1er Concurso 6 Mate Financier A

MATEMÁTICA F

I

N

A

N

C

I

E

Hernán B. Garrafa araGón

R

A

Rector

Aurelio Padilla Ríos

Prim Primer erV Vic icer erre rect ctor or

José JoséS S..Ma Mart rtín ínez ez Talle alledo do

Segu Segund ndo oV Vicer icerre rect ctor or

Luis LuisC Cab abel ello loO Ort rteg egaa

yPresidentedelaComisióndelProgramaEditorial EduardodeHabich-TextosUNI

Primeraedición,juniode2008 MateMática MateMática Financiera

ImpresoenelPerú/PrintedinPeru ©

Hern He rnán ánB B..Ga Garr rraf afa aAr Arag agón ón Derechos reservados

EditorialUniversitariadela UniversidadNacionaldeIngeniería  Av.TupacAmaru210,Rímac-Lima PabellónCentral/Sótano Telf.:481-1070anexo240 E-mail:[email protected] JefeEDUNI:Pf. Áv Mñ Fi DiseñoyDiagramación:EDUNI Impresopor................................... ISBN:.............................................. HechoelDepósitoLegalenlaBibl HechoelDepósitoLegalenlaBibliotecaNacional iotecaNacional delPerúNº......................................... Prohibida Prohibid ala lareprodu reproduccíónde ccíóndeestelibro estelibropor porcualquie cualquier rmedio, medio, totaloparcialmente,sinpermisoe totaloparcialmente,sinpermisoexpresodelautor xpresodelautor..

A mi esposa, Jessica A mi hija, Yemitsu Yemitsu A mis padres: Braulio y Margarita Margarita A mi hermana, Inés A mis hermanos: José, Franck, Tino Tino A mi sobrina, Vanesa. Vanesa.

ConTEnIdo Prólogo y agradecimientos Introducción

1

2

3

Interés sIMPle

13 15 



1.1. Introducción 1.2. El interés simple 1.3. Período de tiempo 1.4. Interés exacto e interés ordinario 1.5. Norma comercial 1.6. Valor presente 1.7. Monto 1.8. Variaciones de tasas 1.9. Ecuaciones de valor Problemas resueltos Problemas propuestos



 17 20 23 23 24 24 24 26 28 32 39

Interés CoMPuesto 2.1. Introducción 2.2. Interés simple e interés compuesto 2.3. Monto 2.4. Valor actual 2.5. Monto con variaciones de tasas  2.6. Ecuaciones de valor Problemas resueltos Problemas propuestos

43 43 45 47 49 51 55 68

DesCuento 3.1. Introducción 3.2. Descuento racional 3.3. Descuento bancario 3.4. Descuento comercial

73 74 76 80

Problemas resueltos Problemas propuestos

4

5

6

tasas 4.1. Introducción 4.2. Tasa nominal y tasa proporcional 4.3. Tasa efectiva 4.4. Tasas equivalentes 4.5. Tasa activa y pasiva 4.6. Tasa de interés compensatorio 4.7. Tasa de interés moratorio 4.8. Tasa de interés legal 4.9. Tasa de inflación 4.10. Tasa real 4.11. Tasa de devaluación 4.12. Tasas con capitalización continua Problemas resueltos Problemas propuestos

93 94 96 98 103 106 107 109 110 113 114 118 120 131

anualIDaDes 5.1. Introducción 5.2. Monto de una anualidad vencida 5.3. Valor presente de una anualidad vencida 5.4. Monto de una anualidad anticipada 5.5. Valor presente de una anualidad anticipada 5.6. Anualidades diferidas Problemas resueltos Casos Problemas propuestos

137 138 140 143 144 146 154 167 172

anualIDaDes PerPetuas

6.1. Introducción 6.2. Valor presente de una anualidad perpetua   vencida

8

83 90

Hernán B. G arrafa araGón

177 177

6.3. Valor presente de una anualidad perpetua anticipada Problemas resueltos Problemas propuestos

7

8

9

179 181 194

GraDIentes 7.1. Introducción 7.2. Valor presente de anualidades que varían en progresión aritmética 7.3. Valor presente de los gradientes uniformes 7.4. Equivalencias entre anualidades uniformes y anualidades que varían en progresión aritmética 7.5. Valor presente con anualidades en progresión geométrica Problemas resueltos Problemas propuestos

197 197 198 199 203 206 218

aMortIzaCIón 8.1. Introducción 8.2. Fondo de amortización 8.3. Cuadro del Fondo de Amortización 8.4. Amortización 8.5. Cuadro de Amortización 8.6. Valor actual neto 8.7. Tasa interna de retorno  8.8. Depreciación Problemas resueltos Casos Caso propuesto Problemas propuestos

221 221 221 224 224 228 231 233 237 265 276 277

oblIGaCIones 9.1 Introducción 9.2. Terminología 9.3. Bonos

281 282 283

M ateMática financiera





10

9.4 Opción de compra 9.5. Valuación de una graduación 9.6. La relación entre tasa de interés e inflación 9.7. Bonos Brady Bonos Par Bonos al Descuento Bonos Flirbs (Front Load Interest Reduction  Bonds) Bonos de Conversión de Deuda (DCBs) y Nuevo Dinero (NMBs) Bonos de Intereses Retrasados Bonos de Intereses Capitalizados Problemas resueltos Problemas propuestos Glosario Citas bibliográficas Referencias bibliográficas Anexo


284 285 291 392 292 293 293 293 294 294 295 300 303 313 313 315

ÍnDICe De tablas t

Dcipci

Pági

1A

Tasaactivapromedioensolesydólares. Fuente:BCRP.

105

1B

Tasapasivapromedioensolesydólares. Fuente:BCRP.

105

2A

ÍndicedepreciosalconsumidordeLima. (índicebasediciembre2000=100).Fuente:INEI.

111

2B

InflaciónmensualdeLima(variación%mensual). Elaboración:propia.

111

3A

TCydevaluaciónorevaluación(nuevosol/dólar). Fuente:BCRP,SBS,ReutersyDatatec.

116

ÍnDICe De GrÁFICos Fig

Dcipci

Pági

1.1

Evolucióndelatasadeinterésensolesydólares. Fuente:DatosdelBCR.Gráfico:Elaboraciónpropia.

20

1.2

Relación entre P y su valor futuro.

21

1.3

Relación valor presente y monto.

25

1.4

Interés simple con variaciones de tasa.

27

2.1

Relación entre interés simple y compuesto.

44

2.2

Capitalizaciónanual versuscapitalizacióntrimestral.

45

2.3

Relación entre valor actual y monto.

48

8.1

EvolucióndelVANenfuncióndelcostodecapital.

