Programacion lineal, problemas

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Programaci´ on on Matem´ atica. atica.

Formulaci´ on on de problemas de programaci´ on on lineal.

1. PROBLEM PROBLEMA A DE PLANEAM PLANEAMIENTO IENTO DE LA PRODUC PRODUCCION. CION. Se procesan tres productos a trav´ través es de tres operaciones diferentes. diferentes. Los tiempos (en minutos) minutos) requeridos por unidad de cada producto en cada operaci´ on, la capacidad diaria de las operaciones (en minutos minutos por p or d´ıa) y el beneficio b eneficio por unidad vendida de cada producto (en miles de pesetas) son como sigue: Operaci´ on on 1 2 3 Ganancias/unidad (miles de p esetas)

Tiem Tiempo po por por unid unidad ad (min (minut utos os)) Capa Ca paci cida dad d de P1 P2 P3 operaci´ on on (minutos/dıa) 1 2 1 4 30 8 0 2 4 60 1 4 0 4 20 3

2

5

Si todas las unidades producidas se venden, determinar la producci´ on on diaria optima óptima para cada producto que maximice el beneficio. Soluci´ on.on.- Encontrar x1 , x2 y x3 tal que

maximice z = 3x1 + 2x2 + 5x3 sujeta sujeta a x1 + 2x2 + x3 ≤ 430 8x1 + 2x3 ≤ 460 ≤ 420 x1 + 4x2 x1 , x2 , x3 ≥ 0 La solución on optima o´ptima es x1 = 0, x2 = 100 y x3 = 230. Esto nos reporta un beneficio de 11 350,000.  2. PROBLEMA DEL PRODUCTO MIXTO. Una compa˜ n´ıa se s e dedica d edica a la producpro ducción on de dos tipos de fertilizantes: H-fosfato y L-fosfato. Para su fabricaci´ on on se utilizan tres clases diferentes de materias primas: C1 , C2 y C3 . Se conoce, por unidad, lo que cada uno de los fertilizantes necesita de materia prima-: H-fos H-fosfa fato to L-fo L-fosfa sfato to t. dispo disponi nibl bles es/me /mess C1 2 1 15 00 C2 1 1 12 00 C3 1 0 5 00 Beneficios netos/t. 15 10 ¿Cuántas antas toneladas se deben producir de cada tipo de fertilizante para que el beneficio neto total tota l sea máximo? aximo?

2

Programaci´ on Matem´ atica.

Soluci´ on.-Encontrar x1 y x2 tal que

maximice z = sujeta a

15x1 +

10x2

0,5x1 + 0,5x2 ≤ 1500 0,25x1 + 0,5x2 ≤ 1200 0,25x1 ≤ 500 x1 , x2 ≥ 0 La soluci´ on o´ptima es x1 = 2000, x2 = 1000 y z = 40000.



´ 3. PROBLEMA DE MEZCLA OPTIMA. Una refiner´ıa obtiene tres tipos de fuel: F1 , F2 y F3; mezclando adecuadamente tipos diferentes de gasolina cruda: C1, C2, C3 y C4, que produce.

Vende al exterior los tipos de fuel as´ı como la gasolina cruda que no utiliza para la producci´ on de los fueles. Se conoce: Gasolina cruda C1 C2 C3 C4

Calidad Producci´ on Coste (octanos/barril) (barriles/d´ıa) (u.m./barril) 68 4000 1.02 86 5050 1.15 91 7100 1.35 99 4300 2.75

