Programacion Lineal Problemas Resueltos

George Bernard Dantzig (8 de noviembre de 1914 – 13 de mayo de 2005) fue un matemático reconocido por desarrollar el método simplex y es considerado como el "padre de la programación lineal". Recibió muchos honores, tales como la Medalla Nacional a la Ciencia en 1975 y el premio de Teoría John von Neumann en 1974. Fue miembro de la Academia Nacional de Ciencias, la Academia Nacional de Ingeniería y la Academia Americana de Artes y Ciencias. Obtuvo su grado de bachiller en matemáticas y físicas en la Universidad de Maryland en 1936, su grado de magister en matemáticas en la Universidad de Míchigan, y su doctorado en Berkeley en 1946. Recibió además un doctorado honorario de la universidad de Maryland en 1976.

1

El padre de Dantzig, Tobías Dantzig, fue un matemático ruso que realizó estudios con Henri Poincaré en París. Tobías se casó con una estudiante de la universidad de Sorbonne, Anja Ourisson, y la pareja inmigró a los Estados Unidos.

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PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL

PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Elaborado por: Prof. Juan Gutiérrez Céspedes

TERCER NIVEL DE EDUCACIÓN BASICA REGULAR. VI CICLO. QUINTO GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA


Pr o b l e m a 1 ) Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El f a b r i ca n te d i s p o n e p a r a l a co n f e cci ó n d e 7 5 0 m d e te j i d o d e a l g o d ó n y 1 0 0 0 m d e te j i d o d e p o l i é s te r . C a d a p a n ta l ó n p r e ci s a 1 m d e a l g o d ó n y 2 m d e p o li é s te r . El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿ Q u é n ú m e r o d e p a n ta l o n e s y c h a q u e ta s d e b e s u m i n i s tr a r e l f a b r i ca n te a l o s a l m a ce n e s p a r a q u e é s to s c o n s i g a n u n a v e n ta m á x i m a ? R ES O LU C I Ó N 1. Elección de las i n c ó g n i t a s . x = n ú me r o d e p a n t a l on e s y = n ú me r o d e c h a q u e ta s 2. F u n c i ó n ob j e t i v o f(x,y)= 50x + 40y 3. R e s t r i c c i o n e s Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: pantalones chaquetas disponible algodón

1

1,5

750

poliéster

2

1

1000

x + 1.5y ≤ 750

2 x + 3 y≤ 1 5 0 0

2 x + y≤ 1 0 0 0 Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x≥ 0 y≥ 0 4. Hallar el conjunto de s o l u c i o n e s f a c t i b l e s

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.


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Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

2

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.


Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x + 3y ≤ 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0). 2·0 + 3·0 ≤ 1 500 Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad. De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000. 2·0 + 0 ≤ 1 00

5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.


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3

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Elaborado por: Prof. Juan Gutiérrez Céspedes La s o l u c i ó n ó p t i m a , si es única, se encuentra en un vértice del recinto. Éstos son las soluciones a los sistemas: 2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500) 2x + y = 1000; y = 0 (500, 0) 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

6. Calcular el v a l o r d e l a f u n c i ón o b j e t iv o En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. f(x, y) = 50x + 40y f(0, 500) = 50·0 + 40·500 = 20000 € f(500, 0) = 50·500 + 40·0 = 25000 € f(375, 250) = 50·375 + 40·250 = 28750 € M á x i mo La solución óptima es fabricar 375 p a n ta lo n es y 250 c h a q u eta s para obtener un

RESOLUCIÓN


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Problema 2) Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

4

b en ef ic io d e 28 750 € .

PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Elaborado por: Prof. Juan Gutiérrez Céspedes 1. Elección de las i n c ó g n i t a s . x = nº de lámparas L1 y = nº de l ám paras L2

2.

Función o bj etivo f(x, y) = 15 x + 10y

3.

