UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI BOLOGNA INGEGNERIA INFORMATICA
APPUNTI DI MATEMATICA DISCRETA L-S (DOCENTE PROF. FLAVIO BONETTI)
A CURA DI: FRANCESCO CANTARINI
LEZIONE I - 26/01/2004 .................................................................................................................................. 5
Definizione di insieme infinito secondo Dedekind..........................................................................5 Definizione di insieme finito............................................................................................................5 Definizione di insieme numerabile ..................................................................................................5 Definizione di insieme discreto........................................................................................................5 Matematica Discreta ........................................................................................................................5 Partizione di un numero ...................................................................................................................5 Diagramma di Ferrer........................................................................................................................5 Tabella di Young..............................................................................................................................6 LEZIONE II - 27/01/2004 ................................................................................................................................. 6
Algoritmo di Robinson-Shensted-Knuth .........................................................................................6 Permutazione di S ............................................................................................................................7 Algoritmo di Robinson-Shensted-Knuth nel caso di ripetizioni......................................................8 LEZIONE III - 28/01/2004............................................................................................................................... 9
Legge di composizione interna ........................................................................................................9 Definizione di “monoide” ..............................................................................................................10 La struttura di gruppo.....................................................................................................................10 Definizione di semigruppo.............................................................................................................11 Proprietà di un gruppo ...................................................................................................................11 LEZIONE IV - 02/02/2004 ............................................................................................................................ 12
Relazione........................................................................................................................................12 Definizione di Funzione.................................................................................................................12 Definizione di “morfismo”.............................................................................................................13 Definizione di “isomorfismo”........................................................................................................13 Definizione di “anello” ..................................................................................................................13 Perché un numero moltiplicato per 0 da sempre come risultato 0 ? .............................................14 Definizione di “corpo” ...................................................................................................................14 Definizione di “campo” .................................................................................................................14 Relazioni d'equivalenza: definizione e prime proprietà.................................................................14 Partizione di un insieme.................................................................................................................15 Proprietà delle classi di equivalenza ..............................................................................................16 Relazione d’ordine: definizione e proprietà...................................................................................18 Rappresentazione di una relazione d'ordine con i diagrammi di Hasse.........................................18 LEZIONE V - 03/02/2004.............................................................................................................................. 19
L'assioma di buon ordinamento .....................................................................................................19 Teorema della Divisione ...............................................................................................................21 Definizione di divisibilità...............................................................................................................21 Relazione di congruenza ................................................................................................................22 Teorema. ........................................................................................................................................23 Aritmetica modulare ......................................................................................................................23 LEZIONE VI - 04/02/2004 ............................................................................................................................ 24
Definizione.....................................................................................................................................24 Definizione di numero primo.........................................................................................................25 Il teorema fondamentale dell'Aritmetica (o della fattorizzazione unica).......................................25 LEZIONE VII - 09/02/2004 ........................................................................................................................... 26
Definizioni di divisori dello zero ...................................................................................................26 Definizione di Dominio di Integrità...............................................................................................26 Zn è un dominio d’integrità? ..........................................................................................................27
LEZIONE VIII - 10/02/2004.......................................................................................................................... 28
Teorema di divisione......................................................................................................................28 Definizione di Massimo Comun Divisore .....................................................................................28 Definizione di numeri relativamente primi....................................................................................29 1
Identità di Bezout ...........................................................................................................................29 Algoritmo Euclideo........................................................................................................................29 Lemma sui numeri primi................................................................................................................30 LEZIONE IX - 12/02/2004 ............................................................................................................................ 31
Teorema .........................................................................................................................................31 Teorema .........................................................................................................................................31 Teorema di Fermat .........................................................................................................................32 Corollario del Teorema di Fermat..................................................................................................32 Definizione di lista .........................................................................................................................33 LEZIONE X - 16/02/2004.............................................................................................................................. 33
Definizione di Etichettamento .......................................................................................................33 Definizione di Funzione Caratteristica ..........................................................................................34 Dimostrazione |P(U)| = 2 |U| ...........................................................................................................35 Dimostrazione che χ A∩B = χA · χB se A,B ⊆ U ............................................................................35 Dimostrazione che χ AUB = χA + χB -χA χB se A,B ⊆ U ................................................................36 Principio dei cassetti ......................................................................................................................36 Coefficiente Binomiale ..................................................................................................................37 Teorema Binomiale (binomio di Newton) .....................................................................................38 Triangolo di Tartaglia ....................................................................................................................39 Definizione di Cammino Crescente ...............................................................................................40 LEZIONE XI - 17/02/2004 ............................................................................................................................ 40
Formula di Da Silva .......................................................................................................................40 Formula di Sylvester ......................................................................................................................41 LEZIONE XII - 19/02/2004 ........................................................................................................................... 43
Numero di funzioni suriettive ........................................................................................................43 Definizione di “punto fisso” ..........................................................................................................43 Definizione di Trasposizione .........................................................................................................43 Cardinalità dell’insieme delle permutazioni senza punti fissi .......................................................45 La funzione di Eulero.....................................................................................................................46 Partizione in “fibre” .......................................................................................................................48 LEZIONE XIII - 23/02/2004.......................................................................................................................... 49
Numeri di Fibonacci.......................................................................................................................49 Numeri di Stirling di II specie........................................................................................................50 Numeri di Bell................................................................................................................................51 Multinomiali ..................................................................................................................................52 LEZIONE XIV - 26/02/2004.......................................................................................................................... 53
Multinsiemi ....................................................................................................................................54 LEZIONE XV - 01/03/2004 ........................................................................................................................... 56
Numeri in base a ............................................................................................................................56 Teorema .........................................................................................................................................58 Il crivello di Eratostene (III secolo a.C.)........................................................................................59 LEZIONE XVI - 09/03/2004.......................................................................................................................... 59
Notazioni di m.c.m e M.C.D..........................................................................................................60 Teorema dei resti............................................................................................................................60 Teorema .........................................................................................................................................60 Riepilogo (affermazioni equivalenti per esprimere la congruenza mod m)...................................61 Teorema .........................................................................................................................................61 Teorema .........................................................................................................................................61 Teorema .........................................................................................................................................62 Secondo corollario al Teorema di Fermat......................................................................................62 Teorema cinese dei resti.................................................................................................................63 LEZIONE XVII - 16/03/2004 ........................................................................................................................ 64
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Esercizio sul teorema cinese dei resti ............................................................................................64 Come si trova l’inverso di un numero mod n.................................................................................64 Teorema di Eulero..........................................................................................................................65 Proprietà della congruenza.............................................................................................................66 APPENDICE (prof. Koning)........................................................................................................................... 67 LEZIONE I - 02/03/2004 ............................................................................................................................... 67
Ripasso sugli “ordini” ....................................................................................................................67 Ordine “indotto”.............................................................................................................................68 Ordine “stretto” ..............................................................................................................................68 Elementi “massimali” e “minimali”...............................................................................................68 Il “più grande ” e il “più piccolo” (massimo e minimo) ................................................................69 Definizioni di “maggiorante” e “minorante” .................................................................................70 Definizione di “estremo superiore ” e “estremo inferiore”............................................................70 LEZIONE II - 04/03/2004 .............................................................................................................................. 72
Definizione di “morfismo(di ordini)” ............................................................................................72 Reticoli e “reticoli completi” .........................................................................................................73 Proprietà dei reticoli.......................................................................................................................75 Proposizione 1................................................................................................................................76 Proposizione 2................................................................................................................................77 Definizione di Algebra generale ....................................................................................................77 Altra definizione di reticolo ...........................................................................................................77 Proposizione 3................................................................................................................................78 LEZIONE III - 08/03/2004............................................................................................................................. 79
Definizione di un ordine su V ........................................................................................................79 Lemma 1 ........................................................................................................................................79 Corollario 1 ....................................................................................................................................79 Prodotto cartesiano tra reticoli .......................................................................................................80 Morfismo di reticoli .......................................................................................................................80 Sistemi di chiusura .........................................................................................................................81 LEZIONE IV - 11/03/2004 ............................................................................................................................ 82
Connessioni di Galois ....................................................................................................................83 Lemma 2 ........................................................................................................................................84 Proposizione 4................................................................................................................................84 Proposizione 5................................................................................................................................86 “Estensione” e “Intenzione” di un concetto...................................................................................87 LEZIONE V - 15/03/2004.............................................................................................................................. 88
“Contesti” e “Concetti”..................................................................................................................88 Lemma 3 ........................................................................................................................................89 Corollario2 .....................................................................................................................................90 Algoritmo intuitivo per la costruzione del reticolo di concetti di un contesto finito .....................91
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LEZIONE I - 26/01/2004 Definizione di insieme infinito secondo Dedekind Un insieme è infinito quando può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.
Definizione di insieme finito Un insieme è finito se i suoi valori si combinano in modo finito o anche se non è infinito.
Definizione di insieme numerabile Un insieme X si dice numerabile se indicata con
. La cardinalità di
viene spesso
(si legge aleph con zero). Quindi per dire che X è numerabile si
scriverà anche . Il simbolo è la prima lettera dell'alfabeto ebraico.
Definizione di insieme discreto Un insieme è discreto se è finito oppure numerabile.
Matematica Discreta Matematica che si occupa di insiemi che sono o finiti o numerabili.
Partizione di un numero Una partizione di un numero n è un insieme di numeri (Λ1, Λ2,… Λt) tali che Λ1 ≥ Λ2 ≥ Λ3…≥ Λt e Λ1+ Λ2+….+ Λt = n .
Diagramma di Ferrer Λ1 Λ2 ….. Λt Λ1 Λ2 . . Λt
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Tabella di Young Una tabella di Young è un diagramma di Ferrer riempito con i primi n numeri naturali, con la condizione che da sinistra a destra sono crescenti e dall’alto in basso sono crescenti (una tabella si dice “standard” se non ci sono ripetizioni di numeri).
LEZIONE II - 27/01/2004 Algoritmo di Robinson-Shensted-Knuth Sia data una sequenza casuale di numeri, per esempio: 617258394 Per ottenere la massima sequenza crescente o decrescente bisogna prima creare una tabella di Young nel seguente modo: Partendo da sinistra a destra si inseriscono i numeri facendo saltare ogni volta il più piccolo tra i più grandi PASSI 1) 6
6) 1 2 5 8 67
2) 1 6
7) 1 2 3 8 57 6
3) 1 7 6
8) 1 2 3 8 9 57 6
4) 1 2 67 5) 1 2 5 67
9) 1 2 3 4 9 578 6
Indicando con Cl(x) l’indice di colonna in cui viene inserito x nella prima riga si può scrivere: 6
Cl(6) = 1 ; Cl(1) = 1; Cl(7) = 2; Cl(2) = 2; Cl(5) = 3; Cl(8) = 4; Cl(3) = 3; Cl(9) = 5; Cl(4) = 4 Indicando con Vk gli elementi che hanno classe k: V1 = 6 1; V2 = 7 2; V3 = 5 3; V4 = 8 4; V5 = 9 Ora si prende per primo il valore (9) dell’ultimo insieme, quello con pedice pari al numero delle colonne, poi l’8 cioè l’elemento che lo precedeva al momento dell’inserimento e procedendo così si ottiene la massima successione decrescente: 98521 Invertendola si ottiene la massima successione crescente 12589 N.B. Se si considera la sequenza di partenza inversa a quella precedente 493852716 applicando l’algoritmo si otterrà una tabella di Young che è la trasposta di quella dell’esempio sopra. 156 27 38 4 9
Permutazione di S Dato un insieme S, una permutazione su k elementi di S è una funzione iniettiva da K = {1; 2; …… ; k} in S. Alla funzione iniettiva f : K Æ S si associa la k-pla delle immagini distinte (f(1); f(2); ..... ; f(k)) appartenenti a S x S x .........x S Si può quindi anche dire che una permutazione è una k-pla o una lista di k elementi distinti di S. (o che è una biezione da S in sé.) N.B. Le permutazioni su N oggetti sono n! σєS
1 2 …… n σ(1) σ(2)…… σ(n)
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ESEMPIO: 123456 231654
21
23 12
13 12 2 3
136 124 2 3
135 26
124 35
134 25 6
124 35 6
La tabella a sinistra è costruita con l’algoritmo di Robinson-Shensted mentre la tabella di destra viene creata mettendo il numero corrispondente al numero inserito nella tabella di sinistra nella posizione della nuova casella che salta. N.B. Se f * f –1 da l’identità allora la funzione f è biunivoca Si può verificare la biunivocità partendo dalle due tabelle e tornando alla permutazione.
Algoritmo di Robinson-Shensted-Knuth nel caso di ripetizioni ESEMPIO: Consideriamo la seguente sequenza: 3 1 2 3 3 1 2 PASSI: 1) 3
4) 1 2 3 3
2) 1 3
5) 1 2 3 3 3
7) 1 1 2 3 23 3
3) 1 2 3
6) 1 1 3 3 2 3 Cl(3) = 1 ; Cl(1) = 1; Cl(2) = 2; Cl(3) = 3; Cl(3) = 4; Cl(1) = 2; Cl(2) = 3; 8
V1 = 3 1; V2 = 2 1; V3 = 3 2; V4 = 3 La massima sequenza decrescente è quindi : 3 3 2 1
LEZIONE III - 28/01/2004
Legge di composizione interna “ * ” è una legge di composizione interna di un insieme G se, considerati due elementi appartenenti all’insieme G, il risultato della loro composizione appartiene ancora all’insieme G. Ovvero ∀ x , y ∈ G , x * y ∈ G PROPRIETA’: 1) * è associativa se : (x * y) * z = x * (y * z) per ogni x, y,z ∈ G 2) * è commutativa se : x * y = y * x per ogni x, y ∈ G (Esempio di operazioni non commutative: 1) l’applicazione del valore assoluto e poi della radice quadrata a un numero; 2) considerato il gruppo delle permutazioni S di n elementi se n>2 l’operazione di composizione di permutazioni non è commutativa) 3) e è l’elemento neutro rispetto a * se : x * e = e * x = x per ogni x ∈ G N.B. l’elemento neutro se esiste è unico. 4) g è l’inverso di x se : x * g = g * x = e . Se esiste l’inverso di un elemento esso è unico. L’inverso di x viene usualmente denotato con x – 1.
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Definizione di “monoide” Un insieme G diverso dal vuoto con una legge di composizione interna è detto monoide.
La struttura di gruppo. DEFINIZIONE. Un insieme A si dice gruppo rispetto alla operazione * se sono soddisfatte le seguenti proprietà: G1) A è chiuso rispetto all'operazione * . G2) L'operazione * è associativa in A. G3) Esiste in A l'elemento neutro rispetto a * . G4) Esiste l'inverso rispetto a * di ogni elemento di A.
Se (A, * ) è un gruppo, e inoltre l'operazione * gode della proprietà commutativa, allora si dice che (A, *) è un gruppo commutativo, oppure gruppo abeliano .