230


11

Póg y agaecimiet

E

stelibrorecogelasexperienciasquealolargodelosaños mehadadoelhaberdictandoestamateria,aunadasalas operacionesconbancosque,comocualquierciudadano, herealizado.Adicionalmente,herecibidosugerenciaseideasde partededocentesdeestamaterialoquemehapermitidomejorar lacalidaddeestetrabajo. Expreso mi agradecimiento y aprecio al MBA Germán Ríos, funcionariodeMiBanco,quepermitióincluirproblemasdeoperacionesfinancierasquesegeneran,comúnmente,enlabanca privadapara,deestamanera,hacermásefectivoyútilestelibro paraestudiantesdelamateria. TambiénmireconocimientoalaSeccióndePostgradodelaFIECS enlosprofesores:Mag.EnriqueSatoKurodayMag.UlisesHumalaTassoporelapoyoaestapublicación,convocandoalosprofesoresDr.LuisNavarroHuamaníyMag.JuanLamÁlvarezquienescolaboraronenlarevisióndeestematerial.AlseñorFreddy Bartolaporlasútilesideasparamejorarestaprimeraedición. EstelibrorecogeelesfuerzodelosestudiantesdelcursodeMatemáticaFinancieraconloscualesseresolvióvariosejemplosy problemasplanteadosenelpresentevolumen.

Itucció

E

ste libro está dirigido al estudiante universitario en el cursodeMatemáticaFinancieraenlasespecialidadesde cienciaseconómicas,ingeniería,administraciónyconta bilidadenlascualessedictaestecurso. MatemáticaFinancieraestáconsideradaenelcampodelamatemáticaaplicadaqueestudiaelvalordeldineroeneltiempo, teniendoencuentavariosfactores,como:latasa,elcapitalyel tiempoparaobtenerunmontoointerésquepermitentomardecisionesdeinversión. Conesaóptica,permitiráalalumnoelaborarmodelosmatemáticosencaminadosainterpretaryresolverlosproblemasfinancierosque,confrecuencia,sepresentanenlagestióndelasempresas,organismosdeinversionesyentidadesdelsistemabancario yfinanciero. Adicionalmente,ayudaaresolverproblemasqueselepresentaa cualquierciudadanoensuvidadiaria,como,porejemplo,adquirirunautomóvil,unacasa,cualquierbienoproductoobtenidoa plazo;solicituddecréditos,contratodepólizas,acciones,obligaciones(bonos)uotrotipodeinversiónrentable.Elconocimiento delasmatemáticasfinancieras,portanto,lepermitiráalalumnadoprestaroinvertirsudineroenunaformamásracional. Lacaracterísticaprincipaldeestelibroesutilizarpocasfórmulas,inusualenlostextosdeMatemáticaFinanciera,para,deesta manera,darlesimplicidadalasolucióndelosproblemasycasos. Sibienesciertoqueeldesarrollodelosmismosestárealizadoen

Excel,sehaceutilizandolasoperacionescomunes,potenciación, radicaciónylogaritmo. Alolargodellibroseplanteayresuelveproblemasprácticos paraasíilustrarmejorlasfórmulasdesarrolladasenlateoría. También, en este tomo,se harecogido problemas al nivel de maestríaeneconomía,administraciónycontabilidadloscuales hansidoresueltostratandosiempredequelasolucióndelos mismosseasimple. Sepresentacasosrealesdeproblemasdeamortizacióndenuestra bancanacionalydeprestamistasinformales.Puedesuceder,por ejemplo,quelafórmulaaplicadaparadeterminarelmontodel pagoperiódicoeslamismadesarrolladaenlateoríaexistiendo pequeñasdiferenciascon respecto a cómo lo obtieneel banco conrespectoaestateoría.Esporelloquesemuestraeldesarrollo deestetipodeproblemasycuálesladiferenciaconrespectoala teoríamostradaenellibro. Los temas financieros ocupan una posición muy relevante en nuestra sociedad.Sepuedeobservarinformaciónfinancieraenlos diarios,revistas,televisión,etc.yesqueparatomarunadecisión, deíndolefinanciera,sedebeestarinformadoyasesoradopor una persona con conocimientos enfinanzas. Es esta creciente necesidad deconocimientos detemas financierosloque hace posible la edición de libros de matemáticas financieras como uninicionecesarioparaingresarenelimportantemundodelas finanzas. MatemáticaFinancieraeselcursoinicialbásicoparalassiguientes materias:AnálisisFinancierooAdministracióndeInversionesy Ingeniería Financiera;suaplicación seorienta a personasque tienencomofuncióntomardecisionesdefinanciamiento;para ellodebenteneryprocesarinformaciónpara,deestamanera, estarencondicionestomarunadecisiónadecuada. Finalmente,deboprecisar,conrespectoallibro,queresultaría absurdoreclamaroriginalidadporqueexistemuchomateriales critoacercadeestostemas,porloquemeremitoalenunciadode AdamSchaff(“HistoriayVerdad”):“Laúnicaoriginalidadque puedepretenderelautorresideenlamaneraenquedispongaen unconjuntoloselementosyaconocidosyenelusoenquehaga deeseconjuntoensusrazonamientos”.

16


Capítulo

InTErés sIMPlE

1

1.1. Idcci Antesdedesarrollarestetema,explicaréelconceptodeinterés,debidoasu importanciaenloscapítulosposteriores.Elinteréseselprecioapagarporel usodedineroquenoesnuestro,esdecir,lospréstamosquegeneralmentenos brindan:unamigo,laempresadondelaboramos,unainstituciónbancaria,etc. Porestepréstamo,solicitamosuntiempodeterminadoparasudevolución. Determinarestepreciosignificasaber¿cuáleslacuantíadelpréstamo?y¿por cuántotiemposelevaausar?Alvalordeeseprecio,cuandoseexpresapor unidaddecapitalyunidaddetiempo,selellamatasadeinterés(magnitud independientedelaunidadmonetariautilizadaparaelpréstamo),elcualde pendedelaunidaddetiempo.Estenivelestarádeterminadoporlaofertayla demandadedineroenlaeconomía(ofertaodemandamonetaria)yéstas,asu vez,dependendelapolíticamonetariayfiscal;cuandoexisteescasezdedineroenlaeconomíasuniveldeprecioaumentaráycuandoexisteabundanciade dinero,suniveldepreciodisminuirá.Adicionalmente,paraesteniveltambién influyenlasexpectativasdelosagenteseconómicossobreelcomportamiento futurodelaactividadeconómica.Todosestosfactoresdeterminanestenivel deprecio. AcontinuaciónseexplicaráelconceptoDinero,OfertaMonetaria,Inversión yCrédito,antesdeiniciareltemadeinteréssimple.

Di.Seconoce comúnmentepor aquelloque puedeser utilizado como mediodeintercambio,detalformaqueporunacantidaddeesteelementose puedeobtenerciertosbienesoservicios(Ayres,Jr.Frank). Desdeestepuntodevista,sonllamadosdinero:lasmonedasdemetal,las monedasdepapel(billetes),loschequesylastarjetasdecrédito(engeneral, llamadodineroplásticoodinerodeplástico–esunatarjetadeplásticoconuna bandamagnética–)Visa,MasterCard,etc.,todasellaspuedenserutilizadas comomediodeintercambioparaobtenerproductososervicios.

of mi.Existenvariasposiblesdefiniciones,lamásrestringidaes laqueexpresaqueestánconstituidosexclusivamenteporlosbilletesymonedasencirculaciónmáslosdepósitosalavistaoencuentacorrientequese hallanenelsistemabancario.También,esllamadaofertamonetariabásicao circulante. Elbienestardeloshabitantesdeunpaísestárelacionadoporlaofertamonetaria(Ayres,Jr.Frank). Siexistepocodineroenunaeconomía,aparecela ci (existenciadebienesyserviciosdondeparadójicamenteloshabitantesengeneralnotienenla capacidaddecompra).Elcasoopuesto,escuandoexisteexcedentededinero enlaeconomía,entoncesaparecela ifci(escasezdeciertosbienesyservicios,locualconllevaalincrementoconstantedelosprecios).Enestecaso, unproductopuedetenerunprecioenlamañanayotromayorporlatarde. Tantolarecesióncomolainflaciónsonnocivasparalaeconomíadeunpaís. Porello,elBCRP1eslainstituciónquedebeproporcionaranuestropaísuna ofertamonetariadeacuerdoalasnecesidades;enesecontexto,éstadebeser independientedelmanejopolíticodelgobierno.

