Makalah Momen Inersia

MAKALAH MOMEN INERSIA

A. Latar belakang

Dalam gerak lurus, massa berpengaruh terhadap gerakan benda. Massa bisa diartikan sebagai kemampuan suatu benda untuk mempertahankan kecepatan geraknya. Apabila benda sudah bergerak lurus dengan kecepatan tertentu, benda sulit dihentikan jika massa benda itu  besar. Sebuah truk gandeng yang sedang bergerak lebih sulit dihentikan dibandingkan dengan sebuah taxi. Sebaliknya jika benda sedang diam (kecepatan = 0), benda tersebut juga sulit digerakan jika massanya besar. Misalnya jika kita menendang bola tenis meja dan bola sepak dengan gaya yang sama, maka tentu saja bola sepak akan bergerak lebih la mbat. Dalam gerak rotasi, “massa” benda tegar dikenal dengan julukan Momen Inersia atau MI. Momen Inersia dalam Gerak Rotasi mirip dengan massa dalam gerak lurus . Kalau massa dalam gerak lurus menyatakan ukuran kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatan linear (kecepatan linear = kecepatan gerak benda pada lintasan lurus), maka Momen Inersia dalam gerak rotasi menyatakan ukuran kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatan sudut (kecepatan sudut = kecepatan gerak benda ketika melakukan gerak rotasi. Disebut sudut karena dalam gerak rotasi, benda bergerak mengitari sudut). Makin besar Momen inersia suatu benda, semakin sulit membuat benda itu berputar alias berotasi. sebaliknya,  benda yang berputar juga sulit dihentikan jika momen momen inersianya besar.

B. Tujuan penulisan

Makalah ini dimaksudkan untuk dapat membantu meningkatkan pemahaman mengenai konsep Momen Inersia sehingga memungkinkan kita untuk menyelesaikan soal-soal yang  berhubungan dengan Momen Inersia.

A. Momen Gaya Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah poros jungkat jungkit. Pada katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan dihubungkan dengan beban. Momen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah

garis kerja terhadap titik tumpu. Momen gaya sering disebut dengan momen putar atau torsi, diberi lambang  (baca: tau).

 = F . d Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule. Momen gaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarum jam disebut momen gaya positif. Sedangkan yang menyebabkan putaran benda berlawanan arah putaran jarum  jam disebut momen gaya negatif. Titik 0 sebagai titik poros atau titik acuan. Momen gaya oleh F1 adalah 1 = + F1 . d1 Momen gaya oleh F2 adalah 2 = –   = –  F  F2 . d2 Pada sistem keseimbangan rotasi benda berlaku resultan momen gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan: ∑  = 0 Pada permainan jungkat-jungkit dapat diterapkan resultan momen gaya = nol. ∑  = 0 - F2 . d2 + F1 . d1 = 0 F1 . d1 = F2 . d2 Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan: ∑F=0 Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banyak kesamaan-kesamaan besaran yang dapat dibandingkan simbol besarannya.

Perbandingan dinamika translasi dan rotasi

Translasi

Rotasi

Momentum linier

 p = mv

Momentum sudut*

L = I

Gaya

F = dp/dt

Torsi

 = dL/dt

Benda massa Konstan

F= m(dv/dt)

Benda momen inersia konstan*

 = I (d/dt)

F =  x p

Torsi tegak lurus momentum

 =   L

Gaya tegak lurus Terhadap momentum

sudut Energi kinetik

Ek  = ½ mv2

Energi kinetik

Ek  = ½ I2

Daya

P=F.v

Daya

P =  . 

Analogi antara besaran translasi dan besaran rotasi

Konsep

Translasi

Rotasi

Catatan

Perubahan sudut

s



s = r.

Kecepatan

v = ds/dt

 = d/dt

v = r.

Percepatan

a = dv/dt

 = d/dt

a = r.

