2014
BUKU AJAR MATEMATIKA (Program (Pr ogram Linear)
Fatwa Inangsari A.R. (114070003) Kristiyanti Manalu (114070170) Sumiarsih (114070122) 1A Pn!i!i"an Matmati"a
PRAKATA Puji Puji syuk syukur ur kami kami panj panjatk atkan an kepa kepada da Tuhan uhan Yang Maha Maha Esa, Esa, atas atas segal segalaa karu karuni niaa yang yang tela telah h dilimpahkan-Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan tugas mata kuliah Program Komputer dasar dengan baik. Pada tugas ini, kami membuat sebuah buku buku panduan matematika dengan materi “Program inear!. "epe "epert rtii yang yang kita kita tahu, tahu, matem matemati atika ka sebag sebagai ai ilmu ilmu dasar dasar yang yang terp terpak akai ai diseg disegala ala bida bidang ng ilmu ilmu pengetahuan, sat ini telah berkembang sangat pesat baik materi maupun kegunaanya khususnya materi Prog Program ram ine inear ar.. #alam #alam kehi kehidu dupa pan n sehari sehari-h -hari ari serin sering g diju dijump mpai ai apli aplika kasi si Prog Program ram ine inear ar,, sepert sepertii $ pembangunan perumahan, masalah transportasi, pemakaian bahan baku, dll. Pada aplikasi Program inear sering dijumpai dijumpai perkataan perkataan “terbesar! atau “terke%il! “terke%il! dari sejumlah batasan yang berupa berupa pertidaksamaan pertidaksamaan linear linear.. Penyeles Penyelesaian aian sistem sistem pertid pertidaks aksama amaan an linear linear se%ara se%ara gra&ik gra&ik dapat dapat berupa berupa daerah daerah tertutu tertutup p yang yang meru merupa paka kan n syra syratt memak emaksi simu mumk mkan an &ung &ungsi si obje objekt kti& i& dan dan daer daerah ah terb terbuk ukaa yang ang meru merupa paka kan n syar syarat at meminimumkan &ungsi objekti&. Kami berharap semoga buku ini dapat berman&aat sebagai a%uan proses pembelajaran di "ekolah Menengah 'tas ("M') kelas *++. leh karena itu, kritik, saran, dan masukan akan kami terima.
irebon, / ktober 0/1
Penulis
i
PRAKATA Puji Puji syuk syukur ur kami kami panj panjatk atkan an kepa kepada da Tuhan uhan Yang Maha Maha Esa, Esa, atas atas segal segalaa karu karuni niaa yang yang tela telah h dilimpahkan-Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan tugas mata kuliah Program Komputer dasar dengan baik. Pada tugas ini, kami membuat sebuah buku buku panduan matematika dengan materi “Program inear!. "epe "epert rtii yang yang kita kita tahu, tahu, matem matemati atika ka sebag sebagai ai ilmu ilmu dasar dasar yang yang terp terpak akai ai diseg disegala ala bida bidang ng ilmu ilmu pengetahuan, sat ini telah berkembang sangat pesat baik materi maupun kegunaanya khususnya materi Prog Program ram ine inear ar.. #alam #alam kehi kehidu dupa pan n sehari sehari-h -hari ari serin sering g diju dijump mpai ai apli aplika kasi si Prog Program ram ine inear ar,, sepert sepertii $ pembangunan perumahan, masalah transportasi, pemakaian bahan baku, dll. Pada aplikasi Program inear sering dijumpai dijumpai perkataan perkataan “terbesar! atau “terke%il! “terke%il! dari sejumlah batasan yang berupa berupa pertidaksamaan pertidaksamaan linear linear.. Penyeles Penyelesaian aian sistem sistem pertid pertidaks aksama amaan an linear linear se%ara se%ara gra&ik gra&ik dapat dapat berupa berupa daerah daerah tertutu tertutup p yang yang meru merupa paka kan n syra syratt memak emaksi simu mumk mkan an &ung &ungsi si obje objekt kti& i& dan dan daer daerah ah terb terbuk ukaa yang ang meru merupa paka kan n syar syarat at meminimumkan &ungsi objekti&. Kami berharap semoga buku ini dapat berman&aat sebagai a%uan proses pembelajaran di "ekolah Menengah 'tas ("M') kelas *++. leh karena itu, kritik, saran, dan masukan akan kami terima.
irebon, / ktober 0/1
Penulis
i
DAFTAR ISI
P2'K' P2'K'T T'...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ...... ...
i
#'3T #'3T'2 +"+... +"+...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ....... ....... ....... ........ ....... ..... ..
ii
K'T K'T' MT+4 MT+4'"+........ "+............ ........ ........ ......... ......... ........ ........ ......... ......... ........ ........ ......... ......... ........ ........ ......... ............ ......... ..
iii
T565'N T565'N PEM7E PEM7E'6' '6'2'N 2'N... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ...... ...
i8
P292' P292'M M +NE'2 +NE'2... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ....... ....... ....... ........ ....... ....... ....... ..... ..
'. Pengert Pengertian ian... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ..... ..
7. #aerah #aerah Penyel Penyelesa esaian ian... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ......
0
. Mene Menent ntuka ukan n "P "P#4 #4 dari dari #ae #aera rah h Pen Penye yele lesa saia ian. n... .... .... .... .... .... .... .... ..... ..... ..... ..... .... ..