ESEMPI:
(N,+) monoide associativo con unità (“con unità” significa con elemento neutro); (N,*) monoide associativo con unità; (Z,+) gruppo abeliano; (Z,*) monoide associativo con unità; (Q,+) gruppo abeliano; (Q,*) gruppo abeliano; (R,+) gruppo abeliano; 10
(R,*) gruppo abeliano; (C,+) gruppo abeliano; (C,*) gruppo abeliano;
Definizione di semigruppo Considerato un gruppo (G,*) e un suo sottoinsieme G’ diverso dal vuoto tale che (G’,*) sia ancora un gruppo allora G’ è un sottogruppo di G e si può scrivere: G’ ≤ G
Esempi di sottogruppi “banali”: l’insieme G stesso e l’elemento neutro.
Proprietà di un gruppo
Considerato un insieme G e una sua operazione *, se un’equazione in G ha una e una sola soluzione allora G è un gruppo (viceversa se G è un gruppo l’equazione ha una e una sola soluzione). DIMOSTRAZIONE: Considerato un gruppo (G,*) e due elementi a,b ∈ G a * y = b Æ a’ * (a * y) = a’ * b Æ (a’ * a) * y = a’ * b Æ e * y = a’ * b Æ y = a’ * b
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LEZIONE IV - 02/02/2004
Relazione Consideriamo due insiemi A ,B diversi dal vuoto. Una relazione tra due insiemi A e B è un insieme di coppie formate ognuna da un elemento di A, e da uno di B; i due elementi si dicono allora in relazione. Il primo insieme si dice dominio della relazione, il secondo codominio. Dal momento che il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è definito come l'insieme di tutte le possibili coppie di questo tipo, si può anche definire la relazione tra gli insiemi A e B, come un qualsiasi sottoinsieme del prodotto AxB.
Definizione di Funzione Sia f una relazione tra gli insiemi X e Y, f è una funzione (f: X Æ Y) se ∀ x1,x2 ∈ X f(x1) ≠ f(x2) ⇒ x1 ≠ x2 (il significato è: per ogni due numeri appartenenti all'insieme X se essi possiedono due corrispondenti diversi in Y allora essi sono per forza diversi). Ricordiamo brevemente che una applicazione o funzione tra due insiemi è un oggetto f che mappa elementi di un insieme A in un altro insieme B, e si indica con f : A -> B A è detto Dominio e B è detto Codominio della funzione f. L'insieme degli elementi distinti in B ottenuti applicando f ad A è detto "immagine di A secondo f" e si indica con f(A) := Im(f) := {b in B tali che b = f(a) per ogni a in A} f è detta: • • •
iniettiva se f(a) = f(b) <=> a = b per ogni a, b in A suriettiva se f(A) = B biettiva se f è suriettiva ed iniettiva 12
Definizione di “morfismo” Siano G e G' due gruppi. Una funzione ϕ : G Æ G’ è detta un morfismo se ∀ g1,g2 ∈ G
ϕ(g1*g2) = ϕ(g1) ∗ ϕ (g2)
Cioè se l’immagine della composizione “*” è la composizione delle immagini.
Definizione di “isomorfismo” Se un morfismo ϕ è una funzione biettiva allora ϕ è un isomorfismo. N.B. Se due gruppi sono isomorfi allora hanno le stesse proprietà (quindi è conveniente studiare il più semplice).
Definizione di “anello”
Si chiama anello una terna (R,+;*) dove R è un insieme e +, * sono due operazioni su R tali che: 1. (G,+) è un gruppo commutativo 2. (G, *) è un semigruppo (* è una legge di composizione interna associativa) 3. per ogni a,b,c ∈ R si ha a (b+c) = ab + ac e (b+c) a = ba+ca. Le due proprietà del punto 3 si dicono proprietà distributive a sinistra e a destra. L'elemento neutro della somma sarà denotato con 0 e l'inverso di a per la somma sarà denotato con -a. Per brevità si scriverà a-b invece di a+(-b). Un anello si dice commutativo se l'operazione * è commutativa. Si dice che R è un anello con unità se esiste un elemento non nullo che sia neutro per * (i.e. (R,*) è un monoide). Tale elemento neutro, che è unico è detto l'identità dell'anello e denotato con 1.
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N.B. Bisogna specificare sia la distributività a destra che a sinistra perché non è detto che il prodotto sia commutativo (si pensi per esempio al prodotto tra matrici)
Perché un numero moltiplicato per 0 da sempre come risultato 0 ?
x*0 = x* (1-1) = x*1 + x* (-1) questo è vero poiché vale la proprietà distributiva però bisogna dimostrare perché (-1)*x = -x DIMOSTRAZIONE 0 = 0 * x = (-1+1)*x = (-1)*x + 1*x = (-1)*x+x ⇒ (-1)*x = -x
Definizione di “corpo” Un anello con identità viene detto un corpo se ogni suo elemento diverso da 0 è invertibile. N.B. Lo spazio di matrici quadrate (a determinante non nullo) cioè (M,+,*) non è un corpo poiché il gruppo (M,+) non è abeliano.
Definizione di “campo” Un campo è un corpo commutativo.
Relazioni d'equivalenza: definizione e prime proprietà Sia X un insieme, una relazione su X è un sottoinsieme di X x X. Se R è una relazione su X si scriverà x R x piuttosto che x1,x2 ∈ R .Diremo che R è una relazione d'equivalenza se verifica le seguenti proprietà: 1. (proprietà riflessiva) x R x per ogni x ∈ X; 14
2. (proprietà simmetrica) x1 R x2 ⇒ x2 R x1 per ogni x1,x2 ∈ R; 3. (proprietà transitiva) x1 R x2 e x2 R x3 ⇒ x1 R x3 per ogni x1,x2,x3 ∈ R. Se R è una relazione d’equivalenza in A e x ∈ A, si chiama classe d’equivalenza di x l’insieme [x] di tutti gli elementi di A equivalenti a x, in formula [x]R = {y ∈ X | y R x}
Partizione di un insieme Dato un insieme A ed una classe finita di sottoinsiemi di A che denotiamo con Ai con i = 1..n , si dirà che tale classe forma una partizione (Π) dell'insieme A se e solo se: 1) Ai ≠ ∅ ∀i = 1..n 2) Ai ∩ Aj = ∅ ∀i,j = 1..n se i ≠ j 3) ∪i = 1 Ai = A
Dalla definizione data segue che ogni elemento di A appartiene ad uno ed uno solo dei sottoinsiemi Ai. ESEMPIO: Dato un insieme : A = {#, § ,*} I sottoinsiemi sono 2n dove n è la cardinalità: ∅ , {#}, {§} , {*} , {#,§}, {*,§}, {*,#}, {#, § ,*} Le partizioni: Π1 = {{#},{§},{*}}, Π2 = {{#,§},{*}}, Π3 = {{#,*},{§}}, Π4 = {{#},{§ ,*}}, Π5 = {{# ,§ ,* }} 15
Proprietà delle classi di equivalenza Le classi di equivalenza determinate dagli elementi di un insieme E, rispetto ad una qualsiasi relazione di equivalenza R, godono delle seguenti proprietà: 1) ogni classe è non vuota: ∀x ∈ E [x ] ≠ ∅; 2) due classi coincidono aut sono disgiunte, cioè: [x ] ≠ [y ] ⇒ [x ] ∩ [y ] = ∅; 3) l’unione di tutte le classi di equivalenza coincide con E: ∪x ∈ E [x ] = E. Infatti, la prima proprietà è ovvia per definizione di classe di equivalenza ed esistono classi perché E è non vuoto. Se x ed y sono elementi di E si ha [x ] = [y ] oppure [x ] ≠ [y ]. Proviamo che nella seconda eventualità [x ] ∩ [y ] = ∅. Ragionando per assurdo, supponiamo che sia [x ] ≠ [y ] e che esista un elemento z ∈ [x ] ∩ [y ]. Si ha z R x, z R y, da cui x R z e z R y, e per transitività segue x R y, cioè [x] = [y ], contraddicendo l’ipotesi. Per la 3), osserviamo che ovviamente risulta ∪x ∈ E [x ] ⊂ E, poiché ogni classe è contenuta in E. Inoltre, per ogni x ∈ E si ha x ∈ [x ] e quindi E ⊂ ∪x ∈ E [x ].
Insieme quoziente L’insieme di tutte le classi d’equivalenza si indica con A/ ~ e si dice insieme quoziente di A rispetto a ~ , in formula A/~ = {[x] | x ~ A} Si osservi che ovviamente x ∈ [x] e che se x, y ∈ A, allora [x ]= [y] se e solo se x ~ y . L’applicazione suriettiva π : A Æ A/~ data da π(x) = [x] per ogni x ∈ A, `e detta proiezione canonica
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N.B. “Ogni relazione di equivalenza su un insieme E determina una partizione di E i cui elementi sono le classi di equivalenza.” e viceversa, cioè: “Ogni partizione di un insieme E determina una relazione di equivalenza su E le cui classi sono gli elementi della partizione.” Dimostrazione: Sia (Ai )i∈I, I ≠ ∅, una partizione di E ≠ ∅. Definiamo la relazione R ⊂ E × E nel modo seguente: ∀ (x, y ) ∈ E × E
x R y ⇔ ∃i ∈ I ∋′ x ∈ Ai ∧ y ∈ Ai.
Osserviamo che per definizione di unione x ∈ E = ∪ i ∈I Ai ⇒ ∃i ∈ I ∋′ x ∈ Ai ⇒ x R x e quindi vale la proprietà riflessiva. Siano ora x, y ∈ E. Allora si ha x R y ⇒ ∃i ∈ I ∋′ x ∈ Ai ∧ y ∈ Ai ⇒ y R x, e la proprietà simmetrica è verificata. Infine, per ogni x, y, z ∈ E, risulta: (x R y ∧ y R z ) ⇒ (∃i ∈ I ∋′ x ∈ Ai ∧ y ∈ Ai ) ∧ ( ∃j ∈ I ∋′ y ∈ Aj ∧ z ∈ Aj ) Segue che y ∈ Ai ∩ Aj, e per la 2) della definizione di partizione dovrà essere i = j, da cui si ottiene z ∈ Ai. Dunque: (x R y ∧ y R z ) ⇒ ∃i ∈ I ∋′ x ∈ Ai ∧ z ∈ Ai ⇒ x R z, e vale la proprietà transitiva. Infine per ogni x ∈ E, si ha ∃| i ∈ I ∋′ x ∈ Ai e quindi [x ] = {y ∈ E y R x } = {y ∈ E y ∈ Ai } = Ai.
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Relazione d’ordine: definizione e proprietà
Sia A un insieme non vuoto ed R una relazione in A . La relazione R è detta d'ordine se essa gode delle proprietà: 1. riflessiva 2. antisimmetrica ( a R b e b R a ⇒ a = b ) 3. transitiva Un insieme A in cui sia definita una relazione d'ordine R è detto insieme ordinato. Un insieme diverso dal vuoto munito di una Relazione d’Ordine si chiama PARZIALMENTE ORDINATO. Se (A; ≤) è parzialmente ordinato e ∀ a,b ∈ A ⇒ a ≤ b oppure b ≤ a si dice insieme ad ORDINE TOTALE (Es. : una retta è un insieme totalmente ordinato.)
Rappresentazione di una relazione d'ordine con i diagrammi di Hasse Le strutture d'ordine sono rappresentate tramite dei diagrammi particolari detti diagrammi di Hasse. Tali diagrammi consistono nell'ordinare gli elementi dell'insieme A su cui e definita la relazione d'ordine R e di collegarli tra di loro in un diagramma disponendoli dal basso verso l'alto. L'importanza di tali diagrammi è dovuta al fatto che un semplice sguardo ad essi permetti di riconoscere quasi tutte le proprietà della relazione oggetto di studio. Consideriamo l'insieme A = { 1,2,3,4,5,6,7,8 }e la relazione d'ordine definita dal predicato in due variabili R(x,y) = x divide y. Notiamo allora che
dall'analisi di tali relazioni è allora immediato costruire il diagramma di Hasse come evidenziato nella figura sottostante:
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Diagramma di Hasse di una struttura non totalmente ordinata
LEZIONE V - 03/02/2004 L'assioma di buon ordinamento Definizione Un ordinamento totale su un insieme X si dice un buon ordinamento, e in tal caso l'insieme ordinato (X; ≤) si dice ben ordinato se ogni sottinsieme non vuoto di X ha minimo. Teorema (buon ordinamento) Nei complessi non è possibile inserire un ordinamento totale Dimostrazione. Consideriamo il campo (C;+;*) e il C+ ⊆ C chiuso rispetto alla somma e al prodotto e tale che per ogni z ∈ C z = 0 o z ∈ C+ oppure –z ∈ C+ 1) -1 = i2 = i*i = (-i)*(-i) ∈ C+ con i ≠ 0 |
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2) +
1 = 1∗1 = (−1)∗(−1) ∈ C
Come si può notare non sono rispettate le condizioni sopra (un elemento e il suo opposto appartengono entrambi a C+ ). ESEMPIO: Data la seguente permutazione: 1234567 3421756 e il seguente ordinamento (a,b)<(c,d) se a
d ecco il relativo diagramma di Hesse: 41
65
76
32
57 13
24
Due elementi sono confrontabili se esiste un “cammino” che fa passare da uno all’altro. N.B. Le tabelle di Young sono legate a questi insiemi ordinati parzialmente.
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Teorema della Divisione Se a ≥ 0 e b > 0 sono interi, esistono e sono univocamente determinati gli interi q ≥ 0 ed r tali che a = bq + r e 0 ≤ r < b: q ed r sono detti rispettivamente il quoziente e il resto della divisione.
Definizione di divisibilità Dati due interi a e b diciamo che b è un divisore di a, e scriviamo b|a, se, dividendo a per b si ottiene resto 0 cioé se a = qb. Equivalentemente si dice che b divide a oppure che a è divisibile per b, oppure ancora che a è un multiplo di b. PROPRIETA’ 1) Se a|b e b|c ⇒ a|c (transitività) Poiché b = aq, c=bq’ = (aq)q’ = a(qq’) con q e q’ ∈ Z 2) Se a|b e b|a ⇒ a = ± b poiché b = aq, a = bq’ ⇒ b = b(qq’) ⇒ qq’=1 3) 0|a , q ∈ Z: 0 = aq ⇒ q = 0 vera per ogni a 4) b|0 , b = 0q ⇒ b = 0 5) a|b, a|c ⇒ a|(hb+kc) per ogni h,k ∈ Z DIM. poiché b=aq, c=aq’ ⇒ hb+kc= a(hq+kq’) 6) a|b, a|(b+c) ⇒ a|c DIM. ?
