INSTITUTO TECNOLÓGICO DE DURNAGO Martes, 16 de diciembre de 2014
ING. CIVIL Clave: ICT-1033
UNIDAD No. 2 PLANIMETRÍA Nombre del Alumno: Carlos Iván Bueno Orona. No. Control: 12040083 Docente: In. !i"uentes de la #o$a %ore. Grupo: 2II Documento: 2.2.7 !todo" p#r# el c$lculo de
"uper%&c&e"
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Conten&do 'nd&ce 1. I&'(O)*CCI I&'(O)*CCI+&...... +&..................... ............................. ............................. .............................. ............................. ............................. .................................................... ..................................... 1 10.2 Cmo utili-ar el mtodo de "ran/as o bandas ara medir áreas.........................................................2 10.3 Cmo utili-ar el mtodo de la cuadrcula ara medir áreas..............................................................4 10.4 Cmo subdividir un área en "iuras eomtricas reulares............................................................... Medicin Medicin de áreas or triánulo triánulos.............. s............................ ............................. .............................. ............................. ............................. .................................. ................... !ubdivisin de áreas de terreno sin lneas de base..............................................................................14 10. Como medir áreas cu$os lmites son curvos...................................................................................1 Bibliora Bibliora"a.... "a................... ............................. ............................. .............................. ............................. ............................. .............................. .................................................... ..................................... 20
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(. INTRODUCCIÓN 1. *no de los rinciales ob/etivos de un levantamiento toorá"ico uede ser la determinacin del área de una arcela de terreno en la cual se uiere construir una ran/a isccola. 5uede suceder ue, a artir de maas toorá"icos $a eistentes, 7a$a ue calcular el área de la cuenca de un "uturo embalse 9er :ua, 9olumen 4 de esta !erie;. &ota< =n un levantamiento de camo 7a$ ue considerar las áreas de terrenos como suer"icies 7ori-ontales $ no las áreas reales de la suer"icie del terreno. Medimos siemre, or lo tanto, las distancias 7ori-ontales .
2. : menudo es necesario saber el área de una seccin transversal ver !eccin >.6; ara calcular la cantidad de tierra necesaria. ?rea 7ori-ontal
Corte trasversal del área
3. @as áreas se ueden calcular $a sea directamente 7aciendo las mediciones en el camo, o indirectamente, a artir de un lano o un maa. =n el rimer caso 7abrá ue 7acer un levantamiento ara determinar todas las distancias $ ánulos necesarios $ as calcular las áreas. =n el seundo caso se comen-ará or dibu/ar un maa o un lano $, utili-ando la escala adecuada, se determinará el área en cuestin. 4. =isten varios mtodos sencillos ara la medicin de áreas. :lunos son mtodos rá"icos en los ue se 7ace una comaracin entre el lano o el maa ue se necesita medir $ un atrn de área conocida. 'ambin eisten los mtodos eomtricos en los ue se usan "rmulas matemáticas sencillas ara calcular el área de "iuras eomtricas reulares, como triánulos, traeciosA o áreas delimitadas or curvas irreulares. &ota< un traecio es un olono de cuatro lados, dos de los cuales son aralelos. Página 1
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. =stos sencillos mtodos se describen en detalle en las siuientes secciones. !e resumen tambin en el Cuadro 13. 'riánulo
'raecio 1
'raecio 2
?rea irreular
C*:)(O 13 Mtodos sencillos de medicin de áreas !eccin
Mtodo
Comentarios
10.2
ran/as
Mtodo rá"ico ue da valores estimados oco recisos
10.3
Cuadrculas
Mtodo rá"ico ue da valores estimados de buenos a mu$ buenos
10.4
!ubdivisin en "iuras Mtodo rá"ico ue da valores estimados de buenos a eomtricas reulares, mu$ buenos triánulos, traecios
10.
