Mehanika Fluida II-Tekstovi Zadataka Za Vjezbe

MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS UDŽBENICI SVEUČILIŠTA U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Zdravko Virag, Mario Šavar, Ivo Džijan

MEHANIKA FLUIDA II TEKSTOVI ZADATAKA ZA

VJEŽBE

Zagreb, 2017.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





















1.

1.1

Vježbe – Matematičke osnove

Nađite prirast tlaka Δ p od ishodišta do točke { r i}m=(2; 3; -4) fluida u relativnom mirovanju, ako je specifična masena sila { f i}m/s2=(3; -2; 9,80665). Zadana je gustoća fluida ρ = 998,2 kg/m3. 

1.2

 



Pri r otaciji otaciji fluida poput krutog tijela ti jela polje brzine zadano je jednadžbom j ednadžbom v = ω × r ,  



gdje je ω kutna brzina rotacije, a r vektor položaja u odnosu na pol rotacije. a)

Odredite brzinu

b)

Odredite rot v rot v

1.3



v

u točki {r i}m = (1, 3, 5) ako je { ωi}1/s = (0, 1, 3)  



i usporedite ga s kutnom brzinom rotacije ω .

Temperaturno polje zadano je funkcijom T =

1 1 + r 2

u kartezijskim . Odredite gradT u

i sfernim koordinatama. 1.4

Osnovna jednadžba statike fluida glasi r f = grad p . Raspišite ovu jednadžbu u cilindarskim i kartezijskim koordinatama.

1.5

Svako polje brzine može se prikazati pomoću svog skalarnog potencijala vektorskog potencijala ψ i u obliku

 

vi =

ϕ i

∂ϕ ∂ψ + ε ijk k ∂ xi ∂x j 

= 0 , z = Nađite cilindarske komponente vektora vektora brzine v u točki r = = 1 m , ϑ = = 1 m . Zadano je ϕ = ln r + ϑ i ψ = 3r er + ze z eϑ + ϑ ez .  

1.6

 

  

 

Prevedite jednadžbu kontinuiteta

∂ r ∂ ( r v j ) + =0 ∂t ∂x j

u cilindarske koordinate. Kolika je brzina relativne promjene gustoće fluida 1 D r r Dt





ako je polje brzine v = r .











1.7

Zadan je skalarni potencijal brzine za ravninsko strujanje u cilindarskim koordinatama 1  ϕ =  r +  cosϑ r  

Provjerite zadovoljava li zadani potencijal Laplaceovu jednadžbu ∇ 2ϕ = ∆ϕ = 0 . Odredite polje brzine iz jednadžbe v = grad ϕ i odredite točke zastoja ( v = 0 ). 













2.

Vježbe – Elementarna potencijalna strujanja: linijski singulariteti

2.1

Pronađite funkciju toka ψ ak o je potencijal brzine ravninskog r avninskog strujanja ϕ = V cos α ⋅ x1 + V sin α ⋅ x2 , gdje je V konstanta. Skicirajte strujnice za ovo polje brzine.

2.2

Odredite funkciju toka ψ ako je potencijal brzine ravninskog strujanja zadan u polarnim koordinatama izrazom ϕ = = m ln r . Skicirajte strujnice i dajte fizikalno tumačenje konstante m .

2.3

Odredite funkciju toka ψ ako je potencijal brzine ravninskog strujanja zadan polarnim koordinatama ϕ = C ϑ . Povežite konstantu C s cirkulacijom brzine Γ

po zatvorenoj krivulji krivulji koja obuhvaća ishodište koordinatnog koordinatnog sustava. 2.4

Odredite potencijal brzine ϕ ako se u ravninskom strujanju u točki A(a, b) nalazi izvor kapaciteta Q . Odredite funkciju toka ψ i skicirajte strujnice.