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Relazione di congruenza Fissato un intero n , (n ≥ 2), due interi a, b ∈ Z sono detti congruenti modulo n se n | (b – a) . In questo caso si scrive a ≡ b mod n.
Teorema. La relazione di congruenza modulo n é una relazione di equivalenza su Z. Le classi di equivalenza sono dette le classi di congruenza modulo n o anche classi di resto modulo n. L’insieme delle classi di congruenza modulo n è denotato con Zn. DIMOSTRAZIONE 1) proprietà riflessiva: a ≡ a poiché n | (0=a-a) 2) proprietà simmetrica: a ≡ b ⇒ b ≡ a poiché n|(a-b) se (a-b) = nq ⇒ (b-a) = n(-q) e –q ∈Z 3) proprietà transitiva: a ≡ b, b ≡ c ⇒ a ≡ c poiché (b-a) = nq, (c-b)= nq’ ⇒ c-a-nq = nq’ ⇒ c-a = n(q+q’) In conclusione ≡ è una relazione di equivalenza perciò possiamo indurre una partizione su Zn i cui blocchi sono le classi di equivalenza. ESEMPIO n=3 [0] = {…,-9,-6,-3,0,3,6,9,…} classe di congruenza [1] = {…,-5,-2,1,4,7,…} [2] = {…,-4,-1,2,5,8,..} per esempio per la classe [2] : n|(b-a) ⇒ 3|(2-(-4)) ⇒ 3|6
22
Teorema. Dati gli interi a,b,a’,b’ se: a ≡ b mod n ,
a’ ≡ b’ mod n
allora a+a’ ≡ b+b’ mod n,
aa’≡bb’ mod n
cioè se sono congruenti gli argomenti, lo sono anche i risultati della composizione di somma e prodotto. DIMOSTRAZIONE Da a ≡ b mod n segue che b = a+nq e da a’ ≡ b’ mod n segue che b’ = a’+nq’. Quindi sommando e moltiplicando si ottiene: b+b’ = a + a’ + (q+q’)n e bb’ = aa’+ (qa’+q’a+qq’n)n cioè la tesi.
Aritmetica modulare Il teorema precedente consente di introdurre una somma e un prodotto tra classi, utilizzando la somma e il prodotto tra gli interi che rappresentano le classi, nel seguente modo: [a] + [b] = [a + b]; [a]* [ b] = [a* b]. Le due operazioni di somma e prodotto definite su Zn soddisfano alle analoghe proprietà della somma e prodotto in Z, cioè alla proprietà associativa di somma e prodotto, alla proprietà commutativa di somma e prodotto, alla proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, all’esistenza degli elementi neutri rispetto alla somma e al prodotto, . . . . 23
Si costruisce in questo modo, per ogni intero n fissato, una struttura algebrica denotata con (Zn;+; *). L’aritmetica modulare é proprio lo studio delle proprietà di questa struttura.
LEZIONE VI - 04/02/2004 Definizione Se deve esserci una sola soluzione per equazione devono comparire tutti e soli gli elementi dell’insieme per ogni riga della tabelle di Cayley sottostanti. GRUPPO ADDITIVO + 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
2 2 3 1
3 3 1 2
GRUPPO MOLTIPLICATIVO + 1 2 3
1 1 2 3
N.B. Vale la proprietà distributiva (2*2=2*(1+1)=2*1+2*1=2+2) se ( {0,1,2,3};+;* ) è un CAMPO ma la proprietà distributiva non può valere poiché il numero degli elementi dell’insieme (n = 4) non è un numero primo. 24
Definizione di numero primo p ∈ Z è primo se per ogni x ∈ Z – {1,-1,p,-p}: x non divide p N.B. 1 non è primo
Il teorema fondamentale dell'Aritmetica (o della fattorizzazione unica) Per ogni n∈ N, n ≥ 2 esistono numeri primi p1, p2 ,… pk tali che n = p1 p2… pk. Se anche q1, q2 ,… qh sono primi positivi tali che n = q1 q2… qk, esiste una biezione σ : {1,2,…….h} Æ {1,2,…..k} tale che qi = p σ(i) . In altre parole, ogni intero maggiore di 2 è fattorizzabile in un unico modo (non tenendo conto della commutatività) in un prodotto di numeri primi. DIMOSTRAZIONE Procediamo per induzione su n. Se n=2 non c'è nulla da dimostrare in quanto 2 è primo. Supponiamo n>2 e che la tesi sia vera per ogni k1 allora qj=p1 per ogni j. Se ora fosse h>1 si avrebbe n = q1 q2… qh ≥ q1 q2 = p1 2 > p1 = n e questo è assurdo, e quindi h=1 e q1=p1. (BREVE PARENTESI che verrà dimostrata più avanti. Se p è primo e p | ab allora p|a oppure p|b). Sia k>1, allora pk | n = q1 q2… qh , quindi esiste un j tale che pk | qj. Dato che sia pk che qj sono primi positivi, allora pk=qj. Ma allora p1 p2… pk-1 = q1 q2… qj-1 qj+1 … qh , per ipotesi di induzione possiamo allora dire che le due fattorizzazioni hanno lo
25
stesso numero di elementi, ossia k-1=h-1, e che esiste una biezione σ : {1,2,…….j-1,j+1,…..,k} Æ {1,…..,k-1} tale che qi = p σ(i) per ogni i. Definendo allora σ : {1,2,…….n} Æ {1,2,…..n}
si ottiene una biezione tale che qi = p σ(i) per ogni i.
COROLLARIO: Per ogni n ≥ 2 esiste un solo insieme p1 ,p2… ,pt tali che n = p1 p2… pt con p1≥p2 ≥… ≥pt Quindi ogni numero naturale è esprimibile come un prodotto di potenze di numeri primi.
LEZIONE VII - 09/02/2004 Definizioni di divisori dello zero In Zn può accadere che il prodotto di due elementi diversi da zero sia uguale a zero, cioé che non valga la legge di annullamento del prodotto. Per esempio, in Z6 risulta [2][3] = [0] ed ´e [2] 6= [0] e [3] 6= [0]. Un elemento a ∈ Zn si dice divisore dello zero se esiste un elemento b ≠ 0 tale che ab = 0.
Definizione di Dominio di Integrità Anello commutativo con unità privo di divisori dello zero non nulli. (Es. qualunque corpo o campo o anche Z). N.B. Un elemento a ∈ Zn é divisore dello zero se, e solo se, a ed n non sono relativamente primi (due o più numeri interi il cui massimo comune divisore è 1). 26
DIMOSTRAZIONE Se a ed n non sono relativamente primi, per d = MCD(a; n); abbiamo 1 < d ≤ n; così b = n/d è minore di n e risulta ab = 0 in Zn. Se ab = 0, con 0
Zn è un dominio d’integrità? Zn è un Anello con unità commutativo ma non è un dominio d’integrità se n non è primo. Se n è primo è un dominio d’integrità. DIMOSTRAZIONE Sia n = pq non primo con p e q maggiori di 1. Consideriamo [p] ≠ [0], [q] ≠ [0] [p] [q] = [p q] = [n] = [0] se n non è primo abbiamo sicuramente dei divisori dello zero. Ogni campo è un dominio di integrità. Dimostrazione: Sia R campo. Se R non è dominio di integrità, allora pq=0 con p,q≠0. Siccome R è un campo l’ inverso di p è p-1 e quindi q=1*q=p-1*p*q=p-1*0=0 assurdo (altrimenti sarebbe 1*q = 0).. Sappiamo che tra le classi di equivalenza vale la proprietà distributiva infatti abbiamo già dimostrato che [a]+[b] = [a+b], [a] [b] = [ab] Allora 1) [a] ([b]+[c]) = [a] [b+c] = [a(b+c)] = [ab+ac] = [ab]+[ac] (DISTRIBUTIVA) 2) [a]+([b]+[c]) = [a]+[b+c]=[a+(b+c)]=[(a+b)+c]=[a+b]+[c]=([a]+[b])+[c] (ASSOCIATIVA) 3) [a]+[0]= [a+0]=[a]=[0+a]=[0]+[a] (ELEMENTO NEUTRO) 4) [a]+[-a] = [a-a]=[0]=[-a+a]=[-a]+[a] [a]+[b]=[a+b]=[b+a]=[b]+[a] quindi Zn è un gruppo abeliano 5) [a] ([b][c]) = [a][bc] = [a(bc)] = [ab][c]=([a][b])[c] 6) [a][1]=[a*1] = [a]= [1*a]=[1][a] (ELEMENTO NEUTRO) 27
7) [a][b]=[ab]=[ba]=[b][a] (COMMUTATIVA)
LEZIONE VIII - 10/02/2004 Teorema di divisione Dati a,b ∈ Z, b ≠ 0 allora esistono q,r ∈ Z tali che a = bq+r con 0 ≤ r < |b| (q quoto, r resto, a dividendo,b divisore). DIMOSTRAZIONE Dato un divisore b ≠ 0 dimostreremo che per ogni a ≥ 0 esistono un quoziente q ed un resto r con 0 ≤ r < a tali che a = qb + r. Si procede per induzione su a ≥ 0. Si ha 0 = b · 0 + 0 quindi quando a = 0 possiamo porre q = r = 0. Sia a > 0 e supponiamo che per ogni c, 0 ≤ c < a esistano q0 , r0 con 0 ≤ r0 < b e c = q0b + r0. Consideriamo ora a. Se a < b allora a = 0 · b+a possiamo quindi porre q = 0, r = a. Se a ≥ b, sia c = a - b. Allora 0 ≤ c < a. Per induzione si ha c = q0b + r0 per opportuni q0 ed r0 con 0 ≤ r0 < b. Ma allora a = b + c = b + b q0 + r0 = b(q0 + 1) + r0 e 0 ≤ r0 < b. Basta allora porre q = q0 + 1, r = r0. Per induzione quindi ogni a ≥ 0 può essere scritto come a = qb + r con 0 ≤ r < b. Per provare l’unicità supponiamo di avere q, q’ e r, r’ con a = qb+r e 0 ≤ r < b, ed anche a = q’b + r’ e 0 ≤ r’ < b. Vogliamo provare che r = r’ e q = q’: supponiamo r’ ≥ r e sottraiamo a = bq’ + r’ da a = bq + r, otterremo b(q – q’) + (r – r’) = 0, ovvero b(q – q’) = r’ - r. Poiché r’- r ≥ 0 e b > 0 si ha q-q’ ≥ 0. Ora r’- r ≤ r’ < b, quindi b(q-q’) < b pertanto q – q’ < 1. Essendo q – q’ un numero intero necessariamente avremo q – q’ = 0, cioé q = q’ da cui r’ - r = b(q – q’) = 0 ovvero r = r’.
Definizione di Massimo Comun Divisore Un numero d è il massimo comun divisore (MCD) di a e b se: i) d|a e d|b; ii) se x è un divisore comune di a e b allora x divide d. Infine a e b si dicono coprimi (o relativamente primi) se il loro MCD è 1. 28
Se non c’e’ ambiguità il massimo comun divisore di a e b si denota con (a, b) ed è unico.
Definizione di numeri relativamente primi Due o più numeri interi sono relativamente primi quando il loro massimo comune divisore è 1
Identità di Bezout Siano a,b due numeri naturali se d = (a,b) allora esistono dei numeri interi (positivi o negativi) u, v tali che: au + bv = d. DIMOSTRAZIONE Sia A l'insieme dei numeri interi della forma ax+by dove x, y sono numeri interi qualsiasi. Sia A+ l'insieme degli ax+by che sono strettamente positivi. Osserviamo che a = a.1+b.0, b = a.0+b.1 quindi a e b sono in A+. Sia d il più piccolo elemento di A+. Essendo d un elemento di A abbiamo d = au+bv per degli interi u,v. Per concludere ci basta far vedere che (a,b) = d. Mostriamo che ogni elemento di A é un multiplo di d. Sia t in A e t = qd+r, 0 ≤ r < d la divisione euclidea di t per d. Siccome t é in A abbiamo t = az+bw da cui: t - qd = a(z-qu)+b(w-qv) = r. Quindi anche r appartiene ad A ma: 0 ≤ r < d, e d é il più piccolo elemento di A+. L'unica possibilità é r = 0 pertanto t = qd. Abbiamo dimostrato che ogni elemento di A é un multiplo di d. In particolare d divide a e d divide b. Finalmente sia k > 0 che divide a e divide b, dalla scrittura d = au+bv segue che k divide d quindi k ≤ d. Questo conclude la dimostrazione dell'uguaglianza (a,b) = d e del teorema.
Algoritmo Euclideo Permette di calcolare il massimo comun divisore di due numeri interi positivi a e b senza doverli scomporre in fattori primi. Supponiamo che b sia il maggiore dei due numeri e cominciamo 29
col dividere b per a scrivendo: b = q1 a + r1 , 0 ≤ r1 < a Se r1 = 0 allora a divide b e il massimo comun divisore tra a e b è dato proprio da a. Supponiamo che r1 sia non nullo. Ogni divisore comune di a e r1 dividerà anche b, essendo b una combinazione lineare di a e r1. Viceversa si ha che r1 = b - q1a e quindi ogni divisore comune di a e b dividerà anche r1. Ne segue che il massimo comun divisore di a e b è anche il massimo comun divisore di a e r1. Dividiamo ora per r1: a = q2 r1 + r2 , 0 ≤ r2 < r1 Se r2 = 0 allora M.C.D.(a, b) = M.C.D.(a, r1) = r1, altrimenti: M.C.D.(a, b) = M.C.D.(a, r1) = M.C.D.(r1, r2). Continuando in questo modo, siccome ri continua a decrescere, dovremo raggiungere il punto in cui il resto è 0. Se rm è l’ultimo resto diverso da 0, allora rm sarà il massimo comun divisore tra a e b.
Lemma sui numeri primi Se p è un numero primo e p divide ab allora p divide a oppure p divide b. DIMOSTRAZIONE Sia d il massimo comun divisore di p e a se d > 1 allora d = p essendo p primo. In questo caso p|a. Se d = 1 per l’identità di Bezout possiamo scrivere 1 = ax + py per opportuni interi x e y. Quindi b = bax + bpy, ma p divide per ipotesi ab e ovviamente bpy e quindi divide b = abx + bpy. 30
LEZIONE IX - 12/02/2004 Teorema Se p è primo e [a][b] = [0] in Zp (insieme delle classi di equivalenza modulo p) allora [a]=[0] oppure [b] = [0]. DIMOSTRAZIONE Se [a b] = [0] allora p|ab, supponiamo che p divida a (dato che sicuramente p divide o a o b) quindi [a]=[0]. N.B. qui manca la dimostrazione che ha fatto per far vedere che esiste l’inversa per ogni elemento per l’operazione prodotto (non l’ho capita)!!!!
