POTENCIAL ELECTRICO DE UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGAS.
Si la distribución de carga es continúa y no una colección de puntos, la suma debe reemplazarse por una integral:
Siendo dq un elemento diferencial de la distribución de carga, r su distancia al punto en el cual se calcula V y dV el potencial que dqproduce en ese punto.
Ejemplo 1. Determinar el potencial creado por un disco delgado de radio a, con densidad superficial de carga , en los puntos de su eje como en la figura 4.7.
Figura 4.7 Se divide el disco en anillos de ancho dy, de forma que el área de cada uno de ellos es
, y su carga
. Por lo tanto el potencial producido por el anillo es
Haciendo
se tiene que
y la integral queda
. De esto resulta
Ejemplo 2. Un trozo de alambre no conductor de longitud finita L tiene una carga total
q, distribuida uniformemente a lo largo de ella. Hallar el potencial V en el punto P en la perpendicular bisectriz en la figura 4.8. Que sucede cuando
.
Figura 4.8 El elemento de longitud distancia
. Puesto que el elemento está a una
de P, el potencial en P debido a este elemento es
integrando esta expresión se tiene
Usando tabla de integrales se tiene
Evaluando se encuentra
Para el logaritmo diverge, para hallar el potencial es necesario hacer algunas modificaciones. Se escribe para el caso de este limite el potencial como
Definiendo
Por lo tanto la diferencia de potencial entre el punto P y el infinito se puede expresar como ..................................(a) Definiendo la diferencia de potencial entre un punto que se halla a una distancia R del alambre y el infinito como y como se esta interesado únicamente en diferencias de potencial, se obtiene la diferencia de potencial entre el punto P y el punto de referencia R simplemente restando de la ecuación (a) la ecuación (b). Por lo tanto esta diferencia es
Para este caso se escoge el nivel de referencia cero para el potencial en R=1, lo que da V(R=1)=0. Por tanto, se tiene que el potencial medido r especto a este nivel de referencia es
Lo que realmente se ha hecho es el proceso de renormalizar el potencial. Debe hacerse notar que en este caso el potencial no es cero en el infinito.
Ejemplo 3. Determinar el potencial creado por una esfera uniformemente cargada de radio a, con densidad volumétrica de carga , en los puntos r>a, r=a y r
Figura 4.10
Para r>a el campo eléctrico
tiene simetría esférica. Para obtener el potencial
en un punto exterior, como en C en la figura 4.9, se sustituye
en la ecuación 4.4.
Este resultado es familiar, pues, es equivalente al producido por una carga puntual. O sea, para r>a la distribución de carga se puede reemplazar por una carga puntual situada en el centro de la distribución. Puesto que el potencial debe ser continuo en r=a, se puede obtener el potencial en la superficie de la esfera a partir de la expresión obtenida anteriormente. Entonces el potencial en el punto B de la figura es
Para r
Sustituyendo VB en la anterior expresión, se obtiene VA dada por
En r=a en la anterior expresión se obtiene VB.
En r=0 se obtiene el potencial
.
