Libro Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento de vigas

Edición revisada

43 y más 

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Ortiz David Palomino Alex Henrry

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Miranda Albert Richard Martínez Hugo

ACERCA DE LOS AUTORES

David Ortiz Soto (México)

Ingeniero Civil egresado de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), FES Aragón, con Maestría en Ingeniería Civil, área de estructuras, efectuada en el Instituto Politécnico Nacional (IPN), Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura (ESIA), UZ, donde fue representante de la comunidad estudiantil de posgrado. Actualmente se encuentra desarrollando el protocolo del doctorado en la Facultad de Ingeniería, UNAM. Es docente activo y secretario de la carrera de Ingeniería Civil en el Tecnológico Nacional d e México, Instituto Tecnológico de Iztapalapa III. Durante el 2015 y el 2016 fue profesor en la ESIA UZ IPN. Entre las asignaturas que imparte o ha impartido están Estática, Estructuras Isostáticas, Mecánica de Materiales, Fundamentos de la Mecánica de Medio Continuo, Análisis Estructural, Análisis Estructural Avanzado y Dinámica Estructural. De igual manera es catedrático de la Universidad DeLaSalle Bajío (León, Guanajuato) a nivel posgrado, donde dicta el curso de Ingeniería de Cimentaciones en la Maestría en Estructuras. El Maestro en Ingeniería David Ortiz ha participado en calidad de ponente de conferencias, cursos y talleres en diversos congresos, simposios y ciclos de conferencias nacionales e internacionales, contando ya con cuatro giras a Sudamérica. Sudamérica. Ha disertado de manera destacada en universidades tales como UJED (Durango), ITS Lagos de Moreno (Jalisco), ITI III y ESIA UZ IPN (Cd. de México), TESJI (Estado de México), ITT (Tlaxiaco, Oaxaca), UJCM (Moquegua, Perú), UPT (Tacna, Perú), UTO (Oruro, Bolivia), UPEA (La Paz, Bolivia), UPS (Quito, Ecuador) y UNACH (Chimborazo, Ecuador). En agosto del 2016 impartió una conferencia y un workshop en el Encuentro Nacional de Estudiantes de Arquitectura, organizado por UNEA, con sede en Oruro, Bolivia. Ha escrito y compartido para su descarga gratuita los libros:” libros: ” Estructuras Estructuras Isostáticas en 2D: Problemas Resueltos”, “Resolución de Armaduras en 2D con el Método Matricial de la Rigidez”, “Análisis de Estructuras: Problemas Resueltos”. Resueltos” . Sus obras literarias se han caracterizado por contener mensajes de toque social, de reflexión y hasta cierto punto co ntestatarios. Ha presentado sus libros en el programa “Profesionistas por el progreso” de la de la televisora ASTL.TV del Consejo Nacional de Egresados Politécnicos, así como en el programa “Ingenio civil” de Nuestra de Nuestra Voz Radio: La voz del pueblo organizado. Forma parte del equipo de editores de la web de Ingeniería civil más destacada de América Latina, civilgeeks.com.

Alex Henrry Palomino Encinas (Perú)

Bachiller en Ingeniería Civil de la Universidad Nacional de Cajamarca (UNC). Cuenta con especialización en cálculo y diseño de concreto armado y albañilería, estructuras de contención y cimentaciones, reservorios, puentes, así como en evaluación y diseño por desempeño de edificios. Ha participado en calidad de ponente de conferencias, cursos y talleres en diversos congresos y ciclos de conferencias nacionales e internacionales. Realizó su primera gira internacional en Bolivia, teniendo intervenciones destacadas en la UTO (Oruro) y la UPEA (La Paz) en el 2015. En ese mismo año disertó nuevamente en Bolivia. En enero del 2016 impartió su primera conferencia en América del Norte dentro del evento “Primera Jornada Internacional de Ingeniería Civil” en el Tecnológico Nacional de México, Instituto Tecnológico de Iztapalapa III. Es autor de los siguientes manuales, de los cuales ha compartido algunas de sus partes para su descarga gratuita: gratuita: “Manual para los estudiantes del ETABS”, “Diseño “Diseño de cimentaciones superficiales con el uso de SAFE- teoría y práctica”, práctic a”, “Diseño de reservorios apoyados de concreto armado con SAP 2000”, “Cálculo y diseño de edificios de concreto armado con ETABS”, “Manual de análisis estático y dinámico- NTE E.030”, “Manual de AutoCAD Estructural Detailing”, entre otros. Ha publicado diversos videos tutoriales de Ingeniería Estructural y actualmente se dedica a dictar cursos especializados de forma in dependiente sobre distintos temas de Ingeniería Estructural. Forma parte del equipo de editores de la web de Ingeniería civil más destacada de América Latina, civilgeeks.com.

Albert Richard Miranda Sivila (Bolivia)

Licenciatura en Ingeniería Civil en la Universidad Católica Boliviana “San Pablo” (Graduado por Excelencia). Maestría en Ingeniería Civil, área de Estructuras, en la ESIA UZ IPN, México (Graduado con Mención Honorífica). Dentro de su experiencia laboral está: a) Sub Gerente Técnico, Departamento de Ingeniería. VSL Corporation México SA de CV. Análisis y diseño de estructuras postensadas (Julio de 2014 - a la fecha); b) Ingeniero de Proyecto, Departamento de Ingeniería. VSL Corporation México SA de CV. Análisis y diseño de estructuras postensadas (Febrero de 2014 - Junio de 2014); c) Consultor en Diseño de ingeniería y Supervisión de Proyectos de Obras Civiles (Puentes, Edificios, Colegios). Empresa Consultora Unión S.R.L-Bolivia. (Octubre de 2009- Diciembre 2011); d) Profesor de Asignatura, Universidad Católica Católica Boliviana “San Pablo”, asignaturas: Estática I, Estática II, Fundaciones I. (Agosto de 2009- Diciembre 2011). Participó como ponente de una conferencia en la “Primera Jornada Internacional de Ingeniería Civil” en el Tecnológico Nacional de México, Instituto Tecnológico de Iztapalapa III.

Hugo Martínez Hernández (México)

Ingeniero Civil egresado del Instituto Politécnico Nacional (IPN), Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura (ESIA), UZ. Ahí mismo estudió la Maestría en Ingeniería Civil, área de estructuras, en la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación, graduándose con mención honorífica. Actualmente efectúa el doctorado en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica (ESIME) del IPN. Desde el 2015 hasta la fecha es docente de la ESIA UZ IPN, en la que imparte asignaturas como Estructuras Isostáticas, Mecánica de Materiales y Análisis Estructural. Ha sido invitado por diversas Instituciones para impartir cursos y conferencias. Destacan sus participaciones en la FES Aragón (UNAM), ESIA Tecamachalco (IPN) e Instituto Tecnológico de Iztapalapa III. Es coautor en el libro” Estructuras Isostáticas en 2D: Problemas Resueltos”. Resueltos”. Ha disertado sobre temas de Ingeniería en “Profesionistas por el progreso” de la televisora ASTL.TV del Consejo Nacional de Egresados Politécnicos, así como en el programa “Ingenio civil” de Nuestra Voz Radio: La voz del pueblo organizado.

43 y más

43 y más Ortiz Soto David Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Aragón Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura Tecnológico Nacional de México Instituto Tecnológico de Iztapalapa III Universidad DeLa Salle Bajío

Alex Henrry Palomino Encinas Universidad Nacional de Cajamarca Facultad de Ingeniería

Albert Richard Miranda Sivila Universidad Católica Boliviana “San Pablo” Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura

Martínez Hernández Hugo Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura Escuela Superior de Ingeniería Mecánica

Revisión Técnica Internacional (Bolivia):

Ms. Luis Cabrera Fernández Universidad Técnica de Oruro Facultad Nacional de Ingeniería Universidad Autónoma Juan Misael Saracho

México 2016

Datos de Catalogación bibliográfica Ortiz, D., Palomino, A. H., Miranda, A. R.,

et al.

Fuerzas Fuerzas de fijación y mo mentos de empotramiento en vigas

Primera edición INDEPENDIENTE, México, 2016 Distribuidora virtual oficial: CivilGeeks Número de Registro de Obra (Trámite en proceso) Área: Ingeniería Formato: Carta 21.6 cm x 27.9 cm

Reservados todos los derechos. Se aclara que los autores del presente libro han colocado el contenido del mismo para su descarga gratuita y permiten su libre difusión sin fines lucrativos. Únicamente ellos están facultados para la venta de esta obra en físico. Por consiguiente, no está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos con fines lucrativos u otros propósitos que no tengan el consentimiento previo por escrito de los autores, según sea el caso.

DERECHOS RESERVADOS 2016, por David Ortiz Soto, Alex Henrry Palomino Encinas, Albert Richard Miranda Sivila y Hugo Martínez Hernández. Obra inscrita en el R egistro Público del Derecho de Autor, SEP, INDAUTOR.

Número de Registro de Obra (Trámite en proceso)

Impreso en México

DEDICATORIAS

Ortiz David Dedico de manera especial este libro a Dios, a mis padres Clara y Antonio, así como a mis hermanos José Carlos y Antonio. A mis abuelas Paulina Ramírez y Juana Marín. A mis sobrinos Diego y Antonio. Antonio. A Fidel, Anahí y Guadalupe. He sido bendecido por el apoyo y afecto que me ha brindado cada uno de los miembros de mi familia a lo largo de mi vida, lo cual les agradezco infinitamente, incluyendo a aquellos que se han adelantado (abuelos Rafael y Antonio, y tía Lucía). A mis alumnos alumnos del Instituto Instituto Politécnico Nacional, Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura (UZ), (UZ), y del Tecnológico Nacional de México, Instituto Tecnológico de Iztapalapa III. Con toda sinceridad, les doy las gracias a todos mis amigos, compañeros, profesores y colegas que siempre me han respaldado. A todas las personas de México y del extranjero que directa o indirectamente me han apoyado y/o han depositado su confianza en mí. A los lectores por su incondicional apoyo, pues gracias a ellos mi mi filosofía está más viva que nunca... “La información no es sólo para el que la paga, es para todos” y “No hay fronteras ni banderas para el conocimiento”.

Palomino Palomino Alex Henrry Dedico este libro a todas las personas que con su apoyo sincero han contribuido a encaminar mi sendero hacia la superación constante, permitiéndome encontrar en la escritura una forma libre de expresarme, con ideas objetivas; con humildad, contribuyendo con la educación superior teniendo siempre en mente que tenemos cierta obligación de transmitir lo que sabemos a las nuevas generaciones de profesionales que nos siguen. Porque el conocimiento académico debe ser libre y sin políticas de restricción, dedico este libro a todos los estudiantes de ingeniería en el mundo. En lo personal, dedico este libro a mis padres, Edmundo Palomino Bazán y Rudí Encinas Vega y a mis hermanos Miguel, Franco, Dorisa, Carlos y hermana menor Iris. A todos los ingenieros del Perú y el extranjero extranjero que desde el inicio me han dado su apoyo y respaldo, en especial al Ing. Napoleón Franklin Cueva Guerra y compañero de promoción, el Ing. Christian Gonzalo Salcedo Malaver. A todos mis amigos de mi entorno, tanto del Perú como del extranjero, muchas gracias por esa confianza depositada.

V

DEDICATORIAS

Miranda Albert Richard Dedico esta obra a quienes necesitan un empujonci to adicional para comprender el comportamiento estructural y no se rinden, a quienes buscan superarse día a día a pesar de las dificultades, a quienes la carencia de recursos no significa un pretexto para la ignorancia, a quienes no se conforman con lo aprendido en las aulas y buscan más, a quienes la venganza no lo s consume sino que les renueva las fuerzas para luchar, a quienes el espíritu de superación puede más que la injusta desigualdad que gobierna nuestro mundo. No hay pretextos válidos, no hay venganzas justificadas, hay historia aprendida y un mundo esperando por mejores personas en mente y corazón.

Martínez Hugo Hugo A mis padres y hermanos, por su apoyo incondicional. A mis amigos, que siempre han estado a mi lado en todo momento momento.

Todos los autores En primera instancia, agradecemos enormemente al Máster de Bolivia Luis Cabrera Fernández por el apoyo que nos brindó con l a revisión técnica de esta obra, así como por su gran amistad, por ende, le rendimos un homenaje por su brillante trayectoria como ingeniero civil. A la memoria de Hugo…Dedicamos Hugo…Dedicamos de manera especial este libro a un gran amigo boliviano, el Ing. Hugo Moreno Parada, egresado de la Facultad Nacional de Ingeniería, Universidad Técnica de Oruro. Luego de su partida a la presencia de Dios, siempre lo recordaremos como una gran persona y un excelente colega. A Sheila Sotomayor y John Rojas, creadores de la web Civilgeeks.com, Civil geeks.com, la cual es la distribuidora virtual oficial de esta y todas nuestras obras literarias. A todas las demás webs que también nos apoyan con la difusión de este texto. A todas las Universidades de los diferentes países de América del Norte y del Sur que nos han brindado un espacio para disertar en distintos eventos. A l a UJED (Durango), ITS Lagos de Moreno (Jalisco), ITI III y ESIA UZ IPN (Cd. de México), TESJI (Estado de México), ITT (Tlaxiaco, Oaxaca), UJCM (Moquegua, Perú), UPT (Tacna, Perú), UTO (Oruro, Bolivia), UPEA (La Paz, Bolivia), UPS (Quito, Ecuador) y UNACH (Chimborazo, Ecuador). A todos los estudiantes, docentes y directivos que han contribuido para que el lo sea posible y que además han hecho que nuestras estancias sean de las mejores experiencias en nuestras vidas. A la Unión Nacional de Estudiantes de Arquitectura de Bolivia. A las Instituciones en las que nos hemos formado académicamente a nivel de Licenciatura y Posgrado. A los lectores, esperando esperando que el contenido de este este libro sea de su agrado agrado y utilidad. Sin el apoyo de ellos nada de esto sería posible.

VI

MENSAJE DE DAVID ORTIZ SOTO

Ante los recientes ataques que hemos sufrido algunos escritores altruistas en la escena de la Ingeniería Estructural, tales como los intentos de sabotaje a los cursos de Alex de Alex Henrry o el hecho de que webs oportunistas cobren dinero por descargar los aportes que Alex, Ph. D. Genner D. Genner Villarreal y yo hacemos cuando nosotros mismos, teniendo los derechos de autor, los colocamos para su descarga gratuita, no me resta más que decir que seguiremos viendo a la literatura como una forma de expresión para evidenciar un sistema injusto y perseguir nuestros ideales, aunque a algunos no les parezca y por más que nos intenten derribar. Andaremos por la misma brecha de contribuir a "Una educación universal, de calidad y al alcance de todos" como dice Genner, siempre pensaremos que "La información no es sólo para el que la paga, es para todos", que "No hay fronteras ni banderas para el conocimiento" y que "La clave está en ver a tus alumnos como el futuro para el gran cambio que requerimos y no como tu competencia" como lo he venido promoviendo o como cita Alex "Seguiremos escribiendo en favor de la comunidad de ingeniería en todo el mundo fomentando el buen uso y las buenas prácticas"..."Larga vida a la escena autogestiva y altruista de la Ingeniería Civil".

VII

MENSAJE DE ALEX HENRRY PALOMINO ENCINAS

Empiezo este mensaje expresando mi infinito agradecimiento a todos ustedes que a través de mis publicaciones hemos podido entablar amistad y compartido experiencias sobre temas de Cálculo, Análisis y Diseño Diseño en la rama de Ingeniería Estructural. Estructural. Todas nuestras publicaciones se realizan con el objetivo de hacer saber a la comunidad que existen procedimientos y documentos que nos permiten realizar ciertas acciones y ayudar en la toma de decisiones durante el proceso de diseño de un proyecto cualquiera, esto es, que todo lo que han podido consultar hasta ahora tiene un sustento técnico y criterios basados en los documentos que se hacen mención. La filosofía de difusión de conocimiento de forma li bre la tenemos bien clara y eso es lo que nuestro grupo ha venido fomentando durante este corto tiempo que estamos activamente publicando a menudo y como resultado de ello hemos recibido la aprobación del públ ico objetivo porque damos a conocer nuestra metodología y soluciones a inquietudes que muy pocas veces se logra encontrar o se encuentra restringida ya sea por cuestiones de idioma o por cuestiones económicas. Siempre nos realizan consultas, pero no a todos se les puede responder ese mismo día, ya que en mi caso particular no solamente estoy escribiendo sobre temas de ingeniería, sino que también me encuentro trabajando en el desarrollo de proyectos y eso suele hacerles pensar que somos mezquinos en cuanto a compartir conocimiento se refiere. En esta aclaración quiero que sepan que deben ser insistentes en cuanto a sus consultas ya que no son los únicos que preguntan. Recientemente me di cuenta de los cientos de solicitudes de mensajes que tenía y me apena no poderles haber respondido a tiempo y quiero pedirles disculpas por este inconveniente. Por otro lado, debido a la manera original de exponer los temas de ingeniería estructural sustentados de la mejor manera posible, nuestros seguidores nos han venido pidiendo desde el inicio que desarrollemos cursos con temas específicos aplicativos a proyectos reales de ingeniería, petición que gustosamente hemos sabido atender respondiendo con desarrollos detallados de uso y manejo adecuado de software acompañado siempre de la teoría que lo sustenta, permitiéndonos demostrar hipótesis y afirmaciones durante las exposiciones; acciones que nos han otorgado un prestigio y trayectoria como ponentes y escritores, ya que nuestro trabajo es reconocido en todas partes del mundo teniendo hasta peticiones de traducción al idioma inglés. Hemos recibido invitaciones a participar en diversos eventos académicos nacionales e internacionales, creo yo, en recompensa por nuestro trabajo realizado y reconocimiento que, por supuesto, en respuesta a ello no realizamos ningún cobro por impartir talleres o clases enfocadas. Este prestigio y trayectoria ganados de manera limpia, compitiendo siempre con conocimientos, ha llevado a algunas personas a tener actitudes indeseables con supuestas campañas de desprestigio y hasta decir que el material que entregamos es de otra persona, afirmación que para quienes nos conocen es del todo ridícula, demostrando la poca educación personal que tienen, ya que mediante cuentas de Facebook o correo electrónico sin identificación han intentado sabotear, sin éxito, nuestras actividades. Desde diversas partes del mundo les agradecemos el habernos tomado en cuenta. Seguiremos escribiendo en favor de la comunidad de ingeniería en todo el mundo fomentando el buen uso y las buenas prácticas. Saludos cordiales.