:
#. Model Model Matema Matematik tika.. a..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ....
;
E. Nilai Nilai ptimum... ptimum........ ......... ........ ........ ......... ......... ........ ........ ......... ......... ........ ........ ......... ............ .............. .............. .......
/
'P+K' 'P+K'"+ "+ P292'M P292'M +NE'2 +NE'2... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ........ ....... ....... ....... ...... ...
<
"' 'T 'T+='N...... +='N.......... ........ ........ ......... ......... ........ ........ ......... ......... ........ ........ ......... ............ .............. ............... ............... .......
0>
#'3T'2 #'3T'2 P5"T' P5"T'K'...... K'.......... ........ ........ ........ ........ ........ ......... ......... ........ ........ ......... ......... ........... .............. .............. .......... ...
0?
#E"K2+P"+ KE26' KEMPK.................... KEMPK......................................................... .....................................
0:
P23+ KEMPK.. KEMPK...... ........ ......... ......... ........ ........ ......... ......... ........ ........ ......... ......... ........ ............ ............... ............. ......
0<
ii i
KATA MOTIVASI
elah dalam belajar adalah @ajar, tetapi jangan sampai menyerah dalam belajar.
6ika anda men%intai kedua orang tua anda, maka jadikanlah perjuangan anda dalam menutut ilmu sebagai alat untuk mebahagiakan keduanya.
+lmu tanpa budi adalah kerapuhan ji@a.
7anyak yang ingin pintar, tetapi banyak yang tidak mau belajar .
7elajar bukan hanya sekedar memba%a, tetapi juga memahami. 7isa itu bukan sekedar rajin datang ke sekolah, tapi seberapa sering mengulang pelajaran dari sekolah.
iii
TUJUAN PEMBELAJARAN Tujuan dari pembelajaran Program inear adalah$ 1. 2. 3. 4.
"is@a dapat menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua 8ariabel. "is@a dapat menentuka "P#4 dari daerah penyelesaian. "is@a dapat membuat model matematika dari soal daerah yang ada. "is@a dapat menentukan nilai optimum &ungsi objekti&.
i
iv
PROGRAM LINEAR A. Pengertin Pr!gr" Liner #alam kehidupan sehari-hari kita sering menggunakan prinsip-prinsip pada program linear yang tanpa didasari seperti pada proyek bangunan perumahan, pemakaian tanah untuk
lahan parkir,
pemakaian obar dari dokter untuk pasiennya dan lain-lain. "eringkali pada aplikasi program linear itu dijumpai perkataan “terbesar! ataupun juga “terke%il! dari batasan-batasan yang ada pada program linear. Penyelesaian program linear pada pertidaksamaan linear se%ara gra&ik dapat berupa daerah
i
tertutup yang merupakan syarat maksimum &ungsi objekti& dan daerah terbuka yang merupakan syarat minimum &ungsi objekti&. Program linear merupakan bagian dari matematika terapan (operational resear%h) yang terdiri atas persamaan-persamaan atau pertidaksamaan-pertidaksamaan linear. Permasalahan program linear adalah permasalahan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai 8ariabel yang
mengoptimumkan
(maksimum
atau minimum) nilai
&ungsi objekti& dengan
memperhatikan pembatasan-pembatasannya. Permasalahan program linear se%ara umum dapat dirumuskan sebagai berikut. A.1 Per"#$%n Pr!gr" Liner Mi"i##i 3ungsi objekti& maksimum $ z =ax + by
Pembatasan (syarat-syarat) $
c i x + d i y ≤ e i , i =1,2, … ., 3, n . x ≥ 0, y ≥ 0.
#i%ari $ x dan y Keterangan $ 'da dua ma%am barang yang akan di produksi, dengan banyaknya masing-masing adalah x • •
•
•
dan y. a dan b masing-masing menyatakan harga per satuan barang x dan y. di ci dan adalah banyaknya bahan mentah ke-i yang digunakan untuk memproduksi barang x dan y. ei adalah jumlah bahan mentah ke-i.
A.2 Per"#$%n Pr!gr" Liner Mini"i##i
1
3ungsi bjekti& Minimum $ Pembatasan (syarat-syarat) $
z =ax + by c i x + d i y ≥ e i ,i =1,2, … . , n . x ≥ 0, y ≥ 0.
Keterangan $ •
'da dua ma%am barang yang akan di produksi, dengan banyaknya masing-masing adalah x
•
dan y. a dan b menyatakan besarnya ongkos per satuan barang x dan y. ci di dan adalah banyaknya orang ke-i yang dipekerjakan untuk memproduksi barang x
•
dan y. ei adalah jumlah biaya ke-i yang dikeluarkan.
•
i
atatan $ Maksimisasi adalah suatu proses memaksimumkan &ungsi objekti&.
