionalidad. Veamos en qué consiste a través de los siguientes pro blemas.

[ Problema 1 j Una p erson a p u ed e cam in ar norm alm ente 9 k iló m etros en 2 horas. En una cam in ata norm al de 7 horas, ¿cuántos kilóm etros p u ed e cam inar?

Reto al ingenio 15 Un pintor se demora 10 minutos en pintar una pared cuadrada de 1 me tro de lado. ¿ Qué tiempo se demorará pintar otra pared cuadrada de 2 me tros de lado ?

R esolución Si tabulamos las horas de caminata y los correspon dientes kilómetros caminados, tendremos el siguiente cuadro.

1

horas

kilóm etro 4,5

2

3

4

9

13,5

18

• • •

•

• ♦

7 X

• • •

• •

Desacuerdo en la compra

•

Se observa que los números 7y x son proporcionales a los números 2 y 9. De modo que: x

7

7.9

9

2

2

—= —=* x = —

Reto al ingenio 16

( x =31,5 )

De esta relación se desprende una regla práctica, l a r e g l a d e t r e s s im p l e d ir e c t a , que se expone en la resolución del problema. Si en 2 horas se camina 9 km en 7 horas se camina x _____________________ (D) Los kilómetros camina dos son directam ente 7x9 x = (x = 31,5 km) ^ p ro p o rcio n a les (D) a las horas de caminata

En el mercado: - ¿ Cuánto cuesta 5 kg de pera ? - pre guntó Ana - Veinte soles - respondió Toño elfru tero ~ Si te llevas 20 kg te dejo a S,/. 50.00 - Quiero llevarme 10 kg. - Como 5 kg cuesta 20 soles, 10 kg son 40 soles - / Un momento! —dijo Ana - Me di jiste que 20 kg son 50 soles, enton ces, 10 kg son 25 soles. ¿Quién de los dos tiene razón?

Problemas Un gru p o de 18 trabajad ores pu eden h a cer una zan ja d e 48 m etros en un día. Si qu isiera qu e la za n ja tu viera 16 m etros m ás, ¿cu á n tos hom bres

m ás ten d ría qu e con tra ta r p a ra que term inen tod o en el m ism o día? A) 3

B) 6

C )5

D) 4

(1) Querido lector, sobre m agnitudes proporcionales te recom iendo revisar un libro de aritmética.

E) 8


222 2. P ara con stru ir un tram o d e 36 km de ca rretera se n ecesita 120 ob reros. iC uántos obreros serán n ecesa rios para ejecutar una carretera de 42 km, en el mismo tiem po? A) 100 D) 130

B) 110

C) 120 E) 140

3. Un g rifo que vierte agu a a razón de 80 litros p o r m inuto, h a llen ad o en m edia hora la octa va p a rte d e la ca pacid ad de un tan que. ¿C uánto ta r dará en llen a r lo que fa lta ? A) 2 h 30 min C) 3 h 30 min E) 4 h 30 min

B) 3 h D )4 h

4. En 45 litros de agu a se ech a 36 g ra mos de sal. Si se extra e 3 litros de esta m ezcla, ¿cu án tos gram os de sa l con tendrá?

A) 2 g D) 2,5 g

B)2,3g

C) 2,4 g E) 2,6 g

5. Se m ide la lon gitu d de la som bra que p royecta un ed ificio y se obtien e 35 m etros. En ese m om ento se m ide la som bra qu e p royecta un hom bre de 1,68 m esta tu ra y se obtien e 1,4 m. ¿C uál es la a ltu ra d el ed ificio? A) 36 m D) 42 m

B) 38 m

C) 34 m E) 45 m

6. V ein ticin co ga llin a s consum en 60 k i los de en gord e en un m es. Si qu iero a lim en ta r 160 ga llin a s durante un m es con el m ismo n ivel de consum o de engorde, ¿cuántos kilos de este a li m ento debo com prar? A) 380 kg D) 386 kg

B) 390 kg

C )3 8 4 k g E) 382 kg

[Problema 2 ] Se ha calculado qu e p a ra con stru ir un ed ificio se n ecesita 80 obreros y 60 días. P ero se cuenta solam ente con 75 obreros. ¿C uántos días se tard ará en con stru ir el ed ifi cio? R esolución • 11 ' Cuanto más obreros intervienen en una obra, se demoran menos días en terminar la obra. El número de obreros que interviene en una obra y el tiempo que demoran en ejecutarla son inversam ente prop orcion a les. Veamos en el cuadro siguiente el comportamiento de los valores de dos magnitudes inversamente proporcionales. Número de obreros

20

40

80

160

Días que demoran

240

120

60

30

« •i

75

•••

X

♦••

Se observa que el producto de cualquier par de valores correspondientes es igual al producto de 60 x 80 = 4800. Luego: x -75 - 60 80 =» x = ^

i

^ =» 75

fx = 64 días 1 K '

De esta relación se desprende otra regla práctica, la r e g l a d e mediante la resolución del problema propuesto.

t r e s s im p l e in v e r s a ,

que se expone J

223

Proporcionalidad Si 80 obreros demoran 60 días 75 obreros demoran x. i (I)

60-80 => x = 70

[x = 64 días)

Problemas

í. V ein te p erso n a s tien en a lim en tos p a ra 18 días. ¿P ara cu án tos días a l can zarían estos alim entos, si fu era n 36 p erson a s? A) 6 días D) 10 días

B) 8 días


2. R ecorriendo a velocidad prom edio de 84 kilóm etros p o r hora, tard o 6 ho ras en cu brir una ruta. Viajando a 56 kilóm etros p o r hora, ¿qué tiem po d e m oraría ( A) 7 h D) 10 h

B )8 h

C) 9 h E) 12 h

3. Si n obreros pu ed en h a cer una obra en d días, ¿cuántos obreros serían ne cesarios p a ra h a cer la m ism a obra en 20% m enos d el tiem po p rev isto ? A) 1,2 d D) 1,4 d

B) 1,25 d

C) 1,3 d E) 1,5 d

4. Un gru p o d e 45 trabajad ores p royec taron h a cer una obra en 36 días, p ero tardaron más días p orq u e 15 d e ellos d ecid ieron no in terven ir en la obra. ¿C uántos días tard aron en term in ar la obra? A) 18 días D) 50 días

B) 36 días


5. D ebí term in ar un tra ba jo en 18 días, p ero tard ó 6 días m ás p o r tra b a ja r 2 horas m enos p o r d ía ¿C uántas ho ras p o r d ía tra b a jé? A) 8 h D)5h

B)7h

C)9h E) 10 h

6, T rabajando 10 h oras d ia ria s se esti m a con stru ir un p u en te en 48 días. Trabajando 8 horas diarias, cuántos días m ás se d em oraría? A) 6 días D) 12 días

B) 8 días


7. En una gra n ja hay 40 p a tos y 54 g a lli nas. E stas aves consum en el mismo tipo de alim ento. P or cad a 3 k ilogra mos qu e consum en los p a tos, las g a llin as consum en 2 kilogram os. Se ha com prado la m ism a can tid ad de a li m entos tanto p a ra los p a tos com o las gallin as y se estim a que alcanza para 25 días d e consum o p a ra los patos. ¿P ara cu á n tos días d e consum o a l ca n za p a r a las ga llin a s ? A) 20 días B) 21 días D) 23,5 días

C) 22,5 días E) 21,5 días

8. Una gu a rn ición d e 374 soldados tie nen víveres p a ra 45 días. Si luego 6 días llega n m ás soldados, p o r lo que se estim a qu e los víveres se agotarán 5 d ías antes. ¿C uántos soldados lle garon ? A) 40

B) 45

0 50

D) 55

E) 60

9. En una obra en la qu e trabajaban 15 obreros faltaba 8 días p a ra culm inar la obra. En ese m om ento se con tra ta ron 5 obreros más. ¿C uántos días an tes de lo qu e fa la ta b a se term inará la ob ra ? A) 2

B) 3

O I

D) 4

E) 5


224

[Problema 3 ] Un grupo de 60 obreros pu ed en ca va r en 24 días una zanja de 36 m largo, 2 m de a n ch o y 1,5 m de profundidad, a razón de 9 horas diarias. ¿Q ué tiem po tardarán 24 obreros doblem ente eficien tes que los an teriores, en ca va r otra zan ja de 48 m largo, 2,5 m de an cho y 2 m de profundidad, a ra zón de 10 horas p o r día? R esolución * * Cuando intervienen varias magnitudes la regla se lla ma, r e g l a d e t r e s c o m p u e s t a . Disponemos todas las magnitudes que intervienen en el problema con sus respectivos valores correspondientes. Identificamos aquella magnitud cuyo valor se pretende hallar. Esta se compara con cada una de las demás, estableciendo si son directa o inversamente proporcionales, indican do debajo de los valores de cada magnitud compara da si son directa (D) o inversamente (I) proporciona les.

R eto al ingenio 17 Enigma arbóreo El ayuntamiento ha contratado a Don y Spencer para que poden las árboles que flanquean una avenida. Hay un número igual de árboles en cada lado de la avenida. Don llega antes y ha podado ya tres árboles del lado dere cho cuando llega Spencer y le hace notar que debería estar podando los de la Izquierda. Asi que Don empieza de nuevo en la lado izquierdo y Spencer continúa en el derecho. Cuan do Spencer termina su lado, cruza la avenida y le poda seis árboles a Don, con lo que terminan el trabajo. ¿Quién poda más y por cuánta dife rencia?

Luego, para el cálculo se procede como si fuera una regla de tres entre la magnitud de comparación con cada una de las demás.

Obrs. días 60 24

24 X

largo ancho 36 48 (D)

(I)

p rof.

h/d

efic.

2

1,5

9

2,5 (D)

2

10

1 2

(D)

(I)

(I)

i

y

—

- V

60 48 2,5 2 x -2 4 y.— x— X x —-— -—x x -----x — -x — x = 24x ----X---X — = 60 X 24 36 2 1,5 10 2 9

1

(R pta,: 60 d ía s)

Problemas L Una cuadrilla de 32 obreros pu ed en h acer una obra en 27 días a razón de 8 horas d iarias. ¿C uántos días tardarán 36 obreros doblem ente efi cientes que los an teriores p a ra efec tuar la misma obra a razón de 6 ho ras diarias?

A) 14 días D) 16 días

B) 13 días


2. Para alim entar 50 chanchos durante 24 días, se necesitan 360 kilogram os de un producto. Si se quiere aum en

Proporcionalidad tar la ración de dicho prod u cto en un cuarto más del consum o habitual, au m entando 14 chanchos y adem ás, que el referido alim ento dure 8 días más, ¿cuántos kilogram os del m encionado producto se debe disponer? A) 460 kg D) 768 kg

B) 750 kg

C) 760 kg E) 748 kg

3. Veinte tejed oras han con feccion a d o 240 chom pas en 36 días, trabajan d o 8 horas p o r día. Se qu iere sa tisfa cer un pedido de 840 chom pas en un p la zo de 30 días, razón p o r la cu a l se ha decidido tra b a ja r 12 horas d ia rias y con tra ta r más tejed oras igu al

m ente eficien tes que las que se tie nen. ¿Cuántas será necesario contra ta r p a ra cu m plir con el p ed id o? A) 50

B) 56

C) 36

D) 18

E) 24

4. Un barco con 240 tripulantes, ha rea lizado una travesía durante 36 días y h a n con su m id o 6 912 cu b os de agua. Se estim a qu e la próxim a tra vesía será de 48 días y que la tripu la ción será de 360 p erson a s. ¿Con cu án tos cubos de agu a se debe p ro veer a l barco p a ra esta travesía? A) 10 368 D) 13 824

B) 12 345

C) 12 485 E) 14 270


226

Problemas Resueltos [Problema

[Problema 5 j

H allar la cu a rta d iferen cia l de 224f 190 y 300

H allar la tercera p rop orcion a l de 16 y 12 R esolución

Resolución

11-11

224 - 190 = 300 - x 34 = 300 - x

(* = 266)*—

Cuarta diferencial de 224> 190 y 300 —

16 - = - => - = /. (x = 9 )< 12x12 x 9 x v * Tercera proporcional de 16y 12

[Problema 2] H allar la tercera d iferen cia l d e 500y 350

[ Problema 6] Las edades actu a les de J a vier y M anuel están en la razón de 3 a 2. J a vier le lleva a M anuel p o r 6 años, ¿ Qué edad tien en f

Resolución 500 - 350 = 350 - x 150 = 350 - *

12 ~ x

=> (s = 200

Tercera diferencial de 500y 350

[Problema 3 j H allar la m edia p rop orcion a l de 25 y 36, Resolución — = — => 25x36 = x 2 => x z = 900 x 36

R esolución Javier : 3v (-) ) l <> 6 OA Manuel:•2-

Javier: 3 x 6 = 18 años j Manuel: 2 x 6 = 12 años

La diferencia de edades es 6, que es 6 veces la diferencia de los números pro porcionales 3 y 2. Entonces las edades son 6 veces los números proporcionales

[Problema 7 ]

x - 30 )
[ProblemaT) H allar la m edia arm ónica d e 24 y 8, Resolución

24'x

x

8

J_ l = l 1 24 * 8 x + x Media armónica de 24 y 8

L as edades de dos herm anos están en la razón d e 5 a 3, H a lla r las edades, si la razón aritm ética en tre ella s es 8, R esolución Si el mayor tuviera 5 años, el menor tendría 3 y la razón aritmética valdría 5 - 3 = 2. Pero la razón aritmética vale 8 , es decir, 4 veces 2, entonces el mayor tiene 4 veces 5 = 20 años y el menor, 4 veces 3 = 12 años.

Proporcionalidad I I

II

E squema

227

■

R esolu ción

d e la r e so lu c ió n

Mayor : 5 Menor : 3 Diferencia : 2 o

Mayor: 5 x 4 = 20 ^ 8

Menor: 3 x 4 = 12 <—d a t o Valor de la razón aritm ética

ÍRpta.: 20 y 121

Escojamos un núm ero p rop orcion a l para representar el monto de mi herencia. Conve nientemente que tenga m itad y quinta par te. ¿Te parece 10? ( También puede ser 20; 50 ó 100, resulta lo mismo) TT r-Dato: 200 mil veces 3 Herencia : 10 Negocio

[ Problema 8 ]

- Yo vendí 3 naranjas p o r ca d a 5 m an zanas- d ijo la prim era. - Yo vendí 3 m anzanas p o r cad a 4 p lá ta n os- com entó la segunda y con tin u ó diciendo - adem ás, llevé tantos p lá ta n os com o tú naranjas. Y en tre am bas lleva mos 145 m anzanas. ¿Cuántos p lá ta n os vendió la segu n d a ? R esolución r im e r a

Naranjas: 3 x 4

Manzanas: 5x4

:5

Bco. Créd.: 2

D os herm anas regresaban d el m ercado, habiendo vendido toda la fru ta que lievarón.

P

Heredé 200 mil ve ces 101o sea:

Banco Wisse: 3 o

egunda

Manzanas: 3 x 3

Plátanos: 4x3 ^

N: 12

M:

9

M: 20

P: 12

P a r a q u e un núm ero com o 4 se ig u a le con otro com o 3, al prim ero m ulti plicam os p or 3 y a l segundo p or 4; a si am bos resultan 12

20 + 9 = 29 <> 145 «—(5 veces 29)

\f 600 mil.

| Problema 10 La edad de M arcelo es el cu ád ru ple de la de N éstor, sin em bargo, dentro de 6 años estarán en la razón de 5 a 2. La edad de M arcelo es: R esolu ción A hora

Néstor:

En 6

años

5

M arcelo: S

¡2 m illon es!

(-))3 1

(-)) 3

2

Puesto que diferencias iguales y transcurr un tien como 1.

Luego: si el tiempo como [ljes 6 años, enton ces la edad de Marcelo, que es como \4¡ , es 4x6 = 24 años. A pta: 24 anos

Vendió 5 x l2 = 60 plátanos

^ Rpta.: 60 plátanos j

Problema 9 H eredé una fortuna de mis abuelos. La m itad lo invertí en un n egocio, la quin ta p a rte deposité en el B anco de C rédito y los 600 m il restantes en el B anco Wisse. ¿No sientes curiosidad p o r saber cu án to me dejaron mis abu elos? (Esto es sólo un su eñ o ... )

Problema 11 Sara tiene el trip le de la edad de M abel, p ero dentro de 12 años sólo será el do ble. ¿En qué año n ació M abel, si Sara n ació en 1961?


228 Resolución A hora

Sara:

[Problema 13] E n 12

3

Mabel: 1

años

Visto que Zas cZiferencias de las edades no ha re sultado iguales com o debería ser; los números de la segunda colum na los m ultiplicam os por 2.

1

u

Por lo tanto: El tiempo transcurrido comofT] es 12 años, entonces la diferencia de edades como [2]es 2 x 12 = 24 años. En consecuencia, Mabel nació en 1961 + 24 = 1985 [jgpta: 1985]

En una reunión se encuentran presen tes tan tos hom bres com o tres veces el núm e ro de m ujeres; en ton ces se retira ron 30 parejas, quedando el núm ero de hom bres 5 v eces e l n u evo n ú m ero de m u jeres. ¿C u á n tos h om bres h a b ía n p rim itiv a m ente? R esolución - Cuando se retiran en parejas, la diferencia entre el número de hombres y mujeres en la reunión no se altera. —Disponiendo los datos, tenemos: TRAS RETIRO IN IC IA L

DE

30 PA R EJA S

Hombres: 6

5

<->} 4

[Problema 12]

Mujeres:

Adrián le d ice a su h ijo H úbert: “nues tras edades actu ales son com o 8 a 3; p ero dentro de 18 años serán com o 5 a 3” H a llar la suma de sus edades a ctu ales.

<->) 4

2

Adrián: 8

GD Habían 180 hombres inicialmente. ( R pta: 180 )

E n 22

5 w )2

t-j)5 Húbert: 3 U*2 MjlO 6' Suma: 22 [El

1x30 6x30 = 180

J

Resolución A ctual

l o 6o

3

U x5 25n

(-VIO 15'

[Problema 14]

años

En vista que la diferencias de edades no son iguales, como debería ser, multiplicamos los números de las 2 columnas por 2 y 5 respec tivamente.

Una p erson a tiene 200 000 soles y otra 75 000 soles. Cada una de ella s ah orra anualm ente 4 000 soles. ¿D entro de cuán tos años, la fortuna de la prim era será el doble de la segu nda? R esolución —La diferencia entre las dos fortunas per manecerá invariable ya que ambos ahorran igual suma: FORT. IN IC IA L

Luego:el tiempo transcurrido como 9 es 18 años (9x2), entonces la suma de edades como 22 es 22x 2 = 44 años. [ Rpta: 4 4 )

FORT. FIN A L

1":200 000 2a*:

) 75 000

D ife r e n c ia :

[7] o 125 000

)

000

Fort, final de Ira.

2 o

m

125

250 000

Proporcionalidad

229

En el tiempo pedido la primera ha ahorrado: 250 000 - 200 000 = 50 000 soles

A: 100

B: 30

t

V

[R pta: 12,5 a ñ o s)

Dos person as ju eg a n a l ajed rez a 7 soles la partida. El uno tiene 130 soles y el otro 110 soles. D espués de un cierto núm ero de partid as, la prim era qu e las ha g a nado todas p osee 5 veces lo de la segun da. ¿ Cuántas p a rtid a s han ju g a d o? R esolución El total de los haberes es 130 + 110 = 240, esta cantidad no varía. AL INICIO AL FINAL Ira: 2da:

130

5

110

1

suma: 240

\

•

75 30

'

3 T x4

V- "

Si B hace C hace

30 20

Si C hace =9 D hace

20 12

Luego: 25

D: 12 t3

Cuando A haga 100 (4x25), enton ces D hará 4x4 = 16 carambolas.

A le dará a D, 100 - 16 = 84 carambolas a 100 [R p ta : 84 }

^Problema 17) En el sigu ien te g rá fico , d eterm in ar la d istan cia A B, ten ien d o en cu en ta la es ca la g rá fica . R esolu ción

L a sum a com o 6 e q u iv a le a 240, (6x40), entonces el haber fin al de la se gunda com o 1 es 40.

Luego: la segunda ha perdido 110 - 40 = 70 soles. Puesto, que en cada partida pierde 7 soles, han jugado entonces 70 -r 7 = 10 parti das. [ R pta: 10 )

l Problema

Si A hace B hace

a —

A: 75

[ Problema 15 ]

®

B: 100 - 60 12J C: 30 - 10 @ D: 50 - 20 TxlO Íxl5 >

como en cada año ahorró 4 000 soles, tardó: 50 000 4 000 = 12,5 años ó 12 años 6 meses.

C: 50

16j

Cuatro m arineros A, B, C y D ju eg a n bi llar en p artid as muy reñidas: A da a B 60 caram bolas a 100; B a C 10 a 30 y C a D, 20 a 50. Cuando ju eg a n A y D un p a rtido de 100 caram bolas. ¿C uántas debe dar el prim ero al últim o? R esolución La expresión “A da a B 60 carambolas a 100” significa, que cuando A hace 100 carambo las B hace 100 - 60 = 40; de modo que sus eficiencias son como 100 a 40 ó 5 a 2.

Según la escala gráfica, 1 cm en el dibujo re presenta 10 km en el terreno. Luego, como la distancia A B mide 5 cm en el dibujo, en el terreno debe medir: 1 cm —» 10 km 5 cm

x = 5 x 10 = 50 km R pta.: 50 km\

** ■ ^ L ^ro^ 'em a I.^.J Un ingeniero pu ede con stru ir 600 m etros d e ca rretera con 40 obreros en 50 días, trabajan d o 8 horas d ia ria s. ¿C uántos días tardaría este ingeniero en construir 800 m etros de carreteril, con 50 obreros doblem ente eficien tes que los anteriores,

230


en un terreno de triple dificultad, traba jando 2 horas más por día?. Resolución Obras #Obreros #D£as Horas/días

Efic. Dific.

600

40

50

8

1

1

800

50

X

10

2

3

(D)

(i)

(I)

(I)

(D)

800 40 8 1 3 CA x = 50x ----- x — x — x —x —= 64 600 50 10 2 1 [Rpta.: 64 días}

Se contrataron 24 obreros para construir un túnel y faltando 15 días para termi narlo, 4 de los obreros sufrieron un acci dente y se retiraron de la obrcu ¿Cuántos días tardaron los obreros restantes en culminar lo que falta de la obra? Resolución Lo que debían hacer 24 obreros en 15 días harán: 20 obreros en ux” días (I) x

# Días

HZD

Obra

40 (40 + x)

10 20

8 10

(I)

(I)

2/9 7/9 (D)

Entonces:

{40 + x) = 40 x — x— x — 20 10 2

x =16 ( Rpta.: 16 )

[ Problema 21 j

[Problema 19]

Entonces:

# Obreros

24x15

to

20

13

[Rpta.: 18 días]

[Problema 20] Cuarenta obreros se comprometieron en tregar una obra en 30 días trabajando 8 horas diarias. Pero en 10 días habían hecho solamente 2/9 de la obra; entonces, con la finalidad de entregar la obra en el plazo estipulado, tuvieron que contra tar más obreros y aumentar en 2 las ho ras de trabajo diario. ¿Cuántos obreros tuvieron que contratar? Resolución

40 d „

,

X obrerot

yr 20* '•

En una sastrería se ha determinado que 4 sastres pueden confeccionar 20 panta lones en 10 días, trabajando 5 horas dia rias. Y 10 sastres pueden confeccionar 24 sacos en 5 días trabajando 6 horas dia rias. La sastrería cuenta con 15 sastres que trabajan 10 horas diarias y se ha comprometido confeccionar 60 ternos; desea averiguar, a los cuántos días pue den entregar el trábelo, si primero con feccionan los pantalones, luego los sa cos. Resolución Cálculo del tiempo que tardarán en confec cionar los 60 pantalones, (considerando que un terno consta de un pantalón y un saco) # Pantalones # Sastres # Días H/D 20 60

4 15

(D)

(I)

10 X

5 10 (I)

in 60 4 5 x = 10 x — x — x — x = 4 días 20 15 10 Cálculo del tiempo que tardarán en confec donar los 60 sacos: # Sacos # Sastres # Días H/D 24 60 (D)

10 15 (I)

5 y

6 10
Proporcionalidad

231

_ 60 10 6 y = 5 x — x— x— 24 15 10

x = 5 días

Tardarán 4 + 5 s 9 días, en confeccionar los 60 temos.

\RptaT9días\

[Problema 22j Un grupo de obreros debía construir un edificio, pero faltando 36 días para ter minarlo 7 de los obreros se accidentaron y no pudieron ser reemplazados hasta dentro de 15 días. ¿Cuántos obreros se tuvieron que contratar al cabo de este tiempo, para que terminen la obra en el tiempo fajado? Resolución

Resolución Los 30 + 10 = 40 litros cuestan 1200 soles, entonces cada litro cuesta 1200 * 40 = 30 soles. Al disminuir en 6 soles costaría cada litro 30 - 6 = 24 soles. El costo total de la mezcla no varía al agre garle agua. Luego:

1 litro

cuesta 1 200

(40 + jc) litros

40 + x =

24

cuesta

1200x1

x = 10

24

CRpiaTIÓT)

Problema 24 j Una familia de 6 miembros tiene víveres para 24 días, pero como recibieron la vi sita de un tío y su esposa, los víveres se terminaron 5 días antes. ¿Cuántos días duró la visita de los esposos? Resolución Lo que debieron consumir 6 personas en 5 días Consumieron

2 personas en ux” días

(I)

6x5 x = -------= 15 harán

ux” obreros en 21 días

\Rpt€u: 15 díasj

(I)

7x36 to , ----- obreros Entonces: x ~ [Rpta.: 12 )

[Problema 231 Un recipiente contiene 30 litros de vino mezclado con 10 litros de agua. La mez cla cuesta 1200. ¿Cuánto de agua se debe adicionar, para que el precio por litro de mezcla disminuya en 6 soles?

Problema 25] Una vendedora debía vender240 naran jas de primera calidad a 3 por St. 2 y 240 de segunda calidad a 5 por Sf. 2. Pero de cidió vender todas sus naranjas a 8 por Sf. 4. ¿Cuánto ganó o perdió? Resolución

I. Vendiendo como debía: a) Por cada 3 de 1ra debió obtener Sf. 2 Pnr las 240 de 1™debió obtener * = Sf. 160


232 b) Por cada 5 de 2da. debió obtener Sf. 2 Por las 240 de 2da debió obtener y = Sf. 96 Por todas debió obtener: 160 + 96 = Sf. 256

II. Al venderlas todas a 8 por Sf. 4: • Por cada 8 naranja obtuvo Sf. 4 • Por las 480 naranjas obtuvo z~Sf. 240 Luego: perdió 256 - 240 = Sf. 16 ( Rpta: Sf. 16]

[ Problema 26] Para una obra de 60 días de duración fueron contratados 50 obreros, los cua les terminarían dicha obra trabajando 6 horas diarias. Luego de trabajar 20 días se decidió terminar la obra 15 días antes, por lo que fue necesario aumentar más obreros y trabajar 2 horas más por día. ¿Cuántos obreros se tuvo que au mentar para terminar la obra en el pla zo pedido?.

i Problema 27 Un grupo de “a” obreros pueden culmi nar en “a ” días, “a99metros de obra tra bajando “a” horas diarias. ¿Cuántas ho ras diarias deben trabajar doble núme ro de obreros doblemente eficientes que los anteriores para acabar el doble de la obra, en doble del tiempo anterior, en un terreno de doble dificultad? Resolución #Obreros #Días Horas/día Obras

60 obreros

Debieron hacer 50 obreros en 40 días tra bajando 6 horas diarias, pero lo hicieron (50 + x) obreros en 25 días trabajando 8 horas diarias. /tfi R Entonces: 50 +x =50x — x------> x - 1 0 25 8

[R pta.: 10

Dific.

a

a

a

a

1

1

2a

2a

X

2a

2

2

(I)

(I)

(D)

(I)

(D)

Entonces: x =

a a 2a 1 2 a x — x — x — x —x — => 2a 2a a 2 1

a — 2

[R p ta .: af2 )

Resolución 60 d ía s (6 k / d ) _____A _____

Efic.

f

Proporcionalidad

233

m

Problemas Provuestos 1. Los ángulos in teriores de un triá n gu lo están en la p rop orción de 3; 7 y 10. El trián gu lo en cu estión es: A ) O b tu sán gu lo C ) R ectá n gu lo E ) Isósceles.

B ) A cu tá n g u lo D ) E qu ilátero

2. Tres núm eros se encuentran en la ra zón 5 : 9 : 13; el segundo núm ero es igual a la m edia d el prim ero y el ter cero. Si se p id e en con tra r a los nú m eros sucede que: A ) Sólo h a y un a solu ción B ) El p roblem a pod ría ten er u n a solu ción C ) S e tien en m u ch a s solu cion es D ) N o se en cu en tra n n ú m eros q u e sa tisfagan las con d icion es del p rob lem a E ) El p roblem a está m al form u la d o

3. En un recip ien te de 30 litros y otro de 74 litros. ¿Cuántos litros deben ser transferidos d el segundo recip ien te al prim ero de m anera que los con te nidos se en cu en tren en la razón de 3 : 5 (SM >75) A ) 6 litros B ) 7 litros C ) 9 litros D ) 12 litros E ) n in gu n a de las an teriores

4. Tenemos dos recip ien tes de cob re de igual form a con las p a red es d e idén tico espesor. La capacid ad d el p r i m ero es 8 veces m ayor que la d el se gundo. ¿C uántas veces es m ás p esa do el p rim ero? A) 4

B) 6

C )8

D ) 12

E ) 16

5. A c tu a lm e n te la p o b la c ió n d e Chimbóte con la de H uancayo está en la relación de 50 a 31. Se ha p royec tado que en el año 2002, en tre am bas ciudades tendrán 648 000 habitan

tes. S uponiendo la m ism a tasa de crecim ien to en am bas ciudades, de term inar la p ob la ción ele H uancayo en el año 2002. A ) 320 000 D ) 400 000

B ) 420 000

C ) 360 000 E ) 248 000

6. Un com ercian te de C añete com enta qu e p o r cada 21 de p isco vende 7 1 de vino y 8 l de cachina. En la últim a sem ana ha vendido 816 l en tre p is co, vino y cachina. ¿Cuántos litros de vino ha vendido en la referid a sem a na? A ) 332 l D )3841

B ) 336 l

C ) 348 l E ) 363 l

7. N iño es 4 años más jo v en qu e Lalo. P ero dentro de 5 años, L alo ten drá 2 veces la edad que tien e N iño ahora. ¿Q ué edad tendrá N iño dentro de 8 años? A ) 15

B ) 16

O 17

D ) 18

E ) 19

8. Juan n ació “X ” años antes que Luis. H ace “n ” años sus edades eran com o 3 es a 2 y dentro de u2n ” años serán com o 5 a 4. ¿C uál es la rela ción a c tual en tre sus edades? 7 A) 7

11 12 B) y C) y

13 14 D) y E) y

9. A ctu a lm en te las ed a d es de A n a y R osa están en la rela ción de 4 es a 3. Cuando R osa tenga la edad de Ana, ésta tendrá la edad que tendrá R osa d en tro de 10 años. ¿C uál es la d ife ren cia de edades d e A na y R osa?

A) 15

B) 12 C) 10

D) 8 E) 5


234 10. Tres fá b rica s A ,B ,y C fu eron in ter venidas p o r la SUNAT, Los im pues tos de A y B eran entre sí com o 7 es a 4, y los d eB y C , com o 5 es a 3, La fábrica C ca n celó el im porte tota l de los im puestos que adeudaba con 300 soles, m ientras qu e A p a g ó de lo suyo 700 soles a cuenta. ¿C uánto le fa lta p a g a r? A) 150 soles B) 180 soles C) 200 soles D) 175 soles E) 215 soles 11. De un gru po de niños y niñas se reti ran 15 niñas quedando dos niños p o r cada niña. D espués se retira n 45 ni ños y quedan en ton ces 5 niñas p o r cada niño. ¿C uál es el núm ero in i cia l de niñas? A) 36 B) 38

C) 40

D) 45

E) 54

12. Una p erson a tien e 6 400 soles y la otra 1 400 soles. Cada una de ella s a h orra m en su a lm en te 3 00 soles. ¿D entro de cuántos meses, la fortuna de la prim era será el doble d e la se gunda? A) 10 D) 13

B) 11

C) 12 E) 13

13. D aniel le d ice a su h ijo A ldo: M u es tras edades actuales son entre si com o 12 a 5, p ero dentro de 24 años serán com o 20 a 13”. H allar la sum a de las edades actu a les A) 32 años D) 38 años

B) 51 años


14. Una naranja de 6 cm de diám etro se ofrece a SI. 0,30, m ientras que otra de la misma ca lid a d y d e 8 cm d e d iá m etro se o frece a SL 0,40. ¿C uál de ellas es más barata, la p rim era o la segunda? A) Ambas son del mismo precio B) La primera C) La segunda

D) No se puede saber E) N.A. 15. Las velocidades d e J ,M y T e s tá n en la relación de 8,10y 6 respectivam en te en mJs. P articipan en una carrera, donde M les da una ven taja de 40 y 24 m a T y J respectivam ente. Si la ca rrera fu e gan ad a p o r M Af” cuando J aventajaba en 14 m a T. ¿En cuánto aven tajó M a J cuando ga n ó? C) 6

A) 14 B) 10

D) 8

E) 12

16. A y B corren una ca rrera de una mi lla. En un p rim er in ten to A da a B una ventaja de p a rtid a de 11 yardas y vence p o r 57 segundos; en un segun do in ten to A da a B una ventaja de p a rtid a de 81 segundos y es vencido p o r 88 yardas. ¿En qu é tiem po reco rrió cada uno una m illa? (1 m illa = 1760 yardas) A) A = 7 ; B = 8 C) A = 6 ; B = 9 E) A = 9 ;B = 7

B ) A = 8 ;B = 7 D )A = 8 ;B = 6

17. A l rep a rtir 774 soles p rop orcion a l m ente a 8; 7 y 3; la p a rte p rop orcio n al a 7 es: A) 70 B) 140 C) 210 D) 280 E) 301 18. Tres n egocian tes se rep a rten una suma proporcionalm ente a los núm e ros 9; 7 y 2. Si quisiéram os que los tres reciban la misma suma, tendría mos que p ed irle a l p rim ero qu e de vuelva 48 soles p a ra d a rle a l segun do y éste, que le en tregu e a l tercero una can tid ad que se p id e calcu lar. A) 64 soles D) 32 soles

B) 72 soles


19. D os p a stores tienen 4 y 3 p a n es cada uno. En el cam ino se encuentran con un cazad or con el que com parten sus p a n es en p a rtes iguales y el ecu a d or

Proporcio nulidad

235

p o r su p a rte les da 7 soles p a ra que los dos p a stores se repa rta n en fo r ma ju sta ¿Cuántos soles le correspon de a cad a p a sto r? A) 4 y 3 D) 3 y 4

B) 6 y 1

C )5 y 2 E) 7 y O

20 Tres em presarios, tras haberse re partid o las utilidades de un n egocio p rop orcion a lm en te a sus ca p ita les invertidos que son com o 15; 21 y 24 resp ectiva m en te d ecid ieron qu e el rep a rto fu era en p a rtes iguales, p o r lo que el tercero tuvo qu e d ar al se gundo 240 000 y el segundo en trega al prim ero una ca n tid a d qu e se p id e calcular. A) 250 000 D) 360 000

B) 300 000

C) 350 000 E) 320 000

21. Un hom bre d ecid e rep a rtir una h e renciaj en form a p rop orcion a l a l or den en que n acieron sus hijos. La he ren cia tota l es Sf. 480 000; a d icio nalm ente deja Sf. 160 000p a ra el ma yor, de tal m odo qu e a l p rim ero y úl tim o h ijo recib a n ig u a l h eren cia . ¿Cuál es el m ayor núm ero de hijos que tien e este p erso n a je? (UNI ’81) A) 3

B) 4

C )5

D) 6

E) 7

22. En un coleg io se han rep a rtid o 3243 p a n es en tre tod os los niños. Cada niña recib ió 2 p a n es y ca d a niño, 3 panes. Se sabe qu e la p ob la ción es tudiantil del citad o colegio consta de 5 varones p o r ca d a 4 m ujeres, ¿Cuál es dicha p ob la ción ? A) 1269 D ) 269

B) 1348

C) 1296 E ) 3140

23. Se reparte una cantidad en tre 3 p er sonas, en p a rtes p rop orcion a les a 14, 22 y 24. La tercera p erson a le p a g a a la segunda los 2800 soles que le de bía y ésta a su vez ca n cela su deuda

con la prim era. C alcular a cu án to ascen d ía dicha deuda, si todos han quedado con p a rtes iguales. A) 8400 D) 6800

B) 4200

C) 5900 E) 7200

24. Se ha repartid o una g ra tifica ción de 720 soles en tre tres obreros, A, B y C en p a rtes proporcion ales a sus jo r nales. El jo r n a l de B e s 22,5 soles y el d e C d e 13,5 soles. A este últim o le ha corresp on d id o una p a rte ig u a l a l jo r n a l de A. C alcular lo que ha co rresp on d id o a ca d a o b rero y d a r com o respuesta el jo rn a l de A. A) 160 D) 200

B) 170

C) 180 E) 210

25. E l p r e c io de los diam antes varía p roporcion alm en te al cuadrado de su peso. Si un diám ante qu e se com p ró en Sf. 36 000 se rom pe en dos p e dazos de los cu ales uno es los 213 del otro. La p érd id a sufrida al rom per se el diam ante es: A) O D) 18720

B) 1000

C) 6000 E) 17280

26. En un p la n o a esca la de 1:100 se m ide una distancia y se obtien e 8 cm. E ntonces la d istancia es de: A) 800 m D) 80 cm

B) 80 m

C) 8 m E) 8000 m

27. Un terren o cuadrado de una h ectá rea se ha representado en un p la n o m ediante un cuadrado de 2 cm de lado. ¿C uál es la esca la ? (1 ha = 10 000 m2) A) 1:1000 D) 1:5000

B) 1:2000 E) 1: 10000

C) 1:400

28. En un m apa cada m edia p u lga d a represen ta 10 km. ¿Cuántos kilóm e tros cuadrados están representados


236 en 10pulgadas cuadradas ? (SM *77) A) 40 D) 1000

B) 400

C) 1100 E) 4000

29. Un g rifó que vierte agua a razón de 60 Vmin ha llenado en 35 m inutos la octava p a rte de la capacid ad de un tanque. ¿Cuánto tardará en llenar lo que fa lta ? A) 80 min C) 3 h 50 min D) 4 h 5 min

B) 5 h 40 min E )3,30 h

30. A l com prar 38 cam isas p a gu é con 3000 soles, p ero esta sum a no cubría el costo, p o r lo que tuve qu e devolver una cam isa y el vendedor me devol vió tanto com o me fa lta ba p a ra cu brir el valor de las 38 cam isas. H a lla r el p recio de cad a cam isa. A) Sf. 40 D) S/. 90

B) SA 60 E) Sf. 72

C ) S / . 80

31. Un p ea tón p a rte de A a l en cu en tro de otro, que sale sim ultáneam ente de B distante 80 km de A. Se cruzan en M. D espués de cruzarse, el prim ero tard a4 horas en llegar a B y e l segun do tarda 9 horas en llega r a A. ¿A qué distancia de A s e p rod u jo el en cu en tro? A) 24 km D) 40 km

B) 32 km

C) 48 km E) 36 km

32. Una tripu lación de 70 m arinos tie ne víveres p a ra un viaje de 50 días. Si d u ra n te el via je resca ta ro n 50 náufragos sin víveres y p a ra que al cancen los víveres p a ra todo el vicye dism inuyeron la ra ción d ia ria en 1/3. ¿A los cuántos días de viaje res cataron a los náufragos, si aún así faltaron víveres p a ra 5 días? A) 6 días D) 12 días

B) 8 días


33. Se han u tilizad o 30 p erson a s p a ra llen a r de agua un reservorio, u tili zando 36 baldes de 5 litros d e ca p a ci d a d ca d a uno, d u ra n te 3 h ora s. ¿C u ántas p erson a s se n ecesita rá n p a ra llen a r un reservorio de doble ca p a cid a d qu e el an terior, u tilizan do 30 baldes de 6 litros de capacid ad d u ran te 5 horas? A) 25 D) 30

B)

24

C) 20 E) 36

34. Com pré cierta can tid ad d e cu ch a ras a S/. 25 la docena y adem ás de los q u e com p ré recib í 5 cu ch a ra s p o r ca d a 3 docenas. Si h ubiera pa gad o p o r todas las cu ch aras qu e m e en tre garon, habría gastado SI. 1025¿Cuán to p a gu é? A) S/. 750 D) SA 900

B)S/. 850

C) SA 840 E) SA 1000

35. Si una cu adrilla de 20 hom bres p u e den h a cer un trabajo en 15 días y otra form ada p o r 10 hom bres, el m ism o trabajo en 30 días. ¿Cuántos hom bres más se n ecesitarán p a ra rea liza r el tra ba jo en las 3/5 p a rtes d el tiem po em pleado p o r los 30 hom bres? A) 30 B) 15

C) 10

D) 20

E) 25

36. Un hom bre gan a “d” soles p o r sem a na y g a sta “s**soles a la sem ana. ¿En cu án tas sem anas tendrá “q 9*soles? A) d - s D) d - s/q

B) d - q

C ) q /d - s E) d - q/s

37. Un boxead or asesta 3 golp es p o r se gundo. ¿C uántos g olp es d a rá en 1 m inuto, golpean d o a l m ism o ritm o? A) 180 B) 179 C) 181 D) 120 E) 121 38. Se contrataron 36 obreros p a ra cons tru ir un p u en te. F altan d o 15 d ías p a ra term in ar la obra, 6 de los obre

Proporcionalidad

237

ros se accid en taron , retirá n d ose de inm ediato d e la obra. ¿C uánto de m orarán los obreros restantes en aca ba r la obra fa lta n te? A) 12 días D) 18 días

B) 16 días


39. Si com pro m m anzanas m ás de las que p ien so com prar, g a sta ré “a ” so les; en cam bio, si com pro m m anza nas m enos d e las qu e q u iero com p ra r, g a sta r é “b ” so les. ¿C u án tas m anzanas p ien so com prar? A)

m{a + 6) ab

B)

(a + 6 ) a -b

mab D) a -b

mab C) a +b a +b E) m

40. D os niños com en 2 n aran jas en 2 días. ¿C uántos días tard ará n 5 n i ños en com er 5 naranjas? A) 2

B) 2,5 C )4

D) 5

B) 21 C) 24

D) 27

E) 10

42. Se con tra tó a 35 hom bres p a ra que realicen una obra en 27 días. A l cabo de 6 días d e trabajo se les solicitó que term inen la obra 6 días an tes de lo convenido. ¿C uántos ob reros a d icio nales se tuvo qu e con tra ta r? A) 35

B) 14 C) 39

D) 48

C) 36

D ) 24

E) 72

44. Una b olich era a la d eriva disponía d e agu a p a ra 13 días, lo que p rop or cion aba un litro p o r día a cada hom bre d e la tripu lación . D espués de 5 días se vertió un p o co de agua y a l m ism o tiem po m urió un tripu lan te. E l agu a duró en ton ces ju sta m en te el tiem po qu e se esperaba. ¿Q ué ca n ti dad se vertió? A) 41 D) 651

B ) 81 C) 121 E) No se puede determisnar

45. A través de un g rifo se ha llenado un tanqu e cú b ico de 2 m etros de a rista interior. Si el tanque tuviera 1 m etro m ás de aristct, dicho g rifo se dem ora ría 1 h 3 5 min m ás en llenarlo. ¿Cuál es el ca u d a l d el g rifo en litros p o r m inuto? A) 200 D) 100

B) 400

C) 800 E) NA.

E) 10

41. C ierta can tid ad de anim ales com en p a sto en 30 días, se a greg a cu a tro anim ales y com en la m ism a cantidad de p a sto en 20 días. ¿En qu é tiem po sum ándose dos anim ales a la ca n ti dad inicial com en la misma cantidad de p a sto? A) 18

A) 28 B) 20

E) 13

43. En 12 días, 8 obreros han h ech o 213 de la o b r a Si se retira n 6 obreros, ¿cuántos días dem orarán los restan tes en term in ar la obra?

46. En una fábrica se ha establecido que el sueldo d e un obrero sea p rop orcio n al a l cu adrad o d e su edad. Si un obrero qu e actualm ente tiene 20 años ha p royecta d o g a n a r Sf. 1200 dentro d e 5 años. ¿ C uánto ga n a actualm en te? A) 320 D) 720

B) 480

C) 560 E) 768

47. Un gru p o de obreros había h ech o en 20 días la m itad d e una obra. En ese m omento se aum entan 12 obreros más y se term ina la obra 5 días antes de lo p revisto. E l g ru p o de obreros estaba con stitu id o p o n a

A) 20 obreros C) 30 obreros E) 48 obreros

B) 24 obreros D) 36 obreros

48. E l m icrobús de la lín ea 12 recorre en 1 h ora toda la Av. B rasil, m ientras

238 que é l dé la lín ea 11 lo h a ce en 35 m i nutos. Si el m icrobús m ás len to p a rte 15 m inutos antes, e l otro a lca n za rá e n ... m inutos. A) 21 B) 22

C) 20

D) 19

E) 19

49. Un la bora torio de p rod u ctos quím i cos tien e una m áquina qu e em baza 78 pom os en 24 m inutos. D esea com p ra r una máquina, de tal num era que funcionando am bas em bacen 264p o mos en 36 m inutos. ¿C u án tospom os p o r hora debe em bazar la nueva m á quina que desea com prar ? A) 180 D) 240

B) 190

C) 220 E) 245

50. P a tricia h izo un p ed id o J e 30p a res de m edias negras y 20 p a res d e m e dias blancas. Tres p a res d e m edias blancas cu estan ta n to com o.2 p a res de negras. P ero en lu ga r d e blan cas le habían d espach ad o n egra s y en lu ga r de ésta s blan cas; con lo qu e P atricia quedó perjudicada en SI. 600 ¿C uál es el p recio de uh p a r de m e dias blancas? A) S/. 140 D) Sf. 150

B) S/. 130 . C ) S/. 120 E ) S/. 160

51. A un tan qu e qu e con tien e 480 litros de agua, en tró agu a salad a qu e con tiene 5 g d e sa l p o r litro ¿ una veloci dad de 8 l/min, d h ran te 40 m inutos. ¿Cuántos litros de esta m ezcla se debe extra er p a ra ob ten er 540 g d é Qal? A) 200 D) 270


$

B) 250

-f fe) 260 E) 280

52 F altando 63 días p a ra term in a r la con stru cción de un ed ificio, los obre ros que venían trabajan d o 6 horas diarias, entraron en huelga durante algunos días. A l in corp ora rse des p u és de la huelga, tuvieron qu e tra bajar 3 horas más p o r día, p a ra recu

p e r a r los días d e tra b a jo p erd id os d u ra n te la h u elga. ¿C u án tos d ías duró la h u elga? A) 14 días D) 21 días

B) 15 días


53. Un gru p o d e estu d ian tes tien e víve res p a ra un via je de 48 días. Si se re tiran el 25% de los estudiantes; ¿para cu án tos días m ás a lca n za rá n los ví veres1 A) 120 B) 24 C) 16 D) 15 E) 64 54. H ace 2 m eses com praba n a ra n ja y m edia con un sol, a h ora com pró una naranja con sol y medio. ¿E nqué fra c ción aum entó el p recio de una naranja ? 4 A )?

B )-

5

O -

3

4 D )j

5 E )?

55. Juan y P ep e p in ta ron un ed ificio cad a uno en 20 días. P ero si Juan hubiera p in ta d o el ed ificio qu e p in tó P ep e se h abría dem orado 25 días. ¿C uántos d ías ta rd a ría P ep e en p in ta r el ed ificio p in ta d o p o r Juan? A) 15 días B) 16 días C) 18 días D) 20 días E) 25 días 56. En el c e tc o de don J acin to, 35 toros term inan todo el p a sto en 18 días. A hora qu e ha p u esto 21 toros en el mismo cerco, ¿cuántos días tardarán en com er todo el p a sto? (N o se con sid era el crecim ien to d el p a sto) A) 10 B) 10.8 C) 20 D) 25 E) 30 57. Si voy a “a ” km/h lleg o a mi ca sa a la s 8 p . m e n c a m b io s i v o y a “b ” km/h, lleg o a las 6 p.m . ¿A qu é ve locid ad debo ir p a ra lleg a r a las 7 p.nu? a +6 A) —

ab B) —

C) a6

Proporcionalidad 2 ab .. D) a +b

239 E)

ab

58. Una rueda d e 3 d ien tes está en con tacto con una de 9 dientes. ¿C uántas vueltas sobre su e je d ará la rueda más p eq u eñ a p a ra d a r una vuelta en tera a lred ed or d e la rueda m ayor que se m antiene fija ? A) 2

B) 3

C )4

D) 5

E) 6

59. Un ed ificio de 60 m etros de a ltu ra p royecta una som bra d e 100 m etros; en el m ism o m om ento un hom bre de 1.80 m p royecta una som bra de: B) 3 metros D) 35 metros

A) 2 metros C) 4 metros E) N.A,

60. Un obrero se com prom etió en losa r en 4 días, una p a red cu ad rad a de 4 m etros de lado; p ero tardó 5 días más p orq u e la p a red ten ía n “x ” m etros más de lado. H allar “x ”. A) 1 metro C) 3 metros E) 5 metros

B) 2 metros D) 4 metros

61. Un gra n jero tien e 120 g a llin a s con alim entos p a ra 60 días. D espués de 20 días su fre un robo de 40 ga llin a s; p a ra su stitu irla s m as bien d ecid e com prar 32patos. ¿A los cuántos días después de la p érd id a debe com prar los p a tos p a ra qu e los alim entos du ren el tiem po p rev isto sabiendo que ¿os patos consum en el m ism o alim en to p ero doble de una g a llin a ? A) 20 B) 24

C) 36

D) 15 E) N.A.

62. Un cam pesino siem bra un terren o cuadrado de 16 m etros de lado en 16 horas. ¿Q ué tiem po em pleará en sem brar otro terren o cu adrad o de 4 m e tros más de lad o qu e el an terior?

A) 20 días D) 18 días

B) 25 días


63. ¿C uál es la longitud de una p ieza de p a ñ o qu e ha costad o SI. 877,5 sabien do que a l vender 25 m en SI. 437,50, se ha gan ad o SI. 2,5p o r m etro?. A) 50.00 metros C) 55.80 metros E) 57.60 metros

B) 48.20 metros D) 58.50 metros

64. Cada vez qu e L ucho ga n a SI. 21,5 su p a d re le da cierta sum a; ¿cuál es esta sum a sabiendo que cuando lo abona do p o r el p a d re es d e SI. 161,5, L ucho tien e SI. 570 A) SI. 8,0 B) SI. 8,5 D) SI. 12,5

C) SI. 10,20 E) N.A.

65. D os obreros p u ed en rea liza r un tra bajo en 15 días, si uno de ellos se de m ora 16 días m ás que el otro, traba ja n d o solo, ¿en qu é tiem po h a ría la obra trabajan d o solo el otro? A) 40 días D) 18 días

B) 36 días E) 16 días

C) 24 días

66. Una azucarera esférica llena de azú ca r p esa 600 gram os. Si el con ten id o de a zú ca r p esa 500 g más que la azu ca rera ; ¿cu á n tosp esa ría la azu care ra llen a de azúcar, si tuviera el doble de radio? A) 4,4 kg D) 1.2 kg

B) 4,45 kg

C) 4,6 kg E) N.A.

67. Se tien e 2 barriles de vino de ca lid a des diferentes, uno con 40 litros y otro con tcn ” litros. Si se extra e 24 litros de cada uno de los barriles y se hecha lo qu e se extra jo de uno de ellos en el otro y viceversa, se observa qu e am bos ba rriles han quedado con vinos de la m ism a calidad. H a lla r “h ”. A) 50 B) 62

C) 72

D) 54

E) 60


240 68. En una gu a rn ición com puesta p o r dos com pañías A yB , hay víveres p a ra 30 días. D oce días después, la com p a ñ ía B sa le d e la gu a rn ición y re sulta qu e las p rovision es resta n tes alcan zan p a ra e l ra n ch o d e la com p a ñ ía A, p o r 27 días. ¿P ara cu án tos días habrían alcan zad o los víveres solam ente p a ra la com pañ ía B f A) 45 B) 60

C) 90

D) 75

E) 70

69. Un grupo de 21 obreros trabajando 8 horas diarias pu ed en ten d er en 8 se• manas una carretera de 40 km de lon gitud. ¿C uántos obreros trabajan d o 6 horas p o r d ía p od rá n ten d er una ca rretera de 75 km en 5 sem anas, sa biendo que los prim eros trabajan con una eficien cia de 314 en rela ción a la de los segundos. A) 10 B) 12

C) 18

D) 63

E) 45

70. Una obra p u ed e ser h ech a p o r 36 obreros en 27 días, trabajan d o 6 ho ras diarias. A l ca b o d e 8 días de tra bajo se accid en tan 9 obreros, con ti nuando la obra e l resto. P asad o 4 días, com o se tien e qu e en treg a r la obra term inada 3 días a n tes de lo pactad o, se com ien za a tra b a ja r 8 horas d iarias y se con tra ta n nuevos obreros. ¿C uántos obreros se con tra ta n ? A) 7

B) 18

0 8

D) 3

E) 10

71. Un terren o recta n gu la r d e 280 m e tros p o r 200 m etros de exten sión debe ser cerca d o en su tota lid a d con un m uro de 2 m etros de a ltu r a Juan se en cargó d e la con stru cción d el m uro y J orge d el tarrajeo. Cuando J orge em pezó a trabajar, Juan ya había la borado 72 días, lo cu a l ca lcu ló Jorge que lo p od ía ta rra jea r en 45 días; sin em bargo, com o Juan continuaba tra bajando, am bos term inaron la obra

sim ultáneam ente. ¿C uántos m etros de m uro le fa lta b a a Juan, cuando J orge em pezó a tra b a ja r? A) 360 metros C) 540 metros E) 720 metros

B) 400 metros D) 600 metros

72. Un cria d or tien e un cierto núm ero d e vacas a las cu a les alim en ta ca d a día y a ca d a vaca con 10 k g d e h eno cu yo p r e c io es d e 26,50p o r cad a 100 kg, habiendo subido este su p recio a SA 45,00 p o r ca d a 100 kg, d ecid e re d u cir la ra ción d ia ria a 8 k g y vende adem ás 5 vacas, p e ro a p esa r d e ello g a sta ca d a d ía SA 1,00 m ás qu e an tes. ¿Cuántas vacas tenía inicialm en te el cria d or ? A) 14 B) 16

C) 18

D) 20

E) 22

73. P ara h a cer una obra que dem oraría 8 días, trabajan d o 6 h oras diarias, se con tra ta ron ciertos albañiles. A l cabo de 2 días com enzada la obra, se retira n 10 albañ iles ad icion án d oles 3 horas m ás de tra ba jo d ia rio a l res to d e los albañiles; de esta m anera la obra queda retrasad a en 6 días. H a lla r el núm ero de a lba ñ iles qu e ha bían a l p rin cip io. A) 30 B) 15

C) 5

D) 20

E) 18

74. Un ejército de 2424 soldados tien en víveres p a ra un mes. En una batalla m urieron cierto núm ero d e soldados, de m odo los víveres duran p a ra 4 m e ses, dando a ca d a soldado m edia ra ción. ¿En cu á n to dism inuyeron los sold a d os? A) 1200 D ) 1300

B) 1515

O 1212 E) 1000

75. En 24 días, 15 obreros han h ech o 1/4 d e la obra q u e les fu e encom endada. ¿C uántos días em plearán o tra cu a d rilla d e 30 obreros doblem ente h á

Proporcionalidad ' ■ 11

241

biles en term in ar la obra? A) 10 B) 15

C) 18

D) 20

E) 13

76. Se con tra ta ron 5 artesan os que ha cen 12 chom pas en 10 días. Se p r e tende tejer 60 chom pas en 25 días. ¿Cuántos a rtesa n os doblem ente rá pid os se deben con tra ta r adem ás de los ya contratados?. A) 4

B) 5

C )7

D) %

E) 10

77. Un caballo am arrado con una cu er da de 12 m etros de larô em plea 48 días p a ra com er la h ierba qu e está a sti alcance. Si la cu erd a tu viera 15 m etros d e lo n g itu d , ¿d u ra n te cuántos días m ás p od ría com er? A) 10

B) 27 C) 30

D) 40

fe) 32

78. Se tienen 2 b a rriles de vino de d ife rentes p recio s, el p rim ero con tien e 100 litros y el segundo 400 litros. De am bos ba rriles sa co la m ism a ca n tidad de vino. Lo qu e sa co del p r i m ero hecho a l segundo y lo qu e saco del segundo lo h ech o a l prim ero,t re sultando en am bos vinos de la m is ma calidad. ¿D ígase cu án tos litros de vino se h a p a sa d o de uno a otro? A) 40

B) 60 C) 80

D) 100 E) 120

79. Una gu arn ición de 400 soldados si tiados en un fu er te tien en víveres para 180 días, consum iendo 900g ra mos p o r hom bre y p o r d ía R ecibe un refuerzo de 100 soldados p ero no re cibirá víveres antes de 240 días, ¿cuál deberá ser la ración de un hom bre p o r día para que los víveres alcan cen ? A) 500 g D) 530 g

B) 510 g

C) 520 g E) 540 g

80. Un gru po d e 4 a lba ñ iles han tra bajado en una obray 6 días y 10 ho ras diarias; otro gru p o de 3 albañ i

les ha trabajado en la misma obra 11 horas diarias. ¿Cuántos días em plea ron sabiendo que el prim er grupo p er cibió SI. 1 920 y el jo rn a l total fu e de St. 3 240? A) 5 B) 6 0 7 D) 8 E) 9 81. A l ca bo de 25 días de h a ber em pe zado una obra, 80 obreros trabajan do 6 horas diarias se dan cu en ta que lo qu e fa lta p a ra term in ar la obra es los 2/3 de lo que ya está h ech o y qu e no se p od ría term in ar en el p la zo fija d o. ¿C uántos ob reros h abrá que con tra ta r p a ra que en los 10 días qu e faltan, aum entando 2 horas dia rias de trabajo, se term ine la obra a tiem po? A) 12 B) 14

C) 18

D) 20

E) 16

82. Se sabe que 15 albañ iles pu eden ter m inar una casa en 26 días trabcxjando 8 horas diarias. L uego de 10 días se despiden a 5 albañ iles; pasad os 6 d ía s se con tra ta n n u evos obreros. ¿C uántos serán estos si se desea ter m inar la obra en el tiem po fijado. A) 8

*B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

83. Se d esea llen a r un recip ien te de 82 litros con m asas igu ales de 2 líqu i dos de densidades 0,75 glcc y 0,48 gl cc, ¿cu án tos litros d el prim ero se de ben tom ar? A) 41 B) 12

O 32

D) 25

E) 24

84. Seis obreros se com prom etieron a h a cer una obra en 6 días trabajan do 6 horas diarias. Si después de 2 días de trabajo se retira n 2 obreros, ¿en qué p orcen ta je debe aum entar la eficien cia de cad a uno de los obre ros restantes p a ra que puedan en tre g a r la obra en el p la zo fijad o? A)*40%

B) 50%

CX 20 % m i


242 D) 60%

E) 25%

85. Un gan ad ero tien e 420 ovejas que p u ed e a lim en tar p o r 80 d ías. D es pués de “x ” días vende 70 ovejas y los alim entos duran 12 días m ás de lo previsto. H allar ax* A) 18 B) 28 D) Absurdo

C) 20 E) 22

86. P ara efectu a r un cierto tra ba jo un equipo de “q** obreros em plean iCn n días, m ientras qu e otro g ru p o de “p n obreros em plean “m ” días. ¿C uántos días em plearán p a ra efectu a r el m is mo trabajo un equ ipo m ixto form a do p o r “a ” obreros del p rim er equipo y “fe* obreros d el segu n d o? apm + 6pn A) 9 pmn o

a b — +— qn pm

qpmn B) pam +qbn n (a + b ) D) m PQ

m PQ E) n v a +6

A) 12 B) 18

B) 120

C) 280 E) 115

88. P ara ejecu ta r una obra se cuenta con 2 cuadrillas, la p rim era tien e 45 hom bres y p u ed e co n clu ir la obra en 40 días; la segunda cu en ta con 50 hom bres y p u ed e term in a rla en 32

C) 21

D) 24

E) 27

89. Si 4 hom bres y 5 m ujeres h acen un tra ba jo en 54 días, ¿en cu án tos días rea liza rá n el m ismo trabajo 5 hom bres y 6 m ujeres sabiendo qu e el tra bajo redlizado p o r una m ujer son los 3/5 del trabajo hecho p o r un hom bre? A) 40 B) 42

C )4 4

D) 46

E) 48

90. S iete ob rero cuya fu erza y Sctividad está represen tad a p o r 9, h acen en 20 días de 11 horas cad a uno, una obra cu ya d ificu lta d es com o 7. ¿Cuántos días de 10 horas d e traba j o p o r d ía d em ora rá n 12 o b rero s cuya fu erza y activid ad es com o 11, p a ra h a cer un trabajo igu al a los 5/ 4 d el prim ero, si la d ificu ltad de este trabajo es com o 8 ? A) 10 B) 12

87. En la costa 200 obreros pueden ha cer 150 km de ca rretera en 40 días, trabajando 9 horas diarias, en una zona cuya dificultad se p u ed e repre sentar p or 1. ¿Cuántos días dem ora rán 200obreros con una eficien cia un 50% m ayor que las an teriores en ha cer 350 km de ca rretera en la selva, cuya dificultad se p u ed e represen tar p or 3, trabajando 6 horas d ia ria s?. A) 200 D) 235

días. Si solam ente se em plean los 2/ 3 de la prim era cu a d rilla y los 4/5 de la segunda cu adrilla. ¿En cu án tos días term inarán?

C) 15

D) 18

E) 16

91. Un con tratista se com prom ete h a cer una obra de 90 m etros en 18 días. A l cabo del onceavo día le com unican que en realidad la obra es de 120 m y que debe a ca ba r 3 días antes de lo establecido. P ara p od er satisfacer las preten sion es del cliente, con trata 27 obreros más, de la misma capacidad que los anteriores, con los cuides cum p le el com prom iso. ¿Cuántos hom bres tenía inicialm ente? A) 12 B) 13

O 14

D) 15

E) 16

92. Un gru po de segadores debía segar 2 prados. Uno tenía triple su perficie que el otro. H asta el m edio d ía tra b a ja ron la m itad d el p erso n a l en cada prado. En la tarde sólo 3 se que daron terminando el prado más peque-

Proporcionalidad

243

ño, m ientras que tod o el resto traba j ó en el gran d e; logran d o sega r has ta la m ita d ¿C uántos in tegraban el gru p o? A) 20 B) 10

C) 30

D) 24

E) 31

de 6 días d e tra ba jo se les ju n ta cier to núm ero de obreros de otro grupo, de m odo que en 15 días term inan lo qu e fa lta de la obra. ¿C uántos obre ros eran d el segundo gru po? A) 12 B) 13

93. Se construye una obra con 4 m áqui nas que trabajan 10 h oras d iarias, debiendo cu lm in a r en 30 días. A l fi n a l del sexto d ía una se m alogra, durando x d ías su com postura, h a lla r el valor de x p a r a que se culm ine a tiem po, si desde el séptim o día las otras tres m áquinas trabajan 12 h o ras diarias y una vez reparada, la últim a sólo p u ed e tra b a ja r 8 horas diarias. A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

94. Una balanza m al construida y que a p esa r de ten er los brazos a lgo d es iguales, está en eq u ilib rio cuando se halla descargada; si se p esa un cu er po en el p la tillo derecho, resulta 136.9 gram os; el m ism o cu erp o en el p la ti llo izquierdo acu sa un p eso de 129.6 gram os. ¿C uál es el p eso verd a d ero? A) 130,30 gramos C) 133,20 gramos D) 135,7 gramos

B) 131,40 gramos E) 132,50 gramos

95. Un gru p o de obreros tienen p ro y ec tado term in ar una obra en un cierto núm ero d e días, fa lta n d o 20 d ías p a ra term in ar la obra, 6 de los ob re ros se ctccidentan y no p u ed en ser re em plazados h asta después de 8 días. ¿Cuántos obreros se deben con tra ta r p a ra que reem placen a los a ccid en tados de m odo qu e se term ine la obra en el p la zo fija d o ? A) 8

B) 9

C) 10

D) 12

E) 14

96. Una cu ad rilla d e 35 obreros p u ed en term inar una obra en 2 7 días. A l cabo

C) 14

D) 15

E) 16

97. D os terrenos, donde uno tien e 9 h ec táreas m ás qu e el otro, se debe a ra r con 11 yuntas en 13 días, d el siguien te m odo; los 5 prim eros días 4 yuntas en e l terren o gra n d e y 7 en el p eq u e ño, a p a r tir d el sexto d ía 3 de las 7 yu n tas p a sa rá n a l otro terren o de m odo qu e se term ine la ob ra en el tiem po fija d o . ¿C uántas h ectá rea s tien e el terren o m enor? A) 67 hectáreas C) 68 hectáreas E) 70 hectáreas

B) 76 hectáreas D) 86 hectáreas

98. C uarenta obreros, trabajando 10 ho ras diarias, pu ed en term in ar en 30 días una obra cuya dificultad es com o 3. ¿Cuántos obreros cuyas eficien cias son 517 de los an teriores se req u iere p a ra qu e term inen en 28 días, un tra bajo sim ilar, p ero de d ificu ltad com o 4, trabajan d o 8 horas diarias? A) 18 B) 100 C) 80

D) 90

E) 120

99. A lberto p u ed e h a cer un tra ba jo en 50 días y C oco en 40 días. E m piezan ju n tos el trabajo, luego, a l cabo de 10 días A lb erto red u ce su rendim iento en un 25%. A p a rtir de este m om ento, ¿cu án tos días dem orarán en term i n ar el resto d el trabajo? A) 13 - días 4 C) 16 días D) 25 días

B) 12 - días 8 c5 E) 5 — días o


244

CLAVES CE R E S P U E S T A S PÁGINA 1 207 A

2 B

2

PÁGINA 1 208 E

A

1

2

PÁGINA D 214 - 215 9

B

3 E 3 D 3 A

4 A 4


6

5 E

B

1

2

6

C

C

B

5 B

D

4

5

6

A

B

8

C

7 D

B

6

7

8

C

C

A

10 11 12 13

B

B

D

A

A

1

2

PÁGINA E 217-218 9

B

3 A

4 C

5 A

P 1

2

00

<4* *s♦ v

PÁGINA B

C

A

C

220

9 B

10

PÁGINA 1 221 - 222 B

2 E

1 PÁGINA D 223 9 A PÁGINA 1 224 - 225 D

5 f6 B C .

•

B 5 D

8

7 B

A

-

3 C

4 C

2

3

4

5

6

7

8

C

B

E

A

D

C

D

6 , E

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2 D

3 C

4 ; D

v✓— m . *•

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K $

Reto al ingenio 1. Señor Ming 2. Yang ($ 18), Ming ($ 20) y Tong ($ 45) 3. Sí. (mg < ma) 4. Mercurio 5. La primera 6. $ 200

4

C A 11 12 13 14 c C B C 21 22 ; 23 24

5

6

7

8

10

D C B 15 16 17 18 19 20 C A E A C B E

B

9 C

25 26 27 28- 29 30 A A B C E C D E D C 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C C E D D C E D B A 41 42 43 44, 45 46 47 48: 49 50 C B D B A; E D A E C 51 52 53 54 55 56 57 58 59 i 60 D D C B B E D C B B

66 67 68 69* 70

61 62 63 64 65 D B D B G 71 72 7 3 ’ 74 75 D D B C C 81 82 83 84 85 D A C B C 91 92 93 94 95

E C 76 77 78 B B C 86 87 88 B C D 96 97 98

A

C

B

D

C

C

C

A

B 79' E 89

C 99 B A

D 80 A 90 C

7. 50

«• ■

3

8. No. S/. 32 9. 400 g 10. 6 soles y 3 soles 11 . Madre: 100 mil; hijo: 200 mil e hija: 50 mil 12. 50 13. 4/25 de un papel A4 14. Tendría una longitud de 1,5 m que no cabe en una maleta 15. 40 min 16. 10 kg debe costar S/. 30 17. Spencer y 9 más

ECUACIONES

Introducción

Conocimientos previos

La mayoría de losproblemas que requieren el auxilio de la matemática, luego de considerar las condicionesy los datos consignados, se conviertenfinalmente en hallar la solución de una ecuación.

Para resolver ecuaciones es preciso conocer el álgebra elemental, como reducción de términos semejantes, ope raciones conpolinomios, productosnotables,fadorizadón, reglas de exponentes y propiedades de las igualdades.

En este capitulo nos vamos a centrar en la resolución de problemas mediante ecuaciones y sistema de ecuaciones. Losfundamentos teóricos de la resolución de ecuaciones sepueden hallar en los textos de álgebra.


246

5 . 7. Ecuaciones A un estudiante le propusieron resolver las siguientes ecuaciones: x2 = (x + l ) ( x - l ) + l ( 1) 2x - l

-x+4

x -2 =

(2 )

2x + l

(3)

El estudiante se había olvidado cómo resolver ecuacio nes. Pero se acordaba, que al sustituir la solución por x, debía obtener una igualdad. Entonces procedió a probar con una serie de valores para x. Pero cuál sería su sorpresa que al sustituir* por cual quier valor en la ecuación ( 1 ), siempre obtenía una igual dad. En la ecuación (2), no había un valor de * que hiciera cumplir la igualdad.

¿Q ué núm ero escon d e x? En cada una de las siguientes igualdades , descubre el valor que esconde x para que la igualdad sea cierta

1.

x-5-18

2.

4x + 6 = 146

3.

x -1 0

=9

Í ± i + £ Z Í =7

En la ecuación (3) halló un solo valor de x que hacía cierta la igualdad. ¿Cómo explicar estos resultados? En igualdades como 4 + 6=10

y

18 = 1 5 -5

es fácil percatarse que la primera es verdadera y la se gunda es falsa. Cuando intervienen letras (variables) no siempre es evi dente el valor de la letra que haga que la igualdad sea cierta. Es posible que haya infinitos valores como en (1), o que no haya alguno como en (2 ), finalmente, que haya sólo algunos como en (3). Si para todos los valores numéricos de las letras siem pre resulta una igualdad numérica, entonces se trata de una igualdad absoluta, o también llamada identidad

<& Cuando no es éste el caso, se trata de una igualdad relativa o ecuación, en cuyo caso, los valores de las le tras que hacen cierta la igualdad pueden ser infinitos (ecuación indeterm inada ), finitas (ecuación determ ina da) o no existir (ecuación absurda o incom patible).

• x (x + l)= x 2+ 1

• (a + l)(a ~ 1) = a2- 1

*(x + y ' f - x 2 + 2 x y + y 2

© • x+ y -25 (Ecuación indeterm inada) • 3x2 = 12

(Ecuación determ inada)

•4(x - 1) - 4 x + 8 (Ecuación incom patible)

247

Ecuaciones En una ecuación, la letra puede tomar cualquier valor real, pero sólo algunos de ellos hacen que la igualdad sea cierta. Por consiguiente, cuando se resuelve un pro blema mediante una ecuación, lo que se trata es descu brir dicho valor desconocido. En la ecuación, la letra cuyo valor se trata de averiguar se llama incógnita. El valor de la incógnita que hace cierta la igualdad, se llama solución. R esolver una ecuación es precisamente hallar la solución, si existe, o demostrar que no tiene, si no tiene solución. Si la ecuación tiene una sola incógnita, la solución se llama raíz.

Ecuaciones equivalentes

Las ecuaciones:

4x - 4 = x + 8

•

(x + y ) ( x - y ) = x 2 - y 2

• (x + y Y = x 2 + 2xy + y 2 •

( x - y )2 = x- - 2xy + y 2

•

(x + y + z)2 = x 2 + y 2 + z2 + 2(xy + xz +yz)

•

(x + y )3 = x3 + 3x2y + xy2+ y 3

•

( x - y )3 = x3 - 3 x 2y + xy2 - y 3

•

(x + a )(x + b) = x 2 + (a+ b)x + ab

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mis mas soluciones.

3* —12 = 0

Identidades N otables

•

x3 + y 3 = (x + y)(x2+ xy + y 3

•

x3 - y 3 = ( x - y ) ( x 2+ x y + y 3

(1) Identidades de L egendre

(2)

son equivalentes porque ambas tienen la misma solu ción x = 4. Para resolver una ecuación, generalmente, ésta se trans forma en una ecuación más sencilla, utilizando las pro piedades de la igualdad.

5.1.1. Propiedades fundam entales para la transform ación de ecuaciones

• (x + y )2 + (x - y )2 = 2(x? + y 2) •

(x + y )2 - ( x - y )2 = 4xy

Identidades de Langrange • (ax + 6y )2 + (ax ~ b y )2 (a2 + W)(x? + y2)

I. Si a ambos miembros de la ecuación P = Q se suma o se resta una misma expresión algebraica entera E (en particular una constante), se tiene una ecuación equi valente. [ Si

p

= q =>p + e = q + e ) Q )

Observaciones: 1. Una expresión algebraica entera que está suman do (o restando) en un miembro, puede pasar a res tar (o sumar) al otro miembro. 2 , Si en ambos miembros de una ecuación figura una misma expresión algebraica entera (en particular una constante), ya sea sumando o restando, entonces se puede suprimir.__________________________

Sea la ecuación: 3 x ~ 7 ~2x +3 Sumando a ambos miembros (7 - 2x) tenemos: 3 x - 7 + 7 - 2x = 2 x + 3 + 7 - 2x Reduciendo resulta: x = 10


248 II. Si ambos miembros de una ecuación P = Q se multi plica ( o se divide) por un mismo número (diferente de cero) se obtiene una ecuación equivalente. = Q =» kP = kQ

n i

si (k * 0 a k e R)

© Si ambos miembros de la ecua ción: 4{x - 3) = 22 Lo dividimos entre 4, obtendre mos:

Observaciones:

x~3 = 3

1. Si en lugar de multiplicar ambos miembros de la ecuación por un número, multiplicamos por una expresión entera M E”, la ecuación PE = QE que se obtiene, no es en general equivalente a P = Q; pero siempre admite todas sus raíces. Por ejemplo: Multipliquemos ambos miembros de la ecuación:

Que es equivalente a la ecuación original.

Dada la ecuación x2 - 9 = 4x - 12

10 5x x+ ...( 1 ) x -2 x -2 por la expresión entera ( x - 2), entonces se obtiene:

Factorizando en ambos miembros tenemos: (x + 3 ) ( x - 3 ) = 40c - 3) ... (2)

( x - 2 )x + 10 = 5x ...( 2 ) que no es equivalente a la ecuación ( 1), porque, (2 ) tiene como raíces a 2 y 5; en cambio la raíz de la ecuación (1) es solamente 5.

Antes de cancelar el factor (x - 3) (antes de dividir ambos miembros entre (x - 3)) se debe igualar a cero el término que se va cancelar. x- 3=0

Por eso se dice, que al multiplicar ambos miem bros de una ecuación por una expresión entera, se pueden introducir soluciones extrañas. 2. Si multiplicamos ambos miembros de una ecua ción por una expresión fraccionaria o bien si divi diésemos entre una entera, se podrían perder so luciones. En consecuencia, si en ambos miembros de una ecuación figura un mismo factor que depende de una incógnita, entonces antes de dividir ambos miembros entre dicho factor (es decir antes de can celarla) se debe igualar a cero, de este modo se ob tiene una de las soluciones de la ecuación, 3. Se puede cambiar de signo a todos los términos de una ecuación multiplicando por ( - 1). 4. Un número que esta dividiendo (o multiplicando) en un miembro, puede pasar al otro miembro multi plicando (o dividiendo).

Transponiendo 3: x - 3 (es una raíz de (1)) Luego cancelando (x - 3) en (2) nos queda: x +3 =4 Transponiendo 3: x ~ 1 (es otra raíz de (1)) Por lo tanto, las raíces de (1) son 3 y 1.

Sea la ecuación: 7 - 4x - x - 5 Multiplicando por - 1: -7 + 4x = -x + 5

III. Si ambos miembros de una ecuación se eleva a un mismo exponente, se obtiene una ecuación que admi

5x - 12

[*-2,4)

Ecuaciones

249 Raíz Cuadrada de Ambos Miembros'

te al menos,’ todas las raíces de la primera. Por ejem■pío: Elevando al cuadrado, ambos miembros de la ecua ción:

4x - 4 obtenemos:

i

~4x ~i

—d )

En la ecuación: ^ x* = 9

x ~ 4 = l-2 4 x ~ -l + x - l

x - 3 y x = -3 son soluciones de la ecuación porque:

-2 = -V x -2

Reduciendo:

Elevando nuevamente al cuadrado, tenemos: 4= x transponiendo -1 :

32 = 9 y

1

5 = x .«=> x = 5

Pero x = 5 no es raíz de la ecuación ( 1), ya que al susti tuir x = 5 en la ecuación original, no se cumple la igual dad. Entonces, se dice que 5 es una solución extraña que se introduce al elevar al cuadrado ambos miem bros.

Pero 4 § es 3 y n o-3. Por consiguiente se debe tener en cuenta que

En la ecuación:

IV. Si ambos miembros de uñó ecuación se extraen raí ces del mismo índice, se obtiene una ecuación que ge neralmente contiene menos raíces que la original.

