BAB II MOMEN INERSIA BIDANG DATAR
1. Pendahuluan Momen Momen inersi inersiaa dapat dapat disebut disebut juga juga Momen Momen Kedua Kedua atau atau Momen Momen Kelemb Kelembama aman. n. Data Data mome momen n iner inersi siaa suat suatu u pena penamp mpang ang dari dari komp kompone onen n stru strukt ktur ur akan akan diper diperlu luka kan n pada pada perhitungan-perhitungan tegangan lentur, tegangan geser, g eser, tegangan torsi, defleksi balok, kekakuan balok/kolom dan sebagainya. Luasan A pada gambar 2.. merupakan bidang datar datar yang yang menggam menggambark barkan an penamp penampang ang dari dari suatu suatu kompone komponen n strukt struktur ur,, dengan dengan dA merupakan suatu luasan/elemen ke!il.
y
A " r
dA y "
# $ambar 2.. %otongan %enampang &e!ara metematis momen inersia ditentukan dengan p ersamaan-persamaan berikut' Momen (nersia terhadap sumbu "' (" ) ∫ y2 dA dA
*2.+
Momen (nersia terhadap sumbu y' (y ) ∫ "2 dA dA
*2.2+
Momen (nersia kutub' ( p ) ∫ r 2 dA dA
*2.+
Momen (nersia %erkalian *%rodu!t of (nertia+' ("y ) ∫ "y dA
*2.+
Momen inersia pada %ersamaan 2., %ersamaan 2.2, dan %ersamaan 2. selalu bertanda positip, sedangkan momen inersia perkalian pada %ersamaan 2. dapat bertanda negatip.
Momen inersia pada keempat persamaan diatas penggunaannya terbatas pada momen inersia bidang tunggal, sedangkan se!ara umum banyak bidang/penampang merupakan gabungan dari beberapa penampang tunggal. Misalnya penampang yang berbentuk L adalah gabungan dari dua penampang segi empat. ntuk menyelesaikan momen inersia pada penampang gabungan diperlukan pengembangan penge mbangan dari %ersamaan 2., 2.2, 2., 2 ., dan 2.. yang disebut d isebut dengan 0eori &umbu &ejajar. 2. Teori Teori Sumbu Sejajar
yo
Y
dA "1
" r
y "o
A
#
r1
# ) titik berat luasan A y1
$ambar 2.2. %enampang dengan &umbu 0ransformasi Momen inersia terhadap sumbu "' 2 (" ) ∫ ( y + y 3) dA (" ) (" )
∫ y ∫ y
2 2
∫ 2 yy 3 dA + ∫ y 3 dA dA + 2 y 3 ∫ ydA + y 3 ∫ dA dA +
2
2
&umbu "o melalui titik berat bidang A, maka
∫ ydA = , sehingga'
(" ) ("o 4 Ay12
*2.5+
Momen inersia terhadap sumbu y' 2 (y ) ∫ ( x + x3) dA (y ) (y )
∫ x ∫ x
2 2
∫ 2 xx3 dA + ∫ x3 dA dA + 2 x3 ∫ xdA + x 3 ∫ dA dA +
2
2
&umbu yo melalui titik berat bidang A, maka (y ) (yo 4 A"12
∫ xdA = , sehingga' *2.6+
Momen inersia polar'
( p ) ( p ) ( p )
∫ ( x + x3) ∫ [ x ∫ ( x
2 2
2
+ ( y + y 3) 2 .dA