Calidad m´ınima Precio de venta Demanda Fuel (octanos/barril) (u.m./barril) (no barriles) F1 95 5.15 10000/d´ıa a lo sumo F2 90 3.95 Vende todo lo que produce F3 85 2.99 15000/d´ıa al menos La gasolina cruda la puede vender a 2.95 u.m. el barril si el n´ umero de octanos es mayor o igual que 90 y a 1.85 si es menor de 90. ¿Cu´ antos barriles cada d´ıa se deben fabricar de F1, F2 y F3 para que se maximice el beneficio total por ventas? Plantear como un problema de programaci´ on lineal. umero de barriles de crudo Ci (i = 1, . . . , 4) empleados Soluci´ on.- Encontrar xij ≡ n´ para la fabricaci´ on del fuel tipo j e yi ≡ n´ umero de barriles de crudo Ci que se venden directamente; i = 1, . . . , 4 y j = 1, . . . , 3, tal que maximicez = 5,15(x11 + x21 + x31 + x41 ) + 3,95(x12 + x22 + x32 + x42 ) + 2,99(x13 + x23 + x33 + x43 )+1 ,85(y1 + y2 )+2 ,95(y3 + y4 ) − 4000 ∗ 1,02 − 5050 ∗ 1,15 − 7100 ∗ 1,35 − 4300 ∗ 2,75 sujeta a x11 + x12 + x13 + y1 = 4000 x21 + x22 + x23 + y2 = 5050 x31 + x32 + x33 + y3 = 7100 x41 + x42 + x43 + y4 = 4300

3


68x11 + 86x21 + 91x31 + 99 x41 ≥ 95 x11 + x21 + x31 + x41 68x12 + 86x22 + 91x32 + 99 x42 ≥ 90 x12 + x22 + x32 + x42 68x13 + 86x23 + 91x33 + 99 x43 ≥ 85 x13 + x23 + x33 + x43 x11 + x21 + x31 + x41 ≤ 10000 x13 + x23 + x33 + x43 ≥ 15000 xij ≥ 0 e yi ≥ 0; para i = 1, . . . , 4 y j = 1, . . . , 3.

La soluci´ on o´ ptima es fabricar 4958 barriles de F1, 0 de F2 y 15000 de F3. Concretamente al resolver el problema por el método simplex se obtiene x11 = 683,87, x41 = 4274,19, x13 = 2824,19, x23 = 5050, x33 = 7100, x43 = 25,8, y1 = 491,93 y  z = 39996,61. 4. PROBLEMA DE LA DIETA. Existen tres vitaminas distintas: X, Y y Z, y tres tipos diferentes de alimentos: leche, carne y huevos. A continuaci´ on se indica la cantidad de vitaminas que contiene cada unidad de cada tipo de alimento: leche (mg/litro) X 1 Y 100 Z 20 Coste/unidad 1.2

carne (mg/kilo) 4 20 100 1.8

huevos necesidades m´ınimas (mg/unidad) (mg) 10 1 10 250 10 120 0.8

Determinar que cantidad de leche, carne y huevos necesita tomar el organismo para obtener con el m´ınimo gasto posible una dieta que satisfaga las necesidades m´ınimas. Soluci´ on.- Encontrar x 1 ≡ litros de leche, x 2 ≡ kilos de carne y x 3 ≡ huevos que debe

tomar tal que minimice z = sujeta a

1,2x1 + 1,8x2 x1 + 4x2 100x1 + 20x2 20x1 + 100x2 x1

,

x2

+ 0,8x3 + 10x3 ≥ 1 + 10x3 ≥ 250 + 10x3 ≥ 120 , x3 ≥ 0 y x3 entero.

La soluci´ on es tomar 2.354 litros de leche y 0.729 kilos de carne. Esto supone un coste de 4.1375. 

4


5. PROBLEMA DE LA PERDIDA POR AJUSTES. Una fábrica de papel recibió tres pedidos de rollos de papel con los anchos y longitudes indicados en la tabla siguiente: No Pedido Anchura Longitud 1 5 10 2 7 30 3 9 20 Los rollos se producen en la f´ abrica con dos anchos est´ andar, 10 y 20, los cuales hay que recortar a los tama˜ nos especificados por los pedidos. No existe l´ımite sobre la longitud de los rollos estándar ya que pueden unirse unos con otros para proporcionar las longitudes requeridas. Formular el problema de determinar el patr´ on o patrones de corte que minimice la pérdida por ajustes y satisfaga la demanda. Soluci´ on.- Denoto por tipo 1 el rollo de anchura 10 y por tipo 2 el rollo de anchura 20. Sea xij longitud cortada del rollo tipo i seg´ un el patr´ on de corte j . Sólo consideramos