4x* = y¡9 => |x|=3 => [x = ±3 )

Ejem plo: Si extraemos la raíz cúbica de ambos miem bros de la ecuación:

Obtendríamos: Donde:

(x - l )3 = 8

...( 1 )

x- 1=2

(2)

Sea

(x-1)3 = 23

Transponiendo 8: (x-1)3 - 23 = 0

(x = 3)

6Z2D

Raíces de (x-1)3 = 8

®

La ecuación (2) admite una sola raíz, en cambio la ecuación ( 1) tiene tres raíces que son:

£=3

= 9

y (*, = -# v

D esarrolla n d o la d iferen cia de cubos: (o*1- 6* * ( a - b ) (a* + ab + b‘) ) (*- - i - 2 )[ |[ x - l f + ( x - l ) - 2 +2*] = 0

5.1.2. Resolución de ecuaciones de prim er grado con una incógnita

(*■-3)[x2 - 2x +1 +2x - 2

- 0¿A

( x - 3 ) ( x * + 3) = 0

La forma general de la ecuación reducida de primer gra do con una incógnita es:

x - 3 =0

v y? + 3 = 0 V

( ax + 6 = O ) Donde x es la incógnita, a y b son parámetros, es decir, representan valores numéricos o constantes.

X

-3

v

x = ±4-3

( * - 3 ) v l x =43i) v (x = - 43i ) (i *■

, unidad imaginaria)


250 Para su resolución, se aplica las propiedades fundamen tales que acabamos de exponer.

( Problema 1 ]

¿Quién está en lo cierto?

R esolver 2x - [-(-x + 2 )- 3] + 4 - 18 Resolución

En la ecuación:

Si en una ecuación aparece signos colectores, primero se suprimen estos signos en forma ordenada, partiendo generalmente de los signos colectores más internos. • Suprimiendo los paréntesis:

2x —lx —2 - 31 + 4 = 18

Suprimiendo los corchetes:

2 x - x + 2 + 3 + 4 = 18

Reduciendo y transponiendo:

U = 9J

8JL + ™JL = 88 3 5

Timoco propone resolver cance lando el factor 8 del segundo miembro y en cada uno de los tér minos del primer mienbro, de modo que, luego de cancelar el factor 8, la ecuación quedaría:

[ Problema 2 ] *> , x +2 x + 2 x - 1 x - 2 R esolver ------ + ------- = --------+ ------5 6 4 10 Resolución St e/i una ecuación figuran términos con denomina dores independientes de la incógnita, se pueden realizar las operaciones de fracciones en ambos miembros. -r

r

* Efectuando en ambos miembros:

6fx + Íj + 5fx + 2; 30

5 (x -2 )+ 2 (x -2 ) 20

llx + 16 7 x - 9 Reduciendo: 3 2 Transponiendo los denominadores: 2 (llx + 16) = 3(7* —9) Multiplicando:

22x + 32 = 21x - 27

Transponiendo términos y reduciendo: ( x = -59)

( Problema 3 ] n

»

Resolver:

x +l

x-1

x +2

x-2

+ -------= --------+ ------8 3 4 6

( 1)

3

5

(2)

Manolo no está de acuerdo con este procedimiento, porque si se ha cancelado un factor 8 a un solo término del segundo mienbro, también en el primer miembro se debe cancelar a un solo término y no a los dos. De modo que la ecua ción, tras la cancelación del fac tor 8, quedaría: 8x 2 x , t — + — = 11 3 5

(3)

o en su defecto x 16x —+ -1 1 3 5

(4)

¿Cuál de los dos está en lo cierto?

Ecuaciones

251

Resolución Si los términos de una ecuación contienen denomina dores independientes de la incógnita, entonces se puede multiplicar a cada uno de los términos por el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores. (Es otra manera de resolver). • Multiplicando todos los términos por el MCM de los denominadores, que es 24. » 4 (x + l)

H 'U -I)

(* + 2 ) + 3 4 {x - 2 )

• Efectuando: 3x + 3 + 8 x - 8 = fix + 12 + 4 * - 8 • Reduciendo:

dUD

La ecuación: 5x + lOx = 30

(1)

contiene el factor 5 en el segun do miembro y en cada uno de los términos del primer miembro. Podemos resolver reduciendo el primer miembro 15x = 30 x =2 que es la solución sin ninguna duda. El otro procedimiento a seguir puede ser factorizando el primer miembro

[ ProblemaTl

5(x + 2x) = 30

„ , x +a x+b rt Resolver: ------ ♦ -------- ■ 3 a

Resolución Las ecuaciones donde, aparte de las incógnitas, figuran otras letras, se llaman ecuaciones literales. En estas ecuaciones hay que distinguir la incógnita, la misma que saldrá generalmente en función de las otras letras. • Multiplicando cada uno de los términos por o6, para eliminar los denominadores. 0 b (x + a ) ( afí{x+b) ^ 3ab

0 • Efectuando:

Timoco tiett razón

30 x + 2x = 5 x+2x = € x =2

(2 )

La ecuación (2) es equivalente a lo que se obtendría de la ecua ción (1) cancelando el factor 5 del segundo mietiibro y de cada uno de los términos del primer miembro. 1 Por lo tanto Timoco tiene la ra zón.

Divettijo

bx + ab + ax + ab * 3ab

• Reduciendo y factorizando x : x(a + b) = ab

4Quién tiene razón f • Dividiendo entre (a + 6)

Mario y Carmen se disponen a re solver la ecuación que dejó el maestro:

( Problema 5 ) Resolver; yjx* * j 4 x * + 3 x * y l x * +3x^2

x*l

3x-¥l +2 x -1 x -1 Para ganar tiempo, ambos se C o n t in u a

e n l a s ig u ie n t e p á g in a


252 Resolución Si en una ecuación figuran términos radicales, se des peja uno de los términos con radical y se eleva ambos miembros a un exponente igual al índice del radical despejado, hasta terminar de eliminar todos los radi cales. En ecuaciones de esta naturaleza las raíces que se ob tienen se debe sustituir en la ecuación original para comprobar si realmente son raíces de la ecuación.

ponen a resolverpor separado;

Resolución de Mario 3x+I x -1

x -1

3x+ l-4 x -1 3 x-3 = 2(x-l) 3x-3=2x~2 3x - 2x = 3 - 2

• Elevando al cuadrado ambos miembros: x2 +y¡4x2 + 3x +Vx 2 - 2 = x 2 + 2 x + l

S • Reduciendo:

• Elevando nuevamente al cuadrado: x

Reduciendo:

+ 4

x2

+ 3x-2 =4

x2

+4

3x+l x -1

+ 1

x

x -1

3x+ l-4 *2 x -1

4x2 + 3 x - 2 = x + 1

• Elevando al cuadrado:

ed

Resolución de Carmen

J4x2 +3x + 4x2 +3x - 2 = 2 x + l

4x2 +3

=2

x* + 3 x - 2 = x 2+ 2 x + l

3x-3 x -1

* Reduciendo: ( x = 3j • Sustituyendo x = 3 en la ecuación original, tenemos

J32+ J4(3)2 + 3(3) + ,¡32 + 3(3) - 2 = 3 + 1

(E D ¿Quien tiene razón? x = 3 es la raíz de la ecuación

Problemas 1. Resolver las siguientes ecuaciones:

2. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 2 - 3 x + [ x - 2 ( x - 2 ) + 5 ] - ( - x - 2 ) = 3

x -1

x -2

, x -4 D; 4

x -5 5

a)

0

b) -5 [x~3(2x -1)+3 ] - [ - 3 x +2 (-x + í)] = 28 *

c) 3x [x - 5 - 2 (x - I ) ] -3 (2 - x 2 ) - x = 4

D ) 3 ;-2 y 1

B) —3; —2 y 1

--------------------------------------------------------------------------------- +

x -6 6

----------------------------------

_

3 10

------------------

.

k 2(x + 2) 3 ( x - l ) , 2 ( x + 3 ) __ 1 O —J¿— +— -

Las soluciones son: A) 3; 2 y 2

V

C) 3; 2 y 1 E) 3; 2 y 1

Las soluciones son: A) 4; 6 y 24

B )4 ;6 y l2

C ) 4 ;6 y 8

Ecuaciones

253 E) 4; 6 y

D) 4; 5 y 20 18

7. Resolver la ecuación: -J x-4 b + 16 = 2 j x - 2 b * 4 - V*

3. Resolver las siguientes ecuaciones: a) yjx2 +x + V*Z -l+ 'lix 2 +6x +6 =x + l

c) ¡x2 -3x +^25xz +2xf 9 = x + 7 Las soluciones son: B)l;5y ¿

C )l;2yl E )l;5y0

4. La solución de la ecuación

Las soluciones son:

E) 2b

8. Resolver la ecuación.: x+ n x + m n m

1 m

1 n

mn B) m+ n

m A) n

ab O a+b

B )a + 6

ab E) a -6

m+n C) m -n mn E) m -n

2 -x 3 -x 4 -x 5 -x + ----+ ------------+ ----- = 3 4 5 6 0

3

x ( x- 3 ) A) 2 D) 5

x*+9 5 B) 7

x-1

t-7

C) - 7 E) 6

20. Hallar el valor de x en la siguiente ecuación:

5. La solución de la ecuación

B) 2

B )4

9, Hallar la solución de la ecuacityt:

q +b D) ab

A) 1

C)

m -n D) m +n

x - a + ------- = J. es:

A) ab

6

D)

b) V¡4x2 + x+16 = 2 x + i

A) 1; 5 y 1 D) 1; 5 y —1

6 A) 2

3 es: 4

D) 4

4-)jx+4^x +•4ijx+ 4\¡x+.„ E) 5

A) 3 D) -3

B )4

12

0 -4 E) 2

6. La solución de la ecuaciones: 20. Hallar el valor de x en: 21 « 7 es: A) 3 D) 8

B) 5 0 7 E) no tiene solución

yjx+ \[x~+ ^x+ Vxr+ ... = 5 A) 4 D ) -4

B )5

0 -5 E) 20


254

5.2

3x2 + 4x + 5 =

Una ecuación reducida de segundo orden o ecuación cua drática, tiene la forma: x : incógnita a, b y c parámetros y a * 0

0

©

x2 - 2x + 6 = 0 3x*+ 8 = 0 ^x

+^ ~®

[ Problema 1 ) R eso lv er la e c u a c ió n x 2 + 2 x - 35 = 0

R esolución La resolución de ecuaciones de grado superior al p ri mero se basan en el principio: “si el producto de va rios factores es igual a cero, al menos uno de los facto res debe ser cero”. Para aplicar este principio, se lleva todos los términos de la ecuación a un miembro dejando cero en el otro. El prim er miembro se expresa en form a de factores (se factoriza) y se obtiene el producto de varios facto res en el prim er m iem bro y cero en el segundo. En la ecuación (x - a ) ( x - b ) ( x - c ) = 0, ¿Cuál de los factores es igual a cero? ... N o siem pre es posible sa ber de antemano. En consecuencia, sólo queda espe cular diciendo “puede ser que x - a = 0, en tal caso x = a . ” “ O tal vez x - b = 0 y entonces x = b ”. Por último, “ es posible que x - c = 0 en cuyo caso x = c ”. A sí encontram os que para x hay tres posibles valores. La ecuación tiene tres raíces. Si la ecuación en cuestión resuelve un problem a, no todas las raíces de la ecuación son soluciones del p ro blema. Por ejemplo (x - 3) (x + 5) = 0 tiene las dos raíces x = 3 y x = -5. Pero si x representa los libros que ha leído una persona x = -5 no es solución del problema.

Factorizando el primer miembro: {x +

7) ix - 5)

Solución General de la Ecuación Cuadrática S ea la e c u a c ió n : ax2 + bx + c = 0 M u ltip lica n d o p o r 4 a : 4a2x? + 4abx + 4ac = 0 O r d en a n d o a p r o p ia d a m e n te , transponiendo 4ac y sum ando b3 (2ax,P + 2(2ax) b + b2 = b2 ~ 4ac Recordando que:

[ x 2 + 2xy + y2 = ( x + yj*) y aplicando al prim er m iem bro: (2ax + b f = bz - 4ac Extrayendo la raíz cuadrada a am bos miembros 12ax +6| = *Jb2 - 4ac

2ax +b = ±>jb2 - 4 a c =

0

Uno de los factores del primer miembro es igual a cero, ¿Cuál de los factores es igual a cero? No hay ninguna información adicional que nos permita descartar o ase gurar cuál es; por consiguiente lo que podemos deducir es que: es el primero, o el segundo, o ambos; lo que se

2ax = - 6 ± V ó 2 ~4ac

x =

- b ±y]b2 - 4 a c 2a

Ecuaciones

255

expresa como:

R econstrucción de las ecuaciones

x- 5=0 E

l )

v

(* = -5 )

cuadráticas a p a rtir de sus rafees

Analicemos la siguiente ecuación: x * - 6x + 5 = 0

[ Problema 2 )

Factorizando el primer miembro tenemos

R esolver: x2- 2 x - 1 = 0 Resolución En el caso en que no es posible la factorización del primer miembro, entonces se puede apli car la fórmula de la solución general, que se deduce de la forma general de la ecuación cuadrática, la cual es: - b ± 4b2 - 4ac x= 2a

• De donde se obtiene que las raíces de la ecuación son 5 y 1. • Lo que acabamos de hacer es resolver la ecuación, es decir, encontrar las raíces. Enseguida se plantea el proceso inverso, es decir, “regresar” a partir de las raíces a la ecuación original. • Para ello, formamos la ecuación (2) con las raíces 5 y 1.

Donde: A = b2- 4ac es el d i s c r i m in a n t e Para la ecuación:

...(2 )

(x - 5)(x - 1) = 0

(x - 5Xx —1) = 0 • Multiplicando el primer miembro de la ecuación obtenemos:

_ - i - 2 ) ± J { - 2 ? -4 U X -1 ) x=

x2—x - 5x + (-5X -U = 0

2 ( 1)

• Ordenando: x2- (1 + 5)r + (—5X-1) = 0 X =

2±y[8

• Generalizando: x 2-

x = 1±\Í2 í X> ~ 1 + ^Ü x2 =l- y¡ 2 Que son raíces de la ecuación

(s u m a d e r a íc e s ) *

+ (p r o d u c t o d e r a íc e s ) = 0

B. Si el discriminante b2- 4ac = 0, entonces la ecuación tiene una raíz real de multi plicidad 2 (dos raíces iguales y reales). C. Si el determinante b2 - 4ac < 0, la ecua ción no tiene raíces reales, sino, tiene 2 raíces complejas conjugadas.

ECUACIÓN

MULTIPLICANDO EL

FACTOHEADA

PRIMER MIEMBRO

a íc e s

Discusión de las raíces de una ecuación

A. Si el discriminante ó 2 - 4ac > 0, entonces la ecuación tiene 2 raíces reales distintas.

( 1)

Otros ejemplos: R

cuadrática:

•••

7; 8 - 9 ; 10 -6 ;-8

(x (x

+

-

7Xx 9)(x

-

(x + 6)(x

-

8) = 0 10) = 0 + 8 )= 0

x2— 1 5 x x2 - x

+ 56 = 0 - 90 = 0

X2 + 1 4 x + 4 8 = 0

En el caso en que las raíces sean fracciona rias, irracionales o complejas, es recomen dable utilizar la relación ( 1).


256

[ Problema 3 ]

x - ( 4 - y¡2 + 4 + -J2 )x + (4 - V2)(4 + J2 ) = 0

Si las raíces de una ecu ación cu ad rática Reduciendo:

7 3 son — y —9h a lla r la ecu ación :

[ *2- 8 * + 1 4 = 0)

[Problema 5 j Resolución H a lla r la ecu a ción cuadrática^ donde una de sus ra íces es 4 + 3i.

La ecuación es: x2 -

f7

(V 2 \

\ Reduciendo:

Resolución

1=0 o 21 x2 - 5 x + — = 0 4

Multiplicando por 4: (^x2 - 20x + 21 = Oj

[ Problema 4 )

La ecuación es: x2- (4 + 3¿ + 4 - 3i)x + (4 + 3¿X4 - i) = 0 Reduciendo:

R econstruir la ecu a ción cu a d rá tica cu yas ra íces son:

Como las raíces son complejas, la otra será también compleja y la conjugada, es decir, será 4 - 3i.

4 - y¡2 y 4 + j 2

Observación: Si las raíces de una ecuación cua drática son irracionales o comple jas, siempre serán conjugadas.

Resolución La ecuación es:

Si Xj = a +
Problemas I. R esolver las ecu acion es siguientes:

1.

x2 + 3x - 28 = 0

2.

x2- 13x - 30 = 0

3.

x2 + 20x - 2400 = 0

4.

3x2 - 17x + 10 = 0

21 .

x 2- 2x - 2 = 0

12. 10x2 - 23x - 42 = 0

22 .

x2 + 4x - 1 = 0

13.

56x2 - 29x + 3 = 0

23.

x2 - 8x + 14 = 0

x2 - 20x + 36 = 0

14. 48x2-5 S x + 15 = 0

24.

x2- 6x + 11 = 0

5.

x2 - 35x + 306 = 0

15. 24X2 - 49x + 15 = 0

25.

x2 + lOx + 34 = 0

6.

x2 - 32x + 247 = 0

16. 24x2 - 62x + 35 = 0

26.

4x2 + 12x + 13 = 0

7.

x2 - 4x - 252 = 0

17.

40x2 + 3x - 54 = 0

27.

25x2 + 50x + 6 = 0

8.

x2- 60x + 864 = 0

18. 60x2 + 32x - 15 = 0

28.

9x2 - 12x - 1 = 0

9.

x2 + 2x - 288 = 0

20x2 + x - 63 = 0

29.

3x2 - 2x + 1 = 0

20 . 72x2 + llx - 35 = 0

30.

5x2—2x + 3 = 0

10,

x2- 12x - 864 = 0

11 .

19.

Ecuaciones

257

2. H allar la ecu a ción cuyas ra íces son. 31. 7; 3

35.1 ± S

3 2 .-6 ; 8 36. -2 ± S

3 3 .-1 0 ; -12

37. 5 ± S

34. 7; -6

3. H allar el va lor de um ” p a ra qu e una de las ra íces de la ecu ación :

38. 2 ± 3¿

42. -2/7; 5/6

39. -5* ± 2 i

43. -8/5; -7/3

40. 1 ± S i

44. (8 + & )/3

41. 2/3; 3/5

45. (5 ± S m

cia de sus ra íces es 3. ¿ Cuál es el co e fic ie n te d el térm in o lin ea l d e la ecu ación f. •

x3 + m x + 15 = 0 A) 6

B) 7

0 )8

sea 5. D) -7

E ) -8

4. La sum a de las ra íces de una ecu a ción cu a d rá tica es 17 y el p rod u cto de las raíces es 19. ¿ Cuál es esta ecu a ción?. D ar com o respu esta el d iscri minante. A) 210 B) 340 C) 213 D) 215 E) 183 5. El producto de las raíces de una ecu a ción cu a d rá tica es 18; si la d iferen -

A) 9

*

B) -9

C) 9 ó -9

D) 18 E) 0

6. H a lla r "n ”, en la ecu a ción : x3- 6x + n = 0, si una de sus ra íces es -5. A) 55 B) -5 5 C) 44

D) 45

E) -45

7. H a lla r “m ” p a ra qu e la ecu a ció n : x3 - m x + 64 = 0, tenga una raíz de m u ltiplicid ad 2. A) 15 B) 17 C) 18 D) 19 E) 16

5.3 Sistema de ecuaciones Se denomina sistem a de ecu acion es, al conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende obte ner, en caso de que asistan. La solución del sistema de ecuaciones es todo conjunto de valores de las incógnitas que verifican a la vez todas las ecuaciones del sistema y r e s o lv e r el sistema, es precisamente, encontrar su solución o demostrar que la misma no existe. Cuando el sistema no tiene solución se dice que es in compatible ÓABSURDO.® Si el sistema tiene al menos una solución se dice que es compatible, que a su vez puede ser: D eterminada, si tiene un núm ero lim itado de soluciones. ó indeterminada si tiene un núm ero ilim itado de solucio nes. ( 2 )

Si las ecuaciones del sistema son de primer grado, el sistema se llama lineal. Si al menos una de las ecuacio-

El sistema: x + 2y - 4

2x + 4y = 5 es incompatible, porque al multi plicar por 2 la primera ecuación resulta: 2x + 4y = 8 que contradice a la segunda ecuación.

El sistema:

0

y2 + x = 10 y -x =2 Es compatible y determinada, pues su soluciones son: x - l r y = 3; x ~ -6, y = —4


258 nes es de segundo grado, se llama cuadrática, etc.

El sistema:

Dos sistemas de ecuaciones se consideran equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

x +y +2 = 2

t

5.3.1. P ro p ied a d es d e lo s s is te m a s eq u iva len tes A. Si se suma miembro a miembro las ecuaciones de un sistema, multiplicadas previamente por factores ar bitrarios (diferentes de cero) y se sustituye por lo ob tenido cualquiera de las ecuaciones del sistema, se obtiene un sistema equivalente. Ejemplo: Dado el sistema: 3x - 5y + z = 6 2x + y - z = 5

...(1) ...(2)

x +y + 2 = 6

... (3)

x + y +2 = 4 Es compatible e indeterminado, porque admite un número ilimi tado de soluciones, como: x = 0, y = 3, z = -1, x - 1, y = 2, z = -1, etc.

Nota ( 1 ): Cuando un sistema de ecuaciones tiene solución también se dice que sus ecuaciones son si multáneas, indicando con ello que los valores de las incógnitas deben verificar simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.

M ultipliquemos (1)x 1 3* - 5y + 2 = 6 (2) x 3 6x +3 y - 32 = 15 (3) x 2 2x + 2y +22 = 12 sumando 11* = 33 x =3

(4)

Ahora sustituyamos la ecuación (1) por la ecuación (4) que hemos obtenido: x = 3

..(4)

2x + y - 2 = 5

.. (2) @ ..(3)

x +y + 2 = 6

N ota (2): Si el número de incóg nitas es mayor que el número de ecuaciones del sistema, general mente el sistema es indetermina do. (2) Continuemos resolviendo el sis tema del ejemplo: Sumando (2) + (3):

Este nuevo sistema es equivalente al original. B. Si en un sistema se resuelve una ecuación con respec to a una incógnita y el valor obtenido se sustituye en las demás ecuaciones, se obtiene un nuevo sistema equivalente al anterior. Ejemplo

3x+2y = l l x = 3 en la ecuación (5): 3(3) + 2y = 11 y=l x =3

Del sistema: x -y x + 2y - 2 2x +y + 22

3 4

...(1)

13

...(3)

... ( 2 )

e y = 1 en (3) 3 + 1 +2 = 6 z =2

(5)

Ecuaciones

259

Resolviendo (1) con respecto a Kx” tenemos: x= y + 3 ... (4) Sustituyendo (4) En (2): (y + 3) + 2 y - z = 4 En (3):

3y - z —1 2(y + 3) + y + 2z= 13 3y + 2z= 7

Luego el sistema:

x= y +3

II N

1

&

+ 2z= 7 es equivalente al original.

... (5) ... (6) ... (4) ... (5)

Observación La utilidad de esta propiedad, ra dica en que se reduce el número de incógnitas. Repitiendo el p ro ceso sucesivamente, se puede ir re duciendo sucesivam ente el núm e ro de incógnitas hasta quedarse con una.

... (6)

C. Si se multiplican (o se dividen) miembro a miembro, las ecuaciones de un sistema y por la ecuación obte nida se sustituye una de las ecuaciones del sistema, se obtiene otro equivalente, siempre que las solucio nes de este nuevo sistema no hagan cero simultánea mente los dos miembros de alguna de las ecuaciones multiplicadas (divididas). D. Si en un sistema se sustituye una ecuación por la que resulta de sumar miembro a miembro con poten cias cualesquiera de las ecuaciones previamente mul tiplicadas por factores arbitrarios, se obtiene un sis tema equivalente al primero.

5.3.2. Métodos de resolución de sistem as

Continuando con la resolución del sistema del ejemplo, tene mos: Resolviendo (5) con respecto a z: 3 y - 1 = z (7) Sustituyendo (7) en (6): 3y + 2 ( 3 y - l ) = 7 3y + 6y - 2 ~ 7 9y=9 y =i

de ecuaciones lineales Como se ha señalado, un sistema de ecuaciones lineales es aquel donde todas las ecuaciones del sistema son de primer grado. Los métodos de resolución de sistemas lineales que va mos a estudiar se basan en las propiedades de los siste mas equivalentes que acabamos de estudiar. En lo que sigue, sólo trataremos sobre la resolución de sistem as d eterm in a d os que contienen tantas ecu acion es com o in cógn ita s, mas no estudiaremos sistemas indeterminados por escapar a los objetivos del texto. A) M étodo de redu cción : Se fundamenta en la primera propiedad de sistemas equivalentes. Este método también se conoce con el nom

y = 1 en (7): 3(1) - 1 = z 2 - z y = 1 en (4): x = J +3 x =4

260


bre de adición y sustracción o método de G auss.

Consiste en sumar o restar miembro a miem bro las ecuaciones de un sistema, multipli cada previamente por factores convenientes, de tal manera que se elimine una de las in cógnitas. Repitiendo reiteradas veces el pro ceso se logra eliminar las incógnitas a excep ción de una incógnita cuyo valor se calcula y el valor de las otras incógnitas se obtiene sustituyendo los valores encontrados en las ecuaciones anteriores.

Sustituyendo los valores de x y z en la ecua ción (1) (también puede ser en (2) ó (3)) 2(3) - y + 2 = 7 -y = -1 La solución del sistema es: [ x = 3; y = í; z = 2 j

[Problema 2 ] Resolver: 3x + 4y = 10 5x-3y = 7

f Problema- I ] Resolver: 2x-y + z » 7

...

( 1)

x + 3y + 2 z * 1 0

... (2)

3x+2y-z *9

... (3)

Resolución Multiplicando la ecuación (1) por 3 y suman do con (2) (1) x 3 (2)

6r - 3y + 3z = 21 x + 3y + 2z = 10

7x «f

5z = 31

...(4)

Ahora multiplicamos la ecuación (1) por (2) y sumamos con la ecuación (3) (1) x 2 (3)

4x - 2y + 2z = 14 3* + 2 y - z Ix +

... (5)

Restando la ecuación (4) menos la ecuación (5) (4)

Ix + 5z = 31

(5)

7x + z = 23 4z = 8 => obtenemos f z = 2 )

Sustituyendo este valor en (5) (también pue de ser en (4)) 7x + 2 = 23 Ix = 21

... (2)

Resolución Multiplicando la ecuación (1) por 3 y (2) por (4), (con el objeto de eliminary) luego suman do miembro a miembro. (D^x 3

9x + 12y = 30

(2)*x 4

20x - 12y = 28 29x

= 58

(* m2 )

Sustituyendo este valor en (1) (también pue de ser en la ecuación (2)). 3 (2) + 4y = 10 4y = 4

[ Problem a?] Resolver:

=9 z = 23

... (1)

x + y +z y +z +w Z + W + X w+x+y

=7 = 15

... (1)

= 11

... (3)

=9

... (4)

... (2)

Resolución Sumando miembro a miembro las cuatro ecuaciones se obtiene: 3x + 3y + 3z + 3w - 42 Dividiendo-r 3: x + y + z + u; = 14 ...(5) Si de la ecuación (5) restamos sucesivamen te cada una de las ecuaciones del sistema, se obtienen las soluciones: (.W = 7 ) (s = - l ) Cy - 3 ) ( z =; 5 j

Ecuaciones

261

Ejercita

Despejando y de la ecuación (5): y = 3 —z

Resolver los siguientes sistemas e indicar el mayor de los números del conjunto solución a* x +y =22

x + 2 y = 18

y^ z^ l7

y + z •16

z + x - 19

2z + x i 30 3 x -2y

6. x + y = 17

5x + 3y *76

y + z - 23

a

4x *Sy x*+xy +y* .244

x + z = 10

...(7)

Sustituyendo en (6): 2(3 - z) + 3z = 7 Reduciendo:

d

Sustituyendo en (7):

Z

D

(F D

Sustituyendo z Ay en (4): ( x = 4 j La solución del sistema es: ( x = 4;

y = 2;

^ = 1'")

C) Método de igualación B) Método de sustitución Este método se fundamenta en la segunda propiedad de sistemas equivalentes.

Este método, que es una variante del méto do anterior, consiste en despejar la misma incógnita de todas las ecuaciones e igualar el segundo miembro de una de las ecuaciones despejadas a los segundos miembros de cada una de las restantes; hasta quedarse con una sola incógnita.

Consiste en resolver una de las ecuaciones del sistema respecto a una incógnita y susti tuir este valor en las demás ecuaciones, de este modo el número de incógnitas queda re ducida en 1.

[Problema 5 ]

[Problema 4 ]

Resolver:

Resolver: x-y-z x + 2y+2z x+y+2z

1

... (1)

10 8

... (2) ... (3)

x-2y +z x + 3y-2z x-y+3z Resolución

... (1)

... (2) ... (3)

Despejandckradle las 3 ecuaciones, obtenemos:

Resolución

x = 3 + 2y - z

Despejar x de la ecuación (1) se obtiene:

Sustituyendo el valor de x en las ecuaciones (2) y (3): (y + z + 1) + 2y + 2z = 10

...(4)

x = 2 - 3 y + 2z ...(5)

x = y + z + 1 ... (4)

x = 8 + y -3 z

...(6)

Igualando el segundo miembro de (4) con los segundos miembros de (5) y (6): 3 + 2y - z = 2 - 3 y + 2z

(y + z + 1) +y + 2z = 8 /*

Reduciendo:

3 2 8

y +z = 3

...(5)

2y + 3z = 7

...(6)

3 + 2y —z = 8 + y - 3z Reduciendo:

5y - 3z = -1

... (7)

y + 2z = 5

...(8)

262


Despejando y de (7) y (8) obtenemos:

y=

3z-l

y ~ 5 —2z

( Problema 6 )

... (9) ...(10)

Igualando los segundos miembros de (9) y

( 10):

3z-l

R esolver: 5x * 7y 9 x - 4y = 86

... (1)

... (2)

Resolución O bservación: Aquí aprovechamos la relación 5x = 7y que

= 5-2z

se puede transformar en ~ ~ ^ ; donde a cada

Multiplicando por 5: 3z - 1 = 25 - 102 Reduciendo:

132 « 2 6

(z_= 2 )

Sustituyendo el valor de z en (10): y = 5 —2(2)

Cy = i)

Sustituyendo los valores obtenidos de z e y en (4):

término de la fracción t * multiplicamos por o un factor k (constante de proporcionalidad), de esta manera se trabajará con la nueva incógnita k en lugar de* Ay. De la ecuación (1):

* = 3 + 2 (1 )-2 =» U = 3J La solución del sistema es: [ z = 2;

J * == 7k l y = 5k

v^5 Reemplazando en (2):

9(7*) - 4(5*) = 86

y = 1; x V j )

Los métodos expuestos hasta el momento son los más comunes; pero aparte de estos, exis ten varios otros. Enseguida expondremos la combinación de métodos.

D). C om binación de m étodos La resolución de ecuaciones, más que una técnica es un arte; este arte consiste en esco ger el método más conveniente y una adecua da combinación de métodos en caso que se requiera. Los métodos no se deben aplicar como fór mulas invariables, inertes, sino como una he rramienta viva, sobre todo aprovechando al máximo las particularidades del sistema. Mediante algunos ejemplos ilustraremos al gunas de las combinaciones de los métodos estudiados y otrps.

... (3)

43* = 86

Q üJ En (3):

•y = 5(2)

• x =? 7(2) 0=14

)

Números Proporcionales L a ecu ación

es compatible e indeterminada porque tie ne infinitas soluciones. Veamos algunas de ellas x JI_ 7 '5

x =7; 14;21; ... y =5; 10; 25;...

Ecuaciones

263

Podemos observar que las soluciones son proporcionales a 7 y 5. Esto es, las solucio nes son de la forma. x = 7k y

y ( 3 x + 2 ) ^40 y(2x-3 ) ~ 5 De donde

(* = 2 )

Sustituyendo en (2): (y = 5 )

y = 5k

Donde k es un número real diferente de cero.

( Problema 9 )

Luego:

R esolver:

x - 7k y -5 k

x =7 7 ~5

x 2 * ? 1 = 74

... (1)

x + y =12 P ara x > y

... (2)

[ Problema 7 )

R esolución

R esolver:

En este tipo de problemas podemos hacer uso de las Identidades de Legendre.

4x = 3y 7x2 + 2 x y - 5 y 2 = 175

... (1)

... (2)

R esolución

' (x + y )2 + (x - y ) 2 = 2 (x2 + y 2) (x +y)2—(x —y)2 = 4xy

De la ecuación (1): x

3

y

4

... (I) ' ...

(II)

Para la resolución del sistema haremos uso de (I): (1) y (2) en (I) ...(3)

122 + Ge - y ) 2 = 2(74) (x -y )2= 4

Sustituyendo los valores de x Ay en (2): 7(3¿)2+ 2{3k)(4k) - 5(4k)2 = 175 l k 2 = 175 k2 = 25

x - y =2 Sumando (2) y (3):

... (3)

2x = 14 => (x = 7 )

Sustituyendo x en (2)^y = 5]

k =±5 Sustituyendo en (3): (x = i 15 ) ( y = ±20 ^ ^ Problema 10] R esolver:

[ Problema 8 ] R esolver:

Resolución

3xy +2y = 40

... ( 1)

2xy-3y = 5

... (2)

x*+y* = 25

... (1)

12

... (2)

xy P ara x > y > 0 R esolución

Para la resolución de este sistema haremos uso de las dos identidades de Legendre.

Factorizando y de los primeros miembros y di Sustituyendo (1) en (I): vidiendo miembro a miembro: (x +y)2 + (x —y)2 = 2(25)

...(3)


264 Sustituyendo (2) en (II):

Por analogía

(x +y)2- (x —y)2 - 4(12) ...(4) Sumando (3) + (4): 2(jc+ y)2 = 98 x +y = 7

... (5)

Restando (3) - (4): 2(x - y)2 = 2 x -y = 1 Sumando (5) + (6):

2x =8

Sustituyendox en (6):

(x_=4J (y = 3 )

... (6)

E

D

Observación

Para la resolución de la ecuación, Zo gue se Zia hecho es un cambio de variable; lo cual es recomendable, cuando una expresión compleja se repite varias veces en una ecua ción.

R esolver: x + y = 120 24x + 35y = 3652 R esolución

R esolver: 3x* + 2x + 9 _ 3x2 + 3x + 5 x

Z

[Problema 12]

[Problema 11 ]

3x 2 + 2

C

+ 1

3x 2 +

x

+ 5

... (1)

Resolución

..-(1) ... (2)

Para resolver este sistema, donde se conoce la suma de las incógnitas, se trata de conse guir dicha suma en la otra ecuación, de modo que al reemplazar el valor de la suma, quede sólo una incógnita.

*

Acomodando: <2> [3x2 + 2 x + 5 ) + 4

(3x2 + 2 x + 5 ) + x

(3x 2 + 2 x + 5 ) - 4

(3x2 + 2 x + 5 ) - x

Haciendo 3x*+2x + 5 = a y sustituyendo en (2): a +4 _ a +x a -4 a -X

• Escribiendo la ecuación (2) como: 24x + 24y + lly = 3650 • Factorizando 24: 24(x + y ) + lly = 3650 • Reemplazando (x + y): 24(120) + lly = 3650 Resolviendo en y: • Sustituyendo y en (1):

70) (x = 50)

5.4 Planteo de ecuaciones. Una gran cantidad de problemas que requiere como herramienta para su solución a la matemática se enuncian mediante el lenguaje común y necesitan traducir al lenguaje mate mático para hallar su solución. Por lo tanto se necesita contar con una metodología que permita convertir el enunciado del problema en un enunciado matemático que consta de números y símbolos. Esto se realiza mediante una traducción, con todo los cuidados que se debe tener en cuenta para no incurrir en falta. Este enunciado matemático es una ecuación o inecuación.

Ecuaciones

265

Plantear una ecuación es traducir el enunciado de un problema desde el lenguaje común al lenguaje matemá tico.

Cuidados en la traducción

5.4.1. Traducción de frases Empezaremos traduciendo frases cuyo contenido son cantidades, comparaciones y operaciones; por ejemplo, la frase: El dinero que tiene Raúl Si esta frase está dentro del enunciado de un problema, se trata de una cantidad cuyo valor no sabemos, en con secuencia lo podemos representar mediante una letra; una vez elegida la letra, ésta ya no puede usarse para representar otra cantidad independiente del dinero que tiene Raúl. Esta letra puede ser ux” o una ud” de dinero o una ”R” de Raúl según nos convenga y sea fácil recor dar. FRASE ~'

LECTURA

THADIrec i On f > •*

El peso de Carmela

P

El volumen de un recipiente

V

Los libros que tiene María

n

La edad de Victoria

V

»

Cuando se traducen operaciones o comparaciones, se debe dar especial importancia en los signos de puntua ción, por ejemplo, sean las siguientes frases:

Cuando querramos r e p r e s e m a r , n o t a r t s i m b o l i z a r , una detenninada situación usando el lenguaje matemático, debe mos tener en cuenta los siguientes as pectos: La representación escogida debe ser clara ordenada, para evitar interpre taciones dudosas; debe representar fielmente el orden y las relaciones de los objetos a los que corresponda. No debe haber ambigüedad. Una mis ma letra en un mismo problema no puede designar objetos diferentes; ello puede llevarnos a confusiones. Ud. debe reparar mucho en este punto. Los símbolos y/o signos escogidos de ben ser fáciles de recordar y recono cer. Por ejemplo: usualmente al tra tarse de representar incógnitas se usan fas ultimas letras x, y ó z- Esto no es una regla absoluta; es el uso más co mún que se le da a dichas letras. (Oscar Zevallos)

El doble de un número aumentado en 3.

T raducir cada una de las si gu ien tes fra ses.

El doble, de un número aumentado en 3.

Los chanchitos de una granja

En el primer caso, vamos escribiendo las cantidades, y las operaciones en el orden que son nombrados; sea n el número en mención, entonces la traducción es

Los hermanos de José

2xn + 3 En el segundo caso, tenemos una coma que divide a la frase en dos: la idea de doble: 2 y la idea de un número aumentado en 3. n + 3, la traducción es: 2 x (n + 3); el doble se aplica al número aumentado en tres (n + 3) Ahora veamos las frases: Un número aumentado en su doble un número aumentado a su doble

La distancia entre A y B El tiempo que demora Luis La longitud de un cable


266 En ambos casos se habla de un número. Vamos a asu mir que éste es x. En el primer caso el número x aumen to en 2x, resultando* + 2x = 3x. En cambio en el segun do caso, el resultado del aumento es 2x (aumentado a su doble), es decir* + ? = 2*, ¿en cuánto debe aumentarse? La respuesta es x, de modo que * + * = 2*. En resumen, las traducciones son:

Traducciones Frases Aumentado en 3: Disminuido en 1: doble

de

+3 -i

n: T

Un número aum entado en su doble: x + 2 x Un número aum entado a su doble: x + * ó 2 x

El cubo de 2: El cuadrado de a:

De manera similar tenemos la traducción de las frases: Un número dism inuido en su cuarta parte: X

La mitad d e x - 2:

23 a2 x -2

x ------4

E lem entos recíp rocos X

Un núm ero dism inuido a su cuarta parte: — 4

El opuesto de n :

-n

1 n El opuesto de x - 1 : 1 - X

Hasta ahora hemos visto frases referidos a una sola can tidad desconocida (variable) la cual la representamos con una letra.

El inverso de n :

En las ecuaciones generalmente aparecen dos o más can tidades.

3 El inverso de ~ ' X

X

3

Por ejemplo, la frase: Suma de 5 números enteros consecutivos:

Una forma de traducir sería a+ 6+ c+ d + e es decir, para cada número usamos una letra, pero no estamos expresando el hecho de que son consecutivos. Entonces una mejor traducción sería

T raducir las siguientes frases: Tu edad aumentado en 40 años Tu edad dentro de 10 años

n + (n + 1) + (n + 2) + (n+3) + (n + 4) pero mucho mejor sería si la traducción es: (n - 2) + (n - 1) + n + (n + 1) + (n + 2) En conclusión, al hacer la traducción, se tiene que utili zar al máximo la relación entre las cantidades para no estar utilizando una letra para cada cantidad. Vamos a analizar cada una de las siguientes frases:

Tu edad hace 10 años La mitad, de un número dismi nuido en 6 La mitad de un número dismi nuido en 6

• Las edades de Juan y Tito suman 30.

Aquí, si la edad de Juan es n, la edad de Tito no necesa riamente se debe representar por otra letra, sino por 30 - n. Si sumamos n + (30 - n) = 30.

El opuesto de - 6 + 8p

267

Ecuaciones •José tiene 100 soles más que Ana. Si Ana tiene x soles, el dinero de José será x + 100.

4x El inverso de 3n

• Victoria tiene el triple de lo que tiene María. Si lo que tiene María es n> lo de Victoria será 3n. • La edad de Raúl es la mitad de la edad de Rafo y Ana tiene 12 años más que Rafo. Si definimos como x la edad de Raúl, la de Rafo será 2x y la de Ana 2x + 12; así evitamos usar fracciones y varias variables o letras.

5.4.2. Traducción de oraciones El enunciado de un problema es un párrafo que puede constar de una ó más oraciones; en la mayoría de los casos por cada oración resulta una ecuación, ya que es tas oraciones expresan una comparación o una relación de igualdad de dos cantidades mediante el verbo “es” o alguna conjugación del mismo verbo a otro similar. Las palabras que expresan igualdad de cantidades son: es, igual a, resulta, se obtiene, resulta tal com o, es com o, etc.

El opuesto del inverso de

Expresar en lenguaje común las siguientes frases numéricas 4x + 8 4 (x + 8) P + 4P (x-3?

Pautas para plantear las ecuaciones. A continuación mencionamos algunas pautas para la traducción de oraciones en ecuaciones.

yj2 ( X- l ) +10

1. Leer basta com pren der Como ante cualquier texto, cuyo contenido nos interesa, se recomienda leer pausadamente hasta comprender de lo que trata el problema. 2. Identificar la incógnita Esto está relacionado con la pregunta del problema. Recuerda que nuestro objetivo es dar respuesta a dicha pregunta. En el mejor de los casos al valor de la incógni ta le asignamos una letra, así, una vez resuelto la ecua ción se habrá encontrado la respuesta; si no es así, la letra representará alguna cantidad, se resuelve la ecua ción y a partir de allí se deducirá la cantidad que da respuesta al problema. En ambos casos se debe descubrir la relación entre las diferentes cantidades que se mencionan, sólo así se po drá hacer una traducción correcta y obtener ecuaciones que nos permitan encontrar las cantidades desconoci das.

Dadas las siguientes expresiones, escribir el valor de las cantidades en función de una sola letra. •El producto de tres números en teros consecutivos. •En una granja hay 40 animales entre conejos y patos • El peso de Mili es el triple de la de su hijo. Entre los dos tienen 500 soles.

268


3. Resolución de la ecuación

Traducción de oraciones

A quí, debes ten er presen te los d iferen tes m étodos que existen para resolver las ecu acion es, elegir el m ás ade cuado, de m odo qu e te p erm ita h a lla r el v a lor de la letra de una m an era rápida y segura.

• La edad de Carlos hace 5 años

era 10 años. ¿Cual es su edad ac tual?

R esolución: 4. Comprobar Edad actual: x Si la situación am erita, u n a de las form as de asegu rar se de que se h a llegado al resu lta d o correcto, es m ed ian te la com probación, es decir, al resu lta d o obten ido se le som ete a las op eracion es in dicadas en el p roblem a o se reem plaza en la ecu ación origin al, si es que es el resu l tado correcto, d ebe satisfacer las rela cion es de igu al dad.

Dos observaciones adicionales

edad hace 5 años: x - 5 era 10 años: x - 5 = 10 x “ 15

R pta.: 15 años • Un número disminuido en su ter

cera parte resulta 12. ¿Cuál es la suma de sus cifras?

R esolu ción : A. U na vez qu e h ayas rea liza d o el “p rim er p a so” , es decir, en ten dido de qu é tra ta el p roblem a, tienes dos opciones para resolver: p u ed es resolver el problem a sin llegar a plan tear la ecu ación , de esto hem os dado una gam a de ejem plos en la resolu ción de los proble m as de los capítu los anteriores. E stá dem ostrado que si un problem a se pu ede resolver m ed ian te u n a ecu a ción lineal de u n a variable, se p u ed e resolver sin la necesidad de u na ecuación. L a otra opción, obviam en te, es resolver m edian te u n a ecuación.

B. D ependiendo del tem a que trate el problem a, es reco m endable apoyarse con gráficos, esto te p erm itirá te ner un a v isión grá fica del tem a o fen óm en o descrito en el problem a. A sí m ism o, se recom ien d a u sar cu a dros de doble en trad a que sirvan para orden ar las diferentes can tidades qu e in tervien en en el p roble ma. A hora veam os la traducción de los enunciados en ecua ciones, m edian te la resolu ción de los siguientes p ro blem as:

E l núm ero es x

x - j = 12

...(1)

(1) y. 3 : 3 x - x = 36 x = 18 E l núm ero es 18, la suma de sus cifras es 1 + 8 = 9

R pta.: 9 •En una granja donde hay 60 ani males entre conejos y pavos; se en cuentran 160patas. ¿Cuántos ani m ales hay de cada especie ?

R esolu ción E species C a b eza s conejos pavos

X 60- x

P a ta s 4x 2(60 - x)

[ Problema 1 i

Núm ero de patas: 4x + 2 (60 - x) = 1 6 0 x = 20

H ollar un núm ero cuyo doble aum entado en 350 es igual a su triple dism inuido en 420

Núm ero de conejos: 20 Núm ero de pavos: 40.

....

Rpta,.: 20 y 40

Ecuaciones

269

R esolución

[ Problema 3 ]

Hallar un número

X

cuyo doble aumentado en 350 es igual

2x

a su triple

2x + 350 = 2x + 350 = 3x

E ntre Carm ela y Anam elba tienen 680 so le s; si C a rm ela le d iera 120 so les a A nam elba, ésta ten d ría una can tid ad igual a los dos tercios de lo que le queda ría a C arm ela. ¿ Cuánto tien e cad a u n a?

disminuido en 420

2x + 350 = 3x - 420

R esolución

2x

+

350

R esolviendo la ecuación: 350 + 420 = 3x - 2x

[R pta.: 770]

['Problema 2 ] Si el doble de un núm ero aum entado en 35, se le resta la m itad del núm ero, resu l ta un tercio, del núm ero aum entado en 420. Resolución Si el doble,

2(

se le resta la mi tad del número 2(x + 35) - | 2(x + 3 5 ) - f = j (

del número au mentado en 420 2(x + 35) — — = - ( * + 420) 2 3 R esolviendo la ecuación:

Si Carmela le diera 120 soles a C - 120 Anamelba ésta tendría una A + 120 cantidad igual a los dos A + 120 = | ( tercios O de lo que le quedaría a A + 120 = \ (C - 20) O Carmela

Multiplicando (2) por 3 : 3A + 360 Reduciendo: 3A + 360 Sumando 3C a ambos: 3A + 3C + 600 Factorizando 3: 3(A + C) + 600 Reemplazando A + C: 3(680) + 600 C A

Multiplicando por 6 :

(2)

Efectuando:

= 2(C - 120) = 2C - 240 = 2C + 3C = 5C = 5C =528 = 152

( R pta.: 528 y 152 )

12(x + 35) - 3x = 2(x + 420)

[ Problema 4 ]

12x + 420 - 3x = 2x + 840 Reduciendo

(1)

R esolviendo la ecuación:

de un número aumentado en 35, 2(x + 35)

resulta un tercio,

Entre Carmela y Anamelba C + A =680 tienen 680 soles

Ix = 420 [ R pta.: 6 0 )

Lo qu e tien e R aquel exced e en Sf. 60 a lo qu e tien e M aría. Si en tre am bas tienen 420 soles, ¿cu á n to es lo qu e tien e cada u n a?


270 Resolución

5jc - (42 - x ) = 120

METODO (1) METODO (2) Lo que tiene Raquel:

x + 60 excede = 60 —

Lo que tiene María: x

La suma es 420 entonces, x + x + 60 = 420 x * 180

Si los 42 hubieran respondido correctamente, habría obtenido 42x5 = 2 1 0 puntos. Por cada respuesta errada pierde 6 puntos (5 por no ser correctay 1 por ser errada). De210a 120pierde210 -1 2 0 = 90 el cual significa 90 + 6 = 15 respuestas erradas, entonces ha respondido co rrectamente 4 2 - 1 5 = 27preguntas.

( Rpta,: M aría tien e 180 y R aquel 240) METODO (2)

[ Problema 6 ]

Si le quitamos a Raquel los 60 que tiene en exceso, ambas tendrían lo mismo, y lo que tendrían entre los dos sería 4 2 0 -6 0 = 360, siendo lo que tiene cada una 360 + 2 = 180, esto es lo que tiene María y lo que tiene Raquel es 180 + 60 = 240.

E ntre V ictoria y M aría p esa n 56 kg, en tre V ictoria y M edalid p esa n 50 kg. Y en tre M aría y M edalid, 58 kg. ¿C uánto p esa cada u n a?

Así escrito, parece una resolución larga, pero hacer esto mentalmente significa unos cuan tos segundos.

Peso de Victoria : a Peso de María : b Peso de Medalid : c a + b = 56 a + c = 50 b + c = 58

[R pta.; 2 4 0 y 180 ]

( Problema 5 j En una prueba de 50 preguntas, un alum no con testa 42 p regu n ta s y obtien e 120 puntos. Si p o r ca d a respu esta correcta recibe 5 puntos, p o r cad a errad a le qu i tan 1 punto y las respuestas en blanco no tienen puntaje. ¿C uántas respon d ió co rrectam ente? Resolución METODO (1) Rptas. Correcta Errada En blanco

R esolu ción

X 42-x 8

5 -1 0

5x -1(42 - x) 0

...(3)

(1) + (2) + (3): 2 (a + 6 + c ) = 164 a + b + c = 82 (1) en (4):

56 + c = 82 c = 26

(2) un (4):

50 + b = 182 6 =32

(3) en (4):

a + 58 = 82 a =24

Cantidad Puntaje Obtiene

...(2)

C om probando a + b = 24 + 32 = 56 a + c = 24 + 26 = 50 b + c = 32 + 26 = 58

... (4)

Ecuaciones

271

f Problema 7^ En un coleg io los alum nos de las 4 au las sum an 180. En la prim era au la se increm enta 3 alum nos, del tercero se re tiran 8 y al cu a rto llega un alum no, re sultando en cada au la igual núm ero de alumnos. ¿C uántos alum nos son de la segunda a u la ? R esolución M étodo (1) habían

hay

Primera aula:

X

x +3

Tercera au la: Cuarta aula :

y z w

y -8 z+1

Segunda aula :

w

Al final resultan iguales en las cuatro aulas: ( 1) x+3 = y- 8 = z +1 = w

T

( ) 2

T

(3)

De (1) : z ~ w —1 De (2) : y +8 De (3) : x = w - 3

,

En total suman 180. Luego: x + y + z + w = 180 Reemplazando : (w - 1) + (w + 8) + (u; - 3) + w = 180 4w - 176 [ Rptcu: w = 44^ M étodo (2) Tomamos como un todo los 180 alumnos, a esto se incrementa 3, se retira* 8 y por último se incrementa en 1 quedando: 180 + 3 - 8 + 1 = 176 como en los 4 hay el mismo número de estudiantes, entonces hay 176-r4 = 44. En la segunda aula no varió, entonces hay 44 estudiantes. [ R pta.: 44

Problemas 1. H allar un núm ero que aum entado en su tercera p a rte es igu al a 360 A) 180 D) 270

B) 200

C) 210 E) 330

2. ¿Cuál es el núm ero que al sum arle 250 resu lta igual a su doble dism i nuido en 128? A) 278 D) 387

B) 287

C) 378 E) 328

3. Un núm ero cuyo cu a d ru p lo dism i nuido en 120 es igual a su trip le au m entado en 140.

A) 280 B) 260 C) 250 D) 300 E) 360 4. Si Jorge le d iera 120 soles a R aúl, éste tendría el trip le de lo qu e le qu e d aría a J orge. ¿C uánto tien e R aúl? A) 240 D) 380

B) 260

C) 360 E) 420

5. La d iferencia de los cuadrados d e dos núm eros con secutivos es igual al tri p le del m ayor dism inuido en 150. El m enor es:

A) 120

D) 210

B) 148

C) 184 E) 243


272 6. Cuando le pregu n tan a J aim ito p o r el núm ero de herm anos, respon d e: “el núm ero de mis herm anos exced e al de mis herm anas en 2, adem ás si tuviera una herm ana m enos, el nú m ero de m is herm ana sería la m itad d e l n ú m ero d e m is h e r m a n o s w. ¿Cuántas herm anas tien e J a im ito? A) 2

B) 3

0 4

D) 5

E) 6

7. Si a un núm ero se agrega otro en tonces, dicho número se cuadruplica; en cam bio si a l núm e ro se resta 4 resulta la quinta del otro núm ero qu e se agregó. ¿C uál es la suma de estos núm eros? A) 10

B) 20

C) 40

D) 30

8. Jesús da a su h ijo tantos céntim os com o soles tien e en el b olsillo y se queda con 396 soles. ¿C uántos soles ten ía en el bolsillo? A) S/. 400 B) S/. 360 C) S/. 310 D ) S/. 320 E) SA 410 9. En una reunión se cu en tan tantos caba lleros com o tres veces el núm e ro de dam as; después que se retira n och o pa reja s, el núm ero de ca b a lle ros que aún quedan, es igual a 5 ve ces el de dam as. ¿C uántos ca b a lle ros habían in icialm en te? A) 16

B) 32

C) 4 8

D ) 64

E) 72

E) 25

5.5 Problemas sobre edades Un tipo de problemas matemáticos muy fre cuentes es el de edades, que por su peculiari dad, le daremos una atención especial. Las cantidades que intervienen en los pro blemas de edades son, obviamente, las eda des de las personas, las cuales van aumen tando en una unidad por cada año que pasa. Si actualmente una persona tiene 24 años, entonces hace 8 años tenía 24 - 8 = 16 años y dentro de 8 años tendrá 24 + 8 = 32 años. ¿Ves? ¿Qué fácil, verdad? Bien. Ahora inten temos representar la edad desconocida de una persona, hace 8 años, dentro de 8 años y la que tiene actualmente. ¿Cómo represen tamos? Como es desconocida, escogeremos una letra para representar la edad. Pero, ¿cuál de las edades? ¿La actual, la de hace 8 años o la que tendrá dentro de 8 años? Eso depende de la conveniencia. Veamos las tres posibles formas de representar.

H ace 8

E dad

D e n tr o

R ep resen ta n d o

años

A c tu a l

de 8 años

c o n x la e d a d

x + 8

x + 16

h a ce 8 años

X

x + S

a c tu a l

x - 8

X

X x —8 x — 16

d en tro de 8 añ os

Como ves, en cuanto se escoge una letra para representar la edad en un determinado mo mento, la edad en cualquier año se represen ta en función de la letra escogida. Cuando trata de la edad de una sola persona

[Problema 1 ] D entro de 16 años tendré el doble de la edad que ten ía h ace 15 años. ¿Q ué edad tengo?

Ecuaciones

273

Resolución

d en tro de 3n a ñ os?

Representado con x la edad que tengo

R esolución

-1 5 Hace 15

+16

Disponiendo los datos +n

tengo

x -1 5

x + 16

x

De acuerdo a la condición x + 16 = 2 (x -1 5 )

Hace unn años

[ R pta: ten go 14 años )

Ahora 18 + n = 48 - 2n

18 x = 14

-2 n

48

De la igualdad: 3n = 30 Entonces, hace 10 años tenía 18, ahora tengo 28 y dentro de 30 años tendré 58 años.

[Problema 2 ] H ace n años ten ía 18 años y d en tro de 2n años tendré 48 años. ¿Q ué edad tendré

( R pta; 58 años )

Problemas 1. José tendrá d en tro de 11 años, e l tri p le de la edad qu e ten ía h a ce 9 años. ¿Q ué edad tien e a ctu a lm en te? A) 18 años D) 21 años

B) 19 años


2. H ace 14 años tenía la m itad de la edad que tendré d en tro d e 12 años. ¿Q ué edad tengo t A) 40 años D) 34 años

B) 38 años


3. H ace x años ten ía 12 años y d en tro de 3x años ten dré 28 años. ¿C uál es mi edad a ctu a l? A) 18 años D) 15 años

B) 19 años E) 13 años

A) 11 años D )21añ os

B) 22 años E) 23 años

C) 24 años

5. J u lio ten ía h a ce 8 añ os los dos ter cios de la edad qu e tendrá d en tro de 5 años. ¿C uál es su edad a ctu a l? A) 30 años D) 34 años

B) 32 años


6. Cuando p a sen 10 años a p a rtir de ahoraj ten dré el doble de la edad que tenía h ace 6 años. ¿H ace cuántos años ten ía 18 años? A) 20 años D) 13 años

B) 22 años


C) 16 años

4. H ace 5 años ten ía la cu a rta p a rte d e la edad que tendrá dentro de 13 años. ¿Cuántos años ten d ré d en tro de 10 a ñ osf

7. Cuando tenga el doble de a led a d q u e tendré dentro de 2 años*mi edad será el cu á d ru p lo d e la qu e ten ía h a ce 3 años. ¿C uál es m i ed ad a ctu a l A) 5 años D) 2 años

B) 8 años

O 20 años E) 10 años


274 _

m

Cuando trata de las edades de varias personas Los problemas anteriores están referidos a la edad de una sola persona. Cuando inter vienen las edades de dos o más personas, tendremos que tener algunas consideracio nes. Es recomendable el uso de un cuadro de do ble entrada en el que dispondremos los da tos según los espacios asignados para cada uno.

por x la edad que tenías y por 2x la mía. La condición “la suma de nuestras edades en ese año era 36 años”, permite plantear la ecuación: x + 2x = 36 En la figura 1 te muestro la tabla que apren deremos a manejar para resolver fácilmente los problemas sobre edades: Te sugerimos identificar y distribuir los da tos en el orden señalado por los números ro manos.

Personas.- Son aquellas a las cuales corres ponden las edades.

[ Problema 3^

Tiem pos.- Como las edades varían según van pasando los años, entonces habrán va rios tiempos a los cuales corresponderán eda des diferentes. Los tiempos se indican me diante diversas frases: • Tiempo pasado : “Hace 5 años” , “tenía”, “tuve”, etc.

La edad de C arlos es el d oble de la edad de Pedro, p ero h ace 10 años, era el triple. H allar las edades actuales.

• Tiempo presente : “Mi edad es”, “tu edad es”, etc. • Tiempo futuro : “Dentro de 6 años”, “ten dré”, “tendrás”, etc. C ondiciones: Son los datos que señalan las relaciones numéricas entre las edades. Cada condición da lugar ya sea a una ecuación o a evitar introducir más incógnitas. Por ejem plo, la condición “hace 10 años mi edad era el doble de la que tenías”, permite representar ©

R esolución Primero, identificaremos las personas y los tiempos para poder determinar los casille ros del cuadro. A. I. Las personas son: Carlos y Pedro II. L os tiem pos son: presente (“es”) y pa sado (“hace 10 años”) III. Las con d icion es: En el presente, la edad de Carlos es el doble de la de Pe dro (C = 2P) (1). En el pasado, era el triple (C = 3P) (2)

TIEMPOS

» Presente

H a c e 10 a ñ o s P a s a d o P resen te F u tu r o

-M

co

CARLOS

c*a

— 0

!

¡

co

G,

®

©

PEDRO C

= 3P

C = 2Í>

2

(1)

( )

L i

i

i

111

(n T ) CONDICIONES

Fig.: 1

Fig.: 2

275

Ecuaciones B. A Continuación ubicaremos en el cuadro las edades. a. Representemos con x la edad actual de Pedro y lo ubicamos en el casillero co rrespondiente. b. Según la condición (1), la edad de Car los es el doble de x. Entonces ponemos 2x en el casillero respectivo. Ya tene mos ubicadas las edades en el presen te. Para ubicar las edades en el pasado vamos a aprovechar el hecho de que co rresponden a hace 10 años: c. Si Carlos tiene 2x, hace 10 años tenía 2x — 10. Análogamente, Pedro tenía x -1 0 .

[ Problema 4 ] D en tro de 6 años la edad de Jaim e será el d oble de la qu e tendrá D ino. A ctu a l m ente sus edades sum an 42 años. ¿C uál es la edad a ctu a l de J aim e? R esolu ción A. Identificamos los datos y los ubicamos en la tabla en el orden ya sugerido.

<®

I

PRESENTE

DENTRO DE 6 AÑOS

i— JAIME ® L - diño J + D = 42 (2)

t

©

I

I

Hace 10 años

Presente

r ^ C ARLOS

2x - 10

PEDRO

x - 10

L

—

C = 3P

2

i

2x

cU D

c. Las edades del presente vamos a de ducir de las edades del futuro: si Jai me tendrá 2x dentro de 6 años, enton ces actualmente tiene 2x - 6, y Dino, x - 6.

III

d. Ahora sustituimos las edades del pa sado en la igualdad originada por la con dición (2). (2)

2x - 10 = 3{x - 10) 2x - 10 = 3x - 30 20 = x

t

a. Asignemos con x la edad de Dino den tro de 6 años. b. Según la condición (1), la edad de Jai me en el futuro será 2x

1

J = 3P

J - 2D (1)

B. Ahora debemos tener cuidado para esco ger la edad que debe ser asignada con una letra.

C = 2P (1)

( )

i

w f

PRESENTE

®c

JAIME DIN0

6

x -

( 2) L

[ R pta: 20 años y 40 a ñ o s}

DENTRO DE 6 AÑOS 2x

2*-6

J + D * 42 2x = 40

)

_

J = 2D (1)


276

d. Aprovechando la igualdad originada por la condición (2), sustituimos en ella las edades del presente: J + D = 42

(2)

H ace 4 añ o» Pret ent e /T \ ^

PADRE

3x

HIJO

X

3x + 4 3x + 4 + 5 = 3x + 9 X +

4

x + 4+ 5 = x +9

P = 3R

(2x - 6) + (x —6) = 42 3x - 12 = 42

De nt r o de S a ñ o *

P = 2H (2)

(t)

=* x = 18

La edad actual de Jaime es:

P=2H

2x - 6 = 2(18) - 6 = 30

3x + 9 = 2 (x + 9)

[R ptcu: 30 años ]

3x + 9 = 2x + 18 =* x = 9 Entonces las edades actuales son: 3x + 4 = 3(9) + 4 = 31 y x + 4 = 9 + 4 = 13

Problema 5 ]

Luego, la suma es 31 + 13 = 44 H ace 4 años la edad de un p a d re era el triple de la de su hijo, p ero d en tro de 5 años, será solam ente el doble. ¿C uál es la suma de sus edades a ctu a les? Resolución Para demostrar que estás comprendiendo la resolución de los problemas, completa las ex presiones y números que faltan en la tabla: A* Distribuimos los datos en la tabla según el orden ya conocido. B. Distribuimos las edades en la tabla, para ello asignamos con x la edad del hijo hace 4 años. Según la condición (1), el padre tenía 3x años. /•

'•1

> HACE mAÑOS P R E S E N T E

....SANOS

r - PADRE ^

HIJO

P*3H di

Hasta aquí, ¿Cómo ves la resolución de los problemas? ¿Estas entendiendo? Hemos es tado utilizando dos gráficos para explicar el procedimiento de la resolución, pero esto lo hacemos sólo por cuestiones didácticas, es suficiente utilizar un solo gráfico. Además, las explicaciones que estamos haciendo no es necesario que las escribas, lo harás men talmente. Para ello es necesario .... ¡practi car!

[ Problema 6 ) N orm a le d ice a P aco: “tú tienes el trip le de la edad que yo ten ía cuando tú tenías la edad que tenga, p ero cu an d o yo tengo la edad qu e tienes, la sum a de nuestras edades será 84 a ñ os”, ¿C uántos añ os tie n e norm a? R esolución

P*... (2) >

A partir de estas edades vamos represen tando las edades del presente y a partir de éstas las del futuro. ¿Está claro? ... De acuerdo a la condición (2):

( R pta: 44 añ os )

Los tiempos están indicados mediante las palabras, tengo (presente), tenías (pasado), tendrás (futuro). Por lo tanto dispondremos los tiempos bajo estos términos. Procedamos a distribuir las edades. Presta bastante atención.

Ecuaciones

277

• Norma le dice a Paco: “Tú tienes el triple de la edad que yo tenia ... ”

entonces la otra es 84 —3x, según la condi ción (1)

Asignemos con x lo que “yo tenía” entonces “tú tienes” 3x

Aparentemente no hay más condiciones para plantear ecuaciones, pero debemos recordar que la diferencia de edades es la misma en todo momento.

r

©

I Tenía

i Tengo

Tenías

Tienes

i-*- N orm a (yo)

X

Paco (tu)

y

y 3x

• La diferencia de edades de la primera co lumna es igual a la diferencia de edades de la segunda columna:

Tenga Tendrás 3x

x - y = y - 3 x => 4x = 2y => y = 2x

8 4 -3 x N * P = 84 (1)

.

*

• La diferencia de edades de la primera co lumna es igual a la diferencia de edades de la tercera columna:

• Continúa: “ ... cuando tú tenías la edad que tengo Si asignamos con y la edad “que tengo”, entonces “tú tenías” también y. • Seguimos: “... pero cuando yo tenga la edad que tienes ...” como “tú tienes” Sx, entonces será cuando ”yo tenga” también 3x. • Por último: “ ... La suma de nuestras eda des será 84” En el futuro, las dos edades deben sumar 84, como una de ellas es 3x,

(1)

x - y = 3x - (84 - 3x1 => x - y = 3 x - 84 + 3x =» 84 = y + 5x (2) Sustituyendo (1) en (2): 84 = 2x + 5x => 84 = 7x => x = 12 La edad actual de Norma es: y = 2x => y = 2(12) = 24 [R pta: 24 A ños )

Problemas 2. Dos herm anos cuyas edades sum an 51 añosy hace 21 años el m ayor tenían el doble de la d el m enor. ¿Q ué edad tendrá el m ayor d en tro de 12 a ñ os? A) 27 años D) 29 años

B) 39

años


2. Si hace 7 años la edad de P ablo era el triple de la qu e ten ía M ario y ah ora sola m en te es el d ob le ¿C u á l es la sum a de sus edades a etu a les? A) 14 años B) 42 años C) 28 años D) 30 años E) 35 años 3. H ace 4 años la edad de B eto era la m itad de la qu e ten ía A m o ld y den

tro de 8 años sum arán 42 años. ¿Cuál es la edad a ctu a l de A m o ld ? A) 12 años D) 20 años

B) 16 años


4. J u an le lleva a M iguel p o r 9 años. Si dentro de 12 años la edad M iguel será los 213 de la de Juan, ¿Cuál es la edad a ctu a l de M iguel? A) 18 años D) 8 años

B) 12 años


5. L as edades actu a les de un p a d re y la de sus h ijos sum an 59 años. H ace 5 años la ed ad d el p a d re era e l trip le d e la d el m ayor y d en tro d e 6 años

278


será el doble de la del m enor. ¿Cuál es la edad actu al del p a d re? A) 30 años D) 33 años

B) 31 años


6. M aría le d ice a N éstor: “Tengo el do ble de la edad que tú tenías cuantió yo ten ía la edad que tienes y cuando tengas la edad que tengo nuestras edades sum arán 54 añ os99 ¿C uál es la sum a de las edades a ctu a les de M aría y N éstor?


B) 43 años


7. N orm a le d ice a M abel: “La sum a de nuestras edades es 46 años y tu edad es el trip le d e la ed ad qu e ten ía s cuando yo ten ía el trip le de la edad que tuviste cuando yo n a cíw. E nton ces M abel tien e actualm ente: A) 12 años D) 24 años

B) 34 años


Problemas Resueltos [Problema 1 ] H allar dos núm eros cuya suma es S y su d iferencia es D.

Reduciendo:

R esolución

Dividiendo -5*2

2y = S - D

• Sean x e y los números: La suma es S:

x+y = S

La diferencia es D: x - y = D Sumando (1) + (2):

( 1) (2 )

Ejem plo:

x - y = 30

Dividiendo - 2 :

Eliminando los paréntesis: x +y - x +y - S - D

y =

2

40 - 3 0 10 — ^— = ^r

c = 5

Probíema 2 l ■

(x + y ) - ( x - y ) = S - D

2

Si x + y - 40

2x = S + D

Restando (1) - (2):

40+30 70 x —--------- —— —Jo

l i f n

i w

i i n

r

i n

n

w

>

^

^

—

n

i - n

i m í W

R esolver el siguien te sistem a p a ra x > y: x + y = 30 xy = 221 R esolución

(1) (2)

Ecuaciones

279

Por Legendre:

De (3) y (4):

( x + y f - ( x - y ? = 4 xy 22J 30

(3) x=

Sustituyendo (1) y (2) en (3): (30)2- (x - y )2 - 4(221) Transponiendo:

9-1 y =

Cx=5J

900 —884 = (x —y)2

Reduciendo:

16 = (x —y )2

¿Qué número elevado al cuadrado nos da 16? Respuesta: 4 ó —4. Luego: x-y =4

( Problema 4 ] R esolver el siguien te sistem a p a ra x e y p ositivos:

( 1)

x -y =2

ó x —y —-4;

perox >y, entonces: x - y =4

...(4)

( 2)

x2+ y2 = 146,5 R esolución

De (1) y (4): x=

9+1

30+4

30-4

Por Legendre:

y =

Ot + y)2 + ( x - y )2 = 2(x2 + y 2)

CEU)

(3)

Reemplazando (1) y (2) en (3): (x + y)2 + (2)2= 2(146,5) Reduciendo

[ Problema 3 ]

(x +y)2 = 289

¿Qué número elevado al cuadrado nos da 289?

R esolver el siguiente sistem a: 8x + 5y = 60

(1)

5x + 8y = 57

(2)

Resolución

Respuesta: 17

ó -17. Luego:

x + y = 1 7 ó x + y = -17, pero x e y son positivos, entonces: x + y = 17 (4) De (1) y (4):

Sumando (1) + (2): (8x + 5y) + (5x + 8y) = 60 + 57 13x + 13y = 117 Dividiendo *5*13:

x+y=9

x =

17+2 y

(x = 9,5)

[y

=

17-2

= 7.5)

(3)

Restando (1) - (2):

[ Problema 5 j

(8x + 5y) - (5x + 8y) = 6 0 - 5 7

R esolver el sistem a

Efectuando: 8x + 5 y - 5 x - 8 y = 3 Dividiendo -i-3:

3x - 3y = 3 x -y = 1

(4)

x + y = 30

(1)

y + z = 28

(2)

x + z = 32

(3)


280 Resolución

dió com prar entradas de SI. 60 y le so bró todavía p a ra 2 entradas. ¿Cuántos hijos tien e este señ or y de cuánto dinero disponía, p a ra el cin e?

Sumando (1) + (2) + (3): 2x + 2y + 2z = 90 x + y + z = 45

Dividiendo =2

30

(1) en (4):

R esolu ción

(4)

• Sea x el n ú m ero de personas e y el din ero que tenía.

3 0 + 2 =45 ( Z = 15)

(2) en (4)

• Si com prara entradas de S/. 85 gastaría 85x, pero para ello le falta S/. 55, en ton ces lo que tiene es: y = 85* - 55 ...(1 )

x + 28 = 45 ( x = 17)

(3) en (4):

32 + y = 45

=> [ 7 = 1 3 )

• Si com p ró en tradas de S I . 60 gastó 60x y a ú n le s o b r ó p a r a 2 e n t r a d a s , o s e a 2(60) = 120; en ton ces lo que tiene es: y = 6 0 * + 120

f Problema 6

...(2 )

• Igu alan do (1) y (2):

R esolver el sistem a: 3x = 4y 13x + 7y = 375

85x — 55 = 60x + 120

( 1)

• Y resolvien do:

(2)

• S u stitu yen do x en (2):

[x = 7 ) y = 60(7) + 120

R esolución

y =540)

De (1): 3x = 4y x

Transponiendo :

y

4 \x=4k 3 1y = 3 k

• Como son 7 personas, entonces tiene 5 hi jos, y la suma con que contaba: S/. 540. (3)

(3) en (2): 13(4*) + 7(3^) = 375

[R pta: 5 y 540 )

Problema 8

52* + 21* = 375 73* = 375 375 *= 75

(T =jT )

* = 5 en (3): x - 4(5)

(x = 20 )

y = 3(5)

y = 15 )

Problema 7 j

Una señora com pró cierto núm ero de ob je to s p o r la sum a de SI. 120. Si p o r cada ob jeto h u biera p a ga d o 2 soles m enos, habría com prado 3 objetos más p o r la misma sum a. ¿Cuántos objetos com pró? R esolu ción • Sea x el número de objetos e y el precio de cada uno • El gasto en x objetos a SI. y cada uno es: xy = 120

Un señor acudió al cine, acom pañado de su esposa e hijos. Cuando se disponía a com prar entradas de SI. 85, se p erca tó que le iba a fa lta r SI. 55, p o r lo que d eci

... (1)

• Si comprara a S/. (y - 2) cada objeto, com praría (x + 3) objetos por la misma suma, en tonces: (x + 3) (y - 2) = 120 ...(2)

Ecuaciones

281

Igualando (1) y (2): xy - (x + 3) (y - 2) De donde :

xy = xy - 2x + 3y - 6

• Sustituyendo este valor en la 2da igualdad de (1):

Pasando al 1er miembro :

(x + 3) (120x) =

9600

2x - 3y + 6 = 0 Simplificando y ordenando:

Multiplicando por x :

x2 + 3x - 40 = 0

2x2- 3xy + 6x = 0

Factorizando: (x + 8) (x - 5) = 0

Sustituyendo xy por 120 : 2x2 - 3(120) + 6x = 0

(* = 5 J

Factorizando:

Luego vendió 5 mesas y 8 sillas, que hacen 13 muebles.

(x + 15) (x - 12) = 0

í Rpta: 13 1

a [ R pta: 12 )

^Problema 10] [ Problema 9 ] Un carpin tero vendió 3 sillas m ás que m esas; p ero tanto en las sillas com o en las m esas, obtuvo lo m ism o. ¿C uántos m uebles vendió, si las m esas cu esta n Sf. 360 m ás qu e la s silla s y reca u d ó Sf. 9600 en total?

Un ganadero com pró 30 caballos más que vacas y tantos cerdos com o vacas y c a 6 a llos ju n tos; pagando p o r las vacas el do ble que p o r los caballos, adem ás p o r 2 vacas pagó tanto com o p o r 1 cerdos y gas tó lo m ismo tanto en vacas com o en cer dos. ¿C uántos anim ales com pró? R esolución Haciendo un cuadro con los datos:

Resolución #M uebles P recio Mesas

X

y + 360

x(y + 36)

Vacas

Sillas

x +3

y

(x + 3)y

Caballos

S/. 9 600

Cerdos

Total

• Como tanto en sillas como en mesas, obtu vo la misma suma: x(y + 360) = (x + 3)y =

9600

...(1)

Precio

Valor

2c

2cu

+ 30

c

c(v + 30)

2v + 30

d

d(2v + 30)

# Animales

Valor

V v

• Por dos vacas pagó tanto como por 7 cerdos: 2(2c) = Id c_ = 7_ d 4

Tomando la 1ra igualdad: • Gastó lo mismo tanto en vacas como en cer dos: 2cu=d(2v + 30)

x(y + 360) = (x + 3)y Efectuando y simplificando: 120* = y

• Reemplazando c y d : ... (2)

2(7k)v = 4k(2v + 30)


282 • Resolviendo:

Resolución

u = 20

v= • caballos: v + 30 = • cerdos: 20 + 50 = Total =

• vacas:

20

• # total de raciones:

50 70

800 x 60 = 48 000 • Los primeros 8 días consumen:

140

800 x 8 = 6 400

[Rptw 140 ]

• Los siguientes 12 días consumen: 750x12 = 9 000

[Problema 11^

• Los siguientes 16 días consumen:

Treinta obreros se comprometieron rea lizar una obra en 40 días trabajando 8 horas diarias; pero luego de trabajar 10 días, se decidió terminar la obra 10 días antes, por lo que se contrataron más obreros y trabajaron 2 horas más por día. ¿Cuántos obreros se contrataron?

650x16 = 10 400 • En los últimos 30 días consumen: Luego:

+ 10 400 + (650 + x)30 48 000 - 25 800 = (650 + x)30 => x = 90 [ R pta: 9(Pj

Resolución • El número de horas de trabajo que requiere toda la obra es 30x8x40 = 9 600 horas. • En los 10 primeros días se invirtieron 30x80 = 2400 horas de trabajo • Como deben terminar 10 días antes, les queda solamente 20 días. En estos días tra bajaron (30 + x) obreros, 8 + 2 = 10 horas diarias, que hacen (30 + x) (10) (20) horas de trabajo. •Entonces:

9600 = 2400 + 200(x + 30)

• Resolviendo:

(x = 6 )

(650 + x) 30 48 000 = 6 400 + 9 000

[Problema 13] H ace 12 años las edades de 2 herm anos estaban en la rela ción de 4 a 3; a ctu a l m ente sus edades sum an 59 años. ¿D en tro de cuántos años sus edades estarán en la rela ción de 8 es a 7 ? Resolución • Sea dentro de T años, que sus edades están en relación de 8 es a 7.