+ 2 xx3+ x 3 2 + y 2 + 2 yy 3+ y 3 2 ].dA + y 2 ) dA + ( x3 2 + y 3 2 ) ∫ dA + 2 x3 ∫ xdA + 2 y 3 ∫ ydA
&umbu "o dan sumbu yo melalui titik berat luasan A, maka &ehingga' ( p ) ( po 4 Ar12
∫ xdA ) dan ∫ ydA ) *2.7+
Momen inersia perkalian' ("y ) ("y )
∫ ( x + x3) ( y + y 3) dA ∫ xydA + y 3 ∫ xdA + x3 ∫ ydA + x3 y 3 ∫ dA
&umbu "o dan sumbu yo melalui titik berat luasan A, maka &ehingga' ("y ) ("yo 4 A"1y1
∫ xdA ) dan ∫ ydA ) *2.8+
. !on"oh#!on"oh 9ontoh 2. :itunglah momen inersia *(", (y, ( p, ("y + penampang segi empat dengan lebar b dan tinggi h terhadap sumbu " dan sumbu y yang melalui titik berat penampang
y
dy y h
"
b
2 %enyelesaian' dA ) bdy
(" )
∫
y2dA
2
h
∫
("o )
y2 bdy
− h 2
[
("o ) b ("o ) b ("o )
, , y ] − 2 h
,
2
. 8 h
2h
,
+
,
. 8 h
,
bh
Dengan !ara yang sama dapat dihitung (yo, dengan dA ) h d", sehingga dapat diperoleh (yo ) 2 b h Momen (nersia polar, (po )
∫ r
2
dA )
∫ ( x
2
+ y 2 ) dA = I y + I x )
2
*bh 4 bh+
Menghitung momen inersia perkalian ("y' y
dy h
y " b
("y )
∫ xydA h
("y )
∫
2
bybdy
h
("y )
∫
2
b 2 ydy
("y )
[
2b
2
2 y
2
]
h
("y ) ; b2h2 ntuk menghitung ("yo gunakan rumus 2.8. ("y ) ("yo 4 A"1y1 ; b2h2 ) ("yo 4 bh.
9ontoh 2.2 :itunglah momen inersia *(", (y, ( p, ("y + penampang segi tiga dengan alas b dan tinggi tinggi h terhadap sumbu " dan sumbu y yang melalui titik berat penampang y
dA
dy y h "
b1 b %enyelesaian' dA ) b1dy 2
b'
b1 )
2
h' * 2 h-y+
b1 ) b * 2 , h − y + dA =
h b * 2 h − y+ dy h ,
(" )
∫
2
y dA
2 h
("o )
∫ y
− h
2
b * 2 h − y+ dy h ,
2 h ,
∫ *
("o )
2
− h ,
("o )
[
2
,
2
("o )
,
("o )
(
6
("o )
(
8
("o )
,
2 , by − b y + dy h
b. , y , − b . - y h b. , . 8 27 h
,
−
]
2 h ,
− , h
b . .6 h h - 8
− −
2 ,
b. , . 27 h
2-,
bh − 6 ,2- bh ) − ( − 2 2-, bh − ,2- bh
2-,
, , bh − 5 ,2- bh )
,
6
,
,
,
,
−
b . . hh - 8
)
bh
Dengan !ara yang sama dapat dihitung (y, dengan dA ) h1 d", sehingga dapat diperoleh (yo ) 6 b h Momen (nersia polar, (po )
∫ r
2
dA )
∫ ( x
2
+ y 2 ) dA = I y + I x )
6
*bh 4 bh+
y
dA
h h1 " " b
d"
h1' h ) *b-"+ ' b h1 )
h*b − x+ b
5
∫ xydA
("y )
b
∫
("y ) x 2 h b *b − x+ h b *b − x+dx
b
∫
("y ) x
h2 2
b
h2
∫ 2b
("y )
2
b
2
*b − x + 2 dx
*b 2 x − 2bx 2
+ x + dx
b
∫ *
("y )
2
h x
2
−
2
h x
2
b
+
2
h x
2b 2
+ dx
2 2 2 h2 - b ("y ) - h x − h x + 2 x b 8b 2 2 2 2 2 2 ("y ) - b h − , b h + 8 b h ("y )
2-
b2h2
("y ) ("yo 4 A"1y1
2-
b 2 h 2 ) ("yo 4
("yo )
2
bh. , b. , h