Mtodo eomtrico ue da valores estimados de buenos a mu$ buenos.:decuado ara áreas con ermetros curvilneos irreulares
(ela trae-oidal
().2 C*mo ut&l&+#r el m!todo de %r#n,#" o b#nd#" p#r# med&r $re#" 1. 'ome un ael transarente como or e/emlo un ael de calco o un ael milimtrico delado de un tamao ue deenderá del tamao del área cu$o maa se está 7aciendo. 2. )ibu/e una serie de bandas tra-ando un con/unto de lneas aralelas a intervalos "i/os reulares. )e"ina un anc7o D de las bandas ue euivala a un nEmero de"inido de metros. 5uede usar ara este rosito la escala en ue
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está el maa o el lano . =/emlo
=scala< 1< 2.000
E"c#l# ( : 2 )))- #nco de l# b#nd# / 0 ( cm 0 2) m E"c#l# ( : 1) )))- #nco de l# b#nd# / 0 ( cm 0 1)) m &ota< =l estimado del área de una arcela será
mas reciso cuanto más eueo sea el anc7o de la banda 3. 5oner la 7o/a de ael transarente sobre el maa o lano del área ue ueremos medir $ "i/arla con c7inc7etas o cinta ad7esiva transarente. 4. Mida la distancia :B en centmetros de cada banda a lo laro de un e/e delimitado or el ermetro del área de"inida en el maa. .Calcule la suma de estas distancias en centmetros $, de acuerdo con la escala ue est usando, 7aa la multilicacin ara 7allar la distancia euivalente en el terreno en metros.
=/emlo
L# e"c#l# e" ( : 2 ))) ( cm 0 2) m. Sum# de l#" d&"t#nc&#" 0 (3 cm.. D&"t#nc&# e4u&5#lente en el terreno: (3 6 2) m 0 2) m .
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6. Multilicar la suma de las distancias reales en metros; or el anc7o euivalente de la banda D en metros; ara obtener un estimado aroimativo del área total en metros cuadrados abreviado como m2;. =/emlo
L# "um# de l#" d&"t#nc&#" e4u&5#lente" e" 2) m.. El #nco de l# b#nd# 8( cm9 e4u&5#le # 2) m. El $re# del terreno: 2) m 6 2) m 0 3 )) m2 * );3 # &ota< 10 000 m2 F 1 7ectárea 7a;
. (eita el rocedimiento or lo menos una ve- ara veri"icar los cálculos.
?rea total F 320 m 20 m F 6.400 m 2
(). C*mo ut&l&+#r el m!todo de l# cu#dr
comletar un cuadrado rande de 10 cm de lado. *se si lo desea el e/emlo ue aarece en esta áina. &ota< !i la cuadrcula se 7ace con cuadraditos
mas eueos, el estimado del área del terreno será más reciso ero el tamao mnimo recomendable es de 1 mm 1 mm F 1 mm2.
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2. 5ona la cuadrcula transarente sobre el dibu/o del área ue se uiere medir $ "/ela con c7inc7etas o cinta ad7esiva transarente. !i la cuadrcula es más euea ue el área en cuestin, comience or el borde del dibu/o. Marue claramente el er"il del dibu/o $ mueva lueo la cuadrcula 7acia un nuevo sector 7asta comletar toda el área. 3. Cuente el nEmero de cuadrados randes incluidos en el área. 5ara no euivocarse, 7aa una marca con el lái- a medida ue los cuenta. &ota
área es osible ue ueda contar cuadrados más randes como, or e/emlo, de 10 10 F 100 cuadrados eueos. =sto le "acilitará el traba/o. 4. Observe los cuadrados ue están en el ermetro del dibu/o. !i más de la mitad de uno de esos cuadrados cae dentro del dibu/o, cuntelo $ máruelo como si "uera una cuadrado entero. &o tome en cuente los demás.