Ivi.Eslaoperacióndecolocarcapitalesenentidadesfinancieras(dineroquesetransformaencapitalcuandoconélproducimosriqueza)conla finalidaddeobtenerganancias,traducidasenbeneficioseconómicosporde positareninstitucionesquepaganuninterés,trabajandosucapital.Alrealizar estaacción,seestáinvirtiendosucapital.Porlogeneral,inviertenlaspersonas naturales,empresas,institucionesyelgobierno.Alhacerestasinversiones buscan: 1. n  pdid d cpi. Esimportantesaberdeunainstituciónseria enlaquepuedacolocarsucapital,nodejándosellevarporlapropaganda acercadealtastasasdeinterés,comofueCLAE(bancoinformal)enel cualmuchaspersonasnaturalesyjurídicasperdieroncompletamentesu capital. 2. Pcci   ivi. Lasempresasalvenirainvertirlohacen enunmarcojurídicoynosepuedecambiarésteporqueunadelaspartes asíloquiere.Alrespetarestascondiciones,estamosmostrandoseguridad enlainversión.Adicionalmente,mostramosseriedad,detalmaneraque otras empresas extranjeras podrían traer futuras inversiones. Para que estosuceda,sedebetenerunPoderJudicialautónomoynodependiente delgobiernodeturno.

 BancoCentraldelaReservadelPerú.

18


3. bfici  c p. Todaempresatrataderecuperarsuinversión enelmenortiempoposible;ejemplodeellosetieneaempresasqueen cortotiemporecuperaronsuinversióncomo:TelefónicayLuzdelSur. 4. Icm  v d  ivi. Estotambiénpuedesucederde formacasual;porejemplo,eltenerunacasadestinadaparaviviendaen unazonaurbanayenunmomentodeterminadoconstruyenfrenteaella unaUniversidadounHospital,automáticamentepasaaservalorizada esacasacomounprediocomercial,loqueimplicaunaumentodelvalor monetariodelapropiedad. 5. Vj fic. Son medidas que adopta un ente para propiciar el desarrollo de una zona determinada (frontera), y el sector productivo (exportaciones).Generalmente,elgobiernopropiciaestetipodeacciones conlafinalidaddeatraerinversionesazonaspobrescomosonlasde fronterayquepuedenconsistirennocobrarimpuestosalasempresasque inviertanenesosámbitos. Cdi.Cuandosecompraunacasasepuedehacerdedosformas:condineropropio,esdecir,pagaralcontadooalnocontarconeldinerosuficientepara cancelarelvalordelacasasepuedehacerentregadeunpagoinicialprevio acuerdodecancelarperiódicamenteladiferenciaporuntiempodeterminado. Loquesehaceesadquirirunpréstamo.Estaoperaciónesconocidacomoobtencióndeuncréditoydeestamanerasecancelaelvalordelacasa.Cuandoal valordeestepréstamoseleaplicaunfactorllamadotasadeinterés(preciodel préstamoenelmercadofinancieroexpresadoenporcentaje)seestáobteniendoelioc d cdi quesepagaporelvalordelpréstamo. EstatasadeinterésesfijadaporelBancoCentral decadapaísalosotrosbancosyéstos,asuvez,lafijanalaspersonasporlospréstamosodepósitos.El BCRPeselentequeregulalatasadeinterésparapréstamosodepósitos.Una deestetipoeslatasadeinterésactivapromedioennuevossoles(TAMN)y latasadeinterésactivapromedioendólaresoTAMEX.Laevolucióndeesta tasadeinterésennuestropaís,expresadoenporcentajeentrelosaños1997y 2006.


1

Fig 1.1.Evolucióndelatasadeinterésennuevossolesydólares. Sepuedeapreciarqueestatasaestáreduciéndosetantoennuevossolescomo endólares.

1.2. e i imp Tambiénllamadorégimendecapitalizaciónsimpleenelquelosinteresesproducidosaltérminodelperiododecapitalizaciónofechaquesedaporfinalizadalaoperaciónseretiranestosintereses(nosereinvierte),quedando,de estaforma,elcapitalinicialconstantehastalafechaenquesehayaconvenido sureembolso.Sedenomina cpi iici opicipalacantidaddedinero querecibimoscomopréstamoodepositamosaliniciodeunaoperación,siendoelprecioquesepagaporelusodeestedinero éselcualdependede lossiguientesfactores: •

El ig queconllevalaoperación,implicarálamayoromenortasade interés.Laseguridad,solvencia,respaldoogarantíaquepuedepresentar elsolicitantedelpréstamoparalacancelacióndelmismopermitiráobtenerelpréstamoencondicionesmásconvenientes.Ejemplo,elfinparael quesevaausarestedinero;noeslomismoutilizarunpréstamoparala compradeunacasaqueparalacompradeunauto;noeslomismoprestaraempresasquesonconsideradasimportantesqueaotrasquenoson consideradascomotales.

20


•

A mayor periodo de imp, habrá un mayor pago por concepto de interés.

•

Del mcd,puedeendeterminadomomentoexistirunagranoferta monetaria,entonceslatasadeinteréstiendeabajar,comopuedesuceder el caso contrario. Ejemplo, cuando la situación económica, social y políticadeunpaíspresentacaos,elriesgopaís 2(indicadordeconfianza enlaeconomíadeunpaís)tiendeasubirautomáticamente,por tanto, latasadeinteréssube,loqueimplicaelmayorpagoporconceptode interés.

Entonces,elinterés(I)dependedecómoevolucionanestosfactores.Paradeterminarelinteréssimple,lodefiniremoscomoelproductodelcapitalinicial (P),tasadeinterés()yelperiododetiempo(). I=Prn(1) Donde: I

Interéspagadoporelpréstamoocrédito.

P

Capitalinicialoprincipal.

r

Tasadeinteréssimpleporunidaddetiempo.

n Periodode tiempo,expresado en lasmismas unidades que la tasa de interés. EsteinterésserelacionaconP deacuerdoalasiguientegráfica:

Fig 1.2. RelaciónentrePysuvalorfuturo. ejmp 1.UnapersonaconcedióunpréstamoaunamigoporS/.35000 comprometiéndoseéste adevolverlodentro deunaño.Por elmencionado préstamo le cobróunatasade interés simple del12%anual.¿Cuálserá el interésquedeberápagaresteamigoporelpréstamo? sci: En este caso,se tienecomo datosP,nyr,de la fórmula(1)se tiene:  ElPerútieneunbajoriesgopaísenrelaciónaotrospaísesdeAméricaLatina.


