Calculo III Proyecto 2 Santiago Santiago Mancheno Mancheno 105294 8 de mayo de 2012
1.
Parte arte 1: 1: Fam Famil ilia ia de de Superfi Superfici cies es
1. Utilice Utilice un software software de graficación graficación para investigar investigar la familia de superficies: z = ax2 + by2 e−x −y
2
2
Cómo depende la forma de la gráfica de los números a y b? Para analizar la dependencia de la gráfica a los números a y b, se procedió a realizar un análisis por separado para determinar la influencia de cada uno de estos números y sus valores con la forma de la gráfica. Para el número a se tiene que:
Figura 1: Influencia de a 1
Cuando se utilizan valores de a > 0, la altura de la superficie, así como la altura de los picos de la superficie crecen con respecto al eje z, es decir, la gráfica se abre más para el eje z positivo. De la misma manera, cuando se utilizan valores de a < 0, la superficie se abre más para el eje z negativo. En base a la gráfica, la superficie roja es la función original, la superficie azul representa el cambio con la utilización de números a positivos y la superficie verde representa el uso de números a negativos. De manera general, cuando se utiliza cualquier valor de a, los picos se encuentran distribuidos a lo largo del eje x, sin embargo, el estiramiento de la superficie ocurre a lo largo del eje y. Para el número b se tiene que:
Figura 2: Influencia de b
Cuando se utilizan valores de b > 0, la altura de la superficie, así como la altura de los picos de la superficie crecen con respecto al eje z, es decir, la gráfica se abre más para el eje z positivo. De la misma manera, cuando se utilizan valores de b < 0, la superficie se abre más para el eje z negativo. En base a la gráfica, la superficie roja es la función original, la superficie azul representa el cambio con la utilización de números b positivos y la superficie verde representa el uso de números b negativos. De manera general, cuando se utiliza cualquier valor de b, los picos se encuentran distribuidos a lo largo del eje y, sin embargo, el estiramiento de la superficie ocurre a lo largo del eje x. 2. Utilice un software de graficación para investigar la familia de superfi2
cies: z = x2 + y2 + cxy
En particular, determine los valores de transcición de c para los que la superficie cambia de un tipo cuadrático a otro. Para determinar la influencia de c en esta familia de superficies se analizaron los casos de valores positivos de c por un lado y los valores negativos de c por el otro lado. Para los dos casos se obtuvo:
Figura 3: Valores c positivos
Figura 4: Valores c negativos Para las dos gráficas, la función verde claro (sólido) es la función original. Se puede ver que con la utilización de varios valores de c la gráfica 3
va cambiando su forma hasta convertirse en otro tipo de función cuadrática. En base a los dos gráfico se determinó que: a) En el intervalo de c con valores entre: (−∞, −3] la función se comporta como una silla de montar. b) En el intervalo de c con valores entre: (−3, 0), la función se comporta como una superficie cilíndrica de transición entre el paraboloide y la silla de montar. c) En el intervalo de c con valores entre: [0, 1] la función se comporta como un paraboloide. d) En el intervalo de c con valores entre: (1, 3) la función se comporta como una superficie cilíndrica de transición entre el paraboloide y la silla de montar. e) En el intervalo de c con valores entre: [3, ∞) la función se comporta como una silla de montar.
3. Algunos miembros de la familia de superficies, dados en coordenadas esféricas por la ecuación:
ρ = 1 + 0,2sin mθ sin nφ
han sido sugeridos como modelos para tumores y se llaman esferas irregulares o esferas arrugadas. Utilice un software de graficación para investigar esta familia de superficies, suponiendo que m y n son enteros positivos. Cómo modifican los valores de m y n la forma de la superficie? Para analizar la dependencia de la gráfica a los números m y n, se procedió a realizar un análisis por separado para determinar la influencia de cada uno de estos números y sus valores con la forma de la gráfica. Para el número m se tiene que:
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Figura 5: Influencia de m En la gráfica, la superficie roja del fondo es la función original, las demás superficies (azul, cyan y verde) son diferentes funciones con diferentes valores de m. Con la utilización de cualquier valor de m, ρ presenta una deformación con respecto al ángulo θ (cuando se barre el ángulo θ) en los intervalos de valores de m: [1, 12]. Se puede concluir con ayuda de la gráfica que, los valores de m coinciden numéricamente con las puntas de deformación que tiene la esfera a lo largo de θ. Se debe recalcar que, cuando m = x12 (donde x = 1, 2, 3,...), ρ no presenta ninguna deformación y la esfera se presenta normalmente (superficie color cyan). Para el número n se tiene que:
Figura 6: Influencia de n En la gráfica, la superficie roja del fondo es la función original, las demás superficies (azul, cyan y verde) son diferentes funciones con diferentes 5
valores de n. Con la utilización de cualquier valor de n, ρ presenta una deformación con respecto al ángulo φ (cuando se barre el ángulo φ) en los intervalos de valores de n: [1, 24]. Se puede concluir con ayuda de la gráfica que, los valores de n coinciden numéricamente con las puntas de deformación que tiene la esfera a lo largo de φ. Se debe recalcar que, cuando n = x24 (donde x = 1, 2, 3, 4,...), ρ no presenta ninguna deformación y la esfera se presenta normalmente (superficie color cyan).
