Distribuciones de Pearson La distrib distribuci ución ón de Pears Pearson on en una famili familia a de distrib distribuci ucione ones s probab probabilís ilístic ticas as cont continú inúas as.. Fue Fue publ public icad ada a por por prim primer era a vez vez por por Karl Karl Pear Pearso son n en 1895 1895 subsecuentemente e!tendida por "l en 19#1 191$ en una serie de artículos de bioestadística. %l sistema Pearson fue ori&inalmente ideado en un esfuerzo para modelar observaciones visiblemente asim"tricas. %ra bien conocido en a'uel tiempo cómo a(ustar un modelo teórico para acomodar los primeros dos cumulantes o los momentos momentos de observado observados s datos) datos) *ual'uier *ual'uier distribució distribución n de probabili probabilidad dad puede puede estar estar e!tend e!tendida ida directa directamen mente te para para formar formar una una famili familia a de escala escala de posición. %!cepto en los casos patoló&icos+ una familia de escala de posición puede estar ,ec,a para acomodar la media -primer cumulante la varianza -se&undo cumulante arbitrariamente bien. /in embar&o+ no era conocido cómo constr construir uir distrib distribuc ucion iones es de probab probabilid ilidad ad en las cuales cuales la asimet asimetría ría -terce -tercer r cumulante est0ndar la curtosis -cuarto cumulante est0ndar pudieron estar a(ustados a(ustados i&ualmente. i&ualmente. %sta necesidad necesidad sur&ió sur&ió al intentar intentar acomodar acomodar modelos modelos teóricos conocidos a datos observados 'ue e!,ibieron asimetría. Los e(emplos de Pear Pearso son n incl inclu uen en dato datos s de supe superv rviv iven enc cia+ ia+ cu0l cu0les es son son usua usualm lmen ente te asim asim"t "tri rico cos. s. %n su escr escrit ito o ori& ori&in inal al++ Pear Pearso son n iden identi tifi ficó có cuat cuatro ro tipo tipos s de distribuciones -numeradas del al 2 adem0s de la distribución normal -la cual era ori&inalmente conocida como tipo 2. La clasificación dependió en si las distribuciones estaban definidas en un intervalo definido+ en una semirrecta+ o en los reales reales si estaba estaban n potenc potencial ialmen mente te asim" asim"tric tricas as o necesa necesaria riamen mente te sim"tricas. 3n se&undo escrito arre&ló dos omisiones) 4edefinió la distribución de tipo 2 -ori&inalmente incluía la distribución normal+ a,ora incorporaba la distribución &amma inversa e introdu(o la distribución de tipo 2. 4,ind 4,ind ideó ideó una forma forma sencil sencilla la de visual visualiza izarr el espaci espacio o de par0me par0metro tros s del sistema Pearson+ el cual fue adoptado por Pearson. Los tipos de Pearson son caracterizados por dos cantidades+ comúnmente referidas como 1 6. %l 2
primero es el cuadrado de la asimetría)
1=¿ γ 1
β ¿
donde 71 es la asimetría o el
tercer momento estandarizado. %l se&undo es el curtosis tradicional o cuarto momento estandarizado) 6 76 :. ;ratamientos modernos definen uc,as de las distribuciones asim"tricas no mesocúrtica 'ue ,o nos son familiares+ no eran conocidas a principios de 189#. Lo 'ue ,o se conoce como distribución beta ,abía sido usada por ;,omas ?aes como la Probabilidad a posteriori del par0 par0me metro tro de la dist distrib ribuc ució ión n de ?ern ?ernou oull llii en su trab traba( a(o o de 1@$: 1@$: sobr sobre e la probab probabili ilidad dad invers inversa. a. La distrib distribuci ución ón beta beta &anó &anó promin prominenc encia ia debid debido o a su pertenencia al sistema Pearson era conocida ,asta los aAos 19B# como la distribución Pearson tipo . 1 -La distribución de Pearson tipo es un caso
especial derivada del tipo + pero a no es tratada por separado. La distribución &amma ori&inada como resultado del traba(o de Pearson era conocida como la distribución de Pearson tipo + antes de ad'uirir su nombre moderno en 19:#s 19B#s. .6 %l artículo de Pearson escrito en 1895 introdu(o la distribución de tipo 2+ la cual contiene la distribución tC/tudent como caso especial+ precediendo por varios aAos a Dilliam /eal Eosset. %n su artículo de 19#1 introdu(o la distribución &amma inversa -tipo 2 la distribución beta prima -tipo 2. =plicaciones %stos modelos son utilizados en los mercados financieros para par0metros estadísticos en idrolo&ía+ dado su ,abilidad para ser parame trizadas de un modo 'ue tiene si&nificado intuitivo para comerciantes de mercado+ tambi"n es el an0lisis de la información ,idroló&ica en forma de muestras+ a fin de inferir las características con 'ue debe ser esperado en el futuro el fenómeno 'ue se estudia. %l avance en el campo de las computadoras el desarrollo creciente de m"todos num"ricos ,an dado una importancia particular al uso de la estadística en todas las ciencias naturales+ especialmente en idrolo&ía. Gefinición 3na función de densidad de Pearson+ p+ est0 definida para ser una solución v0lida a una ecuación diferencial
