Makalah Analisis Struktur III “MOMEN INERSIA”
Dosen Pengampu: Faqih Maarif, S.Pd
Disusun Oleh: Deni Maulana 5115111020
FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK UNIVERSITAS TEKNOLOGI YOGYAKARTA
Jl. Jl. Lingkar Utara, Jombor, Sleman, Yogyakarta
KATA PENGANTAR Alhamdu Alhamdulil lillahi lahirabb rabbilaa ilaalam lamiin iin puji syukur syukur
kehadir kehadirat at Allah Allah s.w.t s.w.t , yang yang
senanti senantiasa asa melimp melimpahka ahkan n rahmat rahmat serta serta inayahinayah-Nya Nya sehingga sehingga penyusun penyusun masih masih diberikan kesempatan untuk dapat menyusun makalah Analisis makalah Analisis Struktur III ini. III ini. Dan tak tak luput luput pula pula penyusun penyusun ucapkan rasa terima terima kasih kepada beliau bapak Faqih Maarif, S.Pd yang telah memberi bimbingan sehingga penyusun dapat menyelesaikan Makalah sesuai dengan materi yang diberikan. Penyusunan Penyusunan makalah makalah Analisis Struktur III “MOMEN “MOMEN INERSI INERSIA” A” ini ditujukan agar kita semua tahu pengertian momen inersia, prinsip momen inersia, dan perhitungannya. Oleh Oleh kare karena na itu, itu, peny penyus usun un berh berhar arap ap semo semoga ga peny penyus usun unan an makal akalah ah mengenai “MOMEN INERSIA” ini dapat bermanfaat bagi semua pihak. Namun penyusun juga sadar bahwa terdapat banyak kekurangan dalam penyusunan makal makalah ah ini, ini, sehing sehingga ga dihar diharapk apkan an bagi bagi semua semua pihak pihak untuk untuk berpar berparti tisip sipasi asi memberikan kritik dan sarannya demi kesempurnaan makalah ini. Sekian yang dapat penyusun penyusun sampaikan, sampaikan, dan atas partisipasinya partisipasinya penyusun ucapkan banyak terima kasih. Jombor, November 2012
Penyusun
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah......................................................................1 BAB II KERANGKA TEORITIK 2.1 Definisi Momen Inersia.......................................................................2 Inersia.......................................................................2 2.1 Macam-macam Momen Inersia...........................................................2 BAB III PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS 3.1 Perhitungan Momen Inersia................................................................5 3.1.1 Penentuan Titik Berat...........................................................5 3.1.1 Contoh Penerapan.............................. Penerapan..................................................... ...................................6 ............6 BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan........................... Kesimpulan.................................................. .............................................. ........................................16 .................16 4.2 Saran............................................ Saran................................................................... ........................................................16 .................................16
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar
Belakang Masalah
Inersi Inersiaa adalah adalah kecende kecenderun rungan gan benda benda untuk untuk mempert mempertahan ahankan kan keadaan keadaannya nya (teta (tetap p diam diam atau atau berger bergerak) ak).. Benda Benda yang yang sukar sukar berger bergerak ak dikata dikatakan kan memill memilliki iki inersia yang besar. Dalam dunia teknik sipil, perhitungan inersia atau momen inersia sangat diperlukan untuk mengetahui besarnya inersia atau kecenderungan suatu bangunan untuk tetap pada posisinya. Untuk keperluan tertentu perhitungan momen momen inersi inersiaa dan titik titik berat berat dapat dapat digunk digunkan an misalny misalnyaa untuk untuk merunt meruntuhka uhkan n gedung-gedung tinggi. Dengan Dengan menget mengetahui ahui titik titik berat berat dari dari gedung gedung yang yang akan akan dirunt diruntuhka uhkan n maka maka proses peruntuhan gedung dapat dilakukan melalui pengeboman secara aman, karena gedung yang dibom tersebut akan runtuh searah vertical sumbu beratnya sehingga tidak menimpa banguan dan orang-orang yang ada di sekitarnya. Perhitungan inersia dan titik berat juga dapat digunakan untuk mengetahui keseimbangan suatu bangunan air misalnya ponton, Mega-floating building dan bangunan lainnya. Manfaat perhitungan momen inersia dalam kehidupan sangat nyata nyata dapat dapat dirasa dirasakan kan sehing sehingga ga penget pengetahu ahuan an tentan tentang g momen momen inersi inersiaa harus harus dike diketa tahu huii untu untuk k menci mencipt ptaka akan n suat suatu u bangu banguna nan n dan dan meto metode de penga pengahnc hncur uran an bangunan yang aman
