MAKALAH MOMEN INERSIA
A. Latar belakang
Dalam gerak lurus, massa berpengaruh terhadap gerakan benda. Massa bisa diartikan sebagai kemampuan suatu benda untuk mempertahankan kecepatan geraknya. Apabila benda sudah bergerak lurus dengan kecepatan tertentu, benda sulit dihentikan jika massa benda itu besar. Sebuah Sebuah truk truk ganden gandeng g yang yang sedang sedang berger bergerak ak lebih lebih sulit sulit dihent dihentika ikan n diband dibanding ingkan kan dengan dengan sebuah taxi. Sebaliknya jika benda sedang diam (kecepatan = 0), benda tersebut juga sulit digerakan jika massanya besar. Misalnya jika kita menendang bla tenis meja dan bla sepak dengan gaya yang sama, maka tentu saja bla sepak akan bergerak lebih lambat. Dalam gerak rtasi, !massa" benda tegar dikenal dikenal dengan julukan Mmen #nersia atau M#. Mmen #nersia dalam $erak %tasi mirip dengan massa dalam gerak lurus . &alau massa dalam gerak lurus menyatakan ukuran kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatan linear (kecepatan (kecepatan linear = kecepatan kecepatan gerak benda benda pada lintasan lurus), maka Mmen #nersia dalam gerak rtasi menyatakan ukuran kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatan sudut (kecepatan sudut = kecepatan gerak benda ketika melakukan gerak rtasi. Disebut sudut karena dalam gerak rtasi, benda bergerak mengitari sudut). Makin besar Mmen inersia suatu benda, semakin sulit membuat benda itu berputar alias bertasi. sebaliknya, benda yang berputar juga sulit dihentikan jika mmen mmen inersianya besar.
B. Tujuan penulisan
Makalah ini dimaksudkan untuk dapat membantu meningkatkan pemahaman mengenai knsep Mmen #nersia sehingga memungkinkan kita untuk menyelesaikan sal'sal yang berhubungan dengan Mmen Mmen #nersia.
A. Momen a!a Mmen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat'jungkit, dengan titik acuan adalah prs jungkat' jungkit. ada katrl yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan dihubungkan dengan beban. Mmen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah
garis kerja terhadap titik tumpu. Mmen gaya sering disebut dengan mmen putar atau trsi, diberi lambang τ (baca tau).
τ = * . d Satuan dari mmen gaya atau trsi ini adalah +.m yang setara dengan jule. Mmen gaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarum jam disebut mmen gaya psiti. Sedangkan yang menyebabkan putaran benda berla-anan arah putaran jarum jam disebut mmen gaya negati. itik 0 sebagai titik prs atau titik acuan. Mmen gaya leh * / adalah τ/ = */ . d/ Mmen gaya leh * 1 adalah τ1 = 2 *1 . d1 ada sistem keseimbangan rtasi benda berlaku resultan mmen gaya selalu bernilai nl, sehingga dirumuskan 3 τ = 0 ada permainan jungkat'jungkit dapat diterapkan resultan mmen gaya = nl. 3 τ = 0 ' *1 . d1 */ . d/ = 0 */ . d/ = *1 . d1 ada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nl, sehingga dirumuskan 3*=0 ada mekanika dinamika untuk translasi dan rtasi banyak kesamaan'kesamaan besaran yang dapat dibandingkan simbl besarannya.