( Rpta: 6 )

[Problema 12] A

Ochocientos soldados se encuentran en un frente con víveres para 60 días. A los 8 días sufren un ataque y mueren 50 sol dados y 12 días más tarde sufren otro ataque con una baja de 100 soldados; 16 días después del último ataque reciben un refuerzo sin víveres, de modo que los víveres alcanzaron para 5 días más. ¿De cuántos soldados estaba constituido el refuerzo?

B

Hace 12 años

Ahora

D entro de “t” años

4k 3k

4k + 12

4k + 12 + í

3k + 12

3k + 12 4* t

1 BT= T 3

"(í)

A + B =59...

OI)

4 = | ».(///) B 7

• Según la con d ición (II): (4* + 12) + (3* + 12) = 59 => k = 5

Ecuaciones

283

► Según la con d ición (III):

[Problema 15]

4k+12+t 8 4{5) + 12+t 8 3k +12 + t ~ 7 ^ 3(5)+ 22 + t ~ 7

t =8

[Rptcu: d en tro de 8 años ]

[Problema 14J Carmen le pregunta a Susy sobre los años que tiene, entonces Susy le responde: “ten go el doble de la edad que tú tenías, cuan do yo ten ía la edad qu e tien es”, ¿cu á l es la edad actual de Susy, sabiendo además, que dentro de 6 años sus edades sum a rán 68 añ os?

Saúl le d ice a E rik: “tengo el trip le d e la edad qu e tú tenías, cuando yo ten ía la m itad de la edad que tienes y cuando ten ga s la edad qu e tengo, yo ten d ré el doble d e la ed a d q u e ten ía s h a ce 12 a ñ os. ¿C uántos sum an sus edades a ctu ales f R esolución tenia, tenías Saúl (yo)

y

Erik (tú)

X

tengo, tienes 3x-*-

— -

tendré, tendrás 2(2x

2y — -

12)

3y

Resolución tenia, tengo, tenías tienes

dentro de 6 años

Susy (yo) Carmen (tú)

2x + 6 y +6

y

X

yo + tú = 68 (I) • Del pasado y presente: 2r + x - y +y =>

3x = 2y

(1)

El tiempo transcurrido es el mismo para ambos, por consiguiente, la diferencia entre la edad del presente y el pasado, para cada uno es la misma. Igualmente la del futuro con la del presente. 3x - y 4x 2(2y - 12) - 3x

2 y -x 3y 3 x - 2y

=> 6y —6x

24

3y - 3x

12

( 1)

(2)

Sustituyendo (1) en (2):

• De la condición (1):

4x - 3 x

(2x + 6) + (y + 6) = 68 => 2x + y = 56

(2)

=

12

x = 12

• Multiplicando por 2 la ecuación (2) tene mos: 4x + 2y = 112

(3)

Reemplazando (1) en (3): 4x + 3x =112 x =16 Actualmente Susy tiene:

Actualmente Saúl, tiene 3x = 36 años y Erik 2y = 32 años. Luego la suma de sus edades es: 36 + 32 » 68 años. [R p ta .: 68 años )

2x = 32 años ( Rptcu: 32 años ]

284


Problemas Propuestos 1. La sum a de tres en teros con secu ti vos es 342. H allar el m enor de los nú m eros. A) 113 D) 116

B) 114

C) 115 E) 117

2. ¿Cuál es el núm ero im par que a gre gando a los 4 im pares qu e le siguen dan un tota l de 845? A) 161 D) 167

B) 163

C) 165 E) 169

3. R osa recibió 20 soles y tuvo entonces 5 veces lo qu e hubiera ten id o si hu biera perd id o 20 soles ¿C uánto ten ía al p rin cip io? A) Si. 24 D) Sf. 30

B) S/. 25

C) S/. 28 E) S/. 35

4. H allar la edad de un p a d re, sabien do que h ace 8 años la edad d el p a dre fu e el cu ád ru ple de la d e su h ijo y que dentro de 12 años solam ente será el doble. A) 45

B) 48

C )50

D) 52

E) 54

5. La suma de dos núm eros es igu al a los 514 del prim ero, aum entados en los 49164 d el segundo. H a lla r el m a y o r de ello s si la d iferen cia en tre ellos es 3. A) 16

B) 32 C) 48

D) 64

E) 36

7. Si com pro 7 cuadern os y 3 lap iceros ga sto SL 4,4 y m ientras que si com p ro 7 la p iceros y 3 cuadernos ga sto 3,6 soles. ¿C uánto se ga sta com pran do 2 la p iceros y un cuaderno? A) Sf. 1,1 B) Sf. 1,0 C) Si. 1,2 D) Si. 1,3 E) Si. 1,4 8. Una p erson a divide el d in ero que tie ne en el bolsillo en tre 100, obten ien do un en tero n, lu ego da un ” m one das de 10 soles a un m endigo quedán dose con 720 soles, ¿Cuánto ten ía en el bolsillo? A) Si. 740 D) Si. 900

A) Sf. 1,60 D) Sf. 2,80

B) Sf. 1,80

C) Sf. 2,40 E) Sf. 3,60

C) Si. 730 E) Si. 800

9, Una señ ora p esa 90 k g más 1Í10 del p eso de su hija, y la h ija p esa 90 kg m ás 1110 d e l p e s o de la s e ñ o r a . ¿C uánto p esa n las 2 ju n ta s? A) 200 kg D) 185 kg

B) 180 kg

C) 190 kg E) 199 kg

10. A un núm ero le qu ito A y el núm ero aum enta en 4. ¿C uánto debo aum en tar a A p a ra con vertirlo en su m itad? B) 2

A) 1 D) -2

0 4 E) Absurdo

11. Si subo una esccdera de 4 en 4 doy 3 pa sos m ás que subiendo de 5 en 5. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? A) 40

6. Se sabe que una m anzana y una n a ranja cuestan S f 0,5 en tre las dos. S abiendo qu e 6 n a ra n ja s cu esta n tanto com o 4 m anzanas. ¿C uánto cuestan 8 m anzanas?

B) Si. 860

B) 15

C) 30

D) 60

E) 120

12. De los loritos que tenía doña Lola, se le m urieron todos m enos los que se m urieron. ¿Cuántos quedaron vivos? A) Todos C) La mitad E) Imposible

B) Ninguno D) Faltan datos

Ecuaciones

285

13. Si com pro 4 d ocen as de objetos, m e sobran SL 27,40; p ero p a ra com prar 5 d ocen as m e fa lta n SL 17. ¿C u án to cu esta cad a objeto ? A) SL 3,7 D) SI. 5,7

B) SI. 5,4

C) SI. 4,2 E) SL 6,3

es igual a: A) 1 D) 0

B) 2 C )3 E) No es posible calcular

15. Un gru p o de cla vos se divide en 3 grupos qu e son p rop orcion a les a 5,7 y 11 respectivam ente. Si d el 3 er g ru p o p a so a l 2do 8 clavos, en el 3ro ha brán doble que en el prim ero, ¿Cuán tos clavos habrán en el 2do g ru p o? A) 50 B) 56

C) 64

D) 72

E) 80

16. Si a un núm ero le sum o 4 y lo divido en tre otro, resu lta 12; en cam bio si a dicho núm ero le sum o el otro, obten go 191. ¿Cuál es el núm ero m enciona do? A) 50 B) 15

C) 176 D) 167 E) 60

17. Con m otivo d e la N avidad, los h ijos de T oribio d ecid ieron d a rle un reg a lo a éste. C ésar propu so d ar cada uno 50 soles, p ero fa ltó 50 soles p a ra el regalo, p o r lo que d ecid ieron a p or tar cada uno 80 soles; de esta m anera aún sobró SL 100 después de com prar el regalo. ¿C uál el p recio d el rega lo? A) SI. 300 D) SI. 400

B) SI. 350

O SI. 250 E) SI. 50

18. En una reunión hay tantas p a reja s bailando com o hom bres parad os y 30 m ujeres no bailan . Si las p erson as que no bailan es el trip le de las m uje res que bailan y adem ás, hay 10 hom

b res m ás b a ila n d o q u e sen ta d os. ¿C uántos hom bres bailan ? A) 10 B) 20

C) 30

D) 40

E) 50

19. En una reunión 115 de los asistentes son hom bres, lu ego llega ron un nú m ero de person as igual a l de la m uje res presentes, increm entándose el nú m eros de hom bres en 30 y hay en ton ces un núm ero d e m ujeres que exced e a l de los hom bres en un núm ero igual a l de las m ujeres in icialm en te p re sente. H a lla r el núm ero de person as actu alm en te presentes. A) 20 B) 180 C) 20

D) 220 E) 240

20. En una reunión donde hay n p erso nas, el núm ero d e hom bres exced e en 10 a l de las m ujeres, ¿C uántas m uje res hay en la reunión? n + 10 A) — ~—

B )2 n

n -1 0 D) —- —

C) n - 10 E) n - 5

21. Se repa rte una cantidad en 3 partes, ta les qu e cada p a rte es el doble del an terior. La p a rte m ayor exced e a la m enor en tantas unidades com o exce de 100 a la p a rte interm edia. ¿Cuál es la can tid ad repa rtid a? A) 60 D) 140

B) 80

C) 120 E) 160

22. S em an alm en te un p a d re rep a rte SL 72 de p rop in a en tre sus dos h ijos; p ero en una oportunidad p o r equivo ca ción d io a l m enor la p a rte del m a y o r y viceversa. Entonces, p a ra corre g ir el error, el m enor tuvo qu e en tre g a r a l m ayor SL 24 ¿Cuánto recibe se m analm ente el m ayor?

A) SI. 48

B) SI. 50

C)S/. 54


286 E) S/. 64

D) S/. 60

23. En 2 habitacion es hay un tota l de 90 focos, de los cu a les hay un cierto núm ero de focos prendidos. L uego se prenden tantos focos com o el núm e ro de focos prendidos exced e al de los apagados; resu ltan d o el núm ero de focos prendidos el doble de los apa gados. ¿Cuántos estaban prend idos inicialm ente? A) 50

B) 40

C) 45

D) 55

2 b> -

o

3 -

5 D )3

5 E )2

25. En un triángulo isósceles, la altura relativa a la base m ide 2 cm m ás que la base y 1 cm m enos que uno de los lados iguales. ¿C uál es el área del triángulo? A) 120 cm2 D) 72 cm2

B) 150 cm2

C) 60 cm2 E) 48 cm2.

26. Se tien e 3 objetos A, B y C de d istin to p eso; A y B p esa n ju n to s 40 g ra mos B y C ju n to s p esa n 30 gram os y A y C juntos pesan 60 gram os. ¿Cuán to p esa el objeto m enos pesad o? A) 15 g D) 35 g

B) 25 g

A) 10

B) 15

C) 20

D) 25

E) 30

E) 60

24. Un alam bre se divid e en 5 p a rtes iguales; con las 4 p a rtes se form a un cuadrado y con la últim a un trián gulo equilátero, resu ltan d o el área del cuadrado num éricam ente igual a un lado d el triángulo. La longitud del alam bre es: 3 a> -

A) 90 B) 100 C) 180 D) 200 E ) 120 28. En una asam blea, todos deben votar a fa vor o en con tra de una m oción. En una p rim era rueda, los qu e votaron en con tra gan aron p o r 20 votos; en una segunda vuelta se aprobó la m o ción p o r una d iferen cia de 10 votos. ¿C uántos asam bleístas cam biaron de opin ión?

C) 5 g E) 10 g

27. ¿Cuántas pa ta s de ga llin a s se p u e den con ta r en un corra l, donde hay 90 gallin as más 1110 d el núm ero de gallinas?

29. Luisa ti ene “a ” a n im a lito s en tre loritos y m onitos; si en tre los anim a les qu e tiene, se p u ed e observa r “p yy patas. ¿C uántos loritos tiene? A) 4a —p D)

B)

2a - p

4p-a

C) E)

4a-p 4a + p

30. Un com ercia n te hizo un p ed id o de cu ad ern os de 50 y 100 hojas p o r un va lor de SI. m, pagan d o SI. b p o r cad a cu ad ern o d e 100 hojas y SI. a, p o r los de 50 hojas. R ecibió el núm ero p ed id o de cu ad ern o p ero p o r un va lor de SI. n , ( n < m). ¿C uántos cuadernos de 100 hojas de m enos ha recibid o? m -n A) b -a

m +n B) b +a

m -n D) ba

E) (6 - a)(m - n)

m -n C) b +a

31. La sum a d e dos núm eros m enos 15 unidades es igual a 2 veces la d iferen cia y cuando se sum an 10 unidades a la sum a, se obtien e 3 veces la d iferen cia. El m ayor de los núm eros es: A) 40

B) 45

C )65

D) 35

E) 25

32. Cuando le preguntan a Jaim ito p o r el núm ero de herm anos, responde: “El

Ecuaciones

287

núm ero de mis herm anos exced e a l de m is herm anas en 2, adem ás si tu vie ra una herm ana m enos, el núm ero de mis herm anas sería la m itad d el nú m ero de m is herm anosn. ¿C uántas herm anas tien e J a im ito?

p icero s m ás d e a soles, e l g a sto au m entaría en su n-ésim aparte. ¿Cuán tos lapiceros d e b soles se com praron?

A) 2

n D) a~ b

B) 3

C )4

D) 5

E) 6

33. Jesús da a su h ijo tan tos cén tim os com o soles tiene en el bolsillo y se que da con 396 soles. ¿C uántos soles te nia en el b olsillo? A) SA 400 D) SA 320

B) SA 360

C) Sí. 310 E) SA 410

34. En una reu n ión se cu en ta n tantos caballeros com o tres veces el núm ero de dam as; después qu e se retira n 8 parejas, el núm ero de ca b a lleros que aún quedan, es igu al a 5 veces el de damas. ¿C uántos ca b a lleros habían in icialm en te? A) 16 B) 32

C) 48

D ) 64

E) 72

35. En una fiesta se observa 8 m ujeres sentadas y tan tas p a reja s bailan d o com o h om bres sen ta d os. E n la si guiente pieza se observa qu e todas las m ujeres se en cu en tran bailan d o y 8 hom bres se en cu en tra n sen ta d o s. ¿C u án tasperson as hay en la fiesta ? A) 56 B) 52

C) 48

D) 16

E) 32

36. Un gru po de 60 soldados se dividen en 2 batallones. Si d el p rim er bata llón se retira n 12 soldados, en e l se gundo habrían 10 soldados m ás que en el prim ero. ¿C uántos soldad os co rrespondió a ca d a ba ta llón ? A) 30; 30 D) 33; 27

B) 31; 29

C) 32; 28 E) 35; 15

an A) a -b

n C) b -a bn E) a -b

38. Un á rbol crece anualm ente 3 m etros d u ran te los 5 p rim eros años y 2 m e tros ca d a añ o siguien te. La ecu ación qu e rep resen ta la lon gitu d L d el á r bol en un tiem po d e t años en : (t > 5) A) L = 3 + 2 t C ) L = 15 +2t E) L = 15-2t

B) L = 1 5 + 2 ( t - 5 ) D ) L = 15 + 2(t + 5)

39. H ace 5 m inutos, la can tid ad d e m i nutos qu e habían p a sa d o desde las 8 cum. era 15 veces el núm ero d e m eses qu e han p a sa d o d el año. Si la ca n ti dad de m inutos qu e han p asa d o des de la s 8 cum. hasta el m om ento, exce d e en 117 a los m eses tran scu rrid os d el año. ¿Q ué h ora es? A) 8:06 a.m. C) 10:05 a.m. E) 10:08 a.m.

B) 8:10 a.m. D) 10:10 a.m.

40. D e dos ca ja s qu e con tien en la p ice ros, e l segundo con tien e e l doble que el p rim ero; cuando de am bos se sa can igual núm ero de lapiceros, lo que con tien e el segundo es el trip le d e lo q u e con tien e el prim ero. Si agrega m os 27 la p iceros a lo qu e quedó en e l p rim ero, obtendríam os tantos la p i cero s com o ten ía e l segundo a l p rin cipio. i Cuántos la piceros con tenía a l p rin cip io la p rim era ca ja ? A) 9

37. Se com praron un n la p iceros d e a so les y de b soles. Si se com praran 2 la

an B) b -a

B) 24

C) 18

JD) 27

E) 12

41. S e tien e tres gru pos d e clavos, cuyas


288 cantidad es son núm ero con secu tivos crecien tes; si del segundo y del ter cero se pasan al p rim ero igual nú m ero de clavos, resu lta que lo que hay ahora en el prim ero y lo que que da en el tercero están en la rela ción de 14 a 9 y lo que queda en el segun do con el tercero, en la rela ción de 17 a 18. ¿C uántos clavos hay ahora en el prim ero? A) 20

B) 21

0 23

D) 24

E) 28

42. Un señor, diariam en te de Lunes a Sábado, se d edica a visita r colegios. P o r visitar c o l e g i o s p a r tic u la r e s gan a SI. 20 m ás que p o r visita r co le g ios n a cion a les. En 5 sem anas ha ganado SI. 350 ¿Cuántos colegios na cion ales ha visitado, sabiend o que p o r visita r 4 coleg ios p a rticu la res gan a Sf. 50 más que p o r visita r 10 colegios n acion ales? A) 8

B) 10

C) 12

D) 15

E) 20

43. Una p erso n a en el m es de Mayo suma a los años que tien e los m eses que ha vivido, obteniend o 381. ¿En qué mes n ació dich a p erson a ? A) Diciembre C) Febrero D) Abril

B) Enero E) Mayo

44. El núm ero de soles que pagu é p o r cad a caram elo m ás el núm ero de ca ram elos qu e com pré hacen un total de 25. Si en la com pra ga sté SI. 156 ¿cuánto cu estan 10 caram elos? A) S I . 120 B) S/. 130 C) S/. 120 ó S I . 130 D) S I . 140 E) S I . 120 ó

SI.

140

45. En una reunión habían 5 hom bres más que m ujeres, lu ego llegaron un grupo de p erson a s cuyo núm ero es

igual al de los hom bres inicialm ente presentes, de modo que en la reunión todos están en p a reja s y hay 50 hom bres en total. H allar el núm ero de m ujeres inicialm ente presentes. A) 20

B) 25

C) 30

D) 32

E) 35

46. P or el día de la m adre, tres herm a nos acordaron reg a la r un perfu m e a su mamá, aportan d o de m enor a m ayor cantidades que están en p ro g resió n a ritm ética , resu lta n d o el a p orte tota l el cu ádru ple de lo a p or tado p o r el m enor. ¿Cuánto costó el perfum e, sabiendo que si hubiera un cu a rto herm ano mayor, el interm e dio hubiera aportado SI. 3,00 m enos? A) SI. 24,00 B) SI. 30,00 O SI. 36,00 D) SI. 48,00 E) SI. 60,00 4 7 . Una f a m i l i a a c o r d ó p r e p a r a r tam ales p a ra el d ía del Trabajador, p a ra ello se sacó un presupuesto, lo cu al se cubriría en partes iguales p o r los m iem bros de la fam ilia; p ero al r e a l i z a r las c o m p r a s s e g a s t ó SI. 240,00p o r lo que cada m iem bro te nía que aportar Sf. 6 más de lo p re visto, entonces 3 de ellos acordaron no participar, p o r lo tanto los restan tes tuvieron que a p ortar el doble de lo previsto, p a ra cu brir el gasto. ¿De cuántas personas con sta la fam ilia? A) 8 D) 10 ó 16

B) 15

O 8 ó 15 E) 12 ó 18

48. ¿En qu é tiem po h arían A, B, C un trabajo, ju n to s, si A solo p u ed e h a cerlo en seis h oras más, B solo en una h ora mas, y C solo en el doble de tiem po? A) 38 min D) 41 min

B)39 min

C) 40 min E) 42 min

49. Un em presario con tra tó a dos teño

Ecuaciones

289

res A y B. A recibió 5120 soles y B, que cantó en tres funciones menos, 2 000 soles. Después se les contrató de nue va, figurando A con las funciones que había trabajado B y recíprocam ente y recibieron la misma can tidad ¿Cuán to cobró p o r función cada uno de los tenores? A) 640 soles y 600 soles B) 600 soles y 400 soles C) 640 soles y 400 soles D) 500 soles y 450 soles E) 650 soles y 420 soles.

B) 13,7

C) 13,9 E) 13,5

51. H ace 2 años ten ía la cu a rta p a rte de la edad qu e ten d ré d en tro de 52 años. ¿D entro de cu án tos años ten dré el doble de la edad que tenía Hace 5 años? A) 10 años D) 40 años

B) 20 años


52. La edad qu e ten d rá P ablo d en tro de 15 años y la ed ad que ten ía h a ce “x n años está n en la rela ción de 11 es a 11; m ientras que la edad que ten drá dentro de “x ” años y la edad que tenía h a ce 10 años están en la rela ción de 3 es a 2. H a lla r “x ” A) 1

B) 6

C )2


D) 3

E) 5

53. Una ciud ad fu e fundada en el siglo XX. En el añ o qu e se escribe con las mismas cifra s d el año de su fu n d a ción p ero con las 2 últim as cifra s in vertid as, celeb ra ro n ta n tos a ñ os com o la sum a de sus 2 últim as cifra s

B) 9 años


54. H ace 10 años ten ía la m itad d e la edad qu e ten dré d en tro d e 8 años. D en tro de cuántos años ten dré el do ble d e la edad que tuve h a ce 8 años? A) 10 años D) 16 años

50. H allar 2 núm eros tales que su sum a m ultiplicada p o r la sum a de sus cua drados sea 5 500, y su d iferen cia m ul tip lica d a p o r la d iferen cia d e sus cuadrados sea 352. A) 12,8 D) 12,9

d el año de su fundación. ¿Cuántos años celebra ron en aqu ella fech a ?

B) 12 años


55. D en tro de 10 años, la edad de un p a d re será el doble d e la edad de su hijo. ¿Cuál es la edad a ctu a l d el hijo, si h a ce 2 años, la edad d el p a d re era e l trip le de la de su h ijo? A) 20 años D) 18 años

B)15 años


56. L as edades actu a les de dos am igos son en tre sí com o 7 es a 5, p ero h a ce 4 años estaban en la rela ción de 3 es a 2. ¿D entro de cuántos años sus eda des estarán en la rela ción de 9 a 7? A) 4

B) 6

0 8

D) 10

E) 12

57. La sum a de las edades a ctu a les de 2 herm anos es 60 años, d en tro de 5 años el m ayor tendrá el doble d e la edad que ten ía el m enor h a ce 5 años. H a lla r la sum a de cifra s d e la edad a ctu a l del mayor. A) 5

B) 6

0 7

D) 8

E) 9

58. La d iferen cia de los cu adrad os de las edades de M ary y L ucy es 49; si M ary le llev a p o r un a ñ o a Lucy, ¿cu á n to s años d eb en tr a n s c u r r ir p a ra que la edad de Lucy sea un cu a drado p erfecto p o r segunda vez?

A) 1 año D) 12 años

B) 5 años



290

mmmmmmmmmmmmmmmmmrnmá

59. A ctualm ente Susy tien e 36 años y Laura tien e 24 años. L au ra afirm a que se ca sa rá cu an d o tran scu rran tantos años, com o los tran scu rrid os del año que term inó su secundaria. La suma de las edades de Susy y Laura en el año qu e se ca se ésta últim a y la suma de las edades que tenían cu an do Laura term inó su secundaria, son entre sí com o 19 es a 11. ¿A qu é edad p ien sa ca sa rse Laura? A) A los 20 años C) A los 28 años D) A los 30 años

B) A los 24 años E) A los 32 años

60. Cuando a M anuel se le pregu n ta p o r la edad de su herm ana Susy, respon de: “Cuando yo ten ía 14 años, m i h er m ana ten ía la m itad de la qu e ten ía mi pad re, actu alm en te suced e igu al con mi edad y la edad a ctu a l d e mi pad re; en cam bio h a ce 16 añ os mi edad era la m itad de la edad que te nía mi h erm a n a ¿C u á n to s años tie ne Susy? A) 20 B) 13

C) 15

D) 16

E) 18

61. Las edades a ctu ales d e 3 herm anos form an una p rogresión aritm ética. Cuando el m enor tenga la edad a c tual d el m ayor, éste tendrá el dóble de la edad que ten ía el m enor h a ce 2 años y cu an d o el segundo ten ía la edad a ctu a l d el m enor, las edades de los otros 2 estaban en la rela ción de 3 a 2. ¿C uántos años tien e actu alm en te e l m ayor? A) 20 años B) 24 años D) 28 años


62. La edad a ctu a l d e un p a d re es e l do ble de la sum a de la s edades d e sus 2 hijos. H ace 6 años la ed ad d el p a d re era el trip le de la sum a de las edades qu e ten ía n sus 2 hijos. ¿D en tro d e

cu á n tos años la sum a d e las edades de los 3 será el dable d e la edad a c tu al d el p a d re? A) 4 años B) 6 años D) 10 años


63. La ed ad a ctu a l de L uis y la de N iño son en tre sí com o 9 es a 8. Cuando N iño tenga la edad qu e tien e ahora Luis, éste ten drá el d oble de la edad que ten ía N iño h a ce 18 años. ¿Cuál es la d iferen cia de sus edades? A) 6 años D) 3 años

B) 5 años


64. Cuando Augusto le preguntó a Rubén p o r la edad qu e tenía, éste respondió: Tengo el trip le de la ed ad que tú te nías cuando yo ten ía la m itad de la edad que tienes y cuando tengas la edad qu e tengo, ten d ré ta n to com o tendrás d en tro de 8 añ os” L a edad de R ubén es: A) 32 años D) 40 años

B) 34 años


65. La edad que tendrá una persona den tro de cierto núm ero de años y la edad qu e ten ía h a ce ese m ism o núm ero de años sum an 36 años. Sabiendo esto, determ inar, h ace cuántos años tenía el trip le de la edad qu e ten ía h ace 13 años. A) Hace 2 años C) Hace 4 años D) Hace 5 años

B) Hace 3 años E) Hace 6 años

66. Una p erson a nacid a en e l sig lo XX, tien e en 1988, tan tos años com o la sum a d e cifra s d el a ñ o d e su n a ci m ien to^ Cuántos años cum plió en el año 2000? . ^ A) 30 años B) 32 años D) 22 años


Ecuaciones

291 CLAVES CE RESPUESTAS

1 PÁGINA C 252 - 253 9 B PÁGINA 1 256 - 257 i •

2 3 A JB

4 C

5 D

6 E

7 D

8 C

1. -7 ; 4

10 11 D E 2 • «

u

3 E

20. 0,625; -7/9

2. 15; -2 3.

4

5

€ *C

6 B

7 E r

| !

-60; 40

4. 18; 2

PÁGINA D 271 - 272 9

C

B •

5 B

B ?•

6 C

7

8

7.

C A • ,

C PÁGINA 1 273 B

22. -2

± y[E

18; -14

23. 4 ± y¡2 24. 3 ±y¡2 i

8. 36; 24

25. -5 ± 6 /

9. -18; 16

26. -1,5 ± i

10. 36; -2 4 2 ,3 A

C

4 D

5 , 6 .i 7 1 D ' E. |b h '.J

11.

5; 2/3

12.

3,5; -1,2 0,375; 1/7

13.

PÁGINA 1 277 - 278 B

±

5. 18; 17 6. 19; 13

1 2 3 4

21 . -1

2 B

3 B

4 E

5 C

6 C

7 f D ¡

14. 0,375; 5/6 0,375; 5/3 16. 1,75; 5/6

27. 5 28. 3

15.

17.

PROBLEMAS PROPUESTOS 3 i 4 ■ 8 *4 10 6 i C D B c c A E 'A 1B 11 12 13 14 15 16; 17.118 19: 20 D C A D C c{ A B ' a ;D 1 A

2

2 r 2 2 ! 23 241 25;•» 26 i 27; 28 ¡"29! '■ \ *> A A í D C C Di B C 31 32 3 3 r34 35 36 37 38 39 - ~■f B C; A C a ! B B ¡ B c|

30 A 40 B

41! 4 2 ; 43 4 4 145* 46 47Í 48 49 50 i E E B C C A .C C i c C . 51 52 53 54 55 56 57, 58 59: 60 A D B * B e j Di D D E A . •*-*r 61 62 63 64 65' 66 > ♦s fe "■-/ * * * D B C i c

-1,2; 1,125

18. -5/6; 0,3 19. -1,8; 1,75

29. 1±y¡21 3 30. 5

n •

•

31. x2- lOx + 21 = 0

39. x2 + lOx + 27 = 0

32. x2—2x —48 = 0

40. x2- 2x + 4 = 0 33. x2 + 22x + 120 = 0 41. 15x2- 19x + 6 = 0 34. x2- x - 42 = 0 42. 42x2 - 23x - 10 = 35. x2- 2x - 2 = 0 43. 15x2 + 59x + 56 = 36. x2 + 4x - 1 = 0 37. x2 - lOx + 22 = 0 38. x2 - 4x + 7 = 0

44. 9x2 - 48x + 59 = 0 45. 16x2- 40x + 28 =


292

Gearg Friedrich Bemhard Riemann

(1826 -1866)

G eorg F riedrich B em h a rd R iem ann Nació el 17 de Septiembre de 1826 en Breselenz, Hannover (Ahora Alemania). Las ideas de Riemann concernientes a la geometría del espacio tuvo profundos efec tos en el desarrollo de la teoría física mo derna. Clarificó la noción de Integral, defi niendo lo que ahora llamamos Integral de Riemann. Riemann se trasladó de Gottingen en Ber lín el año 1846 para estudiar bajo la ense ñanza de Jacobi* Dirichlet y Eisenstein. El año 1849 retornó a Gottingen y su tesis supervisada por Gauss fue presentada en el año 1851. En su informe de la tesis Gauss describe a Riemann como alguien que tenía una fácil y gloriosa originalidad. Con las recom endaciones de Gauss, Riemann fue nominado para un puesto en Gottingen.

Los escritos de Riemann de 1854 llegaron a ser un clásico en las matemáticas y estos resultados fueron incorporados dentro de la teoría de la relatividad y gravitación de Einstein. La cátedra de Gauss en Gottingen fue ocu pada por Dirichlet en el año 1855 y después de su muerte por Riemann. Aún en esos tiempos sufrió de tuberculosis y estuvo sus últimos años en Italia en un intento por mejorar su salud. Las ideas de Riemann concernientes a la geometría del espacio tuvo un profundo efec to en el desarrollo de la teoría física moder na y proveía los conceptos y métodos usa dos después en la Teoría de la Relatividad. Era un original pensador y un anfitrión de métodos, teoremas y conceptos que llevan su nombre. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann (cono cidas un tiempo antes) y el concepto de la superficie de Riemann aparecen en su tesis de Doctorado. Falleció el 20 de Julio de 1866 en Selasca, Italia.

SABERES PREVIOS

INTRODUCCION Si com param os dos n ú m eros a y b , hay d os posibilida

-

n es co n los m ism os: u n ión e in tersección .

des: q u e a = b ó q u e a * b . E n esta sección n os ocu pa rem os de estudiar el seg u n d o caso, es decir , cuando a

*

b. En otras palabras, n os ocu parem os d e las des

igualdades y todo cu a n to ten ga q u e v e r con etlas. P or otro lado, para ten er una v isión m ás am plia y una idea gráfica de los n ú m eros, estu d ia rem os a és tos ligadas a ¡a recta : a s í com p ren d erem os lo q u e son los intervalos.

D eb es ten er cla ro lo q u e son co n ju n to s y op era cio

-

Saber los prin cipales m étodos de resolu ción d e ecu a ciortes.


294 6.1 La Recta Numérica Uno de los grandes saltos en el desarrollo de la mate mática fue el hecho de hacer una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre los puntos de una recta y el conjunto de los números reales. Es así como vamos a desarrollar este capítulo. Tracemos una recta y escojamos un punto al cual le ha cemos corresponder el cero y le llamaremos origen (0). A partir de allí, ubicamos puntos equidistantes en una longitud u y a cada uno le asignamos los números ente ros.

En esta recta numérica, es posible graficar cualquier número real, sea cual sea: negativo, entero, fraccionario o irracional, por más grande o pequeño que sea.

Reto al ingenio 1 ¿Suma o resta?

♦

No sabemos si ha sumado o resta do. Lo único que hemos averigua do es que Lupita, lógicamente con la “mala” intención de complicar nos la vida, ha realizado una ope ración o bien de adición o bien de sustracción, eso tienes que averi guarlo, y ha reemplazado los dígitos con las letras de su nom bre. Cuando ella hace estas cosas, tie ne la costumbre de reemplazar dígitos diferentes por letras dife rentes y nunca ha reemplazado con letras diferentes el mismo dígito en caso que aparezca más de una vez.

6.1.1 Distancia de un punto a l origen . Valor absoluto .

L U P

I

P T P I U A L L

-

3

-

2

-

1

0

1

2

3

En este caso u = 1 cm. Al punto A le corresponde -3 y a B, 3; sin embargo, la distancia de ambos puntos al origen es 3 cm. Este 3 es el valor absoluto de -3 y 3 y se denota por |-31 = 3 y |3| = 3. El valor absoluto de un número es la distancia que hay entre el punto correspondiente al número y el origen. En caso de que el número sea negativo, para calcular su valor absoluto le anteponemos el signo negativo, de modo

Ella duda, falsa ilusión, que pue das descubrir los dígitos que es conde cada letra y restituir la ope ración, pero yo sé que tú no deja rás que ella se salga con la suya.

Inecuaciones

295

que al aplicar la ley de signos; (-)(-) = + se hace positivo N úm eros p ositivos y negativos

Ejemplo: |-21 = -(-2 ) = 2.

{

n, si n >0 - n, si n < 0 ©

De manera general:

0 n

m

f Problema 1 ] R esolución

Una vez definido el punto uorigenK 0, a la derecha de éste se encuen tran los números p ositivos:

Lo primero es que no sabemos si lo que está dentro de las barras es positivo o negativo. Para resolver tenemos que considerar ambas posibilidades:

Y a la izquierda del origen se en cuentran los números negativos.

H allar el valor de x si ¡ x -1 1 = 4

-6

-5

-4

( m <0 )

x -1

x -1 -3

-2

-1

0

• Si x - 1 = 4 =»|x = 5 |

• Si x - 1 = -4 =* x = -3

{R pta,: x - S

ó x = 5]

[Problema 2 j

■■1-4 ¡ = -(-4) =4

R esolver la siguien te ecu ación : \ x - 3 1- 4 = -1

x -3

x -3 = -1 + 4 x -3 = 3

De donde

¡51=5 1-1001 = - ( - 100) = 100

R esolución

D e(l):

©

v

x= 6

=3

...(1)

x -3 = -3 x = 0 {R p ta .;x = 6 ó x = O)

[ Problema 3^

Para resolver ecuaciones con va lorabsoki'r?, si m \- n , en ton cesm -n ó m = -n.

R esolver la sigu ien te ecu a ción : | |x - 3 1- 6 1 = 2 Resolución • Si |x - 3 | -6 = 1 De (1): x- 3=7 x = 10 Si |x - 3 |- 6 = -1 De (2): x- 3 =5

=* v

x - 3 | =7 x - 3 = -7 x = -4

...(1)

x - 3 I =5 x - 3 = -5 x = -2

.... ( 2 )

{Rpta.: x = 10; x = -4;

x = 8; x = - 2 J

Curiosidad Qué valores puede tomar la fun ción: / ( x ) - £ 1 X

+ ÍL ; X

x

* 0

296


Problemas 4. H allar el conjunto solución de la ecuacioru

1. R esolver la ecu ación ; Ur + 4 = 1 A) x = -5 ó x = —2 C) x = 5 ó x = -3 E) x = 2 ó x = 1

B) x = 5 ó x = 3 D) x = -5 ó x = -3

3 \x-2\ + 5 = = 4 i x - 2 A) {-3; 3} D) {-3; 7}

B) {7; -7 }

C) {3; -7) E) (-3; -7}

2. R esolver la ecu ación : |x - 4 1-10 = -8 A) x = 20 ó x = 1 C) x = 7 ó x = 3 E) x = 0 ó x = -3

B) x = 6 ó x = 2 D) x = 10 ó x = 2

5. H allar el conjunto solución de la ecua ción: *1 -5

3. R esolver la ecu ación ; / /x - 2 / —4 / = 2 D ar como respuesta ta suma de /os posibles valores de x A) 16 B) -16

C )8

D) 4

A) {1 -7) C ) ll 1/7} E) (1 -1 ; 1/7}

E) -4

=

2\x\-l

B) {1; —1} D) (1; —1; —1/7; 1/7}

6.2. Intervalos Ya sabemos que los puntos de una recta se hace corres ponder con todo el conjunto de los números reales; si de la recta numérica tomamos un subconjunto, es decir, un segmento, entonces a dicho segmento le corresponde un subconjunto de los números reales al que se le denomi na INTERVALO

In tervalos esp ecia les

i [i; °°)

0

0

1

6 En el gráfico se muestra un segmento de la recta numé rica que va desde el punto correspondiente a 2 hasta el punto que corresponde a 6. El intervalo que corresponde a este segmento se denota por: [2; 6] La forma práctica y usual de graficar los intervalos es del siguiente modo:

_10

13; 7]

-9

-8

-7

< -9 ; -6 >

-6

-5

(-« ;5 ) Un extremo de estos intervalos es el infinito (<*>) lo cual indica que en dicho extremo el intervalo es ne cesariamente abierto.

8

10 <8; 1 1 ]

11

12

Inecuaciones

297

Los intervalos pueden ser cerrado, abierto o semiabiertos dependiendo de que si el punto correspondiente al extre mo del intervalo pertenece o no al segmento. La aplica ción de esto veremos más adelante. Por otro lado, siendo los intervalos conjuntos numéri cos, tienen toda las propiedades de conjuntos y se puede realizar con ellos las operaciones como unión e intersec ción.

CURIOSIDAD Cuántos números enteros contie ne el intervalo. {-10,5; 2,58)

j*'1"*■7;

8

i

-1

Unión

10

11

12

Unión

(-2;4]u[l; 7) = (-2;7)

[2;6]v[7;12]

Intersección

Intersección

( - l t4 ] n [ l - 7 ) = [l;4]

[2;6]n[7;12] = *

6.3. Desigualdades Si dos números corresponden a un mismo punto de la recta numérica, se dice que dichos números son iguales. En cambio si los números corresponden a puntos dife rentes, entonces se dice que son desiguales; el número que se encuentra a la izquierda es menor que el que se encuentra a la derecha. Ver gráfico. Los símbolos que se utilizan para designar las des igualdades son: < Se lee: “menor que”

(8 < 10)

> Se lee: “mayor que”

(15 > 2)

£ Se lee: “menor o igual que”

Reto al ingenio 2 Tres equipos defútbol Tres equipos A, ByC, van a jugar todos al fútbol entre sí una vez. Se adjudican 10 puntos por ganar, 5 puntos por empate y 1 punto por cada gol convertido, cualquiera sea el resultado del partido. Después dejugarse algunos de los partidos, o tal vez todos, los puntos eran los siguientes: A: 21 B: 20

£ Se lee: “mayor o igual que”

C: 4 m

0

1 2 (m a n )

n

m

n ( m
En ninguno de los partido se mar caron más de 6 goles. ¿Cuál fue él resultado de cada par tido?


298 Positivo y negativo, lectura de los signos

Reto al ingenio 3

¿Cómo se lee “x > 0”? ... pues comúnmente leemos “x mayor que cero”. Pero este modo de leer no ayuda a captar totalmente la información. En adelante leeremos ux es positivo”. Por lo tanto, ¿cómo leeremos ux < 0”?... En efecto: “x es nega tivo”

[Problema 1 j S ix > 0 A y <0, i cu á les de las siguien tes desigu al dades son verdaderas? a)x y >0

x c) —<0 y

e) x ( x - y ) < 0

b )x -y < 0

d ) x 2 + y2 > 0

f) y ( y - x ) > 0

Resolución “x > 0" e ”y < 0” significa que “x es positivo" e ny es negativo". Para resolver los problemas sólo debes tener en cuenta la ley de los signos. •El producto de dos números del mismo signo siempre es positivo (igualmente el cociente) •Elproducto de dos números de signos contrarios siem pre es negativo (igualmente el cociente) •Si anteponemos un signo menos a un número negati vo, se vuelve positivo (- (-5) = 5) -

—

Puedes sacar algunas conclusiones Cuatro equipos de fútbol —A, B, C y D— van a jugar entre sí una vez. Después de haberse jugado algunos —o tal vez todos— los partidos, se puede confeccionar una planilla como la siguiente en la que aparecen algunos detalles de los partidos jugados (PJ), ga nados (PG), perdidos (PP), empa tados (PE), goles a favor (GF), go les en contra (GC) y puntos (P): PJ PG PP PE GF GC P A

4

B

5

C D

0

4 5 4

2

3

0

(Se adjudican 2 puntos por ganar y 1 punto a cada equipo en caso de empate). Averigua el resultado de cada par tido.

-

a. x y > 0 falso: x e y tienen signos contra rios, entonces xy es negativo (xy <0) b. x - y < 0 falso: y es negativo -y es positivo, como x también es posi tivo, la suma es positivo (x- y > 0) X c . — < 0 verdadero: Cociente de números

y de signos contrarios es negativo. d. x2+y* > 0 verdadero: El cuadrado de un

número, sea éste positivo o nega tivo, siempre es positivo. La suma de dos positivos, es positivo. e . x(x —y ) > 0 falso: Se ha visto que el fac tor (x - y ) es positivo (solución b), entonces al multiplicar por x, el producto es positivo (x(x - y) > 0) f. y(y - x ) > 0 verdadero: - x es negativo, entonces y —x es negativo. Al mul tiplicar por y negativo, el produc to es positivo. (y(y - x ) > 0)

299

Inecuaciones ¿Cómo se lee ux < 0” ? ... pues se lee: “x menor o igual que cero”. Esto quiere decir, quex, por ser variable, puede tomar todos los valores desde cero inclusive y menores que cero, lo que no puede tomar como valores son los números positivos. En consecuencia, ía lectura de “x < 0” se debería leer, “x no es positivo” y la lectura de “x > 0” sería ax no es negativo”

PRACTICA Si

a < 0
Escribe el signo que haga que la desigualdad sea verdadera ab □ 0 a -b □ 0

Por ejemplo la desigualdad: X2

>0;

b -a □ 0

VxeM

Nos está indicando que el cuadrado de cu alqu ier nú m ero real, nunca es negativo. O sea, puede ser cero o positivo, pero jamás negativo. ¿Estás de acuerdo? Has ta aquí, ¿has comprendido? Si tienes dudas, te sugiero que repases la lectura de los símbolos antes de conti nuar.

a □ 0 b a(b - a) n o b(a - b) n o (a - b)(b - a) n o

¿Cuál es m ayor y cuál es m enor?

[ Problema 2 j ¿ Cuál es m ayor %j4 ó 1J3 ? R esolución Si tuvieras una calculadora a la mano, no tendrías problemas para averiguarlo, calculando las raíces. Veamos cómo nos arreglamos sin calculadora. Vamos a suponer que son iguales. Entonces, vamos a proceder como si fuera una ecuación. ¡Atención! Igualando Para eliminar las raíces, elevamos ambos miembros a la sexta:

(«y - w í Efectuando

$4* = 42= 33

Ahora podemos ver que no son iguales, entonces reem plazamos el signo igual por el signo correspondiente:

i 6 <27 => m T j f ) ©

® PRACTICA Coloca el signo de desigualdad que corresponda a cada una de las siguientes parejas de números. 6 >J8 7 6 9 10

V3 'i¡22 5 4 11 n

300


¿Aumenta o dism inuye?

PRACTICA

¿El cuadrado de un número siempre es mayor que el número? Por ejemplo, 6 al cuadrado es 36, y 36 es mayor que 6.

Coloca el signo respectivo para cada pareja de números.

Lógicamente si el número es negativo su cuadrado, por ser positivo, siempre será mayor que el número. Pero, ¿es posible encontrar un número que al elevar al cua drado disminuya en lugar de aumentar? ¿Cuál es ma-

^ I

1 1 yor, 0,5 ó 0,25? ¿Cuál es mayor ^ o ” ? ... En efecto, 1 1 0,25 < 0,5 y g < ^ . Pero 0,25 es el cuadrado de 0,5 y

l 'ÍS

-3 Q

(-3F

0,8 Q

( 0,8)2

JÓ J □

1/9 es el cuadrado de 1/3. Esto es, el número 0,5 al ser elevando al cuadrado disminuye a 0,25, así, el cuadrado del número es menor que el número.

0,2 I 7

Ahora ¿puedes identificar los números que tienen esta propiedad? ... En efecto, son los números, comprendidos entre 0 y 1, son los números que pertenecen al intervalo

6.3.1. Propiedades de la desigualdad

Si, [ f l < Í A Í < C = » f l < C

2 <4 a 4 <6=>2 <6

•

A. TRANSITIVA: Si un número a es menor que b y el número b es menor que c, entonces a es menor que c. Simbólicamente:

• -1

< 0

a

0 <

1 0 => -1

< 10

)

B. MONOTONIA Esta propiedad es de vital importancia para resolver problemas de desigualdades. Para ilustrar esta propiedad, y tú mismo(a) deduzcas las conclusiones, te propongo que efectúes la operación en ambos miembros y pongas el signo correspondiente a cada desigualdad. Partamos de la desigualdad:

360 < 480

Sumando 120 a ambos miembros:

360 + 120 □

480 + 120

Restando 200 a ambos miembros:

3 6 0 -2 0 0 □

4 8 0 -2 0 0

Multiplicando por 2 ambos miembros:

2x360 □

2x480

Dividiendo entre 12 ambos miembros:

3 6 0 -r l2 Q 480-rl2

Multiplicando por - 2 ambos miembros

-2x360 □

-2x480

Inecuaciones

301

Dividiendo entre - 12 ambos miembros

360-H-12) d i 480-K-12)

Si has colocado los signos correctamente entonces estarás de acuerdo con las siguientes conclusiones: Si a ambos miembros de una desigualdad se suma o se resta un mismo número (Sea positivo o negativo), el sentido de la des igualdad se mantiene. Si

a
a +c< 6 +c a -c< b-c

Si ambos miembros de una desigualdad se multiplica o se divide por un mismo núme ro (diferente de cero) el sentido de la des igualdad. •Se m antiene, s¿ el número es positivo •Cam bia, si el número es negativo Si

acbc

a
si c > 0 si c <0

Son innumerables las propiedades y teoremas en este tema. Tenemos dos opciones para poder dominar el tema de las desigualdades e inecuaciones: Una, es memorizar todas las propiedades posibles y aplicarlas en el momento requerido y, la otra es, comprender los fundamentos básicos y desarrolla? un criterio general para aplicar en cualquier situación. Obviamente, optaremos por la segunda opción.

[Problema 3] A qué intervalo p erten ece x si: 4 ( x - 3 ) - 5 < 2x + 17 Resolución La transposición de términos en las ecuaciones está ba sada en el hecho de que al sumar o restar un número a ambos miembros de la igualdad ésta se mantiene. Esta propiedad también se cumple en la desigualdad. Por consiguiente se puede transponer los términos que están sumando o restando en un miembro, igual que en una ecuación. -

-

Operando:

*

x-7> 8 x> 5 + 7 ( * > 15)

---

4x - 12 - 5 < 2x + 17

Transponiendo términos: Efectuando

©

•

x< 19-10

4 x -2 x < 17 + 12 + 5

[x< 9)

2x < 34

¿Podemos pasar dividiendo el 2 al segundo miembro?... Esto es posible en una ecuación porque al dividir ambos miembros por cualquier número (diferente de cero) la igualdad se mantiene. En una desigualdad, ¿qué sucede al dividir ambos miem-

x + iO < 19

•

7 < 18- x x< 1 8 -7 (* <


302 bros por el mismo número? ¿Cambia o no cambia el sen tido de la desigualdad? ... En efecto, se mantiene si el número es positivo y se invierte si es negativo, esto quie te decir que al transponer, dividiendo o multiplicando, un número positivo, el sentido de la desigualdad no cam bia y si el número transpuesto es negativo, se invierte el sentido de la desigualdad. ( 2 )

•

7x < 28 28 x< 7 x< 4 ) X

• Transponiendo 2

x<

J >

34

*

2

X > 2x5

(* >

[Problema 4]

x* + 7

>5

X

•

»

.

5

V :;:

-8 x < 5(-8)

Resolución x2 + 7 > 0. Esto es, el Dado denominador del primer miembro ei poner, el sentido de la desigualdad

72

72 x> - 12 (x T -6 )

Determinar el intervalo al que pertenece x en: 3x*-2x +5

V

*$-« 1

•

10)

-40)

a

¿Dónde está el error? Sabemos que:

Transponiendo x2 + 7

3X2 - 2x + 5 > 3(x2 + 7)

Efectuando:

Sx2 - 2x + 5 > Sx2 + 21

Transponiendo términos:

Sx2 - 2x - 3X2 > 2 1 - 5

Transponiendo -2: x<

De donde L '2

2

-2 x > 16

16

-2

6.3.2. Desigualdades absolutas A. El cuadrado de un número

Aplicando logaritmos a ambos miembros: 2 log |^| > log ( V 3 y A plicando propied ad de logaritmos: 2 log

> 3log

1

El cuadrado de un número real, jamás puede ser negati v¿. Siempre es positivo o cero. Cancelando log I — tenemos 2

[ x 2 >0, Vxe R )

U > 3)

303

Inecuaciones B. La raíz cuadrada de un núm ero

¿ES CORRECTO?

Tanto el radicando como el resultado de una raíz cua drada jamás pueden ser negativos. ( Vx > 0 ;

¿Es correcto: ^Í9 = ±3 ?... ¡N o!... ¡Jamás la raíz cuadrada de un número no negativo puede ser ne gativo!

* >0 |

C. El valor absoluto de un núm ero El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero. (M > 0 ;

V xe K

Siempre: J9 =3 i Entonces porqué, en: x2 = 9

x = ±3 ?

( Problema 5)

No se debe confundir

¿Cuál es el in tervalo a l que p erten ece x en

( l ) x = \¡9 => f x = 3 ) (2)x2 = 9 => ( x = ±3)

* j 5 - x •\¡x + 4 ( x - 2)
El procedimiento seguido para resolver (2) es:

Resolución El primer miembro de la desigualdad consta de tres factores, cuyo producto es negativo o cero. Los factores 4 5 - x y *Jx + 4 no son negativos, enton ces lo es el factor (x - 2). Esto es: x - 2 < 0 = * [ x <2

=> -x > -5 => [ x <5 )

(2 )

=> ( x > - 4 )

(3)

Para que la desigualdad sea ciertas, las desigualdades (1); (2) y (3) deben ser ciertas simultáneamente. Esto es:

3ó

x = -3

¿Todo núm ero es m ayor que él m ism o? Sea:

x+4>0

=>

( 1)

Además las expresiones dentro del radical no deben ser negativos. Entonces: 5- x>0

xl = 3

x-

=>

a > b >0 ab > b2

a b - a 2 > b2- a2 > lb+a)($x^íTj

Graficando los intervalos.

Bt -4 V

a >b +a No sólo es mayor que él, sino, ma yor que cualquier número mayor que él. Sabemos que esto es impo sible, pero, ¿dónde me equivoque?


304 Como x tiene que satisfacer las tres condiciones, x perte nece a la intersección de los tres intervalos. Por lo tanto: x e [-4; 2].

6.3.3. Desigualdades relativas. Inecuaciones A diferencia de las desigualdades absolutas, las desigual dades relativas sólo se cumplen para ciertos valores de las variables. Por ejemplo x - 2 > 3, sólo se cumple para x > 5. Estas desigualdades, como ya hemos visto, se denominan inecuacines y sus soluciones son intervalos.

f Problema 6^ Resolver la siguiente inecuación: x -2

< x+1

Resolución Transponiendo 3:

x - 2 < 3x + 3

Transponiendo tnos: x - 3x < 3 + 2 Efectuando:

-2 x < 5

Transponiendo -2:

x>

-2

Luego:

Resolución El símbolo | |(valor absoluto), como se sabe, sobre el número que afecta, produce el efecto de, si es negativo volverlo positivo y si es positivo mantenerlo tal cual. Resolver |x|^ 5 es equivalente a preguntar se ¿qué números son tales que al volverlos positivos si son negativos y mantenerlos po sitivos si lo son, no superan a 5? De los positivos, todos los que no son mayo res que 5 y de los negativos, todos los que no son menores que -5.

[Problema 7] Resolver la siguiente inecuación: 3x* + 5 x - l < ( x + 2) (3x - 2) -1

Resolución Operando:

3*^+ 5x - 1 < jj¿*+ 4x - 5

Transponiendo: Efectuando:

5x - 4x < -5 +1

Gráficamente, los números, cuyo valor abso luto no es mayor que 5 son los del intervalo mostrado: Luego:

=^x < -4 |x|¿ 5

- 5 £ x <>5

(*e[-5;5]j

Luego:

[Problema 8] Si |jr|ú 5 ; ¿a qué intervalo pertenece x?

[ Problema 9] Hallar el intervalo solución de \x\< 2

Inecuaciones

305

Resolución*

Luego:

La inecuación equivale a preguntarse, ¿qué números, al volverlos positivo si son negati vos y mantenerlos tal cual si son positivos, son mayores que 2 ? Por ejemplo el -7, al volverlo positivo es 7 y es mayor que 2, entonces x puede ser -7. Prue ba con varios valores para x hasta deducir una conclusión. Gráficamente se muestra el intervalo en el que se encuentra x:

[ Problema 11] Resolver la inecuación |*-3| + |x + 5| <15 R esolución Aquí la idea es eliminar las barras del valor absoluto. Esto es fácil cuando se sabe el signo del nú mero afectado. Por ejemplo en |- 5 1 el número -5 es negati vo y eliminamos las barras volviendo positi vo ( |-5 1= 5). En 17 1 el 7 es positivo, elimina mos las barras manteniéndolo igual ( 17 1 = 7). Pero en \x |, no sabemos si x es positivo o negativo y no se sabe entonces si cambiar de signo o mantenerlo igual.

x < -2 v x > 2

M <2

En estas condiciones, lo conveniente es tra bajar agotando las dos posibilidades: Si x es negativo |x | = -x

[Problema 10

Si x es positivo |x | = x En la inecuación, el signo d e x - 3 y x + 5 depende en qué intervalo se encuentra x. Los límites de tales intervalos están determina dos por 3 y -5 (que resultan de igualar a cero x - 3 y x + 5).

Resolver la inecuación

R esolución Según el problema 8 , la expresión afectada del valor absoluto debe estar en el intervalo ( - ó ; 5 ) . Esto es: -5 < x - 3 < 5

( 1)

Estos puntos vamos a llamarlos puntos críti cos y por conveniencia diremos que 3 es punto crítico de x - 3 y -5 es punto crítico de x + 5. Ubicamos estos puntos en la recta real.

Aquí, la idea es hallar el intervalo en el que se encuentra x y no, x - 3 . Por consiguiente hay que eliminar -3 . Para ello sumamos 3 a los tres miembros de la inecuación (propie dad de monotonía) -5+8
-2
Dado que x es un número real, necesariamen te se encuentra en uno de estos tres interva los. ¿Cuál? No se sabe. Entonces debemos agotar las tres posibilidades.


306 Estas tres posibilidades son: que x sea m e n or que -5, esto es, x < -5. De esta desigual dad podemos deducir los signos de (x +5) y (x - 3) como sigue: x < -5 Transponiendo: x + 5 < 0

x+5>0

x+5>0

x+5>0

Con esto hemos determinado que (x + 5) es negativo, entonces al eliminar las barras de |x + 5 1 debemos cambiar de signo a (x + 5), de modo que:

x -3 < 0

x —3 < 0

x —3 > 0

|x + 5 1 = —x - 5 De x < - 5 también podemos deducir el signo de x - 3, como sigue: x < -5 Restando 3 a ambos miembros: x —3 < —5 - 3 Efectuando:

x - 3 < -8

Análogamente al procedimiento que hemos seguido, podemos analizar las otras dos posibilidades. A continuación el resumen del análisis:

2* Que-5 áx <3

Igualmente sucede con x - 3. En los dos in tervalos a la izquierda de 3, la expresión x - 3 es negativa y a la derecha de 3 es positiva Con todo lo que acabamos de ver es fácil eli minar las barras del valor absoluto. Resolviendo la inecuación para las tres posi bilidades:

Dado que (x - 3) es menor que -8 , entonces es negativo. Entonces: |x —3 1 = -x + 3.

1° Que * < - 5

Como hemos acordado -5 es punto crítico de x + 5 y vemos que a la izquierda de -5 , la expresión x + 5 es negativa, mientras que a la derecha de -5 , es positiva.

Inecuación:

|*~3| +|x + 5 | < Í5

I o Si (x < -5 ) => (1)

—2x < 17 ( x > -8,5) (2)

De (1) y (2):

x +5 < 0 => |x+5| = -x -5 x-3<-8=> |x -3| = -x +3 x+5£0=* |x+5|= x+5 x -3 < 0 = * |x-3|=-x+3 X €

3o Que

x >3

-x + 3 - x - 5 < 1 5

x +5 >8

|x+5|=x+5

x-3>0

|x -3| = x +3

Observa que en cada posibilidad se puede saber los signos de x + 5 y x —3, en consecuen cia se puede eliminar las barras del valor absoluto. Observa con atención la figura:

(-8 ,5 ; - 5 ) ) (a)

2o S i[-5 < x <3)=> —* + 3 + * + 5 < 1 5 (3)

8 <15 ( * e R ) (4)

Inecuaciones

307

De (3) y (4):

Resolución

Los puntos críticos son: -2 y 4

R

Graficando y determinando los intervalos éM 3

-5

"i

x &[-5 ; - 3 ) ) (b) 3o Si (x > 3 )

-2

x —3 + x + 5 < 15 2x< 13

(5)

x < 6,5 (6)

x + 2<0 x —4 < 0

x + 2>0 x- 4<0

x + 2>0 x —4 > 0

Inecuación:

De (5) y (6):

x + 2 1 + 2 | x -4 | >24 I o Si

( 1)

(* < -2) -x - 2 + 2(-x + 4) > 24 —3x S 18 ( x <; -6 )

D e (l)y (2 ):

( *eI3 ; 6,5) )(c) De (a), (b) y (c):

2o Si

[ x e (~°°; - 6 ] ]

(2)

(a) (3)

[-2 24

-8,5

- x > 14

6.5

íx < -1 4 ) (-8 ,5 ; - 5 ) u [ - 5 ;3 ) u [ 3 ; 6 , 5 ) = ( - 8 ; 6,5) ( x e (-3 ,5 ; 6 ,5 )]

De (3) y (4){No hay solución.)

CÜ3

3o Si

(5)

x + 2 + 2(x —4) > 24

W

Como habrás notado, hemos sustentado paso por paso el camino a seguir. En la práctica, una vez que has cogido la idea, la resolución de este tipo de inecuaciones será más simple y sucinta.

3x2:30 (x > D e(5 )y (6):

10

[x e 10;+ ° ° ))

Resolver la inecuación:

\x+ 2\+ 2\x-4\Z24

[x e (-o»; - 6 ] (j

)

(6 ) (b)

De (a) y (b):

Problema 12

(4)

pq) ]


308 [Problema 13]

tienen el signo (+). Si el signo de la inecua ción es menor (< ó <), los intervalos solución son los que tienen el signo (-).

R esolver x * < 3 x - 2 Resolución Transponiendo: x2- 3x + 2 < 0

Los intervalos son cerrados si el signo de la desigualdad incluye el igual, en caso contra rio los intervalos son abiertos.

Factorizando el primer miembro tenemos: (x -l)(x -2 )< 0 Uno de los método de resolución se funda menta en la pregunta, ¿cuándo el producto de dos factores es negativo? El análisis de la respuesta a este problema conduce a la solu ción. Pero esta técnica es muy larga, sobre todo cuando hay varios factores. í El otro método, cuyo fundamento no lo discu tiremos por ahora, es el de los signos. .

* ■

1

2

(

* 6 <1; 2 ))

[Problema 14]

Que consta de los siguientes pasos:

R esolver (x - 3 ) ( x - 1) (x + 2) (x + 5) ¿>0

1: Pasar todas las expresiones al pri mer miembro y expresarlas en forma de fac tores dejando cero en el segundo miembro.

R esolución

paso

Puntos críticos: 3; 1; -2 y -5

x2—3x + 2 < 0 (x - 1 ) (x - 2) < 0 paso 2:

Identificar los puntos críticos (igua lando a cero cada factor) y ubicarlos en la recta real: • x - 1 = 0 => G ü )

í * - 2 = 0 => (x = 2)

Los puntos críticos son 1 y 2. Ubicando en la recta real:

1 paso 3:

Los puntos críticos determinan en la recta real varios intervalos. En cada interva lo se ubican alternadamente los signos (+) y (-), empezando con el signo (+) en el primer intervalo de la derecha.

1 paso 4:

Si el signo de la inecuación es mayor (> ó >), los intervalos solución son los que

- 5 ] u [ - 2 ; i] u [ 3 ; +°°) j

[Problema 15] R esolver; {x-4)(x-3)(x+2) (x + 5 ) ( x - l ) R esolución Si el cociente de dos números es negativo el producto también lo es. Por consiguiente re solveremos la inecuación como si el primer miembro fuera una multiplicación y no una división, con la única restricción de que nin guno de los factores del denominador pueden ser iguales a cero.

309

Inecuaciones Puntos críticos: 4; 3; -2 ; -5 y 1

^

.........................................................................................-

V

Restricción: x * -5 ; 1 <-1 _5 <♦) _2

I-i l (♦) 3

<-> 4 <♦»

X g {-=»; 5) u [ - 2 ; ; ) u [3; 4 ]

Problemas Resueltos

( Problema1j ¿Si los núm eros m y n son negativos, cu ál es el signo de

mn

es — =2 ; el valor máximo de — es cuando a 2 b es máximo y b mínimo, en consecuencia este valor máximo es —~ 6 * por lo tanto

Resolución 1 1 1 Sabemos que — = — x — mn m n

2 <^<6 b Rpta.: | e (2; 6)

Si m es negativo también lo es ~ , del mis mo modo. Si n < 0 =* — < 0 . Ya que ambos n

( Problema 3^) Si a > b > 0, ¿a qu é in terva lo p erten ece

%

1 1 — y ~ son negativos, su producto es positi vo.

I +a

_

Resolución [R pta.: P ositivo]

( Problema 2 )

Del dato: Se sabe que:

a> b 1>0

...d ) ...(2)

Sumando (1) + (2): a + 1 > b

... (3)

¿Si 4 < a < 6 y 1 < b < 2, en tre qué valores a varía r ? o Resolución a El cociente de — es mínimo cuando a es mí0 nimo y b máximo, entonces el valor mínimo

Como ¿> > 0, (3) -r b: a + 1 > b b b De donde: ^+a > 1 b /

R pta.:

1+a ,, > b 6 ( £ +°°)

310


( Problema 4)

[ Problema 6]

¿Cuál es mayor,

Si x > o > y, d eterm inar el in tervalo a l

á 4s ?

Resolución

que p erten ece

La desigualdad no es evidente debido a la presencia de radicales. Pero si ambos tuvie ran el mismo índice la decisión sería inme diata. Una forma de obtener el mismo índice es homogenizando. Los índices son 3 y 2, cuyo MCM es 6. Luego: m

= 6J25

x 2 + y2 xy

R esolución x > y => x - y > 0 => (x —y)2> 0 x2—2xy + y 2>0=> x > 0 > y => xy < 0 =*

%26 <$J,27

= §¡36 12 = ^¡3^ =§J27

x2+ y2>2xy x2 + y2 <2 xy ( R pta.:

2) )

( Problema s )

\Rpta.: y¡3 es m ayor Otro m étodo

¿P ara qué valores de x se cum ple la des igualdad x2- 4x + 5 £ 0? R esolución

Entonces:

Dándole forma apropiada: x2-4 x + 4 + l > 0

Elevando a 6:

(x -2 )2 + 1 > 0 Efectuando:

52 = 33

De donde:

25 < 2 7

Luego:

Dado que (x — 2)2 es siempre positivo, (x—2)2+ 1 también lo será. En consecuencia, la desigualdadx2- 4x + 5 > 0 se cumple para todo x e R .

r /5 < s )

( R pta.; x E t ]

( Problema 9)

( Problema 5 ) Sí 2a ^ 5, ¿cu á l es el m áxim o valor de 2(3a - 4)? Resolución

¿P ara qué valor de x se cum ple la des igualdad x 2 - 2x -3 < 0? R esolución

Si 2a < 5 => a < 2,5 => 3a < 7,5 3a - 4 < 3,5 => 2(3a - 4) < 7 [ R pta.: 7

M étodo (1) Dándole la forma apropiada: x2- 2 x + l - 4 < 0 Ge - l)2 < 4

311

Inecuaciones R esolución

Raíz cuadrada: -J(x - l ) 2 ^
j2x + 4 ( x - l ) ( x + 3)< 0 porque: (+ )(-) = (-) /» « * « »

\x-l\ < 2

Operando: De donde:

'

negativo

yj2x + 4 >0

Sumando 1:

( -1 < x < 3 )

=$2x+4 >0 =>x > - 2

( x - l ) ( x + 3 )< 0

[R p ta .; x e [-1; 3]J

Graficando puntos críticos: 1 y -3

^Problema 10 H allar la solución del sistem a form ado por x+ 4 < 2 -x 5-x <

3x

... (1)

... (2)

[R pta.: x e (-2 ; l ) j

[Problema12J

Resolución De (1) 2x < -2 => x < -1 ... (3)

Qué valor debe tom ar m p a ra que el con j u n t o s o l u c i ó n de la d e s i g u a l d a d

La inecuación (2) por 2: 10 - 2x < 3x

x2 - mx + 15 £ 0 sea [3; 5 ]

10<5x 2
R esolución (4)

De (3) y (4)

Esta solución corresponde a la inecuación (x -3 ) (x - 5) < 0 x*-& c + i5 < o

£1 sistema no tiene solución. ( R pta.:

<|)]

[Problema 11 ] H allar el conjunto solución de la siguien te inecuación: >¡2x + 4 (x - 2 )(x + 3 ) < 0

Comparando con x2- mx + 15 < 0 => -8 = —m => m = 8

[iZpfq.: m = 8 )


312 [Problema 13]

[Problema 15 j

R aquel se dedica a la com pra y venta de pera s. Si el p recio de las p era s varían entre 2 y 3 soles. D espués de com prar, ella las vende a p recios que varían de 3,5 a 4 soles.

Los p esos de las reses varían en tre 160 k g y 350 kg; de estas reses, la cantidad qu e p u ed e en tra r en un cam ión es 24 de los más fla cos ó 18 de los m ás gordos.

¿Cuál es la m áxim a gan an cia que pu ed e obtener en la com pra y venta de dos doce nas de pera s? Resolución La ganancia es máxima si el precio al que se compra es mínimo y el precio al que se vende es máximo. Precio de costo:

2

R esolución Si transporta los flacos lleva 24x 160 = 3840 kg. Si transporta los gordos lleva 18 x 350 = 6300 kg este es el máximo peso. (-Rpfa: 6 300 feg)

[Problema 16j

Precio de venta: 4 Ganancia:

¿C uántas reses tran sporta, si lleva el m áxim o p eso? D a r com o respu esta el peso.

4 - 2 = S/. 2

Ganancia total: 24 x 2 = 48 soles. [ R gta: 48 soles j

[Problema 14]

Las d istancias a, b y c son las longitudes de los tres lados de un triángulo. Indicar la longitu d fiel m enor lado si: a + c > 2b

(1)

b + c < 2a

(2)

a + b <2c

(3)

Un m icrobús cobra p o r p a sq je: SI 0,30; S/0,50 y S/. 1,00. Puede transportar 40 p a sajeros sentados o 65 pasajeros en tre p a rados y sentados. Si la m ínim a cantidad de pasajeros que transporta es 40; ¿entre qué valores varía la reca u d a ción p o r cada viaje, si tien e sólo un p a ra d ero ini cia l y el fin al?

R esolución

Resolución

Por otro lado: (1) - (3):

Se pueden restar miembro a miembro las desigualdades de sentidos contrarios, y el re sultado lleva el sentido del minuendo. Entonces (1) - (2):

' *

a —b > 2b - 2a 3a > 36

^

a >6

La mínima recaudación será cuando trans porta 40 pasajeros que pagan S/. 0,30, es de cir, 40 x 0,30 = 12. La máxima recaudación será cuando lleve 65 pasajeros cobrando S/. 1,00 a cada uno, es decir 65 x 1 = 65.

3c > 36 => c > 6 El menor lado es el que tiene longitud 6

Varía entre 12 y 65 soles.

[Problema 17J

[R pta; 12 y 6 5 )

c - 6 > 26 - 2 c

(

R pta: b )

En una com petencia de fu erza ja la n d o de los extrem os de una cuerda, se sabe

Inecuaciones

313

que Daniel es más débil que Carlos; Al berto y CarU^sjuntos tienen menos fuer za que Beto; y Daniel y Carlosjuntos tie nen la misma fuerza que Alberto y Beto, Indicar sus fuerzas de menor a mayor (las letras son leu iniciales de sus nombres)

Resolución La mayor ganancia es cuando se compra al menor costo y se vende a mayor precio. Precio de costo:

Resolución

De (2)

cia posible que se puede obtener de la venta de 8 pares de zapatos?

S/. 200

Precios de venta: S/. 450

D< C A+C< B C
...(2)

Ganancia máxima

...(3)

Por cada par: 450 - 200 = S/. 250

A +B = D+C

...(4)

Ganancia total:

8x250 = 2 000 soles [Rpta: 2 000 Soles]

A< D

... (5)

Ordenando: A
Problema 18 Un número de 2 cifras al intercambiar sus cifras resulta otro número menor que el original ¿Cuál es el número original si el segundo es mayor que 79?

Problema 20 Roberto, hijo de José, nació cuando éste tenia 20 años. Hace 5 años la edad del hijo era menor a la cuarta parte de la edad del padre. ¿Cuál es la edad ac tual del hijo si dentro de 10 años la edad del h\jo será mayor que la mitad de la edad del padre ?

Resolución hace 5 años actual denbro de 10 años Padre x + 15 x + 20 x + 30 Hüo x- 5 X x + 10

Resolución ab > ba

10a + b > 106 + a 9a> 96 = *a >6

-

j c - 5

<

j

.

1/Z

4

=> 4x ■- 20 < x + 15 3x < 35 x< 11,6 „.(1)

Si 6a > 79 =>6 >7 Por lo tanto 7 < 6 < a 6 = 8 y a * 9 y a6 = 98 ( Rpta,: 98)

Problema 19 Se compraron pares de zapatos a precios que varían desde 200 soles hasta 350 so les y se venden a precios que varían entre 300 a 450 soles, ¿Cuál es la mayor ganan-

x + 10 > —- —

=> 2x + 20 > x + 30 x> 10

D e ( l ) y (2): 1 0 < x < l l ,6 = »

jc =

...(2) 11

[Rpta,: 11 años]

314

Razonamiento Matemático Problemas Propuestos

1. Si x > y > 1. ¿Cuál de las siguientes expresiones es siempre mayor ? m=

x +1

p -

y+1

A) m D) Ninguno

y+x

D)

E) [ - 1; l)

;-i)

C) {1; a)

7. ¿Cuál es mayor: >¡20, J7 ó $¡360 ?

2. Siendo a y b dos números reales tales que a > 0 > b. ¿Cual de las siguientes relaciones es falsa?

C) E) N.A..

A) $¡20 B) y¡7 D) Son iguales

8. Si n > m > 0, hallar el mínimo valor

B) a2 - ab < 0

n entero de n -m + m

b-a _ D) - r - > 0

C) ab < 0

B) [4; 5)

2y

B) n C) p E) Son iguales.

A) a2 + 62> 0

A) [2;3]

A) 0

E) ( b - a ) ( a - b ) < 0

B) 1

0 2

D) 3

E) 4

9. Si a > b > O, ¿cuál es el mínimo valor > O, b > 0

3. Si,

y

c <0

entero de

a Hallar el máximo valor entero de ~~ c A) -1

B) -3

0 -4

D) -2

E) 1

A) -1

b

a

B) -2

C) O

D) 1

E) 4

10. S i m > n £0, hallar el máximo valor m -n entero de m+n

4. Sí 4

hallar la

2 suma entre el mínimo y el máximo va

B) 14

C) 16

D) 20

E) 24

5. Si b(a - c ) > 0 , siendo b < O, ¿cuál es la relación entre a ye?. A) a < c D) 2a > c 6. Si a -

6

B) -3

11. Si ab = Oy

lor de ~ + 4 . n A) 6

A) -2

B )a > c E) 3a = c

6+ 1

0 -3

D) 0

< 1 , hallar D) O

E) 1

a +6 E) 4

a+6 12. ab = O, a > b y > 1 , hallar el a- 6 valor de

a

6+ 2

B) -2

C )a = c

> 1, ¿a qué intervalo debe per

ten ecer 6 p a ra que

A) -1

C) -1

A) 1

a + 20

B) 2

C )3

D) 4

<1 13. S ix < 0
E) 5

315

Inecuaciones A) negativo C) igual a 0 E) menor que 1

B) positivo D) mayor que 1

ción el in tervalo [ l ; °°) B) 2

C )3

D) 1

E) 4

A) n2es siempre mayor que n, V n e R B) ~ representa siempre un número decimal. C) n2 es siempre mayor que Vñ, V n e R D) 2/i es siempre mayor que n + 2, V n e R E) Ninguna de las anteriores. 16. En las siguientes expresion es, n es un núm ero entero m ayor que 1, ¿Cuál de todas es la m ayor?

D)

n -1

B

)

1 n

ñ

C

)

771

17. H allar la suma de los valores en te ros de x si. 9- x 5x

<

3 + 4x

----------------------------

>3x-12

A) 30 B) 16

C) 26

3x-2

B) 2

2x-l C )3

+2 -x D) 4

E) 5

20. H allar el m ayor valor en tero de x en: (x-2)(x + 3 )¿ (x + 3 ) ( x - l ) ( x + 4 ) - 3 - x 3 A) O

B) 1

C) -1

D) 3

E) 5

21. H allar el m ayor valor en tero d e x en: (x - 3) 2- (x + 2) 2 > x + 10 A) O

B) 1

C) -1

D) 3

E) 5

22. H a lla r el m áxim o valor en tero de x en ( x - 2) 2- ( x - 1)2 +2x3 > ( x + 2)2 + (x + 1)2 A) 2

B) 3

0 -1

D) -2

E) -3

2

i E) -2 n

n +1

si A) 1

15. In d icar cu á l de las sigu ien tes a fir m aciones es verdadera.

A)

C) 1/3 E) 3

19. H a lla r el m ayor valor en tero de x

14. H allar el valor de n p a ra qu e la in e cu ación n x + 2 x ^ 4 tenga com o solu

A) -1

B) O

A ) -1/3 D) 2/3

23. H a lla r el in tervalo solución d e la inecuación -J2x + 4 ( x - l ) ( x + 3) < 0 A) <2; 3) D) <-3; 1)

C) <1; 4) E) (-2; 1)

24. Si 4
...(1)

D a r com o respu esta el extrem o in fe rio r del intervalo

...(2) D) 28

B) (-1; 2)

E) 32

18. R esolver la sigu ien te inecuación, y dar com o respuesta el extrem o in fe rior del in tervalo solución. (x - 3)(x + 1) £ ( x - l ) ( x + 5)

A) 10 D) 11

B) 12

C) 13 E) 14

25. H a lla r ( n + m ) si el con jun to solu ción de la inecuación m x + x + n £2 es


316 el intervalo [i, 00) (m > O) A ) 1 . B) 2

C )3

D) 4

E) 5

26. Cual es e l m áxim o valor num érico de la expresión P (x) = 4 + 12x - x* A)’ 70 D) 100

B) 40

C) 80 E) 20

A) Si. 144 D) S/. 110

27. Cuántos núm eros en teros x, sa tisfa cen las siguientes dos in ecu acion es

A) 0

x?-9x>0

... (1)

x * -3 x -Í0 < 0

... (2)

B) 1

C )2

D) 3

32. A n ita com pra fru tas qu e vienen en cajas iguales; p ero paga el p recio p o r unidades. En las ca ja s vienen de 40 a 60 unidades y elp recio d e cada fru ta varía de 2 a 3,5 soles, según el ta maño. ¿C uál es el p recio d el cajón más barato?.

E) 4

B) Si. 120

C) S/. 140 E) Sf. 280

33. ABCD es un rectángulo. AD = 12 cm y AB = 16 cm ; el p u n to H se m ueve h asta J, en tanto que e l p u n to G se m ueve hasta el K. ¿E ntre qué valores va ría el á rea d el c u a d r ilá te r o DHCG?

