Mate Matic a Basic A

MATEMÁTICA BASICA

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CONTENIDO §1. Fundamentos de Lógica............................................................. Lógica............................................................. 2 §2. Conjuntos.............................. Conjuntos................................................................. ................................................... ................ 8 2.1 Clases de conjuntos............................ conjuntos........................................................ ............................ 9 2.2 Proposiones condicionales y cuantificadores…………..... 12 §3. Métodos de una demostración.......................... demostración................................................... ......................... 16 §4. Parejas ordenadas y producto cartesiano................................... 20 §5. Relaciones y funciones............................................. funciones.............................................................. ................. 23 §6. Clases de funciones....................... funciones.......................................................... ............................................ ......... 27 6.3 Función inversa............................ inversa............................................................... ................................... 28 6.6 Algunas propiedades de las funciones............................ 29 §7. Leyes de composición interna (operaciones)............................. 32 7.2 Clases de leyes de composición............................ composición...................................... .......... 34 §8. Concepto de Grupo................................ Grupo.................................................................. .................................. 37 §9. Los números reales................................ reales.................................................................. .................................. 40 9.3 Métodos geométricos y expansión decimal..................... 42 9.4 Propiedades algebráicas........................ algebráicas.................................................. .......................... 42 9.5 Propiedades de orden................................ orden..................................................... ..................... 46 9.6 Propiedades de completitud......................... completitud............................................ ................... 49 §10. Los números naturales.......................... naturales........................................................... ................................. 52 §11. Los números enteros.................................... enteros.............................................................. .......................... 54 §12. Números racionales............................ racionales................................................................ .................................... 57

J. Darío Sánchez H.

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12.6 Construcción de los elementos racionales.................... 58 §13. Acotación. Terminación. Extremación............................ Extremación..................................... ......... 61 13.5 Principio de buena ordenación............................... ordenación...................................... ....... 64 13.6 Divisibilidad.................................................................. 66 13.7 El algoritmo de Euclides................................. Euclides................................................ ............... 69 §14. Teorema fundamental de la aritmética........................... aritmética................................... ........ 73 §15. Congruencias......................................................................... 75 §16. Clases Residuales....................... Residuales........................................................... ........................................... ....... 79 §17. Números complejos............................................................... 83 17.2 Valor absoluto de un número complejo........................ 85 17.3 Imposibilidad de ordenar los números complejos........ 88 17.4 Exponenciales complejas.............................................. 89 17.5 Argumento de un número complejo............................. 90 17.6 Potencias enteras y raíces de números complejos....... 92 17.7 Logaritmos complejos......................... complejos................................................... .......................... 92 17.8 Potencias complejas......................... complejas...................................................... ............................. 93 Bibliografia............................................... Bibliografia.................................................................................... ....................................... .. 97

1.1 Los vocablos verdadero y falso son fundamentales en el estudio de la matemática, se consideran completamente conocidos y se aceptan sin definir , es decir se admiten intuitivamente como ideas iniciales y se notan Z

,

J

1.2 Las oraciones en las cuales se pueden establecer uno de los vocablos verdadero o falso se denominan proposiciones o afirmaciones. Son frecuentemente notadas por letras minúsculas :ß;ß<ß=ßá . Las frases: ¿Cómo estas?, ¿Cuál es tu nombre?, que la suerte te acompañe; no son proposiciones Bolivar es un hombre muy conocido, Bogotá es la capital de Bolivia, Venezuela es la patria del Libertador; son proposiciones. Toda proposición suele ir acompañada de una tabla


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: Z J

llamada tabla de verdad y que indica las posibilidades de que la proposición : sea verdadera o falsa 1.3 Negar una proposición es el procedimiento, mediante el cual una proposición que es verdadera se convierte en falsa y recíprocamente si es falsa se convierta en verdadera. Se usa en estos casos : para la proposición y c: para su negación : Z J

c: J Z

1.4 . Una propiedad fundamental de las proposiciones se encuentra en el hecho de poderlas componer para obtener nuevas oraciones las cuales son nuevamente proposiciones llamadas proposiciones compuestas y estan caracterizadas por tablas llamadas tradicionalmente tablas de verdad . 1.4.1 : Dadas dos proposiciones : y ; la proposición compuesta : • ; ( : y ; ) es llamada conjunción y está definida por la siguiente tabla : Z Z J J

; Z J Z J

:•; Z J J J

es decir su tabla depende estrechamente de los valores de verdad de las proposiciones componentes. . Hoy es lunes y estamos a 28 de frebrero de 1936. Esta es una conjunción y es una proposición falsa por que estar a 28 de febrero de 1936 es una proposición falsa. 1.4.2. : Sean : y ; dos proposiciones, la proposición : ” ; (leáse : o ; ) es una proposición compuesta llamada disyunción y está definida mediante la tabla


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: Z Z J J

; Z J Z J

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:”; Z Z Z J

. Colombia es una nación de América del sur o estamos a 9 de abril de 1948. Esta proposición es una disyunción la cual es claramente una proposición verdadera, por que es verdad que Colombia es una nación de América del sur. Se sigue entonces que la veracidad o falsedad de la disyunción o de la conjunción depende de la verdad o falsedad de las proposiciones componentes. Hay una variación de la disyunción que se presenta en proposiones como "el papa Juan Pablo II está vivo o el papa Juan Pablo II está muerto" esta es llamada el o exclusivo o el aut y está definida por la siguiente tabla : Z Z J J

; Z J Z J

:”; J Z Z J

1.4.3 : Sean : y ; dos proposiciones, la proposición : Ê ; es llamada implicación , la cual se lee de una de las formas siguientes : implica ; si : entonces ; : sólo si ; : es una condición suficiente para ; ; es una condición necesaria para :

y es una proposición compuesta definida por la tabla


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: Z Z J J

; Z J Z J

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:Í; Z J Z Z

. Si no me da pereza, entonces estudio geometría Es de notar que la mayoria de los enunciados de la matemática están en forma de implicación, de donde su importancia. . Si +ß , y - son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo entonces - # œ +#  , # . 1.4.4 : Sean : y ; dos proposiciones, la proposición : Í ; es llamada equivalencia, la cual se lee de una de las siguientes maneras : es equivalente a ; : si y sólo si ; : es una condición necesaria y suficiente para ;

es una propsición compuesta definida mediante la siguiente tabla : Z Z J J

; Z J Z J

:Í; Z J J Z

. Sean + y , números enteros entonces se tiene + Ÿ , si y sólo si ,  + es un número natural. Los símbolos c, • , ” , ” - , Ê , Í son referidos como los En adelante, además de :ß ;ß <ß =ß á , usaremos :"ß : #ß : $ß á como símbolos para designar proposiciones y nos referiremos a ellos como los símbolos proposicionales . Tenemos tantos símbolos proposicionales como números naturales, disponemos de una buena cantidad de ellos, suficientes para representar cualquier proposición que tengamos en la memoria; seguramente una persona no alcanza en toda su vida a fijar en su mente más proposiciones que números. Así, podemos considerar que cada símbolo proposional representa una única proposición simple.


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A cualquier combinación de símbolos proposicionales, se le determina fórmula, y aquellas para las cuales se les puede construir su tabla de verdad son frecuentemente llamadas fórmulas bien formadas 0Þ,Þ0 . Las reglas que gobiernan las fórmulas bien formadas son: " Los símbolos proposicionales son fórmulas bien formadas # Si ! es una fórmula bien formada, entonces su negación c! es una fórmula bien formada. $ Si ! y " son fórmulas bien formadas entonces también lo son ! • " ß ! ”" ß ! ”" ß !Ê" y !Í" % Una expresión es una fórmula bien formada si y sólo si el que lo sea se sigue de aplicar " ß # y $ .

a b

ab ab ab a ba ab

a b

ba

a b

b a b abab ab

ab

La regla % significa que las únicas fórmulas bien formadas son las que se pueden construir combinando " ß # , $ un número finito de veces. Como una fórmula bien formada se ha obtenido a partir de finitos símbolos proposicionales y por aplicación de " ß # y $ finitas veces, siempre es posible construir su tabla de verdad: se dan a los símbolos proposicionales que aparecen en la fórmula bien formada los valores Z ß J combinándolos adecuadamente para obtener todos los casos posibles y luego se van construyendo paso a paso las tablas de verdad de las fórmulas bien formadas que se han ido formando hasta llegar a la de la fórmula bien formada dada inicialmente (Nótese que si aparecen 8 símbolos proposicionales en una fórmula bien formada, su tabla de verdad tendrá #8 filas, correspondientes a las #8 formas posibles de combinar Z y J )

ababab

ab ab ab

Unos ejemplos aclararán lo dicho: Construir la tabla de verdad de : ” c: , Ð: ” ;Ñ • c:, y Ò: • : Ê ; Ó Ê ; :

a

: Z J

c: J Z

b

: ” c: ß Z Z

: Z Z J J

; Z J Z J

:Ê; Z J Z Z

: Z Z J J

; Z J Z J

a

:”; Z Z Z J

:• : Ê; Z J J J

b

c: J J Z Z

a

a: ” ; b • ac: b J J Z J

b

Ò: • : Ê ; Ó Ê ; Z Z Z Z


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Observando las tablas de verdad anteriores, vemos que existen fórmulas bien formadas como : ” c:, Ò: • : Ê ; Ó Ê ; , tales que en su tabla de verdad únicamente aparece el valor Z , sin importar la verdad o falsedad de sus proposiciones componentes; estas fórmulas se llaman . Son las fórmulas bien formadas más importantes, debido a que corresponden a proposiciones compuestas que intuitivamente son siempre verdaderas, independientemente de la veracidad de sus proposiciones componentes.

a

b

1.5 : Es de utilidad conocer la negación de los conectivos proposicionales y está dado por las siguientes tautologias:

a b a b a b a b a b a b a b aa bb a b œ a b 

c : ” ; Í c: • c; c : • ; Í c: ” c; c : Ê ; Í : • c; c: Í ; c :Í; Í : Í c;

1.6

ca

b a

Í : • c; ” c: • ;

bd

.

1. Negar las siguientes proposiciones + Si el sol sale esta tarde, entonces voy a jugar , Estudiaré sólo si llueve - Comeré frutas si y solamente si es una pera o una manzana 2. Haga los cuadros de verdad para cada una de las proposiciones siguientes y concluya si son tautologías o no

ab ab ab

a+b : • a; ”
3. De cada una de las expresiones siguientes, diga si es una 0Þ,Þ0Þ o no; dé las razones de sus respuestas:

a+b ac: Ê c; b Ê ca: ” ; b a,b : Ê ” c< • ; a-b a: • : b • : Í ac: ” : b a.b aa: Ê ac: bb • : b Ê c: a/b : • ; ” : • < a0 b ac ” :b Ê a; •
#

"

$

#

%

"

$

#


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a

b

4. Use las tablas de verdad para probar que : • c: Ê ; es una tautología. 5. Sea !ß " fórmulas bien formadas. Se dice que " ! implica tautológicamente a " " si ! Ê " es una tautología. Se dice que " ! es tautológicamente equivalente a " " si ! implica tautológicamente a " y " implica tautológicamente a !, o lo que es igual, si ! Í " es una tautología. Halle cuatro ejemplos de implicaciones tautológicas y cuatro de equivalencias tautológicas 6. Una es una 0Þ,Þ0 compuesta que siempre es falsa, independientemente de la veracidad de las proposiciones componentes. Dar cinco ejemplos de contradicciones, demostrando que lo son mediante tablas de verdad, si es el caso. 7. Dadas las proposiciones :: Hace frío, y ; : Está de noche, y suponiendo que la primera es verdadera en este momento y la segunda falsa, escriba en términos de :ß ; y los conectivos, las proposiciones siguientes, y halle sus valores de verdad: + No está de noche o no hace frío. , Hace frío o no está de noche. - Ni está de noche ni hace frío . Está de noche pero no hace frío.

ab ab ab ab

§2. Otra idea fundamental en el estudio de la matemática, es la de conjunto y la tomamos sin definir como materia prima. Intuitivamente es una colección de objetos llamados elementos , esta idea la vemos por ejemplo en un panal de abejas , en un rebaño de ovejas, en una planta de crianza de truchas, son ejemplos de conjuntos. El hecho de pertenecer a un conjunto es otro concepto primitivo y que se toma como materia prima. Notacionalmente los conjuntos suelen indicarse por letras del alfabeto en mayúscula y los elementos que los componen serán indicados por letras minúsculas en este caso se dice que los conjuntos están dados por extensión . Cuando se dan las propiedades que definen a los elementos se dice que el conjunto se da por comprensión , es cuando se usan los corchetes y las palabras "conjunto de elementos tales que". Si denotamos por : B a una condición redactada en términos de la letra B, el conjunto determinado por ella se escribe

ab

eBÎ:aBbf ó eB À :aBbf


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A la condición le llamaremos muchas veces una proposición condicional . Usaremos también la palabra colección como sinónimo de conjunto La fórmula "+ − Q " es utilizada para indicar " + es elemento del conjunto Q " y suele leerse "+ pertenece a Q " 2.1 . Los conjuntos se clasifican según el número de elementos que ellos tienen, así se tendrán conjuntos finitos y conjuntos infinitos. El conjunto o referencial es un conjunto variable y es el más grande conjunto que se considere en un determinado problema, por ejemplo hablando de números el universo podría ser el conjunto de los números reales o el de los números complejos dependiendo de la teoría, si es real o si es compleja. El conjunto vacío es un conjunto que carece completamente de elementos, se nota por la letra griega F ó .

ef

Algunos conjuntos frecuentemente usados y utilizados son:

e e˜

f

 œ !ß " ß #ß á números naturales ™ œ á ß  "ß ! Þ"ß #ß á números enteros +  œ BÎB œ , ß + − ™ß , − ™  Ö!× números racionales

f

™

d el conjunto de los números reales ‚

el conjunto de los números complejos

2.1.2 . Sea E un conjunto de un universo dado, un subconjunto Q de E, notado Q §  E, está definido por la proposición condicional si B − Q entonces B − E Esta idea puede visualizarse por medio de un diagrama llamado diagrama de Venn

A

M U

a

b

E © Q Í B − E Ê B − Q

Decir que un elemento B no está en E se denota por la proposición compuesta


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a

BÂEÍcB−E

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b

2.1.3 . Un conjunto E se dice igual a un conjunto F si la siguiente proposición es verdadera E § F•F § E

o sea

a

EœF Í E§ §E F•F 

b

2.1.4 . Sea E un conjunto arbitrario de un universo dado Y entonces F §  E. . La proposición condicional verdadera, pues B − F es falsa

B − F Ê B − E es

siempre

2.1.5 . Sean E y F conjuntos de un universo dado. La reunión de E con F , notada E  F , está definida por la proposición compuesta B − EF Ê B− E”B −F

es decir, es el conjunto de los elementos que están en E o están en F . Si hacemos uso de diagrama de Venn tenemos

A B

e

E  F œ BÎB − E ” B − F

f

2.1.6 . Sean E y F conjuntos de un universo dado, la intersección de E con F , notado E  F , está definida por la siguiente proposición

a

B− EF Í B− E•B− F

b

es decir, el conjunto de los elementos comunes a E y F ; en diagrama de Venn se tiene


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A

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B U

e

E  F œ BÎB − E • B − F

2.1.7

f

ab ab a-b E  aF  G b œ aE  F b  aE  G b E  aF  G b œ aE  F b  aE  G b a. b E  œ E a/b E  F œ F  E a0 b E  F œ F  E

. + E œ F implica E  F œ E  F œ E œ F , Si E §  F entonces E  F œ F y E  F œ E F

La demostración se propone como ejercicio. 2.1.8 . Sean E y F conjuntos de un universo dado, la diferencia de E con F es notada E  F y está definida por la siguiente proposición B − E F Í B − E • B Â F

con diagrama de Venn sería:

B

U

A

B B

A

e

A U

E  F œ B − Y ÎB − E • B Â F

U

A B

f

2.1.9

. Sean E y F conjuntos de un universo dado Y y tal que E§  F entonces el complemento de E con respecto a F es definido por CF E

œ F E

Cuando F es el universo Y se dice simplemente el complemento de E notado CY E ó CE y está definido por la proposición B − CE Í B Â E

2.1.10

. Sean E y F conjuntos de un universo Y , entonces

a3b aE  Fb œ a Eb  a Fb C

C

C


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a33b aE  F b œ a Eb  a Fb a33ba Eb  E œ a3@ba Eb  E œ Y a@b aY b œ a@3b a b œ Y C

C

C

C

F

C

C

F

C F

. Se hacen en forma directa usando las definiciones y la fórmulas bien formadas dadas en la sección anterior así:

a3b

a a

b

a b a b a b a

b b

B− C EF ÍB Â EF Íc B− EF Íc B − E”B −F Íc B − E •c B − F Í B Â E • B Â F Í B − CE • B − C F Í B − CE  CF

a b a b

Siguiendo el mismo orden de ideas se demuestran las restantes afirmaciones. 2.2 2.2.1 . Sea E un conjunto de un universo dado, una variable de E es un símbolo que representa a cualquier elemento de E y una constante en E es un símbolo que representa exactamente un elemento de E bien determinado. 2.2.2 . Una proposición condicional es una sucesión de símbolos envolviendo variables y que se convierten en proposición al reemplazar estas variables en un universo conveniente y notan :B Î B − Y ß

: CÎ C − Y á

siempre y cuando B ó C sean las variables.

ab

. " :B À B  " œ ! es una sucesión de símbolos :B À B  " œ ! B − ™ es la proposición condicional :B À B#  "  #B œ ! es una sucesión de símbolos :B À B#  "  #B œ ! B − d es la proposición condicional :B À B#  " œ B  " B  " es una sucesión de símbolos :B À B#  " œ B  " B  " B − d es la proposición condicional

a a#b a a$b a

ba

b ba b a ba b a ba b ba

b

2.2.3 . Se llama conjunto solución de una proposición condicional al subconjunto del universo dado, donde la proposición condicional es verdadera. Sea :B B − Y y T su conjunto solución entonces

a ba

b

e

T œ B − Y Î:B es verdadera

f


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a ba b a ba b eB − Y /: es falsof œ eB − Y Îca: b es verdadf œ T . Sea + − eBÎcÐ: Ñf Í c: es verdadero Í : es Í + Â eBÎ: f œ T Í + − T .

2.2.4 . Sea :B B − Y una proposición condicional, si T es el conjunto solución de :B B − Y entonces B

C

B

B

+

+

falso

C

B



a ba

b a ba

b

2.2.5 . Sean :B B − Y y ;B B − Y dos proposiciones condicionales con T y U como conjuntos de soluciones entonces

eBÎ: • ; f œ T  U . Sea + − eBÎ: • ; f Í : • ; B

B

verdadera Í : + verdadera y ;+ es verdadera Í + − T y + − U Í + − T  U. B

B

+

es

+

es



a ba

b a ba

b


eB − Y /: ” ; f œ T  U Sea + − eB − Y Î: ” ; f Í : ” ; es B

B

. verdadera Í : + es B B + + verdadera, ó , ;+ es verdadera Í + − T ” + − U Í + − T  U. 

a ba

b

a ba

b


eB − Y Î:

f a b . Se sabe que a: Ê ; b Í aac:b ” ; b es una tautologia por lo tanto eB − Y Î: Ê ; f œ eB − Y Îac: b ” ; f œ a T b  UÞ B

B

Ê ; B œ CT  U

B

B

C

B



a ba

b a ba

b


eB − Y Î: Í ; f œ aT  Ub  a T  Ub . eB − Y Î: Í ; f œ eB − Y Îa: Ê ; b • a; B

C

B

B

B

C

B

B

B

Ê :B

bf œ


œ œ œ œ 

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eB − Y Î: Ê ; f  eB − Y Î; Ê : f œ a T  U b  a U  T b œ ca T  U b  Ud  ca T  Ub  T d œ ca T  Ub  aU  Ubd  ca T  T b  aU  T b d aT  Ub  a T  Ub B

B

C

B

C

C

C

B

C

C

C

C

C

C

C

2.2.9 Un cuantificador es un símbolo que nos responde a la pregunta ¿Cúantos elementos del universo en consideración satisfacen a una proposición condicional? Así los cuantificadores son de dos tipos: existencial y universal El cuantificador existencial denotado con b y está definido así: Sea :B B − Y una proposición condicional y T §  Y su conjunto solución entonces

a ba

b

abB − Y ba: b Í T Á B

F

léase existe un B en Y tal que : B es verdadera y esto es equivalente a decir que el conjunto solución de : B no es vacío. El cuantificador universal notado a, está definido así: Sea :B B − Y una proposición condicional y sea T §  Y es el conjunto solución de :B entonces aB − Y :B es verdadera Í T œ Y léase para todo B en Y : B es verdadera y esto es equivalente a decir el conjunto solución de : B es igual al universo.

a ba

a

ba

b

b

ab

a

ba

b

. " La proposición condicional B#  " œ ! B − ‚ tiene conjunto solución no vacío, entonces se puede usar el cuantificador así

abB − baB  " œ !b a#b aB  " œ aB  "baB  "bbaB − b tiene por conjunto solución al conjunto entonces se puede usar el cuantificador así: aaB − baB  " œ aB  "baB  " bb #

‚

#

‚

‚

‚

#

2.2.10

a b a ba b a ba b a#b caaB − Y ba: b Í abB − Y bac: b Veamos el caso a#b : Sea T el conjunto solución de : entonces caaB − Y ba: b Í c aT œ Y b Í c aT œ T  T b Í T Á aT  T b œ Í T Á Í abB − Y bac: b . " c bB − Y :B Í aB − Y c: B B

B

B

C

B

C

F

B

. Todos los hombres son buenos Cuantificación: Sea Y œ Hombres del mundo aB − Y B es bueno Si queremos la negación tendríamos

a

C

ba

e

b

f

C

C

CT

a b

 C CT


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abB − Y baB no es buenob

En español sería: Hay hombres que son malos. 2.3

a"b Tomando como referencia al conjunto de los números reales, hallar los conjuntos que definen las condiciones siguientes a+b aB  )B  "&baB  " b œ ! a,b B  &B  "&  ! a- b B  # a#b Resolver el ejercicio a"b tomando como referencial el conjunto de los enteros. a$b Resolver el ejercicio a"b considerando como referencial el conjunto Ö'ß (ß )ß *ß á × de todos los números naturales mayores o iguales a ' . a%b En cada uno de los tres ejercicios anteriores, anteponer a cada #

#

#

™

condición un cuantificador adecuado para que se obtenga una proposición verdadera; dar las razones de sus respuestas. & Escribir la negación de cada una de las proposiciones siguientes: Todos los hombres son mortales.

ab

aaBbaB  ! œ Bb abBbaaCbaB  C  !b a'b Tomando como referencial al conjunto de los números reales, hallar una condición :aBßC b en dos variables, tal que abBbaaCba:aBß C bb sea falsa y aaCbabBba:aBß C bb sea verdadera a(b a+b Hallar todos los subconjuntos del conjunto Ö"ß #ß $× o sea T aÖ"ß #ß $× b a,b Hallar todos los subconjuntos del conjunto Ö"ß #× (T aÖ"Þ#× b) a-b Hallar todos los subconjuntos del conjunto Ö"× (T aÖ"×b) a.b Hallar todos los subconjuntos del conjunto . a/b ¿Podría usted adivinar una relación entre el número de elementos de un conjunto finito y el número de sus subconjuntos? a)b Escribir la negación de cada una de las expresiones siguientes: aaBba:aBb Ê ; aBbb aaBb:aBb Ê a;aBb ”

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aaBba#  $ œ &bß abBba# † % œ ) b ?

¿Son éstas proposiciones? ¿Se podría suprimir el cuantificador? "" Dé justificaciones a las equivalencias siguientes:

a b

aaBba: • ;aBbb Í a: • aaBb; aBbb aaBba: ” ;aBbb Í : ” aaBba; aBbb abBba: • ;aBbb Ê : • abBba; aBbb abBba: ” ;aBbb Ê : ” abBba; aBbb

Nota: : es una proposición en la cual no aparece B. "# Escriba en español correcto la negación de las frases siguentes: + Si las Matemáticas son fáciles, aprobaré el curso , Existe un número natural 7 tal que cualquiera sea el natural 8ß 7 Ÿ 8 - Si el costo de vida continúa subiendo, algunos tendremos que dejar la "costumbre burguesa" de comer tres veces al día o trabajar por un cambio de estructuras. . Todos tenemos problemas y algunos nos dejamos vencer por ellos. / Todos los gatos son pardos o algunos estamos miopes. "$ Diga, dando las razones de sus respuestas, cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas y cuáles no:

a b ab ab ab ab ab a b

a+b Ö"ß"ß #× © Ö"ß#× a,b Ö"ß #ß #× œ Ö#ß "× a-b + − ÖÖ+×× a/b E © Ê E œ . F

F

§3. Uno de los criterios de deducción más importantes y el cual es inherente al hombre, es el dado por la tautología

c : • a: Ê ;b d Ê ;

llamada el modus ponens la cual afirma que con el conocimiento de : y : Ê ; se deduce la veracidad de ; , es el razonamiento del hombre prehistórico cuando razonaba así: Yo mato toro y, si yo mato toro entonces calmo hambre, entonces yo calmo hambre.