2.5

Odredite potencijal brzine

2.6

Odredite sliku strujanja za slučaj ravninskog izvora i ponora jednakih kapaciteta Q smještenih na pravcu koji prolazi ishodištem koordinatnog sustava i čini kut α s pozitivnim smjerom osi x1 . Izvor je u točki (r ,ϑ ) = ( a, α ) , a ponor u točki

u ravninskom strujanju, ako se u točki A(− a, 0) nalazi ponor kapaciteta Q , a u točki B( a, 0) izvor istog kapaciteta. Odredite funkciju toka ψ i skicirajte strujnice. ϕ

(r ,ϑ ) = (a,α + π ) . Odredite potencijal ovog strujanja ako udaljenost

2a među

singularitetima teži k nuli, a kapacitet Q k beskonačnosti, ali tako da umnožak 2aQ = m ostaje konstantan. Odredite funkciju toka ψ i skicirajte strujnice za slučaj α = 0 .











3.

Vježbe – Primjene potencijalnog strujanja

3.1

Usisna košara duljine H , kroz koju se usisava voda protokom QK , potopljena je pod vodom, a načinjena je iz žičane žičane mreže i postavljena postavljena u blizini vertikalne vertikalne stijenke, prema slici. Odredite sliku strujnica u horizontalnoj ravnini uz pretpostavku ravninskog potencijalnog strujanja, pri čemu je usisna košara modelirana ravninskim ponorom kapaciteta Q = QK / H .

3.2

Otpadne vode ispuštaju se u rijeku kroz vertikalno postavljeni filter duljine H protokom QF . Pretpostavlja se da je brzina V rijeke jednolika po presjeku. Pretpostavite ravninsko potencijalno stru janje fluida, a ispust otpadne otpadne vode kroz kroz filter zamijenite ravninskim izvorom kapaciteta Q = QF / H . Odredite širinu područja otpadne otpadne vode u horizontalnoj horizontalnoj ravnini strujanja.

3.3

Odredite potencijal ϕ , strujnu funkciju ψ i točke zastoja pri optjecanju Rankinova ovala brzinom V . Ovo ravninsko potencijalno strujanje je sastavljeno od paralelnog strujanja strujanja brzinom V u pozitivnom smjeru osi x1 , izvora kapaciteta Q u

točki A( −a ,0) i ponora istog kapaciteta u točki B( a ,0). Odredite duljinu L ovala u funkciji V , Q i a . Odredite protok Q kod kojega će poluširina ovala biti b0 = a . 3.4

Potencijalno optjecanje dugog kružnog cilindra može se modelirati

kombinacijom paralelnog strujanja strujanja i ravninskog dipola. dipola. Pretpostavite da je cilindar postavljen vertikalno, a da je paralelno strujanje okomito na simetralu cilindra. Odredite sliku strujanja, brzinu i tlak po obodu cilindra. Kolika je rezultirajuća sila tlaka na cilindar?













4.

Vježbe – Potencijalno osnosimetrično strujanje

4.1

Odredite vertikalnu silu na cilindar pri cirkulacijskom potencijalnom ravninskom optjecanju cilindra polumjera r 0 . U središtu cilindra se nalazi vrtlog negativne cirkulacije Γ < 0 , a brzina paralelnog strujanja v∞ je u pozitivnom smjeru osi x1 .

4.2

Strujanje zraka izvan centra (oka) tornada pri površini zemlje, modelira se kombinacijom ponora i vrtloga. Pronađite raspored tlaka u polju strujanja tornada i skicirajte strujnice, ako oko tornada ima polumjer r 0 = 20 m, a brzina strujanja na rubu oka iznosi vmax = 50 m/s. Pretpostavite dotok zraka u oko tornada protokom 3 3 Q = 5000 m /s/m. Zadana je gustoća zraka r = 1,2 kg/m .

4.3

Odredite potencijal brzine za strujanje iz točkastog izvora.

4.4

Odredite potencijal brzine za točkasti (trodimenzijski) dipol i kartezijske komponente brzine, inducirane dipolom momenta µ orijentiranim u pozitivnom smjeru osi x1 .

4.5

Odredite raspodjelu brzine i tlaka po površini kugle polumjera R0 pri njenom potencijalnom optjecanju optjecanju jednolikim profilom brzine brzine v∞ .