@a mitad o más de la mitad de los cuadrados
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. !ume los dos totales untos 3 $ 4; ara obtener el nEmero total ' de cuadrados enteros . 6. #aa de nuevo las sumas ara estar seuro del resultado. . Calcule la unidad de área euivalente de su cuadrcula usando la escala de distancias del dibu/o. =/emlo •
•
•
E"c#l# ( : 2 ))) * ( cm 0 2) m o ( mm 0 2 m El t#m#=o de lo" cu#dr#do" e" de 2 mm 6 2 mm L# un&d#d de $re# e4u&5#lente de l# cu#dr
8. Multiliue la unidad de área euivalente or el nEmero total ' de cuadrados enteros ara obtener un estimado bastante con"iable del área medida. =/emlo •
•
•
N>mero tot#l de cu#dr#do" cont#do" T 0 213 Un&d#d de $re# e4u&5#lente 0 (3 m2 ?re# tot#l 0 213 6 (3 m2 0 )@3 m 2 0 )@3 m2
&ota< cuando se traba/a con lanos a ran escala
como secciones transversales, se uede me/orar la recisin del estimado del área modi"icando el aso de arriba. : tal e"ecto, observe todos los cuadros ue están en el borde del dibu/o $ or lo tanto atravesados or la lnea del ermetro del área. : continuacin 7aa un estimado a o/o del nEmero de dcimas artes de un cuadrado entero ue vamos a incluir en la cuenta las dcimas artes son "racciones del cuadrado, eresadas Página 6
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como un decimal, como 0, ue euivale a G>;. =/emlo
Cu#dr#do A 0 ).1- 0 ).(- C 0 ).@.
(). C*mo "ubd&5&d&r un $re# en %&Bur#" Beom!tr&c#" reBul#re" 1. Cuando 7a$ ue medir áreas directamente en el camo, divida la arcela de terreno en "iuras eomtricas reulares , como triánulos, rectánulos $ traecios. #aa lueo todas las mediciones necesarias $ calcule las áreas mediante las "rmulas matemáticas corresondientes vea :neo 1;. !i disone del lano o el maa de un área uede dibu/arle estas "iuras eomtricas $ 7allar sus dimensiones usando la escala adecuada. 2. =n el rimer manual de esta serie, :cuicultura de aua dulce< el aua , Coleccin :O< Caacitacin 4;, !eccin 20, arendimos a calcular el área de un estanue usando este mtodo. =n los untos ue siuen, arenderemos su alicacin en condiciones más di"ciles.
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Medicin de áreas or triánulos 3. =l cálculo del área de cualuier triánulo es "acil de reali-ar cuando se conocen las dimensiones de< de los tres lados a, b $ c
•
:rea FHss a; s b; s c;
donde s F a J b J c; K 2L =/emlo
S& # 0 1 m- b 0 2@ m- c 0 1;1 m. LueBo " 0 81 m 2@ m 1;1 m9 2 0 1;71 m ?re# 2 0 1.71 m 81.71m 1 m9 81.71 m 2@ m9 81.71 m 1.1 m9 0 1.71 m 6 (@.71 m 6 21.71 m 6 @.21 m 0 217 111 m ?re# 0
8217 111 m9 0 1)7 m2
•
los dos lados b, c; $ el valor del $nBulo B:C "ormado or sus dos lados :rea F bc sin B:C; K 2
se 7alla el sen B:C del Cuadro 14. =/emlo
S& b 0 2@ m- c 0 1;1 m- el $nBulo AC 0 1)F. lueBo "en AC 0 );733) 8Cu#dro (9 ?re# 0 82@ m 6 1;1 m 6 );733)9 2 0 ( )();77 2 0 1)1;31 m2