•
Minimisasi adala s!a"! #roses meminim!m$an %!ngsi o&'e$"i% Ked!a #ermasalaan #rogram linear (A1 dan A2) sering dise&!" model ma"ema"i$a
• •
B. Menentukan
Daerah
Penyelesaian
Sistem
Pertidaksamaan
Linear Dua Variabel Un"!$ menen"!$an daera #enelesaian *PL+, ma$a #erl! diinga" lam&anglam&ang *PL+, se#er"i &eri$!" . •
Lam&ang / ≥ &erar"i le&i dari sama dengan daerana adala #osi"i% (
+¿ ) •
Lam&ang / ≤ &erar"i $!rang dari sama dengan daerana adala nega"i% ( −¿ )
ara mem&!a" #er"ida$samaan 1 7 (0&
(a 6
3aris ang di&en"!$ melal!i "i"i$ (a0) dan (0&) adala . x y + =1 a b
on"o
0
Persamaan garis ang melal!i "i"i$ (0) dan "i"i$ (05) ma$a #ersamaan garisna adala.
i
x y 5
↔
+ =1 6
6 x + 5 y 30
=1
↔ 6 x + 5 y =30 7
(05
(0 6
+aera ang diarsir #ada gam&ar dia"as memen!i x > 0 ; y > 0 dan
2
6 x + 5 y < 30
7
6 (a 0)
(0 -&)
3aris ang di&en"!$ melal!i ( a0) dan (0-&) x y + =1 −a b
on"o
8 7 i
7
6 (2 0)
(0 -8)
Persamaan yang melalui titik (0,/) dan (/,->) maka persamaan garisnya adalah x 2
+
↔
y
−3
=1
−3 x +2 y =1 −6
↔−3 x + 2 y =−6 atau
2 y −3 x =−6
7
8
(& 0)
6 (0 -a)
3aris ang di&en"!$ melal!i (-a0) dan (0&) adala x y + =1 a −b
ontoh
4 i
Persamaan garis yang melalui titik (-A,/) dan (/,>) maka persamaan garisnya adalah x 2
↔
+
y
−3
=1
3 x −5 y
−15
=1
↔ 3 x −5 y =−15
4
7
7 9
6
#engan 9aris (b)
m >0 7
6
7 9
i
#engan
m <0
7
9$
6
0
9 -$
5
7
9$
6
0
9 -$
:
7 (;d
(0a
6
i 5
Persamaan garis yang melalui 0 titik (/,a) dan (%,d), maka bisa dibentuk dari$ ontoh $
y −t 1
=
x − x1
y 2 − y 1 x 2− x 1
7 (5:
(04
6
Persamaan garis yang melalui 0 titik (/,1) dan (A,:) adalah . . .
y −4 7 −4
x −0
=
5−0
↔ 5 ( y − 4 )=3 x ↔ 5 y − 20=3 x ↔ 5 y − 3 x = 20
'. Menent(&n Si#te" Perti)"n Liner D( Vri*e$ )ri $(&i#n Der% Pen+e$e#in ara menentukan sistem pertidaksamaan linear dua 8ariabel dari lukisan daerah penyelesaian $ . Tentukan garis-garis batas dari lukisan daerah penyelesaian.
+¿ ) atau ( −¿ ). >. 7ila daerah terarsir ada di daerah ( +¿ ), maka tanda yang digunakan ≥ dan bila daerah ( −¿ 0. ihat daerah terarsir ada di daerah (
), maka tanda yang digunakan
≤.
i
: ontoh Tentukan sistem pertidaksamaan linear dari daerah yang diarsir pada gambar berikut iniB 7
n (2<
m
(0
(58
l 6
k (80
6a@ab $ 9aris k terdiri dari titik (>,/) dan (/,1) maka garisnya adalah x y 3
+ =1 4
4 x + 3 y =12
k =3 y + 4 x =12
Pertidaksamaannya
9aris y −3 9 −3
l
=
3 x + 4 y < 12
terdiri dari titik (?,>) dan (0,;), maka garisnya adalah$ x −6 2− 6
−4 ( y −3 )=6 ( x −6 ) −4 y + 12=6 x − 36
i
6 x + 4 y =48
9aris
9aris y −0 3 −0
dan pertidaksamaannya
4 y + 6 x < 48
¿ 4 y =6 x =48
l
m terdiri dari titik (>,/) dan (?,>), maka garisnya adalah$
=
x −3 6 −3
= 3 y = 3 x − 9
pertidaksamaannya y − x >−3 garis
m=3 y −3 x =−9 atau y = x =−3 . 9aris
n terdiri dari titik (/,1) dan (0,;), maka garisnya
adalah $
y −4 9 −4
x −0
=
2−0
2 y −8 =5 x
2 y − 5 x = 8
9aris
n =2 y −5 x =8
Pertidaksamaannya
2 y −5 x < 8
6adi, sistem pertidaksamaannya yang membentuk daerah yang diarsisr adalah 3 x + 4 y > 12
4 y + 6 x < 48
y − x >−3 2 y −5 x < 8
D. Mern,ng M!)e$ Mte"ti& i
Model matematika adalah suatu hasil interpretasi manusia dalam menterjemahkan atau merumuskan persoalan sehari-hari ke dalam bentuk matematika, sehingga persoalan itu dapat diselesaikan se%ara matematis. ontoh$
m
"uatu tempat parkir luasnya 0// seluas /
m
2
. 5ntuk memarkir sebuah mobil rata-rata diperlukan tempat
2
dan untuk bus rata-rata 0/
m
2
. Tempat parkir itu tidak dapat menampung lebih dari
0 mobil dan bus. 7ila di tempat parkir itu akan diparkir x mobil dan y bus, buatlah model matematikanyaB 6a@ab$ #ata dari soal dapat dituliskan ke bentuk tabel berikut ini$ M!*i$
B(#
L%n
( x )
( y )
Ter#e)i
L(# D+ t"-(ng
/
0/
0// 0
Penulisan model matematika$
< 10 x + 20 y ≤ 200 → x + 2 y ≤ 20
x + y ≤ 12 → x + y ≤ 12 x ≥ 0, y ≥ 0 → x + y ≤ 12
E. Penent(n Ni$i O-ti"(" "e"i"("&n/"e"ini"("&n0 )ri M#$% Pr!gr" Liner #alam menentukan nilai optimum (memaksimumkanCmeminimumkan) masalah program linear, kita harus menentukan titik pojok dari daerah himpunan penyelesaian (daerah &easible) sistem pertidaksamaan yang ada (kendalaCsyarat &ungsi tujuan). E.1 Titi& P!!&/Titi& Etri"
"ebuah titik pojok dari daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah sebuah titik pada atau di dalam daerah penyelesaian yang merupakan perpotongan dua garis pembatas. Titik pojok sering disebut titik ekstrim. Titik-titik ekstrim inilah yang paling menentukan nilai optimum &ungsi tujuan dalam masalah program linear.