Gaya resultan, momen

F



 = F.r

Keseimbangan

F=0

 = 0

v = v0 + at

 = 0 + t

s = v0t = ½ at2

 = 0t + ½t2

v2 = + 2as

2 = + 2

Massa, momen kelembaman

m

I

Hukum kedua  Newton

F = ma

 = I

Usaha

W =  F ds

W =   d

Daya

P = F.v

P=I

Energi potensial

E p = mgy

Energi kinetik

Ek  = ½ mv

Ek  = ½ I2

Impuls

 F dt

  dt

Momentum

P = mv

L = I

Percepatan konstan

I = mir i2

Momen Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan  berlawanan arah. Kopel yang bekerja pada sebuah benda akan menghasilkan momen kopel yang mengakibatkan benda berotasi. Momen kopel disimbolkan M. Jika pada benda bekerja  beberapa kopel maka resultan momen kopel total benda benda tersebut adalah M = M1 + M2 + M3 + … + Mn Jika terdapat beberapa gaya yang bekerja pada bidang XY, maka setiap gaya tersebut dapat diuraikan atas komponen-komponennya pada sumbu-X dan sumbu-Y. Misalkan, komponen-komponen gaya pada sumbu-X adalah

F , F , F ,…,F , yang jaraknya masing-masing terhadap 1x 2x 3x nx

sumbu-X adalah y1, y2, y3,…,yn . Komponen gaya pada sumbu-Y adalah F1 y , F 2y , F 3y , …,Fny , yang  jaraknya masing-masing terhadap sumbu-Y adalah x1, x2, x3,…,xn . Semua komponen gaya  pada sumbu-X dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F x yang jaraknya yo dari sumbu-X, demikian juga semua komponen gaya pada sumbu-Y dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F y yang jaraknya x o dari sumbu-Y.

B. Momen Inersia Benda Tegar

Benda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar. Dalam dinamika, bila suatu benda tegar berotasi, maka semua partikel di dalam benda tegar tersebut memiliki percepatan sudut  yang sama. Momen gaya atau gaya resultan gerak rotasi  didefinisikan sebagai berikut.

”Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya  putar (torque, baca torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen inersia  benda itu terhadap sumbu dengan dengan percepatan sudut”. Dirumuskan sebagai berikut. =  Fi R i Sin i atau  = (  mi R 2 i ) .  mi R i2 disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu  penjumlahan hasil kali massa mas sa tiap partikel dalam suatu s uatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya dari sumbu. Dirumuskan: I =  mi . R i2 Definisi lain dari momen inersia adalah perbandingan gaya resultan (momen) terhadap percepatan sudut. Dirumuskan: I=

maka  = I . 

 = I Karena  = F . R dan  = I .  maka  F . R = I .  Percepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi roda. a =  . R

 =  persamaan menjadi :

 F . R = I . Momen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak. Untuk menghitungnya harus diperhatikan bentuk geometri dari benda te gar homogen. Tabel berikut menunjukkan momen inersia beberapa benda homogen. Momen inersia berbagai benda yang umum dikenal I = ½ M (R 12 + R 22) I = 1/3 MR 2 I = MR 2 I = 2/5 MR 2 I = 2/3 MR 2

Contoh: 1.

Berapa besar momen gaya harus dikerjakan pada sistem untuk memberikan suatu percepatan

 terhadap poros ini ( = 4 )? 2. Ulangi pertanyaan (a) dan (b) untuk poros AA 1! Penyelesaian:

1. I = Σ mi R i2 = m1 R 12 + m2 R 22 + m3 R 32 + m4 R 42 = 3 . 22 + 2 . 22 + 1 . 22 + 2 . 2 2 = 12 + 8 + 4 + 8 = 32 kg m 2 1. τ = I .  = 32 . 4 = 128 N.m 2. I = m2 R 12 + m2 R 22 + m2 R 22 + m3 R 32 + m4R 42 Daftar  momen  momen inersia dari beberapa benda beberapa benda tegar yang digunakan dalam perhitungan. Benda