28. Qué valor debe tom ar a p a ra qu e la inecuación x* + ax + 1 0 < 0 tenga com o conjunto solución el intervalo {2; 5 ). A) -6 B) 6

0 7

D) -7

E) 8

29. Qué valor debe tom ar a + b p a ra que x p erten ezca a l in tervalo (-1 ; 7) si , x +3 , b< < a -l A) 6

B) 1

0 3

D) 4

E) 7

30. Si x e [4 ;5 ], h a lla r a +6, si 6 + 10 ^ x + 3 ^ * < < a -l A ) -2

B )-3

0 5

D) 2

E) 1

31. H allar el intervalo al que p erten ece 8f

* + — — > O. D ar com o resx -1 x -2 puesta la can tid ad de valores en te ros m enores que 5 A) 2

B) 10

C )1

D) 3

E) 4

A) 10 a 24 cm O 12 a 18 cm D) 8 a 72 cm

B) 16 a 72 cm E) 32 a 72 cm

34. Se com pran cajas de fru ta s cuyo cos to p o r ca ja varía en tre 4,8 y 6,4 soles si los cebones con tien en en tre 20 y 30 unidades. ¿Entre qu é valores varía el p recio de cad a una d e la s fru ta s? D a r com o respuesta la sum a de los valores extrem os. A) 0,48 D) 0,54

B) 0,36

C) 0,64 E) 0,24

35. P o r un a rtícu lo se p a g a tantos soles p o r ca d a uno com o unidades se com p r a Si el p recio aum enta en 2 soles se com pra uno m enos, todo, p o r un p recio no m ayor de 10 soles. ¿C uál es el m áxim o precio?. A) 1

B) 2

C )3

D) 4

E) 5

317

Inecuaciones 36. La sum a de dos núm eros en teros y positivos es m ayor qu e 76: su d iferen cia, m enor que 8 y si a l m ayor se le suma el duplo d el m enor, el resu lta do no sobrepasa a 112. ¿C uáles son los núm eros? A) 30 y 40 D) 36 y 45

B) 41 y 36

C )3 5 y 42 E) 38 y 50

37. La suma de dos núm eros es m ayor que 24; su d iferen cia es m enor que 6. Adem ás el doble del prim ero más el triple del segundo es m enor que 68. ¿Cuál es la sum a de los dos núm eros? A) 25 B) 24

C) 30

D) 35

E) 150

38. La sum a d e tres núm eros en teros consecutivos es m ayor qu e 30. Si el triple d el m ayor es m enor que el m e n or aum entado en 28. H allar el m e nor de dichos núm eros. A) 7

B) 10

0 8

D) 9

E) 12

39. Si al num erador de 1/9 se le aum en ta un núm ero en tero, resu lta m ayor que 5/4; en cam bio, si a l denom ina d or del m ismo se le aum enta dicho núm ero resu lta m ayor que 1/21. H a lla r la m encionada cantidad. A) 8

B) 9

O 10

D) 11

E) 12

40. E ntre P ed ro y Luis tienen m enos de 6 hijos; Luis tien e m ás h ijos que R a món y aunque P ed ro tu viera un h ijo m enos, segu iría ten ien d o más h ijos qu e R am ón. ¿C u á n tos h ijo s tien e cada uno de ellos? Todos tienen p o r lo m enos un h ijo y ninguno tien e la misma can tid ad de h ijos qu e el otro. A) 1; 2; 3 D) 2; 3; 5

B) 3; 4; 5

O 0; 1; 4 E) 2; 4; 5

41. Un cam pesino ten ía m enos de 5 ca ballos y m ás de 8 vacas. Una vez que com pra tantos ca b a llos com o los que

tiene, en tre todo sus anim ales no lle ga n a 12. ¿C uántos ca ba llos y cu án tas vacas ten ía al in icio? A) 2 y 10 D) 1 y 9

B) 3 y 11

01y8 E) 3 y 7

42. E ntre tres cazad ores A, B y C, re únen más de 8 perros, B p ien sa ad q u irir 4 p erros más, y en ton ces ten drá más p erros que A y C ju n tos. B tien e m enos p erros que C, y los que éste tien e no llegan a 5. ¿C u á n tosp e rros tien e cad a cazador? A) 2; 3; 4 D) 2; 4; 6

B) 2; 4; 5

C) 1; 2; 3 E) 3; 4; 7

43. En un núm ero de tres cifra s se veri fica : qu e la sum a de las cifra s extre m as, dism inuida en la cen tra l, es m enor qu e 2; que si se resta la cifra de las cen ten as del doble de la cifra de las unidades, el resu ltad o es m a yo r qu e cero y que la cifra de las cen tenas, aum entada en una unidad, es m ayor qu e la cifra de las decenas. ¿Cuál es el núm ero? A) 111 D ) 381

B) 412

0 312 E) 366

44. Un revendedor disponía de una can tidad p a ra com prar un cierto núm e ro fie objetos. Pensaba com prarlos al p recio de 50 soles y le faltaban más de 48 soles; después pen só com prar los al p recio de 40 soles, y le sobra ban m ás de 152 soles; y, p o r últim o, los com pró a 30 soles, y le sobraron m enos de 372 soles. ¿Cuál fu e el nú m ero de objetos com prados? A) 20 B) 22

0 24

D) 21

E) 31

45. Se tiene un cierto núm ero de m one das. Si se hacen m ontones de a siete, no se pueden com pletar 8 de aquellos, y si se hacen de a seis, se com pletan 9


318 y queda un sobrante. ¿C uál és et nú m ero de m onedas? A) 54 B) 55

C) 56

D) 63

E) 51

46. Un p rop ieta rio vendió un año la ter cera parte de sus casas, al año siguien te vendió la quinta p a rte de las que prim itivam ente teníayS m ás, y al año siguiente vendió la cu a rta p a rte de las que prim itivam ente tenía y 3 más. En el p rim er año vendió m enos casas que en el segundo y más que en el ter cero. ¿Cuántas casas ten ía este p ro p ieta rio antes de vender? A) 27 B) 38

C) 37

D) 42

E) 53

47. Se han com prado cucharas, tenedo res y cuchillos. E ntre cu ch a ra s y te nedores no llegan a 6; el núm ero de tenedores es m ayor que el de cu ch i llos, y el núm ero de cu ch a ra s es m a yor que el de cuchillos aum entado en 1. ¿Cuántas p ieza s de cad a cla se se han com prado? A) 3; 1; 4 D) 3; 2; 1

B) 4; 1; 4

C) 1; 4; 3 E) 2; 2; 3

48. A tres herm anos. A , B y C , les rega la ron el m ismo núm ero de m anzanas. A, com ió los 7fl2 de las suyas, m ás la m itad de una; B, com ió la m itad de las que tenía, más una, y C com ió 113 de una y la m itad del núm ero que re sultaría si le hubieran regalad o una más. A com ió m enos qu e B y m ás que C ¿Cuántas m anzanas recib ió cada herm ano? A) 2

B) 3

C )5

D) 6

E) 7

49. Un m uchacho em pezó com iendo un cierto núm ero de naranja. D espués com pró 5 más, que tam bién se las co mió, resu ltan d o qu e h abía com ido más de 10 naranjas. Compró 8 naran ja s más, y, al com érselas, observó que

había com ido, en total, m ás d el tri p le de n aran jas qu e com ió la p rim e ra vez. ¿C uántas n aran jas com ió, en total, ese m uchacho? A) 16 B) 19

C) 18

D) 17

E) 15

50. Cuatro secreta rias A , B , C y D discu tían en una reunión a cerca de sus edades y la ú n ica con clu sión era la siguiente: Que A era m ayor que B; que A y B ju n ta s sum an m enos años que B y C ju n ta s; que C y D ju n ta s suman ta n to com o A y B. Indiqu e las edades d e m ayor a menor. A) ABCD D)AD CB

B) CABD

C) DCBA E)DBAC

51. Un m atrim onio dispone de 320 soles para ir al teatro con sus hijos. Sitom a entradas de a 50 soles, les fa lta dine ro, y si las tom a de a 40 soles, les so breu ¿C uántos son los hijos? A) 2

B) 3

C )4

D) 5

E) 6

52. D e los valores de “x ” qu e sim ultá neam ente verifican las inecuaciones, in d ica r uno de los intervalos. 1. 2 x * -2 4 x + 64 > 0 II. 3 x * -3 9 x + 6 6 < 0 A )-o o < x < ° ° C) 2 < x < 11 D) x < 11

B) 4 < x < 8 E) 8 < x < 11

53. H a lla r un núm ero en tero y positivo, sabiendo que la tercera p a rte del que le p reced e, dism inuida en una d ece na, es m ayor que 14, y la cu arta p a rte del que sigue, aum entada en una d e cen a , es m ayor qu e 29. A) 65 B) 70

C) 73

D) 74

E) 64

Inecuaciones

319 CLAVES CE RESPUESTAS

PÁGINA 1 296 D

2

3

4

B

C

D

5 B

Reto al ingenio 2861 + 6061

PROBLEMAS PROPUESTOS 1 ,2 B B

3

4

5

6

7

8

9

D

D

A

D

A

C

D

10 E

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D D A B E A A C A B 21 ¿22 t23 24 m € le E D A 31 32 133 35 B B
26 27 28 29 30 B C D -E D m 37 38 39 40 c B B D A 46 47 48 49 50 C *

D

C

B *

B

8922 A vs B: 2 - 2 A vs C: 4 - 2 B vs C: 3 - 2 A vs B: 0 - 2 A vs C: 2 - 2 A vs D: 2 - 0 B v sC : 2 - 2 B vs D: 1 - 0

René D escartes N ació el 31 de M arzo de 1596 en La Haye, Touraine, Francia Descartes tiene fama de filósofo y el intelecto más grande de los que contribuyeron a crear la llamada «Edad de la Razón». Descartes nació en una familia francesa noble en la Turena, y fue el tercero y último hijo de la primera esposa de su padre, quién murió poco después del nacimiento de René. Su padre era un hombre de raro sentido común que hizo todo lo posible por compensar a sus hijos la pérdida de su madre. Un aya excelente ayudó al débil y en fermizo René a sobrevivir; y creció para conver tirse en un niño pálido y serio, que siempre de seaba conocer la causa de todas las cosas que existían bajo el Sol.

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■

•'.*V• René Descartes (1596 - 1650) L

>

Debido a la mala salud de su hijo, su padre aplazó la educación formal hasta que llegó a la edad de ocho años. Entonces escogió el colegio jesuíta de La Fléche com o la escuela ideal. El rector se

320 encariñó en seguida con el pálido y confiado niño. Evidentemente, decidió que necesitaba ayudar a fortalecer el cuerpo del pequeño si quería edu car su mente. Como René parecía requerir más descanso que los niños normales de su edad, se le permitía levantarse tan tarde como quisiera antes de reunirse con sus condiscípulos. Duran te su vida, Descartes siguió esta costumbre de levantarse tarde después de pasar tranquilamen te la mañana en silenciosa meditación. Cursó estudios normales de lógica, ética, metafísica, his toria, ciencias y literatura. Luego se dedicó a tra bajar independientemente en el álgebra y geo metría, que se convirtieron en sus materias fa voritas «debido a la certidumbre de sus prue bas». Prosiguió sus estudios en la Universidad de Poitiers, donde cursó las materias de dere cho. En cuanto recibió su diploma, «abandonó del todo el estudio de las letras y resolvió no aspirar ya a ninguna otra ciencia que no fuera el conocimiento de sí mismo o de los grandes libros del mundo». Siguiendo este propósito, fue a París para diver tirse con los juegos de azar. Pronto se cansó de ellos y se retrajo al mundo de la erudición. Pasó dos años siguientes en la soledad, estudiando matemáticas. A la edad de veintidós años se ofre ció como voluntario en el ejército del príncipe Mauricio de Nassau. Después de ingresar en el ejército, fue enviado a Breda, en Holanda. Un día, cuando se reunía una multitud frente a un cartel, pidió a un ancia no caballero que se lo tradujera. Éste leyó el problema matemático contenido en el cartel y el reto para resolverlo. Al punto, Descartes proce dió a resolver el problema para el caballero, el cual era Isaac Beeckman, uno de los más gran des matemáticos y doctores de Holanda. Beeckman comprendió en seguida que Descar tes no era un soldado común y se convirtió en su amigo y mentor. A Descartes lo entusiasmó tan to esta amistad accidental, que menos de cuatro meses después informó a su amigo el descubri miento de una nueva manera de estudiar la geo metría. Lo inquietaron los métodos de los geómetras griegos para llegar a sus ingeniosas pruebas sin un sistema fundamental de ataque y se propuso corregirlos mediante el manejo de líneas y figu ras tridimensionales en una gráfica. Dibujaba la gráfica marcando unidades en una línea hori

Razonamiento Matemático zontal (eje X) y una línea vertical (eje Y); así, cualquier punto de la gráfica podía describirse con dos números. El primer número represen taba una distancia en el eje X y el otro número representaba una distancia en el eje Y. Aunque conservaba las reglas de la geometría euclidiana, combinaba el álgebra y la geometría, considera das entonces como independientes, para formar una nueva disciplina matemática llamada geo metría analítica. En el 1629 decidió irse a vivir a Holanda, allí estudió otras cosas aparte de filosofía y las mate máticas, comprendiendo la óptica, la física, la química, la anatomía y la medicina. En 1634 aún no publicaba nada, pero seguía dedicado a incor porar todos sus conocimientos, desde la astrono mía hasta la anatomía humana, en un impresio nante tratado que se llamaba El mundo. Todo París esperaba con gran curiosidad la obra maes tra de Descartes pero este se enteró de que la Inquisición condenó por atreverse a defender la teoría copemicana de que el Sol era el centro del Universo. El 8 de Junio de 1637 Descartes dio al mundo su geometría analítica como un apéndice modesto de su obra maestra Discurso del método. Al propalarse la fama de Descartes, la realeza comenzó a cortejarlo. Carlos V de Inglaterra y Luis XIII de Francia invitaron al famoso filósofo a adornar sus respectivas cortes. En 1646, Des cartes vivía en feliz aislam iento en Egmond, Holanda, meditando, cuidando su pequeño ja r dín y sosteniendo correspondencia con intelec tuales de Europa, cuando la reina Cristina de Suecia le suplicó que fuera a su corte. Descartes partió en el otoño de 1649. Todo podría haber resultado perfecto para Descartes si Cristina no hubiera insistido en hacer que le enseñara filo sofía a partir de las cinco de la mañana en un aposento grande y frío. Descartes era demasia do bien educado para quejarse de esta desagra dable circunstancia, aunque siempre odiaba el firío y rara vez se levantaba antes del mediodía. Después de tres meses de estas espantosas cla ses antes del amanecer, enfermó de gravedad y murió de una enfermedad respiratoria, que pro bablemente fue pulmonía. Diecisiete años más tarde, su cadáver volvió a París, donde fue se pultado en lo que hoy es el panteón. Falleció el 11 de Febrero de 1650 en Estocolmo, Suecia.

ANALISIS COMBINATORIO

INTRODUCCION


Contar cuántos estudiantes boy en un salón de clases no requiere más que conocer los números naturales. Pero contar cuántos grupos diferentes de cinco estudiantes se puedeformar con ellos, no es tan sencillo, requiere de um serie de técnicasque corresponden al campo delaná lisis combinatorio.

Para comprender sin dificultades, el contenido de este capítulo, te recomiendo practicar la simplificación de fraccionesy la resolución de ecuaciones cuadráticas.

En este capítulo vamos a estudiar, losprincipios matemá ticos utilizados en las técnicas de canteo, sobre todo lo concerniente a las combinaciones y laspermutaciones.

La esencia de este capitulo consiste en distinguirentre una combinación y una permutación. Una vez establecida claramente la diferencia entre ambas, calcular el núme ro de ellas es mucho más sencillo.


322 7.1. Factoría/ de un número Se llama factorial de un número entero positivo n, que se simboliza por n! o [n y se lee “factorial de n”, al pro

© 3! = 1x2x3 = 6

ducto de todos los enteros desde 1 hasta el número n.

4! = Ix2x3x4 = 24

I [n=n! = l*2*3*4*..An ~l)n Para n = 0 se define Propiedad:

5! = Ix2x3x4x5 = 120

(J)

fóüT)

n! = b2*3-4*..An-l)n * 41=1x2x3x4 [ n\ = ( n - i)ln ]

3!

4! = 31x4

[Problema 1j

* 5! =41x5

S im plificar cad a una de las sigu ien tes expresio nes.

* 451 = 431x44x45

* 301=291x30

25! b. 23!

a. 11 6!

22125! c. 1619! Demostrar que

Resolución

i A

I! = 1 ♦

?<7

7!

a.

6!

. 25! b. ---23!

Sugerencia: aplica la pro-, piedad anterior

=7

24! 25 2#Í24x25 _nn = ---------- 5------= bUV 23Í 23!

00 _ C. 12!15! —. - —'9 l l 0 x l l_x_l 2_x } f f í sí 165 —o^)D 16!-9! J& \l6x?í 2

12!'15! = 32,5 16! -91

Problemas 2. E fectu ar cad a una de las sigu ien tes operaciones

1# 20! 22! + ------25! ---- + ----3! 20! 23!*

jl/

„ *

20! 7V = 23!

30! 29!

200 ! 200 ! ~99\*~Í99\' Hallar M - N + P

A) 600 B) 652 C )350 D) 330 E) 382

2. H allar el valor de la sigu ien te exp re sión , 101 24\ 30! A = -------- + ------------- + 8 !+ 9 ! 221+23! 281+29! A) 60

B) 61

C) 63

D) 400 E) 600

323

Análisis Combinatorio 5. R ed u cir

3. El resultad o d e sim p lifica r

(n !)! n!+(n!)! M = (n! - l ) ! n!

8!+ 91+10! E= es: 8! + 9! A)

8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

4, ¿Cuál es el resu ltad o de sim plificar:

A) n\ D) t ú +2 6. S im plificar:

( a + 3)! (a + 2)!+ (a + 1) ! • A) a

B) a+1 C) a+2 D) a+3 E) a+4

C) tn + 1)\ E) (n+2)\

B) n\ +1

(n - 1)! + n ! + ( n + 1!)! n!+(n~l)! A) n

B) n -I C) n+2 D) n+1 E) 1

7.2. Principios de conteo Consideremos que Iván tiene tres camisas de la marca Van Housen, obviamente en colores distintos, y cuatro camisas de la marca Camman, también en colores dis tintos entre sí y de las anteriores. Consideremos tam bién que tiene cuatro pantalones de la marca Baronet. a. ¿De cuántas m aneras puede lu cir las cam isas? Dado que hay tres camisas Van Housen hay tres modos de lucir las camisas Van Housen y cuatro ma neras de lucir la camisas Camman. En total hay: (3 + 4 = 7) maneras de lucir las camisas. b. ¿De cuántas m aneras pu ede lu cir una cam isa Van Housen y un pantalón Baronet? Si escoge la primera camisa Van Housen puede com binar con uno de los cuatro pantalones, entonces hay cuatro posibilidades para la primera camisa. <3> Si escoge la segunda camisa, tiene nuevamente la posibilidad de combinar con cualquiera de los cuatro pantalones. Igualmente para la tercera camisa. De modo que por cada camisa hay cuatro posibilida des y dado que hay tres camisas, en total hay: ( 3x4 = 12 ) posibilidades.

B1 V1B1 B2 -> V1B2 B3 -> V1B3 B4 V1B4 B1 B2 3 B4

-» -+ -+ ->

V2B1 V2B2 V2B3 V2B4 V3B1 V3B2 V3B3 V3B4


324 Llamemos evento al hecho de lucir una de las prendas de vestir mencionadas arriba. Los eventos ulucir una camisa Van Housen”y *lucir una camisa Camman” son m utuam ente independientes, porque ambos eventos no pueden suceder simultáneamente,, fin evento sucede independientemente del otro. Los eventos “lucir una camisa Van Housen” y aLucir un pantalón Baronet” son m utuam ente dependientes, porque por cada evento de escoger una camisa es posible escogerfáun pantalón distinto y cuando se escoge otra camisa te©puede volver a escoger el mismo pantalón ya escogido para combinar con la primera camisa, esto es, cada una de las posibilidades del primer evento puede ser seguido por cualquiera de las del segundo evento. Para contar los eventos independientes se puede utili zar el p rin cip io de adición y para contar el número de eventos mutuamente dependientes, el p rin cip io de m ultiplicación.

Va n H o u s e n

Camman

Baronet

P rin cip io de adición

P rin cip io de m ultiplicación

Si se puede realizar un p rim er procedi miento de m maneras, mientras que un se gundo procedimiento se puede realizar de n maneras, y no se puede realizar los dos procedimientos simultáneamente, enton ces, realizar cualquiera de ellos se puede lograr de

Supongamos que un prim er procedimien to se puede efectuar de m m aneras y un segundo procedimiento se puede efectuar de n m aneras; también, que cada una de las maneras de efectuar el primero puede ser seguido de cualquiera de las maneras de efectuar el segundo. Entonces, el primer procedimiento seguido del segundo, se pue de efectuar de

m + n m aneras

m xn m aneras diferentes

[Problema 1^ En un salón de 18 hom bres y 20 m ujeres se elig e al azar un delegado p a ra qu e rep resen te a l salón en una asam blea de delegados del coleg io. ¿Cuántas posibilidades hay p a ra eleg ir dicho rep resen ta n te? Resolución Puede ser elegido uno de los 18 hombres o una de las 20 mujeres. Entonces, hay 18 + 20 = 38 posibilidades.

Análisis Combinatorio

325

[Problema 2] *

En el problem a an terior, en lu gar de eleg ir un solo representante, se desea eleg ir una p a reja form ada p o r un hom bre y una m ujer. ¿C uántas son las p o si bilidades de eleg ir? Resolución Escojamos uno de los 18 hombres, él puede hacer pareja con cualquiera de las 20 mujeres. Cada hombre tiene 20 posibilidades de hacer pareja. Dado que hay 18 hom bres, entonces hay 18*20 = 360 maneras de hacer pare jas, 360 maneras de elegir una pareja.

7.3. Combinaciones y permutaciones

[Problema 3] Vamos a suponer qu e e l d irectorio de una em presa está conform ado p o r 5 socios, todos con iguales derechos p a ra ocu par cu a lqu ier ca rgo de la em pre sa. E llos deben eleg ir p o r sorteo una com isión de tres socios p a ra qu e viajen a l extra n jero. Adem ás, deben nom brar, tam bién p o r sorteo, a tres de ellos p a ra ocu p a r los cargos de G erencia G eneral (GG), Subgerencia (SG) y G erencia T écnica (GT): cu ¿De cuántas m aneras diferentes pueden eleg ir la com isión de tres socios? b. ¿De cuántas m aneras d iferen tes pu ed en eleg ir a los tres cargos? R esolución a. Socios A, B, C, D, E P osibles com isiones: ABC ABD ABE ACD ACE

ADE BCD BCE BDE CDE

b. Socios A, B, C, D, E Posibles distribuciones de cargos: SG GT GG Hay 6 ordenamientos para A B C cada combinación. Como B A C hay 10 combinaciones: B A C B C A Son 10*6 = 60 B C A A C B V


326 Cada comisiónes un grupo de tres personas, sin alguna jerarquía. En las comisiones sólo interesa quiénes inte gran la comisión y no interesa el orden en que ocupen la comisión. Cada comisión es un grupo de tres elementos. En la distribución de cargos, las mismas tres personas son consideradas 6 veces, porque las tres se pueden or denar de 6 maneras. En la distribución de cargos, aparte de saber quiénes asumen los tres cargos, interesa el ord en en que los asumen. Cada manera de asumir los cargos es un orde namiento de tres elementos. Las maneras de escoger los tres miembros de una comi sión de un total de 5 candidatos, se llama COMBINA CIONES de 5 elementos tomando 3 a la vez.

&

VARIACIONES

En muchos textos se hace la dis tinción entre variaciones y permutaciones. Dado un conjunto de elementos, llaman permutación cuando inter vienen en el ordenamiento todos los elementos y variación cuando intervienen parte de los elementos. No es necesario hacer esta distin ción para resolver problemas de este tema.

Las maneras de elegir para tres cargos de un total de 5 candidatos, se llama PERMUTACIONES de 5 elemen tos tomando 3 a la vez.

Combinaciones

Permutaciones

Combinar n elementos tomándolos de k en k (k '<>n)t es formar con los n elementos to dos los grupos posibles diferentes entre sí ¿ e ¿.elementos cada uno.

Permutar n elementos tomándolos de k en kt es ordenar de todas las maneras posi bles los n elementos tomando k elementos para cada ordenamiento.

El número de combinaciones de n elemen tos tomados de k en k se puede calcular por:

El número de permutaciones de n elemen tos tomando k a la vez, se puede calcular mediante:

n\ (n - ¿ ) ! ¿ !

n! P (n ;¿) = (n -¿ )!

[Problema 4] Combinar los elementos A9B9C y D tomándolos de 2 en 2. Además indicar el número de combinaciones obtenidas. Resolución Elementos: A, B, C y D Combinaciones: AB BC AC BD AD CD Son 6 combinaciones

N úm ero de com bin acion es Si nuestro interés fuera solamente conocer el núme ro de combinaciones, podríamos aplicar la relación: n\ C? = (n-¿)!¿!

4\ Ci = (4 - 2 ) !2 !

24 4


327

[ Problem a 5 ] Permutar los elementos A , B , C y D tomándolos de 2 en 2. Además indicar el número de permutaciones obtenidas. R esolución Elementos: A, B, C y D Permutaci ones: AB BA BC CB AC CA BD DB AD , DA CD DC

N úm ero de perm u tacion es Si nuestro interés fuera solamente conocer el número de permutaciones, podríamos aplicar la relación: n! P(n;k) = tn-k)\

Son 12 permutaciones

4\ P (4;2) = (4 -2 )!

4\ 21

24 2

Problemas 1. En un salón hay 15 álumnas y 24 alumnos. ¿Cuántas parejas diferen tes se pueden formar con los alum nos de este salón?

b) tomándolos de 1 en 1? c) tomándolos de 4 en 4? A) 4; 4; 4 D) 4; 4; 1

A) 120 B) 240 C) 300 D) 360 E) 450 En un estante hay 5 libros de aritmé tica y 8 libros de geometría. ¿De cuán tas maneras diferentes se puede co ger un libro de aritmética y otro de geometría? C )3 0

D) 35

E ) 40 '•.vy.

3^ Dos amigos que desean comprar po los se encuentran en un bazar. La ven dedora tes ofrece polos en 8 modelos diferentes. Cada modelo es de color distinto. ¿De cuántas maneras dife rentes pueden escoger un polo cada uno, si los dos amigos no desean te ner el mismo modelo? A) 49

B) 56

0 )6 4

D) 72

E) 80

4. Dados los elementos; A, B, C y D ¿Cuántas combinaciones se obtienen a) tomándolos de 3 en 3?

C) 1; 4; 1 E) 1; 4; 4

5. Dados los elem entos: A, B, C y D ¿Cuántaspermutaciones se obtienen a) tomándolos de 3 en 3? b) tomándolos de 1 en 11 c) tomándolos de 4 en 4?

.• • i

A) 20 B) 25

B) 4; 1; 1

, 's

i •

A) 24; 1; 24 D) 24; 4; 1

B) 24; 4; 4

C) 24; 1; 4 E) 24; 4; 24

6. Demostrar las siguientes identida des. ^

„ioo _ 8 1 x 8 2 x83x...xl00 20!

C

2

0

---------------------------------------------------------------------------------

(n -k + iX n -/c +2)...(n~J)n b. C? = k\

c; =c u

P(n,k) d. c ; = k)


328 7. S eñ alar si son com bin aciones (C) o perm u tacion es (P) ca d a uno d e los siguientes eventos; cu E m bolsar 8 ju g u etes de 3 en 3 b. A com odar 5 p erson a s en una banca de 4 asientos c. D e un esta n te donde hay 10 libros co g er dos de ellos d O btener el p rim er o segundo lu gar en una com peten cia de atletism o donde p a rticip a n 20 a tleta s e. P in tar tres ca rros de colores d iferen tes teniendo disponibles 5 colores A)CPCPP D)PPCPP

B) CPCPC

C)CPPPP E)PCPPC

8. Con los d ígitos 4; 6; 8 y 9; ¿cuántos núm eros de tres cifras, sin rep etir a l gu n a de ellas, se p u ed e form a r ? A) 12 B) 18

C) 20

D) 24 E) 36

9. Con los d ígitos 1; 5; 7; 8 y 9, ¿cuántos núm eros p a res d e cu a tro cifra s se p u ed e form a r sin rep etir cifra algu na en el m ism o núm ero? A) 18 B) 24

C) 30

D) 60 E) 120

10. ¿De cu án tas m aneras d iferen tes se pu ed en ord en a r las letra s de la p a labra HOMBRE, de m anera que siem p re esté p resen te la sílaba RE? A) 24

B) 60

C) 72

D) 80 E) 120

7.4 Permutaciones con repetición y permutaciones circulares Tanto en las combinaciones como en las permutaciones que hemos visto, los elementos que han intervenido son diferentes entre sí. A continuación vamos a analizar el caso en que participan elementos repetidos, elementos ^que no son distinguibles entre sí:

[ Problema 1 ) ¿Cuál es el núm ero de perm u tacion es de las letra s de la p a la b ra NENA? Resolución Vamos a realizar las permutaciones de las letras de NENA en dos formas: en una, no vamos a distinguir las dos N y en la otra las distinguimos mediante subíndices como Nj y Nr El número de permutaciones de 4 letras distintas es 4!. El número de permuta ciones de Nj y N2 es 2! = 2. Por cada permutación sin distinguir las N, hay 2 permutaciones haciendo la distinción: 2x(mímero de permutaciones de las letras N, E, N, A) = (número de permutaciones de las letras N1( E, N2, A)

NNAE NNEA NANE NENA ANNE ENNA ANEN ENAN AENN EANN NAEN NEAN

¡ ,

N ^ jA E N,N2EA N jAN2E N jEK jA a n 1n 2e ENjN jjA AN jEN2 ENjAN2 AEN jN2 EAN jN2 N jAEN2 n ,e a n 2

n^

ae

n^ ea NjAN jE N2ENjA AN jN jE e n 2n xa AN2EN j ENjAN j a e n 2n , e a n 2n , n 2a e n 1 n 2e a n ,


329

Si denotamos por P(4:2; 1; 2) el número de permutaciones de 4 elementos, donde 2 de ellos se repiten, tendríamos: 4* 24 P(4 :2 ; 1; 1) = = — = 22 21 2 !2 ! 2 ( Rptcu: 12 ]

[Problema 2] ¿Cuántas son las permutaciones, de todas las le tras de la palabra RELEER? Resolución Hay 3! = 6 permutaciones si se diferencia la E de cada permutación en la que se distingue E y 2! = 2 al distin guir la R. Luego:

Divertijo 1 Un calendario de sobremesa (Ver figura) tiene la siguiente particu laridad: Para señalar el día se co locan los cubos de manera que sus caras frontales den la fecha. En cada cubo, cada una de las caras porta una cifra, distribuidos con tanto acierto que siempre podemos construir fechas 01; 02; 03;;. 31; disponiendo adecuadam ente. ¿Con qué cifras están marcadas las caras no visibles de estos cu bos? Dar como respuestas la suma de ellos.

3! x 2! x (número de permutaciones de las letras R, E, L, E, E, R) = (número de permutaciones de las letras Rv Ep L, Ey Ey R2) De donde: 6» & C -4 - 5 6 120 P (6 :3;2; 1) = — —:— = ¿— ? -------= — =60 312111 2 2 ( Rptcu: 60 ) En general, si hay n objetos con n 1 de un tipo, con n, de un segundo tip o,..., nkde un ¿-ésimo tipo, donde nt + + n3 + ... + nh = n, entonces, el número de permutaciones de los n elementos está dado por: P(.n:n 1; n 2 ; n 3...;nk) =

TI

^

[Problema 3] ¿Cuántos números de 5 cifras, son tales que tres de sus cifras es 8 y las dos restantes es 7?

Divertijo 2 La reyna “vanidosa I” compró 27 perlas, todas del mismo color y ta maño. Días después de la compra, informaron a la reyna, que una de las perlas es falsa, la cual podía identificarla por pesar menos que las demás. Inmediatamente la reyna encargó a uno de sus minis tros la identificación de la perla falsa, ¿Cuántas pesadas tuvo que efectuar el ministro, si para ello utilizó una balanza de2 platillos?

330


Resolución Son 5 elementos donde 3 son de un primer tipo y 2 de un segundo tipo. Luego, el número de permutaciones es: 5\ P(5 : 3 \ 2 ) 3\2\

3 1 4 -5 = 10 312 {^Rpt^TYdj

Permutaciones circulares

Divertijo 3 Un día Perico sé puso a jugar solo a las canicas. Hizo 4 hoyos for mando un rombo. Puso una cani ca negra en un vértice y blancas en los hoyos restantes. Hizo luego otra figura poniendo canicas ñe

,

cas en lo Otros dos. ¿Cuántas figu ras diferentes pudo haber hecho?

[Problema 4 j Si se sientan 4 p erson a s A, B, C y D a lred ed or de una m esa circu lar, ¿cu án tas d isposicion es circu lares distintas se p u ed en rea liza r tom ando a uno de ellos com o fijo ? R esolución Observa las siguientes disposiciones circulares:

O

o o o

o

Divertijo 4 Las disposiciones (a) y (b) se consideran iguales, porque partiendo de una de las letras, por ejemplo A, y en sen tido horario, listamos las letras y hallamos la misma disposición lineal: A D C B. Las disposiciones (b), (c) y (d) son distintas, ya que me diante el mismo proceso anterior obtenemos: ADCB

ABDC

ADBC

que son disposiciones lineales diferentes. Para calcular el número de permutaciones circulares, ubicamos uno de los elementos en un punto fijo, quedando ubicaciones libres donde se disponen las tres letras como si fuera una permutación lineal. Luego, el número de permutaciones circulares de las 4 personas, sería 3!. Esto es: __________ Pc(4) = (4 - 1)! = 3! = 6 ( R pta,: 6 )

El profesor de aritmética propone a sus alumnos que tomen un nú mero cualquiera de 5 cifrasluego les pide que hallen la diferencia entre el número tomado y el que resulte de invertir el orden de las cifras del mismo en seguida ta chen una de las cifras de la dife rencia y sumen las cifras restan tes Con el conocimiento de esta suma3 el profesor promete adivi nar la cifra tachada. Si uno de los alumnos le proporciona 24 como resultado. ¿ Cuál será la respuesta del profesor ?

,

.


331 i

^

En general, si permutamos circularmente n elementos, tomando uno fijo com o referen cia, quedan n —1 para realizar las permutaciones, de modo que: ( P c(n) = ( n - l ) j )

[Problema 5] R icoto ha convocado a una reu n ión urgente a 7 d e sus cola bora d ores p a ra tra ta r asuntos relacion ad os con su em presa. E llos se d isponen a sen ta r a lred ed or de una m esa redonda p a ra in icia r la discusión, ¿En cu á n ta s d isposicion es d iferen tes p u e den sen tarse los 8 hom bres, si el a sisten te de R icoto tien e qu e sen tarse a su la d o? R esolución Ricoto y su asistente lo podemos considerar como un solo elemento, con lo que habría Pc(6) = (6 - 1)! = 5! = 120 disposiciones. Pero el asistente puede sentarse al lado derecho o izquierdo de Ricoto, por lo que habría 2 disposiciones por cada una de las 120. Por lo tanto, se pueden sentar en 2 x 120 = 240 disposiciones diferentes. ( R pta,: 240 )

Problemas

V

1, ¿Cuál es el núm ero de perm u tacion es de las letra s de la p a la b ra MAMA? A) 4

B) 5

C )6

D) 3.

E) 10

2, ¿Cuál es el núm ero de perm u tacion es de las letras de la p a la b ra : TORRENTE? A) 5040 D) 2150

B) 720

C) 1440 E) 5400

3. Supóngase qu e disponem os de 5 bo las roja s y 4 azules. ¿En cu á n ta s dis p osicion es d iferen tes se p u ed en ubi ca r en fila las 9 bolas? A) 120 D) 156

B) 126

C) 132 E) 162

4í Se disponen de 8 vasos d iferentes, 5 de las cuales se deben llen a r con vino y los 3 restan tes con p isco . ¿D e cuán tas m aneras d iferen tes se p u ed e rea liza r el llenado?

A) 34 B) 36

C) 48

• '

D) 50

E) 56

5, ¿D e cu á n ta s m aneras d iferen tes se pu eden u bicar 5 elem entos alrededor de un círcu lo? A) 20 B) 21

O 24

D) 30

E) 120

6. ¿D e cu á n ta s m aneras d iferen tes se p u ed en u b ica r 7 p erson a s p a ra sen ta rse a lred ed or d e una m esa circu la r? A) 120 D) 900

B) 720

C) 840 E) 600

7, ¿D e cu á n ta s m aneras d iferen tes se p u ed en d isp on er 7 n iñ os p a ra ju g a r a la rondu, si uno de ellos no qu iere sep a ra rse d e su herm anito? A) 120 D) 240

B) 720

C) 600 E) 1440

332

Razonamiento Matemático m

7.S.

Nociones de probabilidad

Si introducimos en una caja, 8 bolas rojas y 2 blancas, y proponemos, extraer de la caja una bola al azar y te pido que adivines el color de la bola antes de mostrártela. ¿Qué color elegirías? ..., obviamente el rojo porque “es más p robable” que sea roja que blanca. La teoría de las probabilidades es una parte de la matemática que se aplica sobre hechos cuyo resultado no se puede determinar con certeza, por eso se llaman “experimentos aleatorios”. Si bien, la probabilidad no determina cuál será el resultado de un experimento aleatorio, pero puede “medir” el grado de posibilidad de ocurrencia de cada resultado. Así, si extraemos una bola de la caja, no podemos calcular y asegurar que es roja o blanca, pero podemos afirmar que la posibilidad de que sea roja es de 8 en 10; mientras que de la blanca es de 2 en 10. Esta información es tan valiosa en el campo de la toma de decisiones, que el estudio de las probabilidades se ha convertido en una rama muy importante de la matemática aplicada.

[Problema 1 ] En una ca ja se introducen fich as num eradas del 1 a l 9. Se extra e una fich a a l a za r y se lee el núm ero de la ficha. a) ¿Cuál es la p roba bilid a d de que el núm ero de la fich a sea m ayor qu e 7? b) ¿Cuál es la p roba bilid a d de qu e el núm ero de la fich a sea p a r? c) ¿Cuál es la probabilid ad d e que el núm ero de la fich a sea im par y m enor qu e 6? R esolución /

1

"

-

t

■

-

r

■

Para el cálculo de las probabilidades es importante distinguir dos conjuntos asociados a los resultados del experimento aleatorio: Los resultados posibles.- Al extraer la ficha, el número de la ficha puede ser cual quiera de los números del 1 al 9. Entonces se dice que hay 9 c a s o s p o s i b l e s (Cp). Los resultados favorables.- Un resultado se considera favorable si es mayor que 7, en el caso de la pregunta a), porque queremos calcular la probabilidad de que el número de la ficha sea mayor que 7. Los resultados favorables son, 8 y 9. Entonces se dice que hay 2 c a s o s f a v o r a b l e s (Cf) -

-

-

-

-

-

a. Para fines de este texto, vamos a definir la probabilidad de un evento P(E) cómo el cociente del número de casos favorables en que puede ocurrir el evento, entre el número de casos posibles o resultados posibles del experimento aleatorio. _ Número casos favorables (Cf) _ 2 Número de casos posibles (Cp) 9

333

Análisis Combinatorio b. Dado que el problema está referido al mis mo experimento, el número de resultados posibles sigue siendo 9. {Cp = 9) El resultado, en este caso, es favorable cuando el número es par: 2; 4; 6 y 8. Son 4 resultados o casos favorables (C f - 4). - Luego: Cf_ Pipar) = Cp

4 9

c Problema 3) ¿ Cuál es la proba bilid a d de que a l lan za r consecutivam ente una m oneda tres veces, en los dos prim eros lanzam ien tos salga ca ra ? R esolución Primero listemos todos los resultados po sibles de los tres lanzamientos. Sale cara (C) y sale sello (S):

R pta.: — 9

3°

favorable favorable

c. En este caso, los resultados favorables son: 1; 3 y 5; que son 3 casos favorables. Como en los casos anteriores, el número de ca sos posibles sigue siendo 9. Luego: Pümpar < 6 ) = -££ = - = Cp 9 3 R pta,: — 3

[Problema 2] ¿Cuál es la p roba bilid a d de qu e a l lan za r una m oneda legal, salga ca ra ?

Son 8 resultados posibles {Cp - 8) de los cuales, sólo 2 son favorables {C f = 2). Lue go: Cf P(CC) = Cp

2 8

1 4 R pta.: ~

Resolución Los resultados del lanzamiento de una mo neda son sólo 2: cara (C) o sello (S). Entonces Cp = 2. Hay un solo resultado favorable, cuando sale cara. Entonces C f - 1. Luego: Cf Picara) = Cp

1 2

R pta.: ^

[Problema 4] D e una urna qu e con tien e igu al núm e ro de bolas rojas y bolas blancas, se ex traen a l a za r 3 bolas. ¿ Cuál es la p ro babilid ad qu e 2 de las bolas sean ro ja s ? R esolución Casos posibles: RRR, RRB, RBB, BBB. => Cp - 4 Casos Favorables: RRB ^ C f - 1 P(RRB) = 7 4

^R pta.: 0,25 j

334

Razonamiento Matemático Problemas Resueltos

[Problema 1 ]

f Probíema 4 ]

Estoy en u n a ju gu ería . Veo papaya, p lá tanos, p iñ o, durazno. D eseo un ju g o de dos frutas; ¿cuántas opciones tengo p a ra escoger?

Una de las p erson a s qu e asistió a una reu n ión observó qu e los a p reton es de m anos en tre los a sisten tes fu eron 78. ¿C u ántasperson as con cu rrieron a la re unión?

Resolución Cada opción es la combinación de dos frutas. No interesa el orden. Luego: 4\

#opciones = C\ - 2 \ 2 \

3x4

(R pta,: 6 1

f Problema 2 ]

R esolución Si “n” es el número de personas, cada una saludó a (n. - a) personas, entonces hubieron n(n - 1) apretones de mano; pero aquí esta mos contando dos veces cada saludo; luego:

#apretones = ——=78 n (n -l) = 13xl2

Se tira un dado de 6 caras y un dado ch i no de cu atro caras. El núm ero de m ane ras diferentes que pu ed en ca er éstos es: Resolución El primero puede caer de 6 maneras y el otro de 4 maneras. Entre los dos de 6 x 4 = 24 maneras.

CR p t a 24)

cProblema 3

[R pta.: 13)

[Problema 5~3 Seis niños p a rticip a n en un con cu rso de ajedrez. Cada uno d e ellos tien e que j u g a r una p a rtid a con cad a uno de los de más. ¿C uántas p a rtid a s se ju g a rá n en tota l? R esolución

En una biblioteca hay 10 libros latin os y 6 griegos. ¿De cuántas, m aneras se puede colocar 5 libros en un estante, de los cu a les 3 sean latinos y 2, griegos. Resolución

Cl° x Cf

n - 13

Cada uno de los 6 juega 5 partidas, en conse cuencia son 6x5 = 30 partidas. Pero en el razonamiento estamos contando los parti dos de ida y vuelta. Ya que se trata de parti dos de una sola vuelta, son 30*2 = 15 sola mente. R pta.: 1 5 )

10x9x8 3x2

6x5 2

=1800

Rpta.: 1800)

Problema 6 j El m ayor núm ero de banderas diferentes que se pu ed en con stru ir disponiendo de

335

Análisis Combinatorio m

3 colores y con un m áxim o de 2 costuras es:

Resolución

[p r o b le m a 8^

Sean A, B y C los colores:

¿C uántos com ités de 3 m iem bros se p u e den eleg ir d e en tre 8 p erson a s?

1* Sin costura: A, B y C —> 3 banderas

Resolución:

2o Con 1 costura AB, BA, AC, CA, CB y BC —> 6 banderas

Un comité estará constituido por un grupo, de 3 personas, sin importar el orden en que han sido nombrados; esto se puede elegir de:

3o Con 2 costuras: ABC, ACB, BAC, BCA, CAS, CBA, ABA, BAB, ACA, CAC, BCB, CBC 12 banderas. Total = 3 + 6 + 12 = 21 banderas. ( R pta.: 21 )

[ Problema 7 ] Supongam os qu e tenem os 5 objetos distin tos y 3 cajas d iferen tes, deseam os a veri gu a r en cuántas form as d iferen tes p od e mos coloca r un objeto en ca d a caja*

51x5x7x5 = 55 maneras 51x5 ( R pta: 56 ]

[Problema 9] D el p roblem a a n terior, ¿cuántos com i tés d e 3 p erson a s se pu ed en form a r de m odo qu e uno sea p resid en te; el 2do vi cep resid en te y el tercero secreta rio?

Resolución

Resolución

En este caso interesa el orden en que van a formar el comité. Luego, este proceso se pue de realizar de:

Sean los objetos A, B, C, D y E Las cajas: (1), (2) y (3) (1)

8\ Cf = 5 !3 !

(2)

(3)

8\ P (8 ;3 ) = (8 -3 )!

5 !x 5 x 7 x 8 = 335 5!

□

B

».(a )

maneras diferentes

B

[Problema 10] Nos preguntamos, si la situación (a) es lo mis mo que la (p); observarás que no; luego, impor ta el orden, entonces se trata de p erm u tacion es. ¿Qué elementos permutaremos? ... los objetos (que son 5 elementos); ¿de cuán to en cuánto vamos a permutar? ... de 3 en 3. 5! P(5; 3) = (5 -3 )!

2 !x 3 x 4 x 5 = 60 2\ [Rpta*: 50 )

S iete corred ores, ¿de cu án tas m aneras d iferen tes p u ed en lleg a r en los tres p r i m eros p u esto s?

Resolución Interesa el orden en que llegan a la meta, luego: P{7,3) = — = 5x6x.7 =210 4! ( R p ta : 21 Ó]

336


Problema 11 ]

# valores posibles = 2 x(5) x (4) = 40

D oris desea com prar una fa ld a y una blusa. Un com ercian te le m uestra 5 fa l das y 6 blusas de colores d iferen tes, en los m odelos que a D oris le g u sta ; ¿de cuántas m aneras distintas p u ed e esco g er lo que desea com prar? Resolución: Hay 5 maneras de escoger una falda de las 5 que hay y 6 maneras de escoger una blusa de las 6 que hay; una falda y una blusa se puede escoger de 5 x 6 = 30 maneras diferentes. N° de mane # maneras = ras de escoger 1 falda

X

N ° de mane ras de escoger 1 bluza

( R pta,: 40 )

Problema 13 J m

u

i i i i i i , i . i j i i ,i , u j j i m

w

u R

i j i j ,u n i ,,i .

i

j,

^

En el tran scu rso del m es de M arzo, un com erciante debe rea liza r 5 viajes a le a y 3 viajes a Trujillo, ¿Cuántas m aneras di ferentes en cuanto a l orden hay, p a ra rear liza r estos 8 viajes? R esolución 1: viaja a lea T : visya a Trujillo Luego, las posibilidades son: IT T IT III

# maneras - 5 x 6 = 30

T I II IT T I T T T IIIII

[Problema 12] En una urna hay 5 fichas num eradas del 1 al 5 y en otra urna hay 4 fich as num era das d el 6 a l 9, Se saca una fich a de la prim era urna y otra de la segunda urna. Con los núm eros de las 2 fich a s se form a un num eral. ¿Cuántos son todos los va lores p osibles de este num eral?

Entonces: #maneras = Pr(8 : 3 ;5 ) =

Resolución Supóngase que el número de la ficha de la primera urna sea 3 y el de la ficha de la se gunda urna sea 7, entonces con estos 2 nú meros se pueden formar los numerales 37 y 73, es decir con cada par de números se pue den formar 2 numerales. Por tanto, para cal cular todos los numerales posibles, primero hallaremos todos los pares posibles que se pueden formar con las fichas y luego este re sultado lo multiplicaremos por 2. Avalores posibles

Observe que son ordenamientos en los que un elemento se repite 3 veces (T) y un segun do elemento, 5 veces (I). Es un caso de permutaciones con repetición.

N °de fichas 2 de la 1ra urna

N °d e fichas X

de la 1ra urna

c

8\ 3Í51

51x6x7x8 = 56 6x51

[R pta,: 56 ]

Problema 14

Los h ijos de la Sra. M aría son: Carlos, José, Roger, Carm en y N éstor, ninguno son m ellizos. Si uno desea a verigu a r el orden en que n a cieron estos herm anos, ¿cuántas posibilid ad es hay? R esolución Interesa el orden en que nacieron y además en cada ordenamiento entran los 5 herma-

337

Análisis Combinatorio nos, luego: # fo r m a s de

5! = 5\ = 120 # posibilidades = P (5 ;5 ) = (5 -5 )!

m u ltip lic a r

í R pta.: 120)

[Problema 15]

N ° d e m an eras

N ° de m an eras

d e escoger

de escoger

2 n ú m eros ( - )

2 n ú m eros (+ )

4 \2 \ 3\2\ 3P* Posibilidad: 4 números (-) y 0 números(+)

Un com ercian te tiene 4 p elota s blancas, 5 negras y 3 am arillas. Un día vende sus p elota s en el sigu ien te orden: BBAANBBANNNN. ¿En cu án tos otros órdenes p od ría haber vendido sus 12 p elo ta s? R esolución El número de órdenes está dado por: 12! Pr{12\4;5;3) 4\5\3\

# formas de multiplicar = C| = t t = 5 4!

T otal = 15 + 150 + 5 = 170 [ R pta.: 170)

Problema 17 ¿C uántos triá n gu los se p u ed en form a r com o máximo, em p lea n d o n rectas coplan ares? R esolu ción

5\x6x7x8x9xl0xllxl2 = 27720 24x5\x6 La respuesta a la pregunta es: 2 7 7 2 0 - 1 = 27 719

Cada 3 rectas coplanares forman como máxi mo un triángulo, cuando ninguna recta es pa ralela a otra. Luego el máximo número de triángulos está dado por: C£ ( R pta.: C $ )

[Rpta.: 27 719 J

Problema 18

Problema 16 De 6 núm eros p ositivos y 5 núm ero n ega tivos, se escogen 4 ni/m eros a l a za r y se m ultiplican. C alcu lar el núm ero de fo r mas qu e se p u ed en m u ltip lica r, de ta l m anera qu e el p rod u cto sea positivo.

¿C uántaspalabras diferentes de 4 letras, aunque no necesariam en te tengan sen ti do, se p u ed e form a r con las letras d e la p a la b ra AMOR, de m odo que: a) Tengan siempre la sílaba MA

R esolución

b) La letra O esté siempre antes que R Para que el producto sea positivo, el número Dar como respuesta, la suma de los 2 resulta de factores negativos en la multiplicación debe dos. ser par. R esolución 1™Posibilidad: 0 números (-) y 4 números (+) 61 # formas de multiplicar =C4 = = 15 2141 _

2Al

^

a) Las palabras posibles son: MAOR, MARO, RMAO, OMAR, ORMA, ROMA

Observe que MA, se puede tomar como un solo elemento : 2 números (-) y 2 números (+) Luego: # la palabras = P(3; 3) = 3! = 6

338


b) Las palabras posibles son: OMAR, OAMR, AMOR, MAOR, etc Obsérvese que, si hiciéram os todas las permutaciones con las 4 letras, en la mitad de ellas la letra O estaría antes que R y en la otra mitad, R estaría antes O. Luego: \

rN° Palabras tales que = í p ( 4; 4 ) = -x4 \ = 12 2 O esté antes que R / 2 La respuesta es entonces: 6 + 12 = 18

N° de grupos = C l

x C¡

«^Lx^|Ip60 [R p ta ,: 60 )

[Problema 21 ] ¿D e cu ántas m aneras d iferen tes se p u e den sen ta r las 9 person as, de m odo que las esposas y las novias estén ju n to y a la d erech a de sus respectivas p a reja s? R esolución

( R pta,: 18]

Enunciado Don Rafael y su esposa M aría organ iza ron una reunión, ten ien do com o invita dos a su sobrina N ora y su esposo D arío, su hija Rosario y su novio Juan y los veci nos de la casa: Luis, A lberto y Carmen; por ende, la reunión está constituida por 5 hom bres y 4 m ujeres. (Probs. 19 - 22)

[Problema 19]

Nos interesa el orden en que pueden sentar: se, además de acuerdo al enunciado del pro blema, a cada pareja podemos tomarlo como un solo elemento, así tendríamos sólo 6 ele mentos para permutar. # mañeras = P(6; 6) = 6! = 720 Rptcu; 720

[Problema 22 J

¿Cuántas p a reja s m ixtas se pu ed en fo r m ar con todos los asisten tes?

¿De cu ántas m aneras d iferen tes se p u e den sen ta r de m odo que todas las m uje res estén ju n ta s y los hom bres p o r su p a r te?

Resolución

R esolución

# de parejas = (# de hombres]x[# de mujeres]= 5 x 4 = 20

N ° de maneras

N ° de maneras

N °d e maneras = 2 x de sentarse las

de sentarse los

4 mujeres

[ R pta: 2 0 1

[Problema 2o)

5 hombres

N° de maneras = 2xP(4; 4) x P(6; 5) = 2x24 x 120 = 5 760

¿Cuántos, grupos de 5 person as se p u e d en form ar con todos los asistentes, de modo que 3 sean hom bres y 2 m ujeres? Resolución »

N° de modos N° de modos X de ecoger N°de grupos ~ de escoger 3 hombres 2 mujeres

*

[R pta,: 5 760]

Problema 23 En una urna hay 8 bolas negras y 5 bolas b la n ca s. Se ex tra e una b ola a l a za r. ¿C uál es la probabilid ad que sea de co lo r negro?

339

Análisis Combinatorio R esolución

veces una m oneda, se obtenga 2 ca ra s?

• AI extraer una bola al azar, pueden salir cualquiera de las 13 bolas, entonces Cp=13

R esolución

• Que la bola extraída sea de color negro, pue de suceder solamente en el caso de que sal ga una de las 8 bolas negras, o sea, C f = S

Al lanzar 3 veces una moneda, los resulta dos posibles son: sss, ssc, s c c , ccc, c c s , esc, ses, css => Cp = 8 • C f - 3 (Las que están en negritas)

Probabilidad que la bola sea negra es: 8_ P(N) = 13

Luego: probabilidad pedida es: P = — 8

[Problema 26 j

[Problema 24} En una habitación, 6personas tienen res pectivam ente Sf. 1, S/. 2, S/. 3, SL 4, S/. 5 y S/. 6. Se eligen 3 p erson a s a l a za r y se apunta el núm ero d e soles qu e tien en cada uno. ¿Cuál es la p roba bilid a d de que el m enor núm ero de soles sea 3?

Se lanza un dado legaL ¿C uál es la p r o babilidad d e ob ten er un p u n ta je m ayor qu e 2 ? R esolución Los posibles puntajes son: 1; 2; 3; 4; 5 y 6

R esolución El conjunto de soles que tienen es: A = {1, 2, 3 ,4 ,5 , 61; si se eligen 3 números al azar de este conjunto, los casos posibles son:

Los puntajes favorables son: 3; 4; 5 y 6 => C/"= 4 p

61 = 20 elementos = Cf = C p " ^ 3 3131 Los subconjuntos de A con 3 elementos, en los que 3 es el menor, son: 13, 4, 5), {3, 4, 6}, {3, 5, 6), que son 3, de modo que C f - 3 Luego: la probabilidad pedida es: P=

20

=> Cp = 6

W ,9 i - . Í A C. 6 3

Problema 27 Si se lanzan 2 dados, ¿Cuál es la p rob a bilid ad de ob ten er 10 p u n tos? R esolución i

^Problema 25] i Cuál es la probabilid ad que al la n za r 3

Primero hallemos todos los puntajes posi bles que se pueden obtener lanzando 2 da dos. Para ello haremos uso de los ejes cartesianos. En el eje X graficamos los pun tajes que tiene el dado A, lo propio hacemos


340 en el eje Y para el dado B. Uniendo un puntaje del dado A con cualquiera de los puntajes que puede obtenerse en el dado B, obtene mos el puntaje obtenido en el lanzamiento de los dos dados, lo que está representado en el plano.

P U 0 )«

36

12

D ado B

H'y i7

8

9

(ío ) 11 12

;6

7

8

9 (10) 11

-v5• , 6 > «•• 4 5

7

8

9 (lo )

6

7

8

y

U“

-

■

j

De acuerdo a la distribución de probabi lidades hecha a la izquierda, el puntaje que saldrá con mayor frecuencia al lan zar 2 dados reiteradas veces, es el punto 7 y los puntajes que saldrán con menos frecuencia son el 2 y el 12.

9

6 7 8 ,3 4 5 t yi r 2 3 4 ;* 5 rt 6... 7 " * 'i'ünRB S" mKmStmm *»■■■ ■ i, 6 4 5 ^1 * 1 2 3 - o *

Probabilidad de obtener 10 puntos es

■

\

P(7) =

<• J

V V i*

X

t i-.-.

36

P(2) = P(12) =

..

Nótese que todos los puntajes posibles que se pueden obtener lanzando 2 dados son 36. (Los números en el plano). Entonces: Cp - 36 Los casos posibles son 3 (en círculo). O sea C f= 3

i 6 36

La probabilidad de que al lanzar 2 dados se obtenga 7, es 6 veces la probabilidad de ob tener el punto 2 ó 12.

Problemas Pronuestos 1. Se escriben al a za r los d ígitos 1; 2 y 3. ¿En cuántos casos p u ed en esta r des ordenados ? A) 6

B) 5

C )4

D) 3

E) 10

2. ¿Cuántos núm eros de 3 cifra s se p u e den form a r con los d ígitos 3; 5; 7; 4 y 8, sin repetirlos en el m ism o núm ero? A) 30 B) 60 C) 120 D) 72

A) 120 D) 720

B) 240 E) 540

C) 360

4. ¿D e cu ántas m aneras pu eden selec cion arse una consonante y una vocal de las letras de la palabra r a z o n a m i e n to

?

A) 10 B) 15

C) 20

D) 24

E) 18

E) 48

3. ¿De cu ántas m aneras p u ed en ord e narse 6 hojas de exam en si deben que dar de tal m anera que la hqja m ejor con testad a y la p e o r con testa d a qu e den ju n ta s?

5. Pedro, Luis, JoséyJuan, Hugo, J orgey C arlos, son can did atos p a ra form ar p a rte de la com isión de delegados del salón. Si esta com isión d ebe ten er 3 m iem bros, ¿cuántas com isiones d ife ren tes se pu ed en form a r con dichos can d id atos?

341

Análisis Combinatorio A) 42 B) 35

C) 32

D) 30

E) 70

bros de m odo que 2 sean de a ritm éti ca y 3 de á lg eb ra ?

6. Se van a exam in ar seis p ru eb a s de exam en, dos de ellas de m atem ática, ¿De cuántas m aneras diferentes p u e den coloca rse las pruebas, de m ane ra qu e las dos sobre m atem ática no estén en su cesión ? A) 450 B) 460 0 480 D) 490 ” E) 500

12. ¿C uántos núm eros de 5 d ígitos tie nen com o sus 2 últim as c i f r a s 2 y 5 e n este orden?

7. Con cin co colores: blanco, rojo, negro, azul y am arillo (siem pre u tilizan d o el am arillo) ¿C uántas banderas de tres fran jas h orizon tales de d istin tos colores se p od rá form a r?

13. En una tienda hay 6 cam isas y 5 p a n talones que m e gustan, todos d iferen tes. Si d ecid o com p rar 3 cam isas y 2 pan talon es, ¿de cu án tas m aneras di feren tes pu ed o escog er las pren d as qu e m e gu stan ?

A) 12 D) 48

B) 24

O 36 E) 18

8. Hay 5 finalistas en el concurso de arit m ética, 6 en biología y 4 en lengua, ¿De cuántas m aneras p u ed en a lca n za r e l p rim er lugar, si todos está n en la posibilid a d de g a n a r el cón cu rso en su resp ectiva a sign a tu ra ? A) 24 B) 30

C) 60

D) 120 E) 180

9. Se tienen 3 niños y 3 niñas. D e cu á n tas m aneras distintas se pu eden ubi ca ren form a altern ad a en una buta ca de seis asientos A) 36 B) 18

C) 72

D) 24

E) N. A.

10. En el últim o torn eo ju v en il de A je drez p a rticip a ron 60 person as, don de todos com pitieron una vez y se ob servó que el núm ero de p artid as g a nadas fu e igu al a l núm ero de p a r ti das em patadas. ¿C u án tosju gad ores term inaron em patados? A) 10 B) 15

C) 20

D) 25

E) 30

11. En un estante hay 4 libros de aritm é tica y 5 del álgebra. ¿D e cu án tas m a neras d iferen tes se pu ed en co g er 5 li

A) 30 B) 60

A) 900 D) 998

A) 10 D) 200

C) 54

B) 990

B) 20

D) 24

E) 120

C) 899 E) 999

C) 100 E) 150

14. En una urna hay 6 p a res de guantes n egros y 8 p a res de ca lcetin es blan cos. El m enor núm ero de extracciones d e 1 en 1 y a l a za r qu e se deben rea li za r p a ra ob ten er con segu rid ad un p a r de gu an tes n eg fo s u tiliza b les es x y u n p a r de ca lcetin es blan cos es y; en ton ces (x +y), es: A) 45 B) 36

C) 44

D) 37

E) 30

15. En e l club de R ocío hay 8 varones y 6 m ujeres, incluid a ella. P a ra p a rtici p a r e n las eleccion es, desean form a r una lista de 6 p erson a s (m itad varo nes y m itad m ujeres) encabezada p o r R ocío. ¿D e cu ántas m aneras se p u e d e form a r esta lista? A) 650 D) 120

B) 560

C) 360 E) 210

16. D e la ciu d ad A h asta la ciu d ad B se conocen 7 cam inos y de B a C, 5; deter m inar el núm ero d e cam inos d iferen tes qu e con d u cen d esd e A h a sta C p a sa n d o p o r B.

342


A) 12 B) 32

C) 34

D) 35

E) 37

17. ¿Cuántos triángulos, com o máximo, form an 6 recta s coplan ares? A) 10 B) 14

C) 20

D) 36

E) 45

23. Seis p erson as deben leva n ta r un ci lindro circu la r recto llen o de agua, a b ierto en la p a r te su p erior. ¿D e cu ántas m aneras se p u ed en co loca r alred ed or del cilin d ro? A) 60 B) 24

18. Si 4 fora steros llegan a un p u eblo donde hay solam ente 3 hoteles. ¿Cuál es el m áxim o núm ero de m aneras d i feren tes en que se pu ed en a lo ja r es tos forasteros, d urante una n oche en los h oteles m encionados? A) 45 B) 36

C) 18

D) 60

E) 99

19. En una urna se tienen 5 fich a s nu m eradas d el 1 a l 5. ¿C u á n ta sp osibi lidades hay de ob ten er 5 p u n tos al extra er 2 fich a s a l azar? A) 1

B) 2

C )3

D) 4

E) 5

20. Si en una urna tengo 5 fich a s num e radas d el 1 a l 5, ¿cu á l es la p rob a b i lidad de que al extra er 2 fich a s al a za r la sum a sea 7? A) — 10

B) — C) — 5 20

D) 4

E) 7

21. El equipo de fu lb ito de un salón de cla se debe escog er 2 m adrinas, una p a ra el equ ipo y otra p a ra las cam i setas. Si en tota l hay 6 candidatos, ¿de cu án tas m aneras d iferen tes se p u ed e escog er las dos m adrinas? A) 10 B) 20

O 15

D) 30

E) 40

22. En el cam peonato de ajed rez p o r el aniversario de un colegio habrán p re m ios d iferen tes p a ra el 1er, el 2 * y el 3er pu esto. Si p a rticip a n 5 sem ifinalistas, ¿de cu án tas m aneras d iferen tes pu ed en g a n a r los prem ios? A) 20 B) 30

C) 40

D) 50

E) 60

C) 120 D) 720 E) 840

24. ¿Cuántas perm u tacion es se pu ed en rea liza r con las letra s: M, E> R Y de m odo que: a) Mysiempre esté antes queR b) Siempre aparezca la sílaba aME” c) M y E estén juntos d ) R y M no estén juntos In dique la a ltern a tiva qu e no corres p on d e a ninguna de las respuestas. A) 20 B) 12 D) 2P(3; 3)

O P(3; 3) E) 6

25. En un sorteo, p a ra rep a rtir un tra bajo, las p erson a s A , B , C introducen en una án fora 4 fich a s enum eradas d el 1 a l 4. H a lla r la p rob a b ilid a d de qu e al sa ca r cad a uno de ellos una ficha.: a) El N° 3 le toque a B b) El N° 1 se quede en la ánfora c) Le toque un número par a *A” d) No le toque 1 aC. Ind ique la a ltern a tiva qu e n o corres p on d e a ninguna d e las respuestas. A) — B) — 4 24

C) — 4

D) 3

E) 2

26. D os p a reja s de novios van a l cin e con las m adres d e las novias. ¿D e cu ántas m aneras d iferen tes se p u e den sen ta r en 6 asien tos sin qu e se separen las parqjas? A) 24 B) 48 C) 96

D) 120 E) 100

27. En un cam peonato de fú tb ol donde p a rticip a n x equipos; ca d a eq u ip o

343

Análisis Combinatorio ju eg a una sola vez con ca d a uno de los restantes. Si en tota l hubo 55 p a r tidos. H a llar V , A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

28. H allar la p rob a b ilid a d qu e a l lan za r 2 dados a l azar:

A) i 9

a) Se obtenga 8 puntos b) Se obtenga más de 8 puntos c) Se obtenga más de 11 puntos d) Se obtenga un punto par Indique la a ltern a tiva qu e n o corres ponde a ninguna de las respu estas. 7

A) L 2

5

5

B) — C) — 36 18

1

D) - E) — 4 36

C) 10

D) 50

E) 60

30. Un lote con sta de: 8 a rtícu los bue nos, 3 con pequ eñ os d efectos y 5 con d efectos graves. Se elig e un a rtícu lo al azar, ¿cu á l es la p rob a b ilid a d de que dicho a rtícu lo no ten ga d efecto y cu ál qu e ten ga un d efecto gra ve? A)

i- L 15 2

b

> LJL 2 16

B) 9

C) 9

“ i

E)

D) 8

E) 3

—

~

— — —

a! -b\ => a = b a! _ a b\~b (a + 6)! = a! + 6! (a + 1)! = (a —2)1 (a - l)a (a + 1) (a -2 )!= a !(< z -l)(a -2 ) A) 0

B) 1

C )2

D) 3

E) 4

34. Sú \á = ( a - 1 ) ! In d ica r lo errón eo. A) la +2 = (a + 1) la +2 B) la -2 = ( a - 2 ) la - 2 O fa = ( a ~ l ) ( a ~ 2 )ía^ 2

E) la + 2 = (a - 2) a ía

31. En una h abita ción se en cu en tran 4 m ujeres y 5 hom bres, 2 d e los cu ales deben recib ir un p rem io p o r sorteo. ¿Cuál es la p rob a b ilid a d d e qu e los ga n a d ores sea n un h om bre y una mujer? A) — 4

C) t 9 8

D) l a + 3 = ( a + l ) ( a + 2 ) f a + í

O —; — 5 8 E) L ± 4 8

D) L 5 2 24

B) -

33. In d ica r el núm ero de p rop osicion es fa lsa s, p a ra dos núm eros a y b en te ros y positivos.

1

29. Unap ista a tlética tien e 5 carriles. Tres a tleta s desean coloca rse en la pista. ¿De cu án tas m aneras lo p u e den hacer, de modo qu e un atleta ocu p e un ca rril? A) 20 B) 30

32. En una urna hay 5 bolas rqjas y 4 bolas blancas; de esta urna se extra e 2 bolas a l a za r y se observa qu e una d e las bolas es roja. ¿C uál es la p r o babilid ad d e que la otra sea d e co lo r b la n co?

13

35. En una urna hay 5 fich a s n u m era das d el uno a l 5. Si se extra en 2 fi ch a s a l azar. ¿Cuál es la p rob a b ili dad de que los núm eros de las dos ci fra s sum en 5? 1 2 A) 2 B) 5

C)

3 D )J

4 E )J

36. En una lista de person as, donde fi gu ran 40 hom bres y 30 m ujeres tres


344 4

_

de ella s se llam an M aría. Se escog e un nom bre a l a za r y resulta qu e es de m ujer. ¿C uál es la p rob a b ilid a d de que sea una de las M arías? A) 10 B) 30

C)

70

1 D) 3

E)

70

37. En una ca rrera de 100 m etros p la nos, com piten los atletas A, B, C , D y E. ¿Cuál es la probabilid ad d e qu e B llegue inm ediatam ente después de A? 1 2 A) 6 B) 5

1

1

2

C) 12 D) 15 E) 18

16_ D) 21

A) D)

19096

B)

3600

C) E)

4800

36000

A)

21

B)

14

1 B )S

20

O E)

24

21

10

41. En una fiesta donde asistieron 80 personas, resu lta que 60 beben, 40 fu man y 10 no fum an ni beben. Si de es tas personas se escoge a l a za r una de ellas, ¿cuál es la probabilid ad de que fum e? 1 A )5

1 B>2

C)

D)

8

E)

80

42. Con los dígitos 1; 3; 5; 8 y 9. ¿Cuántos núm eros de 3 cifra s d iferen tes m ayo res qu e 300, se p u ed en form ar? A) 20 B) 24

C) 36

D) 48

E) 64

19069

39. En un club deportivo de 120 socios, los d irigen tes han p la n tea d o qu e los deportistas no deben fum ar, con tal fin, han hallado que 80 socios son deportistas, 70 socios fum an y 15 so cios no fum an ni son d ep ortista s. P ara p resid ir la com isión de erra d i cación del tabaco en los d eportistas, se elige a l a za r un socio y se d etecta que es d eportista; ¿cuál es la p ro b a bilidad de que fum e? A)

16

40. Un gru po de 10 am igos (4 hom bres y 6 m ujeres), fueron de paseo. En el gru p o se encuentra Andrés y Ana que son muy am igos. Si en un m om ento se es coge una p a reja a l azar, ¿cu ál es la p roba bilid a d de qu e la p a reja esté con stitu id a p o r A ndrés y A na?

D) 38. La Tinka (esp ecie de lotería ) ju eg a con 36 bolillas num eradas d el 1 al 36. El sorteo con siste en ex tra er al a za r 6 bolillas una p o r una y el p r e m io m ayor corresponde al qu e a cier ta los núm eros de las b o lilla s sin im portar el orden en que se han sido extraídos... Si una p erson a com pra 102 boletos de la Tinka tod as con com binaciones distintas, ¿cu á l es la probabilidad que tiene p a ra ob ten er el prem io m ayor?

E)

C) 16

43. D e las letras Z,A,F ,I,R, O; ¿cuántas palabras claves de 4 letras se pueden form ar, sin rep etir ninguna letra ? A) 24 B) 36

C) 72 D) 144

E) 360

44. H ay 12 m aneras en las cu ales un ar tículo m anufacturado pu ed e tener un p eq u eñ o d efecto y 10 m aneras en las cu a les pu ed en ten er un d efecto m a yor. ¿De cuántas m aneras p u ed e ocu rrir un d efecto m ayor y un d efecto m enor? A) 22

B) 120 C) 60

D) 40

E) 240

Análisis Combinatorio 45. En el problema anterior, ¿de cuán tas maneras puede ocurrir 2 defectos menores y 2 mayores f A) 2390 D) 2400

B) 1200

C) 2800 E) 2970

46* José, tiene en una bolsa 8 naranjas y 6 plátanos* Si quiere regalar 2 na ranjas y 4 plátanos a su amiga Nor ma, ¿de cuántas maneras diferentes puede hacerlo? A) 140 D) 420

B) 120

C) 210 E) 360

CLAVES L E RESPUESTAS PROBLEMAS PROPUESTOS PÁGINA 1 322-323 E

2 B

3

4

c

C

1 2 3 PÁGINA D E B 327-328 9 'l o ■. t? B ,E ... PÁGINA 1 331 C

2 :3 A

B

5 ,6 ■ B D:

4 ' 5 D

1

>

6 >7

8

E - A D r- *: ii 4i tír • ' }

4 , 5 E ’c

6 B

7 ir D ti

Divertijos

1

i

2 B

3 , 4 B B

5

6 -7

8

c B C C D 11 12; 13 >14 15 16 17 18 B ; A * D D ! b tí.D JC E 21 22 23 ,24 25 * 8 ■~¿:í 26■■.2 -7- ;2 D A C U D ¡ C ;C . D \

9 .10 C

E

19 20 B B 2 9....i 30 E B

31 32 33 35 ■36j 37 ;38 *39 40 i34 B B D E c ? A i A l Avj C D 41 42 43 44 45, 46 g r i B D E B E ’ D wñ K \

1. 0; 1; 2; 6; 7; 8; 9; cuya suma es 33 2. Tres pesadas 3. 16 4. 3 A rquim edes de Siracusa

Arquimedes de Siracusa (287 a.n. e. - 212 a. n. e.)

Nació el año 287 a. n. e. en Siracusa, Sicilia Las mayores contribuciones de Arquimedes fue ron en geometría. Sus métodos anticipados de cálculo integral 2 000 años antes de Newton y Leibniz. Arquimedes era un nativo de Siracusa, Sicilia y estudió en Alejandría, volviendo en seguida a su patria. Dedicó su genio a la geometría, mecáni ca, física e Ingeniería. Su geometría es una geometría de la medida. Efectúa cuadraturas de superficies planas y cur vas. Escribió varias obras las cuales se han ordenado según la época en que fueron escritas:

346 1. Esfera y cilindro. 2. Medida del círculo. 3. Geoides y esferoides. 4. Espirales. 5. Equilibrio de los planos y sus centros de grave dad. 6. Cuadratura de la parábola. 7. El arenario. 8. Cuerpos flotantes. 9. Los lemas. 10. El método. Arquímedes demostró que la superficie de una es fera es cuatro veces la de uno de sus círculos máxi mos. Calculó áreas de zonas esféricas y el volu men de segmentos de una esfera. Demostró que “El área de un casquete esférico es igual a la su perficie de un círculo que tiene por radio la recta que une el centro del casquete con un punto de la circunferencia basal”. El problema al cual le atribuía gran importancia era el de demostrar que “El volumen de una esfera inscrita en un cilindro es igual a 2/3 del volumen del cilindro”. Como postrer homenaje se colocó una esfera inscrita en un cilindro. Asimismo demostró Arquímedes que la superficie de esta esfera era también los 2/3 de la superficie del cilindro. Es tal vez más interesante su trabajo sobre Medi da del círculo. Trata de la rectificación de la cir cunferencia y el área del círculo. Arquímedes es el primero que hizo un intento verdaderamente po sitivo sobre el cálculo de n = Pí asignándole un va lor entre 3(10/71) El método que empleó consiste en calcular los pe rímetros de los polígonos regulares inscritos y cir cunscritos a un mismo círculo. Admite, sin demostrarlos, Tos principios siguien tes: 1. “La línea recta es la más corta entre 2 puntos”. 2. “De 2 líneas cóncavas hacia el mismo lado y que tienen los mismos extremos, es mayor la que que da fuera de la otra”.- ó como diríamos ahora “es mayor la línea circundante que la circundada”. Este principio lo aplica al círculo y a los polígonos ins critos y circunscritos. 3. “De 2 superficies que pasan por una misma cur va cerrada, cóncavas hacia un mismo lado, es ma yor la exterior”. También demuestra que “un cír culo es equivalente a un triángulo que tiene por base la circunferencia y por altura el radio”. En otra de sus obras se refiere a la mecánica, es pecialmente a los principios de la palanca. Su punto de partida lo constituyen dos principios fundamen

Razonamiento Matemático tales, que bien pueden considerarse como axiomas de la mecánica. 1. “Si se tiene una palanca en cuyos extremos ac túan pesos iguales, la palanca se equilibrará colo cando el punto de apoyo en el medio de ella”. 2. “Un peso se puede descomponer en dos mitades actuando a igual distancia del punto medio de la palanca”. Basándose en estos dos principios estableció las leyes de la palanca. Conocida es su famosa frase para hacer resaltar la aplicación de la palanca como máquina multiplicadora de fuerza: Deduce un pun to de apoyo y os levantaré el mundo. Cuenta la historia que Arquímedes un día que se encontraba en el baño observó que sus piernas podía levantarla fácilmente cuando estaban sumer gidas. Esta fue la chispa que le permitió llegar a lo que ahora con ocem os com o “ P rin cip ios de Arquímedes”. Fue tan grande el entusiasmo que le produjo el descubrimiento de su principio que salió desnudo del baño corriendo por las calles de Siracusa y gritando su célebre exclamación de jú bilo: ¡ Eureka!, ¡ eureka! que quiere decir ya lo en contré. Lo que había hallado era un método para determinar la densidad de los cuerpos tomando como unidad la del agua. Es cierto que los conocimientos y descubrimientos matemáticos de Arquímedes son notables; sin em bargo, son tal vez más importantes sus aportes y descubrimientos hechos en la Física. En efecto, fuera del principio de la hidrostática ya nombrado anteriormente y de cuya importancia no es necesario insistir, inventó un sistema de poleas, el torno, la rueda dentada, el tornillo sinfín y una serie de por lo menos cuarenta inventos. Entre ellos es curioso mencionar un tornillo sinfín que se usa ba para extraer el agua que había entrado a un barco, a los campos inundados por el Nilo, etc. En el campo militar se le debe la invención de cata pultas, de garfios movidos por palancas para in ventos mecánicos y ópticos logró defender durante tres años a Siracusa qué estaba sitiada por los ro manos. Dícese que empleando espejos “ustorios” que son espejos cóncavos de gran tamaño, logró concentrar los rayos solares sobre la flota romana incendiándola. Finalm ente, el año 212 cayó S ira cu sa en m anos de los rom anos siendo Arquímedes asesinado por un soldado a pesar de haber ordenado el cónsul Marcelo respetar la vida del sabio. Falleció el año 212 a. n. e. en Siracusa, Sicilia

SUCESIONES Y SERIES

INTRODUCCION


En este capítulo vamos a estudiar, aunque enforma bas tante elemental, un tema de mucha importancia en la matemática, sobre todo en el cálculo superior.