21

P = 35 000 soles r = 12% anual como I = P r n n = 1 año entonces I = 35 000 x 12% x 1 = 4200 soles El interés a pagar será de S/. 4200.

ejmp 2. Desarrolleelejemploanterior,considerando unatasadeinterés del12%semestral. sci:Como  y tienenqueserexpresadosenunidadeshomogéneas, entonces: P = 35000 soles r = 12% semestral

De (1) se tiene que:

n = 2 semestres 

I = 35000 x 12% x 2 = 8400 soles

EnestecasoelinterésapagarserádeS/.8400.

ejmp 3.Unaparejadeesposossolicitaunpréstamoaunapersonaporun montode$23000paracomprarunauto.Estapersonacobraunatasadein teréssimpleparapréstamosdel24%anual,silospagosmensualesarealizar seránde$520,¿quépartedelprimerpagosedestinaalpagodeinterésya saldarelpréstamo? sci:Setienequecalcularelinterésquesepagaporelprimermes,lainformacióndelatasadeinterésesanual,comosenecesitamensual,porlotanto sedivideentre12(númerodemesesquetieneelaño).Lapartequeamortiza ladeudaesladiferenciaentreloquesepagamensualmenteyelinterés. P = 23 000 dólares r = 2% mensual n = 1 mes

I = 23 000 x 2% x 1 = 460 dólares

Paraelpagodeinterésdestinó$460yparasaldarladeuda$60($520 -$460).

ejmp 4. UnseñorsolicitóunpréstamodeS/.800paraliquidarloentres mesesypagóporelloS/.120porconceptodeinterés.¿Cuáleslatasadeinteréstrimestralyanual? sci: Enestecaso,elperiodoes1trimestre,resumiendolosdatos:

22


P=800solescomo r=I/Pn

P =800solescomo r=I/Pn

n = 1 trim.

r = 120/800

n = 3/12 años

I = 120 soles

r = 0.15 trim. I = 120 soles

r = 120/(800x3/12) r = 0.60 anual

Latasadeinterésesde15%trimestralo60%anual.

1.3. Píd d imp Básicamente,setienedosformasdecuantificarelnúmerodedíascomprendidosentredosfechas.Tiempo xcqueincluyetodoslosdías,exceptoel primero.La otraserá eltiempo pximd,elcualconsisteenconsiderar, porejemplo,quetodoslosmesestienen30días.

ejmp 1.Calculareltiempoexactoyaproximadoentreel4deabrilyel28 deagosto. sci: Serealizaráestaoperaciónmesamesydeestaformasedeterminaráelnúmerodedíasquetienecadames. M

t. exc

t. apximd

Abril Mayo Junio Julio Agosto

26días(30-4) 31„ Vemosqueelnúmerodemesesdel4deabril 30„ al4deagosto,resultando4x30días,luegole 31„ adicionamos24días(28ago-4ago) 28„

t

146 dí

144 dí

1.4. I xc  i dii Comúnmentenosenfrentaremosantelasituacióndequenecesitamosexpresar losplazosqueestánendíasaañosoviceversa,cuandoestosucedeyutilizamosundivisorde360selellamará i dii . Ysiutilizamos undivisorde365ó366selellamará i xc  .Desimilarforma sepuedeobtenerelinterésordinariooexactosemestral.

ejmp 1.Calcularelinterésexactoeinterésordinariodeunpréstamode $500a90días,silatasaesde18%anual. sci: SetieneP=500yr=18%anualdelafórmulasepuedeobtener:


23

Interés ordinario = 500 x 0.18 x 90/360 = $ 22,50 Interés exacto = 500 x 0.18 x 90/365 = $ 22,19 Elhechodeusar365ó366dependerásielañoesbisiestoono.

1.5. nm cmci Deloanteriorsepuedeconcluirqueexistendosformasdecalculareltiempo (exactoyaproximado)ydostiposdeinterés(exactoyordinario),estogenera cuatroformasparacalcularelinteréssimple. 1. Tiempoexactointerésordinario. 2. Tiempoexactointerésexacto. 3. Tiempoaproximadointerésordinario. 4. Tiempoaproximadointerésexacto. Delascuatroformas,eldeusomásfrecuenteeslaforma1,tiempoexacto interésordinario,queestambiénconocidocomonormabancaria.

1.6. V p Enelcasodeinteréssimple,tambiénesllamadocapitalinicialyesaquellacantidaddedineroqueestáinvolucradaenunpréstamoodepósitoenel momentoinicialdelaoperación,llamadomomentocero,yseobtienedela definicióndeinteréssimple: P = I / (r n)

(2)

DondelasvariablesP,I,ysonlasmismasdefinidasanteriormente.

1.7. M Cuando alvalorpresenteleadicionamoselinterés,a estaexpresión sedenominamonto(M)otambiénvalorobtenidoalfinaldelaoperaciónyserá expresadopor: M=P+I M = P (1 + r n)

(3)

Dondelasvariables M,P,I,ysonlasmismasdefinidasanteriormente.En lasiguientefigurasemuestralarelaciónentrevalorpresenteymonto. 

24




 

Fig 1.3. Relaciónvalorpresenteymonto. Comoseobserva,elvalorpresente Ppuedeserllevadodesdeelperiodo 0 hastaelperiodo;deigualmanera,elmontoMpuedeserregresadodesdeel periodohastaelperiodo0 medianteesasrelaciones.

ejmp 1. SetieneuncapitaldeS/.1500,queseencuentradepositadopor5 trimestresaunatasade60%anual.Determinarelmontogeneradoalfinaldel plazomencionado. sci: Como estáexpresadoentrimestres,tienequeestarexpresado enlamismaunidad.Estosignificaquelatasaanualtienequeestarexpresada entasatrimestral.Oenestecasocomolatasaestáexpresadaanualmentese puedeexpresarenaños(5/4)yluegoaplicarlafórmula(3),obteniéndose: P = 1500 soles

r = 60% anual

n=5/4años

LuegoM=P(1+rn)=1500(1+60%x5/4)=2625

ElmontoserádeS/.2625.

ejmp 2. Resolverelproblemaanteriorconsiderandounatasade60%semestral. sci:Comoytienenqueserexpresadosenunidadeshomogéneas,en estecasolatasaestáexpresadaenformasemestral,luego queestádadoen trimestres,tienequeserexpresadoensemestres. P = 1500 soles n = 5/2 semestres.

Luego

r = 60% semestral

M = P (1 + r n) =

1500 (1 + 60% x 5/2) = 3750 ElmontoseríadeS/.3750.


25

ejmp 3. Una empresa prevélanecesidad deS/.50000 parafinalesdel terceraño,¿Cuáleselcapitalinicialadepositareldíadehoyparaobtenerese montosisesabequelatasaapagarporeldepósitoesde10%anual? sci: Enestecaso,laincógnitaeselcapitalinicialovalorpresentedela fórmula(3),despejandoPsetiene: M = 50 000 soles n = 3 años. Luego r = 10% anual P = M / (1 + r n) = 50000 / (1 +10% x 3) = 38 461,54 ElcapitalinicialadepositareldíadehoyseríaS/.38461.54.

ejmp 4. Unainmobiliariatienecomometaganaruninteréssimple de$100000enunperiododedosañosymedio.¿Cuáldebeserelcapital inicialadepositar,sabiendoquepuedeobtenerunatasade1%trimestral? sci:Enestecaso,setienecomodatoelinterésquedeseaobtenerlainmobiliaria,expresandoentrimestresdetalmaneraqueseahomogéneocon ,yaplicandolafórmula(2)setiene: I = 100 000 dólares n = 2.5 x 4 trimestres. Luego r = 1% trimestral

P = I / (r n) =

100 000 / (1% x 10) = 1000 000 Elcapitalinicialadepositarseríade$1000000.