− 72 b 2 h 2
Momen (nersia perkalian segitiga pada gambar diatas, ("yo )
− 72 b 2 h 2
9ontoh 2. :itunglah momen inersia *(", (y, ( p, ("y + penampang lingkaran dengan jari-jari jari-jari r terhadap sumbu " dan sumbu y yang melalui titik berat penampang y dρ
dA
ρ dθ θ
"
6 %enyelesaian' dA ) ρdθ dρ dρ (" )
∫ y
2
dA
r 2π
o
(" )
∫ ∫ ρ
2
sin 2θρ .d ρ .d θ
sin 2 θ .d ρ .d θ
r 2π
o
(" )
∫ ∫ ρ
r 2π
o
(" )
-
-
ρ
∫ sin
2
θ .d θ
6
2π
("o )
-
r -
∫ *
2
− 2 !os 2θ + d θ
2π
o
(" )
- - r [ 2 θ −
- sin 2θ ]
o
(" )
r *π − + − * − + -
-
("o ) ; πr Momen inersia penampang lingkaran terhadap sumbu yang melalui pusat lingkaran akan bernilai sama yaitu ; πr . &ehingga (yo ) ; πr ( po ) ("o 4 (yo ( po ) ; πr 4 ; πr ( po ) < πr Apabila sumbu " atau sumbu y merupakan sumbu simetri penampang maka ("y ) Dengan demikian untuk penampang lingkaran ("yo ) 9ontoh 2. :itunglah momen inersia *(", (y, ( p, ("y + penampang setengah lingkaran dengan jari-jari r terhadap sumbu " dan sumbu y yang melalui titik berat penampang y
dρ
dA
ρ dθ
θ " 7
%enyelesaian' Momen inersia penampang setengah lingkaran terhadap sumbu ", prinsipnya sama dengan momen inersia lingkaran penuh terhadap sumbu ". Kalau pada lingkaran penuh batas-batas sudutnya dari θ ) sampai θ ) 2π 2π, namun pada penampang setengah lingkaran batas-batas sudutnya dari θ ) sampai θ ) π.
(" )
∫ y
2
dA
r π
(" )
∫ ∫ ρ
2
sin 2θρ .d ρ .d θ
sin θ .d ρ .d θ
r π
(" )
∫ ∫ ρ
2
r π
(" )
∫ sin
-
ρ
-
2
θ .d θ
6
π
(" )
-
-
r
∫ *
2
− 2 !os 2θ +d θ
π
(" )
- - r [ 2 θ −
- sin 2θ ]
r * 2 π − + − * − + -
(" )
(" )
-
-
8 π
r
&elanjutnya dengan %ersamaan 2.5. dapat dihitung ("o sebagai berikut' (" ) ("o 4 Ay12 2
-r 8 π r ) (" 4 2 π r π 2 2 - r o (" ) 8 π r - 2 π r π -
("o )
o
-
8 π r
2
-
r - 8 − ("o ) π r
8r =π 8 =π
2
Momen inersia terhadap sumbu y' (y )
∫ x
2
dA
8 r π
o
(y )
∫ ∫ ρ
2
!os 2 θ . ρ .d ρ .d θ
!os 2 θ .d ρ .d θ
r π
o
(y )
∫ ∫ ρ
r π
(y
o
) - ρ
∫ !os
6
2
θ .d θ
π
o
(y )
-
-
r
∫ *
2
+ 2 !os 2θ +d θ
π
o
(y )
- - r [ 2 θ +
- sin 2θ ]
o
r ?* 2 π + + − * + +> -
(y )
(yo )
-
r -
8 π
( po ) ("o 4 (yo 8 4 =π 2 8 r - - − ( po ) π r =π 2 r - 8 − ( po ) π r
8
πr
Karena sumbu y merupakan sumbu simetris, maka ("yo ) @angkuman momen inersia penampang sederhana *umum+ yang telah dibahas diatas dapat dilihat pada 0abel 2.. Momen inersia ini dapat dipakai untuk menyelesaikan momen inersia penampang gabungan *komposit+.
