ANÁLISIS MATEMÁTICO III
Módulo
2 2.1
Integrales múltiples Integrales dobles
Ejercic Eje rcic io 1
[PC1 2014_01] Usando las propiedades de la integral doble, demuestre la siguiente afirmación:
→ ℝ y h:[c,d] ⟶ ℝ son funciones continuas entonces. ][ ] [∫ ℎ()][ ][ ]. ∬[.,]×[,][() ℎ()] = [∫ ()][
SI g: [a,b]
Ejercic Eje rcic io 2
Calcule las siguientes integrales iteradas. a) b) c)
∫− ∫ 1 ∫ ∫ )) cos( )) ∫ ∫− (cos(
d) ∫ ∫− − e) ∫ ∫ f) ∫ ∫ +
∬ ( ) ≥0
Ejercic Eje rcic io 3 [PC2 2015_00] Calcule la integral: donde es la región exterior al cuadrado con vértices (2;2), (2; -2), (-2;-2), (-2;2) e interior al cuadrado con vértices (5;5), (5;-5), (-5;-5), (-5;5) con Ejercic Eje rcic io 4
[PC1 2012_02] Considerando la integral
22), ∫ ∫(22)
complete los espacios en blanco en la segunda columna:
El valor de la integral La región R de integración El área de la región R de integración La integral doble con el orden de integración cambiado Ejercic Eje rcic io 5
[PC1 2014_01] En la siguiente igualdad ¿se aplicó correctamente el cambio en el orden de integración? Justifique su respuesta.
∫ ∫( 1) = ∫ ∫( 1)
Ejercic Eje rcic io 6 [PC1 2013_01] Sea la función
(, , ) = , con > 0, definida sobre la región
= {(,)ℝ {(, )ℝ/0 ≤ ≤ 2 ; ≤ ≤ 4}. a) Grafique la región
b) Calcule la integral
.
, ). ∬ (,
Ejercic Eje rcic io 7 [PC1 2014_01] Dada la integral doble
∬ ⅇ /2) /2
donde es la región triangular de vértices (0,0), (0, y (1, ). a) Represente gráficamente la región de integración. b) Modele la integral doble como una integral iterada en sus dos formas c) Determine el valor de la integral doble.
y .
Ejercic Eje rcic io 8 [EP 2013_01] En la columna de la izquierda se muestra la gráfica de una región . Si es una función continua en , escriba en la columna de la derecha la integral doble como una integral doble iterada.
, ) ∬ (,
Región de integración
, ) ∬ (,
Con los límites de integración definidos.
Ejercic Eje rcic io 9
[PC1 2013_00] Invierta el orden de integración para hallar una expresión en base a integrales iteradas equivalente a
, ) ∫ ∫/− (,
Ejercicio 10 [PC1 2013_02] Sea la integral
ⅇ ∫ ∫ −
Modele una integral doble iterada con el orden de integración cambiado. Ejercicio 11 Cambie el orden de integración y calcule las siguientes integrales
. ∫ . e) ∫− ∫− ∫ + ⅇ f) ∫ ∫/ . b) d) ∫ ∫ ⅇ Ejercicio 12 [PC2 2014_02] Dada la integral: ∬ , donde es la región acotada por las gráficas de 0: = 2 y 2√ = 0 las ecuaciones: = 0: a. Modele la integral int egral doble usando u sando integrales integra les iteradas iterada s usando los dos órdenes de integración: y . a)
() ). ∫ ∫ √ ( (). ∫ ∫ (
c)
b. Calcule el valor de la integral doble
Ejercicio 13 [PC1 2013_02] Complete la siguiente tabla, según lo solicitado: Dibuje de la región de integración
Dibuje de la región de integración
Integral doble
− 60( 60( ) Integral doble
√− − −√−
Valor de la integral doble
Modele la integral en coord enadas enadas po lares lares
Ejercicio 14 [PC2 2015_00] Dada la integral
; ) use cambio de orden de ∫ ∫−+ (;
integración y modele la integral como la suma de integrales iteradas con el orden de integración .