Amigo(a) lector(a), para tener éxito en d aprendizaje de este capítulo, debes saber resolver ecuaciones lineales, cuadráticasy sistemas de ecuaciones.

El cálculo aproximado tiene como herramientaprincipal a las series.

Además, te sugiero que hagas una revisión dd razona miento inductivo. Por otro lado, quiero recomendarte que■ como en este capítulo se llega a deducir muchas fórmulas, lo importante no es memonzar lasfórmulas, sino, saber cómo se deducen y cuándo sepuede aplicary bajo qué condiciones.

Los números irracionales, como n, e, -J2 ,-Jo etc, se pueden expresar en forma de series. De hecho, la conve niencia de expresar estos números como una serie, es que facilita el cálculo de sus aproximaciones mediante orde nadores. En este texto desarrollaremos las sucesiones más demen tóles. las series, también dementóles, v las sumatorias.

Es necesario revisar d capítulo anterior sobre números combinatorios


348 #

8. Suseciones y serios A continuación se da un conjunto ordenado de números. Los puntos suspensivos indican que continúa la secuen cia. ¿Podrías escribir los primeros números que conti núan en la secuencia?: 1; 12; 123; 1234; 12345;

;

;

...

Dado un conjunto de números, dispuestos en la forma mostrada, si uno está en la capacidad de determinar el modo de hallar el número que sigue en la secuencia, se dice que la secuencia de números es una sucesión nu mérica, claro que hay sucesiones que no son numéricas, sino, pueden ser gráficas, literales, etc.

Divertijo 1 Hay cinco copas de vino sobre la mesa ordenadas en fila e interca ladas entre una vacía y otra a mi tad ¿Cuántas copas es suficiente mover para alterar el orden de manera que queden tres vacías de un lado y dos a mitad del otro lado?

,

.

Lógicamente para determinar el número que sigue, hay que descubrir la regla bajo la cual se va generando cada número de la sucesión, esta regla se llama REGLA DE FORMACION, y cuando se puede expresar mediante una fórmula, se llama FORMULA GENERAL o FOR MULA DE RECURRENCIA. No siempre es tan fácil describir la regla de formación de una sucesión numérica y no siempre es posible expresarla mediante una fórmula. Por ejemplo, para la sucesión 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; ... desde los primeros matemáticos griegos hasta nuestros días, han tratado de encontrar sin éxito una fórmula que nos permita determinar los números que siguen. Esta sucesión es la de los núm eros prim os. Por otro lado, en una sucesión numérica, siempre es po sible señalar cuál es el primer término, cuál es el segun do, cuál el tercero, etc., esto es, establecer una corres pondencia de uno a uno entre los números ordinales, primero segundo tercero, cuarto,...) y los términos de la sucesión:

(

,

,

Número ordinal Términos de la sucesión

1 2

i 3

i 5

i 7

Una sucesión numérica puede tener un número limita do de términos o infinitos términos. Por ejemplo, la su cesión: 123(9); 234,Q l; 345,a,; 456,0 * 567,m ; 678(9) (9) (9)» (9>> (9)»

,

Divertijo 2 Un cultivo de m icrobios se colo caron en un matraz a las 2 de la tarde. En cada minuto estos seres diminutos se duplican. ¿A qué ho ras el matraz estaba a la mitad de su contenido si a Icls 3 de la tarde ya estaba lleno ?

,

,

Divertijo 3 Estospececillos están cansados de viajar en la formación A. Para romper la monotonía quieren via ja r en la formación B. Mínimamente ¿cuántos de ellos deben cambiar de posición ?

,

A .

B

349

Sucesiones y Series sólo puede tener 6 términos, porque la numeración en el sistema de base 9, sólo utiliza las cifras menores de 9. En cambio, la sucesión.

’

1. 2* 3* 4* 5 ' 6*

tiene infinitos términos. Nunca se podrá determinar el último término. Si bien, una sucesión puede tener la posibilidad de te ner infinitos términos, se le puede “cortar”, indicando, cuántos términos tiene o escribiendo el último término. Por ejemplo las sucesiones siguientes son finitas:

Divertijo 4 Estás preparando un exquisito pastel en tu horno microondas. Pero resulta que el reloj del horno está malogrado y lo único dispo nible son dos relojes de arena de 3 y 5 minutos. ¿Podrás medir con estos dos relojes de arena los 7 minutos de cocción que requiere el pastel y cómo?

4; 10; 16; 22; ... (150 términos) 1; 4; 9; 16; 25; 3 6 ;...; 1225

N otación de una su cesión En adelante usaremos la siguiente notación para todo tipo de sucesiones t * f * #* / • lP

l 2>

Supongamos que la fórmula general de la sucesión es n2 + 2, entonces cualquier término de la sucesión tiene la forma t n2 + 2. Así:

=

n

t = n 2+ 2

1

tj = l 2 + 2

=> t . = 3

tz = 2 2 + 2

t2 = 6

<3= 3 * + 2

t3 = ll

Divertijo 5 ,

Moviendo 3 palitos ¿es posible for mar 3 cuadrados ?

Por ejemplo, el término de lugar 20 es t^ y su valor se obtiene sustituyendo "n" por 20 en la fórmula general: = 402 A modo de práctica verifica que tn ó, si ta 326 y tb = 1298

=

=123 y determina a y

8.1- C riterios para determ inar e l térm ino que sigue en la sucesión La mejor manera de descubrir el criterio con el que está elaborado una sucesión cuyo término que sigue se quie re hallar, es poniéndose en el caso del elaborador de la pregunta.


350 Son muchas las reglas bajo las cuales se puede formar una sucesión numérica. Más adelante estudiaremos al gunos tipos de sucesiones numéricas, por ahora veamos algunos ejemplos de reglas bajo los cuales podemos cons truir las sucesiones.

[Problema 1 ] En cada una de las siguientes sucesiones, determ i nar el térm ino que sigue. a. 4; 7; 10; 13; 16; ...

h.

3; 3,1; 3,14; 3,141;

b.

13; 11; 9; 7; 5; ...

i.

1; 1; 3; 18; 180; ...

c.

7; 8; 10; 13; 17;

j.

3; 4; 6; 8; 12; 14; ..

d.

4; 3; 3; 6; 14; 29; ,

k.

e. -4; -2; 2; 14; 62; .. t

f. 4; 12; 36; 108; ... m.

g. 3; 4; 7; 11; 18; 29;

2; 8; 32; 128; ... 2 5 3 * 7*

3 4’

7 99 *

• *

•

0; 7; 26; 63; ...

Resolución a.

g. +3

b. 13;

+3 11;

7;

8; +7

+3

+3

-2

10; +2

7;

11;

18;

13;

h. 3;

-2

(Son las aproximaciones sucesivas del valor de rc)

17; +4

3,1; 3,14; 3,141; 3,1416

+5

18;

d. 4;

180; xlO

+15 +1 e. -A;

+3

-2 ; +2

+4 x2;

f. 4;

12; x3

+5

2;

14; +12

x3; 36; x3

+7

+48 +240 x5;

108; 324 x3

+24

+2

+3

+4

+5

3; í

4; i

6; i

8; i

12; i

2+1

3+1

5+1

7+1

+9

62; 0 0 2

x4;

x3

29;

Por lo tanto: 18 + 29 = 47 => x = 47 -2

+3

4;

3 + 4 = 7; 4 + 7 = 11; 11 + 18 = 29;...

9i ^ J ; -2

-2

c.

+3

3;

xl5

14; i

11+1 13+1 17+1

(Cada término es el que sigue a un primo)

k. 2; i 21

8; i 23

32; 128;
Sucesiones y Series

351 m. 0; i

2 3’ i

5 7’ i

3 4’ i

7 9’ i

r\ w t

4 6'

5 7’

6 8’

7 9’

8 109

•

4

4

7; 1

13-1

26; i

23- l 33- l

63;
53- l

4

Problemas En cad a una de las sigu ien tes su cesio nes, debe h a lla r el térm ino qu e con tinúa. 1. 7; 8; 10; 13; ... A) 14

B) 15

C) 16

7.

- 1 ; 0; 2; 6; 14; ... A) 30

8. D) 17

E)18

3.

1; 1; 2; 6; 15; ... A) 18

B) 20

C) 21

D) 32

1 1 5 7 1 4 ’ 3 ’ 16 ’ 25 ’ 4 ’ •"

9'

49

B)

C)

64

5.

B) 17

C) 18

10. D) 20

E) 21

2; 3; 5; 7; 8; 11; 11; 15; 14; ... A) 17

6.

B) 19

C) 18

D) 20

E) 21

2; 9; 28; 65; ... A) 124 B) 125 C) 126 D) 128 E) 190

8.2.

E) 49

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; ... A) 15

36

E) 31 D)

4.

E) 35

A) 120 B) 157 C) 158 D) 160 E) 180

A) D) 28

C) 27

3; 4; 5; 7; 13; 37; ...

2. 4; 4; 8; 24; 96; ... A) 160 B) 192 C) 288 D) 384 E) 480

B) 28

10; 17; 26; 37; ...

A) 48 11.

49

B) 49

C) 50

D) 51

E) 65

2; 4; 7; 10; 15; 18; ...

A) 22

B) 24

C) 23

D) 26

E) 27

12. 2; 6; 10; 50; 56; 392; ... A) 360 B) 400 C) 600 D) 387 E) 250

S u cesion es polinom ales

Dentro de la gran variedad de sucesiones numéricas, aquellas que tienen por fórmula gene ral un polinomio en n, donde n es un número natural mayor que cero, se denominan sucesio nes polinomiales. Dependiendo del grado del polinomio que representa la fórmula general de la sucesión, ésta puede ser lineal, cuadrática, cúbica, etc. Cada tipo de sucesión, tiene sus propias características, que estudiaremos a continuación.

352


Los problemas fundamentales que se plantean en lo relativo a las sucesiones es, determ inar la fórm ula general, determ inar el núm ero de térm inos, en caso de ser finito, calcu lar el térm ino que ocu p a una po sición dada de la sucesión y hallar la suma de los términos. Vamos a plantear diversas técnicas de resolver estos problemas, para cada uno de los tipos de sucesiones que estudiaremos.

Divertijo 6

Tres tríos Conseguir que cada grupo de car tas sumen lo mismo, moviendo solamente tres cartas y sin alterar el número de cartas de cada gru po. ¿Qué suma es ésa?

8.2.1.S ucesión lineal (Progresión Aritmética) Una sucesión lineal es aquella cuya fórmula general tie ne la forma de un polinomio lineal en n. Por ejemplo:

iV V 5» it

A

*

V

A?

A

1° i 7

2o i 11 +4

3o i 15

4o i 19 +4

+4

5o í 23

A A|

• • •

+4

F ó r m u la g e n e ra l

La sucesión lineal se caracteriza porque cada término, a partir del segundo, se obtiene sumando al anterior una misma cantidad llamada RAZON. Por ello se dice que una sucesión lineal es una PROGRESION ARITMETI CA Veamos a continuación en detalle: Consideremos un conjunto de postes enumerados y ali neados a lo largo de una vereda, equidistantes entre sí 4 metros. Consideremos también, que el primer poste está a 7 metros de una casa. Si en cada poste colocamos un letrero que señale la distancia del poste en referen cia a la casa, tendríamos una situación como la que se muestra a continuación:

Los números que aparecen en los letreros, son precisa mente los términos de la sucesión: 7;

11;

15,

19;

14 A 1* ♦ f, A s * *

...

Divertijo

7

¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para obtener exac tamente 3 cuadrados?

Sucesiones y Series

353

[Problema 1] ¿Cuántos espacios hay en tre el p rim er p oste y el p oste núm ero 20?

Resolución No hay 20 espacios. Entre el primer poste y el número 4, se puede contar que hay 3 espacios. Se puede deducir, que entre el primer poste y el número 20 hay 19 espa cios.

Problemas

s

1. Con referen cia a la figu ra de arriba, ¿cuántos espacios hay en tre el prim er p oste y el p oste núm ero 48? A) 48

B) 47

C) 49

D) 50

E) 46

2. Un sastre corta diariam en te m edio m etro de tela. Si dispone de 4,5 m e tros de tela, ¿en cu án tos días la co r tará totalm ente? A) 7 días D) 10 días

B) 8 días


3. Una p erson a debe consum ir 12 p a sti llas a razón de una p o r cada 8 horas. Si em pieza el lunes al m edio día, ¿qué

día y a qué hora estará consum iendo la últim a p a stilla ? A) Viernes, 4 a.m. B) Viernes, 4 p.m. C) Jueves 4 a.m. D) Jueves, 4 p.m. E) Viernes 8 a.m. 4. ¿Con cuántos cortes se divide un aro en 8 p a rtes? A) 8

B) 7

C )6

D) 9

5. ¿Con cuántos cortes se d ivid e una varilla en 8 p a rtes? A) 8

B) 7

C )6

D) 9

Cóm o hallar la fórmula general d e una su cesión lineal ¿Qué número le corresponde al letrero del poste 50?

D

n

fls l

19

[23 ••

49 espacios d e 4 m c/u = 4x49 = 196 m \

E) 10

E) 10


354

4

El número del letrero correspondiente al poste 50 es la distancia del poste 50 a la casa. Del poste 1 al 50 hay 49 espacios de 4 m cada uno, que hacen 4x49 = 196 m. Por lo tanto la distancia del poste 50 a la casa es 7 + 196 = 203. Ahora planteemos el problema de averiguar la distan cia de la casa al poste n ©

QE] ,

:

• ••

( n - 1) espacios d e 4 m c / ü = 4 ( n - l ) metros Se observa que al poste n le corresponde el número: tn= 7 + 4 n - 4 [tn = 4 n + 3 ) La fórmula 4n + 3 es la fórmula general de la sucesión. Podemos verificar, para n = 1; tl = 4(1) +3 = 7; para n = 2: t2 = 4(2) + 3 = 11; para n = 50: - 4(50) + 3 = 203. t= 7 +4(n-l)

[Problema

2J

En la sucesión: 8; 13; 18; 23; 28; ... i Cuál es el térm ino del lu gar 200? Resolución M étodo (2)

M étodo (1) En 200 números hay 199 espacios de 5 uni dades cada uno. Por lo tanto, el número correspondiente al término 200° es: 8 + 5x199 = 1003

Hallando la fórmula general La fórmula general es: t = 8 + 5 (n - 1) = 8 + 5 n - 5 ■ tn =5n + 3 t20= 5(200)+3

para n = 200

(t,o = 1003

Problemas L H allar el térm ino 50 de la sucesión: 1; 8;

15; 22;

•««

A) 356 B) 338 C) 344 D) 350 E) 362

2. H allar la fórm ula gen era l de la suce sión: 2; A) 5 n + 4 D) 6 n - 3

8;

14; 20; 26; B )6n

0 6/1 + 4 E) 6 /i- 4 r ií a »

Sucesiones y Seríes

355

3. i Cuál es la fórm u la g en era l dé la sucesión; 3;

4. ¿Q ué núm ero correspon d e a l térm ino d e lu g a r 100 de la su cesión :

16; 29; 42; ...

A) 13n + 8 D) 13n - 1 0

B) 1 0 n - 5

15; 22; 29;

A) 678 B) 700 C) 708 D) 702 E) 714

C) 13n + 10 E) 13n + 8

Otro modo de hallar la fórmula general de la suce sión es mediante el método inductivo. Por ejem plo. Sea la sucesión: 7;

11;

15;

19;

...

cuya-fórmula general deseamos calcular: t^ 7 = 7 + 4x1 í3 = 7 + 4x2 t = 7 + 4x3 t = 7 + 4(n -1J En general, para: t

or -r

29

+r

+r

3*

t

•

•

•

36;

Divertijo 8

Marco de letras En este marco de letras se esconde un refrán conocido. Intenta leerlo. Empieza por una de las letras y, saltando siempre una, da dos ve ces la vuelta al marco. ¿Cuál es ese refrán? m M R I A L F P I A G C R L N O O A V U P S E A L R A B Señalar el número de palabras del refrán

+r

De donde: íj = í„+ lxr t¡ = t1+ lx r

t2 = t0+ 2 xr ■

ti = tJ+ 2 xr

t3= t0+ 3*r

t¿ término anterior al primero tr‘ primer término tA: último término n : número de términos

( tn= tt + ( n - l ) r )

r: razón Se observa que en la fórmula general de la sucesión lineal, el coeficiente de n es igual a la razón de la sucesión. De modo que si queremos determinar la fórmuía general de: 7 T j l ^ J 5 ^ 19; +4+4+4

...

de antemano sabemos que será 4n + ?. En esta fórmula, para n = 1 nos tiene que dar 7; entonces el término independiente es 3, de modo que 4(1) + 3 = 7. Por lo tanto la fórmula general es: 4n + 3

)


356

[Problema 3 ]

[Problema

H allar el térm ino de lu gar 60 de la su ce•y sion: 15; 22; 29; 36;....

¿C uántos térm inos tien e la sucesión:

Identificamos los elementos de la sucesión 15; 22; 29;

-7

+7

391?

R esolución

Resolución

8;

13; 20; 27; 34;

tn

+7

i

Sé

M étodo (1) tn= t¡ + ( n - l)r => í6£) = 15 + ( 6 0 - l)x7 ^ { t m=428 )

El “espacio” entre dos términos vale 7. El espacio entre el primer y último términos vale: 391 - 13 - 378, entonces hay 37S+7 = 54 espacios. Si entre el primer y último términos hay 54 espacios, entonces hay 54+1 55 términos j M étodo (2) Sabemos que tn= t0 + rn

t = tñ + nr => V

OU

= 8 + 60 x7

[*«*428 )

391 = 6 + 7n

M étodo (3)

Hallando la fórmula general por cualquier método, y sustituyendo n por 60.

Sabemos que: * tII =tn U+ rn

La fórmula general es 7n + ?; para n = 1 nos tiene quedar 15, entonces:

ó ttí = t I, + ( n - l ) r

Despejando n:

7(1)+ 1 = 15 =>? = 8 Por lo tanto, la fórmula general es: t =7n+8

n = 55

Por lo tanto tiene f 55 términos.]

M étodo (3)

Para n = 60 =>

=> tn = 6 + 7n

Se conoce tn= 391 y hay que hallar n. Susti tuyendo en la fórmula general:

M étodo (2) A

M étodo (1)

(1)

ó

(2)

Sustiuyendo valores en cualquiera de las fórmulas:

= 7(60) + 8 3 9 1 -6

En(l):

n=

En (2):

3 9 1 -1 3 , -----+ 1 n=

f n = 55 )

= 428J [n = 55 )

Sucesiones y Series

357

Problemas 10;

1. H allar el térm ino de lu g a r 80 d e la sucesión; 4;

9;

14;

14;

18; 22;

...;

t

¿ C uál es el valor de t J

19; ...

A) 486 B) 488 C) 496 D) 468 E) 490

A) 349 B) 350 C) 397 D) 400 E) 399 5. La sucesión 2. ¿C uántos térm inos tien e la su cesión : 9; A) 50

15; 21; B) 52

27; ...

C) 47

5;

;297

D) 48

1; 9;

7;

13;

13;

17; ...

tien e 120 térm inos. H a lla r la sum a de los dos últim os térm inos.

E) 49

A) 590 B) 596 C) 598 D) 602 E) 608 3. H allar la sum a de los térm inos que ocupan el lu ga r 50 y el lu gar 100 de la sucesión: 1; 5;

9;

6. Las sucesiones:

13; ...

y

A) 197 B) 397 C) 594 D) 598 E) 627

10;

13;

16;

...;

11;

18; 25;

9;

12;

15;

; an

18; ...; bn

Tienen igu al can tid ad de térm inos. A l sum ar el últim o térm ino d e la p r i m era con el últim o térm ino de la se gunda sucesión resu lta 803 ¿Cuántos térm inos tien e cad a u n o?

4. La sucesión 7;

4;

364

tien e tantos térm inos com o:

A) 70

B) 75

C) 78

D) 80

E) 82

Cóm o sumar los térm inos de una su cesión lineal. Dada la sucesión lineal: 7; la expresión se llam a

serie

11;

15;

19; 23;

t

Divertijo 9

7 + 11 + 15 + 19 + 23 + ... + 1 lineal.

El cálculo de la suma de los términos de una sucesión está basado en la propiedad de que la suma de los tér minos equidistantes del centro de la sucesión, son igua les. Veamos el ejemplo: 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 +35 T J 42 42 42 l4 2 j

Dos sucesiones tienen respectiva mente por fórmula de recurrencia an = 2 n n4 - 6n3 +23n2 - 1 8 n + 24 bn = 24 Para n = 0;1; 2; 3;... ¿Cuántos de ¿os primeros térmi nos son comunes a ambos?


358 Cada pareja súma 42. Los 8 términos hacen 4 parejas, entonces la suma es 4x42 = 168. En la serie:

Divertijo 10 Aquí tienes una figura hecha con palitos de fósforo.

1+6+11+16+21+26+31+36+41 T ' T 42 42 42 42

4

Cada pareja suma 42. Los 9 términos hacen 4,5 pare jas, entonces la suma es 4,5x42 » 189

[ Problema 5 ] H allar la sum a de la serie lin eal 1 + 7 + 13 + 1 9 + 2 5 + . . . + 337

A) Mueve 4 palitos y forma 2 cua drados (no vale dejar “cabos sueltos”). B) Retira un palito y forma 3 cua drados.

Resolucón Cada pareja equidistante del centro suma: 337 + 1 = 338 La serie tiene (337 - 1) = 336 => 336+6 + 1 —56 +1 —57 términos que hacen 57+2 = 28,5 parejas. Por lo tanto, la suma es 28,5x338 = 9633

Divertijo 11

Globos y dólares

Marco está echando una siesta. Sueña con que hay 6globos situa dos en círculo a su alrededor, nu [ Problema 6 ) merados del 1 al 6. En el sueño, su padre le dice: “Adelante, Marco, Dada la serie lineal de razón r> determ inar la suma: puedes reventarlos. Revienta 1, luego, siempre el que hace el nú t J + t 2 + t i + ... 4- t mero 6 en el sentido de las agujas Resolución del reloj: El último globo que re contendrá 100 La suma de cada pareja equidistante es (¿n+ f ). Con los vientes dólaresm .Marco decide preservar n, términos de la serie se forman — parejas. Luego, la los globos reventar sólo aquél que conténgalos 100dólares. ¿Quénúsuma es:. mero eligió ? n

[ Problema 7 ) H allar la sum a de los 48 prim eros térm inos de la serie: 5 + 11 + 17 + 23 + 29 + ....

Sucesiones y Series

359

Resolución Hallando la suma:

Hallando el último término: tn- tn 0+ nr

t48= -1+ 48*6

=

t4S 287

S„=|(í,+t,) => S48= ^ -(2 8 7 + 5 ) S4S= 7008

Problemas

y 20 + 24 + 28 + 32 + ...

1. H allar la sum a de la serie; 1 + 5 + 9 + 13 + ... + 245 A) 7620 D) 7420

B) 7260

C)7625 E) 7626

2. H allar la sum a de la serie; 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + ... (60 sumandos) A) 5440 D) 4440

B) 5540

05550 E) 6660

3. H allar la sum a de los 20prim eros tér m inos de la serie: 1 + 8 + 15 + 22 + 29 + ... A) 1530 D) 1240

B) 1350

O 1250 E) 1320

4. Las series;

tienen igu al can tid ad de térm inos y sus últim os térm inos son iguales. H a lla r la sum a d e los térm inos d e cad a una y d a r com o respu esta la d iferen cia de las sum as halladas A) 180 D) 185

B) 170

O 178 E) 190

5. ¿C uál es la sum a de los 30 prim eros térm inos de la serie. 12 + 16 + 20 + 24 + ... A) 2120 D) 2150

B) 2130

O 2100 E) 2140

6. H a lla r la sum a de la serie: 1 + 9 + 17 + 25 + ... + 105 A) 742 B) 750 Cj 756 D) 748 E) 758

1 + 6 + 11 + 16 + 21 + ...

Seríes notables Mediante la aplicación de la fórmula para la suma de los términos de una serie lineal, se demuestran las siguientes fórmulas.

Sumadelosn primerosnaturales

©

1+2+3+4

+... +n- *(*+2).

Sumadelosn primerospares Sumadelosnprimerosimpares

© ©

2 + 4 + 6 + 8 + .t. + 2 n -n (n + l) 1+3+5+7+9

2

+... + 2 n -l =n2


360 En cada una de estas fórmulas n representa el número de términos. Por ejemplo, en la serie: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 80 queremos hallar la suma aplicando la fórmula n(n+l); ¿Cuánto vale ni ¿n = 80 ó n - 40? El uso de las fórmulas en la resolución de problemas es peligroso si no se tiene claro sobre las condiciones en las que se usa. Por ello es recomendable tener otros caminos o algún criterio que nos permita salir de la duda. La serie pro puesta es una serie lineal de razón 2, con 40 términos, por consiguiente la suma es

Divertijo 12 — No hay duda. La víctima se resistió al asalto. La esfera del en tres —dijo el •jkûe cusuauaacii —razo notar su compañero —Si sumamos los número de cada pedazo, resultan iguales.

+ ^ , que resulta igual

2 que aplicar la fórmula n(n+l) para n = 40 y no para n = 80. Para hallar la suma de la serie 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ... + 121

se puede aplicar la fórmula n2. Pero, ¿cuánto vale n para este caso? Como n representa el número de términos de la serie, entonces: 121-1 , n = ----------+ 1

n = 61

Por consiguiente la suma es: 61a = 3721 Otro modo de calcular la suma de la serie es considerán dola como una serie lineal de razón 2. Como ya se tiene el número de términos igual a 61, la suma resulta: — (121+1) =3721 2 Prácticamente este método resulta más seguro que memorizar la fórmula de la suma de los impares y estar en duda sobre cómo aplicarla.

Divertijo 13

Avión Fatídico Del aeropuerto de Juliacasaliá un avión en dirección al Sur, reco rriendo 800 km; entonces viró al Este recorriendo 800 km, volvió a virar al Norte y recorrió otros 800 km. Por último, viró al Oeste reco rriendo 800 km, entonces se preci pitó a Tierra. ¿Dónde cayó el avión? '•''W'Tl

[Problema 8^ Las series 1 1 + 1 2 + 13 + 14 + ... + a 16 + 1 8 + 2 0 + 22 + ... + b 21 +23 +25 + 2 7 + ... + c

.

. . . y

..

~

Sucesiones y Series

361

Tienen la misma cantidad de térm inos y sus últimos términos suman 153. H allar la suma de cada una.

Resolución ,

Si asumimos que cada una tiene n términos hallan do la fórmula general de cada una expresamos los últimos términos en función de n

,

11 + 12 + 13 + 14 + 16 + 18 + 2 0 + 2 2 + 21+23+25+27 +

a) Mueve 4 cerillas y forma 6 cua drados iguales

+19) = 153 5n + 33 =153

(n + 10) + (2n + 4) + (2n

b) Mueve 3 cerillas y forma 7 cua drados iguales

{ n =24 ) Luego

16 + 18 + 20 + 22 + 21 + 23 + 25 + 27 +

... + 3 4 =

^ ( 3 4 +11)

... +62 =

24

...

Con 24 cerillas forma nueve cua drados pequeños, como sigue: * 1 1 i

... +(n + 10) ... +(2n + 14) ... + (2n + 19)

Del dato:

11 + 12 + 13 + 14 +

Divertijo 14

24

=540

(62 +16) = 936

24 + 67= — (67+ 21)= 1056

c) Mueve 10 cerillas y forma 6 cuadrados iguales d) Retira 4 cerillas para dejar 5 cuadrados iguales e) Retira 4 cerillas para dejar 6 cuadrados iguales f) Retira 2 cerillas para dejar 7 cuadrados iguales g) Retira 2 cerillas para dejar 8 cuadrados

Problemas L H allar la sum a de: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... +100 A) 4500 D) 5000

B) 4800

C) 5400 E) 5050

2. H allar la sum a de: 15 + 16 + 17 + 18+... +115 A) 6450 D) 6550

B) 6565

C) 6500 E) 6540

3. H allar la sum a de: 2 + 4 + S + 8 + ... + 90

A) 2080 D) 2050

B) 2070

C) 2060 E) 2040

4. H allar la sum a de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... +117 A) 13841 D) 3284

B ) 3241

C) 3450 E) 3481

5. C alcu la r la sum a d e los 2 0 prim eros térm inos de: 13 + 15 + 17 + 19+... A) 680 B) 720 C) 600 D) 640 E) 540

362


6. H allar la suma de los prim eros 40 tér m inos de:

nos tien e ca d a serie? A) 24

B) 25

C) 26

D) 12

E) 13

1 8 + 5 + 2 0 + 7 + 2 2 + 9 + ...

A) 1000 D) 1080

B) 1040

C) 1060 E) 1100

7. Si la suma d e l + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1 ) es m en o r en 24 q u e la s u m a d e 2 + 4 + Ó + 8 + ... + 2n. ¿C uántos térm i

8. Si la sum a d e 10 en teros con secu tivos es 165; ¿C uál es la sum a de los 10 si gu ien tes? A) 330 D) 280

B) 340

C) 265 E) 295

8.2.2. S u cesion es cuadráticas 0 Una sucesión cuadrática es aquella cuya fórmula gene ral tiene la forma: neZ+ At B, C son constantes

n: 1 i 3n2 + 2 n - 1:4

M étodos de obten ción d e la fórmula g en e ral y la suma d e los térm inos d e una su ce sión polinomial En el primer capítulo del texto hemos expuesto el méto do inductivo para hallar la fórmula general de una suce sión. En las páginas anteriores hemos, expuesto cómo obtener la fórmula general para una sucesión lineal. Los métodos que vamos a exponer son aplicables para cual quier sucesión polinomial, sea lineal, cuadrática o de orden superior.

M étodo I ^ Problema 9 j H allar la fórm ula g en era l de la sucesión: 4;

7; 12;

19; ...

3 >1

4 >i

15 32 55 11 17 23

Observa los ejemplos de la derecha <2> Una serie cuadrática se caracteriza por que la las dife rendas entre los términos consecutivos forman una su cesión lineal.

2 4

6 n: 1 i» 2n* + 2; 3

6

2 3 -i

4 «i

9 19

33 .

6

10 14 4

4

Divertijo 15 Coge un cartón que tenga medio centímetro de espesor • —no impor ta las dimensiones, pero que sea lo más grande que encuentres —cór tala por la, mitad y coloca una mitad sobre la otra. Corta nueva mente las mitades. Repita esta operación 20 veces. ¿Qué altura tendrá el montón al final delju e go?

Sucesiones y Series

363

Resolución*

Resolución

De la sucesión:

Para hallar el término que ocupa el lugar 20, primero debemos hallar su fórmula ge neral.

4;

7: 3;

12;

19;

5* 2; 2;

Se observa que es una sucesión cuadrática. Vamos a asumir que sus dos primeros tér minos forman una sucesión lineal de razón 3, en tal caso su fórmula general sería: tn = 3n + 1 Veamos si esta fórmula general cumple para todos los términos de la sucesión Si

n —1

— » t¡ - 3x1 + 1 = 4 ; cumple

Si

n -2

-+ t2= 3x2 + 1 -7 ; cumple

Si

n =3

—> t3= 3x3 + 1= 10; ¡no cumple!

Como para n = 3 ya no cumple, entonces a esta fórmula general vamos a agregar una expresión tal que se elimine para los valo res de n = 1 y n = 2, dicha expresión es (n - 1) (n - 2); o más generalmente: k (n ~ 1) ( n - 2). Luego, la nueva fórmula de recurrencia se ría:

Los tres primeros términos forman una su cesión lineal de razón 2, entonces su fórmu la general es de la forma: tn - 2n - 3, + k(n - l)(n - 2)(n- 3) T

Fórm ula general de los 3 primeros términos

Comprobando: Si

ti = 1 —>tj = 2x1 - 3 + 0 - - 1 ; cumple

Si

ti = 2 —» t2 - 2x2 - 3 + 0 = 1; cumple

Si

n = 3 —> t = 2x3 - 3 + 0 = 3; cumple

Si

71= 4 -> t4 = 2x4-3 + k(4 -l)(4 -2 )(4 - 3) i 17 = 5 + 6k

Entonces la fórmula general es de la forma tn = 2 n -3 + 2 (n - l)(n -2 )(n -3 ) El término que ocupa el lugar 20, lo calcula mos haciendo t i = 20: t20 = 2 x 2 0 - 3 + 2(20 - 1)(20 - 2)(20 - 3) 11665

tn=3n + 1 + k(n - l)(n -2 ) y vemos que cumple para: n = 1 y n = 2 Si: ti = 3

t3= 3(3) + l + k ( 3 - 1 X 3 - 2 ) i 12 = 10 + 2k =* [k ==1 )

Por lo tanto, la fórmula general de la suce sión es: tn= 3n + 1 + ( n - l)(n - 2) ' "

C

)

Problema 11 ¿Cuántos térm inos tien e la sucesión: 1; 4;

7;

16; ...; 2227

Resolución Para determinar el número de términos de la sucesión, primero debemos encontrar su fórmula general y luego hallar “n”, para tn =2227.

Problema 10

ICuál es el térm ino que ocupa el lu gar 20 en la sucesión: -I;

=> k = 2

1; 3;

17; ...

Los tres primeros términos forman una pro gresión aritmética de razón “3”, entonces la fórmula general será de la forma: ^ tn = 3n - 2 + k(n - l)(n - 2)(n - 3) j

364


Ahora hallemos aknhaciendo n - 4

[ Problema 13

t4 = 3x4**2~+ k(4 - 1X4 - 2X4 - 3)

Calcular el término 30 de la sucesión

16 = 10 + 6k

2;

tn= 3 n - 2 + (h - l ) ( n - 2 ) ( n - 3)

3;

6;

11;

3;

6;

11;

9* ¿y

9-

R esolución

Para tn = 2227, tendríamos:

2;

...

2227 = 3 n - 2 + ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n ~ 3 ) 2227 = n3- 6n2 + 14n 15x149 = n(n - 6n+ 14) í R pta,: T iene 15 térm inos1

Vemos que la sucesión es cuadrática, luego su fórmula general tendrá la forma: fft =An2 +Bn + C

M étodo II (por ecuaciones)

... (II)

En (II):

[Problema 12l H allar la fórm ula de recu rren cia de la sucesión: •

*

6;

Si Si Si

n = 1 -+ 2 = A + B + C n = 2 -+ 3 = 4A +2B + C n = 3 —> 6 = 9A + 3B + C (2) - (1) (3 )-(2 ) (4) - (3)

15; 28; 45;

Resolución: 6;

15; 9;

28;

13; 4;

45;

17;

(1) ... (2) ...

... (3)

1 =3A +B ... (4) 3 = 5A+B ... (5) 2 =2A => A = 1 => B = -2 => C = 3

Luego, la fórmula general es:

4;

Se observa que es una sucesión cuadrática, entonces su fórmula general es de la forma: tn =An2 + Bn + C

tn =n2- 2 n + 3 Luego: t30= 302- 2x30 + 3 = 843, el cual es el término de lugar 30°.

M étodo III:

En (I): Si n = 1 —> Si n =2

-4

Si n =3 (2) -(1 ) (3) - (2) (4) - (3)

8=A +5 + C

... (1)

15 = 4 A + 2 B + C ...(2) 28 = 9A + 3B + C ...(3) 9 = 3A + B 13 = 5 A + B 4 =2A

Luego, la fórmula general es:

...(4) ...(5) A =2 B =3 C =1

Uso de los núm eros com binatorios p a ra el cá lcu lo de la fórm ula g en era l y la sum a de los “n ” prim eros térm inos de una sucesión polinom ial. ^1* ^2* ri

^3> r2

S1

^4> r3

S2

ai

t5t r4

S 3>

a2

t6> r5

S4

a3

r6 S5

a4

t?,

,

Sucesiones y Series

365

I.Fórmulageneralparahallareltérmi nodelugarn. n-7 n-1 iii-J í = tfiS' 1 + rjC"_i + SjC r +a,CS'J+uCj

n-i

II. SumadelosM nnprimerostérminos S = t fií + rfiS + SjCtj + a,C! + uC5" ]

( Problema 16) H allar el térm ino que ocupa el lu ga r 30 en la sucesión:

- 2;

0;

0;

2;

8;

...

Resolución - 2;

0;

0; 0

[ Problema 14)

0; 0;

8,

0

-2

0

Hallar la fórmula general de la siguiente sucesión: 4;

15;

32;

55;

...

K = 6552)

Resolución 4;

. ns-t29 t30 = - 2 C f + 2 C29 ^ - 2 C29 f' +2C

15;

32;

( Problema 17)

55;

Calcular la suma de los cuadrados de los “n” primeros enteros positivos.

Nn " Nr f N23

Resolución tn= 4Co~l +11C1' 1 + 6C2'1 (n-l)\ t = 4(1) + l l ( n - 1) + 6 (n - 3 ) \ 2 ! í tm= 3n2 + 2n - 1J

Queremos calcular S n = l 2 + 22 + 32 + 42 + ... + n

Donde: S O= 1 + 4 + 9 + 1 6 + ... + n2

[Problema 15] Calcular "S” en: S = 1 + Í + 4 + 10 + 19 + ... (20 sumandos)

S„ = 1C1 +3C¡¡ +2C¡

Resolución 1;

1;

4;

10;

...

Sn = l ( n ) +

0 S =

3xnl + 2xn! (n - 2 ) 1 2 ! (n -3 )!3 !

n(n+l)(2 n + l)

SM= 1C\° + 0 C20? + 3Cj20 q _ 9 n j. 3x171x18x19x20 20 17Ulx2x3 ( S*, = 3440 )

[Problema 18) H allar la sum a de los cubos de los “n ” prim eros en teros positivos*


366 Resolución

R esum en d e las serles notables

Deseamos calcular: SfX~ l 3 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Donde S_ =

I + 3 ^ f 2 7^J>4+125 +...+n3 29 12

37 18

Serie aritm ética aj + aí + as * — + a "

ra(an *& ;) 2 Serie de los núm eros naturales; 1 + 2 + 3 + ... + n =

ó;

24

n(tt+2)

S erie de los cu adrad os d e los n prim e ros núm eros naturales n(n + iX 2n + 2)

Sn= iC 2" + 7C£ + 22C3 + e c ;

l 2 + 2* + 3* + ... +

c 7xn! 22xn! 6xn! S = n + ------------- + --------------+ (n -2 )!2 ! (n -3 )!3 ! (n -4 )!4 !

Serie d e los cu bos de los n prim eros nú m eros naturales

*

sn =

n(n + l)

L

2

1* + 23 + 33 + ... + n3 =

n(n + l)

2

Problemas . 2. H allar la fórm ula gen era l de la suce ' sión: 0; 6; 14; 24; •

A) n2 + 2n - 3 C )n 2 + 3 n - 4 E ) n 2- 3 n + 4

• •

B) n2 - 3n + 3 A) n2 - 3n + 2

2. H allar el térm ino qu e ocu pa el lu ga r 20 de la sucesión: 6; 9; 14; 21; ••• A) 405 B) 408 C) 410 D) 412 E) 415 3. ¿Cuántos térm inos tien e la sucesión: 4; 9; 18; 31; 633 A) 14

B) 15

0

16

D) 18

E) 20

4. La d iferen cia d e los dos últim os tér m inos de la sucesión: 2; 4; 7; 11; t es 24. ¿Cuántos térm inos tien e la sucesión? A) 24

B) 18

C) 16

D) 26

E) 28

5. H a lla r la sum a de la serie: l l 2 + 122 + 132 + ... + 362 A) 15641 D) 6504

B) 15640

C) 15821 E) 15645

6. H a lla r la sum a de los 20 p rim eros térm inos d e la serie: 2 + 3 + 9 + 2 0 + 3 6 + ... A) 4435 D) 3320

B) 5930

C) 4330 E) 4230

7. H a lla r la sum a de la serie: 1 + 2 + 4 + 7 + 11+,,. + 301 A) 2560 D) 2650

B) 2625

C) 2620 E) 2680

8. L a sucesión 0; 7; 26; 63; 124; t30 tien e 30 térm inos, ¿C uál es el últim o térm ino? A) 26999 D) 26780

B) 26888

C) 26789 E) 26799

Sucesiones y Series

367

8.3 Sucesiones o progresiones geométricas Se llama progresión geométrica, a la sucesión en la que definido el primer término, cada término posterior se obtiene multiplicando al anterior siempre por un mis mo número llamado razón de la progresión. ® En forma general, si tt es el primer término de la progre sión geométrica y r la razón, la progresión geométrica se puede escribir como:

2;

6;

18;

x3

x3

54; x3

t2 * 0; r * 0 «

1; x2

x2

x2

Donde el término general de la progresión es:

7-

I-

'

2’

Suma de los térm inos de una serie geom étrica

1

I-

L . 4 ' 1

X —

X —

2

2

1

8 9

X —

2

Sea: Sf% = t,i + t.r + t.r2 + t.1 3 + t.r4 + ... + t . r ... (1) l i i i i

3;

Multiplicando ambos miembros de (1) por r: rSt% = t.r + t.r2 + t.r3 + t.r4 + í.r5 + ... + t.r" i J i I i i ( 2 ) - ( l) : rSa - S, = i / - - í,

9 ^ 2 7 ^ 8 4; x3

x3

...(2)

Sn(r- 1) = t /r - - 1)

3;

Por lo tanto:

12; x4

O

x3

48; 192; x4

x4

_tj(rn- l ) — r-rl 2; ^ 0 ^ 0 ^ 2 5 0 ;

[Problema 1 j

x5

x5

x5

H allar la sum a de la serie: S = 3 + 3 + J 2 + 2 4 + 4 8 + ... +3072 R esolución METODO (1) Si queremos resolver el problema aplicando la fórmu la, vemos que tt = 3; r = 2; pero falta determinar n, o sea, el número de términos. Por consiguiente es necesa rio hallar primero el número de términos.

7;

14; x2

28; x2

56; x2

368


El término general es: tn = t¡r* ’ * => [ tn =3x2n~2J

MÉTODO (2)

Entonces:

S = 3 + 6 + 12 + 24 + ... + 3072

(1)

m

3x2n - 3072

=> 2n 1 = 1024

Igualando los exponentes: n - 1 = 10

=>2n~2 = 2X0

Multiplicando (1) por la razón 2:

=* n = l l

2S = 6 + 12 + 24 + 48+... +6144

Por lo tanto la suma es:

(2)

(2) - (1): (
s^ = 3 4 2z- 1r 1

Seríes geom étricas con vergen tes Si en la sucesión geométrica:

De la serie:

1 1^ 1 ^ 1 1 « » fl-J ’ 2 9 4 9 8 9 16 9 calculamos sus términos en decimales, re sultan: 1• — ,

1; 0,5;

0,25;

0,125;

0,0625,

...

A medida que “n” aumenta, el valor del tér mino se acerca a cero. Entonces se dice que la sucesión es convergente. La sucesión converge a cero. Una sucesión es convergen te, si cuando n tiende a infinito, el valor del término de la sucesión tiende a un número. Si bien una sucesión geométrica puede te ner infinitos términos, si es convergente, la suma de sus términos no es infinito. Vea mos:

O = JT+ — 1 +— 1 + — 1 + 1— +... iS 2 4 8 16 Multiplicando (1) por 2: 2 2S = 2 + 2

2 4

2 8

2 + 16

Simplificando: 2S = 2 + 1 + — + — + — +... 2 4 8

2S - S = 2

[ Problema 3 ]

H allar la sum a de la serie

H allar la suma de la serie:

Resolución Cuando no se indica el número de térmi nos ni el último términoy no hay ninguna indicación al respecto, se entiende que tie ne infinitos términos

(2)

Restando (2) - (1):

[ Problema 2 ]

1 1 1 1 1+ — + — + — + — + . 2 4 8 16

/I* (1)

O —1* — — 1+— 1 — —1 + — 1 S 3 9 27 81

243

R esolución Multiplicando por 9 ambos miembros de la igualdad: 9S = 9 - - + - - — + - ------- — + 3 9 27 81 243

.

.

.

369

Sucesiones y Series S —1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... 9S = 9 - 3 + i - I + I - i 3 9 27

Factorizando: S —1 + 2(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...) S = 1 + 2(.S)

9S = 6 + S

8S = 6

Esta técnica utilizada para la suma de se ries infinitas es aplicable solamente cuan do la serie es convergente, en caso contra rio se llega a conclusiones absurdas, como en el caso siguiente:

Es imposible que la suma de infinitos nú meros positivos sea igual a un número ne gativo. La serie propuesta no es convergente, es di vergente, porque los términos de la serie cada vez crecen hacia el infinito.

Problemas 1. H allar la sum a de la serie: 2 + 6 + 18 + 54 +... + 13122 A) 32 + 1 D) 39 - 1

B) 38 - 1

E) 3"

D )9

6. H a lla r la sum a de la serie:

C) 39 + 1 E) 39 - 2

O —3o + — 3 + — 3 + ----3 + ----3 +... S 5 25 125 625

2. H allar la sum a de los 30 p rim eros térm inos de la serie: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 +... A) 3x220- 1 B) 3x230+ 1 C )3 x2 31- 3 D) 3x231- 1 E) 3x230- 3 3. H allar la sum a de la serie:

B) 3 Í4

7. H a lla r la sum a de la 2 4 8 — + —+ — 3 9 27 A) 2

4. H a llar la sum a d e los 25 p rim eros térm inos de la serie: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + B) 3a5- 1

a

-

i

O

C )3

1 1 ^ 1 ^ 1 + 3 ~ 8 + 27 + 81

5. H allar la sum a de la serie:

B)

B) — 2

serie:

16 +— 81

+

•

•

•

D) 1

E)!

8. H a lla r la sum a de la serie:

C) 3a8 - 1 E) 325 - 3

c = 1, + — 1+ — 1 +— 1 +— 1 + -----1 S 3 9 27 81 243

E )3 Í

D) 3 i4

J + 2 + 4 + 8 + I8 + ... + 2 “ B) 219- 1 C) 218 - 2 A) 218- 1 E) 39- 2 D) 319- 1

A) 3 ^ - 1 D) 324- 3

O s i

•••

26 A) 31 26 D) 35

25 B) 33

1 248 —

+

1 728

—

35 C) 32 33 E) 25

•••

370 8.4.


Sucesiones de Fibonacci

Muchas sucesiones carecen del más mínimo interés. Otras sucesiones tienen diversas aplicaciones prácticas. Por ejemplo: 1. Las temperaturas medias de una localidad duran te 12 meses del año, que nos informan sobre las características climáticas del lugar. 2. El número de artículos que produce diariamente una fábrica, suministra la información sobre el rit mo de producción. 3. Las toneladas de carga que lleva un tren en cada vagón, que permite saber la cantidad de material transportado. 4. El dinero depositado en una entidad bancaria su mado con los intereses mensuales que produce, in forma sobre el estado de cuenta de cada mes. 5. Cálculos aproximados. Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 2, se puede utilizar la suma de los términos de una sucesión como la siguiente:

2

1x3 + 1x3x5 2x4 2x4x6

Divertíjo 16

Trayectoria vamp Un murciélago ingresa a una cueva, chocando con paredes laterales de ésta. Cuando va de una pared a otra, la trayectoria de su recorrido es recto y perpen dicular. ¿ Qué longitud habrá re corrido hasta detenerse, si la primera vez recorrió 3 m y las paredes de la cueva forman en tre sí un ángulo de 60o?

/as

La naturaleza no toma cantidades ni proporciones cualesquiera en su desarrollo, por el contrario, las can tidades y proporciones que encon tramos en ella son especiales.

Ix3x5x7 + Ix3x5x7x9 2x4x6x8 2x4x6x8x10

Por último, aunque muchas sucesiones no correspon dan a situaciones prácticas, no podemos olvidar que las sucesiones tienen interés matemático.

S ucesiones de Fibonacci En 1202 Leonardo de Pisa, más conocido por Fibonacci, que significa «hijo de Bonaccio», concluyó en Pisa su obra Liber Abaci (Libro del ábaco), que en realidad era un amplio tratado del sistema de numeración indo - arábi go, con el que contribuyó en la introducción a occidente de la notación indo - arábiga. Pero irónicamente, Fibonacci no es conocido hoy por sus aportaciones a la matemática, sino, por un problema que planteara en su obra, sobre la reproducción de conejos, que recién en el siglo XIX fuera retomado y estudiado con mucho interés por el matemático francés Edward Lucas.

“Imaginemos, escribía Fibonacci, un par de conejos adul tos, macho y hembra, encerrados en un cercado, donde pueden anidar y criar. Supongamos que los conejos em-

•

«

•

Divertíjo 17 Te aseguro que, el criterio que orientó la ubicación de los trián gulos, cuadrados, círculos y as pas, es perfectam ente lógico ¿Cuál es este criterio? ¿Qué figu ra falta?

.

o

X A □ O X

X A □ O X A

A □ O X A □

□ O X A □ □

O X A A □ □

X A A □ □ •

371

Sucesiones y Series piezan a procrear a los 2 mesesde su naci miento, engendrando un único par macho - hembra, y a partir de ese momento, cada uno de los meses siguientes un par más, de iguales características. Admitiendo que no muriese ninguno de los conejitos, ¿cuántos pares contendría el cercado al cabo de un año?”

A l fin al del mee

TOTAL DE PAREJAS

El gráfico de la derecha, muestra la re producción de los conejos en los primeros 5 meses. Se observa que el total de cone jos que hay en cada mes se obtiene, a partir del tercero, sumando los que ha bían en los dos meses precedentes. De modo que se forma la sucesión: ( 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377; ... ) donde la cantidad de conejitos correspondiente al mes 12 es 377 Fibonacci no investigó la sucesión. No fue sino hasta inicios del siglo pasado, iniciado por Lucas, que la suce sión fue objeto de estudios profundos, que permitieron descubrir numerosas propiedades de las que goza esta sucesión. Fue entonces que Lucas estudiara las llama das sucesiones generalizadas de Fibonacci que comien za por dos enteros cualesquiera y a partir de allí, Gada número de la sucesión es suma de los dos precedentes. Lucas le dio el nombre de sucesión de Fibonacci a la más sencilla de estas sucesiones, ver en el cuadro de la dere cha. Los términos de la sucesión de Fibonacci, se represen tan por F, acompañada de un subíndice que indica el número de orden dentro de la sucesión. Por ejemplo F4 representa al término 4 de la sucesión, esto es, F4 = 3.

SucesióndeFibonacci: 1; i; 2; 3; 5; 8; 13;21; 34;...

SucesióndeLucas: 1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; ...

U n a e s p ir a l a n tih o ra ria

Son innumerables las situaciones en las que está pre sente la sucesión de Fibonacci y también son innumera bles sus propiedades, que se necesitan tratados para discutir cada una de eligís.

Fibonacci en ias plantas Las flores del girasol presentan espirales logarítmicas, unas en sentido horario y otras en sentido antihorario, que en número son generalmente números de Fibonacci

Una e s p ira l horaria

G irasol con 34 espirales en sentido horario y 55 espirales en sentido antiho rario


372 consecutivos; que según el tamaño, pueden contener 34 y 55 espirales. Pero hay flores gigantes que alcanzan valores hasta 89 y 144 espirales. En las piñas hay dos haces de espirales en dos sentidos, similares a los del girasol, que contienen espirales en números consecutivos de Fibonacci. La distribución de las hojas en las plantas, también tiene que ver con los números de Fibonacci. Si enumera mos las hojas de una rama, como se muestra en la figu ra, la hoja que corresponde a un número de Fibonacci, se encuentra exactamente sobre la hoja enumerada con 0. Esta disposición puede obedecer a alguno de los núme ros de Fibonacci, que comúnmente son los números 2; 3 ó 5

Las piños tienen dos haces de espirales que contienen un número de Fibonacci de espirales

Fibonacci y la geom etría . Si dividimos cada número de Fibonacci entre su antece sor, cuanto mayor sea el número, el cociente se irá acer cando al valor 1,61803... Este es el famoso número aúreo, tan importante en las artes plásticas, la arquitectura e incluso en la poesía, que proviene de la expresión 1 +y¡5

= 1 ,6 1 8 0 3

En un pentágono regular, en el que se han trazado todas las diagonales, tomamos tres segmentos de tamaños consecutivos y dividimos la longitud del mayor entre la del mediano, y la de éste entre la longitud del menor, los cocientes resultan números áureos. Por ejemplo: AD

AC

= 1 ,6 1 8 0 3

AC AB esta expresión se llama p rop orción áurea. m

*

Dos números forman una razón áurea, si al dividirlos resulta un número áureo. Un rectángulo se considera estético, si sus dimensiones guardan una razón áurea. Esta forma de valoración de las ñguras en el campo de la arquitectura, tuvo especial consideración en la antigua cultura griega, cuyas cons trucciones, como el Partenón, estaban diseñados con pro porciones áureas.

*

-

•"3*. é ■

4 P '<

< C '"'f ^ 5 .Sí

El Partenón. Templo de la Acrópo lis de Atenas del siglo V a. n. e.

373

Sucesiones y Series Un rectángulo áureo, tiene la propiedad de que si se separa un cuadrado en él, el rectángulo que queda tam bién es áureo, de modo que éstos rectángulos se pueden ir dividiendo indefinidamente en un cuadrado y en un rectángulo áureo. Las ventanas, los cuadros, pantallas, entre otros objetos de forma rectangular, se dice que son más “agradables” a la vista, si sus dimensiones guar dan una razón áurea o cercana a ella. Un rectángulo áureo se construye fácilmente con regla y compás, como se muestra en las figuras.

Construcción de! rectángulo áureo dado el largo AB.

áureo dado el ancho AB. Se toma BC igual a la mitad de

Se toma BC igual a la mitad de AB.

8.5.

Construcción del rectángulo

AB.

SUMA TORIAS

Sea “n” un número entero positivo y sean los números reales: a¿ a¿ a¿ entonces n X

a * «O ,

+

<*2 +

a 3 +

a 4 +

•"

+

yJll______________________________ Donde: X

: Es la letra griega “sigma”, que en nuestro idioma equivale a la letra S. Esta letra se lee “sumatoria” (suma de...)

¿: Indice de variación, que indica que toma valores naturales y consecutivos desde i = 1 hasta i = n Es el término general, que indica la forma de los términos que van a sumar. Se lee a sub i.

La expresión

n

se lee:

i-i "sumatoria de los números de la forma ai desde i ~ l hasta i = n


374 Ejemplos

Ejercicios £ a , = a , + a2 + a3 + at + a í=;

Representa mediante sumatorias las siguientes series:

9

1* + 2* + 32 + ... + n* =

X a¿ = « s + as + a7 + og + a; i *5

¡o £ 2 * = 2 ' + 22 + 23 + 2‘ + ... + 2'° i*l

2* + 22 + 23 + ... + 2n =

20

—1 + 2 + 3 + 4 + ... + 20 i-1

2 + 4 + 6 + ... + 2/i =

10 J V +2 = 47 + 4* + 49 + 4i0 + 4 " + 412 t=5

V _L 1 2 3 4 f í i +í ’ 2 + 3 + +

n

+ "‘ +

i n +1

1 4 9 n2 —+ —H --- + ... + ------2 9 4 n +1

n

'£(3i+2) = 5 + 8 + 11 + 14 + ... + (3n+2) 1*1

5 + 8 + 11+ ... + 305

Propiedades de las sumatorias PROPIEDAD i n

Xc o * 1*1

cai + ca2 + ca3 + ca4 + ... + can

= c(aJ + a2 + a3 + a4 + ... + an)

A

A

1*1

Í=1

X4¿=4(£i)

n c( 2 ,0; ) i» J

¿ I 0 x 2 ¿= Í0 (|)2 ‘ )

i*i

n Z ca¡ = c( E a¿ > ® i=l i*l I

© 10 2 )2 0 = 1 0 x 2 0 = 2 0 0 ¿*i

PROPIEDAD 2 n

X c = c + c+ c + ...+ c= n c i=l a veces

n £ c = nc

¿«1

i*l

| @

^ 30 = (40 -11)30 i»12

375

Sucesiones f Seríes PROPIEDAD 3 n

£(a¿ +& ,■)=<*,+ bj

+ +... an +6n

+ a 2 b2

n n ^T(2‘ +3‘ ) = 2 , 2 ¿ + ^ 3 ‘

i=l

i* l

= (a; + a2 + ... + an) + (6, + b2 + ... + bn) n

n

=

»«J

n n n £ ( 2 6 + i) = £ 2 ¿ +

+ l*J

i= l

i*J

*=2

n n n ^(cii+bi) = £ a ¿ + i=i ¿=J i*2

A*i

k=l

©

PROPIEDAD 4 0

n

E “¿ í=;

= ®, + a2 + - + « P+ V i + V * + - + °«

30 £

t=2

20 a¿ = s ° ¡

i=2

30 +

x ° ¡

i=2i

48 55 48 X 2* = S 2 ’ + É 2 ‘ ¿=J ¿=2 í=36

¿=p+2

PROPIEDAD 5 (Propiedad telescópica) n

+

+

- + K ~ anJ = a n - a,

n X (°¿ - ai - i ) = a„ - a,

i=l

A plicaciones de la propiedad telescópica 1. D em ostrar que:

(J) f k = l + 2 + 3 + 4 + . . . + n = ? (n + i) *T; 2

0

Sabemos que:

20 = i + 2 + 3 + ... +20 ¿«i

n ^ (a * -a * _ 2) = an- a (

_ 20(20+1)

=

210

A=2

Si hacemos que: ak = k2 => ak ¡ = (k - l)2 Reemplazando en (1):

an = n2 y aQ= O2 = 0 rt ^ [ k 2 - ( k - l l F ] = n2- 0

*=j

40 £ ¿ = 2 + 2 + 3 + ... +40 k=i _ 40(40+2)

= 820

Razonamiento •Matemático

376 n

k=j n

Por la propiedad 3:

n

Y j2k ~ Ya1 = n2 k=i k=i

n Pero £ 2 - n => 2 £ A - n = n2 n

k*i

Divertijo 18

£ [2 A -1 ] = n2

Desarrollando:

k=i

La distribución de los círculos, ¿riánguZos, cuadrados y aspas si gue una secuencia perfectamente lógica. ¡Descúbrela! Completa la figura que falta.

V a = n^n +1^ ti 2

o X X X X X

2.Demostrarque: f k 2 = l ° + 2* + 3° + ...+ n*= ? {ri± l)V -n- l ! l 6 ti

X X □ □ □ o

X A A A A A A □ □ □ A □ 9• □ A □ □ A A □ O O O O

n

n

'£[k3 - ( k - l ? ) = n3- 0 => £ [ 3 ¿ 2 - 3 ¿ + i] = n3 k=l

k=l n

n

3 I > 2 -3

k=l n

3 l* * -3 A*/ n 3 £¿2 k=i

©

n

+ ^ 1 = n3 k=l A=J n(n + 2) „

12 £ A 2 =1* + 22 + 3* + ...+12*

+ n = n3

_ 12(22+2X2x22+2)

*

= 650

= 2n° +3n* +n

20 £ A 2 = 12+ 22+ 32 + ... + 202

2

V A 2 = n(2n+2Xn+2) *=/ 5

_ 20(20+2X 2x20+2) = 2870

a 3. Partiendo de la igualdad: ^ i k 4 - ( k - D 4] = n3 se demuestra que: A-i £ A 2 = 23+ 2*+ 33 + ... +n3 = n(n + 2) A «I

[Problema 1 ] C alcula la suma de los 30 prim eros térm inos de la serie: S = 4 + 7 + 10 + 13 + ...

Sucesiones y Series

377

Resolución «

La fórmula general de la serie es (3n + 2). Entonces, cada uno de los términos de la serie tiene la forma (3n+2). O sea: 4 l

S-

10 i

7 i

13 i 30

S = (3x1 +2) + (3x2 +2) + (3x3 +2) + (3x4 +2) + ... + (3x30 +2) = £ ( 3 ¿ + 2 )

s=

30

30

30

£(3¿+d=3 A=7

S = 1395 + 30

+ *=í

£2

- . 30x32 , 3 1---------- I + 30

*=7

=* (S = 2425 )

(Problema 2] H allar la sum a d e la serie. S s 7 + 22 + 25 +

19

+ ... + 232

Resolución La fórmula general es 4n + 3; entonces tiene: 4n + 3 = 232

n - 3 2 términos. Luego:

0 9

S=

7 9

7 9

J i(4k+3)~4 £ * + *=2 A*2

£3 = 4

32 x33

+ 3x32

( S = 2203 )

[ Problema 3] H allar la suma de los 20 p rim eros térm inos d e la serie cuyo térm ino g en era l es 2n* - 3ra + 2

Resolución 20

20

20

20

£ (2 * 2 -3k+ l)= 2 £ ¿ 2 - 3 £ ¿ + Z 1 k=l

k~l

k=l

k=l

20 f2 0 x 4 1 x 2 1 ' ^ (2 /e 2 - 3 k + l ) = 2 -3 k=¡ \

20x21'

+ 20x1

= 5740 - 630 + 20

/ (■= 5130 )


378

Problemas 1. C alcular cad a una de las siguientes sum atorias y señ a la r la respu esta correcta : 18 *se

ii

AS

s=

6. H allar la sum a de la serie 123 + 133 + 143 + 153 +... + 253 A) 104308 D ) 101269

B) 102408

C) 101300 E ) 100360

7. H allar la sum a de la serie: 12 p = H 2k k=l

T= § (2 ¿ + 3 ) k=l

15 q = 2*2 k=l

8 U = £ ( 2k2 - 3 k ) k=l

A) S + P 326 C ) P + T = 550 E) U - S = 482

B) T + U = 1 4 2 6 D ) R - Q = 9785

24

B) 672

B ) 3080

C) 3085 E) 3095

8. C alcu lar la sum a de la serie: (1+2) + (2+3) + (3+4) + ... + (24+25) A) 620 D) 628

B) 622

O 624 E) 630

(1+2+3) + (2+3+4) + (3+4+5)+...+ (30+31+32)

E = ^ ( 3 k + 2 )+ Y J( 2 k - 5 ) k=l k=i A) 742 D) 640

A) 3075 D ) 3090

... +(202 + 2G»;


C alcular el valor de:

8

(l2 + 1) + (22 + 2) + (32 + 3) +

C) 725 E) 604

3. C alcular la sum a de los 20 p rim eros térm inos de la serie:

A) 1465 D ) 1480

B) 1470

C) 1475 E) 1485

10. C alcu lar la sum a de la serie. ( l 2 + 2 ) + (2 2 + 3) + (3z + 4) + (18 sum andos) A) 2298 D ) 2287

B) 2289

C) 2279 E) 2280

1 + 5 + 9 + 13 + ... A) 790 D)1680

B)780

C)770 E)660

11. H allar el resu ltad o de:

18

]T2(k+l)+'£3(k-l) k=i k=i

4. C alcular la sum a de la serie: 2 + 9 + 16 + 23 + ... + 170 A) 740 D ) 2400

B) 748

O 2150 E ) 2415

20

A) 942 D) 950

B) 945

C) 948 E) 958

12. H allar el resultado de:

24


£ fe (ft~ 2 )

102 + l l 2 + 122 + 132 +... + 202 A) 2585 D)2565

B) 2558

C) 2575 E ) 2590

A ) 4280 D) 4325

B) 4300

C) 4324 E) 4326

Sucesiones y Series

379

Problemas Resueltos [Problema 1 )

3 parejas: l - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 = -3 etc.

Esta abqja quisiera saber, cuánto suman los núm eros que han sido reem plazados p o r letras; ¿Podrías d a rle una m ano?

E n l - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... — 800 hay 400 parejas, en consecuencia, la suma resul ta —400. R pta.: -400)

[ Problema En la g rá fica se ha d istribu id o los tér m inos de dos sucesiones:

Resolución Cada número es la suma de los dos anterio res (sucesión de Fibonacci) jc =

/.

13 + 8 = 21 e y = 13 + 21 = 34

x +y

= 21 + 34 = 55

(igpfo.: 55J [Problema 2 j

6

it ]

13 11

y|

¿C uántos térm in os tien e ca d a uno, si y - x = 24

Resolución x

6; 11; 16; 2 1 ;....; 5n + 1 <—y

Deldato: y - x = 24 ==>(5n + 1) - (4n + 19) = 24 n = 24

^ ÍR p ía.; 25

[ R pta.: 24 ]

[ Problema 5 ) E sta esca lera tien e 42 peld a ñ os, ¿Cuán to vale x + y?

[Problema 3 ] H allar la sum a de la serie 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...-8 0 0

11

34

Resolución 2 parejas:

[7

16

5; 9 ; 13; 1 7 ;...; 4n + 1

Son números primos, excepto 4 y 21.

1 pareja:

...

Si “n” es el número de términos de cada suce sión, tendremos:

E ste e s p ir a l está llen o d e n ú m eros qu e p e rten e ce n a una uf a m i l i a ", pero hay dos núm e ros que se han in filtrad o sin ser de la fam ilia. Id en ti fíca los y súm alos.

Resolución

9

15

1 - 2 = -1 l-2 + 3 -4 = -2

xú

24

26

30

38


380 R esolución

Ctn

* -(-5 )

Ct/)

En S .: « = “ -----“ 1 r

Las sucesiones son: 24; 27; 30; 33;... ; 3n + 21 26; 30; 34; 38;... ; 4n + 22 Para n = 42:

( x = 49) Luego:

3n + 21 = 3(42) + 21 = 147 = x

_ _ n(.an +aj) 1 2

4n + 22 = 4(42) + 22 = 190 = y

En (1): S = 225 + 198 = 423 [Rptcu; 423]

x + y = 147 + 190 = 337

f Problema 7 ]

[ Problema 6 ) H allar la suma de la serie siguien te: S = 1 + 2 + 7 + 7 + 23 + 12 + ... + 42 R esolución • Obérvese de que el último término 42 per tenece a la serie S2, porque todos los térmi nos de S2son impares. • Como la serie S comienza en un término de Sl y termina en un término de S,¿ entonces S x y S2 tienen el mismo número de términos. Encontrando el número de términos de S2se podrá encontrar el de Sx y con ello se podrá calcular el último término x de
En la sucesión 7; 13; 19; 25; 31;... ¿C uál es el tercer térm ino que term ina en cifra 3? R esolución La sucesión es : 7; 13; 19; 25; 31;... ; 6n + 1 De donde: 6n + 1 = ... 3 6n = ... 2 => n = ..2 Cada vez que “n” termine en 2 ó 7; la suce sión termina en 3, esto es, para n = 2; 7; 12; ... Por tercera vez termina en 3 para

• Entonces: S = 1 + 2 + 7 + 7 + 13 + 12 + ... + je + 42

Entonces el término es 6(12) + 1 =

= 1 + 7 + 13 + ... + x S2 = 2 + 7 + 12 + ... + 42

S = S ,+ S 2 ...(1) » En S2: „ = ®£

=> n

42-(-3) B -------------- 9

n = 9 = N° de términos de S

73

[R pta; 73J

[ Problema 8 j D esde cierta altu ra se dqja ca er una p e lota y se observa que en cad a rebote a l can za 213 de la a ltu ra de donde ca e. Si hasta el m om ento de d eten erse ha reco rrid o un espacio tota l de 500 cm ; ¿de qué a ltu ra se dejó ca er ? R esolu ción

Además: 0 _ n(an + a¡) S2 -

n - 12

S2 J - ^ ± = 1 9 8

Sea h la altura en cm desde donde cae la pe lota, entonces el espacio recorrido hasta el momento de detenerse será: recorrido en la

381

Sucesiones y Series caída, la ida y vuelta en el primer rebote, la ida y vuelta en el segundo rebote, etc. O sea: 500 = h+2\ | h 1+2 - h \9 /

+2

( 8_ 27

32

S - i £ ( k2 + 3 k + 2 ) 2 *=;

h + 32

32

'¿ k 2 + 3 '¿k + '¿2

2 k=l 500 = k + —\k + h+ 2

+2

í 3- * 'j \

5L

)

+2 í - * ' 27 ¡ i® j -y •

\

/

S =2

' M J 3 * 5 + 3.32-33^

( R pta,: 6 544 )

[Problema 10^

—» h =20 cm [R pta,: 20 cm ]

H allar la sum a de los prim eros 20 térm i nos de la sucesión: 0; - i; 4; 21; 56;...

[ Problema 9]

sisk=i+2+3+4+.. +(k+i) H allar S = Sj + S2 + Sj +.. + S32 Resolución

R esolución Primero debemos identificar el tipo de suce sión que tenemos a la vista: 0;

-1 ;

4; 21;

56;

^ ^ " + 5 ^ +Í7^ +35^

Se observa que Sk es la suma de los (k + 1) primeros enteros positivos, entonces, aplican do la suma de los “n" primeros positivos n(n + i)

k=l

S = 6544

500=h + - ( h + 5 0 0 ) 3 5h

k*l

• •

500 7 "

100

32

tenemos:

S ,=

+6

+12

+18

Es una sucesión de tercer orden, entonces podemos aplicar la fórmula con itúmeros combinatorios.

tk + l X k + 2 )

S20 = O C f ° - l C20 ? +6 C 20f +6 C|20

De donde: S -Sj

+... +sJ2-

+s2

32

201 18121

6 201 1713\

6 201 16\4\

k=l

(A+iK A+2) k-j

2

-

s =

19 20 6 18 19 20 6-17 18 19 20 520= -----— +---------------- + -----------------24 S20= 35 720 ( Rpta~: 35 72p]


382

[Problema 11 j Si

un entero positivo, el valor de la suma 3 + 33 + 333 +... + 33 ... 3 es,

Resolución: Sea: •S — 3 + 3 3 + 3 3 3 +

... + 3 3 .. 3 n mcifras

3 S = 9 + 9 9 + 9 9 9 + .. + 9 9 9 .. 9 3 S = (1 0 -

1) + (1 0 2 - 1) + (1 0 3 -

1 ) + ... + ( 1 0 " -

1)

n nveces

3S = (10 + 102+ 103+ ... 10") - (1 + 1 + 1 + ... + 1) 3S = (1 + 10 + 102 + 103 + ... + 10" - l ) - r t 10nJfl- l —1 —n 3S = 10-1

10n+1- 1 0 - 9 n => S = 27

10"*1-1 0 -9 n Rpta.: S = 27

[Problema 12] Hallar la suma de la siguiente serie: S = 1 + 2 + 5 + 10+ 17 + ..+ 122

Resolución S = 1 + 2 + 5 + 10 + 17 + ... + 122

Fórmula de recurrencia: í„ = ! C S ' 1+ l C ^ I +2 C ^ t

122 = 1 + ( n - l ) + 2

(y i-l)t (,n-3)\2l

122 =n +

2(n - 2)(n -1 )

n=12

383

Sucesiones y Series Luego, la suma es: S = 1 C } 2 + 1 C ¿2 + 2 C 312 12! 12* S =12 + ———+2 10 \2 \ 9\3\

S =12 +66 +440

S =518 ( Rpta.: 518 )

[Problema 13] «

La suma de la serie: 1x2* + 2x29 + 3x2* + 4x2* +... + 50x251es:

Resolución Sea: S = lx22+ 2x23+ 3x24+ 4x25+ ... 50x251

...

2S = lx23+ 2x24+ 3x25+ 4x26+ ... 50x252

...(2)

(1)

(2) - (1): S = -1x2a—lx23- lx2 4- lx25- ... —lx2 51+ 50x252 S = -2 *a + 2 + 22+ 23 + ... + 249) + 50x262 ' 250- l ' S = -2 + 5 0 x 2 52 = - 2 52 + 4 + 5 0 x 2 52 2-1 S = 49x262 + 4

[Rpta.: S * 49 *2a + 4 )

[Problema 14] lCuál es la suma de la serie. 1 1 + + + ... + 2 x 4 x 6 4 x 6 x 8 6 x8x1 0 40x42x44

Sea: 1 1 + + 2 x 4 x 6 4 x6 x8 6x8x10 8S = - ° — + - S — + 8 + ... 2 x 4 x 6 4x6x8 6x8x10

38 x40x42 8 + 38x40x4 2

40x42x44 8 40x42x44

384


( ¿ _ 2_ 8S = 2 4*6

\ \ 1 2 1 +1 +- + 6 ~ 8 + 10 4 6 8

+

38

40 + 42 230 924

Oo 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 8S = —■——+ —+ ----------- + ------------— —~+ 2 4 4 42 42 44 2 4 42 44

40

_2_ J_ 42 44 J

115 S* 3696 115 R pta,: & = 3696

[Problema 15] 5 7 9 41 H allar la sum a de la serie: S = 1 + —+ — + — + ... + 6 12 24 3 x 2 19

Resolución 0 3 5 7 9 39 41 S ——+ —+ — + — +... + ■■ —■-V + IQ 3 6 12 24 3 x2 3 x 2 19 S 3 5 7 9 39 41 = —+ + + + ... + ------ 77T+ -------57T 2 6 12 24 48 3 x 2 19 3 x 2 20

... (2)

S 3 2 2 2 2 2 41 (1) —(2) : = ---- ♦-----1----- 1*------ 1"---- + ... + ------- 77-----------777 K*)m 2 3 6 12 24 48 3 x 2 19 3 x 2 20 2

3

18 m

S _3 2 , 1 '1^ 1 + —+ + + ... + 2 2 2 2 3 +6 y ) \2 j \ J

41 3 x 2 20

19

S 2

i +L 3

i1 i-i 2

2 19 - 1 ® - i +I nl8 2 3

41 3 x 2 20

41 3 x 2 20

5(220 - 9 ) S = 3 x 2 20

Sucesiones y Series

385

Problemas Provuestos 1. En ca d a una de las sigu ien tes su ce siones, determ inar el térm ino qu e si gue:

;...

б. 1;2; 3; 6; 13; 26; ... c. 2; 4; 12; 48;... tí. 3; 4; 6; 10;... e. 2; 2; 6; 54;... f. 2; 3; 5; 11; 35;...

A) B) C) D) E)

g. 4; 9; 25; 49; 121;...

;... ;...

h. 1; 3; 4; 7; 11; 18 L 2; 2; 8; 72; 1152

In d icar la altern ativa que señ ala a l gunas de las respuestas B)

a)23 c) 240 d) 18 e) 1450 b) 47 d) 18 e) 1458 f) 150

C) D)

b) 47 g) 169 h) 29 i) 288 c) 240 1458 f) 155 g) 169

E)

e) a) 23 c) 240

A) 15 B) 16

C) 17

D) 18

E) 19

4. E ntre los elem entos de los dos conjun to s h a y u n a “ c o r r e s p o n d e n c i a biu n ívoca". ¿Q ué núm ero le corres pon d e a 150?

а, 7; 8; 11; 16

A)

¿Cuánto le correspon d e a 6?

f) 155 h) 168

2. En ca d a una de loe sigu ien tes su ce siones del 1 al 10 se p id e en con tra r e l núm ero que sigue: a) 2; 6; 18; 54;... A) 130 B) 140 C) 150 D) 160 E) 162

20560 21850 23650 22650 24850

5. ¿C uál es el térm ino g en era l de la su cesión: 7¡11; 15; 19;... A) 4n + 7 D) 3n + 4

B) 4 n - 7

C) 4n +1 E) 4n + 3

6. Se form a un num eral escribiendo con secutivam ente los núm eros naturales a p a rtir de 1, com o sigue: 123456789101112... ¿Cuántas cifra s va ten er este num e ral, cuando se haya escrito 4 veces el cero? A) 80 B) 71

0 69

D) 68

E )74

b)2; 3; 5; 7; 11; 13;... A) 19

B) 20

C) 18

D) 17

E) 24

7. L a sucesión 1; 4; 6; 7; 11; 10; 16; 13;

c) 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13;... A) 10

B) 21

C) 20

D ) 16

E) 24

A) 60 B) 61

d) 2; 1; 3; 8; 16; ... A) 24

B) 25

C )26

Tiene 40 térm inos. ¿C uál es e l últim o térm ino?

D) 27

E) 50

3. Si se sabe que a 1 le correspon d e 2, a 2 le corresponde 5, a 3 le corresponde 8.

C) 65

D) 58

E) 48

8. ¿C uántos térm in os tien e esta su ce* sión, si la sum a de sus últim os 2 tér m inos es 337? 4; 11,18; 25...


386 A) 20 B) 23

C )2 5

D) 28

E) 30 14. A los térm inos d e la serie:

9, Estos núm eros están dispuestos si guiendo una lógica, no sabemos cuán tos son en tota l, sólo sabem os qu e m + n = 47. Tal vez tú pu edes d ecim os cuántos son.

