Introducción El presente trabajo contiene una breve explicación acerca de distrib distribuci ucione ones s y soluci solución ón de probl problema emas s refer referente entes s a datos datos máxi máximo mos s y míni mínimo mos, s, aquí aquí una una brev breve e expli xplica caci ción ón de este este método: En teorí teoría a de prob probab abil ilid idad ad y esta estadí dísti stica ca la dist distri ribu buci ción ón de Gumbel (llamada así en onor de Emil !ulius Gumbel ("#$"% "$&&' es utiliada para modelar la distribución del máximo (o el mínimo', por lo que se usa para calcular valores extremos) *or ejemplo, sería muy +til para representar la distribución del máxi máxim mo nive nivell de un río río a part partiir de los datos atos de nive nivele les s máximos durante " a-os) Es por esto que resulta muy +til para para pred predec ecir ir ter terremot emotos os,, inun inunda daci cion ones es o cual cualqu quie ierr otr otro desastre natural que pueda ocurrir) .a dist distri ribu buci ción ón de Gu Gumb mbel el a sido sido util utili iad ada a con con buen buenos os resultados para valores extremos independientes de variables meteoroló/icas y parece ajustarse bastante bien a los valores máxi máximo mos s de la prec precip ipit itac ació ión n en dife diferrente entes s inte interv rval alos os de tiempo y después de mucos a-os de uso parece también con0r on0rm mars arse su util utiliidad en los los prob probllemas emas práct ráctiicos de in/en n/enie ierí ría a de dime imensio nsiona nam mient iento o de redes des de dren drenaj aje e y diversas obras idráulicas) En nuestro caso, se puede emplear para el estudio de los perío ríodos de retor torno de las precipitaciones máxi áximas re/is e/istr trad adas as en 12 ora oras, s, así así como como para para el cálc cálcul ulo o de los los periodos de retorno de los caudales de un río) Ejemplo 3e tienen las probabilidades de que aya ", 1, 4, ))) etc, días nubla nublado dos s por por sema semana na en un dete determ rmin inad ado o lu/a lu/ar, r, con con ello ellos s calcule la distribución de probabilidades)
X 0 1 2 3 4 5 6 7 Total
P(x) 0.05 0.15 0.25 0.20 0.15 0.10 0.08 0.02 1.0
F(x) 0.05 0.20 0.45 0.65 0.80 0.90 0.98 1.00
.a aplicabilidad potencial de la distribución de Gumbel para representar los máximos se debe a la teoría de valores extremos que indica que es probable que sea +til si la muestra de datos tiene una distribución normal o exponencial)
DISTRIBUCION GUMBEL O EXTREMA TIPO I
Es una familia importante de distribuciones usadas en el análisis de frecuencia idroló/ico es la distribución /eneral de valores extremos, la cual a sido ampliamente utiliada para representar el comportamiento de crecientes y sequías (máximos y mínimos')
Función de densidad
En donde a y b son los parámetros de la distribución)
Esti!ación de "ar#!etros
donde son la media y la desviación estándar estimadas con la muestra)
Factor de $recuencia
5onde 6r es el periodo de retorno) *ara la distribución Gumbel se tiene que el caudal para un período de retorno de 1)44 a-os es i/ual a la media de los caudales máximos)
L%!ites de con&an'a 7t 8 t("%a' 3e
9 6 es el factor de frecuencia y t("%a' es la variable normal estandariada para una probabilidad de no excedencia de "%a) E!E*.; ": En un río se tienen 4 a-os de re/istros de @) < 6r" = x A 9 6 s
9 6 = 4)"2 < 6r" = "> A 4)"2B> < 6r" = 4)C m4?s Dntervalos de con0ana
t("%a' = t()$>' = ")&2> (.eído de la tabla de la normal'
d = 4)$4
7t 8 t("%a' 3e 4)C m4?s 8 (")&2' (4)>#' 12)#4 m4?s 4&)># con0ana para <6r"
m4?sF
Dntervalo
de
A(USTE DE DISTRIBUCIONES *ara la modelación de caudales máximos se utilian, entre otras, las distribuciones .o/ % ormal, Gumbel y .o/%Gumbel principalmente) *ara seleccionar la distribución de probabilidades de la serie istórica se deben tener en cuenta al/unas consideraciones) •
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Huando en la serie istórica se observan Ioutliers"FJ es necesario veri0car la sensibilidad del ajuste debido a la presencia de estos, (Ashkar, et al. 1994) *ara el ajuste a las distribuciones .o/%ormal, .o/%Gumbel y .o/% *earson se requiere transformar la variable al campo lo/arítmico para modelarla, con lo que se disminuye la variana muestral, pero también se 0ltran las variaciones reales de los datos) .as distribuciones de dos parámetros 0jan el valor del coe0ciente de asimetría, lo que en al/unos casos puede no ser recomendable) .a distribución .o/ % ormal de dos parámetros sólo es recomendable sí el coe0ciente de asimetría es cercano a cero) .as distribuciones Gumbel y .o/ % Gumbel son recomendables si el coe0ciente de asimetría de los eventos re/istrados es cercano a ")"4
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*ara ajustar distribuciones de tres parámetros (.o/ ormal DDD, .o/ *earson' se requiere estimar el coe0ciente de asimetría de la distribuciónK para ello es necesario disponer de una serie con lon/itud de re/istros lar/a, mayor de > a-os, (9ite, "$##') .as distribuciones de dos parámetros son usualmente preferidas cuando se dispone de pocos datos, porque reducen la variana de la muestra, (LsMar, et al) "$$2') *ara seleccionar la distribución de probabilidades adecuada se debe tratar de utiliar información adicional del proceso idroló/ico que permita identi0car la forma en que se distribuye la variable) Nsualmente es muy difícil determinar las propiedades físicas de los procesos idroló/icos para identi0car el tipo de distribución de probabilidad que es aplicable) 9ite ("$##' y amdou ("$$4' a0rman que no existe consistencia sobre cual es la distribución que mejor se ajusta a los caudales máximos y recomiendan seleccionar el mejor ajuste a criterio del modelador con la prueba de ajuste /rá0co o basado en el comportamiento de las pruebas estadísticas de bondad del ajuste (por ejemplo Hi Huadrado, 3mirnov%9olmo/orov, Hramer%Oon ises' en las que se calcula un estimador y se compara con un valor tabulado para determinar si el ajuste es adecuado o no) En la prueba de ajuste /rá0ca se dibujan los valores re/istrados en la serie contra la distribución teórica de probabilidades y de manera visual (subjetiva' se determina si el ajuste es adecuado o no)
Huando la información es adecuada el análisis de frecuencia es la metodolo/ía más recomendable para la evaluación de eventos extremos, ya que la estimación depende solamente de los caudales máximos anuales que an ocurrido en la cuenca y no da cuenta de los procesos de transformación de la precipitación en escorrentía) ;bviamente tiene al/unas limitaciones relacionadas con el comportamiento de la serie istórica y con el tama-o y calidad de los datos de la muestra) •
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Huando se presenten cambios o tendencias en la serie istórica se deben utiliar técnicas estadísticas que permitan removerlos para poder realiar el análisis de frecuencias (9ite, "$##K amdou, "$$4K LsMar, et al) "$$2') .a selección inadecuada de la distribución de probabilidades de la serie istórica arrojará resultados de con0abilidad dudosa, (LsMar, et al) "$$2')
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El tama-o de la muestra inPuye directamente en la con0abilidad de los resultados, así a mayor período de retorno del estimativo mayor lon/itud de re/istros necesaria para mejor con0abilidad en los resultados)
BIBLIOGRAF)A
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