Liceul Particular „Octav Onicescu”
Matematică Clasa a IX-a frecvenţă redusă Semestrul II
Prof. Niculescu Paraschiv
An şcolar 2007 – 2008
1
Matematică clasa aIX-a Semestrul II Teme: I. Funcţia de gradul al doilea a) Forma canonică a funcţiei de gradul al doilea b) Maximul şi minimul funcţiei de grad doi c) Simetria graficului faţă de dreptele de forma x=m d) Ecuaţia de gradul al doilea: Formele (Relaţiile) lui Viète e) Graficul funcţiei de grad doi şi semnul funcţiei de grad doi f) Poziţia unei drepte faţă de o parabolă. II. Elemente de geometrie a) Vectori în plan, relaţia de echivalenţă şi coliniaritate b) Adunarea vectorilor, proprietăţi ale adunării c) Înmulţirea cu scalari d) Descompunerea unui vector după două direcţii date; reperul cartezian III. Coliniaritate şi concurenţă, paralelism a) Vectorul de poziţie al centrului de greutate b) Concurenţa medianelor, teoremele lui Thales, Silvester, Menelaus
2
I. Ecuaţia de gradul doi O ecuaţie de forma ax 2 + bx + c = 0 în care a, b, c ∈ℜ;a ≠ 0 sunt coeficienţii ecuaţiei şi x necunoscuta ecuaţiei, se numeşte ecuaţie de gradul doi datorită termenului ax 2 care este de grad doi. Exemplu: Ecuaţia 2x 2 − 5x + 3 = 0 este de grad doi şi are coeficienţii a = 2; b = 5;c = 3 .
A rezolva o ecuaţie de grad doi înseamnă a afla soluţiile (rădăcinile) sale adică acele numere x ∈ ℜ pentru care egalitatea ax 2 + bx + c = 0 este adevărată.
Exemplu: Fie ecuaţia 2x 2 + x − 1 = 0 în care a = 2; b = 1;c = −1 . Numărul x = −1 este soluţie a ecuaţiei deoarece, prin înlocuirea lui x cu -1 în partea stângă a egalităţii 2x 2 + x − 1 = 0 se obţine: 2 ⋅ (−1) 2 + (−1) − 1 = 2 − 1 − 1 = 2 − 1 = 0
adică x = −1 verifică egalitatea 2x 2 + x − 1 = 0 . Numărul x = 2 nu este soluţie a ecuaţiei 2x 2 + x − 1 = 0 deoarece prin înlocuirea lui x cu 2 se obţine: 2 ⋅ 22 + 2 − 1 = 2 ⋅ 4 + 1 = 7 ≠ 0
adică x = 2 nu verifică egalitatea 2x 2 + x − 1 = 0 . Vom începe rezolvarea ecuaţiilor de grad doi de formă incomplete. Cazul 1. Dacă a ≠ 0 şi c = 0 ecuaţia ax 2 + bx + c = 0 devine ax 2 + bx = 0 care descompusă în factori se scrie: x(ax + b) = 0 unde cei doi factori sunt x şi ax + b .
Produsul de factori x(ax + b) = 0 este zero dacă factorii se anulează adică ecuaţia x(ax + b) = 0 este echivalentă cu: x = 0 sau ax + b = 0 . Am b a
obţinut astfel soluţie x1 = 0 şi deci ax + b = 0 ⇒ ax = −b ⇒ x 2 = − .
3
Exemplu: Să se rezolve ecuaţia: 2x 2 − 5x = 0 cu coeficienţii a = 2; b = −5;c = 0 . Prin descompunere în factori, dând pe x factor 2x 2 − 5x = 0 se scrie: x(2x − 5) = 0 echivalentă cu x = 0 sau 2x − 5 = 0 , adică
5 2
soluţiile vor fi: x1 = 0 şi din 2x − 5 = 0 ⇒ 2x = 5 ⇒ x 2 = . Reţinem deci: b a
Dacă a ≠ 0 şi c = 0 ecuaţia ax 2 + bx + c = 0 are soluţiile: x1 = 0 şi x 2 = − ; x 2 = 0 dacă b = 0 .
