Ley de Gumbel

LEY DE GUMBEL De las varias distribuciones de valores extremos hay dos que tienen mayor aceptación, al haber demostrado que se ajustan bien al fenómeno de las crecidas de los ríos: la distribución de valores extremos tipo I o la ley de Gumbel y la distribución log-Pearson tipo III. Vente Chow ha encontrado que estas distribuciones pueden expresarse en la forma:

 = ̅ +  Donde:

: Caudal con una probabilidad dada.  : Media de la serie de caudales pico.  : Desviación estándar de la serie. : Un factor de frecuencias definido por cada distribución. Es una función del nivel de probabilidades asignado a  .

La ley de Gumbel está dada por la expresión:

 =    −



Donde:

: Probabilidad de que un valor x sea igualado o excedido. : Variable reducida, dada por la expresión:  =  ( (  ) : Moda de la distribución. : Parámetro de dispersión. Para una muestra de tamaño finito, Gumbel encontró que:

 = ̅    =

 

 

 : Valor medio esperado de la variable reducida.  : Desviación estándar de la variable reducida.

Y también que    o  , son funciones solo del tamaño de la muestra.



20

30

40

50

100

200



0.52

0.54

0.54

0.55

0.56

0.57



1.06

1.11

1.14

1.16

1.21

1.24

Reemplazando valores:

 =    = =

 

  

 





=

 

 

 

 = ̅ +

(̅   

 

)

̅ +  …(1.1)

̅ +       



 = ̅ + 

Con la ecuación 1.1 es posible hallar los caudales con largos periodos de recurrencia (avenida centenaria, avenida milenaria, avenida diez milenaria). Esta ecuación es la ecuación de una línea recta en papel probabilístico de Gumbel. Precisamente la manera de comprobar que el modelo de Gumbel es el apropiado para el problema en estudio consiste en graficar la recta y plotear los puntos de la muestra; deberá cumplirse que todos los puntos caen alineados cerca de la recta.