Métodos numéricos aplicados Método de Gauss Jordan __________________ ___________________________ __________________ ________________ ________________ ________________ _______________ ____________ ____
Universidad Nacional de Moquegua
Docente Ing. Juan Carlos Clares
Alumno Alonso Morón Coaquira
Ilo – Perú – 2013
Método de Gauss Jordan El método de Gauss-Jordan es una variante del método de Gauss. Cuando se elimina una incógnita en una ecuación, Gauss-Jordan elimina esa incógnita en el resto de las ecuaciones, tomando como base para la eliminación a la ecuación pivote. También todos los renglones se normalizan cuando se toman como ecuación pivote. El resultado final de este tipo de eliminación genera una matriz identidad en vez de una triangular como lo hace Gauss, por lo que no se usa la sustitución hacia atrás. En otras palabras, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.
Ejemplo -3x + 3y + 2z = 1 4x + y = z + 2 -2y + z = 3 - x
Ordenando
-3x + 3y + 2z = 1 4x + y –z = 2 x – 2y + z = 3
Matricialmente se puede representar de la siguiente manera:
Matriz original -3 3 2 1 4 1 -1 2 1 -2 1 3
El objetivo es encontrar la matriz identidad, el cual es una matriz con 0 y 1, donde los 1 están en diagonal
Matriz final 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Para lograr este objetivo, s e dispone de las siguientes operaciones (llamadas elementales):
Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo. Intercambiar de posición dos ecuaciones Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
En este ejemplo, es posible intercambiar las filas 1 y 3, porque ésta última tiene el número ‘1’ al principio, de esa manera sería un poco más fácil trabajar, pero vamos a dejarlo tal como está.
Pasos Primeramente debemos normalizar la ecuación 1 (ecuación pivote), esto significa que la primera constante ‘-3’ debe convertirse en ‘1’, para obtenerlo, debe multiplicarse por -1/3; tener en cuenta que este y todos los procesos afecta a toda la fila donde se esté trabajando.
Normalización de la ecuación 1 (-1/3 * F1) 1 -1 -2/3 -1/3 4 1 -1 2 1 -2 1 3
El siguiente paso es hacer cero toda la columna debajo del ‘1’ de la primera ecuación normalizada.
Entonces, multiplicamos por -4 la primera ecuación y la sumamos a la segunda. Obteniéndose:
1 0 1
-4F1 + F2 -1 -2/3 5 5/3 -2 1
-1/3 10/3 3
Lo siguiente es hacer cero en lo que resta de la columna
1 0 0
-F1 + F3 -1 -2/3 5 5/3 -1 5/3
-1/3 10/3 10/3
Ahora nuestro pivote es la segunda ecuación continuando con la diagonal, en este caso ‘5’. Se repite el mismo proceso de normalización y operaciones elementales:
Normalizando ecuación 2 (1/5 * F2) 1 -1 -2/3 -1/3 0 1 1/3 2/3 0 -1 5/3 10/3
Luego tiene que hacerse 0 en la columna. Es decir, arriba y abajo del ‘1’.
1 0 0
F2 + F1 F2 + F3 0 -1/3 1 1/3 0 2
1/3 2/3 4
Finalmente, nuestro pivote ahora es la ecuación 3 y se realiz a los mismos procedimientos, dando como resultado:
Normalizando ecuación 2 (1/5 * F2) 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2
De acuerdo al resultado, los valores de las incógnitas son:
X = 1 Y = 0 Z = 2
Forma escalonada y escalonada reducida Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz puede tener las siguientes propiedades: 1.
Todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz.
2.
El elemento delantero de cada fila diferente de cero, éste es llamado "pivote"; éstos están a la derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).
Si una matriz A cumple con esas propiedades, se dice escalonada. Además, cumpliendo estas otras condiciones, decimos que la matriz se encuentra en la forma reducida de renglón escalón o tan solo en forma escalonada reducida. 1. 2.
Todos los elementos delanteros ("pivotes") son iguales a 1 Todos los elementos por encima de los pivotes son nul os.
Una vez que la matriz del sistema se ha transformado hasta obtener una matriz escalonada reducida es muy fácil discutirlo (es decir, determinar cuántas soluciones tiene): 1.
Cuando aparece un pivote en la columna de los términos independientes el sistema es incompatible (no tiene ninguna solución).
2.
En otro caso el sistema es compatible. Si además el número de pivotes coincide con el número de incógnitas el sistema es compatible determinado (tiene una única solución). Cuando el número de pivotes es menor que el número de incógnitas el sistema es indeterminado (tiene infinitas soluciones que dependen de tantos parámetros como indique la diferencia entre el número de incógnitas y el número de pivotes).
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