Algoritma GaussGauss -Jordan - Jordan Jordan Metode dasar menyelesaikan suatu sistem persamaan linear menggantikan n pmenggantika
sistem yang diberikan dengan suatu sistem baru yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama tetapi lebih mudah diselesaikan dengan melakukan 3 jenis operasi: 1. mengalikan sebuah persamaan dengan konstanta tak nol. 2. menukar letak dari dua persamaan 3. Mengganti suatu persamaan dengan hasil penjumlahan persamaan persamaan tersebut dan kelipatan persamaan lainnya.
Operasi
baris elementer :
Mengalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta tak nol. Menukar letak dari dua baris. Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan baris lainnya.
Contoh
1
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear x y z ! 6 2 x 3 y 4 z ! 3 x y 2 z ! 7
4
Def inisi Sebuah
Matriks Eselon
matriks E dikatakan dalam bentuk eselon jika Setiap baris yang hanya terdiri dari bilangan nol terletak sesudah baris yang memuat elemen tak nol. Pada setiap baris dari matriks E yang mempunyai elemen tak nol, elemen tak nol pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen tak nol dari baris sebelumnya. Matriks eselon sering disebut matriks eselon baris. Elemen tak nol pertama dari suatu baris disebut elemen utama atau elemen pivot. Sebagai contoh adalah matriks--matriks yang diperoleh mulai langkah kematriks ke-4 pada Contoh 1
Def inisi
Matriks Eselon Tereduksi
Matriks eselon tereduksi adalah matriks eselon yang mempunyai sifat
Setiap
Setiap
elemen pivotnya bernilai 1.
elemen pivot merupakan satusatu -satunya elemen tak nol pada kolom tersebut.
Sebagai
contoh, matriks terakhir yang diperoleh pada Contoh 1
Contoh
2
Contohontoh-contoh
« 0 0» ¬ 0 0¼ , ½
matriks eseloneselon-baris
«2 1 » ¬0 2¼, ½
«0 1 2» dan «¬0 ¬0 0 1 ¼ ¬0 ¬ ¼ ¬0 ¬-0 0 0¼½ ¬ 0 -
1
2
0
1
0
0
0
0
3»
1¼¼ 0¼ ¼ 0½
Contohontoh-contoh
matriks eselon baris tereduksi
«0 0» «1 0» «0 ¬0 0¼, ¬ ¼ ¬ 0 1 ½ ½ , ¬0
0»
«0 ¼ ¬ 0 1 , 0 ¼ ¬ ¬-0 0 0¼½ ¬0 ¬ -0
«0 ¬0 ¬ ¬0 ¬ -0
1
0
3»
¼ 0 1 2 ¼ 0 0 0¼ ¼ 0 0 0½
1
1
0
0»
0
1
0
¼ ¼ , 0 0 0¼ ¼ 0 0 0½
Contoh Berikut
3
adalah matriksmatriks-matriks dalam bentuk baris baris--
eselon tereduksi, yang diperoleh dari sederetan operasi baris terhadap matriks lengkap suatu sistem persamaan.Tentukan penyelesaian sistem tersebut!
«1 0 0 2 » ¼ a. ¬0 1 0 1 ¬ ¼ ¬- 0 0 1 4 ¼½
b.
«1 0 0 3 ¬0 1 0 2 ¬ ¬- 0 0 1 1
- 4»
¼ ¼ 3 ¼½ 5
c.
«1 3
0
0 -4
2»
¬ 0 0 1 0 2 1¼ ¬ ¼ ¬0 0 0 1 3 2¼ ¬ ¼ -0 0 0 0 0 0 ½
d.
«1 0 2 0» ¬0 1 3 0¼ ¬ ¼ ¬-0 0 0 1¼½
Def inisi
Matriks Ekuivalen Baris
Matriks A adalah ekuivalen baris dengan matriks
B
apabila mariks B diperoleh dari matriks A dengan berhingga kali operasi baris elementer. Contoh
«1 A=
¬2 ¬ ¬-1
4 2
0»
¼ 1 1 ¼ 1 2¼½
ekuivalen baris dengan B = «2 ¬2 ¬ ¬-1
4
0»
1
1
¼ ¼ 1 2¼½
Algoritma Gauss Algoritma Gauss adalah algoritma untuk mengubah sebarang matriks menjadi matriks eselon dengan menggunakan operasi baris elementer. Langkah--langkahnya : Langkah Carilah kolom paling kiri yang memuat unsur tak nol. 1. 2. Jika elemen pertama kolom yang diperoleh dari langkah pertama sama dengan nol, tukarlah baris pertama dari matriks dengan baris yang unsurnya pada kolom tersebut tak nol. Setelah elemen pertama dari kolom yang diperoleh pada langkah 3. pertama tak sama dengan nol, dengan operasi baris elementer kita dapat membuat elemen di bawahnya menjadi nol. 4. Ulangi proses 1 sampai dengan 3 pada matriks sisanya, sampai diperoleh matriks eseleon baris.
Contoh Selesaikan
4
dengan eliminasi Gauss!
x1 3 x2
2 x1 6 x2
2 x3
5 x3 2 x4
5 x3 10 x4 2 x1 6 x2
2 x5 4 x5
!
3 x6
0 1
!
15 x6
!
8 x4 4 x5 18 x6
!
5
8
Algoritma Gauss Jordan Y aitu
proses yang dimulai dengan matriks A yang
diberikan dan menghasilkan matriks B dalam bentuk eselon baris tereduksi yang ekuivalen baris dengan matriks A
Contoh
5
Selesaikan
soal pada Contoh 4 dengan algoritma Gauss Jordan!