2.
Parte 2: Aproximaciones Cuadraticas y Puntos Críticos
La linealización de una función f(x,y) de dos variables en un punto (a,b) está dada por la expresión: L(x, y ) = f (a, b) + f x (a, b)(x − a) + f y (a, b)(y − b)
Esta linealización L se conoce como polinomio de Taylor de primer grado de f en (a,b). 1. Si f tiene derivadas parciales continuas de segundo orden en (a,b), el polinomio de segundo grado de Taylor de f en (a,b) es: Q(x, y ) = f (a, b) + f x (a, b)(x − a) + f y (a, b)(y − b)
1 1 1 + f xx (a, b)(x − a)2 + f xy (a, b)(x − a)(y − b) + f yy (a, b)(y − b)2 2 2 2 y la aproximación f(x,y)≈Q(x,y) se denomina aproximación cuadrática a f en (a,b). Verifique que Q tenga las mismas derivadas parciales de primero y de segundo orden que f en (a,b). Se tiene que: Q(x, y ) = f (a, b) + f x (a, b)(x − a) + f y (a, b)(y − b)
1 1 1 + f xx (a, b)(x − a)2 + f xy (a, b)(x − a)(y − b) + f yy (a, b)(y − b)2 2 2 2 por lo tanto: , 1 2
1 2
Q(x, y ) = f (a, b) + f xx (a, b)(2)(x − a) + f yy (a, b)(2)(y − b)
Q(x, y ) = f (a, b) + f xx (a, b)(x − y) + f yy (a, b)(y − b)
Evaluando en el punto (a,b): Qx(a, b) = f x (a, b) + f xx (a, b)(a − a) + f yy (a, b)(b − b) = f x(a, b)
6
lo mismo para: Qy (a, b) = f y (a, b) + f xy (a, b)(x − a) + f yy (a, b)(y − b)
Qy (a, b) = f y (a, b) + f xy (a, b)(a − a) + f yy (a, b)(b − b) = f y (a, b)
Para el caso de las segundas derivadas parciales se tiene que: Qxx (x, y ) =
∂ [f x (a, b) + f xx (a, b)(x − a) + f yy (a, b)(y − b) = f xx (a, b)] ∂x Qxx (a, b) = f xx (a, b)
Qxy (x, y ) =
∂ [f x (a, b) + f xx (a, b)(x − a) + f yy (a, b)(y − b) = f xy (a, b)] ∂y
Qxy (a, b) = f xy (a, b)
Qyy (x, y ) =
∂ [f y (a, b) + f xy (a, b)(x − a) + f yy (a, b)(y − b) = f yy (a, b)] ∂y
Qyy (a, b) = f yy (a, b)
Así se demuestra que Q tiene las mismas derivadas parciales de primer y segundo orden que f en (a,b). 2. a) Encuentre los polinomios de Taylor L y Q, de primero y segundo grado de f (x, y ) = e−x −y en (0,0). Para encontrar el polinomio de Taylor L de primer grado se necesitan encontrar las primeras derivadas parciales y evaluar en el punto (0,0). 2
2
2
f (x, y ) = e−x
−y 2
f x (x, y ) = −2xe−x
2
2
f y (x, y ) = −2ye−x
Evaluando se tiene: 7
−y2
−y2
f (0, 0) = 1
f x (0, 0) = 0
f y (0, 0) = 0
El mismo procedimiento se realiza para las derivadas de segundo orden. 2
f xx (x, y ) = (4x2 − 2)e−x f xy (x, y ) = 4xye−x
2
−y2
−y2
2
f yy (x, y ) = (4y 2 − 2)e−x
−y2
Evaluando se tiene: f xx (0, 0) = −2
f xy (0, 0) = 0
f yy (0, 0) = −2
En resumen, el polinomio de Taylor de primer grado en el punto (0,0) es: L(x, y ) = f (0, 0) + f x(0, 0)(x − 0) + f y (0, 0)(y − 0) = 1 + (0)(x) + (0)y = 1
El polinomio de Taylor de segundo grado en el punto (0,0) es: 1 2
Q(x, y ) = f (0, 0) + f x (0, 0)(x − 0) + f y (0, 0)(y − 0) + f xx (0, 0)(x − 0)2
1 1 + f xy (0, 0)(x − 0)(y − 0) + f yy (0, 0)(y − 0)2 2 2 Q(x, y ) = 1 − x2 + (0)xy − y2 = 1 − x2 − y 2
8
b) Trace la gráfica de f, L y Q . Comente que tan bien aproximan L y Q a f