VIII

MENSAJE DE LOS AUTORES

43 y más A lo largo de nuestra n uestra corta trayectoria como escritores siempre hemos demostrado a través de las obras escritas una gran solidaridad con los diferentes movimientos de lucha social y estudiantil. En este libro brindamos un ho menaje a los 43 estudiantes mexicanos desaparecidos de forma injusta por el gobierno, en Ayotzinapa, Guerrero, México, de ahí que la portada tenga un 43; enseguida del número citado aparecen las palabras “y más”, porque pretendemos evidenciar que los caídos, oprimidos y marginados por el sistema somos muchos más. Nuestra portada básicamente de negro es en alusión al luto que el pueblo mexicano vive hoy en día por tantos asesinatos injustos e impunes. En ella, nuestros nombres se encuentran teñidos de rojo, en efecto, por la sangre derramada de un pueblo que exige justicia y dignidad. Va por aquellos que están luchando por un mundo mejor. Dejamos en claro que toda clase de autoritarismo es reprobatoria y le decimos ¡no! al terrorismo de Estado en México, ni en ningún país, de modo que repudiamos todo aquello que atente contra los derechos humanos. En todos los rincones del planeta, de distintas formas, pero todos unidos, conscientes y organizados seguiremos resistiendo. Pensamos que América Latina es sólo una, y aún el mundo entero entero lo es. A la memoria de los 43 normalistas…

Ofrenda elaborada por estudiantes de la Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura (UZ) IPN dentro de sus instalaciones en la que se rinde un homenaje a los 43 estudiantes normalistas

IX

POEMAS Y FRASES POR DAVID ORTIZ SOTO

Da vid Ortiz Ortiz S oto, oto, de nac ionali ionalidad dad mexica na, es un novel esc rit ritor de Ingeniería. S u pasión por la poesía lo ha llevado llevado a c omponer poemas empleando un lengua lengua je propio propio de la Ingeniería C ivil. ivil. E l amor a s u profesión también ha propiciado que ingenie frases acordes a la misma. A continuación, se presentan algunos de sus poemas y frases con más acogida por el público de la carrera citada.

Enamórate de un Ingeniero Civil o de una Ingeniera Civil "E namórat namórate e de un Ingeniero C ivi ivill para que te cons truya una gran historia historia de a mor, te te dise ñe es pacios hermosos en tu vida, te modele un mundo lleno de felicidad y haga que vivas momentos máximos

junto a él…Él será siempre un soporte para ti y opondrá máxima resistencia ante solicitaciones negativas, no permitiendo grandes deformaciones en una relación que siempre llevará al esfuerzo admisible, incluso hasta el esfuerzo último, pero nunca a la falla, debido a que el límite del amor cuando de él tienda hacia ti, será simple y sencillamente infinito". "E namórat namórate e de una Ingeniera C ivi ivill para que te construya construya una g ran hist histori oria a de amor, te te dise ñe espacios hermosos en tu vida, te modele un mundo lleno de felicidad y haga que vivas momentos máximos junto a ella…Ella será siempre un soporte para ti y opondrá m áxima resistencia ante solicitac solicit ac ion iones es nega tivas, no permi permittiendo grandes defor deformaciones maciones en una relación que s iempr iempre e llevará al esfuerzo admisible, incluso hasta el esfuerzo último, pero nunca a la falla, debido a que el límite del amor cuando de ella tienda hacia ti, será simple y sencillamente infinito”. B y David Ortiz Ortiz S ot oto o

X

Un Ingeniero Civil sin limitantes "No trates trates de pone rme un muro de long it itud ud infi infinit nita a pa ra detener mis s ueños , porque hallaré la escalera de longitud ideal y la inclinaré a un ángulo necesario con respecto a la horizontal para esquivarlo y seguir adelante." B y David Ortiz Ortiz S ot oto o

"Para un Ingeniero civil o una Ingeniera civil la distancia no sería un problema en una relación de amor dado que puede despejarla de cualquier ecuación que la contenga, como la de la velocidad." B y David Ortiz Ortiz S ot oto o

"Ingeniería C ivi ivil, l, más que una pro profesión, fesión, una pas ión e inspirac inspirac ión y un es til ilo o de vida e n s í." B y David Ortiz Ortiz S ot oto o

"Ingeniería C ivi ivil, l, tu tu habilidad habilidad de razonamient razonamiento o e ingenio serán e xigidos a l máximo...Ahí máximo...Ahí donde rendirse está prohibido." B y David Ortiz Ortiz S ot oto o

XI

Eres tú la persona que ama un Ingeniero Civil E res tú ese fac tor de seg uridad uridad que cubrirá cubrirá mis fallas fallas , incluso las de va lores lores críticos. críticos. E res tú mi única única variable variable de res puesta y mi c onstante onstante e n es te mundo de infini infinittas variables variables . E res tú la la mez cla perfecta de bellez bellez a e inteligencia inteligencia diseña da para darle alta alta resis tencia a nuestra nuestra relación de amor estructuralmente estable. E res tú quien representa es e c imient imiento o de lon longit gitud ud infini infinitta y profundi profundidad dad nec es aria ca paz de s ostener el peso propio de mis sueños. Y soy yo quien se rá ca paz de c onstruir onstruir un muro muro con los ladrill ladrillos os que te lancen quienes de se an verte verte caer. E res tú el principio principio para la s uperpos ición de mi ca riño, riño, res peto y amor por ti. Aunque solicitaciones negativas quieran propiciar condiciones que lleven nuestra relación a la frontera, nosotros preferimos darle siempre continuidad. E res tú la c uantía uantía ba lancea da que fija fija los parámetros parámetros nece sa rios rios para mi irref irrefut utable able buen co mportamiento mportamiento es tructural. ructural. E res tú indudablement indudablemente e mi línea de conducc ión a la felicidad felicidad S iempre iempre iremos de la mano siguiendo es a ruta ruta c rítica rítica que nos lleve lleve a la mejor toma toma de de cisiones . J untos untos opondremos máx ima resistencia ante ante los e sfuerzos cortant cortantes es que intent intenten en s epararnos, pues una c onexión ha fijado fijado nuestros nuestros coraz ones entre entre sí eternament eternamente. e. E res tú ese momento máximo máximo que me inspiró inspiró a es cribir cribir estas líneas . B y David Ortiz Ortiz S ot oto o

XII

PREFACIO

El libro se ha escrito con la finalidad de contribuir en la formación académica de los estudiantes de Ingeniería Civil, Arquitectura, Ingeniería Mecánica u otras carreras con afinidad, no obstante, también se pretende que esta obra sirva de apoyo a los profesores que dictan los cursos de Análisis Estructural y Mecánica de Materiales. El énfasis de este libro es deducir las fórmulas de las “Fuerzas de Fijación y los Momentos de Empotramiento” en vigas sometidas a distintos tipos de cargas cargas con base en el método de flexibilidades (de igual forma conocido como el método de las fuerzas). El uso de estas fórmulas es necesario cuando se realiza el análisis estructural de una viga o un pórtico con el método de la rigidez matricial o el método de Cross. El método de flexibilidades es útil para determinar las fuerzas reactivas en los soportes de estructuras hiperestáticas y se basa en el principio de superposición. Básicamente, plantea que una estructura estáticamente indeterminada es equivalente a la suma de causas y efectos de una serie de estructuras isostáticas, considerando la compatibilidad del desplazamiento de las mismas. Cabe mencionar que solo es aplicable a un sistema estructural que responde en su rango elástico y lineal. A continuación, se proporciona el enfoque seguido en esta obra. Exactamente 32 vigas hiperestáticas son analizadas minuciosamente hasta el cálculo de sus reacciones en los apoyos. Las solicitaciones aplicadas a las estructuras obedecen a fuerzas puntuales y distribuidas, y momentos distribuidos y puntuales. Las cargas distribuidas actúan total o parcialmente sobre la longitud de la estructura y pueden adquirir las siguientes formas: uniforme, variación lineal, parabólica, senoidal, circular, elíptica, logarítmica, entre otras.

XIII

CONTENIDO

1 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA PUNTUAL APLICADA AL CENTRO DEL CLARO ......... ................... ................... .................. ......... 1 2 VIGA BIEMPOTRADA CON CA RGA DISTRIBUIDA UNIFORME .......... ................... .................. ................... ................... ................... ................... ................ ....... 10 3 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA TRIANGULAR .......... ................... ................... ................... ................... ................... ................... ................... .................. .................. ......... 15 4 VIGA BIEMPOTRADA CON CA RGA TRIANGULAR SIMÉTRICA ......... .................. .................. ................... ................... ................... ................... ................ ....... 20 5 VIGA BIEMPOTRADA CON CA RGA TRAPEZOIDAL ......... ................... ................... ................... ................... .................. ................... ................... .................. ............... ...... 26 6 VIGA BIEMPOTRADA CON CA RGA PARAB ÓLICA .......... ................... .................. ................... ................... ................... ................... ................... ................... ................ ....... 31 7 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA DE ENJ UTA PA RABÓLICA ......... ................... ................... .................. ................... ................... .................. ............... ...... 37 8 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA LOGARÍTMICA ......... .................. .................. ................... ................... ................... ................... ................... ................... ................ ....... 42 42 9 VIGA B IEMPOTRADA CON MOMENTO CONCENTRADO CONCENTRADO APL ICADO AL CENTRO DEL CLARO ......... .................. ........... 48 10 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA PUNTUAL APL ICADA EN UN PUNTO ARBITRARIO DEL CL ARO ...... 51 11 VIGA BIEMPOTRADA CON MOMENTO APLICADO EN UN PUNTO ARBITRA RIO DEL CLARO ......... .................. ......... 55 12 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA INCLINADA EN UN PUNTO ARBITRARIO DEL CL ARO .......... ................... ............. .... 58 13 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA SENOIDAL ................................................................................................ 63 14 VIGA BIEMPOTRA DA CON MOMENTO MOMENTO DISTRIBUIDO UNIFORME .... ................. ................ ................. ........... 72 15 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA CIRCULAR DE UN CUARTO ........ .................. ................... .................. ................... ................... ................... ............ .. 75 16 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA ELÍPTICA DE UN CUARTO ......... .................. ................... ................... .................. ................... ................... ............. .... 80 17 VIGA CON SOPORTES SOPORTES ARTICULADO Y FIJO CON CARGA PUNTUAL APLICA DA AL CENTRO DEL CLARO ..................................................................................................................................................................................... 84 18 VIGA CON SOPORTES ARTICULA DO Y FIJ O CON CARGA DISTRIBUIDA UNIFORME .......... ................... ................... ............ .. 86 19 VIGA CON SOPORTES ARTICULADO Y FIJ O CON CARGA TRIANGULAR SIMÉTRICA ......... .................. ................... ............ .. 88 20 VIGA CON SOPORTES ARTICULADO Y FIJO CON CARGA PARAB ÓLICA .......... ................... .................. ................... ................... ............. .... 90 21 VIGA CON SOPORTES ARTICULADO Y FIJO CON CARGA TRIANGULAR .......... ................... .................. ................... ................... ............. .... 92 22 VIGA CON SOPORTES SOPORTES ARTICULADO Y FIJ O CON CARGA DE ENJUTA PARAB ÓLICA ......... ................... ................... ........... 94 23 VIGA B IEMPOTRADA CON CA RGA DISTRIBUIDA PARCIAL MENTE UNIFORME UNIFORME ......... .................. ................... ................... ............. .... 96 24 VIGA B IEMPOTRADA CON CA RGA TRIANGUL AR PA RCIALMENTE DISTRIBUIDA .......... ................... .................. ................ ....... 100 25 VIGA CON CARGA DISTRIBUIDA PARCIALMENTE UNIFORME CON UN APOYO EMPOTRADO Y OTRO ARTICUL ADO ............... ................ ................. ................. ................. ................ ................ ................. ................. ...... 103 26 VIGA CON CARGA TRIANGULAR DISTRIBUIDA PARCIALMENTE CON UN APOYO EMPOTRADO Y OTRO ARTICUL ADO ............... ................ ................. ................. ................. ................ ................ ................. ................. ...... 105 27 VIGA CON TRES CARGAS EQUIDISTANTES CON UN APOYO EMPOTRADO Y OTRO A RTICULADO ..... 108 28 VIGA DOBLEMENTE EMPOTRADA CON CARGA UNIFORME CONCENTRADA EN UNA ZONA CENTRAL ................................................................................................................................................................................... 111 29 VIGA EMPOTRADA-ARTICULADA CON CARGA UNIFORME CONCENTRADA EN UNA ZONA CENTRAL ................................................................................................................................................................................... 117 30 VIGA DOBLEMENTE EMPOTRADA CON CARGA TRIANGULA R EN UNA PORCIÓN IZQUIERDA ........ ............ .... 119 31 VIGA EMPOTRADA-ARTICULADA CON CARGA TRIANGUL AR EN UNA PORCIÓN IZQUIERDA IZQUIERDA ......... .............. ..... 124 32 VIGA EMPOTRADA-ARTICULADA CON MOMENTO APLICADO EN UN PUNTO ARBITRARIO DEL CLARO ................................................................................................................................................................................... 126 BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................................................... 129

XV

1 VIGA VIGA BIEMPOTRADA BIEMPOTRADA CON CON CARGA PUNTU PUNTUAL AL APL A PLICA ICADA DA A L CENTRO DEL CLA CL A RO

 

/2 Estructura real (a)

/2 



Figura 1

SOLUCIÓN Verificació Ve rificació n del grado de indeterminación

  , ,

En primer lugar debe determinarse el grado de indeterminación de la estructura real , figura 1-a, para saber cuántas restricciones hiperestáticas eliminar; ese mismo número nos indicará la cantidad de ecuaciones simultáneas a plantear más adelante para la resolución del problema. Con base en el diagrama de cargas, figura 1-b, hay incógnitas de reacción, las cuales son y (cabe mencionar que cuando se identifican las reacciones en los soportes, el sentido de cada una de ellas debe ser supuesto arbitrariamente al desconocerse la magnitud correspondiente), así mismo, no se tiene alguna condición impuesta por la construcción (articulación o rótula, conector cortante, etc.), es decir, . Por otra parte, existen ecuaciones de equilibrio en el plano, que son .

 =6

,  ,  

 = 0 ∑  = 0, ∑  = 0, ∑  = 0 

   



/2

/2



(b)

+→ +→ ∑ =0  =2

 =3



 



A partir de d e la ecuación , dado que la viga no está sometida a cargas horizontales, se obtiene directamente que y son nulas. Por consiguiente, ahora únicamente se tienen fuerzas reactivas y ecuaciones de la Estática. En consecuencia, la viga es estáticamente

 =4

1

Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas

indeterminada o hiperestática de segundo grado ya que diferencia de .

4−2= 2

 >  ++ 

, puesto que

4 > > 2 + 0

con una

Elección de las reacciones redundantes o fuerza fuerzass correctiv as Como la viga es estáticamente indeterminada en grado dos, hay dos redundantes, lo cual significa que existe tal cantidad de fuerzas en exceso de las fuerzas primarias o son sobrantes o superabundantes de las necesarias para mantener el equilibrio estático. Las redundantes deben seleccionarse de tal modo que al suprimirlas de la viga, esta sea isostática y estable. Por lo tanto, para el tipo de vigas doblemente empotradas se cuenta con dos alternativas: 1) eliminar los momentos reactivos o 2) retirar un momento y una reacción reacción vertical con un punto punto de aplicación coincidente.

       

Basándose en la opción 2, se opta porque y sean las redundantes, pero tome en cuenta que de la misma opción, las fuerzas correctivas pueden ser y , o bien, de la opción 1, se pudo haber considerado como fuerzas sobrantes a y . Cuando ya se tiene un buen dominio del método de secciones, es más fácil visualizar la alternativa mayormente conveniente para hacer menos tedioso el análisis.

Planteamiento Plante amiento de la estructura pri maria Con lo anterior, es posible idealiza r una nueva estructura denominada estructura primaria o isostática fundamental ; como se dejó entrever previamente, se trata trata de convertir la viga hiperestática en una isostática y estable desapareciendo precisamente las redundantes seleccionadas. Siendo así, la capacidad de la viga para resistir y se elimina si se quita el empotramiento en . Esta estructura liberada forzosamente debe soportar las carga reales, figura 1-c.

 

 



 

 /2 Estructura primaria (c)

 = 0   /2  = 2  =   ⟹ 

Principio de superposición Aquí se esquematiza esquematiza claramente que la estructura estáticamente indeterminada puede ser igual a la suma de una serie de estructuras estáticamente determinadas compuesta por la estructura primaria y otro número de estructuras igual a la cantidad de redundantes . Por lo tanto, la estructura real es igual a la adición de la estructura liberada sometida a: A) las cargas reales, figura 1-c, y B) la acción individual de cada una de las reacciones redundantes (con un sentido propuesto de forma indistinta), figuras 1-d y 1-e. Para este e jercicio se tiene



2


 =  + +  +     

/2

/2

Estructura liberada con fuerza redundante





aplicada



(d)

  

/2

/2 

Estructura liberada con momento redundante (e)

 aplicado



Contrariamente a la viga de la figura 1-a, las vigas representadas en las figuras 1-c, 1-d y 1-e experimentan de forma respectiva un desplazamiento vertical o deflexión e n y una pendiente o rotación en dado que no hay soporte alguno en ese nodo que los impida.

 

 

Suponga que tales deflexiones y pendientes son iguales a una cierta cantidad. Entonces, para la viga se tiene que y . A su vez, para la viga tenemos que y . De forma análoga, en la viga , y

   =   =   =    =    =  

    =  

. Posteriormente se ofrecerá una explicación de la razón por la cual se empleó la

nomenclatura citada.

