Métodos Generales Para El Cálculo de Intersecciones Entre Superficies

Métodos generales para el cálculo de intersecciones entre superficies. Los métodos que ha continuació continuación n expondremos son válidos para calcular intersecciones intersecciones entre superficies radiadas en general.

Intersección de cilindros rectos con sus generatrices verticales o frontales.

A. Cilindros (o prismas) rectos con sus generatrices (o aristas) verticales o frontales. ados dos cilindros rectos ! de revolución que se cortan entre s" ! apo!ados por sus #ases en el plano hori$ontal de pro!ección. La intersección entre am#os es su $ona com%n ! se calcula utili$ando como plano auxiliar el propio plano hori$ontal de pro!ecció pro!ección n que genera de sección en los cuerpos sus propias #ases inferiores. &stas tienen en com%n los puntos A ! ' seg%n se aprecia en pro!ección hori$ontal. Las generatrices del cuerpo de menor altura que pasen por estos puntos determina determinarán rán unto con las $onas comunes de las #ase la pro!ección vertical de la intersección #uscada. igura *.

'. Cilindros (o prismas) rectos+ uno con sus generatrices (o aristas) verticales o de punta ! el otro con sus generatrices (o aristas) paralelas a la l"nea de tierra.

ados dos cilindros rectos+ uno con su ee paralelo a la l"nea de tierra ! el otro de ee vertical+ calcularemos la intersección entre am#os auxiliándonos de planos hori$ontales (o frontales). &stos generan secciones de sencillo tra$ado (rectángulos en el cilindro paralelo a la l"nea de tierra ! c"rculos en el cilindro de ee vertical)+ los puntos comunes de las secciones generadas en am#os cilindros por un mismo plano secante son puntos de la intersección #uscada. &n la figura , se han tra$ado los planos hori$ontales - !  que+ por ser tangentes a uno de los cilindros generan en este rectas ! no pol"gonos de sección. &l plano / contiene al ee del cilindro ! su sección rectangular es en pro!ección hori$ontal coincidente con el contorno aparente del cilindro correspondiente tam#ién en pro!ección hori$ontal. Además se han tomado los planos 0 ! 1 para definir meor la intersección. /ara di#uar las secciones que estos producen en el cilindro paralelo a la l"nea de tierra se ha recurrido a una pro!ección de perfil. Las secciones generadas por todos estos planos en el cilindro vertical son circunferencias ! coinciden todas ellas en pro!ección hori$ontal con la pro!ección hori$ontal de dicho cilindro. /ara determinar un punto de la intersección+ por eemplo el punto A+ hemos tra$ado el plano auxiliar / ! la pro!ección hori$ontal de las secciones que este genera (coincidentes en este caso con las pro!ecciones hori$ontales de los cilindros dados). La pro!ección hori$ontal de A es el corte de am#as secciones. 2u pro!ección vertical de#e estar so#re el plano / auxiliar tomado. La intersección genera dos curvas cerradas+ una de entrada ! otra de salida pues uno de los cilindros penetra en el otro.

Intersección de cilindros rectos, uno con sus generatrices verticales o de punta y el otro con sus generatrices paralelas a la línea de tierra.

C. 2uperficies cil"ndricas !3o cónicas (prismáticas !3o piramidales) rectas u o#licuas sin ninguna posición predeterminada entre ellas ni con relación a los planos de pro!ección. 4tili$aremos en estos casos el método general descrito di#uando planos auxiliares que generen secciones de sencillo tra$ado en am#as superficies+ es decir+ planos paralelos a las generatrices de los cilindros o que pasen por los vértices de los conos+ en am#os casos las secciones resultantes serán generatrices de dichas superficies. Como veremos más adelante+ seg%n sean los tipos de superficies que intercedan as" serán los métodos que utili$aremos para calcular los planos secantes más adecuados. #tenido un plano secante adecuado al tipo de intersección que se esté tra#aando+ se tra$an m%ltiples planos paralelos a éste de modo que o#tengamos m%ltiples secciones en am#os cuerpos. Los puntos comunes entre las secciones generadas en am#as superficies por alguno de los planos secantes tra$ados son puntos de la l"nea de intersección de

dichas superficies. A ma!or n%mero de planos secantes tra$ados ma!or n%mero de puntos de la l"nea intersección.