Figure 7: Gráfica de f, L y Q En la gráfica la superficie verde es el plano L(x, y ) = 1, la superficie azul es la función f (x, y ) = e−x −y y la naranja es la superficie Q(x, y ) = 1 −x2 −y 2 . En base a la gráfica, se puede ver que la superficie L aproxima bastante bien a la superficie f en el punto (0,0). Sin embargo, la superficie Q tiene un alto grado de aproximación en todos los puntos cercanos al origen además del punto (0,0) debido a que tiene una forma muy similar a la de f en estos puntos. 2
2
3. a) Encuentre los polinomios de Taylor L y Q, de primero y segundo grado para f (x, y ) = xey en (1,0). Para encontrar el polinomio de Taylor L de primer grado se necesitan encontrar las primeras derivadas parciales y evaluar en el punto (1,0) f (x, y ) = xey f x (x, y ) = ey f y (x, y ) = xey
Evaluando en el punto se tiene: f (1, 0) = 1 f x (1, 0) = 1
9
f y (1, 0) = 1
El mismo procedimiento se realiza para las derivadas de segundo orden. f xx (x, y ) = 0 f xy (x, y ) = ey f yy (x, y ) = xey
Evaluando se tiene: f xx (1, 0) = 0 f xy (1, 0) = 1 f yy (1, 0) = 1
En resumen, el polinomio de Taylor de primer grado en el punto (1,0) es: L(x, y ) = f (1, 0)+f x (1, 0)(x−1)+f y (1, 0)(y−0) = 1+(1)(x−1)+(1)y = 1+x−1+y = x+y
El polinomio de Taylor de segundo grado en el punto (1,0) es: 1 2
Q(x, y ) = f (1, 0) + f x (1, 0)(x − 1) + f y (1, 0)(y − 0) + f xx (1, 0)(x − 1)2
1 1 + f xy (1, 0)(x − 1)(y − 0) + f yy (1, 0)(y − 0)2 2 2 1 1 1 Q(x, y ) = y2 + xy + y + x 2 2 2 b) Compare los valores L, Q y f en (0.9 , 0.1). ) En resumen se tiene: f (x, y ) = xey L(x, y ) = x + y
Q(x, y ) =
1 2 1 1 y + xy + y + x 2 2 2
Reemplazando en (0,9 , 0,1) : f (0, 9, 0, 1) = 0, 9947
10
L(0, 9, 0, 1) = 1 Q(0, 9, 0, 1) = 1
Se puede ver que tanto L como Q aproximan f a 1. Lo cual es una conclusión válida porque el valor de f en el punto (0,9 , 0,1) es muy cercano a uno. c) Trace la gráfica de f, L y Q . Comente que tan bien aproximan L y Q a f .
Figure 8: Gráfica de f, L y Q En la gráfica la superficie azul es la función L(x, y ) = x + y , la superficie verde es la función f (x, y ) = xey y la roja es la superficie Q(x, y ) = 1 2 y + 12 xy + 12 y + x. En base a la gráfica, se puede concluir que las aproxi2 maciones L y Q se acercan a los valores de f cercanos al punto (1,0). Como se puede ver, la aproximación Q tiene mayor rango de validez que L ya que Q tiene una forma similar a f en la vecindad de (1,0). 4. En este problema analizamos el comportamiento del polinomio f (x, y ) = ax +bxy + cy 2 (sin usar la prueba de las segundas derivadas), al identificar la gráfica como un paraboloide. a) Completando el cuadrado demuestre que si a =0, entonces: 2
f (x, y ) = ax2 + bxy + cy 2 = a
x+
b y 2a
2
+
Para completar el cuadrado se realiza:
b c f (x, y ) = a x2 + xy + y2 a a
11
4ac − b 4a2
2
y2
f (x, y ) = a
b b2 2 c 2 b2 2 2 x + xy + 2 y + y − 2 y 4a 4a a a
b 2 c 2 b2 2 f (x, y ) = a (x + y) + y − 2 y 2a 4a a f (x, y ) = a
Queda comprobado que:
b x+ y 2a
f (x, y ) = ax2 + bxy + cy 2 = a
2
4ac − b2 2 + y 4a2
b x+ y 2a
2
4ac − b2 2 + y 4a2
b) Sea D = 4ac − b2 . Demuestre que si D > 0 y a >0 , entonces f tiene un mínimo local en (0,0). Sea D = 4ac − b2 , reemplazando en el resultado del literal anterior se tiene:
b x+ y 2a
f (x, y ) = a
Si D > 0 , entonces:
2
D y2 2 4a
+
D y2 ≥ 0 2 4a
y
b x+ y 2a
2
≥0
Por lo tanto,
Si a > 0 entonces:
b x+ y 2a
f (x, y ) = a
2
+
b x+ y 2a
D y2 ≥ 0 2 4a
2
+
D y2 ≥ 0 2 4a
Evaluando f en (0,0) se tiene: f (0, 0) = 0 ⇒ f (0, 0) ≤ f (x, y ) para todo (x, y )
Por lo tanto, por definición f tiene un mínimo local en (0,0). c) Demuestre que si D > 0 y a < 0, entonces f tiene un máximo local en (0,0). 12
Como se demostro en el literal anterior:
Si a < 0, entonces:
b x+ y 2a
f (x, y ) = a
2
+
b x+ y 2a
Evaluando f en (0,0) se tiene:
D y2 ≥ 0 2 4a
2
D y2 ≤ 0 2 4a
+
f (0, 0) = 0 ⇒ f (0, 0) ≥ f (x, y ) para todo (x, y )
Por lo tanto, por definición f tiene un máximo local en (0,0). d) Demuestre que si D < 0, entonces (0,0) es un punto de ensilladura. Supongamos que nos acercamos al origen a lo largo del eje x , entonces y = 0: Sea: f (x, y ) = ax2 + bxy + cy 2 f (x, 0) = ax2 ax2 conserva el mismo signo de a. Si logramos encontrar por lo menos una
trayectoria al origen donde f (x, y) de valores con el signo opuesto de a, quedaría demostrado que (0,0) es un punto de ensilladura. Entonces: Sea:
−b b y+ y 2a 2a
f (x, y ) = a
b x+ y 2a
2
+
D y2 2 4a
Si nos acercamos al origen a lo largo de la línea x = − 2ba , entonces tenemos que:
−b f y, y 2a
=a
2
+
D D 2 2 y = y 4a2 4a2
Si D < 0,estos valores tienen signos contrarios que los valores de a, entonces queda demostrado que f tiene un punto silla en (0,0). 5. a) Suponga que f es cualquier función con derivadas parciales continuas de segundo orden, tal que f (0, 0) = 0 y (0,0) es un punto crítico de f . Escriba una expresión para el polinomio de segundo grado de Taylor Q de f en (0,0). Como f es una función diferenciable y (0,0) es un punto crítico, sabemos que: f x (0, 0) = 0 13
f y (0, 0) = 0
Por lo que el polinomio de segundo grado de Taylor (Q) de f en (0,0) puede expresarse como: 1 2
Q(x, y ) = f (0, 0) + f x (0, 0)(x − 0) + f y (0, 0)(y − 0) + f xx (0, 0)(x − 0)2
1 1 + f xy (0, 0)(x − 0)(y − 0) + f yy (0, 0)(y − 0)2 2 2 1 1 1 Q(x, y ) = f xx (0, 0)x2 + f xy (0, 0)xy + f yy (0, 0)y2 2 2 2 b) ¿Qué puede concluir acerca de Q, del problema 4? Q(x, y ) =
1 1 1 f xx (0, 0)x2 + f xy (0, 0)xy + f yy (0, 0)y2 2 2 2
Y f(x,y) es: f (x, y ) = ax2 + bxy + cy 2
Entonces Q representa la forma de la función polinomial con constantes: a=
1 1 1 f xx (0, 0), b = f xy (0, 0), c = f yy (0, 0) 2 2 2
En base al literal anterior se sabe que Q es un paraboloide y que Q tiene un máximo local, un mínimo local y un punto silla en (0,0). Si 1 1 1 D = 4ac−b = 4 f xx (0, 0) f yy (0, 0) − f xy (0, 0) 2 2 2 2
2
1 = f xx (0, 0)f yy (0, 0)− f xy (0, 0) 2
Se puede concluir que: Si D > 0 y a = 12 f xx (0, 0) > 0; sabemos del problema anterior que Q tiene un mínimo local en (0,0). De la misma manera si D > 0 y a < 0 . Q tiene un máximo local en (0,0) Finalmente, si D < 0 , Q tiene un punto silla en (0,0). c) Teniendo en cuenta la aproximación cuadrática f (x, y )≈Q(x, y ),¿Qué sugiere el inciso (b) acerca de f ? Como: f (x, y ) ≈ Q(x, y ) cerca de (0, 0) 14
2
En el literal anterior se pudo concluir que para: D =f xx (0, 0)f yy (0, 0) −
1
f (0, 0) 2 xy
2
Si D > 0 y a > 0 : f tiene un mínimo local en (0,0). Si D > 0 y a < 0: f tiene un máximo local en (0,0) Si D < 0 f tiene un punto silla en (0,0).
15