Rest riccion es

Pasamos los tiempos a horas 20 min = 1/3 h 30 min = 1/2 h 10 min = 1/6 h Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: L1

L2

Tiempo

Manual

1/3

1/2

100

Máquina

1/3

1/6

80

1 / 3 x + 1 / 2≤y 1 0 0 1 / 3 x + 1 / 6≤y 8 0

Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x≥ 0 y≥ 0

4. Hallar el conjunto de s o l u c i o n e s

f acti bles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes. Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y≤ 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

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1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80

5

1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100


PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Elaborado por: Prof. Juan Gutiérrez Céspedes La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. Éstos son las soluciones a los sistemas: 1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200) 1/3x + 1/6y = 80;

y = 0(240, 0)

de l a funci ón o bjetivo

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.


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6. Calcular el v a l o r

6

1 / 3 x + 1 / 2 y = 1 0 0 ; 1 / 3 x + 1 / 6 y = 8 0 (210, 60)

PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Elaborado por: Prof. Juan Gutiérrez Céspedes f(x, y) = 15x + 10y f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 € f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 € f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 € La solución óptima es fabricar un beneficio de 3 7 5 0 € .

Máxim o

210 del mo del o L1

y

60 del modelo L1

para obtener

Problema 3) Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo? RESOLUCIÓN 1. Elección de las i n c ó g n i t a s . x = camion es de ti po A y = camio nes de ti po B

2.

Función o bj etivo f(x,y) = 30 x + 40y

3.

Rest riccion es

A

B

Total

Refrigerado

20

30

3 000

No refrigerado

40

30

4 000

2 0 x + 3 0≥ y 3 000 4 0 x + 3 0≥ y 4 000


f acti bles


Página

y≥ 0

7

x≥ 0



6. Calcular el v a l o r f(0, 400/3) = 30

·


0 + 40

· 400/3

= 5 333.332

f(150, 0) = 30 · 150 + 40 · 0 = 4 500

Como x e y han de ser números naturales redondeamos el valor de y. f(50, 67) = 30 · 50 + 40 ·67

= 4 180

Mínimo

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8

El coste míni mo so n 4 18 0 € para A = 50 y z B = 6 7.


PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Elaborado por: Prof. Juan Gutiérrez Céspedes Problema 4) En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? RESOLUCIÓN 1. Elección de las i n c ó g n i t a s . x = X y = Y

2.

Función o bj etivo f(x,y) = 10 x + 30y

3.

Rest riccion es

X

Y

Mínimo

A

1

5

15

B

5

1

15

x + 5 y≥ 1 5 5 x + y≥ 1 5 x≥ 0 y≥ 0 f acti bles

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9



PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Elaborado por: Prof. Juan Gutiérrez Céspedes 5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

6. Calcular el v a l o r f(0, 15) = 10

·

0 + 30

de l a funci ón o bjetivo ·

15 = 450

f(15, 0) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150 f(5/ 2, 5/2) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2

= 100

Mínimo

El coste míni mo son 100 € para X = 5/2 e Y = 5/2.

Problema 5) C o n e l co m i e n z o d e l cu r s o s e v a a l a n z a r u n a s o f e r ta s d e m a te r i a l e s co l a r. U n o s a lm a ce n e s q u i e r en o f r e ce r 6 0 0 cu a d e r n o s , 5 0 0 ca r p e ta s y 4 0 0 b o l í g r a f o s p a r a l a o f e r ta , e m p a q u e tá n d o l o d e d o s f o r m a s d i s ti n ta s ; e n e l p r im e r b l o q u e p o n d r á 2 cu a d e r n o s , 1 ca r p e ta y 2 b o l í g r a f o s ; e n e l s eg u n d o , p o n d r á n 3 cu a d e r n o s , 1 ca r p e ta y 1 b o l í g r a f o . L o s p r e ci o s d e ca d a p a q u e te s e r á n 6 . 5 y 7 € , r e s p e cti v a m e n te . ¿ C u á n to s p a q u e te s l e co n v i e n e p o n e r d e ca d a ti p o p a r a o b te n e r e l m á x im o b e n e f i ci o ? R ES O LU C I Ó N 1. Elección de las i n c ó g n i t a s .