1.8. Vici d  Enunhorizontedetiempo[0,n]conperiodos[ni,ni+1]puedesucedervariacionesdetasa.Esdecir,seinicialaoperacióneneltiempo“0”aunatasadeterminadadeinteréssimpleparaunperiododeterminado;paraelsiguienteperiodo estatasapuedecambiar.Laacciónpuedesucederhastallegaraltiempo“n”. UnejemplodeestetipodetasaeslaLibor 3,queeslatasadereferenciaquese negocianloseurodólares.Sepuedecalcularelinteréstotalcuandoseproduce estetipodesituacionescomosemuestraenlasiguientefigura:

 SigladelaLondonInterBankOfferRate.

26


Fig 1.4. Interéssimpleconvariacionesdetasas. SeaI1elinterésgeneradoporlatasar 1yelperiododetiempon 1;aplicando lafórmula(1)setienequeI1=Pr 1n 1,deigualmaneraI2=Pr 2n 2yasí,sucesivamente,secalculaI q=Pr qnq,elinteréstotalseráigualalasumadelos interesesparciales 





I1+I2+I3+∙∙∙+Iq. I = P r1n 1+Pr 2n2+∙∙∙+Pr qnq q

I=P

∑ r n i

(4)

i

i =1

Parahallarelmontosepuedeaplicarlafórmula(3),entonces q

M = P (1 +

∑ r n ) i

(5)

i

i =1

ejmp 1.UnaseñorarealizaunpréstamodeS/.2000aunfamiliar,conla finalidaddequeselosdevuelvadentrodeunaño,ofreciéndoleunatasade1% mensualdurantelosprimeroscuatromeses,ylosmesesrestantesaunatasade 1,5%mensual.¿Cuálseríalacantidadqueobtendríaalfinalizarelaño? sci: Seaplicadirectamentelafórmula(5)alainformacióndel ejemplo1. Capital inicial = 2000 soles

n 1=4meses

r 1 = 1% mensual

n 2=8meses

r 2=1.5%mensualluego

M=2000(1+1%x4+1.5%x8)

LacantidadqueobtendríaalfinalizarelañoseríadeS/.2320.

ejmp 2.Enelejemploanterior,sielfamiliardesearapagarenvezde 1y 2unatasaúnica, ¿Cuáltendríaqueserestatasaparaqueestaseñoranose perjudique?


27

sci:Paraqueestaseñoranoseperjudique,alfinaldelañotendríaquerecibirigualmonto,utilizandoestatasa  queenelcasoanteriorcuandoseutilizó 1y2,planteándoselasiguienteecuación: 2320=2000(1+ x 12) → =1,33% Latasaúnicasería1,33%mensual.

1.9. ecci d v Muchasvecesnosencontramosconeldilemadecomparardiferentescapitales.Porejemplo,S/.100dehoyesigual,mayoromenoraS/.100dentrodeun año,sifueraladevolucióndeunpréstamoodonación¿Quéprefiere?recibir hoyodentrodeunaño.Haceresteanálisissignificadeterminarelvalordel dineroeneltiempo,ylarespuestaaestainterrogantedependerádediferentes factores;porejemplo,latasadeinterésinvolucradaenestaoperación.Deahí laimportanciadeestetemaelcualpermitecompararcapitalesendiferentes momentosdeltiempo,losotrosfactoresatenerencuentasonlossiguientes: •

La ifci,puesto que dentro deunañoelpoderadquisitivodeese dineroserámenor.Porejemplo,siconS/.100aliniciodeañosecompra 10unidades,luegodetranscurrido1añopuedeserquesecompresólo8 unidades.

•

El c d pidd , los usos alternativos del dinero implican existenciadealternativasrentables,estedinerohoypuedegeneraruna utilidad.

•

El ig que significa laincertidumbre deloquepuedesuceder enel transcursodeunperiododetiempo.

Porlotanto,silaopciónfuerarecibirlosdentrodeunperiododetiempo,se podríaaceptarsolamentesiseentregaraunacantidadadicionalquecompensaralosfactoresanteriormentemencionados,debidoaqueeldinerotienela capacidaddeproducirmásdinero,generandoriqueza. Tomandoencuentaelfactortasadeinterés,analizaremoselsaldarunadeudaqueestácompuestapordosdeudas;laprimera,porS/.200eldíadehoy ylasegundaporS/.112,quesetendráquepagardentrodeunañoaunatasa del12%anual.Parapoderobtenerelvalordeestadeuda,senecesitasaber cuáleselvalorpresentedelosS/.112.EllosignificatrasladarlosS/.112al díadehoy,ysepuedeobtenerdespejandoPenlafórmula(3),luegoP=112 /(1+12%x1),entoncesP=S/.100.Parasaldarestadeudahoy,setendría quepagarS/.300(S/.200+S/.100).

28


Sepodríaanalizarelejemploanteriorinteresadoensabercuálseríaelvalor dedeudasisepagaracuandovencelasegundadeuda(dentrodeunaño).Para ello,necesitamossabercuálseráelvalordelaprimeradeudaS/.200,dentro deunaño,ohallarelmonto(llamadotambiénvalorfuturo)deestadeuda. Aplicandodirectamentelafórmula(3)setieneM=200(1+12%),luegoM =S/.224.Entonces,elvalordeladeudadentrodeunañoseríalacantidadde S/.224+S/.112=S/.336. Finalmente,sepuedeafirmarque: S/.200eldíadehoyyS/.112dentrodeunaño,esequivalentea: S/.300eldíadehoyy S/.336dentrodeunaño Entonces,parapodercompararcapitalesqueestánendiferentestiemposes necesariollevaratodosellosaunamismafecha.Aéstaseledenomina fch fcofch d cmpci .Alllevarestoscapitalesaesafecha,seforma unaecuaciónyéstaesllamadaecuacióndevalor.

ejmp 1.ElhospitalMaríaAuxiliadoradeseaadquirirmaterialquirúrgico –parapoderbrindarunmejorservicio–ycuentaparaellocondospropuestas quedebenseranalizadasporeldepartamentodelogística,acargodelaseñora JessicaAricoche: PropuestaA: Cuotainicial$20000,00y2cuotasmensualesde$15000cadauna. PropuestaB: Cuotainicial$12554,11y2cuotasmensualesde$19000cadauna. Sielcostodeldineroesel5%deinteréssimplemensual,¿cuáleslamejor oferta?

sci: Enestecaso,loquesetienequecompararescuáldelosproveedorestieneelmenorvalorpresente,siendoelmenorelmásconvenienteparael hospital;delainformaciónsetiene: Proveedor A