5.

Vježbe – Potencijalno strujanje: pridružena masa i kontinuirana raspodjela singulariteta

5.1

Odredite silu fluida na kuglu polumjera R0 , koja se giba pravocrtno kroz

neviskozni fluid (izazivajući potencijalno strujanje fluida) vremenski promjenjivom brzinom U = U (t ) . Odredite početno ubrzanje kugle (nakon njena puštanja iz stanja mirovanja), ako je njena gustoća r 0 = 100 kg/m3 , a potopljena je = 1000 kg/m 3 . u vodu gustoće r = 5.2

Odredite vezu između potencijala brzine i strujne funkcije u osnosimetričnom potencijalnom strujanju i odredite funkciju toka za stacionarno potencijalno

optjecanje kugle. 5.3

Odredite strujnu funkciju u osnosimetričnom potencijalnom strujanju za slučaj kontinuirano raspodijeljenih izvora gustoće q na segmentu osi z od z = a do z = b .

5.4

ontinuirano Odredite potencijal i polje brzine u ravninskom strujanju za slučaj k ontinuirano raspodijeljenih izvora konstantne gustoće q na segmentu osi x1 od x1 = a do x1 = b .











6.

6.1

Vježbe – Potencijalno strujanje: Metoda panela

Za rješavanje problema optjecanja složenih geometrija upotrebljavaju se numeričke metode. Za slučaj potencijalnog optjecanja najčešće se koristi meto da panela. Primjenom metode panela panela odredite raspodjelu tlaka tlaka i silu pri ravninskom potencijalnom optjecanju optjecanju beskonačnog beskonačnog cilindra polumjera R = 2 . Za modeliranje strujanja uzmite četiri panela s konstantnom raspodjelom izvora. Rezultate usporedite s analitičkim rješenjem.











7.

Vježbe – Egzaktna rješenja Navier-Stokesovih jednadžbi

7.1

U prostoru između dvije horizontalne ravne ploče, udaljene za h, nalazi se fluid konstantne gustoće r i konstantne dinamičke viskoznosti µ . Donja ploča miruje, a gornja se giba konstantnom brzinom u (Couetteovo strujanje). Uz pretpostavku ravninskog, stacionarnog, stacionarnog, laminarnog strujanja s iizobraženim zobraženim profilom brzine i uz zanemarenje masenih sila odredite:

a)

profil brzine u strujanju u zavisnosti od uzdužnog uzdužnog gradijenta gradijenta tlaka d p / dx1 ,

b)

smično naprezanje na ploči (silu potrebnu za vuču ploče jedinične duljine i širine), širi ne),

c)

protok kroz presjek presjek jedinične širine okomito okomito na ravninu slike i srednju brzinu,

d)

vezu između pada tlaka na duljini L i srednje brzine pri u = 0 (Poiseuilleovo strujanje).

r

=konst.

µ =konst.

h











7.2

Odredite profil temperature u Couetteovom strujanju iz prethodnog zadatka, pri d p / dx1 = 0 , ako je T 0 temperatura ploče koja miruje, a T W temperatura ploče koja se giba. Pretpostavite da su toplinska t oplinska provodnost λ i specifični toplinski kapacitet c fluida, konstantni.

7.3

U laminarnom, nestlačivom, stacionarnom, osno -simetričnom strujanju fluida, konstantne viskoznosti, s izobraženim profilom brzine u horizontalnoj cijevi kružnog presjeka (Hagen -Poieseuilleovo strujanje), odredite:

a)

profil brzine,

b) protok, maksimalnu i srednju brzinu, c)

faktor trenja ( λ u Darcy-Weisbachovom izrazu)

d)

tangencijalno naprezanje na stjenci cijevi. Utjecaj gravitacije zanemarite. r













8.

