Método de Gumbel y Pearson

CAUDALES MÁXIMOS PROBABLES POR EL MÉTODO DE GUMBEL Y EL MÉTODO DE LOG. PEARSON TIPO III

1. INT INTRO RODU DUC CCIÓ CIÓN: La estimación e ca!a"es m#$im%s as%cia%s a ete&mina%s 'e&i%%s e &et%&n% e ise(% es )!namenta" en m!c*as a'"icaci%nes e "a In+enie&,a -i&#!"ica. En "a ete&minación e a"%&es e$t&em%s n%&ma"mente se esta&# en a"+!n% e "%s si+!ientes escena&i%s/  Cas% e !n &,% c%n &e+ist&%s e 0 m#$.  Cas% e !n &,% sin in)%&mación e 0 m#$. E" an#"isis e )&ec!encias '&%1a1i",sticas tiene "a )ina"ia e estima& '&eci'itaci%nes2 intensiaes % ca!a"es m#$im%s2 se+3n sea e" cas% 'a&a i)e&entes 'e&i%%s e &et%&n%2 n%&ma"mente se a1%&a *acien% !s% e "as ist&i1!ci%nes '&%1a1i",sticas m#s !s!a"es/ M4t%% e G!m1e". M4t%% e L%+. Pea&s%n ti'% III. E" '&esente Ta""e& '&etene e)ect!a& !n 1&ee &e'as% e est%s m4t%%s is'%ni1"es 'a&a "a estimación e 0 m#$.

MÉTODO DE GUMBEL Se !sa 'a&a 'a&a ete&m ete&mina ina&& e" c#"c!" c#"c!"%% esta, esta,sti stic% c% c%nsie c%nsie&an &an%% 'a&#met 'a&#met&%s &%s *i&%" *i&%"ó+i ó+ic%s c%s 5e$t&em 5e$t&em%s %s e %c!&&enc %c!&&encia62 ia62 tiene tiene c%m% c%m% )!nción )!nción e ist&i ist&i1!ci 1!ción ón e '&%1a1i '&%1a1i"i "iaes aes "a si+!iente e$'&esión/

−e− a( x− β)

 F ( x )=e

D%ne/ •

a  7 Pa&#met&% e c%ncent&ación.

•

β  7 Pa&#met&% e "%ca"i8ación.

MÉTODO DE LOG. PEARSON TIPO III Esta ist&i1!ción es c%m3nmente !ti"i8aa 'a&a ""!ias % ca!a"es m#$im%s an!a"es. La ist&i1!ción e L%+. Ti'% III s!'%ne modelar los datos en escala logarítmica, es decir, considerar un modelo para

 y = log x

2. OBJETIVO IVOS: 2.1 OBJETIVO OBJETIVO GENERAL: GENERAL:

2

2.1. 2.1.11 Dete&mina& "%s ca!a"es m#$im%s '&%1a1"es '%& e" M4t%% e G!m1e" 9 e" M4t%% e L%+. Pea&s%n ti'% III.

2.2 OBJETIVOS OBJETIVOS ESPECIFIC ESPECIFICOS: OS: 2.2.1 Ana"i8a& 9 '&%cesa& "%s at%s *i&%"ó+ic%s %1teni%s. 2.2.2 Dete&mina& meiante e" m4t%% e G!m1e" e" ca!a" m#$im% '&%1a1"e. 2.2.3 Dete&mina& m4iate e" m4t%% e L%+2 Pea&s%n ti'% II e" ca!a" m#$im%  '&%1a1"e. 2.2.4 Rea"i8a& e" an#"isis c%m'a&ati% e "%s &es!"ta%s e "%s i)e&entes m4t%%s a'"ica%s en e" '&esente ta""e&.

3. DESARROLLO: L%s at%s *i&%+&#)ic%s &e'&esentan a "a estación !1icaa en e" &i% T%ac*i Pi"at%n.

C %n

"%s si+!ientes at%s *i&%"ó+ic%s %1teni%s se enc%nt&a&a "%s ca!a"es m#$im%s '&%1a1"es 'a&a "%s 'e&i%%s e &et%&n%/ :2 ;2 <=2 :;2 ;=2 <==2 :== se+3n "%s si+!ientes m4t%%s/

3.1 mét! !" G#m$"% G#m$"%:: Esta "e9 e ist&i1!ción e )&ec!encias se !ti"i8a 'a&a e" est!i% e a"%&es e$t&em%s. 3