1
BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Definisi Momen Inersia
Mome Momen n iner inersi siaa adala adalah h kele kelemb mbam aman an suat suatu u benda benda yang yang bero berota tasi si,, yang yang dirotasikan terhadap sumbu tertentu. Momen Inersia (I) adalah suatu besaran yang memper memperlih lihatk atkan an tentan tentang g usaha usaha suatu suatu sistem sistem benda benda untuk untuk menent menentang ang gerak gerak rotasinya. Besaran ini dimiliki oleh semua sistim benda (khusus padat) apapun bentuknya. Oleh karena itu momen inersia didefinisikan sebagai kecenderungan suatu sistem benda untuk berputar terus atau diam sebagai reaksi terhadap gaya torsi dari luar. Pada dasarnya menentukan momen inersia benda berwujud tertentu seperti silinder pejal, dan bola cenderung lebih mudah dibandingkan jika mencari besar momen inersia untuk bentuk benda yang tidak beraturan dengan distribusi massa yang tidak sama. Momen Inersia Inersia ( Ix dan Iy) merupakan merupakan momen kedua dari luasan tampang A yang dihitung menurut kuadrat jarak antara pusat berat luasan (A) dengan sumbu sumbu yang ditinjau ditinjau (X dan Y),sedangkan Y),sedangkan momen momen inersia (J) yang yang dihitung terhadap terhadap sumbu sumbu yang yang tegak tegak lurus lurus luasan luasan tampang tampang (Z) disebu disebutt sebagai sebagai momen momen inersi inersiaa polar.nilai ketiga jenis momen inersia ini disebut (Ix, Iy, dan J ) selalu berharga positif. Momen sentrifugal (Ixy) yang dihitung berdasarkan jarak luasan tampang terhadap sumbu x dan y dapat mengambil semua nilai real ( positif, negatif maupun nol). 2.2 Macam-macam Momen Inersia
Nilai momenn inersia tergantung dari partikel penyusunnya, bentuk, dan dimensi bangun atau bidang. bidang. Momen inersia dibagi dibagi menjadi 3 macam: macam:
2
1.
Momen Inersia Partikel
Konsep partikel itu berbeda dengan konsep benda tegar. Dalam gerak lurus dan gerak parabola, misalnya, kita menganggap benda sebagai partikel, kare karena na keti ketika ka berg berger erak ak,, seti setiap ap bagi bagian an bend bendaa itu itu memi memili liki ki kece kecepa pata tan n (maks (maksudny udnyaa kecepat kecepatan an linear linear)) yang yang sama. sama. Ketika Ketika sebuah sebuah mobil mobil berger bergerak, ak, misalnya, bagian depan dan bagian belakang mobil mempunyai kecepatan yang sama. Jadi kita bisa mengganggap mobil seperti partikel alias titik. Ketika Ketika sebuah sebuah benda benda melakuk melakukan an gerak gerak rotasi rotasi,, kecepat kecepatan an linear linear setiap setiap bagian benda berbeda-beda. Bagian benda yang ada di dekat sumbu rotasi bergerak lebih pelan (kecepatan linearnya kecil), sedangkan bagian benda yang ada di tepi bergerak lebih cepat (kecepatan linear lebih besar).
Gambar 1. Inersia Penampan Lingkaran 2.
Momen Inersia Benda Tegar
Secara umum, Momen Inersia setiap benda tegar bisa dinyatakan sebagai berikut :
I = Σmr 2
Benda tegar bisa kita anggap tersusun dari banyak partikel yang tersebar di seluruh bagian benda itu. Setiap partikel-partikel itu punya massa dan tentu saja memiliki jarak r dari sumbu rotasi. jadi momen inersia dari setiap benda merupakan jumlah total momen inersia setiap partikel yang menyusun benda itu. 3
3.
Mome Momen n Ine Iners rsia ia Ben Benda da-B -Ben enda da yang yang Be Bent ntuk ukny nya a Ber Berat atur uran an
Selain bergantung pada sumbu rotasi, Momen Inersia (I) setiap partikel juga bergantung pada massa (m) partikel itu dan kuadrat jarak (r 2) partikel dari sumbu rotasi. Total massa semua partikel yang menyusun benda = massa benda itu. Persoalannya, jarak setiap partikel yang menyusun benda tegar berbeda-beda jika diukur dari sumbu rotasi.