= ;
Ejercicio 15 [PC2 2015_01] Sea la región limitada por las parábolas de ecuaciones y la recta de ecuación a. Grafique la región b. Modele una integral doble iterada que permita calcular el área de la región limitada c. Considere parte de la región anterior ubicada en el primer cuadrante y determine una expresión usando integrales iteradas que permita calcular el área de esta región usando el orden de integración
= 4
= 16
Ejercicio 16 Utilice el cambio a coordenadas polares para calcular la integral funciones en las regiones de integración que se indican
(a) (b) (c) (d) (e)
(,) (, ) arctan 9
= {(, , )ℝ/ [0,1 [0,1]] × [0,1]} 1]} = {(, , )ℝ /4 ≤ ≤ 9} = {(, , )ℝ/ ≤ 2} = {(,) {(, )ℝℝ/1 ≤ ≤ 4;0 ≤ ≤ } = {(,) {(, )ℝℝ/ ≤ 9 ; ≥ 0 ; ≥ 0} Región de integración
Ejercicio 17 En la figura adjunta, es la región sombreada que está limitada por las circunferencias con ecuaciones polares y , además
por la recta = .
, ) de las siguientes ∬ (,
= 4 = 4
a. Exprese analíticamente, en coordenadas polares, la región sombreada
.
4
4
4
Eje polar
b. Modele con una sola integral iterada , en coordenadas polares, la siguiente integral
∬ .
4
Ejercicio 18 Evalúe las siguientes integrales dobles iteradas, usando el cambio a coordenadas polares
a)
−( ). ∫ ∫ −
b)
∫− ∫√− + .
c)
− . ∫ ∫− − − −
Ejercicio 19 [PC1 2014_01] En la figura adjunta se muestra la región limitada por la espiral cuya ecuación polar es: , las circunferencias circunferencias
= = 1 ; = y el eje
.
a) Exprese analíticamente, analíticamente, en coordenadas polares, la región sombreada .
b) Modele con una sola integral iterada , en coordenadas polares, la siguiente integral
cos( ) . ∬ cos(
c) Calcule la integral modelada en el ítem anterior. del primer cuadrante comprendida ∬ es la región = 4 y = 25. ; ) donde (, , ) = y Ejercicio 21 [PC2 2014_02] Sea la integral doble: ∬ (; es la región triangular de vértices en (0;0), (1;0), (1;1). a. Grafique la región . b. Modele analíticamente analíticame nte la región usando coordenadas cartesianas. c. Exprese la región en coordenadas polares.
, donde Ejercicio 20 Calcule la integral entre las circunferencias circunferencias
d. Modele la integral doble como integrales iteradas en coordenadas polares
= 4 4 4
Ejercicio 22 En la figura adjunta se muestra la región limitada por el cardioide cuya ecuación es: , la circunferencia y el eje . a. Exprese analíticamente, analíticam ente, en coordenadas polares, la región sombreada .
= 16
4
4
b. Modele, en coordenadas polares, la siguiente integral 4
cos( cos( )
c. Calcule, usando integrales dobles, el área de la región Ejercicio 23 En la figura se muestran las gráficas de las ecuaciones en coordenadas polares: ; Describa la región sombreada en coordenadas polares.
= 3 = 3 6 6
.