8.1

Vježbe – Egzaktna rješenja Navier-Stokesovih jednadžbi

Odredite izobraženi profil brzine u stacionarnom, laminarnom, laminarnom, nestlačivom strujanju fluida kroz horizontalnu cijev eliptičkog presjeka (zad anog duljinom poluosi a i b ). Koja je veza između maksimalnog protoka i pada tlaka po jedinici duljine cijevi ∆ p / L ?

8.2

U prostoru između dva koaksijalna cilindra od kojih vanjski polumjera r 2 miruje, a unutrašnji polumjera r 1 rotira konstantnom kutnom brzinom ω , laminarno struji fluid gustoće r =konst. i dinamičke viskoznosti µ =konst. Uz pretpostavku nestlačivog, stacionarnog strujanja i izobraženog profila brzine, i zanemarenje masenih sila, odredite:

a)

profil brzine strujanja fluida kao kao funkciju cilindarske cilindarske koordinate r ,

b)

raspored tlaka i tangencijalnih naprezanja,

c)

moment M 1 potreban za održavanje održavanje rotacije unutrašnjeg cilindra i moment moment M 2 na

vanjskom cilindru (podrazumijeva se da su momenti izraženi po jedinici duljine cilindara). d)

Odredite profil brzine za slučaj r 2 → ∞

potencijalnog vrtloga. vrtloga.

i usporedite ga profilom brzine











8.3

Niz kosinu nagnutu pod kutom α prema horizontali stacionarno se slijeva fluid konstantne gustoće r i konstantne viskoznosti µ , u sloju konstantne debljine h , otvorenom s gornje strane prema atmosferskom tlaku pa . Ako je strujanje laminarno i ravninsko s izobraženim profilom

brzine odredite:

a)

profil brzine

b)

maksimalnu brzinu, protok fluida i srednju brzinu

c)

smično naprezanje između fluida i kosine,

d)

raspodjelu tlaka u fluidnom sloju.











9.

Vježbe – Približna rješenja Navier -Stokesovih jednadžbi

9.1

Široki remen, prema slici, postavljen je vertikalno između dva spremnika ispunjena istim fluidom i giba se prema gore konstantnom brzinom v , povlačeći fluid iz donjeg spremnika sa sobom u gornji spremnik, pri čemu se uz remen formira film fluida debljine h . Debljina h filma određena je širinom otvora na dnu gornjeg spremnika kroz koji remen ulazi u taj spremnik. Odredite protok Q fluida u filmu fluida, konstantne gustoće r , konstantne kinematičke viskoznosti υ , u zavisnosti od v , h i υ . Pretpostavite ravninsko stacionarno laminarno strujanje fluida izobraženim profilom brzine. Odredite brzinu remena v0 i smično naprezanje τ 0 između fluida i remena za slučaj Q = 0 .

9.2

Na slici je prikazan prikazan segment ležaja koji se giba konstantnom konstantnom brzinom U relativno prema nepomičnoj nepomičnoj podlozi, stvarajući stvarajući tanki uljni klinasti film. Širina ležaja okomito na sliku je B . Odredite vertikalnu silu N (nosivu silu ležaja) i











10.

Vježbe – Teorija sličnosti

10.1

Otpori strujanju u cjevovodnom sustavu s odgovarajućom armaturom (ventili, 998, 2 kg/m3 , µ = 1, 00 002 ⋅10-3 Pa ⋅ s ) = 998, zasuni i sl.), kroz koji će strujati voda ( r = srednjom brzinom v = 2 m/s određuju se na način, da se kroz njega pušta zrak 3 -5 ( r ′ = 1,16 kg/m , µ′ = 1, 56 ⋅10 Pa ⋅ s ). Odredite srednju brzinu v′ strujanja zraka u cjevovodnom sustavu, da bi se zadovoljili kriteriji sličnosti ova dva strujanja. Ako je pri ispitivanju sa zrakom u sustavu izmjeren izmj eren ukupni pad tlaka ∆ p F ′ = 8750 Pa , koliki će biti ukupni pad tlaka u sustavu kada kroz njega struji voda?