= 0abel 0abel 2.. Momen (nersia idang Datar %enampang % enampang mum
B
segiempat
h
"
(" )
2
bh
(y )
2
bh
#
( p )
2
*bh , + b , h+
("y ) y b/ segitiga
h h/ #
"
(" )
(y )
( p )
("y )
b
6
bh
6
bh
,6
*bh , + b , h+
− 72 b 2 h 2
y
lingkaran
D ) 2r
" #
r -
(" )
- π
(y )
- π
( p )
2 π
r -
r -
("y )
B
r - 8 − (" ) π r
r/π r/π setengah lingkaran
# 2 r
y
(y )
8 =π
2
r -
8 π
r - - − ( p ) π r
8 =π
2
("y )
2 $. !on"oh %oal &enam&an' (om&o%i"
9ontoh 2.5. :itunglah momen inersia *(", (y, ( p, ("y + penampang penampang baja siku siku terhadap terhadap sumbu sumbu " dan sumbu y yang melalui titik berat penampang
2,7 mm
52 mm
2,7 mm 2 mm
%enyelesaian . :itung posisi titik berat penampang, untuk ini sudah dihitung pada !ontoh .. 2. $ambarkan salib sumbu " dan sumbu y pada titik berat penampang sebagai berikut' y 2,7 mm 52 mm
" #
2,7 mm
5,22 mm 2 2 mm 25,22 mm . agi penampang menjadi bidang dan bidang 2 seperti pada gambar . :itung momem inersia terhadap sumbu " sebagai berikut' (" ) ("o 4 Ay12 (" 2
)
.2,7.52
+ 2,7.52.*76 − 5,22+ 2 + 2 .8=,.2,7 + 8=,.2,7.*5,22 − 6,5+ 2 2
(" ) 7666,67 4 282=6,55 4 52,8 4 28268,=8 ) 7=758,8 mm 5. :itung momen inersia terhadap sumbu y sebagai berikut' (y ) (yo 4 A"12 (y ) .2,7 .52 + 2,7.52.* 25,22 − 6,5+ 2 + .8=, .2,7 + 8=,.2,7.*57,5 − 25,22+ 2 2 2 (y ) 25=6,85 4 6877,88 4 75662, 4 778,62 ) 26776,= mm 6. :itung momen inersia polar sebagai berikut' ( p ) (" 4 (y ( p ) 7=758,8 4 26776,= ) =85,=6 mm
7. :itung momen inersia perkalian sebagai berikut' Menghitung Menghitung momen inersia perkalian, perkalian, perhatikan "anda jara( , jarak dapat bertanda negatip sesuai dengan posisinya pada salib sumbu. :al ini berbeda dengan perhitungan (" dan (y yang mana jarak dipangkatduakan sehingga tetap bertanda positip. ("y ) ("yo 4 A"1y1 ("y ) 4 2,7. 52. ?-*25,22- 6,5+.*76- 5,22+> 4 4 8=,.2.7.*57,5-25,22+?-*5,22-6,5+> ) - ==78,=85 - 5=8576,=25 ) - 257655,= mm
9ontoh 2.6. :itunglah :itunglah momen inersia inersia *(", (y, ( p, ("y + penampang penampang tergambar tergambar terhadap terhadap sumbu sumbu " dan sumbu y yang melalui titik berat penampang
25 mm
225 mm
25 mm 5 mm
25 mm
%enyelesaian . :itung posisi titik berat penampang, untuk ini sudah dihitung pada !ontoh .5. 2. $ambarkan salib sumbu " dan sumbu y pada titik berat penampang sebagai berikut'
22 y
25 mm
==, " 2
2 225 mm
5,=6
25 mm
5 mm
25 mm
. agi penampang menjadi bagian yaitu yaitu bidang bidang dan 2 bagian bidang 2 seperti seperti pada gambar . :itung momem inersia terhadap sumbu " sebagai berikut' (" ) ("o 4 Ay12 (" ) 2 .2.25 ("2 )
+ 2.25.86,5- 2 2. 2 .25.225 + 2.25.225.8,-6 2 ("
) 77627,67 mm ) 66 6 68, 8, mm 4 ) 878=2,67 mm
5. :itung momen inersia terhadap sumbu y sebagai berikut' (y ) (yo 4 A"12 (y ) 2 .2 .25 + ) 6666666,67 mm (y2 ) 2. 2 .25 .225 + 2.25.225.87,5 (y
2
) 86787 867 875, 5, mm ) 856,67 mm
6. :itung momen inersia polar sebagai berikut' ( p ) (" 4 (y ( p ) 878=2,67 4 856,67 ) 25==, mm 7. :itung momen inersia perkalian sebagai berikut' ("y ) ("yo 4 A"1y1 ("y ) 4 ) ("y2 ) 25.225.*- 87,5+*- 8,6+ 4 25.225.*87,5+*- 8,6+ ) ("y ) ("y 4 ("y2 ) Momen inersia perkalian akan bernilai apabila salah satu sumbu yang melalui titik berat penampang adalah sumbu simetri. 2 9ontoh 2.7. %enampang seperti tergambar dibaCah, # adalah titik berat penampang. :itung a supaya (" ) (y y
mm
" #
2 mm
mm 2 a 2 mm
%enyelesaian (" ) *
2
.2. 4 2. . 52 + 4 2.