Ejercicio 24 [PC2 2014_02] En la figura adjunta se muestran las gráficas de las curvas cuyas ecuaciones en coordenadas polares son: ; Calcule el área de la región sombreada
= 3 = 3 6 6
Aplicación de las integrales dobles
2.2
Ejercic Eje rcic io 1 [EP 2012_01] En la figura se muestra una parábola de ecuación y 2= 2x + 6, una recta L 1 de ecuación y= x – 1 y una recta vertical L 2 que pasa por el punto A. a. Si es la región limitada por la parábola y la recta L2; R2 es la región limitada limitada por las rectas L1, L2 y la parábola, modele, usando desigualdades, las regiones R 1 y R2
b. Si
= ∪ , modele la integral∬
mediante la suma de dos integrales dobles iteradas. c. Calcule doble
∬ mediante una sola integral
Ejercic io 2 Usando una integral doble, determine el área de las regiones limitadas por las curvas Ejercic que se indican a)
b) c) d) e) f) Ejercic Eje rcic io 3 Sea
= 16 16 20 20 ; = 2 2 20 20 ; = 4 = ; = = ; = ; = 2. = (( 1) 1) ; = 1 ( 2) ; = 0 4 = (( 1) 1) ; = ; = . = 4 ; ; = lnln(2 3 3) ; = 1
la región del plano limitada por las gráficas de 6 = (( 1) ; ; = 4 y = 6 Grafique la región . b) Usando una integral doble, halle el área de la región c) Si la densidad de la placa representada representa da por está dada por la función (, , ) = +(−)
. a)
determine la masa total de la placa.
es la región limitada por las cuatro rectas = 3 ; = 1 y = 7 ; a) Grafique la región b) Modele dos integrales dobles iteradas que permitan calcular el área de la región . c) Utilizando una de las integrales modeladas en el ítem anterior (la más conveniente), determine el valor del área de la región Ejercic Eje rcic io 5 Sea la región del plano, en el segundo cuadrante, que es exterior a la gráfica de 2 2 = 0 e interior a = 4. Calcule el volumen de la parte del sólido limitado superiormente por = e inferiormente inferiorment e por la la región . Ejercic Eje rcic io 4 [EP 2014_00] Si
= + y la función , ) = 2. f unción definida por (,
Ejercic Eje rcic io 6 [PC1 2014_01] Calcule el volumen del sólido limitado por las superficies
=
=
= 1,
=0
Ejercicio 7 Calcule el volumen del sólido limitado por el paraboloide .
2 = 1
Ejercicio 8 Calcule el volumen del sólido limitado por las superficies .
3
= 2 y el plano = 0, = 1, =
Ejercicio 9 Calcule, mediante una integral doble, el volumen del sólido limitado por las superficies .
= 4 , = 4
Ejercicio 10 Calcule el volumen de la región interior al cilindro y el paraboloide con con .
=0
4 = 4, > 0
( ) = , entre el plano
Ejercicio 11 Calcule el volumen del tetraedro acotado por los planos .
2
= 0 ; = 0;0; = 4, =
Ejercicio 12 Calcule, mediante una integral doble, el volumen del sólido limitado por las superficies
= 4 ; = ; = 0 y = 4 .
Ejercicio 13 En la figura adjunta se muestra la región del espacio tridimensional limitada por las superficies , el plano los planos verticales y a) Grafique la región , que es la proyección sobre el plano de la región del espacio tridimensional descrita. b) Modele una integral doble que permita determinar el área de la región . c) Calcule el volumen de la región del espacio tridimensional tridimensional descrita.
= = 1 = 3.
Ejercicio 14 Determine el centro de masa de la lámina acotada por las curvas sabiendo que su densidad está dada por .
(, , ) =
= √ ,, = 4, = 0,
Ejercicio 15 Determine el centro de masa de la placa plana limitada por las curvas y , sabiendo que su densidad está dada por
(, , ) = || ||.
= 2 2
= 1 y
Ejercicio 16 [PC1 2012_02] Determine la masa de una lámina limitada por un triángulo con vértices y cuya densidad en cada punto esta dada por .
(0,0); (2,1) (0,3), (; ) (, (,)) = ( ), Ejercicio 17 Determine el centro de masa de la lámina acotada por las curvas = , ) = = 0, = 0 y = sabiendo que su densidad está dada por (, Ejercic io 18 Determine el centro de masa de la lámina triangular de vért ices (0,0),(0,) y (,), donde la densidad en el punto (,) es proporcional a la distancia entre (,) y el eje
Considere como constante positiva.