Cazul 2. Dacă a ≠ 0; b = 0;c ≠ 0 ecuaţia ax 2 + bx + c = 0 se scrie sub forma: c ax 2 + c = 0 ⇔ ax 2 = −c ⇔ x 2 = − . a c a
Cum din x ∈ ℜ ⇔ x 2 ≥ 0 ceea ce însemnă că şi − > 0 , adică a şi c trebuie să fie de semne contrare pentru că soluţiile x1 , x 2 ∈ ℜ . c a
Aceasta înseamnă că dacă − < 0 ecuaţia nu are soluţii în mulţimea numerelor reale. Exemple: ⎧ x 1 = −4 ⎩x 2 = 4
1. Rezolvaţi: 3x 2 − 48 = 0 ⇔ 3x 2 = 48 ⇒ x 2 = 16 ⇒ ⎨
Observaţie: x 2 = 16 se poate rezolva şi astfel: ⎧ x + 4 = 0 ⎧ x 1 = −4 . x 2 − 16 = 0 ⇔ ( x − 4 )( x + 4 ) = 0 ⇔ ⎨ ⇒⎨ ⎩x − 4 = 0 ⎩x 2 = 4
2. Rezolvaţi ecuaţia: x 2 + 4 = 0 ⇔ x 2 = −4 care nu are soluţii în ℜ deoarece x 2 ≥ 0 iar −4 < 0 .
Observaţie: Când ecuaţia nu are soluţii în ℜ spunem că mulţimea soluţiilor notată cu S este mulţimea vidă adică S = ∅. (∅=mulţimea vidă) Cazul 3. Rezolvarea ecuaţiei de grad doi în cazul general: ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) .
4
Membrul I al ecuaţiei se mai scrie: b c⎞ ⎛ ax 2 + bx + c = a ⎜ x 2 + x + ⎟ = a a⎠ ⎝ 2 ⎛ 2 2 b b2 c ⎞ = a ⎜ x + 2⋅ ⋅ x + 2 − 2 + ⎟ = 2a 4a 4a a⎠ ⎝ ⎡⎛ b ⎞ b 2 − 4ac ⎤ = a ⎢⎜ x + ⎟ − ⎥ 2a ⎠ 4a 2 ⎦⎥ ⎣⎢⎝ 2
Notând cu Δ = b 2 − 4ac care se numeşte discriminantul ecuaţiei de grad doi, putem scrie: 2 2 ⎡ ⎤ b ⎞ ⎛ b 2 − 4ac ⎞ ⎥ ⎛ ⎢ ax + bx + c = a ⎜ x + ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎟ ⎥ ⎢⎝ 2a ⎠ ⎝⎜ 2a ⎠ ⎦ ⎣ 2 2 ⎡ b ⎞ ⎛ Δ⎞ ⎤ ⎛ = a ⎢⎜ x + ⎟ − ⎜⎜ ⎟ ⎥=0 2a ⎠ ⎝ 2a ⎟⎠ ⎥ ⎢⎝ ⎣ ⎦ 2
Dacă Δ ≥ 0 vom avea: 2
2 b ⎞ ⎛ Δ⎞ ⎛ ⎟ =0 ⎜ x + ⎟ − ⎜⎜ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎟⎠ ⎝
şi descompunând diferenţa de pătrate în factori se obţine: ⎛ Δ ⎞⎛ Δ⎞ b b + x+ ⎜⎜ x + − ⎟⎜ ⎟=0 ⎟⎜ 2 a ⎠⎝2a 2a ⎟⎠ 2a ⎝
ceea ce este echivalent cu: x+
b Δ b Δ + =0 − = 0 sau x + 2a 2a 2a 2a
Efectuând calculele se obţine: x1 =
−b + Δ −b − Δ ; x2 = 2a 2a
sau x1 , x 2 =
−b ± Δ ; Δ = b 2 − 4ac . 2a
(
)
care se numeşte forma de rezolvare a ecuaţiei de grad doi, forma generală. 5
Exemple: 1. Să se rezolve ecuaţia de grad 2: x 2 + 3x − 4 = 0 . Ecuaţia fiind de forma ax 2 + bx + c = 0 pentru a rezolva, parcurgem paşii următori: Pas1: Determinarea coeficienţilor ecuaţiei şi vom avea: a = 1; b = 3;c = −4 . Pas2: Calculul discriminantului Δ = b 2 − 4ac vom avea: Δ = 32 − 4 ⋅1(−4) = 9 + 16 = 25 > 0 Δ = 25 = 5 .