2
.. 22
(" ) 52=6 4 776666,67 ) 776666,67 mm (y ) ? 2 ..2 4 .2 *7 4 2 a+2> 4 2. 2 ..22 4 2..22 *54 2 a+2 (y ) ? 4 2 *= 4 7a 4 ,25 a2+> 4 6666,67 4 *25 45a 4 ,25 a2+ (y ) 576 4 252 4 6a 4 2 a2 4 6666,67 4 4 22a 4 a2 (y ) 2 a2 4 58a 4 2=26666,67 (" ) (y 776666,67 ) 2 a2 4 58a 4 2=26666,67 2 a2 4 58a 28 ) a2 4 55,65 a 7=7,8 ) a2 )
a )
− 55,65 ±
55,65 2
+ -.7=-7,8
2
− 55,65 + =,86 2
) 77,5 mm
Maka nilai a ) 77,5 mm
2 &oal-soal' . 0entukan (", (y, ("y bidang trapeEium berikut ini' 5 mm
2 mm
= mm 2. 0entukan (", (y, ("y bidang bidang kombin kombinasi asi segi segi empat empat dengan dengan setenga setengah h lingka lingkaran ran berikut ini
6 mm
6 mm
2 mm . 0entukan (", (y, ("y bidang berikut ini mm
8 mm
mm
2 mm
25 ). Sumbu *"ama dan Momen Iner%ia *"ama &umbu utama adalah sumbu yang saling tegak lurus dan akan memberikan momen inersia, ( maksimum dan ( minimum pada suatu penampang. %ada komponen struktur yang mengalami gaya aksial/normal tekan maka ke!enderungannya batang akan tertekuk terh terhad adap ap sumb sumbu u deng dengan an mome momen n iner inersi siaa yang yang palin paling g lema lemah h *min *minim imum um+. +. Denga Dengan n demikian penentuan sumbu utama dan momen inersia utama menjadi penting.
y y1 y sin θ " "1
dA
y !os θ
y1 y
"1
" !os θ
θ
" sin θ "
θ $ambar 2.. &umbu tama
&umbu " dan sumbu y diputar sehingga menjadi sumbu "1 dan dan sumbu y1 dengan sudut putar sebesar θ. Dengan demikian dapat diperoleh hubungan sebagai berikut' "1 ) " !os θ 4 y sin θ y1 ) y !os θ - " sin θ ("1 ) ("1 )
∫ y 3 dA ∫ * y !osθ − x sin θ + 2
2
dA
("1 ) (" !os2θ 4 (y sin2θ - 2 ("y sinθ sinθ !osθ !osθ (y1 )
∫ x3
(y1 )
∫ * x !os
2
dA θ
+ y sin θ + 2 dA
(y1 ) (y !os2θ 4 (" sin2θ 4 2 ("y sinθ sinθ !osθ !osθ
∫ x 3 y 3 dA ∫ *" !os θ 4 y sin θ+*y !os θ - " sin θ+ dA
("1y1 ) ("1y1 )
("1y1 ) *(" (y+ sin θ !os θ 4 ("y *!os2θ - sin2θ+ 26 9atatan' sin 2θ 2θ ) 2 sinθ sinθ !osθ !osθ 2 !os 2θ 2θ ) !os θ - sin 2θ !os2θ )
2
4 2 !os 2θ 2θ
sin2θ )
2
-
2
!os 2θ 2θ
("1 ) (" * 2 4 2 !os 2θ 2θ+ 4 (y * 2 ("1 ) ("1 )
2 (" 4
I x
