METODOS ESTADÍSTICOS. Los métodos estadísticos, se basan en considerar que el caudal máximo anual, es una variable aleatoria que tiene una cierta distribución. Para utilizarlos se requiere tener como datos, el registro de caudales máximos anuales, cuanto mayor sea el tamaño del registro, mayor será también la aproximación del cálculo de caudal de diseño, el cual se calcula para un determinado periodo de retorno. Por lo general, en los proyectos donde se desea determinar el caudal de diseño, se cuenta con pocos años de registro por lo que la curva de distribución de probabilidades de los caudales máximos, se tiene que prolongar en su extremo si se requiere inferir un caudal con un periodo de retorno mayor al tamaño del registro. El problema se origina en que existen muchos tipos de distribuciones que se apegan a los datos, y sin embargo, difieren en los extremos. Esto ha dado lugar a diversos métodos estadísticos, dependiendo del tipo de distribución que considere. A continuación se explican los métodos de:
Gumbel Log-Pearson III
Gumbel consideran una distribución de valores extremos, con la única diferencia, que el criterio de Nash es menos rígido que el de Gumbel, pues permite ajustar la distribución por mínimos cuadrados. Por otra parte, considera una distribución Pearson tipo III. En forma práctica, se recomienda escoger varias distribuciones y ver cual se ajusta mejor; esto requiere que se tengan los datos necesarios para poder aplicar alguna prueba estadística, como la prueba de bondad de ajuste.
MÉTODO DE GUMBEL. Para calcular el caudal máximo para un periodo de retorno determinado se usa la ecuación:
Qmax =Qm−
σQ (Y −lnT ) …1 σN N
Siendo:
σQ=
√
N
∑ Q2i −N Q2m i=1
…2
N−1
Donde:
Qmax =¿ Caudal máximo para un periodo de retorno determinado, en m3/s. N= número de años de registro. Qi =Caudales máximos anuales registrados, en m3/s. N
∑ Qi
Qm= i=1 N
, Caudal promedio, en m3/s
T= Periodo de retorno.
σ N , Y N =¿ Constantes función de N, tabla 6.13 (Variables reducidas)
σ Q = Desviación estándar de los caudales. Para calcular el intervalo de confianza, o sea, aquel dentro del cual puede variar
Qmax
dependiendo del registro disponible se hace lo siguiente:
1. Si ф=1-1/T varía entre 0.20 y 0.80, el intervalo de confianza se calcula con la fórmula:
∆ Q=± √ Nα σ m
σQ σN √ N
…3
Donde: N= número de años de registro
√ Nα σ m
=constante en función de ф, tabla 6.14.
σ N = Constantes función de N, tabla 6.13 σ Q = Desviación estándar de los caudales (ecuación 2)
Tabla 6.13. Valores de
YN
y
σN
en función de N.
Tabla 6.14 Valores de
√ Nα σ m
2. Si ф>0.90, el intervalo se calcula como:
en función de ф.
∆ Q=±
1.14 σ Q …4 σN
La zona de ф comprendida entre 0.8 y 0.9 se considera la transición, donde
∆Q
es proporcional al cálculo con las ecuaciones 3 y 4, dependiendo del valor
de ф. El caudal máximo de diseño para un cierto periodo de retorno, será igual al caudal máximo con la ecuación (1), más el intervalo de confianza, calculado con (3) ó (4).
Qd =Q max + ∆Q … 5
EJEMPLO DEL METODO DE GUMBEL. Se tiene el registro de caudales máximos de 30 años para la estación 9-3 Angostura, como se muestra en la tabla 6.15.
En este río se desea construir una presa de almacenamiento. Calcular el caudal de diseño para el vertedor de demasías, para períodos de retorno 50 y 100 años respectivamente. Año(1) 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984
Caudal m3/s(2) 1660 917 3800 1410 2280 618 683 934 779 921 876 740 1120 610 1150
Año(1) 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
Caudal m3/s(2) 563 520 360 367 658 824 850 1230 522 581 557 818 1030 418 953
SOLUCIÓN. Año(1) 1970 1971
Caudal m3/s(2) 1660 917
1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
3800 1410 2280 618 683 934 779 921 876 740 1120 610
Q2(M3/S) 2755600 840889 1444000 0 1988100 5198400 381924 466489 872356 606841 848241 767376 547600 1254400 372100
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 SUMATOR IA
1150 563 520 360 367 658 824 850 1230 522 581 557 818 1030 418 953 28749
1322500 316969 270400 129600 134689 432964 678976 722500 1512900 272484 337561 310249 669124 1060900 174724 908209 4059506 5
Paso 1. Calcular el caudal promedio. N
Q m= ∑ i =1
Q m=
Qi N
28749 =958.3m3/s 30
Qm2=958.3 2=¿ 918338.89
Paso 2. Cálculo de la Desviación estándar de los caudales.