S = 2 + 5 + 8 + U + ... V

Se le a grega 1,2,3,4, 5 ,... resp ectiva m ente, d e ta l m anera qu e la sum a de la nueva serie sea igu a l a 1830. ¿C uántos térm inos tien e la serie ori g in a l? A) 20 B) 24

0 28

D) 30

E) 35

15. H a lla r la sum a de la serie: S = 2 + 3 + 5 + 7 + 8 + l I + ... +62 A) 1492 D) 1842 A) 10 B) 12

C) 4

D) 16

B) 1575

O 1750 E) 1594

E) 18 16. H a lla r a l sum a de la serie:

10. H a llar la sum a lím ite de la serie S = I + 2 + 2 * + 2 * + 2s + ... A )2 n -1 D) oo

B) 2 E) —1

0 2n+l

S = l + I + 3 + 7 + ... +111 A) 452 D) 524

B) 425

C) 542 E) 530

17. Si: a - ns - n2 + 2, h alle: 11. En la su cesión siguiente, ¿qu é exp o nente le correspon d e a la base igual a l? 603;5 9 S;5 8 J;5 T ; .... A) 121 D) 119

B) 60

C) 120 E) 118

12. En la sigu ien te sucesión en cu en tra el valor de “n ”: a* + 2, a5 + 7, a8 + 12,..., an+ 152 A) 90 B) 91

0 92

D) 93

E) 94

13. Las sucesiones: 124; 120; 116; ... y

S = a¡ + ag + a 3 +... + a 10 A) 1660 D) 2550

A) 1400 D) 400

D) 67

B) 9370

O 3980 E) 9045

19. ¿C uál es la sum a d e la serie fin ita : 4 + 7 + Í0 + ... +91?

tienen igual can tid ad de térm inos y adem ás sus ú ltim os térm in os son iguales. El pen ú ltim o térm ino de la segunda sucesión es: 0 61

O 1550 E) 2670

18. Si sigues escribien d o los térm inos de esta sucesión, llega rá s a un térm ino en el qu e el expon en te se vuelve n ega tivo. C alcu la la sum a d e tod as las bases con expon en te positivo. $398. *p92. JJ382. JJ3ÍS.

- 2 ; 1; 4; 7; ...

A) 53 B) 47

B) 2660

E) 49

A) 1245 D) 1425

B) 1542

O 1425 E) 1375

20. E l P rofesor le ha m andado a Lupita, escrib ir la sucesión:

387

Sucesiones y Seríes 5; 12; 19; 26;... H asta que en cu en tre p o r tercera vez un térm ino que term ine en cifra 3 y h alle la suma de todos los térm inos de la sucesión escritos h asta ese m o m ento. N o te p ed iré qu e escrib a s los térm inos de la sucesión, p ero sí, la suma. A) 2125 D) 2325

B) 2225

C) 2275 E) 2450

21. A quí se m uestra los 4 p rim eros tér m inos de la serie. ¿P uedes ca lcu la r la sum a de los 10 p rim eros térm inos de esta serie? 1 + (3 + 5 ;+ (7 + 9 + 1 1 ) + ( 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 9 )+ ...

A) 3050 D) 3075

B) 3055

C) 3025 E) 3250

22. L os p r im e r o s t é r m i n o s d e 2 progresion es aritm éticas, qu e tienen igual núm ero de térm inos son 17 y 8 respectivam ente y sus resp ectiva s razones, 7y 5. ¿Cuántos térm inos tie ne cada uno, si el últim o térm in o d el prim ero es el doble d el térm ino fin a l del segundo? A) 8 B) 10 C ) l l D) 12 E) 13 23. En un trabcyo de reforesta ción , la boran 5 personas. C ada d ía p la n ta n 3 árboles más de lo que p la n ta n en el día a n terior. El últim o d ía p la n t a r o n t a n t o s á r b o l e s c o m o el qu ín tu p lo d el núm ero de días que han tra b a ja d o. ¿ C u á nt os á rb o les pla n ta ron el segundo día, sabiendo que los plan tad os el p rim er día y el últim o día totalizan 143? A) 46 B) 49 0 43 D) 40 E) 20 24. Si la sum a de los “n ” primeros nú m eros en teros positivos es 7/20 de la suma de los “n ” siguien tes; h a lle <
B) 11

0 12 D) 13

E) 14

25. Un obrero ah orra cada día Sí. 5 más de lo que ah orró el día an terior; el últim o día se da cu en ta que el nú m ero de días qu e estuvo ahorrando hasta el d ía an terior, era la séptim a p a rte de lo que ah orró ese día. Sa biendo que, lo qu e ah orró el quinto d ía y lo que ah orró el penúltim o día, totalizan SL 290, ¿cuánto ah orró el p rim er día? A) S/. 60 D) S/. 75

B) S/. 65

C) S/. 70 E) SA 80

26. Los con sejeros de un banco se re únen cierto día, saludándose m utua m ente. Si se sabe qu e los choques de m anos han sido 78 en total. ¿Cuán tos con sejeros tien e el banco? A) 10

B) 11

O 12

D) 13

E) 14

27. Un m óvil “A *9sa le con 600 m etros de ventaja y 15 segundos antes que otro m óvil B. “A " anda 1 m etro en el p r i m er segundo, 2 en el segundo, 3 en el te r c e r o y a sí s u c e s i v a m e n t e ; “B ” anda 1 m etro en el prim er segundo, 4 en el segundo, 7 en el tercero y así sucesivam ente. ¿C uánto tardará “B ” en a lca n za r a “A ” ? A) 20 Minutos C) 27 minutos D) 30 minutos

B) 25 Minutos E) 36 minutos

28. Un obrero ha ahorrado este mes 178 soles y tiene con esto, Sf. 1410 en la ca ja de ahorros, habiendo econom i zado cada mes SL 12 más que el ante rior. ¿Cuánto ahorró el prim er mes? A) S/.8 D) S/.15

B) S/.12

O S /.1 0 E) S/.18

29. En el trabajo de p erfora ción de un p ozo de 150 m etros de profundidad, el co sto es de S/.20 p a ra el p rim er m etro y SL2 m ás p a ra cad a m etro


388 adicional, con respecto al costo del metro an terior Calcular el costo totaL A) S/.25050 B )S /. 25000 C) S/.22500 D) S/.25350 E) S/.23550 30. E ncontrar un núm ero de 3 cifras di visible p o r 11 y tal que perm utando la cifra de las decenas con la de uni dades se obtiene un núm ero cuyas tres cifras están en progresión aritm éti ca, Indicar la sum a de sus cifras. A) 16

B) 17

C) 12

D) 8

E) 13

31. Se tienen ÍCn” m ontones de granos con un núm ero de granos en progresión aritm ética crecien te. Si d el p rim er m ontón se quita un grano, del segun do 2 y así sucesivam ente; queda en el últim o m ontón doble núm ero de g ra nos que en el prim ero. Se sabe ade más que el total de granos que había en todos los m ontones eran 460; y fi nalm ente que si del prim er montón se quitan 2 granos, del segundo 4, del tercero 6 y así sucesivam ente, quedan 18 granos más en el últim o que en el prim er m ontón. H allar “n”. A) 8

B) 9

C )10

D) 11

E) 12

32. Un ja rd in ero debe lleva r un balde de agua al p ie de cad a uno de los 40 árboles que form an un lado de un parque. Los árboles están d ista n cia dos 5 m etros uno d e otro y el d epósi to de agua está a 8 m etros del p r i m er árbol. ¿Qué esp a cio habrá reco rrido el ja rd in ero después de a ca ba r su trabajo y vuelto el balde a l depó sito de agua? A) 8550 metros C) 8440 metros D) 8660 metros


33. Un individuo da cin co pa sos hacia adelan te y dos h acia atrás, después da 10 hacia d elan te y cu a tro h acia atrás; y así sucesivam ente en p rog re sión aritm ética. ¿C uántos pa sos h a brá dado en el m om ento en que p o r p rim era vez se en cu en tra a diez m il p a sos del p u n to de p a rtid a ? A)

2 4 2 4 8 pasos

B)

2 3 3 8 4 pasos

E)

2 4 8 2 4 pasos

C ) 2 4 2 4 4 pasos D ) 2 3 2 8 4 pasos

34. Sobre el terren o hay coloca d a s “n ” p ied ra s; la d istan cia en tre la p rim e ra y la segunda es 1 m etro; en tre la segunda y la tercera 3 m etros; en tre la tercera y la cuarta, 4 m etros; en tre la cu a rta y la quinta, 8 m etros etc. ¿C uánto tendrá que an d ar una p erson a que tenga que llevarlas una a una a un ca rro coloca d o al lado de la prim era p ied ra ? A) n~(n2 - 1 ) 6 C ) 2 ( 2 - n)

R) 2(2„ _ n) 9

D) 2(2n~I - n)

E) 2 {2l ~.nl 2

35. D ado el arreglo de núm eros: 1 2 4 7

3 5

8

6 9

10

H allar la sum a de la fila 20. A) 400 D) 140

B) 4100

0 4010 E) 8020

Sucesiones y Series

389

36. Dado el arreglo de números:

8 14

10 16

12 18

a52 - 5 a +1 C) (a -lf D)

20

a52 -5 1 a 2 +50a (a -lf

41. Hallar la suma de la serie: 61 a

Hallar la suma de la fila 15. B) 3390

A) 3380 D) 3380

C) 3395 E) 3490

37. Hallar la suma de los 20 términos de la serie:

A)

C)

D)

Ox 1 - 1 x 2 + 2 x 3 - 3 x 4 +... +100x101 E= I x 2 - 2 x 3 + 3 x 4 - 4 x 5 + ~.+101x102 50 A) 49

50 B) 51

58 D) 55

50 C) 53 51 E) 50

39. ¿Cuál es la suma de la serie? S * 1x3- 3x5 + 5 x 7 - 7x9

E)

1 a61

60

„

—a —a a -1

a62{61a2 +64)+3 a61{a2 - l ' f

E) 37x221 + 3

38. Reducir:

57 a5

(a2 - l f

B) a

B) 37x230 + 3

59 a3

a32 —a30 —a —1

1 +3x2 + 5x2* + 7x2*+.., A) 37x219 C) 37x221 D) 37 x2a0 - 3

E) N.A.

a62{61a2 - 6 3 ) + a2 +1 a62{a2 - l f a62{61a2 - 6a - 2 ) + a2 a61{a2 + l f

42. Hallar la suma limite de la serie tn finita: 1 5 19 65 S a ------ + ------- + ----------+ ------------ + ... 2 x 3 4 x 9 8 x2 7 16x81 1 A) 2

1 B> 7

1 C )9

1 D )^

1 E )S

+... (20 sumandos) A) -840 D) -860

B) -842

C) -848 E) -800

40. La suma de la serie: 50a + 49a* + 48a* +... + lxa*° es: a52 - 5 { a £ +50a) A) (a -lf

B) a50 -5 0 a a -1

43. La serie siguiente tiene 30 términos. ¿Cuál es su suma? 5 13 25 41 —+ — + — + — + 2 6 12 20 1800 A) 31

1900 B) 31

.

.

.

O

1980 31


390 1899 D) 31

1890 E) 31

44. SLS = 1 + 2 + 3 + ... (n + 1) H allar; S = S, + St + Ss+ ... + S^ A) 1760 D) 179

B) 1770

C) 1780 E) 1778

45. iC u á l e8 la sum a de la serie en base 10? (12w + 23ÍA i + 34/ K)i + ...); 30 sum andos. (4) (S A) 1880 D) 10880

B) 10800

C) 10890 E) 10870

46. ¿Cuál es la sum a de la serie en base 10? n cifras 2 + 22(tí + 222^ + ••• + 22 ... 9n+1 ~8n - 8 A) 32

9n*1- 8 n - 9 B) 32

9"*1 - 8n + l C) 8 9n - 8n +8 D) 32

B) 227

C) 427 E) 837

48. H allar la sum a d e la serie:

2x4 A)

25

4x6 B)

8x10

24

E)

25

48x50

C)

27

25

49. Un cu erp o en ca íd a lib re reco rre aproxim ad am ente 4,9 m etros en el p rim er segundo, y en ca d a segundo su bsecu en te recorre 9,8 m etros m ás qu e en el segundo anterior. Se d eja ca er una p ied ra d e lo a lto de una to rre y se observa qu e tarda 6 segundos en lleg a r a l suelo; h a lla r la a ltu ra d e la torre y la d istan cia recorrid a en e l últim o segundo. A) B) C) D) E)

176,4 m, 175,3 mt 170,5 mt 167,4 m, 167,4 77i,

53,9 m 53,9 m 53,5 m 53,8 m 53,9 m

50. La m asa d e un p én d u lo recorre 16 cm durante la prim era oscilación. En cad a una d e las oscilacion es siguien tes la m asa recorre 3/4 de la d ista n cia recorrid a en la oscila ción a n te rior. Q alcular el esp a cio tota l reco rrid o p o r la m asa hasta el m om ento de d etem erse. A) 60 metros C) 63 metros D) 64 metros

E )W .A

47. ¿Cuál es el tercer térm in o d e la si guiente sucesión: 3; 6; 11; 18; 27;... que term ina en cifra 7? A) 127 D) 627

D)


51. Una p elo ta de hu le ca e d e una a ltu ra de 18 m etros y cada vez rebota has ta una tercera p a rte de la a ltu ra a l canzada en el rebote anterior. C alcu la r el esp a cio tota l recorrid a p o r la p elota hasta que teóricam en te quede en reposo. A) 30 metros C) 25 metros D) 39 metros


391

Sucesiones y Series

CLAVES CE RESPUESTAS PÁ G IN A

351

í 2 3 4- 5 D , E E i E* B 9 ' 10 l í l 12' E C C B

6 : 7 f 8 C A] B

DwerH¡os 1.1

4

5 1

I

353

B fB

A

A

B

|

PÁ G IN A

354-355

1' 2 C E

3 D

4 C

PÁ G IN A

1 ,2

3

4

5

6

357

Ei E

C

A

B

D

PÁ G IN A

1. 2 E C

3 B

4 E

5 C

6 A

1

2

3

4

5 ; 6

7

8

11. 5

361-362 E

B

B

E

D

B

A

C

12.

366

1 C

2 A

3 D

4 A

5 C

6 .7 ' 8 B B A

PÁG INA

1

2

3

4

5

6

7

8

369

D

E

B

B

C

D- A

E

-1

2

3 , 4 - 5

6

D 9

E B C A 10 11 12

D

E

A

359 PÁ G IN A

PÁ G IN A

PÁ G IN A

378

6. 15

'

4

C

3 .6

4. Sí. Primero los dos, a los 3 min introdu ces el pastel y 2 min más tarde inviertes el reloj de 5 minutos.

1 ?2: 3

PÁ G IN A

2.14 h 59 mín

8.5

:

9.5

7 |8 t

B

C

10. a) ? L

b)

1

I

13. Al Este de Juliaca. Debido a la curvatura terrestre. 14.

B

PROBLEMAS PROPUESTOS 1 D

2 ■3 i C

4

5

6

C

E

B

7 B

8

9 ,10

C

B

D

11 12 13 14 15 16 17: 18 : 19 20 A iB E C B A C ' E D A 21: 22 2 3 ;2 4 25 26 i 27 28 2 9 ,3 i 0 C .D ? A •D A * D i> D C-: D # C 31] 32 j m 34 35 36 t*37; 38; 39; 40 C ; C 1D B C B b ‘ B A D 41 42 |43 r. 44 45; 46;] 47 •48 4 9 ¡5 0 51 E t Dv E C A E ; B D ■B D a : i) a) E b) D c) B d) D

i... 15. 219cm 16. 6 m 17- O X X A A A □ □ □ D •••

392

Leonardo Pisano Fibonacci (1170 - 1250)

LeonardoPisanoFibonacci Nació probablemente en Pisa (Ahora Italia) en 1170. Leonardo Pisano es más conocido por su apodo Fibonacci. Jugó un rol muy importan te al revivir las matemáticas antiguas y rea lizó importantes contribuciones propias. Fibonacci nació en Italia pero fue educa do en Africa del Norte donde su padre ocupa ba un puesto diplomático. Viajó mucho acom pañando a su padre, así conoció las enormes ventajas de los sistemas matemáticos usa dos en esos países. Liber Abaci, publicado en el 1202 des pués de retomar a Italia, está basado en tro zos de aritmética y álgebra que Fibonacci había acumulado durante sus viajes. Liber Abacci introduce el sistema decimal HindúArábico y usa los números arábicos dentro de Europa. Un problema en Liber Abaci permite la

introducción de los números de Fibonacci y la serie de Fibonacci por las cuales Fibonacci es recordado hoy en día. El Diario Trimestral de Fibonacci es un moderno periódico dedi cado al estudio de las matemáticas que lle van estas series. Otros libros de Fibonacci de mayor im portancia es Prácticas de Geometría en el año 1220 que contiene una extensa colección de geometría y trigonometría. También en Liber Quadratorum del año 1225 aproximó las raíces cúbicas obteniendo una respuesta que en la notación decimal es correcta en 9 dígitos. “Mis Prácticas de geometría” del año 1220 entrega una compilación de la geometría al mismo tiempo que introduce algo de trigono metría. Falleció probablemente en Pisa (Ahora Italia), en 1250.

CONTEO DE FIGURAS Y POSIBILIDADES

INTRODUCCION Son muchos los recursos matemáticos para realizar el conteo defiguras y posibilidades, como la induc ción, la combinatoria, series, etc Hemos vistopor conveniente incluir este tema como un capítulo independiente, para abordar algunos aspectos del conteo que no han sido abordados en los otros capítulos. El problema de conteo no sólo abarca el contarfi guras, sino, y sobre todo, todas las posibilidades en que sepuede efectuar un proceso

.

.

CONOCIMIENTOS PREVIOS Para este capítulo es necesario haber revisado: Inducción Resolución de ecuaciones Sucesiones y series A nalisis combinatorio Pero, no espara que te desanimes, lo quepasa es que en algún momento se va acudir a conceptos que han sido abordados en las temas mencionados, que si no te esfamiliar puedes acudir a ellos.


394

9.1. El problema de contar Un arriero viajaba con 12 muías, mon tado en una de ellas. En el camino contó las muías y le faltaba una, entonces se bajó para contarlos y halló las 12. Al no explicarse esta discrepancia, consultó al primer peregrino con el que se encon tró; éste le contestó: “lamento contra decirlo amigo, pero yo veo 13 muías”. Para contar los pisos que tiene un ras cacielos, los alumnos de un desfile es colar o las cebras que habitan Africa, no podemos dejar toda la “responsabi lidad” a la vista. Es preciso acudir a cier tos métodos y modelos matemáticos que nos perm itan cu antificar con EXACTITUD los objetos contados. Vea mos algunos de ellos.

9.2. Conteo por enumeración [Problema iC uántos triángulos hay en la fig u ra adyacente? Resolución

Enumerando las figuras simples (de una sola re gión) As de 1 #: 1; 2; 4; 5; 7; 8; 9 As de 2 # : 79; 89 As de 3 #: 467; 568 As de 4 #: 1235; 1234 As de 7 #: 1234567; 1234568 As de 9 #: 123456789 Total:

=> => =* => => =>

7 As 2 As 2 As 2 As 2 As 1A 16 As

[ R pta.: 16 triá n gu los)

Conteo de Figuras y Posibilidades

Problemas

395 t* 4

1, ¿Cuántos triángulos hay en esta figu ra í A) 13 B) 16 C) 17 D) 11

E) 15 2, D eterm ina e l núm ero de p en tágon os de la figura, A) 7 B) 8 C )9 D) 10 E) 11 3. ¿Cuántos exágonos hay en la siguien te figura, A) 10 B) 22 C) 14 D) 16 E) 18 4. ¿Cuántos segm entos hay en la siguien te fig u ra í A) 58 B) 59 O 60 D) 61 E) 62

5, En la sigu ien te figu ra , ca lcu la r la sum a d el núm ero de cu ad riláteros y e l núm ero de triángulos. A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 6, En la sigu ien te figura, d eterm in ar el núm ero de cu ad riláteros A) 4 B) 5 0 6 D) 7 E) 8 7. D eterm in ar el núm ero de p en tágon os en la sigu ien te figura, A) 4 B) 5 0 6 D) 7 E) 8 8, D eterm in ar cuántos ángulos agudos hay en la sigu ien te figura, A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

o Razonamiento Matemático

396

9.3. Por diagrama de árbol

Divertíjo 1

La abeja lectora

[ Problema 2^ En un torneo de Voley, las m ujeres ju eg a n a lo sumo tres sets en un p a rtid o. Triunfa quien ga n e p rim e ro 2 sets. ¿De cu án tas m aneras d iferen tes puede acabar un p a rtid o de vóley?

Resolución Según el diagrama del árbol: 1

Triunfa el equipo A ga nando ler y 3er sets.

El grabado muestra el panal de la abeja lectora. ¿Cuántos caminos puede seguir la abeja a través del panal para leer la palabra PANAL a partir de la celdilla P. Según el Dr. Zanganov, una vez que ha empezado, la abe ja no el famoso uabejólogo no puede volver atrás.

—

”—

Triunfa el equipo Bga nando los 2 primeros sets.

B

Hay6maneras de acabar 9.4. Por inducción [ Problema 3 ) ¿C uántos triá n g u los hay en la si gu íen te ilustración, si está com pues ta de 50 filas.

Fila1 Fila2 Fila3

A V A

\A

Resolución Filas

Triángulos 2=1x2

A V

V

A7

A V A \A V A

Z V

6=2x3

A7 A V A V

12 = 3x4

A Z S Z V 50

* 50x51 = 2550


397 R esolución

f Problema 4*)

Figura

La figu ra adjunta está h echa de ceri lias. ¿Cuántas cerilla s se han u tiliza do p a ra toda la fig u ra ?

Cerillas 1 = l2 4 = 22

9 = 32 1

1

2

3

2

3

1002 = 10000

98 99 100

(R pta.: 10000 1

2

3

98 99 100

Problemas 1. ¿Cuántas bolas hay en la p osición 40?

3. ¿C uántos triángulos se p u ed e co n ta r en la sigu ien te figu ra? A) 153 B) 154

0 1 A) 400 B) 810 C) 820 D) 450 E) 420 2. Determ ina cuántos cuadrados hay en la siguien te figura. A) 81 B) 91

C) 100 D) 120 E) 150

C) 156 D) 157 E) 155 4. ¿C uántos cu ad riláteros hay en la fi gu ra adjunta? A) 180 B) 260 C) 230 D) 410 E) 420


398

9.5. Principio de! palomar Si m palomas ocupan n nidos, y m >nt entonces hay al menos un nido con dos o más palomas

[ Problema 5 ] En una oficin a trabajan 8 secreta ria s, entonces al m enos dos de ellas deben celeb ra r su cum plea ños el mismo día de la sem ana (Aquí se tienen 8 palom as (las secreta ria s) y 7 nidos (los días de la sem ana) ¿Cuántas secretarias deben cu m plir años en el mes de A bril, p a ra ten er la p len a seguridad de que 2 de ella s celebrarán su cum pleaños en el mismo día? R esolución Se requiere que 31 secretarias cumplan años en Abril. Aquí las secretarias son las palomas y los 30 días de Abril son los nidos. Nos situamos en el caso extremo de que las 30 primeras cumplan años en cada uno de los 30 días diferentes de Abril. Pero la 31° secretaria cumplirá años en uno de los días que ya han sido “ocupados” por las 30 primeras, con lo que tenemos la plena seguridad que habrán dos que celebren su cumpleaños en el mis mo día de abril. [R pta.:

[ Problema 6 j En una caja hem os m etido 20 bolas blancas y 30 bolas negras. Enseguida, con los ojos cerrad os va mos extrayendo las bolas una p o r una sin devolu ción. ¿Cuántas bolas debem os extra er p a ra obte ner con seguridad: a. Una bola blanca b. Dos bolas negras c. Dos bolas d el m ismo colo r R esolución a. No hay la seguridad de que en la primera extracción salga una bola blanca. Tendremos la plena seguri dad de extraer una bola blanca, cuando en la caja quedan exclusivamente bolas blancas. Si en 30 ex tracciones no ha salido una sola bola blanca, enton ces habrán salido todas las negras. Por lo tanto, en la

Divertijo 2 Monedas de Bambalandia En Bambalandia existen sólo dos clases de monedas, una moneda de un bambino y una moneda de dos bambinos. ¿De cuántos modos puede un bambilandianopagar la cantidad de dos bambinos?. Muy sencillo, de dos maneras, con dos monedas de 1 bambino o con una moneda de 2 bambinos. ¿Sabes de cuántas maneras puede pagar un bambalandiano la cantidad de 10 bambinos?

Cómo contaban los Incas Del imperio de los Incas han que dado muchas obras obras, así como los registros del modo de llevar sus cuentas. Dichos registros han permanecido en conjuntos de cuerdas de diversos co lores denominados quipus, cada uno de los cuales consta de una cuerda principal de la que se desprenden otras cuerdas (ramales). En éstas apa recen nudos que representan números de un sistema de base diez. Por lo ge neral, cada ramal contiene un núme ro. Los grupos de nudos están sepa rados por espacios, y colocado uno encima de otro. Cada grupo representa una potencia de diez de orden mayor. En cada quipu, los números se leen del extre mo atado a la cuerda principal al ex tremo libre (hacia abajo). Primero se cuentan los nudos del grupo más cer cano a la cuenta principal; en un nú mero de tres dígitos, este grupo re presenta las centenas. El grupo in termedio representa a las decenas y el de abajo, a las unidades. Si no exis ten nudos en un lugar (grupo), se co loca cero.


399

31° extracción la bola ha de ser blanca. (R p ta .: 3l1

Las cuerdas de los quipus tienen diversos colores, empleados para representar información diferente. Por ejemplo, si estaba censándose a un poblado inca, podría emplearse color rojo para los hombres, amari llo para las mujeres y verde para los niños.

b. Si en las 20 primeras extracciones no ha salido una sola bola negra; entonces habrán salido las 20 bolas blancas. Por lo tanto con la 21° y 22° extracción, con toda seguridad tendremos 2 bolas negras. (R pta.: 22) Para censar c. Dos bolas del mismo color. No importa qué color. Veamos: En la primera extracción sale un color. Si en la segunda extracción sale del mismo color, tendría mos un par del mismo color, pero no hay la seguridad que ocurra esto. Digamos que en la segunda extrac ción sale de otro color, entonces haremos uná tercera extracción. Esta bola tendrá el mismo color que una de las 2 bolas ya extraídas, con la cual hará un par del mismo color. [R pta.: 3)

un segundo poblado, se utiliza otro conjunto de cuerdas con los m ismos colores em pleados en el primero.

centenas

decenas unidades

Problemas L En una ca ja hay 10 p a res d e m edias blancas y 12p a res de m edias negras. Se ex tra e sin m ira r una p o r una. ¿Cuántas extra ccion es hay qu e rea lizar com o m ínim o p a ra ten er la p le na seguridad d e qu e se tien e un p a r de m edias d el m ism o color? A) 1

B) 2

C )3

D) 4

E) 11

2. Con rela ción a l problem a an terior, ¿cu á n ta s ex tra ccio n es h a b ría qu e rea liza r com o m ínim o p a ra ten er la seguridad d e qu e se tien e un p a r de m edias negras? A) 11

B) 21

O 22

D) 14

E) 10

3. Con referen cia a l p roblem a X; ¿cuán tas extra ccion es habría qu e rep liza r p a ra ten er la p len a seguridad de que se tiene un p a r d e m edias d e d istin to color? A) 13 B) 14. ' O 25

D )1 0

E) 11

4. En una urna hay 10 bolas rojas, 15 bolas a zu les y 20 bolas a m a rilla s. ¿C uántas bolas hay qu e ex tra er al azar, p a ra ten er la seguridad de qu e se tien e tres bolas d el m ism o color? A) 3

B) 4

0 5

D) 6

E) 7

5. Con referen cia a l problem a 4, ¿Cuán ta s ex tra ccio n es hay qu e rea liz a r p a ra ten er la p len a seguridad de qu e se tien e 3 bolas d e colores d istin tos? A) 26

B) 31

0 36

D) 46

E) 4

6. En una co ja hay 10p a res de gu a n tes blancos y 12 p a res de guantes negros. ¿C uántas extra ccion es hay qu e rea liza r com o m ínim o p a ra ten er la p le n a segu rid ad de qu e se tien e un p a r d e gu an tes u tilizables d el m ism o co lor? A) 3

B) 11

C) 20

D) 21

E) 23


400 7. En el problem a a n terior, ¿cu án tas extra ccion es hay qu e rea liza r p a ra ten er la seguridad de que se tien e un p a r de gu an tes u tilizables de co lo r bla n cof A) 30

B) 35

C) 13

D) 11

E) 14

8. Con referen cia a l problem a 8, ¿cuán ta s ex tra ccio n es hay q u e rea liz a r com o m ínim o p a ra ten er la p len a se gu rid ad de qu e se tien e dos p a res de gu an tes u tilizables de colores d ife rentes? A) 30

B) 32

C) 35

D) 36

9.6. Principio de inclusión y exclusión

E) 37

(1)

[Problema 7] N ú m e r o s de 1 al 50

¿Cuántos en teros p ositivos m enores o iguales que 50 no son m últiplos de 2 ni de 3? Resolución Para encontrar los números que no son múltiplos de 2 ni de 3, resulta más facial hallar los que son múltiplos de 2 ó de 3. Luego, por diferencia se obtienen los buscados. O 2

•6

2;

4;

6;

3;

6;

9;

6;

12;

18;

...;

50

50

48

48

48

48

• Son 2 0 3 :2 5 + 1 6 - 8 = 33 2 ni de 3: 5 0 -3 3 = 17

= 25 #s

= 16#$ = 8 #s

no son múltiplos de i 7]

Estos números son: 1; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 25; 29; 31; 35; 37; 41; 43; 47 y 49 Los principios de Adición y Multiplicación se abordan en el capítulo de análisis combinatorio.

C onclusión Cuando resulta complejo hallar el número de objetos que cum plan ciertas condiciones^ pode mos optar por el camino de ha llar aquellos que no cumplen las condiciones y calcular por dife rencia los buscados.

(1 ) Este principio en su fo rm a gen eral es bastante com plejo. A q u í m encionam os sólo a lg u n a s nociones a l respecto


401

9.7. Aplicaciones de las series en conteo de figuras R esolución

[Problema 1 ] ¿Cuántos triángulos se pu ed e con ta r en la figu ra ad ju n ta?

En el triángulo A01 hay 1 triángulo, que según el problema anterior se puede expre1x 2 sar como ------* En el triángulo B02 hay 3 2 triángulos, que según el problema anterior , 2x3 . , se puede expresar como —- — . Asi sucesi vamente, en cada uno de los siguientes k(k + 1) triángulos hay un total d e -----------triángu2 los. El número total de triángulos de la fi gura se obtiene sumando:

Mediante la inducción tenemos

1x2 2

El número de triángulos en cada una de las figuras forma una sucesión; donde: 1

t

3

T

6

T

10

n

T

t

1 (1+2) (1+2+3) (1+2+3+4)

n(n + l )

En la figura del problema, n - 6. Luego: la figura contiene

+ ^ = 21 triángulos. ( R p t a 21)

[Problema 2 ] ¿Cuántos triángulos hay en la sigu ien te fig u ra ? 0

2x3 3x4 20x21 H... + ---------+ ------+ 2

2

2

Más exactamente: % k(k+p Zj p

7 20

¿ k=i 20 1 20 2 k=i k=j 20x21 1 20x41x21 + --------2

j [ 2 8 7 0 + 210] = 1540

(Rptcu: 1540 triángulos)

Problemas 3] En una hoja cu adriculada y cuadra da con “n Mcu ad rad itos p o r lado se tra za una d e las d ia g on a les. ¿C uántos triángulos se form an com o con secu en cia de este tra za d o?

402


R esolución

R esolución

Por Inducción:

Por inducción

1 cuadrado por lado

2 cuadrados por lado

3 cuadra dos por lado

1

0

1 triángulo

T

Donde: *

2=2

*6 = 2 + 4

t

*12 = 2+4+6

l 2 + 22

Si hay “n” cuadraditos por lado, habrá: 2 + 4 + 6 + 8 + 10+ ... + 2 n = n ( n + l)

1 2

3

4

¡Rpta.: n(n + I j ]

[Problema 4 ]

14 triángulos

30 triángulo

T

T

l 2 + 22 + 32

l 2 + 22 + 32 + 42

¿Cuántos triángulos hay en la siguien te figura?

Para n vértices: l 2 + 22 + 32 + 42+ ... + n2 = B

n(2n + l)(n + l)

Rpta.: n(2n + l)(n + l) 6

Problemas 1. Calcular cuántos rectángulos se pue de contar en la figura siguiente.

2. ¿Cuántos trapecios hay en la siguien te figura? A) n3 B) n(n +1)

30

C) n(n +1)12 D) n(n - 1)

A) 460 B) 462 C) 465 D) 470 E) 475

E) n<’n ~1>/2


403

3. ¿C uántos triá n g u los hay en la si gu íen te figu ra ? A) B) C) D) E)

15 30 35 36 42

•

4. ¿C uántos triá n g u los hay en la si gu íen te fig u ra ?

»

En la p osición n, ¿cu á l es el núm ero de cu adrad itos? A) 4n - 3 B) 4n + 2 C) 4n + 1 D) 4n + 3 E) 4n + 5 7. Se form an figu ra s con cerilla & tal com o se m uestra:

□ A)

C) D)

n(n+J)

B) 3n2 -3 n + 2

¿C uántas cerilla s se n ecesita n p a ra form ar la fig u ra de la p osición 12?

n (n + l)(n + 2 )

A) 300 B) 310 C) 312 D) 320 E) 340

n(n + lXrc+2)

& En el problem a an teriort ¿cuántas ce rilla s son n ecesarias p a ra h a cer to das las fig u ra s hasta la p osición 12?

E)

n (n + Í)(/i+ 2 )

5. ¿C uál es él núm ero d e trián gu los en F 4 40f?

A) 480 D) 1650

B) 1456

C) 1540 E) 1460

9. O bserva la sigu ien te sucesión de fi guras: i

H A) 40

i

•

R B) 41

& C) 420 D) 820 E) 120

6. Observa la sigu ien te sucesión de fi guras.

i

F4

Í2

¿Cuántos cuadraditos corresponden a la fig u ra F 40? A) 1560 D) 1690

B) 1602

C) 1680 E) 1820


404

Problemas Resueltos [ Problema 1 ]

[Rpta: 1 2 }

En la figura adjunta cuántos puntos pertenecen al círculo pero no al triángulo.

b) Los cubitos pintados en 3 caras corres ponden a los vértices del cubo.

[R pta: 8 ) c) En total hay 3x3x3 = 27 cubitos, de los cuales hay uno solo, el del centro, que no está pintado en ninguna cara; por lo tanto, hay 26 cubitos que están pintados al menos en una cara.

[Rpta: 26]

Resolución

d) Los cubitos pintados en una sola cara co rresponden al centro de cada cara del cubo.

Son puntos del círculo y no del triángulo los puntos de la par te sombreada.

[R pta: 6 )

Problema’T )

(■Rpta.: 5 )

¿Cuántos números de dos cifras no ter minan en 5?

[Problema 2 ]

R esolución

Si pintamos las 6 caras del siguiente só lido formado por cubitos: a) ¿Cuántos cubi tos quedarán pintados exacta mente en 2 corasí

Números de 2 cifras: {10; 1 1 ;...; 99} Son : 99 —9 = 90 números terminan en 5: {15; 2 5 ;...; 95} Son: 9 números

%. *

.vr

.%No terminan en 5: 90 - 9 = 81 números

V*'*

b) ¿Cuántos cubi 4-■ tos quedarán * 4*. pintados exactor mente en 3 caras?

Rpta: 8 1 ) •

i

c) ¿Cuántos cubitos quedarán pintados al menos en una cara ? d) ¿Cuántos cubitos quedarán pintados en 1 sola cara? Resolución a) Los cubitos pintados en dos caras son los que se encuentran en el centro de las aristas. En las 12 aristas del cubo hay 12 cubitos.

[ Problema 4 ] Un cuadrado está dividido en nueve cua drados iguales. ¿De cuántas maneras se puede pintar con verde, negro y rojo9de modo que en cada horizontal y en cada vertical haya un cuadrado de cada co lor? R esolución Los tres cuadrados superiores los pode os pintar mediante las permutaciones;

405

Conteo de Figuras y Posibilidades VNR, VRN, NRV, NVR, RNV y RVN

x + y + z * 50

Para cada una, sólo hay 2 formas de pintar los cuadrados restantes

4

43

x +y + * 4

4 42

4

5 43 20 #s

> 21 #s

/. Hay 2x6 = 12 formas diferentes 3

[Problema 5 ]

23

4

24

50

23 23

Continuando con la secuencia:

¿Cuál es el núm ero de triángulos en F í00?

x + y + z = 50

x +y + z

15

15 20

16

16 18

15

16

19 ^ 3 #s

16

17

15

17

18

50 2 #s

17

Total de tríos Resolución

T = ( 2 + 3 ) + (5 + 6)+... +(20+ 21)+ (23+24)

Posición

# triángulos 1 = 2(1) - 1

T = 5 + 1 1 + 1 7 + ... + 4 1 + 4 7 = 8 { 4 ?

'

3 = 2(2) —1

.

8 tr io s

[ R pta.: 208

5 = 2(3) - 1 2(100>-1 = 199

100

(R pta.: 1 9 9 )

[Problema 6 ] ¿Cuántos trios de núm eros en teros p o si tivos sum an 50? Resolución Supongamos que los números son x, y, z cuya suma es 50. Debemos hallar todos los valo res de x t y, z. Para no repetir el mismo trío vamos a convenir que* < y <, z. Para contar los procederemos de manera ordenada: x + y + z = 50

1

1

48

2

47

24 25

x + y + z = 50 2

24 #s 2

2

+ 5 -- = 2 0 8

2

46 1

3

45

123 #s

24 24 J

[ P roblem a 7 J ¿ Cuál es el m áxim o núm ero de pu n tos de in te r s e c c ió n d e 100 c ir c u n fe r e n c ia s cop la n a res y no coin cid en tes? R esolu ción Dibujemos una circunferencia. Al trazar la segunda circunferencia corta a la primera en 2 puntos. Al trazar la tercera circunferencia corta a los dos anteriores en 4 puntos, de modo que van 2 + 4 = 6 puntos. Al trazar la 100° circunferencia, corta a las 99 anterio res en 99x2 = 198 puntos. Luego, el número total es: 2 + 4 + 6 + ... + 198 = 99(99 + 1) = 9 900 [R pta.: 9 900]


406 0

Problemas Propuestos 1. ¿Cuántas veces debemos lanzar un dado para obtener al menos 2 veces la misma puntuación? A) 2

B) 4

0 5

D) 6

E) 7

5. ¿Cuál es la mayor cantidad de núme ros de 2 cifras que se pueden formar con 3 fichas en las que se han pinta do un dígito en cada una? A) 4

2. Cinco bolas numeradas son coloca das dentro de una ceja. ^ caja es fija vertical y provista de dos aberturas, permitiendo salir la bola del fondo o la segunda bola a partir de lo alta.

Uno saca una bola a la vez solamente y la rem ite inm ediata mente dentro de la caja por lo alta Indi car el número de ope raciones mínimas a efectuarpara obtener el orden 1; 2; 3; 4; 5 de abajo hacia arriba A) 3

B) 4

C )5

-~4

D )6

E) 7

3. ¿Cuál es el máximo número de trián gulos equiláteros y congruentes que se pueden formar con 6 palitos de fós foro sin cortarlos. A) 1

B) 2

C )3

D) 4

E) 6

4. La figura adjunta muestra tres seg mentos. ------------------^

B) 6

C )8

D) 10

E)12

6. En la figura adjunta, ¿cuántas figu ras tienen 4 lados?

7. Una partida de poker sejuega hasta que uno de losjugadores logre ganar 5 partidas ¿Cuántos partidos se jue gan como máximo? A) 5

B) 6

0 8

D) 9

E) 11

8. Festino y su amigo se ponen ajugar a las cartas hasta que uno de ellos gane 3partidas. ¿De cuántas maneras di ferentes puede acabar eljuego? . A) 10 B) 15

C) 18

D) 20

E) 25

9. En la figura adjunta se indican el número de intersecciones de dos y tres rectas. Identifique el número de in tersecciones de 4 rectas. ¿Cuántos segmentos adicionales se debe trazar como mínimo, para obte ner un total de 19 segmentos? A) 1 ■*

B) 2 •»

*•

,

0 3

D ) 10 .

*

E) 16

A) 4 B) 5 0 6 D) 7 E) 8

Conteo de Figuras y Posibilidades 10. En una ca ja se tien e d iez fich a s nu m eradas d el 1 a l 10. D e la ca ja se sa can tres fichas. ¿C uántas p osib ilid a des se tien e de con segu ir qu e la sum a d e los núm eros d e la s fich a s sea 9? A) Exactamente 5 B) Más de 8 C) Más de 5 y menos de 8 D) Menos de cinco E) Ninguno

C) 21

D) 28

E) 26

12. En una urna hay 13 bolas n egras y 14 bolas blancas. ¿C uántas ex tra c cion es d ebo rea liz a r com o m ínim o p a ra ob ten er con segu rid ad 2 bolas negras y cu á n ta s p a ra ob ten er 2 bo las d el m ism o c o lo r í A) 16; 4 D) 15; 3

B) 14; 3

B) 2

C) 10

12 16 15 17 18

*

*

*

A) B) C) D) E)

38 41 39 36 35

17. ¿C uántos trián gu los se form an al tra z a r todas las d ia gon a les de un p en tá gon o? A) 30 D) 38

B) 32 C )3 5 E) Ninguna anterior.

18. C uántos cuadrados hay en Fn

C) 16; 3 E) 16; 4

13. D e una urna qu e con tien e 20 p a res de gu an tes rejo s y 10 p a res d e gu a n tes blancos, se van extrayendo uno p o r uno sin reponerlos. ¿En cu án tas ex traccion es se ten drá la p len a segu ri dad de ten er un p a r de gu an tes utilizables del m ism o c o lo r í A) 3

A) B) C) D) E)

16. ¿C uántos rectán gu los hay en la si g u íen te figu ra ?

11. Una urna con tien e 13 bolas negras 12 rojas y 7 blancas. La m enor ca n ti dad que debe saca rse p a ra ob ten er el m enor núm ero d e bolas de ca d a color es: A) 25 B) 19

407

D) 21

E) 31

14. ¿Cuántas p a reja s d e núm eros en te ros positivos existen tales qu e sum an 200 ? A) 100 B) 99 C) 101 D) 400 E) 600

A) n3 D ) 8n - 7

O Sn + 7 E) 8n + 1

19. En la fig u ra m ostrada, h a lla r el nú m ero tota l de ángulos agudos qu e se p u ed e contar: A) B)

n(n + 1) ñ(n+2 )

C) 15. H allar el núm ero d e cu a d riláteros qu e con ten gan un solo a sterisco, en la sigu ien te fig u ra m ostra d a

B) (n + l)2

D) (n + l) 2 E) 8(n + 3)

408


20. ¿C uántos a steriscos hay en: F 100

k k k

k *

*

*

*

*

*

*

*

A)

*1#

*

n(n +1)

*

B) n(n + 1 )

n2( n + l )

C)

D) n\n + 1)

E) n\n + l)2

24. C uántos cu a d rilá teros hay en: A ) 4500 D) 5060

B) 5400

C) 5050 E) 5000

21. Estos trián gu los han sid o con stru i dos con p a litos d e fósforo. ¿C uántos p a lito s serán n ecesa rios p a ra cons tru ir el trián gu lo Tso?

A A) 1273 D)3495

7 1/ 2 /

A) B) 3825

C) 4500 E) 3725

22. iC uántos cu a d rilá teros d el ta blero d e ajed rez no son cuadrados? A) 1232 D) 1092

*// / t*/ / / ¿ 7 /

B) 1260

C )0 E) 1080

B)

3

4 \ ...

\

71 \

n (n+l) m (m + í) n(n+iX m + l )

D) mn

C)

m(m +i)n

2

E) nzm2

25. ¿C uántos trián gu los hay en la figu ra F n ?

23. ¿Cuántos sectores circu la res hay en la figu ra?

A) n± n- + í } 2 C) re(n + 2 Xn + 2 )

B) n(2n +2Xra +2)


409

n(n+lY,4n+5) n(n + l)(2n+3) u) ---------- n») --------- -----------

26. ¿Cuántos p en tá gon os hay en esta fi gu ra ?

A) n(n + 2) D) n(n + 1)

B) 2n C) 3n E) n(n + l)/2

27. ¿C uántos triángulos son tales que tien en 15 cm de p erím etro y la m edi d a de sus lados son un núm ero entero de cen tím etros A) 4

B) 5

C )6

CLAVES DE LESPIESTAS PÁGINA

395

1

2

D

B

4

3 B

5 C

B

7 A

6

C *«r

' i ? .

1

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3

397

C

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C

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C

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B

2 ;3 4 f e ¡E ¡B

5

6 ,7 D C )

X 2 399-400 c c PÁGINA

1 PÁGINA 402 -403

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PÁGINA

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PROBLEMAS PROPUESTOS 1

2

3

4 i5

E

E

D

A «D

10 11 12 13 ; 14 D E C E A 1 9j,2 0 21 >22 23 c i c :B¡ D í C i

.

i

Divertijo

8

>

6 E

7 D

8

9

D

C

15 16 17 18 E B C D 24 25 26 27 B

D

a ;c

1. 24 = 16

2. 6

D) 14

E) 12

410


-

Níels Abel (1802 1829)

Niels Abel Nació : 5de Agosto de 1802 enFinnoy (unaislacercadeStavanger)Noruega. Probó la imposibilidad de resolver algebraicamente ecuaciones de quinto gra do. LavidadeAbel estuvodominadaporla pobreza. Despuésdemuertosupadre, quien eraunministroprotestante, Abel tuvoque asumirlaresponsabilidaddemantenerasu madreyfamilia, en1820. El profesordeAbel, Holmboe, reconoció sutalento paralas matemáticas, debido a su falta de dinero para asistir a una colegiatura paraingresar ala universidad deChristiania, ingresóalauniversidaden 1821, diezañosdespuésdequelauniversi dadfuerafundada, ysegraduóen1822.

Abel publicóen1823escritosdeecuacio nes funcionales e integrales . EnestoAbel diolaprimerasolucióndeunaecuacióninte gral. En1824probóqueeraimposibleresol ver algebraicamente ecuaciones de quinto gradoydesupropiocostorealizópublicacio nes con la esperanza de obtener reconoci mientoporsutrabajo. Eventualmenteganóunpremiodeesco laridaddel gobiernoparaviajaral extranje ro, visitóAlemaniayFrancia. Abelfueelinstrumentoqueledioestabi lidadal análisis matemáticosobrebasesri gurosas. Sumayortrabajo“Recherches sur les fonctions elliptiques” fue publicado en 1827enel primervolumendel diarioCrelle, el primerperiódicodedicadoenteramentea las matemáticas. Abel visitó este periódico ensuvisitaaAlemania. Después de suvisita aParís, retornó a Noruegabastantedébil, mientrasestuvoen Parísvisitóaundoctorquiénleinformóque padecíadetuberculosis. Apesardesumala saludylapobreza, continuóescribiendosus escritos y lateoría de la ecuacióny de las funcioneselípticasdemayorimportanciaen el desarrollodelateoríatotal. Abel revolu cionóel entendimientodelasfuncioneselíp ticasporel estudiodelafuncióninversade esafunción. Abelviajómuyenfermoavisitarasufa miliaparalaNavidadde 1828enFroland. Elcomenzóadecaeryestuvoseriamenteen fermoymurióalospocosmesesdespués. Falleció: 16deAbril de1829enFroland Noruega

RAZONAMIENTO GEOMETRICO

INTRODUCCION ¡a Geometríaes una de ¡asdisciplinas másantiguasde la humanidad; su desarrollo mkiai como una necesidad pasa resolver losproblemas del quehacer de la época, se fue estructurando enformasistemáticae independizando de su aplicación hacia una disciplina con sus propias reglasy principios, basta alcanzar el nivel de desarrollo que boy conocemos de la geometría. Enestetextoharemosun esbozo de lageometría, desdelas ilusiones ópticas, los elementos básicos de la geometría, poniendo énfasisen lostemasqueson materia depregun tas de los exámenes de admisión.

CONOCIMIENTOS PREVIOS Necesitas saberplanteary resolver ecuaciones. Tesugiero una revisión de la lógicaproposicional, sobre todo laparte correspondientea las inferencias, para com prender losprincipios bajo los cuales se construye la geo metría.


412

10.1 Ilusiones ópticas

¡Verparacreer! Esunviejoadagioquedaautoridadala vistaparasuaprobacióndelaexistenciadelascosas. Esverdad, cuandosenospresentaalgúnobjetodesco nocidoloprimeroqueatinamoses amirar. AOBSER VAR. Pero, ¿bastaverparacreer?¿Podemoscreerentodolo quevemos ocreer que todo lo que vemos existe? ¿La vistanosproporcionatodalainformaciónsobrelasco sas visibles? Loselementosdelageometríasonñguras. Lasfiguras existenenlamedidaenquelasvemos. Pero,siponemos endudasobrelascosasquevemos, cómopodemosestar segurosdequeotrapersonaveunafiguratalcualcomo lavemos. Porejemplo, observalasfigurasdeabajo: ¿Dedóndesalióel cuadradonegro?

El tablero intermitente Observa la figura y notarás unos puntosgrises en la intersección de las líneas blancas. No pienses que estás mal de la vista.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

co

1

2

2 3

4 fig. (1)

4

m

f i g . (2)

,

Pega un pedazo de papel sobre un cartón dibuja la figura (1) y corta siguiendo las líneas en 4 partes. Luego arma el rompecabezas según la fig. (2) y apa recerá un agujero. A pesar de ser las mismas piezas de (1), en (2) apare ce un cuadrado demás. ¿Cómo explicar esto1 ? ¿Ahora puedes confiar en lo que

yes? Notodaslascosasquevemosexisten, nitodaslascosas que existenlas vemos. Lavista nos proporciona sólo unapartedelainformacióndelascosas. Es muyfácil engañaralavista, sinorecuerdanomásalosmagos.

La ilusión de Silvanius Thompson Has girar esta figura (haciendo girar el libro en cualquier senti do), verás que todos los círculos giran en el mismo sentido mien tras que la rueda blanca denta da del centro, gira en sentido con trario.

,

Razonamiento Geométrico

413

Losantiguosgriegosyasehabíanpercatadodeestepro blema. Habíalanecesidaddecrearunsistemadecons truccióndelasfigurasdemodoquenadieestuvieraen desacuerdosobrequesi unacosaesasí onoesasí. Porejemplo, ¿Cuáldelossiguientesdosproblemasestá correctamenteformulado?

Problema A

Un cubo de más

Problema B

Hallareláreadelcuadra Calcularel áreadelafi do ABCD, cuyo lado guraadjunta mide2 m. B

A

B-r

Observa la figura. Verás que hay 6 cubitos. Ahora voltea el libro ¿Cuántos cubitos hay ? ¿ Verdad que son 7?

,

¿Qué porción falta?

2 c

p X/

D (1)

D

c (2)

El problemaAestábienenunciado, apesardequela figuranorepresenteuncuadrado. Elenunciadogaranti zaquelafiguraesuncuadrado. El problemaBes inconsistente. Si bienlafigura apa rentementeesuncuadrado,peroesonoessuficiente. La figuranogarantizaqueseauncuadrado. Losgriegos, particularmenteEUCLIDES, hanresuelto esteproblema, utilizandolalógica, estoes, establecien dociertas reglas dejuego básicas, quetodo aquel que quierejugareljuegotienequeaceptarlassindemostra ción.Apartirdeellassepuedenderivartodaslasreglas queseanposiblesperoquetienenqueserdemostradas enbasealasoriginalesuotraspreviamentedemostra das. Losaxiomas, postuladosyteoremas, sonprecisamente lascategoríasdelasmencionadasreglasdejuegoenla geometría. Lointeresantedeestaformadeconstruirlageometría, esquehásidoextendidaparatodalamatemática. Esto hahecho que seaposible crear sistemas matemáticos delosmásdiversosycomplejos.

Observa la figura y notarás que falta una pequeña porción de la torta. Ahora voltea el libro y ob serva nuevamente. ¿Quéporción falta?

¿Los cubos sobresalen hacia aba jo o hacia arriba?. Mirando du rante cierto tiempo puedes provo car a voluntad una u otra imagen.


414

Problemas 1. ¿Son paralelas los segmentos A B y CD?

5. ¿Cuál de los rectángulos es más lar go? \

A) Sí B) No

(1 )

B 2. ¿Cuál de las circunferencias es más grande?

(2 )

-

A) (1) B) (2) C) Soniguales G. ¿Cuál es la longitud del segmento BE, si el segmento AC mide 20 cnu ?

A)40cm B)50cm C)45cm D) 60cm E) Faltandatos

A) Sí B) No C) SonIguales 3. Entre los segmentos AB y CD ¿Cabe el círculo de a lado?

4. ¿Cuál de los segmentos es la prolon-

7. En el triángulo equilátero ABC de perímetro 45 cm, los puntos M yN son puntos medios, respectivamente, de los lados BC y AC, ¿Cuál es la longi tud de MN?

A)15cm B) 7,5cm C)30cm D) 17,5cm E) EltriánguloABCnoesequilátero 8. En el paralelogramo ABCD, MN es paralelo a PQ, MD = BQ = 4 cm y AM = Q C = 2 cm. ¿Cuán to mide el se g m e n to PN?

A) 4cm B) 2cm C) 3cm D) 1cm E) Faltainformación.


415

10.2 VisuaHzación en el espacio 10.2.1. Isometría

Imagínateunapersonaparadaenel centrodeunahabita ciónmirandohacialapareddondeseencuentralapuerta. Entras, cámarafotográficaenmanoyletomas 6 fotogra fías: defrente, deambos costados, deespalda, del techoy del piso. Comparas las 6 fotografías delamismapersona ¡sontodasdiferentes! Cadafotosellama«vista», entonces tenemos 6 vistas. ¿Podemos tomarotrasvistas, porejem plodelasesquinasdelahabitación?Sí. Sepuedentomar muchasotras. Delasseisvistas,nosinteresan3deellas: ladelfrente, ladel techoyladelcostadoizquierdo.Estasvistassellamanrespec tivamentefrontal (F), horizontal (H) ydeperfil (P).

DIVERTIJO 1 Una pieza peculiar La figura adjunta es la vista frontal de la pieza que le falta al juguete del Manuelito. El no puede jugar mientras no esté completo su juguete que es de plástico A él no le importará si la pieza es de madera.

.

¿Necesitas las otras vistas? Para obtener la vista horizontal haz girar la vista frontal 90° a la derecha y para la de perfil haces girar 90° a la izquierda, iPodrías dibujar la pieza para que el carpintero se la haga?.

VistaH VistaP Lastresvistasprincipalesdeunsólido. Teniendoun sólidoes posibledibujar susvistas. El procesocontrarioes «reconstruir» el sólidoteniendo las tres vistas. Este procedimientoes muyusual endiseñomecánicoyla arquitectura. Muchasveces, enlugardetransportarlas piezasdeunmotor, deunpaís a otro, essuficienteenviarlos«planos»delapieza conloscuales,losespecialistasloreproducencon exactitud.

Problema 3 Hallar las tres vistas principales del sólido mostrado en al figura.


416

Resolución *

4 cm

H

[ Problema 4 J Dibuja el sólido cuyas vistas principa les se dan a continuación.

A) 32cm3 B) 16cm3 C) 24cm3 D) 64cm3 E) 36cm3 Recuerda ¿ Cómo se calcula el volumen de un ladrillo?

H Laslíneas que no sonvisibles de unlado del sólido, estándibujados enlíneas pun teadas. Resolución pilcando las tres dimensiones: el largo, el ancho y el alto o sea

,

[ V „ « u.= 2 5 x12x15)

Resolución Elvolumendeunsólidoprismático,esigual al áreadeunadelasbasesporladistancia entrelasdoscaras.

[ Problema 5^ En la figura se representa una pieza me tálica que forma parte de una máqui na, i Cuál es el volumen de dicha pieza? (Ex. UNI '74)


El áreadelabasees: 1+2+6 =9cm2 Ladistanciaentrelascarases: 4cm Luego, volumen=9x4=36cm3

2 cm* 2

1

417

6 cm *

1 cm* 3

10.2.2. Desarrollo de figuras tridim ensionales

Lascajasdecartónestánhechasde láminasdecartón, apropiadamente cortadasypegadas. Consideremos una caja cúbica, tal comolamostradaenla(fig. 1)Cor tamosconunastijerassiguiendolas aristas delacaja, hastaquequede unaláminaplanaydeunasolapie za (fig. 2) Esta lámina se conoce comoeld e s a r r o l l o delacaja. Esevidentequeunamismacajaesposibledesarrollarladediferentesformas

[Problema 6] En el vértice A, del ladrillo mostrado en la ilus tración adjunta, está una araña, en tanto, en el vértice B hay una mosca “difunta” ¿Cuál es la trayectoria más corta que debería seguir la araña para ir hasta la mosca?. Encuentra la longitud de esta trayectoria

Resolución Trazarlatrayectoriamáscortasobrelasuperficie del ladrilloresultabastantedificultosasi intenta mos hacerlo sobre ella misma. Por por tanto, es convenientedesarrollarla. Si bien, unladrillonose puededesarrollarigual queunacajade cartóncortándola por las arista, sinembargo, lopodemosdesarrollargráficamente. Dadoquees posibledesarrollarunsólidoendife rentesformas, seescogeaquel enel quelospuntos encuestiónseencuentrenmáscercanos. Compara los 2 desarrollos y mide enambos las distancias entreAyB.


418

PorTeoremadePitágoras EneltriángulorectánguloASB R

10

AB2 = 222 + 202

S

=> A B = 29,73

EneltriángulorectánguloARB AB2 = 122 + 302

=* AB - 32,31 Ladistanciamáscortaresulta29,73 [Rpta.: 29,73)

Problemas

ENUNCIADO

ENUNCIADO

Si pintamos las 6 caras del siguiente sólido formado por cubitos:

Los dibujos siguientes corresponden a un mismo dada, a excepción de uno. Se ñala el dado diferente, en cada caso. 5.

A)

C) 1. ¿Cuántos cubitos quedarán pintados exactamente en 2 caras?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 8

E) 16

2. ¿Cuántos cubitos quedarán pintados exactamente en 3 caras?

A) 6 B) 7 C)8

D) 10 E) 12

3. ¿Cuántos cubitos quedarán sin pin tar siquiera una cara?

A) 1 B) 2 C)3 D) 4 E) 0 4. ¿Cuántos cubitos quedarán pintados en una sola cara?

A) 4 B) 6

C)8

D) 10 E) 12

61

A)


419

;

7

1 0

.

B)

A) •

• • •

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12.

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A)

9

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9

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9 9 9 9 9 9 9 9 9

9

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9

6) • • •

En cada grupo de figuras seña la el desarrollo que no corres ponde al dado mostrado.

C)

B) 9

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9

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9

NUNCIADO

9.

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9

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A)

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C)

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+

•

•

13. ¿De cuántas formas se puede desa rrollar un cubo? La ilustración mues tra una de las formas. No han de to marse en cuenta las mismas forman en diferentes posiciones, u obtenidas por reflexión, como las mostradas que son iguales. Cuenta sólo las formas diferentes.

•

C)

• •

•

•

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•

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•

# • 9

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9

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9

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•

•

# # # *

9 • t «

A) 5

B) 6

C )8

D) 10

E) 12

420

10.3 Simetría

Esmuyprobablequeenalgúnmomentodetuvidate hayaspreguntado, mirándote al espejo, sobrecómoel espejoreproduceperfectamentelaimagendeuno. Una vezquenoshemosacostumbradoal él, dejadellamar noslaatención. Sinembargo, estoyseguroquehayalgunasreflexiones al respectoquetellamaránlaatenciónsi observas tu imagenconmayordetenimiento. Enprimer lugar, la imagenquereproduceelespejo¿esexactamenteiguala uno?, puescuandolevantaslamanoderechalaimagen levantalamano izquierda, si te peinas conraya ala izquierdaenel espejoapareces conrayaaladerecha. Esdecir, alobservartusrasgosentudoblequeaparece enel espejo, comprobarás quetodosellos estántrans puestos. El espejoha«cambiado»loqueesizquierdaa laderecha. ¿Por qué, sinembargo, nohainvertidolos pies conla cabeza?Al acercarunlibro al espejolasletras seleen dederechaaizquierda,peromantienensuorientación vertical. ¿Cómopodemosexplicaresto?¿Porquéel es pejotienepreferenciaporinvertirel sentidoderechaizquierda, mas noel sentidoarriba- abajo? Siestasapreciacionesnosonargumentosuficientepara provocartucuriosidad, teinvitoaquetomesunahoja depapel yescribasenella, enletrasgrandes, laspala brasAMAyBEBEtalcuallafig.a. Enseguidaacércalo aunespejoyleeatravésdeél. NotarásqueAMAnoha sufrido cambio alguno, mas BEBEno tiene sentido a menos que tuviéramos por reglaleer dederechaaiz quierda(fig. b). Ahoravolteael papel «cabezaabajo»y leenuevamenteatravésdelespejo. ¿Quéobservas?¿Po dríasexplicarlasrazonesdeestecambio?Habrásnota doqueAMAestá«patasarriba»,encambioBEBEselee perfectamente(fíg. c) Porúltimo, escribeenunpapellossiguientesnombres: PABLO,OTO,KIKOyOIXIO, talcomomuestralafig.d. Acércalo aunespejoylee los nombres através de él (tienesentidoelnombresi esposibleleerlotal comoes tamosacostumbrados, deizquierdaaderecha) ¿Cuáles tienensentido?Ahoravolteaelpapelyvuelvealeerpor el espejo e identifica los nombres que tienen sentido. ¿Podríasclasificar loscuatronombressegúnel resul tadodeestaexperiencia?


(a)

(b)

(c)

(d)

Lee este papel a través del espejo e identifica los nombres que tie nen sentido. Repite lo mismo vol teando el papel. Finalmente bus ca una explicación y clasifica los nombres según los resultados de la experiencia.


421

Si tepintascompletamentelapalmadelamanodere chaylapones sobreunpapel, resultarálaimagende tupalmaderecha. Estaimagenesigual alaqueelespe joproducedelamismamano. Convengamosenseguida darel nombredeIMAGENESPECULAR, alaimagen queelespejoproducedecualquierfigurauobjetoyuna PAREJAENANTIOMORFA, al parformadoporel ob jeto ysuimagenespecular. Conestos términos, esta moslistos pararesolverlas preguntas algodesconcer tantesformuladaslíneasarriba. Antesdeseguiradelante, quisieraadvertirtequelaex plicaciónesmuysencillayteladarástumismo(a),pero el objetivoquequeremosalcanzaratravésdeestospá rrafos, noesexplicarlosprincipiosdelasimetríapor Un caballo, frente a su im agen reflexión, ni lasimetría bilateral del hombreylos especular. Ambos forman una animales, menos las simetríade la disposiciónde los pareja enantiomorfa.¿Cuál es el átomosdeunmineralqueoriginanmaravillososcrista caballo y cuál es la imagen? lesnaturales, quesonel «peldañomásaltodelaestruc turadelamateria», tampocolanecesidaddelaasime tríadel sentido degiro delas roscas, los pernos o los diferentesobjetosquesonparadiestros; ni muchome nosdiscutirsobrelasimetríadeluniversoparaexplicar lasantipartículasolaspartículascrono-retrógrados. ¡No! (a) ¡Deningunamanera! Solamente quisieraqueveas tu alrededor con«otros ojos», los problemas aparente mente desconcertantes tienen soluciones senci llasytodocuantoapreciamostieneunporquéde suexistencia. Noshemosreferidoalaimagenespeculardeunobjeto, comolaimagendeél producidaporel espejo, yqueen treambos, formanunaparejaenantiomorfa. Sólofalta incorporareltérminoSIMETRIAanuestroconjuntode términos. Paraello dibujaenel borde derecho de un papel lamitadde uncorazónFig. (a) y has coincidir estebordeconelplanodel espejoyobserva. Tudibujoy suimagenespecularformanlaFig. (b). Estafigurase dicequeesSIMÉTRICArespectoalalíneaEdelespejo, elcualsedenominaEJEDESIMETRÍA.Puestoqueenel papelelejedesimetríaesverticallafiguraessimétrica respectoaunejevertical. ¿Podríasdibujarunafigu rasimétricarespectoaun ejehorizontal?


422

[ Problema 10*] En cada una de las siguientes figuras identifica fas que son simétricas y traza el eje de simetría. \

> Resolución

DIVERTIJO t Nada como una competencia tan sana como inventar figuras pla nas con el mayor número de ejes de simetría. Todo empezó cuando el profesor pidió a Martín dibujar una figu ra plana con el mayor número de $jes de simetría. Martín dibu jó una figura con 8 ejes de sime tría. Se paró Juliana é hizo un dibujo con 10 ejes de simetría Así desfilaron varios estudiantes incrementando en cada dibujo fi guras con más ejes de simetría.

.

[Problema 11) ¿Cuántos ejes de simetría tiene un rectángulo y cuántos, un cuadrado, ? Resolución

No faltan siempre aquellos que gustan malograr los más boni tosjuegos matemáticos, siempre están en algún lugar del salón o el colegio buscando dar la solu ción finaln a un problema. En efecto, en este juego tampoco po día faltar uno de estos jovencitos. Toñito, se levantó de su car peta, caminó lentamente y con pasos seguros ante la mirada atónita de sus compañeros, se acercó a la pizarra, cogió el arma, digo, la tiza y dibujó una figura plana con infinitos ejes de simetría ¡A diosjuego!

,

.

¿Qué figura dibujó Toñito?

Hastael momentohemosvistofiguras simétricaspla nas(bidi mensionales). Acontinuaciónveamosobjetos simétricos tridimensionales. Si cortamos una esfera medianteunplanoquepasaporsucentro, obtenemos doshemisferios. Si cogemosunodeellosyhacemos co incidirel planodecorteconel del espejo, seformauna esferacompleta, enconsecuencia, laesferaessimétrica


423

respecto al plano del espejo, para el que usaremos el nombredePLANODESIMETRÍA. Grannúmerodeobjetosqueusamossonsimétricosres pectoaunplanovertical. Porejemplolasilla, el male tín, loscatedrales, nosotrosmismossomossimétricosy tambiénlamayoríadelos animales. Ahoracontestemosalapregunta:¿porquéelespejo“cam bia”laderechaporlaizquierda?. Sucedeque, comoso mosbilateralmentesimétricos, nuestrasmanosforman unaparejaenantiomorfa, lamanoderechaeslaimagen especular de laizquierda. Por eso, cuando acercas tu manoizquierdaalespejo, delotroladoseacercasuima genespecular, quetienelaformadelamanoderecha. Esdecir,unespejo,“cuandoestásfrenteaélnomuestra enabsolutopreferenciaentrederechaeizquierda,entre abajoyarriba. Elespejoinvierte lafigurapuntoporpun to,alolargodelalíneaperpendicularaél. Talinversión transformaautomáticamenteunafiguraasimétricaen suenantiomorfo. Acausade quesomosbilateralmente simétricos, nosparececonvenientedescribiresteproce socomounainversiónderechaizquierda. Perosetrata sólodeunamaneradehablar, unaconvencióneneluso delaspalabras” (2). ¿Cómoseexplicalodelaspalabrasleídas através del espejo? ¿Quédiferencia, respectoalasimetría, encuentrasen trelasletras:

Asimétrica

Simétrica respecto al eje vertical

Simétrica respecto al eje horizontal

Letra con dos ejes de simetría

[Problema 12] ¿Qué tipo de letras son los que se leen perfectamen te en el espejo? (2) Martín Gardner. Izquierday derecha en el cosmosp.22

DNERTIJO 3 Toma un papel cuadriculado y di buja un cuadrado de 13 por 13 cuadradnos, forma un rompecabe zas cortando por las líneas como se muestran en la ilustración de la izquierda. En seguida arma el rom pecabezas tal como se indica en el dibujo de la derecha. Compara las áreas y busca una explicación.

DIVERTIJO 4 Estas en una competencia de “pa tear” un balón pretendiendo acer tar en un poste. Te dan en dos op ciones: Io Patear un balón de 30 cm de diámetro contra un poste de 10 cmde grueso (diámetro) 2o Chu tar un balón de 20 cm de diámetro contra unposte de ¡5 cm de grue so. ¿Cuál escoges? A) Primera opción B) Segunda opción C) Tercera opción D) Cualquiera de las dos E) No sé patear.

424 ri ii


Respuesta Sonlassimétricasrespectoal ejevertical. Ejmplos:

A M , T, Y, H , «te. [Problema 13]

Respuesta Nosealteraránal serexpuestosal espejo, aquellas palabras que constansólo de le tras simétricos respecto ael eje vertical. EstasconYAMAHAyMOTO.

[problema 16l

iQué tipo de letras no tiene sentido al leerlo a través del espejo, pero al vol tear el papel, frente al espejo se leen per fectamente a través de él?

Respuesta Sonlasletras simétricasrespectoauneje horizontal. Ejemplos: B,D,E,K,H,X,etc.

Problema 14 c

Expon las palabras, MOTIVO, BECO, DEDO, OTO, DEBE, MICA, CHICA y BE BIDO frente al espejo, pero con el libro volteado, ¿qué palabras se leerán co rrectamente a través del espejo?

Respuesta Las palabras que constanúnicamente de letrassimétricasrespetoaunejehorizon tal. Estasson: BECO,DEDO,DEBEyDE BIDO.

¿Qué tipo de letras son las que se leen perfectamente a través del espejo, sin importar si frente al espejo ponemos el papel de pie o de cabeza?

Respuesta Sonlasletrassimétricasrespectoalosdos ejesverticalyhorizontal. Ejemplos: H,I, OyX.

^Problema 15 J ¿Cuáles de las siguientes palabras se leerán perfectamente a través del espe jo, tal cual están escritos verticalmen te?

Y A M A H A

D E D O

M O T O

P I L O T O

M O N O La mayoría de los animales tienen simetría bilateral.

Razonamiento Geométrico «

425

___

10.3.1. Palíndrom os

Hemosvisto quelas palabras AMAyOTOseleenco rrectamente al reflejarloenunespejo, debido ala“si metríavertical”desusletrasydetodalapalabra. ¿Su cedelomismoconlapalabraRADAR?Escríbeloenun papel y refléjalo en el espejo, notarás que aparece HAOAH.LasletrasRyDnotienensentidoamenosque tuviéramosporcostumbreleerdederechaaizquierda. Sinembargo, sidejamosdeladolaformadelasletrasy consideramosunapalabracomounasucesióndeletras ordenadas, alolargodeunalínearecta, leeríamosRA DAR.Vistodeotroángulo, siaceptamosleerdederecha aizquierdasintener encuentalaformadelas letras masquesuubicaciónenlapalabra, lapalabraRADAR seleeríalomismo,tantodeizquierdaaderechacomode derechaaizquierda. Estetipo depalabras sedenominanPALÍNDROMASOPALINDRÓMICAS. Sonmuchas las palabras pálindrómicas como, RADAR, ANA, OSO,ASA,RODADOR,SOMOSinclusooracionescomo ANITALAVALATINA, etc. Unnumeralpalindrómico,ocapicúa, esunnumeral queal serleídodederechaaizquierdasiguesiendoel mismo, como343; 42124; 666;75357; etc. Elúltimoaño palindrómicofue1991yel próximoserá2002 10.3.2. Asim etría

Si bien la simetría refleja equidad, belleza, armonía, unidaddecontrarios, etc, tambiénlaasimetríatienelo suyo. Observalassiguientesparejasdefiguras:

Figuras asimétricas, cada una con su pareja enantiomorfo. Si una de ellas la consideremos derechaula pareja corres pondiente sería su “izquierda”.

“

-

CURIOSIDAD “

Una palabra som ordnilap” (palíndromos leída al revés) es aquella que al invertirla o leerla al revés se convierten en otra pa labra que tiene sentido, como AMOR (Roma), AZAR (raza), etc.

A D im n jo s

5

Con 12 cerillas se ha construido un triángulo rectángulo de 3; 4yS ceri llas de lado. Obviamente el área de este triángulo es igual a la mitad del rectángulo3por4, esdeciró “ce rillas cuadradas”. a) Mueve dos cerillas y forma una figura con un área de 5 "cerillas cuadradas” b) Mueve tres cerillas y forma una figura con un área de 4 "cerillas cuadradas” c) Mueve cuatro cerillas y forma una figura con un área de tres “ceri llas cuadradas”


426

Cada figurapor separada es asimétrica, viendoporpares, unaesimagenespecular delaotrayentreambasformanunapareja enantiomorfa.

nacis. ¿Cómo reconocerlaf Es muy fá cil; es aquella que no concuerda con las demás. ¿ Puedes señalarla f

(^Problema 16^ Del conjunto de gráficos, señala aque lla figura que no concuerda con las de más.

Resolución Optemosporconsiderarlasacadaunacomo unaescuadraasimétrica(unladomáslar goqueelotro)hechademadera. Consideremos además que cada escuadra estáclavadaensuvérticeaunamesahori zontal,demodoquepuedengirarlibremen teentomoasuvértice. Poniendoundedoenelinteriordelaescua drayempujandoelladomenor,lograremos hacergirarenel sentidodelas agujasdel relojatodaslasescuadrasexceptolaC,por serenantiomorfadelasdemás.

Resolución Túpuedes“inventar*tupropiométodode diferenciarlasfigurasbasadoenelcriterio quetesugieroenlaresolucióndel proble maanterior.Enestecasolarespuestaesla A.

Algunos animales asimétricos

Conchas de moluscos dextras, enrrpUadas hacia la derecha

RptcuíC

f Problema 17] Los nacis escogieron por símbolo la “ esvástica” Una de las que se muestran en esta secuencia de figuras es la de los

El cangrejo violinista con pinza a la izquierda

427

Razonamiento Geométrico t m nn

I

III.........................

10.4. TOPOLOGIA 10.4.1 ¿Qué es la topología

Quizá»algunavezhayasintentadodibujarlafigura1de unsolotrazoysinlevantarlapuntadellápizdelpapel, sinéxito. Estafiguraseconocecomo“la firma del dia blo”. Problem asimilar, fueplanteadaaLeonardEuler en 1735. El mismo la enuncia de esta manera: “En KonigsberghayunaislaquesellamaKneiphof. El río quelabañasedivideendosbrazos(verfig. 2), sobrelas cuales haytendidos 7puentes. ¿Puede cruzarse todos estos puentes sinpasar por ningunomás deunavez? Hayquienesafirmanqueesposible. Otrosporelcontra rio,consideranqueesimposiblecumplirestacondición”. ¿Quéopinas? Araízdeesteproblema, Eulerdiolasprimeraspautas aunanuevadisciplina, quehoycobraaugeenlamate máticacontemporánea: LATOPOLOGÍA. Dibujauntriánguloen lasuperficiedeunglo boantesdeinflarlo.

Fig. 2

Figurastopológicamente iguales Topológicamente, unarosquillaes Enseguidainflael globo. ¿Quésucedeconel triángulo? igual queunataza. Pues, empiezaacrecer. Sinembargo, despuésdeinflar el globo, dospuntosvecinoscualesquieradeltriángulo, siguensiendovecinos. Eltriángulohasufridounatrans formacióncontinua. LaTopología, esla“ciencia” queestudialas propieda desdelasfigurasgeométricas, propiedadesquesonin variablesdurantelastransformacionescontinuas.

[ Problema 1 3

¿Topológicamente son iguales las siguientes figu?

Fig. 3

428


Resolución Imagínatequelafigura(a)estáhechadehilosdegoma (liga)con4nudosenlosvérticesdelcuadrado. ¿Esposi bleconvertirestafigura, sinagregarniquitarnudos, en lasfiguras(b); (c)y(d)? Sóloesposibleen(b)y(c), peronoen(d). Portantolas figuras(a), (b)y(c) sontopológicamenteiguales

Ejercicios Cuáles de las siguientes figuras se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel, ni pasar dos ve ces por la misma línea? (Indi car Sí o No)

,

f Problema 2]

a)

¿Cuáles de las siguientes figuras se pueden dibu jar sin levantar del papel la punta del lápiz ni pasar dos veces por la misma línea?

v

b) A. i

r

4

c)

TV

•vi

1-

A

-* v * ’

: \

i

•x

•*J.'

> «■*

f

—

V .vd)

Resolución ¿Cuálestehan“salido”?cuandolograsdibujarunafigu raenlas condiciones propuestas, puedes eüstarseguro r>7 dequeesafiguraesposible“dibujarla”.Perocuandono puedes“dibujarla”¿puedesasegurarqueefectivamente es imposible? -2-' Aquí cabedos posibilidades: Queenrealidadlafigura 7? esimposiblede“dibujar” oquelafiguraes posiblede e) “dibujarla”peroquenosotrosnolapodemos. ¿Cómo asegurarnos sobre la imposibilidad de dibujar unafigurabajolasreglasenunciadas?. Estomismose preguntóEulerhacemásde260años, anteelproblema delospuentesKonigsberg. Veamoscómoloresolvió. a)Sí; b) Sí; c)No; d)Sí; e)Sí? * c. • A

,

c

s» •

1

p*.

1

429


Llamemospuntopar aquel dondeconver genunnúmeropardelíneas;puntos1;2; 3;y4delafig. 4porejemplo Punto impar: Llamam os así al punto en el cual congervenunnúmeroimpardelíneas; puntos5;6;7; 8 y 9, delafig. 4, porejemplo. Teoremas de Eulen U nafigurasepuededibujardeun solotrazoysinpasardosveces porlamismalínea, si todoslospuntossonpares(casos1,IIyIIIdelafig. 4) osi tienealomásdos puntos impares(casosIVyV delafig4),enestecaso, siemprequeseempiecedeuno delospuntosimpares. Sitienemásde2puntosimpa res, es imposible dibujarlabajo las pautas ya indica das. ¿Podrías proponer lademostraciónde esteteore ma?

Punto pan

COMENTARIO Estos teoremas de Euler, se estu dian actualmente en la teoría de grafos. Esta teoría tiene una gran aplicación, por ejemplo, en el di seño de cañerías de una ciudad (grafo dirigido), el sentido del trá fico en las calles, ventilación sub terránea en minas, etc.

[^Problema3 ]

Con estas pautas, ¿Puedes dar respuesta al pro blema de ulos puentes de Konigsberg”?