Planteamiento Plante amiento de las ecuaciones de compatibil idad geométrica Para obtener ecuaciones adicionales que coadyuven a la solución del problema hacemos uso del principio de superposición formulado en el apartado precedente y tomamos en cuenta la compatibilidad del desplazamiento vertical y la pendiente en el empotramiento ; por lo tanto, las ecuaciones de compatibilidad para la deflexión en y la rotación en son, respectivamente





   =  +  +  − − − 1 − 1  =  +  +  − − − 1 − 2   1 − 1 1 − 2  =  = 0

Si en la viga tanto el desplazamiento vertical como la rotación en no existen debido a que la reacción vertical y el momento reactivo del soporte en los impiden, entonces . Efectuando las sustituciones correspondientes en las ecuaciones y , el sistema de ecuaciones de compatibilidad geométrica pasa geométrica pasa a ser el siguiente: 3


0 =  +  +  − − − 1 − 3 0 =  +  +  − − − 1 − 4  

Cada desplazamiento del punto de aplicación de la acción redundante o en la dirección de esta, producido al actuar la carga original sobre l a estructura liberada es expresado por . Estos en conjunto se denominan incompatibilidades geométricas porque en la estructura real no ocurren.





Los coeficientes de flexibilidad anteriores conforman la matriz de flexibilidad de la estructura y pueden calcularse sencillamente si en la estructura liberada aplicamos una carga unitaria correspondiente a cada fuerza redundante , figuras 1-f y 1-g.





 = 0   =   /2  = 1   ⟹ 

 /2

1

Estructura liberada con fuerza vertical unitaria aplicada en (f)

1 

/2

 = 0   = 1 /2  = 0   ⟹ 

Estructura liberada con momento unitario aplicado en (g)





Entonces, directamente de la viga tenemos que la deflexión y la rotación en son equivalentes de forma respectiva a un determinado valor de y . Así mismo, para la viga

  =   =  ,

y

.

 =   = 

Cálculo de las incompatibili dades geométricas geométricas y de los coeficientes de flexibilid ad

1 − 3 1 − 4

En resumen, para poder resolver el sistema simultáneo de ecuaciones y , el cual nos permite calcular las redundantes, en las vigas visualizadas en las figuras 1-c, 1-f y 1-g es necesario 4


  

conocer cuánto valen el desplazamiento vertical en dado que (fuerza reactiva vertical en el empotramiento del punto ) fue suprimida y la pendiente en debido a que (momento reactivo en el empotramiento del punto ) fue eliminado.

 



Los desplazamientos requeridos pueden obtenerse con cualquiera de los métodos apropiados del análisis estructural; en la presente obra se empleará el método del principi o del trabajo trabajo virtual (es lo más recomendable) y se considerarán únicamente las deformaciones debidas a la flexión. En términos generales, este principio indica que debe incorporarse una carga ficticia unitaria sobre la viga descargada en el punto y en la dirección donde se requiere conocer el desplazamiento. Si debe determinarse la pendiente, se coloca un momento de par virtual unitario en el punto. Para asociar a los momentos internos (se obtendrán a partir del método de secciones ) con las estructuras, le hemos denominado a la viga primaria, a la viga liberada con fuerza vertical unitaria aplicada en y a la viga liberada con momento unitario aplicado en . Es importante recordar que las coordenadas a emplear y las direcciones positivas de los momentos internos entre las tres estructuras recién mencionadas deben ser iguales. En las figuras 1-c, 1-f y 1-g se puede observar que usaremos únicamente la coordenada para determinar la energía de deformación, cuyo origen se asocia en , es positiva hacia la derecha y es válida para , pero el lector puede usar otra u otras coordenadas distintas que sean apropiadas para cubrir la longitud de la viga. Con base en el principio del trabajo virtual, se tiene

   







   =  = ∫   − − −   =  = ∫   − − −      =  = ∫   − − − 



0≤≤

   =  = ∫   − − −   =  = ∫   − − −     =  = ∫   − − − 



 

Note que para determinar se requiere de la combinación apropiada de los momentos internos y ; algo análogo ocurre con las expresiones restantes. En todas las vigas de este libro, es constante.



A continuación se calculan las reacciones y los momentos internos en las vigas isostáticas de las figuras 1-c, 1-f y 1-g. Considere que la función del momento flector será discontinua en los puntos donde el tipo o la magnitud de la carga distribuida cambia, o bien donde se apliquen fuerzas concentradas. La carga distribuida, así como la fuerza concentrada, o una de sus componentes, actúan perpendicularmente al eje longitudinal de la viga. Además de lo anterior, habrá discontinuidad en cada punto donde se aplique algún momento de par. Viga



, figura 1-c.

Al aplicar las ecuaciones de equilibrio en una secuencia y emplear los resultados calculados previamente, se obtiene

5


+→    = 0 ⇒∴  = 0 +↑  = 0 ⇒ − +  = 0 ⇒∴  =  +   = 0 ⇒ −− (2) +  = 0 ⇒∴  = 2  

Se formulan los momentos internos . Las funciones de momento serán discontinuas en el punto de aplicación de la carga , así que se requiere de efectuar dos cortes perpendiculares al eje longitudinal de la viga para definir a lo largo de la estructura, figuras 1-h y 1-i.



0 ≤  ≤ ⁄2 + = 0  = 0



 (h)

 

/2



 −/ − /22

⁄2 ≤  ≤  + = 0 − − ( − 2) = 0 ⇒  = − + 2

2

(i)

Viga



, figura 1-f.

 +→    = 0 ⇒∴  = 0 +↑  = 0 ⇒ 1− 1 −  = 0 ⇒∴  = 1 +   = 0 ⇒ 11 −  = 0 ⇒∴  =  

Las fuerzas reactivas en el apoyo empotrado son resultado de

Se deduce el momento interno . Como no hay discontinuidad de carga, la viga se secciona ortogonalmente a su eje en una sola ocasión, figura 1-j.

6


 1 Viga



0≤≤ + = 0 − + 1 = 0 ⇒  = 



 (j)

, figura 1-g.



Las reacciones en el empotramiento equivalen a

+→    = 0 ⇒∴  = 0 +↑    = 0 ⇒∴  = 0 + +  = 0 ⇒ −1−1 +  = 0 ⇒∴  = 1 Se infiere el momento interno

1 



a partir de la figura 1-k.

0≤≤ + = 0 − − 1 = 0 ⇒  = −1



 (k)



Obsérvese que la coordenada seleccionada conlleva a que no haya necesidad de determinar las reacciones con el fin de encontrar los momentos internos. Enseguida se presenta el cálculo de las incompatibilidades geométricas, geométricas, empleando las ecuaciones y .

 

⁄     1  1  =  ∫ 0 + ∫⁄ (− − + 2 )  =  ∫⁄ (− + 2 )  1         1 7 3 5 1     =  [− 3  + 4  ]⁄ =  − 3  − (2)  + 4  − (2)  =  − 24 + 16  = − 48 ⁄   1 −1 + ∫ (−  =  ∫ 0−1 (− + 2 ) −1 −1 ⁄



7


= 1 ∫⁄ ( − 2 )  = 1 [2  − 2 ]⁄ = 1 2  − (2) − 2 ( − 2)    1 3 =   8 − 4  = 8 Ahora se muestra el cálculo de los coeficientes de flexibilidad, flexibilidad, aplicando las ecuaciones .



 

hasta

   1 1   1    1 1      =  ∫    =  ∫   =  [3  ] = 3  − 0  = 3  1      1 1 1 1  −1 = −  ∫  = −  [2  ] = − 2  − 0  = − 2  =  ∫ −1  1      1 1 1 1   =  ∫ −1 −1 = −  ∫  = −  [2  ] = − 2  − 0  = − 2  =   = 

Obsérvese que como una consecuencia del teorema de Maxwell de los desplazamientos recíprocos, se cumple que . De forma más generalizada, se tiene que , lo cual hace que mientras más grande sea el grado de hiperestaticidad, más se evita el cálculo de varios coeficientes de flexibilidad.

  1  1 1 1  =  ∫ −1 −1−1−1 =  ∫  =   =   −0 − 0 =  Cálculo Cá lculo de las redundantes

1 − 3 1 − 4    5  − 48 + 3  − 2  = 0−−− 0− −−1 − 5 8 − 2  +   = 0−−− 0− −−1 − 6 1 − 5 1 − 6  548  − 3  8 + 2  −  = −  − − − 1 − 7  =  − − − 1 − 8  2 1 − 7 1 − 8  −   −  +   5 5 − 3  = − 2  − 8  + 2  48 3  = 8 2  ⇒ (  ) 48 − 2  1    5    1 1  24 − 3  + 4  = 16 − ⇒ −  = −  ⇒  = ⇒∴  =    112 16 48 48 12 24 2

Al sustituir los coeficientes en el sistema simultáneo de ecuaciones

Despejando

de las expresiones

Igualando la ecuación

y

y

respectivamente, resulta

con la ecuación

y simplificando da

8

, se tiene


 1 − 7 548  − 3 2 − 16   = −  = −  ⇒∴  = 8 2 2  

Si se reemplaza el resultado previamente obtenido en la expresión

, entonces

La magnitud positiva obtenida tanto para como indicó que tales redundantes tienen el mismo sentido que el propuesto para su correspondiente carga unitaria. En caso de haber resultado negativas, simplemente el sentido es opuesto al observado en la figuras 1-d y 1-e.

Ecuaciones de equilibrio Como las reacciones redundantes ya han sido calculadas, los valores de las reacciones desconocidas faltantes pueden deducirse aplicando las ecuaciones de equilibrio al diagrama de cargas de la figura 1-l.

+↑  = 0 ⇒ 2 −  +  = 0 ⇒∴  = 2 +   = 0 ⇒ − 8 +  (2) − 2  +  = 0 ⇒∴  = 8 

  = 8



/2

 = 2

/2



 

(l)

 

Finalmente, en la figura 1-m se muestran las reacciones en los empotramientos y de la viga real.

   = 8  = 2



/2 (m)

9

  =   8 /2  = 2

2 VIGA B IEMP IEMPOTRADA OTRADA CON CARGA DISTRIBUIDA DISTRIBUIDA UNIFORME

 



Estructura real (a)





Figura 2

SOLUCIÓN Verificació Ve rificació n del grado de indeterminación Como en toda viga doblemente empotrada que no soporta carga axial, pero soporta carga que es perpendicular a su eje longitudinal, para la viga de la figura 2-a en automático se infiere que las reacciones horizontales de los empotramientos y son nulas, en consecuencia, la estructura es estáticamente indeterminada en grado dos.

 

Elección de las reacciones redundantes

 

Si se seleccionan como fuerzas redundantes las mismas que en la viga resuelta anteriormente, es decir, y , el problema se reducirá notablemente ya que muchos cálculos se repetirían, tales como los momentos internos y , y los coeficientes de flexibilidad y .

  

, ,  

Planteamiento Plante amiento de la estructura pri maria Se suprime el empotramiento de la viga real con la finalidad de eliminar las redundantes La viga liberada que soporta las cargas reales se muestra en la figura 2-b.

 

 (b)

10



  y

.


Principio de superposició n y sistema de ecuaciones ecuaciones de compatibil idad geométrica Como se vio en la viga 1, conviene que cuando la viga liberada se somete a la acción individual de cada una de las reacciones redundantes, estas últimas sean unitarias. El principio de superposición aplicado a la viga real se observa esquemáticamente en la figura 2-c.

 

=  =   

+



+

 1   

2  1  





(c)

1 − 3 1 − 4 00 ==  ++  ++  −− −− −− 22 −− 12     

El sistema resultante es como el sistema de ecuaciones figura 1-a.

y y

de la viga mostrada en la de


 

Estos coeficientes se obtienen directamente aplicando las ecuaciones hasta del ejercicio precedente. Para ello, se determinan en primera instancia los momentos internos de las vigas de la figura 2-c. Como el origen de la coordenada se eligió en , el cálculo de las reacciones en el empotramiento se vuelve innecesario para este fin.









Se deduce el momento interno con base en la viga primaria. La distribución de la carga actuante no presenta discontinuidad, así que sólo será necesario efectuar un corte perpendicular al eje de la viga para definir a lo largo de la estructura. Por consiguiente, se secciona la viga en un punto arbitrario (intermedio en el segmento ) a una distancia del punto .



 − 







En la figura 2-d se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud . Para la carga distribuida se ha determinado: a) la carga concentrada equivalente, es decir, la magnitud de la fuerza resultante de la carga, que es igual al área bajo la curva de carga (en este caso, por ser carga uniforme es el área del rectángulo) y b) el centroide de dicha área a través del 11


cual pasa la línea de acción de la resultante, o sea, se halla el punto de aplicación de la resultante (para una carga uniforme distribuida se tiene que se ubica a la mitad de la longitud sobre la cual actúa).

      /2  

0≤≤ +∑=0 − −  2=0⇒ = − 2 

(d)

   ⟹  = 0≤≤  ⟹  =−1 0≤≤          1  1  1    = ∫   =  ∫ − 2   =  ∫ − 2   = 2 [− 4 ]⁄ = − 8           1  1  1     = ∫   =  ∫ − 2  −1−1 =  ∫  2   = 2 [− 3 ]⁄ = 6  = ∫   = 3  = ∫   = − 2  =  = − 2  = ∫   =      2 − 1 2 − 2       − 8 + 3  − 2  =0−−− =0−−− 2 − 3 6 − 2  +   =0−−− =0−−− 2 − 4

Luego, se retoman los momentos internos

y

de las figuras 1-j y 1-k.

Se calculan las incompatibilidades geométricas.

Evidentemente, los coeficientes de flexibilidad son los mismos que se tienen en la viga 1.

Cálculo Cá lculo de las redundantes

Al reemplazar los resultados obtenidos en las ecuaciones

12

y y

, se obtiene


    2 − 3 2 − 4 3  − 2  = 8 − − − 2 − 5 − 2  +   = − 6 − − − 2 − 6     2 − 5 2 − 6  −               3 2 ∆= |− 2  | = [3 ()]−[− )]−[− 2 − 2]=] = 3 − 4 = 1212  −     ∆= |−86 2 | = [ 8  ()]−[− )]−[− 2  − 6]=] = 8 − 1212 = 2424           ∆= |−32 −86| = [3 − 6 ]−[ 8  − 2]=− 1818 + 1616 = 144144    = ∆∆ = 24122412 = 2 ⇒∴ ⇒∴  = 2    = ∆∆ = 1441441212 = 12 ⇒∴ ⇒∴  = 12

Se resuelve el sistema simultáneo de ecuaciones

Con base en las ecuaciones

y y

y y

, empleando el método de Cramer.

, se tienen los siguientes determinantes

Ecuaciones de equilibrio

Por lo tanto, a partir del diagrama de cargas de la figura 2-e, resulta

 

2    = 12  /2    = 2 

(e)

13

  


+↑∑=0⇒ 2 −+ =0⇒∴ = 2 +∑=0⇒− 12 +(2) − 2  +  =0⇒∴ = 12 Finalmente, la viga queda como la que se muestra en la figura 2-f.

2    = 12    = 2

  (f)

14

2    = 12  = 2

3 VIG VIGA A BIEMPO BIEMPOTRADA TRADA CON CON CARGA TRIANGULAR

 



 Estructura real (a)



Figura 3

SOLUCIÓN

Principio de superposición

  

Puesto que la carga axial es insignificante, la viga de la figura 3-a es hiperestática de grado dos. La reacción vertical y el momento reactivo, ambos del extremo , se considerarán como redundantes. Entonces, la capacidad de la viga para soportar y se anula si se el imina el empotramiento . La figura 3-b muestra cómo la viga real es igual a la suma de una serie de vigas más simples.





 =    +



+

 2  1    (b)

15



 1   




Ecuaciones de compatibil idad



Con referencia al nodo de la figura 3-b, se requiere

00 ==  ++  ++  −− −− −− 33 −− 12        ´ 0≤≤      −൬ − ൬ −  ൰  ´  −     2/3 1 /2 

Se secciona la viga primaria para obtener el momento interno . En la figura 3-c se muestra un diagrama de cargas de la sección cortada. En la figura 3-d, se proporciona un esquema para determinar por triángulos semejantes el valor en función de de la intensidad .

(c)



     −−    ´

(d)

 = ´−−  ⇒ ´ = −−  =  −  

 

Se observa que del corte se origina una carga trapezoidal. Esta se divide en una distribución uniforme y una triangular para mayor facilidad. En la figura 3-c se indican las fuerzas resultantes y (áreas

16


bajo el rectángulo y el triángulo), las cuales vienen aplicadas en el centroide de sus respectivas áreas. Recuerde que para un área triangular, el centroide se ubica a las dos terceras partes de la base, y tal distancia se mide desde el punto del “pico”. El equilibrio estático del cuerpo libre implica que

+∑ = 0      −  −   − − 2 ൬23 ൰−൰ −  ൬ −  ൰൬൰ ൬12 ൰ = 0 ( )   − + ൬− 2  + 2  − 2 ൰ ൬23 ൰+൰ + ൬− ൬− +  ൰ ൬12 ൰ = 0 − − 3  − 2  + 2  ⇒  = 6 − 2  Por otra parte, de los ejercicios previos, se sabe que

 ⟹  =  0 ≤  ≤   ⟹  = −1 0 ≤  ≤ 

Se calculan los desplazamientos y giros requeridos. Para las incompatibilidades geométricas tenemos

        5    1   1   1       = ∫   =  ∫  6 − 2   =  ∫  6 − 2   =   30 − 8   1=  [30  5 − 8 ] = − 11 120             1   1   1     = ∫   =  ∫  6 − 2  −1−1 =  ∫ − 6 + 2   =  − 24 + 6  1= −  +  = 

 24 6 8 17


Los coeficientes de flexibilidad son

 = 3  = − 2  = − 2  =      3 − 1 3 − 2  +   −   = 0−−− − 11 0− −−3 − 3 120 3 2 8 − 2  +   = 0−−− 0− −−3 − 4 3 − 3 3 − 4   − ∆= |−32 2 | = 1212  −  11  11   5 5 5   11  7 120 2 ∆= | − 8  | =  120  ൬൰−− ൰−− 2 − 8  = 120120 − 1616 = 240240  11   11   11  ∆= |−32 −1208 | = 3 − 8 − 120  − 2 = − 2424 + 240240   = 240240 5 7  = ∆∆ = 2402401212 = 720 ⇒∴  = 720    = ∆∆ = 24024012 = 20 ⇒∴  = 20

Reemplazando los valores previos en las ecuaciones

Resolviendo el sistema de ecuaciones

y y

y y

, resulta

18

da da


Ecuaciones de equilibrio Si se aplican las ecuaciones de la estática en el diagrama de cargas de la figura 3-e, se obtiene la viga final, figura 3-f.