Teorema [a] è un elemento invertibile in Zn se e solo se MCD(a, n) = 1 DIMOSTRAZIONE Se [a] è invertibile allora esiste b ∈ Z tale che [a]·[b] = [1], quindi in Z esiste k tale che a · b = kn+1 e di conseguenza per la proposizione precedente 1 = MCD(a, n). Viceversa se MCD(a, n) = 1 per l’identità di Bezout esistono b e k tali che ab+kn = 1 e quindi, passando in Zn si ha la tesi. MCD(a, n) = 1 ⇒ ha + kn = 1, per qualche h, k ∈ Z ⇒ ha - 1 = -kn ⇒ ha ≡ 1(mod n) ⇒ ha = 1 in Zn. viceversa ax = 1 in Zn ⇒ ax ≡ 1(mod n) ⇒ ax - 1 = hn, per qualche h ∈ Z ⇒ ax - hn = 1 ⇒ MCD(a, n) = 1. Corollario Gli elementi di Zn sono tutti invertibili se, e solo se, n è un primo. In tal caso Zn è un campo.
31
Legge di cancellazione In un gruppo valgono le seguenti proprietà ax = ay implica x = y, xa = ya implica x = y. Dimostrazione per le classi di congruenza: [a]-1[ax] = [a]-1[ay] ⇒ 1 [x] = 1 [y] quindi [ax]=[ay] ⇒ [x]= [y] altra dimostrazione n|(ax-ay) ⇒ n|a(x-y) ⇒ n(x-y)
Teorema di Fermat
Se p è un numero primo e a è un intero non divisibile per p, allora ap- a è divisibile per p. ap ≡ a (mod p) DIMOSTRAZIONE Sappiamo che gli interi 1,2,......,p-1 coincidono, modulo p con gli interi a, 2a,….,(p-1)a (salvo che per l’ordine). Quindi 1 · 2 · ….. ·(p-1) = a·2a…(p-1)a = ap-1 1·2…(p-1) mod p Moltiplicando i due lati per gli inversi di 1,2,.....p-1 modulo p si conclude che 1 = ap-1 mod p
Corollario del Teorema di Fermat
Se a è invertibile e MCD(a,p) = 1 (quindi a non multiplo di p) allora [ap-2] = [a]-1 32
DIMOSTRAZIONE [ap] = [a] ⇒ [a][ ap-1]= [a] ⇒ [ap-1]= [1] ⇒ [a][ ap-2]= [1] ⇒ [ap-2]= [a]-1
c.v.d.
Definizione di lista Dato un insieme X, una funzione s da {1, 2, …} in X è detta una successione di elementi di X. Si preferisce denotare con si l’immagine s(i) dell’intero i; che è anche chiamato l’i-esimo termine della successione. Una lista o stringa o n-pla di elementi di X è una funzione da {1, 2,… , n} in X.
LEZIONE X - 16/02/2004 Se A è un insieme finito, cioè se A contiene un numero finito di elementi, il numero di elementi di A è un numero naturale detto cardinalità di A e denotato con |A| oppure con cardA. In tal caso |A| = 0 se e solo se A = 0 , |A| = n se e solo se A è in corrispondenza biunivoca con {1, 2, . . . , n}. Se A è un insieme finito e B ⊆ A, allora |B| ≤ |A|. Più in generale: siano A e B insiemi qualunque (non necessariamente finiti), A e B si dicono equipotenti o che hanno la stessa cardinalità se esiste una funzione biettiva tra A e B.
Definizione di Etichettamento
Un etichettamento è un ordine lineare dato a un insieme. Se l’insieme è finito è detto numerabile ed è in biezione con i primi n numeri naturali |A| = n ⇒ tra A e [n] c’è una biezione L’etichettamento è la funzione inversa “e”: [n]ÆA , e(i) = ai 33
La lista è descritta da una funzione che non è iniettiva. PRINCIPI 1) Se un insieme ha cardinalità n, il numero dei suoi sottoinsiemi è 2n. 2) PRINCIPIO DI UGUAGLIANZA. Dati due insiemi A,B , A è in biezione con B se e solo se |A|=|B| 3) PRINCIPIO DI SOMMA. Se A∩B = ∅ allora | AUB | = |A|+|B|. 4) PRINCIPIO DI MOLTIPLICAZIONE. |A x B| = |A| x |B| Consideriamo un insieme A di cardinalità m (|A|=m) , un insieme B di cardinalità n (|B|=n) e una funzione da A a B. |{f:AÆB| f funzione}| = |{liste di lunghezza m ad elementi in B}| = |{m-ple ad elementi in B}| = |BxBxBx…..xB| = applicando il principio di moltiplicazione = |B|· |B|·……·|B| = nm N.B. Se A e B sono insiemi finiti e BA è l’insieme di tutte le funzioni di A in B, allora |BA| = |B||A| Ricordiamo che se |A| = n, le funzioni biettive f :A Æ A sono dette permutazioni e si prova che sono n! Possiamo dare una semplice prova del seguente fatto • Se U è un insieme finito, allora |P(U)| = 2 |U| (Sia U un insieme, ricordiamo che l’insieme delle parti o insieme potenza di U è l’insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di U e si indica con P(U). )
La dimostrazione è mostrata subito dopo la definizione di funzione caratteristica sottostante.
Definizione di Funzione Caratteristica
Per ogni sottoinsieme A di U, si consideri la funzione χA :U Æ {0, 1} detta funzione caratteristica come segue: χA (x) =
0 se x ∉ A 1 se x ∈ A.
34
|A| = ∑ χA (x)
Dimostrazione |P(U)| = 2 |U| Definiamo ora f : P(U) Æ {0, 1}U ponendo f(A) = χA per ogni A in P(U). Si prova che f è biettiva. Se U è finito segue quindi che |P(U)| = |{χA | funzione caratteristica di A ⊆ U}| = = |{0, 1}U | = |{0, 1}||U | = 2 | U | . ESEMPIO U = {a,b,c} |2U| = 23 = 8
{a,b,c} {a,b}
{a,c}
{a}
{b,c}
{b}
{c}
∅ N.B. Ogni insieme sotto è sottoinsieme di quello sopra!
Dimostrazione che χ A∩B = χA · χB se A,B ⊆ U χ A∩B = χA · χB se χ (x)A∩B = χ(x)A · χ(x)B ∀ x ∈U con “\” simbolo di differenza tra insiemi:
x ∈ A\B vero perché x ∈ B\A vero perché x ∈ A∩B vero perché
χ A∩B 0 0 1
χA 1 0 1
35
χB 0 1 1
Dimostrazione che χ AUB = χA + χB -χA χB se A,B ⊆ U χ AUB = χA + χB -χA χB se χ(x) AUB = χ(x)A + χ(x)B – χ(x)A χ(x)B ∀ x ∈U
x ∈ A\B vero perché x ∈ B\A vero perché x ∈ A∩B vero perché
χ AUB 1 1 1
χA 1 0 1
χB 0 1 1
χAχB 0 0 1
N.B. | AUB | = ∑ χ (x)AUB = ∑ χ(x)A + ∑ χ(x)B - ∑ χ(x)A∩B = |A|+|B|-| A∩B |
Principio dei cassetti Se ho m oggetti ed n cassetti, se m>n allora almeno un cassetto contiene più di un elemento. CONSIDERAZIONI Consideriamo due insiemi A,B |A| = m , |B| = n |BA| = |B||A| Sia f: A Æ B se m>n : f non è iniettiva se m
Sia m ≤ n |{ f: AÆ B | f è 1-1}| = |{liste di lunghezza m ad elementi, a 2 a 2 distinti, in B}|
Dato un insieme B di cardinalità n, il numero delle permutazioni su m elementi di B è: (n)m = fattoriale decrescente di indice m = n (n-1) ·…(n-m+1) = n (n-1) ·…(n-(m-1)) = n!/ (n-m)! Se n < m Æ (n)m = 0 Se n > 0 Æ (n)0 = 1 Se m > 0 Æ (0)m = 0 , (0)0 = 1
Coefficiente Binomiale
Consideriamo due insiemi A, B di cardinalità |A| = n = |B| |{f: AÆ B| f iniettiva }| = (n)n = n! Il numero di sottoinsiemi di cardinalità k (con k ≤ n) di un insieme di cardinalità n è dato dal seguente coefficiente binomiale: n = k
(n)k -----k!
n! = ------ = (n-k)!k!
n n-k
Numero di sottoinsiemi di cardinalità n-k di un insieme di cardinalità n (sottoinsiemi complementari). Quindi, per riassumere: 37
(n)k
è il numero delle permutazioni di n elementi presi k alla volta;
è il numero delle combinazioni di n elementi presi k alla volta. Nel primo caso si tratta di funzioni iniettive, nel secondo di sottoinsiemi.
Teorema Binomiale (binomio di Newton)
Sia n un qualunque intero ≥ 1, si ha:
dove come definito sopra
Formula di Stifel
n
n-1 =
k
n-1 +
k
k-1
DIMOSTRAZIONE Sia A un insieme di cardinalità n n =
|{ X ⊆ A : |X| = k }|
k 38
Sia a ∈ A η = {X⊆Α: |X|=k e a ∉ X} ς = {X⊆Α: |X|=k e a ∈ X}
n
n-1 =
|ηUς|=|η|+|ς|=
k
n-1 +
k
k-1
(oppure della formula di Stifel si può dare un'elegante e semplice dimostrazione combinatoria nel modo seguente. Il primo membro è il numero di modi di mettere n biglie in due scatole così che la prima abbia k biglie e la seconda n-k. Fissata una biglia a, contiamo diversamente questi modi distinguendo quelli in cui la biglia non va nella prima scatola: sono ( n-1k ), da quelli in cui ci va: sono ( n-1k-1 ). Ora basta fare la somma.) A partire da questa formula si può creare il Triangolo di Tartaglia
Triangolo di Tartaglia
k n 0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 3 6 10
1 4 10
1 5
1
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Definizione di Cammino Crescente Il cammino crescente da (0;0) a (m;n) (∈N2) è una sequenza di k+1 coppie di N2 (a0,b0), (a1,b1), ……., (ak,bk) tali che i) ii) iii)
(a0,b0) = (0,0) ; (ak,bk) = (m,n) ; ∀ i ∈ {0,1,….,k-1}: ai+1 = ai e bi+1 = bi+1 oppure ai+1 = ai +1e bi+1 = bi
(m,n)
(0,0) Quanti sono i cammini possibili? Æ 2k
LEZIONE XI - 17/02/2004 Formula di Da Silva Consideriamo due insiemi A,B |AUB| = |A|+|B|-|A∩B| Consideriamo tre insiemi A,B,C
40
|AUBUC| = |A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| Consideriamo n insiemi |UAi| = ∑|Ai|- ∑i ≠ j | Ai ∩ Aj | + ∑i ≠ j ≠ k | Ai ∩ Aj ∩ Ak |+ … +(-1) n-1 ∩ Ai = = ∑(-1)I-1|∩ Ai | Dove I è l’insieme dei pedici ed i è di volta in volta il pedice del sottoinsieme I che sto considerando. ESERCIZIO |A| = ?
U = {1,2,….,50}
A = {n : i ≤ n ≤ 50; 2|n v 7|n, n ∈ Z+} X = {x ∈ U, 2|n} Æ |X| = 25 Y = {y ∈ U, 7|n} Æ |Y| = 7 |A| = |XUY| = |X|+|Y|-|X∩Y| = 25+7-3 = 29
Formula di Sylvester
Consideriamo un insieme A ⊆ U con U finito. AC = U-A (la “c” sta per “complementato”) AC ∩ BC = (A ∪ B)
c c
|AC ∩ BC | = |(A ∪ B) | = |U-( A ∪ B)| = |U|-| A ∪ B | = |U| - |A| - |B| + |A∩B|
generalizzando |∩Ai| = |(∪ Ai )c| = |U-(∪ Ai )| = |U| - ∑(-1)|I|-1|∩ Ai | = |U|+ ∑(-1)|I||∩ Ai | 41
ESERCIZIO 1 U = {n: 1 ≤ n ≤ 106} X = {x∈U: √x ∈ Ζ+}, Y = {y∈U: 3√y ∈ Ζ+} |X| = 103 , |Y| = 102 |XUY| = |X|+|Y|-|X∩Y| = 1090 ESERCIZIO 2 In una stanza ci sono 100 persone di cui 60 uomini, 30 persone giovani, 10 uomini giovani. Quante sono le donne anziane? |X| = numero uomini = 60 |Y| = numero persone giovani = 30 Donne Anziane = | Xc∩Yc | | Xc∩Yc | = |U|-|XUY| = |U|-(|X|+|Y|-|X∩Y|) = 100 – (60+30-10) = 20 ESERCIZIO 3 U = {n: 1 ≤ n ≤ 41} Quanti sono i numeri compresi in U che non dividono né 2 né 3? X = {x ∈ U: 2|x} Æ |X| = 20 Y = {y ∈ U: 3|y} Æ |Y| = 13 |XC∩YC| = |U| |-(|X|+|Y|-|X∩Y|)= 41- (20+13-6) = 14
42
LEZIONE XII - 19/02/2004
Numero di funzioni suriettive La cardinalità delle funzioni suriettive da A a B (N.B. la cradinalità di tutte le funzioni possibili è nm ) {f: AÆ B : |A|= m e |B| = n} è espressa dalla seguente formula:
∑n-1j=0
(-1)i (
n j)
(n-j)m = *
Se m
Definizione di “punto fisso” Consideriamo un insieme A ≠ ∅ e una funzione f: A Æ A Si definisce un a ∈ A punto fisso (per f) se f(a) = a
Definizione di Trasposizione Consideriamo un insieme A ≠ ∅ con cardinalità |A| = n e una permutazione Sn Sn = { σ : [n]Æ[n]: σ è 1-1}
Æ σ(i) = i
τ ∈ Sn è detta trasposizione se: 43
τ(i) = j con i ≠ j τ(x) = x se x ≠ i,j
( n 2 ) = n(n-1)/2 = combinazione di n elementi presi 2 alla volta Fattorizzazione di σ in trasposizioni: σ ∈ Sn ⇒ σ = τk·……… ·τ1 N.B. Le trasposizioni non sono commutative ESEMPIO Si osservino le seguenti composizioni di trasposizioni 123
123 ·
123 =
(con ”·” operazione di composizione)
213
321
312
123
123
123
· 321
= 213
231
N.B. Ciò che è invariante è il numero di fattori (inteso come parità e disparità); questo permette di definire il segno delle permutazioni. sgn(σ) = (-1)k una permutazione si dice pari se ha segno 1 e dispari se ha segno –1. sgn :=
Sn Æ {-1,1} 44
σ Æ sgn(σ)
PROPRIETA’ i)
sgn(τ) = -1
ii)
sgn(σ σ -1) = sgn(σ) · sgn(σ -1)
iii)
σ ∈ Sn ⇒ σ = τk·………·τ1 ⇒ σ -1 = τ1·………·τk
iv)
Se due permutazioni hanno segno pari il loro prodotto ha segno pari
v)
L’inversa di una permutazione ha lo stesso segno della permutazione di partenza.
vi)
An = gruppo alterno su n oggetti = gruppo di tutte le permutazioni di segno pari.
