DINÁMICA Ing. Civil
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
•
En el estudio del movimiento rectilíneo nos bastaba un número para determinar la posición, la velocidad o la aceleración de la partícula en estudio. Pero para determinar esas propiedades del movimiento de una partícula que describa una trayectoria curva, necesitaremos conocer tanto la magnitud como la dirección. De modo que será conveniente trabajar, a partir de ahora, con vectores.
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
•
Consideremos un automóvil transitando por una carretera curva, aumentando su rapidez. Si lo observamos desde un punto O fuera de la carretera, para situarlo deberemos conocer la distancia a la que se encuentra y en qué dirección se mide esa distancia. Representaremos el caso mediante una curva arbitraria y un punto sobre ella. Al punto O lo llamaremos origen, y desde éste al punto trazaremos un vector, el vector de posición.
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
•
Un tiempo después, el punto ocupará una nueva posición. Y la diferencia entre estas dos posiciones será el desplazamiento. Ahora el desplazamiento también es una cantidad vectorial, tal que
Puesto que la velocidad media es la razón del desplazamiento al tiempo, la representaremos con un nuevo vector, que tendrá la misma dirección del desplazamiento. Observemos que la magnitud del desplazamiento, es decir, la magnitud del vector, es menor que la longitud recorrida por la partícula entre las dos posiciones consideradas.
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
Si el lapso es considerado es infinitamente pequeño, la razón del desplazamiento al tiempo será la velocidad de la partícula en ese instante. Ahora bien, si la segunda posición se acerca todo lo posible a la primera, la línea que las una, que será la dirección tanto del desplazamiento como de la velocidad, será tangente a la trayectoria.
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA Esta propiedad es de especial importancia en el estudio de la Cinemática de la partícula. Y tiene la velocidad otra propiedad igualmente importante: la magnitud del desplazamiento es ahora del mismo tamaño que la longitud recorrida por la partícula. Es decir
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
Para facilitar las explicaciones que daremos en lo futuro, a partir de ahora entenderemos por rapidez el tamaño o magnitud de la velocidad. La aceleración media, que es la razón del cambio de velocidad al tiempo, será un vector cuya dirección dependa tanto del cambio de dirección de la velocidad como de su cambio de magnitud. Lo mismo se puede afirmar de la aceleración, que es la razón del cambio de velocidad al tiempo, cuando éste es infinitamente pequeño. Estudiaremos esta cantidad empleando distintos sistemas de referencia.
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA COMPONENTES CARTESIANAS. CINEMÁTICA Consideremos una partícula moviéndose en una curva arbitraria y elijamos un sistemas de referencia cartesiano, como se muestra en la figura. La posición de la partícula en un instante arbitrario queda perfectamente determinada mediante un vector que una el origen con la partícula; si las coordenadas de ésta son x y y. entonces el vector de posición será
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA COMPONENTES CARTESIANAS. CINEMÁTICA Si lo derivamos respecto al tiempo, obtendremos primero la velocidad y luego la aceleración de la partícula. Como los vectores unitarios i y j tienen magnitud y dirección constantes, las derivadas quedan como sigue.
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA COMPONENTES CARTESIANAS. CINÉTICA De la segunda ley de Newton hemos deducido que la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula tiene una magnitud igual al producto de la masa de dicha partícula por la aceleración que sufre, y tiene la dirección de esa aceleración.
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA COMPONENTES INTRÍNSECAS. CINEMÁTICA. La figura representa una partícula moviéndose en una curva cualquiera. En dirección de su velocidad, es decir, tangente a la trayectoria en ese punto, elegimos un eje de referencia, que llamaremos tangencial. Perpendicular (es decir, normal) a él tomamos el otro eje de referencia, que será el eje normal, y se dirige hacia el centro de la curva. Los vectores unitarios en esas direcciones serán el vector unitario tangencial, et y el vector unitario normal en
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA COMPONENTES INTRÍNSECAS. CINEMÁTICA. Expresada en forma polinómica, la velocidad será
Derivaremos esta expresión con el fin de obtener la aceleración de la partícula. Puesto que tanto v como et son variables
El término dv/dt nos resulta familiar, pues es la razón de cambio de la rapidez (i. e., de la magnitud de la velocidad) con respecto al tiempo. Pero
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA COMPONENTES INTRÍNSECAS. CINEMÁTICA.
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA COMPONENTES INTRÍNSECAS. CINEMÁTICA. Utilizando la regla de la cadena, podemos llegar a lo siguiente:
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA COMPONENTES INTRÍNSECAS. CINEMÁTICA.
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA COMPONENTES INTRÍNSECAS. CINEMÁTICA. que expresa la aceleración como la suma vectorial de dos componentes perpendiculares entre sí. La primea la componente tangencial es la razón de cambio de la rapidez respecto al tiempo y tiene la dirección de la velocidad; y la segunda, que se dirige hacia el centro de la curva, es igual al cuadrado de la rapidez entre el radio de curvatura. La magnitud y la dirección de la aceleración se puede obtener mediante las expresiones
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA COMPONENTES INTRÍNSECAS. CINÉTICA. Nuevamente, de las relaciones entre la resultante del sistema de fuerzas y la aceleración de una partícula que establece la segunda ley de Newton, podemos escribir
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA COMPONENTES INTRÍNSECAS. CINÉTICA. Conviene tener en cuenta que muchos problemas, aun de movimiento plano, exigen un desarrollo en tres dimensiones. En tales problemas se puede elegir un tercer eje de referencia, perpendicular al plano del movimiento, que cumple con la condición