i
ontoh $ M#$% )er% tert(t(-0 "elesaikanlah sistem pertidaksamaan linear berikut ini se%ara gra&ik dan %arilah titik-titik ekstrimnya. 2 x + y ≤ 22
x + y ≤ 13
2 x + 5 y ≤ 50
x ≥ 0
y ≥ 0
6a@ab$
10
Pertidaksamaan
x ≥ 0, y ≥ 0
menunjukkan bah@a daerah penyelesaian berada di kuadran pertama.
ukiskan tiga garis lurus (garis pembatas) berikut ini 2 x + y =22
x + y =13 2 x + 5 y =50
Titik potong ketiga garis * dan sumbu Y terlihat pada tabel berikut ini. 2 x + y =22
x
/
y
00
/
Titi&
(/,00)
(,/) i
x + y =13 x
/
>
y
>
/
(/,>)
(>,/)
Titi&
ukiskan ketiga garis pembatas itu dalam koordinat artesius dengan ukuran yang tepatB Penentuan daerah himpunan penyelesaian$ x≥0→ sebelah kanan sumbu Y • •
•
•
•
y ≥ 0 → sebelah atas sumbu * 2 x + y ≤ 22 →
2 x + y =22
sebelah ba@ah garis
x + y ≤ 13 → sebelah ba@ah garis x + y =13 2 x + 5 y ≤ 50 →
2 x + 5 y =50
sebelah ba@ah garis
Penentuan titik-titik ekstrim
2 x + 5 y =50
i.
'(/,/), perpotongan garis
ii.
7(A,<), perpotongan garis
iii
(;,1), perpotongan garis
i8.
+ = #(,/), perpotongan garis 2 x y 22 dengan sumbu *
2 x + 5 y =50
x + y =13
dengan sumbu Y dengan garis x + y =13
dengan garis
2 x + y =22
8. E(/,/), perpotongan sumbu * dan sumbu Y ukisan daerah penyelesaian dan titik-titik ekstrimnya.
11
A(01
B( (<4 +(11
ontoh 0$ (Masalah daerah terbuka) "elesaikan daerah sistem pertidaksamaan linear berikut ini se%ara gra&ik dan %arilah titik-titik ekstrimnyaB 5 x + y ≥ 20 x + y ≥ 12 x + 3 y ≥ 18 x ≥ 0
i
y ≥ 0 6a@ab$ 5 x + y =20 x
/
1
y
0/
/
(/,0/)
(1,/)
x
/
0
y
0
/
(/,0)
(0,/)
Titi&
x + y =12
Titi&
x + 3 y =18
12
x
/
<
y
?
/
(/,?)
(<,/)
Titi&
Penentuan titik ekstrim a@al •
Perhatikan semua garis pembatas saat memotong sumbu Y yaitu (/,/), (/,0/). (/,0), (/,?). Karena semua syarat ketidaksamaan adalah
•
≥ , pilih nilai y yang paling besar, yaitu (/,0/)
sebagai titik ekstrim a@al. Perhatikan semua garis pembatas saat memotong sumbu *, yaitu (/,/), (1,/), (0,/), (<,/). Karena semua syarat ketidaksamaan adalah ≥ , pilih nilai x yang paling besar, yaitu (<,/)
sebagai titik ekstrim a@al. Penentuan daerah himpunan penyelesaian x ≥ 0 → sebelah kanan sumbu Y i. ii.
iii iv 8.
y ≥ 0 → sebelah atas sumbu * 5 x + y ≥ 20 →
sebelah atas garis
5 x + y =20
x + y ≥ 12 → sebelah atas garis x + y =12
x + 3 y ≥ 18 → sebelah atas garis x + 3 y =18 i
Y
A(02 B(21 (<8
Penentuan titik ekstrim
+(1= 5 x + y =20
i.
'(/,0/), perpotongan garis
ii.
7(0,/), perpotongan garis
iii.
((;,>), perpotongan garis
i8.