4
BAB III PENYAJIAN DATA 3.1 Perhitungan Momen Inersia
Pende Pendeka kata tan n untuk untuk mene menent ntuka ukan n mome momen n iner inersi siaa dari dari suat suatu u luas luasan an dapa dapatt dipero diperoleh leh dengan dengan membagi membagi luas luas total total menjad menjadii luas luas terten tertentu. tu. Momen Momen inersi inersiaa masin masing-m g-masi asing ng momen momen kemudi kemudian an dapat dapat dihit dihitung ung dengan dengan ΣAy2 dan Σ Ax2 . Momen inersia dari luasan total adalah sama dengan jumlah momen inersia dari komponen komponen luasan. luasan. Ini akan mengasilkan mengasilkan nilai pendekatan momen inersia inersia dengan tingkat akurasi sebagai fungsi dari ukuran yang dipilih pada luasan komponen. Semakin kecil ukuran luasan komponen yang digunakan maka akan semakin tinggi tingkat akurasinya. Karena momen inersia adalah luasan kuadrat dikalikan jarak, maka satuan SI adalah mm4 atau m4. Momen inersia selalu berharga positif. Besaran momen inersia adalah diukur dari kemampuan suatu penampang luasan terhadap terhadap tahanan tekuk (buckling (buckling ) atau lentur (bending (bending ). ). Jadi jika dua buah balok terbuat dari bahan yang sama, tetapi mempunyai luas penampang yang berbeda maka balok dengan luas penampang lebih besar akan mempunyai nilai momen inersia lebih besar. Akan tetapi balok dengan momen inersia lebih besar tidak selalu mempuny mempunyai ai luas luas penamp penampang ang lebih lebih besar. besar. Distri Distribus busii luasan luasan relati relative ve terhad terhadap ap sumbu referensi akan juga menentukan besar momen inersia. 3.1.1 Penentuan Titik Berat Tampang Titik berat suatu penampang dapat dipandang sebagai sebuah titik, yang jika seluruh permukaannya dipusatkan di sana akan memberikan momen statis statis yang nilainya nilainya sama terhadap terhadap kedua sumbu manapun juga,dengan juga,dengan kata lain momen statis statis suatu penampag terhadap semua garis yang melalui pusat berat penampang selalu bernilai nol. Koor Koordi dina natt
pusa pusatt
bera beratt
tamp tampan ang g
dapa dapatt
dihi dihitu tung ng
meng menggu guna naka kan n
persamaann di bawah ini; 5
X0 = Sy/A
Y0 = Xy/ A
3.1.2 Contoh Penerapan Pecahkan permasalahan permasalahan di bawah ini: ini: Suatu gedung akan dirancang dengan bentuk dan dimensi dimensi sebagai berikut: berikut:
Gambar
2. Tampang Benda
Tentukan titik berat, Y baru dan X baru, dan momen inersianya. ? Step 1; Tentukan titik berat benda.
6
Gambar 3. Titik Berat Benda Step 2: Cari nilai titik tengah masing-masing benda
Y1= 15 m
X1: 3 m
Y2= 15 m
X2: 13 m
Y3= 26,25 m
X3: 8 m
Luas Benda: A1= b1h1 = 6.30 = 180 m2 A2= b2h2 = 6.30
7
= 180 m2 A3= b3h3 =4. 7,5 =30 m2 Luas total= A1+A2+A3 = 180+180+30 = 390 m2 Step 3: Mencari nilai momen statis
Kemudian mencari nilai Sx: Sx1= A1.Y1 = 180. 15 = 2700 m3 Sx2= A2. Y2 = 180. 15 = 2700 m3 Sx3= A3. Y3 = 30. 26,25 = 787,5 m3 Sx total = Sx1+ Sx2+ Sx3
8
= 2700+2700+787,5 = 6187,5 m3
Mencari nilai Sy: Sy1= A1. X1 = 180. 3 = 540 m3 Sy2= A2. X2 =
180. 13
= 2340 m3 Sy3= A3Y3 = 30. 8 = 240 m3 Sy total = Sy1+ Sy2+ Sy3 = 540+2340+240 = 3120 m3 Step 4: mencari posisi Ybaru dan Xbaru sebagai ordinat pusat berat baru
benda monolit. Mencari Ybaru dan Xbaru: Y’=
9
=
= 15,86538 m Didapat pergeseran Y menjadi Y baru(Y’) adalah 15,86538m.
Gambar 4. Ybaru Benda
Dari nilai Y’ dan gambar di atas dapat dicari nilai dy: dy1=dy2 =(0,5 . 30)-Y’ =(15)-15,86538 = -0,865m
10
dy3
= (h1-Y’)-(0,5 . h 3) = (30-15,86538)-(0,5. 7,5) = 14,13462 – 3,75 = 10,385m
Mencari X baru atau X’: X’=
= =8m
11
Gambar 5. Xbaru Benda
Dari nilai X’ dan gambar di atas dapat dap at kita cari nilai dx: dx1=(0,5.b1)- (0,5.b3+b1) = (0,5.6)- (0,5. 4+6) = -5m dx2= (0,5.b3+b1)- (0,5.b1) = (0,5. 4+6)- (0,5.6) = 5m dx3= 0 ; karena titik berat sejajar dengan Xbaru. Step 5: Mencari Ix0 dan Iy0 = a.