+↑ ∑ = 0 ⇒ 720 − 2 +  = 0 ⇒∴  = 320 + ∑  = 0 ⇒ − 20 + 2 ൬3൰ − 320  +  = 0 ⇒∴  = 30 

/2

2     = 20  /3 7    = 20



  

(e)

 2     = 20    = 720

 (f)

19

2     = 30  = 320

4 VIGA VIGA BIEMPOTR BIEMPOTRADA ADA CON CARGA TRIANGULAR SIMÉTRICA

  /2

Estructura real (a)

 /2 

Figura 4

SOLUCIÓN


   

A simple vista, la viga de la figura 4-a es estáticamente indeterminada de segundo grado. Se siguen tomando como redundantes a y . Note como para remover tales fuerzas sobrantes, se requiere de retirar el empotramiento . En la figura 4-b se muestra el principio de superposición para esta viga.

   =   /2

 /2 +

+

 2  1   (b) 20

 1   







Con referencia al punto de la figura 4-b, se requiere

0 =  +  +  − − − 4 − 1 0 =  +  +  − − − 4 − 2   −−    /2  0 ≤  ≤ ⁄2  = ´ ⇒ ´ = 2  2  ´ = 2   +∑ = 0 2           − −     = 0 ⇒  = −   2 3 3  1  /3     /2  ⁄2 ≤  ≤  ´´  = ´−−´ ⇒ ´´ = −−  = 2 − 2  2 2

Como siempre, los momentos internos se obtienen a partir de la viga liberada con cargas reales. Dado que la distribución de la carga que actúa a lo largo de esta viga presenta una discontinuidad (en la mitad del claro , deben efectuarse dos cortes perpendiculares al eje de la viga. Corte en el primer tramo. Se secciona la viga a una distancia de en un punto arbitrario antes de , es decir, antes de que la intensidad de la carga con variación lineal alcance el valor de . El diagrama de cuerpo libre de la sección cortada se visualiza en la figura 4-c.

Note que la intensidad de la carga de triangulo rectángulo se encuentra en proporción, es decir,

(c)

Corte en el tramo segundo tramo. Se secciona la viga a una distancia de en un punto arbitrario justo después de . En la figura 4-d se observa o bserva el diagrama de cargas para este segmento de viga con longitud .

Con base en la figura 4-e, empleando conceptos básicos de trigonometría, se deduce el punto de intensidad de de carga.

21


       1   13 2 /2  −/− /22 

23  − 2 12  − 2 ´´ = 2 − 2  2

 −´ − ´ ´  ´´     −−   /2 /2 (e)

1    + ∑  = 0 ⇒ −−  22 13 2+ +  − 2 −  − 2 22 − 2  12  − 2  2  −   − 2 2  −  2  2  −    −  −  = 0 2 3 2 ( )   − 4  6 +  − 2 −  − 2 22 − 2  2 − 4 −  − 2 − − + 2  3 − 6 −  = 0 − 4   − 3 −=0 − 2  −   − 2 + 2 − −  − 2 − 3  + 6 + 23  − 3 − −  − 4  + 12 −  +   + 2  − 2  + 2  − 2  − 4  + 4  3  − 6  − 23  + 3  − 6  + 12 + 3  − 6  −−  = 0  = 3  −  + 2  − 12 (d)

22


Luego, los momentos internos de las vigas liberadas que soportan una unidad de las reacciones redundantes son, respectivamente

 ⟹  =  0 ≤  ≤   ⟹  = −1 0 ≤  ≤ 

Entonces,

  ⁄       1           = ∫   =  ∫ − 3    + ∫⁄ 3  −  + 2  − 12   1=  ∫⁄ − 3  +∫⁄  3  −  + 2  − 12  1=  {[− 15 ]⁄  + 15   − 4  + 6  − 24 ⁄ }  1=  − 15 2+15   − 2 − 4  − 2 + 6  − 2 − 24  − 2 =  − 1 + 31 − 15 + 7 − 1  = − 11

 480 480 64 48 32 192

  ⁄       1           = ∫   =  ∫ − 3  −1−1  + ∫⁄  3  −  + 2  − 12  −1−1 1=  ∫⁄  3  + ∫⁄ − 3  +  − 2  + 12  1=  {[12  ]⁄  + − 12  + 3  − 4  + 12 ⁄ }  1=  12  2+− 12  − 2 + 3  − 2 − 4  − 2 + 12  − 2 =   1 − 5 + 7 − 3 + 1  = 7

 192 64 24 16 24 96 23


 = 3  =  = − 2  =  En consecuencia, el sistema de ecuaciones de flexibilidades es

 +   −   = 0−−− − 11 192 3 2 0− −−4 − 3 796 − 2  +   = 0−−− 0− −−4 − 4

Que equivale a

3  − 2  = 11192  − − − 4 − 5 − 2  +  = − 796  − − − 4 − 6

Por lo tanto,

 −    ∆= |−32 2 | = 12  −  11 11       7 1 1 7   192 2   ∆= |− 796   | =  192   −− −− 2  − 96  = 192 − 192 = 48  11  7 11  7 11 5  ∆= |−32 −192796 | =  3  − 96 − 192  − 2  = − 288 + 384 = 1152    = ∆∆ = 4812 = 4 ⇒∴  = 4  5   ∆ 5  5   1152   = ∆ = 12 = 96 ⇒∴  = 96 24





Finalmente, a partir de la figura 4-f, se tienen las siguientes reacciones en el empotramiento , figura 4-g.

+↑ ∑ = 0 ⇒ 4 − 2  12 − 2  12 +  = 0 ⇒∴  = 4 + ∑  = 0   5  1 2   1  1   5  − 96 + 2  2 3 2 + 2  2 2 + 3 2− − 4  +  = 0 ⇒∴  = 96

2  12  2  12 2 5    = 96  2  1      3 2 3 2     = 4 /2 /2 

(f)

 (g)

2 5    = 96    = 4 /2 25

2 5    = 96   =  /2  4

5 VIG VIGA A BIEMP BIEMPOTR OTRADA ADA CON CARGA TRAPEZOIDAL

 

2 




Figura 5 SOLUCIÓN Principio de superposición

 

Por inspección, la viga de la figura 5-a es hiperestática de grado dos. Se considera que y son las fuerzas reactivas redundantes, de tal modo que se podrán determinar directamente con el método de flexibilidades. La remoción de las fuerzas superabundantes implica eliminar el empotramiento . En la figura 5-b se observa la aplicación del principio de superposición.

1





2    =             1    2  1    +

+

(b) 26








0 =  +  +     5  1 0 =  +  +     5  2      ´  0≤≤  2/3     ´ =  +        ´    /2 1 

Se puede notar que la viga isostática fundamental soporta una carga cuya intensidad varía linealmente desde en el punto hasta en el punto . Entonces, una sola región se distingue en esta estructura. El momento interno se infiere de tomar momentos alrededor del punto del corte en el cuerpo libre de la figura 5-c. No obstante, previo a la aplicación de la ecuación de equilibrio citada, debe calcularse el punto de intensidad de carga en función de , figura 5-d. de

(c)

´      2         (d)

27


   =     =      =      ++  =    +      ´ =  +  =  +    +      =  +      +∑ = 0           +          1 2      ( +     )() (2 ))  ( 2 3 ) = 0      (2  + 2   2 )  (13 ) (   +  ) = 0  = 2  2  2 + 3  3 = 6  6  2 Los momentos internos de las otras dos vigas isostáticas son

 ⟹  =  0 ≤  ≤   ⟹  = 1 0 ≤  ≤   = ∫    = 1 ∫ 6  6  2  1=  ∫ 6  6  2  = 1 30  30  8 =  11120  30  = ∫    = 1 ∫ 6  6  2 11 1=  ∫  6 + 6 + 2  = 1  24 + 24 + 6 = 8 + 24      = 3  =  =  2  = 

Se necesita de los siguientes desplazamientos y pendientes

28


  5  1 52  11120 + 30 + 3   2  = 0 0 5  3 8 + 24  2  +   = 0 0 5  4      ∆= |32 2 | = 12  +    11        11         120 30 2     ∆= | 8 + 24  | =  120 + 30    2  8 + 24  = 11120 + 30  16  48 = 7240 + 80  11 +    ∆= |32  1208 + 2430| = 3 8 + 24 11120 + 30  2 =  24  72 + 11240 + 60 = 240 + 360   7      + ∆  = ∆ = 240 12 80 = 720 + 320 ⇒∴  = (720 + 320)         +  = ∆∆ = 240 12 360 = 20 + 30 ⇒∴  = 20 + 30

Al reemplazar los resultados en las ecuaciones

y y

, se tiene

Al resolver el sistema el sistema simultáneo simultáneo de ecuaciones previo, se obtiene


Se dibuja un diagrama de cargas colocando las redundantes calculadas, figura 5-e. Si en él se aplican las ecuaciones de la estática, se obtienen las reacciones faltantes, figura 5-f.

+↑ ∑ = 0 ⇒ (720 + 320)    2   +  = 0 ⇒∴  = (320 + 720) 1 2 29


+ ∑  = 0 ⇒ 20 + 30 +  (2) + 2− (3)  (320 + 720)  +  = 0         ∴  =  30 + 20  

2

2/3 1 /2 2 1    

2

2 2     1 2   =  20 + 30     = (7201 + 3202)

(e)

 2 2     1 2   =  20 + 30     = (7201 + 3202)

 (f)

30

2 2 2     1 2   =  30 + 20   = (3201 + 7202)

6 VIG VIGA A BIEMP BIEMPOTR OTRADA ADA CON CARGA PARABÓLICA

 

á

/2

/2 

Estructura real (a)



Figura 6 SOLUCIÓN Principio de superposición



Para la viga de la figura 6-a, los tres grados de libertad en están restringidos, no obstante, la eliminación del soporte izquierdo conllevaría a que el desplazamiento vertical y la pendiente, ambos del punto , no se encuentren impedidos. La figura 6-b muestra como como la viga real es igual a la adición de una serie de vigas más sencillas.



  =  =   /2

á  /2

+

+

 2  1   (b)

31

 1   







Si tomamos en cuenta la compatibilidad del desplazamiento vertical y la pendiente en el empotramiento , figura 6-b, se tiene

Se analiza la viga primaria.

0 =  +  +  − − − 6 − 1 0 =  +  +  − − − 6 − 2

Inicialmente se efectúa un análisis de la carga cuya intensidad es descrita por una curva en forma de parábola. La ecuación que define la i ntensidad parabólica puede expresarse de la siguiente forma:

= ++−−− ++−−−   1   = 0, = 0 2   = 2 ,  =  3   = ,  = 0  ,,   0 = 0 + 0 +⇒0 + ⇒0+0 +0+ += = 0− − −①     =(2) +  (2)+⇒ 4  + 2 +=−−−② 0= +  +⇒++=0−−−③ ① ③ 0 0 1 | 0 0   Δ = 4 2 11 ||4 2 =0+0+ 4−0+0+ 2 = − 4 0 0 1 | 0 0  Δa=0 2 11 ||0 2 = 0+0+ 0 +0+ − 0+0+0 0 +0+0 =  0 0 1 | 0 0   Δb= Δb = 4 0 11 ||4 0  = 0+0+0 0 +0+0 − 0+0+ 0 +0+ = − 0 0 0 | 0 0   Δc=Δc = 4 2 0 ||4 2 = 0+0+0 0 +0+0 − 0+0+0 0 +0+0 = 0

Si se toma como origen el punto , los tres puntos conocidos de la curva son

Es posible construir un sistema de ecuaciones reemplazando cada uno de los puntos anteriores de manera individual en la ecuación con la finalidad de calcular las constantes con y .

Se resuelve el sistema simultáneo de ecuaciones hasta con el método de Cramer. Cada determinante de orden 3x3 se calcula empleando la regla de Sarrus.

32


 Δa   Δb −  = Δ = −4 = −4   = Δ = −4 = 4   = ΔcΔ = −04 = 0   =−4   + 4      ̅ 0≤≤   =−4   + 4    ̅ −̅  1 

En consecuencia, al sustituir estos valores en la expresión

, se tiene que

Como no hay discontinuidad de carga a lo largo de la estructura primaria, sólo se efectuará un corte perpendicular al eje longitudinal de la viga, entonces, no importa si tal seccionamiento se hace antes o después de que la carga distribuida alcanza una intensidad de . En la figura 6-c se proporciona un diagrama de cargas del segmento de viga con longitud . Previo a efectuar el equilibrio estático en el cuerpo libre para deducir la función del momento , se determina la carga concentrada equivalente de la fuerza distribuida y su punto de aplicación .

(c)

La fuerza resultante de la carga distribuida seccionada es

            == ==     =(−4  + 4 )=−4   +4                 −4  3  + 4  2  = − 43  − 0 + 42  − 0 = − 43  + 2     ∫ −4   + 4   ∫ ̃    ∫   ̅ = ∫  = ∫  = ∫ −4   + 4     (−4   + 4  ) =        = − 4   +4           

y su ubicación es

Como el denominador ya fue resuelto, se atiende al numerador.

33


        = −4   4  + 4   3  = −44  − 0 + 43  − 0 = −   + 43   4  −  +   ̅∴  = − 43  + 32    ℎ   +∑=0  4   −  +  4 2  3    − − (− 3  +   )− − 43  + 2  = 0 − − (− 34  + 2  +   − 43 ) ⇒  = 3  − 23   ⟹  = 0≤≤  ⟹  =−1 0≤≤  = 1  (3  − 23 )  = 1  (3  − 23 )  = 1 [18  − 152 ] = 18 − 215 = − 790  = 1  (3  − 23 ) −1−1 1=   (− 3  + 23 )  = 1 [− 15  + 6 ] = − 15 + 6 = 10      = 3  =  = − 2  =      6 − 1 6 − 2 − 790 + 3  − 2  =0−−− =0−−− 6 − 3 10 − 2  +   =0−−− =0−−− 6 − 4

Tomando momentos alrededor del punto del corte, se obtiene

Además,

Por consiguiente,

De tal modo que el sistema simultáneo de ecuaciones

34

y y

se se convierte en


Entonces, las fuerzas correctivas son resultado de

 −    ∆= −32 2  = 12  −  7 7 ∆= −9010 2  =  90  −− −− 2 − 10= = 790  − 20 = 36  7   7   7   ∆= −32 −9010 =  3  − 10 − 90  − 2 =− 30 + 180 = 180   ∆  = ∆ = 3612 = 3 ⇒∴  = 3    = ∆∆ = 18012 = 15 ⇒∴  = 15 Ecuaciones de equilibrio

Estas se aplican al diagrama de cargas de la figura 6-d. La carga concentrada equivalente de la carga distribuida con intensidad parabólica es

   4 4 2           =(−4  + 4 ) = −  − 0 +  − 0 = 3 2 3    

y su línea de acción se ubica en

    −4 4 4             −4  + 4   − 0 +  − 0 − +  ∫ ̅ = ∫ −4  + 4  = 4 23 3 = 23 3 = 23 3 = 12 

Así que,

+↑∑=0⇒ 3 − 23 + =0⇒∴ = 3    2    +∑=0⇒− 15 + 3 (  (2) − 3  +  =0⇒∴ = 15 35


 = 23 á  2    = 15  ̅  =/2     = 3

  /2  (d)

   á

En la figura 6-e se muestran las reacciones en los empotramientos y

2    = 15  /2    = 3

(e)

36

de la viga hiperestática.

2    = 15 /2  =  3

7 VIG VIGA A BIEM B IEMPOT POTRADA RADA CON CARGA DE ENJUTA PARABÓLICA

á 

 

 Estructura real



(a)

Figura 7

SOLUCIÓN Principio de superposición



Se obtendrá una solución directa para la reacción vertical y el momento, ambos del punto , a través del método de la fuerza, por lo que estas se escogen como fuerzas sobrantes. Entonces, el principio de superposición aplicado a la viga real, figura figura 7-a, es el que se muestra esquemáticamente esquemáticamente en la figura 7-b.

á

  =





  

 +

   1 

+

2  (b)

37

    1

 








0 =  +  +  − − − 7 − 1 0 =  +  +  − − − 7 − 2

Se analiza la viga liberada con cargas reales. Se sigue el siguiente procedimiento para determinar tanto el área bajo la curva y como su centroide de área para una enjuta parabólica. La ecuación de una parábola es

 − ℎ = 2 2 −  −−− ①

Donde Distancia entre el foco y la recta directriz , Coordenadas del vértice de la parábola

= ℎ=

Si se considera que el origen está en entonces



y que el vértice de la parábola se ubica en ese mismo punto,

 = ℎ, ℎ,  =0,0 ℎ==0 ①   − 0 = 2  −0 −0 ⇒  =2  = 21  −−− ②   ②  = −−− ③  ③  =  −−−④ =,= ④  =  −−− ⑤ ⑤ ③    =  

Sustituyendo

Dado que

en la expresión algebraica

es una constante

, la ecuación

y despejando

tenemos

pasa a ser

El valor de puede obtenerse despejándolo de la expresión

En este caso se sabe que en ecuación , resulta

,

.

. Sustituyendo las coordenadas del punto conocido en la

Al reemplazar la ecuación en la ecuación , se obtiene la ecuación final de la curva en la que representa la intensidad de la carga y la posición.



