ANÁLISIS ESTRUCTURAL 2. Diagrama de Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores en Vigas y marcos 2.1. Conceptos de vigas y marcos:
Las vigas son usualmente miembros horizontales rectos rectos utilizados principalmente para soportar cargas verticales. Muy a menudo se clasifican de acuerdo a la forma en que se apoyan, como se indica en la Figura 2.1-1. 2.1-1. En particular, cuando la sección transversal varía se conoce como sección no prismática. Las secciones transversales de las vigas también pueden ser “construidas" mediante la adición de placas de su parte superior e inferior.
Figura 2.1-1: Tipos de vigas
Las vigas son usualmente diseñadas para resistir los mementos flectores; sin embargo, si estas son cortas y cargan una carga muy grande, las fuerzas cortantes internas pueden llegar a ser lo suficientemente grande y ser lo que determine el diseño. Cuando el material usado para su construcción es un metal como el acero o el aluminio, la sección transversal de una viga es más eficiente cuando se la da la forma mostrada en la Figura 2.1-2. 2.1-2. Aquí, las fuerzas desarrolladas en las alas superior e inferior de la viga forman el par necesario usado para resistir el momento M, aplicado, mientras que el alma es efectiva para resistir la fuerza cortante V aplicada. Esta sección se le llama comúnmente wide flange y se fabrica normalmente en laminadoras como una sola unidad en longitudes de hasta 20 m. Las vigas construidas de concreto generalmente tienen una sección transversal rectangular, debido a su facilidad de construcción en campo. Debido a que el concreto es relativamente débil en tensión, se le añaden barras de refuerzo de acero en las regiones donde la sección transversal está sometida a tensión.
Figura 2.1-2: Wide-Flange
ANÁLISIS ESTRUCTURAL Las columnas son miembros generalmente verticales y están diseñado para resistir fuerzas axiales en compresión (Figura 2.1-3). Las secciones de tubos y wide-flange son usualmente utilizadas como columnas de metal, las secciones circulares y rectangulares con acero de refuerzo son generalmente de concreto. Ocasionalmente, las columnas están sujetas a tanto carga axial como a momentos flectores (Figura 2.1-3). Estos miembros se les conocen como vigas-columnas.
Figura 2.1-3: Tipos de Columnas
La combinación de los elementos estructurales y de los materiales de la cual están compuestos se le conoce como sistema estructural. Cada sistema es construido por uno o más de los cuatro tipos básicos de estructuras. (Cercha, cable y/o arco, marco y superficies estructurales). Los marcos son usualmente utilizados con edificios y son una composición de vigas y columnas, que pueden tener conexiones ya sean articuladas o rígidas. Al igual que las cerchas, los marcos pueden estar en dos o tres dimensiones. Las cargas en el marco causan flexión en sus miembros, y si las conexiones son rígidas, esta estructura será generalmente indeterminada. La resistencia de estos sistemas viene dada por la interacción entre los momentos de las vigas y las columnas en los nodos rígidos.
Figura 2.1-4: Marco
A diferencia de las vigas, los marcos consisten en miembros que son conectados entre sí por nodos rígidos. A veces estos miembros forman circuito cerrado, como se muestra en la Figura 2.1-5 . En este caso ABCD forman el circuito cerrado. Para poder clasificar estas estructuras, es necesario usar el método de secciones y “abrir” este
circuito. Se dibujan las partes del diagrama de cuerpo libre, nótese que solo es necesaria una sección del corte para la clasificación.
ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Figura 2.1-5
2.2. Fuerza cortante y momento flector
Para examinar las condiciones internas de una estructura, es preciso considerar y estudiar un cuerpo libre en el que se pongan en manifiesto las fuerzas que deben estar presentes para que ese cuerpo permanezca en equilibrio. La fuerza cortante y el momento flector son las dos acciones de las cargas externas sobre una estructura que necesitan ser entendidas para estudiar las fuerzas internas adecuadamente. La fuerza cortante se define como la suma algebraica de las fuerzas que son perpendiculares al eje de la viga situadas a la izquierda, o bien, a la derecha de la sección considerada. El momento flector es la suma algebraica de los momentos causados por todas las fuerzas a la derecha o a la izquierda de una sección particular; los momentos se toman respecto a un eje que pase por el centroide de la sección transversal. La selección de una convención de signos para cortante (V), momento (M) y fuerza normal o axial (N) es arbitraria. Sin embargo, en la práctica comúnmente se usa la convención mostrada en la Figura 2.1-6.