los patrones de corte cuya anchura sobrante es menor que la anchura m´ as peque˜ na de los pedidos. Anchura x11 x12 x13 x21 x22 x23 x24 x25 x26 5 2 0 0 4 2 2 1 0 0 7 0 1 0 0 1 0 2 1 0 9 0 0 1 0 0 1 0 1 2 Anchura sobrante 0 3 1 0 3 1 1 4 2 Encontrar xij tales que minimicen z = 3x12 + x13 + 3x22 + x23 + x24 + 4 x25 + 2 x26 + 5 s1 + 7 s2 + 9 s3 sujeta a 2x11 + 4 x21 + 2 x22 + 2 x23 + x24 − s1 = 10 x12 + x22 + 2 x24 + x25 − s2 = 30 x13 + x23 + x25 − s3 = 20 xij ≥ 0; donde s1 , s2 y s3 son las longitudes producidas en exceso de los rollos, de ancho 5,7 y 9, respectivamente.  6. PROBLEMA DE TRANSPORTE. Una empresa de transporte debe enviar desde las localidades A y B , 70 y 80 t. de carga, respectivamente, a las localidades X , Y y Z , donde deben recibirse 35, 65 y 50 t., respectivamente. Los costes de transporte por unidad de los or´ıgenes a los destinos son X Y Z A 56 62 93 B 17 54 67

5


Plantear el problema para determinar el plan de transporte que minimice el coste total. Soluci´ on.- Denoto por xij la cantidad transportada desde el origen i al destino j ; donde i = 1, 2 y j = 1, 2, 3.

minimizar z = 56x11 + 62x12 + 93 x13 + 17x21 + 54x22 + 67 x23 sujeta a x11 + x12 + x13 = 70 x21 + x22 + x23 = 80 x11 + x21 = 35 x12 + x22 = 65 x13 + x23 = 50 xij ≥ 0 i = 1, 2 y j = 1, 2, 3. 

´ 7. PROBLEMA DE ASIGNACION DE RECURSOS. El problema consiste en asignar una serie de trabajos a una serie de técnicos. Denotaremos los trabajos por T1, T2,....., Tn y a los técnicos por TE1, TE2, ......, TEn.

Sabemos que cij es el coste de que el técnico TEi realice el trabajo Tj (i,j=1, ....., n). Si cada técnico s´ olo puede realizar un uńico trabajo y cada trabajo s´ olo lo puede realizar un u ńico técnico, calcular la asignaci´ on o´ptima para que se realicen los n trabajos con el menor coste posible. o 1; para i,j=1,. . . ,n tales que Soluci´ on.- Encontrar xij ≡ variable con valor 0 ´ minimicen z = sujeta a

n n i=1

n in

j =1 cij xij

xij = 1; ∀ j = 1, . . . , n j =1 xij = 1; ∀i = 1, . . . , n ´ 1; ∀i, j = 1, . . . , n . xij = 0 o =1

Si la variable xij vale 1 indica que el técnico TEi realiza el traba jo Tj.



8. PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO. Denotamos por C1, C2,....., Cn n ciudades distintas. Se conoce el coste de desplazarse desde cualquiera de las ciudades a todas las restantes, cij : coste de ir desde Ci hasta Cj. Determinar la forma menos costosa de recorrer todas las ciudades de manera que partiendo de una cualquiera de ellas se pase una y s´ olo una vez por el resto de las ciudades y se vuelva a la de partida. o 1; para i,j=1,. . . ,n tales que Soluci´ on.- Encontrar xij ≡ variable con valor 0 ´

6


minimicen z = sujeta a

n n

j =1 cij xij

i=1

n in xij = 1; ∀ j = 1, . . . , n  j x ij = 1; ∀i = 1, . . . , n =1

=1

≥ 1; ∀{I, J } partició nde {1, . . . , n} ´ 1; ∀i, j = 1, . . . , n . xij = 0 o i∈I

j ∈J x ij

Si la variable xij vale 1 indica que de la ciudad Ci me dirijo a la Cj.