Pas3: Aflarea soluţiilor ecuaţiei folosind formula: x1 , x 2 =
−b ± Δ ; în 2a
cazul ecuaţiei date vom avea: −3 − 5 8 ⎧ = − − 4; x 2 = −4 x = −3 ± 5 ⎪⎪ 1 2 2 x1 , x 2 = =⎨ 3 5 2 − + 2 ⋅1 ⎪x = = = 1; x 2 = 1 ⎪⎩ 2 2 2
Dacă notăm cu S mulţimea soluţiilor putem scrie: S = {x1 = −4; x 2 = 1} . Observaţie: Discriminantul Δ = 25 > 0 şi am obţinut pentru ecuaţie două soluţii diferite x1 ≠ x 2 . 2. Să se rezolve ecuaţia: 4x 2 + 4x + 1 = 0 . - coeficienţii ecuaţiei sunt: a = 4; b = 4;c = 1 . - discriminantul ecuaţiei Δ = b 2 − 4ac etse: Δ = 16 − 4 ⋅ 4 ⋅1 = 16 − 16 = 0; Δ = 0 ⇒ Δ = 0 = 0
- soluţiile ecuaţiei vor fi conform formulei: x1,2
−4 + 0 −1 ⎧ = x1 = ⎪ − b ± Δ − b ± 0 −4 ± 0 ⎪ 8 2 = = = =⎨ 2a 2a 2⋅4 ⎪ x = −4 − 8 = −1 ⎪⎩ 2 8 2
1 1 adică x1 = x 2 = − ⇒ S = ⎧⎨ x1 = x 2 = − ⎫⎬ . 2
⎩
2⎭
6
Observaţie: Dacă discriminantul Δ = 0 soluţiile ecuaţiei vor fi întotdeauna x1 = x 2 = −
b adică cele 2 rădăcini x1 şi x 2 sunt egale. 2a
3. Să se rezolve ecuaţia: x 2 + x + 2 = 0 . − coeficienţii ecuaţiei sunt: a = 1; b = 1;c = 2 . − Discriminantul ecuaţiei este: Δ = b 2 − 4ac = 12 − 4 ⋅1⋅ 2 = 1 − 8 = −7 < 0
Din Δ = −7 < 0 ⇒ Δ = −7 nu aparţine mulţimii ℜ şi spunem că ecuaţia nu are soluţii în ℜ . Dacă notăm cu S mulţimea soluţiilor ecuaţiei putem scrie: S = ∅ (mulţimea vidă). Observaţii: Dacă discriminantul Δ < 0 ecuaţia nu are soluţii în mulţimea ℜ a numerelor reale.
Exerciţii rezolvate Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţiile: a) 4x 2 − x = 0 b) 3x 2 + 27x = 0 c) 4x 2 − 1 = 0 d) 3x 2 − 2 = 0 e) x 2 + 1 = 0 f) x 2 − 3x + 2 = 0 g) x 2 + 7x + 10 = 0 h) 2x 2 + x − 5 = 0 i) x 2 + x + 2 = 0 j) x 2 + 4x + 4 = 0 Rezolvare: a) 4x 2 − x = 0 ⇔ x(4x − 1) = 0 echivalent cu: x = 0 sau 4x − 1 = 0 şi 1 4
obţinem: x1 = 0; x 2 = .