3.1.1  '&%ceem%s a ca"c!"a& e" ca!a" '&%mei% e "%s at%s *i&%"ó+ic%s %1teni%s. n

∑ Qmax Q prom.=

i=1

n

40

∑ Qmax Q prom.=

i= 1

40

Q prom prom .= 91,295

3.1.2 n

c% e"

n!me&% e eent%s 5m62 %1tenem%s "%s 'a&#met&%s >!e estan en )!nción e" tama(% e "a m!est&a/ •

•

σy =1.14131 μy =0.54362

3.1.3 ca"c!"am%s "a esiación est#na&/ 4

Qi−Qprom

¿ ¿ ¿2 ¿

n

¿ ∑ = i 1

¿ SQ= √ ¿ SQ =

√

93599,842 40− 1

SQ =48,990

9? meiante "%s 'e&i%%s e &et%&n% &e>!e&i%s/ 3.1.4 ca"c!"am%s e" 'a&#met&% 9?

5

( ) T  T −1 ln ¿

¿ ¿  y =−ln ¿

(−) 5

5 1 ln ¿

¿ ¿  y =−ln ¿  y =1,500

3.1.& ca"c!"am%s e" ca!a" m#$im% '&%1a1"e 'a&a caa 'e&i%% e &et%&n% meiante e" 'a&#met&% enc%nt&a% ante&i%&mente/ Q max max p =Qprom +

SQ ( y −µy ) σy

Q max max p = 91,295+

  48,990 (1,500−0,54362 ) 1,14131

Q max max p =132,344

Res'ect Res'ectia iamen mente te tenem% tenem%ss "%s si+!ie si+!iente ntess &es!"ta &es!"ta%s2 %s2 %1teni %1teni%s %s a 'a&ti& 'a&ti& e "%s at%s at%s *i&%"ó+ic%s a%s 9 e" '&%ces% esc&it%/

T

y%

2 5 10 25 50 100 200

0,367 1,500 2,250 3,199 3,902 4,600 5,296

Q max p (Px ≤ x) % 83,69 0,50 132,34 0,80 164,56 0,90 205,25 0,96 235,45 0,98 265,42 0,99 295,28 1,00

Px%

(Px ≥ x)

Px%

50 80 90 96 98 99 99,5

0,50 0,20 0,10 0,04 0,02 0,01 0,01

50 20 10 4 2 1 0,5 6

MÉTODO DE GUME! ,ERIODO DE RETORNO T200 300

175

150

125

100

75

50

25

0

225

CAUDAL ' (m (m3)* 3)*++

150 75 0

0

50

100

150

200

25 0

P"O#$!$D#D P"O#$! $D#D P% P% 3.2 mét! !" L. L. P"/-*0 P"/-*0 t, III: Pa&a e" esa&&%""% e este m4t%% !ti"i8am%s "%s mism%s at%s *i&%"ó+ic%s 'e&% a i)e&encia e" m4t%% ante&i%& '&ime&amente '&%ceem%s a %&ena& "%s at%s e" ma9%& ca!a" a" men%& ca!a"2 se+!iamente meiante !na *%@a e c#"c!"% E$ce" se &ea"i8a&a e" '&%ces% e c#"c!"% e !na mane&a m#s e)iciente 9 &#'ia/ 3.2.1 P&ime&% se ca"c!"a&a e" "%+a&itm% c%n 1ase <= e caa !n% e "%s ca!a"es. 3.2.2 Rea"i8am%s e" si+!iente ca"c!"%/ Q log10 Q − Promedio

¿ ¿

∑ log

10

¿

3.2.3 Rea"i8am%s e" si+!iente ca"c!"%/

7

Q log 10 Q − Promedio

¿ ¿

∑ log

10

¿

3.2.4 Ca"c!"am%s e" T&/ Tr=

 N + 1  M 

3.2.& Rea"i8am%s e" c#"c!"% e "a '&%1a1i"ia e e$ceencia/  Probabilidad  Probabilidad de excedencia excedencia =

1

Tr

O1tenem%s "a si+!iente ta1"a/

n

YEA

!

"og !