Ejercicio 19 [PC1 2013_02] Calcule la masa de una placa delgada que ocupa la menor región determinada por la curva y la parábola , sabiendo que la densidad del material es .
4 = 12 = 4 (, , ) = 5 Ejercicio 20 Calcule el área de la superficie = 2 2 que está ubicada sobre el triángulo de vértices (0,0); (0,2) y (2,0). Ejercicio 21 Calcule el área de la superficie = 9 que está ubicada sobre el cuadrado de vértices (0,0); (0,3); (0,3) y (3,3). Ejercicio 22 Determine el área de la parte del cilindro = 9 , ubicada en el primer octante y situada entre los planos verticales = 1 y = 3. Ejercicio 23 En la figura adjunta se muestra el cilindro = 4 que es cortado por el plano = Determine el área de la parte del cilindro que está sombreada.
Ejercicio 24 [PARCIAL 2015_01]Una placa metálica tiene la forma de la región limitada por las curvas de ecuaciones y Si la densidad en cada punto de la placa es . Determine la masa total de la placa.
= || 2 = 1 (;) (, , ) = || 1
Ejercicio 25 Calcule el área de la parte de la esfera
3 3 = 0
Ejercicio 26 Calcule el área de la superficie del plano y por plano .
=
=0
= 4 limitada por el cilindro parabólico
Ejercicio 27 Calcule el área de la porción del paraboloide planos y .
= 0 =1
= 9 limitada por el cilindro
= que está comprendida entre los
Ejercic Eje rcic io 28 Calcule el área de la superficie de la porción del plano
= 2 que se encuentra
por encima del círculo ≤ 1 (en el primer cuadrante).
Integrales triples
2.3 Ejercic Eje rcic io 1
a)
Use integrales iteradas y resuelva las integrales siguientes
− ∫ ⅇ () ∫ ∫√ − −
d)
∫ ∫ ∫ 3
+ b) ∫ ∫ ∫
e) ∫ ∫ ∫
/ ∫ − c) ∫ ∫
/ ⅇ d) ∫ ∫ ∫ ln
∭ x donde es el tetraedro limitado por los planos = 2; = 0 ; = 0 2 = 2. Ejercic Eje rcic io 3 El sólido está limitado por las superficies = y el plano = 6 en el primer octante, a) Esboce el sólido y dibuje su proyección sobre el plano . y) . b) Modele la integral ∭ (x y) lim itada por p or los planos Ejercic Eje rcic io 4 Calcule la integral ∭ (x 1) , donde es la región limitada coordenados y el plano = 1 Ejercic Eje rcic io 5 Calcule la integral ∭ z , donde es la región limitada por los planos = ; = 1 = 0 y el cilindro parabólico = Ejercicio 6 Calcule la integral ∭ 4 , donde es la región del primer octante limitada = 1 superiormente por el cilindro = 1 y situada entre los planos verticales y = 3 superficies, cuyas Ejercic Eje rcic io 7 El sólido está limitado por las superficies, ecuaciones se indican en el gráfico adjunto. a. Dibuje la proyección del sólido sobre el plano b. Modele la integral ∭ 4x y como una integral Ejercicio 2 Calcule la integral y
triple iterada c. Calcule el valor de la integral anterior.
= 2;2; 2 = 6 y el cilindro = 4 Calcule la integral ∭ , donde es la región del primer octante limitada por = 1 y = 1 . − ∫−−(2 ) Dada la integral iterada ∫ ∫ equivalente que tenga el orden de integración Modele otra integral triple iterada equivalente inte gración . planos
Ejercicio 9
Ejercicio 10
Ejercicio 11 En la figura adjunta se muestra la región del espacio para la integral . Modele dos
) = ∭( ) integrales triples iteradas equivalentes que tengan el orden de integración y
− ( ) 2 . Ejercicio 12 Dada la integral iterada ∫ ∫ ∫ modele otra integral triple iterada equivalente que tenga el orden de integración . Z
Ejercicio 13 En la figura adjunta se muestra la región de
5
). Modele = ∭ () tres integrales triples iteradas equivalentes que tenga el orden de integración , y .