7
b) 3x 2 + 27x = 0 prin descompunere în factori
(dând 3x factor)
devine: ⎧3x = 0 ⇒ x1 = 0 ⎪ 3x(x + 9) = 0 ⇔ ⎨sau ⎪ ⎩ x + 9 = 0 ⇒ x 2 = −9 1 4
c) 4x 2 − 1 = 0 ⇔ 4x 2 = 1 ⇔ x 2 = ⇒ x = ±
1 1 = ± cu soluţiile: 4 2
1 1 x1 = − ; x 2 = 2 2
Observaţie: Ecuaţia 4x 2 − 1 = 0 prin descompunerea în factori devine: (2x − 1)(2x + 1) = 0 echivalent cu 2x − 1 = 0 sau 2x + 1 = 0 adică 1 1 x1 = − ; x 2 = . 2 2 2 3
d) 3x 2 − 2 = 0 ⇔ 3x 2 = 2 ⇔ x 2 = ⇔ x = ± ⎧ ⎪ x1 = − ⎪ ⇒⎨ ⎪x = ⎪⎩ 2
2 ⇒ 3
2 3 2 3
e) x 2 + 1 = 0 ⇒ x 2 = −1 < 0 ⇒ ecuaţia nu are soluţii în ℜ. S=∅. f) x 2 − 3x + 2 = 0 coeficienţii ecuaţiei sunt: a = 1; b = −3;c = 2 . Δ = b 2 − 4ac = 9 − 4 ⋅1⋅ 2 = 9 − 8 = 1 Δ = 1 = 1 şi soluţiile vor fi:
x1,2
3 +1 ⎧ =2 x2 = ⎪ −b ± Δ 3 ± 1 ⎪ 2 = = =⎨ 2a 2 ⎪x = 3 − 1 = 1 ⎪⎩ 2 2
şi mulţimea S a soluţiilor va fi: S = {x1 = 2; x 2 = 1} .
g) x 2 + 7x + 10 = 0 ⇒ a = 1; b = 7;c = 10 . Discriminantul ecuaţiei este: Δ = b 2 − 4ac = 49 − 40 = 9; Δ = 9 = 3
8
Soluţiile ecuaţiei sunt: x1,2 =
− b ± Δ −7 ± 3 ⎧ x1 = −5 = =⎨ 2a 2 ⎩ x 2 = −2
−7 − 3 −10 = = −5 2 2 −7 + 3 −4 x2 = = = −2 2 2 x1 =
h) 2x 2 + x − 5 = 0
coeficienţii
ecuaţiei
sunt:
a = 2; b = 1;c = −5 ;
discriminantul ecuaţiei este Δ = b 2 − 4ac = 1 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−5) = 1 + 40 = 41 . Δ = 41 . Soluţiile sunt: x1,2 = ⎧
a soluţiilor este: S = ⎪⎨ x1 = ⎩⎪
−b ± Δ −1 ± 41 şi mulţimea S = 2a 4
−1 + 41 −1 − 41 ⎪⎫ ; x2 = ⎬. 4 4 ⎭⎪
i) x 2 + x + 2 = 0;a = 1; b = 1;c = 2 Δ = b 2 − 4ac = 1 − 4 ⋅1⋅ 2 = 1 − 8 = −7 Δ = −7 < 0 ⇒ ecuaţia nu are soluţii în ℜ. Mulţimea soluţiilor S este: S = ∅ (mulţimea vidă).
j) x 2 + 4x + 4 = 0 coeficienţii ecuaţiei sunt: a = 1; b = 4;c = 4 . Δ = b 2 − 4ac = 42 − 4 ⋅1⋅ 4 = 16 − 16 = 0
Din Δ = 0 ⇒ x1 = x 2 = −
b 4 =− ⇒ x1 = x 2 = −2 ⇒ S = {−2} . 2a 2 ⋅1
9
II. Formulele lui Viète Fie ecuaţia ax 2 + bx + c = 0, a, b, c ∈ℜ şi a ≠ 0 . Dacă Δ ≥ 0 şi x1 , x 2 sunt rădăcini ale ecuaţiei ele sunt date de formulele: ⎧ −b − Δ ⎪ x1 = 2a , Δ = b 2 − 4ac este discriminantul ecuaţiei. (1) ⎪⎨ ⎪ x = −b + Δ ⎪⎩ 2 2a
Dacă se adună cele două relaţii se obţine: x1 + x 2 =
−b −
Δ −b+ 2a
Δ
=−
2b b =− 2a a
sau x1 + x 2 = −
b (suma rădăcinilor). a
Dacă înmulţim cele două relaţii (1) se obţine:
( )