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1992 1971 1975 1965 2000 1984 1973 1976 1981 1967 1970 1974 1978 1972 1998 1983 1969 1966 1980 1982

26 267,792 16 166,808 14 145,418 14 142,782 132,895 129,364 127,383 125,626 122,437 120,514 117,392 114,246 110,741 106,126 105,37 105,28 102,497 95,749 94,978 93,99

2, 2,4278 2, 2,2222 2, 2,1626 2, 2,1547 2,1235 2,1118 2,1051 2,0991 2,0879 2,0810 2,0696 2,0578 2,0443 2,0258 2,0227 2,0223 2,0107 1,9811 1,9776 1,9731

 

#log!$ a%g#log!&&'

#log!$ a%g#log!&&(

0,2994 0,1167 0,0795 0,0751 0,0590 0,0535 0,0504 0,0477 0,0430 0,0402 0,0357 0,0314 0,0268 0,0211 0,0202 0,0201 0,0169 0,0101 0,0094 0,0086

0,1639 0,0399 0,0224 0,0206 0,0143 0,0124 0,0113 0,0104 0,0089 0,0081 0,0068 0,0056 0,0044 0,0031 0,0029 0,0028 0,0022 0,0010 0,0009 0,0008

eturn )eriod *#n+1&m41,0000 20,5000 13,6667 10,2500 8,2000 6,8333 5,8571 5,1250 4,5556 4,1000 3,7273 3,4167 3,1538 2,9286 2,7333 2,5625 2,4118 2,2778 2,1579 2,0500

E.ceedenc pro/a/ilit #1r& 0,0244 0,0488 0,0732 0,0976 0,1220 0,1463 0,1707 0,1951 0,2195 0,2439 0,2683 0,2927 0,3171 0,3415 0,3659 0,3902 0,4146 0,4390 0,4634 0,4878 8

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

1964 1997 1979 2002 1977 2001 2004 1968 2003 2005 1995 1990 1993 1989 1994 1986 1987 1991 1988 1996

93,952 93,548 92,235 88,246 83,913 77,727 76,468 74,694 74,508 73,518 58,223 50,552 30,619 30,447 30,104 22,144 21,004 20,038 18,593 13,874 umatori a )rom )romed edio io

1,9729 1,9710 1,9649 1,9457 1,9238 1,8906 1,8835 1,8733 1,8722 1,8664 1,7651 1,7037 1,4860 1,4835 1,4786 1,3453 1,3223 1,3019 1,2693 1,1422

0,0085 0,0082 0,0071 0,0042 0,0019 0,0001 0,0000 0,0001 0,0001 0,0002 0,0133 0,0313 0,1557 0,1576 0,1616 0,2866 0,3117 0,3349 0,3736 0,5452

0,0008 0,0007 0,0006 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 $0,0015 $0,0055 $0,0614 $0,0626 $0,0649 $0,1534 $0,1740 $0,1938 $0,2284 $0,4026

75,2232

3,4669

$1,0031

1,9524 1,8636 1,7826 1,7083 1,6400 1,5769 1,5185 1,4643 1,4138 1,3667 1,3226 1,2813 1,2424 1,2059 1,1714 1,1389 1,1081 1,0789 1,0513 1,0250

0,5122 0,5366 0,5610 0,5854 0,6098 0,6341 0,6585 0,6829 0,7073 0,7317 0,7561 0,7805 0,8049 0,8293 0,8537 0,8780 0,9024 0,9268 0,9512 0,9756

1,88 1,8806 06

3.2. P&%ceem%s a" c#"c!"% e "a a&ian8a/

∑ log Varianza = Varianza =

10

Q− Promedio n−1

∑ log

10

Q

2

3,4669 40 −1

Varianza =0,0889

3.2. Ca"c!"am%s "a esiación est#na&/  Desviacin es!andar =√ Variansa Variansa 0,0889  Desviacin  Desviacin es!andar es!andar =√ 0,0889

9

 Desviacin es!andar =0,298

3.2. 3.2.5 3.2.16 3.2.11

Ca"c!"am%s e" c%e)iciente e ses+%. Inte&'%"am%s si es necesa&i%2 en este cas% s,. U1icam%s "%s )act%&es e )&ec!encia 56. Rea"i8am%s e" '&%ceimient% e inte&'%"ación 9 ete&mina%s "%s ca!a"es se+3n "%s 'e&i%%s e &et%&n% &e>!e&i%s. O1tenem%s "a si+!iente ta1"a/

T

&('1)

&('11)

(&('1)'&('11))((' 1)'('11))

*(' 10215)