Resolución Medianteunatransformacióntopológica, loscami nosdelafigura(a), sepuedenrepresentarmediantela figura(b).

COMENTARIO

Una superficie asombrosa

3

C 4

(b) Puestoquelafigura(b)tiene4puntosimpares(A, C,2 y5) noesposibledibujarlodeunsolotrazo. Portanto, noesposiblerecorrertodoslospuentesdeKonigsberg, deunasolavez.

La banda de Moebius, cuyo nombre se debe al matemático alemán August Ferdinand Moebius, que la creó en J858, es la superficie más simple po sible de una sola cara. Esta superficie se puede construir a partir de una tira rectangular de papel uniendo sus dos extremos después de haber girado uno de ellos 180°. La característica prin cipal de esta figura es el tener una única cara. Una hormiga que cami nara por cualquiera de las dos caras —interior o exterior de imanillo nor mal de papel (obteniendo con la unión de los dos extremos de una tiradepapel sin girar ninguna de ellos) volvería al punto de partida después de haber dado una vuelta completa. En cambio una hormiga que caminase por una banda de Moebius recorrería la su-

,

-

[Problema 4] se

Con un alambre de 60 cm de longitud construyó un cubo. Una arañita empieza a recorrer, a partir de uno de los vértices, todas las aristas del cubo. Se pide el tiempo mínimo requerido para ello, sabien do que la arañita se desplaza con una rapidez cons tante de 5 cm/s.


430 R e s o lu ció n

¿Hasresueltoel problema?Ental caso, ¿Cuál estures puesta?. Si turespuestaes 15, pásateal siguientepro blema. Cadaaristadel cubo mide60-rl2 =5cm. Por tantola arañitarecorrecadaaristaenunsegundo. Si pudierarecorrertodaslasaristasdeunasolavez, la respuestasería12 s; peroenrealidad, laarañitarepite 3aristas, entoncessedemora15s

perficie completa del papel, pasando al cabo de una vuelta por debajo delpun to de partida, para volver a él después de haber dado otra vuelta. La prueba

\Rpta.; 15 segundos]

10.4.2. A dentro o fuera

Problema 5

de que la banda de Moebius tiene un único borde se consigue pasando un dedo a ¡o largó del borde, ya que se llegará al punto de partida sólo des pués de haber tocado todos los puntos del borde.

Herminio ha dibujado en la pizarra una curva sim ple cerrada y dos puntos A y B . Más tarde, el maes tro de geografía pegó sendos mapas en la pizarra, de modo que apenas se ve una parte del dibujo de Herminio. Si el punto A está dentro de la curva ce rrada. El punto B ¿está adentro o está afuera? R e s o lu ció n

Entendemos por curvasimple cerrada, aquella curva unidaenlosextremosyquenosecruzaasí misma. Cualquier curvasimple cerradadivide alasuperficie delplanoendosregiones,unadentroyunafuera(Teore madeJordán). Todaslasregionesde“adentro”estánseparadasporun númeropardelíneas. Igualmente, todaslasregionesde “afuera”. Enconsecuencia, paradeterminarsi dospuntosperte necenalamismaregiónbastacontarel númerodelí neasquelossepara: Siespar, ambospertenecenyasea adentroofuera;siesimparunoestáadentroyotroafue ra. AyBestánseparadospor3(impar)delíneas. Entonces, siA, estáadentro, Bestáafuera.

Afuera Adentro


431

,

10. 5. Rectas ángulos y triángulos 10.5. 1 A ngulos entre rectas paralelas y secantes P ro b le m a 1

&

El ingeniero que ha di señ a d o u n a to r r e de alta tensión se ha olvi dado de p on er el ángu lo qu e form an los r e fuerzos de la p a rte alta d e la to r r e ¿P u ed es com pletarlo?

Ten presente

R e s o lu ció n

Si x esel ánguloquefal ta, sedebeverificarque: 25° + x + 2 0 = 32° + 30°

LEED R pta.: 17°

]

P ro b le m a 2

Un ángulo con número par y otro ángulo con número im par, suman siempre 180°.

iC uál es el ángulo que debe ir en lu gar de x? LJ

Los ángulos signados con nú meros pares son iguales en tre sí y los signados por im pares, también son iguales entre sí.

esp a ra lela a L2

ANGULOS FO RM ADOS ENTRE D O S PARALELAS

R e s o lu ció n

Lafiguraesanálogaa: Dondesedebeverificar 100° + 20o = x + 90°

( x = 30a) [R p ta .: 30°)


432 9

[Problema 3] La figura muestra un cuadrado y un triángu lo equilátero “super puestos*. ¿Cuánto mide el ángu lo signado con x? R e so lu ció n

Trazandounaparalelaa larectasecante: i

jc = 30° + 70°

(x

=lóó*) (kpta.: 100° ]

10.5.2. Suma de ángulos interiores

[Probléma 4] Hallar la sutoia de los ángulús que se indican en la figtíra adjunta. R e so lu ció n

Designando los ángulos conletras: La sumadelos ángulos pedidos, resulta igual a lasumadelosángulosin teriores del triángulo sombreado, quees 180°. ( Rpta.: 180»)

[Problema 5] Hallar la suma de los ángulos que se indican en la siguiente figura.


433

R e s o lu ció n

Si sumáramos los ángu los interiores de los 4 triángulos, obtendríamos 4x180 - 720°; peroenesta sumaestaríanconsidera dos 4ángulos quenode benestar,los4ángulosno marcados delos triángu los, quesonlosmismosángulosinterioresdelcuadrilá terocentral, quesuman360°. Porlotanto, paraquedamossolamenteconlasumade los ángulos marcados a720° lequitamos 360°. Rpta.: 360°)

Problema 6 Para enrejar « / pasa manos de una escalera, como muestra la figu ra, se requieren 6 vari llas de fierro de 1/2". ¿Cuántos metros de fie rro de 1/2" es necesario comprarf R e so lu ció n

•X.

s N.

[ Problema 7 ] Una empresa fabrican te de carros, ha diseña do un modelo de carro, con las llantas delan teros más grandes que las posteriores. ¿Cuá les de las llantas se

Si tuviéramos que en rejarcomosemuestraen lafiguraadyacente, se ríannecesarias 6 vari llas de 1 mcadauno, o sea, 6 m. Pero, para el casoserequieresólola mitad, osea3m. [Rpta.: 3 m ]

En cada una de las siguientes fi guras hallar la suma de los án gulos que se indican

,


434 gastarán más rápidamente, las delanteras o las posteriores? R e so lu ció n

Paraunamismadistancia,lamáspequeñadamásvuel tas que lagrande y cualquier punto delallantamás pequeñaestaráen.contactoconlacarreteramásveces quecualquierpuntode lagrande. Porlotanto, laspos terioressegastaránmásrápidamente. [ Rpta,: Las posteriores ]

[Problema 8J Un ángulo de 10° se mira con una lupa de 2 aumen tos. ¿Qué medida aparente tendrá el ángulo? R e so lu ció n

Cuandounángulosemira conunalupa, lo que au mentason los lados que loforman, sinembargoel ángulo formado se le ve conlamismaabertura. [Rpta.: 10° ]

El cam ino más corto

[Problema 9] Antonio vive en el punto A (según el plano adjun to), Su novia Bertha vive en el punto B, En la mar gen del río crecen unas flores que le encantan a Berthcu Antonio, un joven muy atento, siempre le gusta complacer a su novia, por eso, cuando va vi sitarla siempre pasa por el río, recogiendo las flo res para ella, Pero Antonio no es de los que pierden tiempo en vano, por eso, la visita lo realiza siguiente la trayectoria más corta ¿Cuál es la longitud de la trayectoria de ida de Antonio? Las distancias ne cesarias para encontrar la solución se dan en el plano. R e so lu ció n

&

• ReemplacemoslarutaAP*BporlarutaAP'B'porque sondelamismalongitud. IgualmentelarutaAPB

DIVERTIJO A continuación se muestran tres tipos de orificios ¿ Cuántos tapones de ma dera se necesitan como mínimo para obturar perfectamente los tres orifi cios?


435

porlaAPB’ • ¿Cuáldelasrutasesmáscorta, larutaAPB'olaruta AP’B'? Pueslamáscortaesaquellaquevasincurvas, estaes larutaAPB'. Hallemoslalongitud: • EneltriángulorectánguloAQB: BQ2 = 3052- 552

/ X I /

BQ = 300=B'Q'

¿

EneltriángulorectánguloB 'Q’A: B 'Q ' = 300; AQ' = 400

• Pero: AB'= AB rutamáscorta.

'AB = 500;

172.6

¿ 172,5

/ ✓

«

___________

AB' = 500

B’

JQ *

eslalongituddela [Rpta.: 500 m )

10-5-3 Triángulos notables

[Problema 10 j Ert el jardín de una casa, hay una bloqueta de ce mento de 15 cm de longitud, 10 cm de ancho y 10 cm de alto (ver fig.). En el vértice A dela bloqueta hay una araña y en el vérti ce diam etralm ente opuesto B, hay una mos ca. De saber geometría, la araña iría donde la mosca siguiendo la tra yectoria más corta . ¿Cuál sema la longitud de esta trayectoria? R e so lu ció n

Desarrollandolasuperficiedelabloqueta

B

TRANGULOS NOTABLES


436

Enel triánguloectánguloANB: (37°y53°) AN = 20 = 4(5); BN =15 =3(5) AB = 5(5) =25 [Rpta.: 25 cm}

[ Problema 11^ Un Topógrafo situado a 600 ñus.n.nu observa un “jalón”puesto en la cúspide de un cerro con un án gulo de elevación de Acto seguido se acerca 300 metros hacia el cerro por un terreno plano y vuelve a observar el jalón y en la uvertical99del teodolito se lee 60\ ¿Qué altura sobre el nivel del mar9alcan za la cúspide del ce r r o ?

30°.

R e so lu ció n

Esquematizando: Enel triánguloABC, el ánguloCBHesexterior: < ACB =30° Porlotanto: AB = BC = 300

Luego: 2k

=300

k = 150 kJE

=150-J3

Luego: Cestáa260+600=860ms. n. ( R pta.: 860 )

Ejemplos


437

[Problema 12 ]

EJERCICIO

■m i

’

Hallar el valor d exen cada caso

En la figura adyacente ee pide determinar la medida del segmento AB, si AE = 8 R e so lu ció n

=BD (verfiugradel e nunciado),entonces: 4k =3k +8 k=8

ED

AB -5 k AB

=5x8=40 [Rpta.: 40 )

10.5.4. Relaciones m étricas en el triangulo rectángulo Elementos del triángulo rectángulo

Enlasiguientefigurasemuestralaslongitudesdelos diferentes elementos medianteletras minúsculas. Entodotriángulorectángulosecumplenlassiguientes relaciones: b* = nc a2 =mmc h2 =mn B

+ =

a2 b2 c2

b3 + a2

[Problema 1 ] Los aleros del techo del galpón de una fábrica for man en la cumbre un ángulo de 90°. Las paredes tienen una altura de 2 cnu En la cumbre del techo

ay6: Medida de los catetos c: Medida de la hipotenusa h: altura relativa hipotenusa

a la

n: proyeción del cateto AC sobre la hipotenusa m: proyeción del cateto CB sobre la hipotenusa


438 hay un pequeño orificio por el cual, al medio día, penetra un rayo de luz al piso del galpón, punto desde el cual se mide perpendicularmente hacia am bas paredes laterales. Si las distan cias medidas son 1 m y 4 m, ¿a qué al tura está la cumbre?

^Resolución Esquematizandoelsectordeltecho:(figu radeladerecha) x* = lx4 = >j x = 2 ) Alturadelacumbre: 2+2=4m [Rpta.: 4 m J

La figura adyacente muestra un puente de luz semicircular. Desde el punto P situado a 2 m de uno de los extremos del puente, manteniendo un extremo en P se resuelta una cuerda de 8 m de tal suerte que el otro extremo apenas toca el agua y 2 m d e cuer da está en contacto con la pared del puente. i Con qué anchura, cruza el puente el río?

Resolución Esquematizando 62 =2(x)

8

A

B

=> (*=18) Anchodelrío 18 + 2 = 2 0

[ Rpta*: 20 m)

-

v


439

70 .6. Perim e tros

[Problema 3 j

EJERCICIOS

i Cuál de las figuras tiene mayor perímetro ?

Hallar el perímetro de las regio nes sombreadas En cada caso el lado del cuadrado mide 6 cm.

.

,

* ir\ r -

4

N

K

.

t r - m í'

-

.

Tr

—

*

.

.

0*+ 4 L

•

•

L*-

'V W iV v *

I

1

1

II

III

R e so lu ció n

Las tres figuras tienenigual perímetro, el mismo del cuadradoqueloscircunscribe

( problema 4] El diámetro del círcu lo de centro O, los la dos del cuadrado ABCD y los del trián gulo equilátero MNP son iguales y miden 4 cm ¿Puedes hallar el perímetro de las regio nes sombreadas ? R e so lu ció n

Dibqjaconlápizenunpapel lafigurayconunlapicero repasa el perímetro (borde) de todas las regiones sombradasunasolavez. ¿Aquéconclusiónhasllegado? Bien. Para hallar el perímetro de las regiones R pta.: sombreadas, bastahallarlasumadelosperímetrosde lastresfigurasmencionadasenelenunciadodelproble a) (24+6tc)cm b) (30+6tc)cm ma: c) 24ncm d) 16tccm Pü + P a + Po= 4x4 + 3x4 + 27ix2 = 28 + 47c


440

10. 7. Problemas de áreas

C

Recuerda

Problema 5

PERÍMETROS

¿Cuál es el área de la superficie sombreada de la escalera?

3m

( P=271r)

Resolución Proyectando, lasumade las áreasdelas superfi cies horizontalesresulta igual aldeunrectángulo de4 x2 = 8 m2 yladelas superficies verticales igual aldeunrectángulo de3 x2 = 6 m2. Porlotanto, áreatotal: 8 +6 =14m 2 [ Rpta.: 14m2]

a b

(p =2 (a+6)) COMENTARIO El método de "trasladar* regio nes sombreadas para cubrir re giones en blanco de igual área es muy recomendable para re solver problemas de áreas.

,

Problema 6^ Hay quienes opinan, al ver la figura adjunta, que el área de la región sombrea da y el déla región sin som bra son iguales. Hay otros que dicen que el área de la parte sombreada es mayor y un tercer grupo opina lo contrario. ¿Tú> qué opinas?

Resolución

\

f 1

•Juntemos*regionessombrea das enunladoylas blancas enotro. Los segmentos circulares signados con a son iguales. Conlos 2segmentoscircula res sombreados cubrimos

li

Razondmiento Geométrico

441

losdosqueestánenblan coyresultaque, tantola regiónenblanco como la sombreada corresponden alamitaddelcuadrado, o seasoniguales.

Recuerda AREASDEALGUNAS FIGURAS

( Rpta.: Son iguale^

[ Problema 7 j Hallar el área de la región sombreada, si OP = OQ * 4. El án gulo PQO mide 90° y O es centro del semi círculo.

S = ab a

R e s o lu ció n

rs=aO

Laregiónsombreadaresultóuncuadrante, esdecir, la cuartapartedel círculoderadio4 Area = — J=4n ( S«nr»)

f Rpta; 4n

[Problema 8] Si el área del rec- B tángulo ABCD es 16 cm9, ¿ Cuál es el área de la región sombreada de la figura adjunta?

c

D


442 R e so lu ció n

Laregiónsombreadaresultalamitaddel rectángulo. Luego:Area = 16+2 =8 cm2 [ Rpta,: 8 cm2 ]

Problema 9 c

)

corregir segúnoriginal

En la figura mostrada, tomando como diáme tros los Itxdos de un hexá gono regular, se constru yen semicircunferencias. Hallar el área de la re gión sombreada. R e so lu ció n

Laregiónsombreadaresultauncírculoderadioigual a a. Portantoel áreapedidoesna2 [Rpta.: 703*)

[Problema 10] Los triángulos ABC y PQR tienen igual área. Si el área de la región sombreada de la figura (I) es 6 cm2, ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la figura (II)? (Los puntos tomados en cada lado de los triángulos, son puntos medios).

S=

(B + b)h


443

TEN PRESENTE Propiedades de las áreas del triángulo (ID R e so lu ció n

• Enlafig. (I) laregiónsombreadadeárea6 cm2esla cuartapartedel triánguloABC, entoncesel áreade éstees4x6=24cm*. • Enlafig. (II)eláreadeltriánguloPQRes24cm2.(por serigual aldeABC)ylaregiónsombreadaeslater ceraparte, portantosuáreaes24*3*8 cm*? [Rpta.: 8 cm* j

Problema 10 El área del cua drado ABCDmdde 20 cm?. ¿Cuáles el área del cuadra do som breadot MNPQmm puntos medios de los la dos del cuadrado.

A M

D

R e s o lu ció n

Elcuadradooriginalsetransformaen5cuadraditosigua les, el áreadecadaunodeelloses laquintapartedel áreadel cuadrado: 20*5■4cm*

[ Problema 11]

EJERCICIO 2 Utilizando la propiedad mostra da en la resolución del problema 10; Calcula el área de las regiones sombreadas en cafUi figura. En to dos los casos, el área del cuddrilátero mayor es 120 cm2.

El área del triángulo ABC es 60 cm2. BM = MC yA N -2N C ¿Puedes cal cular el área de la par te sombreada?

*

Resolución

2

N 1 C

A

30k = 60

Por lo tanto:

3k + 8k = llk

N 1

Problema 12 (

¡Rpta.: 22 cm2 )

El área del parale logramo ABCD es 40 cm2. ¿Cuál es el área de la parte sombre ada?. M y Nson me dios de los lados del paralelogramo.

Resolución

%

•

S=— k m 4

llk = 11(2) = 22

= 2 cm2

EJERCICIO 3 H allar el área de las regiones sombreadas. En cada caso el área del triángulo mayor es 84 cm2.


445

Problemas Resueltos [Problema Q Aquí mostramos los planos de ciertos de partamentos. ¿Cuál o cuáles de ellos se prestan para pasar por todas las puer tas de una sola vez, empezando y termi nando afuera?

Resolución Paraentrarporunapuertaysalirporotra, lahabitacióndebetener unnúmero par de puertas. Encadaplano, todaslashabitacio nestienenunnúmeropardepuertasexcepto una, sedebeempezardeéstaoempezarde afuerayterminarenella.

[Problema 3 j (3) Resolución i

La figura mues tra una curva simple cerrada y dos puntos A y B. ¿Están fuera o dentro de la curva?

Resolución •LalíneaAA'cortaunnúmeropardecurvas (8); entonces, tantoA'comoAestánfuera. Lascurvasenlíneascontinuas, lastres, son •LalíneaBB*corta unnúmero impar de recorribles, esdecir, sepuedendibujardeun curvas(9);enconsecuencia, comoB'estáfue solotrazoysinlevantarel lápizdel papel. ra, Bestádentro.

[Problema 2} Acontinuación se muestra los planos de tres museos muy peculiares por su dise ño. ¿Será posible pasar por todas las puertas de cada museo exactamente una vez? No interesa donde se empieza.

[Problema 4] / (1)

\ (2)

3

( )

¿En cuáles de las siguientes figuras, se puede dibujar una curva simple y abier ta que pase exactamente una vez por cada uno de los segmentos de recta de la figura? (Una curva es simple si no se cru za a sí misma y los segmentos de recta son los que unen dos puntos sucesivos)


446

[ Problema 6j ParadojadeCurry* Con el cuadrado de 13 por 13 cuadraditos se forma un “rompecabezas” de 5 piezas tal como la ilustración de la izquierda; en seguida se arma tal como la ilustración de la derecha y verás que desparece un cuadrado.

Resolución

ble, porque las figuras en lí neas continuas no son recorribles.

Unafiguraes recorrible cuando se puede dibujardeunsolotrazoysinlevantarel lá ¿Cómoseexplicalaaparicióndel cuadrado? pizdel papel. Resolución [Problema 5 j El ladoizquierdodelapieza3, noes8 sino odo que al colocar enla nueva En una fiesta participaron 4 varones y 5 81/13, de m mujeres, todos ellos bailaron en parejas ubicación, hace que el cuadrado crezca en 1/13 hacia abajo, de modo que el area del (hombre - mujer) al menos una pieza, l pero una sola vez con cada persona que cuadradocreceen13x1/13s 1 cuadradito. E pensael crecimien tomaron de parqja para bailar. Termi cuadraditoparecidocom nada la fiesta^ se supo por los comenta todel cuadrado. rios que; Ana bailó 2 veces; Carlos, 3; Carina 3 veces; Zoila un número par de veces, Luisa un número impar de veces, Darío un número par de veces, Beto 2 ve ces y Nora 1 vez. Entonces Ernesto bailó:

[ Problema l ]

A) 1vez B) 3veces C) 4veces D) 5veces E) 3ó5veces Resolución: Enunafiestaenlaquesebailaenparejas,el númerodepersonas quebailanconunnú meroimpardepersonassiempreespar.Pues toqueyason4losasistentesquehanbaila doconunnúmeroimpardepersonas,enton cesErnestotuvoquebailar conunnúmero pardedamas; ylaúnicaalternativaquese ajustaeslaC.

Se muestra un sólido y cuatro vistas, tres de las cuales corresponden a las vistas frontal, horizontal y de perfil del sólido. Marca aquella que no corresponde a una de estas vistas.

(ü p fq .: 4 veces *Inventado por el mago Paul Curry. Nueva York


447 R e s o lu c ió n

El modo más práctico de resolver este pro blema es elaborando un dado de cartón o papel, pintarenéstelos puntos deacuerdo al dadomostradoyalgunos delos desarro A B D C llosqueayíidaránaubicarlascarasconlos puntajescorrectos. R e so lu ció n Unavezelaboradoel dado, laidentificación Latécnicamásrecomendablepararesolver delosdesarrollosesmuysencilla. esteproblemaesdibujar las tres vistas del Sinodeseaselaborarundado, cogeunborra sólidoycompararconlasalternativaseiden dorypintaensus caraslospuntos comosi tificaraquellaquenocorresponde. fuerauncubo. Enesteproblema,lafiguraCeslavistafron \RptcuTc tal, laD eslavistahorizontalylaB eslade perfil. PorlotantolafiguraAnocorresponde Problema 9 J aunadelasmencionadasdel sólido. •i

[ Rpta,: A ]

Si L i // L2, hallar 2x

[Problema 8 l ¿Cuál de las figuras signadas con letras no corresponde al desarrollo del dado mostrado.

R e s o lu c ió n

Prolongandolaslíneastenemos m

m • 9 9 • * • 9• • • 9 9• # •

• »

A

• •

•

•

#

9

9

9

9

B

•

•

•

•

9

9

9 9 99 9 999 9 9

9 9

9

c

• •

9

9

9 9 999 999 9 9

9

• • • 9

9 9 9 9 9 9

9

9 9 9 9

9

9 9

D

9

a + 2 a = 9 0° a = 30° =>

2 a = 60°


448

[Problema 10] Si A B C D es un rectá n gu lo (a 1 4 0 Hallar “x ”

+p) =

y

Resolución Realizando convenientemente trazos para lelasalosladosdel cuadradoenlosvértices deltriánguloseobtieneloquesemuestraen lafigura. N¡

X <, izq- =X <* 90° +90° = a+P+x 180° = 140° +x [ x = 40°)

c t e r -

m
[Problema 12^

[Problema 11 ] ABCD es un cuadrado. ¿Cuál d e los la dos d el trián gulo MNP es m ayor?

N

En el in terior d el triángulo equ ilátero ABC de lad o 2 cm, se eligen 5 puntos. ¿C uántos pu n tos com o m ínim o distarán m enos de 1

cm?

Dividiendoel triángulocomosemuestraen lafigura, disponemossólode4regiones, en elinteriordecadaunadeloscualespodemos

Razonamiento Geométrico elegir 1 punto, de tal suerte que disten en tre ellos m ás de 1 cm. £1 quinto punto, necesariamente tene mos que elegir en el interior de una de las regiones, que con el punto ya elegido an teriormente va distar menos de 1 cm.

449 R e s o lu c ió n

Propiedad:

AC= 4(BH) 10+x= 4(x-2) 10+x=4x-8=* x=6 ( Rpta,: g )

[Problema 15] yRptcu: 2 puntos j

[Problema 13j

La figura muestra una escalera a p o y a d a a una pared vertical formando 60° con el piso. Cuando el pie de esta escalera se a íq /a € metros de la pared, resulta que forma un ángulo de 37° con la horizon tal. Determinar la longitud de la escale-

Corte mínimo Con un alambre de 24 cm de longitud, deseo construir un sólido regular que ten ga el menor número de caras posibles. ¿Cuántos cortes debo darle al alambre, de modo que cada arista del sólido sea de un solo alambre. R e s o lu ció n El sólido regular de m enor núm ero de caras es el te tra edro.

R e s o lu ció n

Basta un solo corte para construirlo

DN = ñk (A DMN

Notable)

DQ = 5k (A DPQ

Notable)

[Problema 14]

QN = DN - DQ

Sea: MN = lOk = PQ = Longitud de la escalera

6=

8A-5¿=»

k=2

Calcular ux” en la figura.

Luego: MN = 10(2) = 20 m

[R p ta 20 metros}


450

[Problema 16] Esta cruz se ha transformado en un cua drado manteniendo el área invariable. ¿Qué pasa con el perímetro: aumenta o disminuye?

R e s o lu c ió n

El perímetro delos sectores sombreados es el mismoqueel delostrescírculos: 27i(6)+2ji(4) +27i(2)=24n [R p ta .: 24n )

[Problema 18] Hallar la longitud de la espiral forma da por semicircunferencias con diáme tros en el segmento AG de longitud 12 cm. Los puntos ubicados en AG son

ABreemplazaaAPQB ABmáscortoqueAPQB /. Elperímetrodisminuye.

[Problema 17J Los radios de los círculos son 6 cm , 4 cmy 2 cm respectivamente. ¿Cuál es el perí metro de los sectores sombreados?

Los radios de las semicircunferencias son respectivamente1cm,2cm,3cm,4cm,5cm y6 cm;enconsecuencialalongituddel espi ral es: L =jc(1)+ti(2)+Jt(3)+n(4) +rc(5)+te(6) L- 2 171cm [Rpta.: 21n )

^Problema 19 J ¿En cuál de las formas se necesita más cuerda para atar tres cilindros de igual diámetros?


451

f Problema 2l ] Cada lado del cuadrado ABCD mide 3 cm, ¿Cuál es el perímetro de la superfi cie sombrada? Las figuras formadas en el perímetro del cuadrado son semicír culos.

Resolución

( P = 8r + 2nr )

( P = 6r + 2nr )

[Problema 20 ] Los lados del triángulo equilatéro ABC se divide en 3 partes iguales; uniendo conse cutivamente los puntos de división se for ma un hexágono regular. El perímetro del hexágono y el triángulo suman 30 cm, ¿Cuál es la longitud de la circuferencia circunscrita al hexágono?

B

Resolución • La longitud de una semicircunferencia es Dn dondeDesel diámetro. Perímetrodelaregiónsombreada: n

Tía

7tb

Ttk

P=— + — + ...+— 2 2 2 P=-(a +6 +...+A) 2 4(3)

P=671 cm

Resolución Del dato: 6r+9r=30=>r=2 •Longituddelacir cuferenciaderadior: 2ttt=2rc(2)=4 71 [ R pta: 4n )

( Rpta,: ótt)


452

f Problema 22 ] P y Q son puntos m edios de los lados del cu ad ran te AOB. El área de la reg ió & signado con S es 5 cm 2. El área d e las re giones som breadas en el in terior del cu a drante es:

Al sumarlasáreasdelosdoscírculosresul ta7ü(3 r)2 +jc(3r)2=137CT2queresultamayor queel áreacubiertaporambos(127tr2), por que se está“repitiendo” el áreadelaparte sombreada, que debe ser, entonces, de 13itr2- 127ir2=7ir2. {R pta.: nr2]

Problema 24 El área d el cuadrado ABCD es 10 cm 2. Los p u n tos M9N y P bisecan a los lados d el cuadrado. C alcular el área del cu a d rilá tero cón cavo som breado.

Resolución d +s=nr2 r c ( 2 r): =7ir2 • d + a + b +c =

( 1) M

(2)

( 1) = (2 )

f í + a +6 a

+c=f í + S

+b +c=5cm2

[ Problema 23] El área de la re gión cubierta p or los dos círcu lo s es 1270* ¿Cuál es el área de la re gión som breada?

s

D

Resolución El áreadel cuadriláterocóncavosombreado es igual alaquintaparte del áreadel cua drado: 10-5-5 =2cm2.


453

t

[Problema 25]

A 'TOxTB^ /

S POTB = 2S.BTO

Calcular el área del cuadrilátero som breado. El triángulo ABC es rectángulo, BC = 6, AC = 8 y O es centro del círculo. =

En(l):

2

-

^

i

=

8

S= 24-8-8 =8 (fipra.: 8 )

Problema 26 El área del rectángulo ABCD es 24 cm2y 0 es centro del círculo. Hallar el área del cuadrilátero sombreado.

Resolución •S= S aA>ABC - S aaACT - SPOTB ... (1) •AACB: AC=8,BC=6 =>AB=10 SA . acb =6x8/2=24 AP=AQ=8 -r PB=BT=6 - r =>AB=8 -r +6 - r= 10 (TTT)

Resolución S aAMO = S a DMO

sabmn

( 1)

SMCDN

2

=

( )

( 1) + (2)

-r

S ABMN +SMCDN SAMDO = _

SAMDO =

24

—=6cm

O

A C C T •S4act=——

8x2- r o

S .A C T = — r

[Rptcu: 6 cm 3)


454

[Problema 27]

Resolución

En el paralelogramo ABCDy M es punto medio de BCyN, punto medio de AD. Cal cular el área del cuadrilátero BMDN, si el área del triángulo ABN es 12 cm2

S o A B C D S=

C

[ Rpta.: 4cm 3

[ Problema 29] •Ladiagonal deunparalelogramodividea ésteendostriángulosdeigual área \t

• •S

Sá

ABN =

b m d n

=

Sá

BNM =

2

12

x

Sá

B ABCD es un cua drado de lado “a”y d e s c e n tro del cuadra do, ¿Cuál es el área de la par te sombreada?

NMD

= 2 4 c m 2.

( R p t a 24 cm2'}

[Problema 28] Hallar el área de la región sombreada, si* el área del cuadrado ABCD es 8 cm2y tanto Oj como 0Xson centros de los semi círculos.

Resolución •Trasladando las regiones sombreadascon venientemente, seobservaquela superficie som breadaeslami tad del cuadra- p do. O =

cuadrado

2

a


Problema 30 j


Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y el radio del círculo mide “R”yM, N , P y Q son puntos medios del cuadrado.

• A ACB: (T. de Pitágoras) (2r)2 + 52 = 132

r2 = 36 •S = 7ir2= 3671 cm2

R e s o lu ció n

Problema 32

• T ra sla d a n d o apropiadamente las re g io n e s som breadas, como indican las flechas, la región som b rea d a r e sulta un cuadra do, cuya diago nal mide 2R.

En la siguiente figura, ABCD es un cuadrado y BPC es un trián gulo rectángulo. Si:BP = 5cnu Ha llar el área del rectángulo som breado.

Luego el área es:

_ {2Rf_ _ 2 r 2

T

\

\

1

r

R e s o lu ció n ( Rpta,: 2R2 ]

[problema 311 Los radios de los círculos miden 3 y 2 cm respectivamente. Si la distancia entre sus centros es 13 cm. Hallar el área del círculo cuyo diámetro es PT.

• S=bxm

D

(1)

A BPC: (Relaciones métricas) BP2 = BCxBH 52 = bm •E n ( l ) : S = 52 = 25

D

[R pta.: 25 cm2


456

[Problema 33 j En el cuadrado ABCD se inscribe otro c adrado MNPQ como se muestra en la figura. Se pide calcular el área del cua drado MNPQ, si AM = 4yMB = 3cnu

Resolución

•Sea“R”el ra dio del círculo mayory*rndel menor. ¿

Q Resolución

•OM=R- 4yON=R- 6 •AAMN:OM2=AOxON (R-4)*= R(R-6), =>R=8 2r+6 = 2(8) =» r=5 /. S=jc(8)2- 71(5)»=39n

(Rptq.~S9ÍT) •AMBNs AMAQ BN=4 •Enel ANBM L,2=32+42=25 ®m np<í=L2=25

[ ProbtemiáS] Hallar el área de un cuadrado inscrito en un cuadrante de radio R. (El lado del cuadrado no en coincidente con el radio del cuadrante). [ Rpta.: 25 )

[ Problema 34] Hallar el área de la región sombreada sabiendo que “ O ” es centro del círculo mayor, además: MP = 4 y NQ = 6.

Resolución

EnAAÍOQ; OM =OQ =¿(porsim etríadelafigura) M Q =kj2 MNQ

EnA

(Isósceles):

N Q = { k - j 2 ) j 2 =2k

EnAOQN (T.Pitágoras):


457

B

k2+2(k)2 = R2

=>

2 k‘

MNpq

=R2

=( k & j = 2k2 2R2 R e s o lu ció n

ARPC

[Problema 36]

+s

ACxMH

..(1)

ACxNH

... ( 2)

6APC -

+S AAPC Restando(1)- (2): AC(M H -N H ) ARPC -S qpa

En la figura mostrada:

BH ±A C ;

QN 1 BH ; RM 1 BH y MN x AC=24 cm2. Hallar la diferencia de las áreas de los triángulos RPC y QPA

_2 4 _ S ¿

j í p

c

~

S

¿

q

p a

=

=

ACxMN

2 c m

( R p t a 12 cm*)

Problemas Propuestos 1. ¿Cuántas de las siguientes figuras re quieren más de 2 colores para serpin tadas de modo que dos regiones con un lado común no sean del mismo co lor?

2. ¿Cuál de las siguientes figuras se pue de dibujar de un solo trazo y sin le vantar la punta del lápiz del papel?

f -

A) 0

B) 1

C )2

D) 3

E) 4

A) Sólo (1) D) ( l ) y (2)

B)

Sólo(2)

C) E)

Sólo(3) Todas


458 Los asistentes a una reunión se sa ludan con un apretón de manos y cada uno cuenta el número de per sonas con el que se ha saludado. Si N es el número de asistentes que se ha saludado con un número impar de personas, entonces N es:

6. Dada una curva simple y abierta como la AB. izquierda derecha

Vamos a convenir que la figura va de A hacia B y divide el plano en dos regiones derecha e izquierda. La si guiente figura simple y abierta ha sido cubierta con papel en sus bor des. Si el punto A está en el lado de recho, entonces el punto B está en:

A) Siemprepar B) Siempreimpar C) Paroimpar D) Siempreprimo E) Siempremúltiplode3.

¿En cuál de las habitaciones debe mos empezar a recorrer los ambien tes de esta residencia de una plan ta para pasar por todas las puertas una sola vez y terminar afuera?

A) En10 D) En3

B) En6 E) En4

C) En7

—B

A) El ladoderecho B) Enel ladoizquierdo C) noesposiblesaber 7.

¿Cuál de los puntos esta dentro de la figura?

Coquito había dibujado en la piza rra una curva simple y cerrada, Iván borró una parte de la figura y sólo quedó la parte central. Si el punto A estaba dentro de la figura, entonces el punto B estaba:

A) Fuera B) Dentro C) Noesposiblesaber D) Nodibujóunacurvacerrada

A) El puntoA B) El puntoB C) Ambospuntos D) Lafiguranotieneregióninter E) Ninguno


459

8. ¿Cuántos puntos hay fuera de la figu ra?

11. Mediante una línea une los circuí

tos equivalentes:

A) 1 B) 2 ■

0 3

p

D) 4 E) 5

9. Se ha dibujado una línea curva sim ple y cerrada, y se ha cubierto con papel las periferias de la figura* Si el punto A está dentro de la curva, ¿Cuántos de los puntos mostrados están fuera de la figura? A) 1

fí* 'v * ♦V

’- < 2 >

i »*«

.

B) 2 0 3

12. ¿Cuál de las figuras signadas con

D) 4 E) 5

letras, es topológicamente igual a la mostrada?

*'J

10. Isaac está a punto de ingresarrpor la puerta A, a este centro histórico

para recorrer todas sus calles y salir por la puerta B. ¿Será posible reco rrer todas las calles de una sola vez? Se pregunta Isaac. Tú, ¿qué opinas?

(C)

A ) Que sí B ) Que no

A ) Sólo a D ) Todos

B> Sólo d E ) Ninguna

O byd

*


460 13. Señala la pareja de objetos que no son topológicamente iguales:

A) Borrador- ladrillo B) Rosquilla- tazadete C) Perro—gato D) Pelotadecuero- canicadevidrio E) Plato- tablerodeajedrez 14. Seis hermanos se disponen a repartirse este terreno que tiene la forma de un hexágono regular. A cada hermano le debe corresponder la misma área de terreno, con perí metros exactamente iguales y con un roble para cada uno. ¿Cómo deben trazar los límites f

16. E l r e c t á n g u l o d e L a n g m a n . ♦

Toma un papel cuadriculado de 13 por 8 cuadraditos, recorta según las líneas indicadas (ilustración supe rior). Enseguida arma el “rompeca bezas” tal como la ilustración de aba jo. Compara las áreas y busca una ex plicación.

ENUNCIADO

15. En la ilustración, hemos dibujado un rectángulo en el interior del cír culo de centro O. Lo que quisiéramos saber es, cuál es la longitud de la lí nea oblicua señaltída con un signo de interrogación. El círculo tiene un diámetro de 8 cm, ¿Puedes ayudar nos?

En cada una de las siguientes figu ras se muestra un sólido y cuatro fi guras, tres de las cuales correspon den a las vistas frontal, horizontal y de perfil del sólido. Se pide identifi car la figura que no corresponde a una de las mencionadas vistas. 17.

A) 8 cm B) 4,2cm C) 4cm D) 5cm E) 2-^2cm A

B

C

D


461

18.

21.

B

A

C

D

19.

A

B

A

B

A

B

/

C

/ \

D

22.

A

B

D

C

C

D

23.

20.

A

B

C

D

C

D


462

w Y N V U G) M S Q F G

24.

F)

H) I)

i

J L

T 'T B

h A

1

C

J)

D

n

y\

□ D

C

26. Encierra en un círculo la letra que no tiene relación con las demás res pecto a la simetría. A)

A

M

S

T

H

B)

E

B

c Q D

C)

H V

X

I

D)

K

C

B

D

E)

J

L P A

O M R

z

L

P

o H I M X w E P

X

Y

En este test de 9 preguntas, cada pro blema consiste de 5 figuras, designa das con las letras A, B9 C, D y E. En cada grupo de figuras debes encon trar aquella que es diferente a las demás respecto a la simetría y marca la letra correspondiente, 27.

B

N

ENUNCIADO

25.

JAI A

K

28.

Razonamiento Geométrico 29

.

463 32.

33

30.

(B)


464 ENUNCIADO

39.

Este test tiene 7 preguntas. Cada una consiste de una figura que está al lado izquierdo y 4 figuras al lado de recho, designadas con las letras A, B, C y D. Una de estas figuras, es necesa riamente la imagen especular de la figura de la izquierda. Deberás en contrarla y marcar la letra corres pondiente.

(B)

36. 40. (B)

37 41.

(D)

38. 42.


465

ENUNCIADO

48. En la figura, ABCD es un cuadrado; DPA triángulo equilátero y L J // Lr Determinar la medida de x.

En cada uno de los siguientes grupos de figuras9señale aquella que es di ferente a las demás.

B

43.

o

O

(D)

44.

A) 10o D) 30 o

B) 20

C) 25O E) 40o

49. En la figura; L¡ 1!L2Hallar “x”

(A) 45.

(D) A) 30O D) 60o

46.

(A)

(B)

C)

(D)

B) 40

C) 50O E) 70O

50. En la figura que se muestra a conti nuación: Lj HL2y el triángulo ABC es equilátero. Hallar el valor de “x ”.

B

47.

(A)

O o

A) 10 D) 25

B) 15

C) 20O E) 18O


466 4

51. En la figura que se muestra, ABCD es un cuadrado. Calcular el valor de “x”

A) 5o D) 12

B) 8

C) 10

E) 15

52. En la siguiente figura, L t HL2 y L2HLr Calcular la medida del ángu lo “B” del triángulo ABC.

54. ABCD es un cuadradoy AOD un trián gulo equilátero, además L2HL# Ha llar “x”.

A) 10' D) 25

C) 20 O E) 30O

B) 15

55. En la figura mostrada: EJ!L2 CX es bisectriz del triángulo equilátero ABC. Calcular el valor de “á”.

La

La A) 90° D) 120

B) 100

C) 120

E) 130

53. En la figura adjunta, ABCD es paralelo gramo, además: L¡ / / L2. ¿Cuánto mide el ángulo interior ma yor del paralelogramof

A) 110°

56. Se muestra 4 cuadrados congrua tes de 4 m de lado cada uno. Inscrii en cada uno hay una figur sombreada, ¿Cuál de ellas tiene m< yor perímetro?

L 1

B) 115°

C) 110° E) 140°

C) 118° E) 116°

D ) 120°

A A

A) 120° D) 100°

B) 115

B

:

C

|T

a) A b) B c) C d) D e) Todastienenigualperímetro.

467

Razonamiento Geométrico 57. ¿En qué relación se encuentran los lados de un cuadrado y de un triángulo, si ambos tienen el mismo períme tro?

A) 1:1 D) 3:4

B) 2:1

60.

C)2:3 E) 4:5

58. ¿Cuál es la longitud de este tramo de la pista? AOB, PBC y CQD son cua drantes de radios 3 km, 5 km y 2 km respectivamente.

61.

(B)

A) 9tikm B) 8tikm O 571km D) 12nkm E) 3tckm

62.

D

63. 59. Este rectángulo tiene 20 cm de perí metro; ¿Cuálpuede ser el área máxi mo del rectángulo?

A) 25cm2 B) 16cm2 C) 24cm2 D) 23cm2 E) 20cm2

(A)

64.

(B)

ENUNCIADO En cada grupo de figuras, los perí metros de las figuras que componen el grupo, son iguales. Señale aquella figura del grupo que tenga más área que las demás:

C)

(D)

65.

(D )


468 66. Hallar el perímetro de la figura sombreada. ABCD es un cuadrado de lado 4 m, Ol y Os son centros de los semicírculos, C es centro de los cua drantes, M es punto medio de CB y N, punto medio de CD. A

69. La figura muestra 5 semicírculos con diámetros ubicados en la mis ma recta. El diámetro del semicír culo mayor es 6 cm. ¿Cuál es el perí metro de la figura sombreda?

B *

A) 3 B) 4 C)5 D) 6

E) 8

67. En el triángulo equilátero ABC de perímetro 12 cm, PMHBC y MQ HAB. ¿Cuál es el perímetro de la superficie sombreada?

A) 6n B)

C) 12ji D) 15ti E) 8n

70. Hallar el perímetro del hexágono equiángulo, si BC = 4 cm, CD = cm, DE - 10 cm y EF = 3 cm.

5

B

C

B

A) 12cm B) 6 cm D) 15cm

C) 18cm E) 8 cm

A) 24cm B)22cm C)36cm D)57cm E)37cm t

68. El perímetro del cuadrado C es 15 cm, el cuadrado B tiene 3 cm de pe rímetro más que A ¿Cuál es el perí metro del cuadrado A?

71. ¿Cuál es el perímetro de esta silue ta de una escalinata? Se muestran las dimensiones.

B A J

L c V

1

A) 15 cm D ) 6 cm

r

B) 12 cm

C) 8 cm E) 4 cm

A ) 60 cm D ) 40 cm

B ) 19 cm

C ) 38 cm E ) 30 cm


469

72. Los puntos Oly Ot son centros de los círculos mostrados. Si el perímetro del sector sombreado es 6 cm, ¿cuál es el perímetro del círculo en blanco?

A) 4cm B) 3cm C) 2 cm D) 1cm E)2,5cm

A) 25m D) 24m

73. En la figura ABCD es un cuadrado de 4 cm de lado. ¿Cuál es el perímetro de la región sombreada ? M, N, P y Q son puntos medios de los lados del cuadrado.

B) 30m

C) 32m E) 40m

75. De una lámina rectangular de 12 cm de anchoy21 cm de largo, se constru ye una ceda abierta, cortando un cua drado de 2 cm de lado en cada esqui na. El volumen de la caja es: (SM '75)

A) 136cm3 B) 192cm3 C) 292cm3 D) 380cm3 E) 272cm3 76. Si se une los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero se obtiene un triángulo cuya área con respecto al área del primero es:

A) quintaparte B) cuartaparte C) terceraparte D) lamitad E)ninguno 77. El área del paralelogramo ABCD es 20 cm2. ¿Cuál es el área del triángulo APD?

A)6n

B) 5n C)4n

D) 3ti E) 8 ji

74. Un edificio de 36 m de altura está frente a otro de 25 m de altura. Entre ellos hay una avenida cuyo ancho queremos averiguar. Si uniéramos el pie de cada edificio con el extremo superior del otro, las dos línetts re sultarían perpendiculares. ¿Puedes indicar el ancho de la avenida?

A ) 10 cm2 D ) 18 cm2

B)12cm2

C ) 15 cm2 E ) 13 cm2

470


78. En la figura AB - 8 cm, AM y MB son diámetros de los semicírculos y O es centro del círculo. Calcular el área de las partes oscuras del semicírculo mayor.

81. Si el triángulo ABC es equilátero y su lado mide 12. Además M, NyPson puntos medios de los lados del trián gulo. Calcular el área de la región sombreada.

B A) 15 cm2 D) 32 cm2

B ) 12 cm2

C) 8 cm2 E ) 16 cm2

79. En la siguiente figura, hallar el área de la región sombreada; si MN, que es tangente a los 2 círculos menores, mide 12 cnu M

A) 6 (2 ^ 3 -n )

B) 6( & + n)

C) 4(3 y¡3 +n) D) 8(3y¡3 -n )

E) 3(12^3-n )

A) 15 ncm2 B) 16 k cm2 C) 18 n cm2 D) 20 n cm2 E) 24 n cm2

82. En el cuadrante AOB de radio 2r la mediatriz de OA y la mediatriz de OB cortan al arcoAB, en los puntos Q yP respectivamente. El área del sector circular POQ es:

80. Hallar el área de la región som breada, si ABCD es un cuadrado de 8 cm de lado, además M,N,P y Q son puntos medios de los lados. A) 6 n cm2 B) 8 n cm2 C ) 10

ti

cm 2

D) 12 ti c m 2 E) 15 7i cm3

A )itr2

D)

nr

B)

nr

C)

E)

nr

nr

471

Razonamiento Geométrico 83. ¿Cuál es el área del cuadrado MNPQ inscrito en el triángulo ABC?. La base AC y la altura relativa a está base del triángulo, miden 12 cm y 6 cm res pectivamente.

A) 2400(4 - re) c m 2 B) 2400(6 - ti) c m 2 C) 1200(8 - re) cm2 D) 1200(6 + ti) c m 2 E) 2400(2 + re) c m 2 A) 12 cm2 D) 25 cm2

B) 16 cm2

C) 9 cm2 E ) 36 cm2

84. Calcular el área del hexágono regu lar, si el área de la parte sombréenla es 8 cm2. Para tal fin, ten presente MN // PQ // FE y M y P son puntos medios de AB y DE respectivamente.

86. Hallar el área del círculo sombrea do, si el rádio del círculo mayor es 6cm. A )4n cm2 B )9n cm?

C)16recm2 D) 15ti cm2 E) 30ti cm2

87. ABCD es un rectángulo de 36 cm2de área. BM = MC, AN = NP = PD, ade más, NOflAM y POIIMD. Calcular el área de la superficie oscura. A) 9 cm2 D) 15 cm2

B ) 10 cm2

C ) 12 cm2 E) 63 cm2

85. Una ventana cuadrada de 120 cm de lado, está dividida en 9 cuadrados iguales, en cada una de ellas va una luna, decorada, ubicadas de tal ma nera que forman un motivo, como se muestra en la figura. El área de la parte oscura es: (las esquinas claras son cuadrantes y los laterales, semi círculos)

C

D

A) 12 cm2 D)18 cm2

B ) 15 cm2

C ) 16 cm2 E ) 20 cm2


472 88. Hallar el área del triángulo ABC, ai el círculo de radio r tiene por centro elpunto OyMA^MB.

A) (2 + n) cm2

B) ( 4 - ti>cm2

C ) ( 6 - 7t) c m 2

D) (8 + n) cm2

E) (8 - 7t) cm2

91. Determinar el área de la superficie sombreada, si AOB es un sector circular de radio 4R y ángulo central igual a 60% además PHB es un cua drante y HB diámetro del semicírcu lo. A) 3 r * S D) 2r*/3

B)

C) r2/3 E) 2r*j3

89, En la figura que se muestra a conti nuación, ABC es un cuadrante de ra dio igual a 4 cm. Determine el úrea de la superficie sombreada.

B

A) *

A) R2(4^3- n)

B) 71

R2( 4j3- n)

C) 2 k D)

3k

2

C)

D)

R2( 4 & + n)

B) R2(4+n)

E)

R2(.2 + n)

E) 4tc

90. Cuál es el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide 4 cm; M y N son puntos medios de los lados y O centro del cuadrado.

92. Si Cj9C2y C3son centros de semicír culos de radios iguales9 entonces el área de la figura sombreada en fun ción del lado “L” del cuadrado es:

473


B)

A) j

C)

D)

n

95, En la siguiente figura, ABCD es un cuadrado de lado “4a” cuyo centro es el punto “O”; además M y N son ce ñ iro s de los semicírculos menores. Cal cule el área de la superficie sombreada.

-1

TÜJ

I -i V 8/

1 t2 e > s 'L

93, En el cuadrado ABCD, de lado “2a” el punto medio M del lado AB, se une con el vértice D, Del punto medio de MD se levanta una perpendicular que corta al lado BC en el punto N, ¿Cuál es él área del triángulo DMN? A)

5a

15a D) 8

25a B) 8

C)

E)

15a

10a

94, En la siguiente figura, ABCD es un cuadrado de lado 4R,yB es el centro del círculo. El área de la región sombreada es:

A) aKn + 2) C) a2(rc + 5) D) a2(n + 10)

B) R2(3n + 4) E) 3R2(rc + 4)

E) a2(8 + 7t)

96, La figura muestra un hexágono re gular cuyo lado mide: 2ay¡3 , Enton ces el área de la región sombreada es.

A) 6a2y¡3 A) R2(3n + 8) C) 2R2(3n + 4) D) 3R2(2rc + 3)

B) a2(7i + 4)

D) 15 a243

B) 8a2y¡3

C) l 2 a2yj E) N.A.

97, El cuadrado ABCD cuya área es 14 cm*, se divide en cuadrados igua les, El área de la región sombreada es:


474

A) a\4 - n) D) 2tca2

B) tid

C) 2a2 E) 3 a2

100. En la siguien te figura, ABCD es un cu a d ra d o cu y o la d o m id e ay¡5 y MNPQ son pu n tos m edios de los la dos d el cuadrado. C alcule el á rea de la región sombreada*

D

A) 7 cm2 D) 3,5 cm2

B) 4,5 cm2 E) 10,5 cm2

B

A) a2

98. D eterm in a r e l á r e a d e la p a r te som breada de la figu ra qu e se m ues tra a continuación s iA ,B y C son cen tros de los círcu los cuyos radios m i den ur "

B) 2a2 C) 3a2

N

D) 4a2 E) 2,5a2

101. En la siguientes figura, AOB es un sector circu la r de radio 2r, cuyo án g u lo cen tra l m ide 120° y O ’ es e l cen tro del sem icírculo. C alcule el á rea de la su p erficie som breada. A) y (3& + 2% ) B ) r 2( S + n) C) r2(2yj3+n) B

2 D) - ( 2 ^ 3 - 3 7 1) E) N.A. 99, En la siguiente figura, ABCD es un cuadrado cuyo cen tro es O, AD y BC son diám etros de los sem icírculos de radio “a ” E ncuentre el área de la su p erficie sombreada.

A) 7t2(7i + 2)12

B) n\n + l)/2

C ) 27i2( 7 t - l ) / 2

D) 7r*0i - 1)/2

E) nK2n + 1V2

B 102. UM ” es un p u n to cu a lq u iera d el lado AB del cuadrado ABCD; tom an do com o diám etro AM se construye un sem icírculo h acia el interior d el cua drado y tom ando com o diám etro DE

475

Razonamiento Geométrico (E en la prolongación de DC) se cons truye otro sem icírculo tangente al an terior. H allar el área d el cuadrado ABCD si el p rod u cto de los diám etros de los sem icírculos es 12 cm*. A) 48 cm3 D) 24 cm2

B) 12 cm2

C) 36 cm2 E) 16 cm2

A) 10 cm2 D) 15 cm2

B) 12 cm2

C) 14 cm2 E) 8 cm2

105. E l área d el cuadrado ABCD es 30 cm*? M es p u n to m ed io d e B C y DH ± A M

103. El triángulo ABD es eq u ilá tero de lado8 cnu AC es mediana, CM J_ A B , MN y CP p erp en d icu la res a AD. ¿C uál es e l á rea d el cu a d rilá tero MCPN.

A ) 16,5 cm2 C ) 12 cm2 D)18 cm2

N A) 7,5yf3 cm2

D

P B) 20^3 cm:

B) 15,5 cm2 E) 9 cm2

106. C alcular el área del triángulo APD, si ABCD es un cuadrado, el ángulo APB m ide 90* y A P ^ \Í3 cm.

C) 24y¡3 cm3 D) 2 7 & c:

E) 30^3 cm

8

104. Las regiones m y n form an una su p erficie de 12 cm*. El á rea de la re gión som breada es: (AOB es un cu a drante y O' cen tro del círcu lo)

B

A) 3 cm2 D) 4,5 cm2

B) 6 cm2

C) 1,5 cm2 E) 4 cm2


476 107. En el cuadrante AOB de radio a>¡5 se inscribe el cuadrado MNPQ, com o muestra la figura; determ inar el área del cuadrado.

109. En el rectá n gu lo ABCD, AB = 30 cm yB C = 20 cm. M es pu nto medio de AB y N es p u n to m edio de DC. De M se traza la p erp en d icu la r MQ a NB y de N se traza la p erp en d icu la r NP a DM. H allar el área del rectángulo PMQN A) 156 cm2 D) 192 cm2

B

A) á

B) 2a2

C) 3a2

D) 4a2

E)

B) 168 cm2

C) 180 cm2 E) 204 cm2

110. En el cuadrado ABCD, se inscribe o tr o c u a d r a d o M N PQ, d o n d e A N = 2NB y adem ás el lado del cu a drado m ayor m ide “3 a ”, ca lcu la r el á rea del círcu lo in scrito en el cu a drado m enor.

5a B

708, La figu ra m uestra 4 círcu los igua les, cuyos radios m iden “r ”, donde A, B, C y D son sus respectivos centros. Calcule el á rea de la p orción som breada.

0

A)

D)

C) r- { . n - 2 S ) 2

D) — (2ti + >/3) 2

2

E) — { 2 n - & ) 2

5azn

3a

ti

B)

4a2it

C)

5a2n

5a2K E) 8

477


CLAVES CE CESCCESTAS

414

PÁG INA

418

1 ; 2 A C 1

2

00

PÁGINA

A

4 -5 A C

E

B

E

3

4

6

7

8

E 9

C B B C D 10 11 12 13

D

A

B

D

3

C

C

5

6

B


1 C

2 E

3 A

4 E

11 12 i C 2 1 122 B D

5 ; 6 A A

13 14 15 D ii e 23 24 25 D C D 31 32 33 34 35 B D B C E

16 »•♦ ni 26 iv

7 A

8 B

9 >.10 >• B A

17 18 19 20 B B B A

27 28 29 B E A 36 37 38 39 C C B C

30 B 40 B

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A C A B C B C B B C 51 C 61 fB

i) AQ, BP, CN, DM U)

iii) El área de la figura aumenta en un cuadradito. En la diagonal formada en la segunda figura hay una pequeña avertura que casi no se nota. El área de esta avertura es un cuadradito. Esta situación ocurre cuando los lados de rectángulo y las piezas del rompe cabezas tienen sus dimensiones en nú meros de Fibonacci. iv ) A ) S; B ) Q; C) V; D ) K; E) A; F) N; G) M; H) K; I) Y; J) P

Divertijos i.

52 53 54 55 56 57 58 59 60 D e C D E B C A B 62 63 64 65 66 67 68: 69 10 B C D D C A B A ::E

71 72 73 74 75 76 77' 78. 79 80 C C A :. B E B A E C B 81 : 82 83 84 85 86 87 88 89 90 E C B C B C C B B .E 91 92 93 94 D E B A 101- 102 108 m A A A 'B

95 96 97 E C “ A. 105 JÓ6 107 A ■A B

98' 99 10C A S -A c 108 109 110 B B tÁ

2. U n círculo 3. En la diagonal de la segunda figura hay un espacio. 4.

A: 30 + 10 = 40 cm de grosor 20 + 15 = 35 cm de grosor

5.

C

b)

A)

-i

s V

V -

1

478


tomar con más perfección los ensayos ante riores; hace una selección de las proposicio nes fundamentales y las coordina convenien temente desde el punto de vista lógico. La forma que emplea es la deductiva. Las definiciones que emplea son nomina les, es decir, definiciones en que se da a una palabra una denotación que se determina a priori. Entre estas definiciones están las de : 1.- Punto, que lo define como «una cosa que no tiene parte» 2.- Línea «es una cosa que no tiene sino lar go; es una longitud sin ancho» Euclides (365 a.n.e. - 300 a.n.e.)

E u clid es Nació : 365 AC en Alejandría, Egipto Muy poco se sabe con certeza de su vida. Probablemente, fue llamado a Alejandría en el año300 AC. Sin duda que la gran reputa ción de Euclides se debe a su famosa obra titulada Los elementos Geométricos, conoci da simplemente por Los Elementos. Tal es la importancia de esta obra que se ha usado como texto de estudios cerca de 2000 años, veinte siglos, sin que se le hicieran correccio nes de importancia, salvo pequeñas modifi caciones. Los Elementos están constituidos por trece libros. A aquellos se ha agregado un XIV libro que comprende un trabajo de Hipsicles del siglo II de nuestra era, y aún un XV libro con un trabajo de menor impor tancia. Esta obra de Euclides es el coronamiento de las investigaciones realizadas por los geómetras de Atenas, como así mismo de los anteriores. Euclides no hace sino volver a

3.- Línea recta, es la que está igualmente si tuada con respecto a sus puntos. 4.- Los extremos de las líneas son puntos. 5.- Superficie es lo que tiene sólo ancho y lar go6.- Los límites de las superficies son líneas» 7.- Angulo es la inclinación de una línea con respecto a la otra. 8.- Angulos adyacentes son los que tienen un lado común y los otros en línea recta. 9.- Angulo recto es aquél que es iguala su adyacente. 10.-Angulo agudo es el menor que el recto y ángulo obtuso, el mayor que el recto. Además, define los triángulos isósceles, rectángulos, etc. y da otras definiciones de elementos que, como algunas de las anterio res, las seguimos usando. Falleció : Alrededor del 300 AC

INTRODUCCION La matemática como herramientapara la resolución de problemas no ha sido excluido de ningún campo del saber. Laflaca es una las ciencias que más auxilio ha recibido de la matemáticay en reciprocidadha contribui do a su avanceplanteándole nuevos retos en los que la matemática se ba quedado corto. En este capitulo vamos a exponer estrategias en la resolu ción de algunos problemas de movimiento rectilíneo uniforme, movimiento de cuerpos rígidos y mecanismo depoleas.

CONOCIMIENTOS PREVIOS Esnecesario saber resolver ecuaciones. Muchospiensan quepara resolverlosproblemasdealgún campo de laflaca hay que conocer necesariamente las fórmulas de ese campo, que sin ellas es prácticamente imposible, lo cual rw es del todo cierto. Unproblemafísico contiene el aspectofísico, es decir, en qué consiste elfenómenoflaco y el aspecto matemático quepermite cuantificar los elementos delfenómeno Por lo tanto, para resolverlo, es necesario comprenderprime ro lascaracterísticasdáfenómenoy luegomaiematizarlo.

.


480

11.1 Movimiento rectilíneo uniforme La cinem ática es la parte de la mecánica que estudia y describe el movimiento de un cuerpo o partícula, sin to mar en cuenta las causas ¿fue producen el movimiento. El término partícula lo vamos a entender como un cuer po material cuya forma y tamaño no serán considerados en el problema. El término m óvil se aplicará para todo cuerpo que tiene o posee un movimiento, por ejemplo, un avión en vuelo, un atleta que corre, etc. El m ovim iento, es un concepto demasiado amplio y com plejo. En este caso, entenderemos por m ovim iento m e cán ico al cambio de posición que experimenta un cuer po con respecto a otro considerado como referencia. Cuando una partícula experimenta un movimiento lo iiace siguiendo un camino o una línea que llamaremos trayectoria. Cuando la trayectoria es una línea recta, se dice que el movimiento es rectilíneo.

¿Rapidez o velocidad? En algún tramo de la Panamericana Sur, un ómnibus está en movimiento, recorriendo 100 kilómetros en cada hora, ¿cuál es su rapidez y cuál es su velocidad? La rapidez es 100 kilómetros por hora. La velocidad no está totalmente definida, porque, si bien está en la Pa namericana Sur, no se ha especificado si se dirige al Sur o al Norte.

Divertijo 1 Sube la marea Una escalera cuelga de un bote, de modo que el último peldaño queda a 20 cm por encima del nivel del agua. Los peldaños es tán igualmente espaciados cada 40 cm. Si la marea sube 50 cm por hora, ¿cuánto tiempo demo rará el agua en cubrir 5 escalo nes?

Divertijo 2 El gato y el ratón La figura adjunta muestra una habitación cuadrada de 6 m de lado. En las esquinas opuestas de la habitación aparecen un gato y un ratón que se divisan simultáneamente. Si el gato se dirige en todo momento hacia el ratón eh tanto que éste se dirige al orificio tal como muestra el gráfico:

El término VELOCIDAD, no sólo involucra cuántos me tros recorre en cada hora, sino en qué dirección y sentido es el movimiento. Por eso, matemáticamente la veloci dad se representa mediante un vector. Sin embargo, en el lenguaje común, la velocidad se en tiende en el mismo sentido que la rapidez, en adelante así lo consideraremos. Cuando un móvil recorre trayectos de la misma longitud en cada unidad de tiempo, diremos que el móvil se mue ve COn RAPIDEZ UNIFORME O CONSTANTE.

¿El gato» logrará atrapar al ra tón, si ambos corren con la mis ma rapidez?

Razonamiento Físico Geométrico

481

En el movimiento rectilíneo uniforme, el móvil, en intervalos de tiempo iguales recorre espacios iguales.

[Problema 1 ) La ciudad de lea se encuentra en el kilómetro 301 de la Panamericana Sur. ¿Qué hora debes salir de Lima, si quieres estar a las 10 de la noche, en la fiesta de la Vendimia de lea? ¡Ahj... Te informo que los ómnibus corren por la Panamericana a 86 kiló metros por hora. Resolución La rapidez de 86 km/h significa que el ómnibus recorre 86 kilómetros en cada hora. Para calcular el tiempo de viaje basta calcular cuántos 86 km hay en 301 km, esto es 301*r86 = 3,5. Por lo tanto el viaje dura 3 horas y media. Si quieres estar a las 10, debes salir a las seis y media de la tarde. ( R p t a 18 h 30 mirt)

GENERALIZANDO Si un móvil ha recorrido uen kilómetros en horas, ¿Cuál es su rapidez (o ) en kilómetro por hora? La rapidez es la cantidad de kilómetros que recorre en cada hora. Luego: Si en wtrthoras recorre “e” km en 1 hora recorre V km. Si en t horas recorre e km en 1 hora recorre v km De donde

e 1 v ~ 71 también 1

e - v t \y

A e t =— V

.

Divertijo 3 Carrera contra el Sol

. a »

Pueda que la pregunta te parez ca absurda, hasta puedes pen sar que el autor está loco, pues tienes ra...t digo no hay razón. Es un asunto de lo más científi co. ¿Cuándo te mueves más rá pido con respecto al Sol, de día o de noche?


482

[Problema 2 ] Dos óm nibus A y B salen del Cusco h acia A requipa a la 17 fu El óm nibus A a 40 kmfh y el óm nibus B a 36 km / h ¿Qué horas el óm nibus A le ha sacado una ventaja de 24 km al B í Resolución METODO (1) En una hora A le saca a B: 40 - 36 = 4 km de ventaja, entonces para 24 km de ventaja requiere de 24-5*4 = 6 h. Esto se producirá a las 17 + 6 = 23 h. METODO (2) El tiempo de viaje para ambos es el mismo. Sea t horas este tiempo. En t horas el ómnibus A ha recorrido eA kilómetros y el B, eBkilómetros, de donde: eA- e B=24 Pero

eA-4 0 t

en (1):

y

...(1)

Divertijo 4 Hielo y agua Este cubo de hielo está empezan do a derretirse. El vaso está a punto de derramar el agua y aunque no lo creas, el hielo está flotando. Esto no es todo, el vaso está sobre mi manuscrito a tin-

eB= 40t; ¿¡Se mojará mi manuscrito cuan do todo el cubo de hielo se haya derretido?

40t~36t=24 4 t-2 4

=> t - 6 h

La ventaja de 24 km se producirá a las 17 + 6 - 2 3 h. [ Rptcu: 2 3 h ]

Tiempo de encuentro y de alcance [Problema 3 ] Dos autom óviles se encuentran en dos ciudades se parados p o r 160 km de carretera. Ambos p a rten si m ultáneam ente a razón de 50 kmfh y 30 kmfh res pectivam ente. ¿Luego de cuantas horas se en con trarán si: cu Parten en sentidos con trarios (al encuentro) b. Parten en el mismo sentido Resolución a. METODO (1) En una hora el primero se acerca al otro 50 km y éste otro, 30 km al primero; en 1 hora se acercan 50 + 30 = 80


483

km; para acercarse 160 km necesitan 160-5-80 » 2 horas. (.R p t a 2 fe) METODO (2) M

M

o m e n t o d e p a r t id a

o m en to d e en cuentro

Luego de 3 horas 50 km f h

30 km I h

t

Consideremos que se encuentran en t horas. El primero, en 1 h recorre 50 km, en t horas habrá recorrido 50t km y el otro 30t km. De la figura: 50t + 30t = 160 80t = 160

=> [ t = 2 h ]

GENERALIZANDO Dos móviles separados uenkilómetros parten simultá neamente al encuentro con VAy VBkilómetros por hora. ¿Al cabo de cuántas horas de la partida se encuentran? M

M

o m en to d e en c u en tr o

o m e n t o d e p a r t id a

Luego de t horas

De la figura: VAt + Vgt = e

b. METODO (1) En una hora, el primero recorre 50 km y el otro 30 km, esto es, se le acerca 50 - 30 = 20 km por hora. Para acercarse los 160 km, necesita 160+20 = 8 h. [R pta,: 8AJ

t


484 M é to d o (2)

Momento de alcance

Momento de partida

Luegodet horas

/

50 km h

30 km I h

De la figura: 50t - 30t = 160 20t = 160

f Rpta,: 8 fe]

t =8 h

GENERALIZADO Si dos móviles separados “e” kilómetros parten simul táneamente por la misma ruta y en el mismo sentido, persiguiendo el más veloz a VA kilómetros por hora al otro que va a Vg kilómetros por hora, ¿al cabo de cuántas horas lo alcanza? Momento de partida

Momento de alcance

Luegodet horas

^j^H6B965KS3

De la figura:

V j - VBt = e

Problemas 1. Un autobús recorre 148 kilóm etros en 2 /toras. ¿Cuál es la rapidez del auto bús? A) 74 km/h D) 70 km/h

B) 68 km/h

C) 75 km/h E) 90 km/h

2. Un auto recorre un tram o de ca rrete ra de 429 kilóm etros en 5 horas. Si una prim era p a rte lo recorrió a 80 kilóm etros p o r hora y el tram o res ta n te a 90 k iló m e tr o s p o r h o r a , ¿Cuántos kilóm etros ha recorrid o a 80 kilóm etros p o r hora?

A) 186 km D) 160 km

B) 180 km

C) 168 km E) 165 km

3. Un autom ovilista estim a que llega rá a su destino en 3,5 horas st viaja a 80 kilóm etros p o r h o r a En el trayec to se le revienta la llanta y le dem ora m edia hora en rep a ra rla Para recu p e r a r el tiem po p erd id o arran ca a 100 kmJh y así lleg a r a la hora p r e vista a su destino. ¿A los cuántos ki lóm etros de recorrid o se le reventó la llan ta? A) 75 km B) 80 km C) 84 km

Razonamiento Físico Geométrico D) 90 km

485 correr Marcos para alcanzarlo en la meta, si el hermano corre a 7 mis.

E) 95 km

4, Dos ómnibus salen al encuentro al mismo tiempo, uno de A a 80 kmJh y el otro de B a 75 km/h. Se encuentran luego de 6 horas de viaje, ¿Qué longi tud tiene la carretera que une A con B? A) 930 km B) 960 km C) 980 km D) 990 km E) 1000 km 5. Marcos le da a su hermano menor una ventcya de 51 metros en una pista de 408 metros. ¿Con qué rapidez debe

A) 7,4 m/s D) 7,8 m/s

B) 7,5 m/s C) 7,6 m/s E) 8 m/s

6, Un policía persigue a un ladrón que le lleva 32 metros de ventaja. El la drón corre a 8 metros por segundo y el policía a 10 metros por segundo. ¿A los cuántos segundos lo podrá al canzar al ladrón f A) 32 s D ) 16 s

B) 24 s

C) 20 s E ) 15 s

Teniendo en cuenta la longitud de los móviles [Problema 4 j

TEN PRESENTE

Un tren demora 3 minutos para pasar por delante de un observador y 8 minutos para atravesar com pletamente un túnel de 250 m de longitud ¿Con qué rapidez corre el tren y cuál es su longitud?

En los casos en los que no inter viene la longitud del móvil, al momento de graficar se conside ra como si fuera como una par tícula y lo representamos me diante un punto; en estos casos sólo nos interesa el espacio que recorre el móvil.

Resolución La resolución de este problema, exige contestar previa mente las siguientes preguntas: ¿Qué longitud debe re corre el tren para pasar por delante del observador y qué longitud, para atravesar el túnel? Veamos. Es suficien te que te fijes en un punto del tren. (Por ejemplo, el extremo posterior). E

T

m p ie z a a pa sa r

e r m in a d e p a sa r

Ltk

L te —

Espacio recorrido: Ltr I n ic ia

e l in g r e s o

T

e r m in a d e s a l ir

Ltb

Espacio recorrido: L t r + L tu


486 METODO (1) Sea uv” la rapidez del tren: Io L tr ~ 3 v 2o L tr + Ltu = 8 v

® ...(1) ...(2)

(1) y Ltu = 250 en (2): 3v + 250 = 8v => (u = 50 m i min En (1) L tr = 3(50)

=» [L tr = 150 m)

METODO (2) Puesto que para atravesar el túnel, recorre la longitud del túnel y la suya propia, y le toma 8 minutos: 3 de ellos para cubrir su propia longitud y los 5 min restan tes para recorrer los 250 m del túnel. Entonces, corre a 250-r5 = 50 m por minuto. Ya que su longitud lo cubre en 3 minutos, debe tener 3x50 = 150 m de largo. [ Rpta.: 50 mimin y 150 m 1

CONCLUSIÓN

De las figuras de ¿a página ante rior se puede concluir que:

•Para pasar por delante de un observador,el tren debe recorrer una distancia igual a su longi tud.

•Para atravesar un túnel tiene que recorrer una distancia igual a su longitud más la del túnel.

D ivertijo 5 ¿Qué llega primero? Si dejamos libres, a una determi nada altura una bolita de plo mo y una pluma ¿cuál de ellos llega más rápido al piso?

,

[Problema 5 ] Un aficionado a la física utiliza un curiosos mé todo p a ra m edir la d istancia en tre dos cerros. Se ubica en un p u n to en tre ellos9 em ite un sonido y mide la d iferen cia de segundos qu e tardan en re to m a r los ecos; dato que le perm ite ca lcu la r la ubi cación del punto equidistante de los cerros. Se en cam ina a él y em ite otro sonido y m ide el tiem po que dem oran en retorn a r los dos ecos. Este últim o dato le perm ite ca lcu la r la d istan cia en tre los ce rros. Si los datos recogidos son 2 segundos y 4 se gundos respectivam ente. ¿Qué d istancia debe ca m inar hasta el pu n to cén trico y cu á n to distan los cerros? (Velocidad d el sonido en el a ire 330 mJs) R esolución

P r im e r

d ato

Segundo

dato

,


487

4

Io Si un eco retorna 2 segundos más tarde que el otro, quiere decir que ha tenido que recorrer 2x330 = 660 m más que el otro, de los cuales 330 son de ida y 330 de vuelta. Por lo tanto, un cerro está a 330 m más lejos que el otro, para ubicarse en el punto medio, basta recorrer 115 m. 2° Estando en el centro, ambos ecos retornan al mismo tiempo. Puesto que demoran 4 s, de los cuales 2 s son de ida y 2 s de vuelta; el sonido viaja 2 s en ambos lados hasta chocar; esto es 330x2 = 660 a cada lado. Por lo tanto la distancia entre los cerros es 660x2 = 1320 m. ( Rpta.: 115 m y 1320 m ]

[Problema 6 ] Dos nadadores se lanzan simultáneamente al en cuentro, de las orillas opuestas de un río. Se cruzan a5mdela orilla más cercana. Continúan nadando hasta la otra orilla y sin perder el tiempo vuelven, encontrándose esta vez a 2 m d e la otra orilla. ¿Pue des calcular el ancho del río en este tramo? Resolución Hasta el primer encuentro, entre ambos cubren un ancho del río. Veamos el gráfico.

De la partida hasta el segundo encuentro cubrieron en tre ambos 3 anchos del río. Se concluye que de la partida hasta el segundo encuen tro han recorrido cada uno el triple de lo que recorrieron hasta el primer encuentro. Entonces el nadador A reco rrió 5x3 ~15m hasta el segundo encuentro. Por lo tanto el ancho del río es 15 - 2 = 13 m. [R p ta .: 13 m )

COMENTARIO Transmisión del sonido ¿Alguna vez has visto la luz de un rayo y algunos segun dos después escuchado el rui do? Tal vez has escuchado el ruido de un avión a chorro y cuando has levantado la ca beza sólo puedes observar la cinta de humo que ha deja do. Esto se debe a que tanto la luz como el sonido viajan por el aire a una cierta velo cidad, no la misma obvia mente. Nosotros vemos un ár bol gracias a que la luz del sol llega hasta él y refleja parte de esta luz la cual llega a nuestros ojos. Sin embar go, la luz viaja tan rápido (300 000 km ¡s) que por más lejos que pase un avión la ve mos casi instantáneamente. En cambio, el sonido viaja mucho más despacio (330 m is) por tanto llega después de la luz. Por eso, cuando ve mos a lo lejos un leñador cor tando un árbol, el sonido no coincide con el golpe del he cha en el árbol; pero a medi da que nos acercamos esta discrepancia desaparece.


498

[ Problema 7 ] Tres amigos A, B y C disponen de una bicicleta para ir de una ciudad M a otra N distantes 16,2 km. En la bicicleta sólo caben 2 de ellos. P ara apu rar el viaje, deciden avanzar A y B en bicicleta m ientras cam ina C. Llegado a un p u n to regresa A p o r C, mientras B va cam inando. D e este modo los tres llegan al mismo tiempo. La bicicleta recorre en todo momento a 300 mJmin y los peaton es a 80 mJmin. ¿A los cuántos metros de cam ino, A deja a B? R esolución Graficando los trayectos y expresando los espacios reco rridos en función de la rapidez y el tiempo. Los trayec tos recorridos en el mismo tiempo se señalan con el mis mo tipo de línea. 300t

HUECOS NEGROS La teoría de la relatividad de Albert Einstein ha revelado entre otras, que la luz tiene caracterís ticas de onda y partícula. Como partícula, es atraída por una masa debido a la ley de la grave dad. Para ver un objeto necesitamos que la luz llegue hacia ella y regrese a nuestra vista, o en todo caso el obje-

i

300h De la figura: 300tt

También:

+80t2 +80t3 -

+

+

80tJ 80t2 300t3

=

300tl 80tz+80t2

to tenga luz propia. ¿Qué sucede si una gran masa atrapa”, por su alta gravedad, toda luz que pase cerca de ella y no deje “escapar” la luz quepudiera haber en ella ? ¿La podríamos veri Obviamente que no.

“

+300t2

220tj = 380t2

íL=i5 =19k =t3 t2

ll\ t 2 = llk

+ + 300(19k) +80(1 Ik) +80(19k) =16200 8lOOk = 16200 =>|k = 2 | 300tI =300(19k) =300x19x2 =11400 m

De la figura:

300tí 80t2 80t3 = 16200

Rpta.: 11,4 km

j

Cuerpos de semejantes masas, son los llam ados HUECOS N E GROS. Estos son enormes acumu laciones de masas, cuya gravedad es millones de veces mayor que de la tierra, que va uatrapando* todo cuerpo que pase *cerca” de él.