2 −b − Δ −b + Δ b − Δ x1 ⋅ x 2 = ⋅ = 2a 2a 4a 2 b 2 − Δ b 2 − (b 2 − 4ac) 4ac c = = = 2 = 4a 2 4a 2 4a a
2
=
sau x1 ⋅ x 2 =
c (produsul rădăcinilor). a
b ⎧ ⎪⎪ x1 + x 2 = − a Relaţiile ⎨ ⎪x ⋅ x = c ⎪⎩ 1 2 a
adică suma şi produsul rădăcinilor se
numesc formulele lui Viète sau relaţii între rădăcini şi coeficienţi asociate ecuaţiei de grad doi. Notăm cu S suma rădăcinilor şi cu P produsul rădăcinilor putem scrie: S = x1 + x 2 = − P = x1 ⋅ x 2 =
10
c a
b a
Se poate observa că dată ecuaţia de grad doi ax 2 + bx + c = 0 , se pot scrie (calcula) suma S şi produsul P al rădăcinilor fără a rezolva ecuaţia. Exemplu: În ecuaţia 2x 2 + 5x − 1 = 0 unde a = 2; b = 5;c = −1 vom avea: S = x1 + x 2 = − P = x1 ⋅ x 2 =
b 5 =− a 2
c 1 =− . a 2
Putem face verificarea rezolvând ecuaţia dată: 2x 2 + 5x − 1 = 0 . − Coeficienţii ecuaţiei sunt: a = 2; b = 5;c = −1 . − Discriminantul Δ = b 2 − 4ac = 52 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−1) ; Δ = 25 + 8 = 33 . − Soluţiile ecuaţiei vor fi: x1,2 =
x1,2
−b ± Δ adică: 2a
⎧ −5 − 33 x1 = ⎪ −5 ± 33 ⎪ 4 = =⎨ 2⋅2 ⎪ x = −5 + 33 ⎪⎩ 2 4
Suma S a rădăcinilor va fi: S = x1 + x 2 =
−5 − 33 −5 + 33 −10 5 + = =− 4 4 4 2
şi produsul P al rădăcinilor este P = x1 ⋅ x 2 =
am obţinut deci S = −
−5 − 33 −5 + 33 25 − 33 −8 1 ⋅ = = =− 4 4 14 16 2
5 1 şi P = − care pot fi scrise şi direct fără a rezolva 2 2
ecuaţia. Se constată că am calculat suma S şi produsul P al rădăcinilor ecuaţiei adică S = x1 + x 2 = −
5 1 şi produsul P = x1 ⋅ x 2 = − fără a calcula 2 2
rădăcinile x1 şi x 2 ale ecuaţiei 2x 2 + 5x − 1 = 0 . Dacă, dată o ecuaţie ax 2 + bx + c = 0 se pot calcula suma S şi produsul P al rădăcinilor fără a rezolva ecuaţia, se pune şi problema
11
inversă dacă se dau suma S şi produsul P al rădăcinilor, să se scrie ecuaţia de grad doi corespunzătoare. Ecuaţia ax 2 + bx + c = 0 cu a ≠ 0 şi Δ = b 2 − 4ac ≥ 0 se mai scrie b c⎞ ⎛ ax 2 + bx + c = a ⎜ x 2 + x + ⎟ = 0 ⇒ a a⎠ ⎝ b c c ⎛ −b ⎞ ⇒ x 2 + x + = x 2 − ⎜ ⎟ x + = x 2 − Sx + P = 0 a a a ⎝ a ⎠
Rezultă că dacă S şi P sunt două numere reale date ecuaţia de grad doi corespunzătoare este: x 2 − Sx + P = 0 .
Exemplul 1: Se dau S=3 şi P=2. Ecuaţia corespunzătoare este: x 2 − 3x + 2 = 0 .