´ DE CAPITAL. Una compa˜ 9. PROBLEMA DE INVERSI ON n´ıa quiere planificar su inversión a lo largo de T periodos de tiempo: P1 , P2 , ....., PT.

Existen una serie de proyectos: PR1 , PR2 , ....., PRN que puede seleccionar. Una vez elegido uno de ellos, tiene que invertir una determinada cantidad a lo largo de los T-periodos. Sea aij la inversión necesaria en el proyecto PRj durante el periodo Pi. Sea v j el rendimiento del proyecto PRj después de los T periodos de tiempo. Además la compa˜ n´ıa dispone de un determinado capital para cada uno de los T periodos. Sea Bi : capital disponible para el periodo i (i=1, ....., T). ¿Cuáles son los proyectos que debe elegir la compa˜ n´ıa para hacer máximo el rendimiento total de la inversi´ on? ´ 1; para j=1,. . . ,N tales que Soluci´ on.- Encontrar x j ≡ variable con valor 0 o maximicen z = sujeta a

N

j =1 v j x j

N

≤ B i ; ∀i = 1, . . . , T x j = 0 o ´ 1; ∀ j = 1, . . . , N . j =1 aij x j

Si la variable x j vale 1 indica que elijo el proyecto PRj y si vale 0 no invierto en ese  proyecto. 10. PROBLEMA DEL MONTAJE DE UN PRODUCTO. Se dispone de dos tipos de m´ aquinas: 1 taladro y 5 fresadoras, para realizar el montaje de un producto compuesto por dos piezas: P1 y P2. El tiempo (en minutos) de estas m´ aquinas requerido por cada pieza viene reflejado en la tabla siguiente: Piezas Taladro P1 3 P2 5

Fresadora 20 15

Si ninguna m´ aquina puede trabajar m´ as de treinta minutos por encima de cualquier otra al d´ıa; el tiempo de trabajo de fresadoras se reparte (al d´ıa) por igual entre las 5 y suponiendo 8 horas, como m´ aximo, de trabajo al d´ıa para cada una de las m´ aquinas.

7


Determinar el tiempo de trabajo de cada m´ aquina de forma que se produzca el mayor número de montajes completos al d´ıa. Soluci´ on.- Encontrar x1 y x2 tales que

maximicen z = m´ın {x1 , x2 } sujeta a 3x1 + 5 x2 ≤ 480 20x1 + 15x2 ≤ 5 ∗ 480 x |3x1 + 5 x2 − 20x +15 | ≤ 30 5 x1, x2 ≥ 0 y enteros. 1

2

Puede escribirse como el siguiente modelo lineal maximicen z = y sujeta a 3x1 + 5 x2 ≤ 480 20x1 + 15x2 ≤ 5 ∗ 480 x ≤ 30 3x1 + 5 x2 − 20x +15 5 20x +15x 3x1 + 5 x2 − ≥ −30 5 y ≤ x 1 y ≤ x 2 x1 , x2 , y ≥ 0 y entero. 1

2

1

2



´ O CONTROL DE CALIDAD. Una empresa 11. PROBLEMA DE INSPECCION dispone de dos tipos diferentes de inspectores ( I1, I2 ) para el control de calidad de sus productos.

Se necesita inspeccionar al menos 1800 piezas al d´ıa (8 horas). Cada inspector del tipo I1 inspecciona 25 piezas a la hora , con un error del 2 %, y cada inspector del tipo I2 inspecciona 15 piezas a la hora, con un error del 5 %. Los sueldos por hora son de 4 y 3 unidades para los inspectores I1 e I2, respectivamente. El gasto por cada pieza err´ onea aparecida en la inspecci´ on es de 2 unidades. Sabiendo que la compa˜ n´ıa dispone al d´ıa de un m´ aximo de 8 inspectores tipo I1 y de 10 tipo I2, ¿qué cantidad de inspectores I1 e I2 debe dedicar la empresa al control de calidad de los productos con el fin de obtener gasto m´ınimo?. Soluci´ on.- Encontrar x1 , x2 tales que

minimicen z = (4 + 0,5 ∗ 2)x1 + (3 + 0,75 ∗ 2)x2 sujeta a (25x1 + 15x2 ) ∗ 8 ≥ 1800 x1 ≤ 8 x2 ≤ 10 x1 , x2 ≥ 0 y enteros.

