APLICACIÓN DEL MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN UN PROTOTIPO DE MONTAÑA RUSA OBJETIVOS: Realizar un proyecto en el cual podamos demostrar los hechos que ocurren de movimiento curvilíneo y demostrar con fórmulas lo que hemos aprendido hasta ahora para poder aplicarlo a nuestro pr oyecto. Mostrar a nuestros compañeros compañeros mediante mediante unos ejercicios aplicados aplicados a nuestro proyecto final en el cual mencionamos su velocidad; aceleración y demás componentes aplicados siempre al proyecto. PROBLEMA: ¿Cómo determinar la magnitud y dirección dirección de su aceleración en en este instante y el ángulo que la dirección de la aceleración forma con el eje x cuando la montaña rusa pasa por el punto K ; su rapidez es de 25 m/s; la cual se incrementa a at = 3 m/s2
HIPÓTESIS: Utilizando las componentes normales y tangenciales de la aceleración se podrá determinar la magnitud de la dirección de la aceleración formada con el eje x.
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Movimiento curvilíneo El movimiento curvilíneo ocurre cuando una u na partícula partí cula se desplaza a lo largo larg o de una trayectoria curva . Como esta trayectoria a menudo se describe en tres dimensiones , utilizaremos análisis vectorial para formular la posición , velocidad y aceleración de una partícula . * En esta sección se analizan los aspectos generales del movimiento curvilíneo curvi líneo y en secciones subsiguientes subsiguient es consideraremos tres tipos de sistemas coordenadas que se usan con frecuencia para analizar este movimiento .
POSICION : Considere una partícula situada en un punto de una curva espacial definida por la función de la trayectoria . El vector posición designara la posición de la partícula, medida con respecto a un punto fijo. se observa que la magnitud como c omo la dirección de este vector vect or cambiaran a medida que la partícula p artícula se mueve a lo largo de la curva .
⃗ = + y + z
DESPLAZAMIENTO : Suponga que durante un breve intervalo la partícula se mueve una distancia a lo largo de la curva a una nueva posición , el desplazamiento desplazamient o representa el cambio de posición de la partícula partíc ula y se determina mediante una resta vectorial .
= + + ⃗ = + + ⃗ =⃗ ( ) ( ) ⃗ =⃗ ⃗
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VELOCIDAD :
Durante el tiempo la velocidad de la partícula es igual a la velocidad promedio y la velocidad promedio es igual a la variación del desplazamiento sobre la variación del tiempo .
prom = ⃗ = prom = + +
Velocidad instantánea : La velocidad instantánea se determina con una ecuación
cuando variación del tiempo tiende hasta 0
= = = + + = + + Ó = + + ACELERACION: Si
la velocidad de la partícula es “v” en el instante “t”
Entonces la aceleración promedio de la partícula durante el intervalo “t” es
o
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a prom =
=
= + + + + = + + ⃗ = a prom = Vt=
⃗ = ⃗ = ⃗ = = + + ⃗ + + ⃗ + + = =
ó
Si sustituimos la ecuación también se puede escribir :
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MOVIMIENTO CURVILINEO
COMPONENTES RECTANGULARES: De vez en cuando el movimiento de una partícula puede describirse mejor a lo largo de una trayectoria que pueda expresarse en función de sus coordenadas x , y, z .
POSICION: Si la partícula esta en el punto ( x , y , z ) de la trayectoria curva mostrada en la figura , entonces el vector posición define su posición .
Cuando la partícula se mueve los componentes x , y , z de “r” serán funciones del tiempo , es decir , x =x(t) , y = y(t) , z = z(t) , de modo que r = r (t)
Y la dirección de r se especifica por el vector unitario
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VELOCIDAD: La
primera derivada con respecto al tiempo de “r” proporciona
la velocidad de la partícula . Por consiguiente
“k”. Cuando se toma esta derivada , es necesario tener en cuenta tanto la
magnitud como la dirección de cada uno de los componentes vectoriales . Por ejemplo, la derivada del componente “i” de “r” es:
El segundo termino del lado derecho es cero , siempre que el marco de referencia x , y , z este fijo y por consiguiente la dirección (y la magnitud ) de “i” no
cambie el tiempo . La diferenciación de los componentes j y k se realiza de la misma manera , la cual proporciona el resultado final ,
Donde:
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La notación “de punto “ , x , y , z representa las primeras derivadas de x = x(t) , y
=y(t) , z = z(t) , respectivamente . La magnitud de la velocidad se determina como
Y el vector unitario tangente a la trayectoria
especifica su dirección, esta dirección siempre es
ACELERACION: La aceleración de la partícula se obtiene de la primera derivada con respecto al tiempo de la ecuación tenemos :
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Donde:
Aquí , representa respectivamente las primeras derivadas con respecto al tiempo de o las segundas derivadas con respecto al tiempo de las funciones x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) La aceleración tiene una magnitud de
Como “a” representa Y una dirección especificada por el vector unitario el cambio tanto de la magnitud como de la dirección de la velocidad , en general “a” no será tangente a la trayector ia
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PUNTOS IMPORTANTES: -EL movimiento curvilíneo hace que cambie tanto la magnitud como la dirección de los vectores de posición , velocidad y aceleración. -El vector de velocidad siempre es tangente a la trayectoria. -En general , el vector de aceleración no es tangente a la trayectoria , sino que mas bien es tangente a la hológrafa. -Si el movimiento se describe mediante coordenadas rectangulares , entonces los componentes a lo largo de cada uno de los ejes no cambia de dirección , solo su magnitud y sentido ( signo algebraico ) cambiaran . -Al considerar los movimientos de los componentes , el cambio de magnitud y dirección de la posición y velocidad de la partícula se toman automáticamente en cuenta .