Este criterio es utilizado en la mayoria de las pruebas de la matemática aunque siempre está tácita su utilización. A continuación se darán unos métodos clásicos de demostración. 3.1 Método trivial ; se trata de estudiar la veracidad de la proposición no importa : Ê ; estudiando la proposición : en si misma. Si : es falsa que sea ;, : Ê ; siempre es verdadera.


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. Estamos en el siglo XXII, entonces hoy es viernes, es una proposición compuesta verdadera por que la hipótesis es falsa. 3.2 Método vacío ; consiste en estudiar la veracidad de la proposición : Ê ; estudiando la proposición ; en si misma, así si ; es vedadera no importa cual sea el valor de verdad de : la proposición compuesta : Ê ; siempre es verdadera. . Si Julio César fue un gran guerrero, entonces Bogotá es la capital de Colombia. Esta proposición es verdadera En álgebra, si aB − ™ B#  # œ " entonces # œ "  " , en una proposición verdadera.

a

ba

b

3.3 Método indirecto ; se aplica en el estudio de la veracidad de la proposición : Ê ; , procediendo de la siguiente forma 3 Supóngase que ; es falsa 33 Con este hecho y otros conocidos dentro de la teoría se demuestra que : es falsa. Entonces se tiene que : Ê ; es verdadera. Este método también es conocido como el contrarrecíproco.

ab ab

. Si +# es par entonces + es par

ab ab a333b + œ a#7  "b œ %7  %7  " œ # a#7  #7 b  "

: 3 Supongamos que + no es par 33 existe 7 −  tal que + œ #7  " #

#

#

#

así, existe 5 œ #7#  #7 −  tal que +# œ #5  " ó sea que + # no es par. 3.4 Método directo ; se trata de probar que la proposición : Ê ; es verdadera y se procede así; 3 Se supone que : es verdadera 33 Con este hecho y otros bien conocidos de la teoría se demuestra que ; es verdadera. Así : Ê ; es verdadera.

ab ab

. Si ?EFG es un triángulo rectángulo, entonces +#  , œ - # donde +ß , son las longitudes de los catetos y - es la longitud de la hipotenusa. B a C

c

ab

: 3 Supongamos que

A

b

es un triángulo rectángulo


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A c

a33b con el triángulo B

tenga de lado +  , así;

b a

C

a b a

construimos un cuadrado que

b c

c

c

c

b

a

a

a333b El área del cuadrado de lado +  , será a+  , b œ +  #+,  , pero sumando áreas tenemos que a+  ,b œ -  #+, #

#

#

#

b

#

así

+#  #+,  ,# œ - #  #+,

de donde tenemos +#  , # œ - # 

3.5 Método de contradicción (Absurdo). Sea 7 una teoría y : una proposición de la teoría, de la cual se desea saber su veracidad. El método consiste en: 3 Construir una nueva teoría 7 w obtenida adjuntado a 7 la proposición c: 33 Se demuestra que la teoría 7 w es contradictoria ó inconsistente, hallando en 7 w una proposición ; verdadera y c; verdadera. Así tenemos que : es una proposición verdadera en 7 .

ab ab

. No se puede dividir por cero

ab

. 3 Sea 7 la teoría de los números reales y : la proposición: no se puede dividir por cero. 33 Sea 7 w la teoría de los números reales en los cuales se puede dividir por cero. 333 Consideremos en 7 w la siguiente igualdad

ab a b

+œ,

+ß , − ™  Ö!×

Se multiplica por + ambos miembros de la anterior igualdad obteniéndose +# œ +,

Agregue  ,# a los dos lados de la igualdad


MATEMÁTICA BASICA

Factorizando se tiene

19

+#  , # œ +,  ,#

a+  ,ba+  ,b œ a+  ,b,

a b

Como en 7 se puede dividir por cero, entonces simplificamos por +  , ß así se obtiene w

Como + œ ,ß se tiene

+, œ , #+ œ +

Simplificando por + se llega a la proposición #œ"

Así en la teoría 7 w se tendría simultáneamente #Á" y #œ" obteniéndose que 7 w es una teoría contradictoria, ( es usual afirmar en estos casos que 7 w es absurdo) Luego no se puede dividir por cero. 3.6 Método del contra-ejemplo . Dada una proposición : la cual quiere ser probada, es decir, la cual se desea adjuntar como verdadera dentro de una teoría. El método consiste en hallar un ejemplo donde se diga lo contrario de la proposición deseada, así la proposición queda automáticamente falsa dentro de la teoría. . En la teoría de los números enteros si el cuadrado de un número entero es impar el número es primo. . Se usa el método del contra-ejemplo, así )" œ *# es número impar sin embargo * no es número primo. Así la proposición es falsa en la teoría de los números enteros. 3.7

.

a"b Puede suceder que

E  F œ F ; dé un ejemplo en el cual se cumpla

dicha igualdad. ¿Podría idear (demostrándolo) una condición necesaria y suficiente para que tal iguadad se cumpla? # Se pide lo mismo que en el " pero con respecto a E  F œ E. $ Demuestre que si E © F y F © G entonces E © G y que si Q © R entonces T Q © T R Aquí T Q œ Ö\Î\ © Q × el conjunto llamado partes de Q . % Pruebe que

ab ab ab

y que

ab

a b

a b ab

a b a b a b E  aF  G b œ aE  F b  aE  G b . E F G œ EF  EG


MATEMÁTICA BASICA

20

a&b

Sea W un conjunto referencial y sean Eß F subconjuntos de W : Demuestre que E  F œ E  CW F . ' Puede suceder que E  F œ F; dé dos ejemplos en los cuales se cumpla dicha igualdad e idee (demostrándolo) una condición necesaria y suficiente para que tal igualdad se cumpla. ( Sean E" ß E#ß á ß E 8 conjuntos. Pruebe que si E " © E # y E # © E $ ß yá y E8" © E8 y E8 © E " , entonces E " œ E # œ â œ E 8. que ) Sean T , U subconjuntos de un conjunto referencial W . Demuestre T © U si y sólo si CW U © CW T . Pruebe que E  F  G § E  F  G , pero que en general no se * tiene la contenencia en el sentido contrario. Demuestre además que

a b

ab

ab a ab ab

b a

b

a

b a

b

a b a b a b a b E  aF  G b § aE  F b  aE  G b a"!b Muestre que E  aF  G b œ aE  F b  aE  G b E  aF  G b œ aE  F b  aG  E b Pero que en general la unión no es distributiva respecto de la diferencia. a""b a+b Dé una justificación a la equivalencia aaBba:aBb • ;aBbb Í ÒaaBba:aBbb • aaBba; aB bbÓ a,b Úsela para demostrar que abBba:aBb ” ; aBbb Í abBba:aBbb ” abBba; aB bb. Ayuda: niegue en los dos lados de la equivalencia anterior a"#b Análogamente al ejercicio anterior, justifique que abBba:aBb • ; aBbb Ê cabBba:aBb • abBba;aBbbbd. a"$b Halle un referencial y condiciones :aBb, ; aBb adecuadas para hacer ver que en general abBba:aBbb • abBba; aBbb no implica abB ba: aB b • ; aB bb. a"%b Si E es el conjunto de los enteros múltiplos de ' y F el de los múltiplos de "!, halle E  F y E  F. a"&b a+b ¿ Podría hallar dos subconjuntos infinitos del conjunto F de los números naturales, que sean disyuntos? a,b ¿Podría hallar siete subconjuntos infinitos de que sean disyuntos dos a dos? a-b ¿Será posible hallar 8 ( siendo 8 número natural mayor que ") 

subconjuntos infinitos de  que sean disyuntos dos a dos?

§4. 4.1 . Sean E y F dos conjuntos de un universo dado, una pareja ordenada +ß , de un elementos de E y otro de F está definida por el siguiente conjunto

a b

a+ß ,b œ ee+fß e+ß ,f f


MATEMÁTICA BASICA

a b a b

Si + Á , entonces +ß , Á ,ß + ya que hipotesis + Á ,. 4.2

21

ee+fß e+ß ,f f Á ee,fß e+ß , f f pues por

a b a b . Si a+ß , b œ a-ß . b entonces ee+fß e+ß , f f= ee- fß e-ß . f f. Para que . Si +ß , œ -ß . , entonces + œ - y , œ .

se tenga la igualdad es natural que los conjuntos de un elemento sean iguales o sea + œ - y +ß , œ -ß . así del primero se tiene + œ - y del segundo +ß , œ +ß . se deduce que , œ ..

ef ef e f e f

e f e f



4.3 . Sean E y F dos conjuntos de un universo dado. Se define el producto cartesiano de E por F mediante la siguiente proposición

aBß C b − E ‚ F Í B − E • C − F

es decir, es el conjunto de parejas ordenadas tales que la primera componente está en E y la segunda en F . Si hacemos uso de un diagrama de Venn, podríamos interpretarlo así AX B (x,y)

y

B A x

E‚F œ

4.4

eaBß CbÎB − E • C − Ff

. Sean Eß F y G conjuntos de un universo dado

a3b E ‚ aF  G b œ aE ‚ F b  aE ‚ G b a33b E ‚ aF  G b œ aE ‚ F b  aE ‚ G b . a3b Sea : − E ‚ aF  G b Í : œ aBß C b À aBß C b − E ‚ aF  G b Í B − E • C − F  G Í B − E • aC − F ” C − G b Í aB − E • C − F b ” aB − E • C − G b Í aBß C b − E ‚ F ” aBß C b − E ‚ G Í : − E ‚ F ” : − E ‚ G Í : − aE ‚ F b  aE ‚ G b Análogamente se procede para a33b


4.5

MATEMÁTICA BASICA

22

.

a"b Sean Vß Wß X conjuntos de un universo dado. Demostrar aV  W b ‚ X § V ‚ aX  W b . a#b En las hipótesis de a"b demuestre que V ‚ aW  X b § aV  X b ‚ W a$b Negar las siguientes frases:

que

Si todos los animales tienen plumas, entonces algunos hombres tienen cuernos. Algunos animales son mamiferos y todos tienen piel, es equivalente a decir que algunas aves tienen piel y todas son ovíparas. Si todos los toreros son buenos, entonces algún toro Colombiano embiste. % Cuantifique las siguientes frases: Los habitantes europeos son todos industriales En la Universidad Nacional unos estudiantes son físicos Las medidas de los ángulos interiores de un triángulo siempre miden ")!!. ¿Qué sentido tiene para usted, expresiones como & aB #  $ œ & ß bB # † % œ ) ?. ¿Son estas proposiciones? ¿Se podría suprimir el cuantificador? en un universo, muestre que ' Sean Eß F y G conjuntos

ab

ab a ba ab

b a ba

b

a a

b a b a

b a b a

b b

E F G œ EF  EG E F G œ EF  G E

pero que en general la unión no es distributiva respecto de la diferencia. ( Definimos una nueva operación entre conjuntos llamada la diferencia simétrica así: E?F = BÎB − E ” B − F + Usando una tautología apropiada pruebe la asociatividad de la diferencia simétrica: E˜F ˜G œ E˜ F˜G , Demuestre que E˜F œ E  F  F  E - Pruebe que la diferencia simétrica es conmutativa . Pruebe que E˜F œ E  F  E  F / Usando diagrama de Venn y luego prescindiendo de ellos, halle E˜F, E˜E y E˜F si E §  F. ) ¿En qué caso E ‚ F es igual a F ‚ E? * Sea E œ Ö#ß $×, F œ Ö!ß "× y G œ Ö"× . Halle y represente gráficamente los siguentes conjuntos: E ‚ F , F ‚ E  G ß E ‚ F  E ‚ G , E ‚ F  G , E ‚ G  E ‚ G , E ‚ F  G . "! ¿Qué es Ò!Ó ‚ ÖBß C× , donde B y C son números reales? "" Si E es un conjunto cualesquiera, ¿qué es E ‚ Ö × ? Nota: Recuerde que Ö × œ F œ conjunto vacío. "# + Represente gráficamente Ò  #ß $Ó ‚ Ò  %ß  "Ó , Idee una representación de  #ß $ ‚ Ò  $ß  "Ó

ab

ab ab ab ab ab ab ab a b a a b a b a b ab ab

e

f

a

b a

b a

a

b

a

b

a

b b

b

a

ba

a

b

b a

b

a

b


MATEMÁTICA BASICA

23

a-b ¿Cuál sería la gráfica de Ö#× ‚ a"ß  _b? a.b Idem. de d ‚ Ö$×. a"$b Represente gráficamente: a+b Ð  _ß #Ó ‚ Ð"ß  _Ñ a. b Ð"ß $Ó ‚ Ò  #ß  _Ñ a,b Ò#ß  _Ñ ‚ Ð"ß  _Ñ a/ b Ð  _ß #Ó ‚ Ò  "ß $Ñ a-b Ò  #ß $Ó ‚ d a0 b d ‚ a  "ß $ b a"%b Demuestre que E ‚ aF  G b œ aE ‚ F b  aE ‚ G b y que E ‚ aF  G b œ aE ‚ F b  aE ‚ G b . §5. Sean E y F dos conjuntos de un universo dado, y consideremos su producto cartesiano E ‚ F . Todo subconjunto de E ‚ F es llamado una relación de E en F . Puesto que F §  E ‚ F entonces el vacío F es también una relación de E en F, lo mismo puede decirse de E ‚ F que es una relación de E en F .

e f F œ e"ß #ß $f V œ ea+ß " bß a+ß # bß a,ß # bß a,ß $ bß a- ß " bf V œ ea+ß "bfß V œ ea+ß " bß a+ß # bß a+ß $ bf

. E œ +ß ,ß - ß " #

$

son relaciones de E en F . 5.1

. Sea V una relación de E en F , el conjunto

e

a

HV œ + − EÎ b, − F es llamado el dominio de la relación.

baa+ß , b − V bf

De otra manera el conjunto de todos los primeros elementos de las parejas que forman a V es llamado dominio de la relación. 5.2

. Sea A una relación de E en F . El conjunto F es llamado codominio de la relación y el conjunto

e

a

baa b bf

V/-A œ , − FÎ b+ − E +ß , − A es llamado el recorrido de la relación. Es decir el recorrido es el conjunto

de todos los segundos elementos de las parejas ordenadas que forman la relación. . En el ejemplo anterior se tiene

e f ef

V/-V " œ "ß #ß $ V/-V# œ "

e f ef

H V" œ +ß ,ß HV# œ +


MATEMÁTICA BASICA

e f

ef

H V$ œ + .

V/-V$ œ "ß #ß $

5.3

24

. Sea V una relación de E en F se dice que V es una relación funcional ó gráfica funcional si 3 El dominio de V es E 33 La siguiente proposición es siempre verdadera aB aC aD Bß C − V • Bß D − V Ê C œ D .

ab ab

a

b

a ba ba baa b a b b a"b šaBß CbÎC œ È "  B › § Ò  "ß "Ó ‚ d es una relación funcional de Ò  "ß "Ó en d mientras que K œ eaBß C bÎB  C œ "f no lo es , ya que a!ß "b y a!ß  " b son elementos de K y no se cumple la condición a33b de la definición. a#b Sean \ œ e%ß &ß 'ß (f y ] œ e+ß ,ß -ß .ß / f 0 œ ea%ß + bß a&ß + bß a'ß + bß a(ß / bf es una relación funcional, mientras que J œ ea%ß + bß a&ß , bß a'ß . bf no lo es ya #

#

#

que HJ Á \ .

a b

5.4 . Cuando 0 es una relación funcional, Bß C − 0 se acostumbra escribir C œ 0 B . También, "0 es una función de \ en ] " se escribe

ab

0 0 À \ ⎯→ ] ó \ ⎯→ ]

ab

La función 0 descrita en el ejemplo # se puede escribir entonces en la forma

Y a b c d e

X 4 5 6 7

ab

Así, la condición 3 dada al comienzo significa: de todo elemento de \ sale una flecha y la condición 33 de ningún elemento de \ salen dos o más flechas. Es de notar que a un elemento de ] pueden llegar varias flechas o ninguna.

ab

5.5 . Sea \ un conjunto de un universo dado, se llama diagonal de \ al conjunto


MATEMÁTICA BASICA

25

eaBß BbÎB − \f . Si \ œ e+ß ,ß - f entonces œ ea+ß + bß a,ß , bß a-ß - bf ?\ œ

?\

5.6 . Sean \ e ] conjuntos, sea K § gráfica o  \ ‚ ] una relación. Se llama gráfica inversa de K al conjunto K" œ

eaBß CbÎaCß Bb − Kf § ] ‚ \

5.7 . Sean K" §  \ ‚ ] y K# §  ] ‚ ^ . se llama gráfica compuesta por K" y K# y se nota K# ‰ K" al conjunto

eaBß D bÎabC − ] baaBß C b − K • aCß D b − K bf "

#

nótese que K# ‰ K " §  \ ‚ ^ .

ab

e

f e f e f K œ ea"ß + bß a#ß + bß a"ß , bß a$ß , bf K œ ea+ß ˆ bß a+ß ‡ bf K œ ea,ß ‡bf entonces K ‰ K œ ea"ß ˆ bß a"ß ‡ bß a#ß ˆ bß a#ß ‡ bf y K ‰ K œ e a"ß ‡ bß a$ß ‡ bf a#b Sean K œ eaBß CbÎB − d • C œ B fß K œ eB − d • C œ B f entonces K ‰ K œ eaBß C bÎB − d • C œ B f. . " Sea \ œ "ß #ß $ à ] œ +ß , à ^ œ +ß ‡ consideremos " # $ #

"

$

#

"

#

sin

#

sin

"

"

#

Podemos ahora preguntarnos ¿si al componer dos gráficos funcionales se obtiene un gráfico funcional?, la respuesta es si. Más exactamente tenemos. 5.8

Sean 0 À \ ⎯→ ] y 1 À ] ⎯→ ^ dos funciones entonces 1 ‰ 0 À \ ⎯→ ^ es una función

ab

. 3 Como 0 es función se tiene la veracidad de la siguiente proposición

aaB − \babxC − ] baaBß C b − 0 b

y como 1 es también función para cada C − ] habrá un elemento D − ^ tal que Cß D − 1. Entonces ligando estas dos afirmaciones tenemos que

a b aaB − \babD − ^ baaBß D b − 1 ‰ 0 b Ê \ § H a1 ‰ 0 b § \ entonces se tiene que Ha1 ‰ 0 b œ \ a33b Tomemos aBß D b − 1 ‰ 0 • aBß D b − 1 ‰ 0 entonces cabC − ] baaBß Cb − 0 • aCß D b − 1bd • cabC − ] baaBß C b − 0 • aC ß D b − 1 bd w

w

w

w

w


MATEMÁTICA BASICA

26

de la asociatividad de la conjunción se desprende que

caBß Cb − 0 • aBß C b − 0 d • caCß D b − 1 • aC ß D b − 1 d Como 0 es una función cumple el axioma a33b por lo tanto C œ C • caCß D b − 1 • aC ß D b − 1 d ahora como 1 es funcional cumple también a33b de donde DœD Así como 1 ‰ 0 cumple a3b y a33 b de la definición de función se sigue que 1 ‰ 0 es una función de \ en ^ . En este caso es costumbre escribir aBß Db − 1 ‰ 0 en la forma D œ a1 ‰ 0 baBbß óß D œ 1 a0 aBbb. w

w

w

w

w

w

w



5.9

a"b Halle las˜ gráficas inversas de ™ ; K œ eaBß C bÎB − d • C œ B f J œ aBß C bÎB − d  Ö!× • C œ a#b Sean K y K gráficas de \ en ] demuestre que a+b Si K § K entonces K § K a,baK b œ K a$b ¿ Que relación encuentra entre dominio Kß recorrido de Kß dominio de K y recorrido de K ? a%b ¿La relación "B es profesor de C" es una función? ¿Lo sería la relación "B es alumno de C" ?. a&b Halle dominio y recorrido de la relación "B es hijo de C" . ¿ es una función?. Reflexione antes de responder. a'b Sean E œ Ö!ß &ß (ß %× y F œ Ö"ß #ß $× dos conjuntos. Defina cuatro funciones de E en F y cuatro de F en E. a(b Dadas las funciones a+b 0 aBb œ a,b 1aBb œ "  #B a- b J aB b œ #B  $ a.b KaBb œ  É  $ a/b , aBb œ É a0 b ?aDb œ D  # a1b @aBb œ 3Ñ Calcule su valor en el número real ". 33Ñ Halle los números 0 a)bß 1 a"Þ& bß , ˆ ‰ß J a! bß K a  $ bß ? a' bß ? a! bß ? a & bß @ a$ bß y @a!bÞ 333Ñ Halle el dominio y el recorrido de cada una de ellas a)b Consideremos las siguientes funciones: 1 J d d d d d a+b B È B  & a,b B È $ a- b B È Bd = 3. P d d d d d a.b B È 3.aBb œ B a/b B È  B a0 b B È $B d# " B

"

sin

#

"

" "

#

" " "

" #

"

"

"

" B#

#

# $B

B" B#

B# B#

#

" &

⎯→

$

⎯→

⎯→

⎯→

$

#

⎯→

⎯→


MATEMÁTICA BASICA

27

+,= d ⎯→ d 1 B È B si B  ! B È  B si B  ! es decir, +,= B œ B si B  ! y si B  !, +,= B œ  B (Se llama valor absoluto de B, en lugar de +,= B se acostumbre escribir lBl ) 3 Halle -$ ! ß -$  " ß - $ "! ß 1  " ß 3. # ß 3.  $ ß P # ß P  & ß = # ß = ! ß +,=  # ß +,= # ß +,= ! ß l  "  l!llÞ 33 Halle el recorrido de cada una de las funciones inmediatamente

ab

ab ab ab ab ab a b a b a b ab a b ab a b ab ab a b ab ab ab anteriores.

§6. 6.1 . Sea 0 À \ ⎯→ ] una función. Si el recorrido de 0 es todo ] , entonces 0 se llama sobreyectiva o una epiyección o simplemente 0 es una función de \ sobre ] . Puede también decirse en forma equivalente, que 0 À \ ⎯→ ] es una función sobre cuando la siguiente proposición es verdadera

aaC − ] babB − \baC œ 0 aBbb

6.2 . Sea 0 À \ ⎯→ ] una función. Se dice que 0 es una función uno a uno ó una inyección si la siguiente proposición es verdadera

aaBbaaCba0 aBb œ 0 aC b Ê B œ Cb

Esta proposición es claramente equivalente a

aaBbaaCbaB Á C Ê 0 aBb Á 0 aC bbÞ . a"beaBß C bÎB − d • C œ B f es una función uno a uno de d sobre d a#b 0 œ eaBß CbÎB − d • C œ # f es una función uno a uno de d en d. No es $

B

sobre, pues el recorrido de 0 no contiene al cero ni a los números negativos. Se puede volver sobre tomando \ œ d e ] œ d œ números reales positivos. Así 0 \ ⎯→ ] B È #B

es uno a uno y sobre.

Una función que a la vez es una inyección y una epiyección se le llama una biyección .


MATEMÁTICA BASICA

28

6.3

ea b a b f

Sea 0 À \ ⎯→ ] una función. Sabemos que 0 " œ Cß B Î Bß C − 0 es una gráfica inversa, nos preguntamos ¿en que caso 0 " es una función? Veamos antes algunos ejemplos. Y a b c d e

f :X 1 2 3 4 o

ea b a b a b a bf ea b a ba b a bf

la gráfica inversa es 0 œ "ß + ß #ß , ß $ß / ß %ß . , " 0 œ +ß " ß ,ß # /ß $ ß .ß % . Analizando el dominio de 0 , vemos que H0 " Á ] . Luego 0 " no puede ser función ¿la causa? puesto que Recorrido de 0 Á Dominio de 0 " ; tenemos que 0 no es sobre. "

sea

Consideremos otro caso dado por

g

X

Y a b c

α β γ δ

ea ß +bß a ß ,bß a ß - bß a ß + bf entonces su gráfica inversa será 1 œ ea+ß bß a,ß bß a-ß bß a+ß bf puesto que Á y a+ß b − 1 ß • ß a+ß b − 1 , se sigue que 1 o sea 1 œ

!

"

"

!

!

#

$

"

$

#

!

$

"

$

"

"

no es

función ¿la causa? 1 no es uno a uno.