Poros

Batang silinder 

Pusat

Gambar

Momen inersia

Batang silinder

Ujung

Silinder  berongga

Melalui sumbu

Silinder pejal

Melalui sumbu

Silinder pejal

Melintang sumbu

Bola pejal Bola  pejal

Melalui diameter 

Bola pejal

Melalui salahsatu garis singgung

Bola berongga

Melalui diameter

2

 = mR  I  =

C. Momentum Sudut Gerak Rotasi Benda Tegar Dalam dinamika, bila suatu benda berotasi terhadap sumbu inersia utamanya, maka momentum sudut total L sejajar dengan kecepatan sudut , yang selalu searah sumbu rotasi. Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut . Sehingga dapat dirumuskan : L=I.



Bagaimana persamaan tersebut diperoleh? Perhatikan gambar berikut. Momentum sudut terhadap titik 0 dari sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dengan kecepatan V (memiliki momentum P = mv) didefinisikan dengan perkalian vektor, L = R  P atau L = R  mV L = mR  V Jadi momentum sudut adalah suatu vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh R dan v. Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai pusat lingkaran, maka vektor R dan v saling tegak lurus. V =  R Sehingga L = m R v L = m R R L = m R 2  Arah L dam  adalah sama, maka: L = m R 2  atau L = I  karena  = maka : L = m R 2 L=I Momentum sudut sebuah partikel, relatif terhadap titik tertentu adalah besaran vektor, dan secara vektor ditulis: L = R  P = m (R  v) Bila diturunkan, menjadi: karena  = F  R maka  = Apabila suatu sistem mula-mula mempunyai memontum sudut total L, dan sistem mempunyai momentum sudut total akhir L’, setelah beberapa waktu, maka berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Perhatikan seorang penari balet yang menari sambil berputar dalam dua keadaan yang berbeda. Pada keadaan pertama, penari merentangkan tangan mengalami putaran yang lambat, sedangkan pada keadaan kedua, penari bersedekap tangan roknya berkibar-kibar dengan putaran yang cepat. Momentum sudut total awal = momentul sudut total akhir L = L’ L1 + L2 = L1’ + L2’ Hukum Kekekalan momentum rotasi sebagai berikut.

I1 1 + I2 2 = I1’ 1’ + I2’ 2’

D. Energi Kinetik Rotasi Misalkan sebuah sistem terdiri atas dua partikel yang massanya m1 dan m 2 dan rotasi  bergerak dengan kecepatan linier v 1 dan v2, maka energi kinetik partikel ke 1 adalah ½ m 1v12. Oleh karena itu, energi kinetik sistem dua partikel itu adalah (energi kinetik partikel ke 2 adalah ½ m2v22 ) : EK = ½ m1 v12 + ½ m2v22 Dalam sistem benda tegar energi kinetiknya: EK =  ½ mi vi2 Benda tegar yang berotasi terhadap suatu sumbu dengan kecepatan sudut , kecepatan tiap  partikel adalah vi =  . R i , di mana R i adalah jarak partikel ke sumbu rotasi.  jadi EK =  ½ mivi2 =  ½ mi R i2 2 = ½ ( mi R i2) 2 EK = ½ I . 2 karena L = I .  maka EK = ½ L .  atau EK = ½ Masalah umum di mana benda tegar berotasi terhadap sebuah sumbu yang melalui  pusat massanya dan pada saat yang sama bergerak translasi relatif terhadap seorang  pengamat. Karena itu, energi kinetik total benda dapat dituliskan dituliskan sebagai berikut. 2 2 EK = ½ mv  + ½ I .  Dalam hal ini hukum kekekalan energi total atau energi mekanik adalah: E = EK  + EP = konstan ½ mv2 + ½ I 2 + mgh = konstan