Proveedor B

Cuota inicial = $ 20 000

Cuota inicial = $ 12 554,11

Cuota mensual = $ 15 000

Cuota mensual = $ 19 000

Número de cuotas = 2

Tasa = 5% mensual


2

Comosetienequeobtenerelvalorpresente( VP)delosproveedores,consideramoselmomento“0”comolafechafocal;ellosignificallevarlascuotas mensualesaesteperiodo.Desarrollandoeldiagramadeflujo,setiene:

Digm d fj p  pp a

Unavezquelascuotasmensualeshansidotrasladadasalafechafocal“ 0” seprocederáacalcularelvalorpresentedelapropuestaA,queeslasumade todasestascantidades. VP propuestaA=20000+15000/(1+5%)+15000/(1+5%x2)=$47922,08

Digm d fj p  pp b

DeigualmaneraseprocederáparalapropuestaB  VP propuestaB=12554,11+19000/(1+5%)+19000/(1+5%x2)=$47922,08 Conestaóptica(fechafocalenelorigen),lasdoscantidadessoniguales,por ellolaseñora JessicaAricoche puedeafirmarque esindiferenteaceptarla ofertadelproveedorAoB.

ejmp 2.Unpadredefamiliacolocasucapitalmediantepréstamosainterés simple.Elprimeroysegundopréstamosde$7500y$2800,respectivamente; realizaelsegundopréstamo7mesesdespuésdelprimero.Latasaqueofrecen

30


pagarlees del2%pormes,¿cuáles elmontogeneradoporestospréstamos siambaspartesdecidenmantenerestaoperaciónporunañomásdespuésdel últimopréstamo?

sci:Enestecaso,sepidecalcularelmontogeneradoporestosdospréstamos;paraelprimerpréstamoelnúmerodeperiodoses19meses(7+12), paraelsegundopréstamoseráde12mesesylatasadel2%mensual.Considerandolafechafocalalfinaldelaño,setiene: 1er depósito = 7500 dólares

2do depósito = 2800 dólares

Periodos = 19 meses

Periodos = 12 Meses

M = 7500 (1 + 2% x 19) + 2800 (1 + 2% x 12) → M = 13 822 dólares

Elmontogeneradoporestosdospréstamosseríade$13822.Elsiguiente diagramadetiempovisualizaeldesarrollodeesteejemplo.


31

ProbleMas resueltos 1. SedepositaS/.3500por19meses,aunatasade12%anual.¿Cuálserá elmontogeneradoporestaoperación?

sci: P = 3500 soles n = 19 meses r = 12% / 12

Entonces M = 3500 (1 + 1% x 19) = 4165

ElmontogeneradoseríadeS/.4165. 2. Uninversionistacolocósucapitalde$30000comopréstamoaunaentidadcomercialpor5añosyainteréssimple.Sesabequeduranteeste lapsodetiempolatasadeinteréstuvolassiguientesvariaciones: • 0,5%quincenaldurante losprimeros7meses. • 2,5%semestralporlos 5mesesconsecutivos. • 1,2%mensualporlossiguientes4trimestres. •

6% anual porlos siguientes 5 semestres.

•

0,016% diario por los siguientes4 meses.

•

1,5% bimestral por los 2 últimos meses. a) Elinversionistadeseaconocerelinterésgeneradoporsucapital. b) ¿Cuáleslatasaacumulada(tasatotaleneltiempoquedurala operación)ylatasaúnicaanualdeestaoperación?

sci: (Ver Anexo página I).Comoenestaoperaciónseproducen variacionesdetasas,setienequeaplicarlafórmula(4),peroparaello latasaylosperiodosdetiempotienenqueserhomogéneos,esdecir, expresadoenlasmismasunidades. P = 30 000 dólares

32

n1 = 7 x 2 quincenas

r 1 =0,5%

n2 = 5/6 semestres

r2 =2,5%

n3 = 4 x 3 meses

r 3 =1,2%

n4 = 5/2 años

r 4=6%


n5 = 4 x 30 días

r 5 =0,016%

n6 = 1 bimestre

r6 =1,5%

30000(0.5%x14+2,5%x5/6+1,2%x12+6%x5/2+0,016%x120 +1,5%x1) I = $ 12 571 a) Elinversionistarecibiráporsucapitaluninterésde$12571alfinal deloscincoaños. Latasaacumuladaenestos5años,esigual: 0,5%x14+2,5%x5/6+1,2%x12+6%x5/2+0,016%x120+ 1,5%x1=0,4190 LatasaúnicaconvierteP=$30000enunperiodode5añosenun montoM=$ 42 571($30000 +$12 571),delafórmula(3)se tiene: 42 571 = 30 000 (1 + r x 5) → r = 8,3806%

b) Latasaacumuladaenlos5añoses41,9%ylatasaúnicaes8,381% anual. 3. Unapersonainvierte$50000aunatasadel12%deinteréssimpleanual; alcabode3añosinviertelautilidadaunatasadel3%deinteréssimple mensual.Siluegodetranscurridountiempo“ ”lautilidaddelasegunda inversiónesel75%delautilidaddelaprimera(enlostresaños),ycomo novaharetirarlainversióninicial,entonces,¿acuántoasciendeelmonto total?

sci: En este caso, se tiene que analizar el interés que genera la utilidadparaalfinalpoderobtenerelmonto. P=50000dólaresr=0,12anual Deacuerdoalafórmula(1),elinteréssimpleI3añosparalosprimeros3 añosaestatasaserá: I3años=50000x12%x3=18000 Conformeelenunciadodelproblemaen nmesesmáselinteréssimpleI 2 generadoporunatasadel3%mensualesigualal75%deI 3años(utilidadde laprimera),entonceselinteréssimplegeneradoporestautilidadserá: I2=75%x18000=18000x3%xn Elcualdacomorespuestaqueeltiempotranscurridoes n=25meses.


33

Adicionalmente,setienequeelcapitalinicialgenera,durante25meses, aunatasadel1%mensual(12%/12),uninteréssimpleI 3: I3=50000x1%x25=12500 Entonces,elinteréssimpleIgeneradoenestaoperaciónserá: I = I3años+I2+I3=18000+13500+12500=44000 SetienequeM=P+I=50000+44000. Elmontototalasciendea$94000. 4. LaempresamineraBuenaventuratieneensuplandestinar$9000000a unainversióndelaqueesperauningresode$5200000en6mesesyde $6300000dentrodeunaño.Considerandoelorigencomopuntofocaly queestaoperaciónesrealizadaainteréssimple,determinar: a) Latasadeinterésquehaceindiferentelainversión. b) Lanuevatasadeinteréssialcabodeloctavomesadiciona$500000 alainversión.

sci: Enunaoperaciónenlaqueestáninvolucradosegresoseingresos loquebuscatodoinversionistaesobtenerutilidades.Elloimplicaquelos egresosseanmenoresalosingresos;enelmomentoqueéstosseaniguales, sedicequeesindiferentelainversión,enelsentidoquenoexistenpérdidas ogananciasenlainversión.Desarrollandoeldiagramadeflujo,setiene:

Considerandocomopuntofocalelorigen,sumaremoslosingresosylos igualaremosalosegresos(lainversiónrealizada)enestepunto,luego: 9000000=5200000/(1+rx6)+6300000/(1+rx12) Considerando a “ ”latasadeinteréssimplemensual. a) Aplicandolainterpolación, se tieneque esiguala3,06212742% mensual. b) es similar al caso anterior; se adiciona una nueva inversión a la inversióninicial;entoncessetienequehallarelvalortotaldeesta

34


inversión,locual significa sumarestasdosinversionesenelpunto focal,elorigen.Eldiagramadeflujoparaestecasoserádelasiguiente forma:

9000 000 + 500 000 / (1 + 1x8)=5200000/(1+r 1x6) +6300000/(1+1x12) Lanueva tasadeinteréssimple1 es2,4260252%mensual. 5. Una fábricatiene dos deudas con unprestamista. Laprimera esporun montode$1350convencimientodentrode28díasylasiguientedeuda esde$5400quevenceráalos42días.Lafábricadeseacancelareltotal desusdeudasmediantedospagosdeigualmontodentrode35y70 días,respectivamente.¿Cuálseráelmontodelospagosaefectuarporla fábricasielprestamistaaceptóestaformadepagoyestandodeacuerdo ambos en aplicar una tasa de interés simple mensual del 8% para las operacionesrealizadasdentrodelos42primerosdíasyde7%mensual paralasoperacionesposteriores?Considerarcomofechafocaleldía70.

sci:Alconsiderarcomofechafocaleldía70,significatrasladar futurasdeudasypagosaesafecha,teniendoencuentalavariacióndetasa queserealizaeldía42.Eldiagramadeflujoseráelsiguiente:

ElmontodelospagosparacubrirladeudaseráelvalordeXeneldía70, adicionandoelvalordeXeneldía35,perollevadoaldía70,elcuales: X+X(1+8%x7/30+7%x28/30)=2,084xX


35

Elvalordeladeudaserálasumadelasdosdeudasllevadasaldía70,elcual es: 1350(1+8%x14/30+7%x28/30)+5400(1+7%x28/30)=7241,31 Elmontodelospagosdebeserigualalvalordeladeuda,elloimplica que 2,084 x X = 7241,31 → X = 3474,72

Elmontodelospagosarealizarseráde$3474,72eldía35yelmismo montoeldía70. 6. Enelproblema anterior,¿cuálseráelmontodepagosalaplicarunatasade interéssimplemensualdel8%paralasoperacionesrealizadasdentrode los50primerosdías,yde7%mensualparalasoperacionesposteriores? Considerarcomofechafocaleldía70.

sci:Enestecaso,cambialafechaparalavariacióndetasadeldía 42aldía50,entoncesahoracalcularemosnuevamenteelmontodelos pagoseldía70. X+X(1+8%x15/30+7%x20/30)=2,087xX El nuevovalordeladeudaserá: 1350(1+8%x22/30+7%x20/30)+5400(1+8%x8/30+7%x20/30) =7259,40 Comoenelcasoanterior,elvalordeestasdosecuacionestienenqueser igualesimplicandoparaelloelmontoapagarque,enestecaso,seráX= $3478,95eldía35y70,respectivamente. 7. Unprestamistaanalizaunatransaccióncomercialllevadaconanterioridad enlaqueinvirtióuncapitalalatasadeinteréssimpledel6,5%mensual, lacualseconvirtióen$3600.Sihubieseinvertidoalatasadeinterés simpledel5%mensualyunañomenosqueenelcasoanterior,elinterés seríade$450.Obtener: a) Lo invertido porel prestamista. b) Eltiempodeestaoperaciónenaños.

sci:Paraelprimercaso,setienecomodatoelmontoylatasa;en elsegundocaso,setienecomodatoelinterésgeneradoenestaoperación ylatasa,entonces:

36


1er caso

2do caso

Monto = 3600 dólares

Interés = 450 dólares

r = 6.5% x 12

r = 5%x12

n = t años

n = t - 1 años

Paraelprimercaso,aplicandolafórmula(3),setiene:3600 =P(1+6.5% x12xt);paraelsegundocaso,aplicandolafórmula(1),setiene:450= Px5%x12x(t-1),deestasdosecuacionessetieneque: a) Loinvertidoporelprestamistafue$1693,82. b) Eltiempodeestaoperaciónfue1,44años. 8. Unapersonatienehoyunadeudade S/.23 000, comprometiéndose a cancelartaldeudadentrode360días,aunatasadeinteréssimplede1% mensual.Contandoconefectivo,dentrodelplazoprevistorealizaciertos pagosdeS/.13500eldía90,S/.4500eldía180yS/.500eldía270. ¿Cuálseráelpagofinaleldía360? a) Realizandolaoperaciónelmismodíadelpago. b) Realizandolaoperaciónteniendocomofechafocaleldía360.

sci:Ladeudaesúnica,confechasfocalesdistintas;paraelcasoa) setienequellevarladeudahaciacadafechadelospagos,restandoluego elvalordepagorealizadoenesafecha,entonces: Paraeldía90,elvalordeladeudaserá: 23 000 (1 + 1% x 90/30) -13 500 = 10 190 Paraeldía180,elvalordeladeudaserá: 10 190 (1 + 1% x 90/30) - 4 500 = 5995,7 Paraeldía270,elvalordeladeudaserá: 5995,7 (1 + 1% x 90/30) - 500 = 5675,57 Paraeldía360,elvalordeladeudaserá: 5675,57 (1 + 1% x 90/30) = 5845,84 a) En este caso, el pago finalserá de S/. 5845,84. En el caso b) se tienequellevarestospagos,yladeudaalafechafocal(día360),la diferenciaeslaquesetendríaquepagar. Elvalordeladeudaenlafechafocales:


37

23000(1+1% x360/30)=25760 El valor de los pagos es: 13500(1+1%x270/30)+4500(1+1%x180/30) +500(1+1%x90/30)=20000 b) EnestecasoelpagofinalseráS/.5760. 9. Sihoyinvertimos$10000enunCertificadodeDepósito,aunatasade interésdel3%mensualduranteseismeses. (www.gacetafinanciera.com). a) ¿Cuántoseráelmontofinaldelosseismeses? b) ¿Cuántoseráelmontoalfinaldecadames?

sci:Delainformaciónsetiene: P = 10 000 dólares r =3% mensual

M = P (1 + r n)

n = 6 meses

M = 10 000 (1 + 3% x 6) = 11 800

a)Alcabodelosseismeses,setendría$11800. Paraelcasob),seobtieneelsiguientecuadroresumen: Periodo

Capital inicial

Interés

Capital final

1

10,000

300

10,300

2

10,300

300

10,600

3

10,600

300

10,900

4

10,900

300

11,200

5

11,200

300

11,500

6

11,500

300

11,800

Como se observa, el monto al final del sextomeses el mismovalor obtenidoparaelcasoa),comoeralógicodeesperar.

38


ProbleMas ProPuestos 1. Uninversionistacolocósucapital,deS/.150000,comopréstamoaun particularpor6añosyainteréssimple.Sesabequeduranteestelapsode tiempo,latasadeinteréstuvolassiguientesvariaciones: • 0,5% quincenal durantelosprimeros6meses. • 1,5% semestralporlos6meses consecutivos. • 2% mensualporlossiguientes4trimestres. • 1,5% anualporlossiguientes5semestres. •

0,012% diario porlos siguientes 2 meses.