"erban#ingan #inamika translasi #an rotasi
ranslasi
%tasi
Mmentum linier
p = m4
Mmentum sudut5
6 = #ω
$aya
* = dp7dt
rsi
τ = d67dt
8enda massa &nstan
*= m(d47dt)
8enda mmen inersia knstan5
τ = # (dω7dt)
$aya tegak lurus erhadap
* = ω x p
rsi tegak lurus mmentum
τ = Ω × 6
mmentum
sudut
9nergi kinetik
9k = : m4 1
9nergi kinetik
9k = : #ω1
Daya
=*.4
Daya
= τ . ω
Analogi antara besaran translasi #an besaran rotasi
&nsep
ranslasi
%tasi
;atatan
erubahan sudut
s
θ
s = r.θ
&ecepatan
4 = ds7dt
ω = dθ7dt
4 = r.ω
ercepatan
a = d47dt
α = dω7dt
a = r.α
$aya resultan, mmen
*
τ
τ = *.r
&eseimbangan
*=0
τ = 0
4 = 40 at
ω = ω0 αt
s = 40t = : at1
θ = ω0t :αt1
41 = 1as
ω1 = 1θα
Massa, mmen kelembaman
m
#
* = ma
τ = #α
saha
> = ∫ * ds
> = ∫ τ dθ
Daya
= *.4
= # ω
9nergi ptensial
9 p = mgy
9nergi kinetik
9k = : m4 1
9k = : #ω1
#mpuls
∫ * dt
τ ∫ dt
Mmentum
= m4
6 = #ω
ercepatan knstan
# = ∑mir i1
Mmen &pel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan berla-anan arah. &pel yang bekerja pada sebuah benda akan menghasilkan mmen kpel yang mengakibatkan benda bertasi. Mmen kpel disimblkan M. ?ika pada benda bekerja beberapa kpel maka resultan mmen kpel ttal benda tersebut adalah M = M/ M1 M@ Mn ?ika terdapat beberapa gaya yang bekerja pada bidang BC, maka setiap gaya tersebut dapat diuraikan atas kmpnen'kmpnennya pada sumbu'B dan sumbu'C. Misalkan, kmpnen'kmpnen gaya pada sumbu'B adalah
* , * , * ,,* , yang jaraknya masing'masing terhadap /x 1x @x nx
sumbu'B adalah y/, y1, y@,,yn . &mpnen gaya pada sumbu'C adalah
*
/ y
, *
1y
, *
@y
, ,* , ny
yang
jaraknya masing'masing terhadap sumbu'C adalah x/, x1, x@,,xn . Semua kmpnen gaya pada sumbu'B dapat digantikan leh sebuah gaya resultan * x yang jaraknya y dari sumbu'B, demikian juga semua kmpnen gaya pada sumbu'C dapat digantikan leh sebuah gaya resultan * y yang jaraknya x dari sumbu'C.
B. Momen Inersia Ben#a Tegar
8enda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar. Dalam dinamika, bila suatu benda tegar bertasi, maka semua partikel di dalam benda tegar tersebut memiliki percepatan sudut α yang sama. Mmen gaya atau gaya resultan gerak rtasi τ dideinisikan sebagai berikut.
"Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya putar (true, baca trsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali mmen inersia benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut". Dirumuskan sebagai berikut. =τ Σ *i % i Sin θi atau τ = ( Σ mi % 1 i ) . α mΣi % i1 disebut mmen inersia atau mmen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya dari sumbu. Dirumuskan # = Σ mi . % i1 Deinisi lain dari mmen inersia adalah perbandingan gaya resultan (mmen) terhadap percepatan sudut. Dirumuskan
#= maka τ = # . α
τ = # &arena τ = Σ* . % dan τ = # . α maka Σ * . % = # . α ercepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi rda. a = α . %
α = persamaan menjadi
Σ * . % = # . Mmen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak. ntuk menghitungnya harus diperhatikan bentuk gemetri dari benda tegar hmgen. abel berikut menunjukkan mmen inersia beberapa benda hmgen. Momen inersia berbagai ben#a !ang umum #ikenal # = : M (% /1 % 11) # = /7@ M% 1 # = M% 1 # = 17E M% 1 # = 17@ M% 1
$onto%& /.