#(<,/), perpotongan garis x + 3 y =18 dengan sumbu *
5 x + y =20
x + y =12
dengan sumbu Y
+ = dengan x y 12
dengan
x + 3 y =18
E.2 Ni$i O-ti"(" S(t( F(ng#i O*e&ti 18
#alam pemodelan matematika masalah produksi ban PT. "amba ababan, kalian akan men%ari nilai x dan y sedemikian sehingga &ungsi tersebut adalah
f ( x , y )=40.000 x + 30.000 y
maksimum. 7entuk umum dari
f ( x , y )=ax + by . "uatu &ungsi yang akan dioptimumkan (maksimum atau
minimum). 3ungsi ini disebut &ungsi objekti&. 5ntuk menentukan nilai optimum &ungsi objekti& ini, kalian dapat menggunakan dua metode, yaitu metode uji titik pojok dan metode garis selidik.
E.2.1. Met!)e Ui Titi& P!!&
5ntuk menentukan nilai optimum &ungsi objekti& dengan menggunakan metode uji titik pojok, lakukanlah langkah-langkah berikut. a. b. %. d.
9ambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu. "ubstitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam &ungsi objekti&. 7andingkan nilai-nilai &ungsi objekti& tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari &ungsi f ( x, y), sedangkan nilai terke%il berarti menunjukkan nilai minimum dari &ungsi f ( x, y).
M#$% "i"("0
ontoh arilah x, y, sedemikian rupa sehingga &ungsi objekti& maksimum$ z =8000 x + 6000 y i
"yarat D syarat $
2 x + 2 y ≤ 100 → x + y ≤ 50
2 x + 4 y ≤ 160 → x + 2 y ≤ 80
6 x + 4 y ≤ 280 → 3 x + 2 y ≤ 140
x ≥ 0, y ≥ 0 ; x , y ∈ R 6a@ab$ 5ntuk men%ari =P dari sistem pertidaksamaan diatas, anggap x , y ∈ 2
x + y =50 / A/ titi& (/,A/)
A/ / (A/,/)
14 x + 2 y =80 / 1/ titi& (/,1/)
/ (,/)
3 x + 2 y =140
2
/ 1?
3
:/ titi& (/,:/)
/ 2
(1?
3
,/) •
Penentuan titik potong masing-masing garis pembatas dengan sumbu koordinat$ garis pembatas memotong sumbu * apabila
•
y =0 dan memotong sumbu Y apabila
tabel diatas. Penentuan titik pojok pada daerah =P dari syaratCkendala$ + = i. ' (/,1/), perpotongan garis x 2 y 80 dengan sumbu Y
i
x =0 seperti terlihat pada
2
ii.
# (1?
3
,/), perpotongan garis
3 x + 2 y =140
dengan sumbu *
Titik-titik potong antara garis$
+ =50 i. x y
ii. x + y =50 × 2
x + 2 y =80−¿
3 x + 2 y =140 −× 1
− y =−30 − x =− 40
y =30
x =40
→ x = 20
→ y =10
7(0/,>/)
(1/,/)
1 7
B(2080 (4010
A(040)
6 +(1?
•
Penentuan nilai maksimum dengan metode uji titik pojok F(ng#i t((n 5 z 6 7888 x 9 :888 y Nilai z Titi& -!!& i
z / F ?///(1/) 01/./// z //(0/) F ?///(>/) >1/./// z //(1/) F ?///(/) >
A 8;480 B 28;380 ' 48;180 2
D 4:
2
z //(1?
;80
3
3
) F ?///(/) >:>.>>>
1 3
6adi, nilai maksimum G >
ara lain dalam menentukan nilai maksimum dan minimum &ungsi objekti& dengan menggunakan garis selidik •
•
yaitu
ax + by = k .
ax + by = k
Pengertian garis selidik 9aris selidik
z =ax + by
ax + by = k
merupakan suatu garis yang ber&ungsi utnuk menyelidiki dan
menentukan sampai sejauh mana &ungsi objekti& z maksimum atau minimum. + = 'turan penggunaan garis selidik ax by k . 9ambar garis
ax + by = ab yang memotong sumbu * di titik (b,/) dan memotong
sumbu Y di titik (/,a). 0. Tarik garis-gari sejajar dengan
ax + by = ab
hingga nilaai G maksimum atau minimum,
dengan memperlihatkan hal-hal berikut$ ax + by = k 1 a. 6ika garis sejajar dengan garis
ax + by = ab
15
dan berada di paling
atas atau berada di paling kanan pada daerah himpunan penyelesaian, maka z =k 1
merupakan nilai maksimumnya.
b. 6ika garis
ax + by = k 2
sejajar garis
ax + by = ab dan berada di paling ba@ah
atau di paling kiri pada daerah himpunan penyelesaian, maka
z =k 2
merupakan nilai minimumnya. ontoh
Tentukan
nilai
maksimum
dari
x + y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0, dan x , y ∈ R . i
3 x + 2 y
yang
memenuhi
6a@ab $
8
0
2
6
3 x + 2 y = 6
3 x + 2 y =15
6adi, nilai maksimum di%apai pada titik (A,/) yaitu$ > . A F 0 . / A. ontoh Tentukan nilai maksimum z = x + 2 y yang memenuhi$ x + 3 y ≤ 9,2 x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0 . 6a@ab $ 7 = : 5 4 8 z x 2 y Pada gambar di atas, terlihat bah@a nilai maksimum 2 = + di%apai pada titik '(>,0). 1 6adi nilai maksimum G > F 0 . 0 :1:
A-$i&#i -r!gr" $iner
0 1 2 8 4 5 : = < 7eberapa masalah penentuan nilai optimum yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari dapat
di&ormulasikan ke bentuk masalah program linear dan diselesaikan dengan metode uji titik pojok. angkah-langkah yang harus ditempuh dalam mengubah persoalan sehari-hari ke dalam bentuk masalah program linear adalah sebagai berikut$ . Tetapkan objek-objek yang dituju dengan pemisah 8ariabel x dan y. 0. Tuliskan ketentuan-ketentuan yang ada kedalam sebuah tabel dan tuliskan model matematikanya. >. "elesaikanlah model matematika itu dengan metode uji titik pojok untuk memperoleh nilai optimum &ungsi objekti&. ontoh$ "eorang penjahit pakaian mempunyai persediaan ? m kain sutera, m kain @ol, A m kain katun yang akan dibuat 0 model pakaian dengan ketentuan berikut ini$ Model ' membutuhkan 0 m sutera, i m @ol, dan m katun per unit. Model 7 membutuhkan m sutera, 0 m @ol, dan > m katun per unit.