Estos ejemplos nos dicen que si 0 no es uno a uno ó 0 no es sobre entonces 0 " no es una función. Es decir, si 0 " es función, entonces 0 debe ser uno a uno y sobre. Como 0 œ 0 " " es una función entonces 0 " es también uno a uno y sobre.

a b

a b a b a ba b a b

En este caso, para todo B − \ existe C − ] tal que Bß C − 0 • Cß B − 0 " " " de donde Bß B − 0 ‰ 0 por lo tanto B œ 0 ‰ 0 B œ ?\ B luego 0 " ‰ 0 œ ?\ œ .3+198+6 de \ .

a b

a b ba b a b

a b

Análogamente, para todo C − ] existe B − \ tal que Cß B − 0 " • Bß C − 0 entonces Cß C − 0 ‰ 0 " entonces C œ 0 ‰ 0 " C œ ?] C luego 0 ‰ 0 " œ ?] œ .3+198+6 de ] Þ

a b

a


MATEMÁTICA BASICA

29

En forma de diagonal X x

Y f(x)

X-1 f (f(x))= x

Y y

X -1 f (y) ∆

∆X

Y -1 f(f (y))= y

Y

6.4 . Sean 0 À \ ⎯→ ] y 1 À ] ⎯→ \ funciones, se dice que 0 y 1 son funciones inversas si 1 ‰ 0 œ ?\ y 0 ‰ 1 œ ?] Las ideas anteriores quedan resumidas en el siguiente teorema 6.5 . Sea 0 À \ ⎯→ ] una función, 0 tiene función inversa si y sólo si 0 es uno a uno y sobre.

ab ab a b a ba b a ba b

. + " Ê " Sea 0 una función y 1 su inversa Si 0 B œ 0 Bw entonces 1 0 B œ 1 0 Bw o sea 1 ‰ 0 B œ 1 ‰ 0 Bw entonces ?\ B œ B œ B w œ ?\ B w Luego 0 es uno a uno Ahora como 1 es función se tiene aC − ] bB − \ 1 C œ B entonces

a a b b a a bb ab ab a ba ba a b b aC b œ C 0 a1aCb b œ 0 aBb œ a0 ‰ 1 baC b œ Luego aaC − ] babB − \ ba0 aBb œ C b así 0 es sobre. a,b" É " Supongamos que 0 es uno a uno y sobre entonces aaC − ] babB − \ba0 aBb œ C b pero éste B es único ya que 0 es uno a uno. Si llamamos 1 œ eaCß B bÎC œ 0 aB bf ya 1 es una función de ] en \ y evidentemente 1 œ 0 que: a1 ‰ 0 baBb œ 1a0 aBbb œ 1 aC b œ B œ aB b a0 ‰ 1baCb œ 0 a1aCb b œ 0 aB b œ C œ aC b. ?]

"

?\ ?]



6.6

ab

6.6.1 . Sea 0 À \ ⎯→ ] una función, y E §  \ , llamamos 0 E al conjunto de las imágenes de los elementos de E

a b eab ab a

f ba a b b

0 E œ 0 B ÎB − E Notacionalmente : − 0 E Í bB − E 0 B œ : .

6.6.2 . Sean 0 À \ ⎯→ ] una función, E § \•F §  \ . Las siguientes proposiciones son verdaderas

a+b 0 aE  Fb œ 0 aEb  0 aFb a,b 0 aE  Fb © 0 aEb  0 aFb

. Usando tipo de demostración directa tenemos:


MATEMÁTICA BASICA

30

a+b : − 0 aE  F b Í abB − E  Fba0 aBb œ :b Í abBbaB − E  F • 0 aBb œ : b Í Í abBbaaB − E ” B − F b • 0 aBb œ : b Í abB baaB − E • 0 aBb œ : b ” aB − F • 0 aB b œ : b b Í a: − 0 aEb ” : − 0 aF bb Í : − 0 ÐEÑ  0 ÐFÑ a,b : − 0 aE  Fb Í abBbaB − E  F • 0 aBb œ :b entonces abBbaB − E • B − F • 0 aBb œ :b entonces abBbacB − E • 0 aBb œ :d • cB − F • 0 aB b œ :d b entonces : − 0 aEb • : − 0 aF b de donde : − 0 aE b  0 aF b 

ab

La igualdad de , no se tiene en general como lo podemos apreciar en el siguiente ejemplo

e

f

e

f

e

f

. Sea \ œ Bß Cß Dß +ß ,ß -ß /ß 0ß 1 , ] œ !ß "ß #ß ?ß % , E œ Bß Cß 1 , F œ +ß , ß -ß 1 y consideremos la función dada por

e

f

f: X x y z a b c e f g

Y

α β γ ∆ ε

ab e f ab e f ab ab b 0 aE  F b œ Ö × § Ö ß × œ 0 aE b  0 aF b

 F œ Ö1× tenemos 0 E œ !ß " ß 0 F œ ?ß %ß !ß " , 0 E  0 F œ Ö!ß "× , E y 0 E  F œ Ö!×, de aquí tenemos

a

!

! "

6.6.3 : Sean 0 À \ ⎯→ ] y H © ] ; se llama imágen recíproca de H por 0 al conjunto

ab

ab

0 " H œ ÖB − \Î0 B − H×

En el lenguaje de la teoría de conjuntos tenemos

a b ab

: − 0 " H Í 0 : − H

. Sea la función


MATEMÁTICA BASICA

f:X 1 2 3 4 5

a

31

Y a b c d

b

a b

a b

0 " Ö,ß -ß .× œ Ö"ß $ß %ß &×ß 0 " Ö.× œ Fß 0 " Ö-× œ Ö%ß &× . Es entonces evidente que 0 " ] œ \ .

ab

6.6.4

. Sea 0 À \ ⎯→ ] una función G © ] y H © ] entonces " " " 0 G H œ0 G 0 H .

a

ab

. Sea

b

ab ab B − 0 aG  Hb Í 0 aB b − G  H Í 0 aB b − G ” 0 aB b − H aHb Í B − 0 aG b  0 aH b. "

Í B − 0 " G ” B − 0 " 

6.6.5 tenemos

"

. Sea 0 À \ ⎯→ ]

"

una función y sea E © \ . Entonces

a+b 0 a0 aEbb ª E a,b Si 0 es uno a uno, 0 a0 aEbb © E . a+b Sea B − E entonces 0 aBb − 0 aE b usando la definición de imágenes recíprocas se tiene B − 0 a0 aEbb a,b Sea B − 0 a0 aEbb entonces 0 aBb − 0 aEb teniéndose que a b B Â E ” a b B − E Veamos que a b es falsa, en esta forma a b es verdadera y quedará la proposición demostrada. Si B Â E, como C œ 0 aBb − 0 aE b deberá existir por definición de 0 aE bß un elemento B − E tal que 0 aB b œ C − 0 aE b entonces 0 aB b œ 0 aB b y B Á B esto "

"

"

"

!

"

!

"

w

w

w

w

implica que 0 no es uno a uno lo cual está contra la hipótesis de que 0 es uno a uno 

6.7

a"b Hallar las funciones inversas de a+b dB È Bd a,b dB È #d a- b d B È Bd a#b Demuestre que si 0 es uno a uno entonces 0 aEb  0 aFb © 0 aE  F b con lo cual la parte a,b de 6.6.2 se tendría 0 aEb  0 aF b œ 0 aE  F b a$b Demuestre que 0 aG  Hb œ 0 aG b  0 aH b ⎯→

⎯→

$

B

"



"



"

⎯→

#




MATEMÁTICA BASICA

32

a%b Sea 0 À \ ] y sea H © ] Þ Demuestre que a+b 0 a0 aHbb © H a,b Si 0 es sobre 0 a0 aHbb œ H a&b Pruebe que una restricción de una función 0 À E F se puede definir simplemente como una función 1 À G H tal que 1 © 0 y H © F aBß Cb − 1 Ê aBß C b − 0 es decir, Nota: significa que 1©0 aB − H97a1ba1aBb œ 0 aB bb a'b a+b Si E es un conjunto con diez elementos y F un único elemento, halle todas las funciones de E en F. a,b Halle todas las funciones de un conjunto E con tres elementos, en otro con dos elementos. a-b Halle todas las funciones de un conjunto E con cuatro elementos en otro F con dos elementos. a.b Podría hallar una fórmula para calcular el número de funciones de un ⎯→

"

"

⎯→

⎯→

conjunto E con 8 elementos en otro F con 7 elementos. ¿ Podría justificar dicha fórmula? ( Dada la función 0 B œ B#  #B  ) de d en d , + Halle su recorrido. , Restrinja el codominio de 0 para obtener una función sobreyectiva. - Sin variar el codominio de la función en , , halle una restricción biyectiva que sea contínua. . Halle gráfica y algebráicamente la función inversa de la restricción hallada en - Þ ) Si 0 À E ⎯→ F y 1 À G ⎯→ H son biyecciones, demuestre que la función inversa de 1 ‰ 0 es 0 " ‰ 1 ". * Sean 0 À E ⎯→ F biyectiva, 0 " su inversa y R un subconjunto de F. Pruebe que la imagen recíproca 0 " es igual a la imagen directa de R por medio de la función inversa 0 ".

ab ab ab ab ab ab ab

ab

ab

ab

§ 7. 7.1

a

b

: Sea I un conjunto. Una función X de I ‚ I en I

X À I ‚ I ⎯→ I se llama una ley de composición interna definida en toda parte de I ó una operación binaria definida en todo I . En adelante, siempre que digamos ley de composición definida en I , se entenderá definida en toda parte de I. Se acostumbra notar X Bß C en la forma BX C.

a b

1. Una ley de composición interna es la suma de números naturales  : ‚  ⎯→  7ß 8 È  7ß 8 œ 7  8

a b

a b


es decir,  œ

MATEMÁTICA BASICA

eaa7ß 8bß 7  8bÎ7 −

•8 − 

33

f

2. La suma común y corriente de números reales

a b a b

 À d ‚ d ⎯→ d Bß C È Bß C œ B  C

es claramente una ley de composición interna en d.

ab ab

Nótese que los ejemplos " y # son diferentes, aún cuando se notan las funciones con el mismo signo.

e f

eaa b b aa b b aa b b aa b bf

3. Sea I œ +ß , consideremos X œ +ß + ß + ß +ß , ß , ß ,ß + ß + ß ,ß , ß + se obtiene que X es una ley de composición interna en I ; también se acostumbra escribir en la forma +X + œ +ß +X , œ ,ß ,X + œ + y ,X , œ +

ó en un cuadrado de la forma X + ,

+ + +

, , +

Así si se quiere hallar BX C, deberá tomarse B sobre la primera columna de la izquierda y C sobre la primera fila y el resultado está en el cruce de la fila con la columna correspondiente. 4. Sea I el conjunto de todas las proposiciones. Decimos que dos proposiciones son iguales, si son equivalentes, es decir : œ ; significa : es verdadera si y sólo si ; es verdadera. Entonces • À I ‚ I ⎯→ I (la conjunción entre proposiciones)

a:ß ; b È : • ;

es una ley de composición interna en I . 5. Sea I como en el ejemplo 4. la implicación de dos proposiciones

a b

Ê À I ‚ I ⎯→ I :ß ; È : Ê ;

es una ley de composición interna. 6. Sea \ un conjunto y denotemos con c Ð\Ñ al conjunto formado con todos los subconjuntos de \ , también llamado partes de \ . La reunión es una ley de composición interna definida en c Ð\Ñ  À c Ð\Ñ ‚ c Ð\Ñ ⎯→ c Ð\Ñ Eß F È E  F

a b


7.

MATEMÁTICA BASICA

34

la exponenciación definida en los

‡ À d ‚ d ⎯→ d Bß C È B‡C œ BC

a b

números reales positivos es una ley de composición interna definida en toda parte de d . Si en lugar de d se toma d, no se tendría definida una " ley de composición definida en toda parte de d ya que B # no es real cuando B  !. 8. Sea \ un conjunto no vacío. Sea ¹ el conjunto de todas las funciones de \ en \ (¹= 0 Î0 À \ ⎯→ \ )

e

‰ À ¹ ‚ ¹ ⎯→ ¹ 0ß1 È 0 ‰ 1

a b

f

la composición usual entre funciones, es una ley de composición interna en ¹. 7.1.2

a"b Sea d el conjunto de los números reales  Àd‚d aBß Cb È Bd C ⎯→

la diferencia entre números reales, se pregunta ¿es  una ley de composición interna definida en toda parte de d?

a#b Sea I un conjunto cualquiera y − I. ¿ Son ¼ : I‚I aBß Cb È B ¼I C œ B ß X À IaBß‚C bIÈ BXIC œ !

⎯→

⎯→

!

leyes de composición definidas en toda parte de I ?

a$b Consideremos

a b

ƒ À d ‚ d ⎯→ d Bß C È B ƒ C

la división en d entonces ƒ

no es una ley de composición interna definida en toda parte de d ¿por qué? 7.2

a+b Una ley de composición X À I ‚ I I se llama si y sólo si aa+ − Ibaa, − Ibaa- − I baa+X , bX - œ +X a,X - bb Se puede probar fácilmente que las leyes de composición dadas en los ejemplos a"bß a#bß a$ bß a% bß a' b y a) b anteriores son leyes asociativas. Así para a)b, tenemos aa0 ‰ 1b ‰ 2baBb œ a0 ‰ 1ba2 aBbb œ 0 a1 aB bbß aB − \ a0 ‰ a1 ‰ 2bbaBb œ 0 aa1 ‰ 2baBbb œ 0 a1 a2 aBbbb aB − \ Como coinciden en todos los puntos de \ se tiene a0 ‰ 1 b ‰ œ 0 ‰ a1 ‰ 2 b Las leyes de los ejemplos a&b y a(b no son asociativas, puesto que ⎯→


MATEMÁTICA BASICA

35

ca: Ê ;b Ê
$#

$

#

/ es llamado el módulo de X .

ab

. " • À d ‚ d ⎯→ d el producto de números reales es Bß C È B•C modulativo pues, ÐaB − dÑ B † " œ " † B œ B

a b

a

b

a#b Si suponemos que cero es un número natural entonces la suma de números naturales es modulativa pues; Ða8 − Ña!  8 œ 8  ! œ 8b a$b Para la suma entre números reales el cero también es el módulo; en el cunjunto a\ b partes de \ el conjunto vacío es el módulo para la unión de conjuntos pues, ÐaE − Ð\ÑÑaE  œ  E œ E b; en el conjunto de 

c

c

F

F

¹

todas las funciones definidas sobre un conjunto \ la aplicación idéntica de \ , ó la diagonal de \ es el módulo para la composición de funciones pues, Ða0 − ¹Ñ 0 ‰ ?\ œ ?\ ‰ 0 œ 0 Claramente los ejemplos $ ß % y & de la sección 7.1 no son modulativos lo mismo que ( ya que "\ Á \ " œ \ .

a ab

b abab ab

a.b Una operación X en I modulativa, se llama ÐaB − IÑÐbB − IÑaBX B œ B X B œ / b w

w

si

w

donde / es el módulo de I para X .

ab

ab

. " El ejemplo " del numeral 7.1 no es invertiva ya que no existe un número natural Bw tal que &  Bw œ Bw  & œ !

a#b De la misma sección el ejemplo a#b es una ley invertiva; el ejemplo a'b es de una ley modulativa pero no es invertiva puesto que


a

MATEMÁTICA BASICA

36

b

ÐaE − c Ð\ÑÑ E  F œ F  E œ E , pero dado E Á F no existe un conjunto Ew tal que E  Ew œ Ew  E œ F ya que E  E w ¨ E Á F.

a$b La ley de composición dada en el ejemplo 8 de la sección 7.1 no es

invertiva, pues si 0 À \ ⎯→ \ es una función que no es ni uno a uno ni sobre, no existe 0 w tal que 0 ‰ 0 w œ 0 w ‰ 0 œ ?\ . Sin embargo en este conjunto se habla con frecuencia de funciones invertibles a la derecha ó a la izquierda. Ahora si se toma À como el conjunto de las funciones de \ en \ que son uno a uno y sobre ó sea de las biyecciones entonces

a b

‰ À À ‚ À ⎯→ À 0ß1 È 0 ‰ 1

es una ley de composición invertible. 7.3

.

a"b Sea W œ Ö:+<ß 37:+<×W ‚yWdefinamos en W una adición así: W a :+<ß :+
¿Es una operación eta adición? ¿ en caso de serlo es modulativa e invertiva? # ¿Es la operación resta entre números reales modulativa e invertiva?. $ Busque dos ejemplos más de operaciones no conmutativas y dos de operaciones modulativas no invertivas. % + En un conjunto de dos elementos, defina una operación asociativa y no conmutativa. , ¿Conoce una operación asociativa y no conmutativa definida en un conjunto infinito?. & Definamos +  , œ +  ,  + † , siendo + y , números reales cualesquiera; demostrar que +  es una operación ,  es conmutativa -  es asociativa . ¿Bajo qué condiciones  es modulativa? / ¿Es  invertiva? Nota:  es llamada adiplicación . ' Pruebe que para una operación modulativa, el módulo es único ( Demuestre que si ‡ es invertiva en W , entonces para un elemento cualquiera, su inverso es único.

ab ab aba b ab ab ab ab ab ab ab ab ab

a b a b


MATEMÁTICA BASICA

37

§8. 8.1 . Sea K un conjunto en el cual se ha definido una ley de composición interna X . K se llama un para X , ó la dupla ØKß X Ù se llama un , si X es una ley de composición que es asociativa, modulativa e invertiva. Si además X es conmutativa, K se llama un grupo abeliano o conmutativo.

a"b Ødß  Ù, es decir, los números reales con la suma son un

grupo abeliano.

a#b Ød  Ö!×ß •Ù es un grupo abeliano, pues los axiomas de d afirman que Ða+ − d  Ö!×Ñaa, − d  Ö!× bÐa- − d  Ö!×Ñ aa+ † , b † - œ + † a, † - bb Ða+ − d  Ö!×Ña" † + œ + † " œ + b Ða+ − d  Ö!×Ñab+ − d  Ö!× ba+ † + œ + † + œ " b Ða+ − d  Ö!×ÑÐa, − d  Ö!×Ñ a+ † , œ , † + b a$b Sea œ e0 À \ \Î0 es uno a uno y sobref donde \ Á , consideremos ‰ À a‚0ß 1b È 0 ‰ 1 w

w

À

w

F

⎯→

À

À ⎯→ À

como ley de composición en À . Entonces ØÀß ‰ Ù es un grupo no abeliano. Ya demostramos que la composición de funciones cualesquiera es asociativa, luego en particular en este caso se tiene la asociatividad. Como ?\ es uno a uno y sobre, ?\ − À , entonces se tiene que la composición es modulativa y también es invertiva.

a%b Sea K œ Îa#b œ ™

˜•• ••™ y considere la tabla

™Î T+
a b ˆ

+ • ! • "

!

•! •"

"

• " • !

la cual define en ™/ # una operación, asociativa, modulativa ( •! es el • • • módulo), invertiva •!  !• œ • ! • "  " œ ! y conmutativa, Luego Ø ™/ # ß  Ù es un grupo abeliano.

‰

ab

a&b Consideremos el plano euclidiano y en él un punto fijo T à podemos rotar alrededor de T el plano un ángulo :  $'!!  :  $'! !

ó mejor  #1  :  #1

se mide en radianes. : es considerado positivo cuando se rota en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, y negativo en el otro sentido. Una rotación del plano en un ángulo : lo denotaremos V: y


MATEMÁTICA BASICA

38

es en realidad una aplicación del plano en si mismo, más aún es una función uno a uno del plano sobre si mismo. Sea K œ V:ÎV: es una rotación del plano Definimos en K la operación

e

f

a

b

‰ À K ‚ K ⎯→ K V: ß V< È V: ‰ V< œ V:< Sabemos ya que ‰ es asociativa, además tomando V! como módulo la ley

es modulativa y como

V: ‰ V: œ V! œ V: ‰ V:

aV:

se sigue que la ley es invertiva. Claramente es conmutativa, luego ØKß ‰ Ù es un grupo abeliano.

#

a'b

Sea un plano euclidiano con un sistema de coordenadas cartesianas. Sabemos que un punto T se determina dando sus coordenadas Bß C . Identifiquemos entonces T con sus coordenadas Bß C . Definimos una función

a b

a b

# # así L aaBß C bb œ a>Bß >C b >Á! Teniéndose que L es uno a uno, ya que L aaBß C bb œ L aaB ß C bb Í a>Bß >C b œ a>B ß >C b Í >B œ >B • >C œ >C como > Á ! podemos simplificar para obtener B œ B • C œ C Í aBß C b œ aB ß C b L es sobre; puesto que dado aBß C b − # entonces ˆ ß ‰ − # y se tiene que L ˆ ß ‰ œ aBß C b #‚> − d  Ö!×› y definimos en L la siguiente Sea ahora L œ šL À # L> À

⎯→

>

>

>

>

"

"

"

"

"

"

>

B C > > >

"

"

"

"

B C > >

⎯→

>

ley de composición

a

b

‰ À L ‚ L ⎯→ L L> ß L= È L> ‰ L = œ L >= entonces resulta que ‰ es asociativa y conmutativa en L , como se prueba fácilmente. Además L " es el módulo y L> ‰ L " œ L" aL> >

luego la ley es invertiva. Así ØL ß ‰ Ù es un grupo abeliano llamado de las del plano.

a(b Sea # un#plano# euclidiano, si aBß Cb − # y +ß , − d aplicación X : como sigue: X aaBß Cbb œ a+  Bß ,  C b Es fácil ver que X es uno a uno y sobre. Considérese #‚+ß , − d› œ šX :# +ß,

definimos la

⎯→

+ß,

+ß,

Ã

+ß,

⎯→

al conjunto de todas las posibles X +ß, , y definamos en Ã la siguiente ley de composición


MATEMÁTICA BASICA

39

‰ :Ã ‚ Ã ⎯→ Ã X+ß, ß X-ß. È X+ß, ‰ X -ß. œ X + - ß,.

a

b

la cual resulta asociativa y conmutativa en Ã como fácilmente se puede verificar, X !ß! !ß! es el módulo, además como a

X+ß, ‰ X+ß, œ X!ß!

X + ß,

entonc entonces es la ley es tambié también n inversi inversible ble,, así ØÃ, ‰ Ù es un grupo grupo abelia abeliano no llamado el grupo de las . 8.2

a"b. Demuestre que L ‰ L œ L , donde L se define como en el ejemplo a'b de la anterior sección. a#b Dé una interpretación geométrica a los efectos producidos en el plano por las homotecias y las translaciones. a$b En el conjunto cociente /a5b œ ˜!ß "ß #ß á ß 5  "™ definimos una relación muy especial dada por Îa5 b ‚ Îa5 b /a5 b ˆ+ß ,‰ È +  , Demues Demuestre tre que esta esta relaci relación ón es una ley de compos composici ición ón en /a5 b y que esta esta oper operac ació ión n hace hace de /a5 b un grup grupo o conm conmut utat ativ ivo. o. . Este ejercicio es una generalización del ejemplo a%b de la sección anterior, donde se ha definido una operación análoga en el conjunto cociente /a#b . a%b Pruebe que el conjun conjunto to I es el módulo módulo de la operaci operación ón "  " defini definida da en T aI b œ ÖR ÎR © I × pero que ningún subconjunto propio de I tiene inve inverso rso para para ella ella.. ¿Es ¿Es "  " canc cancel elat ativ iva? a?.. a&b Demuestre que ØT aI bß  Ù no es grupo. ¿Es la unión cancelativa? a'b Defina una nueva operación entre subconjuntos de I llamada la =

>

=>

>

™

™

™

⎯→

™

™

™

™

diferencia simétrica : E?F œ ÖB ÖB − IÎ IÎB B −E ” B − F× F×.

a b

Teniéndose Teniéndose en en cuenta cuenta la tabla tabla de verdad verdad del "o" exclusivo exclusivo §1 y la tautología :  ”;  ” < Í: ” ; ” < (verifíquelo primero), pruebe que:

a b a b a+b aE Fb G œ E aF G b a)b E F œ aE  F b  aF  Eb a-b La diferencia simétrica es modulativa, dando el módulo explícitamente. a.b " " es invnverertitivva en T aIbÞ a/b ØTØT aIbß Ù es un grupo conmutativo. a0 b La intersección es distributiva con respecto a la diferencia simétrica. a*b ¿ La operación + — , œ + † ,  + entre números reales es asociativa? ? ?

?

?

?

?

?


MATEMÁTICA BASICA

40

§9. 9.1 En épocas pasadas bastaban al hombre, para sus necesidades referentes a conteos y mediciones, los llamados números naturales que un estudiante "ß#ßá . En cambio hoy en día no es demasiado exigir que de secundaria esté acostumbrado a manejar números como, !ß "ß "ß  #ß # ß "$ "$ß 

$ %ß

 $" $ "ß %# %#ß 

"( #ß %$")!# ß #ß

È È ß Š $‹ ß /ß /ß á /> />- , 

1

&

los cuales manejan en calculadoras y computadores, y que son llamados "números reales", aunque, por otra parte, no se sepa qué son en última instancia; es decir, que nunca se haya o lo hayan enfrentado con la pregunta ¿qué es un número real? . En lo que sigue se usarán sin comentario previo, algunos de los hechos más elementales relativos a estos números; entre ellos su representación geométrica por medio de los puntos de una recta

a cada punto de dicha recta ("recta real", ó, "recta numérica") le corresponde un número, y sólo uno, y a cada número un punto, y sólo uno, de la recta. En todo caso, y con el objeto de representar los conceptos, se enunciaran a continuación las propiedades características de lo números reales, los cuales se llamarán en adelante, salvo que se advierta lo contrario, simplemente números. El filósofo griego Pitágoras (hacia el 600 a.C.) sabía ya que la razón < œ .6 entre la longitud de la diagonal de un cuadrado . y la longitud 6 de su lado, satisface la igualdad

ab

a b œ6 6

. # œ <6

#

#

a"b

#

Así pues, razonaba él: existe un "número" < tal que < œ "  " œ #Þ . Pero por otra parte, Pitágoras reconoció que < no podía representarse como un cociente < œ +, de enteros. En efecto, tomando + y , primos entre si

ˆ ‰ œ # Ê + œ #,#, + # ,

#

#

#

Más aún, descomponiendo + en factores primos, resulta que +# es divisible por # un número par de veces es decir, + œ #5 y por lo análogo # dividirá a #, # un número impar de veces (es decir, #, # œ #5 # o sea %5 # œ #, # Í #5 # œ , # de donde , œ #7 ) y + no sería primo relativo con , . Luego +# œ #,# es imposible para + y , enteros. Unicamente podemos solucionar este "dilema de Pitágoras" introduciendo los : números que no son cociente de enteros. Razonamientos análogos demuestran que la razón $ entre la longitud de la diagonal de un cubo G y la longitud de su arista.

a

b

È

a b


MATEMÁTICA BASICA

41

q

2

=

Estos resultados son casos particulares del siguiente teorema mucho más general:

ab

9.2 . Sea : B œ B8  + "B8"  â  +8 un polinomio con su primer coeficiente igual a " y los demás +"ß +#ß á ß + 8 enteros. Si la ecuación : B œ ! tiene raices racionales, éstas son números enteros.

ab

ab

. Supongamos que : B œ ! para alguna fracción B œ +, . Dividiendo + y , por su 7Þ-Þ. (máximo común divisor) puede expresarse B como cociente B œ 6< de dos enteros <ß 6 primos entre sí. Sustituyendo este valor en : B y quitando denominadores

a bˆ ‰

! œ 68 :

luego

< 6

œ < 8  +"< 8"6  +#< 8#6 #  â  +86 8

<8 œ  +" < 8"6  â  +8 6 8 de donde 6 divide a <8. Esto exige que cualquier factor primo de 6 divide a <8 y por lo tanto a <. Pero < y 6 no tienen divisores comunes, y por lo < tanto 6 œ „ ", y la fracción dada B œ „" œ „ < es un número entero, lo

cual queríamos demostrar.