+ I y 2
+
2
(" !os 2θ 2θ 4
I x
− I y 2
2 (y -
2
!os 2θ 2θ+ - ("y sin2θ sin2θ
2 (y !os
!os 2θ − I xy sin 2θ
2θ 2θ - ("y sin2θ sin2θ *2.=+
Dengan !ara yang sama dapat ditentukan (y1 dan ("1y1 sebagai berikut'
(y1 )
I x
+ I y 2
("1y1 )
I x
−
− I y
I x
− I y 2
!os 2θ + I xy sin 2θ
*2.+
sin 2θ + I xy !os 2θ
2
*2.+
Dari %ersamaan 2.=. ("1 -
I x
− I y 2
=
I x
− I y 2
!os 2θ − I xy sin 2θ
*2.2+
%ersamaan 2. dan %ersamaan 2.2 masing-masing masing-masing dikuadratkan kemudia dijumlahkan sehingga diperoleh' 2
2
I x + I y I x − I y 2 2 I x 3 − 2 + I x3 y 3 = 2 + I xy
*2.+
%ersamaan 2. adalah persamaan lingkaran dengan bentuk *"-a+2 4 y2 ) r 2 ("1y1
r ("1 #
F
9
M
a $ambar 2.. Lingkaran dengan &alib &umbu ("1 dan &umbu ("y1 27 Dari $ambar 2.. diatas dapat ditentukan Momen inersia maksimum dan momen inersia minimum (maks ) #M ) #9 49M (min ) #F ) #9 9M &ehingga'
I maks
I min
=
=
I x
I x
+ I y 2
+ I y 2
2
I − I + x y + I xy 2 2 2
I − I − x y + I xy 2 2
%ada saat terjadi (maks dan (min maka ("1y1 ) , sehingga dari %ersamaan 2. diperoleh' I x
− I y 2
tg 2θ =
sin 2θ + I xy !os 2θ
−
=
2 I xy I x
− I y
9ontoh 2.8. %enampang seperti tergambar, . 0entukan (", (y, ("y terhadap sumbu " dan sumbu y yang melalui titik berat penampang 2. 0entu 0entukan kan sumbu sumbu utama utama dan dan momen momen inersi inersiaa utama utama y mm
"
mm
mm 6 mm
mm
6 mm 28
%enyelesaian' (" ) 2 .6. 4 6..552 4 (" ) 5,8.6 mm (y )
2
2
..6 4 6..*-5+2 4
..2 4 2.. 2 4
2
.2. 4 2..2 4
(y ) ,8. 6 mm ("y ) 6..*55+*-5+ 4 2..*+*+ 4 6..*-55+*5+ 6 ..*-55+*5+ 6 ("y ) -2,. mm Momen inersia utama'
I maks
=
I x
+ I y 2
2
I − I + x y + I xy 2 2
2
.6. 4 6..*-55+2
2
..6 4 .6.52
I maks I maks maks
I min
+ ,8-. 6 2
2
5,8. 6 − ,8-. 6 2 + + ( − 2,. 6 ) 2
) 6,28. 6 mm
=
I maks I min min
=
5,8. 6
I x
=
+ I y 2
2
I − I − x y + I xy 2 2
5,8. 6
+ ,8-. 6 2
2
5,8. 6 − ,8-. 6 2 − + ( − 2,. 6 ) 2
) ,6=. 6 mm
&umbu tama tg 2θ =
−
2 I xy
− I y 2*−2,. 6 + tg 2θ = − = ,-25= 5,8. 6 − ,8-. 6 I x
27,8° *berlaCanan jarum jam+ θ ) 27,8°
2= sumbu min
y
sumbu maks
27,8° 27,8°
"