i
6ika keuntungan pakaian model ' 2p >/.///Cunit dan keuntungan pakaian model 7 2p A/.///Cunit. Tentukan banyaknya masing-masing pakaian yang harus dibuat agar diperoleh keuntungan maksimum. 6a@ab$ Misalkan$ x jumlah pakaian model ' y jumlah pakaian model 7 B%n M!)e$ A x 0 M!)e$ B y0 0 S(ter 0 Kt(n Ke(nt(ngn >/./// A/./// Model matematika yang terbentuk$ z =30.000 x + 50.000 y Memaksimumkan &ungsi tujuan
Kendala$
Ter#e)i ? A
2 x + y ≤ 16,
x + 2 y ≤ 11 x + 3 y ≤ 15 x ≥ 0, y ≥ 0 9ambar di ba@ah ini menunjukkan daerah penyelesaian dari kendala masalah program linear.
1= •
Penentuan titik pojok daerah penyelesaian i. '(/,A), perpotongan garis x + 3 y =15 dengan sumbu Y. ii.
7(>,1), perpotongan garis x + 3 y =15 dengan garis x + 2 y =11 . Penentuan titik 7$ x + 3 y =15 x + 2 y =11−¿ y = 4
x + 8=11 → x =3 ∴
iii.
7(>,1)
(:,0), perpotongan garis
2 x + y =16
+ = dan garis x 2 y 11 .
Penentuan titik $ 2 x + y =16 x + 2 y =11+¿ 3 ( x + y )=27 ∴
x + y =9
x + 2 y =11
-
i
− y =−2 y =2 x + 2= 9 → x = 7 ∴
i8.
(:,0)
#(/,<), perpotongan garis
2 x + y =16
dengan sumbu *.
7
B(84)
(:2)
A(0)
6 +(=0)
1< •
Penentuan nilai maksimum &ungsi tujuan G dengan uji titik potong daerah penyelesaian kendala$ F(ng#i T((n5 = 6 38.888 x 9 >8.888 y Titi& -!!& Nilai G H / F 0A/./// 0A/./// A8;>0 H ;/./// F 0///./// 0;/./// B3;40 H 0/./// F //./// >/./// '?;20 D7;80 H 01/./// F / 01/.///
6adi, banyaknya pakaian yang harus dibuat adalah : unit model pakaian ' dan 0 unit model pakaian 7 dengan keuntungan >/.///. ontoh 0$ Panitia demo masakan menyediakan 0 jenis makanan bergiGi berbentuk bubuk untuk peserta. Tiap 1// g, kedua jenis makanan itu mengandung nutrisi seperti tertera pada tabel$ Un#(r Pr!tein Le"& Kr*!%i)rt
M&nn A A g 0g 0A g
M&nn B / g 1g >/g
Para peserta setiap hari paling sedikit memerlukan A g protein, 1 g lemak, dan >/ g karbohidrat. 'pabila harga makanan ' 2p A./// setiap 1/ g makanan 7 2p 0/./// setiap 1// g, tentukan harga minimum dari makanan yang telah dihabiskan para peserta setiap harinya. 6a@ab$ i
Misalkan, x banyaknya makanan ' y banyaknya makanan 7 Model matematikanya yang terbentuk$ Meminimumkan &ungsi tujuan$ z =15 x + 20 y (dalam puluhan ribu) Kendala$ 15 x + 10 y ≥ 15 → 3 x + 2 y ≥ 3
2 x + 4 y ≥ 4 → x + 2 y ≥ 2
25 x + 30 y ≥ 30 → 5 x + 6 y ≥ 6
20 x ≥ 0, y ≥ 0 → x ≥ 0, y ≥ 0
9ambar di ba@ah ini menunjukkan daerah penyelesaian dari kendala masalah program linear. 7
(/, 3 1
7( 2 ,
•
Penen"!an "i"i$ #o'o$ daera #enelesaian i
A(20) #er#o"ongan garis x + 2 y =2 dengan s!m&! 6 3
1
ii •
'(0,/)
B( 2 ,
4
), perpotongan garis x + 2 y =2 dan
Penen"!an "i"i$ B. 3 x + 2 y =3
x + 2 y =2
>
4 ( x + y )= 5
i
3 x + 2 y = 3
x + y =
5 4
x + 2 y =2
− y =
-
−3 4
y =
3 4
x +
3 4
∴ x
=
5 4
5
3
1
4
4
2
= − =
∴B
1 3
( , ) 2 4
3
(iii) (0 2 ) #er#o"ongan garis
•
3 x + 2 y = 3
dengan s!m&! 7
Penen"!an nilai minim!m %!ngsi "!'!an ? dengan !'i "i"i$ #o'o$ daera #enelesaian $endala.