Integración para la integral
15x+5y+6z=30
Y 6 X
Ejercicio 14 Describa el sólido mostrado en la figura adjunta en coordenadas cilíndricas
2
limitado por las superficies de ecuaciones = 4; = 2√ 3 ; = 0 ; || = 2 donde además 2√ 3 ≤ ≤ 0. a. Exprese el volumen del sólido como una integral doble iterada. b. Describa analíticamente analíticamente el sólido usando coordenadas cilíndricas
Ejercicio 15 [PARCIAL 2015_01]Sea el sólido
Ejercicio 16 [PC1 2013_02] Dada la integral triple iterada
− − − ( )
a) Modele otra integral triple triple en coordenadas cilíndricas. cilíndricas. b) Calcule el valor determinada en el ítem anterior. Ejercicio 17 [PC3 2015_00] Dada la integral triple iterada en coordenadas cilíndricas:
ⅇ
a. Grafique la proyección del solido de integración sobre el plano b. Modele la integral triple en coordenadas cartesianas. Ejercicio 18 Describa el sólido mostrado en la figura en coordenadas esféricas
Ejercicio 19 El sólido sólido mostrado mostrado está limitado limitado por por las superficies de ecuaciones
= 1 ; = 0 y = 2 Justifique la falsedad de la siguiente afirmación: está descrito en coordenadas esféricas por las desigualdades: desigualdades: 0 ≤ ≤ 2 ; arctan arctan√ ≤ ≤ ; 0 ≤ ≤ sec(2) sec(2) “El sólido
Ejercicio 20 Exprese las siguientes integrales triples iteradas en coordenadas esféricas o cilíndricas, según sea el caso
√− ∫ ∫− ∫−√− + − √− b) ∫− ∫ ∫ −− a)
.
c)
−− ∫ ∫√− ∫ −
Ejercicio 21 Sea la siguiente integral triple
(;;) ;;)
donde es la parte del cilindro circular recto, cuya base es la circunferencia en el plano y limitado superiormente por el plano como se muestra en siguiente figura. Escriba la integral anterior como una integral iterada. Ejercicio 22 [PC3 2015_00] Si
= 2 = 4
la
es el sólido limitado por las dos superficies = 9 y
= 4, modele la siguiente integral ( ) en coordenadas esféricas
2) , donde es el sólido exterior a la hoja superior del ( 2 ∭ = e interior al cilindro = 1, con ≥ 0
Ejercicio 23 Calcule la integral cono
Ejercicio 24 [EP 2014_00] La siguiente integral
√ − − cos
está escrita en coordenadas cilíndricas. Exprese la integral en coordenadas cartesianas y finalmente en coordenadas esféricas.
Cambio de variable en integrales múltiples: Jacobianos
2.4
Ejercic Eje rcic io 1 Calcule el Jacobiano de las siguientes transformaciones:
= 4 ; = 33 2 2. b) = + ; = −. + ; = ( 2) c) = 2). ;; = co coss . d) = ; = . e) = ; f) = ; = ; = . Ejercic Eje rcic io 2 Calcule ∬ , donde D es la región acotada, en el primer cuadrante, por la recta = 4 ; = 2 para calcular la integral ∬ , Ejercic Eje rcic io 3 Utilice el cambio de variables = ; donde la región acotada por el eje y las parábolas = 4 4 y = 4 4 Ejercic Eje rcic io 4 Calcule ∬ , siendo la porción acotada del primer cuadrante situada entre las dos hipérbolas = 1 y = 2 y las líneas rectas = e = 4 . siendo el cuadrilátero cuyos vértices son los puntos Ejercic Eje rcic io 5 Calcule ∬ , siendo (1;0), (2;0), (0;1) 0;1) y (0;2). − , donde es la región limitada por las rectas = 1 , = 0, Ejercic Eje rcic io 6 Calcule ∬ cos + e = 0. + , donde es la región acotada por el eje y las rectas Ejercic Eje rcic io 7 Calcule ∬ + 2 = 4,4, 2 2 = 0. [Sug. Hacer el cambio = ; ; = ] 2 = 4; 4; Ejercic Eje rcic io 8 Calcule ∬ 3 , donde es la región acotada por la rectas = 2 ; 2 = 4 ; = 1. − ] Ejercic Eje rcic io 9 Calcule ∫ ∫ . [Sug. Hacer el cambio = ; = Ejercicio 10 Calcule ∬ ( ) ( ) , siendo el cuadrilátero cuyos vértices son los a)
puntos (1;2), (2;1), (0;1) y (1;0).