N.B. Se consideriamo l’insieme delle matrici quadrate M(n) e A = [aij] ∈ M(n) det(A) = ∑ σ ∈ Sn sgn(σ) · a1 σ(1) ·…………·an σ(n)
Cardinalità dell’insieme delle permutazioni senza punti fissi Consideriamo Si = { σ ∈ Sn : σ (i) = i} con i ∈[n] Ora consideriamo l’insieme delle permutazioni senza punti fissi: S = { σ ∈ Sn : non esiste i ∈ [n]: σ(i) = i } = S1C∩ S2C∩….. ∩ SnC
45
Procedendo con la formula di Sylvester calcoliamo non solo la cardinalità di Si ma anche delle intersezioni (Si∩ Sj , Si∩ Sk ,…) | Si | = (n-1)! | Si∩ Sj | = (n-2)! | Si∩ Sj ∩ Sh |= (n-3)! | S1∩ S2∩….. ∩ Sn | = (-1)n = 1 (permutazione identità) |S| = |Un| - | S1| - ...... - | Sn|+| S1∩ S2|+……+| Sn-1∩ Sn|-| S1∩ S2∩Sn |-....n - |Sn-2∩ Sn-1∩….. ∩ Sn|.....(-1)n | S1∩ S2∩….. ∩ Sn | = n! + ∑ k=1 (-1)k h!/k! = = n! (1-1/1!+1/2!-1/3!+....+ (-1)n /n!) = Dn Quanto vale la probabilità che estratta a caso una permutazione, questa sia senza punti fissi? pn = Dn / n! = (1-1/1!+1/2!-1/3!+....+ (-1)n /n!) limn Æ ∞ pn = 1/e
La funzione di Eulero La funzione di Eulero associa a un numero intero n il numero dei numeri interi primi con n e minori di n (compreso l'uno). Per esempio per n = 6 la funzione di Eulero vale 2 perché gli interi primi con 6 e minori di 6 sono solo 1 e 5; per n = 7 la funzione vale 6 perché essendo 7 primo tutti i numeri che lo precedono sono primi con 7. La funzione di Eulero di un numero n si indica di solito con φ (n). Si dimostra che φ(n) = n(1 - 1/n1)(1 - 1/n2)...(1 - 1/nm) dove n1, n2 ... nm sono i fattori primi distinti di n. Se n è primo allora ovviamente φ(n) = n - 1 Se n è il prodotto di due numeri primi p e q, è facile verificare che φ(n) = (p - 1)(q - 1). 46
Infatti φ(n) = pq(1 - 1/p)(1 - 1/q) e svolgendo i prodotti p(1 - 1/p) e q(1 - 1/q) si ottiene la formula data. DIMOSTRAZIONE Obiettivo del problema è individuare i numeri compresi tra 1 e n che sono primi con p1,p2,…., pk Con n ∈ Z+ e p1,p2,…., pk numeri primi Definiamo la parte intera di n/ pi così: Pi = [n/ pi] = |{x ∈ [n]: pi |x}| φ(n) = Numero di numeri (
47
Partizione in “fibre”
Consideriamo una funzione f : AÆB {f -1(b)| b ∈ Imf} dove f -1(b) = {a ∈ Α | f(a) = b } a ∈ Α ⇒ x ∈ [a] se f(x) = f(a) A/f = partizione in fibre f A
B
suriettiva
iniettiva (f -1)
A/f Πf = partizione discreta = {{a1}, {a2},…} se e solo se f è iniettiva Πf = partizione banale = {A} se f è costante N.B. Bn = n-esimo numero di Bell = numero di partizioni di un insieme A ≠ ∅ , |Α| = n Le partizioni di A si dividono in quelle che hanno {a} (con a ∈ Α ) come blocco e quelle che non hanno {a} come blocco. Queste ultime sono quelle tali che a ∈ Β (blocco della partizione) con |B| ≥ 2 Le prime sono tante quante le partizioni di A-{a} cioè Bn-1
48
LEZIONE XIII - 23/02/2004 Sia S un insieme non vuoto. Una famiglia di sottoinsiemi non vuoti di S a due a due disgiunti la cui unione sia S prende il nome di partizione di S. I sottoinsiemi che formano una partizione si chiamano blocchi della partizione.
Numeri di Fibonacci Si chiamano numeri di Fibonacci, e si denotano con Fn, gli interi della successione { Fn, n ≥ 0 } (detta di Fibonacci) definiti dalla relazione di ricorrenza Fn = Fn-1+Fn-2 e dalle condizioni iniziali F0 = 0
,
F1 = 1
I primi dodici elementi della successione di Fibonacci sono: 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 (N.B. Per dimostrare Fibonacci si usa la formula di Stifel.) OSSERVAZIONE I numeri Fn prendono il nome dal matematico Leonardo Fibonacci, che li introdusse (probabilmente) per primo allo scopo di risolvere il seguente problema: quante coppie di conigli nasceranno in un anno se a gennaio abbiamo una coppia appena nata che ogni mese dá alla luce una nuova coppia e ogni coppia é produttiva dopo due mesi dalla nascita? Non dovrebbe essere difficile rendersi conto che dopo n mesi ci saranno esattamente Fn+1 coppie.
49
ESEMPIO
Consideriamo [n], vogliamo calcolare il numero di sottoinsiemi di una certa cardinalità che non contengono due interi consecutivi.
S = {x ∈ [n]: x+1 ∉ S, x-1 ∉ S} e |S| = k Possiamo rappresentarlo con una lista di n caselle, k riempite da “1” e n-k riempite da “0”. χS(x) =
0 altrove 1 se x ∈ S.
Dato che non possiamo mettere due “1” consecutivi in successione, ho una possibilità di n-k-1+2 = n-k+1 di ottenere una lista corretta. (dove “–1” per gli uni interni e “+2” per gli uni esterni). Quindi: Fn = ∑k ≥ 0 (
n-k+1
k)
= n-esimo numero di Fibonacci
Numeri di Stirling di II specie Siano n,k interi con n > 0 e k ≥ 0. Il numero delle partizioni di un insieme finito d'ordine n in esattamente k blocchi si denota con S(n,k) e si chiama numero di Stirling di secondo tipo (di indici n e k). ¨ I numeri di Stirling S(n,k) verificano la relazione di ricorrenza S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k) ,
2 ≤ k ≤ n-1
con le condizioni S(n,1) = S(n,n) = 1;
50
S(n,k) = 0, k > n
DIMOSTRAZIONE
Sia S un insieme finito d'ordine n. E' chiaro che l'unica partizione p di S con un solo blocco é p = { S} e l'unica con n blocchi é quella formata dai singleton degli elementi di S (Il singleton di un elemento a é il sottoinsieme { a} di S). Questo prova che S(n,1) = S(n,n) = 1. Inoltre, poiché il numero di blocchi di una partizione di S non supera n, abbiamo S(n,k) = 0 per ogni k > n. Supponiamo dunque n-1 ≥ k ≥ 2 e, detto a un elemento di S, poniamo X = S\{ a} . Allora una partizione di S in k blocchi si ottiene in uno, e uno soltanto, dei seguenti modi: · aggiungendo il blocco formato dal singleton di a ad una partizione in k-1 blocchi di X, · aggiungendo l'elemento a ad uno dei blocchi di una partizione in k blocchi di X. Poiché la prima operazione puó essere fatta in un solo modo e la seconda in k modi distinti, resta provata la nostra relazione di ricorrenza. ¨ OSSERVAZIONE Prescindendo dal loro significato combinatorio, i numeri di Stirling possono definirsi per ricorrenza mediante le condizioni iniziali e la formula di ricorrenza di cui alla proposizione precedente. ¨
Numeri di Bell Sia n un intero positivo. Il numero di tutte le partizioni di un insieme finito d'ordine n si denota con B(n) e si chiama numero di Bell. I numeri di Bell si definiscono partendo dai numeri di Stirling Si definisce n-esimo numero di Bell il numero B(n) = ∑nk=1S(n,k) (dove S(n,k) è il numero di Stirling)
51
Multinomiali
Consideriamo una lista l di lunghezza n su A: {1,2,….,n}Æ A. Vogliamo trovare un modo che ci permetta di calcolare la cardinalità di una classe di equivalenza di una lista con n elementi. Consideriamo anche un’altra lista l’ di lunghezza n in A. Due liste sono equivalenti se |l-1(x)| = |l’-1(x)| , ∀ x ∈ Α Im(l) = {a1,……,ap} |l-1(ai)| = ri con n = r1+…….+ rp Due liste sono equivalenti quando l’immagine è la stessa e hanno elementi r1 che vanno in a1, r2 elementi che vanno in a2, ……..e rp elementi che vanno in ap, ma non sono gli stessi elementi (chiaramente è una relazione di equivalenza). Quanti elementi contiene una classe individuata da l ? r
r
r
|[l]| = (n r1) (n- 1 r2) ………….(n- 1-… - p-1 rp) = (n!/r1!(n- r1)!) · ( (n- r1)!/r2!(n - r1 – r2)!) ·…( (n- r1-....- rp-1)!/rp!0!) = n!/ r1! r2!... rp! = coefficiente multinomiale Si chiama permutazione con ripetizione di n oggetti a1, a2 ,…, am di cui a1 preso r1 volte , a2 preso r2 volte , … , am preso rn volte ogni (r1 + r2 +…+ rn ) –upla in cui a1 compare r1 volte , a2 compare r2 volte , …, am compare rn volte; il numero totale di questi allineamenti è dato dal coefficiente multinomiale che si indica così:
N.B. Il coefficiente multinomiale, quando abbiamo 2 elementi, diventa il coefficiente binomiale.
52
LEZIONE XIV - 26/02/2004 ESEMPIO Scomposizione in p parti di un insieme A≠ ∅ : (A1, A2,…….., Ap) con Ai ⊆ A tale che 1) Ai ∩ Aj = ∅ se i ≠ j 2) A1∪A2∪…….. ∪Ap = A Consideriamo A = {a,b} ({a};{b}; ∅), ({b};{a}; ∅ ) , ( ∅;{a};{b}), (∅; {b};{a}) , ({a};∅; {β}), ({b};∅;{α}), ({a;b}; ∅; ∅), (∅;{a,b};∅), (∅;∅;{a,b})
Quante sono le possibili scomposizioni di A in p parti tali che A1 contiene r1 elementi, A2 contiene r2 elementi…e Ap contiene rp elementi ? Il numero è dato dal coefficiente multinomiale!
N.B. Se consideriamo la scomposizione sopra e una funzione A Æ [p]
F:
x Æ f(x) = i se x ∈ Ai Si può affermare che: 1) 2)
Le funzioni da A a p sono pn Facendo la funzione inversa Ai = f –1(i) posso ottenere il vuoto (perché non è suriettiva. 53
3)
La scomposizione di A in p parti diverse dal vuoto è data da tutte le funzioni suriettive cioè: p!Sn,p
Multinsiemi Mentre un insieme è una collezione ordinata di elementi senza duplicati in cui è facilitata la ricerca della presenza di un elemento e le operazioni insiemistiche (unione, intersezione, differenza), un multinsieme è una collezione ordinata di elementi ma è consentita la presenza multipla di un elemento. Se A è un insieme finito diverso dal vuoto una funzione m da A a N è detta multinsieme (in A): m: AÆ N m(x) = p, dove p è la molteplicità di x La lunghezza del multinsieme è data da:
∑x∈Α m(x) Si definisce “supporto di m“ l’insieme degli x ∈ A tali che m(x) ≥1 supp m = { x ∈ A: m(x) ≥ 1} ESEMPIO a 2
b 1
c 3
m = {a,a,b,ccc,eeee} = {a2, b1, c3, e4} Lunghezza del multinsieme = 10 supp m = {a,b,c,e}
54
d 0
e 4
Quanti sono i multinsiemi di lunghezza k in un insieme di cardinalità n? Sia {a1, a2,…. ak} un multinsieme in A con a1≤ a1≤…. ≤ ak bi = ai + i – 1 Si vuole associare a un multinsieme di cardinalità k una lista di cardinalità k bi = ai + i – 1 < aj +j – 1 = b; ⇒ bi < b Quindi b1 = a1 + 1 – 1 = bi = a1 b2 = a2 + 2 – 1 = a2 + 1 b3 = a3 + 2 Perciò abbiamo che 1 ≤ bi < bj ≤ n+k-1 Consideriamo ora { b1, b2, …. ,bk} ⊆ [n+k-1] ai = bi -i +1 a1 = b1 ≤ n a2 = b2 -1 ≤ n . . . ak = b1 –k+1 ≤ n
Allora i multinsiemi sono:
(n+k-1 k)
55
ESERCIZIO Qual’è la probabilità che lanciando 20 volte una moneta si ottenga 10 volte testa e 10 volte croce? Numero liste = 220 = 1048576 (tutte le possibili combinazioni)
(2010 10) = 20!/10!10! = liste che si vogliono ottenere LEZIONE XV - 01/03/2004 Numeri in base a Un numero può essere scritto in molti modi ad esempio il numero 1976 può essere scritto anche così MCMLXXVI (usando la notazione romana). Per indicare un numero si dovrebbe scrivere la base come pedice (1976)10 ma per convenzione la base 10 è sottintesa. Il numero 1976 può anche essere scritto come combinazione lineare delle potenze della base nel seguente modo: 103+9 · 102 + 7 · 101 + 6 · 100 = 1976 più in generale: con a ≥ 2 , b = rnan + rn-1an-1 +….. +r1a + r0 con 0 ≤ ri
N.B. Ogni numero può essere espresso come combinazione lineare di potenze di una base maggiore o uguale a 2. 56
DIMOSTRAZIONE (per induzione) Per induzione supponiamo che l’affermazione sia vera per un numero minore di b. Dimostriamo che sia vera anche per b. b = aq+ r0 , r0 < a Supponiamo che b>a q
qi = 0 ⇒ qi-1 = a · 0 + ri
ESEMPIO (algoritmo per passare dalla base 10 alla base 2) 1976 = 2 · 988 + 0 988 = 2 · 494 + 0 494 = 2 · 247 + 0 247 = 2 · 123 + 1 123 = 2 · 61 +1 61 = 2 · 30 +1
30 = 2 · 15 + 0 15 = 2 · 7 + 1 7 = 2 · 3 +1 3 = 2 · 1+1 1 = 2 · 0+1 ⇒ (11110111000)2 = (1976)10 = 1976
ESERCIZIO Scrivere il numero (13056)10 in base 60 13056 = 217 · 60 + 36 217 = 3 · 60 + 37 3 = 0 · 60 + 3 (3;37;36)60 Æ (13056)10 = 3 · 602 + 37 · 601 + 36 · 60 0 57
ESERCIZIO Scrivere il numero (1013-1) / 3 in base 1000. (3333333333333)10 = 3333333333 · 1000 + 333 (3333333)10 = 3333 · 1000 +333 (3333)10 = 3 · 1000 + 333 (3)10 = 0 · 1000 + 3 ⇒ (3; 333;333;333;333)1000 ESERCIZIO (Applicando la matematica del “contadino russo”) Eseguire il prodotto 311 · 116. PRODOTTO X2
DIVISIONE X2
311 622 1244 2488 4976 9952 19904
116 58 29 14 7 3 1 0
RESTO
SOMMA
1
1244
1 1 1
4976 9952 19904 36076
Teorema Sia n composto ⇒ ∃ p ,numero primo, tale che p ≤ √n DIMOSTRAZIONE Se n è composto è sicuramente fattorizzabile come prodotto di due numeri primi n=r·t Supponiamo r>√n , t >√n ⇒ n = r · t > √n√n = n che è ASSURDO ! Quindi può solo essere r ≤ √n oppure t ≤ √n 58
Il crivello di Eratostene (III secolo a.C.) Il crivello di Eratostene è un metodo per determinare i numeri primi noto fin dall’antichità. Per determinare tutti i numeri primi positivi non maggiori di n è sufficiente cancellare tutti i numeri composti che sono multipli dei numeri primi non maggiori di √n. Infatti poiché n = √n√n un numero composto minore di n possiede sicuramente un divisore minore di √n perciò cancellando i multipli dei numeri primi minori di √n si cancellano automaticamente tutti i numeri composti minori o uguali a n. Se, per esempio, vogliamo determinare i numeri primi positivi minori di 100, dalla sequenza 2,3,.........................,100 dobbiamo cancellare tutti i multipli di 2, di 3, di 5 e di 7.