21
Fungsi tujuan: z = 1 x ! "#y $dalam %uluhan ribu& Ti"i$ #o'o$
@ilai ?
A(20)
9 80>09 80 x 10000 9800000
1
B$ 2 '
3 4
3
(0 2 )
15
&
9
2
+
30 2
45
9
2
x 10000
9 22000 9 0 > 80 9 80 x 10000 9800000
Jadi arga minim!m dari ma$anan ang "ela dia&is$an #eser"a adala R# 22000 i
22
Latihan S(al 1
(02)
(80) i
+aera ang diarsir #ada gam&ar #enelesaian dari #er"ida$samaan a & ;
di
2 x + 3 y ≤ 0
a"as
d
2 x + 3 y ≤ 6
e
men!n'!$$an
daera
im#!nan
3 x + 2 y ≤ 6 2 x −3 y ≤ 6
2 x + 3 y ≥ 6
% 2 *eorang #em&!a" $!e sa"! ari #aling &ana$ mem&!a" 100 $!e Biaa $!e 'enis I adala R# 100 #er &!a dan &iaa $!e 'enis II adala R# 200 #er &!a Ke!n"!ngan $!e 'enis I adala R# 0 dan 'enis II adala R# 40 #er &!a Ji$a model #em&!a" $!e R# 1000 ma$a sis"em #ersamaan ses!ai dengan $alima" dia"as adala a
x ≥ 0, y ≤ 0, x + y ≤ 100, x + 2 y ≤ 150, x , y ∈ C
&
x ≤ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 100, x + 2 y ≥ 150, x , y ∈ C
;
x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≤ 100, x + 2 y ≤ 150, x , y ∈ C
d
x ≥ 0, y ≤ 0, x + y ≥ 100, x + 2 y ≥ 150, x , y ∈ C
e
x ≥ 0, y ≤ 0, x + y ≤ 100, x + 2 y ≥ 150, x , y ∈ C
g 8 @ilai ma$sim!m a & ; d e
4 x + 5 y
dengan x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2 y ≤ 10 dan x + y ≤ 7 adala
84 88 82 81 80
4 @ilai minim!m %!ngsi
2 x + 4 y
dalam daera x ≥ 0, x + y ≤ 5, x + y ≥ 3, x − y ≤ 0 adala
a & ; d e
14 12 10 = 5 i ' *eorang #emili$ "o$o se#a"! ingin mengisi "o$ona dengan se#a"! la$i-la$i #aling 28 sedi$i" 100 #asang dan se#a"! ani"a #aling sedi$i" 10 #asang To$o "erse&!" da#a" mem!a" 400 #asang se#a"! Ke!n"!ngan se"ia# #asang se#a"! la$i-la$i R# 1000 dan se"ia# #asang se#a"! ani"a R# 00 Ji$a &ana$na se#a"! la$i-la$i "ida$ &ole mele&ii 10 #asang ma$a $e!n"!ngan "er&esar ang di#erole adala a R#2:000 & R#800000 ; R#82000 d R#80000 i
e R#8:000 $ 5 L!as daera #ar$ir adala 850 m
2
dan se&!a &!s 24 m
2
m
2
l!as ra"a-ra"a !n"!$ #ar$ir se&!a mo&il 5
+aa m!a" daera #ar$ir ma$sim!m ana 80
$endaraan Ji$a &ana$na mo&il adala x dan &ana$na &!s y ma$a model ma"ema"i$a dari #ermasalaan "erse&!" adala a
x + 4 y ≤ 60, x + y ≤ 30, x ≥ 0, y ≥ 0, x , y ∈ C
&
x + 4 y ≤ 60, x + y ≤ 30, x > 0, y > 0, x , y ∈ R
; d e
4 x + y ≤ 60, x + y ≤ 30, x ≥ 0, y ≥ 0, x , y ∈ C
4 x + y < 60, x + y < 30, x > 0, y > 0, x , y ∈ R 6 x + 4 y ≤ 60, x + y ≤ 30, x > 0, y > 0, x , y ∈ R
l : +engan #ersediaan $ain &a"i$ 20 m dan $ain song$e" 1 m seorang #en'ai" a$an mem&!a" #a$aian 'adi Model I memerl!$an 1 m $ain &a"i$ dan 22 $m $ain song$e" Model II memerl!$an 2 m $ain &a"i$ dan 0 $ain song$e" Model I memerl!$an &iaa R# 1000 dan model II memerl!$an &iaa R# 220 Besarna &iaa ma$simal ang di$el!ar$an !n"!$ mem&!a" #a$aian 'adi adala a R# 10000 & R# 1000 ; R# 20000 d R# 2000 e R# 21=: m n = +i$e"a!i model ma"ema"i$a dari s!a"! masala dir!m!s$an se&agai &eri$!". 3 x + y ≤ 216, x + y ≤ 96, x ≥ 0, dan y ≥ 0, x , y ∈ C
f ( x , y ) =5 x + 3 y di;a#ai "i"i$
a & ; d e
(8550) (5085) (8285) (5082) (8250) o # C r s " !