8erapa besar mmen gaya harus dikerjakan pada sistem untuk memberikan suatu percepatan
∝ terhadap prs ini ( ∝ = F )G 1. langi pertanyaan (a) dan (b) untuk prs AA/H "en!elesaian&
/. # = I mi % i1 = m/ % /1 m1 % 11 m@ % @1 mF % F1 = @ . 1 1 1 . 11 / . 1 1 1 . 11 = /1 J F J = @1 kg m 1 /. K = # . ∝ = @1 . F = /1J +.m 1. # = m1 % /1 m1 % 11 m1 % 11 m@ % @1 mF% F1 Datar mmen inersia dari beberapa benda tegar yang digunakan dalam perhitungan. Ben#a
"oros
ambar
Momen inersia
8atang silinder
usat
8atang silinder
jung
Silinder berngga
Melalui sumbu
Silinder pejal
Melalui sumbu
Silinder pejal
Melintang sumbu
8la pejal
Melalui diameter
8la pejal
Melalui salahsatu garis singgung
8la berngga
Melalui diameter
1
I = mR
$. Momentum Su#ut erak Rotasi Ben#a Tegar Dalam dinamika, bila suatu benda bertasi terhadap sumbu inersia utamanya, maka mmentum sudut ttal 6 sejajar dengan kecepatan sudut ω, yang selalu searah sumbu rtasi. Mmentum sudut (6) adalah hasil kali mmen kelembaman # dan kecepatan sudut ω. Sehingga dapat dirumuskan 6=#.
ω
8agaimana persamaan tersebut diperlehG erhatikan gambar berikut. Mmentum sudut terhadap titik 0 dari sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dengan kecepatan L (memiliki mmentum = m4) dideinisikan dengan perkalian 4ektr, 6 = % × atau 6 = % × mL 6 = m% × L ?adi mmentum sudut adalah suatu 4ektr yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk leh % dan 4. Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai pusat lingkaran, maka 4ektr % dan 4 saling tegak lurus. L = ω % Sehingga 6 = m % 4 6 = m % ω% 6 = m % 1 ω Arah 6 dam ω adalah sama, maka 6 = m % 1 ω atau 6 = # ω karena ω = maka 6 = m % 1 6=# Mmentum sudut sebuah partikel, relati terhadap titik tertentu adalah besaran 4ektr, dan secara 4ektr ditulis 6 = % × = m (% × 4) 8ila diturunkan, menjadi karena τ = * × % maka τ = Apabila suatu sistem mula'mula mempunyai memntum sudut ttal Σ6, dan sistem mempunyai mmentum sudut ttal akhir Σ6, setelah beberapa -aktu, maka berlaku hukum kekekalan mmentum sudut. erhatikan serang penari balet yang menari sambil berputar dalam dua keadaan yang berbeda. ada keadaan pertama, penari merentangkan tangan mengalami putaran yang lambat, sedangkan pada keadaan kedua, penari bersedekap tangan
rknya berkibar'kibar dengan putaran yang cepat. Mmentum sudut ttal a-al = mmentul sudut ttal akhir Σ6 = Σ6 6/ 61 = 6/ 61
'. Energi Kinetik Rotasi Misalkan sebuah sistem terdiri atas dua partikel yang massanya m / dan m1 dan rtasi bergerak dengan kecepatan linier 4/ dan 4 1, maka energi kinetik partikel ke / adalah : m /4/1. Nleh karena itu, energi kinetik sistem dua partikel itu adalah (energi kinetik partikel ke 1 adalah : m1411 ) 9& = : m/ 4/1 : m1411 Dalam sistem benda tegar energi kinetiknya 9& = Σ : mi 4i1 8enda tegar yang bertasi terhadap suatu sumbu dengan kecepatan sudut ω, kecepatan tiap partikel adalah 4i = ω . % i , di mana % i adalah jarak partikel ke sumbu rtasi. jadi 9& = Σ : mi4i1 = Σ : mi % i1 ω1 = : (Σ mi % i1) ω1 9& = : # . ω1 karena 6 = # . ω maka 9& = : 6 . ω atau 9& = : Masalah umum di mana benda tegar bertasi terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat massanya dan pada saat yang sama bergerak translasi relati terhadap serang pengamat. &arena itu, energi kinetik ttal benda dapat dituliskan sebagai berikut. 9& = : m41 : # . ω1 Dalam hal ini hukum kekekalan energi ttal atau energi mekanik adalah 9 = 9& 9 = knstan : m41 : # ω1 mgh = knstan