2. F u n c i ó n ob j e t i v o


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y = P2

10

x = P1

PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Elaborado por: Prof. Juan Gutiérrez Céspedes f(x, y) = 6.5x + 7y 3. R e s t r i c c i o n e s P1 P2 Disponibles Cuadernos 2

3

600

Carpetas

1

1

500

Bolígrafos

2

1

400

2 x + 3 y≤ 6 0 0 x + y≤ 5 0 0 2 x + y≤ 4 0 0 x≥ 0 y≥ 0 4. Hallar el conjunto de s o l u c i o n e s f a c t i b l e s

11

Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

Página

5.



6.

Calcular el v a l o r d e l a f u n c i ón o b j e t iv o

f(x,y)= 6.5 · 200 + 7 · 0 = 1300 € f ( x ,y ) = 6 . 5 · 0 + 7 · 2 0 0 = 1 4 0 0 € f ( x ,y ) = 6 . 5 · 1 5 0 + 7 · 1 0 0 = 1 6 7 5 €

Máximo

La solución óptima son 1 5 0 P 1 y 1 0 0 P 2 con la que se obtienen 1 6 7 5 €

Problema 6) Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? RESOLUCIÓN 1. Elección de las i n c ó g n i t a s . x = nº de lotes de A y = nº de lotes de B Función o bj etivo

12

f(x, y) = 30 x + 50y

Página

2.



3.

Rest riccion es

A

B

Mínimo

Camisas

1

3

200

Pantalones

1

1

100

x + 3 y≤ 2 0 0 x + y≤ 1 0 0 x ≥ 20 y ≥ 10


f acti bles

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6. Calcular el v a l o r f(x, y) = 30

·

20 + 50

de l a funci ón o bjetivo ·

10 = 1100 €

f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10

f(x, y) = 30

·

20 + 50

·

= 3200 €

60 = 3600 €

f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50

= 4000 €

Con 5 0

se obtiene una g a n a n c i a

lot es de c ada ti po

Máxi mo m áxim a de 4000 €.

Problema 7) Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo? RESOLUCIÓN 1. Elección de las i n c ó g n i t a s . x = Pastillas grandes y = Pastillas pequeñas 2. F u n c i ó n ob j e t i v o

3. R e s t r i c c i o n e s 4 0 x + 3 0≤y 6 0 0


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f(x, y) = 2x + y

PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Elaborado por: Prof. Juan Gutiérrez Céspedes x≥ 3 y ≥ 2x x≥ 0 y≥ 0 4. Hallar el conjunto de s o l u c i o n e s f a c t i b l e s


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6. Calcular el v a l o r d e l a f u n c i ón o b j e t iv o

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PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Elaborado por: Prof. Juan Gutiérrez Céspedes f(x, y)= 2 · 3 + 16 = 22 € f(x, y)= 2 · 3 + 6 = 12 € f(x, y)= 2 · 6 + 12 = 24 € Máximo El máximo beneficio es de 2 4 € , y s e o b ti e n e f a br i ca n d o 6 p a s t i l l a s g r an d e s y 1 2 p e q u eñ a s .

Problema 8) Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela. RESOLUCIÓN 1) Elección de las i n c ó g n i t a s . x = aut obuses

pequeños

y = autob uses 2)

grandes

Función o bj etivo f(x, y) = 60 0x + 80 0y

3)

Rest riccion es 4 0 x + 5 0≥ y 400 x + y≤ 9 x≥ 0 y≥ 0 f acti bles

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4) Hallar el conjunto de s o l u c i o n e s



5) Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

6) Calcular el v a l o r


f(0, 8) = 600 · 0 + 800 · 8 = 6 400 € f(0, 9) = 600 · 0 + 800 · 9 = 7 200 €

f(5, 4) = 6 0 0

· 5 + 800 ·

El coste mínimo es de

6

4 = 6 200 € 200

€,

Mínimo y

se

consigue

4

aut obuses

grandes

y

5

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pequ eños.


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