/lanos l"mites ! tipos de intersecciones

Planos límites

Los planos auxiliares que nos resultan %tiles son+ lógicamente+ los que generan sección+ o tienen contacto al menos (tangentes)+ en las dos superficies simultáneamente. enominaremos planos l"mites a los %ltimos planos auxiliares que+ en un sentido o en otro+ son tangentes o secantes a am#os cuerpos simultáneamente. &n la figura 56 se aprecia en perspectiva li#re la intersección entre dos cilindros. Los planos / ! - son planos l"mites pues a partir de ellos los planos auxiliares que tracemos paralelos a las generatrices de los cilindros no estarán en contacto con las dos superficies simultáneamente. #sérvese que es en la relación existente entre las #ases de los cuerpos ! las tra$as de los planos auxiliares donde se aprecia si los planos auxiliares son secantes+ tangentes o exteriores a los cuerpos ! por tanto donde podremos determinar la posición de los planos l"mites como más adelante veremos. 2eg%n el tipo de sección que cada uno de los dos planos l"mites genere en la superficie as" será el tipo de intersección entre am#os cuerpos o viceversa+ la posición de los planos l"mites viene determinada por el tipo de intersección existente entre los cuerpos. &n general se pueden diferenciar cuatro tipos de intersecciones entre superficies en #ase a la incidencia mutua de éstas. &stos cuatro tipos de intersecciones se podrán determinar a partir de la relación existente entre los planos l"mites ! los cuerpos+ relación que+ como hemos dicho+ quedará refleada entre las #ases de las superficies ! las tra$as hori$ontales !3o verticales de los planos l"mites.

Los tipos de intersecciones mencionadas son7 1. Penetración

Penetración

2e produce penetración cuando uno de los cuerpos atraviesa al otro dando lugar a dos #rechas opuestas+ es decir+ a dos l"neas de intersección independientes ! cerradas+ una de entrada ! otra de salida. igura 8 La relación existente entre las tra$as de los planos l"mites ! las #ases de los cuerpos es que dichos planos se muestran tangentes a una de las #ases (05 ! 0*) ! secantes a la otra #ase (A+ '+ C ! ). &n la figura 9 A se aprecia en perspectiva li#re una penetración entre cilindro ! prisma+ siendo el cilindro el que atraviesa al prisma. &n las figuras 9 ' ! C se han di#uado las hipotéticas situaciones de los planos l"mites ! las #ases de dos cilindros primero ! de un cilindro ! un cono o dos conos entre s" después. La diferencia entre estas dos %ltimas ilustraciones es que+ en el primer caso+ los planos l"mites son paralelos siendo convergentes en el segundo.

Penetración

2. Tangencia simple o punto doble.

Tangencia simple o punto doble.

La penetración no es en este caso total pues am#os cuerpos muestran un punto 0 de tangencia (tangencia simple) com%n (o punto do#le). Las dos #rechas se encuentran pues unidas por este punto com%n. &n la figura : se aprecia el tipo de l"nea resultante de la intersección. Los planos l"mites se encuentran en este caso tangentes a la #ase de una de las superficies ! tangente uno ! secante el otro a la #ase de la otra s uperficie como se aprecia en la figura ; ' para dos cilindros ! en la ; C para un cilindro ! un cono o para dos conos. &n la figura ; A se advierte en perspectiva li#re una intersección de este tipo entre un cilindro ! un prisma.

Tangencia simple o punto doble.

Penetración máxima o tangencia doble.

3. Penetración máxima o tangencia doble.

Am#os cuerpos penetran siendo estos tangentes entre s" en dos puntos (tangencia do#le). La l"nea de intersección resultante se corta pues en dos puntos 0 ! 0<+ los dos puntos de tangencia entre los cuerpos tal ! como se aprecia en la figura =. Los planos l"mites muestran sus tra$as tangentes a las #ases de am#os cuerpos. &n la figura 5> A se han di#uado en perspectiva li#re dos cilindros siendo su intersección de este tipo. &n ella ! en la figura 5> ' se aprecia la situación de las tra$as de los planos l"mites respecto de las #ases de los cilindros. &n la figura 5> C se advierte la posi#le u#icación de los planos l"mites en una intersección de este tipo para un cilindro ! un cono o dos conos.

Penetración máxima o tangencia doble.

Mordedura.

4. Mordedura.

4no de los cuerpos penetra parcialmente en el otro o#teniéndose una sola l"nea cerrada. igura 55. Los planos l"mites muestran sus tra$as respecto de las #ases de los cuerpos tangente al primero ! secante al segundo en el primer plano l"mite ! secante al primer cuerpo ! tangente al segundo el segundo plano l"mite tal ! como se aprecia en las figuras 5* ' ! C. &n la figura 5* A se aprecia en perspectiva li#re una intersección de este tipo entre un cilindro ! un prisma.