E. Menggelin#ing Menggelinding adalah gabungan dari gerak translasi (titik pusat massa) dan gerak rtasi (penampang bentuk lingkaran). * * enyelesaian kita tinjau dari masing'masing gerakan itu. /. 8ila gaya * berada tepat di sumbu ' gerak translasi berlaku * 2 = m . a ' gerak rtasi berlaku . % = # . α di mana (α = )
/. 8ila gaya * berada di titik singgung ' gerak translasi berlaku * = m . a ' gerak rtasi berlaku (* 2 ) . % = # . α (α = )
(. Katrol /. Sumbu dianggap licin tanpa gesekan Massa = m ?ari'jari = % Mmen kelembaman = # $erak translasi beban *=m.a / 2 m/g = m/a .(i) m1g 2 1 = m1a .(ii) $erak rtasi katrl τ = # . α (1 2 /) % = # .(iii) /. ada puncak bidang miring $erak translasi beban *=m.a / 2 m/g sin θ 2 = m/a .(i) m1g 2 1 = m1a ..(ii) $erak rtasi katrl τ = # . α (1 2 /) % = # (iii) /. Satu ujung talinya terikat pada sumbu katrl $erak translasi beban *=m.a mg 2 = m . a ..(i) $erak rtasi katrl τ = # . α . % = # . ..(ii) . Kesetimbangan Ben#a Tegar
&esetimbangan adalah suatu kndisi benda dengan resultan gaya dan resultan mmen gaya sama dengan nl. &esetimbangan biasa terjadi pada /.
8enda yang diam (statik), cnth semua bangunan gedung, jembatan, pelabuhan, dan lain' lain.
1. 8enda yang bergerak lurus beraturan (dinamik), cnth gerak meter di ruang hampa, gerak kereta api di luar kta, elektrn mengelilingi inti atm, dan lain'lain. 8enda tegar adalah benda yang tidak berubah bentuknya karena pengaruh gaya dari luar. &esetimbangan benda tegar dibedakan menjadi dua
/. &esetimbangan partikel 1. &esetimbangan benda
/. Kesetimbangan "artikel artikel adalah benda yang ukurannya dapat diabaikan dan hanya mengalami gerak translasi (tidak mengalami gerak rtasi). Syarat kesetimbangan partikel ( ) *
(+ ) * ,sumbu -
(! ) * ,sumbu /
0. Kesetimbangan Ben#a
Syarat kesetimbangan benda (+ ) *1 (! ) *1
)*
Mmen gaya merupakan besaran 4ektr yang nilainya sama dengan hasil kali antara gaya dengan jarak dari titik prs arah tegak lurus garis kerja gaya. Dirumuskan
)(.#
utaran mmen gaya yang searah dengan putaran jarum jam disebut mmen gaya psiti, sedang yang berla-anan putaran jarum jam disebut mmen gaya negati. Mmen kpel adalah mmen gaya yang diakibatkan pasangan dua gaya yang sama besarnya dan arahnya berla-anan tetapi tidak segaris kerja. 8enda yang dikenai mmen kpel akan bergerak rtasi terus menerus.
2. Titik Berat
itik berat adalah titik pusat atau titik tangkap gaya berat dari suatu benda atau sistem benda. itik berat atau pusat berat benda berungsi sebagai titik yang terhadapnya gaya'gaya berat bekerja pada semua partikel benda itu sehingga akan menghasilkan resultan mmen gaya nl. itik berat merupakan titik di mana gaya berat bekerja secara eekti. itik berat menurut bentuk benda dibedakan menjadi @ anta ra lain /. 8enda berbentuk garis7kur4a, cnth kabel, lidi, benang, sedtan, dan lain'lain. 1.