10.2

10.3

U cilju provedbe modelskih ispitivanja djelovanja lukobrana i zaštite luke od valova izrađen je model C L = 360 puta manjih dimenzija od prototip a. Prototipni valovi imaju visinu H = 4 m i brzinu propagacije c = 8 m/s , a period pojave plime je τ = 12 h . Odredite visinu H ′ i brzinu c′ valova te period τ ′ pojave plime pri modelskim ispitivanjima. U zračnom tunelu se ispituje model automobila visine H M = 0,95 m pri konstantnoj brzini strujanja v M = 40 m/s , pri čemu je izmjerena sila otpora F M = 1150 N . Preslikajte te rezultate na prototipni automobila visine H = 1, 5 m (odredite brzinu v i silu otpora F prototipnog automobila). automobila). Gustoća i viskoznost viskoznost zraka su konstantne i jednake za model i prototip.











10.5 Nestlačivi

fluid gustoće gustoće r , konstantne viskoznosti µ nalazi se između dvije velike paralelne ploče udaljene za 2h , prema slici. Fluid oscilira pod djelovanjem pulsirajućeg tlaka, tlaka, a jednadžba koja koja opisuje prosječnu prosječnu brzinu u po presjeku je ∂u ∂ 2u = P cos ωt + µ 2 r ∂t ∂x gdje je ω frekvencija, a P konstantna ampli tuda pulsirajućeg gradijenta tlaka, a Pretpostavlja se da se ustalio stalni ritam promjene µ konstantna viskoznost. Pretpostavlja

brzine s tlakom (izgubio (izgubio se utjecaj početnih početnih uvjeta). Izrazite gornju gornju jednadžbu u bezdimenzijskom obliku obliku i odredite kriterije sličnosti za ovakvo strujanje. Odredite koeficijent sličnosti za frekvenciju u dvije slične pojave, ako je u obje pojave isti fluid, a u drugoj pojavi se razmak povećao dva puta ( h′ = 2h ).













11.

Vježbe – Teorija sličnosti

11.1

Punjenje balona (s elastičnom stijenkom) nestlačivim fluidom opisano je slijedećim jednadžbama dV dt

=Q

dQ dt

=

pP − p − RQ2 M

gdje su: tlak pP , M , R , p0 i V 0

p − p0 = E (V − V 0 )

konstante, t je vrijeme, Q protok kroz otvor balona, V volumen fluida u balonu, a p prosječni tlak u balonu. balonu. Punjenje započinje od tlaka p0 , volumena V 0 i protoka Q = 0 . Odredite kriterije sličnosti za











τ , dok piezometrička visina na ulazu u cijev ostaje konstantna. Odredite kriterije sličnosti za dva strujanja. Ako je pri strujanju vode r = 999,8 kg/m3 , viskoznosti

= 6 s , na ulazu cijevi izmjerena brzina v = 3 m/s , µ = 1, 06 ⋅10−3 Pa ⋅ s u trenutku t = odredite odgovarajući vremenski trenutak t ′ i brzinu v′ u sličnoj pojavi, za slučaj strujanja ulja gustoće r ′ = 820 kg/m3 viskoznosti µ ′ = 0,605 ,605 Pa ⋅ s , u cjevovodu

četiri puta manjih dimenzija, ako je strujanje u režimu potpuno izražene turbulencije. Koliki je tada koeficijent sličnosti za tlak? 11.3

Slika prikazuje problem provođenja topline kroz zid debljine L , konstantne gustoće r , konstantnog specifičnog toplinskog kapacite ta c i konstantne toplinske provodnosti λ . Na lijevom rubu zida se održava konstantna temperatura T 0 , a s desne strane zida je zrak temperature T ∞ s kojeg toplina prelazi na zid uz konstantni koeficijent prijelaza topline α . Problem se promatra od početnog trenutka u kojem je temperatura zida bila konstantna i jednaka temperaturi T 0 . Jednadžba provođenja provođenja topline je u ovom slučaju











11.4

Jednadžbe koje opisuju gibanje taneta mase m koje je ispucano s visine H pod kutom α u odnosu na horizontalu, uz utrošak energije E glase: x = t

2 E m

cos α z = H + t

gdje su: t vrijeme, x

2 E m

sin α −

1 2

gt 2

horizontalna koordinata, z vertikalna koordinata, a g gravitacija. Koje kriterije treba ispuniti da bi dva bacanja označavala slične pojave. Ako je za dvije slične pojave slične pojave u istom polju polju gravitacije koeficijent koeficijent sličnosti za energiju ispucavanja C E = 3 , a za masu C m = 0.5 , odredite koeficijent sličnosti za











12.

