Prednapeti Primjer P01 Naprezanje-betonske konstrukcije

Primjer 1.

Prosta greda raspona l=10.00 m pravokutnog presjeka b=40 cm, h=100 cm. Dodatno stalno optere ćenje ∆G=23.33 kN/m, promjenjivo opterećenje Q=20.00 kN/m. Sile  prednapinjanja dane su pod a), b),c) i d). Vlastita težina nosača: G = (b ⋅ h) ⋅ γ   = (0.4 ⋅ 1.0) ⋅ 25 = 10.00 kN  / m Ukupno opterećenje: q = G + ∆G + Q = 10.00 + 23.33 + 20.00 = 53.33 kN  / m q=53.33 kN/m

l=10.00 m

 M  =  M max = b⋅h

q ⋅l

8

2

53.33 ⋅10 2 = = 666.66 kNm 8

0.4 ⋅1.03 = = 0.0333 m 4  I  = 12 12 3

W  = W g = W d  =

b⋅h

6

2

0.4 ⋅1.0 2 = = 0.0666 m 3 6

 A = b ⋅ h = 0.4 ⋅1.0 = 0.4 m 2  A p = 20 cm - površina kabela 2

a) P=4000 kN , z cp=0 m -10

-10

težište

M

-20

=

+

P

-10

+10

0

 Naprezanje u betonu na gornjem rubu presjeka: g σ c

g

σ c

g

σ c

⎛  P P ⋅ z cp  ⎞  M  ⎟− = ⎜⎜ − + ⎟ W   A W  g g ⎝   ⎠

⎛  4000 ⋅103 4000 ⋅103 ⋅ 0 ⎞ 666.66 ⋅103 ⎟⎟ − = ⎜⎜ − + 0.4 0.0666  ⎠ 0.0666 ⎝  = −10 − 10 = −20 MPa

 Naprezanje u betonu na donjem rubu presjeka: d  σ c

⎛  P P ⋅ z cp  ⎞  M  ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − ⎝   A W d   ⎠ W d 

3 3 3 ⎛   ⎞ 4000 10 4000 10 0 666 . 66 10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ d  ⎟⎟ + − σ c = ⎜ − ⎜ 0.4 0.0666  ⎠ 0.0666 ⎝ 

d 

σ c

= −10 + 10 = 0 MPa

b) P=2000 kN , z cp=0.1666 m (na rubu jezgre presjeka h/6) 0

ezgra  presjeka

M

-10

=

+

težište

-10

zcp P -10

+10

0

 Naprezanje u betonu na gornjem rubu presjeka: g σ c

g

σ c

g

σ c

⎛  P P ⋅ z cp  ⎞  M  ⎟− = ⎜⎜ − + ⎟ W   A W  g g ⎝   ⎠

⎛  2000 ⋅103 2000 ⋅103 ⋅ 0.1666 ⎞ 666.66 ⋅103 ⎟⎟ − = ⎜⎜ − + 0.4 0.0666 0.0666 ⎝   ⎠ = 0 − 10 = −10 MPa

 Naprezanje u betonu na donjem rubu presjeka: d  σ c

⎛  P P ⋅ z cp  ⎞  M  ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − ⎝   A W d   ⎠ W d 

3 3 3 ⎛   ⎞ 2000 10 2000 10 0 . 1666 666 . 66 10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ d  ⎟⎟ + − σ c = ⎜ − ⎜ 0.4 0.0666 0.0666 ⎝   ⎠ d 

σ c

= −10 + 10 = 0 MPa

c) P=1333.33 kN , z cp=0.3333 m +3.33

M

težište

-10

-6.66

=

+ zcp

P -10

+10

0

 Naprezanje u betonu na gornjem rubu presjeka: g σ c

g

σ c

g

σ c

⎛  P P ⋅ z cp  ⎞  M  ⎟− = ⎜⎜ − + ⎟ W   A W  g g ⎝   ⎠

⎛  1333.33 ⋅103 1333.33 ⋅103 ⋅ 0.3333 ⎞ 666.66 ⋅103 ⎟⎟ − = ⎜⎜ − + 0.4 0.0666 0.0666 ⎝   ⎠ = 3.33 − 10 = −6.66 MPa

 Naprezanje u betonu na donjem rubu presjeka: d  σ c

⎛  P P ⋅ z cp  ⎞  M  ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − ⎝   A W d   ⎠ W d 

d  σ c

⎛  1333.33 ⋅103 1333.33 ⋅103 ⋅ 0.3333 ⎞ 666.66 ⋅103 ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − 0.4 0.0666 0.0666 ⎝   ⎠

d 

σ c

= −10 + 10 = 0 MPa

d) P=1176.47 kN , z cp=0.4 m +4.12

M

težište

-10

-5.88

=

+ zcp

P -10

+10

0

 Naprezanje u betonu na gornjem rubu presjeka: g σ c

g

σ c

g

σ c

⎛  P P ⋅ z cp  ⎞  M  ⎟− = ⎜⎜ − + ⎟ W   A W  g g ⎝   ⎠

⎛  1176.46 ⋅103 1176.46 ⋅103 ⋅ 0.4 ⎞ 666.66 ⋅103 ⎟⎟ − = ⎜⎜ − + 0.4 0.0666 0.0666 ⎝   ⎠ = 4.12 − 10 = −5.88 MPa