Sistem Setiap
Persamaan Linear Homogen
sistem persamaan linear homogen
mempunyai sifat konsisten. Mengapa? Ada 2 kemungkinan penyelesaian sistem persamapersamaan linear homogen: 1.
Penyelesaian trivial
2.
Penyelesaian tak tak--trivial
Contoh Selesaikan
6
sistem persamaan linear homogen
berikut dengan eliminasi Gauss Jordan:
x2
3 x3 2 x4
!
0
2 x1 x2
4 x3
3 x4
!
0
2 x3 x4
!
0
a.
2 x1 3 x2
4 x1
3 x2
5 x3 4 x4
!
0
b.
2 x1 x2 4 x3 3 x4
!
0
2 x1 3 x2 2 x3 x4
!
0
Apa yang dapat anda simpulkan dari 2 contoh di atas?
Teorema Sebuah
sistem pesamaan linear homogen dengan
jumlah variabel lebih banyak daripada jumlah persamaan mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian.
Matriks Dasar Definisi
matriks n × n disebut matriks dasar jika matriks ini bisa diperoleh dari matriks identitas n × n , dengan melakukan suatu operasi baris dasar tunggal.
Suatu
Sif att-Sif at
matriks dasar
Jika matriks dasar E dihasilkan dari suatu operasi tertentu terhadap I n dan jika A suatu matriks m vn , maka hasil kali EA adalah matriks yang dihasilkan jika operasi baris yang sama dikenakan pada A. Contoh 7 Perhatikan matriks dan matriks «1 2 3 2» ¬ ¼ A ! 1 2 5 1 ¬ ¼ ¬-1 0 1 4 ¼½
«1 0 2» dasar E ! ¬ 0 1 0 ¼ ¬ ¼ ¬- 0 0 1 ¼½
Matriks dasar E diperoleh dengan mengganti baris pertama dengan jumlah -2 kali elemen baris ketiga dengan elemen baris pertama. 1 2 5 6 Sekarang
perhatikan matriks
» « ¬ 1 2 5 1 ¼ EA ! ¬ ¼ ¬- 1 0 1 4 ¼½
Matriks ini juga diperoleh dengan mengganti baris petama denggan jumlah -2 kali elemen baris ketiga dengan elemen baris pertama.
matriks dasar bisa dibalik, dan inversnya juga merupakan suatu matriks dasar. Teorema keterbalikan matriks peryataan Jika A suatu matriks n ×n, maka peryataanpernyataan berikut ekuivalen, yaitu semua benar atau semua salah: 1. A bisa dibalik. 2. AX = 0 hanya mempunyai pernyelesaian trivial. 3. Baris bentuk eselon tereduksi dari A adalah I . 4. A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriksmatriks matriks dasar.
Setiap
Metode Membalik Suatu Matriks Untuk mendapatkan invers suatu matriks yang dapat dibalik A, lakukan seangkaian operasi baris dasar yang mereduksi A menjadi matriks identitas, bersamaan dengan itu lakukan serangkaian operasi baris yang sama terhadap I untuk mendapatkan A- -11. Contoh 8:
Tentukan invers dari matriks
«2 7 » A ! ¬ ¼ 1 4 ½
«3 4 1» ¬ ¼ 3 B ! 1 0 ¬ ¼ ¬-2 5 4¼½
Menyelesaikan sistem persamaan dengan menggunakan invers matriks koefisiennya.
Teorema Jika A suatu matriks n vn yang bisa dibalik, maka untuk setiap matriks B berukuran n v1, sistem persamaan AX=B tepat mempunyai satu penyelesaian yaitu X = A- -11B. Contoh
9:
Tentukan peyelesaian sistem persamaan: x1
3 x 2
!
5
2 x1 x 2
!
3
Teorema keterbalikan matiks(lanjutan) Jika A adalah suatu matriks n vn, maka pernyataan pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen: 1. A bisa dibalik. 2. AX = 0 hanya mempunyai pernyelesaian trivial. 3. Baris bentuk eselon tereduksi dari A adalah I n n . 4. A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriksmatriks matriks dasar. 5. AX=B konsisten untuk setiap matriks B( n nv 1 ) 6. AX=B tepat mempunyai satu penyelesaian untuk setiap matriks B( n nv 1 ) v
Soal 1.
Dengan
eliminasi Gauss Jordan, tentukan penyelesaian dari sistem persamaan a. 2x x +3 y ² z = 2 x x +4 y + 2z = 1 x + 2 y +3z = -- 4 3x
b. 3x - -2 2 y +3z = 0 2x x +y y ² 4z = 0
2.
Tentukan invers dari matriks berikut jika ada, dengan melakukan operasi baris elementer terhadap matriks ini dan matriks identitas: a.
«1 2 3» ¬2 5 5¼ ¬ ¼ ¬-3 5 8¼½
b.
«0 ¬1 ¬ ¬1 ¬ - 1
1
2
1
4
3
7
2
4
3»
¼ ¼ 9 ¼ ¼ 6½ 4
3.
Dengan
metode membalik matriks koefisien, tentukan penyelesaian dari sistem persamaan pada soal nomor 1.
4.
Dengan
metode membalik matriks koefisien, tentukan penyelesaian umum dari sistem persamaan a.
x1
2 x1
5 x 2
!
c1
x 2 !
c2
b.
x1
2 x 2
3 x3
!
c1
2 x1 x 2
2 x3
!
c2
x1
3 x 2
x 3 !
c3