Vježbe – Laminarni granični sloj

12.1 Na

tanku ravnu ravnu ploču beskonačno beskonačno široku okomito okomito na ravninu slike slike naila zi strujanje iz beskonačnosti brzinom v∞ paralelno s ravninom ravninom ploče. Neposredno Neposredno uz ploču formira se granični sloj. Primjenom Prandtlovih jednadžbi odredite profil brzine strujanja unutar graničnog sloja, tangencijalo naprezanje na ploči te koeficijent otpora ploče (Blasiusovo (Blasiusovo rješenje).











13.

13.1

Vježbe – Primjena von Kármánove jednadžbe

Uslijed paralelnog strujanja fluida gustoće r = 810 kg/m3 , kinematičke viskoznosti υ = 1, 265 ⋅ 10−4 m2 s , brzinom v∞ = 0, 5 m s , uz ravnu ploču se formira laminarni granični sloj. Ishodište koordinatnog sustava sustava 0 xy je u vrhu ploče, a os x je paralelna s pločom. pločom. Vektor brzine v∞ gleda u pozitivnom smjeru osi x . Primjenom von Kármánove impulsne jednadžbe uz pretpostavku profila brzine danog izrazom u = v∞ ( 2η − 2η 3 +η 4 ) , gdje je η = y / δ , a δ debljina graničnog sloja, odredite silu F otpora po jedinici širine na dio ploče od x0 = 1 m do x1 = 2 m .

13.2 Na

dugi kružni cilindar cilindar polumjera R nailazi ravninsko paralelno strujanje viskoznog fluida konstantnom brzinom v∞ . Pretpostavimo da se uz površinu













13.3

Zrak gustoće r = 1, 23 kg/m3 , viskoznosti µ = 1, 79 ⋅10−5 Pa ⋅ s ulazi u prostor x=0) udaljene za H 0=35 cm. Profil između dvije paralelne ploče koje su na ulazu ( x= brzine na ulazu je jednolik, a brzina je u=0,5 m/s. Zbog formiranja graničnog sloja uz stijenke, potrebno je povećavati razmak između ploča, kako bi brzina u potencijalnoj jezgri ostala u=0,5 m/s. Odredite zakon promjene razmaka između x), uz konstantnost brzine potencijalne jezgre i izračunajte x=1 m). ploča H ( x i zračunajte H ( x Pretpostavite laminarno strujanje i iskoristite Blasiusovo rješenje.











14.

14.1

Vježbe – Turbulentni granični sloj

Za Reynoldsov broj manji od 107 turbulentni profil vremenski osrednjene brzine v unutar graničnog sloja uz ravnu hidraulički glatku ploču može se prikazati u obliku v

 =  

1/ 7

y

 











14.3

Tanka ploča duljine L = 3 m i širine B = 2 m , mase m = 9 kg leži na horizontalnom krovu na udaljenosti h = 4 m od nastrujnog brida krova, prema slici. Odredite brzinu v jednolikog strujanja strujanja vjetra kod koje će se ploča pomaknuti, ako je faktor trenja između ploče ploče i podloge mtr = 0,12 . Gustoća i kinematička viskoznost zraka su r = 1,2 kg/m3 i s = 1, 5 ×10 5 m2 /s . ¥

-

a)

Pretpostavite turbulentno strujanje oko hidraulički glatke ploče i koristite zakon

Mehanika Fluida II-Tekstovi Zadataka Za Vjezbe

Recommend Documents