489

Problemas 1. Un tren de 150 m de longitud dem ora 2 m inutos en p a sa r p o r d elan te d el ob servador. Si el observador estuviera ca m inando p a ra lela a la vía férrea en el mismo sentido del tren y a 3,6 kmJh, ¿En qu é tiem po lo p a sa ría ? A) 5 min D) 10 min

B) 6 min

C) 8 min E) 12 min

2. Dos trenes d e 300 m de largo y 240 m etros de largo qu e viajan a la m is ma velocidad se cruzan en 3 minutos, ¿A qué velocidad viajan estos tren es? A) 180 m/min C) 120 m/min E) 90 m/min

B) 150 m/min D) 100 m/min

3. D os ciclistas p a rten de un p u n to A al mismo tiem po y en el m ism o sentido. Uno va a 40 kmJh y el otro a 36 kmJh. Ambos se dirigen a B. E l m ás veloz llega a B inm ediatam ente regresa y se en cu en tra con el otro en C. Si este otro tarda 20 m inutos en lleg a r de C a B; ¿Qué distancia hay en tre A y B ? A) 218 km D) 228 km

B) 215 km

C) 120 km E) 122,5 km

4. Un ciclista recorre los dos tercios de

un tram o d e ca rretera en una h ora y media. Si d e a llí d u plica su veloci dad, ¿en qu é tiem po recorrerá el tra mo fa lla n te? A) 45 min D) 23 min

B) 40 min

C) 25 min E) 22,5 min

5. Una p erson a ubicada en tre dos m on tañas em ite un sonido y recibe el p ri m er eco a los 3 s y el segundo a los 3,65 s ¿Cuáles es la separación entre las dos m ontañas? (C onsidere la ve locidad d el sonido en el a ire igu al a 340 mis) A) 1140,5 m B) 1220,5 m C) 1122,5 m D) 1130,5 m E) 1112,5 m 6. Tres ciclistas p a rten a l mismo tiem p o de tres pu n tos distintos A, B y C d e la misma p ista y en el mismo sentido de A h acia C. Las velocidades son: VA = 600 mlmin, VB = 400 mfmin y V a 420 mlmin. Si al cabo de 24 minutos, el que p a rtió de A se encuentra en tre las otros dos y equidistante de ambos, ¿qué distancia hay en tre A y C? C

A) 5460 m D) 4350 m

B) 4640 m

C) 4450 m E) 4200 m

11.2 Poleas y ruedas f Problema 8 ] Se m uestra dos sistem as absolutam ente iguales, ex cepto un d etalle: Los p esos de B son el doble del correspondiente en A. Ahora, dejam os ca er libre m ente de la misma altura y al m ism o tiempo, los pesos más pesados. ¿Cuál llega prim ero, el de A o el de B? P ara que no te rom pas la cabeza, no conside res la fricción del aire.

//^//—//—//—y/— //— //— //—//—//—//—


490 Resolución Puesto que el tiempo de caída sólo depende de la grave dad y ésta es la misma para ambos, entonces llegan al piso los dos al mismo tiempo.

[Rpta.: Los dos llegan iguales)

[ Problema 9 ] Un cilindro circular de 1,30 m de diámetro descan sa sobre un tablón apoyado en un taco movible ver ticalmente que sobresale 26 cm por encima del ta blón, como se muestra en la figura. ¿Cuántos centí metros hay que elevar verticalmente el taco por en cima del tablón para mover el cilindro 8 cm a la derecha?

DIVERTIJO 6 Mach ihembrado increíble(V La figura muestra un cubo he cho de dos trozos de madera machihembrados. ¿Puedes decir cómo se las ingenió el carpintero para conseguir esta increíble “unión*?

(1 ) Tbm ado de Y. P erdm an

Resolución • Diámetro del cilindro = 1,30 m => radio = 65 cm. • OP = 6 5 -2 6 = 39 • En el triángulo rectángulo OPT: 652 = 39* + P'F • P'T' = PT + 8

PT = 52 P 'T '= 5 2 + 8

PT* = 60

En el triángulo rectángulo O PT'; 652 = P T '2 + OP'2 =* 652 = 602 + OP'2 OP' =25 • x = O Q -O P'

x = 6 5 -2 5 = 40 [ Rpta.: 40 cm



[ Problema 10) Consideremos que tenemos dos cajas cú bicas de p lá stico de la m ism a ca p a ci dad. En la prim era introducim os una esfera de fierro con diám etro igual a la arista in terior de la ca ja , la otra la lle namos com pletam ente al ras con pequ e ñas esferas de fierro, todas iguales. En seguida echam os agua en am bos hasta llenarlas ¿En cuál de ellas entrará más agua? R e so lu ció n

La esfera grande ocupa una fracción del cubo,igualalaqueenuncubopequeñoocu paunabola. Porlotanto, el espaciodejado porlaesferagrande, esigual alasumade espaciosdejadosporlasesferaspequeñas. Luego, enambos cubos entrarála misma cantidaddeagua.

[ Problema 12 ] D os engranajes, A de 36 dientes y B de 24 dientes están en contacto, tal com o m uestra la figu ra. Si A g ira a 200 RPM. ¿A qué velocidad g ira el en gran aje B? R e s o lu ció n

Rpta,: Igu al en ambos

[Problema

11 j

Estas p olea s están acopladas m edian te fajas, tal com o indica la figu ra . Si la p olea A, gira en el sentido de la flech a , en qué sentido g ira la p o lea D?

Sean&el númerodevueltasquedaA. En cadavueltaquedaA, porel puntodecon tacto pasansus 36dientes, enna vueltas pasan36nadientes. SeanbelnúmerodevueltasquedaBcuan doAhayadadonavueltas. Encadavuelta, pasan24dientesdeBporel puntodecon tacto. Ennbvueltas pasan 24nbdientes. ComotantodeAcomodeBpasanelmismo númerodedientesporelpuntodecontacto, sedebecumplir: 36nA = 24nB ...(1) ComoAgira200RPM(revolucionesovuel tasporminuto), entoncesen (1): 36x200 = 24nB = > nB=300 QuieredecirqueBda300RPM. ( Rpta.: 300 RPM )


492 EN G E N E R A L

Da dientes nAvueltas

R e s o lu ció n

D b dientes nBvueltas

P o le a s (X) y (2):

c

20x480 = 5V„

Dos poleas de radios R¿ y R# con ecta das m ediante una faja, dan Vt y V2 vuel tas p o r m inuto. H allar la rela ción en tre las radios y las velocidades de rota ción.

P o le a s (3) y (4):

Problema 13

V2 = 1920 RPM

Se observa que V, = V- = 1920

30x1920 =25V.

V4 = 2304 RPM [Rptcu: 2304 RPM )

[Problema 15^ El sistem a de poleas, cuerdas y ca ja p esa 50 kg; el p eso de la person a es 70 kg, ¿ Con qué fu erza debe ja la r la p erson a p a ra subir con una velocidad con sta n te? (El p eso de la cu erd a desprecia)

( 1)

R e so lu ció n

En cada vuelta la polea (1) hace correr a la faja una longitud de 2nRv en Vi vueltas, En cada vuelta, la polea (2) hace correr a la faja una longitud de 2nR2, en V2 vueltas, 2nR2Vr Pero el recorrido de la faja es la misma para ambos, entonces: 2nRtVi =2nRtVt

RtVt = RtVt Rptcu: R jVj = R2V2

^Problema 14] En la figura: r%= 20 cm, r2 = 5 cm, rs = 30 cm y r 4~25 cm Si la p olea (1) gira a razón de 480 RPM; ¿A qué velocidad g ira la p olea 4?

R e s o lu ció n

Para que ascienda con velocidad el piso de todo del sistema móvil (50 + 70) está soste nida por las 5 cuerdas, de modo que cada uno sostiene 120-r5 = 24 kg, es la fuerza con que el hombre debe jalar la cuerda. [Rptcu: 24 k g )


493

Problemas Resueltos Problema 1 Un tren dem ora 4 segundos en p a sa r de lante de un observador p a ra d o y 12 se gundos en cru za r un túnel de 480 m de longitud. H a lla r la longitud d el m en cionado tren. 4s

la^XIQ3ZISDCnXiB &> ( 1) 129

do y reanudado la m archa con la m itad de su rapidez. ¿Qué hora llegará este óm nibus a su destino de donde p a rtió el p rim ero ? R e s o lu ció n

De acuerdo a los datos del problema se en cuentran a las 11:40, entonces el primero ha recorrido hasta este punto durante 11:40-8:00 = 3: 40; como el segundo va con la mitad de rapidez, para recorrer la mis ma distancia empleará 6 h 80 min que es igual a 7 h 20 min, de modo que llegará a las (11 h 40 min) + (7 h 20 min) = 18: 60, es decir llegará a las 19 h o 7 P. M. R pta.: 7 P. M )

Problema 3 R e so lu ció n

En el gráfico (1), la velocidad del tren es su propia longitud L divido entre 4 s:

mientras que en el gráfico (2), la velocidad del tren es la suma de las longitudes del tren y del túnel dividida entre los 12 s: L + 4 8 0 *

“

12

Igualando (1) y (2):

...(2) L = 240 m {R pta.: 240 m }

[Problema 2 Dos óm nibus que salen de sus p a ra d e ros a las 8 de la m añana y viajan con igual velocidad, se encuentran siem pre a las 11 de la misma m añana en un p u n to de la ruta. Una m añana, uno de los óm nibus en cu en tra al otro 40 m inutos después de p a sa r p o r el p u n to de en cuentro, debido a que se había m alogra

C7n tren de 180 m de longitud y que viaja a 72 kmlh dem ora 20 segundos en reba sa r u.i bote qu e viaja río abajo; al día siguiente el mismo tren de regreso de m ora 5 s en rebasar el mismo bote que viaja río arriba. ¿Q ué velocid ad p rod u ce el m otor del bote? R e s o lu ció n

Vamos a graficar poniendo las distancias como el producto de la velocidad por el res pectivo tiempo empleado. Por otro lado, cabe señalar que cuando el bote viaja río abajo, la velocidad que produce su motor (Vm) con la velocidad de las aguas del río (Va) se su man, en tanto que si va río arriba, la veloci dad dada por el motor es contrarrestada por la velocidad de las aguas del río: (Vm + Vo)20

Río

72000 m 3600 s

x20 s=400m


494 (V j-v .m

108

lh 1000 m 0. m x = 30 — 3600 s Ikm s

El segundo auto recorre 30 m en cada se gundo, los 720 m que le faltan para el cruce lo hace en 720-5-30 = 24 s.

Del primer gráfico que corresponde al pri mer día: (Vm+ Va)20 = 400 - 180

[ Problema 51

Del segundo gráfico: (V - Vo )12 = 240 - 180 v m

Ü t

Q Restando (1) —(2): <

' V

m

~

V

J

-..(2) =

5

2Vm= 6

En este tiem po, el prim ero recorre 20x24 = 430 m, que son los 400 m hasta el cruce y 80 m pasando el cruce. [Rpta.: 80 m j

V * 3 m/s (R p /o .: 3 m/s)

£ Problema 4 j C u a n d o un a u to g u e u tq /a d e Oeste a

Este a 72 kmlh, está a 400 m antes del cruce con otra carretera, otro auto se di rige al m ism o punto por la otra carrete ra a 108 y kmJh y se encuentra a 720 m del cruce. ¿A qué distancia del cruce se encontrará el primer auto cuando el se gundo haya llegado a dicho punto?

Dos autos de carrera se encuentran al inicio de un circuito. Si uno puede dar una vuelta en 12 minutos en tanto que el otro en 15 minutos, ¿cada cuánto tiem po alcanzará el más rápido al más len tof R e so lu ció n :

Para que el más veloz alcance al más lento, tiene que llevarle una ventaja de un vuelta, lo que equivale una ventaja de 15 min al más lento. Cuando el más veloz da una vuelta en 12 min el otro está 3 min atrasado, entonces para que el retraso sea de 15 min, el prime ro tiene que dar 5 vueltas, lo cual le deman da 12x5 =60

[Rpta.: 60 min )

[Problema 6^

R e so lu ció n

Pasando las velocidades a m/s 7 2 v x _ m _ 1000 m nrím x — — = 20 — X 3600s 1 s

Un padre recoge en auto a su hija siem pre a las 6 de la tarde a la salida de la academia. Un día, ella sale más tem prano y se encuentra con su padre en el camino, tanto así que de regreso llegan a la casa 12 minutos antes de lo previs to. ¿A qué hora se encontraron? R e s o lu ció n :

Si regresan 12 minutos antes es porque el padre ahorró 12 minutos al no llegar a la


495

t

academia, esto es: 6minutos del punto de encuentroalaacademiayotros 6minutos delaacademiaal puntodeencuentro; esto significaque seencontraroncuando al pa drelefaltaba6minutosparallegaralaaca demia, esdecir, ala5: 54 (R p t a 5: 54 )

( Problema 7 j Victoria y M aría hacen footin g durante la m añana desde su casa hasta el p a r quey partien d o ju n ta s. V ictoria va tro tando la m itad del recorrid o y la otra m itad va cam inando; en cam bio M aría, la m itad del tiem po que em plea lo h ace trotando, en tanto que la otra m itad del tiem po lo hace cam inando. Se sabe que entre ellas, la rapidez que em plean tan to trotando com o cam inando son igua les. ¿Cuál de ellas llega a n tes?

canzan la bolsa a l ca bo de 20 minutos. ¿Qué tiem po estuvo la bolsa flotan d o en el a gu a ? R e s o lu ció n :

Grafiquemos los espacios recorridos yex presemoscomoel productodelavelocidad porel tiempoempleado. Calculemoslarapidezdelasaguasdel río, seaVmlavelocidadqueproporcionael mo tory lavelocidaddelasaguasdel río. Ríoabajo: =70 ... (1) Ríoarriba: Vm-Va=50 ...(2) V

a

V

m

+

V

a

Seafi el tiempoquetranscurredesdeque labolsasecaehastaquelosdueñossedan cuentayt2 el tiempoenquealcanzanala bolsarío abajo

R e so lu ció n :

Essabidoquelavelocidadtrotandoesma yorquelavelocidadcaminando. Llegamásrápidolaquevatrotandomayor espacio, quienhaceestoesMaría Victoria

t d

t

Delgráfico: +10t2 =>t2~ tj =20 min Labolsaestuvoflotando: t2 + t¡ =40 min 70t2 = 50tl + 10tj

[Rpta.: 40 min )

d

Problema 9

María t

t

¿i [R pta.: M aría)

í Problema 8 Desde un bote qu e viaja río arriba a ra zón de 50 km/h se ca e al agua una bolsa herm éticam ente cerrada. Los dueños que se dan cuenta un tiem po después, dan la vuelta río abajo a razón de 70 kmlh y a l

Un hom bre que p u ed e nadar 0,8 kmlh d ecid e cru za r un río de 60 m etros de a n ch o y cu ya s a gu a s a va n za n a 3 kmlh. A l fren te divisa una única p la ya y dem asiada angosta donde arribar. ¿A cuántos m etros más arriba debe em p eza r a cru za r p a ra qu e a l lleg a r a la otra orilla dé exactam ente en la playa? R e s o lu ció n :

El tiempoquedemoreencruzaseráarras tradoporel río.


496 Se t el tiempo que demora en cruzar: 60 m

800 m xt 3600 s

t = 270 s

En 270 s, el río arrastra una distancia d : , 3000 m _ _ _ d = ---------- x270 s 3600 s

d = 225 m [Rpta.; 225 m ^

Problema 10 Se sabe que el relám pago se ve p rá cti cam ente en el m om ento en que ocu rre y el trueno se escucha unos segundos más tarde. M anuel, escu cha el trueno 4 se gundos después de ver el relám pago. ¿A qué d ista n cia o cu rrió e l fenóm eno?. Considerar la velocidad del sonido en el aire 330 mis. R esolución: La distancia es la que viaja el sonido desde que se ve el relámpago hasta que se escu cha el trueno y será el producto de su velo cidad por el tiempo empleado: , 330 m . d= x4 s

d =1320 m

c

Problema 11

Una p elota es arrojada hacia arriba y dem ora 6 segundos en regresar. Si se sabe que p o r efecto de la fuerza de gra vedad\ cuando sube, su velocidad dis minuye 10 mis en cada segundo, en tan to que m ientras baja, la velocidad au m enta tam bién en 10 mis en cada segun do, ¿con qué velocidad llega la p elota ? R esolu ción Cuando sube, su ve B/ -• locidad dism inuye p ro g re siv a m e n te hasta hacerse cero (en el punto B). A partir de allí inicia el descenso y su veloci dad aumenta progresivamente. ” Un segundo es 10 m/s; (hacia arriba) de ma nera análoga un segundo después de B su velocidad es 10 m/s (hacia abajo). Con esto podemos darnos cuenta de que el tiempo que utiliza en subir es igual a lo que utiliza en bajar, entonces, en subir demora 6^2 = 3 s y en bajar los otros 3 s. En B su velocidad es cero, de allí hasta llegar a C su velocidad aumenta en 3x10 = 30 m/s.

^ Rpta.: 1320 m j

^ Rpta.: 30 mis j

Problemas Provuestos 1. Dos móviles parten de un mismo p u n to siguiendo trayectorias rectilín ea s y p erp en d icu lares en tre sí con velo cidades de 6 mis y 8 mis. ¿D espués de cu á n to tiem p o esta rá n d ista n tes 640 m?.

A) 64 s D) 45 s

R) 32 s

C) 48 s E) 46 s

2. A l em itir un sonido escu ch o e l eco lu ego de a lgu n os segundos. Si-m e acerco 110 m a l muro, cuántos segun dos antes escu ch aré el eco (conside ra r velocidad d el sonido 340 mis).

A) l s

B) 2 s

C) 0,5 s


497

t

3. D esde un p orta v ion es q u e avanza h acia el Sur a 50 km/h despegan dos aviones de reconocim iento, uno al Sur y el otro al N orte, am bos a 900 kmlh respecto a tierra. Luego de una hora ambos aviones vuelven al mismo tiem p o a l p orta vion es. ¿C uántos km se han alejad o cada avión respecto al p u n to de partida, A) 450 km al Sur y 450 al Norte B) 450 km al Sur y 425 al Norte C) 475 km al Sur y 425 al Norte D) 475 km al Sur y 450 al Norte E) 450 km al Sur y 475 al Norte 4. Una p erson a que está esperando el óm nibus a l borde de una p ista recta, escucha el claxon de un au to y 31 se gundos m ás tarde éste p a sa p o r de lante de la p erson a a 30 mis. ¿Cuán tos m etros an tes de p a s a r to có el claxon el a u to ? (V*onido = 340 mis) A) 100 m D) 930 m

. B) 1010 m

C) 1020 m E) 960 m

5. Una p erson a p a ra d a a l borde de una pista ve a cerca rse una caravan a de autom óviles a 30 m etros p o r segun do. Los a u tom óviles vicyan ig u a l m ente separados uno del otro. Si la p erson a con tó 6 autom óviles en 20 segundos con tad os d el p rim ero a l sexto, ¿qué distancia separa en tre si a los autom óviles? A) 120 m D) 200 m

B) 150 m

C) 160 m E) 240 m

6. Dos nadadores se lanzan sim ultánea m ente de las orilla s opuestas de un río y se cruzan a 12 m de la orilla más próxim a. Tras llega r a sus destinos, regresan inm ediatam ente cruzándo se esta vez a S m d e la otra orilla. En cada m om ento ellos nadan con rapi

dez con stan te. ¿Será p osib le con es tos datos ca lcu la r el an cho d el r ío ? A) 18 m D) 30 m

B) 20 m

C) 24 m E)F. D.

7. Un ciclista va p o r una ca rretera con velocidad con stan te y observa que el p oste kilom étrico indica ab km. Lue go de una hora de recorrido, nota que el p oste kilom étrico indica ba km y una hora más tarde se en cu en tra en el kilóm etro aOb, ¿Cuál es la veloci dad del ciclista en km/h? A) 32 B) 30 C)40 D) 45 E)50 8. El ciclista A está ubicado exactam en te a 640 m a l N orte del ciclista B, El ciclista A corre h a cia el Sur a 4 mis, m ientras que B corre h acia e l Este a 5 .n/s, ¿A los cuántos m inutos, con ta dos a p a rtir d el m om ento descrito, estarán separados 500 m? A) 20 s B) 30 s C) 35 s D) 40 s E) 1 min 9. Una lín ea férrea cru za p erp en d icu larm ente una autopista m ediante un p u en te. Apenas el tren, que viaja a 30 kmlh, acababa de cruzar, pasa p or el p u en te un autom óvil a 72 km/h, ¿Luego de cuántas horas estarán se p a ra d os 195 km? A) 1 h D) 3 h

B) 2 h

C) 2,5 h E) 3,5 h

10. Un tren de pa sa jeros ahorraría, en un trayecto de 180 km, 40 m inutos de tiem po si aum entase su velocidad en 9 kmlh. ¿Cuántas horas recorre el tra yecto? A) 4 h D) 7 h

B) 5 h

C) 6 h E )8 h

498


11. Un tren que viaja a 60 kmlh tarda un m inuto atravesar un túnel de 800 m de longitud. ¿Cuál es la longitud de dicho tren ? A) 200 m D) 800 m

B) 400 m

C) 600 m E) 1000 m

12. A puede cam inar cierta distancia en 20 minutos y B p u ed e cam inar la mis ma distancia en 30 minutos. Si A p a r te 5 m inutos después qu e B, ¿cuánto tiem po cam ina éste hasta que lo a l can ce A? A ) 10 min D) 12 min

B) 15 min

C) 8 min E) 5 min

servándose qu e se cruzan cad a 21 se gundos, p ero si van en el m ism o sen tido se observa qu e uno alcan za a l o tro ca d a 4 m in u tos 33 segundos. H a lla r la m ayor velocidad. A) 24 m/s D) 32 m/s

B) 20 m/s

C) 28 m/s E) 31 m/s

16. L a figu ra m uestra una esfera de ra d io R qu e descansa sobre dos p la ta form as en form a de V con 60° d e aber tura. Si la s p la ta form a s se a bren h a sta form a r 120% ¿qué d ista n cia baja la esfera de su p osición origi n a l?

13. Un observador ve relam paguear un rayo sobre la cim a de un m onte, al cabo de n segundos escucha el trueno producido p o r dicho rayo. C alcular a qué distancia de la person a ha ca í do el rayo, si: c: velocidad de la luz (mis) v: velocidad del sonido (mis) cv A) n (c-v )

ncv B) c -v

n(c - v) D) cv

n C) c -v n(c + v) E) c -v

A)

D) 14. Un rem ero navega h a cia un lu gar que dista 48 m illas d el p u n to de p a r tida y regresa en 14 horas. Observa que puede rem ar 4 m illas siguiendo la corriente del río en el mismo tiem p o que 3 m illas en con tra de la co rriente. H allar la velocidad de la co rriente. A) 2 mill/h B) 1 mill/h D) 1,5 mill/h

C) 1,2 mill/h E) 1,6 mill/h

15. Se tiene un circu ito cerra d o de 1092 m. Dos corredores p a rten de un m is mo pu nto en sentidos con trarios ob

2R

B ) 2R^

R ( 6 - y¡3)

C) 2R(S + ^ )

E)

2 R ( i¡3 - 1 )

17. Esta p erson a qu iere m over la esfera de 84 cm de rad io a 2h t cm a la iz quierda del p u n to donde está ubica do. P ara ello utiliza una cuerda que p a sa p o r una p olea y uno de sus ex trem os sujeta a la esfera de una a r m ella ubicada a la misma altu ra del cen tro de la esfera. ¿Q ué altu ra se habrá elevado la arm ella cuando la esfera se haya m ovido la distancia requerida?

499


uno de ellos se malogró y una vez re anudado la marcha con la misma rapidez habitual, se encuentra con el otro 50 minutos después de la hora habitual. ¿Qué tiempo estuvo malo grado? A) 50 min D) 25 min

A) 42 cm D ) 84 cm

B) 42n cm

C) 42 -J2 cm E ) 21n cm

18. Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba con 30 mJs desde una plataforma elevada. Si se sabe que

mientras sube su velocidad dismi nuye 10 mis en cada segundo y mientras cae aumenta en la mis ma medida. ¿Con qué velocidad llegará al piso, si en todo demo ra 10 segundos?

^

B) 60 m/s

C) 70 m/s E) 100 m/s

19. Raquel se encuentra entre dos mon tañas A y B. Al sonar el claxon de su carro el eco enBlo escucha 4 segun dos después que el de A. ¿Cuántos metros debe acercarse hacia B para estar en el centro de ambas montamis. (Vsonido «s 340 mis) A) 340 m D ) 330 m

B) 170

C) 60 min E) 30 min

21, Dos corredores parten de un mismo punto de una pista circular en senti dos opuestos. Si uno puede dar la vuelta en 12 minutos y el otro en 15 minutos, ¿cada qué tiempo se encon trarán? A) 6 fnin 50 s C) 4 min 40 s E) 4 min 20 s

B) 6 min 20 s D) 6 min 40 s

. En un movimiento de caída libre la

i

A) 50 m/s D) 80 m/s

B) 100 min

C ) 165 m E ) 650 m

20, Dos ómnibus que marchan por la misma carretera en sentidos opues tos y con la misma rapidez se encuen tran siempre ala misma hora, Un día

longitud de cualquier tramo recorri do es igual al producto del tiempo empleado en dicho tramo por la semisuma de las velocidades en los extremos del tramo. Hallar el espa cio que recorre en el último segundo, un objeto que f demora 6 se gundos en caer libre mente, par tiendo del re poso. Tener en cuenta que la veloci dad se incre menta en 10 mis en cada segundo.

A ) 45 m D ) 55 m

B) 60 m

C) 65 m E ) 50 m


500 23. La figura muestra un sistema de poleas para que el hombre de la caja ascienda. Si las poleas, cables y caja pesan 30 kg9en tanto que el peso de la persona es 60 kg. Cuál es la fuerza con que debejalar para ascender con velocidad constante A) 30 kg D) 80 kg

B) 35 kg

C) 25 kg E) 45 kg

24. Un tren demora 24 segundos en pa sar delante de un semáforo. ¿Qué tiempo demorará en cruzarse con otro tren de la misma longitud y que mar cha con la misma velocidad? A) 48 s D) 24 s

B) 12 s

C) 16 s E) 18 s

25. Un bote de motor demora 1 hora en alcanzar una balsa de madera sin motor que salió 4 horas antes que el bote. Desde que lo alcanza, el bote demora 2 h en llegar a su destino. ¿Qué tiempo demorará la balsa en llegar al mismo destino? A) 10 h D) 20 h

B) 12 h

A) El punto A se mueve en el eje y B) El punto A oscila en la dirección y C) La barra se mantiene siempre horizontal D) Faltan datos

28. A y B son dos ruedas soldadas y concéntricas cuyos diámetros de uno es doble que del otro y tienen bordes rugosos. Tal como muestra el gráfi co, se encuentran en pleno contacto con las respectivas superficies. ¿Es pósible que timbas rueden por las res pectiva superficies en las que se en cuentran apoyadas?

C>bh E )6 h

26. Un helicóptero que vuela a 300 km/h despega de un aeropuerto llevando combustible para 6 horas. ¿Cuál es la máxima distancia que se puede alejar dicho helicóptero de modo que el combustible le sirva exacto para el viaje de ida y vuelta. A) 1200 km B) 1000 km C) 900 km D) 840 km É) 630 km A) Sí

27. La barra AB se encuentrá unida me diante un pasador giratorio al disco dentado C que gira tal como muestra el gráfico, siempre tangente al aguje ro dentado. ¿Qué ocurre con la barra ABt

B) No

C) F. D:

T> 29. Una plancha L se encuentran sobre una rueda especial (etgráfico mues tra los perfiles). Al desplazarse la plancha, la rueda gira, ¿qué ocurre con la plancha, oscila (sube y baja) mientras se deslizat


501

CLAVES DE Respuestas PÁGINA i t ; 3 484 - 485 A C B PÁGINA 489

w

6 D

“ 5 A E

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4 E

1 2 3 D E C

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•

4. No se moja, porque el agua no se derra ma. El hielo al derretirse reduce su vo lumen y ocupa sólo el espacio ocupado por el hielo hundido.

PROBLEMAS PROPUESTOS i

1 A

2 A

11 A A l

3 C

4 C

5 A

6 D

7

8

9

10

D

E

C

A

13 14 15 16 17? 18 19. 20 B B1 C D C C A A *

21 22 23 24 D D A D A

3. De noche. Por la rotación de la Tierra, en la noche uno se mueve en el mismo sentido que el movimiento de traslación de la Tierra.

26 27 28 C C B ¿'A-

Divertij os 1. Nunca. Porque los escalones suben jun to con la marea. 2. No lo atrapa. El gato sigue una trayec toria curva dirigiéndose siempre al ra tón.

5. M achihem brado in creíble


502 N e w to n

y en

1 6 6 4 , lo r e c o m e n d ó p a r a u n a b e c a d e

m a te m á t ic a s . G r a c ia s

a

la

in s tr u c c ió n

de B a rrow ,

t e n ía u n e x c e le n t e fu n d a m e n t o e n la g e o m e t r ía y la ó p t ic a . S e f a m ilia r iz ó c o n la g e o m e t r ía a lg e b r a ic a d e D e s c a r t e s : c o n o c ía la ó p t ic a d e K e p le r . y e s t u d ió la r e fr a c c ió n

d e la lu z , la c o n s tr u c c ió n

d e lo s t e le s c o

p io s y e l p u lim e n t o d e la s le n t e s . E n

1664 se cerró

p r o v is io n a lm e n t e la U n iv e r s id a d d e C a m b r id g e d e b id o a la g r a n p e s t e (b u b ó n ic a ), y N e w t o n W o o ls th o r p e , d o n d e p a s ó u n a ñ o y

v o lv ió a

m e d io , d u r a n t e

e s e tie m p o h iz o tr e s d e s u s g r a n d e s d e s c u b r im ie n to s c ie n tífic o s . E l p r im e r o fu e e l b in o m io d e N e w t o n y lo s e le m e n t o s d e l c á lc u lo d ife r e n c ia l, q u e lla m a b a flu x io n e s . P o c o d e s p u é s d ijo q u e “ h a b ía e n c o n tr a d o e l m é to d o in v e r s o d e la s flu x io n e s ", e s d e c ir , e l c á l c u lo in t e g r a l y e l m é t o d o p a r a c a lc u la r la s s u p e r f i c ie s e n c e r r a d a s e n c u r v a s c o m o la h ip é r b o le , y

lo s

v o lú m e n e s y d e lo s s ó lid o s . A ñ o s m á s t a r d e , c u a n d o s e p u b lic a r o n s u s h a lla z g o s , h u b o c ie r t a d u d a a c e r

S ir I s a a c N e w to n

c a d e s i e l m a te m á t ic o a le m á n L e ib n it z e r a c o n s id e ra d o

e l c r e a d o r d e l c á lc u lo

d ife r e n c ia l. A l

p arecer

N a c ió e n W o o ls th o r p e , L in c o ln s h ir e , In g la t e r r a a m b o s , in d e p e n d ie n te y c a s i s im u ltá n e a m e n t e , h i el 4 de E n ero, en 1643 D ifíc ilm e n te

c ie r o n e s t e n o t a b le d e s c u b r im ie n t o . S u s e g u n d o g r a n

p o d r ía

d e c ir s e

que

e l c a m in o

de

d e s c u b r im ie n t o s e r e la c io n ó c o n la T e o r ía d e la G r a

N e w t o n a la fa m a e s t a b a p r e d e te r m in a d o . S u n a c i

v it a c ió n . E l t e r c e r g r a n e s fu e r z o , c o r r e s p o n d ió a la

m ie n to fu e p r e m a tu r o , y d u r a n te a lg ú n t ie m p o p a

e s fe r a d e la ó p t ic a y la r e fr a c c ió n d e la lu z .

r e c ió q u e n o s o b r e v iv ir ía d e b id o a s u d e b ilid a d fís i ca . S u p a d r e m u r ió t r e s m e s e s a n t e s d e q u e n a c ie r a . C u a n d o N e w to n te n ía d o s a ñ o s d e e d a d , s u m a d r e v o lv ió a c a s a r s e , y e l n iñ o s e fiie a v i v i r c o n s u

abu e

la a u n a g r a n ja d e W o o ls th o r p e . F u e p r o b a b le m e n te a q u í, e n

u n d is tr ito

A

lo s 3 0 a ñ o s fu e e le g id o m ie m b r o d e la S o c ie

d a d R e a l d e L o n d r e s , q u e e r a e l m á s a lto h o n o r p a r a u n c ie n tífic o . P a r a c o r r e s p o n d e r a e s t e h o n o r , o b s e q u ió a la S o c ie d a d e l p r im e r te le s c o p io r e fle c t o r q u e m a n u fa c tu r ó .

d e In g la t e r r a , d o n d e a d q u ir ió N e w t o n v o lv ió a C a m b r id g e e n 1 6 6 7 p a r a a c e p

fa c u lta d e s d e m e d it a c ió n y c o n c e n tr a c ió n q u e m á s ta r d e le p e r m it ie r o n

a n a liz a r y

e n c o n tra r la

s o lu

t a r u n a p la z a

p e n s io n a d a q u e n o

ta r d a r ía e n

con

c ió n d e p r o b le m a s q u e d e s c o n c e r t a b a n a o t r o s c ie n

v e r t ir s e e n la d e p r o fe s o r d e m a te m á t ic a s , d u r a n te

tífic o s .

lo s s ig u ie n t e s 2 0 a ñ o s . E n

A lo s 1 2 a ñ o s , in g r e s ó e n l a E s c u e la d e l R e y , d o n

1664

H a lle y

u n jo v e n

a s tró n o m o v is itó

a

d e v iv ió c o n u n b o tic a r io lla m a d o C la r k , c u y a e s p o s a

N e w t o n , e l c u a l in s tó a N e w t o n a p u b lic a r s u s d e s

e r a a m ig a d e la m a d r e d e N e w t o n . P a s ó c u a tr o a ñ o s

c u b r im ie n t o s , e s t o h iz o q u e N e w t o n e n lo s s ig u ie n

e n e s e h o g a r, e n e l q u e s e d iv e r tía c o n s tru y e n d o to d a

te s d o s a ñ o s , e s c r ib ie r a lo q u e r e s u lt ó

c la s e d e m o lin o s d e v ie n t o , c a r r o s m e c á n ic o s , r e lo je s

pios m atem áticos de la filosofía natural * ,

d e a g u a y c o m e ta s . E n c o n tr ó u n d e s v á n lle n o d e l i

L a t ín , r ic o s

b r o s c ie n tíñ c o s q u e le e n c a n t a b a le e r , y to d a s u e r t e

e x a c titu d

d e s u s ta n c ia s q u ím ic a s .

d e n t e m e n t e r a r o s e n s u s c o n c lu s io n e s filo s ó fic a s , m a

en en

d e ta lle s , c o n la

g e o m e t r ía

p ru eb a s c lá s ic a ,

s e r * P rinci e s c r ito s e n

basadas y

con

so rp ren

t e m á tic a s y c ie n tífic a s . P o c o d e s p u é s d e la p u b lic a C u a n d o t e n ía d ie c is é is a ñ o s , m u r ió s u p a d r a s

c ió n d e e s t a g r a n o b r a e n 1 6 8 9 , N e w t o n fu e e le g id o

tr o , y v o lv ió a c a s a a fin d e a y u d a r a s u m a d r e e n la m ie m b r o d e l p a r la m e n t o p o r C a m b r id g e . C u a n d o s e a d m in is tr a c ió n N e w to n

de

su

p equ eñ a

n o s e n tía in c lin a c ió n

p r o p ie d a d ,

p ero

a la v id a d e l c a m p o .

P o r fin , s e d e c id ió q u e c o n t in u a r á s u c a r r e r a a c a d é m ic a

e

in g r e s ó

en

el

C o le g io

de

la

T r in id a d ,

de

C a m b r id g e .

tu d io s e n C a m b r id g e . P e r o t u v o l a a y u d a v a lio s a d e B a r r o w . d is t in g u id o qu edó

rra

en

1 7 0 1 , r e n u n c ió a s u c á t e d r a e n

p r o fe s o r

im p r e s io n a d o

con

de

m a te m á t ic a s .

la s

a p titu d e s

de

C a m b r id g e .

E n 1 7 0 3 fu e n o m b r a d o p r e s id e n t e d e la S o c ie d a d R e a l d e L o n d re s , c a rg o q u e ocu p ó d u ra n te e l re s to d e su v id a . E n

N e w t o n n o s e d is t in g u ió e n e l p r im e r a ñ o d e e s

B a rrow

le n o m b r ó d ir e c to r d e la c a s a d e m o n e d a d e In g la t e

1 7 0 5 le c o n c e d ió n o b le z a la R e in a A n a , y

fu e e l p r im e r c ie n tífic o q u e r e c ib ió e s t e h o n o r p o r su s ob ras. F a lle c ió e l 31 d e M a r z o 1 7 2 7 e n L o n d r e s , In g la te rra .

ELEMENTOS DE ESTADISTICA

INTRODUCCION La matemática sirve para cuantificar todo cuanto existe en la naturaleza; y sirvepara mucho más. En tre otras cosas para cuantificar el comportamiento de losfenómenos tanto en el tiempo como en el espa cio. Aquíes donde entra a tallar la rama de la mate mática que se conoce como estadística.

,

Aunque esta rama de la matemática es realmente ex tensa, en el presente texto veremos lo referente a dos temasfundamentales y en los que se basa la estadísti ca:por un lado la organización de datos incluido los gráficos estadísticos y por otro lado los estadígrafos decentralización también conocido comopromedios.

,

,

,

CONOCIMIENTOS PREVIOS - Teoría de conjuntos - Operaciones matemáticas fundamentales: adi ciónysustracción multiplicación división

,

,


504

12.1

previos

Para empezar vamos a exponer los conceptos de mayor uso dentro de esta rama de la matemática. En estadísti ca, un solo dato o el análisis del comportamiento de un solo individuo no tiene importancia, si no es parte de un todo. En consecuencia, se trata del estudio de conjuntos o grupos de diversa naturaleza que se denomina PO BLACION y cuya distribución se da en el tiempo, el es pacio o ambos. Pero en la mayoría de los casos no es posible hacer un estudio directo sobre la totalidad de la población, entonces se toma un subconjunto represen tativo que se denomina MUESTRA. Por ejemplo, si se quiere sondear sobre quién será el ganador en las elecciones nacionales, se hace una EN CUESTA entre un grupo de electores. En este caso la población es el total de electores a nivel nacional, en tanto que la m uestra es el grupo de personas encuestadas. El número de individuos que conforman la muestra se llama TAMAÑO de la misma. En los estudios se prefie re que el tamaño sea el máximo posible y lo más repre sentativo. Por otro lado, la característica que se quiera investigar se llama VARIABLE estadística. Ejemplos: V A R IA B L E

P O B L A C IO N

Para averiguar trabajadores de el ingreso de los construcción civil

La representatividad de la muestra Son muchas las razones por los que se trabaja con muestras y no con toda la población: pueda que esta sea demasiado grande, sea que la experiencia a realizar sea destructiva, etc. Una muestra correctamente ele gida tiene las mismas caracterís ticas que la población, para ello dicha elección debe ser aleatoria es decir, que cada individuo ten ga la misma probabilidad de es tar en la muestras. Los indivi duos de la muestra se debe esco ger al azar.

M U ESTRA

TAM AÑO

se encuesta a un grupo

de 100 trabajadores 20 años

Para estudiar la precipitación en una cuenca,

de todas las ocurridas

se toman las mediciones en un período de

Para averiguar la estatura

de los estudian tes de un colegio

se escoge al azar un grupo de

Cada valor que toma la variable estudiada se llama DATO. Por ejemplo, si averiguamos los ingresos, ésta es la variable y los datos podrían ser: 400 soles, 500 so les, etc. Las variables pueden ser cualitativas: el voto por un candidato, el color de ojos, la preferencia por una bebi da; en estas variables los datos no son cantidades. Por otro lado, los datos pueden ser cuantitativos, en este caso cada dato que se obtiene es una cantidad.

40 estudiantes

Variable discreta y conti nua Los datos cuantitativos se puede sub dividir en discretas y conti nuas. Las discretas son las que toman valores numéricos enteros como el número de hermanos, número de animales número de puestos de trabajo, etc.

,

CONTINÚA

505

Elementos de Estadística Por último, la variable, como su nombre lo indica, pue de tomar diferentes valores, es decir, no todo los datos tienen un mismo valor, pero sí, un grupo de datos pue den tener un mismo valor. La cantidad de datos que tienen un mismo valor o que pertenecen a un determi nado intervalo, se llama FRECUENCIA.

VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR

Las continuas son las que to man valores numérico decima les o por lo menos, sus valores aproximados son números de cimales, como la estatura, el peso, la velocidad, índices, etc.

-

12.2 Organización de datos y gráficos es A . D ia g ra m a d e b a rra s

Los dueños de un mercado han realizado una encuesta sobre la preferencia que tiene la gente sobre las bebidas gaseosas: A, B, C y D. La encuesta se hizo sobre 40 per sonas. El resultado se muestra a la derecha. En el cuadro, los datos tal como están no nos dice mu cho, por lo tanto, lo organizamos en una distribución de frecuencias. Si bien, aquí los datos están organizados, pero a simple vista es poco lo que expresa. Si a este cua dro lo llevamos a un diagrama de barras, la cosa es más expresivo. En este diagrama podemos darnos cuenta a simple vista que la mayoría de personas prefieren la bebida B. Supongamos que los dueños de una distribuidora pro yectan vender 10 000 unidades de bebidas, ¿cuánto de cada uno deben pedir a los proveedores? Para dar respuesta a esto, calculamos los porcentajes de preferencias por cada una de las bebidas, teniendo en cuenta que el 100% equivale al tamaño de la mues tra que es 40. Así tenemos la distribución de frecuen cias relativas. Aplicando estos porcentajes a 10 000 ten dremos la cantidad de unidades a pedir. Bebidas Unidades

A

B

C

D

Total

1750

3750

2500

2000

10000

B . D ia g ra m a s d e s e c to r e s

En una cuenca se ha inventariado todo el terreno, obteniéndose los datos que se muestran en el siguiente cuadro. Podríamos mostrar gráficamente mediante un diagra

C A C B C

B D C B D

D B B D B

B A B A B

C B C B C

C D A D A

A B C B B

B C D D A

Resultdos de la encuesta

B e b id a s

A

B

C

D

F r e c u e n c ia

7

15

10

8

F r . r e la t.(% )

1 7 ,5

3 7 ,5

2 5 ,0

2 0 ,0

Distribución de frecuencias


506 ma de barras; pero para este tipo de información amerita mejor un diagrama de sectores que consiste en dividir un círculo en sectores, de modo que cada sector corres pondiente a un tipo de terreno, tenga un ángulo propor cional a su frecuencia (área).

T ipo Agricultura Reforestación Pasturas Bosque Nevado

51200 25600 32000 12800 6400

Total

128000

A rea 128000 81200 25600 32000 12800 6400 Mediante este diagrama, se visualiza el tamaño de las partes relacionados con el todo. Por ejemplo, podemos ver que el mayor área de la cuenca son terrenos dedica dos a la agricultura, en cambio, una pequeña parte se encuentra cubierto por nieve.

A rea (ha)

A ngulo —> » —¥ —> —> —>

—

360° 144° 72° 90° 36° 18°

Aquf se muestra el resulta do del cálculo de los ángulos correspondientes a cada sec tor mediante regla de tres: Ejemplos

[ Problema 1 ] R ealizar la distribución de frecu en cias, distribu ción de frecu en cia s relativas, diagram a de barras y diagram a dé sectores p a ra los datos que se p re sentan a continuación,, sobre el núm ero de hijos que tienen cada p a reja encuestada en una loca li dad. 2

6

0

1

3

3

2 1

6 3

2 2

6 4

3 2

1

5

2

4

1

4

2

2

5 4

2

3

2

1

3

5

2

6 1

1 4

4 3

3 5

2 2

5 1

2 5

3

4 0

R esolución A continuación se distribuye los datos, según sus res pectivos valores. Esta tabla se denomina tabla de dis tribución de frecuencias.

128000 51200

-> ->

360° x

360°x51200 X” 12800 x = 144°

TIPOS DE FRECUENCIA F recu en cia absoluta O sim plem ente frecu en cia , es la cantidad de datos con un mismo valor o que pertenecen a un mismo intervalo. F recu en cia acum ulada La frecuencia acumulada co rrespondiente a un dato o in tervalo es la suma de las freContinúa

Elementos de Estadística N

úm ero

M

arcas

F

r e c u e n c ia

507 F

r e c u e n c ia

F

re

.

ABSOLUTA

R E L A T IV A

0,04

4

WJr w w jr

2 8

0,16

16

14

0,28

28

4

w/

9 7

5

m/ jr

6

0,18 0,14 0,12

18 14 12 8

| Total

50

0,08 1,00

D E H IJ O S

0 1 2

✓

3

6

4

EN

r e la t

.

(% )

100

VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR

cuencias anteriores incluido la que corresponde al dato. F recu en cia R elativa Es el valor de la frecuencia ab soluta devidida entre el núme ro de datos. F recu en cia relativa acum ulada Es el valor de la frecuencia acu mulada devidida entre el nú mero de datos. Cualquiera de las frecuencias relativas puede expresarse en porcentajes.

15-

oSio a u t» u .

k.

5-

LE0

1 2 3 4

5

N ú m e r o d e hijos

C. H istogram a Hasta ahora hemos visto variables cuyos valores varían en un rango pequeño; no siempre ocurre así, como vere mos a continuación donde la tabla indica las estaturas en cm, medidas en una muestra de 100 estudiantes . 170 151 167 154 157 181 182 158 175 159 160 166 160 163 164 164 170 168 171 152 162 161 153 163 164 160 1 /5 168 162 159 171 168 1^1 153 162 163 171 180 l i < %

150 152 160 172 164 151 148 153 162 166 165 lyÍ3 159 160 152 162 170 168 167 159 148 149 153 154 164 172 168 174 166 160 150 151 1^8 1^2 155 166 170 173 154 155 162 171 160 169 179 168 157 166 172 169 160 161 152 148 156 14|á 171 168 149 156

50 2 8 14 9 7 6 4

—> -> > » —> -> —>

— —

360,0° 14,4° 57,6° 100,8° 64,8° 50,4° 43,2° 28,8°

508


La primera observación es que no podemos trabajar con las frecuencias con que se da cada dato por haber dema siados datos diferentes, más bien, vamos a agrupar los datos en intervalos, de modo que la frecuencia absoluta será la cantidad de datos que pertenece a cada interva lo. Para esto existe de manera convencional el siguien te método.

F recu en cia rela tiva y p rob a bilidad. En el ejemplo del número de hi jo s, Si tomamos una pareja, iCuál es la probabilidad de que tenga 4 hijos? Para dar respues ta nos fijamos en su frecuencia re lativa: 0,14

1. R ango (R)z La diferencia entre los datos de máximo y mínimo valor, en este caso: R = 182 - 142 = 40. 2. Núm ero de intervalos (¿): La fórmula de Sturges sugiere k = 1 + 3,332 log (ti), donde n es el número de datos. En este caso k = 1 + 3,332x2 = 7,66, esto lo aproximamos al número entero 8, entonces k = 8. 3. Tamaño del in tervalo (c): c =

R

40

k

8

Pftener 4 hijos) =0,24 La frecuencia relativa acumula da sirve para calcular la proba bilidad de que tenga más de una determinada cantidad de hijos o menos de dicha cantidad.

=5

4. M arca de clase (M): Es el promedio entre los valo res extremos de cada intervalo. D is t r ib u c ió n d e f r e c u e n c ia s I n tervalos A

M arcas

F r e c u e n c ia abso lu ta

# /

F secu ek cu

M

F r e c u e n c ia

F rec relat,

acubl

ACU M .

r e l a t iv a

7

0,07

144,5

7

0,07

11 15

0,11 0,15

149,5 154,5

18 33

0,18

[152; 157)

WW/ WWW

0,33

[157; 162)

WWW*

18

0,18

159,5

51

0,51

[162; 167) [167; 172)

wwww wwww

19 20

0,19

164,5

70

0,20

169,5

[172; 177)

w/ w

6

0,06

174,5

90 96

0,70 0,90

4

0,04

179,5

100

[142; 147) [147; 152)

[177; 1821

0,96 1,00

20 Ahora vamos a expresar gráficamente el re sultado obtenido Un histograma también está formado por rectángulo de altura igual a la frecuencia, con la diferencia de que el ancho de sus ba ses son iguales al tamaño del intervalo y es tán ubicados uno a continuación de otro, es decir, cada rectángulo tiene un ancho de base igual al tamaño del intervalo. La marca de clase se coloca debajo de cada retángulo.

15

2 » o a o

/

•■«5'

.

»

5

• -

.4

•

•w

.■ * '

*

i*

-*•

*

»• •

^

' *

142

147

152

157

162

167

H IST O G R A M A

172

177

•

182

509

Elementos de Estadística D. P olígonos de frecu en cia En lugar de los histogramas, podemos graficar m edian-20 te una poligonal abierta que une los puntos medios de 15 los lados superiores de los rectángulos que conforman el histograma. Otro uso que se puede dar al polígono de 10 frecuencia es para graficar tomando las frecuencias re 5 lativas acumulativas. (Poligonal acumulada). En este gráfico podemos ver el porcentaje de estudiantes con estatura por encima o por debqjo de una determinada medida. Por ejemplo el 51% de los estudiantes tienen una estatura menor a 159,5 cm.

f* Problema 2 ] ' ' '

1----- 1------1------i------ 1— '— i----- r

i

144,6 149,5 154,6 159,5 164,5 169,5

174,5 178,6

20

A continuación se p resen ta n datos sobre la ca n tidad de turistas que visitaron a una localid ad cer cana a unas ruinas a rqu eológica s. 10 Año 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 Turistas

540

700

800

1200 1450 1650

i "r ‘— i—

?

144.6

149,8

-------- 1— — i— —i ------r

164,5 169,6

164,6 169.6 174¿

179,6

•

i Cuántos turistas se espera que visiten el año 2002? R esolución Vamos a realizar el gráfico del polígono de frecuencias de los datos, tal como están y la poligonal acumulada. Cuadro de resultados para la poligonal acumulada: Año 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 Turistas

540

1240 2040 3240 4690 6340

•

6000

2000

1000

1996

?

3000

1997

1998

1999

21

2001

2002

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

Si prolongamos el polígono de frecuencias, lo que corresponde al año 2002 es 1820. Si prolon gamos la poligonal acumulada, lo que corresponde al 2002 es 8170, y 8170 - 6340 es igual a 1830. De ambos resultados se deduce que los visitantes para el año 2002 serán 1825.


510

12.3 Parúm«trQs estadísticos o estadígrafos. Medidas de centralización Todos hemoe pasado por las aulas de secundaria; el maestro toma varias evaluaciones durante el año, de modo que uno obtiene un conjunto de "notas"; pero al final, el m aestro saca una sola nota, la cual si es m ayor que 10 significa aprobado y si es m enor que 11 significa desaprobado. Esta única nota representa a todas las ob tenidas durante el año y se llam a PROM EDIO FINAL. En estadística, a un conjunto de datos, principalm ente numéricos, se le puede hacer representar con uno sólo, como su si caso de las notas por el prom edio final, este único dato representativo tiene diferentes denom inacio nes.

Ejercicios Hallar el promedio final (pf) de cada uno de los cursos y el pro medio de notas de los 9 cursos (PF) C u r so s

N

otas

2# 3 • 4 • P f 12 14 15 12 I*

Comunica.

A . Media o promedio aritmético Os).

Idioma Ext.

Es uno de los parám etros estadísticos de m ayor uso y más conocido aplicable a variables cuantitativas

Matemática t. a .

10 16 16 18 12 15 14 12

Sumaéoria de todo ¡os datos Media m Número de datos

Cieñe. Soc.

12 15 12 12

EdL Física Ed. Relig.

15 14 16 12 12 14 15 16

G .P .P .y E .

15 16 14 15

Por ejemplo, si las netas obtenidas por un alum no du rante el año son: 12; 14; 16 y 16, el prom edio es.

12+14+16+16

™ -----------

* 14,5 * 1 5

Cuando los datos están distribuidos en una tabla de fre cuendas: veam os los datos del problem a 1:

N úmsbo Fncimcxa <*> iF> 0 2 1 6 14 2 3 9

Arte c.

Cuando se menciona la pala bra media, se refiere a la me dia aritmética. Para mencionar los otros esta-d(grafos se espe cifica su nombre.

Temperatura media

xxF

0 8 28 27 28 30

4 5 6

7 6 4

24

Suma

50

146

15 14 12 14 14 16 15 16

Calcular ¿a temperatura media mensual para el mes de enero, de acuerdo a las temperaturas promedio diarias que se dan a continuación: 15 18 17 19

15 16 17 17 18

15 16 17 18 19

16 16 16 18 18

15 17 16 19

16 18 15 19

17 17 16 18

Elementos de Estadística

511

A cada valor del dato (número de hijos) multipli camos por su respectiva frecuencia. Estos resul tados se suman, en este caso la suma es 145, lue go esto lo dividimos entre el número de datos, 50; en consecuencia: 145 Jo

—

-

" > '2 . 9 - 3

Las parejas tiene en promedio 3 hijos. Este resultado es un dato que identifica o resume las características de las parejas encuestadas y podría servir para hacer comparaciones, para ha cer cálculos de cantidad de provisiones, etc. Por otro lado, cuando los datos son agrupados en intervalos, para cada intervalo multiplicamos la marca de clase por la frecuencia. En el ejemplo de las estaturas tenemos: Intervalos

F rec.

(F)

M

MxF

[142; 147) [147; 152)

7

144,5

1011,5

11

149,5

1644,5

[152; 157) [157; 162)

15 18

154,5 159,5

2317,5 2871,0

[162; 167) [167; 172)

19 20

164,5 169,5

[172; 177)

6

174,5

3125,5 3390,5 1047,5

[177; 182]

4

179,5

718,0

Suma m=

100 16125

16125,0

=> m=161,25

Los alumnos tienen una estatura promedio de 161,25 cm. B. M edia ponderada (mp) Es parecido al cálculo de la medida de los datos distri buidos en una tabla de frecuencias. En este caso, a cada valor de la variable en lugar de multiplicar por su res pectiva frecuencia, se multiplica por un “peso” determi nado de acuerdo a algún criterio. Supongamos que durante un ciclo semestral de la uní-

Ejercicio A continuación se da los pesos en kg de 50 pacientes que acu dieron a una posta médica. Ha llar el peso promedio de estos pacientes que son una muestra de la población aledaña a la posta: 54 62 66 56 56 56 55 62 62 61

55 61 54 58 54 58 52 63 54 60

52 60 58 57 52 57 53 60 52 59

56 62 57 52 53 54 51 52 56 58

58 65 54 54 54 56 58 50 53, 57

Grado de aproxim ación Si sumamos todo los datos de las 100 estaturas se obtiene 16074, que dividida entre 100 da 160,74. Este resultado es la medida de las 100 estaturas

.

La medida que hemos calculado agrupando los datos es 161,25. La diferencia entre estos dos re sultados es mínima. Si bien es cierto que 160,74 es la más exac ta, pero su cálculo es un proceso demasiado engorroso por lo que para datos muy numerosos se opta por la media obtenida por la agrupación de datos

.


512 versidad el profesor toma una práctica calificada un exa men de medio curso y un examen final de todo el curso. Por experiencia se sabe que el esfuerzo que se realiza en una práctica calificada es aproximadamente la mitad de lo que se realiza en un examen de medio curso; a su vez, el examen final representa un doble esfuerzo con respecto al de medio curso. En consecuencia, los respec tivos “pesos” de las notas serían: P ráctica M dio cursoE x. final Notas P esos

18 0,5

08 1

16 2

Estos pesos intervienen en lugar de las frecuencias, por lo tanto:

mP

18x0,5 +8 x 1 + 1 6 x2 0,5+1+2

^

m = 14

[ Problema 3 ] El dueño de una h acienda desea vender su fin ca y requiere saber cu á l es el costo prom edio p o r uni dad de área (en ha). P ara ello con tra ta unos tasa dores quienes a l fin a l de su trabajo le entregan el siguiente cu adro de datos.

Ejercióos H allar el prom edio de las siguentes notas de acuerdo a su respectivos pesos Notas

12

10

14

Pesos

0,5

1

2

Notas

14

11

12

Pesos

0,5

1

0,5

Notas

16

15

18

Pesos

1

2

2

Notas

17

19

12

Pesos

0,5 0,3 0,2

Prom

Prom

Prom

Prom

A continuación se da la talla promedio (T. P.)y el número de estudiantes (N) de diferentes aulas. Hallar la talla prome dio de todo los estudiantes N.

25

30

28

42

40

T.P. 1,52 1,53 1,51 1,54 1,52

T ipo de terreno A rea (ha) P recio p or ha en m iles de dólares I II III IV

40 60 20 5

20 16 10 6

¿Cuál será el p recio prom ed io p o r ha de la fin c a ? R esolución La variable es el precio por hectárea y los pesos son las respectivas áreas, en consecuencia: 40x20+60x16+20x10+5x6 mP= 40+60+20+5

=> ™P = 15>92

¡Rpta.: 15920 dólares p o r fea]

Un campesino dejó como heren cia a sus tres hijos sus anima les cuyas cantidades (x) y cos tos unitarios en soles (Cu) se dan a continuación: x Cu Carneros 28 60 Caprinos 20 60 Cerdos 10 120 Los tres herm anos deben repartirse equitativam ente toda la fortuna. Si a uno de ellos le toca 15 carneros, al otro 10 caprinos y al tercero 4 cer dos, ¿cuántos y cuáles son los demás animales que le toca a cada uno?

513

Elementos de Estadística C. M ediana (me) Es un estadígrafo de datos cuantitativos que divide a los mismos en dos grupos de aproximadamente de igual tamaño. Los valores del primer grupo serán menores o iguales a me en tanto que los valores del otro grupo son mayores o iguales a me. Como ejemplo se tiene, a conti nuación, la cantidad dé frutos de una muestra de 13 árboles:

En el ejemplo de los frutos de los árboles, la mitad de dichos árboles tienen menos de 58 fru tos y la otra mitad tienen más de 58 frutos.

50 45 76 62 52 56 70 64 58 47 51 63 77 Para calcular la mediana, ordenamos los datos de me nor a mayor: 45 47 50 51 52 56 58 62 63 64 70 76 77 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

El dato que ocupa el lugar central es el dato número 7 cuyo valor es 58, entonces me = 58. En el cálculo de la mediana puede ocurrir muchos ca sos: el número de datos sea par, en tal caso, la mediana será la semisuma de los dos datos centrales <3> o que yarios datos tengan al mismo valor que la mediana, en este caso, no altera en nada el valor que se calcule.(^)

O 1 2 3 4 5 6 7 8 10 20 30 45 50 50 60

75

Tomando los datos de lugar 4 y 5 que vienen a ser 45 y 50, tenemos: 45+50 me = ----------

2

[m e = 47,5) La mediana en los datos d istribu id os en una tabla de frecuencias, es aquel en el que la frecuencia acumu lada supera por primera vez el 50% del total de datos.

N otas de 4 0 alu m n os N otas

F rec .

F. ACUM

12

3

3

13

5

8

14

9

15

T

alla de pan talones

VENDIDOS EN UNA TIENDA

F

ACUM

T allas

F rec.

17

24 26

8 14

8 22

11

28

28

21

43

16

7

35

17

4

39

18

1

40

30 32 34

10 5 2

53 58 60

Aquí el 50%signiñca20, estosesuperacuandola frecuenciaacumuladaes 28:me - 15

+

El50%es60-5-2=30, el primer valordeFrec. Acum.mayorde 30es43, estocorrespondeala talla28:me - 28

1 2 3 0,3 0,4 0,5

5 6 7 0,5 0,7 0,9

En este caso la mediana es el valor que ocupa el lugar 4, es decir: [ me = 0,5 ]

514


Para datos agrupados en in tervalos la mediana se puede calcular de dos maneras: Una aproximada, don de la mediana viene a ser la marca de clase del interva lo donde la frecuencia acumulada supera por primera vez eí 50% del número de datos. Y la otra más exacta, con fa siguiente fórmula:

In tervalo m ediano. El intervalo mediano como ya se indicó, es aquel donde la fre cuencia acumulada supera por vez primera al 50% del total de datos.

0 ,5 n -F a me =L i + c fm Li: límite inferior del intervalo mediano; c: tamaño del intervalo; n: número de datos; Fa: frecuencia acumula da correspondiente al intervalo inmediato anterior al intervalo mediano; y fm: frecuencia del intervalo me diano. Como ejemplo, se presenta (a la derecha) una tabla de frecuencias donde se encuentran distribuidos los suel dos en dólares que perciben los trabajadores de una fá brica. £1 intervalo mediano es [240; 280), entonces un primer valor aproximado de la mediana sería $ 260. Si queremos un valor más exacto: Li = 240; 0,5n = 25; fm = 10; Fa =17. Por lo tanto: me =240 +40

0 ,5 x 5 0 -1 7

10

Como ejemplo, a continuación se presenta el color pre dominante de la ropa de 50 mujeres. Blanco Marrón Azul

Verde

22

5

15

f

Fa

[120; 160)

140

2

2

[160; 200) [200; 240)

180 220

6

8

9

17

[[240; 280)

260

10

27

[280; 320) [320; 360) [360; 400) [400; 440]

300 340 380 420

8 7 5 3

35 42 47 50

6

|

>

Ejercido

Este estadígrafo es aplicable tanto a variables cuantita tivas como a las variables cualitativas. Se deñne como el valor del dato que más se repite, es decir, es el valor del dato de mayor frecuencia.

2

M

*27 2

D. M oda (mo)

Frec.

Intervalos

c = 40;

Esto significa que el 50% de los trabajadores perciben menos de $ 251,85 en tanto que el otro 50% percibe más de $251,85.

Color Amarillo

r

Se ha hecho una encuesta so bre la preferencia por las bebi das A, B, C, D, y E. El resulta do se presenta en la tabla si guíente: B A D C C C E B D E

D B A A D B D A C A

A C C D C C E E D D

E E C B A B D B D B

B B D B C C E C D D

C E A B D D B D D B


515

En este caso el dato de mayor frecuencia es marrón, éste es la moda para este conjunto de datos. Este estadígrafo tiene un uso más adecuado para variables cualitativas ya que no depende del valor de los flatos. Para datos distribu idos en una tabla de frecu en cias, la moda, como ya se indicó, es aquel valor del dato con mayor frecuencia. Para datos agrupado en intervalos, lá moda es aproxi madamente igual a la marca de clase del intervalo de mayor frecuencia (ver el cuadro de la derecha).

In tervalo m odal Es el intervalo cuya frecuencia es el mayor de todos los demás.

M

In tervalos

F

rec

[1 3 0 ; 1 3 5 )

1 3 2 ,5

5

[1 3 5 ; 1 4 0 )

1 3 7 ,5

6

[1 4 5 ; 1 5 0 )

1 4 7 .5

8

[1 5 0 ; 1 5 5 )

1 5 2 .5

7

[1 5 5 ; 1 6 0 )

1 5 7 .5

7

(1 6 5 ; 1 6 5 )

1 6 2 .5

6

Una forma más exacta se calcula del siguiente modo: f(+/)

mo = Li + c

f(+D+f(-D Donde Li: límite inferior del intervalo modal; f(1> es la frecuencia del intervalo inmediato anterior; f(+I) es la fre cuencia del intervalo inmediato siguiente del intervalo modal. Si usamos esta fórmula, fM) - 8, f } = 6, por lo tanto: m o= 140+5

8

[mo = 142,5 ]

mo = 142,86

Vemos que casi no hay una diferencia considerable en tre ambos valores, solamente que uno es un poco más exacto que el otro. E. La m edia geom étrica (m g) Se utiliza para datos cuya variación es geométrica, como son las tasas de incremento, razones geométricas, etc. Supongamos que en una fábrica, los incrementos de la ganancia de año a año son tal como se muestra en el cuadro. 96 a 97

97 a 98

98 a 99

99 a 00

00 a 01

20%

25%

50%

40%

75%

El incremento promedio durante los 5 años es el siguien te: mg = ^ 2 0 x2 5 x5 0 x4 0 x7 5 mg = 37,58%

La moda es aproximada mente igual a la marca de clase del intervalo cuya fre cuencia es 11:

M edia G eom étrica Si los datos que ameritan calcular una media geo métrica tienen frecuencias o diferentes pesos, tal como sigue. Datos Frec.

X1 X2 f¡ f2 -

fn

mg sz.yjxfy x x § x.. x x f


516 En resumen, dado un conjunto de datos, la media geométrica: mg =yjxj x x 2 x x 3...x x n

I

F. M ed ia a rm ó n ica (mh)

Este tipo de media se utiliza para variables que son el resultado de la relación de magnitudes, como la veloci dad, eficiencia, etc.

Ejercicios Dado los siguientes datos: 6; 10 y 15, hallar su media aritméti ca media geométrica y media armónica. ¿Cuál de ellas es mayor?

,

Sabemos que la velocidad (i>) es igual al cociente del espacio recorrido (e) entre el tiempo empleado (t).

.

e e v = — =*t = — t v

,

Supongamos que un viajero hace tres jomadas de 40 km cada uno. El primer trayecto cubre a 10 km/h, el siguiente a 8 km/h y el último a 4 km/h Vj = 10 km/h

40 km

40 km

40 t2 = — = 5 h 2 8

40 t3 —lOh 3 4

=— —

4+

El tiempo que utiliza es 5 + 10 = 19 h. Como recorre 120 km en 19 h> la velocidad que ha empleado en hacer todo el recorrido es

Sea mh la velocidad promedio utilizado en cubrir los tres tramos, que equivale haber recorrido los 120 km a la velocidad de mh, en consecuencia su valor equivale al espacio recorrido (120 km) entre el tiempo total emplea do:

=

Un automóvil va desde el pun to A a al punto B a razón de 20 km fh, y de B regresa a A a razón de 30 km/h. ¿Cuál es la velocidad promedio que ha em pleado en hacer todo el recorri do?

^m eg^Qeg ja v e io ^ a d prome19 h

dio que representa a las tres. ¿Cómo calcular esta velo cidad media a partir directamente de las velocidades parciales?

mh

,

v2 = 8 km/hv3 - 4 km/h

40 km 40 t,= — = 4h 2 10

Dado dos datos numéricos di ferentes y positivos ¿cuál de las medias es mayor: la aritméti ca la geométrica o la armóni ca?

120

120

t , + t 2 +t3 ÜL+Í2.+1910

8

4

Un recipiente tiene 28 litros de alcohol y otro recipiente 42 li tros de agua. De ambos reci pientes se extrae la misma can tidad de líquido y lo que se sacó de uno se vierte en el otro y vi ceversad e modo que en ambos recipientes se obtiene mezclas con la misma concentración al cohólica. ¿Cuántos litros se ha intercambiado y cuál es la con centración de ambas mezclas?


y—

i

517

Simplificando 40: mh =

1 1 1 + —+ — 10 8 4

120 kmíh 19

M edia arm ónica ponderada

En conclusión, dado un conjunto de datos n

y

Datos

Xj X2 •** Xti

Frec.

fl f2 ~ L

la media armónica es:

Problemas 1. Dado el siguiente diagram a d e 6arras:

A) 12,8 D) 14,5

B) 12,61

C) 12,71 E) 13,72

3. ¿C uánto es el valor de la mediana'? A) 18

B) B

C )C

D) D

C) 14

D) 12

E) 11

4. ¿C uánto es la m oda? A) 18 B) 17 C) 12 D) 11

E) 10

5. ¿C uál es el núm ero de estudiantes desaprobados? A) 6 B) 15 C) 16 D) 12 E) 14

H allar la m oda A) A

B) 13

E) E

El siguiente con jun to de datos m ues tra las ca lifica cion es obtenidas p o r un grupo de alum nos. 12

13

11

15

12

16

10

12

11

12

9

13

10

12

11

12

10

13

9

12

15

8

16

14

12

10

14

12

15

16

10

12

11

13

15

11

16

13

11

8

15

11

13

14

13

11

14

16

16

11

12

13

17

12

14

11

16

12

9

10

15

8

16

11

12

16

14

17

9

15

17

12

9

12

15

12

16

12

17

15

2. A l h a cer una tabla de frecu encias, ¿Cuál es la m edia?

6. ¿C u á n tos alu m n os o b tu v iero n la m áxim a nota? A) 17

B) 14

C )4

D) 6

E) 3

7. Se hace un diagram a de sectores ¿qué ángulo le corresponde a l gru po de es tudiantes que han obtenido 15? A) 41,5° D) 42,5°

B) 54,5°

0 40,5a E) 50,5°

En qu ím ica S€ mide ia a cid ez me diante el p oten cia l de hidrógeno

518


(PH) el cu á l varía de O a 14. A con ti nuación se p resen ta el P H m edida en 100 m uestras de sustancias.

7,10 7,15 7,46 7,15 7,30 6,58 7,40 7,44 7,17 7,43 7,16 7,09 7,49 7,23 7,06 7,27 6,57 6,55 6,67 7,48 7,29 6,75 7,10 7,43 7,20 7,49 6,53 6,61 6,72 7,39 6,91 6,72 7,32 6,95 6,60 7,34 7,04 6,61 7,05 6,81 6,86 6,99 7,13 6,78 6,79 7,13 7,27 6,98 7,14 6,57 6,67 7,43 7,38 6,70 7,19 6,62 6,93 6,92 7,18 6,89 6,88 7,24 6,77 6,99 7,48 6,73 7,16 6,85 6,87 7,02 6,54 6,96 7,28 6,55 7,49 6,67 6,76 7,35 7,24 6,90 7,09 6,97 6,99 6,92 6,80 6,58 7,18 6,86 6,82 6,63 6,80 6,56 7,43 6,82 6,58 7,02 7,42 7,22 7,15 6,85 O rganizar el con ju n to de datos en intervalos usando e l m étodo d escri to. 8. El rango, del con ju n to de datos es: A) 0,83 D) 1,23

B )0,93

0 0,90 E) 1,06

9. El núm ero de intervalos es: A) 6

B) 7

0 8

D) 9

E) 10

10. El tam año de cad a in terva lo es: A) 0,10 D) 0,12

B) 0,8

0 0,16 E) 0,2

11. ¿Cuál es el in tervalo m ediano? D ar com o respuesta su extrem o in ferior A) 6,53 D) 6,89

B) 6,65

0 6,77 E) 7,01

12. ¿Cuánto es la m ed ia? A) 7,05 D) 7,10

B) 7,11

O 7,15 E) 7,01

13. ¿Cuál es la d iferen cia m ás exa cta entre la m oda y la m ediana? A) 0,15 D) 0,18

B) 0,16

O 0,17 E) 0,19

14. Un contratista ha registrado sus ob servaciones sobre el avance diario en la con stru cción de paredes. Los da tos se p resen tan en la siguiente ta b la

Obreros 15 11 12 14 10 15 12 13 12 10 Area 31 20 25 27 21 28 23 26 26 19 A hora tiene un co n tro lo p a ra h a cer una p a red de 180 m d e largo y 2,5 m de a ltu r a Si le dan p la zo p a ra que lo construya en 20 días, ¿qué ca n ti dad d e obreros debe con tratar? A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

15. Un fa b rica n te de p a n ta lon es, ha m andado rea liza r una en cu esta a los com pradores sobre el núm eros de sus m edidas. Los datos recabados se representan en el siguiente cuadro.

38 32 34 32 36 28 38 32 36 30 40 34 30 34 28 30 32 34 30 32 28 34 30 42 32 34 36 32 26 40 26 34 36 32 34 32 36 28 30 38 30 32 34 30 40 28 30 36 32 38 36 30 34 42 28 36 32 38 34 32 Si tien e p ro y ecta d o fa b r ic a r 4500 pantalon es, ¿cuánto debe ser del nú m ero 32? A) 800 B) 750 C) 950 D) 875 E) 975 16. En una fá brica el sueldo m edio de los 25 obreros es 160 dólares. El suel do medio, incluyendo los 4 directivos, es 210 dólares. ¿Cuál es el sueldo me d io de los 4 d irectivos (en dólares)? A) 423 D) 540

B) 522,5

C) 479,5 E) 622,5

17. En base a l p olígon o de frecuencias, h a lla r la m ed ia y m ed ian a . D a r com o respuesta la suma de los dos


519

estadígrafos.

A) 25 D) 26

B) 27

20. El g rá fico m uestra una cu rva que r e la c io n a los d a tos cu a n tita tiv o s con tin u os con sus resp ectiv a s fr e cu en cias acum uladas. H a lla rla m e diana

C) 28 E) 29

18. E l g rá fico m uestra una p olig on a l acum ulada sobre las n otas obten i das en un exam en, p o r los estudian tes de un colegio. ¿Cuántos son los alum nos?

A) 12 D) 13

C) 11

B) 14

E) 15

21. En una fábrica, se ha tom ado com o m uestra el núm ero de pren d as que h a ce un obrero en cad a uno de los 4 días 10

12

15

16

¿Cuál es la m edia arm ón ica de estos datos? A) 13 D) 12,8

A) 40 D) 38

B) 42

C) 45 E) 50

19. En el g rá fico anterior, h a lla r la m e dia, m ediana y m oda, d a r com o res p u e s ta la su m a d e lo s tr e s estadígrafos A) 30,10 D) 32,14

B) 28,32

C) 29,21 E) 37,12

B) 12,4 E) 14

C) 13,6

22. Se tiene los d iferen tes p recio s de un p rod u cto observado en 5 meses. Se llam a increm ento de p recio a l porcen ta je del p recio de cu a lq u ier mes con resp ecto al mes anterior: May. Jun. 16

20

Jul.

Ago.

Set.

22,5

25

30

iC u á l es el increm ento prom edio? A) 15,43 D) 20,51

B) 16,23

C) 18,5 E) 21,5


520 t

CLAVES DE RESPUESTAS PROBLEMAS PROPUESTOS

c

1 ;

2

3

B

C

4

5

7

6

8

9

10

C B C c B € D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D E E C E B A B C C 21 22 D B *

i

V

»

r a n t e m u c h o t ie m p o y e n m u c h o s p u e b lo s , la s m u je r e s n o e ra n

a d m it id a s e n la s e s c u e la s .

S e d ic e q u e P it á g o r a s s e c a s ó c o n u n a d e la s a lu m nas. E l s ím b o lo d e la E s c u e la d e P it á g o r a s y p o r m e d io d el cual se

r e c o n o c ía n

e n t r e s í, e r a

e s t r e lla d o , q u e e llo s lla m a b a n

e l p e n tá g o n o

pentalfa

(c in c o a lfa s ).

D e b id o a la in flu e n c ia p o lít ic a q u e tu v o l a E s c u e la en

esa

é p o c a , in flu e n c ia

qu e

era

c o n tr a r ia

a

la s

id e a s d e m o c r á t ic a s e x is t e n t e s , s e p r o d u jo , t a l v e z , d e s p u é s d e l a ñ o 5 0 0 u n a r e v u e lt a c o n t r a e llo s , s ie n d o m a lt r a t a d o s e in c e n d ia d a s s u s c a s a s . P it á g o r a s s e v io o b lig a d o a h u ir a T a r e n t o , s itu a d a a l s u r d e It a lia . A lg u n o s p ie n s a n q u e u n a ñ o m á s t a r d e m u

P itágoras de S am os (580 a. n. e. - 500 a. n. e.

r ió

a s e s in a d o

e n

o tr a

r e v u e lta

p o p u la r

en

M e ta p o n to . S e d e b e a P it á g o r a s e l c a r á c t e r e s e n c ia lm e n te d e

Pitágoras de Samos

d u c tiv o d e la G e o m e t r ía y e l e n c a d e n a m ie n to ló g i N a c ió e n S a m o s , lo m a ; a lr e d e d o r d e l 5 8 0 a . n . e.

c o d e s u s p r o p o s ic io n e s , c u a lid a d e s q u e s e c o n s e r v a n h a s t a n u e s t r o s d ía s .

E r a o r ig in a r io d e la

is la d e S a m o s , s itu a d o e n

el

M a r E g e o . E n la é p o c a d e e s t e filó s o fo la is la e r a

L a b a s e d e s u filo s o fía fu e l a c ie n c ia d e lo s n ú m e

g o b e r n a d a p o r e l tir a n o P o líc r a te s . C o m o e l e s p ír i

ro s, y

tu lib r e d e P it á g o r a s n o p o d ía a v e n ir s e a e s t a fo r

fís ic a s

m a d e g o b ie r n o , e m ig r ó h a c ia e l o c c id e n te , fu n d a n

m o d o , e l n ú m e r o c in c o e r a e l s ím b o lo d e c o lo r , la

d o e n C r e t o n a ( a l s u r d e I t a l i a ) u n a a s o c ia c ió n q u e

p ir á m id e , e l d e l fu e g o ; u n

n o t e n ía e l c a r á c t e r d e u n a e s c u e la filo s ó fic a , s in o ,

t e t r a d a , e s d e c ir , lo s c u a t r o e le m e n t o s e s e n c ia le s :

e l d e u n a c o m u n id a d r e lig io s a .

t ie r r a , a ir e , a g u a y fu e g o .

E n la E s c u e la P it a g ó r ic a p o d ía in g r e s a r c u a lq u ie r

F a lle c ió a lr e d e d o r d e l 5 0 0 a . n . e . e n M e ta p o n tu m ,

p e r s o n a , ¡h a s ta

L u c a n ia .

m u je r e s !. E n

e s e e n to n c e s , y

du

e s a s í c o m o lle g ó a a t r ib u ir le s p r o p ie d a d e s a

la s

c a n tid a d e s

y

m a g n itu d e s .

s ó lid o

D e

e s te

s im b o liz a b a

la

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