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C*:)(O 14 9alores del seno de los ánulos ?nulo rados;
!eno
?nulo rados;
!eno
?nulo rados;
!eno
1
0.01
31
0.10
61
0.846
2
0.034>
32
0.2>>
62
0.882>
3
0.023
33
0.446
63
0.8>10
4
0.06>8
34
0.>2
64
0.8>88
0.082
3
0.36
6
0.>063
6
0.104
36
0.88
66
0.>13
0.121>
3
0.6018
6
0.>20
8
0.13>2
38
0.61
68
0.>22
>
0.164
3>
0.62>3
6>
0.>336
10
0.136
40
0.6428
0
0.>3>
11
0.1>08
41
0.661
1
0.>4
12
0.20>
42
0.66>1
2
0.>11
13
0.220
43
0.6820
3
0.>63
14
0.241>
44
0.6>4
4
0.>613
1
0.288
4
0.01
0.>6>
16
0.26
46
0.1>3
6
0.>03
1
0.2>24
4
0.314
0.>44
18
0.30>0
48
0.431
8
0.>81
1>
0.326
4>
0.4
>
0.>816
20
0.3420
0
0.660
80
0.>848
21
0.384
1
0.1
81
0.>8
22
0.346
2
0.880
82
0.>>03 Página 9
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23
0.3>0
3
0.>86
83
0.>>2
24
0.406
4
0.80>0
84
0.>>4
2
0.4226
0.81>2
8
0.>>62
26
0.4384
6
0.82>0
86
0.>>6
2
0.440
0.838
8
0.>>86
28
0.46>
8
0.8480
88
0.>>>4
2>
0.4848
>
0.82
8>
0.>>>8
30
0.000
60
0.8660
4. !ubdivida la arcela de tierra en triánulos. 5ara el caso de un área ue tena cuatro lados se uede 7acer de dos maneras< •
•
•
)os triánulos
*na dos ánulos ouestos con una lnea recta B). Mida la lonitud de B) ara 7allar la lonitud de los tres lados de cada uno de los dos triánulos, $ calcule sus áreas ver unto 3, arriba;. @a suma de las áreas de los dos triánulos es el área total. 5uede tambin tra-ar radios desde la estacin central O. Mida los ánulos :OB, BOC, CO) $ )O:. Mida desus las distancias desde O a cada ánulo del terreno, O:, OB, OC, $ O), $ calcule el área de cada triánulo ver unto 3, arriba;. @a suma de las áreas de los cuatro triánulos es el área total.
. !i la arcela de tierra tiene más de cuatro lados, se uede subdividir en triánulos< •
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'ra-ados radiales desde la estacin central
or radiacin desde una estacin central O ver unto 4, arriba;L o or radiacin desde una estacin lateral, como :. 'ra-ados radiales desde la estacin central
'ra-ados radiales desde una estacin lateral
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6. Comruebe los cálculos reali-ados. !i 7a 7allado el área usando los dos ánulos ouestos, aliue el rimer mtodo. !i 7a emleado la radiacin, aliue el seundo. •
•
9uelva a medir el área total a artir de los otros dos triánulos :BC $ :C), "ormados or la lnea recta :C. 5uede tambin reetir la medicin de los ánulos $ las lonitudes desde la misma estacin o desde otra estacin.
. Cuando el terreno tiene una "orma olional, eneralmente se subdivide el área total ue se uiere medir en una serie de "iuras eomtricas reulares 1 en el e/emlo; a artir de una lnea base comEn :). )esde dic7a lnea se tra-an erendiculares 7asta los vrtices del olono "ormando de esta manera los triánulos rectánulos 1, 2, 3 $ , $ los traecios 2, $ 6.