•

1,25% bimestral por el tiempo restante.

a) Elinversionistadeseaconocerelinterésgeneradoporsucapital b) ¿Cuáleselinteréspromedio mensual? 2. IsaacMattostieneuncapitalque,porconveniencia,lodivideen2partes. Unaparteoprimercapitalcolocadoaunaciertatasadeinteréssimple durante2/5deaño.Elresto,queesmayoren$50000alprimercapital, escolocadoalamismatasadeinterésdurante3/5deaño.Ladiferencia entrelosinteresesgeneradosasciendea$2250ylasumadeestosintereseses$6250.Calcularelmontodeestoscapitalesylatasadeinterés. 3. Unaempresainmobiliariaofreceunainversiónqueduplicarásudineroen 10años.¿Quétasadeinteréssimpleleestaránofreciendo? 4. Enformasimilaralproblemaanterior,supongaquelehanofrecidouna inversiónquetriplicarásudineroen10años.¿Quétasadeinteréssimple leofrecerán? 5. DoshermanostienenahorradociertocapitalquedifiereenS/.100000. Unprestamistalespagaporesecapitalel2%y6%anualesrespectivamente,laoperaciónespormedioaño.Sesabe,además,quesiestos hermanosjuntaransuscapitales,lespagarían8%porunañoysería superiorenS/.15000altotaldelosintereses.¿Cuáleselcapitalque tienenahorradoestoshermanos? 6. UnafamiliahalogradoreuniruncapitaldeS/.75000.Paradiversificar elriesgo,unterciodeestecapitalescolocadodurante15mesesal24% anual,mientrasquelosdosterciosrestantessoncolocadosdurante4meses aunatasadeinterés,detalmodoquealfinaldelplazoelinterésgenerado entotalasciendeaS/.17500.¿Cuáleslatasadeinterésmensualalaque secolocóelsegundocapital?


3

7. Giancarlo Álvarez tiene dos opciones; la primera, depositar su dineroal 1,2%trimestralporunperiodode2años.Unasegundaopciónenelcasode queincrementeelprimerdepósitoenS/.12000durante1año,lepagarían 2,6%semestralconloquesegeneraríaunmontoigualaldobledelcapital original.¿Cuáleseldinerodepositadoyelmontodelaprimeraopción? 8. Enelproblemaanterior,quépasasisegeneraríaunmontoequivalenteal dobledelcapitaloriginal. 9. DavidEspinozahalogradoreuniruncapitaldeS/.33000.Unapersona leofrecepagar12%deinteréssimple.Porlosriesgosqueestaoperación representa,sólodecidedepositar1/3desucapital,porunlapsodetiempo de8meses, yelrestodelcapitallogracolocarloal9%anuala interés simple,porunlapsodetiempo,detalformaquesegeneraríaporestas dosoperacionesunagananciatotaldeS/.2860.¿Cuántotiempotendría queestarcolocadoelsegundocapital? 10. ManuelMachucaesunprestamistayleexpresaaPedroBarrientosque sicolocasucapitalal3,5%mensualporunlapsodetiempo,legenera unmonto deS/.2000.Finalmente, logracolocarestecapitalal18,5% mensualporelmismotiempo,generándoseunmontodeS/.6000.Pedro quieresaber.¿Cuáleseltiempoyelcapitalacolocar? 11. ElseñorManuelCortéstieneuncapitalde$12000quelogracolocarlo aunatasadeinteréssimpleanualdel4,2%.Pasadountiempo,leofrecenunatasadeinteréssimpleanualdel5%,considerandolamejoraen latasa,decideretirarsucapitalyelinterésgeneradoycolocarlopor6 mesesmásqueenlaanterioroperación.Alfinal,Manuellograobtenerporlasegundaoperación,entreelnuevocapitalyelinterésgenerado,$16000.¿Cuálfueellapsodetiempoenqueestuvocolocado elcapitalenlaprimeraoperación? 12. Con relaciónalproblemaanterior,¿cuántotiempo tendríaquepasarsi paralasegundaoperaciónsóloretira3/4desucapital? 13. Laseñorita VanesaÁlvareztieneuncapitaldeS/.9500.Estecapitalestuvo prestadoyhalogradogenerarunacantidad,detalformaqueaumentada enun8%seríaS/.1450.LaseñoritaVanesasabequesucapitalestuvo prestadoporunañoyloquequieresaberes.¿Aquétasamensualestuvo prestado? 14. Conrelaciónalproblemaanterior,¿quépasasienvezdeestaraumentada enun8%estuvodisminuidaen4%? 15. Setieneunciertocapitalqueseplaneaprestaren2partes.Si3/7deeste capitalseprestaal7%anualyladiferenciaal9%anual,porestaoperación

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segenerauninterés.Comoamayormontoseobtieneunamejortasa, decideaumentardichocapitalenS/.27000ylepagarían10%anual.Si, finalmente,elinterésaumentaenS/.4500.¿Cuáleselcapitalinicialsila operaciónseríaporunaño? 16. Conrelaciónalproblemaanterior,¿quépasasilaspartesson3/5y2/5? 17. MaríaMujicatieneloscapitales deS/.126 000yS/. 94000,quepor razones de riesgo están colocados a distintas tasas de interés. Como fueroncolocadosaplazofijodeunaño,alfinaldelmismosetieneque lasumadelosinteresesgeneradosporestosdoscapitalesesunacantidad deS/.12460.Adicionalmente,setienequeelinterésgeneradoporuno deloscapitalessuperaalotroenS/.1280.¿Cuálessonlastasasdeinterés conlaqueestuvieroncolocadosdichoscapitales? 18. Seprestaundeterminadomontodedineropor1añoal10%mensual.Si pasadoslos 6mesessetieneun tieneentotalS/. 25000.¿Cuálserála cantidaddedineroquesetendríaalfinalizarelaño? 19. Seprestaunacantidaddedinero,ainteréssimple,desdeel05/03al28/09. Durante los primeros 3 meses, le pagaron 5% mensual y el resto del tiempoa12%anual.¿Cuáleslacantidaddedineroinicialmenteprestada si,pornecesidadel28/07,retiróS/.15000? 20. UnalavadoracuestaS/.1299,segúnelpreciodelista,tratandodemostrar alternativasdeventaesofrecidaendosmodalidades: a) Alcontado:conundescuentodel20%sobreelprecioenlista; b) Financiada: 50% de anticipo y el 50% restante a los 6 meses, sin interés. Enrealidad,¿quétasadeinterésestácobrandolacompañía? 21. Setieneun capitalde$ 9000, que escolocado el1/3/2004 por elque pagan6%anualmente,yel23/8/2005,porunapuro,retiran$3600.¿Cuál eselsaldoal24/12/2007? 22. Unainmobiliariatienelaposibilidaddecomprarunterreno,eldueñodel terrenolepropone2opcionesdeventa: a) Unacuotainicialde$7000y$33000alfinaldelsegundoaño. b) $ 33 000 de contado. Sieldineroquenoseutiliceparaelpagopuedecolocarseaunatasade interéssimpledel9%anual.¿Porcuáldelasopcioneslainmobiliaria, finalmente,decidiría?


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1er Concurso 6 Mate Financier A

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