Miscelanea Integrales Triples

Miscelánea Integrales Triples Universidad Industrial de Santander Espc. Rogers Bello Blanco

 + + = 1 2,2,3  1,3,4 ( +  +  ) =  +  +  2 + 3 + 2 = 6,  = 2,  = ,  = 0 2

2

2

2 2

2

2

1. Escribir la integral que da el momento de inercia de la esfera

densidad

constante constante con respecto a la recta que pasa por los puntos 2. Calcular el volumen volumen acotado por la superficie superficie 3. Calcular el volumen comprendido entre planos

  =  +  ,  = − − ( − 2)

Utilizando el orden

2

2

2

4. Escribir la integral o integrales que dan el volumen indicado entre entre los paraboloides 2

2

2

           = 4 −  −   −  = 0 ,  − 3 = 0 ,  = 0  2

+ 4 y el plano 2 + = 4 en coordenadas esféricas 5. Masa del solido limitado por los planos = +  , + + = 6, = 0 = 0 densidad inversamente inversamente proporcional a la distancia de cualquier punto al origen 2

6. Centro de masas del solido acotado por el cono

 + 2

2

= 1 y los planos

2

y el cilindro

 densidad directamente directamente

proporcional a la distancia al eje

7. Escribir la integral que da el Momento de inercia del tetraedro homogéneo limitado por

  + 3 = 6

los planos 2 +

 y los planos coordenados coordenados con respecto a la recta que pasa por

 

el centro de coordenadas y tiene dirección del vector 2,4,4

8. Calcular el centro de masa de la región solida homogénea limitada por

 = 4;  = 12 ;  = 2;  = 0

 =  ;  = 0; 1

 +  + ( − 2) = 4  + + = 4  + + = 9  +  + ( − 1) = 1  + + = 1  =  +  ( − 1) +  +  = 1  =  +    = 2 +   +  + ( − 1) = 1   +  + ( − 2) = 4  = 1 = 2  =  +    = 2  +   +  +  = 2  = − +   =  +    =  4 −  −   +  +  = 1 ; +  +  = 4 =  + + = 4  = ;  = 2;  = 1  =  +   = 2 = 4  =  +   +  + ( − 2) = 4  = 3 +   + + = 4 2

9. Volumen interior a la esfera

2

2

10. Momento de inercia de la esfera homogénea

2

y exterior a

2

2

2

2

2

   o    c    n    a     l    B    o     l     l    e    B    s    r    e    g    o    R  .    c    p    s    E      I    I    I

 respecto a una recta que

pasa por su centro.

11. Volumen exterior a la esfera

2

2

2

2

12. Volumen interior al cono

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2  y las esferas

2

14. Volumen acotado por los planos 2

2

y a la esfera

13. Volumen comprendido entre los conos

2

 e interior a

2

 y los conos

2

2

2

15. Volumen interior a ambos a la esfera

2

2

2

 y el cono

2

16. Centro de masa del solido acotado de densidad constante acotado en el primer octante por

2

2

2

2

17. Volumen entre las esferas 18. Volumen entre la esfera

2

2

2

2

2

2

2

2

2

y encima del plano

cono

2

2

2  y a la esfera

2 y a la esfera

2

2

y los planos

2

19. Centro de masa del solido homogéneo acotado acotado por el cono 20. Volumen interior al cono

1

2

2

2

2

2

2

y los planos

 y exterior al

   o     l    u    c     l    a    C     –    s    e     l    p    i    r    T    s    e     l    a    r    g    e    t    n    I    :    o     l    u    t     í    p    a    C

1

21. Volumen interior a la esfera

 + + 2

2

2

= 4 y al cono

 +  + ( − 1)  =  +   = + 2

2

22. Volumen entre el paraboloide

2

2

2

2

2

= 1 y exterior a la esfera

 y los planos

 = 1 ; = 4

23. Pasar la integral a coordenadas esféricas y hall ar el volumen

   −  + − − − −  −   2

2

2

2

2

2

 =  +  2

24. Encontrar el volumen del solido exterior al cono

 + = 2

2

2

2

e interior al paraboloide

25. Hallar el volumen en coordenadas cilíndricas: a.

Volumen entre los paraboloides

 + =  + +1 = =4  = 2 − +   =  +   = 4 − − ;  =  +  2

2

y

2

b. Volumen del solido interior al cono Encima del plano c.