σQ=
σQ=
√ √
N
∑ Q2i −N Q2m i=1
N−1 40595065−30(918338.89) =670.6893 30−1
Paso 3.
σQ
Cálculo de los coeficientes σN, YN
σN YN
1.11238 0.53622
Paso 4. Cálculo del Caudal Máximo.
Qmax =Qm−
σQ (Y −lnT ) σN N
Para los periodos de retorno de 50 y 100 años.
Para T=50
Qmax =958.3−
670.6893 (0.53622−ln50) 1.11238 Qmax =2993.68 m3/s
Para T=100
Qmax =958.3−
670.6893 (0.53622−ln 100) 1.11238 Qmax =3411.60
m3/s
Paso 5. Cálculo de ф. ф=1-1/T Para T=50años ф=1-1/50=0.98 Para T=100años T=1-1/100=0.99 Paso 6. Cálculo del intervalo de confianza. Como en ambos casos vemos que ф es mayor que 0.90, Utilizaremos la ecuación:
∆ Q=±
1.14 σ Q σN
∆ Q=±
1.14∗670.6893 =687.34 1.11238
m3/s
Paso 7. Cálculo del caudal de diseño.
Qd =Q max + ∆Q
Para T=50
Qd =2993.68+687.34 Qd =3681.02m 3/ s
Para T=100
Qd =3411.60+687.34 Qd =4098.94 m 3/s
MÉTODO LOG PEARSON TIPO III Distribución estándar para análisis de frecuencia de caudales máximos anuales en los Estados Unidos (Benson 1968). La transformación Qd = Log QT se usa para reducir la asimetría; en caso de que la asimetría para esta situación valga cero la distribución log Pearson III se reduce a una log normal.
Qd=log QT Siendo:
´ log QT = LogQ+ K σ LogQ
´ LogQ= ∑ log Qi / N Donde:
QT = Máxima avenida correspondiente al periodo de retorno T. ´ LogQ = promedio de los logaritmos de la serie Qi, siendo: K = factor de frecuencia correspondiente a un T dado. σ Log Q = desviación estándar de los logaritmos de la serie Qi, cuya fórmula es:
´ )2 /(N−1) ]1 /2 σ log Q=[ ∑ ( logQi− LogQ Este factor se obtiene de cuadro mediante el Coeficiente de Sesgo (Cs). El Coeficiente de sesgo, se calcula mediante la fórmula:
Cs log Q=
´ i) N ∑ ( log Qi− logQ
3
( N −1 ) (N −2)(σ logQ)3
Valores de K Método de Log Pearson Tipo III
EJEMPLO DEL MÉTODO DE LOG PEARSON TIPO III
Para los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseño utilizando el método de Log - Pearson III, para periodo de retorno de 50 y 100 años. TABLA 6.15. CAUDALES MÁXIMOS Año(1 Año(1 ) Caudal m3/s(2) ) Caudal m3/s(2) 1970 1660 1985 563 1971 917 1986 520 1972 3800 1987 360 1973 1410 1988 367 1974 2280 1989 658 1975 618 1990 824 1976 683 1991 850 1977 934 1992 1230 1978 779 1993 522 1979 921 1994 581 1980 876 1995 557 1981 740 1996 818 1982 1120 1997 1030 1983 610 1998 418 1984 1150 1999 953 SOLUCION 1.- Cálculos Previos m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
CAUDAL (m3/seg)
log Q
3800 2280 1660 1410 1230 1150 1120 1030 953 934 921 917 876 850 824
3.5798 3.3579 3.2201 3.1492 3.0899 3.0607 3.0492 3.0128 2.9791 2.9703 2.9643 2.9624 2.9425 2.9294 2.9159
(log Qi− Lo´gQ)2 0.4387 0.1941 0.0916 0.0537 0.0298 0.0205 0.0174 0.0091 0.0038 0.0028 0.0022 0.0020 0.0006 0.0001 0.0000
´ ) (log Qi− LogQ
3
0.2906 0.0855 0.0277 0.0125 0.0051 0.0029 0.0023 0.0009 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 sumator ia
818 779 740 683 658 618 610 581 563 557 522 520 418 367 360 28749