38


Se secciona la viga primaria. Con base en la figura 7-c, se calcula

0≤≤  =    ̅ 3  = 4  



.

 = 13    4

1

(c)

La fuerza resultante de la carga distribuida seccionada es

            − 0 1     == ==   =  (  )=     =   3  =   3  = 3   y su punto de aplicación es

̅  = ∫∫̃

    − 0 1             ∫    [ 4 ]  [ 4 ] 4   3     ∫ ∫      = ∫  = 1   =  1   = 1   = 1   = 1   = 4   3  3  3  3  3 



Se calcula el momento interno . La suma de momentos respecto del punto del corte para el cuerpo libre de la figura 7-c conlleva a

  +∑=0⇒− − (13  ) (14 )=0⇒ = − 12 Luego, los momentos internos para las vigas liberadas sometidas a una unidad de las fuerzas redundantes son

 ⟹  = 0≤≤  ⟹  =−1 0≤≤ Se calculan las incompatibilidades geométricas.

   1   =   − 12  = − 72 39


   1   =   − 12 −1 −1 = 60 Los coeficientes de flexibilidad siguen siendo los mismos que los obtenidos en las vigas previas.

 = 3  =  = − 2  =  7 − 1 7 − 2  +   −   =0−−− − 72 3 2 =0−−− 7 − 3  −   +   =0−−− 60 2  =0−−− 7 − 4

Si se reemplazan estos valores en las ecuaciones

y

, se tiene

Al resolver el sistema, resulta

 =  15

 = 60

Ecuaciones de equilibrio La fuerza resultante de la carga distribuida tipo enjuta parabólica es

 =  ( )= 13  y su línea de acción, figura 7-d, se localiza a una distancia

     3 ∫  ̅ = ∫    = 4    ℎ ℎ    

á 2    = 60



/4

3/4

  =  15

1  3

  

(d) 40




Las reacciones desconocidas restantes, figura 7-e, se obtienen de

1 + = 0 ⇒  = 4 +↑∑=0⇒  − 15 3 15  1 3 4      +∑=0⇒− 60 + 3  ((4 )− ) − 15  +  = 0 ⇒  = 30

á 2    = 60



 



  =  15

 = 4 15 (e)

41

2   = 30

8 VIG VIGA A BIEMPO BIEMPOTRADA TRADA CON CON CARGA LOGARÍTMICA

 = 1   



Estructura real (a)





Figura 8 SOLUCIÓN



Principi o de superposición, figura 8-b. 8-b. Se optó por suprimir el empotramiento .

  = 1    =   /2

 /2 +

+

   1 

 2  1  



(b)

 0 =          8  11 0 =         8 2 2

Ecuaciones de compatibilidad. Al considerarse la compatibilidad del desplazamiento vertical y la pendiente en el empotramiento , figura 8-b, tenemos

42




  

  

Se secciona la viga isostática fundamental en un punto arbitrario (intermedio en el segmento ) a una distancia de ; en la figura 8-c se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud , en el que se observan la fuerza resultante de la carga distribuida logarítmica, así como su punto de aplicación , para definir al momento interno .

 



0≤≤     = 1      ത   ത 1  (c)

Se determina la resultante de la carga variable logarítmica.

    =   =   =  1   Se procede a resolver la integral de manera indefinida.

Sea

 1    =  1    =   = 1 2   =   =   =    =      2      1    = (  1)   1    =  ∙   11  22  1    ∫ + 

Entonces

Al integrar por partes tendremos tendremos

La integral que obtuvimos,

, es más sencilla que la original pero todavía no es obvia, así

que efectuamos lo siguiente para resolverla:

43


   1    =  1  −−      = −2211++  22 1  −      21 11 1  −       = 2,  = 1,  = 0,  = 1  = 1 12211   −1  −− 1  −− = 1−22111 22−+−+11  120111  121112112 11  − 1  −− =    1  ∫ +  1  =  tann  1   =  1  −−  =    tann  1   =  ∙ 1   2tan    1   =  ∙1   2tann    =  ∙ 1    2 2ttann   01 0 0  2 2ttann0  00 =  ∙ 1     2 2ttann   ̅ = ∫∫̃ = ∫∫   = ∫∫ (11)) =  ∙   1111222 12   

Esta última integral es del tipo:

En este caso,

y

.

Sustituyendo y simplificando, se tiene

La integral obtenida,

, ya es de solución obvia, pues directamente se sabe que

Por lo tanto,

En consecuencia,

La integral definida resulta ser

Se determina la ubicación de la carga concentrada previa.

El denominador de la expresión anterior, ya había sido resuelto. A continuación se detalla el procedimiento para esclarecer la forma en que se obtuvo el valor del numerador. 44


La integral en forma indefinida es

(1  ))  = 11    = 2  =   (1  )) = 12   ∫   =   =   = 1   =  ∫  =   ∫     = () 1  =     =  ∙    =   1 (1  )) = 12   1  = 11   (1  )) = 12 1  1    1   (1  1    ) = 2 1   1     11    ) 1= 2 1  1    1  12 1 0 01  0  1 =   112  11  2  ∑ = 0

Esta se resuelve como sigue. Sea

. Entonces

, y por tanto

. Así, la

regla de sustitución da

La integral que obtuvimos, , es más sencilla que la original pero todavía no es obvia, así que aplicamos la regla del producto para derivación para resolverla. Sea

Entonces

Al integrar por partes tendremos tendremos

, es decir,

Por lo tanto,

Sustituyendo

en la ecuación anterior se obtiene

Así, tenemos

Por consiguiente, la función del momento flector

es

45


  12  11  2      ∙   1  2   [   ∙   1  2  ] = 0  =   ∙ 2  1  2  12 ∙   32   ⟹  =  0 ≤  ≤   ⟹  = 1 0 ≤  ≤         1  ∙     1     =    2  2  1  2 ∙   32   1=    ∙ 8  11   ∙ 4  11  24  1  2 ∙ 3  716  24   = 1    ∙ 2  1  2  1  2 ∙   32  11 = 1  ∙ 6  1   ∙2  11   ∙   3  1118  3  = 3  =  2  =  2  =  1   ∙ 8  11   ∙ 4  11  24  1  2 ∙ 3  716  24   3   2     8  33 1  ∙ 6  11   ∙2  1   ∙   3  1181  3  2     = 0   8 4 4  = 6  11  1  (242412 11  1919  1818) =    6) =         13 13    = 6  6  3  1 72(96   Los momentos internos de las dos vigas isostáticas restantes de la figura 8-b, son

Se calculan los desplazamientos necesarios empleando el método del trabajo virtual.

El sistema de ecuaciones de flexibilidades resulta en

Por lo tanto,

Ecuaciones de equili equili brio. Por último, se calculan las reacciones en el empotramiento aplicando las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de la figura 8-d.

46


 1  = 1    =    = 

̅ 

 =     = 

(d)

La carga concentrada equivalente de la carga distribuida con intensidad logarítmica es

 = 1   =  ∙   11  22            1     1        (  1   ) )  ∫ ̅ = ∫(1  )) =  ∙   1 2 22     ℎ                 6   1     1  (24   1         19 1 9  18 ) ↑ ∑ = 0 ⇒  12  ∙  1  2     =0 (2412  55  1818) =  ∴  = 6  11 ∗   1  (24 (96   1313  66)  ∑  = 0 ⇒ 6  6  33  1 72(96   112  1  2    ∙   1  2   [ ∙   11  22  ]      6    1 ∗   11  (24        5 5   18 18 )     = 0 12            6   3 ∗     1 1  (48        7 7   30 30 ) ∴  = = 72

y su línea de acción se localiza a una distancia de

El equilibrio estático del cuerpo libre estriba en

47

9 VIGA B IEMP IEMPOTRADA OTRADA CON MOMEN MOMENTO TO CONCENTRADO APLICADO AL CENTRO DEL CLARO



 /2 Estructura real (a)

/2 



Figura 9

SOLUCIÓN Principi o de superposició n, figura 9-b. 9-b.

 = 





/2



/2 +

   1 

+

2 



      1

 

(b)

Ecuaciones de compatibilidad.



0≤≤ ⁄2 +∑=0  = 0



 (c)

48






⁄2 ≤≤

 2 /2 −/2 

+∑=0 − −=0⇒ = 

(d)

Se toman momentos alrededor del punto del corte en cada seccionamiento para deducir las funciones de los momentos , figuras 9-c y 9-d.



Se retoman los siguientes momentos internos

 ⟹  = 0≤≤  ⟹  =−1 0≤≤ Se requiere de

⁄  1  =  [∫ 0+∫⁄] = 3 8 ⁄  1 −1+∫⁄−1 −1] = − 2  =  [∫ 0−1  = 3  = − 2  = − 2  =  Las ecuaciones de compatibilidad necesarias son

   3  +  − =0−−− 9 − 1 8 3  2  =0−−− − 2 − 2  +   =0−−− =0−−− 9 − 2

9 − 1 9 − 2  = − 32 ⇒∴⇒∴ = 32  = − 4 ∴  = 4

La solución del sistema de ecuaciones

y

corresponde a

49


Ecuaciones de equili brio, fig ura 9-e. 9-e. Las reacciones restantes son

+↑∑=0⇒− 32 +  =0⇒ = 32 +∑=0⇒ 4 +−(32 )  +  =0⇒ = 4    = 4    /2 /2 3  = 2  (e)

 

Las reacciones en los empotramientos y

  = 4   = 32

se muestran en la figura 9-f.



  =  4  /2  = 32

/2 (f)

50

10 VIG VIGA A BIEM B IEMPOT POTRADA RADA CON CARGA PUNTUAL PUNTUAL APL A PLICA ICADA DA EN UN PUNTO ARBITRA ARB ITRARIO RIO DEL CLARO

 





 Estructura real (a)





Figur a 10

SOLUCIÓN Principi o de superposic ión, figura 10-b. 10-b.

 = 









 +

+



      1  = 

2    1   = 



(b)

Ecuaciones de compatibilidad. Se deducen los momentos internos 10-c y 10-d.

51



con base en las figuras






0≤≤  ∑  = 0 ⇒  = 0



 (c)

 



 ≤  ≤  ∑ = 0 − −  −  = 0 ⇒  = −  

2

 − −  (d)

Los momentos internos

  y

, corresponden a

 ⟹  =  0 ≤  ≤     ⟹  = −1 0 ≤  ≤   


 + +     + 1 1 1 −  =  ∫ 0 ∫  ∫ −    =  ∫ −    =   3  2  −3     2   − − −3   2 = 1 − = 1 − 3   3  3    2   2   − 6     1               =  − 3  −  −   − 3   2      2  − 6   = − 2 − 3  + + 1 1 −1  ∫ −   =  ∫ 0−1 −1−1 =  ∫  −   + 1     1  =   2 − =  { 2 −     − 2 −  } 52


 1   1              =  2   2 2    −    −− 2   =  2     2  −  −   2   = 2 Se determinan los coeficientes de flexibilidad.

+ +  1  +     1 1  =  ∫  =  ∫   =   3  = 3 + +  +     1 1 1  −1 =  ∫ − =   2  = − 2  =  ∫ −1         =  = − 2 + + 1 +    1 1     =  ∫ −1 −1  =  ∫  =  [] =  Las ecuaciones de compatibilidad necesarias son

   − 2   = 0− − − 10 −1− 1 − 2  3  3 2 − 2        = 0−− 0− − − 10 − 22 10 − 1 10 10 − 22   = 3  =  3 −    =  3 − 2  = 3   =   3− 2         =   2 2   =    = 

Al resolver el sistema de ecuaciones fuerzas redundantes

, se tienen los siguientes valores para las

Ecuaciones de equili brio, fig ura 10-e. 10-e. Por lo tanto,

↑ ∑ = 0 ⇒ 3 −  = 0   3   3      3    3      =    =  =  (  33 − ) =  3 − 2 2 53


=  3 − 2 =  3− 3−22       =    2     =  2 3 − 2 







 

(e)

  3     3   ∑  = 0 ⇒ −     −           = 0    =  =  Las fuerzas de fijación y los momentos de empotramiento perfecto se muestran en la figura 10-f.

 2     = 2   2   = 2 3 − 2 

2     = 2  2   =  2 3 − 2 

 (f)

54

11 VIGA BIEMPOTRADA BIEMPOTRADA CON MOME MOMENTO NTO APL A PLICA ICADO DO EN UN PUNTO ARBITRA ARB ITRARIO RIO DEL CLARO

 







Estructura real





(a)

Figur a 11


  = 





 



 +

+

2

     =  1

   1   =  (b)

55






 0≤≤ ∑=0  = 0

Ecuaciones de compatibilidad. Se calculan los momentos flexionantes 11-c y 11-d.





 (c)

 

≤≤ ∑=0 −   = 0 ⇒  = 

2



a partir de las figuras

−  (d)

   ⟹  = 0≤≤  ⟹  =−1 0≤≤

Se tienen siguientes momentos internos

y

  + 1 2      ] = 2  =  [∫ 0  ∫  2  + 1   −1   −1] = − 2  =  [∫ 0 −1∫ −1

El desplazamiento vertical y la pendiente en de la estructuras primaria son, respectivamente

Por otra parte, los coeficientes de flexibilidad corresponden a

                   = 3  = − 2  = − 2  =    Se plantea el sistema de ecuaciones de compatibilidad geométrica y se calculan las reacciones redundantes.

2 2       −     =0−−− 11−1 2 3 2 =0−−− 11−1 56


       − 2 − 2       =0−−− =0−−− 11−2 11−2

11−1 11−2 6 6  = − 6 = − ⇒∴  =      2−  = −2− 2−  =  (−2)  = −2−  2        − 2 −  =  (3 − 2)    

Si se resuelve el sistema simultáneo de ecuaciones lineales

y

da

Ecuaciones de equilib rio, figu ra 11-e. 11-e.

6 ↑∑=0⇒ − 6  = 0 ⇒  =  ∑=0 2− − 6       = 0 − −2−     2 −−2 −2 =  (−2) =  −2 −2 −   = −         (2− 3) =  (2−3 ) = (2 −   

  =  (3 − 2)   6   = 3

  (e)

57





 =  (2 − 3)  = 6 3

12 VIGA VIGA BIEMPOTR BIEMPOTRADA ADA CON CARGA INCLINA INCLINADA DA EN UN PUNTO ARBITRARIO DEL CLARO

 











Estructura real

()

(a)

Figur a 12

SOLUCIÓN




En primera instancia, instancia, resolvemos la fuerza en sus componentes rectangulares horizontal y vertical, figura 12-b1. Luego, hacemos uso de un primer primer principio de superposición, figura 12-b, en el que la viga resultante sería igual a la suma de las causas y los efectos de las vigas que se muestran en las figuras 12-b2 y 12-b3.

sin 

sin

cos







=







(b1)

+





(b2) (b)

cos 

 (b3)

58




La viga que se observa en la figura 12-b2 corresponde a un tipo de viga como la mostrada en la figura 10-a, en la que . En consecuencia,

 =  sin 

sin 2 ( ) sin     = 2  2 ( )   = ቈ sin2  ൬3 − 2 ൰቉



2 ( ) sin    = 2  2 ( ) sin   = ቈ 2 ቀ3 − 2 ቁ቉









(c)

A continuación se resuelve la viga representada en la figura 12-b3. Debido a que tal estructura no soporta cargas verticales, directamente se infiere, a partir de la aplicación de las ecuaciones de

 ,  ,  

y equilibrio para momentos y fuerzas verticales, que son nulas. Dado que aún se dispone de la ecuación de equilibrio para fuerzas horizontales y se tienen dos incógnitas reactivas,

  y ,  .

esta viga es estáticamente indeterminada en grado uno. Se elige como fuerza redundante

a

El principio de superposición para la viga 12-b3 se muestra en la figura 12-d.





cos  +





´





 ´



 ) 1(



=



´



cos 





(d)



Ecuación de compatibili dad. La ecuación de flexibilidad para el desplazamiento horizontal en es

∆´ = ∆´  ∆´ − − − (12−1) 12−1) 59


Expresando la ecuación

(12−1) 0 =    = 0− −− (12−2) 12−2)

en términos de la incógnita, se tiene

Se determinan las fuerzas normales



con base en las figuras 12-e y 12-f.

0≤≤ → ∑ = 0  = 0





 (e)

cos





 ≤  ≤  → ∑ = 0  − −  cos cos  = 0 ⇒  = cos cos 

2

−  (f)



Se deduce la fuerza normal a partir de la figura 12-g.

1



0 ≤  ≤    → ∑ = 0  1  1 = 0 ⇒  = −1

  (g)

Al emplear la ecuación para determinar la deformación axial, se tiene que la incompatibilidad geométrica es

   (0)(−1) + (cos)(−1) + [ ]  = ∫   = ∫    ∫   = − cos   

cos [( [( ) ( )] = − cos    −  = −   60


o también

(0)(−1 )(−1)()()  (cos)( cos)(−1 −1)()() = − cos  = ´ =     Por otra parte, el coeficiente de flexibilidad es

1 []+ 1 [(  ) − (0)] =     = ∫   = ∫+ (−1 )(−1)  =   =  [(  o también

(−1)( −1)(−1 −1)()(  ) =     = ´ =    ´

Nota: Para las ecuaciones anteriores, no es necesariamente la longitud de la viga, más bi en hace referencia a la longitud del tramo analizado. A continuación se sustituyen los resultados obtenidos obtenidos para los desplazamientos horizontales en el punto de cada viga en la ecuación



Al resolver la ecuación lineal

(12−2) 12−2)     = 0− −− (12−3) − cos  12−3)   (12−3) 12−3) cos co s   cos  = (cos)()   =    =  cos    , resulta

La reacción restante desconocida se obtiene de

cos)()   = 0 ⇒  = (cos) ൰ = (cos)  − ൰ ) ) → ∑ = 0 ⇒ − − cos cos   (cos)( cos ൬1− ൬1 − cos ൬    cos)() = (cos) cos) (  ) −  = (cos)(   

Las reacciones de los empotramientos y

  = (cos )()



para la viga 12-b3 se esquematizan en la figura 12-h.

cos 

 (h)

61



 = (cos )()


Finalmente, con base en el principio de superposición ilustrado en la figura 12-b, las fuerzas de fijación y los momentos de empotramiento perfecto para la viga de la figura 12-a, son los que se muestran en la figura 12-i.