< 24
v 10 @.
= + i
@ilai
ma$sim!m
%!ngsi
o&'e$"i%
D
II
2 2
aa
+4
? +++ 4
a&
2
a%.
=impunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
x ≥ 0, y ≥ 0, 5 x + y ≥ 10,2 x + y ≤ 8, 0 ≤ y ≤ 2, x , y ∈ R a. b. %. d. e.
+ ++ +++ +4 4 ad.
/. Nilai maksimum &ungsi objekti&
5 x + 4 y
ditunjukkan oleh daerah. . .
untuk daerah yang diarsir adalah. . .
ae a%
=
ag a 1 ai a'
?
=
a. 1/ b. 10 %. >< d. >? e. >1 ak. al. am. an. ao. ap. aI. ar.
#. t.
DAFTAR 2 PUSTAKA
au. a8.
7imata, Tim. Modul Matematika (IPA) untuk SMA/MA Kelas XII. 4 "ukoharjo $ Jilliam. "ukino. Matematika untuk SMA Kelas XII. 0//:. 6akarta $ Erlangga.
a
Anar e;e# F * dan Pes"a Matematika Aplikasi untuk SMA dan MA Kelas
XII Program IPA 200= Ja$ar"a . P!sa" Per&!$!an +e#ar"emen Pendidi$an @asional i
aD *!m&er in"erne".
ay. az. +a. **.
http//!!!."indo.#om/$%&'/%&/katakatamutiaramotiasipela*ar.html http//pela*arpro.#om/,$'katamutiarauntukpela*ar
*,. *). *e. *. *g. *%. *i. *. *&. *$. *". *n. *!. *-. *@. *r. *#. *t. *(. *. *. *C. *+. *=. ,. ,*. ,,. ,).
%e.
DESKRIPSI KERJA KELOMPOK 25
%&. Kami dari kelompok < yang beranggotakan 3at@a +nangsari '. 2.,
Kristiyanti Manalu, dan
"umiarsih. Pada tahap a@al pengerjaan buku ini, kami melakukannya se%ara bersamaan. Kemudian pada tahap berikutnya, kami melalukan pembagian tugas guna memper%epat penyelesaian buku ini. 3at@a mendapat tugas untuk menulis materi menentukan daerah penyelesain "P#4 dan menentukan sistem pertidaksamaan linear dua 8ariabel dan lukisan daerah penyelesaian. Kristiyanti mendapat tugas menulis materi meran%ang model matematika dan penentuan nilai optimum dari masalah program linear. "umiarsih mendapat tugas menulis materi menentukan nilai optimum &ungsi objekti& dan apllikasi program linear. 5ntuk
tahap akhir materi yaitu latihan soal, kami mengerjakan bersama-sama serta sebelum kami
mengeprint buku ini kami melakukan e8aluasi terlebih dahulu terhadap buku ajar ini. i
%g.Kami men%ari materi mengenai program linear dari buku paket yang kami miliki se@aktu "M'. "elain itu kami pun men%ari re&erensi dari buku-buku lain seperti buku “Matematika 'plikasi 5ntuk "M'CM' Kelas *++ Program +P'!. #alam proses pengerjaan buku ini kami mengalami beberapa kendala atau masalah diantaranya sulit mendapatkan tempat untuk megerjakan buku ini, kami juga mengalami kesulitan dalam membuat gra&ik penyelesaian materi "P, desain %o8er buku yang menarik dan pembuatan halaman pada buku ini. Meskipun kami mengalami beberapa kendala dalam pengerjaan buku ini, tetapi kami tetap berusaha untuk menyelesaikan buku ini dengan sebaik mungkin. %h.5ntuk mengatasi beberapa kendala tersebut kami meminta bimbingan kepada #osen Program Komputer #asar kami. 5ntuk itu, kami mengu%apkan terimakasih kepada 7apak #ede Trie Kurnia@an, "."i, M.Pd atas bimbingan bapak, sehingga kami dapat menyelesaikan buku ini tepat pada @aktunya. %i. %j.
%k.
,. %. %y. %G. db.
d%. dd. de. d&. dg.
di. dj. dk. dl.
%l. %m. %n. %o. %p. %I. %r. %s. %t. %u. PROFIL KELOMPOK %@.2:
Nama $ 3at@a +nangsari 'dam 2ajalo@a Tempat, tanggal lahir $ 'bepura, /< 6anuari ;;: 'lamat $ #sn. Pahing 2T 2J /1 No.< da. #esa "ampora Ke%. ilimus 2i@ayat Pendidikan $ - "# Negeri +npres A.< Perumnas Jaena - "MP Negeri 6ayapura - "M' Negeri 6ayapura - "M' Negeri 6alaksana Nama $ Kristiyanti Manalu Tempat, tanggal lahir $ irebon, /? 6anuari ;;? 'lamat $ #uku "emarC2usuna@a 7lok '> No. /A 2i@ayat Pendidikan $ - "# Negeri Merapi irebon - "MP Negeri < irebon - "M' Putra Nirmala irebon dh. Nama $ "umiarsih Tempat, tanggal lahir $ 7rebes, : Mei ;;? 'lamat $ Kubangpari 2TC/0 2@C/ Kersana-7rebes 6ateng 2i@ayat Pendidikan $ - "# Negeri ikandang /0 - "MP Negeri Kersana i