LEZIONE XVI - 09/03/2004 ESEMPIO Quanti sono i numeri primi minori di 100? # primi < 100 = = |{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}| = 25 DIMOSTRAZIONE Consideriamo Pi = {multipli di i che siano < 100} con i = 2,3,5,7 # primi ≤ 100 = |{x: 1
59
Notazioni di m.c.m e M.C.D. Consideriamo i numeri naturali m,n: Il M.C.D.(m,n) si esprime così: (m,n) Il m.c.m.(m,n) si esprime così: [m,n] Il prodotto dei due numeri m·n = (m,n) ·[m,n] Altra notazione: Se abbiamo a ∈ Z, m ∈ Z+ ⇒ ∃ q,r con 0 ≤ r ≤ m a = mq+r a div m = q
a mod m = r
Teorema dei resti Sia a,b ∈ Ζ , m ∈ Ζ+ allora a ≡ b (mod m) se e solo se a mod m = b mod m DIMOSTRAZIONE Consideriamo a = mq1+r1 , b = mq2+r 2: a-b = m (q1-q2) ⇒ m|(a-b) quindi se a-b = m (q1-q2)+ (r1 - r2) , perché a,b siano congruenti mod m la differenza r1 - r2 dovrà essere nulla cioè r1 = r2.
Teorema Consideriamo a,b ∈ Ζ, m ∈ Ζ+ a ≡ b mod m se e solo se esiste un k ∈ Ζ tale che a = b+km (cioè se esiste un k tale che a-b = km)
60
Riepilogo (affermazioni equivalenti per esprimere la congruenza mod m)
Consideriamo a,b ∈ Ζ , m ∈ Ζ+ i) ii) iii) iv) v) vi) vii)
a ≡ b (mod m) ; m | a-b ; b = a+km con k ∈ Ζ ; a = b+hm con h ∈ Ζ ; m|b-a ; b ≡ a (mod m) ; b è un elemento della progressione geometrica…, -2m+a, -m+a, a, m+a, 2m+a,… viii) a è un elemento della progressione geometrica …,-2m+b, -m+b, b, m+b, 2m+b,… ix) gli insiemi {a+mk} k ∈ Ζ e {b+mh} h ∈ Ζ coincidono; x) a,b ∈ N, m ∈ Z+ allora a ≡ b(mod m) se e solo se a mod m = b mod m .
Teorema a ≡ b (mod m) e d|m ⇒ a ≡ b(mod d) DIMOSTRAZIONE
d| (m| (a-b)) ⇒ d |(a-b)
Teorema Se a ≡ b (mod m) , a ≡ b(mod n) e (m,n) = 1 ⇒ a ≡ b (mod m · n) DIMOSTRAZIONE
m | (a-b), n|(a-b) ⇒ m· n | (a-b)
61
Teorema Se a ≡ b (mod m), a’≡ b’(mod m) con (a’, m) =1 (e (b’,m) =1) (N.B. se (b’,m) = h >1 allora h|m|(b’-a’) ⇒ h|b’, h|(b’-a’) ⇒ h|a’) Allora
a a’-1 ≡ b b’-1(mod m)
DIMOSTRAZIONE a’(a·a’-1-bb’-1) ≡m (a· a’·a’-1 – bb’b’-1) ≡m (a-b) ≡ 0 (mod m) quindi m | (a a’-1 - b b’-1) Proprietà a’ ≡ b’(mod m) a’ ≡ a’-1 (mod m) 1 ≡ a’a’-1 ≡ b’a’-1 (mod m)
Secondo corollario al Teorema di Fermat Consideriamo a ∈ Ζ, un numero primo p tale che p non divide a e due numeri n,m tali che n ≡ m (mod (p-1)) allora an ≡ am (mod p) DIMOSTRAZIONE Supponiamo m>n (p-1)| (n-m) ⇒ ∃ c ∈ Ζ+ tale che n = m+c(p-1) ap-1 ≡ 1(mod p) ap-1· ap-1........... ·ap-1 (c fattori) ⇒ ac(p-1) ≡ 1(mod p) an-m ≡ 1 (mod p) , am ≡ am (mod p) facendo il prodotto membro a membro di queste due congruenze si ottiene: an ≡ am (mod p) 62
c.v.d.
Teorema cinese dei resti Il sistema di congruenze
ha soluzione se e solo se (n,m) | b-a . Se c è una soluzione del sistema, allora gli elementi di [c][n,m] sono tutte e sole le soluzioni del sistema (i.e. le soluzioni sono tutte e sole della forma c+k[n,m] al variare di k∈ Z). DIMOSTRAZIONE. Sia c una soluzione del sistema allora esistono h,k ∈ Z tali che c=a+hn=b+km e quindi a-b=km-hn. Ma allora dal fatto che (n,m)|n e (n,m) | m si ha che (n,m) | a-b. Viceversa, supponiamo che (n,m) | a-b, allora esistono h,k ∈ Z tali che a-b=hn+km. Ma allora a-hn=b+kn, detto quindi c=a-hn=b+kn, si ha evidentemente che c risolve entrambe le congruenze. Sia S = {x ∈ Ζ : x risolve il problema}. Dobbiamo provare che se c è una soluzione allora S = [c][n,m] . S ⊆ [c][n,m]. Sia c' un'altra soluzione, allora c=a+hn=b+km e c'=a+h'n=b+k'm e quindi sottraendo si ha
Ma allora [n,m] | c-c’ ossia c’ ≡ c mod [n,m] ovvero c’ ∈ S.
[c][n,m] ⊆ S. Sia c’∈ [c][n,m], ovvero c'=c+h[n,m]. Dal fatto che c ≡ a mod n e che h[n,m] ≡ 0 mod n segue che c’ = c+h[n,m] ≡ a mod n . In modo analogo si ha che c’ ≡ b mod m e quindi che c’ ∈ S. 63
LEZIONE XVII - 16/03/2004 Esercizio sul teorema cinese dei resti x ≡ 2 (mod 3)
M = prodotto dei moduli = 3·5·7=105
x ≡ 3 (mod 5)
M1= 5·7=35 M2= 3·7=21 M3= 3·5=15
x ≡ 2 (mod 7)
y1= inverso di M1 (mod 3) = 2 y2= inverso di M2 (mod 5) = 1 y3= inverso di M3 (mod 7) = 1
m1= 3; m2= 5; m3= 7; x0 = x· M1· y1+ x· M2· y2 +x· M3· y3 = 2·35·2+3·21·1+2·15·1 = = 140+63+30 = 233 ≡ 23(mod 105)
Come si trova l’inverso di un numero mod n L’inverso moltiplicativo di un numero x mod n è un numero u tale che: u · x ≡ 1 mod n
Considerazioni sulla funzione di Eulero Si dimostra a partire dal teorema cinese dei resti che: φ(m·n) = φ(m) φ(n)
N.B. Se n è primo φ(n) = n-1 ⇒ φ(na) = na - na-1 = na-1(n-1) ESEMPIO n = pq con p,q numeri primi Se n pari ⇒ p = 2, q = n/2 φ(n) = φ(pq) = φ(p) φ(q) = (2-1)(n/2-1) = n/2-1 64
Se n dispari ⇒ φ(n) = φ(pq) = φ(p) φ(q) = (p-1)(q-1) = pq+1 – (p+q) Se n è pari ⇒ p=2, q = n/2 = φ(n)+1 Se n dispari allora p,q sono le soluzioni dell’equazione x2+2bx+c = 0 -2b = φ(n)-(n+1), c = n x1 , 2 = (-b ± √b2+4ac )/ 2a x1 x2 = (b2 - b2 + 4ac)/4a2 = c/a x1 + x2 = -b/a
Teorema di Eulero Se (a,m) = 1 con m primo ⇒ aφ(m) ≡ 1(mod m) DIMOSTRAZIONE Consideriamo m = pα Se α = 1 ⇒ aφ(p) ≡ 1(mod p) ⇒ ap-1 ≡ 1(mod p) vero per il teorema di Fermat Se invece α > 1 facciamo un’ipotesi induttiva che il teorema di Eulero sia valido per m = pα−1 (i.e. a pα−1 − pα−2 = a φ(pα−1) ≡ 1(mod pα−1) ) α−1
ap
− pα−2 = 1+ p
α−1
·b
(con un b opportuno)
(a pα−1 − pα−2 ) p = (a+ pα−1 ·b) p = a pα− pα−1 = a φ(pα) Dato che (1+x) p = 1+a1x+…..+xn e se p(α−1) ≥ α allora nel secondo membro dell’equazione sopra si può scrivere:
65
(1+ pα−1 ·b) p = 1+ pα ·k ⇒ a pα − pα−1 = a φ(pα) quindi a φ(pα) = a pα − pα−1 ≡ 1(mod pα) Se m = p1 α1....... pr αr allora dimostriamo che a φ(piαi) ≡ 1(mod piαi) per ogni i =1,…r Dimostrazione
a φ(m) = a φ (p1 m)
α1
....... pr αr) =
a φ (p1
α1
)....... φ (pr αr) = 1(mod p1
α1
....... pr αr) = 1 (mod
Proprietà della congruenza
I) II) III) IV) V)
a ≡ b (mod m) , d|m ⇒ a ≡ b(mod d) ; a ≡ b (mod m), a ≡ b (mod n) ⇒ a ≡ b (mod [m,n]) ; ra ≡ rb (mod m) ⇒ a ≡ b (mod m/(r,m)) per esempio 4·3 ≡ 4·8 (mod 10) ⇒ 3 ≡ 8 (mod 10/(4,10)=5) ra ≡ rb (mod rm) ⇒ a ≡ b (mod m) ; ra ≡ rb (mod m) , (r,m) = 1⇒ a ≡ b (mod m)
66
APPENDICE (prof. Koning) LEZIONE I - 02/03/2004
Ripasso sugli “ordini”
Un insieme V con una relazione lineare ≤ viene chiamato un ordine (oppure ordinato per ≤) se la relazione è riflessiva, transitiva e antisimmetrica. Insiemi ordinati sono anche conosciuti col nome di insiemi parzialmente ordinati. In inglese: partially ordered set abbreviato a poset. Se inoltre l’ordine (V, ≤) ha la proprietà che per ogni u,v ∈ V u≤v oppure v≤u allora l’ordine si chiama totale, o lineare o una catena. ESEMPI: (1) N = {0,1,2,…..} con l’ordine naturale ≤: a≤b se e solo se esiste un k ∈ Ν tale che a+k = b; Allora (N, ≤) è un ordine totale. (2) N = {0,1,2,….} con | (divisibilità) a|b se e solo se esiste k ∈ Ν tale che ak =b (N,|) è un ordine non totale perché ci sono elementi non compatibili come ad esempio 6 e 10, 6 non è un divisore di 10 e 10 non è un divisore di 6. (3) Per ogni insieme M l’insieme 2M = {u: u ⊆ M} si chiama l’insieme potenza di M (altro nome: p(M)) 67
2M è ordinato per l’inclusione: u ≤ v se e solo se u ⊆ V (2M, ⊆) è un ordine totale
Ordine “indotto” Dato un ordine (V, ≤) e un sottinsieme X ⊆ V. La restrizione a X della relazione ≤ viene detto ordine indotto (da ≤ a X) cioè per ogni a,b ∈ X vale a ≤ b se e solo se a ≤ b nell’ordine (V, ≤) (X, ≤) è detto un sottordine di (V, ≤)
Ordine “stretto” Per ogni ordine (V, ≤) si può definire l’ordine stretto (derivato) < su V: Per ogni x,y ∈ V: x < y se e solo se x ≤ y e x ≠ y Viceversa ogni ordine stretto < su V definisce un ordine x≤ y se e solo se x
Elementi “massimali” e “minimali” Sia dato un ordine (V, ≤) con un sottoinsieme Y ⊆ V. Un elemento y∈Y viene detto un elemento massimale di Y se non c’è un elemento più grande di y; in termini matematici se per ogni z ∈ Y, y ≤ z ⇒ y=z (cioè in Y non esiste z con y
Il “più grande ” e il “più piccolo” (massimo e minimo) Viene detto il più grande di Y se per ogni z ∈ Y , z ≤ y. E’ detto il più piccolo di Y se per ogni z ∈ Y, z≥y. N.B. L’elemento più grande viene anche detto il massimo di Y mentre il più piccolo viene detto il minimo di Y. L’elemento più grande è sempre massimale . Se esiste solo un elemento massimale x, allora x è l’elemento più grande. ESEMPI (1) Nell’ordine (N, ≤) ogni sottoinsieme Y ≠ ∅ ha un elemento minimale, che è allo stesso tempo l’elemento più piccolo. Se Y è finito, Y possiede un elemento massimale, che è l’elemento più grande di Y. Se Y è infinito non c’è un elemento massimale, neanche più grande. (2) Nell’ordine (N,|) consideriamo l’ordine indotto su V={1,……..,15} Diagramma di Hasse: 8 14 2
4 3
12 6
9 5
10 7
15 11
1 Consideriamo il sottinsieme Y = {3,6,9}: 3 è un elemento minimale di Y. 6 e 9 sono elementi massimali di Y. 69
13
Non c’è un elemento più grande perché 6 e 9 non sono compatibili mentre l’elemento più piccolo è 3.