È

#), por ejemplo fundándonos en el Para probar la irracionalidad de #) teorema 9.2, procedemos como sigue: Si lBl  ', entonces B#  #)  ! , y, si lBl Ÿ &, entonces B#  #)  ! ; luego ningún entero puede ser solución de B#  #) œ !, y por el teorema 9.2 la solución de B# œ #) , que es #) no puede ser racional. Otros números irracionales son 1ß / y muchos otros. Es de notar que la mayoria de los números reales son irracionales e incluso, a diferencia de #, no pueden satisfacer ninguna ecuación algebráica. Este resultado que hemos ampliado, nos indica ya que para contestar a la pregunta ¿qué es un número real? necesitamos utilizar ideas enteramente nuevas. La naturaleza de estas ideas y la relación entre los números reales y los racionales serán examinadas parcialmente en los parágrafos que siguen.

È

È


MATEMÁTICA BASICA

42

9.3 Los griegos de la época clásica usaron un método geométrico de aproximación para el cálculo de los números reales. Para ellos, un número era simplemente una razón + À , entre dos segmentos rectilíneos + y ,. En consecuencia, dieron construcciones geométricas para establecer la igualdad entre razones, así como para la adición, sustración, multiplicación y división de razones. De este modo las leyes del álgebra aparecen como teoremas geométricos. La versión griega de la noción de igualdad entre números racionales y reales se basaba en una condición debida a Eudoxio, que especificaba cuándo eran iguales dos razones. Esta condición se hacía depender de las posibilidades de formar geométricamente los múltiplos enteros 7 † + de un segmento dado + y comparar geométricamente las longitudes de los dos segmentos. Se estipulaba que + À , œ - À . cuando, para todo par de enteros positivos 7 y 8 # si 7+  8,ß también 7-  8., si 7+  8,ß también 7-  8. + 8 Algebraícamente, 7+  8, significa que ,  7 suponiendo siempre que , y 7 sean positivos. Entonces # puede leerse así: + 8 + , œ . , cuando cualquier número racional 7 que sea mayor que , es también mayor que .- . La validez de la condición # de Eudoxio expresa, evidentemente, la circunstancia de que dos números reales positivos + À , y - À . son diferentes si y sólo si existe algún número racional mayor que uno de ellos y menor que el otro. También su condición para + À ,  - À . tiene el mismo fundamento y es el siguiente: <+  6, y <-  6. , para enteros convenientes < y 6 $ El estudio geométrico de los números reales es ya desacostumbrado. En la actualidad se les estudia aritméticamente, mediante aproximaciones racionales, en expanción decimal (un decimal es, como se sabe, un número racional cuyo denominador es potencia de diez (10)). Por ejemplo, el irracional # se reemplaza en la práctica por las aproximaciones sucesivas

a b

a b a b

ab

ab

ab

a b a b a b a b ab

È

a% b a& b

"ß "Þ%ß "Þ%"ß "Þ%"%ß "Þ%"%#ß á

El número 1 es aproximado análogamente, por los decimales ." œ $Þ"ß . # œ $Þ"%ß . $ œ $Þ"%"ß . % œ $Þ"%"&ß . & œ $Þ"%"&*ß á

y así sucesivamente. 9.4

a b

a

b

Para cada par Bß C de números está definido un número y uno sólo designado B  C, que es la suma de B con C, y un número (y uno sólo)


MATEMÁTICA BASICA

43

a b

designado por BC que es su producto. La operación que al par Bß C le hace corresponder en número B  C repectivamente BC se llama (respectivamente ) y se tienen los siguientes axiomas A.1 La adición y la multiplicación son asociativas, es decir para cualesquiera números BßCßDß se cumple

a

b

a a bb aa b b a b

B C D œ BC D B CD œ BC D Los números ! y " ! Á " son módulos para la adición y la

A.2 multiplicación respectivamente, en el sentido siguente

B  ! œ !  B œ Bß a B − d B† " œ "† B œ Bß aB−d A.3 Dado un número B, existe un número Bw , y uno sólo, tal que B  Bw œ Bw  B œ !. Éste Bw se llama el opuesto de B y se designa por  B . Análogamente dado B un número tal que B Á !, existe un número Bww , y uno sólo, tal que BBww œ Bww B œ ". Este Bww es el inverso de B y se le denota por B" .

A.4 La adición y la multiplicación son conmutativas, es decir B  C œ C  Bß BC œ CB para todo número B y todo número C.

A.5 La adición es distributiva con respecto a la multiplicación, esto es,

a b

B C  D œ BC  BD

cualesquiera que sean los números BßCßD A.6 El número " es diferente al número !. A.7 Si + œ , y - œ . entonces +  - œ ,  .ß 9.4.1

+- œ ,. .

. + † ! œ ! para todo número +

a b

. " œ "  !ß entonces + † " œ + "  ! de A.2 y A.5 + œ + † "  + † ! Í + œ +  + † ! aplicando A.7  +  + œ  +  +  + † ! de A.3 y A.1 tenemos ! œ Ò  +  +Ó  + † ! de A.3 ! œ ! +† ! de A.2 se tiene finalmente

a b a b a a b

b

!œ +†! 

9.4.2

. Si +, œ !, entonces + œ ! ß óß , œ ! . . Supongamos que + Á !, entonces existe +" por lo tanto

a b a+,b œ a+ +b, œ " † , œ ,

+" +, œ +" † ! œ !

pero +"

"

por lo tanto

,œ! 


MATEMÁTICA BASICA

44

9.4.3 . El ! no tiene inverso. Esto es, no hay un número real B tal que ! † B œ ". . Conocemos por 9.4.1 que ! † B œ ! . Si tenemos ! † B œ " para algún B, tendríamos que ! œ ", y , ! Á " por el axioma A.6, esto es una contradicción. 

9.4.4 , œ -.

. (Ley cancelativa de la adición ) Si +  , œ +  - entonces

a b a b a b a b ca b d ca b d

. Si +  , œ +  -, entonces  +  +  , œ  +  +  - , usando el axioma A.1 tenemos  +  +  , œ  +  +  - pero de A.3 se recibe !  , œ !  - finalmente de A.2 se tiene , œ - . 

9.4.5 . (Ley cancelativa de la multiplicación ) Si +, œ +- y + Á ! entonces , œ . Si +, œ +- y + Á !, entonces + tiene inverso + " . Por lo tanto de A.7 se tiene

a b a b a+ +b, œ a+ +b+" +, œ +" +-

por A.1 tenemos

"

usando A.3

"

"† , œ "† -

por A.2 se llega a , œ -. 

a b . Por definición del opuesto, el número  a  +b es un número B tal que a  +b  B œ B  a  + b œ ! Para + por el axioma A.3 se tiene que a  +b  + œ +  a  + b œ ! 9.4.6

. Para cualquier número + se tiene   + œ +.

luego el número  Þ+ tiene dos opuestos aditivos a saber B y +, pero el axioma A.3 garantiza que +œ Bœ  + . Para mayor seguridad se puede demostrar la unicidad del opuesto

a b


MATEMÁTICA BASICA

45

. El opuesto aditivo es único. En efecto, sea + un número por el axioma A.3 existe +w tal que Supongamos que hay otro + ww tal que +  +w œ +w  + œ !. +  +ww œ +ww  + œ !ß resulta entonces que

a

b

a

b

+w œ !  +w œ + ww  +  + w œ + ww  +  + w œ + ww  ! œ + wwÞ 

9.4.7

.  + , œ  +, .

a b

Para cualesquiera números +

a b

y , se tiene que

. Basta probar que

a  +b,  +, œ +,  a+b, œ ! puesto que en esta forma se tiene que a  +b, es el opuesto aditivo de +, y según el lema anterior a  +b, œ  a+, b. Ahora por el axioma A.5 tenemos a  +b,  +, œ Òa  +b  +Ó, por el axioma A.3 se tiene a  +b,  +, œ ! † , œ !. 

9.4.8

a ba b a  +ba  ,b œ  Ò+a  , bÓ ¿porqué? œ  Òa  ,b+Ó ¿porqué? œ  Ò  a+,bÓ ¿porqué?

.  +  , œ +, cualesquiera sean los números + y ,.

.

œ ,+ œ +,

¿porqué?

_________ _________ _________ _________.



9.4.9 . Si + y , son números diferentes de cero cualesquiera, " entonces +, œ +"," .

a b

. Debemos mostrar que

a+,ba+ , b œ " ahora a+,ba+ , b œ +c,a+ , bd œ +c,a, + bd œ +ca ,, b+ d œ + c" † + d œ ++ œ " como el inverso multiplicativo de a+, b es a+, b " "

" " "

" "

"

"

" "

"

"

y por la unicidad del

inverso se tiene la igualdad. Para mayor claridad mostemos que el inverso multiplicativo también es único; sabemos que para + Á ! existe +w tal que ++w œ +w+ œ "ß supongamos ahora que existe otro número +ww tal que ++ww œ +ww + œ " tenemos entonces +ww œ " † + ww œ +w + + ww œ +w ++ ww œ + w † " œ + w .

a b

a b


MATEMÁTICA BASICA

46



9.4.10

. Para cualesquiera números + y , se tiene

a b a b a b

 +, œ +  ,

. Nos basta con probar que

a+  ,b  ca  +b  a  ,bd œ ! En efecto; a+  ,b  ca  +b  a  ,bd œ +  a,  ca  +b  a  , bdb œ +  a,  ca  ,b  a  +bdb œ +  ac,  a  , bd  a  + bb œ +  a!  a  + bb œ +  a  + b œ !. 

9.4.11

.

Pruebe cada una de las siguientes igualdades aclarando los axiomas y resultado usados

a"b ,a  +b œ  a+,b a#ba  +ba  ,b œ ,+ a$b +a,  -b œ +,  +a%b  ! œ ! a&b +  ! œ + a'b ,ˆ ‰ + œˆ ,‰ a  +b a(b œ Í a+. œb,a)b ˆ ‰ „ ˆ ‰ œ a*b ˆ ‰  ˆ ‰ œ ! a"!b ˆ ‰ˆ ‰ œ a""b ˆ ‰ Á ! Ê ˆ ‰ˆ ‰ œ " a"#b a  ,b œ  a, b a"$b Analice todas las demostraciones de los teoremas 9.4.1 + , + , + ,

+ , + ,

.

. . + ,

"

+.„,,.

+,.

+ ,

, + "

a 9.4.10 y

concluya que tipo de demostración fue utilizada. 9.5

Existe en los números una relación  (es mayor que ) que establece un orden entre los números y que está regida por los siguientes axiomas llamados de orden O.1 Dados dos números reales B, C cualesquiera, se cumple una y una sola de las tres alternativas siguientes: B  Cß

B œ Cß CB O.2 Si B  C, y a su vez C  D , entonces B  D . OA.1 Si B  C entonces B  D  C  D , para todo número D . OA.2 Si B  ! ß y , C  !, entonces BC  ! .


MATEMÁTICA BASICA

47

Estos últimos axiomas relacionan las propiedades algebráicas con el orden. En lugar de " B  Cß ó, B œ C " se escribe B  C . Se acostumbra también escribir C  Bß y, C Ÿ B en lugar de B  Cß • ß B  C . 9.5.1 . Cualesquiera dos desigualdades pueden ser adicionadas. Esto es, si ,  + y .  - entonces ,  .  +  . Por OA.1 se tiene ,  -  +  - • ,  .  ,  - Í ,  .  ,  -ß • ß ,  -  +  -

entonces por O.2 se tendrá

,  .  +  -. 

9.5.2

. ,  + si y sólo si ,  +  !

. Si ,  +, entonces por OA.1 se tiene ,  +  +  +. Por lo tanto ,  +  !. Inversamente si ,  +  !ß entonces ,  +  +  !  + de donde ,  +Þ

a b



9.5.3 . Una desigualdad es preservada si multiplicamos ambos miembros, por el mismo número positivo. Esto es +  , • -  !ß Ê +-  ,-

. Puesto que +  ,ß tenemos +  ,  !. Por lo tanto usando OA.2 tenemos - +  ,  ! y por A.5 tenemos -+  -,  ! , usando el teorema 9.5.2 tenemos +-  ,- .

a b



9.5.4

. Si +  ! entonces  +  !. . Si +  ! entonces +  +  !  + (por OA.1). Así !   + Í  +  !



9.5.5

. Si !  +ß entonces  +  !. . Si !  +, entonces !  +  ! (por 9.5.2) Í  +  !.



9.5.6

. Si ,  + y !  - entonces +-  ,- .


MATEMÁTICA BASICA

48

. Si ,  + entonces ,  +  !, y por otro lado si !  - , entonces  -  !. Por lo tanto  - ,  +  ! Í +-  ,-  ! por el teorema 9.5.2

a ba b

+-  ,-Þ 

9.5.7

.

a"b Ordene de menor a mayor los racionales siguientes ß ß ß ß ß ß . a#b Determine sobreÈ unaÈ recta numérica los puntos de coordenadas  $ß $ß &ß ß  È 'ß !Þ$ß # È #. a$b Pruebe que no es posible tener B  C • C  B para dos reales cualesquiera. a%b Haga ver que B Ÿ C Í ÐB  C ” B œ CÑ . a&b Pruebe que ÐB Ÿ C • C Ÿ BÑ Ê B œ C . a'b Establezca las propiedades análogas a OA.1 y al teorema 9.5.1 anteriores dadas para la relación " Ÿ ". a(b Demuestre que si B  ! y D es tal que BD œ ", entonces D  !. a)b Pruebe que si +  , • -  !, entonces  ¿Qué ocurrirá si -  !? a*b Demuestre que si !  +  ,, entonces !   . a"!b Defina y represente gráficamente los intervalos semiabiertos Ð+ß ,Ó y " #

# $

# &

$ (

$ %

' (

% &

" #

+ -

, -

" ,

" +

Ò+ß,Ñ.

Aquí ; Ð+ß ,Ó œ ÖB − dÎ+  B Ÿ ,× y Ð+ß ,Ó œ ÖB − dÎ+ Ÿ B  ,× "" ¿Qué significan los intervalos +ß + , Ð+ß ,Óß Ò+ß ,Ñ y Ò+ß +Ó ?. "# Halle y represente gráficamente los conjuntos siguientes:

a b a b

a+b Ò!ß #Ó  Ò#ß 'Ñ a,b Ò!ß #Ó  )#ß 'Ó a/b Ð!ß $Ñ  Ò#ß  _Ñ a1b Ò!ß $Ó  Ð$ß %Ó

a b a- b Ò  ß  _Ñ  Ð  _ß #Ñ a. b Ð  _ß $Ñ  Ð  "ß  _Ñ a0 b Ò!ß #Ó  Ò#ß $Ó a2 b Ò  "ß  _Ñ  Ò#ß %Ó . " #

a"$b Represente los números reales sobre una recta vertical, de tal manera

que el punto correspondiente al " esté por encima del correspondiente al cero. Si +  ,, ¿cómo estarán ubicados sus puntos correspondientes E y F? "% ¿Cómo es el producto de los dos números reales negativos?. ¿Cómo es la suma de dos números negativos?. Demuestre que sus afirmaciones son verdaderas. "& Demuestre que el cuadrado de un número distinto de cero, es estrictamente mayor que cero.

a b a b


MATEMÁTICA BASICA

9.6

49

.

Como era de esperarse, esta propiedad afirma, en total acuerdo con la intuición, que la recta numérica no tiene huecos, que carece de discontinuidades: que es . Sin embargo, como puede apreciarse por el lenguaje usado, la propiedad en cuestión no está descrita con precisión suficiente para ser inequívoca y aceptable. Para lograr la anhelada precisión puede procederse de la manera siguiente: En primer lugar una pregunta; si la recta númerica tuviera huecos ¿cómo podrían detectarse estos?. La existencia de uno de tales huecos o cortes A

C

D

automáticamente daría al conjunto de los puntos de la recta, en virtud del orden que los afecta, una clasificación natural: los puntos que están antes del corte (puntos AC) y los puntos que están después del corte (puntos CD). Todo punto es un AC ó un CD ( pero no las dos cosas al tiempo), además, todo punto anterior a un AC es un AC y todo punto posterior a un CD es un CD. Por último, no existiría un punto tal que todo punto anterior a él fuera un AC y todo punto posterior a él fuera un CD, (este elemento "sería" precisamente el que falta). Más formalmente se procede así: una ElF es una clasificación de todos los números en dos conjuntos ó clases E y F de tal manera que: 3 Hay números en ambas clases (es decir, que ninguna de las dos clases es vacía) 33 Si + − E y , − F , entonces +  , Dada la cortadura ElF , como las clases E y F no son vacías existe por lo menos un número + − E y un número , − F , y por la condición 33 se debe tener que +  ,

a b

ab ab

a b

ab

a

Si un número B  +, entonces como debe estar clasificado, se encontrará en E ó en F , pero como por 33 no puede estar en F , entonces necesariamente estará en E. Análogamente, todo número mayor que , debe pertenecer a F .

ab

A

a

b

B

Por otra parte, los elementos entre + y , también deben estar clasificados, luego las clases Eß F deben tener una disposición como la siguiente


MATEMÁTICA BASICA

A

a

50

b

B

Si existe un número - mayor o igual que todos los de E y menor o igual que todos los de F, este número - se llama número ó punto frontera de la cortadura ElF . Intuitivamente puede verse que si existiera una cortadura ElF sin frontera, la recta tendría un hueco, ó corte, es decir, no sería continua la recta númerica. En este caso dado un elemento + de E, siempre existiría otro elemento +w − E tal que +w  +; análogamente para F ( a, − F b, w − F Î, w  ,). Luego ningún elemento de E ó de F podría ser frontera, y como cada número real debe estar en E ó en F , entonces no existiría punto frontera alguno. La última propiedad de los números reales asegura la inexistencia de estos "huecos" ó "discontinuidades" en el conjunto de los reales:

a b

a b

a

V . -

aElFb

ba

b

.

Si el número - perternece a la clase E, entonces E es el conjunto de todos los números menores o iguales que - y entonces - es el mayor de los elementos de E ó el "máximo" de E. Si - − F, entonces E es el conjunto de los números menores que - y F es el conjunto de los números mayores o iguales que - , siendo - el menor de los elementos de F , ó el "mínimo" de F. Las propiedades que se acaban de enunciar caracterizan al conjunto de los números reales, en el sentido siguiente: si un sistema tiene esencialmente estas propiedades, entonces salvo notaciones usadas, este sistema es idéntico al de los números reales. Es claro que los números reales tienen muchas propiedades pero, cada una de ellas es consecuencia estrictamente lógica de los axiomas antes enunciados. Como ejemplo consideremos el siguiente teorema conocido como la propiedad Arquimediana de los números. 9.6.2 . Si B e C son números reales positivos y si se localizan sucesivamente Bß#Bß$Bß%Bßá entonces llega un momento en que estos puntos sobrepasan a C, es decir, existe un número entero 8 tal que 8B  C . Este hecho, de tan grande evidencia intuitiva, puede sin embargo demostrarse usando sólamente propiedades características de los números reales. En efecto; si todos los múltiplos Bß #Bß $Bß %Bß á de B fueran Ÿ C , llamando F la clase de los números , que son mayores ó iguales que cada uno de los 8B entonces, si E œ CF se tiene


a3b E Â

MATEMÁTICA BASICA

51

pues todos los múltiplos 8B están en ella (cada uno de ellos es menor que el siguiente). F tampoco es vacío pues por ejemplo C es un número que está en esta clase. 33 Si + − E y , − F , entonces + es menor que algún 8B y , será mayor o igual que este 8B, luego +  , . Como además es claro que todos los números están clasificados, resultando que ElF es una cortadura. Si - es la frontera de ElF entonces todos los múltiplos de B serían menores o iguales que - , en particular, para todo natural 8 se cumpliría 8  " B Ÿ - o lo que es lo mismo, 8B Ÿ -  B es decir, que todos los múltiplos de B serían también menores o iguales que -  B F

ab

a b

a b

a b

(n+1)x

c

Luego, si 5 es un número entre -  B y - ( por ejemplo 5 œ -  B# ) siendo mayor que todos los 8B debería estar en F y siendo menor que - debería estar en E, pero esto no es posible porque E y F no pueden tener elementos comunes. En consecuencia debe existir un múltiplo de B mayor que C. 

Como se vio hace un instante, dados dos números diferentes B e C , es fácil hallar números que estén entre ellos, por ejemplo D œ BC tiene esta # propiedad. Sin embargo usando la propiedad Arquimediana (9.6.2) puede demostrarse que entre dos números reales distintos B e C ( tales que B  C por ejemplo) siempre se halla una fracción 7 8 Ð7ß 8 enteros con 8 Á !Ñ. La idea de la demostración es ésta: las fracciones á ß  8# ß  8" ß 8! ß 8" ß 8# ß 8$ ß á

están repartidas a igual distancia unas de otras sobre la recta, para asegurar que una de ellas está entre B e C basta tomar 8"  C  B, en efecto, como C  B entonces C  B  ! luego existe 8 −  tal que 8 C  B  " es decir 8"  C  B. Si además 7 es el menor de los enteros que son mayores que 8B, es decir 7  8B pero 7  " Ÿ 8B o también 7" 8 Ÿ B entonces

a b

7 8

a b

" œ 7" 8  8 B CB œC y como 7  8B entonces 78  B, luego B 7 8  C.

Nos resta preguntar ¿dónde se usó la propiedad Arquimediana? 


MATEMÁTICA BASICA

52

9.7.

a b y aP lY b son cortaduras en el cuerpo de los racionales, cualquier número racional con una excepción a lo más, puede escribirse como B  C aB − Pß C − P b o como ?  @ a? − Y ß @ − Y b ". Demostrar que si PlY

w

w

w

w

#. Demostrar que para todo %  ! existe un 8 bastante grande para que "!8  %. $. A veces se define una cortadura de Dedekin en un campo ordenado J como un par de subconjuntos Pw y Y w de J tales, que cualquier elemento de J esté siempre en Pw o en Y w , y tal que B  C siempre que B − Pw e C − Y w . Por adición y supresión de convenientes números particulares, demostrar que cualquier cotadura PwlY w de este tipo da una cotadura PlY en sentido del texto, y viceversa. %. Si > es un elemento de un dominio ordenado H con !  >  " , demostrar que = œ #  > tienen las propiedades =  "ß => Ÿ ". &. Sea H un dominio ordenado "completo". + Si H no es isomorfo con ™, demostrar que H contiene un elemento > con !  >  " . , Si , y - son elementos positivos cualesquiera de H, demostrar que >8,  - para algún 8. '.Demuestre que d satisface la propiedad arquimediana: dados C − d • B  !, existe un natural 8 tal que 8B  C . (. Demuestre que dado cualquier real, siempre existe un real

a b

a b

ab

ab

estrictamente mayor y otro estrictamente menor. ). Pruebe que todo subconjunto de d no vacío y acotado inferiormente posee inf en d . *. Pruebe que  no es un subconjunto superiormente acotado de d .

§ 10.

.

Se trata con seguridad del conjunto pionero en el estudio de la matemática, pues acogiéndonos al concepto del matemático aleman Leopoldo Kronecker nos atrevemos a decir que: "el buen Dios nos dió los números naturales; el resto ha sido obra del hombre". Hacemos a continuación una presentación, de estos números, desde un punto de vista axiomático como sigue: 10.1 . Los números naturales, denotados por el símbolo , son un conjunto, dos de cuyos elementos son denotados con los símbolos ! y " ! Á " , junto con dos operaciones llamadas adición y multiplicación, denotadas por  y • respectivamente. Las siguientes propiedades algebráicas debe satisfacer la adición

a b


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1A 7  8 œ 8  7 para todo 7 −  y para todo 8 −  Esta propiedad es la ley conmutativa de la adición 2A 8  7  : œ 8  7  : para todo 8ß 7ß : −  3A a8 −  Ê 8  ! œ 8 4A 8 œ 7 Í 8  " œ 7  " para todo 8ß 7 −  5A 8 −  Ê ! Á 8  " −  Las siguientes propiedades algebráicas deben satisfacer la multiplicación 1M 8•7 œ 7•8 para todo 8ß 7 −  2M 8• 7•: œ 8•7 •: para todo 8ß 7ß : −  3M 8 −  Ê "•8 œ 8 La siguiente propiedad algebráica adicional debe cumplirse D 8• 7  : œ 8•7  8•: para todo 8ß 7ß : − . Finalmente en adición a las anteriores propiedades algebráicas, la siguiente propiedad, que es llamada el principio de inducción matemática, debe tenerse MI Si W © , es tal que ! −  y "8 − W Ê 8  " − W " en verdadera entonces W œ .

a

b

a

b

a b a b

a

b

Veamos algunos resultados que se deducen de la definición anterior y que se hacen como una ilustración 10.2

a b

. Si 8 −  y 8 † ! œ ! entonces 8  " † ! œ !

a b

a b

. 8 " †! œ !† 8 " œ !† 8 ! †" œ ! ! œ ! 