2.9128 2.8915 2.8692 2.8344 2.8182 2.7910 2.7853 2.7642 2.7505 2.7459 2.7177 2.7160 2.6212 2.5647 2.5563 87.522 5
0.0000 0.0007 0.0023 0.0069 0.0098 0.0160 0.0174 0.0235 0.0279 0.0294 0.0399 0.0406 0.0878 0.1244 0.1304
0.0000 0.0000 -0.0001 -0.0006 -0.0010 -0.0020 -0.0023 -0.0036 -0.0046 -0.0050 -0.0080 -0.0082 -0.0260 -0.0439 -0.0471
1.4235
0.2757
2.- Calculo del promedio de los logaritmos de la serie Qi, siendo:
´ LogQ= ∑ log Qi / N N=
30 2.9174
m3/seg
3.- Calculo de Desviación estándar de los logaritmos de la serie Qi, cuya fórmula es (� ��� �)
´ )2 /(N−1) ]1 /2 σ log Q=[ ∑ ( logQi− LogQ σ Log Q=
0.2216
4.- Calculo del Coeficiente de sesgo (Sc)
Cs log Q=
Cs logQ
3 N ∑ ( log Qi− log´ Qi )
( N −1 ) (N −2)(σ log Q)3 0.9366
5.- Calculo de K (factor de frecuencia correspondiente a un T dado).
P ¿(1/T ) *10 0
T= T=
Periodo de Retorno 50 años 100 años
Probabilidad 2.00% 1.00%
K 2.5138 2.9804
6.- Calculo del Caudal de Diseño
´ log QT = LogQ+ K σ LogQ
Periodo de Retorno T= 50 años T= 100 años
log QT
3.4744 3.5777
Qd 2980.93 3782.21
unidad m3/seg m3/seg
AHORA DETERMINAS EL CAUDAL DE DISEÑO HACIENDO LA GRAFICA DE TODOS LOS DATOS OBTENIDOS DE CADA METODO Y LO COMPARAMOS CON LOS CAUDALES D REGISTRO Y OBTENEMOS
4000.00 3500.00 3000.00 2500.00 CAUDAL (M3/S)
GUMBEL
2000.00
Linear (GUMBEL) LOG - PEARSON III
1500.00
Linear (LOG - PEARSON III)
1000.00
REGISTRO
500.00 0.00 0
20 40 60 80 100
TIEMPO (AÑOS)
En el gráfico T vs. Q, se observa que la distribución que más se acerca a la distribución registrada, es la distribución por el Método de Levediev, por lo cual asumiremos esta distribución para calcular el Qd. CAUDAL DE DISEÑO T (años)
Qd (m3/s)
50 100
3460.28 4149.90
BIBLIOGRAFÍA
Villón Bejar, Máximo: hidrología. Segunda Edición: editorial Villón, Febrero del 2002. Lima-Perú
http://docs.google.com/viewer? a=v&q=cache:QFuPMyK8k50J:intranet.catie.ac.cr/intranet/posgrado/Hidro2 006/Presentaciones/Capitulo%25206b.ppt
http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/climatologia-aplicada-a-laingenieria-y-medioambiente/contenidos/tema-7/METODO-DE-GUMBEL.pdf
CONCLUSIONES Y COMENTARIOS AHORA DETERMINAS EL CAUDAL DE DISEÑO HACIENDO LA GRAFICA DE TODOS LOS DATOS OBTENIDOS DE CADA METODO Y LO COMPARAMOS CON LOS CAUDALES D REGISTRO Y OBTENEMOS MET.PEAR SON
MET.GUMBEL
T(años) 60 150 150 30 30
Caudal(m 3/s) 315.69 360.72 360.72 281.40 281.40
T (años) 60 150 150 30 30 PROMEDIO DE AMBOS MET.
Caudal (m3/s) 223.2 226.6 226.6 219.1 219.1
T(años) 60 150 150 30 30
Caudal(m 3/s) 269.47 293.68 293.68 250.25 250.25
COMPARACION 400.00 GUMBEL
Caudal(m3/s) PROMEDIO
Logarithmic (GUMBEL) 300.00
PEARSON
Logarithmic (PEARSON)
200.00 100.00 Logarithmic (PROMEDIO) 0.00 20
40
60
80
100
120
140
160
T(años)
En el gráfico T vs. Q, se observa que la distribuciones por ambos métodos estadísticos no tienen caudales similares por lo cual sacaremos un promedio de caudales de ambos métodos por los T(años) respectivos.