Exemplul 2: Fie x1 = 5 şi x 2 = 3 rădăcinile unei ecuaţii de grad doi. Să se scrie ecuaţia de grad doi asociată. Calculăm S = x1 + x 2 = 5 + 3 = 8 şi P = x1 ⋅ x 2 = 5 ⋅ 3 = 15 deci scriem ecuaţia: x 2 − Sx + P = 0 adică x 2 − 8x + 15 = 0 . Descompunerea în factori a trinomului ax 2 + bx + c = 0 Pornind de la relaţia: x 2 − Sx + P = 0 ,
unde S = x1 + x 2 şi P = x1 ⋅ x 2 , relaţia se scrie: x 2 − (x1 + x 2 )x + x1 ⋅ x 2 = 0
sau x 2 − x ⋅ x1 − x ⋅ x 2 + x1 ⋅ x 2 = 0
Grupând convenabil termenii se obţine: x(x − x1 ) − x 2 (x − x1 ) = 0
sau 12
(x − x1 )(x − x 2 ) = 0
din care rezultă: ax 2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x 2 ), x1 , x 2 ∈ℜ, a ≠ 0 relaţie care exprimă descompunerea în factori de grad 1 a trinomului ax 2 + bx + c = 0 folosind rădăcinile sale x1 şi x 2 . b a
Dată ecuaţia ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 şi Δ ≥ 0 adică S = x1 + x 2 = − ; P = x1 ⋅ x 2 =
c . a
Se cere să se calculeze fără a rezolva ecuaţia, sumele: 1. S2 = x12 + x 22 ; 2. S3 = x13 + x 32 3. S4 = x14 + x 42 Rezolvare 1. Din S = x1 + x 2 prin ridicare la pătrat se obţine: S2 = x12 + x 22 + 2x1x 2 b c adică x12 + x 22 = S2 = S2 − 2P ⎛⎜ S = − ; P = ⎞⎟ . a
⎝
a⎠
2. Din S = x1 + x 2 ridicăm la cub şi se obţine: S3 = x13 + x 32 + 3x1x 2 (x1 + x 2 ) b a
c a
adică S3 = x13 + x 32 = S3 − 3PS unde: S = − ; P = . 3. S4 = x14 + x 42 = ? Scriem S2 = x12 + x 22 = S2 − 2P şi ridicând la pătrat se obţine:
(x
2 1
+ x 22
) = (S 2
2
− 2P
)
2
adică x14 + x 42 + 2x12 x 22 = S4 − 4S2 P + 4P 2 S4 = x14 + x 42 = S4 − 4S2 P + 2P 2 b a
c a
unde S = − ; P = .
13
Reţinem deci: Dată ecuaţia ax 2 + bx + c = 0 cu x1 , x 2 ∈ℜ unde S = x1 + x 2 = − P = x1 ⋅ x 2 =
b şi a
c avem: a S2 = x12 + x 22 = S2 − 2P S3 = x13 + x 32 = S3 − 3PS S4 = x14 + x 42 = S4 − 4S2 P + 2P 2
Exemplu: Fie ecuaţia x 2 + 3x − 1 = 0 . Fără rezolva ecuaţia calculaţi: S2 = x12 + x 22 ; S3 = x13 + x 32 ; S4 = x14 + x 24 .
Rezolvare: Pentru ecuaţia dată avem: Δ = 9 + 4 = 13 > 0; S = x1 + x 2 = − P = x1 ⋅ x 2 =
b 3 = − = −3 a 1
c 1 = − = −1 a 1
Deci: S = −3 şi P = −1 vom avea: S2 = x12 + x 22 = S2 − 2P = (−3) 2 − 2(−1) = 9 + 2 = 11 S3 = x13 + x 32 = S3 − 3PS = (−3)3 − 3(−1) ⋅ (−3) = −27 − 9 = −36 S4 = x14 + x 42 = S4 − 4S2 P + 2P 2 = = (−3) 4 − 4(−3) 2 ⋅ (−1) + 2(−1) 2 = = 81 + 36 + 2 = 83 + 36 = 119
14
Exerciţii propuse Rezolvaţi în mulţimea ℜ ecuaţiile: a. 3x 2 − 6x = 0 ; b. 12x 2 + 48x = 0 ; c. x 2 − 16 = 0 ; d. 2x 2 = 18 ; e. 9x 2 − 1 = 0 ; f. x 2 + 4 = 0 ; g. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ; h. x 2 − 5x + 4 = 0 ; i. 4x 2 + 4x + 1 = 0 ; j. x 2 − 3x + 2 = 0 . 1. Fie ecuaţia x 2 − 3x + 2 = 0 . Calculaţi, fără a rezolva ecuaţia folosind relaţiile S = x1 + x 2 = 3 şi P = x1 ⋅ x 2 = 2 ale lui Viète, următoarele sume: S2 = x12 + x 22 = ?
S3 = x13 + x 32 = ? S4 = x14 + x 24 = ?
2. Fie x1 = 1; x 2 = 3 rădăcinile unei ecuaţii de grad doi. Scrieţi ecuaţia de grad doi corespunzătoare.
15