Gonde)
/e&ún Hrd+ Pearson ideó la forma subacente de la ecuación -1+ con base+ primeramente+ en la fórmula para la derivada del lo&aritmo de la función de densidad de la distribución normal -la cual da una función lineal + en se&undo lu&ar+ de una relación de recurrencia para los valores en la función de probabilidad de la masa de la distribución ,iper&eom"trica -'ue produce la función lineal dividida por una estructura cuadr0tica. %n la ecuación -1+ el par0metro a determina un punto estacionario+ por lo tanto ba(o ciertas condiciones un moda de la distribución+ a 'ue)
/ale directamente de la ecuación diferencial. Gado 'ue nos enfrentamos a una ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes variables+ su solución es directa)
La inte&ral en esta solución simplifica considerablemente cuando ciertos casos especiales de inte&rando son considerados. Pearson distin&ue dos casos principales+ determinados por el si&no del discriminante - por tanto el número de raíces reales de la función cuadr0tica.
;ipos particulares de distribución
Caso 1, discriminante negativo. La distribución de Pearson tipo IV /i el discriminante de la función cuadr0tica -6 es tiene raíces reales. Lue&o se define)
ne&ativo
no
Hbserve 'ue I es un número real bien definido I J #+ por'ue por suposición por tanto b6 J #. =plicando estas tres sustituciones+ la función cuadr0tica -6 es transformada en)
La ausencia de raíces reales es obvio en esta formulación a 'ue I6 es necesariamente positiva. =,ora e!presamos la solución de la ecuación diferencial -1 en función de )
Pearson -1895+ p. :$6 lo llamó el caso tri&onom"trico+ debido a la inte&ral)
nvolucra la función tri&onom"trica inversa arcotan&ente. %ntonces)
Finalmente sea)
=plicando estas sustituciones+ obtenemos la función param"trica)
%sta función de densidad sin normalizar tiene soporte en toda la línea real. Gepende del par0metro de escala I # el par0metro de forma m1M6 v. 3n par0metro se perdió cuando preferimos encontrar la solución a la ecuación diferencial -1 como una función de o de !. Por lo tanto volvemos a introducir un cuarto par0metro+ llamado par0metro de posición N. =sí ,emos derivado la función densidad de la distribución de tipo Pearson 2)
La normalización de las constantes involucra función &amma comple(a -O la función beta -?. Distribución de Pearson tipo VII %l par0metro de la forma de la distribución de Pearson tipo 2 controla su asimetría. /i fi(amos su valor a cero+ obtenemos una familia sim"trica de tres par0metros. %ste caso especial es conocido como Gistribución de Pearson tipo 2 -cf. Pearson 191$+ p. B5#. /u función de densidad es)
Gonde ? denota la función ?eta. 3na parametrización alternativa - una li&era especialización de la distribución tipo 2 es obtenida permitiendo
Lo cual re'uiere m:M6. %sto conlleva una p"rdida menor de &eneralidad pero ase&ura 'ue la varianza de la distribución e!iste es i&ual a Q6. =,ora el par0metro m solo controla la curtosis de la distribución. /i m tiende a infinito como N Q se mantiene constante+ la distribución normal emer&e como un caso especial)
%sta es la función de densidad de la distribución normal con media N desviación est0ndar Q. %s conveniente e!i&ir 'ue m 5M6 de(ar 'ue)
%sta es otra especialización+ &arantiza 'ue los primeros cuatro momentos de la distribución e!istan. >0s aun+ la distribución de Pearson tipo 2 parametrizada en t"rminos de -N+ Q+ 76 tiene como media N+ como desviación est0ndar Q+ asimetría cero curtosis e!ceso es 76. Distribución t-Student La distribución de Pearson tipo 2 es e'uivalente a la distribución tC/tudent no estandarizada con par0metros #+ R+ Q6 aplicando las si&uientes sustituciones a su parametrización ori&inal.