VELOCIDAD: La velocidad es una magnitud física de carácter vectorial que expresa un desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo . Se representa por (m/s).
o Su unidad en el sistema internacional es el metro por segundo
En virtud de su carácter vectorial, para definir la velocidad deben considerarse la dirección del desplazamiento y el módulo, el cual se denomina celeridad o rapidez De igual forma que la velocidad es el ritmo o tasa de cambio de la posición por unidad de tiempo, la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad por unidad de tiempo .
VELOCIDAD MEDIA: La 'velocidad media' o velocidad promedio es la velocidad en un intervalo de tiempo dado. Se calcula dividiendo el desplazamiento (Δr ) entre el tiempo (Δt) empleado en efectuarlo:
Esta es la definición de la velocidad media entendida como vector (ya que es el resultado de dividir un vector entre un escalar). Por otra parte, si se considera la distancia recorrida sobre la trayectoria en un intervalo de tiempo dado, tenemos la velocidad media sobre la trayectoria o rapidez media, la cual es una cantidad escalar. La expresión anterior se escribe en la forma:
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La velocidad media sobre la trayectoria también se suele denominar «velocidad media numérica» aunque esta última forma de llamarla no está exenta de ambigüedades. El módulo de la velocidad media (entendida como vector), en general, es diferente al valor de la velocidad media sobre la trayectoria. Solo serán iguales si la trayectoria es rectilínea y si el móvil solo avanza (en uno u otro sentido) sin retroceder.
VELOCIDAD INSTANTANEA: La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria, corresponde a la derivada del vector posición (R) respecto al tiempo.
Permite conocer la velocidad de un móvil que se desplaza sobre una trayectoria cuando el intervalo de tiempo es infinitamente pequeño, siendo entonces el espacio recorrido también muy pequeño, representando un punto de la trayectoria. La velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria.
En forma vectorial, la velocidad es la derivada del vector posición respecto al tiempo:
Donde es un vector (vector de módulo unidad) de dirección tangente a la trayectoria del cuerpo en cuestión y es el vector posición, ya que en el límite los diferenciales de espacio recorrido y posición coinciden.
VELOCIDAD RELATIVA: La velocidad relativa entre dos observadores A y B es el valor de la velocidad de un observador medida por el otro. Las velocidades relativas medias por A y B serán iguales en valor absoluto pero de signo contrario. Denotaremos al valor la velocidad relativa de un observador B respecto a otro observador A como . Dadas dos partículas A y B, cuyas velocidades medidas por un cierto observador son y , la velocidad relativa de B con respecto a A se denota como y viene dada por:
Naturalmente, la velocidad relativa de A con respecto a B se denota como dada por:
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y viene
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De modo que las velocidades relativas dirección contraria.
y
tienen el mismo módulo pero
VECTORES: Requieren de una magnitud (numero) una dirección , un sentido y su unidad para quedar bien definidos .
REPRESENTACION DE UN VECTOR: 1) Forma polar 2) Por sus componentes respecto a un sistema de coordenadas.
OBJETIVO: 1) Aprender la descomposición y composición rectangular de los vectores. 2) Aprender a efectuar las principales operaciones con los vectores adición ,
sustracción y producto escalar y vectorial . Escalar = numero Vectorial = su resultado es vectorialmente
VECTOR UNITARIO: Es aquel vector cuyo tamaño o magnitud es igual a la unidad.