2

Volumen interior a los paraboloides

 = 2 +  2

2

d. Volumen interior al cono cono

 = 2 −  +  2

2

 = 4 −   −  2

4

2

4

2

2

 y el plano

2

exterior al cono

2

2

2

 exterior al cono

 = + 2

y al paraboloide

2

2

 y exterior al

2

 = 9 − −  = 3; 2 + 2 +  = 5 ;  = 3;  = 0;  = 0;  = 0  = 4 − −  

26. Calcular el volumen acotado por el paraboloide

 = 6;  =  ;  = 3

27. Volumen acotado por los planos

28. Volumen del solido acotado por el paraboloide

2

2

2

2

y los planos

 y el plano

 en

coordenadas polares y rectangulares

29. Centro de masa de un cubo cuya longitud de la arista es h y su densidad en cada punto es proporcional al cuadrado de la distancia desde ese punto a un vértice de la base

 + = 9  = 0;  = 0 ;  =  , ,  =   +  +  = 5 ;  =  +  ;  = ;  = 3;  = 0  = 0;  = 1;  = 0;  = 0;  = 1 2 +  + 2 = 6   = 1 −;  = 0;  = 0;  =     + = 4  = 0;  = ;  = 0; , ,  =   +  = ; 2 +  = 2;  = 0;  = ;  > 0; , ,  =   =  ;  = 0;  = 4;  = 12 ;  = 2 ;  = 0

30. Momento de inercia



2

 de la región solida limitada por el cilindro

2

y los planos

 ; densidad

31. Volumen del solido comprendido entre los planos

32. Calcular el volumen en el primer octante limitado por los planos  y

utilizar el orden

33. Escribir en todos los órdenes el volumen acotado por los planos 34. Momento de inercia

 del solido limitado por el cilindro

2

3

 y los planos 2

35. Masa del solido acotado por las superf.

36. Centro de masa de la región solida homogénea limitada por

1

   o    c    n    a     l    B    o     l     l    e    B    s    r    e    g    o    R  .    c    p    s    E      I    I    I    o     l    u    c     l    a    C     –    s    e     l    p    i    r    T    s    e     l    a    r    g    e    t    n    I    :    o     l    u    t     í    p    a    C

2

37. Volumen del solido limitado por las superficies dadas por

=0  = 0;  = 

 En el primer octante

 +  = 1;  = 1 − ;  = 0; 2

38. Escribir los seis ordenes al calcular el volumen de la región solida limitada por los planos ; y el cilindro



2

=1

−

39. Utilice coordenadas esféricas para calcular lo indicado a.

Calcule la integral

 1− 1+ 1− − −1 − 1− 1− 1− − (2 + 2 + 2)32  2

1

2

2

2

2

2

 =  +  ;  + + = 8 2

b. Centro de masas del solido con densidad constante acotado por

 =  2 − − 2

c.

2

 =  +   +  +  = 4  + (− 2) +  2

Volumen interior al cono

2  y

a la esfera

2

2

2

2

d. Escribir la integral que da el volumen del sólido que resulta de la intersección de las dos esferas

2

2

2

 y

2

2

2

=4

   o    c    n    a     l    B    o     l     l    e    B    s    r    e    g    o    R  .    c    p    s    E      I    I    I    o     l    u    c     l    a    C     –    s    e     l    p    i    r    T    s    e     l    a    r    g    e    t    n    I    :    o     l    u    t     í    p    a    C

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