8




12. PROBLEMA TIPO MOCHILA. Disponemos de una serie de art´ıculos (A1, A2 , ..., An) de los que se conoce su peso (w1, w2 ,..., w3), su volumen (v1 ,v2 ,...,vn) y su valor (r1 ,r2 ,..., rn) por unidad. ¿Qu´ e cantidad de art´ıculos de tipo Ai (i=1, .....,n) hay que cargar en un determinado veh´ıculo de transporte del que se conoce el peso m´ aximo que puede soportar, T, as´ı como su volumen m´ aximo, K, para maximizar el valor de la carga total transportada? Soluci´ on.- Encontrar x1 , x2 , . . . , xn tales que

maximicen z = sujeta a

n

i=1 ri xi

n in

wi xi ≤ T i=1 vi xi ≤ K =1

xi ≥ 0 y enteros. 

´ AGR´ 13. PROBLEMA DE PRODUCCION ICOLA. Un individuo posee tres fincas de una determinada extensi´ on que disponen de una cierta cantidad de agua:

Extensió n Disponibilidad de agua FINCAS (Hectáreas) (miles de litros) F1 350 1500 F2 700 2000 F3 300 900 Tiene la posibilidad de cultivar en cada una de ellas tres tipos de plantas: yuca, patata y ma´ız, de las que se conocen los datos siguientes: Extensión máxima Plantas (hect´ a reas) (A) yuca 600 (B) patata 900 (C) ma´ız 300

Agua necesaria Beneficio esperado (miles de litros/hect´ a rea) (u.m./hect´ area) 5 2.4 4 1.8 3 0.60

El porcentaje de extensi´ on cultivado en las tres fincas ha de coincidir. Plantear el problema de determinar cu´ antas hect´ areas se dedicar´ an al cultivo de A, B y C en cada finca de forma que se obtenga un beneficio total m´ aximo.

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Soluci´ on.- Encontrar xAi , xBi , xCi para i = 1, 2 y 3, tales que

maximicen z = 400(xA1 + xA2 + xA3 ) + 300(xB1 + xB2 + xB3 )+ 100(xC 1 + xC 2 + xC 3 ) sujeto a xA1 + xB 1 + xC 1 ≤ 350 xA2 + xB 2 + xC 2 ≤ 700 xA3 + xB 3 + xC 3 ≤ 300 5xA1 + 4 xB 1 + 3 xC 1 ≤ 1500 5xA2 + 4 xB 2 + 3 xC 2 ≤ 2000 5xA3 + 4xB 3 + 3 xC 3 ≤ 900 xA1 + xA2 + xA3 ≤ 600 xB 1 + xB 2 + xB 3 ≤ 900 xC 1 + xC 2 + xC 3 ≤ 300 x +x +x = x +x700 +x 350 x +x +x = x +x300 +x 700 xAi , xBi , xCi ≥ 0; ∀i = 1, 2, 3. A1