E. Menggelinding Menggelinding adalah gabungan dari gerak translasi (titik pusat massa) dan gerak rotasi (penampang bentuk lingkaran). F F ff Penyelesaian kita tinjau dari masing-masing gerakan itu. 1. Bila gaya F berada tepat di sumbu: - gerak translasi berlaku : F –  F  –  f  f = m . a - gerak rotasi berlaku : f . R = I .  di mana (  = ) 1. Bila gaya F berada di titik singgung : - gerak translasi berlaku : F + f = m . a - gerak rotasi berlaku : (F –  (F  –  f)  f) . R = I .  ( = )

F. Katrol

1. Sumbu dianggap licin tanpa gesekan Massa = m Jari-jari = R Momen kelembaman = I Gerak translasi beban : F=m.a + T1 –  m  m1g = m1a ………………….(i) + m2g –  T  T2 = m2a ………………….(ii) Gerak rotasi katrol :  = I .  (T2 –  T  T1) R = I ……………….(iii) 1. Pada puncak bidang miring Gerak translasi beban : F=m.a + T1 –  m  m1g sin  –  f  f = m1a …….(i) + m2g –  T  T2 = m2a …………………..(ii) Gerak rotasi katrol :  = I .  (T2 –  T  T1) R = I ……………………(iii) 1. Satu ujung talinya terikat pada sumbu katrol Gerak translasi beban : F=m.a mg –  mg – T T = m . a ……………..(i) Gerak rotasi katrol :  = I .  T . R = I . ……………..(ii) G. Kesetimbangan Benda Tegar

Kesetimbangan adalah suatu kondisi benda dengan resultan gaya dan resultan momen gaya sama dengan nol. Kesetimbangan biasa terjadi pada : 1.

Benda yang diam (statik), contoh : semua bangunan gedung, jembatan, pelabuhan, dan lainlain.

2. Benda yang bergerak lurus beraturan (dinamik), contoh : gerak met eor di ruang hampa, gerak kereta api di luar kota, elektron mengelilingi inti a tom, dan lain-lain. Benda tegar adalah benda yang tidak berubah bentuknya karena pengaruh gaya dari luar. Kesetimbangan benda tegar dibedakan menjadi dua: 1. Kesetimbangan partikel 2. Kesetimbangan benda

1. Kesetimbangan Partikel Partikel adalah benda yang ukurannya dapat diabaikan dan hanya mengalami gerak translasi (tidak mengalami gerak rotasi). Syarat kesetimbangan partikel F = 0

Fx = 0 (sumbu X)

Fy = 0 (sumbu Y)

2. Kesetimbangan Benda

Syarat kesetimbangan benda: Fx = 0, Fy = 0,

=0

Momen gaya merupakan besaran vektor yang nilainya sama dengan hasil kali antara gaya dengan jarak dari titik poros arah tegak lurus garis kerja gaya. Dirumuskan:

=F.d

Putaran momen gaya yang searah dengan putaran jarum jam disebut momen gaya  positif, sedang yang berlawanan putaran putaran jarum jam disebut momen gaya negatif. Momen kopel adalah momen gaya yang diakibatkan pasangan dua gaya yang sama  besarnya dan arahnya berlawanan tetapi tidak segaris kerja. Benda yang dikenai momen kopel akan bergerak rotasi terus menerus.

3. Titik Berat

Titik berat adalah titik pusat atau titik tangkap gaya berat dari suatu benda atau sistem  benda. Titik berat atau pusat berat benda berfungsi sebagai titik yang terhadapnya gaya-gaya gaya- gaya  berat bekerja pada semua partikel benda itu sehingga akan menghasilkan resultan momen gaya nol. Titik berat merupakan titik di mana gaya berat bekerja secara efektif. Titik berat menurut bentuk benda dibedakan menjadi 3 antara lain: 1. Benda berbentuk garis/kurva, contoh : kabel, lidi, benang, sedotan, dan lain-lain. 2.