2

0,164

0,18

$0,16

0,1674

5

0,852

0,848

0,04

0,8511

10

1,128

1,107

0,21

1,1235

25

1,366

1,324

0,42

1,3570

50

1,492

1,435

0,57

1,4797

100

1,588

1,518

0,7

1,5729

200

1,664

1,581

0,83

1,6461

Q 85,21 29 136,2 540 164,2 660 192,8 232 209,+ +96 223,6 408 235,1 66+

10

MÉTODO DE !OG !OG PE#"O- T$PO $$$ PE"$ODO DE "ETO"-O T T 200 250

175

150

125

100

75

50

25

0

200 150 .#UD#! Q 100 50 0 0

10

20

30

40

50

P"O#$!$D#D P

4. ANALIS ANALISIS IS COMP COMPARA ARATIVO: IVO: L%s m4t%%s m4t%%s e an#"isis an#"isis est!ia%s e )&ec!encias )&ec!encias '&%1a1i",sticas '&%1a1i",sticas 'a&a "a ete&minación ete&minación e ca!a"es m#$im%s '&%1a1"es m!est&an !na a&iación e &es!"ta%s en a"+!n%s at%s  'a&a a"+!n%s 'e&i%%s e &et%&n% !na c%nsie&a1"e c %nsie&a1"e a&iación e &es!"ta%s as, "% '%em%s e& a c%ntin!ación en "a si+!iente ta1"a 9 "a &es'ectia +&#)ica/

11

)E  E E E E :E"  T Q max 2   83 8 3,69 5 132,34 10   16 164,56 25 205,25 50 235,45 100 265,42 200 295,28

; E "< )EA  )  Q max 85,21 136,25 164,27 192,82 209,78 223,64 235,17

):A:" A )= 50 50 20 10 4 2 1 0,5

DISE7O 8IDRAULICO TALLER N92 GRFICA 3 CURA CURA DE COMPARACIN C OMPARACIN DE MÉTODOS

12

T / Q mx 300<00

250<00

250<00

200<00

200<00

150<00

CAUDAL MA; M A;.. 150<00 UMBEL 100<00

.#UD#! M# .#UD#! M#  OG PE#"O- T$PO $$$ $ $$

100<00 50<00

50<00 0<00

25 0

0<00 75 125 175 225 50 100 150 200

PERIODO DE RETORNO

DISE7O 8IDRAULICO TALLER N92 GRFICA 4 CURA CURA DE COMPARACIN C OMPARACIN DE MÉTODOS

.U"# DE PE"$TE-.$# PE"$ODO DE "ETO"-O 250 300

200

150

100

250

0 250 200

200 .#UD#! .#UD# ! M

50

150

150 100

100

50

50 0

; E :E" ; E "< )EA )  

0

0 5 10 15 20 20 25 25 30 30 35 35 40 40 45 50 55 P"O#$!$D#D

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&. CO CONC NCL LUSIO USIONE NES: S: ete&m &minó inó "%s "%s ca!a ca!a"e "ess m#$im m#$im%s %s '&%1a '&%1a1" 1"es es se+3n se+3n "%s "%s 'e&i 'e&i%% %%ss e &et%&n &et%&n%% &.1 Se ete &e>!e&i%s meiante "%s m4t%%s e G!m1e" 9 e L%+. Pea&s%n ti'% III. &.2 Se ete&minó >!e e$iste !na a&iación c%nsie&a1"e en c!ant% a &es!"ta%s ent&e "%s %s m4t%%s e G!m1e" 9 L%+. Pea&s%n ti'% III. &.3 Se ete&minó "a +&#)ica c%&&es'%niente a caa m4t%% em%st&an% "a a&iación c%n &es'ect% a "%s &es!"ta%s e "%s ca!a"es m#$im%s '&%1a1"es. &.4 Se ete&minó >!e a meia >!e a en a!ment% e" 'e&i%% e &et%&n% "%s a"%&es e "%s &es!"ta%s en c%m'a&ación e "%s m4t%%s e G!m1e" 9 L%+. Pea&s%n ti'% III a&,an. &.& Se ete&minó >!e en e" M4t%% e G!m1e" '&esenta !n a"%& e ca!a" m#s a"t% c%n &es'ect% a" 'e&i%% e &et%&n% :== en c%m'a&ación c%n e" a"%& %1teni% en e" M4t%% e L%+ Pea&s%n Ti'% III. ete&m &minó inó >!e >!e en "a !ti" !ti"i8 i8ac ació iónn e c!a"> c!a">!i !ie&a e&a e est% est%ss m4t% m4t%% %s2 s2 nin+ nin+!n% !n% &. Se ete  '&esenta&,a !na '&esentación e &es!"ta%s )a%&a1"es en c!ant% a &ea"ia 'e&% a" eci& >!e s%n m4t%%s esta,stic%s se '%&,a t%ma& en c%nsie&ación e" m4t%% e L%+. Pea&s%n ti'% III e" c!a" '&esenta&a ma9%& e$actit! c%n "%s &es!"ta%s.

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