 

2 ( ) sin    = 2    = (cos )()  2 ( ) sin     = ቈ 2 ൬3 − 2 ൰቉







(i)

62

2 ( ) sin   = 2   = (cos )()  2 ( ) sin   = ቈ 2 ቀ3 − 2 ቁ቉

13 VIG VIGA A BIEMPOTRADA BIEMPOTRADA CON CARGA SENOI SENOIDAL DAL

  =  sen   /2 Estructura real (a)

 /2 

Figur a 13

SOLUCIÓN



Principi o de superposici ón, figura 13-b. 13-b. Se eligen como fuerzas redundantes a las reacciones del empotramiento .

 0  =  sen 

 =   /2

 /2 +

+

2    (b)

63

    1        1 


Ecuaciones de compatibilidad. Inicialmente se analiza la estructura primaria. Para el cálculo de las reacciones en los soportes de esta estructura liberada sometida a las solicitaciones reales, se sigue el siguiente procedimiento: Se calcula la fuerza resultante de la carga distribuida cuya intensidad varía de forma senoidal hallando el área bajo la curva.

 =   =      =      =          =  =  =      =    ∙   =   =    =      =     =     0 =   11  11 = 2  ̅ = ∫∫̃ = ∫∫  = ∫∫    

Primero se resuelve la integral previa de forma indefinida. Sea consecuencia

, entonces

, en

. Al aplicar la regla de sustitución, resulta

Así, considerando la solución de la integral de forma definida, se tiene

Se determina el brazo de palanca de la resultante calculando el centroide de área.

El denominador ya fue resulto. Enseguida se resuelve el numerador. La integral en forma indefinida es

  =           =  ∫    =   =  ∫ ∫  =   = ∫  = ∫    =         =             =           =   {[      ]}      =   [     ]     

Ahora se aplica la integración por partes,

. Aquí

consiguiente,

. En consecuencia,

y

Finalmente, la solución de la integral de forma definida es

64

y

. Por


        0  00     =    0 0 =    0 0 =      1   ̅ = 2  = 2 = 2    = 2  0  =  sen          ̅ = /2 /2

Entonces, el punto de aplicación de la fuerza resultante viene dado por

Se identifican las reacciones del empotramiento cargas de la viga primaria.

. En la figura 13-c se observa el diagrama de

(c)

Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, se obtiene

    +∑ = 0 ⇒ 2  2   = 0 ⇒ ∴  =   +↑ ∑ ∑ = 0 ⇒   2  = 0 ⇒  = 2  ⇒ ∴  = 2  +→ ∑ ∑ = 0 ⇒∴  = 0

Los resultados son presentados en la figura 1-14d. Dado que la carga distribuida no presenta discontinuidad, la función de momento no será discontinua a lo largo de la estructura. El origen del sistema coordenado se selecciona en el extremo empotrado .



65


 = 2  0  =  sen  2    =     ̅     = 2  = /2

/2



(d)





Se emplea el método de secciones para deducir el momento . A continuación, en la figura 1-14e, se proporciona un diagrama de cuerpo libre d el segmento de viga con longitud . Teniendo la función que define a la carga armónica, la resultante de la distribución actuante y su punto de aplicación se encuentran de la manera usual.

0≤≤  =  sen   2    =    ̅   ̅  1   = 2    =     =     =      0 (e)

66


=   1            {                       ̃ ∫     } ̅ = ∫∫ = ∫   = ∫∫    =    1                                0  0    0       ̅ = 1     =        1      +∑ = 0                        1     1   +2   = 0  =      [    ] + 2   =     +             1 1

Tomando momentos alrededor del punto del corte, tenemos

Se determina el momento a partir de la estructura liberada sometida a la acción de una unidad de la fuerza redundante y el equilibrio interno de la misma, figuras 13-f y 13-g.

(f)

   1

0≤≤ +∑ = 0  1 1   = 0 ⇒  =   



(g) 67




Se calcula el momento con base en la estructura liberada que soporta como carga al momento redundante unitario, figura 13-f, y su correspondiente seccionamiento, figura 13-g.

1  

 1

 (f)

1  

0≤≤ +∑ = 0 1 = 0 ⇒  = 1



(g)

    = 1     +          1=      +          1+            +         =       =   2  = 2              =    =     = 1     2 2        =    =    =             =      =    =          

Enseguida se determinan las incompatibilidades geométricas

y

.

Para mayor facilidad, se resuelven las integrales previas de manera individual.

68


     =    =     = 1     3 3       =    = 12    = 1 2  + 12          13   + 12   = 1  3  +    1  =  3     3    1      =        +        11 1=          ++    = 1          +     1=    2 +  2+   = 1 2   12   +   1=  12    2  = 21     4       1 1 1 1    =        =       =  [3    ] = 3    1 1 1 1   =  =     11 =       =   [2    ] =  2  1  =   1111 = 

Por consiguiente,

Por otra parte, los coeficientes de flexibilidad

hasta

son resultado de

Se formula y se resuelve el sistema de ecuaciones de compatibilidad geométrica para la obtención de los valores de las fuerzas sobrantes.

1 3     3 + 3   2  = 0 0  13 1 1 12     4  2  +   = 0 0 13 2 2 69


3  2  = 13     3 ⇒  = 3  2 − 13     3 ( 2  )  ( 12     4)  ( 2  ) ( 12     4)   1  12 6        3        = 6 4  (312     4) = 2    12 1  6 1    =   3     3 +   2     4 = 4    3  3    4 = 4   1212   3  + 12  =   ∴  =    = 6 13     3  4 12     4 = 2    3  2    4         = 2    3   + 4 = 2  ∴  = 2  3  2 1 0 ~  1   23 3 0 ~ 1  23 3 0   ( 2  0 31)  2  02 1 0 4 23 1   ⇒  2 1 + 2 ⇒ 2  2  23  +  = 4 2 3+0 + 0 = 23 3 12 6 3 0 ~ 10 12 6 4 ~ 10 01 6 4 4  ⇒  23  +  ⇒  4 2 3  = 6 2 3  6 + 3 = 12 2 3  4+0 + 0 = 6

Se detallan las operaciones matriciales.

La matriz inversa de la matriz de flexibilidades se obtuvo con base en el método de Gauss-Jordan.

70


Ecuaciones de equili brio, fig ura 13-h. 13-h. Se calculan las reacciones restantes.

 = 2  0  =  sen       ̅ = /2 (h)

   = 2     /2  =  

+↑ ∑ ∑ = 0 ⇒   2  +   = 0 ⇒∴  =          + ∑  = 0 ⇒       2  2 + 2  = 0 ⇒∴  = 2     = 2  0  =  sen  2      = 2 3    = 2    =   ̅ = /2 /2  =  

En la figura 13-i se muestran las reacciones de los soportes y

(i)

71

.

14 VIGA BIEMPOTRADA BIEMPOTRADA CON MOME MOMENTO NTO DISTRIBUIDO UNIFORME

 



 Estructura real (a)



Figur a 14

SOLUCIÓN Principi o de superposic ión, figura 14-b. 14-b. Se obtendrá una solución directa para las reacciones del empotramiento izquierdo de la viga.





  =  =             1    2  1   



+

+

(b)

  







Ecuaciones de compatibilidad. Se secciona la viga en un punto arbitrario (intermedio en el segmento

) a una distancia

del punto

, figura 14-c. Previo al cálculo del momento

72

,


considérese que la carga de par uniformemente distribuida se reemplaza por un momento resultante igual al área del rectángulo cuyo punto de aplicación puede estar en cualquier parte de la estructura.



0≤≤ +∑=0  =0⇒ = 

  =    (c)

A partir de las vigas vigas con fuerzas redundantes unitarias unitarias aplicadas, se conoce que

  ⟹⟹  =1 = 0≤≤ 0≤≤       1 1 1 1     =  ∫  =  ∫   =  [3  ] = 3     1 1 1 1    =  ∫ 11 =  ∫ =  [ 2  ] =  2         = 3  =  2  =  2  = 

Se determinan las incompatibilidades geométricas y los coeficientes de flexibilidad.

Se calculan las fuerzas superabundantes con base en el siguiente sistema de ecuaciones de flexibilidades:

3 + 3   2  =0 141  =0 1 41  2  2  +   =0 =0 142 1 42    −   12 6      = (32 2 ) ( 23 ) = 6 4  ( 23 ) = 0   ∴  = 

Puesto que se obtuvo una magnitud negativa para que se propuso en la figura 14-b.

73

, el sentido de esta reacción es opuesto al


Ecuaciones de equili brio, fig ura 14-d. 14-d.

 = 0   = 

 ´ =   (d)

  

+↑∑=0⇒+ =0⇒∴ =  +∑=0⇒  ++ =0⇒∴ = 0 Por consiguiente, los momentos de empotramiento perfecto para la viga mostrada en la figura 14-a son nulos, tal como se muestra en la figura 14-e.

  = 



 (e)

74



 = 

15 VIG VIGA A BIEM B IEMPOT POTRADA RADA CON CARGA CIRCULAR CIRCULAR DE UN CUARTO

 = Estructura real (a)





Figura 15

  =

 =





  =             1   = 2  1    +

+

(b) 75




SOLUCIÓN

Principi o de superposic ión, figura 15-b. 15-b. Se eligen como reacciones redundantes a

  y

.

Ecuaciones de compatibilid ad. Se secciona la estructura primaria tal como se muestra en la figura



15-c. Se determina el área bajo la curva. Si el centro de la circunferencia se ubica justamente en el origen del sistema coordenado, entonces la ecuación de esta, con radio , es

 +  =  ⇒  =   −      =    −   0≤≤  =

Se calcula la fuerza resultante de la porción de carga con distribución de forma circular.

(c)





ҧҧ

 − ҧ





1

La integral se resuelve empleando el método de sustitución trigonométrica. Con base en la figura 15-d, se tiene

    −  (d)

   −  √ coscos  =  ⇒ cos =   −  sisin  =  ⇒ sisi n  =  sisin =  ⇒ co coss   =  76


En consecuencia,

 =  coscos   coss  =  cos cos  = 2  + sin  cosos = 2 arcsin  +  √  −  = 2 {arcsin  +    − −[arcsin 0 + 0   − 0]} = 12  arcsin  +   −  ҧҧ  ⁄         −     −    (  −  )  √ ∫ ҧ = 12 arcsin  + √ −  = 12  ar3 csin  +3√ −   +∑ = 0  ⁄        −  − 1− [2  arcsin  +   − ] − 1  ar3 csin  +3√ √  −  −  = 0 2     ⁄   = − 12  arcsin   − 12   −  + 3 −  −3  1− 2   −  −  −3⁄  = −− 12   −  + 13  −    −  = −−   −  12  + 13  − 13  = −   −  13  + 16   = − 12  arcsin   + 3 −   −  13  + 16  = −3 arcsin   − 26 + (√ (√  − )22 +   

Enseguida se calcula el centroide de área .

Se escribe la ecuación de momento . Tomando momentos alrededor del punto del corte en la porción de viga que se indica en la figura 15-c, tenemos

No obstante,

Por consiguiente,

Enseguida se deducen las funciones de momento

77

y

a partir de las figuras 15-e y 15-f.




 1



0≤≤ +∑ = 0 − + 1 = 0 ⇒  = 



0≤≤ +∑ = 0 − − 1 = 0 ⇒  = −1

(e)

1 



(f)

    arcsin   − 2 + (√ (√  − )22 +    −3  1  =       6 − 2626|| = − 1515180            −3 ar c s i n   − 2 + (√ −  ) 2 2  +    1   =     −1−1  6 = 1515 −32 −3296||     1  1   =    = 3  =   −1−1 = − 2    1  1  =   −1−1 = − 2  =   −1−1−1−1 =  − 2626|| + 3  − 2  = 0−− 15−15 − 1 − 1515180 0− − − 1515 −32−9632|| − 2  +   = 0− − − 15 −2− 2

Se calculan los desplazamientos

y

.

Se plantea el sistema de ecuaciones de compatibilidad geométrica.

78


    15 1 5 − 1 1 15 1 5 − 2 2 +64 ∴  = 1515240+64+ 64   = 1515240+64  = 5656 −1201515 ∴  = 56120− 1515 

De resolver el sistema simultáneo de ecuaciones

y y

, resulta

Ecuaciones de equili brio, fi gura 15-g. 15-g. Se determina la fuerza resultante de la distribución de carga como el área del cuarto de círculo.

      ´ =    −   = 4 = 4           ( √  −  )  ∫ ҧ´ =   = 3 = 4 = 4

El punto de aplicación de tal fuerza medido desde , resulta ser

 =

4

4 3 3 

´ = 4   = 56120− 1515   4 ҧ ´ = 3   15 + 64  = 240   =

  15 15  −32 − 32   =   240   = 316 − 154  

(g)

Por consiguiente,

+↑ ∑ ∑ = 0 ⇒ 15240+ 6464  − 4  +  = 0 ⇒∴  = 316 − 154   + ∑  = 0 ⇒ −5656120− 1515  + 1515240+ 6464    − 4   − 34 +  = 0 ⇒∴  = 1515240−32− 32  79

16 VIG VIGA A BIEM B IEMPOT POTRADA RADA CON CARGA ELÍPTICA ELÍPTICA DE UN CUARTO












Figura 16



 

=  =   = +



+

2  1     (b)

80

 

   1 




SOLUCIÓN



Principio de superposición, figura 16-b. Se han seleccionado como fuerzas sobrantes a las reacciones del empotramiento .

Ecuaciones de compatibilidad. Se aplica el método de secciones a la estructura primaria, figura 16-c. La ecuación de una elipse cuyo centro se encuentra situado en el origen es

 +  =1⇒= 1 −  =    −    =     −  =  = 2  arcsin  +   −  ̅  ∫   √  −   −  − 3⁄ −   ̅ = 2  arcsin  + √  −  = 2  arcsin  + √  −  0≤≤    ത −̅ 1  

Se determina la fuerza concentrada equivalente de la porción de carga con distribución de forma elíptica.

Se calcula el punto de aplicación de de .

‘

(c)

Con base en la figura 16-c se deduce el momento interno

+∑=0 81



.


⁄ −         −  − 2  arcsin  +   − − 2− arcsin 3+ √  −  −  = 0  arcsi n  = − 2  +  − 3√  −  − √ 2 −  + 3  arcsin  + 2 − ⁄ + 3√  −  − 2 3  = − 6 Los momentos internos de las vigas con fuerzas redundantes unitarias aplicadas son

 ⟹  = 0≤≤  ⟹  =−1 0≤≤


arcsin  + 2 − ⁄ + 3√  −  − 2    3 1  =   −    6    15−26 15−26  = − 180 arcsin  + 2 − ⁄ + 3√  −  − 2    3 1  =   −  −1−1  6   15−32  = 15−32 96

Los coeficientes de flexibilidad se presentan enseguida.

 = 3  = − 2  = − 2  = 

Se formula el sistema de ecuaciones de flexibilidades.

 +   −   =0−−− − 15−26  15−26  16−1  2  =0−−− 16−1 180 3  −   +   =0−−− 15−32  15−32  16−2 96 2    =0−−− 16−2 82


Entonces,

  = 15+64  240  56−15 ∴  = 56−15 120 

Ecuaciones de equili brio, fig ura 16-d. 16-d. Se calcula la carga resultante de la distribución de fuerza elíptica.

´=    −  =  = 4  ∫ (√  − )  3  4 ̅´= 4 = 4  = 3  15+64  3 4 +↑∑=0⇒ 15+64 −  − + =0⇒∴ =  −   240 4 16 15     56−15 15+64 15+64  4    +∑=0⇒− 56−15  +    −  −  +  = 0 120 240 4 3  15−32 ∴  = 15−32 240   ´= ´ = 4  

El centroide de área corresponde a

En consecuencia,

 56−15  = 56−15 120   ̅´= 4 3   15+64  = 240   (d)

83

  15−32 15−32   =   240   = 316 − 154  

17 VIGA CON SOPORT SOPORTES ES A RTICU RTICUL L A DO Y FIJO CON CARGA PUNTUAL PUNTUAL APL APLICADA ICADA AL A L CENTRO CENTRO DEL DE L CLARO

Estructura real () ) (a)

Figur a 17

SOLUCIÓN

Principio de superposici ón, figura 17-b. 17-b. La viga que se muestra en la figura 17-a tiene un grado de indeterminación estática de uno. La fuerza sobrante seleccionada corresponde a   . Tome en cuenta que también puede elegirse al momento reactivo de  como redundante, en ese caso, el empotramiento debe ser reemplazado por un apoyo articulado.

(b)

Ecuación de compatibili dad. Con 1 y 11 calculados en la viga que se muestra en la figura 1-a, se tiene −

53 48 48

+

3 3

  = 0 − − − 17 − 1

84


Al despejar la incógnita, se obtiene

 5   = 48⁄ ⇒∴  = 165  3 Ecuaciones de equilib rio, figu ra 17-c. 17-c.

+↑ ∑ = 0 ⇒ 165  −  +  = 0 ⇒∴  = 1161  + ∑  = 0 ⇒  (2) − 1116  +  = 0 ⇒∴  = 163     = 165 



/2

/2 (c)

85



 = 163   = 1161 

18 VIGA CON SOPOR SOPORTES TES A RTICU RTICUL L A DO Y FIJO CON CARGA DISTR DISTRIBUIDA IBUIDA UNIFOR UNIFORME ME

 






Figur a 18

SOLUCIÓN

Principi o de superposic ión, figura 18-b. 18-b.