= vector unitario = magnitud
COMPONENTES DE UN VECTOR: EN EL PLANO:
P1 (x1, y1) P2 (x2, y2)
EN EL ESPACIO: DINAMICA
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P1 (x1, y1, z1) P2 (x2, y2, z2) La distancia de entre los puntos P1 Y P2 se calcula a partir de las coordenadas de ambos puntos de la forma
VERSORES FUNDAMENTALES O UNITARIO:
En el plano i (1,0)
j (0,1)
En el espacio i (1, 0,0) j (0, 1,0) k (0, 0,1) Todo vector en el plano (ax,ay) puede escribirse de la forma A =axi + ayj Todo vector en el espacio (ax, ay,az) puede escribirse de la forma A = axi + ayj +azk
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MOVIMIENTO CURVILINEO: COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACION
Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma. Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un simple problema de geometría, tal como se ve en la figura. La Aceleración de la partícula en movimiento en cada punto de la trayectoria tiene dos componentes, una en la dirección normal apuntando hacia e centro de curvatura y otro en la dirección tangente. La componente tangencial de la aceleración es la responsable del cambio en la magnitud de la aceleración mientras que la componente normal es la responsable del cambio de dirección de ña partícula en su recorrido. La aceleración total es la suma vectorial de las aceleraciones normal y tangencial en todo instante del tiempo y esta apunta hacia la concavidad de la trayectoria. El centro de curvatura es instantáneo y se forma cuando los ejes normales para dos instantes del movimiento se cruzan, y la distancia desde el centro de curvatura hacia la posición de la partícula define lo que se conoce como el radio de curvatura. Entonces la aceleración para cualquier instante del tiempo si a, aN, aT son vectores la aceleración total se escribe asi: a = aN + aT
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Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.
Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.
Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.
Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.
Se determina el ángulo θ entre el vector velocidad y el vector aceleración,
y
se
calcula
el
valor
numérico
de
dichas
componentes: at=a cosθ y an=a sinθ DINAMICA
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De donde :
̅: Vector posición. C: centro de curvatura. P: Radio de curvatura. T: Recta tangente en A. T': Recta tangente en A'. ds: Longitud de arco que describe la partícula en el intervalo dø: Angulo que describe la partícula en el intervalo
.
.
x: Eje de las Abscisas. y: Eje de las ordenadas.
Ux: vector unitario del eje x. DINAMICA
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Uy: vector unitario del eje y. UN: vector unitario Normal. UT: vector unitario Tangencial.
Angulo que hace la recta tangente en T con el eje +x. origen de coordenadas. Primero vamos a determinar que la velocidad es tangente a la curva, la tangente de una curva es la pendiente. T
D
‘‘‘ ‘‘ ‘
D
C
C
B
B
VELOCIDAD TANGENCIAL
⃗=⃗ ⃗= ⃗ ⃗=
A
A
B B
ARTIFICIO:
⃗= ⃗ DINAMICA
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⃗. ⃗=
⃗. ⃗= ⏟
V
⃗. V ⃗= ⃗= U V *⃗= VU T
T
La aceleración se define:
⃗= = []=U ⃗= U v T+
T+
´
C
∅
U N
U Ty
2
∅
U T
sn∅ y = sn∅ y
=
U Ty
U
U
∅ cs∅ u cs∅ u
= U Tx =
U Tx
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cs∅ Ux+sn∅ Uy----------- (1) = -sn∅ ∅ Ux+cs∅ ∅ Uy UT=
= -sn∅ ∅ ̇ Uxcs∅ ∅ ̇ Uy = ∅ ̇-sn∅ Uxcs∅ Uy) ----------- (2)
U cs ∅ sn ∅ Uy N=
+
=0
=1
cs ∅ cs cs∅ - sn sn∅ cs2 ∅ sn∅ =1
=0
sn ∅ sn cs∅ + sn∅ cs sn2 ∅ cs∅
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Por lo tanto UN =
sn∅ + cs∅---------------------- (3)
Reemplazando (3) en (2)
∅ ̇ U -------------- (4) N
Por lo tanto:
∅ ̇ = ∅ -------------- (5) tenemos
En (5) hacemos el siguiente artificio:
∅ ̇ = ∅ . ∅ ̇ -------------- (7)
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Reemplazando (7) en (4) y luego en la expresión
⃗ = U + v T
⃗ =
UT +
V UN ρ
Nota:
= UN
MODULO DE LA ACELERACION
a=
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√ V
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BIBLIOGRAFIA Y LINKOGRAFIA:
LIBRO DE DINAMICA .R.C.HIBBLER https://www.google.com.pe/search?q=grafica+de+aceleracion&biw=1440&bih=775&source=l nms&sa=X&ei=9zJFVKP9HJSRgwTImYCwBw&ved=0CAcQ_AUoAA&dpr=1
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