Benda berbentuk bidang/luasan, contoh : kertas, karton, triplek, kaca, penggaris, dan lainlain.

3. Benda berbentuk bangunan/ruang, contoh : kubus, balok, bola, kerucut, tabung, dan lain-lain

Tabel titik berat bentuk teratur linier

 Nama benda

1. Garis lurus

Gambar benda

letak titik  berat

keterangan

x0 = l

z = titik tengah

garis 2. Busur lingkaran

R = jari-jari lingkaran

3. Busur setengah lingkaran

Tabel titik berat benda teratur berbentuk berbentuk luas bidang homogen

 Nama benda

Gambar benda

Letak titik  berat

Keterangan

1. Bidang segitiga

y0 = t

t = tinggi z = perpotongan garis-garis berat AD & CF

2.Jajaran genjang, Belah ketupat, Bujur sangkar Persegi  panjang

y0 = t

t = tinggi z = perpotongan diagonal AC dan BD

3. Bidang  juring lingkaran

R = jari-jari lingkaran

4.Bidang setengah lingkaran

R = jari-jari lingkaran

Tabel titik berat benda teratur berbentuk bidang ruang homogen

 Nama benda

Gambar benda

Letak titik  berat

Keterangan

1. Bidang kulit  prisma

z pada titik tengah garis z1z2 y0 = l

z1 = titik berat  bidang alas z2 = titik berat  bidang atas l = panjang sisi tegak.

2. Bidang kulit

y0 = t

t = tinggi

silinder. ( tanpa tutup )

A = 2  R.t

silinder R = jari-jari lingkaran alas A = luas kulit silinder

3. Bidang Kulit limas

T’z = T’ T

T’T = garis tinggi ruang

4. Bidang kulit kerucut

zT’ = T T’

T T’ = tinggi kerucut T’ = pusat lingkaran alas

5. Bidang kulit setengah bola.

y0 = R

R = jari-jari

Tabel titik berat benda teratur berbentuk berbentuk ruang, pejal homogen

 Nama benda

Gambar benda

Letak titik  berat

Keterangan

1. Prisma  beraturan.

z pada titik tengah garis z1z2 y0 = l V = luas alas kali tinggi

z1 = titik berat  bidang alas z2 = titik berat  bidang atas l = panjang sisi tegak V = volume  prisma

2. Silinder Pejal

y0 = t V =  R 2 t

t = tinggi silinder R = jari-jari lingkaran alas

3. Limas pejal  beraturan

y0 = T T’ =t V = luas alas x tinggi 3

T T’ = t = tinggi limas beraturan

4. Kerucut  pejal

y0 = t V =  R 2 t

t = tinggi kerucut R = jari-jari lingkaran alas

5. Setengah  bola  pejal

y0 = R

R = jari-jari  bola.

4.

Macam-macam Kesetimbangan

a. Kesetimbangan Kesetimbangan labil/goyah Adalah keseimbangan pada suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan/dialami benda dihentikan, maka benda tidak kembali ke posisi keseimbangan semula, tetapi bahkan memperbesar gangguan tersebut. Contoh: Keseimbangan pada suatu benda dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki  benda jika gangguan yang dialaminya menurunkan titik beratnya (energi potensialnya).  b. Kesetimbangan Kesetimbangan stabil/mantap Adalah keseimbangan suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan pada  benda dihentikan, benda akan kembali kembali ke posisi keseimbangan semula. Contoh: Keseimbangan stabil dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda  jika gangguan yang dialaminya menaikkan titik beratnya (energi potensialnya).

c.

Kesetimbangan Kesetimbangan indeferen/netral indeferen/netral

Adalah keseimbangan pada suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan tidak mengubah posisi benda. Contoh : Keseimbangan indiferen dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki  benda dimana jika gangguan yang dialaminya tidak menyebabkan perubahan titik beratnya (energi potensialnya).