Mencari Ix0
12
Ix01 = 1/12 .b.h3 =1/12 . 6.303 = 13500 m4 Ix02 = 1/12 .b.h3 =1/12 . 6.303 = 13500 m4 Ix02 = 1/12 .b.h3 =1/12 . 4.7,53 = 140,625 m4
Maka Ix0total= Ix01+ Ix02+ Ix02 = 27140,63 m4 b.
Mencari Iy0 Iy01 = 1/12 .h.b3 =1/12 . 30. 63 = 540 m4
Iy02 = 1/12 .h.b3 =1/12 . 30. 63 = 540 m4
13
Iy03 = 1/12 .h.b3 =1/12 . 7,5. 43 = 40 m4 Maka Iy0total= Iy01+ Iy02+ Iy03 = 1120 m4 Step 6: Mencari Momen X dan Y: a.
Momen (Ady2) A.dy21 = 180.(-0,865)2 = 134,6805 m4
A.dy22 = 180.(-0,865)2 = 134,6805 m4
A.dy23= 30.(10,385)2 = 3235,447 m4 Ady2total= A.dy21+ A.dy22+ A.dy23 = 3504,808 m4
b. Momen (A.dx²)
14
Adx21 = 180.(-5)2 = 4500 m4 Adx22 = 180.(5)2 = 4500 m4 Adx23 = 180.(0)2 = 0 m4
A.dx²total = Adx21+ Adx22+ Adx23 = 9000 m4
Inersia x (Ix)= Ix0total + Ady2total = 27140,63 + 3504,808 = 30645,43 m4 Inersia y (Iy)= Iy0total + A.dx²total = 1120 + 9000 = 10120 m4 Dari data yang didapat dari hasil penyelesaian di atas dapat disajikan dalam bentuk table sebagai berikut:
1. Perhit Perhitunga ungan n sifat sifat tampan tampang g dengan dengan acuan acuan sumbu sumbu X
15
Tabel 1. Perhitungan Tampang Dengan Acuan Sumbu X A.dy² Luas A Ix˚ (m⁴) Bagian y (m) Sx (m³) dy (m) (m⁴) (m²) 1 180 15 2700 13500 134.6805 -0.865 180 2700 13500 134.6805 2 15 -0.865 30 787.5 3 26.25 10.385 140.625 3235.447 27140.6
390
2.
6187.5
3
3504.808
Penentuan sifat tam[ang dengan acuan sumbu Y Tabel 2.Perhitungan Sifat Tampang Dengan Acuan Sumbu Y
Bagian 1 2 3
Luas A (m²) 180 180 30 390
x (m) 3 13 8
Sy (m³) 540 2340 240 3120
dx (m) -5 5 0
Iy˚ (m⁴)
A.dx² (m⁴)
540 540 40
4500 4500 0
1120
9000
16
BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan
Dari materi yang telah dijelaskan di atas dapat diambil kesimpulan: 1.
Momen inersia adalah kemampuan suatu benda untuk mempertahankan keadaanya.
2.
Momen inersia ditentukan oleh luas penampang, partikel, masa partikel, dan jarak.
3. Perhit Perhitung ungan an momen inersi inersiaa terhadap terhadap suatu suatu bangun akan lebih lebih akurat akurat jika yang ditinaju partikelnya lebih kecil. 4. Semakin Semakin besar luasan luasan penampang, penampang, semakin semakin besar momen inersianya inersianya.. 5. Dua buah buah benda yang yang ditinjau ditinjau secara secara berbed berbedaa mempuny mempunyai ai titik titik berat yang yang berbeda, namun setelah menjadi suatu benda monolit, maka bendatersebut akan mempunya titik berat baru yang sama (Xbaru dan Ybaru) 6. Suat Suatu u perm permuka ukaan an akan akan memp mempuny unyai ai mome momen n stat statis is jika jika dipus dipusat atka kan n pada pada titik beratnya. 7. Besarnya Besarnya momen momen inersi inersiaa selalu selalu bernilai bernilai positif. positif. 4.2 Saran
1. Untuk mendapatkan data yang akurat mengenai perhitungan momen inersia suatu bangunan, maka tinjaulah menggunakan partikel yang lebih kecil.
17
DAFTAR PUSTAKA Laintarawan, I Putu, dkk, S.T., M.T., 2009, Buku 2009, Buku Ajar Mekanika Bahan, Bahan, Denpasar: Denpasar: Universitas Hindu Indonesia Oerlee,
dalam
“ Menghitung
Momen
Inersia” Inersia”,
dalam
http://oerleebook.wordpress.com/tag/momen-inersia/,, diakses 05 November 2012, http://oerleebook.wordpress.com/tag/momen-inersia/ pada 14.33 WIB Widodo Widodo,, Slamet Slamet,, S.T., S.T., M.T., M.T., 2006, 2006 Mekanika ,Mekanika Teknik III, Yoyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta.