B1

C 1

A2

B2

C 2

A2

B2

C 2

A3

B3

C 3

La soluci´ on o´ptima es xA1 = 250, xB2 = 500, xA3 = 42,85 y xB 3 = 171,42 que reporta un beneficio de 318571.4 unidades.  14. CONTROL DE INVENTARIOS. Se fabrica un producto para satisfacer la demanda de los siguientes n periodos. En el periodo i la demanda ri (unidades) puede satisfacerse con la producci´ on xi (unidades) en este periodo y/o el inventario que se tiene de periodos anteriores. Si el nivel de producci´ o n en el periodo i es mayor que el que se tuvo en el i − 1, es decir, xi > xi−1, se incurre en un coste de ai unidades monetarias por unidad en exceso. Por otra parte si xi < xi−1 , se a˜ nade un coste de bi unidades monetarias por unidad en que se disminuye el nivel de producci´ on. Se tiene un coste di por cada unidad que se reserva para el periodo i + 1. Sea ci el coste de producci´ on de una unidad del producto en el periodo i. El objetivo del modelo es determinar el esquema o´ptimo de producci´ on de tal manera que el coste total del sistema inventario-producci´ on se minimice. Plantear el modelo de programaci´ on lineal correspondiente. a Soluci´ on.- Denoto por I i al inventario al comienzo del periodo i. Este ser´ i  −1

I i =



(x j − r j ).

j =1



minimizar z = ni=2 di−1 I i + ni=1 ci xi + x1 ≥ r 1 sujeta a xi + I i ≥ r i ; para i = 2, . . . , n ui ≥ x i − xi−1 ; i = 2, . . . , n li ≥ x i−1 − xi ; i = 2, . . . , n xi ≥ 0; i = 1, . . . , n li , ui ≥ 0; i = 2, . . . , n .

n

i=2 a i ui +

n

i=2 bi li

10




´ 15. PROBLEMA DE LOCALIZACI ON.

En una regi´ on de un pa´ıs existen 6 ciudades importantes. En este momento debe decidirse en cu´ ales de ellas debe construirse una estaci´ on de bomberos. Se desea construir el m´ınimo número de instalaciones para asegurar que hay al menos una estaci´ on a menos de 16 unidades de tiempo de cada ciudad. El tiempo requerido para ir desde cada ciudad a cada una de las otras se da en la tabla siguiente. C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6

0 10 13 30 30 20

10 0 25 35 20 10

13 25 0 15 30 20

30 35 15 0 15 25

30 20 30 15 0 14

20 10 20 25 14 0

Por otro lado, el coste de construcci´ on es diferente en cada ciudad. Se dispone de un total de 180 u.m., y los costes son 30, 45, 40, 50, 80 y 90 u.m., respectivamente. Plantear un problema que permita determinar el n´ umero de estaciones de bomberos que deben construirse. Soluci´ on.- Denotamos por x i una variable que tome valor uno si se instala en la ciudad i y cero, en otro caso; i = 1, . . . , 6.

minimizar z = sujeta a



6 i=1

xi

30x1 + 45 x2 + 40x3 + 50x4 + 80 x5 + 90x6 ≤ 180 x1 + x2 + x3 ≥ 1 x1 + x2 + x6 ≥ 1 x1 + x3 + x4 ≥ 1 x3 + x4 + x5 ≥ 1 x4 + x5 + x6 ≥ 1 x2 + x5 + x6 ≥ 1 xi = 0, 1 i = 1, . . . , 6. 

16. PROBLEMA DE CARGA FIJA. Hay que planificar la producción de 2000 unidades de un determinado producto, para lo que se dispone de tres m´ aquinas de las que se detallan su coste fijo (k j ), el coste por unidad de producci´ on (c j ) as´ı como la capacidad de producci´ o n de cada una de ellas (C j )

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Máquina k j 1 100 2 300 3 200

c j

C j

10 600 2 800 5 1200

Plantear mediante programaci´ on lineal el problema de determinar el n´ umero de unidades a fabricar en cada m´ aquina que minimice el coste total de producción del lote de 2000 unidades. umero de unidades a fabricar en la m´ aquina i, i=1,2,3. El proSoluci´ on.- Sea xi el n´ blema ser´ıa minimizar z = 100y1 + 300y2 + 200y3 + 10 x1 + 2 x2 + 5 x3 sujeta a x1 + x2 + x3 = 2000 x1 ≤ 600 y1 x2 ≤ 800 y2 x3 ≤ 1200y3 xi ≥ 0 ; i = 1, 2, 3 yi = 0, 1 ; i = 1, 2, 3. 

Programacion lineal, problemas

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