Definizioni di “maggiorante” e “minorante” Sia dato un ordine (V, ≤) e un Y⊆V. Un elemento x ∈ V viene detto un elemento maggiorante di Y, se per ogni y∈Y si ha y ≤ x. Un elemento minorante di Y, se per ogni y∈Y, x≤ y.
Definizione di “estremo superiore ” e “estremo inferiore” Se l’insieme di tutti i maggioranti di Y ha un elemento più piccolo z, questo z viene detto l’estremo superiore dell’insieme Y. sup Y = z Se l’insieme di tutti i minoranti di Y ha un elemento più grande z, questo z viene detto l’estremo inferiore dell’insieme Y inf Y = z Allora : sup Y = z se e solo se 1) per ogni y ∈ Y, y ≤ z 2) (per ogni y ∈ Y, y ≤ t) ⇒ z ≤ t inf Y = z se e solo se 1) per ogni y ∈Y ⇒ z ≤ y 2) (per ogni y ∈ Y, t ≤y) ⇒ t ≤ z ESEMPIO Riconsiderando l’ordine (N,|) con l’ordine indotto su V={1,…,15} e Y={6,9} cerchiamo solo supY e inf Y.
70
L’insieme di elementi maggioranti è vuoto. Quindi l’estremo superiore di Y non esiste. L’insieme di elementi minoranti di Y è {1,3}. Questo insieme possiede un elemento più grande (relativo all’ordine |) implica che inf Y=3 Nell’insieme (2M, ⊆) sia dato un sottoinsieme Ж (è un sistema di sottoinsiemi di M). Vogliamo verificare se esistono sup Ж e inf Ж . sup Ж = ∪ Ж = ∪x∈ Ж x = {y ∈ Μ : esiste x ∈ Ж con y ∈ Ж } inf Ж = ∩ Ж = ∩x∈ Ж x = {y ∈ Μ : esiste x ∈ Ж con y ∈ Ж } Di fatto per ogni x ∈ Ж , x ⊆ ∪ Ж ⇒ ∪ Ж è un maggiorante di Ж. Sia T ⊆ Μ con x ⊆ Τ per ogni x ∈ Ж ⇒ piccolo).
∪x∈ Ж x ⊆ T (∪ Ж è il maggiorante più
Di conseguenza: sup Ж = ∪ Ж Un ragionamento analogo per ∩ Ж = inf Ж PROPRIETA’ (V, ≤) sia un ordine e X,Y ⊆ V. 1) 2) 3) 4) 5)
Se X ⊆ Y allora sup X ≤ sup Y; Se X ⊆ Y allora inf x ≥ inf Y; Se esiste sup ∅ questo è x = sup ∅ ed è il minimo di V; Se esiste inf ∅ quindi y = inf ∅ è il massimo di V. Inf V = sup ∅ se esiste uno dei due esiste anche l'altro. Inf ∅ = sup V se esiste uno dei due esiste anche l’altro.
6) inf (X ∪ Y) = inf (X ∪ {inf Y}) se inf Y ∈ V.
V
X
Y 71
7) sup (X ∪Υ) = sup (X∪{supY}) se esiste sup Y
LEZIONE II - 04/03/2004 Definizione di “morfismo(di ordini)”
Siano dati gli ordini (M,s) e (N,s): un’applicazione φ: MÆN è detta un morfismo (di ordini) (oppure funzione monotona) se per ogni x,y ∈ M , x ≤y ⇒ f(x) ≤ f(y). ESEMPI 1)
morfismo (questo esempio mostra che la funzione inversa di un morfismo non è necessariamente un morfismo)
2) morfismo
3) Un morfismo iniettivo è strettamente monotono. X
72
DEFINIZIONE Sia (Vi, ≤ i) i∈Ι una famiglia di ordini. Sul prodotto cartesiano Π i∈Ι Vi = {(xi) i∈Ι : xi∈ Vi } è definito l’ordine (xi) i∈Ι ≤ (yi) i∈Ι : se e solo se per ogni i ∈ I , xi ≤ yi . ESEMPI (il dado n-dimensionale) 1) b
c
y
(b,y)
×
=
a 2)
(b,x)
x
(c,y) (c,x)
(a,x)
potenza di quest’ordine ×
=
(a,y)
= 22
2 23
=
×
=
Reticoli e “reticoli completi”
Un ordine (V, ≤) viene chiamato “reticolo” , se per ogni due elementi x,y ∈ V esistono sup{x,y} ∈ V e inf{x,y}∈ V. Il reticolo V è completo se, per ogni sottoinsieme U ⊆ V, sup U ∈ V e inf U ∈ V. In ogni reticolo completo: 1) T = sup V ∈ V è il massimo di V; 2) ⊥ = inf V ∈ V è il minimo di V ; N.B. 73
Sup V = inf ∅ = Τ mentre inf V = sup ∅ = ⊥ . ESEMPI 1) Gli ordini seguenti non sono reticoli perché o non hanno inf, o non hanno sup oppure esiste inf ma l’insieme non ha un elemento più piccolo quindi complessivamente l’insieme totale non è un reticolo:
2) (N,|) è un reticolo perché : sup{x,y} = m.c.m. {x,y}; inf {x,y} = M.C.D.{x,y}; Non è un reticolo completo perché se consideriamo P = {2,3,5,7….} numeri primi, allora: sup P non esiste, inf P = 1. 3) Esempio di un reticolo completo standard. Sia M un insieme M (finito o no) quindi 2M è un reticolo completo. Sia già visto che per ogni Ж ⊆ 2M : sup Ж = ∪ Ж inf Ж = ∩ Ж ∈ 2M 4) Sottogruppo di un gruppo G con inclusione (con K,L sottogruppi di G) inf {K,L} = K ∩ L sup {K,L} = gruppo generato di K ∪ L = {k1l1 k2l2… knln : ki ∈ Κ, li ∈ L }= Τ infatti T è un gruppo maggiorante di K e L: K ⊆ T, L ⊆ T. 74
Proprietà dei reticoli 1) Sia S un gruppo maggiorante di K e L ⇒ K ∪ L ⊆ S. Poiché S è un gruppo, ogni elemento di T è un elemento di S ⇒ T = sup(K,L). 2) Sottospazi di uno spazio vettoriale con inclusione A,B ⊆ X : inf (A,B) = A ∩ B; sup (A,B) = spazio generato da A ∪ Β = span(A∪Β) 3) Ogni catena è un reticolo. DEFINIZIONE Sia dato un reticolo (V, ≤). Un sottoreticolo di (V, ≤) è un sottoinsieme Y ⊆ V con l’ordine indotto, tale che per ogni due elementi a,b ∈ Y: z = sup {a,b} ∈ Y esiste relativo all’ordine (Y, ≤) u = inf {a,b} ∈ Y esiste e z = sup {a,b} relativo all’ordine (V, C) u = inf {a,b} In altre parole: per ogni due elementi a,b ∈ Y coincidono il sup{a,b} relativo a (Y, ≤) con il sup{a,b} relativo a (V, ≤) e lo stesso vale per l’inf{a,b}. ESEMPI 1)
d b
f c
a
e
b
c
è un sottoreticolo di
a
d
75
2) Se M ⊆ Ν allora 2M è un sottoreticolo di 2N per ogni X,Y ⊆ M: sup {X,Y} in 2M = X ∪ Y = sup {X,Y} in 2N inf {X,Y} in 2M = X ∩ Y = inf {X,Y} in 2N 3) Se G è un sottogruppo di H allora il reticolo di sottogruppi di G è un sottoreticolo del reticolo di sottogruppi di H. Consideriamo che X,Y siano sottogruppi di G: inf (X,Y) in G= X ∩ Y = inf {X,Y} in H sup{X,Y} in G = { k1l1 k2l2… knln : ki ∈ Κ, li ∈ L }n≥1 = sup{X,Y} in H .
Proposizione 1
Un ordine (V, ≤) è un reticolo completo se e solo se per ogni X ⊆ V, inf X ∈ V. DIMOSTRAZIONE Il sup si può definire con l’aiuto dell’inf poiché per ogni Y ⊆ V, sup Y = inf{x∈ V: y ∈ Y ⇒ y ≤ x} . ESEMPI 1) S(G) sia l’insieme di sottogruppi di un gruppo G. S(G) ⊆ 2G , dunque S(G) è un ordine con inclusione. Per ogni Ж ⊆ S(G): inf Ж = ∩ Ж ∈ S(G) sup Ж = ∩ {H ⊆ G: per ogni x ∈ Ж, x ⊆ H} Secondo la proposizione 1 enunciata sopra S(G) è un reticolo completo.
76
Proposizione 2
(V, ≤) è un reticolo completo per ogni X ⊆ V e sup X ∈ V perché si definisce inf Y = sup{x ∈ V | y ∈ Y ⇒ x ≤ y}.
Definizione di Algebra generale Sia dato un insieme A ≠ ∅. Per ogni n ∈ N un’applicazione f: AnÆ A viene detta un’operazione n-aria su A. Con n(f) indichiamo la molteplicità di f. Un’algebra generale è una (k+1)-pla : (A,f1……, fk) dove A è il supporto dell’algebra e f1,……, fk (k ≥ 0) sono operazioni di certe molteplicità n(f1),..…, n(fk) (che danno il tipo dell’algebra). ESEMPI Gruppo: (G,*,-1, 1) è un algebra di tipo (2,1,0) (cioè * è binaria, -1 è unaria e 1 è 0aria) Anello: (R,+,*,-,0,1) è un algebra di tipo (2,2,1,0,0) Campo: non sono algebre in questo senso perché l’operazione di inversione xÆx –1 non è definita per x = 0.
Altra definizione di reticolo Un insieme V con due operazioni binarie ∧ (et) e ∨ (vel) viene detto un reticolo se sono soddisfatte le equazioni seguenti : considerando x,y,z ∈ V (x ∧ y ) ∧ z = x ∧ (y ∧ z) x∧y=y∧x
associativa commutativa 77
(x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z) x∨y=y∨x
x∧x=x (x ∧ y) ∨ x = x N.B.
idempotenza assorbimento
x∨x=x (x ∨ y) ∧ x = x
Dato un sottoreticolo di (V, ∧, ∨) ogni sottoinsieme X ⊆ V è chiuso per ∧ e ∨.
Proposizione 3
1) Ogni reticolo in un senso è un reticolo nell’altro senso. 2) Ogni sottoreticolo in un senso è un sottoreticolo nell’altro senso. DIMOSTRAZIONE Sia (V, ≤) un reticolo (nel senso di ordine): definiamo due operazioni binarie su V: x ∧ y := inf {x,y} x ∨ y := sup {x,y} E’ immediato capire che queste operazioni sono commutative e idempotenti. Verifichiamo l’associatività: (x ∧ y) ∧ z = inf{x ∧ y, z} = inf{inf{x,y},z}=inf{x,y,z} = x ∧ (y∧ z) Ricordando che: inf(x ∨ y) = inf (x ∨ {inf y}) si può verificare l’associatività anche per ∨. Verifichiamo ora l’assorbimento: (x ∧ y) ∨ x = sup{inf{x,y}, x} = x
dato che inf{x,y} ≤ x
(x ∨ y) ∧ x = inf{sup{x,y}, x} = x
dato che sup{x,y}≥ x
78
LEZIONE III - 08/03/2004 Definizione di un ordine su V Dato (V, ∧, ∨), vogliamo definire un ordine sull’insieme V nel modo seguente: x ≤ y se e solo se x ∧ y = x (se e solo se x ∨ y = y) i) ii) iii)
Vale la proprietà riflessiva x ≤ x poiché x ∧ x = x per ogni x ∈ V. Siano x ≤ y e y ≤ x ⇒ x ∧ y = x , y ∧ x = y : x = x ∧ y = y ∧ x = y (vale la proprietà antisimmetrica) Siano x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ∧ y = x , y ∧ z = y x ∧ z = (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z) = x ∧ y = x : dunque x ≤ z (vale la proprietà transitiva)
Lemma 1 Le espressioni x ∧ y = x e x ∨ y = y sono equivalenti. DIMOSTRAZIONE x ∨ y = (x ∧y) ∨ y = (y∧x) ∨ y = y (il resto segue in modo analogo). N.B. (Notazioni) Se il reticolo è completo si scrive: ∧x ( = inf x) ∨ x (= sup x) (anche per insiemi infiniti.) Dato un insieme finito Y = { y1, ….., yn} ∨ Y = y1∨ y2∨, …..,∨ yn
Corollario 1 79
Ogni reticolo finito è anche completo.
Prodotto cartesiano tra reticoli 1) Siano (V1, ≤) e (V2, ≤) due reticoli, il prodotto cartesiano è l’insieme V1 ×V2 con l’ordine di prodotto (x,y) ≤ (u,v) se e solo se x ≤ u e y ≤ v. 2) Dati i reticoli (V1, ∧, ∨) e (V2, ∧, ∨) , il loro prodotto cartesiano è dato da: (V1 × V2, ∧, ∨) con (x,y) ∧(u,v) = (x ∧ u, y ∧ v) e (x,y) ∨ (u,v) = (x ∨ u, y ∨ v) . Ν.Β. Le definizioni sopra possono essere generalizzate a famiglie di reticoli: (Vi, ≤)i∈Ι e (Vi, ∧, ∨ )i∈Ι Il prodotto cartesiano di ogni famiglia di reticoli completi risulta un reticolo completo.