10.3

. Si 8 −  y 8 Á ! entonces 8 œ 5  " para algún 5 −  . Sea W œ Ö!×  Ö5  "Î5 − × . W tiene las siguientes propiedades

a3b ! − Ö!× Ê ! − W a33b Supóngase que 8 − W . Pero, puesto que W ©

,

tenemos que 8 −  y

además 8  " − Ö5  "Î5 − ×, por lo tanto 8  " − W . Luego W cumple las hipótesis de MI, siguiéndose que W œ . Concluimos así que si 8 −  y 8 Á ! entonces 8 − Ö5  "Î5 − × esto indica que 8 œ 5  " para algún 5 − . 

En la construcción de los números naturales el resultado dado por (10.3) es utilizado como la propiedad del "sucesor", el axioma MI es conocido como el principio de inducción . Dada nuestra pobreza en el campo de la lógica matemática y el espíritu de este trabajo no nos entramos en lo profundo del conjunto de los números naturales pero invitamos a


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nuestros cibernautas a que estudien el libro introducción a la teoría de conjuntos capítulo IV pg 153 del profesor José M. Muñoz Quevedo y publicado por la Universidad Nacional en 1994 donde se hallan los números naturales con lujo de detalles. 10.4 Utilice el principio de inducción para dar solución a los problemas " a $ siguientes: ". Si W © ™ tal que el cero es su primer elemento, y se 8 − W entonces 8  " − Wß ¿Cuál es el conjunto W ? #. Si W © ™ es tal que el primer elemento es  "! y el sucesor de cualquier elemento de W es también elemento de W . Halle el conjunto W . $. Encuentre el subconjunto W de ™ constituído precisamente por aquellos 8 tales que $8  " es divisible (exactamente!) por #. %. ¿Cuál sería el subconjunto E de ™ tal que 3w # es el último elemento 33w el antecesor de cualquier elemento de E está también en E ? Nota: Si 8 − E, entonces a 8  " se le llama el antecesor y a 8  " el sucesor.

ab ab

§11. En el conjunto de los números naturales y desde un punto de vista algebráico, se tiene la tendencia a estudiar ecuaciones de la forma más elemental posible como &  B œ # , ó problema como, dados 7ß 8 −  hallar B tal que 7  B œ 8. Este problema no tiene en general solución en  y para tratar de hallarle una solución se procede a extender  y esta extensión es conocida como el conjunto de los números enteros y es el conjunto donde la resta ó diferencia es una operación y donde tenga sentido de hablar de perdidas y ganancias o de temperaturas bajo cero o negativas y que presentamos en una forma axiomática en la siguiente definición:

e

f

11.1 . Sea Q un conjunto que es dado por  8Î8 −  . Entonces los números enteros, denotados por el símbolo ™, es el conjunto formado por Q  , junto con dos operaciones, la adición y la multiplicación denotadas  y • respectivamente, y donde las siguientes propiedades se deben cumplir: 1. El subconjunto  © ™ junto con las operaciones  y • forman el sistema de los números naturales.


MATEMÁTICA BASICA

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2. Las operaciones  y • satisfacen las propiedes algebráicas 1A, 2A, 3A, 4A, 1M, 2M, 3M y D para los elementos tomados en ™ 3. Para todo D − ™ existe  D − ™ tal que D   D œ  D  D œ ! Nótese que así Ø™,+Ù es un grupo abeliano.

a b a b

11.1.2 . Un conjunto W es llamado un cuando entre sus elementos están definidas dos operaciones, notadas aditiva y multiplicativamente, con las propiedades: W DI.1. a+ − W a, − W +,− +†,−W unívocamente , de modo que sean validas la ley distributiva, las dos leyes asociativas y las dos conmutativas W B!œB DI.2 b! − W b" − W tales que ! Á " y aB− aB−W B†"œB DI.3 a+ − W ß la ecuación +  B œ ! tiene solución en W dada por B œ  + Dl.4 Se cumple la ley de simplificación para el producto, es decir aB − W  Ò!Ó + † B œ , † B Ê + œ , .

a a a

ba ba b a

bŠ b

‹

Š aa baba bb ‹

ba

b

Según esta definición ™, el conjunto de los números enteros, es un dominio de integridad. Veamos algunos resultados destacados en ™ 11.2 +  B œ ,.

. Si +ß , − ™ entonces existe un único elemento B − ™ tal que

. La dividimos en dos partes a saber ! Si +ß , − ™, entonces +  B œ , para algún B − ™ " Si +ß , − ™, +  B œ ,, y , +  C œ ,, entonces B œ C ! Supóngase +ß , − ™, hay dos posibilidades 3 Si + −  entonces B œ  +  , , puesto que tenemos

ab ab ab ab a b +  B œ +  Òa  +b  ,Ó œ Ò+  a  + bÓ  , œ !  , œ , a33b Si + − Q , entonces + œ  8 para algún 8 − . En este caso tomamos B œ 8  , teniéndose +  B œ a  8 b  a8  , b œ Òa  8 b  8Ó  , œ !  , œ , así en este caso B − y +  B œ , . a b Supongamos +  B œ , y +  C œ ,, donde +ß ,ß Bß C − entonces +  B œ +  C. Presentándose dos casos nuevamente a3b Si + − , entonces obtenemos B œ !  B œ Òa  + b  +Ó  B œ a  + b  a+  B b œ œ a  +b  a+  C b œ Ò a  + b  +Ó  C œ !  C œ C a33b Si + œ  8 para algún 8 − , entonces B œ B  ! œ B  a+  8b œ aB  +b  8 œ a+  Bb  8 œ a+  C b  8 œ aC  + b  8 œ C  a+  8 b œ C  ! œ C 

™

"

™





En cada caso B œ CÞ


MATEMÁTICA BASICA

56



11.3 . Para cada +ß , − ™, se define ,  + al único número B − ™ tal que +  B œ ,. La operación en ™ así definida por el símbolo  es llamada sustracción. Como los números enteros ™ son la base de la aritmética en los parágrafos 14, 15 y 16 destacaremos algunas otras de sus múltiples propiedades y aplicaciones. 11.3.1

.

a"b Demuestre que Ø ,- Ù no es un grupo. Demostrar utilizando el principio de inducción matemática a#b a8  "ß "  $  &  á  a#8  "b œ 8 a b a$b a8  "ß "  %  (  á  a$8  #b œ a%b a8  "ß &  "  %8 a&b a8  R ß %  " es divisiblea abaexactamente b por $Þ b ß a8  ". a'b "  #  $  â  8 œ a(b aa8  "bŠ+  +<  +<  â  +< œ ˆ ‰ ‹ cuando < Á ". a)b Probar que las siguientes reglas valen en todo dominio de integridad: a3ba+  , b  a-  . b œ a+  - b  a,  . b a33ba+  , b  a-  . b œ a+  . b  a,  - b a333ba+  ,ba-  . b œ a+-  ,. b  a+.  ,- b a3@ba+  ,b œ a-  . b si, y sólo si, +  . œ ,  a*b ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de números son dominios de integridad? a+b Todos los enteros pares a,b Todos los enteros impares a-b Todos los números de la forma +  +È # con + y , números enteros a.b Todos los números reales de la forma +  , † & , donde + y , son números enteros a/b Todos los números reales de la forma +  , † È *, donde + y , ™

#

8 $8" #

8

8

#

#

#

#

#

8 8" #8" ' 8

+ <8" " <"

" %

%

son

números enteros 0 Todos los números enteros positivos. 1 Todos los números racionales enteros cuyo denominador sea " o una potencia de #

ab ab


MATEMÁTICA BASICA

57

§12. Nuevamente una propiedad algebráica nos permite la extensión de los números enteros al tratar de solucionar el problema: "dados +ß , − ™ hallar un número B tal que +B œ ,". Este problema por lo general no tiene solución de ™ y con esta idea se extiende el conjunto ™ a uno que lo contenga y donde este problema tenga solución. En seguida damos una presentación de la extensión de ™ en la forma siguiente. 12.1 . Un cuerpo J es un conjunto en el cual se tienen definidas dos leyes de composición distintas, las cuales se notan con  y • adición y multiplicación para las cuales ØJ ß  Ù y ØJ ß •Ù son grupos abelianos y además B• C  D œ B•C  B•D para todo Bß Cß D − J Nótese que si J es un cuerpo para cada + Á ! existe +" "inverso" multiplicativo que satisface la ecuación ++" œ +"+ œ "

a

b

a b

12.2 . Sea J un cuerpo, la división (exepto por cero) es una operación en J  Ö!×. . Basta demostrar que para todo + Á ! y todo , − J la ecuación +B œ , tiene una única solución B − J Si + Á !, entonces existe +" − J , podemos así construir un elemento B œ +" ,

el cual por sustitución directa se prueba que +B œ ,. Supongamos por otra parte que +B œ , y +C œ ,, entonces +B œ +C , de aquí +" +B œ +" +C Í + "+ B œ + "+ C de donde se tiene B œ C . La solución de +B œ , es denotada +, ó , ƒ +, teniéndose así definida la división en J . En particular +" œ +" .

a b

a b a b a b



12.3 . En todo cuerpo J , los cocientes obedecen a las siguientes leyes ( en donde , Á ! y . Á !)

a"b ˆ ‰ œ ˆ ‰ Í +. œ ,a#b ˆ ‰ „ ˆ ‰ œ a$b ˆ ‰ˆ ‰ œ a%b ˆ ‰  ˆ  ‰ œ ! a&b Si ˆ ‰ Á !, entonces ˆ ‰ˆ ‰ œ ". . a"b ˆ ‰ œ ˆ ‰ Í +, œ -. , así +. œ +a,, b. œ +a, , b. œ a+, b,. œ a-. b., œ - a. . b, œ -, + , + , + , + ,

.

. .

+,. + ,

+ ,

+ ,

+.„,,.

+ ,

"

.

"

"

, +

"

"

"

"


MATEMÁTICA BASICA

Recíprocamente + ,

a b a b

a b

58

ab

œ +," œ ," + œ , "+ .. " œ , " +. . " œ , " -, . " œ œ , " ,- . " œ , " , -. " œ -. " œ .# Sabemos que B œ +, e C œ .- son las soluciones de las ecuaciones ,B œ + y .C œ - . Estas ecuaciones pueden combinarse para dar .,B œ +.ß ,.C œ ,-ß ,. B „ C œ +. „ ,Así pues, B „ C es la única solución +.„,de la ecuación ,. D œ +. „ ,,. $ Como antes, las ecuaciones ,B œ + • .C œ - pueden combinarse para

ab

ab

aˆb‰

ab

a b

dar

a,.baBCb œ a,Bba.Cb œ +de la cual sale BC œ a%b Sustituyendo en a#b tenemos ˆ ‰  ˆ  ‰ œ œ !a, b œ ! a&b Sustituyendo en a$b tenemos ˆ ‰ˆ ‰ œ solución de la ecuación a,+bB œ +, +,.

+ ,

+ ,

+,,+ ,#

# "

+ ,

, +

Como B œ " satisface a está ecuación se tendrá

+, +,

. Pero

+, ,+

+, ,+

es la única

œ ".



. Se sigue de los axiomas de d que d es un cuerpo. 12.4 . Un subcuerpo O de un cuerpo dado J es un subconjunto de J que es así mismo un cuerpo respecto a las operaciones de adición y multiplicación en J restingidas a O . 12.5 . Un subcuerpo W de un cuerpo J es un subconjunto que contiene al cero y la unidad de J , además es cerrado para la adición, cerrado para la multiplicación, para cada + − W se tiene que  + − W y si + Á ! entonces +" − W , y recíprocamente.

ŠÈ ‹ š È ‚

. d # œ +  , # + − dß , − d números reales.

›

es un subcuerpo de los

12.6 Los enteros solos no forman un cuerpo, la construcción de los números racionales a partir de los enteros como una extensión, es esencialmente la construcción de un cuerpo que contenga a los enteros como subconjunto. Naturalmente este cuerpo deberá además, contener las soluciones de todas las ecuaciones del tipo ,B œ + con coeficientes enteros + y , Á !. La construcción abstracta de los "números racionales" que resuelvan estas ecuaciones se sigue, simplemente, introduciendo


MATEMÁTICA BASICA

59

a b

ciertos símbolos nuevos < œ +ß , ß a los que llamaremos pares, cada uno de los cuales es solución de una ecuación ,B œ +

Debemos hacer ver que estos nuevos entes puedan igualarse, sumarse y multiplicarse, exáctamente como los cocientes en un cuerpo. 12.6.1 . El conjunto  de números racionales está constituído por todos los pares +ß , de enteros + y , Á !. La igualdad entre pares se rige por el convenio siguiente

a b a+ß ,b œ a+ ß , b Í +, œ + , Mientras que la suma y el producto se definen así a+ß ,b  a+ ß , b œ a+,  + ,ß ,, b a+ß ,b•a+ ß , b œ a++ ß ,, b w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

Los resultados son siempre pares teniendo por segundo componente a ,,w Á !.

a b a b a+ß ,b  a+ ß , b œ a+ ß , b  a+ ß , b En efecto, como a+ß ,b œ a+ ß , b entonces +, œ + , así, a+ß ,b  a+ ß , b œ a+,  + ,ß ,, b y a+ ß , b  a+ ß , b œ a+ ,  + , ß , , b ahora a+,  + ,b, , œ a+, ba, , b  a+ , b, , œ , a+, b,  + a,, b, œ œ , a+ ,b,  + a, , b, œ a+ , ba,, b  a+ , ba,, b œ a+ ,  + , ba,, b Luego a+,  + , ba, , b œ a+ ,  + , ba,, b de donde a+,  + ,ß ,, b œ a+ ,  + , ß , , b y se tiene a+ß ,b  a+ ß , b œ a+ ß , b  a+ ß , b. 12.6.2 . Si +ß , œ +w ß , w entonces se tiene ww

w

ww

w

w

ww

ww

ww

ww

ww

w

ww

ww

w ww

w ww

ww

ww

w

ww w

ww

ww

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ww

w ww

w ww

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ww

ww w

w ww

ww w

ww

w ww

ww w

w

ww

w

ww

ww

ww

w ww

w

ww

ww w

ww

w ww ww



Pueden probarse ahora varias leyes algebráicas para los números racionales que hemos definido. Así, en la ley distributiva se puede reducir simultáneamente ambos miembros de la igualdad de acuerdo con la definición, del siguiente modo ( supongamos que <ß
a

b <<  << a bca b a bd a+ß , ba+ ß , b  a+ß , ba+ ß , b a ba b a++ ß ,, b  a++ ß , , b a b a++ ,,  ++ ,, ß ,, ,, b <
w

w

w

w

ww

w

ww

w

ww

ww

ww

w

ww

ww

w

ww


MATEMÁTICA BASICA

60

Estos dos resultados dan parejas iguales, ya que el segundo resultado difiere del primero sólo en la presencia de un factor , en todos los términos. Pero un factor extra en un par, da siempre otro par igual, pues ,Bß ,C œ Bß C Í ,BC œ ,BC Í BC œ BC , ya que , Á ! Esta demostración explícita de la ley distributiva para números racionales ó pares es sólo un ejemplo del método. Por el mismo empleo directo de las definiciones y de las leyes de los enteros, se prueban la conmutatividad y la asociatividad, en efecto

a

a

b a b

b

CONMUTATIVIDAD <<
a b a b a a b a a ca b a a a a a ba a a

b a b a ba b a ba b b a b a b b a b bda b a b a b a b b a b a b a b b a b b a b b a b a b a ba b ba b a ba b b a b Un elemento idéntico para la adición es el par a!ß "b ya que a!ß "b  a+ß ,b œ a! † ,  " † +ß " † , b œ a+ß , b La ley de simplificación se conserva y el par a"ß "b es el elemento idéntico para la multiplicación. El opuesto de a+ß ,b es  a+ß , b œ a  +ß , b Se cumplen pues todos los postulados que definen a un cuerpo. En resumen tenemos

12.7 . El conjunto  de los números racionales, constituido por todos los pares de números enteros es un cuerpo y definiendo + ,

se tiene que 

12.8

a+ ß ,b œ œ ˜a+ß , bÎa+ß , b œ ß + − + ,

™ß , − ™  Ö!×

™.

.

". Admitiendo que el conjunto de los números reales es un cuerpo ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son subcuerpos de d ? + Todos los enteros positivos , Todos los números de la forma +  , $ con + − ß , − 

ab ab

È


MATEMÁTICA BASICA

61

a-b Todos los números de la forma +  ,È & con + y , números racionales. a.b Todos los números racionales no enteros. a/b Todos los números de la forma +  ,È & con + y , números racionales. $

#. Hallar el número racional cuyo desarrollo decimal es !Þ$$%%%%á $. Demostrar que el desarrollo decimal de B termina en cero (ó en nueve) si B es racional y su denominador es de forma #8 &7, donde 7 y 8 son

enteros positivos o nulos y recíprocamente. %. Demostrar que #  $ es irracional &Þ Si +ß ,ß -ß . son racionales y B es irracional, demostrar que +B  , Î -B  . es, en general irracional. ¿Cuándo se presentan excepciones? '. Dado cualquier real B  !, encontrar un número irracional comprendido entre ! y B. (. Si +,  .- siendo ,  !ß .  !, demostrar que +,. está comprendida entre + , y .. ). Sean + y , enteros positivos. Demostrar que # siempre está + +#, comprendido entre dos fracciones , y +, . ¿Cuál de las fracciones está más próximo a # ? *. Designemos por + y , las raíces de la ecuación cuadrática B#  B  " œ ! 8 ,8 y sea B8 œ ++, . Demostrar que B" œ "ß B# œ "ß B $ œ #ß á ß B 8" œ B 8  B 8". "!. Determinar para qué valores del entero 8  " número 8  "  8  " es racional, y para cuáles es irracional.

È È

a

ba

b

È

È

È

§ 13.

È

.

13.1 . Sea P un conjunto ordenado, es decir un conjunto en donde se cumplen los axiomas O1,O2, AO1, y AO2 de la sección 9.5. Se dice que un subconjunto E de P E © P es por un elemento B − P si Se dice que E es

a aa+ − Eba+ Ÿ Bb aa+ − EbaC Ÿ +b

b

por un elemento C − P si

En estos casos decimos que B es una cota superior de E y que C es una cota inferior de E. si lo es superior e inferiormente. E se dice

a"b El conjunto ˜B/B œ

™ ˜

™

8 −   Ö!× œ "ß "# ß "$ ß á ß 8" ß á es un conjunto acotado, pues, " es la cota superior y ! es la cota inferior. # El conjunto E œ ÖB − dÎB#  #× no es un conjunto acotado ¿porqué?

ab

" 8ß


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13.2 . Sea E un conjunto de números reales acotado superiormente. Supongamos que exista un número real B que satisface las dos condiciones siguientes + B es una cota superior de E , Si C es otra cota superior de E, entonces B Ÿ C Entonces el número B es llamado del conjunto E. w Análogamente se define el ( + C es una cota inferior de w E y , si C" es otra cota inferior de E , entonces C" Ÿ C ). Cuando un conjunto es tal que admite extremo superior y extremo inferior entonces se dice que es un conjunto .

ab ab

ab

ab

. Al extremo superior se le suele llamar el y se nota sup. Al extremo inferior se llama con frecuencia y se le nota inf. Sea supE el supremun de un conjunto E si supE − E entonces el supE es llamado de E. Por analogía si inf E − E, entonces el infimun de E es llamado de E. . Sea E un conjunto acotado y sea B œ supE entonces se suele escribir Dado %  ! b+ − E B  %  + Análogamente si > œ inf E entonces se suele caracterizar con la siguiente proposición Dado %  ! b+w − E >  %  +w .

a

ba

ba

b

a

ba

ba

b

13.3

. Sean E y F dos conjuntos acotados de números reales con + œ supEß , œ supF . Designemos por G al conjunto entonces

e

G œ B  CÎB − Eß C − F +  , œ supG .

f

. Si D − G entonces D œ B  C Ÿ +  , , de modo que +  , es una cota superior de G . Sea - otra cota superior de G . Tenemos que +  , Ÿ - , para ello sea %  ! un número positivo dado, existe un número B − E y existe un número C − F tales que +%  B

ß

,%C

Por la adición de estas desigualdades, encontramos +  ,  #%  B  C Ÿ Esto es +  , Ÿ -  #% . Pero % es arbitrario, resulta así +, Ÿ

13.3.1 . Un subconjunto de números reales se dice cuando admite cotas superiores y cuando admite cotas inferiores. Un conjunto se dice extremado ó limitado cuando admite cota inferior y cota superior.


MATEMÁTICA BASICA

63

A continuación enunciamos el axioma de completez para los números reales, el cual, en este momento, estamos preparados para probarlo.

a b

13.4 G w Si un conjunto \ de números reales es mayorado, entonces \ tiene supremun. Dualmente se tiene si \ es un conjunto de números reales que está minorado entonces \ tiene ínfimun. . Sea F el conjunto de las cotas superiores de \ , entonces, por hipótesis F Â F, pues \ es mayorado. Sea ahora E œ CF el conjunto de los números que no son cotas superiores de \ , es decir, E es el conjunto de todos los números + tales que existe un elemento B − \ tal que B  +. Entonces E tampoco es vacío pues cualquier número menor que un elemento de \ ( que no es vacío) pertenece a E. Además 3 Es claro que cada número real está en E o en F pero no en ambos 33 Si + − E y , − F , entonces + <, , en efecto, si + − E entonces existe B − \ tal que +  B y como , − F , , es una cota superior de \ entonces B Ÿ , así

ab ab

+ B•B Ÿ,

luego por la transitividad se tiene +  ,. Concluimos así que ElF es una cortadura, entonces por el axioma G de los números reales ElF tiene un punto frontera. Sea - la frontera de esta cortadura teniéndose que - no está en E puesto que si esto ocurriera existiría un elemento B de \ tal que -  B pero entonces los elementos entre - y B estarían en E (por ser menores que B) y serían mayores que (que es la frontera). Luego - es el mínimo de F es decir, es la mínima cota superior de \ o sea el supremum de \ . Análogamente se demuestra que todo conjunto no vacío y minorado tiene ínfimun. Nota. Cuando este resultado se generaliza a conjuntos ordenados y cadenas de orden, es conocido como el lema de Zorn.

a b a b

13.4.1 ". Demostrar que el sup y el inf de un conjunto son únicos cuando existe. #. Hallar el sup y el inf de cada uno de los siguientes conjuntos de

números reales + Todos los números de la forma #:  $;  &< , donde :ß ; y < toman todo los valores enteros positivos. , W œ ÖBÎ$B#  "!B  $  !× . - W œ ÖBÎ B  + B  , B  - B  .  !× , siendo +  ,  -  . .

ab ab ab

a ba ba ba b


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$. Sean W un conjunto de números reales acotados superiormente, + œ supW y % un número positivo. Demostrar que existe por lo menos un número B − W tal que +  %  B Ÿ +. %. Sean E y F dos conjuntos de números reales acotados superiormente, + œ sup E y , œ sup F . Si G es el conjunto de los números reales formados, considerando todos los productos de la forma BC, donde B − E e C − F , demostrar que, en general, +, Á sup G . &. Sean B un número real  !, y 5 un entero positivo  ". Representemos por +! el mayor entero Ÿ B y suponiendo que +!ß +"ß á ß + 8" hayan sido definidos , representemos por +8 el mayor entero tal que +!  +5"  5+##  â  +588 Ÿ B. + Demostrar que ! Ÿ +3 Ÿ 5  " para 3 œ "ß #ß á , Explicar cómo pueden obtenerse geométricamente los números +! ß + " ß + # ß á - Demostrar que la serie +!  +5"  5+##  â converge y tiene por suma B . Demostrar que B es el sup del conjunto de las sumas parciales de serie dada en Nota. La serie dada en - origina un desarrollo decimal de B en el sistema de base 5.

ab

ab

ab

ab ab ab ab

ab

ab

13.5 Los números enteros poseen otra propiedad importante no caracterizada algebráicamente y no compartida por otros sistemas de números. Tal propiedad es la siguiente: Cualquier subconjunto de números enteros positivos que contenga al menos un elemento, contiene elemento mínimo. En otras palabras, cualquier selección dada de números enteros positivos contiene un entero positivo 7 tal que cualquiera que sea el entero + en la selección dada se tiene 7 Ÿ +. Por ejemplo el más pequeño entero positivo par es #. Más generalmente, un conjunto de números se llama si cualquiera de sus subconjuntos no vacíos contiene un elemento mínimo. Así pues, el principio anterior indica que los enteros positivos están bien ordenados. 13.5.1

. No hay ningún número entero entre ! y ".