Anali$adas las diversas l"neas de intersección resultantes de las intersecciones de superficies de revolución+ pasaremos a resolver algunos eercicios prácticos. &n relación al tipo de superficies de revolución que interceden+ cilindro?cilindro+ cono? cilindro o cono?cono+ el modo de calcular en cada caso los planos auxiliares secantes que generen secciones de rápido tra$ado serán diferentes.

Mordedura.

C5. @ntersección entre superficies cil"ndricas (o prismáticas) cualesquiera. @ntersección de dos prismas o#licuos apo!ados en el plano hori$ontal de pro!ección. 0omaremos como planos secantes auxiliares planos que generen secciones poligonales de lados paralelos a las aristas de am#os prismas. /ara ello tra$aremos por un punto A ar#itrario+ las rectas  ! 2 paralelas a las aristas de am#os cuerpos. &stas rectas+ por cortarse en un punto A determinan un plano+ el plano - del que di#uamos su tra$a hori$ontal. &l mencionado plano es paralelo a las aristas de los dos cuerpos pues contiene a dos rectas paralelas a estas ( ! 2). Los planos que+ paralelos al recientemente o#tenido -+ corten a lo cuerpos dados+ generarán en estos secciones poligonales de lados paralelos a las aristas de dichos cuerpos. Conocido el tipo de sección resultante (paralela a las aristas de los cuerpos) ! sa#iendo que si la tra$a hori$ontal de un plano corta a la #ase de un cuerpo apo!ado en el plano hori$ontal de pro!ección este corta al cuerpo+ #astará con tra$ar planos paralelos a que corten a las #ases de los cuerpos para o#tener as" las secciones #uscadas (tra$ando paralelas a las aristas por los puntos de corte de las tra$as hori$ontales de los planos auxiliares con las #ases de los cuerpos). Los puntos comunes de las secciones generadas por un mismo plano secante auxiliar en am#os cuerpos serán puntos de la intersección #uscada entre am#os cuerpos.

/ara simplificar el proceso de cálculo de la intersección no tra$aremos los planos paralelos a - de forma ar#itraria sino que determinaremos previamente los planos l"mites L5 ! L*+ deduciendo posteriormente de su posición respecto de las #ases de los prismas el tipo de intersección resultante. i#uamos pues las tra$as hori$ontales de los planos L5 ! L* (%ltimos planos secantes o tangentes a am#as #ases simultáneamente en un sentido o en otro+ L5 tangente en el vértice # del primer cuerpo ! L* tangente en el vértice g del segundo cuerpo) ! o#servamos que la intersección entre am#os cuerpos será del tipo mordedura. /ara determinar puntos de esta intersección comen$amos por #uscar los puntos comunes de las secciones generadas por los propios planos l"mites en los cuerpos. As" tenemos que el plano l"mite L5 genera en el cuerpo de #ase A+ ' ! C la sección o arista de contacto que pasa por el punto ' de la #ase ! en el cuerpo de #ase &+ +  ! B las rectas 0 !  (lados del pol"gono sección paralelos a las aristas de los cuerpos). Los puntos comunes de las secciones mencionadas son D ! E. &l plano l"mite L* nos proporciona por su parte ! siguiendo el mismo método los puntos F ! G. 4tili$aremos un tercer plano auxiliar / paralelo a - ! que contenga al vértice A del primer cuerpo pues+ por estar comprendido entre los planos l"mites+ la arista que pasa por A (que es a la ve$ sección o arista de contacto generada por /)+ contendrá a otro par de puntos de la intersección+ los puntos H ! I. La intersección !a está definida en pro!ección hori$ontal+ #astará con unir ordenadamente los puntos o#tenidos teniendo en cuenta que la intersección es del tipo mordedura ! que por tanto se trata de una sola l"nea de intersección cerrada ! que+ por su forma+ hace las veces de #recha de entrada ! de salida. &l orden de unión de los puntos es I+ D+ G+ E+ H ! F. eterminada la pro!ección hori$ontal de la intersección+ se calculan las pro!ecciones verticales de los puntos (so#re sus correspondientes aristas o l"neas de sección) ! se unen ordenadamente. La pro!ección vertical puede a!udarnos a comprender la forma de la l"nea de intersección. &n cualquier caso ! si con estas consideraciones no averiguamos en que orden han de unirse los puntos+ podemos a!udarnos con más planos auxiliares tra$ados entre los l"mites o#tenidos. igura 5,.