  = 

 





+

      1

 

(b)

  − 84 + 3  = 0−−− 0− −−18−1 18−1

Ecuación de compatibili dad. Con 2-a, resulta

En consecuencia,

y

determinados al analizar la viga que se indica en la figura

4    = 8⁄ ⇒∴  = 38  3 86




Ecuaciones de equili brio, fig ura 18-c. 18-c. Se calculan las reacciones desconocidas restantes son

+↑ ∑ = 0 ⇒ 38  − −  + +  = 0 ⇒⇒∴  = 58    5   + ∑  = 0 ⇒ (2) − 8   +  = 0 ⇒⇒∴  = 8   = 38 



 (c)

87

    =  8   = 58 

19 VIGA CON SOPOR SOPORTES TES A RTICU RTICUL L A DO Y FIJO CON CARGA TRIANGULAR SIMÉTRICA

 

/2 Estructura real (a)



/2 

Figur a 19

SOLUCIÓN

Principi o de superposic ión, figura 19-b. 19-b.



  = 

/2



/2

+

      1

 

(b)

    − 11 0− −−19−1 19−1 192 + 3  = 0−−−

Ecuación de compatibilidad. Con base en los resultados para en la figura 4-a, tenemos

Por consiguiente,

88

y

de la viga que se observa




 1 1  = 192⁄ ⇒∴  = 1641  3 Ecuaciones de equilibr io, figura 18-c 18-c. Finalmente,

+↑ ∑ = 0 ⇒ 1641  − 2 +  = 0 ⇒⇒∴  = 2641  + ∑  = 0  5    (2)  (12) (23) (2) + (2)  (12) 2 + 13 (2)− ) − 21  +  = 0 ⇒ ⇒∴  =  64 64    = 1641 



2 5    = 64 /2  = 2641 

/2 (c)

89

20 VIGA CON SOPOR SOPORTES TES A RTICU RTICUL L A DO Y FIJO CON CARGA PARABÓLICA

 

á

/2 Estructura real (a)

/2 



Figur a 20




  = 

 /2



/2

+

      1







(b)

Ecuación de compatibilid ad. De acuerdo con los resultados obtenidos para se muestra en la figura 6-a, se tiene

4  7 − 90 + 3  = 0−−− 0− −−20−1 20−1 90

  y

de la viga que


Entonces,

4 7   = 90⁄ ⇒∴  = 307  3



Ecuaciones de equilibr io, figura 20-c 20-c. Las fuerzas reactivas en el soporte son

1 3 +↑ ∑ = 0 ⇒ − 23  + 7 +  = 0 ⇒∴  =   30 30  + ∑  = 0 ⇒ 23 (  (2) − 1330   +  = 0 ⇒∴  = 10   = 307 



á     =   10 /2  = 1303 

/2 (c)

91

21 VIGA CON SOPOR SOPORTES TES A RTICU RTICUL L A DO Y FIJO CON CARGA TRIANGULAR TRIANGULA R

 



 

Estructura real (a)

Figur a 21




  = 







+

      1

 

(b)

Ecuación de compatibilidad. Retomando los valores de se muestra en la figura 3-a, da

  y

obtenidos al analizar la viga que

  11 − 120 + 3  = 0−−− 0− −−21−1 21−1 92




De modo que

 1 1  = 120⁄ ⇒∴  = 1401  3 Ecuaciones de equilibr io, figura 21-c 21-c.

9 +↑ ∑ = 0 ⇒ − 2 + 11 +  = 0 ⇒∴  =   40 40   + ∑  = 0 ⇒ 2 (3) − 409  +  = 0 ⇒∴  = 7120 

  = 1401 



 (c)

93

2 7    = 120  = 409 

22 VIGA CON SOPOR SOPORTES TES A RTICU RTICUL L A DO Y FIJO CON CARGA DE ENJ ENJ UTA PARABÓLICA PARAB ÓLICA



á 






Figur a 22


  = 



á 





+

      1

 

(b)

Ecuación de compatibilid ad. Remitiéndonos a los cálculos de la viga indicada en la figura 7-a para

  y

, la ecuación de flexibilidad resulta ser

 + 3  = 0−−− − 72 0− −−22−1 22−1 94




La solución de la ecuación

22−1 22−1    = 72⁄ ⇒∴  = 241  3 implica

Ecuaciones de equilib rio, figu ra 22-c. 22-c.

+↑ ∑ = 0 ⇒ − 3 + 24 +  = 0 ⇒  = 247  + ∑  = 0 ⇒ 3 (34 )− ) − 247   +  = 0 ⇒  = 24 á

 = 241 



 (c)

.

95

 2     = 24  = 247 

23 VIG VIGA A BIEMPOTR BIEMPOTRADA ADA CON CARGA DISTRIBUIDA DISTR IBUIDA PARCIA PARCIAL L MENTE UNIFOR UNIFORME ME W

A

B

a L



Estructura real (a)

Figur a 23 SOLUCIÓN Principio de superposición y ecuaciones de compatibilidad Tal como se han venido desarrollando en los ejemplos anteriores para vigas doblemente empotradas con carga axial nula, las condiciones de frontera para la viga que se muestra en la figura 23-a son las mismas y su grado de hiperestaticidad también, por lo tanto, de igu al manera es hiperestática de grado dos. No obstante, para inducir una variación en el análisis para este tipo de estructuras, se han seleccionado a los momentos de reacción y como redundantes. Entonces, la aplicación del principio de superposición quedaría justo como se muestra en la figura 23-b.

 

M

W

1

A

 =

B +



(de M A ) m1

A

B



a

L

L

+

  0 =  +  +  − − − − 23 − 11 0 =  +  +  − − − 23 −2 −2

Con referencia a los puntos se tiene que

y

de la figura 23-b,

(b) (de M B )

A

B



L

La estructura primaria pudo haberse planteado con el apoyo fijo en A; sin embargo, esto tiene muy poca importancia ya que como es sabido, no habría reacción horizontal en o .

 

96

1

m2


Incompatibilid ades geométricas geométricas y coeficientes de flexibilidad El siguiente paso consiste en calcular las reacciones y escribir las ecuaciones de momentos internos para todas las vigas isostáticas que se muestran en la figura 23-b. Para la estructura primaria

 =   1 −  

, para la primera complementaria

 =   

y para la segunda también

 = 

.

Nótese que solamente se están considerando las reacciones en , esto es porque el cálculo de la acción interna se realizará empleando una coordenada de izquierda a derecha, siendo innecesaria la participación de las reacciones en para este fin. Para determinar los momentos , se tienen dos regiones a analizar y se requiere de realizar dos cortes, figuras 23-c y 23-d. Enseguida se deducen los momentos internos y con base en las figuras 23-e y 23-f.

 





W

1− 2  /2

0≤≤ +∑ = 0 − −  2 + 1− 1 − 2   = 0  =   1 − 2   − 2 



A



 (c)

 ≤≤ +∑ = 0 − −   − 2 +  1 − 2   = 0  =   1 − 2   −  − 2

1 

A a

1− 2   (d)

0≤≤ +∑ = 0 − − 1 + 1  = 0 ⇒  =  − 1

1



A

W

 (e)

97




0≤≤ +∑ = 0 − + 1  = 0 ⇒  = 



A

1 

 (f)

Las incompatibilidades geométricas son resultado de

  )  − 1  ([1− 2   − 2 ])  1− 2   −  − 2 − 1   = ∫  + ∫      

= 6  −  − 4    ([1− 2   − 2 ])  1− 2   −  − 2 )     = ∫  + ∫       −   = 12 2     − 1 − 1   − 1 1     = ∫   = 3  = ∫   = − 6    − 1      = ∫   = − 6  = ∫   = 3

Luego, los coeficientes de flexibilidad,

, son





Cálculo Cá lculo de redundantes y reacciones faltantes Las ecuaciones

23− 23 − 1 23 − 2 0 = 6   −  − 4  + 3  − 6  − − − 23 − 3    −  −   +   − − − 23 − 4 0 = 12 2 6 3 y

se convierten en

En consecuencia,

 = 12  6+ 6 +  3  − 8    = −  12 3  − 4 98


Las demás reacciones se calculan de manera sencilla con aplicación de las ecuaciones de la estática, colocando los valores de las redundantes ya calculadas, figura 23-g.

+↑ ∑  = 0 ⇒  +  −  = 0 + ∑ = 0 ⇒ − 12 6+ 6 +  3  − 8 8++ 2  − 12 3  − 4 −  = 0     ∴  = 2 2− 2 −          ∴  =  −  + 2 = 2 2− 2 −  2− 2 − 

W

2       = 12 6 +  3  − 8       = 2 2− 2 −  2− 2 − 

A

B

a L

(g)

99

3    = − 12 3  − 4      = 2 2− 2 − 

24 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA CARGA TRIANGULA TRI ANGULAR R PARCIAL PARCIALMEN MENTE TE DISTRIBUIDA DISTRIBUIDA W

A

B

b

a L

Estructura real (a)



Figur a 24

SOLUCIÓN Principio de superposición y ecuaciones de compatibilidad Se obtendrá una solución directa para los momentos reactivos en los puntos superposición se ilustra en la figura 24-b.

  y

. El principio de

W M

 =



A

1

C

B +

a

(de M A ) m1

A

B



b L

L

(b)

+

(de M B )

Se plantean las ecuaciones para determinar las redundantes.

0 =  +  +  − − − 24−1 24−1 0 =  +  +  − − − 24−2 24−2

A

B



100

1

m2

L


Incompatibilid ades geométricas geométricas y coeficientes de flexibilidad Con relación a la estructura primaria, se tiene que



 = 

. El análisis para el cálculo de las





funciones de momento se realiza con base en la coordenada con origen en y positiva hacia la derecha. Puesto que esta viga no está cargada en toda su longitud, sino que solamente en una parte (longitud ), se requiere de seccionar a la estructura en un sitio intermedio en cada tramo ( y ), tal como se muestra en las figuras 24-c y 24-d.



A

  6

x

0≤≤ +∑=0     − + 6  =0 ⇒  = 6 



(c)

  −   2 C

A

 6

 −  

a



̅  ̅

   −   

≤≤ +∑=0 − − 6  −  + 6  = 0  = 6  − 6  − 

− 3

(d)

Las incompatibilidades geométricas se calculan enseguida.

 6   − 1  (6  − 6  − )  − 1  = ∫    + ∫      = 12 10 − 3        − )          (  −    6  6 6  = ∫   + ∫    20 + 3 −15  = 360 [  ] 101


Se retoman los coeficientes de flexibilidad obtenidos en la resolución de viga que se muestra en la figura 23-a.

 = 3

 = − 6

 = − 6

 = 3

Cálculo Cá lculo de redundantes y reacciones faltantes

24−1 24−1 24−2 24−2     −  +   −   − − − 24−3 0 = 12 24−3 10 3 3 6  [20 + 3 −15] −   +   − − − 24−4 0 = 360 24−4  6 3  − =         = 60 (5−3 )  = − 60 10 + 3 −10 −10

Al sustituir los los valores en el sistema sistema de ecuaciones

Teniendo en cuenta que

y

, da

, resulta

Sin embargo, la expresión que define a que :

 = −



puede reducirse de la siguiente manera, considerando

 = − 60 3  + 10 

Empleando los resultados previos y al aplicar las ecuaciones de equilibrio en el plano, figura 24-e, tenemos

+↑∑ =0 ⟹  +  = 2         + ∑  =0 ⟹  + 60 3  + 10  − 2 (3) − 60 (5−3 ) = 0       ∴  = 20 (5−2 ) ∴  = 20 [10−  (5−2 )]  2

W

(e)

3    = 60 ൤5 + 3 ൨    = 20 (5−2 )

A

a

b

L

102

2 2    = 60 [3 2 − 4 ]   =  [10−  (5−2 )] 3 20   B

25 VIGA CON CARGA DISTRIBUIDA DISTRIBUIDA PARCIAL PARCIA L MENTE UNIFORM UNIFORME E CON UN APOYO A POYO EMPOTRADO Y OTRO ARTICULADO W

A

B a

b L

Estructura real

.



(a)

Figur a 25

SOLUCIÓN

Principi o de superposic ión, figura 25-b. 25-b. La viga que se muestra en la figura 25-a es estáticamente indeterminada de primer grado.

W



1

 =

A

(de M A )

A

B + b

a



m1

B



L

L

(b)

Ecuación de compatibilidad. Se escribe la ecuación de flexibilidad para el desplazamiento angular



en .

0 =  +  − − − 25−1 A

(c)

 2



0≤≤ +∑=0⇒ = 2 

 103


 − 

W



A

 

−

a

2

≤≤ +∑=0  = 2  − 2  − 

− 2

 (d)

Se escriben los momentos

   = ∫ 2





a partir de las figuras 25-c y 25-d. En consecuencia,

  − 1  (2  − 2  − )  − 1   − 2  = 24      + ∫   = 3 25−1   25−1  − 2        0 = 24    + 3  ⇒∴  = 8 2 −  

Al reemplazar los valores valores de

y

en la ecuación

, obtenemos

Ecuaciones de equil ibrio , figura 25-e. 25-e.

+↑∑ =0 ⟹  +  =      + ∑  =0 ⟹  − 8 2 −   −(2) = 0        ∴  = 8 6− 6 −   ∴  = 8 [8− [8 −  6− 6 −  ]  W

(e)

 = 8 2 +   = 8 6− 6 − 

A

B a

b

L

104

 2

 = 8 [8− [8 −  6− 6 − ]

26 VIGA CON CARGA TRIANGULA TRIANGULAR R DISTR DISTRIBUIDA IBUIDA PARCIAL PARCIA L MENT MENTE E CON UN APOYO EMPOTRADO EMPOTRADO Y OTRO ARTICULADO

W

B A

b

a L

Estructura real



(a)

Figur a 26


W

M

1

 =

A

B

+

(de M A ) m1

A

B

b

a



L

(b)



L



Ecuación de compatibilid ad. Se escriben las ecuaciones para el momento , figuras 26-c y 26-d.

105


A

  3



0≤≤ +∑ = 0  = 3  



(c)

≤≤ +∑ = 0  = 2  −   =  −  [1 −  − ]    = 3  − 2  −  [1− [1 −  − ] − 3  −  3

  W

A

−

a L

(d)

Se calcula la incompatibilidad geométrica.

 − ] − 3  − )  − 1  3   − 1  (3  − 2  −   [1− [1 −  = ∫    + ∫  =   3 − 5 90  El coeficiente de flexibilidad es

 = 3 Entonces,

 3 − 5    0 = 90    + 3  − −− − − 26 − 1      ∴  = 30 5−3  

106

  +  −   


Ecuaciones de equil ibrio , figura 26-e. 26-e.

+↑ ∑  = 0 ⟹  +  = 2    2   + ∑  = 0 ⟹  − 30 5−3   − 2 ( 3 ) = 0     ∴  = 10 5− 5 −        ∴  = 10 5− 5 −  5− 5 −    2

W

 = 30  5− 3       = 10  5 −  

B A

b

a

L

(e)

107

2 3

 = 10 5− 5 −  5− 5 − 

27 VIGA CON TRES CARGA CARGAS S EQUID EQUIDISTANTES ISTANTES CON UN APOYO EMPOTRADO Y OTRO ARTICUL A RTICULA A DO

P

P

P

A

B a

a

a

a

L

Estructura real

()

(a)

Figur a 27 SOLUCIÓN Principi o de superposició n, figura 27-b. 27-b.

P

P

P 1

 =

A

B a

a



a

+

(de M A ) m1

A

B

a

L

(b)



Ecuación de compatibilidad. Se deducen los momentos internos 27-f.

0≤≤ +∑ = 0  = 6  ()

L



, figuras 27-c, 27-d, 27-e y



A

6 

 (c)

108


P

 −

A

6 

 ≤  ≤ 2 +∑ = 0  = 6  () − ( − )

a

 (d)

P

2 ≤  ≤ 3 +∑ = 0  = 6  () − (2 − 3) 3)

P

A

6 

a

a



  − 2

(e)

P

P

P

4  −3 − 3

A

6 

a

a

3 ≤  ≤  +∑ = 0 4 = 6  () − 3( 3( −2 − 2)

a

 (f)

Se determina la incompatibilidad geométrica.

 6  ()  − 1  6  () − ( − )  − 1  = ∫    + ∫ 

(2 − 3) 3)  − 1  6  () − 3( 3( −2 − 2)  − 1  6  () − ( ∫  + ∫      7 + 128 − 70 =  



109




El coeficiente de flexibilidad es

 = 3 Por consiguiente,

128 − 70 70 +   − −− 0 =  7 + 128 − 1)  3 − − (27 −1 ∴  = 185  = 1325  Ecuaciones de equilibr io, figura 27-g. 27-g.

+↑ ∑  = 0 ⟹  +  = 3 + ∑  = 0 ⟹  − 1532  − 6 = 0 ∴  = 6323  ∴  = 3323  P

 = 1325   = 6323 

P

P

A

B a

a

a L

(g)

110

a

 = 3323 

28 VIGA DOBL DOBLEMEN EMENTE TE EMPOT EMPOTRADA RADA CON CARGA UNIFOR UNIFORME ME CONCENTR CONCENTRA A DA EN UNA ZONA ZON A CEN CENTRAL TRAL

 Estructura real



(a)

A



B



C

D

Τ2

Τ2 =  Estructura Primaria



A



B



 

 Τ2

C

D

  Τ2

+ Estructura liberada con una unidad de fuerza redundante aplicada





A



B



 

Τ2

C

D

(de RDY )

  Τ2

+

1

(de M D ) 1

Estructura liberada con una unidad de momento redundante aplicado





A



B

 Τ2

C

   Τ2

 (b)

Figur a 28 111

D




SOLUCIÓN

Verificació Ve rificació n del grado de indeterminación Analizando el grado de indeterminación de la estructura que se muestra en la figura 28-a se puede observar que esta tiene seis incógnitas de reacción, lo cual significa que no puede resolverse aplicando directamente las ecuaciones del equilibrio estático: , y .

∑  = 0 ∑  = 0 ∑  = 0

∑  = 0

La ecuación se satisface directamente dado que no existen componentes horizontales en las fuerzas externas, por lo cual quedan cuatro reacciones incógnitas con dos ecuaciones por utilizar. Esto nos lleva a la conclusión de que se trata de una estructura indeterminada de grado dos, de modo que se requieren dos ecuaciones adicionales para poder calcular el valor de las reacciones incógnitas. Tales ecuaciones a agregar se obtienen a partir de un análisis de compatibilidad de deformaciones, utilizando además de los principios de equilibrio del cuerpo rígido, la propiedad de deformabilidad de las estructuras.