. Esto se ve inmediatamente sin más que echar una ojeada al orden natural de los enteros pero lo que pretendemos es probarlo utilizando las hipótesis fundamentales (postulados), sin necesidad de utilizar la referida serie de enteros (en el caso !ß "). Daremos una prueba indirecta (vea 3.3). Si hay un entero - tal que !  -  ", sea G el conjunto de todos


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los enteros - tales que !  -  ", entonces G Â F. Por el principio de la buena ordenación, existe un entero 7 que es el mínimo para G y tal que !  7  ". Multiplicando esta desigualdad por 7 obtenemos !  7#  7

Entonces 7# es otro número entero de G , menor que el supuesto mínimo de G . Esta contradicción demuestra el teorema. 13.5.2 . Un conjunto W de números enteros positivos que incluya al " y que incluya al 8  " siempre que incluya a 8, incluye también a cualquier entero positivo. . Bastará probar que el conjunto W w de todos los números enteros positivos no contenidos en W es vacío. Supongamos que W w no sea vacío, por el principio de buena ordenación W w contendrá un elemento mínimo 7. Pero 7 Á " por hipótesis, luego por el teorema anterior, 7  " y 7  " deberá ser positivo. Como además 7  "  7 resulta que, por la definición de 7, 7  " debe estar en W . Se deduce de la hipótesis que w 7  "  " œ 7, así 7 − W • 7 − W o sea 7 − W • 7 Â W esta contradicción demuestra el teorema.

a

b

13.5.3 ". Demostrar que para cualquier entero +ß +  " es el mayor entero menor que +. #. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son bien ordenados? + Todos los enteros positivos impares , Todos los negativos pares - Todos los enteros mayores que  ( . Todos los enteros impares mayores que 249. $. Probar que todo subconjunto de un conjunto ordenado está bien

ab ab ab ab

ordenado. %. Demostrar que el conjunto de enteros que contiene a  "!!! y que contiene a B  ", si contiene a B, contiene a todos los enteros positivos. &. + Un conjunto W de enteros tiene al entero , como "cota inferior" si , Ÿ B para todo B en W ; el mismo , puede pertenecer o no pertenecer a W . Demostrar que cualquier W no vacío que tiene una cota inferior, tiene un elemento mínimo. , Demostrar que cualquier conjunto de enteros no vacío que tiene una "cota superior" contiene un elemento máximo.

ab

ab


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13.6 Una ecuación +B œ , con coeficientes enteros, no siempre tiene solución entera. Cuando existe tal solución, se dice que , es divisible por + 13.6.1 . Un entero , es divisible por un entero + cuando hay algún entero . tal que , œ +.. Entonces escribimos +l,, diremos también que , es un múltiplo de + y que + es un factor o divisor de ,Þ +l, Í b. − Î , œ +. He aquí una nueva relación "+l,". Son propiedades de esta relación la

reflexividad y la transitividad +l+ß

+l, • ,l- Ê +lLa primera propiedad es trivial pues + œ + † " Í +l+ La segunda tiene por hipótesis directa que , œ +." ß y - œ ,.#, siendo ." y .#

dos enteros adecuados; de lo cual resulta - œ + ." .# como ." † . # − ™ Í +l-

a b



13.6.2

. Los únicos divisores enteros de " son „ ".

. El teorema afirma que si dos enteros + y , son tales que +, œ " se debe tener + œ „ " y , œ „ ", en efecto, +, œ " así l+,l œ l+ll,l œ " . Como + Á !ß , Á !, l+l y l,l son enteros positivos y no hay enteros entre ! y " , por la ley de tricotomía l+l  " y l,l  " Si los dos signos ó en el peor de los casos uno, son desiguales el producto l+ll,l no puede ser igual a ". Entonces l+l œ " • l,l œ " y por lo tanto + œ „ " y , œ „ ". Como + œ + † " œ  +  " todo entero + es divisible por +ß  +ß " y  " . Los números + y  + por dividirse mutuamente, se llaman "asociados".

a ba b

13.6.3 . Dos enteros + y , se llaman asociados si se verifican las relaciones +l, y ,l+. Los asociados de " se llaman unidades. Esta definición significa que un entero es una unidad si y sólo si es un divisor de ", con esto, el teorema 13.6.2 establece, simplemente que las únicas unidades son „ ". Si + y , son asociados, + œ ,." y , œ +.#. Luego + œ + ." .# y por la ley de simplificación queda

a b

" œ ." . # O sea que ." es un divisor de " y por lo tanto, ." œ „ ". Por lo tanto es , œ +." œ „ +, así que los únicos asociados de + son „ +. Dos enteros + y , son asociados si y sólo si l+l œ l,l .


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13.6.4 . Un entero : es primero si, siendo distinto de ! y de „ ", es divisible únicamente por „ " y „ :. Los primeros números primos son #ß$ß&ß(ß*ß""ß"$ß"(ß"*ß#$ß#*ß$"ßá

Todo número que no es primo puede descomponerse en un producto de factores primos: . "#) œ #( à *! œ "! ‚ * œ # † & † $ #à

'(# œ *' † ( œ ( † "# † ) œ ( † $ † # &

Se observa por experiencia, que obtenemos los mismos factores primos cualesquiera que sea el método de descomposición. Esta unicidad la demostraremos al estudiar el 7Þ-Þ..

œ B B sisi BB!!

13.6.5

. Para todo B − d , lBl œ

13.6,6

. Para todo B − dß lBl  !.

ab

. " Si B  !, entonces lBl  ! porque en este caso lBl œ B . # Si B  !, entonces  B  !. Por lo tanto lBl  ! porque aquí lBl œ  B .

ab 

13.6.7

. Para cualquier B − d, l  Bl œ lBl

a"b Si B  !, entonces  B Ÿ !, así lBl œ B y por lo tanto lBl œ  a  Bb œ B, siguiéndose que lBl œ l  Bl a#b Si B  !, entonces  B  !, así lBl œ  B ahora l  Bl œ  B por lo tanto .

lBl œ l  Bl 

13.6.8

. Para cualesquier B − d se tiene lBl  BÞ

. Si B  !, esto es verdad porque B  B. Si B  ! entonces B  lBl puesto que lBl  ! . 

13.6.9

. lBCl œ lBllCl para todo Bß C − d

. Cuando B es reemplazado por  B esto es B  ! • C  !ß lBCl œ  BC œ lBllCl . Análogamente si B  ! • C  ! . Ahora si B  ! • C  ! entonces lBCl œ BC œ lBllCl . Finalmente si B  ! • C  !, entonces BC  ! •  B  C  ! luego lBCl œ BC œ  B  C œ lBlCl .

a ba b

a ba b


MATEMÁTICA BASICA

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

13.6.10

. Sea +  !ß entonces lBl  + Í  +  B  +

-

a

a

|| a

ab

. " Si B  ! entonces lBl  + indica que B  + , además ! Ÿ B  + # Si B  !, entonces lBl  + indica que  B  +, ó,  +  B aquí lBl  + es verdad cuando  +  B  !. Por lo tanto lBl  + implica  +  B  +

ab 

13.6.11 . Para cualesquiera +ß , − d se tiene l+  ,l Ÿ l+l  l,l. Esta desigualdad es llamada . . Caso 1. Supongamos que +  ,  !. En este caso l+  ,l œ +  , pero + Ÿ l+l y , Ÿ l,l así +  , Ÿ l+l  l,l luego l+  ,l Ÿ l+l  l,l Caso 2. Supóngase que +  ,  ! entonces  +   ,  ! aplicando el caso 1 tenemos l  +   , l Ÿ l  +l  l  ,l pero l  +   , l œ l  +  , l œ l+  ,l y l  +l œ l+lß l  ,l œ l,l Luego

a b a b

a b a b a b a b a b

l+  ,l Ÿ l+l  l,l 

1.3.6.12

.

a"b Demuestre que si , Á ! entonces ¸ ¸ œ a#b Demostrar que para todo + − d y todo , − d  Ö!× se tiene ¸ ¸œ a$b Demuestre que para tado +ß , − d se tiene l+  ,l  l+l  l,l a%b Demostrar que para todo +ß , − d se tiene l+  ,l  l+l  l,l. a&b Demostrar que para todo +ß , − d se tiene kl+l  l,lk Ÿ l+  ,l a'b Demuestre el recíproco del teorema 13.6.10. a(b Demostrar que si +l, y +l-, entonces +la,  - b a)b DemostrarÈ que si , es positivo y no primo, entonces tiene un divisor positivo . Ÿ ,. a*b Presentar la lista de todos los primos positivos menores de "!!. (Sugerencia: Suprimir los múltiplos #ß $ß &ß ( y usar el ejercicioa)b) a"!b Si +l,, demostrar que l+l Ÿ l,l, cuando es , Á !. " ,

+ ,

l+l l,l

" l,l


MATEMÁTICA BASICA

69

13.7 El proceso ordinario de dividir un entero + por otro , nos da un cociente ; y un resto <. El resultado + ,

œ ;

< ,

puede expresarse sin usar explícitamente las fracciones, así : Para dos enteros + y , con ,  ! existen dos enteros ; y <, tales que + œ ,;  < à

!Ÿ<,

13.7.1 . Si imaginamos los números enteros representados sobre el eje real, los posibles múltiplos ,; de , forman un conjunto de puntos equidistantes sobre el eje -6b

-5b

-4b

-3b

2b

-b

0

b

2b

3b

4b

5b

6b

7b

El punto respectivo de + debe caer en uno de los intervalos determinados por esos puntos, por ejemplo, en el intervalo ,; y , ;  " ß excluyendo el punto , ;  " . Esto significa que + œ ,;  < siendo < menor que la amplitud , del intervalo. Esta imagen sugiere la siguiente demostración, basada solo en los postulados. Existen ciertamente algunos múltiplos enteros de , que no exceden a +, por ejemplo, como ,  !, ,  " así

a b

a b

a  l+lb, Ÿ  l+l Ÿ + Por lo tanto, el conjunto de las diferencias +  , B contiene por lo menos un entero no negativo, a saber +  a  l+lb, . De aquí, por el postulado de

buena ordenación existe un mínimo no negativo para +  , B, al que llamaremos +  ,; œ <. Por construcción, <  !; mientras que si <  , , entonces +  , ;  " œ <  ,  ! sería menor que +  ,; , contra lo afirmado al elegir ;. Concluimos pues que ! Ÿ <  , y que + œ ,;  +  ,; œ ,;  <.

a b



a

b

13.7.2 . Dados los dos enteros + y , , quedan determinados unívocamente el cociente ; y el resto <, que satisfacen a + œ ,;  <ß

!Ÿ<,

. Suponiendo que sea + œ ,;  < œ ,;w 
a



b


MATEMÁTICA BASICA

70

Frecuentemente debemos considerar conjuntos de enteros, semejantes a á ,  'ß  $ß !ß $ß 'ß *ß á formados por todos los múltiplos de $ . Estos conjuntos tienen la propiedad de que la suma o diferencia de dos cualesquiera de ellos pertenece al conjunto. En general, un conjunto W de números enteros, se llama cerrado para al adición y cerrado para la sustracción, cuando W contiene la suma +  , y la diferencia +  , de dos enteros cualesquiera + y , de W . Todos los enteros pares ( positivos, negativos y cero) forman un conjunto cerrado para suma y sustracción. Más generalmente, el conjunto de todos los múltiplos B7 de un entero 7, es cerrado para la adición y sustración, pues B7 „ C7 œ B „ C 7 es múltiplo de 7. Ahora vamos a probar que estos conjuntos constituidos por los múltiplos de un entero son los únicos conjuntos de enteros que tienen dicha propiedad.

e

f

a b

13.7.3 . Todo conjunto no vacío de números enteros, cerrado para la adición y sustracción consiste del cero o contiene un número positivo mínimo del cual son múltiplos todos los demás.

a

b

. Sea W el conjunto y supongamos W Á F que contiene un elemento + Á !, por definición W contendrá a la diferencia +  + œ ! y por lo tanto la diferencia !  + œ  +. Luego W contiene al menos un número positivo + ó  +. El principio de buena ordenación nos dice que en W hay un mínimo positivo ,. El conjunto W debe contener todos los múltiplos de , en en efecto, procediendo por inducción se ve en primer lugar que contiene a , † " y seguidamente si está ,5 tiene que estar ,5  , œ , 5  " . Los múltiplos negativos tal como  ,8 œ !  ,8 también están en W por ser diferencia entre ! y 8,. Pero W no puede contener enteros no múltiplos de , , pues si hubiera uno digamos + no múltiplo de ,, estaría también en W el resto de la división de ambos, < œ +  ,; . Pero < no es negativo y es menos que ,, que es el mínimo entero positivo en W , luego debe ser < œ ! y + œ ,; .

a b



13.7.4 . Un entero . se llama máximo común divisor Ð7Þ-Þ.Ñ de dos enteros + y , , si es simultánemente divisor de + y ,, y además es múltiplo de cualquier otro divisor común. En el lenguaje objeto de la teoría de números, el 7Þ-Þ. debe cumplir las tres propiedades siguientes si .= 7Þ-Þ.Ö+ß , ×, .l+ • .l,ß y, -l+ • -l. Ê -l. Por ejemplo, $ y  $ son máximos comunes divisores de ' y *. De acuerdo con la definición, si hay varios 7Þ-Þ. de dos números, cada uno


MATEMÁTICA BASICA

71

de ellos debe dividir al otro, luego serán asociados y difieren sólo en el signo. Del par „ . de máximos comunes divisores de + y , el número positivo se indicará con el símbolo 7Þ-Þ.Ö+ß,× œ +ß, . Nótese que el calificativo "máximo" en la definición de 7Þ-Þ. no significa en principio que 7Þ-Þ. tenga mayor magnitud que cualquier otro divisor común -, sino que 7Þ-Þ. es el múltiplo de cualquier tal -.

a b

a

a

b

b

13.7.5 . Si dos enteros cualesquiera + Á !, , Á !, tienen un 7Þ-Þ. positivo +ß , , entonces éste puede expresarse como

a b

a+ß ,b œ =+  >,

=ß > − ™

Una expresión como = +  > , es llamada una "combinación lineal" con coeficientes enteros. casos

. Consideremos los números de la forma = +  > ,, para todos los

a= +  > ,b „ a= +  > ,b œ a= „ = b+  a> „ > b, "

"

#

#

"

#

"

#

Por lo tanto, el conjunto W de todos los enteros de la forma =+  >, es cerrado para la adición y sustracción, y por el teorema 13.7.3 estará constituido por los múltiplos de un número entero positivo . œ =+  >,. Por esta fórmula, es claro que todo - factor común de + y , debe ser un factor común de . . Además los enteros dados + œ " † +  ! † ,ß , œ ! † +  " † , pertenecen ambos a W , luego serán múltiplos del mínimo número . del conjunto W . En otras palabras, . es un divisor común al cual dividen todos los demás divisores comunes, luego . œ +ß , .

a b



Análogamente, el conjunto Q de todos los múltiplos comunes de + y , es cerrado para la adición y sustracción, su mínimo elemento positivo 7 es un múltiplo común que divide a todos los demás múltiplos comunes y se llama el mínimo común múltiplo 7Þ-Þ7 de + y ,.

a

b

13.7.6 . Dos enteros cualesquiera + y , tienen un mínimo común múltiplo 7Þ-Þ7Ö+ß ,× œ Ò+ß ,Ó, el cual es divisor de todos los múltiplos comunes, siendo él a su vez un múltiplo común. Para hallar explícitamente el 7Þ-Þ. de dos enteros + y ,ß se puede utilizar el llamado algoritmo de Euclides. Sean + y , enteros positivos, ya que un entero negativo puede reeplazarse por su asociado positivo sin alterar el 7Þ-Þ. (o sea 7Þ-. +ß , œ 7Þ-Þ.  +ß , ). El algoritmo de la división da

a b

a

b

+ œ ,;"  <" ß

+ Ÿ <"  ,

a"b


MATEMÁTICA BASICA

72

Cualquier entero que divida a los enteros + y ,, divide al resto <", recíprocamente, todo divisor común de , y <" es divisor de +, como resulta por " . Los divisores comunes del par +ß , son pues, los mismos que los del par ,ß <" así que +ß , œ ,ß <" . Esta reducción puede repetirse con , y <" , e iterar el proceso

ab

a b a b

, œ <" ;#  <# !  <#  < " <" œ <# ;$  <$ !  <$  <# ã ã <8# œ <8";8  < 8 !  < 8  ; 8" <8" œ <8;8"

a#b

Como el resto disminuye constantemente, habrá finalmente un resto ! como hemos indicado en la última igualdad. Este razonamiento nos dice que el 7Þ-Þ. buscado es

a+ß ,b œ a,ß < b œ a< ß < b œ â œ a< ß < b Pero la última igualdad de a#b muestra que < es divisor de < "

"

#

8"

8

así que el 7Þ-Þ. de ambos es el propio <8. El 7Þ-Þ. de dos enteros dados +ß , , es el último resto distinto de cero que se obtiene aplicándole el algoritmo de Euclides. El mismo algoritmo puede utilizarse para representar explícitamente al 7Þ-Þ. como combinación lineal =+  >, . Esto se consigue expresando los restos sucesivos <3 mediante + y , en esta forma: 8

a b a b a

8"

<" œ +  ,;" œ +   ; " , <# œ ,  ;# <" œ  ; # +  "  ; "; # , ã

b

La forma de estas igualdades, indica que puede obtenerse <8 como combinación lineal de + y , con coeficientes enteros = y > en cuya expresión intervienen los cocientes ;3 . La forma +ß , œ =+  >, del 7Þ-Þ. es de gran utilidad. Una consecuencia importante es que si un número primo divide a un producto de dos factores, debe dividir por lo menos a uno de ellos.

a b

13.7.7

. Si : es un numero primo, :l+, Ê :l+ ” :l,.

. Por definición de número primo, los únicos factores de : son „ " y „ :. Si la conclusión :l+ es falsa, los únicos divisores comunes de : y + son „ ", así que " es un 7Þ-Þ. de + y : , y por lo tanto, " œ =+  >: . Multiplicando por , resultará: , œ =+,  >:,

Los dos términos de la derecha son divisibles por : luego , será divisible por : , que es la segunda alternativa del enunciado. 


MATEMÁTICA BASICA

73

a b

Si +ß , œ " diremos que + y , son primos entre si. En otras palabras, dos enteros + y , son primos entre si, si no tienen divisores comunes salvo „ ". La demostración del teorema 13.7.7 prueba también la siguiente generalización 13.7.8

a b

. Si +ß - œ " y -l+, , entonces se debe tener -l,

De aquí resulta una consecuencia, relativa a un entero 7 que sea múltiplo de dos números primos entre si + y -. Pues el número 7 que es de la forma 7 œ +., es divisible por -, así que por el teorema 13.7.8, será -l. y 7 œ +. œ + -. w luego el producto +- divide a 7. Esto demuestra

a b

13.7.9

a b

. Supuesto que +ß - œ ", +l7 • -l7 Ê +-l7.

13.8

a"b Mediante el algoritmo de Euclides, calcular el 7Þ-Þ. de a+ba"%ß $&b a, ba""ß "& b a- ba")!ß #&# b a.b a#)($ß ''%$b a/ ba%"%)ß (')% b a0 ba"!!"ß ('&& b a#b Escribir aBß Cb en la forma =B  >C a=ß > son enterosb, en los tres primeros casos del ejercicio a"b a$b Demostrar que a!ß +b œ l+l para cualquier entero +Þ a%b Si +  !, demostrar que a+-ß +- b œ + a,ß - b a&b Demostrar que ,l- y l-l  ,ß implica - œ ! a'b a+b Demostrar que tres enteros cualesquiera, +ß ,ß -ß tienen un 7Þ-Þ. que puede expresarse en la forma =+  >,  ?a,b Demostrar que aa+ß ,bß -b œ a+ß a,ß - bb œ aa+ß - bß , b §14

.

: Todo entero distinto de cero puede expresarse como el producto de „ " por factores primos positivos. Esta expresión es única, salvo el orden en que los factores se consideren. Que todo entero + pueda escribirse como un tal producto, puede demostrarse descomponiéndolo sucesivamente en factores menores. Este proceso supone el segundo principio de inducción completa el cual enunciamos a continuación Principio de inducción- segunda forma : Sea : 8 una proposición condicional en la variable libre 8 −  si 3 : ! es verdadera y 33 : 8  " es verdadera cada vez que : 8 es verdadera ( es decir a8 −  : 8 Ê : 8  " ).

ab

ab a b aba b a ba a b a bb

ab


MATEMÁTICA BASICA

74

ab a ba a bb ab

Entonces : 8 es verdadera para todo número natural, es decir, a8 −  : 8 . Sea : + la proposición que dice: "+ puede descomponerse en factores como expresa el enunciado del teorema". Si + œ " ó si + es primo, : + es evidentemente cierta. Si + no es un número primo tendrá un divisor positivo ,, distinto de " y de +, así que + œ ,- con ,  +ß -  +. Pero, de acuerdo con el segundo principio de inducción, podemos suponer que : , y : - son verdaderas, así que , y - puede expresarse como producto de factores primos

ab

ab ab

, œ :" : #â:< ß - œ ; "; #â; = obteniéndose para + la expresión completa. + œ ,- œ :": #â: <; "; #â; =

que es la forma requerida. Para demostrar la unicidad, consideremos dos posibles descomposiciones en factores primos del entero +:

a b

a b

+ œ „ " :": #â: 7 œ „ " ; "; #â; 8 Como todos los números primos : 4 y ;4 son positivos, las unidades „ " de ambas descomposiciones han de ser iguales. El factor : " es un divisor de + œ „ ;" ;#â;8 , así que la aplicación del teorema 13.7.7 asegura que : " divide por lo menos a su factor ; 4 de este producto. Como :" divide a ;4 y los dos son primos, se deberá tener :" œ ;4 ordenando el producto para que ; 4 aparezca de primero y simplificando :" con ;4 queda :2 : 3 â:7 = ; '2 ;' 3 â; '8 donde los acentos indican los ;3 en el nuevo orden. Podemos continuar

este proceso hasta que en uno de los dos miembros de la igualdad no quede ningún factor. Tampoco podrán quedar en el otro, así 7 œ 8. Hemos pues identificado las dos descomposiciones, sin más que reordenar los factores del segundo miembro, como asegurábamos en el teorema de unicidad. En una descomposición puede aparecer un número primo : varias veces. Agrupando los factores, podemos escribir + œ „ :"/" : /## â:8/8 , asiendo !  : "  : #  â  : 8 El teorema de unicidad demuestra, que el exponente /3 , corresponde al factor primo :3 , queda determinado de modo único para cada entero +.

a

b



14.1 ". Describir un proceso sistemático para hallar el 7Þ-Þ. y el 7Þ-Þ7 de dos

enteros, de los que se conoce la descomposición en factores primos, ilustrándolo con + œ #"'ß , œ $'! y + œ "%%ß , œ '#& ( Sugerencia: Es conveniente usar los exponentes ! para los factores primos que dividen a uno de los números + o ,, pero no al otro)


ab ab ab ab ab ll

MATEMÁTICA BASICA

75

#. Si Z: + indica el exponente de la más alta potencia del primo : divisor de +ß demostrar las fórmulas " Z: +  ,  minÖZ: + ß Z : , × # Z: +ß , œ min ÖZ : + ß Z: , × ß œ 7Þ-Þ. $ Z : + † , œ Z: +  Z: , % Z: Ò+ß ,Ó œ maxÖZ : + ß Z : , ×Þ Òß Ó œ 7Þ-Þ7 $Þ Si + œ #Z: + , para Z: como en el ejercicio 2, demostrar que +, œ + † , y +  , Ÿ max + ß , %. Mediante las fórmulas del ejercicio #, demostrar que para números enteros positivos + y ,, +, œ +ß , Ò+ß ,Ó. &. Demostrar que el número de primos es infinito Euclídes (Sugerencia: Si :" ß :#ß á ß : 8 son 8 primos, el producto : " † : #â: 8  " no es divisible por

a b ab ab aa bb a b a b aa b a b ab ab a abb ab ab a l l ll ll l l a b

b

b

al l l lb a

b

ninguno de estos primos) 'Þ Si un producto 78 positivo es un cuadrado y si 7ß 8 œ ", demostrar que 7 y 8 son ambos cuadrados.

a b

§15 Al numerar las horas del día, se acostumbra a contar sólo hasta "# y volver a empezar. Esta sencilla idea de prescindir de los múltiplos de un número fijo, "# en este caso, es la base de la noción aritmética de congruencias. Diremos que dos enteros son congruentes "módulo "# " si difieren en un entero múltiplo de "#. Por ejemplo ( y "* son congruentes y se escribe

a

b

( ´ "* 79. "#

a b Se puede decir igualmente que + ´ ,a79.Þ7bß cuando la diferencia +  , 15.1

a

b

. + ´ , 79.Þ7 significa que 7l +  , Þ

pertenece al conjunto de los números múltiplos de 7. Todavía cabe otra definición, basada en que el resto de la división de + por 7 es único. Podemos, pues establecer lo que sigue: 15.2 . La condición necesaria y suficiente para que dos enteros + y , sean congruentes módulo 7, es que den el mismo resto al dividirlos por 7.