Intersección de dos prismas oblicuos apoyados en el plano horiontal de proyección.

@ntersección de dos cilindros o#licuos apo!ados en el plano hori$ontal de pro!ección. &ste eercicio se resuelve de forma exactamente igual que el anterior+ por un punto A ar#itrario tra$amos dos rectas  ! 2 paralelas a las generatrices de am#os cilindros. &stas rectas determinan el plano - paralelo a las generatrices de los cilindros. 0ra$amos los planos l"mites L5 ! L* quedando definida la mordedura como tipo de intersección. La %nica diferencia con el eercicio anterior es que la intersección no es l"nea poligonal sino curva (no di#uada) ! que los planos auxiliares secantes tomados entre los l"mites se disponen ar#itrariamente ! no por los vértices de los pol"gonos de las #ases pues aqu" son curvas. igura 56 Los eercicios anteriormente expuestos se resuelven de forma idéntica cuando el tipo de intersección no es mordedura. 2i los cilindros o prismas apo!asen en el plano vertical de pro!ección di#uar"amos la tra$a vertical del plano - determinado por  ! 2 en lugar de su tra$a hori$ontal+ tra$ando paralelas a ella para determinar en pro!ección vertical ! con relación a las #ases+ las tra$as de los planos l"mites ! de los secantes auxiliares en general.

Intersección de dos cilindros oblicuos apoyados en el plano horiontal de proyección.

@ntersección de dos prismas o#licuos+ uno con su #ase apo!ada en el plano hori$ontal de pro!ección ! el otro con su #ase apo!ada en el plano vertical de pro!ección. Cuando los cuerpos se disponen de este modo+ el plano -+ paralelo a sus generatrices !3o aristas se ha!a del modo ha#itual di#uando sin em#argo en estos casos+ las dos tra$as del plano. /ara determinar los planos l"mites ! los planos secantes auxiliares en general+ tra$aremos como de costum#re+ planos paralelos al recientemente o#tenido - diferenciándose éste eercicio de los anteriores en que ahora hemos de tra$ar paralelas a am#as tra$as. #tenemos de este modo los l"mites L5 ! L* ! los auxiliares  ! /. #sérvese que los l"mites son tangentes a una de las #ases en una de las pro!ecciones ! secantes a la otra #ase en la otra pro!ección. /or la situación relativa de los planos l"mites la intersección será del tipo mordedura. /ara determinar un punto de la intersección entre am#os cuerpos procederemos como siempre. As" por eemplo el punto F surge del corte de las secciones generadas por el

plano l"mite L5 en am#os cuerpos (la sección generada por este plano en el cuerpo que apo!a en el plano vertical es una de las aristas del cuerpo+ siendo un pol"gono con dos de sus lados paralelos a las aristas en el otro). Los puntos de intersección o#tenidos se unen seg%n el siguiente orden7 D+ I+ + F+ '+ &+ H+ C+ D. La intersección resultante responde efectivamente a una mordedura. igura 58

Intersección de dos prismas oblicuos, uno con su base apoyada en el plano hor iontal de proyección y el otro con su base apoyada en el plano vertical de proyección.

C*. @ntersección entre superficies cónicas (o piramidales) cualesquiera. 4tili$aremos en estos casos planos auxiliares que generen secciones concurrentes en los vértices de los cuerpos tanto si se trata de superficies prismáticas como si se trata de superficies cónicas+ pués son estas las más rápidas ! sencillas de tra$ar. e este modo los lados de los pol"gonos de sección contendrán siempre generatrices en los cilindros o aristas en los prismas. Los planos pasan por los vértices de los cuerpos son aquellos que contengan a la recta definida por estos ! por tanto a sus tra$as. i#uamos pues la recta mencionada ! calculamos sus tra$as.