?rea F base altura; K 2
8. Cuando eli/a la lnea base acurdese ue esta Página 11
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debera< •
•
•
•
ser "ácilmente accesible a lo laro de toda su lonitudL ermitir la visin de la ma$ora de los vrtices del olonoL cubrir la distancia mas lara dentro del área en cuestin ara ue de esta manera las erendiculares sean lo mas cortas osible unir dos vrtices del olono
>. Calcule el área de cada triánulo rectánulo mediante la "rmula<
?rea F altura base 1 J base 2; K 2
?rea F base altura; K2
10. Calcule el área de cada traecio mediante la "rmula< ?rea F altura base 1 J base 2; K 2
donde< •
•
@a base 1 es aralela a la base 2L @a altura es la distancia erendicular desde la base 1 a la base 2
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11. !ume todas las áreas arciales ara 7allar el área total del terreno. )ebera 7acer un cuadro con todas las dimensiones de los triánulos con una sola base; $ los traecios con dos bases;, como se muestra en el e/emlo. =/emlo •
ed&r de"de el punto A l#" d&"t#nc&#" #cumul#d#" # lo" punto" H; I; ; J; L; D # lo l#rBo de l# l
L
•
A p#rt&r de e"t#" med&c&one" ; de%&n&r l#" d&"t#nc&#" p#rc&#le" p#r# c#d# "ecc&*n AH; HI; I; J; JL LD como "&Bue:
@nea base en m;
•
•
ed&r l#" perpend&cul#re" HG; I; ... LE de"de l# l
5arcela &N :ltura m;
Base m; 1
2
1 '(
.20
6.0
2 '5
.6
3 '( 4 '(
B1JB2; G 2 m; ?rea m 2;
3.2
16.>0
.20 6.20
.0
43.61
6.20
1.10
8.
3.01
>.6
4.00
2.00
1>.30 Página 13
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'5
10.0
>.6 14.80
12.22
128.31
6 '5
13.>
14.80 11.80
13.30
18.4
'(
11.80
2.80
1.40
16.2
'otal area
463.1> 1
'( F triánulo rectánuloL '5 traecio
!ubdivisin de áreas de terreno sin lneas de base 12. Cuando la "orma del terreno es más comlicada ue las ue 7asta a7ora 7emos arendido a medir, 7abrá ue usar más de una lnea base, $ subdividir el área en triánulos $ traecios de varios tios. 5or lo eneral no será osible crear triánulos rectánulos con los cuales traba/ar $ 7abrá ue calcular el área de los traecios 7aciendo otras mediciones con las cuales se odrá determinar su altura a lo laro de lneas erendiculares.
=/emlo
El per
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13. Calcular las áreas de los triánulos 1, 2 $ , usando las lonitudes de sus tres lados $ las siuientes "rmulas< s F a J b J c; K 2 area F ssa;sb;sc; =/emlo
&d# lo" l#do" de lo" tr&$nBulo". Apl&4ue l# %*rmul# #re# 0 "&Bu&ente t#bl#:
"8" #98" b98"c9 en l#
@onitud ; s de los lados s ; en m ?rea m 2; m; 'riánul m; o s s s a b c a; b; c;
(
2177.2 1 31) 3) 3) ((1 11 21 21
2
( 3) @) ) ) 3) 1)) )
1
33) 2) 3) 72) 3) )) 3)
?re# tot#l de lo" tr&$nBulo"
)21.3 3 3)1.(3 3377.) 7
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14. Calcular las áreas de los traecios 3 $ 4 determinando sus alturas $ las lonitudes de sus bases, mediante la siuiente "rmula< área F altura base 1 J base 2; K2 =/emlo
&d# lo" l#do" de lo" tr&$nBulo". Apl&4ue l# %*rmul# en l# "&Bu&ente t#bl#:
@ote &
:ltura m;
Base m; 1
2
B1 J B2; G 2 m;
13)
@)
3))
7@)
2))
3)
)
33)
71)
1)))
?re# tot#l de lo" tr#pec&o"
?rea m2;
77))
1. :adir el area total de los triánulos unto 12; al área total de los traecios unto 14; ara as obtener el área total del terreno . =/emlo
?re# tot#l de lo" tr&$nBulo" 0 3377 m2 ?re# tot#l de lo" tr#pec&o" 0 77)) m2 ?re# tot#l del terreno 0 (1 77 m2 or (1.7 #