Hbserve 'ue la restricción m S se satisface. La función de densidad resultante es)
La cual es m0s conocida como la densidad de distribución tCstudent. Tote adem0s 'ue esto implica 'ue la Gistribución de Pearson tipo 2 subsume la distribución tC/tudent est0ndar tambi"n la distribución de *auc, est0ndar. %n particular+ la distribución tC/tudent est0ndar emer&e como un subcaso cuando R # Q6 1+ e'uivalente a las si&uientes sustituciones.
La densidad de est0 restrin&ida familia de un solo par0metro es una tCstudent est0ndar)
Caso 2, discriminante no negativo /i la función cuadr0tica -6 tiene discriminante no tiene como raíces reales a1 a6 -no necesariamente distintas)
ne&ativo
%n presencia de raíces reales+ la función cuadr0tica -6 puede ser escrita como
por lo tanto la solución de la ecuación diferencial es)
Pearson -1895+ p. :$6 la llamó el caso lo&arítmico+ debido a la inte&ral
nvolucra solo la función lo&arítmica+ no la función arcotan&ente como en el caso anterior.
3sando la sustitución
Hbtenemos la si&uiente solución a la ecuación diferencial -1)
Gado 'ue esta densidad es sólo sabida ,asta una constante escondida de proporcionalidad+ esa constante puede variarse l a densidad puede escrita como si&ue)
Distribución de Pearson tipo I La Gistribución de Pearson tipo -una &eneralización de la distribución beta sur&e cuando las raíces de la ecuación cuadr0tica -6 son de si&nos opuestos+ eso es Lue&o la solución p es soportada en intervalo =plicando la sustitución
La cu0l produce una solución en t"rminos de 'ue est0 soportada en el intervalo -#+ 1)
3no puede definir)
4ea&rupando las constantes par0metros+ esto se simplifica a)
.
4esulta 'ue m1+ m6 U1 es necesario suficiente para 'ue p sea una función de densidad de probabilidades. Distribución de Pearson tipo II La distribución de Pearson de tipo es un caso especial de la familia de Pearson de tipo restrin&ida a distribuciones sim"tricas. Para la curva de Pearson de tipo )
Gonde
La ordenada+ + es la frecuencia de
∑d
2
. La curva de Pearson de tipo es
usada en computar la tabla de coeficientes de correlación si&nificativos para el coeficiente de correlación de /pearman cuando el número de elementos en una serie es menor a 1##-o :# dependiendo en al&unas fuentes. Lue&o+ la distribución imita una distribución tC student est0ndar. Para la tabla de valores+ ciertos valores son usados como constantes en la ecuación previa)
Los momentos de x usada son)
Distribución de Pearson tipo III
La distribución de Pearson tipo es una distribución &amma o una distribución c,iCcuadrado. Gistribución de Pearson tipo 2
Gefiniendo nuevos par0metros)
La distribución de Pearson tipo 2 es una distribución &amma inversa. Gistribución de Pearson tipo 2
La distribución de Pearson tipo 2 es una distribución beta prima o una Gistribución F.
Eemp!o /e tiene una estación con :# aAos de re&istros de caudales m0!imos instant0neos con >edia de B1BB pie :Ms desviación est0ndar de ::11 pie :Ms. /i el coeficiente de asimetría de los caudales es de 1.981 pie:Ms cual es caudal para un periodo de retorno de 1## aAos su intervalo de confianza. V;r1## W /K K es F de tablas se obtiene K:.595
-1.9+ 1## :.55: -6.#+ 1## :.$#5
V;r1## B1BB -:.595 -::11 V;r1## 1$#5# pie:Ms
ntervalos de confianza Wt X t-1Ca./e d F de tablas se obtiene d 8.B966
-1.9+ 1## 8.619$ -6.#+ 1## 8.55$6
/e 51::.5$ pie:Ms t-1Ca t-#.95 1.$B5 -Leído de la tabla de la normal 1$#5# X -51::.5$ -1.$B5
Y@$#5.69 pie:Ms C 6BB9B.@1pie:MsZ ntervalos de confianza para V;r1##