Principio de superposición La viga indeterminada que se muestra en la figura 28-a puede presentarse como la suma o superposición lineal de todas las estructuras estáticamente determinadas que se muestran en la figura 28-b al elegir como fuerzas redundantes a y .

 

El principio de superposición indica que la respuesta estructural total de una estructura frente a un sistema de cargas exteriores es igual a la suma de las respuestas particulares del mismo sistema ante cada una de las cargas aplicadas simultáneamente o una a una. Esto solo es aplicable a un sistema estructural que responde en su rango elástico y lineal. Con la ayuda de tal princi pio y de considerar la deformabilidad de las estructuras es posible obtener las dos ecuaciones adicionales que requerimos para el cálculo de las cuatro reacciones incógnitas. La compatibilidad de deformaciones nos indica que las deformaciones de la estructura indeterminada deben ser igual a las deformaciones del sistema determinado equivalente. Analicemos las deformaciones en el nodo de la estructura liberada; las cargas reales producirán en tal nodo un desplazamiento hacia abajo y una rotación en sentido horario, por otro lado, la carga unitaria en un desplazamiento hacia arriba y una rotación en sentido antihorario y finalmente el momento unitario inducirá en el punto un desplazamiento hacia arriba y una rotación en sentido antihorario. Analizando las condiciones de frontera en la estructura indeterminada, se observa que el nodo está totalmente restringido al desplazamiento vertical y a la rotación, por lo que las ecuaciones de compatibilidad pueden escribirse de la siguiente manera:



 



 











 +   +   = 0   281 281  +   +   = 0   282 282 281 281 282 282

Las ecuaciones y son las adicionales requeridas para obtener los valores de las reacciones en los soportes de la estructura indeterminada.

112



     

Se calculan los desplazamientos desconocidos , , , , y . tomando en cuenta únicamente las deformaciones por flexión, es decir, despreciando las deformaciones por cortante.



Se escriben las ecuaciones para los momentos internos , figura 28-c. Obsérvese en la figura 28-b que para realizar los seccionamientos en la viga liberada se ha elegido una coordenada , positiva hacia la izquierda, para cada región distinta de l a estructura. Los orígenes asociados a estas son los puntos , y .



 

 +  ∙  ∙ 2 = 0  =  2  

 +  ∙ 2 ∙  +  = 0  = 2  2 2 A



B



 = 0 C

D

Τ2

Τ2 (c)

Se calculan los momentos



, figura 28-d.

  1 ∙ ( + 2 + 2  ) = 0  =  + 2 +  A

  1 ∙ ( + 2  ) = 0  =  + 2 +  

B



C

(d) 113

D 1

Τ2

Τ2

  1 ∙  = 0  = 


Se determinan los momentos



, figura 28-e.

 = 1

 = 1

 = 1

1

(e)

A

B

Τ2





C

D

 Τ2

 − −  1  1   1  =  ∫ 2   2 2 ∙ ( + 2 +) +  ∫  2  ∙ ( + 2 +) +  ∫ 0∙ 0∙

Cálculo del desplazamiento

.

Desarrollando los productos por separado, se tiene

2  2 2 ∙ ( + 2 + ) = 2 2   2  2 2  2     2 2 2  2 2 ∙ ( + 2 +) = 2     4  + +  2  2  2  ∙ ( + 2 + ) = (2  4 )   2  En consecuencia,

−       1 1          =  ∫ 2      4 + +   2  2  +  ∫ [( 2  4 )   2  ]  −  1 4 + +   2  =   2  +     2    3  + 1 [(6  12)   8 ]  2    + 1  4 +       =  2 +   (2 ) 2  (2  )  3 (2  )  + 1 [(6  12) 2 2  8 2 2] +     +   = 1  +2 + 2  2 +     4  + 2 4      23 8  34 + 32   +  + 1 43  23  2  = 1 2  2  2  +2 2  2  8  + 2  2  12 + 2   + 23   2   5 4 1   + 3  3 2  =   6  24  114


 − −    1 1 1   =  ∫ 2  2 2 ∙1 +  ∫  2  ∙1 +  ∫ 0∙1 0∙1 − 1    1      =  2      +   6    = 1 2 (2 )(2  ) + 1  6 2 2  = 1 2 (2 )4   + +  + 1  43   = 1  +2 + 2  4  +      43  = 1  3  4 


.




.

    1 1   =  ∫  ∙   =   3  = 3

       1 1   =  =  ∫  ∙1  =   2  = 2

Cálculo de los desplazamientos




.

.

 = 1 ∫1∙ 1  = 1  = 

Cálculo Cá lculo de las reacciones redundantes

281       281 282 282 1    5 +     +     = 0  283 283  6 24 3 2 1     +     +  (  ) = 0    284 284  3 4 2  284  284  = 3  + 4  (2)     285

Reemplazando los valores de

Despejando

de la ecuación

,

,

,

,

y

, resulta

115

en las ecuaciones

y

, da


283 283          6  5  +    +  24 3  2   3 + 4  (2)  = 0        6  5 +    + 24 3  6 + 8   4   = 0 12   = 12 ⟹∴  = 

Sustituyendo la en la ecuación

, se llega a

De modo que

          = 3 + 4  (2)  ⟹∴ ⟹∴  = 3  4 Ecuaciones de equilibrio Las demás reacciones se calcularán con las ecuaciones de equilibrio estático. Los resultados finales se muestran en la figura 28-f.

+↑   = 0 ⇒  +  2  2 = 0  = 2   ⟹∴  =  +   = 0 ⇒  + 2 (2)      = 0     +        3  4  = 0     ∴  = 3  4       = 3  4  = 

A



B



C

 Τ2

Τ2 (f)

116

D

     = 3  4  = 

29 VIGA VIGA EMP EMPOTR OTRA A DA-ARTICU DA-ARTICULA LADA DA CON CARGA UNIFORME UNIFOR ME CONCENTRADA CONCENTRADA EN UNA ZONA CENTRAL

 Estructura real



(a)

D A



B



C

Τ2

Τ2 =  Estructura Primaria



A



B



 

 Τ2

C

D

  Τ2






D A





B



Τ2

C

  Τ2

 (de RDY )

1

(b)

Figur a 29

SOLUCIÓN

Principi o de superposic ión, figura 29-b. 29-b. Se selecciona a 117



como fuerza superabundante.


Ecuación de compatibilidad. Retomando los resultados obtenidos para la incompatibilidad geométrica



Despejando

  +   = 0− −− −− 29− 29 − 1 1 [−   − 5] +     = 0 − − − 29− 29 − 2  6 24 3 29− 29 − 2  = 2  + 58

y el coeficiente de flexibilidad



de la ecuación

de la viga mostrada en la figura 28-a, obtenemos

, se llega a

Ecuaciones de equilibr io, figura 29-c 29-c. Las reacciones faltantes son

+↑ ∑  = 0 ⇒  +  −2 − 2 = 0  = 2 − 2 − 58 ⟹∴  = − 2 + 11 8 + ∑  = 0 ⇒  − 2 (2) +  = 0  −  +2 + 58  = 0  −  + 2 + 5 8 =0 ∴  = − 2 + 3 8   = − 2 + 3 8  11   = − 2 + 8

D A



B



C

Τ2

Τ2 (c)

118

 = 2 + 58

30 VIGA DOBL DOBLEMEN EMENTE TE EMPOT EMPOTRADA RADA CON CARGA TRIANGULAR EN UNA PORCIÓN IZQUIERDA q

Estructura real



(a)

A

B

a

C

b

L

=

Estructura Primaria



A



a

q

 B

b

L

C








A

 B







C

(de RCY )

1



+

(de M C ) 1

Estructura liberada con una unidad de momento redundante aplicado





A

 

B



(b)

Figur a 30 119

 

C




SOLUCIÓN Principio de superposición, figura 30-b. Se han seleccionado como fuerzas redundantes a las reacciones del empotramiento derecho.

Ecuaciones de compatibil idad Las ecuaciones de flexibilidad para el sistema estructural son las siguientes:

 +   +   =0−−− =0−−− 30−1 30−1  +   +   =0−−− =0−−− 30−2 30−2 Cálculo de las incompatibili dades geométricas geométricas y de los coeficientes de flexibilid ad



−

 

Se emplea una primera coordenada para analizar el segmento con origen en segunda coordenada para comprender el tramo con origen situado en el punto .



Se determinan los momentos



−

y una

con base en las figuras 30-c y 30-d. q





−  2

C

(c)



B

 = 0  +[− −] ∙  ∙ 2 = 0  + − ∙  ∙  2  23  = − 2  + 2 − 3  + 3 − 3 = − 2  + 6 Se escriben las ecuaciones de momento







C

b

(d)


2

C

1

C



B

(f)

(e) 120

b

1


 −1 − 1∙∙ =0 = 0⇒⇒ =   − 1 ∙  +  = 0 ⇒  =+ Se deducen los momentos internos



de acuerdo con las figuras 30-g y 30-h.

1





2

C

(g)

1 

B

b

(h)

 = 1

 = 1

.       1 1  =  ∫ − 2 + 6  ∙  +  +  ∫0∙ 

Se calcula el desplazamiento

No obstante,

            − 2 + 6  ∙  +  = − 2 − 2 + 6 + 6 De modo que

                 1 1   =  ∫ − 2 − 2 + 6 + 6   =  − 6 − 8 + 24 + 30   = 1 − 6  − 8  + 24 + 30 = 1 − 8  − 11 120  .           1 1 1   =  ∫ − 2 + 6 ∙1 +  ∫0∙1 =  − 6 + 24   = 1 − 6  + 24 = 1 − 8  .     1 1   =  ∫  ∙   =   3  = 3   .     1 1   =  =  ∫  ∙ 1  =   2  = 2



Se calculan los desplazamientos

121

C





.

 = 1 ∫1 ∙ 1  = 1  = 

Cálculo Cá lculo de las reacciones redundantes

30−1       30−1 30−2 30−2 1 −  − 11 +     +    =0−−− 30−3  8 120 3 2=0−−− 30−3 1 −  +     +  (  )=0−−− 30−4  8 2 )=0−−− 30−4 30−4  30−4  = 8 − (2)  − − − 30−5 30−5 30−5 30−3 30−5 30−3  11         − 8 − 120  +   3  +  8 − (2)   2  = 0  11         11     − 8 − 120 +   3  + 16 −  4   = 0 ⇒ 12  = 8 − 16 + 120  3  11  3  3 11  2    3 3  −   3 3  = 2 − 4 + 10 =  = 2 − 2 − 4 + 10 ⟹∴  = 4 − 5

Al sustituir los valores de

Al despejar

,

,

de la ecuación

Combinando la expresión

,

,

y

en las ecuaciones

y

, resulta

con la expresión

, tenemos

30−5  30−5   3  2    3         = 8 − (2)  4 − 5  = 8 − 8 + 5 ⟹∴  = − 4 + 5

Reemplazando

en la ecuación

, se obtiene

Ecuaciones de equili brio, fig ura 30-i. 30-i.

+↑∑ = 0  2    3  +  − 2 =0⇒∴ = 2 − 4 + 5 +∑=0 ⇒ − 2  (23 ) +  +  = 0  3  2       − 3 +  4 − 5   − 4 + 5 = 0 122

, se llega a


 3  2        = 3 − 4 + 5 + 4 − 5 ∴  = 3 − 2 + 5 q

2 3 4    = 3 − 2 + 52 3 24  3   = 2 − 42 + 53

A

B

a L

(i)

123

b

C

     = − 4 + 5 3 24 3  = 42 − 53

31 VIGA VIGA EMP EMPOTR OTRA A DA-ARTICU DA-ARTICULA LADA DA CON CARGA TRIANGULAR TRIANGULA R EN UNA PORCIÓN IZQUIE IZQUIERDA RDA q

Estructura real



(a)

A

C

B

a

b

L

=

Estructura Primaria



A



a

q

 B

b

L

C








A

 B









C

(de RCY )

1



(b)

Figur a 31

SOLUCIÓN

Principi o de superposic ión, figura 31-b. 31-b. Se ha optado porque

124



sea la fuerza sobrante.


   +   = 0− −− −− 31−1 31−1 1 −  − 11 +     = 0 −− − 31−2  8 120 3 31−2  31−2  33 3  33 3  3  33   3   −    = 8 + 120 = 8 + 120 = 8 − 8 + 120   3  ∴  = 8 − 10

Ecuación de compatibilidad. Con

y

ya calculados al analizar la viga que se muestra en la

figura 30-a, obtenemos

Despejando

de la ecuación

, resulta

Ecuaciones de equilibr io, figura 31-c 31-c. Por último,

+↑ ∑  = 0 ⇒  +  − 2 = 0    ∴  = 2 − 3 8 + 10 + ∑  = 0 ⇒  − 2  (23 ) +  = 0    − 3 + 3 8 − 10  = 0  ∴  = 3  − 38  + 10 q

2 33 4     = 3 − 8 + 102 3 4  3    = − 2 − 82 + 103

A

B

a L

(c)

125

C b

  = 38 − 10

32 VIGA EMPOT EMPOTRADA RADA-ARTICULA -ARTICULADA DA CON MOMENTO APLICADO EN UN PUNTO ARBITRARIO DEL DE L CLARO

Estructura real

()

 A

C

a

b

(a)

Estructura Primaria

B

L

= 

()

A



a

 B C



b L




()

A

 B







C

(de RCY )

1



(b)

Figur a 32

SOLUCIÓN

Principi o de superposici ón, figura 32-b. 32-b. Se obtendrá el valor de aplique el método de las fuerzas.

Ecuación de compatibilid ad. Se calculan los momentos internos

126

 

directamente una vez que se

, figuras 32-c y 32-d.








2

C



B

C

b

(d)

(c)

 = 0  +  = 0 ⇒  = − Se escriben las ecuaciones de momento








2

C

1

C



B

b

(f)

(e)

 − 1 ∙  = 0 ⇒  =   − 1 ∙ ( + ) = 0 ⇒  =  +  .  = 1 ∫(−) −) ∙ ( + ) + 1 ∫0∙ = 1 ∫−( −( + ) )  1   1   =  [− 2 −] =  [− 2 −] .     1 1   =  ∫  ∙   =  [ 3 ] = 3

Se determina el desplazamiento

Se determina el desplazamiento

La ecuación de flexibilidad queda del siguiente modo:

1 [−  −]+    = 0− − − (32−1) 32−1)  2 3 127

1


Entonces,

 3 3  3( 3   = 2 +  = 2 + 3(− )  3 3 3 3 3   = 2 +  −  =  − 2 Ecuaciones de equilibr io, figura 31-g 31-g.

+↑ ∑  = 0 ⇒  +  = 0  3 3 ∴  = −  + 2 + ∑  = 0 ⇒  −  + = 0  3 3  −  +  − 2   = 0   =  − 3 + 3 2 2 3  3    =  −  + 22 2 3 3    = − 2 + 23

 A

a

B

C b

L

(g)

128

2 3  3   = 2 − 23

BIBLIOGRAFÍA

González, O. (2011). Análisis Estructural. México: LIMUSA. Hibbeler, R. (2012). Análisis Estructural. México: PEARSON. Villarreal, G. (2009). Análisis Estructural. Perú: INDEPENDIENTE. Magdaleno, C. (1978). Análisis Matricial de Estructuras Reticulares Reticulares. México: INDEPENDIENTE. Beaufait, W. F.(1977). Análisis Estructural. Colombia. PRENTICE/HALL. Beer, F., Johnston, E. MCGRAWHILL.

& Elliot,

R.(2007). Mecánica Vectorial para Ingenieros: Estática . México:

Villarreal, G. (2011). Estática: Problemas Resueltos. Perú: INDEPENDIENTE. Fitzgerald, R. (2011). Resistencia de Materiales. México: ALFAOMEGA. ALFAOMEGA. Ortiz D., Marcos M., Hugo M., et al. (2014). Estructuras Isostáticas en 2D: Problemas Resueltos. México: INDEPENDIENTE. Ortiz, D. (2013). Tesis: Problemario de Análisis de Estructuras Isostáticas e Hiperestáticas para Vigas, Marcos y Armaduras. México: UNAM.

129

El libro se ha escrito con la finalidad de contribuir en la formación académica de los estudiantes de Ingeniería Civil, Arquitectura, Ingeniería Mecánica u otras carreras con afinidad, no obstante, también se pretende que esta obra sirva de apoyo a los profesores que dictan los cursos de Análisis Estructural y Mecánica de Materiales. El énfasis de este libro es deducir las fórmulas de las “Fuerzas de Fijación y los Momentos de Empotramiento” en vigas sometidas a distintos tipos de cargas cargas con base en el método de flexibilidades (de igual forma conocido como el método de las fuerzas). El uso de estas fórmulas es necesario cuando se realiza el análisis estructural de una viga o un pórtico con el método de la rigidez matricial o el método de Cross. El método de flexibilidades es útil para determinar las fuerzas reactivas en los soportes de estructuras hiperestáticas y se basa en el principio de superposición. Básicamente, plantea que una estructura estáticamente indeterminada es equivalente a la suma de causas y efectos de una serie de estructuras isostáticas, considerando la compatibilidad del desplazamiento de las mismas. Cabe mencionar que solo es aplicable a un sistema estructural que responde en su rango elástico y lineal. A continuación, se proporciona el enfoque seguido en esta obra. Exactamente 32 vigas hiperestáticas son analizadas minuciosamente hasta el cálculo de sus reacciones en los apoyos. Las solicitaciones aplicadas a las estructuras obedecen a fuerzas puntuales y distribuidas, y momentos distribuidos y puntuales. Las cargas distribuidas actúan total o parcialmente sobre la longitud de la estructura y pueden adquirir las siguientes formas: uniforme, variación lineal, parabólica, senoidal, circular, elíptica, logarítmica, entre otras.

Libro Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento de vigas

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