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16. Otra manera, más "ácil, de 7acer estos cálculos es medir en el lano la altura de cada triánulo midiendo la erendicular tra-ada desde un vrtice 7asta el lado ouesto llamado base;. @ueo, se calcula el área de cada triánulo con la "rmula< ?rea F altura base; K2
Introdu-ca los datos en un solo cuadro, tal como se elic en el unto 11, arriba. =/emlo
ed&r en el pl#no l#" #ltur#" ; J; LG en lo" tr&$nBulo" (; 2 re"pect&5#mente.. Introduc&r lo" d#to" en l# "&Bu&ente t#bl#: Base m; B1 J B2; ?rea m2; G 2 m; 1 2
5arcela &N
:ltura m;
(
3))
3)
)
21)))
2
()
)
2)
)2))
13)
@) 3))
7@)
2))
3)
) 33)
71)
1)))
1
2)3
33)
)
37@)
Super%&c&e tot#l del terreno
(11)
=l área total de la arcela de terreno es 14, 36 7a, lieramente di"erente al estimado ue se 7i-o antes ver unto 1;. =sto se debe a errores de escala cuando se 7icieron las mediciones en el lano ue, en este caso, son su"icientemente eueos 0,11 7a 0,0 or ciento; como ara ser acetados.
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().1 Como med&r $re#" cuo" l
3. 'race una lnea recta :B ue una los lados de la arcela de terreno asando lo más cerca osible de la arte curva de su ermetro. 5ara determinar el área irreular :BC):, 7aa lo siuiente< 4. Mida la distancia :B $ subdivdala en un nEmero de intervalos reulares , cada uno, or e/emlo, de 22, m. Marue con /alones en :B cada uno de los intervalos &ota< Cuanto mas cortos sean los intervalos, más reciso será el estimado del área.
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. 'race una erendicular desde cada uno de los intervalos marcados ver !eccin 33; uniendo :B al er"il de la curva. Mida cada una de estas erendiculares. 6. Calcule el área :BC): usando la "rmula< ?rea F intervalo 7 o J 7n J 27i; K 2
donde< 7o es la lonitud de la rimera erendicular
:)L 7n es la lonitud del la Eltima erendicular, BCL $ 7i es la suma de las lonitudes de todas las erendiculares intermedias .
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=/emlo
Inter5#lo 0 ((2.1 m 1 0 22.1 m o 0 2) m #nd n 0 () m & 0 27 m 3 m ( m 2 m 0 7@ m ?re# ACDA 0 22.1 m 6 82) m () m (1 m9 2 0 822.1 m 6 ( m9 2 0 2((1 m2 &ota< recuerde ue debe tambin calcular el
área de :PQB: $ sumarla al área de :BC): ara tener el área total ):PQBC). . @os cálculos se ueden simli"icar si se lora tra-ar la lnea :B de manera ue toue los dos etremos del lado curvado. =n este caso, 70, $ 7n son ambos iuales a cero, $ la "rmula se convierte en< ?rea F intervalo 7i
donde 7i es la suma de las lonitudes de todas las erendiculares intermedias.
=/emlo
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área de :PQB: $ sumarla al área de la arte curva ara tener as el área total
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Carlos I. Bueno O.
2014
Topografía: Planimetría
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Obras esaolas modernas sobre 'oora"a, Reodesia $ :stronoma 18>, 44, tomo I 111;< 100102 @a toora"a Bentabol Marinas, Carlos 1>>>, 146 3388;< 224 @a toora"a en la "ormacin curricular del ineniero de caminos, canales $ uertos errer 'orio, (a"ael 1>>1, 138, 32>8;< 1321 @a toora"a "otorá"ica $ su alicacin a los ro$ectos de vas de comunicacin Cáceres de la 'orre, 'oribio 1>0, 3, tomo II 1;< 444
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