@ntersección de dos prismas o#licuos con sus #ases apo!adas en el plano hori$ontal de pro!ección.

i#uada la recta determinada por sus vértices+ calculamos su tra$a hori$ontal. Los planos cu!a tra$a hori$ontal pase por la tra$a hori$ontal hr de la recta contendrán a la recta ! cortarán por tanto a los cuerpos generando+ como hemos dicho+ secciones poligonales concurrentes en los vértices. i#uamos pasando por hr las tra$as hori$ontales L5 ! L* de los planos l"mites ! o#servamos en el eercicio de la figura 59 que la intersección será del tipo penetración ! por tanto o#tendremos dos #rechas+ una de entrada ! otra de salida+ am#as pol"gonos cerrados. curre que+ en esta ocasión+ por cortarse las #ases de los cuerpos+ la penetración quedará incompleta+ truncada por el plano hori$ontal de pro!ección. i#uamos un tercer plano auxiliar / conteniendo al %nico vértice li#re de la #ase del prisma penetrado+ el de vértice G. &ntre los planos l"mites es el %nico vértice existente. Los planos l"mites no generan secciones que se corten entre s" dentro del l"mite de los cuerpos ! por tanto no o#tenemos+ a partir de ellos+ puntos de intersección entre los prismas. Auxiliándonos del plano / o#tenemos el punto F. Los puntos D ! I son los de intersección de las #ases ! por tanto puntos de la l"nea de intersección D+ F ! I #uscada. &l plano hori$ontal de pro!ección funciona como auxiliar generando una sección hori$ontal en cada cuerpo que no son sino las #ases. Los puntos comunes I e D de estas secciones son+ lógicamente+ puntos de la intersección #uscada.

Intersección de dos prismas oblicuos con sus bases apoyadas en el plano horiontal de proyección.

@ntersección de dos conos o#licuos con sus #ases apo!adas en el plano hori$ontal de pro!ección. La situación de los conos es idéntica a la de las pirámides del eercicio anterior ! el proceso a seguir tam#ién. /ara poder di#uar la curva tomamos los planos auxiliares /+ -+ 0+ + 1 ! B entre los l"mites. A ma!or n%mero de planos auxiliares ma!or definición de la curva. 2i las #ases de los conos o prismas estuviesen apo!adas en el plano vertical de pro!ección+ locali$ar"amos la tra$a vertical de la recta G?H (definida por los vértices de los cuerpos) pasando por ella las tra$as verticales de los planos auxiliares. 2i cada uno de los dos cuerpos tiene su #ase en un plano de pro!ección diferente+ di#uar"amos las dos tra$as de la recta ! las dos tra$as de los planos auxiliares+ proceder"amos en cualquier caso de forma igual a la expuesta anteriormente. igura 5:

Intersección de dos conos oblicuos con sus bases apoyadas en el plano horiontal de proyección.

C,. @ntersección entre superficies cil"ndricas ! cónicas (o prismáticas ! piramidales) cualesquiera. Cuando en una intersección de este tipo se com#inan superficies piramidales o cónicas con superficies cil"ndricas o prismáticas+ #uscaremos planos auxiliares secantes que generen secciones poligonales concurrentes en los vértices en las superficies cónicas o piramidales ! paralelas a las aristas o generatrices en las superficies prismáticas o cil"ndricas respectivamente. Los planos que contengan a una recta  paralela a las aristas o generatrices de las primeras ! que pase por el vértice de las segundas+ generarán este tipo de secciones.

@ntersección entre un prisma ! una pirámide o#licuos ! apo!ados por sus #ases en el plano hori$ontal de pro!ección. Calculamos las pro!ecciones de la recta  ! su tra$a hori$ontal hr pasando por ella los planos l"mites L5 ! L* ! el auxiliar / entre estos comprendidos. &l tipo de intersección será penetración ! as" se verifica al unir los puntos D+ G ! E de la primera #recha ! I+ F ! J de la segunda. igura 5;.

Intersección entre un prisma y una pirámide oblicuos y apoyados por sus bases en el plano horiontal de proyección.

@ntersección entre un cilindro ! un cono o#licuos ! apo!ados por sus #ases en el plano hori$ontal de pro!ección. /odemos o#servar que+ por la disposición de los cuerpos (idéntica a la de los del eercicio anterior) ! la relación de sus #ases con los planos l"mites+ la intersección entre am#os (no di#uada) será del tipo penetración disponiendo por tanto de dos #rechas que serán dos l"neas curvas cerradas. igura 5=.

2i las #ases de los cuerpos apo!asen en el plano vertical de pro!ección di#uar"amos las tra$as verticales de los planos secantes conteniendo a la tra$a vertical de la recta + di#uando am#as tra$as si cada una de las #ases estuviese en un plano de pro!ección distinto.

Intersección entre un cilindro y un cono oblicuos y apoyados por sus bases en el plano horiontal de proyección.