 Naprezanje u betonu na donjem rubu presjeka: d  σ c

⎛  P P ⋅ z cp  ⎞  M  ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − ⎝   A W d   ⎠ W d 

d  σ c

⎛  1176.46 ⋅103 1176.46 ⋅103 ⋅ 0.4 ⎞ 666.66 ⋅103 ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − 0.4 0.0666 0.0666 ⎝   ⎠

d 

σ c

= −10 + 10 = 0 MPa

g

a)  b) c) d)

P=4000 kN zcp=0 m P=2000 kN zcp=0.1666 m P=1333.33 kN zcp=0.3333 m P=1176.47N zcp=0.4m

d 

σ c

σ c

-20 MPa

0 MPa

-10 MPa

0 MPa

-6.66 MPa

0 MPa

-5.88 MPa

0 MPa

e) kako dobiti sile prednapinjanja (P=?) u primjeru a),b),c) i d) ako uzmemo da je u: a) zcp=0 m  b) zcp=0.1666 m c) zcp=0.3333 m d) zcp=0.4m

 Naprezanje u betonu na donjem rubu presjeka je nula: d  σ c

=−

P=

P  A

−

P ⋅ z cp W d 

+

 M  W d 

=0

 M   z cp + k g

k g =

W d   A

=

0.0666

 M  =  M max =

0.4 q ⋅l

8

2

= 0.1666 m 53.33 ⋅ 102 = = 666.66 kNm 8

- za zcp=0 m 666.66  M  P= = = 4000 kN   zcp + k g 0 + 0.1666 - za zcp=0.1666 m 666.66  M  P= = = 2000 kN   z cp + k g 0.1666 + 0.1666

- za zcp=0.3333 m 666.66  M  P= = = 1333.33 kN   z cp + k g 0.3333 + 0.1666 - za zcp=0.4 m 666.66  M  P= = = 1176.47 kN   z cp + k g 0.4 + 0.1666

P ( z cp ) =

 M   z cp + k g

4 .10

6

3 .10

6

( )

P z cp 2 .106 1 .10

6

0

0.1

0.2

0.3 z cp

0.4

0.5

f) odredi momenat savijanja u trenutku pojave prve pukotine u betonu za slu čaj d) P=1176.47 kN , z cp=0.4 m

Srednja vlačna čvrstoća betona:  f ctm = 2.9 MPa

- Mcr  - momenat savijanja u trenutku pojave prve pukotine u betonu  Naprezanje u betonu na donjem rubu: P P ⋅ z cp  M cr  − − + =  f ctm  A W d  W d 

⎛  P P ⋅ zcp  ⎞ ⎟⎟  M cr  = W d  ⎜⎜  f ctm + +  A W d   ⎠ ⎝  ⎛  1176.47 ⋅103 1176.47 ⋅103 ⋅ 0.4 ⎞ 6 ⎟⎟ = 859610 Nm +  M cr  = 0.0666⎜⎜ 2.9 ⋅10 + 0.4 0.0666 ⎝   ⎠  M cr  = 860 kNm

Kontinuirano opterećenje u trenutku pojave prve pukotine u  betonu: qcr  ⋅ l 2  M cr  = 8 8 ⋅ M cr  8 ⋅ 860 qcr  = = = 68.8 kNm 2 2 10 l

g) ulazni podaci za SectionDesign

Ukupno opterećenje: q = G + ∆G + Q = 10.00 + 23.33 + 20.00 = 53.33 kN  / m Moment savijanja od ukupno opterećenja: q ⋅ l 2 53.33 ⋅10 2 = = 666.66 kNm  M  =  M max = 8 8 Momenta savijanja i uzdužne sile s obzirom na težište  betonskog presjeka:

h/2

M-P zcp

M h

težište betona P zcp P (djelovanje)

 b

 N – uzdužna sila [kN] a) P=4000 kN zcp=0 m  b) P=2000 kN zcp=0.1666 m c) P=1333.33 kN zcp=0.3333 m d) P=1176.47 kN zcp=0.4m

M – momenata savijanja[kNm]

 N  = − P

 M  =  M  − P ⋅ z cp

-4000

666.66

-2000

333.33

-1333.33

222.26

-1176.47

196.07

Vidi fajlove: „Prednapeti primjer-P01-naprezanje a).aps“ „Prednapeti primjer-P01-naprezanje b).aps“ „Prednapeti primjer-P01-naprezanje c).aps“ „Prednapeti primjer-P01-naprezanje d).aps“