8enda berbentuk bidang7luasan, cnth kertas, kartn, triplek, kaca, penggaris, dan lain' lain.
@. 8enda berbentuk bangunan7ruang, cnth kubus, balk, bla, kerucut, tabung, dan lain'lain
Tabel titik berat bentuk teratur linier
+ama benda
$ambar benda
letak titik berat
keterangan
/. $aris lurus
x0 = l
O = titik tengah garis
1. 8usur lingkaran
% = jari'jari lingkaran
@. 8usur setengah lingkaran
Tabel titik berat ben#a teratur berbentuk luas bi#ang %omogen
+ama benda
$ambar benda
6etak titik berat
&eterangan
/. 8idang segitiga
y0 = t
t = tinggi O = perptngan garis'garis berat AD P ;*
1.?ajaran genjang, 8elah ketupat, 8ujur sangkar ersegi panjang
y0 = t
t = tinggi O = perptngan diagnal A; dan 8D
@. 8idang juring lingkaran
% = jari'jari lingkaran
F.8idang setengah lingkaran
% = jari'jari lingkaran
Tabel titik berat ben#a teratur berbentuk bi#ang ruang %omogen
+ama benda
/. 8idang kulit
$ambar benda
6etak titik berat
&eterangan
O pada titik
O/ = titik berat
prisma
tengah garis O/O1 y0 = l
bidang alas O1 = titik berat bidang atas l = panjang sisi tegak.
1. 8idang kulit silinder. ( tanpa tutup )
y0 = t A = 1 π %.t
t = tinggi silinder % = jari'jari lingkaran alas A = luas kulit silinder
@. 8idang &ulit limas
O =
= garis tinggi ruang
F. 8idang kulit kerucut
O =
= tinggi kerucut = pusat lingkaran alas
E. 8idang kulit setengah bla.
y0 = %
% = jari'jari
Tabel titik berat ben#a teratur berbentuk ruang1 pejal %omogen
+ama benda
$ambar benda
6etak titik berat
&eterangan
/. risma beraturan.
O pada titik tengah garis O/O1 y0 = l L = luas alas kali tinggi
O/ = titik berat bidang alas O1 = titik berat bidang atas l = panjang sisi tegak L = 4lume prisma
1. Silinder ejal
y0 = t L = π % 1 t
t = tinggi silinder % = jari'jari lingkaran alas
@. 6imas pejal beraturan
y0 = =t L = luas alas x tinggi @
= t = tinggi limas beraturan
3.
F. &erucut pejal
y0 = t L = π % 1 t
t = tinggi kerucut % = jari'jari lingkaran alas
E. Setengah bla pejal
y0 = %
% = jari'jari bla.
Ma4am5ma4am Kesetimbangan
a. Kesetimbangan labil6go!a% Adalah keseimbangan pada suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan7dialami benda dihentikan, maka benda tidak kembali ke psisi keseimbangan semula, tetapi bahkan memperbesar gangguan tersebut. ;nth &eseimbangan pada suatu benda dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda jika gangguan yang dialaminya menurunkan titik beratnya (energi ptensialnya). b. Kesetimbangan stabil6mantap Adalah keseimbangan suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan pada benda dihentikan, benda akan kembali ke psisi keseimbangan semula. ;nth &eseimbangan stabil dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda jika gangguan yang dialaminya menaikkan titik beratnya (energi ptensialnya).
c.
Kesetimbangan in#e7eren6netral
Adalah keseimbangan pada suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan tidak mengubah psisi benda. ;nth &eseimbangan indieren dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda dimana jika gangguan yang dialaminya tidak menyebabkan perubahan titik beratnya (energi ptensialnya).