Morfismo di reticoli
Un morfismo di reticoli è un’applicazione f: V1 Æ V2 da un reticolo (V1, ∧, ∨) a un reticolo (V2, ∧, ∨) compatibile con le operazioni. Per ogni x,y ∈ V1 abbiamo: f(x ∧ y) = f(x) ∧ f(y) f(x ∨ y) = f(x) ∨ f(y) Ricorda : un “isomorfismo” è un morfismo biettivo tale che l’applicazione inversa è un morfismo. ESEMPI 1) Dato un insieme M ⊆ N f: x ∈ 2M Æ x ∈ 2N è un morfismo di reticoli Considerando g: x Æ x ∩ M è un morfismo di reticoli g(x∩y) = x∩y∩M = (x∩M) ∩( y∩M) = g(x) ∩g(y)
80
g(x ∪ y) = (x ∪ y) x∩M = (x ∩ M) ∪ (y ∩ M) = g(x) ∪ g(y)
2) Consideriamo M ∩ N = ∅ 2M ∪ N ≅ 2M x 2N A Æ (A∩M, A∩N) è un morfismo biettivo e un isomorfismo 3) Ogni morfismo di reticoli è un morfismo di ordini. x ≤ y ⇒ x ∧ y = x ⇒ f (x ∧ y) = f (x) ∧ f (y) = f(x) ⇒ f (x) ≤ f(y)
Sistemi di chiusura Ora verranno sempre considerati ordini di tipo 2G di un insieme G. 2G è un reticolo completo. DEFINIZIONE 1 Un insieme di chiusura (con G) è un sottoinsieme ą ⊆ 2G tale che: G ∈ ą; Ж ⊆ ą ⇒ ∩ Ж ∈ ą ( dove ∩ Ж è l’intersezione di tutti gli elementi di Ж ) DEFINIZIONE 2 Un’applicazione χ : 2G Æ 2G viene detta un operatore di chiusura se : - X ⊆ χ (X) - X ⊆ χ (Y) ⇒ χ (X) ≤ χ (Y) χ (X) è detta la chiusura di X. Un insieme X ⊆ G è chiuso se e solo se χ (X) = X. OSSERVAZIONE Per ogni X ⊆ G:
81
χ (χ (X)) = χ (X) sostituendo χ (X) a X si ottiene χ (X) ⊆ χ (χ (X)) quindi χ (X) ⊆ χ (X) ⇒ χ (χ (X)) ⊆ χ (X) PROPOSIZIONE 1) Ogni sistema di chiusura ą ⊆ 2G eredita l’ordine di inclusione (⊆) da 2G . Dunque ą è un reticolo completo con quest’ordine . L’operatore di chiusura associato a ą è: χ a : X Æ ∩{Y ∈ ą | X ⊆ Y} ∈ ą 2) Viceversa, il sistema di chiusura associato a un operatore χ di chiusura è il sistema degli insiemi chiusi: ą x = {x ⊆ G | χ (X) = x } 3) La corrispondenza ą Æ χ a è biunivoca
LEZIONE IV - 11/03/2004 DIMOSTRAZIONE (della proposizione (1)) Sia ą un sistema di chiusura su G, e X ⊆ G χ a (X) = ∩{Y ∈ ą | X ⊆ Y} χ a è un operatore di chiusura: per ogni X ⊂ G, X ⊆ χ a (X) (banale) Sia X ⊆ χ a (Y) allora χ a (X) = ∩{Z | X ⊆ Z , Z ∈ ą } χ a (X) ∈ ą con X ⊆ χ a (Y) quindi ∩{Y | X ⊆ Y, Y ∈ ą } ⊆ χ a (Y) quindi χ a (X) ⊆ χ a (Y) DIMOSTRAZIONE (della proposizione 2)
82
Sia χ un operatore di chiusura ą χ = {x ⊆ G | χ (x) = x} Allora G ∈ ą χ (⇒ G = χ (G)) perché G ⊆ χ (G) ⇒ G = χ (G) Sia Ж ⊆ ą χ Z := ∩ Ж χ(Z) = χ(∩ Ж) ⊆ ∩ χ(X) x∈Ж = ∩x∈Ж x = Z perché χ(∩ Ж) ⊆ ∩ χ(x) per ogni x ∈ Ж Z ⊆ χ(Z) poiché χ è un operatore di chiusura. Z = ∩ Ж ∈ ąχ DIMOSTRAZIONE (della proposizione 3) Dimostrazione che le corrispondenze ą Æ χ a e χ Æ ą χ sono una l’inversa dell’altra cioè ą χ ą = ą e χ a χ = χ . a) ą χ ą = {X ⊆ G | χ a (X) = X }= {X ⊆ G | ∩{Y | X ⊆ Y, Y ∈ ą } = X} = ą ? Sia Z ∈ ą ⇒ ∩{Y | Z ⊆ Y, Y ∈ ą } = Z ⇒ Ζ ∈ ą χ ą allora ą ⊆ ą χ ą Sia Z ∈ ą χ ą ⇒ Z = ∩{Y | Z ⊆ Y, Y ∈ ą }∈ ą ⇒ ą χ ą = ą . b) χ a χ (Z) = ∩{Y | Z ⊆ Y, Y ∈ ą χ }= ∩{Y | Z ⊆ Y, χ (Y) = Y } = ∩{Y | Z ⊆ χ (Y) , Y = χ (Y) } = ∩{Y | χ (Z) ⊆ χ (Y), Y = χ (Y)} La stessa χ (Z) è una delle Y perciò ⊆ χ (Z). Il resto segue perché χ (Z) ⊆ χ a χ (χ (Z)) = ∩{Y | χ (Z) ⊆ χ (Y), χ (Y) = Y} = = χ a χ (Z) ⇒ χ a χ = χ.
Connessioni di Galois Siano dati due ordini (P, ≤) e (Q, ≤); una connessione di Galois tra P e Q è una coppia (φ,ψ) di applicazioni φ : P Æ Q , ψ: P Å Q tale che per ogni x,y ∈ P e u,v ∈ Q. 83
1) x ≤ y ⇒ φ(x) ≥ φ(y) 1’) u ≤ v ⇒ ψ(u) ≥ ψ(v) 2) x ≤ ψ (φ(x)) 2’) u ≤ φ(ψ(u))
Lemma 2 Una condizione equivalente alle condizioni (1) (2) (1’) (2’) è la seguente: 3) per ogni x ∈ P, u ∈ Q : x ≤ ψ(u) se e solo se u ≤ φ(x) DIMOSTRAZIONE (1)
(2’)
Siano dati (1),(1’),(2),(2’) e x ∈ P, u ∈ Q e x ≤ ψ(u) ⇒ φ (x) ≥ φ(ψ(x)) ≥ u (il resto segue analogamente). DIMOSTRAZIONE INVERSA Sia data la (3) e x,y ∈ P φ(x) ≤ φ(x) ⇒ x ≤ ψ (φ(x)) cioè la (2) se x ≤ y ⇒ x ≤ y ≤ ψ (φ(x)) ⇒ φ(y) ≤ φ(x) cioé la (1) (il resto segue in modo analogo)
Proposizione 4
Per ogni connessione di Galois (φ, ψ) vale: φ=φψφ ,ψ= ψφψ DIMOSTRAZIONE Sia x ∈ P (1)
(2) ⇒ x ≤ ψ(φ(x)) ⇒ φ(x) ≥ φ(ψ(φ(x))) (2’) applicata a u = φ(x) ⇒ φ(x) ≤ φ(ψ(φ(x))) 84
quindi φ(x) = φ(ψ(φ(x))) (il resto si dimostra in modo analogo) N.B. Consideriamo due insiemi G,M con P = 2G Q = 2M con inclusione Sia data una connessione di Galois tra i due ordini: φ : 2G Æ 2 M , ψ : 2G Å 2M Le applicazioni: A Æ ψ(φ(A)) 2G Æ 2G e B Æ φ(ψ(B)) 2M Æ 2 M sono operatori di chiusura. Infatti A ⊆ ψ(φ(A)) secondo la definizione (2) (1)
Sia A ⊆ ψ(φ(C)) dove A,C ⊆ G ⇒ φ(A) ⊇ φ (ψ (φ (C))) = φ (C) Applicando la definizione (1’): ψ(φ(A)) ⊆ ψ(φ(C)) quindi A Æ ψ(φ(A)) è un operatore di chiusura su G. OSSERVAZIONE I sistemi di chiusura associati a questi operatori di chiusura sono tali che:
85
1) Un insieme A è chiuso su G se e solo se A = ψ(B) con B ⊆ Μ 2) Un insieme B è chiuso su M se e solo se B = φ(A) con A ⊆ G. DIMOSTRAZIONE (della proprietà 1) Ogni insieme ψ(B) con B ⊆ Μ è chiuso ψ φ (ψ (B)) = ψ (B) Sia A ⊆ G chiuso, A = ψ φ (A) e B = φ (A) ⊆ M abbiamo A = ψ φ (A) = ψ φ (ψ (B)) = ψ (B) quindi ogni insieme chiuso ha la forma ψ (B), B ⊆ M. La proprietà 2) si dimostra in modo analogo.
Proposizione 5
Per ogni sistema (At)t∈Τ di sottoinsiemi di G e (Bt)t∈Τ di sottoinsiemi di M. 1) φ (∪t∈Τ At) = ∩ t∈Τ φ (At) ;
2) ψ (∪t∈Τ Bt) = ∩ t∈Τ ψ (Bt) ; DIMOSTRAZIONE 1)
At ⊆ ∪t∈Τ At ⇒ φ (At) ⊇ φ (∪t∈Τ At) ⇒ ∩ t∈Τ φ (At) ⊇ φ (∪t∈Τ At) se m ∈ ∩ t∈Τ φ (At) ⇒ m ∈ φ (At) per ogni t ∈ Τ {m} ⊆ φ (At) ⇒ m ∈ φ (At) per ogni t ∈ Τ {m} ⊆ φ (At) per ogni t ∈ Τ per il “Lemma 2” ⇒ ψ {m} ⊇ At per ogni t ∈ Τ ψ ({m}) ⊇ ∪t∈Τ At Per il “Lemma 2” ⇒ {m} ⊆ φ (∪t∈Τ At) con {m} ∈ φ (∪t∈Τ At) 2) la seconda parte si dimostra in modo analogo 86
SCHEMA G
2
M
φÆ
G
2M
Åψ
∅
∅
“Estensione” e “Intenzione” di un concetto Adesso siamo in grado di formalizzare la nozione intuitiva (filosofica, epistemologica) di “concetto”. Un concetto in questo senso consiste di due componenti: la sua “estensione” e la sua “intenzione”. L’estensione di un concetto è un insieme di oggetti, la intenzione è un insieme di proprietà e le due sono collegate quindi: - ogni oggetto che ha tutte le proprietà dell’intenzione è un elemento dell’estensione; viceversa ogni proprietà comune a tutti gli oggetti dell’estensione è incluso nella intenzione del concetto. Formalizzando queste idee si ottiene la definizione di un contesto.
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LEZIONE V - 15/03/2004 “Contesti” e “Concetti” Un contesto è una terna K = (G,M,I) dove: - G è l’insieme di oggetti; - M è l’insieme di attributi (proprietà) - I è una relazione I ⊆ G × M ed è detta “relazione d’incidenza”. (g,m) ∈ I oppure g I m significa che l’oggetto g possiede l’attributo m. Definiamo per ogni sottoinsieme A ⊆ G, B ⊆ M : A’ = {m ∈ Μ | per ogni g ∈ Α: (g,m)∈ Ι}∈ Μ B’ = {g ∈ G | per ogni m ∈ Β: (g,m)∈ Ι} ⊆ G Si scrive A’’ = (A’)’, A’’’= ((A’)’)’…..e così via….. Si nota che ∅ ⊆ G, ∅ ⊆ M quindi ∅’ = {m ∈ Μ | per ogni g ∈ ∅: (g,m)∈ Ι} = M ∅’ = {g ∈ G | per ogni m ∈ ∅: (g,m)∈ Ι} = G DEFINIZIONE Un concetto (formale) del contesto K = (G,M,I) è una coppia (A,B) tale che A ⊆ G, B ⊆ M, A’ = B, B’ = A A è l’estensione del concetto mentre B è l’intenzione del concetto. B(K) = B(G,M,I) = l’insieme di concetti del contesto K. L’ordine su B(K) è (A,B) ≤ (U,V) se e solo se A ⊆ U(se e solo se B ⊇ V) 88
(A,B) è un sottoconcetto di (U,V).
Lemma 3
Le due applicazioni: A Æ A’ : 2G Æ 2M B Æ B’ : 2M Æ 2G costituiscono una connessione di Galois DIMOSTRAZIONE 1) Verifichiamo X ⊆ Y ⇒ X’ ⊇ Y’ per ogni X,Y ⊆ G U ⊆ V ⇒ U’ ⊇ V’ per ogni U,V ⊆ M Siano X,Y ⊆ G con X ⊆ Y e m ∈ Y’ per ogni g ∈ Y (g,m) ∈ I ⇒ per ogni g ∈ X (g , m) ∈ I ⇒ m ∈ X’ simmetricamente si vede in maniera analoga: U ⊆ V ⇒ U’ ⊇ V’ 2) Verifichiamo che A ⊆ A’’, B ⊆ B’’ a ∈ A ⇒ (a,m) ∈ I per ogni m ∈ A’ ⇒ a ∈ A’’ = {g ∈ G | per ogni m ∈ A’, (g,m) ∈ I } ⇒ Α ⊆ Α’’ (il resto segue analogo) Applicando il “Lemma 2” e la “Proposizione 4” si ottiene il seguente corollario:
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Corollario2 Per ogni A ⊆ G, B ⊆ Μ vale A ⊆ Β’ se e solo se B ⊆ A’ e A’ = A’’’, B’ = B’’’ OSSERVAZIONE 1) (A,B) ∈ B(G,M,I) se e solo se A × B è un rettangolo massimale in I B A
2) B(K) – {(A’’,A’) | A ⊆ G} = {(B’,B’’) | B ⊆ Μ} (dove B(K) è l’insieme di concetti di contesto K) 3) B(K) è un reticolo Per calcolare inf e sup si procede così: Siano (At, Bt) ∈ B(K) per ogni t ∈ Τ (famiglia di concetti).
∧t∈Τ (At, Bt) = ∧t∈Τ ( Bt’, Bt) = (∩ t∈Τ Bt’, (∩ Bt’)’) = (∩ At, (∪Bt)’’) perché ∩ Bt’ = (∪Bt)’ (per la “Proposizione 5”). ∨ t∈Τ (At, Bt) = ∨ (At, At’) = ((∩ At’ )’, ∩ At’ ) = ((∪At)’’, ∩ t∈Τ
Bt)
Bk è un reticolo completo.
La situazione è la seguente: abbiamo due sistemi di chiusura schematizzati nella figura seguente. 90
G
M
∅
∅
B(K) è l’insieme {(X,X’) | X ⊆ G chiuso} {(Y’,Y) | Y ⊆ M chiuso } L’ordine su B(K) (A,B) ≤ (U,V) se e solo se A ⊆ U (se e solo se B ⊇ V)
Algoritmo intuitivo per la costruzione del reticolo di concetti di un contesto finito
Consideriamo un contesto K. L’ordine di B(K) è determinato dall’insieme delle estensioni, dunque dai sottoinsiemi di G della forma B’ con B ⊆ M.
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Il sistema {B|con B ⊆ M} = Z è un sistema di chiusura su G. Gli insieme {m}’ con m ∈ M è un sistema generatore di Z. Di conseguenza, si ottiene una lista di tutte le estensioni di B(K) nel modo seguente:
PASSO 1: Si inserisce G (=∅) nella lista. Per ogni m ∈ M. PASSO m: Si considera {m}’ : insieme di tutti gli oggetti che hanno la proprietà m e si inseriscono nella lista tutti gli elementi del tipo A∩{m}’ per ogni A, elemento già presente nella lista. N.B. B. Ganter ha costruito un algoritmo più elegante e facile da programmare alla costruzione delle estensioni di un contesto.
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