a

b

a

b

. Como + ´ , 79.Þ7 , si y sólo si + ´ , 79.Þ  7 bastará demostrar este teorema en el caso 7  ! . Supongamos primero que


a

MATEMÁTICA BASICA

76

b

+ ´ , 79.Þ7 , entonces +  , œ -7 para algún entero - . Dividiendo , por 7, se obtendrá un resto <, dado por ,  7; œ <ß ! Ÿ <  7. entonces + œ ,  -7 œ ;7  <  -7 œ ;  - 7  < Esta ecuación indica que < es el resto de + al dividirlo por 7; sea, que + y , dan el mismo resto al dividirlos por 7.

a

b

a b

Recíprocamente, supongamos que el resto es igual y que por ende + œ 7;  <ß , œ 7; w  < En este caso +  , œ ;  ; w 7 Í +  , l7, así que + ´ , 7.Þ7

a



b

a b

a

b

La relación de congruencia para un módulo fijo 7 tiene para enteros cualesquiera +ß ,ß - las siguientes propiedades que recuerdan propiedades análogas de la igualdad Reflexiva: + ´ + 79.Þ7 Simétrica: + ´ , 79.Þ7 Ê , ´ + 79.Þ7 Transitiva: + ´ , 79.Þ7 • , ´ - 79.Þ7 Ê + ´ - 79.Þ7 Cada una de estas leyes se demuestra con la definición de congruencia. La ley de simetría así dada, requiere simplemente que

a a

a

b b

a b

b

a

a

b

b

a

a b

b

7l +  , Ê 7l ,  + La hipótesis es +  , œ .7 y la conclusión 7l ,  + ß ,  + œ  . 7.

a b

a b

puesto que

La relación de congruencia para un módulo fijo tiene otra propiedad que también recuerda a las de la igualdad; las sumas y productos de enteros congruentes son también congruentes. 15.3

a a

Si

b b a b a ba

para todo entero + ´ , 79.Þ7 +  B ´ ,  B 79.Þ7 ß +B ´ ,B 79.Þ7 ß  + ´  , 79.Þ7 .

a

.

b

resulta:

B

b

También aquí la prueba se reduce a recordar la definición. Así la hipótesis es que +  , œ 57 para algún 5; de aquí podemos obtener las conclusiones en la forma

a

b

a

7l +  B  ,  B ß

b

a

7l +B  ,B ß

7l  +  ,

b

La ley de simplificación, válida en las igualdades, no lo es en las congruencias. Así # † ( ´ # † " 79.Þ"# , pero no es ( ´ " 79.Þ"# . Esto sucede por ser # divisor del módulo, así que la diferencia # † (  # será divisible por "# en tanto se conserve el factor # . Puede enunciarse la ley de simplificación algo modificada.

a

15.4

b

a

b

. Si - es un número primo con 7 -+ ´ -, 79.Þ7 Ê + ´ , 79.Þ7 .

a

b

a

b

a

b

. De acuerdo con la definición, la hipótesis nos dice que 7l +-  +, , o sea, 7l- +  , y por ser 7 primo con - usando el teorema 13.7.8 resulta que 7l +  , , esto es + ´ , 79.Þ7 .

a b a b

a

b


MATEMÁTICA BASICA

77



El estudio de las ecuaciones lineales puede extenderse a las congruencias

a

b

15.5 . Si - es primo con 7, la congruencia -B ´ , 79.Þ7 tiene una solución entera B. Dos soluciones cualesquiera B" y B# son congruentes módulo 7.

a b

. Por hipótesis, -ß 7 œ ", luego " œ =-  >7 para dos enteros convenientes = y >. Multiplicando por , tenemos , œ ,=-  ,>7

Esto último se puede escribir así

ab

a ba

b

,  ,=- œ ,> 7 Í , ´ ,= - 79.Þ7 . Esto expresa que B œ ,= es la solución de , ´ -B 79.Þ7 . Por otra parte, dos soluciones B" y B# de esta congruencia se tiene , ´ -B" 79.Þ7 • , ´ -B# 79.Þ7

a

b

a

a

b

b

por ser la relación de congruencia simétrica y transitiva se tiene que

a

b

-B" ´ -B# 79.Þ7 Como - es primo con 7, se puede simplificar B" ´ B# 79.Þ7 . 

a

b

a15.4b

y resulta

Un caso particular importante se presenta cuando el módulo 7 es primo, entonces todo entero no divisible por 7 es primo con él. Esto nos demuestra el siguiente resultado.

a

b

a

b

Î ! 79.Þ: entonces -B ´ , 79.Þ: tiene 15.6 . Si : es primo y - ´ solución única módulo : .

Consideremos ahora congruencias simultáneas. 15.7 . Si los módulos 7" y 7# son primos entre si, congruencias

a

b

B ´ ," 79.Þ7" ß tienen una solución común, B. congruentes módulo 7" 7# .

a

B ´ , # 79.Þ7#

las

b

Dos soluciones cualesquiera son

. La primera congruencia tiene como solución ," ; la solución más general es B œ ,"  C7" para algún entero C . Esta debe verificar la segunda congruencia o

a

,"  C7" ´ ,# 79.Þ7#

a

ba

b

C7" ´ ,#  , " 79.Þ7#

b


MATEMÁTICA BASICA

78

como 7" y 7# son primos entre si, podemos resolver esta congruencia por el método de (15.5). Supongamos ahora que B y Bw son dos soluciones del sistema, se tendrá Bw  B ´ ! 79.Þ7" y Bw  B ´ ! 79.Þ7 # Como 7" y 7# son primos entre si, la diferencia Bw  B es divisible por 7" 7# . Así que B ´ Bw 7"7# . El mismo método de resolución se aplica a dos o más congruencias de la forma +3 B ´ ,3 79.Þ73 con 7Þ-Þ.Ö+ 3ß 7 3× œ " y con los módulos primos entre si dos a dos.

a

b

a

a

a

b

b

b

15.8 EJERCICIOS. "Þ Demuestre las siguientes propiedades de la divisibilidad + 8l8 a8 − ™ , .l8 • 8l7 implica .l7à .ß 8ß 7 − ™ - .l8 • .l7 Ê .l +8  ,7 à .ß 8ß 7ß +Þ, − ™ . .l8 Ê +.l+8à +ß .ß 8 − ™ / +.l+8 • + Á !ß Ê ß .l8 0 "l8 a8 − ™ 1 8l! a8 − ™ 2 !l8 Ê 8 œ ! 3 .l8 • 8 Á ! Ê l.l Ÿ l8l 4 .l8 • 8l. Ê l.l œ l8l 5 .l8 • . Á ! Ê 8. l8 En lo que sigue las letras +ß,ß-ßáBßCßD representan números enteros.

ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab

a

b

ˆ‰

Probar que las siguientes afirmaciones son verdaderas # Si +ß , œ " • -l+ • .l,ß entonces -ß . Ñ œ " ( ß œ 7Þ-Þ. ) $ Si +ß , œ +ß - œ ". entonces +ß ,- œ " % Si +ß , œ " entonces +  ,ß +  , es ó "ß ó # & Si +ß , œ " y si .l +  , , entonces +ß . œ ,ß . œ " ' Si +ß , œ " entonces +  ,ß + #  +,  , # es ó ", ó $ . ( Si +ß , œ " entonces + 8ß , 5 œ " a8  "ß a5  " . ) Un número racional +, con +ß , Ó œ " es llamada una fracción reductible. Si la suma de dos fracciones reductibles es un número entero, digamos +,  .- œ 8, probar que l+l œ l.l. * Para cada una de las afirmaciones siguientes dar una demostración ó hallar un contra-ejemplo + Si ,# l8 y +# l8 • +# Ÿ , #, entonces +l, . , Si ,# es el cuadrado más grande que es divisor de 8, entonces

ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab

a a a a a a

b a b ab b a b a b b a b b a b a b a b b aˆ ‰ b b a b

+#l8 Ê +l,


MATEMÁTICA BASICA

79

§16 Desde la más remota antigüedad, el hombre ha distinguido los enteros "pares" #ß %ß 'ß )ß á ß de los "impares" "ß $ß &ß (ß á . Las siguientes leyes de cálculo entre pares e impares son también conocidas: par+par=impa+impar=par, par+impar=impar par † par=par † impar=par, impar † impar=impar Estas igualdades pueden considerarse, no como teorema relativo a los enteros ordinarios, sino como definición de dos operaciones "adición" y "multiplicación", en una nueva álgebra de los dos elementos "par" e "impar" Esta álgebra puede también considerarse como un álgebra de restos módulo #. Los enteros pares son aquellos que dividos por # dan resto !, mientras que los impares dan resto ". Estos dos restos, pueden sumarse y multiplicarse del modo ordinario, cuidando luego de reemplazar el resultado por su resto módulo #. Esto nos da una tabla !!œ ""œ ! !†!œ !†"œ!

!"œ " "†"œ "

que en esencia es la misma tabla para pares e impares. Inversamente, puede decirse que la igualdad "  " œ ! es un nuevo modo de escribir la congruencia "  " ´ ! 79.Þ# . Un álgebra análoga N8 ß de 8 elementos, resultará partiendo de las congruencias módulo 8. En la última sección §15 hemos visto que la congruencia tiene las propiedades características de la igualdad, reflexiva, simétrica y transitiva, y las congruencias pueden ser multiplicadas y sumadas, como las igualdades. En efecto, el teorema 15.4 muestra que si + ´ , 79.Þ8 y - ´ . 79.Þ8 resulta +  - ´ ,  . 79.Þ8 y +- ´ ,. 79.Þ8 " El álgebra N8 de los elementos módulo 8 se obtiene reemplazando la congruencia módulo 8 por la igualdad. Según " la suma y el producto de dos enteros están unívocamente determinados con este nuevo significado de igualdad. Cualquier entero es igual a uno de los 8 restantes posibles

a

b

a b

a

a

b

b

a

b a

b

ab

ab

!ß"ß#ßáß8"

Dos de estos restos pueden sumarse (o multiplicarse) en la forma habitual reduciendo luego el resultado a su resto módulo 8, del que viene a ser "igual" Las tablas para el caso 8 œ & son las siguientes


MATEMÁTICA BASICA

+ 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

1 2 3 4 0

2 3 4 0 1

3 4 0 1 2

4 0 1 2 3

80

.

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

0 0 0 0 0

0 1 2 3 4

0 2 4 1 3

0 3 1 4 2

0 4 3 2 1

16.1 . En el sistema N8 de enteros módulo 8, son válidas para la adición y multiplicación todas las propiedades enumeradas a continuación: 3 ØN8 ß adiciónÙ grupo abeliano 33 B † C † D œ B † C † D para todo Bß Cß D − N 8 para todo Bß C − N 8 33 B † C œ C † B 3@ Existe " − N8 tal que B † " œ " † B œ B para todo B − N 8 @ B † C  D œ B † C  B † D para todo Bß Cß D − N 8 y no cumple la ley de simplificación ‡ , es de notar que se entenderá B œ C si y sólo si B ´ C 79.Þ8 . . ‡ para la multiplicación módulo 8 .

ab a ba b a b ab ab ab a b

a

ab

b

ab

. Acabamos de ver que dos elementos cualesquiera definen unívocamente su suma y su producto. Consideremos la ley distributiva. Cómo +Ð,  -Ñ œ +,  +-

para enteros cualesquiera se debe tener

a b a

ba

+ ,  - ´ +,  +- 79.Þ8

b

que es la ley distributiva para nuestro nuevo concepto de igualdad en N 8. El mismo tipo de razonamiento se aplica a las otras leyes, que se expresan mediante identidades entre sumas y elementos negativos. Los primeros miembros de cada identidad son congruentes módulo 8 con los segundos miembros. Por lo cual las correspondientes expresiones en N 8 son iguales. El único postulado que no se conserva inalterado es la ley de simplificación del producto. Esta ley equivale a asegurar la no existencia de divisores de ! en N8 , así que +, œ ! deberá implicar + œ !ß ó, , œ !. Pero estas igualdades se traducen en N 8 por congruencias entre enteros, de modo que tal ley equivaldría a decir: Si +, ´ ! 79.Þ8 entonces + ´ ! 79.Þ8 ó , ´ ! 79.Þ8 Esto, a su vez equivale a decir que 8l+, Ê 8l+ ,ó, 8l,

a

b

a

b

a

b


MATEMÁTICA BASICA

81

Pero esta propiedad es cierta si 8 es primo. Si 8 no es primo, admite una descomposición 8 œ +, sin que 8l+ ni 8l, ( como ' œ $ † #ß 'l$ † # sin, 'l$ ni 'l#). Luego, en este caso N8 no satisface la ley de simplificación. 16.2 Para que la ley de simplificación de la multiplicación sea válida en N8 , es necesario y suficiente que 8 sea un número primo. Hay otro modo más sistemático para construir el álgebra de los enteros módulo 8Þ El artificio de reemplazar congruencia por igualdad significa, esencialmente, que todos los enteros que dan el mismo resto en su división por 8 pueden agruparse y cada grupo viene a ser un "número" nuevo. Cada uno de tales grupos se llama una "clase residual". Para el módulo & hay cinco clases residuales, corresponientes a los posibles restos !ß

"ß

#ß

$ß

%

algunas de estas clases son:

e e e

f f f

•" œ á ß  "%ß  *ß  %ß "ß 'ß ""ß "'á •# œ á ß  "$ß  )ß  $ß #ß (ß "#ß "(ß á •$ œ á ß  "#ß  (ß  #ß $ß )ß "$ß ")ß á

Para cada módulo 8 la clase residual <8 determinada por un resto < con ! Ÿ <  8, está formada por todos los enteros +ß que dan el mismo resto < en su división por 8. Todos los enteros perteneciente a la misma clase, son congruentes módulo 8. Hay 8 clases residuales módulo 8, a saber

a b

!8 ß "8ß # 8 ß á ß 8  " 8 Las operaciones algebráicas en N 8 pueden efectuarse directamente sobre estas clases. Supongamos que la suma de dos restos < y = dan en N 8 un resto >, o sea <  = ´ > 79.Þ8 El mismo resultado se obtendria si en vez de tomar los restos < y =, tomásemos otros elementos en las clases correspondientes. Si + está en <8 y , en =8 , entonces +  , está en la clase >8 , que contiene a su suma >,

pues

a

b

a

b

a

b

a

b

+ ´ < 79.Þ8 • , ´ = 79.Þ8 Ê +  , ´ <  = ´ > 79.Þ8 En general el álgebra N 8 puede definirse como el álgebra de las clases

residuales; para sumar (ó multiplicar) dos clases se eligen dos elementos + y , representativos de estas clases y se busca la clase residual que contiene la suma (ó al producto) de estos elementos representativos. Si +8 indica la clase residual que contiene a +, ésta puede formularse así: +  , 8 œ +8  , 8 , +, 8 œ +8,8 Por ejemplo, la suma "&  # & œ $& de las clases residuales escritas antes puede hallarse sumando dos elementos elegidos como representantes de

a b

a b


MATEMÁTICA BASICA

82

a b a b  *  a  $b œ  "#ß ""  ( œ ")ß  "%  "( œ $

la mismas, '   "$ por ejemplo, obteniéndose así  ( , que está en la clase $& . Otras elecciones como darán siempre la misma suma $&.

Las clases residuales que hemos definido mediante los restos, pueden definirse también directamente mediante las congruencias según el método que será tratado por los lectores interesados. 16.2

a"b Resolver las siguientes congruencias a+b $B œ #a79.Þ&b a, b #B ´ % a79.Þ"! b a-b #%$B  "( ´ "!"a79.Þ(#& b a. b %B  $ ´ % a79.Þ& b a/b 'B  $ ´ %a79.Þ"!b a0 b 'B  $ ´ " a79.Þ"! b a#b Demostrar que la relación + ´ ,a79.Þ7b es reflexiva y transitiva. a$b Demostrar directamente que + ´ ,a79.Þ7b y - ´ . a79.Þ7b implica +  - ´ ,  . a79.Þ7b y +- ´ ,. a79.Þ7 b a%b +Ñ Demostrar que la congruencia +B ´ ,a79.Þ7b tiene solución si y sólo si, a+ß 7bl, . [aß b œ 7Þ-Þ. ] ,Ñ Demostrar que si a+ß 7bl, , la congruencia tiene exactamente a+ß 7 b soluciones incongruentes módulo 7. [Sugerencia: Dividir +ß , y 7 por a+ß 7b.] a&b Si 7 es entero, mostrar que 7 ´ ! ó "a79.Þ7b a'b Demostrar que B ´ $&a79.Þ"!!b no tiene solución. a(b Demostrar que si B ´ 8a79.Þ'&b tiene una solución, también tiene solución B ´ '&  8a79.Þ'&b. Generalizar este resultado. a)b Si B es un número impar no divisible por $, mostrar que B ´ "a79.Þ#%b a*b Resolver las congruencias simultanes: +Ñ B ´ #a79.Þ& b $B ´ " a79.Þ) b ,Ñ $B ´ #a79.Þ& b #B ´ " a79.Þ$ b a"!b En una isla desierta, cinco hombres y un mono recogen cocos #

#

#

#

#

durante el día, y después duermen. El primer hombre se despierta y decide tomar su parte. Divide los cocos en cinco grupos iguales, y le sobra un coco, que lo da al mono. Después toma su parte y vuelve a dormirse. Entonces despierta el segundo hombre, y haciendo un montón con los cocos que quedaron, lo divide en cinco partes iguales, y le sobra un coco, que da al mono. Sucesivamente ocurre lo mismo con cada uno de los tres hombres restantes. Encontrar el número mínimo de cocos que formaban el montón original. (Sugerencia: Añadir 4 cocos). "" Construir las tablas de adición y multiplicación para N$ y N%. "# Calcular en N( : $ † % † &ß $ † % † & ß $ † %  & ß $ † %  $ † & "$ Hallar todos lo divisores de cero en N#' y N#% .

a b a b a b

a b

a b

a b


MATEMÁTICA BASICA

83

a"%b Determinar exactamente el conjunto de sumas B  C y productos BC ,

para B en %)ß C en % ) ¿Cómo están relacionados los conjuntos % )  % ) y %) † %) ? "& Demostrar la ley asociativa para la adición de clases residuales, como en el caso de las congruencias módulo 8.

a b

§17.

.

Hemos llegado a nuestro último parágrafo, dedicado al estudio del sistema de los números complejos, el cual presentaremos, siguiendo el formato ideado por el matemático irlandés Sir William R. Hamilton, en la forma más completa posible. ‚œ

eaB ß B b − d ‚ dÎB ß B "

#

"

#

son reales

f

Se define en ‚ la adición y la multiplcación en la forma

a b a b

a b a b a a ba b a

b

 À ‚ ‚ ‚ ⎯→ ‚ Bß C È B  C œ B"ß B#  C "ß C # œ B "  C "ß B #  C # • À ‚ ‚ ‚ ⎯→ ‚ Bß C È B•C œ B"ß B# • C "ß C # œ B "C "  B #C #ß B "C #  B #C "

b

Además en ‚ se define la igualdad así

a

b a b

B − ‚ß C − ‚, B œ C Í B"ß B# œ C "ß C # Í B " œ C" • B # œ C #

a

b

Tomando B − ‚, entonces B œ B"ß B# en esta representación B" es llamado la parte real de B B# es llamado la parte imaginaria de B

17.1 . Con la suma y multiplicación así definida en ‚, entonces se tiene que ‚ es un cuerpo. Llamado el cuerpo de los números complejos. . 3 Ø‚ß  Ù es un grupo abeliano, en efecto G1. B  C  D œ B"  C"ß B#  C#  D"ß D # œ B "  C "  D "ß B #  C #  D #

ab a b a b a b aa b a b b œ aB  aC  D bß B  aC  D bb œ aB ß B b  aC  D ß C  D b œ B  caC ß C b  aD ß D bd œ B  aC  D b G2. B  C œ aB ß B b  aC ß C b œ aB  C ß B  C b œ aC  B ß C  B b œ aC ß C b  aB  B b œ C  B G3. +  B œ + Í a+ ß + b  aB ß B b œ a+  B ß +  B b œ a+ ß + b "

"

"

"

#

#

"

"

#

"

"

#

#

"

#

#

#

"

#

"

"

#

#

#

#

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"

#

#

"

"

#

#

"

#

"

por la igualdad entre parejas se tiene

"

#

#

"

#

#


MATEMÁTICA BASICA

84

+"  B" œ +" • + #  B # œ +#

Pero en d estas ecuaciones tienen por solución única B" œ B# œ !

a b

Luego B œ !ß ! es el módulo aditivo G4. +  B œ ! Í +"ß +#  B "ß B # œ !ß ! Í + "  B "ß + #  B # œ !ß ! por la igualdad entre parejas se recibe

a b a

b a b a

b a b

+"  B " œ ! • + #  B # œ ! Cuyas soluciones en d son B" œ  + " • B# œ  + # Luego B œ  +" ß  + # œ  + teniéndose la invertiva de la adición 33 Ø‚,•Ù es también un grupo abeliano, efectivamente se tiene que: G1. B † C † D œ B"ß B# † C"ß C# † D "ß D# œ B "C "  B #C #ß B "C #  B #C " D ", D # œ B" C"  B #C# D "  B "C #  B #C " D #ß B "C "  B #C # D #  B "C #  B #C " D " œ B" C" D"  B #C #D "  B "C #D #  B #C "D #ß B "C "D #  B #C #D #  B "C #D "  B #C "D " "

a

b ab a b ca b a bd a b a ba b aa b a b a b a bb a b ab Por otra parte tenemos BaCD b œ aB ß B bcaC ß C b † aD ß D bd œ aB ß B baC D  C D ß C D  C D b œ aB aC D  C D b  B aC D  C D bß B aC D  C D b  B aC D  C D bb œ aB C D  B C D  B C D  B C D ß B C D  B C D  B C D  B C D b a# b comparando a"b y a#b, y usando la definición de igualdad se concluye que aB † Cb † D œ B † aC † D b G2. B † C œ aB ß B b † aC ß C b œ aB C  B C ß B C  B C b œ œ aC B  C B ß C B  C B b œ aC ß C b † aB ß B b œ C † B "

"

" "

" " "

#

"

#

"

# #

#

" # #

"

"

" #

# "

# " #

#

"

" " "

#

# #

#

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#

"

# # "

#

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# "

" #

" "

" #

# #

# "

" " #

#

" # "

# #

" #

" #

# "

" "

# " "

# #

# # #

# "

#

teniéndose la abelianidad del producto. G3. Cálculo del módulo multiplicativo. Suponiendo + Á !;

a ba b a b lo cual es completamente equivalente a a+ B  + B ß + B  + B b œ a+ ß + b + † B œ + Í +"ß +# B "ß B# œ + "ß + # " "

# #

" #

# "

"

#

de donde se desprende el siguiente sistema simultáneo de ecuaciones lineales +" B"  +# B# œ + " +" B#  +# B" œ + #

el cual resolvemos por el método de eliminación entonces

+" +# B"  +## B# œ + " +#  + " +# B"  + "# B# œ  + " +#

a

b

- +"#  + ## B# œ ! como +#"  +## Á !, pues + Á !, en general se tiene que B# œ !Þ Ahora +"# B"  +" +#B# œ + #" +## B"  +" +#B# œ + ##

entonces recibimos

a+  + bB œ +  + # "

# #

"

# "

# #

Ê B" œ "


MATEMÁTICA BASICA

85

a b

así B œ "ß ! es el módulo multiplicativo. G4. Dado + Á ! calculemos su inverso multiplicativo;

a b a ba b a b lo cual podemos también escribir así a+ B  + B ß + B  + B b=a"ß !b + † B œ "ß ! Í + "ß +# B "ß B # œ "ß ! " "

# #

" #

# "

de la definición de igualdad, recibimos el siguiente sistema simultáneo de ecuaciones +" B"  +#B# œ " +" B#  +# B" œ !

usando el método de eliminación tenemos de donde se tiene

+"# B"  +" +#B# œ +" +## B"  +" +#B# œ !

a+  + bB œ + # "

y por otra parte

# #

B# œ 

así

"

+# +" B"

+" +"# +##

Í B" œ

"

+# +"# +"#

œ 

‹ œ a+ ß + b œ + a333b Se tiene la ley distributiva, en efecto BaC  D b œ aB ß B bcaC ß C b  aD ß D bd œ aB ß B baC  D ß C  D b œ aB aC  D b  B aC  D bß B aC  D b  B aC  D bb œ aB C  B D  B C  B D ß B C  B D  B C  B D b Ahora, por otro lado BC  BD œ aB ß B baC ß C b  aB ß B baD ß D b œ œ aB C  B C ß B C  B C b  aB D  B D ß B D  B D b œ aB C  B C  B D  B D ß B C  B C  B D  B D b De la definición de igualdad se sigue que BaC  D b œ BC  BD . B" œ

"

"

" "

"

#

"

"

" "

# #

" "

# #

+" ß +"# +##

#

#

" " "

Š

+# +#" +#"

"

#

#

# #

#



#

#

" #

#

#

" "

# #

" #

#

#

#

" #

"

# "

" "

"

"

# #

"

"

"

"

#

" #

"

"

"

"

#

#

"

# "

# "

" #

# "

" #

# "

#

# #

# "



17.2 Vamos a generalizar el concepto de valor absoluto dado para los números reales

a b lBl œ È B  B

17.2.1 . Si B œ B" ß B# , entonces definimos el módulo o valor absoluto de B, como el número real no negativo lBl dado por # "

17.2.2 propiedades

# #

. El valor absoluto así definido cumple las siguientes


MATEMÁTICA BASICA

86

a+b la!ß !bl œ !, y lBl  ! si B Á ! a,b lBCl œ lBllCl para todo Bß C − a-b ¹ ¹ œ si C Á ! a.b laB ß !bl œ lB l . Las igualdades a+b y a. b son inmediatas Para demostrar a,b escribimos B œ aB ß B b, C œ aC ß C b así que BC œ aB C  B C ß B C  B C b obteniendo lBCl œ aB C  B C b  aB C  B C b œ B C  B C  B C  B C œ aB  B baC  C b œ lBl lCl La ecuación a- b puede deducirse de a, b escribiéndola de la forma lBl œ lCl¹ ¹ ‚

lBl lCl

B C

"

"

"

" "

#

# # " " #

#

# #

# # # # # " #

" " # # # #

#

" #

# "

" # # # # "

# " # "

"

#

#

# #

# "

# #

B C

Geométricamente, lBl representa la longitud del segmento que une el origen con el punto B. Más generalmente, lB  Cl es la distancia entre los puntos B y C colocados en un plano cartesiano. 