Figura 2.1-6: Convención de Signos
Nota: Cuando una fuera externa
F ,
actúa hacia abajo en la viga, el diagrama de cortante muestra un salto hacia abajo. Asimismo, si F actúa hacia arriba, el diagrama tiene un salto hacia arriba. Si un momento externo M es aplicado en el sentido horario, el diagrama de momento muestra un salto hacia arriba, y cuando el momento M es aplicado en sentido anti-horario, el diagrama tiene un salto hacia abajo.
ANÁLISIS ESTRUCTURAL Problema 2-1: Para el siguiente ejemplo determine las reacciones, diagramas de
cortante y momento. Solución Reacciones en los apoyos. Para el cálculo de
las reacciones se plantean las dos ecuaciones básicas de equilibro.
∑
∑ ( ) ( )( ) Se resuelve primero para y por ultimo para
( )( ) ( )
Problema 2-2: Para el siguiente ejemplo determine los diagramas de cortante y
momento. Diagrama de Cortante. Primero de grafica el cortante en el
segmento AB, para lo cual se usa el método de secciones, donde se tiene que, () . La reacción en el apoyo (B) causa un incremento en el cortante, . Se calcula el Cortante en el segmento BC, () Por relación de triángulos se tiene que el punto donde el cortante es cero, . La reacción en el apoyo (C) causa un incremento en el cortante,
Diagrama de Momento. El momento en los extremos es
cero, . Se calcula el momento del segmento AB, el cual puede ser calculado encontrando el área bajo el diagrama de cortante en ese tramo, por lo que se tiene
que, ()() . Cuando el cortante es cero, el momento es máximo, por lo cual se calcula el momento en el punto donde el cortante es cero (0.781 m a la derecha del apoyo B).
()() .
ANÁLISIS ESTRUCTURAL Recuerde que los marcos están compuestos por distintos elementos conectados que pueden ser tanto rígidos como articulaciones. El diseño de estas estructuras normalmente requiere del dibujo de los diagramas de cortante y momento de cada miembro. Para analizar este tipo de problemas, primero determinaremos las reacciones en los apoyos del marco. Luego, utilizando el método de secciones, encontramos la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento flector en los extremos de cada miembro. Problema 2-3: Para el siguiente ejemplo determine los
diagramas de cortante y momento. Suponga que el apoyo en A es un roller y en B un pin. Reacciones. Determinar las reacciones se logra con las
ecuaciones básicas de equilibrio, ∑ ∑ ∑ . Al hacer ∑ se tiene que: ( ) ( ) ( ), de lo cual obtenemos que . Así mismo al hacer ∑ y ∑ , se tiene que: y - (hacia abajo), respectivamente. Fuerzas Internas. Al conocer las reacciones se procede a
seccionar el marco en partes y se realizan los diagramas de cuerpo libre. Se resuelven todas las fuerzas internas en el nodo C, que balancean el sistema. Nótese que la fuerza externa de solo está presente en el diagrama de cuerpo libre del nodo C.
Diagrama
de
momento. De acuerdo con nuestra
convención de signos, y utilizando los métodos empleados anteriormente, los diagramas de momento para los elementos del marco son como se muestran a continuación. Nótese que en la parte inferior del elemento AC , desde el punto de aplicación de la carga de hacia abajo, no ahí diagrama de momento ya que el diagrama de cortante es 0 y no hay ningún momento externo aplicado entre este punto y la base del miembro.
ANÁLISIS ESTRUCTURAL Problema 2-4: Para el siguiente ejemplo determine los
diagramas de cortante y momento. Asuma que el apoyo en A es un articulado, en C es un roller y la conexión es B es rigida. Reacciones. Determinar las reacciones se logra con las
ecuaciones básicas de equilibrio, ∑ ∑ ∑ . Al hacer ∑ se tiene que: ( ) ( ), de lo cual obtenemos que . Así mismo al hacer ∑ y ∑ , se tiene que: y , respectivamente. Diagrama de Cortante y Momento. Nótese que la carga
distribuida actúa a lo largo de todo el tramo BC, √ . La carga distribuida tiene componentes que actúan paralela y perpendicularmente a lo largo del tramo BC
( ) () ( ) ( ) , tal como se muestra en la figura.