Ejercicio 11 Sea la integral
≤ 1}1}
; ) ∈ ℝ/ ≥ 0 ∧ ≥ 0 ∧ ∬ , y la región triangular: = {(;
a. Halle una transformación transforma ción que transforme transform e al triángulo del plano en otro triangulo del plano con vértices (-1;1), (1;1) y (0;0). b. Use el teorema de cambio de variable para integrales dobles y calcule:
− + Ejercicio 12 [PARCIAL 2015_01] Calcule la siguiente integral triple
donde • • •
es el sólido limitado:
3
=0 = 2 2;; = 2 4; = 4; = 1. = .
Inferiormente por el plano Lateralmente por los planos Superiormente por la superficie de ecuación
2.5
Aplicaciones de las integrales triples
Z
Ejercicio 1 Dado el sólido mostrado en el primer octante limitado por las superficies cuyas ecuaciones se indican en la figura adjunta. a. Modele la integral triple que permita calcular el volumen del sólido. b. Calcule el volumen del sólido.
4 X
-2
2
Y
Ejercic Eje rcic io 2 Use una integral triple para calcular el volumen de la región del espacio acotado por las gráficas de , y .
= 4 = = 0
del primer Ejercic Eje rcic io 3 [EP 2013_00] La figura adjunta muestra la región octante limitada por el paraboloide paraboloide y el plano Utilice una integral triple para hallar el Utilice volumen de la región
= 2.2.
= 1
.
Ejercic Eje rcic io 4 Use una integral triple para calcular el volumen de la región del espacio acotado por las gráficas de y
= 36 = 0.
Ejercic Eje rcic io 5 Use coordenadas cilíndricas para calcular el volumen de la región sólida que corta, en la esfera , el cilindro .
= 4
2 = 0
Ejercic Eje rcic io 6 Use coordenadas esféricas para calcular el volumen de la región sólida acotada, en su parte inferior, por la hoja superior del cono y en su parte superior por la esfera .
= 9
=
= 0, 0, = 6 = 4
Ejercic Eje rcic io 7 Sea el sólido acotado por las superficies y , cuya densidad viene dada por . a) Calcule la masa de . b) Calcule las dos primeras coordenadas del centro de masa del sólido .
(,,) ,,) =
Ejercic Eje rcic io 8 Calcule el centro de masa de un cubo de lado 1 que tiene un vértice inferior en el origen de coordenadas y la cara inferior sobre el plano , sabiendo que en cada punto la densidad es proporcional al cuadrado de su distancia al origen de coordenadas.
(,,)
Ejercic Eje rcic io 9 [PC1 2014_01] Determine el centro de masa del sólido acotado por el paraboloide y el plano si tiene densidad dada por [Sugerencia: use coordenadas cilíndricas].
= 4 4
= 16
(,,) ,,) = .
Ejercicio 10 Calcule el centro de masa de la región sólida limitada en el primer octante por el plano , cuya densidad está dada por .
2 3 6 = 12
(,,) ,,) =
Ejercicio 11 Calcule el centro de masa de la región sólida limitada en el primer octante por los planos y , cuya densidad está dada por .
=4 =4
(,,) ,,) =