17.2.3 . Si + − d entonces + puede considerarse como un número complejo imponiendo la identificación

a b

+ œ +ß !

en esta forma d © ‚, diciéndose que los reales quedan encajados dentro de los complejos. 17.2.4 y !ß  "

a

a

b

a b

. La ecuación B# œ  "ß ! œ  " tiene por solución a !ß "

b

a

b

. Efectivamente, supongamos que B œ B" ß B# y que

a ba b a b Por la definición de multiplicación se recibe aB  B ß #B B b œ a  "ß !b #

B œ B" ß B# B"ß B# œ  " œ  "ß ! # "

# #

" #

de donde se desprende el siguiente sistema cuadrático B#"  B ## œ  " #B" B# œ !

la segunda de estas dos ecuaciones afirma que ó B" œ ! B# œ ! Si B" œ ! en la primera ecuación se tiene B## œ " Í B# œ „ "

en este caso se tendría que ó B œ !ß " B œ !ß  " que son las dos soluciones deseadas.

a b

a

b


MATEMÁTICA BASICA

87

Si B# œ !, entonces de la primera ecuación tendríamos B#" œ  "

como B" − d , esta ecuación no tiene solución. 

a b

17.2.6 . Es universalmente denotado el número complejo !ß" ß solución de B# œ  ", con la letra 3, así 3 œ !ß " . En esta forma si B − ‚ se sigue de 17.2.4 que

a b

a b a b a b

a ba b

B œ B" ß B# œ B"ß !  !ß B # œ B "  B #ß ! !ß " B œ B"  B# 3

que es la forma clásica para un número complejo. En esta forma si B − ‚ ( se dice si B es un número complejo ) entonces

a b

B œ +ß , œ +  3, + es llamado la parte real y se nota + œ V/B , se le llama la parte imaginaria y se le nota , œ \ 7 B Una primera operación que se define en ‚ß es llamada

la

cual consiste en cambiarle el signo a la parte imaginaria , es decir, -984 À ‚ ⎯→ ‚ D œ +  3, È D œ +  3,

Son propiedades de la conjugación las siguientes: 1. D „ A œ D „ A 2. D † A œ D † A 3. D œ D 4. AD œ AD 5. V/D œ DD # DD 6. \ 7 D œ #3

ˆ‰

17.2.7 Si B y C son números complejos, tenemos lB  Cl Ÿ lBl  lCl

. Como no contamos con la desigualdad de Cauchy-Schwarz, procedemos en la siguiente forma: Sean Bß C − ‚ entonces B œ B"ß B# • C œ C "ß C # con B "ß B #ß C "ß C # − d entonces B" C#  B#C" − d por los postulados de d se sigue que

a

de donde

b

aB C  B C b  ! " #

# "

#

B#" C##  #B"C "B# C #  B ##C "#  ! Í #B" B# C" C# Ÿ B #" C##  B ##C"#

a b


MATEMÁTICA BASICA

88

Í B#" C"#  #B"B# C" C #  B ##C ## Ÿ B #"C "#  B #"C ##  B ##C "#  B ##C ## Í B" C"  B#C# # Ÿ B#"  B## C "#  C##

a

b a ba b Tomando raiz cuadrada a los dos lados tenemos B C  B C Ÿ È aB  B baC  C b Í #aB C  B C b Ÿ #ˆ È aB  B baC  C b‰ sumando cantidades iguales la desigualdad se mantiene B  B  #aB C  B C b  C  C Ÿ B  B  #ˆ È aB  B baC  C b‰  C  C " "

# "

# #

" "

# "

# #

" "

# "

# #

# #

# " # "

# #

# #

# "

# # # #

# #

# "

# "

# #

# #

# "

# #

# "

# #

Esta desigualdad la podemos transformar en la forma equivalente siguiente

aB  #B C  C b  aB  #B C  C b Ÿ Ÿ ˆÈB  B ‰  #ˆ ÈaB  B baC  C b‰  ˆÈ C C ‰ Í aB  C b  aB  C b Ÿ ˆÈB  B  È C  C ‰ Í kaB  C ß B  C bk Ÿ al aB ß B bl  l aC ß C bl b # "

# " " " # # # " # # " " "

"

#

# #

#

#

#

#

# " #

# # # "

# # # #

# "

"

#

# # # #

# "

# "

"

#

#

# # #

# # #

Tomando raiz cuadrada llegamos a la desigualdad deseada lB  Cl Ÿ lBl  lCl

Esta desigualdad es conocida como la desigualdad triangular 

17.3 Todavía no hemos definido una relación de la forma B  C si B y C son números complejos arbitrarios, por la razón de que es imposible dar una definición de  para números complejos que posea todas las propiedades expresadas por los axiomas O1, O2, AO1, y AO2 dadas en 9.5. Para justificarlo, supongamos que fuera posible definir una relación de orden  que cumpliera los axiomas O1,O2,AO1, y AO2. Entonces, puesto que 3 Á !, tendríamos, o bien ó 3! 3! según el axioma de tricotomia. Supongamos 3  !. Tomando B œ C œ 3 y según AO2 tendríamos 3#  ! pero 3# œ  ", así  "  !, sumando " a los dos miembros llegaríamos a que !  ", lo cual es contradictorio. Por lo tanto el supuesto 3  ! nos

lleva a una contradicción. Un razonamiento parecido demuestra que no podemos tomar 3  !. Por lo tanto, los números complejos no pueden ser ordenados de manera que los axiomas O1, O2, AO1 y AO2 se satisfagan. 17.4

a

b

La exponencial /B B − d es dada por la serie


MATEMÁTICA BASICA

$

%

89

8

/B œ "  B  "# B#  B$x  B%x  â  B8x  â Queremos ahora definir /D , cuando D es un número complejo. Vamos a

hacerlo de manera que las propiedades principales de la función exponencial real se conserven. Las citadas propiedades para B − d vienen dadas por la ley de exponentes /B" /B# œ / B" B#

y por el hecho de que

/! œ "

Daremos una definición de /D para D complejo que conserve tales propiedades y que se reduzca a la exponencial ordinaria cuando D es real. Si escribimos D œ B  3C Bß C − d , con objeto de que se mantenga la ley de exponentes, es necesario que sea

a

b

/B3C œ / B/ 3C

Queda por definir lo que significa /3C. 17.4.1 complejo

.

Si D œ B  3C, definimos /D œ /B3C como el número

a

b

/D œ /B cos C  3 sin C .

Tal definición coincide claramente con la función exponencial ordinaria cuando D es real ( esto es, C œ !). Tenemos ahora que la ley de exponentes se cumple. 17.4.2 verifica

. Si D" œ B"  3C" • D # œ B#  3C # son números complejos, se /D" D# œ /D" /D#

a œ/ a

b b

. /D" œ /B"

cos C"  3 sin C " B# cos C#  3 sin C # / D# D" D# B" B# / / œ / / cos C " cos C #  sin C " sinC #  3 cos C " sinC #  sin C " sin C #

c

Ahora bien: / / œ /

a

bd

, puesto que B" y B# son reales. Así mismo, cos C" cos C#  sin C"sinC# =cos C "  C # B" B#

B" B#

a b y C C  C C œ aC  C b y por consiguiente c aC  C b  3 aC  C bd œ / / / œ/ cos

" sin #

D" D#

sin

B" +B#

" sin #

cos

"

sin

#

"

sin

#

"

#

D" D#



Ahora vamos a obtener algunas propiedades importantes de la exponencial compleja. 17.4.3

. /D nunca es cero


MATEMÁTICA BASICA

90

. /D /D œ /! œ ". Luego / D no puede ser cero. 

k k

17.4.4 . Si B es real, entonces /3B œ ". . /3B # œ cos#B  sin#B œ " y / 3B  ! .

k k



17.4.5

k k

. /D œ ", si D es múltiplo entero de #13, y recíprocamente.

. Si D œ #138, siendo 8 entero, entonces

a b

a b

/D œ cos #18  3sin #18 œ " Inversamente, supongamos que /D œ " • D œ B  3C . Esto significa que /B cosC œ " y / B sinC œ ! . Ya que / B Á ! , es necesario que sin C œ ! Í C œ 5 1 siendo 5 un número entero. Pero cos 5 1 œ  " 5 . Por lo tanto /B cos 5 1 œ ". Siendo por otra parte / B  !, 5 debe ser par, es decir, C œ #18. Por eso /B œ " luego B œ ! . El teorema está probado.

a b a b

a b



17.4.6

a

b

/D" œ /D# , si D"  D# œ #138 8 − ™ y recíprocamente.

. Si /D" œ /D# , entonces /D" D# œ " y de 17.4.5 se tiene D "  D# œ #138 . Inversamente si D"  D# œ #138 entonces /D"D# œ /#138 œ " Ê / D" œ / D# 

17.5

a b

Si el punto D œ Bß C œ B  C3 se representa en coordenadas polares < y ) , podemos escribir B œ
x

D œ
infinidad de valores de ) que satisfacen las ecuaciones


MATEMÁTICA BASICA

91

B œ lDlcos )ß C œ lDl sin )

pero, naturalmente, dos cualesquiera de ellos difieren en un múltiplo de de D pero uno de #1. Cada uno de estos valores de ) es un ellos se distingue y se llama el de D. 17.5.1 . Sea D œ B  3C un número complejo no nulo. El número real único ) que satisface las condiciones B œ lDlcos )ß

C œ lDl sin ) 1 )Ÿ 1 se llama el argumento principal de D, y se representa por ) =arg D

ab

La anterior discusión origina inmediatamente el siguiente teorema. 17.5.2

. Todo número complejo D Á ! puede ponerse en la forma D œ
ab

3)

. Tal método de representación de los números complejos es especialmente útil en relación con la multiplicación y la división, pues tenemos

ˆ< / ‰ˆ< / ‰ œ < < / a 3)"

"

y

<" /3)" <# /3)#

17.5.3

œ

#

3)#

a

<" 3 )" )# <# /

" #

3 )" )#

b

b

. Si D" D# Á !, se verifica

a b

ab

ab a b aaD bb  aaD bb Ÿ D  D Ÿ  aD b  aD b Ÿ #

arg D" D# œ arg D"  arg D#  #18 D"ß D #

donde

Ú ! si si 8aD ß D b œ Û " Ü  " si "

#

 1  arg  #1  arg 1  arg

"

"

"

arg arg arg

#

1

1

# #

1

ab

ab

. Pongamos D" œ lD" l/3)" ß D # œ lD #l/ 3)# , donde )" œ arg D " y )# œ arg D # . Entonces D" D# œ lD"D#l/3a)" )#b . Puesto que  1  )" Ÿ 1 y  1  )# Ÿ 1 , tenemos  #1  )"  )# Ÿ #1

a b

Este entero 8 es precisamente el entero 8 D" ß D# ( existe 8 tal que  1  )"  )#  #1 8  1 ) dado en el enunciado del teorema, y para él tenemos arg D" ß D# œ )"  ) #  #1 8. 

a b

17.6 17.6.1 . Dados un número complejo y un entero 8, definimos la potencia 8-ésima de D así


MATEMÁTICA BASICA

D ! œ "ß D 8 œ D "

a b

17.6.2

8

D 8" œ D 8D

92

si 8  ! si 8  ! y D Á !

. Dados dos enteros 7 y 8, tenemos D 8 D 7 œ D 87 y D" D# 8 œ D"8D#8

a b

17.6.3 . Si D Á !, y 8 es un entero positivo, existen exactamente 8 números distintos D! ß D" ß á ß D8" (llamados raíces 8-ésimas de D ). tales que para 5 œ !ß "ß #ß á ß 8  " D58 œ Dß Además, estas raíces se obtienen utilizando las fórmulas " D5 œ V/3)5 donde V œ lDl 8 y )5 œ arg8aDb  #185 5 œ !ß á ß 8  "

a

b

. Las 8 raíces 8-ésimas son los vértices de un polígono regular " inscrito en el círculo de radio < œ lDl 8 y centro en el origen. . Los 8 números complejos V/3)5 ß ! Ÿ 5 Ÿ 8  "ß son distintos y cada uno es una raíz 8-ésima de D, ya que

ˆV/ ‰

3)5 8

ab

œ V 8 /38)5 œ lDl/ 3Òarg D #1 5Ó œ D

Demostremos ahora que no existen otras raíces 8-ésimas de D . Admitamos que A œ E/3! es un complejo tal que A8 œ D . " En tal caso lAl8 œ lDl, y por lo tanto E8 œ lDlß E œ lDl 8 . Por consiguiente, de A8 œ D se deduce /38! œ /3ÒargaDb Ó , que implica 8!  arg D œ #15 luego

ab

!œ

a b8

arg D #15

Pero mientras 5 va recorriendo todos los valores enteros, A toma sólamente los valores distintos D! ß D" ß á ß D 8" . 

17.7 Según hemos visto /D nunca es cero. Es natural preguntar si existen otros valores que /D no pueda alcanzar. El próximo teorema demuestra que el único valor excepcional es el cero. 17.7.1 . Si D es un número complejo distinto de cero existen números complejos A tales que /A œ D . Uno de tales A es el número complejo

ab

loglDl  3arg D

y todos los demás tienen la forma

ab

loglDl  3arg D  #813

a8 − b ™


MATEMÁTICA BASICA

. Ya que

ab

ab

93

ab

/loglDl3arg D œ / loglDl/ 3arg D œ lDl/ 3arg D œ D

vemos que

ab

A œ loglDl  3arg D

es una solución de la ecuación /A œ D . Pero si A" es alguna otra solución, entonces /A œ /A" Í / A" A œ " Í A "  A œ #8 13

así

ab

A" œ loglDl  3arg D  #813. 

17.7.2 . Sea D Á ! un número complejo dado. Si A es un número complejo tal que /A œ D , entonces A es llamado un logaritmo de D . El valor particular de A dado por

ab

A œ loglDl  3arg D

se denomina el logaritmo principal de D, y se representará simplemente por

ab

A œ P91 D

17.7.3

. Si D" D# Á !, se verifica que

a b ab ab a b . P91aD D b œ lD D l  3 aD D b œ lD l  lD l  3c aD b  aD b  # 8aD D bd Å "(Þ&Þ$ œ e lD l  3 aD bf  Ö aD b  3 aD b×  # 38 aD ß D b œ P91aD b  P91 aD b  # 38 aD ß D b. P91 D" D# œ P91 D "  P91 D #  # 138 D "ß D #

log

"

log log

log

"

arg

" #

"



" #

#

arg arg " log 1

"

#

" #

arg

arg

#

"

1

#

#

" #

1

"

#

#

17.8 Utilizando logaritmos complejos podemos ahora dar una definición de potencias complejas de números complejos. 17.8.1

. Si D Á ! y si A es cualquier número complejo definimos D A œ /AP91aDb .

a"b 3 œ /

a b œ / 3ˆ3 ‰ œ /  a#b a  "b3 œ /3P91a"b œ /3a3 b œ /  3

3P91 3

1

1

1

#

#

1

a$b Si 8 es un número entero, entonces


MATEMÁTICA BASICA

a b ab

94

ab ab

P 91 D D 8" œ / 8" P91 D œ / 8P91 D /P9 œ D 8D

17.8.2

. D A" D A# œ D A" A#

. D A" A# œ /aA" A# b P91aDb œ / A" P91a Db/ A# P91a Db œ D A" D A# 

a b

17.8.3 . D" D# A œ D"A D#A/#13 8aD" ßD#b donde 8 D" ß D# es el entero dado en 17.5.3

a b . aD D b œ / ab

a b c a b a b a bd a b a b œ / a b/ a b/ œ/ œ D"A D#A /# 3 8aD ßD b

A AP9 1 D" D# 38 D" ßD# œ /A P91 D" P91 D# #1 38 " # AP91 D" AP91 D# #1 3A 3A8 D" ßD# AP9 1 D" AP91 D# #1 3A 3A8 D" ßD# 1

"

a b

#



17.9 . " Halle P91 3 # Halle P91  3 $ Demestre que P91  " œ 13 % Demuestre que si B − d y B  ! entonces logB œ P91 B & Pruebe que P91 "  3 œ log #  1% 3 ' Demostrar que

ab ab ab ab ab ab

ab a b

a b a b È

ab

+Ñ lD l# œ D † D

,Ñ D  D œ #V /D

.Ñ D  A œ D  A

/Ñ

!D œ !D 8

8

5

5 œ"

1Ñ D œ D

- Ñ D  D œ # ¼7D 0 Ñ / 3) œ / 3)ß ) − d

5

5 œ"

3Ñ l/ 3)l œ "ß

2Ñ lD l œ lD l

6Ñ ˆ ‰ œ Œ #D  œ #D 7Ñ º # D º œ # lD l 8Ñ ¸ ¸ œ 8

4Ñ D † A œ D † A

5Ñ

8

5

5 œ"

66Ñ lD" † D# l œ lD"l † lD lD #l

5

5 œ"

8

8

5

5

5 œ"

8Ñ lD  Al Ÿ lD  lAl ˜ :Ñ Si lD l  lAl entonces

5 œ"

)−d

D A

D A

D A

lDl lAl ß

AÁ!

9Ñ l Dl Dl  lAl Ÿ lD … Al Ÿ lD l  lAl " lD…A D…Al

Ÿ

" lDl DllAl

º ! D º Ÿ ! lD l (por inducción) <Ñ È lD l  lAl Ÿ lD l  lAl =Ñ lD  Al  lD  Al œ # alAl  lD l b 8

;Ñ

8

5

5 œ"

#

5

5 œ" #

#

#

#

#

a(b Encuentre los vértices de un polígono regular de 8 lados, si su centro está en D œ ! y uno de sus vértices es D . a)b Calcular: ‰ +Ñ È" , Ñ È  " - Ñ a&  "#3 b . Ñ ˆ a / b /Ñ È 3 0 Ñ È a#  %3 b 1Ñ a  / b 2Ñ 3Ñ a&  "#3 b 4Ñ a&  "#3 b 5 Ñ a  &  "#3 b !

%

%

%

%

'(3

"!!

log

'(3

#

&"#3 "!! %$3

3

log

'(3


MATEMÁTICA BASICA

a ab

b

a

6Ñ  &  "#3 '(3 7Ñ log &  "#3 " 8Ñ #3 # !Ñ 13 ˜

b

"

8Ñ 3 3

a*b Resolver las ecuaciones: +Ñ log D œ 1#3 . Ñ /D  3 œ !

95

-Ñ / D  3 œ ! 0 Ñ sin D œ #

,Ñ log D œ "  $13 /Ñ cosh D œ '

a"!b Hallar el conjunto de puntos del plano que determinan cada una de las siguientes relaciones:

+Ñ V / D # Ÿ ! ,Ñ 1$ Ÿ arg D Ÿ #$1 - Ñ lD  $3 $3l œ & . Ñ lD  $3 $3l œ & /Ñ lD lD  $3 $ 3l  & 0 Ñ lD lD  $l $ l  lD  $l $l œ ) 1ÑlD  +l œ <ß + − ‚ß <  ! " # 2Ñ ¼7 D   $ 3Ñ D  D œ " 4Ñ & Ÿ lD  $3 $3l Ÿ ) 3) ) − Ò!ß #1Ó 5 Ñ D œ $3  &/ &/ ß 6Ñ lD lD  $l $l  lD l D  #l #l  ) 6 6 Ñ ¼7 D #  ! 9Ñ !  ¼7 D  $ :Ñ d / D "  ! "" Resolver las ecuaciones +Ñ D $  $D #  $D  ) œ ! ,Ñ D %  %D $  'D #  %D  "! œ ! - Ñ cos B  3sin B œ sin B  3 cosBß para B − d transforma el vector número número #  3 $ "# ¿En qué vector número se transforma 1 1 después de una rotación de " # ß # de  # ? "$ Demostrar Demostrar que si D œ B  3C entonces entonces B œ D# D , C œ D#3D "% Escribir en forma compleja y determinar el conjunto de puntos dado

a b a b a b a b

a

b ab

a

ab

b

por cada una de las siguientes relaciones: +Ñ C œ B , Ñ C œ 7B  , ß 7ß 7ß , − d , fijos, Bß C − d # # # - Ñ B  C œ + ß Bß Bß C − d , + real fijo # # .Ñ B  C  #+B œ ! Bß Bß C − dß + real fijo /Ñ

B# +#

C# ,#



œ "ß B Bßß C − d ß +  !ß ,  !

a"&b Demostrar que #

$

8

"DD D âD œ

D 8"" D" ß

œ 8  " ß DDÁœ""

a"'b A partir del ejercicio 15, demostrar quea b "  # â 8 œ ß Á #5 ß 5 − a"(b Demostrar que +Ñ D œ 3 Š3D  È "  D ‹ ,Ñ D œ  3 ŠD  È D  "‹ ˆ ‰ -Ñ Dœ .Ñ 2D œ ŠD  È D  "‹ /Ñ 2D œ ŠD  È D  "‹ ˆ ‰ 0Ñ 2D œ 1Ñ k Dk œ B  2 Cß D œ B  3C . a")b Si "ß Aß A son raíces cúbicas de ", probar que con A Á " 3Ñ a"  A b œ A, cos)

cos )

arcsin

log

arccos

cos )

#

#

log

3 3D # log 3D

arctan

arccos

log

arcsin

log

#

#

" "D # log "D # #

arctan cos#

cos

#

# %

sin

cos 8# )sin 8" sin #)

)

#

)

1

™

È


a

MATEMÁTICA BASICA

bˆ

ba

‰a

96

b

33Ñ "  A "  A # "  A % "  A & œ *ß A Á " ( sugerencia "  A  A# œ !ß A Á " )

a"*b Probar o refutar cada una de las siguientes afirmaciones (justifique la respuesta). a+b k / k œ "ß D − a, b / œ / ß D − a-b D  D œ "ß D − a. b l Dl Ÿ "ß D − a/b D œ Dß D − . a#!b Probar que & œ '  #!  & a#"b La distancia entre dos números complejos D y A se define por . aD ß Ab œ lD  Al. Demostrar que . es una métrica sobre , esto es, para todo Aß Dß> − a+b .aAßAß D b œ . aDßDß A b a,b .aAßAß D b Ÿ .aAßAß > b  . a>ß>ß D b a-b .aAß D b  !ß y , . aAß D b œ !, cuando A œ D a##b Demostrar que en general a+ b Á Š+ ‹ . Si 7 y 8 son s on números primos relativos se tiene que a+ b œ Š+ ‹ y por lo tanto a+ b œ Š+ ‹ / a bß ! Ÿ 5 Ÿ 8 W ?1/
#

cos sin

‚

sin sin cos )

3D

3D

‚

‚

sin

‚ cos&)

‚

cos$)

cos)

‚

‚

7

7

7

" 8

" 8

7

" 8

" 8

" 8

" 8

7

7

37 #51 8 )

# %

+

log

+

A + D + ,

+ +

log

lD" l œ lD#l œ lD $l œ " y

"

#

A+ D+ +,

$

D "  D #  D $ œ ! . Demostrar que D "ß D #ß D $ son los

vértices de un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia unitaria. #& Determinar los puntos D œ B  3C del plano complejo que satisface la desigualdad lD  "l Ÿ #lD #lD  "l. 8 #' Sea T D œ +!D  +"D 8"  + #D 8#  â  + 8 un polinomio de grado 8  " y de coeficientes reales. Demostrar, que si ! es una raíz de T D œ !, entonces ! lo es también. #( Demostrar que los puntos D œ B  3C que satisfacen lD  "l Ÿ %  lD  "l # # son los puntos, interiores a la elipse B%  C$ œ " o pertenecen a ella. #) Probar que si D! es una raíz cúbica de un número D , y si "ß Aß A # son las raíces cúbicas de la unidad, entonces D! ß D ! Aß D !A # son las raíces cúbicas de D . Pártase de este resultado para determinar las raíces cúbicas de  ). #* Encuentre la ecuación de la elipse con focos „ 3 que pasa por el punto "  3. En geometría analítica, ¿cuál es la fórmula correspondiente? . $! Encuentre la hipérbola con focos " e 3 que pasa por el origen. ¿Cuál es la fórmula correspondiente en geometría analítica?.

a b a b a b a b a b a b

ab

ab

Mate Matic a Basic A

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